Fişier template preliminar
|
|
- Κύμα Λύτρας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi UC.png Universitatea din Craiova
2
3 Ion CRĂCIUN Expert pe termen lung Paul Valeriu GEORGESCU Expert pe termen scurt Departamentul de Matematică şi Informatică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ME 12. APLICAŢII ALE TRANSFORMĂRII LAPLACE IAŞI 212
4
5 Cuprins 1 ME 12. Aplicaţii ale transformării Laplace Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Integrarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare Integrarea unor ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi variabili Integrarea unor ecuaţii cu derivate parţiale Rezolvarea unor ecuaţii integrale Calculul unor integrale improprii
6
7 1 ME 12. Aplicaţii ale transformării Laplace 1.1 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Să considerăm problema determinării funcţiei x(t), t >, care verifică ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n cu coeficienţi constanţi, neomogenă şi condiţiile iniţiale a x (n) + a 1 x (n 1) + + a n 1 x + a n x = f(t) (1.1) x(+) = x, x (+) = x 1, x (+) = x 2,, x (n 1) (+) = x n 1, (1.2) unde f(t) este o funcţie dată, iar x, x 1, x 2,, x n 1 sunt n numere date. Soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate este o sumă de funcţii de forma a x (n) + a 1 x (n 1) + + a n 1 x + a n x = e α t [P (t) cos βt + Q(t) sin βt], unde P (t) şi Q(t) sunt polinoame. Deci, funcţia x(t), nulă pentru t <, care verifică ecuaţia omogenă şi condiţiile iniţiale (1.2), este o funcţie original împreună cu derivatele sale de orice ordin. În general nu putem afirma acelaşi lucru pentru ecuaţia (1.1) datorită prezenţei funcţiei f(t). În cele ce urmează, vom presupune că f(t) este un original şi că funcţia x(t), care verifică ecuaţia (1.1) şi condiţiile iniţiale (1.2), îndeplineşte condiţiile impuse originalelor, împreună cu derivatele lor până la ordinul n. Notăm X(p) = Lx(t), F (p) = Lf(t). Datorită proprietăţilor de liniaritate a transformatei Laplace, din ecuaţia (1.1) deducem a Lx (n) + a 1 Lx (n 1) + + a n 1 Lx + a n Lx = Lf(t). (1.3) Conform egalităţii (??) şi ţinând seama de condiţiile iniţiale (1.2), avem Lx (n) (t) = p n X(p) (x p n 1 + x 1 p n x n 2 p + x n 1 ), Lx (n 1) (t) = p n 1 X(p) (x p n 2 + x 1 p n x n 2 ), Lx (t) = p 2 X(p) (x p + x 1 ), Lx (t) = p X(p) x, Lx(t) = X(p). 5
8 6 Ion Crăciun Paul Valeriu Georgescu Introducem în (1.3) şi ordonăm termenii convenabil. Obţinem (a p n + a 1 p n a n 1 p + a n )X(p) = F (p) + G(p), (1.4) unde G(p) = x (a p n 1 + a 1 p n a n 2 p + a n 1 )+ +x 1 (a p n 2 + a 1 p n a n 3 p + a n 2 ) x n 2 (a p + a 1 )+ +x n 1 a. Egalitatea (1.4) se numeşte ecuaţia operaţională corespunzătoare ecuaţiei (1.1) cu condiţiile iniţiale (1.2). ecuaţia operaţională se reţine uşor dacă facem următoarele observaţii: X(p) se înmulţeşte cu polinomul caracteristic al ecuaţiei diferenţiale (1.1); G(p) este o combinaţie liniară de polinoame ϕ(p) = a p n + a 1 p n a n 1 p + a n G(p) = x ϕ (p) + x 1 ϕ 1 (p) + + x n 1 ϕ n 1 (p); polinomul ϕ (p) se obţine din polinomul caracteristic ϕ(p) suprimând termenul liber şi împărţind cu p; prin acelaşi procedeu se obţine ϕ 1 (p) din ϕ (p); ϕ 2 (p) se obţine suprimând termenul liber al polinomului ϕ 1 (p) şi împărţind rezultatul cu p şi aşa mai departe până se obţine ϕ n 1 (p) = a. Din ecuaţia (1.4) deducem X(p) = F (p) + G(p). ϕ(p) Soluţia ecuaţiei (1.1) care satisface condiţiile iniţiale (1.2) este x(t) = L 1 X(p) şi se determină fie folosind formula lui Mellin Fourier, fie prin descompuneri convenabile ale funcţiei X(p). Exerciţiul Să se determine soluţia a ecuaţiei diferenţiale x + ω 2 x = (λ 2 + ω 2 )e λ t care satisface condiţiile iniţiale x(+) = 1, x (+) = ω λ. Soluţie. Ecuaţia operaţională corespunzătoare este (p 2 + ω 2 )X(p) = (λ 2 + ω 2 1 ) + p + (ω λ) p + λ
9 ME 12. Aplicaţii ale transformării Laplace 7 şi se mai poate scrie (p 2 + ω 2 )X(p) = ω + p2 + ω 2 p + λ. Deducem X(p) = 1 p + λ + ω p 2 + ω 2. Folosind rezultatele din Exemplul?? şi Exerciţiul?? determinăm originalul funcţiei X(p) x(t) = e λ t + sin ωt, funcţia astfel găsită fiind soluţie a problemei Cauchy date. 1.2 Integrarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare Transformata Laplace se poate aplica şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi constanţi. Vom lua ca exemplu, sistemul de ecuaţii diferenţiale a x + a 1 x + a 2 x + b y + b 1 y + b 2 y = f(t) α x + α 1 x + α 2 x + β y + β 1 y (1.5) + β 2 y = ϕ(t) şi condiţiile iniţiale x(+) = x, x (+) = x 1 ; y(+) = y, y (+) = y 1. (1.6) În ipoteza că f(t) şi ϕ(t) sunt funcţii original şi că funcţiile x(t), y(t) care verifică sistemul (1.5) şi condiţiile iniţiale (1.6) sunt, de asemenea, funcţii original împreună cu primele două derivate, aplicăm transformata Laplace celor două ecuaţii (1.5) obţinând astfel sistemul operaţional (a p 2 + a 1 p + a 2 )X(p) + (b p 2 + b 1 p + b 2 )Y (p) = F (p)+ +x (a p + a 1 ) + x 1 a + y (b p + b 1 ) + y 1 b, unde am notat, ca de obicei, (α p 2 + α 1 p + α 2 )X(p) + (β p 2 + β 1 p + β 2 )Y (p) = Φ(p)+ +x (α p + α 1 ) + x 1 α + y (β p + β 1 ) + y 1 β, Lx(t) = X(p), Ly(t) = Y (p), Lf(t) = F (p), Lϕ(t) = Φ(p). Din acest sistem se deduc funcţiile X(p), Y (p). Soluţia problemei este sistemul de funcţii x(t) = L 1 X(p), y(t) = L 1 Y (p). Exerciţiul Să se determine funcţiile x(t) şi y(t) care verifică sistemul { x + 2x + x + y + y + y = 1 2x + 2x + y + 2y = 2t şi condiţiile iniţiale x(+) =, x (+) = 2; y(+) = 1, y (+) = 2.
10 8 Ion Crăciun Paul Valeriu Georgescu Soluţie. Sistemul operaţional corespunzător este (p 2 + 2p + 1)X(p) + (p 2 + p + 1)Y (p) = 1 p + p + 1 (2p + 2)X(p) + (p 2 + 2p)Y (p) = 2 p 2 + p. Scăzând a doua ecuaţie din prima şi simplificând cu p 1, obţinem sistemul echivalent Soluţia acestui sistem este (p + 1)X(p) Y (p) = p + 2 p 2 2(p + 1)X(p) + (p 2 + 2p)Y (p) = p3 + 2 p 2. X(p) = 1 p p 2 + 2p + 2, Y (p) = 1 p 2 + p + 1 p 2 + 2p + 2. Deoarece trinomul p 2 + 2p + 2 are rădăcini imaginare, vom scrie Originalele acestor funcţii sunt X(p) = 1 p (p + 1) 2 + 1, Y (p) = 1 p 2 + p + 1 (p + 1) x(t) = t + e t sin t, y(t) = t + e t cos t şi cu aceasta problema Cauchy este rezolvată. 1.3 Integrarea unor ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi variabili În cele expuse mai sus, am arătat cum metoda operaţională transformă problema integrării unei ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi, cu condiţii iniţiale date, în problema rezolvării unei ecuaţii algebrice. Se obţine astfel imaginea X(p) a soluţiei x(t). Dificultăţile de calcul sunt legate de determinarea originalului x(t), cunoscută fiind imaginea sa. Această metodă poate fi extinsă şi pentru unele ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi variabili. Aplicând transformarea Laplace ecuaţiei date, aceasta se transformă uneori tot într o ecuaţie diferenţială, care se poate întâmpla să se integreze mai uşor. Să considerăm, de exemplu, ecuaţia diferenţială liniară în care coeficienţii a k sunt polinoame în t a x (n) + a 1 x (n 1) + + a n 1 x + a n x = f(t) (1.7) a k = α k t r + α k1 t r α k r 1 t + α kr Ecuaţia (1.7) conţine în membrul stâng termeni de forma x, tx, t 2 x, x, tx, t 2 x, x, tx, t 2 x,.... x (n), tx (n), t 2 x (n), (1.8)
11 ME 12. Aplicaţii ale transformării Laplace 9 Presupunem că f(t) şi funcţia necunoscută x(t), împreună cu derivatele sale până la ordinul n inclusiv, sunt originale. Aplicând transformarea Laplace ecuaţiei (1.7), va trebui să calculăm imaginile funcţiilor (1.8). Pentru aceasta folosim egalităţile (??) şi (??). Avem Lx = X(p), L(tx) = X (p), L(t 2 x) = X (p), Lx = px(p) x(+), L(tx ) = [px(p)], L(t 2 x ) = [px(p)], Lx = p 2 X(p) [px(+) + x (+)], L(tx ) = [p 2 X(p)] + x(+), (1.9) dacă se aplică transformarea Laplace în ecuaţia (1.7) şi se folosesc relaţiile (1.9) se obţine ca ecuaţie operaţională tot o ecuaţie diferenţială liniară A X (r) + A 1 X (r 1) + + A r X = Φ(p). Ordinul acestei ecuaţii este cel mult r, unde r este cel mai mare dintre gradele polinoamelor a k. Coeficienţii A, A 1,, A r în număr uneori mai mic decˆt gradul ecuaţiei iniţiale, sunt polinoame în variabila p. Exerciţiul Să se determine soluţia ecuaţiei diferenţiale tx + x + x = care satisface condiţiile iniţiale x(+) = x, x (+) = x 1. Soluţie. Avem Obţinem ecuaţia operaţională a cărei soluţie generală este L(tx ) = p 2 X (p) 2 px(p) + x, Lx = px(p) x. p 2 X (p) + (p 1)X(p) = X(p) = C 1 1 p e p, C fiind o constantă arbitrară. Observăm că, în conformitate cu Exerciţiul??, originalul său este x(t) = CJ (2 t), unde J (τ) este funcţia lui Bessel de speţa întâia şi de ordinul zero J (τ) = ( 1) k 1 ( τ (k!) 2 2 k= Constanta C se determină folosind condiţiile iniţiale. Avem ) 2k. x(t) = C ( 1) k tk (k!) 2, k= x (t) = C k= ( 1) k ktk 1 (k!) 2. Condiţiile iniţiale dau x(+) = C = x, x (+) = C = x 1. Rezultă că cele două condiţii iniţiale nu pot fi date arbitrar. Va trebui să avem x = x 1. Presupunând această condiţie îndeplinită, soluţia problemei este x(t) = x J (2 t). Faptul că cele două condiţii iniţiale nu
12 1 Ion Crăciun Paul Valeriu Georgescu pot fi independente se poate explica amintind că ecuaţia de tip Bessel de forma celei din enunţ are soluţia generală x(t) = A J (2 t) + B Y (2 t), unde Y (t) este funcţia lui Bessel de speţa a doua, cu proprietatea lim τ Y (τ) =. Pentru a fi îndeplinită ultima condiţie trebuie să luăm B =. Soluţia ecuaţiei, cu condiţii iniţiale date, se construieşte numai cu primul termen x(t) = A J (2 t) şi pentru determinarea constantei A este suficientă doar o condiţie iniţială. 1.4 Integrarea unor ecuaţii cu derivate parţiale Să considerăm ecuaţia liniară a 2 u x 2 + b u x + α 2 u t 2 + β u + γ u = ϕ(x, t), (1.1) t unde a, b, α, β, γ sunt funcţii numai de x, continu e pe un interval [, l]. Se pune problema determinării soluţiei u(x, t) a acestei ecuaţii pentru care satisface condiţiile iniţiale şi condiţiile la limită u(x, ) = f(x), (x, t) [, l] (, ), u (x, ) = g(x); ( ) x [, l] (1.11) t [ A u x + B u t ]x= + Cu [ u A 1 x + B u ] 1 t + C 1u x=l = h(t) = k(t) (1.12) unde A, B, C, A 1, B 1, C 1 sunt constante, iar h(t) şi k(t) funcţii date. Vom presupune că h(t) şi k(t) sunt funcţii original. Fie H(p) şi K(p) imaginile lor. De asemenea, presupunem că ϕ(x, t) este un original în raport cu t şi notăm Φ(x, p) = Lϕ(x, t) = ϕ(x, t)e pt dt. În ipoteza că soluţia u(x, t) a problemei, precum şi derivatele sale parţiale de primele două ordine satisfac în raport cu t condiţiile impuse funcţiilor original oricare ar fi x [, l], putem aplica transformarea Laplace ecuaţiei (1.1) şi condiţiilor (1.12). Deoarece a, b, c, α, β, γ nu depind de t, avem a L 2 u x 2 + b L u x + u αl 2 t 2 + βl u + γlu = Φ(x, p). (1.13) t De asemenea, [ AL u x + BL u t + CLu = H(p) ]x= [ A 1 L u x + B 1L u ] t + C 1Lu = K(p) x=l pentru că integrarea în raport cu t şi înlocuirile x =, x = l sunt operaţii independente. Avem Lu(x, t) = u(x, t)e pt dt = U(x, p), L u u (x, t) = x x (x, t)e pt dt = du (x, p), dx (1.14)
13 ME 12. Aplicaţii ale transformării Laplace 11 L 2 u 2 u (x, t) = x2 x 2 (x, t)e pt dt = d2 U (x, p). dx2 Am notat derivatele funcţiei U(x, p) în raport cu x cu du dx (x, p), d2 U (x, p) deoarece, în cele ce urmează, p dx2 figurează ca un parametru în raport cu care nu avem de derivat. Pe de altă parte, în conformitate cu (??) şi ţinând seama de condiţiile iniţiale (1.11), avem L u (x, t) t = p U(x, p) f(x), L 2 u t 2 (x, t) = p2 U(x, p) [p f(x) + g(x)]. Introducem în (1.13) şi (1.14). Obţinem ecuaţia operaţională a d2 U dx 2 + bdu + cu = d, (1.15) dx unde şi condiţiile la limită c = αp 2 + βp + γ, [ A du dx ]x= + (Bp + C)U [ du ] A 1 dx + (B 1p + C 1 )U d = Φ(x, p) + (αp + β)f(x) + αg(x), x=l = H(p) + Bf(+) = K(p) + B 1 f(l) (1.16) Ecuaţia operaţională (1.15) este o ecuaţie diferenţială ordinară liniară cu coeficienţi funcţii de x şi de parametrul p. De obicei, integrarea acestei ecuaţii cu condiţiile (1.16) este o problemă mai simplă decândt problema iniţială. Fie U(x, p) soluţia ecuaţiei (1.15) care verifică egalităţile (1.16). Soluţia problemei iniţiale va fi originalul acestei funcţii, u(x, t) = LU(x, p). Observaţia condiţii la limită. În cazul când ecuaţia este de tip parabolic, nu trebuiesc date două condiţii iniţiale şi două Exerciţiul Să se determine soluţia u(x, t) a ecuaţiei 2 u t 2 a2 2 u = A sin ωt, x2 unde A, a şi ω sunt constante reale, care satisface condiţiile iniţiale şi condiţiile la limită u(x, ) =, u (x, ) =, x [, l] t u(, t) =, u(l, t) =, t.
14 12 Ion Crăciun Paul Valeriu Georgescu Soluţie. În ipoteza că soluţia u(x, t) a problemei şi derivatele sale parţiale de primele două ordine satisfac în raport cu t condiţiile impuse funcţiilor original, oricare ar fi x [, l], se poate aplica transformarea Laplace ecuaţiei date şi condiţiilor la limită. Se obţine ecuaţia operaţională cu condiţiile la limită unde a 2 d2 U dx 2 p2 U(x, p) = Aω p 2 + ω 2 U(, p) =, U(l, p) =, U(x, p) = Lu(x, t) = u(x, t)e pt dt. Soluţia generală a ecuaţiei operaţionale este p U(x, p) = C 1 ea x p + C 2 e a x + Aω p 2 (p 2 + ω 2 ). Din condiţiile la limită se determină C 1 şi C 2, după care rezultă că U(x, p) = Aω p 2 (p 2 + ω 2 ) Soluţia problemei la limită şi cu condiţii iniţiale date va fi u(x, t) = AL 1 ω p 2 (p 2 + ω 2 ) p Aω p 2 (p 2 + ω 2 ) e a x p + e (x l) a p 1 + ea l. p [ AL 1 ω p 2 (p 2 + ω 2 ) e a x p + e (x l) a ] p 1 + ea l. Rămâne acum să determinăm inversele prin transformata Laplace a funcţiilor de mai sus. Aceasta se poate face folosind formula lui Mellin Fourier. 1.5 Rezolvarea unor ecuaţii integrale În cele ce urmează vom da două tipuri de ecuaţii integrale care pot fi rezolvate prin metode operaţionale. Prima ecuaţie are forma Ax(t) + B t x(τ)k(t τ)dτ = Cf(t), (1.17) în care A, B, C sunt constante, iar f(t) şi k(t τ) sunt funcţii cunoscute. Funcţia necunoscută este x(t) şi figurează şi sub semnul de integrare. De aceea egalitatea (1.17) se numeşte ecuaţie integrală. Funcţia k(t τ) se numeşte nucleul ecuaţiei integrale şi în general este o funcţie de două variabile, k(t, τ). Deci, putem spune că ecuaţia (1.17) este un caz particular al ecuaţiei Ax(t) + B t x(τ)k(t, τ)dτ = Cf(t), în care nucleul k(t, τ) este o funcţie de două variabile. Să presupunem că funcţiile f(t), k(t) şi funcţia necunoscută x(t) sunt originale. Notăm Conform egalităţii (??) din Teorema?? (Borel), avem Lf(t) = F (p), K(p) = Lk(t), X(p) = Lx(t). L t x(τ)k(t τ) dτ = X(p)K(p).
15 ME 12. Aplicaţii ale transformării Laplace 13 Deci, aplicând transformata Laplace, ecuaţia integrală (1.17) se transformă în egalitatea [A + BK(p)]X(p) = CF (p) (1.18) care se numeşte ecuaţia operaţională corespunzătoare ecuaţiei integrale (1.17). Din aceasta se deduce CF (p) X(p) = A + BK(p). Soluţia ecuaţiei integrale (1.17) este originalul acestei funcţii. Exerciţiul Să se rezolve ecuaţia integrală x(t) 2ω t x(τ) sin ω(t τ) dτ = λ cos ωt. Soluţie. Ecuaţia operaţională corespunzătoare este ) (1 2ω2 p p 2 + ω 2 X(p) = λ p 2 + ω 2. Rezultă p X(p) = λ p 2 ω 2 = λ ( 1 2 p ω + 1 ). p + ω Soluţia ecuaţiei integrale este originalul acestei funcţii, x(t) = λ cosh ωt. Pentru determinarea rezultatului s a ţinut cont de faptul că originalul fracţiilor simple de mai sus sunt respectiv funcţiile e λ t şi e λ t. Cea de a doua ecuaţie integrală căreia i se poate aplica metoda operaţională este Ax(t) + B Ecuaţia operaţională corespunzătoare este t x(τ)x(t τ) dτ = Cf(t). (1.19) BX 2 (p) + AX(p) CF (p) =. (1.2) Soluţiile acestei ecuaţii algebrice sunt imaginile soluţiilor ecuaţiei integrale. Exerciţiul Să se determine o soluţie a ecuaţiei integrale x(t) t x(τ)x(t τ) dτ = cos t. Soluţie. Aplicând teoria de mai sus, se obţine ecuaţia operaţională X 2 (p) 2X(p) 2p p =,
16 14 Ion Crăciun Paul Valeriu Georgescu care are soluţiile X(p) = 1 + p2 ± p 1 + p 2 ± p 2. Dacă din cele două soluţii alegem atunci originalul ei este X(p) = p p p 2 x(t) = J 1 (t) J (t) p 2, unde J, J 1 sunt funcţiile Bessel de speţa întâi: prima, de ordin zero; a doua, de ordin unu. Funcţia original x(t) este o soluţie a ecuaţiei integrale date. 1.6 Calculul unor integrale improprii Arătăm pe un exerciţiu cum se utilizează transformata Laplace pentru calculul unor integrale improprii. Exerciţiul Să se calculeze integralele improprii: I = sin 3 x cos x x 2 dx; I = 1 + x 2 dx; I = sin 3 x dx. x Soluţie. Pentru calculul primei integrale considerăm integrala improprie depinzând de parametrul t căreia îi aplicăm transformata Laplace. Avem LI 1 (t) = Integrala din interior este ( sin 3 tx x 2 I 1 (t) = sin 3 tx x 2 dx, ) dx e pt 1 dt = x 2 dx Lsin 3 tx = 3 4 Lsin tx 1 4 Lsin 3tx = 3 4 x p 2 + x (sin 3 tx)e pt dt. 3x p 2 + 9x 2. Înlocuind această valoare a integralei din interior şi efectuând schimbarea de variabilă x 2 = u, găsim LI 1 (t) = 3 1 (p 2 + u)(p 2 + 9u) du. Valoarea acestei integrale se determină imediat şi se găseşte ( 3 ) 1 LI 1 (t) = 4 ln 3 p 2 = I 1 (t) = 3t 4 ln 3 de unde, luând t = 1, se deduce I = 3 ln 3. 4 Pentru calculul celei de a doua integrale se procedează analog considerând funcţia I 1 (t) = căreia îi aplicăm transformarea Laplace. Avem ( cos tx ) LI 1 (t) = 1 + x 2 dx e pt dt = x 2 dx (cos tx)e pt dt. cos tx 1 + x 2 dx
17 ME 12. Aplicaţii ale transformării Laplace 15 p Integrala din interior este transformata Laplace a funcţiei cos tx care se ştie că este Lcos tx = p 2 + x 2 astfel 1 că putem scrie LI 1 (t) = 1 + x 2 p p 2 dx. Valoarea acestei integrale se poate determina fie folosind + x2 descompunerea în fracţii simple, fie utilizând teorema reziduurilor. Se găseşte LI 1 (t) = π 2(p + 1) Pentru a treia integrală, pornind de la integrala I 1 (t) = π 6p şi de aici la valoarea I = π a integralei date. 6 = I 1 (t) = π 2 e t = I = π 2e. sin tx 3 dx, se ajunge la LI 1 (t) = x x 2 p 2 + x 6 dx =
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραIon CRĂCIUN. Departamentul de Matematică şi Informatică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi
Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică şi Informatică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ME. TRANSFORMAREA LAPLACE ME 2. APLICAŢII ALE TRANSFORMĂRII LAPLACE IAŞI 22 Cuprins ME. Transformarea
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II
CURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II. Utiizarea transformării Lapace Să considerăm probema hiperboică de forma a x + b x + c + d = f(t, x), (t, x) [, + )
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότερα1Ecuaţii diferenţiale
1Ecuaţii diferenţiale 1.1 Introducere Definitia 1.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinarădeordin1: y 0 (x) =f (x, y (x)) (EDO) unde y este funcţia necunoscută, iar f este o funcţie de două variabile
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii diferenţiale
Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x
Διαβάστε περισσότεραFie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).
Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. 1. Probleme. ω2 s s 2, Re s > 0; (4) sin ωt σ(t) ω. (s λ) 2, Re s > Re λ. (6)
SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. Probleme. Foloind proprieaea de liniariae, ă e demonreze urmăoarele: in σ(, Re > ; ( + penru orice C. co σ( h σ( ch σ(, Re > ; ( +, Re > ; (3, Re > ; (4. Să e arae că penru
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραIon CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM
Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραTEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective:
TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE Obiective: Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραEcuaţii şi sisteme diferenţiale. Teodor Stihi
Ecuaţii şi sisteme diferenţiale Teodor Stihi December 6, 204 2 Cuprins Noţiuni introductive 5 2 Ecuaţii diferenţiale liniare (EDL) 7 2. EDL cu coeficienţi constanţi................... 7 2.. Cazul omogen.......................
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραEcuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare
Capitolul 1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ)
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραUniversitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică Informatică Catedra de Informatică ERNEST SCHEIBER
Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică Informatică Catedra de Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov Cuprins I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9 1 Diferenţe finite 11 11
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραSiruri de numere reale
Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραAPLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE
1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile
Διαβάστε περισσότεραIV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραJ F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis
3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότεραFENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar
Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric
Διαβάστε περισσότερα2.1 Ecuaţii liniare cu derivate parţiale de ordinul întâi... 25
Cuprins 0.1 Prefaţă.................................................. vi 1 Sisteme de ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul întâi 1 1.1 Sisteme de ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul întâi neliniare
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότερα1Reziduuri şi aplicaţii
Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότερα