AΚΟΥΣΤΙΚΗ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Transcript

1 AΚΟΥΣΤΙΚΗ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με τον όρο ακουστική, ονοµάζουµε τη φυσική του ήχου, δηλαδή των µηχανικών κυµάτων που γίνονται αντιληπτά και αναγνωρίζονται από το αισθητήριο της ακοής. Είναι λοιπόν φανερό ότι αν και η βασική θεωρία της ακουστικής είναι κλάδος της Φυσικής, που διαπραγµατεύεται κυρίως θέµατα που αφορούν την παραγωγή και διάδοση των ηχητικών κυµάτων στα διάφορα υλικά µέσα, το ενδιαφέρον που παρουσιάζει για πολλές άλλες επιστήµες αλλά και τέχνες, που άµεσα ή έµµεσα έχουν σχέση µε την ακοή, είναι εξαιρετικά µεγάλο. Η µελέτη της ακοής αποτέλεσε ένα από τα πρώτα θέµατα που απασχόλησαν τη Βιοφυσική. Η Βιοφυσική, µαζί µε τη Φυσιολογία, µελετούν κυρίως τα χαρακτηριστικά και τον τρόπο λειτουργίας του συστήµατος της ακοής, µε έµφαση στην ανάλυση, κωδικοποίηση και µετατροπή των ηχητικών σηµάτων σε ηλεκτρικά ώστε να γίνουν αντιληπτά. Οι εφαρµογές των ήχων στην ιατρική ποικίλλουν ενώ τελευταία πολλές βρίσκουν οι υπέρηχοι. Στο κεφάλαιο αυτό, αφού κάνουµε µία ανασκόπηση ορισµένων στοιχείων της Κυµατικής, θα αναφερθούµε πρώτα στα χαρακτηριστικά των ηχητικών κυµάτων και την διαδοσή τους στα διάφορα υλικά µέσα και στη συνέχεια, αφού περιγράψουµε τον τρόπο λειτουργίας του ανθρώπινου αυτιού από φυσική άποψη θα αναφερθούµε στις τεχνικές µετατροπές της ακουστικής.. ΟΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Λέγοντας δόνηση εννοούµε µία γρήγορη περιοδική κίνηση µπρος-πίσω, που συµβαίνει σε κάποιο σηµείο ενός ελαστικού στερεού µέσου (ή ρευστού που επηρεάζεται από ένα τέτοιο στερεό). εν εξετάζουµε δηλαδή, αν υπάρχει ή όχι διάδοση αυτής της κίνησης (διαταραχής) στο χώρο. Στην περίπτωση που η δόνηση διαδίδεται στο χώρο τότε έχουµε να κάνουµε µε διαδιδόµενο κύµα. Με τον όρο κύµα, ονοµάζουµε επίσης τη γραφική παράσταση µιας εναλλασσόµενης ποσότητας συναρτήσει του χρόνου. Με τον όρο µηχανικό κύµα, εννοούµε µία µηχανική διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο κάτω από την επίδραση µιας αρχικής διαταραχής (από τη θέση ισορροπίας) που αρχίζει σε κάποιο σηµείο ενός µέσου. Η διάδοση αυτή καθορίζεται από τις φυσικές ιδιότητες του υλικού µέσου όπως η ελαστικότητα, η πυκνότητα κ.α. Συνεπώς, η διάδοση των µηχανικών κυµάτων προυποθέτει την ύπαρξη υλικού µέσου διάδοσης. Η διάδοση αυτή του κύµατος στο µέσο παύει µε το τέλος της διαταραχής και δεν προκαλεί κάποια µόνιµη παραµόρφωση, δηλ. µετά το τέλος της διαταραχής όλα τα σηµεία του µέσου επανέρχονται στις θέσεις ισορροπίας τους. 1

2 Ανάλογα µε τη διεύθυνση της διαταραχής, σε σχέση µε τη διεύθυνση διάδοσης, τα κύµατα διακρίνονται σε εγκάρσια και διαµήκη (Σχήµα 1). Στα εγκάρσια κύµατα η διαταραχή του µέσου διάδοσης γίνεται σε διεύθυνση κάθετη προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Αντίθετα, στα διαµήκη κύµατα, η διαταραχή γίνεται κατά µήκος του άξονα της διεύθυνσης διάδοσης. Τα ηχητικά κύµατα είναι διαµήκη µηχανικά κύµατα. Σχήµα 1: Σχηµατική παράσταση διαµήκους και εγκάρσιου κύµατος Γενικά, το αν µία µηχανική διαταραχή δηµιουργεί εγκάρσια ή διαµήκη κύµατα, εξαρτάται από τις ελαστικές ιδιότητες του υλικού µέσου. Αν το υλικό τείνει να επαναφέρει στη θέση ισορροπίας ένα µέρος του που έχει υποστεί εγκάρσια αποµάκρυνση, τότε η διάδοση εγκάρσιων κυµάτων είναι δυνατή. Ανάλογα, αν τείνει να αποκαταστήσει µία διαµήκη διαταραχή, τότε είναι δυνατή η διάδοση διαµήκων µηχανικών κυµάτων. Στα αέρια, εγκάρσιες διαταραχές δεν προκαλούν την εµφάνιση δυνάµεων επαναφοράς για τα µόρια που µετακινήθηκαν, µε αποτέλεσµα η διάδοση εγκάρσιων κυµάτων να µην είναι δυνατή σ αυτά. 3. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ 3.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση Μία κίνηση χαρακτηρίζεται σαν περιοδική αν αναπαράγεται απαράλλακτα σε ίσα διαδοχικά χρονικά διαστήµατα. Στο χρονικό αυτό διάστηµα που ονοµάζουµε περίοδο και συµβολίζουµε µε Τ, λέµε ότι η κίνηση εκτελεί ένα κύκλο. Συχνότητα, ονοµάζουµε τον αριθµό των κύκλων που πραγµατοποιούνται στη µονάδα του χρόνου και συνήθως συµβολίζουµε µε f ή v. Μονάδα µετρήσης της συχνότητας είναι το Hertz (Hz) ή κύκλοι ανά δευτερόλεπτο (s -1 ). Από τους ορισµούς αυτούς είναι φανερό ότι η συχνότητα και η περίοδος συνδέονται µε τη σχέση: f = 1 / T (1) Μια ειδική περίπτωση περιοδική κίνησης µε ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι η απλή αρµονική ταλάντωση. Ονοµάζουµε απλή αρµονική ταλάντωση (ΑΑΤ) την ευθύγραµµη κίνηση ενός σώµατος που υφίσταται µία επιτάγχυνση γ που σε κάθε χρονικη στιγµή, είναι

3 ανάλογη προς την αποµάκρυνση του σώµατος από ένα σταθερό σηµείο πάνω στην ευθεία της κίνησης (σηµείο ισορροπίας) και έχει φορά προς αυτό. Εάν ένα σηµείο Α κινείται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, στην περιφέρεια ενός κύκλου (κύκλος αναφοράς), τότε η κίνηση της προβολής Π του σηµείου Α σε µία διάµετρο του κύκλου (ή οποιαδήποτε ευθεία του επιπέδου του) εκτελεί αρµονική ταλάντωση. Σχήµα: Κύκλος αναφοράς και γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης της προβολής του σηµείου Α στον άξονα των x, στην περίπτωση απλής ορµονικής ταλάντωσης. Όπως φαίνεται στο σχήµα, η αποµάκρυνση X του σηµείου Π από το κέντρο Ο, θα είναι: X = OΠ = ΟΑσυνφ Η µέγιστη αποµάκρυνση ή πλάτος Α της ταλάντωσης αντιστοιχεί στην ακτίνα του κύκλου αναφοράς ΟΑ και η κυκλική συχνότητα ω, αντιστοιχεί στην γωνιακή ταχύτητα της κυκλικής κίνησης. Αφού το σηµείο Α εκτελεί ένα πλήρη κύκλο σε χρόνο µιας περιόδου Τ, θα έχουµε: ω = π / Τ = πf () δηλ. η γωνιακή συχνότητα µιας περιοδικής κίνησης εκφράζεται από το γινόµενο της συχνότητας επί τον συντελεστή π. Με τον όρο φάση µιας περιοδικής κίνησης, εννοούµε το κλάσµα της περιόδου που έχει περάσει από κάποια χρονική στιγµή (ή θέση) αναφοράς εκφρασµένο σε rad. Στην περίπτωση της οµαλής κυκλικής κίνησης που εξετάζουµε, παίρνοντας σαν θέση αναφοράς το σηµείο Σ στον άξονα των X, η φάση της κίνησης αντιστοιχεί στη γωνία που σχηµατίζει το άνυσµα ΟΑ µε αυτόν τον άξονα. Εάν στη χρονική στιγµή t=0, η γωνία αυτή είναι ίση µε - φ 0 (αρχική φάση ή σταθερά φάσης), τότε η φάση φ για τη χρονική στιγµή t θα είναι: φ = ωt - φ 0 Με βάση τα παραπάνω, η εξίσωση της αποµάκρυνσης x παίρνει τη µορφή: x =Ασυν(ωt - φ 0 ) (3) H αποµάκρυνση x στην απλή αρµονική ταλάντωση, µπορεί να εκφρασθεί ισοδύναµα από µια ηµιτονοειδή ή συνηµιτοειδή συνάρτηση χρόνου. Εδώ θα πρέπει να 3

4 παρατηρήσουµε ότι η οµαλή κυκλική κίνηση δεν είναι παρά ένα βοήθηµα για τη γραφική αναπαράσταση και µελέτη της απλής αρµονικής ταλάντωσης. Tο πλάτος της ταλάντωσης Α είναι µέγιστη αποµάκρυνση της απλής αρµονικής ταλάντωσης και όχι η ακτίνα του κύκλου αναφοράς. Ας εξετάσουµε τώρα την ΑΑΤ στη βάση του ορισµού που δώσαµε προηγούµενα. Για οποιαδήποτε αποµάκρυνση x από το σηµείο ισορροπίας θα ισχύει η σχέση: γ = κx (4) όπου κ είναι σταθερά και ίση µε κ = -ω και αντικαθιστώντας στην σχέση 4 θα έχουµε: γ = -ω x ή (d x /dt ) = -ω x Η απλή αρµονική ταλάντωση περιγράφεται λοιπόν από τη διαφορική εξίσωση: d x dt +ω x = 0 (5) µε γενική λύση: x(t) = A 1 ηµωt + A συνωt όπου Α 1, Α αυθαίρετες σταθερές. H λύση αυτή παίρνει τη µορφή: x(t) = Ασυν(ωt - φ) (6) όπου 1 + Α Α = Α και εφφ = Α 1 /Α Συνεπώς, αναλύοντας την κίνηση µιας ΑΑΤ µε βάση τον ορισµό της, καταλήξαµε στην ίδια εξίσωση µε αυτή που βρήκαµε προηγούµενα, χρησιµοποιώντας την ανάλυση µε τη βοήθεια του κύκλου αναφοράς της οµαλής κυκλικής κίνησης. ιαφορίζοντας την παραπάνω εξίσωση (6) ως προς το t, έχουµε την εξίσωση της ταχύτητας της ΑΑΤ συναρτήσει του χρόνου. dx ν( t ) = = ωαηµ ( ωt φ) (7) dt Τέλος, διαφορίζοντας την (7), παίρνουµε την εξίσωση της επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου: γ ( t) = dν dt = ω Ασυν ( ωt ϕ) (8) Το ίδιο αποτέλεσµα βρίσκουµε και αντικαθιστώντας την σχέση (6) και (5). 3. ιαδιδόµενο Αρµονικό Κύµα 4

5 Αν σε κάποιο σηµείο ελαστικού µέσου δηµιουργήσουµε µία ταλάντωση, αυτή θα διαδοθεί από το ένα σηµείο του υλικού µέσου στο άλλο. Στην περίπτωση αυτή πρόκειται για ένα διαδιδόµενο κύµα που ξεκινάει από το αρχικό σηµείο διαταραχής και θέτει σε ταλάντωση κάθε στοιχείο του υλικού µέσου που βρίσκεται στη διεύθυνση διάδοσής του. Η διάδοση του κύµατος σε ένα οµογενές µέσο, είναι οµοιόµορφη, δηλ. γίνεται µε σταθερή ταχύτητα c. Η απόσταση που διανύει το κύµα στη διάρκεια µιας περιόδου της ταλάντωσης ονοµάζεται µήκος κύµατος λ. Ετσι, έχουµε: λ = ct Είναι ίσως χρήσιµο να επιµείνουµε εδώ στη διάκριση µεταξύ της ταλαντωτικής κίνησης κάθε σηµείου που βρίσκεται υπό την επίδραση του κύµατος και της διάδοσης του ίδιου του κύµατος µέσα στο υλικό µέσο. Η πρώτη αναφέρεται στην κίνηση της στοιχειώδους µάζας του υλικού γύρω από µία θέση ισορροπίας µε µια δοσµένη συχνότητα. Η δεύτερη κίνηση αναφέρεται στη διάδοση της διαταραχής, δηλαδή δεν εµπεριέχει µεταφορά ύλης (µεταφέρει όµως ενέργεια). Η εξίσωση που περιγράφει το απλό αρµονικό κύµα όταν αυτό διαδίδεται κατά µία µόνο διεύθυνση, είναι µία εξίσωση δύο µεταβλητών: του χρόνου και της απόστασης από την πηγή των ταλαντώσεων. Ας συµβολίσουµε γενικότερα µε u την αποµάκρυνση του τυχαίου ταλαντούµενυ σηµείου από την θέση ισορροπίας του και χ την απόσταση του από την πηγή των ταλαντώσεων πάνω στη διεύθυνση της διάδοσης του κύµατος. Η εξίσωση της απλής αρµονικής ταλάντωσης που περιγράφει την κίνηση του σηµείου στην πηγή της ταλάντωσης είναι όπως είδαµε η u = Ασυν(ωt - φ) Επιλέγοντας κατάλληλα την αρχή των χρόνων t=0, ώστε η σταθερά φάσης να είναι µηδέν, έχουµε: u = Ασυνωt Ένα τυχαίο σηµείο που απέχει απόσταση x από την πηγή κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος, υφίσταται την ίδια ταλάντωση µε µία καθυστέρηση ίση µε τη χρονική διάρκεια που χρειάζεται το κύµα να διανύσει την απόσταση αυτή. Η χρονική αυτή καθυστέρηση θα είναι εποµένως ίση µε x/c. Η εξίσωση της ταλάντωσης αυτού του σηµείου θα είναι πλέον: u = Ασυνω(t-x/c) (9) x u = Ασυν π t Τ c t x u= Ασυν π (10) Τ λ 5

6 Αυτή είναι η εξίσωση του κύµατος. Είναι φανερό ότι χρειάζεται ένα διάγραµµα 3 διαστάσεων προκειµένου να αναπαραστήσουµε γραφικά την αποµάκρυνση u συναρτήσει του x και του t. Αντί αυτού, µπορούµε να πάρουµε δυσδιάστατες παραστάσεις της αποµάκρυνσης του σηµείου που βρίσκεται στη δοσµένη απόσταση x συναρτήσει του χρόνου, ή της αποµάκρυνσης όλων των σηµείων σε δοσµένη χρονική στιγµή. 3 ΗΧΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ένα ταλαντούµενο σώµα, κινούµενο περιοδικά µπρος-πίσω µέσα στον αέρα, δηµιουργεί πυκνώµατα και αραιώµατα που διαδίδονται. Το αποτέλεσµα είναι ένα µηχανικό κύµα που γίνεται αισθητό από το αισθητήριο της ακοής, υπό την προϋπόθεση ότι η συχνότητα των ταλαντώσεών του βρίσκεται µέσα σε µια ορισµένη περιοχή και ένταση πάνω από ένα όριο, όπως θα δούµε στη συνέχεια. Το ανθρώπινο αυτί αντιλαµβάνεται ( ακούει ) ηχητικά κύµατα που έχουν συχνότητα από 0 έως Hz. Τα ηχητικά κύµατα (µηχανικής φύσεως) είναι διαµήκη, δηλ. η διεύθυνση ταλάντωσης των σωµατίων συµπίπτει µε τη διεύθυνση διάδοσης του σήµατος. Όταν έχουµε να κάνουµε µε συχνότητες πάνω από 0kHz, µιλάµε για υπέρηχους, ενώ τα κύµατα µε συχνότητα κάτω των 0Hz τα ονοµάζουµε υπόηχους. Οι ήχοι διακρίνονται σε τόνους, φθόγγους, θορύβους και κρότους. Στον τόνο ή απλό ήχο, (σχήµα α) η χρονική µεταβολή της πίεσης του αέρα σε µία θέση είναι αρµονική συνάρτηση του χρόνου. Πηγές απλών ήχων είναι οι σειρήνες και τα διαπασών. Σχήµα: Είδη ήχων και αντίστοιχα φάσµατα συχνοτήτων. Στο φθόγγο ή σύνθετο ήχο (σχήµα β), η χρονική µεταβολή της πίεσης είναι περιοδική αλλά όχι ηµιτονοειδής. Ενας φθόγγος αναλύεται κατά Fourier σε δύο ή περισσότερους απλούς ήχους και οι συχνότητες τους είναι ακέραια πολλαπλάσια µιας θεµελιώδους συχνότητας ( αρµονικές ). Πηγές φθόγγων είναι οι φωνητικές χορδές, τα µουσικά όργανα κ.λ.π. Ο θόρυβος (σχήµα γ) δεν παρουσιάζει καµιά περιοδικότητα ενώ ο κρότος (π.χ. µιας έκρηξης) προέρχεται από µία απότοµη, ισχυρή µεταβολή της πίεσης του αέρα. 6

7 4 ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΤΟΥ ΗΧΟΥ Τα ηχητικά κύµατα διαδίδονται µε µια ορισµένη ταχύτητα που ονοµάζουµε ταχύτητα του ήχου και εξαρτάται από τη φύση του υλικού µέσου στο οποίο διαδίδονται. Τα ηχητικά κύµατα, σαν διαµήκη µηχανικά κύµατα που είναι, προκαλούν, όπως αναφέραµε, διαδοχικά πυκνώµατα και αραιώµατα στο υλικό µέσο στο οποίο διαδίδονται. Η µεταβίβαση της στιγµιαίας αυτής διαταραχής της πυκνότητας του υλικού µέσου από ένα σηµείο του µέσου γειτονικό του, εξαρτάται από την ελαστικότητά του και την πυκνότητα του µέσου. Γενικά, η ταχύτητα του ήχου στα διάφορα υλικά µέσα είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του µέτρου ελαστικότητας του µέσου (Β) [που δίνεται από το λόγο της δύναµης ανά µονάδα επιφανείας (F/s) προς την σχετική µεταβολή του όγκου dv/v] και αντιστρόφως ανάλογο της τετραγωνικής ρίζας της πυκνότητας (ρ). Στα στερεά, µε διαστάσεις εγκάρσιας διατοµής µικρές σε σχέση µε το µήκος κύµατος του ήχου, το µέτρο του Young, Ε, και η ταχύτητα διάδοσης του ήχου δίνεται από τη σχέση: c= E / ρ (1) Στα ρευστά γενικά, η ταχύτητα του ήχου δίνεται από τη σχέση c= B / ρ (13) Για τα αέρια, η ταχύτητα διάδοσης του ήχου δίνεται από τη σχέση: c = γ P / ρ (14) ή ( γ RT M) c / = (15) όπου Μ η µοριακή µάζα. Αυτό δείχνει ότι η ταχύτητα του ήχου στα αέρια είναι αντίστροφα ανάλογη της ( ) φορές µοριακής µάζας. Στο υδρογόνο, για παράδειγµα, ο ήχος διαδίδεται 4 3 / πιο γρήγορα από ότι στο οξυγόνο. Στον αέρα, θεωρώντας ότι αποτελείται κατά 80% από Ν και 0% από Ο η µέση µοριακή µάζα θα είναι 8.8 g. Τα µόρια είναι διατοµικά και έχουµε γ=1.4. Ετσι, για Τ=73Κ (0 ο C) η ταχύτητα του ήχου βρίσκεται ίση µε: c = 1.4*8.31* *10 3 = 33m/ s Πειραµατικές µετρήσεις δίνουν την τιµή του c ίση µε 331,45m/s. Στις συνθήκες αυτές, τα µήκη κύµατος που αντιστοιχούν στις ακραίες τιµές της συχνότητας της φυσιολογικής ανθρώπινης ακοής είναι: 7

8 και λ λ c f 33 m / s = 0 Hz = = max min c f 33 m / s = 0000 Hz = = min max 16.6m 16.6mm Στο νερό, όπου ο ήχος διαδίδεται µε ταχύτητα 1500m/s περίπου, τα αντίστοιχα ακραία µήκη κύµατος θα είναι λ max = 1500/0 = 75m και λ min = 1500/ = 75mm αντίστοιχα. 5 ΜΕΤΩΠΟ ΚΥΜΑΤΟΣ - ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΚΥΜΑΤΑ Αν µια πηγή ταλαντώσεων βρίσκεται σε ένα ελαστικό µέσο, τα παραγόµενα κύµατα θα διαδοθούν προς διάφορες διευθύνσεις. Μέτωπο του κύµατος ονοµάζουµε το σύνολο των σηµείων στα οποία φθάνει το κύµα την ίδια χρονική στιγµή. Εποµένως, όλα τα σηµεία του µετώπου κύµατος θα έχουν την ίδια φάση. Στην περίπτωση ενός οµογενούς και ισότροπου ελαστικού µέσου τριών διαστάσεων, τα κύµατα θα διαδοθούν µε την ίδια ταχύτητα προς όλες τις διευθύνσεις. Εποµένως, στην περίπτωση αυτή, τα µέτωπα κύµατος θα είναι σφαίρες µε κέντρο την πηγή ταλάντωσης. Τα κύµατα αυτά τα ονοµάζουµε σφαιρικά κύµατα. (Αντίστοιχα, αν το µέσο είναι διαστάσεων, τα µέτωπα κύµατος θα είναι κύκλοι). Αν αντί σφαιρικής επιφάνειας, έχουµε µια επίπεδη παλλόµενη επιφάνεια, κάθετη προς τον άξονα των x, συστήµατος συντεταγµένων XYZ, και δεχθούµε ότι δεν έχουµε µεταβολή της πίεσης κατά τις διευθύνσεις Y και Z, µπορούµε να µιλήσουµε για επίπεδα ηχητικά κύµατα που διαδίδονται κατά τη διεύθυνση του άξονα X. Στην πραγµατικότητα, όταν µια µικρή επιφάνεια εκτελεί ταλαντώσεις σε ένα εκτεταµένο ελαστικό µέσο, τα ηχητικά κύµατα που παράγονται δεν είναι επίπεδα αλλά έχουν µορφή κυρτών επιφανειών. Θεωρώντας µια κολώνα αέρα κλεισµένη µέσα σε ένα λείο σωλήνα µεγάλου µήκους και σταθερής διατοµής, το ένα άκρο του οποίου είναι κλειστό από επίπεδη επιφάνεια η οποία πάλλεται, µπορούµε να έχουµε µία καλή προσέγγιση της κίνησης του διαµήκους επίπεδου ηχητικού κύµατος. Σαν επίπεδο κύµα µπορούµε οριακά να θεωρήσουµε ότι συµπεριφέρεται ένα µικρό τµήµα σφαιρικού κύµατος σε σχετικά µεγάλη απόσταση από την πηγή των δονήσεων. 6 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΗΧΗΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Τα ηχητικά κύµατα, όπως ήδη αναφέρθηκε, προκαλούν περιοδικές σωµατιακές µετατοπίσεις µε αντίστοιχες µεταβολές της πίεσης και της πυκνότητας του µέσου διάδοσης. Η λύση της εξίσωσης (10) για ένα κύµα διαδιδόµενο κατά τη θετική διεύθυνση X, έχει τη µορφή: 8

9 u(x,t) = f(x-ct) Για ένα απλό αρµονικό κύµα, η συνάρτηση u(x,t) γράφεται: u(x,t) = Ασυνω(t-x/c) ή u(x,t) = Ασυν(ωt-kx) όπου k=ω/c (17) Η εξίσωση αυτή µας δίνει τη σωµατιακή µετατόπιση, δηλαδή τη µετατόπιση µιας στοιχειώδους µάζας ρευστού µέσου, από τη θέση ισορροπίας της. Η µεταβολή της πυκνότητας που προκαλεί το ηχητικό κύµα εκφράζεται από τη συµπύκνωση S του µέσου που ορίζεται σαν ο λόγος της µεταβολής της πυκνότητας ρ προς την πυκνότητα ισορροπίας ρ του υλικού σε κάποιο σηµείο, δηλ.: και είναι ίση µε: S= ρ ρ = ρ' ρ ρ S= ϑ u ϑ x = kαηµ ω t k x ( ) (18) Οι µεταβολές της πίεσης εκφράζονται από την ακουστική πίεση που είναι η εναλλασσόµενη συνιστώσα της πίεσης σε ένα σηµείο του ηχητικού πεδίου (δηλ. την συνολική πίεση µείον την στατική πίεση που θα υπήρχε σε περίπτωση απουσίας του ήχου). Η ακουστική πίεση για απλό αρµονικό κύµα δίνεται από τη σχέση: p = ρ c S και για k=ω/c p = ρ c ϑ u ϑ x = ρ c kαηµ ω t kx ( ) ( t kx) p= ρ cωαηµ ω (19) Η ταχύτητα τώρα που έχει ο στοιχειώδης αυτός όγκος κάθε χρονική στιγµή, ονοµάζεται σωµατιακή ταχύτητα ταλάντωσης, και δίνεται από τη σχέση: v = ϑ u = ωαηµ ( ω t kx) (0) ϑ t Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου δεν πρέπει να συγχέεται µε τη σωµατιακή ταχύτητα ταλάντωσης που αναφέρεται σε πραγµατικές ταχύτητες κίνησης µάζας, δηλ. των µορίων του υλικού µέσου, ενώ η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος αναφέρεται στη µετάδοση της διαταραχής. Ονοµάζουµε χαρακτηριστική ακουστική εµπέδηση Ζ, το λόγο της ακουστικής πίεσης του ήχου δια της σωµατιακής ταχύτητας ταλάντωσης. 9

10 Ζ = p / v (kgm - s -1 ή rayls) (1) Στην περίπτωση απλού αρµονικού κύµατος έχουµε: και p = -ρcωαηµ(ωt-kx) v = -ωαηµ(ωt-kx) δηλαδή Ζ = p/v = ρc () Εποµένως, για ένα επίπεδο κύµα απλού αρµονικού ήχου, η χαρακτηριστική ακουστική εµπέδηση του µέσου διάδοσης, θα είναι ίση προς το γινόµενο της πυκνότητας επί την ταχύτητα διάδοσης και εκφράζεται σε rayls. Σε κανονικές συνθήκες ατµοσφαιρικής πίεσης και σε θερµοκρασία 0 ο C η πυκνότητα του αέρα είναι 1,1kg/m 3, η ταχύτητα του ήχου είναι 343m/s και εποµένως, η χαρακτηριστική εµπέδηση του αέρα θα είναι ίση µε 415 rayls. Αφού η πυκνότητα ρ είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την απόλυτη θερµοκρασία Τ και η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος c είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας της Τ, η χαρακτηριστική ακουστική εµπέδηση θα είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την τετραγωνική ρίζα της απόλυτης θερµοκρασίας Τ. Εποµένως, µε αύξηση της θερµοκρασίας του υλικού µέσου, η τιµή της χαρακτηριστικής ακουστικής εµπέδησης ελαττώνεται. Υπενθυµίζουµε εδώ ότι µε τον όρο εµπέδηση ονοµάζουµε γενικά το λόγο µιας ηµιτονοειδώς µεταβαλλόµενης ποσότητας (δύναµη, ηλεκτρική τάση, πίεση) προς µια δεύτερη ποσότητα και εκφράζει την απόκριση του συστήµατος στην πρώτη ποσότητα. Είναι λοιπόν εµφανής η αναλογία της ηλεκτρικής ή µηχανική εµπέδησης προς την ακουστική εµπέδηση. 7. ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΝΤΑΣΗ ΤΟΥ ΗΧΟΥ Είναι φανερό ότι κάθε µηχανικό κύµα µεταφέρει µηχανική ενέργεια. Με τον όρο ακουστική ενέργεια ονοµάζουµε την ενέργεια που µεταφέρεται από το ηχητικό κύµα. Αντίστοιχα, ακουστική ισχύς είναι η µεταφερόµενη ακουστική ενέργεια στη µονάδα του χρόνου. Εξ άλλου, η µεταφερόµενη ακουστική ενέργεια κατανέµεται µέσα στο χώρο διάδοσης του ηχητικού κύµατος και ονοµάζουµε πυκνότητα ενέργειας την ακουστική ενέργεια ανά µονάδα όγκου. Τέλος, ένταση ενός ήχου σε µια καθορισµένη διεύθυνση είναι ο µέσος ρυθµός ροής της ακουστικής ενέργειας ανά µονάδα επιφάνειας κάθετης σ αυτή την διεύθυνση. Στη συνέχεια, θα αναφερθούµε στην περίπτωση του απλού αρµονικού επίπεδου ηχητικού κύµατος. Λόγω των περιοδικών µεταβολών της πυκνότητας που προκαλούν τα ηχητικά κύµατα, η µάζα του υλικού µέσου διάδοσης που περιέχεται στον στοιχειώδη όγκο ν, δεν είναι σταθερή σε κάθε χρονική στιγµή και, εποµένως, η πυκνότητα ενέργειας Ε που είναι το άθροισµα της δυναµικής ( Ε) και της κινητικής ενέργειας (ΚΕ) σε κάθε χρονική στιγµή στη µονάδα του όγκου, δεν είναι σταθερή ποσότητα. Παρόλα αυτά, η 10

11 µέση τιµή της πυκνότητας, για χρόνο µιας περιόδου, είναι σταθερή και εποµένως η µέση τιµή της πυκνότητας ενέργειας (Ε µ ) θα είναι το ίδιο. Για ένα επίπεδο αρµονικό ηχητικό κύµα µε πλάτος ταλάντωσης Α, και συχνότητα f που διαδίδεται σε υλικό µε πυκνότητα ρ, η µέση τιµή της πυκνότητας ενέργειας Ε µ θα είναι: Ε µ = ρω Α εν (3) Αφού έχουµε ροή ενέργειας, µπορούµε να πούµε ότι, στη µονάδα του χρόνου, θα περάσει, από τη µοναδιαία επιφάνεια κάθετη προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος, ενέργεια ίση µε την ενέργεια που περιέχεται σε όγκο που αριθµητική τιµή ίση µε την αριθµητική τιµής της ταχύτητας διάδοσης του κύµατος, δηλ. Ι = Ε µ C= = ρcω Α εν (4) Αντικαθιστώντας την () στην (4) έχουµε την ένταση I του ήχου συναρτήσει της εµπέδησης του µέσου διάδοσης, δηλ. Ι = Ζω Α εν (5) Η ένταση Ι εκφράζεται επίσης συναρτήσει της πίεσης του ήχου αντικαθιστώντας το ενεργό πλάτος Α εν από τη σχέση: ή και έχουµε: P εν = -ρcωα εν Α εν I = P εν Ζ Pεν Pεν = = ωpc ωζ (6) (7) Η σχέση (5) δείχνει ότι, για ίδιας έντασης ήχους, το πλάτος της ταλάντωσης είναι αντιστρόφως ανάλογο ενώ η πίεση του ήχου είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας της εµπέδησης του υλικού µέσου διάδοσης: π.χ. για ήχο έντασης Ι = ΙW/m και συχνότητας f=1000hz, το ενεργό πλάτος Α εν στον αέρα (z = 430 Rayls) θα είναι: Α= ( I / Ζ* ω ) = I / Ζ( πf ) [ ] = *10 m= 3 [ ] = I / 430* ( 6.8*10 ) = 7.7µm Ενώ το ενεργό πλάτος στο νερό (z = 1,5*10 6 Rayls) βρίσκεται Α εν = 0,13µm, δηλαδή περίπου 60 φορές µικρότερο απ ότι στον αέρα. Η ένταση του ήχου είναι, όπως είδαµε, η µεταφερόµενη από το κύµα ισχύς ανά µονάδα επιφάνειας κάθετης στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Η ακουστική ισχύς είναι ίση µε την εκπεµπόµενη ενέργεια από την πηγή του ήχου ανά µονάδα χρόνου και διατηρείται σταθερή κατά τη διάδοση του κύµατος αν θεωρήσουµε ότι η 11

12 εξασθένηση είναι αµελητέα. Εποµένως, η ένταση θα είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την επιφάνεια του µετώπου του κύµατος. Αν έχουµε σφαιρικά κύµατα, η επιφάνεια του µετώπου κύµατος θα είναι ανάλογη προς το τετράγωνο της απόστασης r που έχει διανύσει το κύµα από την πηγή των δονήσεων (4πr ). Εποµένως, η ένταση του ήχου για σφαιρικά ηχητικά κύµατα είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης του θεωρούµενου σηµείου από την πηγή του ήχου. Στην περίπτωση των επίπεδων ηχητικών κυµάτων, η επιφάνεια του µετώπου κύµατος θεωρείται σταθερή και εποµένως η ένταση του ήχου θα είναι σταθερή και ανεξάρτητη της απόστασης. 8. ΑΚΟΥΣΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Επειδή οι ήχοι του περιβάλλοντος καλύπτουν µια πολύ ευρεία περιοχή ακουστικών εντάσεων και πιέσεων, για να εκφράσουµε ποσοτικά τις τιµές αυτές, χρησιµοποιούµε λογαριθµική κλίµακα ή κλίµακα Bel. Με άλλα λόγια, κάνουµε λογαριθµική ποσοτική σύγκριση της µετρητέας µε ένα αντίστοιχο µέτρο αναφοράς. Το Bel είναι αδιάστατη µονάδα που εκφράζει το λόγο δύο ποσοτήτων. Στην περίπτωση της έντασης του ήχου, ο αριθµός των Bel είναι ο δεκαδικός λογάριθµος του λόγου των ακουστικών εντάσεων. Συνήθως, στην πράξη, χρησιµοποιούµε αντί του Bel το decibel (db) που είναι το 1/10 του Bel (1 Bel=10db). Έτσι, λέµε ότι, ένας ήχος έντασης Ι, έχει Επίπεδο Έντασης (ΕΕ) ίσο µε: ΕΕ = 10 log (I/I 0 )db µε αναφορά Ι 0 (8) όπου Ι 0 η του ήχου που χρησιµοποιούµε για µέτρο σύγκρισης (αναφορά). Για ακουστική ένταση αναφοράς: Ι 0 = 10-1 W/m EE = 10 log(i/i 0 ) = 10(logI-log10-1 ) = 10(logI +1) = 10 logi +10db (9) Επειδή η ένταση του ήχου είναι ανάλογη του τετραγώνου της ακουστικής πίεσης, το επίπεδο της ακουστικής πίεσης (ΕΑΠ) ορίζεται σαν ο δεκαδικό λογάριθµος του λόγου των τετραγώνων των ακουστικών πιέσεων πολλαπλασιασµένος επί δέκα. ΕΑΠ=10 log(ρ /ρ 0 ) =0 log(ρ/ρ 0 )db µε αναφορά Ρ 0 (30) Σαν ακουστική πίεση αναφοράς παίρνουµε την Ρ 0 =.10-5 Pa που αντιστοιχεί στην ένταση των 10-1 W/m για τον αέρα, υπό κανονικές συνθήκες πίεσης και θερµοκρασίας. Έτσι, έχουµε: ΕΑΠ = 0(logp-log.10-5 ) = 0 logp+94 db (31) 1

13 Στον παρακάτω πίνακα έχουµε την αντιστοιχία µεταξύ των τιµών ΕΕ (ή ΕΑΠ) σε db των απόλυτων τιµών της έντασης και της ακουστικής πίεσης του ήχου. Πίνακας: Αντιστοιχία τιµών της έντασης του ήχου Ι της ακουστικής πίεσης ρ και του λόγου Ι/Ι 0 µε αυτές της κλίµακας db για Ι 0 =10-1 W/m και Ρ 0 =.10-5 Pa. db I/I 0 I (W/m ) ρ (Pa) * *10-1.4* * * * * Για παράδειγµα, το επίπεδο έντασης του ήχου µε Ι=1W/m έχοντας σαν ένταση αναφοράς το Ι 0 =10-1 W/m θα είναι ΕΕ(Ι) = 10logI+10=10db, που όπως θα δούµε στη συνέχεια είναι πολύ ψηλό επίπεδο έντασης και βρίσκεται στο κατώφλι του πόνου για το ανθρώπινο αυτί. 9. ΙΑ ΟΣΗ ΤΟΥ ΗΧΟΥ Τα ηχητικά κύµατα που είναι µηχανικής µορφής και µεταφέρουν µηχανική ενέργεια, µπορεί κατά διάδοσή τους σε ένα υλικό µέσο να παρουσιάσουν, όπως οι άλλες µορφές κυµάτων, τα φαινόµενα της ανάκλασης, διάθλασης, περίθλασης, απορρόφησης, σκέδασης, συµβολής κλπ. Ειδικότερα, στην περίπτωση που συναντήσουν διαχωριστική επιφάνεια δύο υλικών µέσων, µέρος του προσπίπτοντος κύµατος ανακλάται, ενώ το υπόλοιπο διαδίδεται στο δεύτερο υλικό µέσο. Στη συνέχεια, θα εξετάσουµε την ανάκλαση και διέλευση των επίπεδων ηχητικών κυµάτων ηµιτονοειδούς µορφής, σε µία διαχωριστική επιφάνεια και την εξασθένησή τους κατά τη διάδοσή τους σε ένα υλικό µέσο. 9.1 Ανάκλαση και ιέλευση του Ήχου Όταν ένα ακουστικό κύµα συναντήσει µια διαχωριστική επιφάνεια µεταξύ του µέσου στο οποίο διαδίδεται αρχικά και ενός άλλου υλικού µέσου, ένα µέρος της 13

14 µεταφερόµενης ενέργειας ανακλάται και ένα µέρος διέρχεται στο δεύτερο µέσο. Ας ονοµάσουµε Ι π, Ι α, και Ι δ, τις εντάσεις του προσπίπτοντος, ανακλώµενου και διερχόµενου επίπεδου ηχητικού κύµατος αντίστοιχα. Σχήµα: Ανάκλαση και διέλευση ηχητικού κύµατος που προσπίπτει κάθετα σε διαχωριστική επιφάνεια δύο υλικών µέσων. Για κάθετη πρόσπτωση (βλέπε σχήµα) σε επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια µε διαστάσεις µεγάλες σε σχέση µε το µήκος κύµατος και υπό την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας, µπορούµε να δείξουµε ότι ο λόγος της ανακλώµενης προς την προσπίπτουσα ένταση, που ονοµάζεται συντελεστής ανάκλασης α α δίνεται από τη σχέση: α α Iα Ζ Ζ = = Iπ Ζ + Ζ 1 1 (3) όπου Ζ 1 και Ζ οι χαρακτηριστικές ακουστικές εµπεδήσεις των δύο µέσων. Αντίστοιχα, ο λόγος της διερχόµενης προς την προσπίπτουσα ένταση που ονοµάζεται συντελεστής διέλευσης α 6 θα ισούται µε: α δ = 1-α α (33) αφού θεωρήσαµε µηδενικές απώλειες και αντικαθιστώντας τον α α από την (3), θα έχουµε τελικά: α δ = 4Ζ 1Ζ [ Ζ + Ζ 1 ] (34) Είναι φανερό ότι αν τα δύο υλικά µέσα έχουν την ίδια χαρακτηριστική ακουστική εµπέδηση (Ζ 1 = Ζ ), θα έχουµε α α =0 και α δ =1, δηλ. το ηχητικό κύµα διέρχεται εξ ολοκλήρου από το πρώτο στο δεύτερο µέσο. Αν αντίθετα, τα δύο µέσα έχουν χαρακτηριστικές ακουστικές εµπεδήσεις πολύ διαφορετικές, ο ήχος ανακλάται σχεδόν εξ ολοκλήρου. Έτσι για παράδειγµα, το ποσοστό της έντασης επίπεδου ηµιτονοειδούς ηχητικού κύµατος που διαδίδεται από αέρα σε νερό σε συνθήκες κάθετης πρόσπτωσης δοσµένου ότι: Ζ αέρα = 430 rayls και Ζ νερού = 1.5*10 6 rayls έχουµε: 14

15 α δ = 4Ζ 1 Ζ /[Ζ +Ζ 1 ] = 10-3 ή 0.1% Σηµειώνουµε εδώ ότι οι συντελεστές διέλευσης και ανάκλασης έχουν τις ίδιες τιµές για µετάδοση του κύµατος από µέσο 1 στο µέσο ή αντίστροφα. Στην περίπτωση πλάγιας πρόσπτωσης, οι συντελεστές ανάκλασης και διέλευσης δίνονται από τις σχέσεις: α α = [(Ζ συνπ - Ζ 1 συνδ) / (Ζ συνπ+ζ 1 συνδ)] (35) α δ = 4Ζ 1 Ζ συνπ συνδ / (Ζ συνπ+ζ 1 συνδ) (36) όπου π η γωνία πρόσπτωσης και δ η γωνία διάθλασης. Όσον αφορά τις διευθύνσεις διάδοσης του ανακλώµενου και του διαθλώµενου κύµατος, ισχύουν οι νόµοι της ανάκλασης και της διάθλασης όπως και στην οπτική. Έτσι, έχουµε: 1. Η γωνία ανάκλασης α, είναι ίση προς την γωνία πρόσπτωσης π π = α (37). Ο λόγος των ηµιτόνων των γωνιών πρόσπτωσης και διάθλασης, ισούται µε το λόγο των ταχυτήτων διάδοσης στα αντίστοιχα µέσα. ηµπ/ηµδ = c 1 /c (38) Στην περίπτωση που c > c 1, υπάρχει µία τιµή της γωνίας πρόσπτωσης π για την οποία η γωνία δ γίνεται ίση µε 90 ο και το ηµίτονό της ίσο µε τη µονάδα. Ετσι, η σχέση 38 µας δίνει: ηµπ ορ = c 1 /c (39) Τη γωνία π ορ ονοµάζουµε οριακή γωνία πρόσπτωσης και για π > π ορ έχουµε ολική ανάκλαση του ηχητικού κύµατος. 9. Εξασθένηση - Απορρόφηση του Ήχου Το ηχητικό κύµα, διαδιδόµενο σε ένα υλικό µέσο, χάνει µέρος µεταφερόµενης µηχανικής ενέργειας, αφενός µεν λόγω τριβών µεταξύ των µορίων της ύλης (θερµικές απώλειες) και αφετέρου, λόγω φαινοµένων διάθλασης, µερικής ανάκλασης, σκέδασης κλπ. Με τον όρο εξασθένηση, ονοµάζουµε τη συνολική µείωση, κατά τη διεύθυνση της διάδοσης του κύµατος, της µηχανικής ενέργειας που µεταφέρεται από αυτό. Ο όρος απορρόφηση, αναφέρεται κυρίως σε εκείνο το µέρος της εξασθένησης που οφείλεται στη µετατροπή της µηχανικής ενέργειας που µεταφέρεται από το ηχητικό κύµα, σε θερµική. Σε ένα ισότροπο υλικό µέσο, η εξασθένηση εκδηλώνεται σαν µείωση του πλάτους ταλάντωσης, σύµφωνα µε τη σχέση: Α = Α 0 e -αx (40) 15

16 όπου α ο γραµµικός συντελεστής εξασθένησης του πλάτους της σωµατιακής µετατόπισης και x το βάθος του µέσου στο οποίο εξετάζεται το πλάτος αυτό. Ο α εξαρτάται από το υλικό µέσο και τη συχνότητα του ήχου. Επειδή η ένταση Ι του ήχου είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του πλάτους (Α ) η ένταση Ι του ηχητικού κύµατος σε βάθος x δίνεται από τη σχέση: Ι = Ι 0 e -αx (41) Η εξασθένηση του ήχου είναι συνεπώς εκθετικής µορφής, όπως φαίνεται και από το σχήµα. Σχήµα: Εξασθένηση της έντασης Ι συναρτήσει του βάθους x. Είναι φανερό ότι, για κάθε υλικό µέσο µε συγκεκριµένο συντελεστή εξασθένησης, θα υπάρχει µία τιµή του x για την οποία η ένταση του ήχου Ι θα έχει τιµή ίση µε το µισό της αρχικής τιµής Ι 0. Η απόσταση αυτή x, για την οποία η ένταση εξασθενεί στο µισό της αρχικής της τιµής, ονοµάζεται πάχος υποδιπλασιασµού (d 1/ ) του τελικού µέσου. 16