ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ"

Θεοφιλά Λούπης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1

2 ΑΣΚΗΣΗ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ιδανικό αέριο περιέχεται σε όγκο 1 δοχείου συνολικού όγκου με θερμομονωτικά τοιχώματα. Στο υπόλοιπο κομμάτι του δοχείου υπάρχει κενό και οι δύο χώροι χωρίζονται με διάφραγμα. α) Το διάφραγμα αφαιρείται και το αέριο εκτονώνεται για να γεμίσει όλο το δοχείο. Εάν η αρχική θερμοκρασία ήταν Τ, ποια η τελική θερμοκρασία; β) Μία μικρή οπή ανοίγεται στο τοίχωμα μεταξύ των δύο μερών, επιτρέποντας την διάχυση του αερίου από το ένα μέρος στο άλλο, μέχρι το σύστημα να φτάσει σε ισορροπία. Ποια είναι η τελική θερμοκρασία; Αρχικά I 1,T II α) Η μεταβολή του ιδανικού αερίου είναι αδιαβατική εκτόνωση. (Q = 0). Η εσωτερική ενέργεια του συστήματος δεν αλλάζει γιατί δεν υπάρχει παραγωγή έργου και συνεπώς η θερμοκρασία θα παραμείνει σταθερή, άρα η τελική θερμοκρασία είναι Τ.

693 946778 Αρχικά I 1,T II β) Όταν ανοιχθεί η οπή το αέριο διαχέεται προς το μέρος που είναι κενό μέχρι οι συγκεντρώσεις να εξισωθούν.

3 Αρχικά I 1,T II β) Όταν ανοιχθεί η οπή το αέριο διαχέεται προς το μέρος που είναι κενό μέχρι οι συγκεντρώσεις να εξισωθούν. Όμοια, κατά την διάρκεια της διαδικασίας, η εσωτερική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή και συνεπώς και η θερμοκρασία. Προσοχή αυτό συμβαίνει μόνο στα ιδανικά αέρια όπου η εσωτερική ενέργεια του αερίου εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία. Στις ασκήσεις με τις οπές που κάναμε στο κεφάλαιο 1 ενότητα 4 όπως η άσκηση 4.4 μας έδινε δεδομένο ότι η θερμοκρασία διατηρείται. Εφόσον το δοχείο δεν ανταλλάσει θερμότητα με το περιβάλλον (δηλαδή έχει αδιαβατικά τοιχώματα) για ιδανικό αέριο, είμαστε πλέον σε θέση να εξηγήσουμε γιατί τελικά η θερμοκρασία παραμένει σταθερή και συνεπώς μπορεί να μην είναι δεδομένο αυτό. 3

4 ΑΣΚΗΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εξετάστε αν αέριο (ν = 1mole) που διαστέλλεται, θερμαίνεται ή ψύχεται και υπολογίστε τη γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα του όταν: α) P = const β) P = const γ) P = α 3, α σταθερά, δίνεται το C (θέμα 1/9/007) Αν το αέριο είναι μονοατομικό και οι διαστάσεις των μορίων είναι πολύ μικρότερες με τον όγκο του δοχείου τότε το αέριο μπορεί να θεωρηθεί ιδανικό. Άρα ισχύει: 1 P RT P RT Η θερμοχωρητικότητα υπολογίζεται από την σχέση: U U d C P dt T dt C 0 Στην περίπτωση ιδανικού αερίου η d C C P dt (1) εσωτερική ενέργεια έχει εξάρτηση μόνο από την θερμοκρασία. 4

5 α) PRT P const T const ( ) d T const d T 0 Td dt 0 dt Αφού T T T T d > 0 dt < 0 ψύξη Εφόσον το αέριο διαστέλλεται, δηλαδή αυξάνει ο όγκος, θα πρέπει η θερμοκρασία να ελαττώνεται (ψύξη), ώστε πράγματι το γινόμενο T να είναι σταθερό. Για την θερμοχωρητικότητα θα έχουμε: d C C P dt d C C P C P dt Άρα T PRT C C R 5

6 β) Αφού ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ PRT T P const const (3 ) T T T T d const d 0 d dt 0 dt T T T T d > 0 dt > 0 θέρμανση Εφόσον το αέριο διαστέλλεται, θα πρέπει η θερμοκρασία επίσης να αυξάνει, ώστε πράγματι να ισχύει η σχέση (3). Για την θερμοχωρητικότητα θα έχουμε: d C C P dt d P C C P C dt T Άρα PRT C C R 6

7 γ) 3 4 (4 ) T T T 1 d const d 0 4 d dt 0 dt 4T Αφού P PRT 3 P const const T T 4 T 4 T d > 0 dt > 0 θέρμανση Εφόσον το αέριο διαστέλλεται, θα πρέπει η θερμοκρασία επίσης να αυξάνει, ώστε πράγματι να ισχύει η σχέση (4). Για την θερμοχωρητικότητα θα έχουμε: d C C P dt C C P d C dt Άρα 1 P 4 T PRT 1 C C R 4 7

8 ΑΣΚΗΣΗ 3 Εξετάστε αν ιδανικό αέριο (ν = 1mole) που διαστέλλεται, πότε θερμαίνεται και πότε ψύχεται σε μια πολυτροπική διαδικασία για τις διάφορες τιμές του s και υπολογίστε τη γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα. Στις πολυτροπικές διαδικασίες με χρήση του 1 ου θερμοδυναμικού νόμου απαιτώντας η θερμοχωρητικότητα να είναι σταθερή προέκυψε η σχέση: PRT s s1 P const T const Αφού s1 s1 s s1 d T const dt 0 s 1T d dt 0 dt T s 1 T s1 T T s1 Όταν s > 1 d > 0 dt< 0 ψύξη Όταν s < 1 d > 0 dt > 0 θέρμανση 8

9 C Άρα Για την θερμοχωρητικότητα θα έχουμε: Για ιδανικό αέριο 1 P C C P C T s 1 s 1 T ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ C C P dt PRT d 1 C C R s1 P s 1 C R sc C R CP C R C sc C sc C s C s 1 s 1 s 1 s 1 s 1 P C d dt T s 1 Επειδή για ιδανικό αέριο ισχύει: Άρα C s C s 1 CP C R CP C R C C CP C P R 1 C Άρα C s s 1 1 R 9

10 ΑΣΚΗΣΗ 4 Αποδείξτε το Νόμο του Poisson για την αδιαβατική μεταβολή από τον 1 ο θερμοδυναμικό Νόμο. Στην αδιάβατη μεταβολή το αέριο δεν ανταλλάσει θερμότητα με το περιβάλλον του: Q du W δq = 0 P RT 0 CvdT Pd R 1 C dt R d dt d v C RT CvdT d 0 dt T d 1 0 lnt 1 ln const T PRT 1 const P const Εξίσωση αδιαβατικής 10

11 ΑΣΚΗΣΗ 5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αποδείξτε το Νόμο του Poisson με χρήση μικροσκοπικών σχέσεων. Αδιαβατική εκτόνωση υ ε dp < 0 dt < 0 d > 0 Υποθέσεις Το δοχείο είναι θερμικά μονωμένο και επομένως δεν υπάρχει ανταλλαγή θερμότητας με το περιβάλλον. Υπό την επίδραση των μορίων το έμβολο κινείται με ταχύτητα υ ε (υ ε 0). Για να διασφαλίσουμε ότι η μεταβολή. Οι κρούσεις τον μορίων είναι ελαστικές με τα τοιχώματα του δοχείου. Αιτιολογία Για να χαρακτηριστεί η μεταβολή αδιαβατική. Υπό την επίδραση των μορίων το έμβολο κινείται με ταχύτητα υε (υε 0). Για να διασφαλίσουμε ότι η μεταβολή είναι αντιστρεπτή. Ιδανικό αέριο 11

12 υ αρ χ Σύστημα Σύστημα Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου O: O: z Ο y x υ τελ z Ο y x υ ε Στις συνιστώσες μπορούν να γραφούν:,x,x,y,y,z,z,x,x,y,y,z,z Ακίνητο σύστημα Σύστημα κινούμενο Με σταθερή ταχύτητα υ ε Επειδή η κρούση είναι η ελαστική από,x,x Α.Δ.Ο προκύπτει στο σύστημα Ο : Άρα θα έχουμε,x,x,x,x Λόγω συμμετρίας μας ενδιαφέρει μόνο ο x άξονας. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ

13 Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε μορίου με την κρούση του στα τοιχώματα του δοχείου θα είναι: m,x m,x m,x m,x 1 1 m,x 4,x m,x 0 αφού (υ ε 0) m,x,x x Στο ιδανικό αερίο η ενέργεια είναι ίση με την κινητική ενέργεια των μορίων και επομένως για 1 μόριο θα έχουμε: d m 1 x Ο αριθμός των σωματιδίων που συγκρούονται με το έμβολο μέσα σε χρόνο dt είναι: dn ns dt x Συγκέντρωση n = N/ 13

14 Άρα η ενέργεια που χάνεται θα είναι: x x x x d m ns dt mn S dt mnd dx: μετατόπιση εμβόλου d: μεταβολή όγκου του δοχέίου Η μέση ενέργεια που χάνεται θα είναι ίση με την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου και επομένως: du mnd x όμως x kt m x xf ( x )d x 0 14

15 Και επομένως: d du nktd NkT (1) Για ένα ιδανικό αέριο με i βαθμούς ελευθερίας η εσωτερική ενέργεια από το θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας θα ισούται με: kt k U in du in dt () k d i dt d Άρα από (1) και () προκύπτει: in dt NkT 0 T επειδή C i C i i P 1 Ολοκληρώνοντας την προηγούμενη σχέση έχουμε dt d 1 0 T 1 ln T 1 ln const ln T const 1 1 T PRT 1 const P const Εξίσωση Poisson 15

16 ΑΣΚΗΣΗ 6 Η κατάσταση ιδανικού αερίου μεταβάλλεται σύμφωνα με το νόμο P = λ με λ σταθερά. Αν ο όγκος του αερίου ήταν o γίνει κo υπολογίστε (α) την αύξηση της εσωτερικής ενέργειας ΔU (β) το έργο W που εκτελεί το αέριο (γ) και την θερμοχωρητικότητα Θεωρείστε Cv και R δεδομένα. PRT P T dt d R R Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι: Άρα, ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ R C 1 C du CdT C d d d R R 1 k k o o U d k o o 16

17 Το απειροστό έργο θα είναι: W Pd d ko o W d k 1 o Για την θερμοχωρητικότητα θα έχουμε: d C C P dt Όμως δείξαμε ότι: d R P R dt d P P R dt Άρα θα έχουμε: C C R 17

18 ΑΣΚΗΣΗ 7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Στο επόμενο διάγραμμα θερμότητας Q έργου W οι κλίμακες για το έργο και την θερμότητα είναι οι ίδιες. Οι τρεις ευθείες αντιστοιχούν σε μια ισόθερμη και σε δυο ισοβαρείς διαδικασίες ενός ιδανικού αερίου. Να βρεθεί σε ποια διαδικασία αντιστοιχεί η κάθε ευθεία καθώς και οι ατομικότητες για τις δυο ισοβαρείς διαδικασίες. Να υποθέσετε ότι όλες οι διαδικασίες πραγματοποιούνται σε θερμοκρασίες δωματίου. Η γωνία που σχηματίζει η καμπύλη (1) με τον άξονα Q είναι 45 o, ενώ οι αντίστοιχες γωνίες για τις καμπύλες () και (3) είναι 1.08 o και o αντίστοιχα. W 1 3 Q Στην ισόθερμη μεταβολή, προκύπτει από τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο ότι Q = W. Επομένως η καμπύλη 1 αντιστοιχεί σε ισόθερμη μεταβολή. Στις ισοβαρείς μεταβολές ισχύει δq = νc p dt, δw = Pd =νrdt, επομένως στο διάγραμμα W Q θα έχουμε ότι: C i p R W R tan tan Q C i P 18

19 Για θ = 1.8 ο προκύπτει tanθ = 0.4 που αντιστοιχεί σε i = 3. Άρα, η καμπύλη αντιστοιχεί σε ισοβαρής μεταβολή μονοατομικού ιδανικού αερίου. Για θ = 17.4 ο προκύπτει tanθ = 0.49 που αντιστοιχεί σε i = 6. Για θερμοκρασίες δωματίου οι ταλαντωτικοί βαθμοί ελευθερίας δεν είναι διεγερμένοι, αυτό έχει ως αποτέλεσμα για τόσους πολλούς βαθμούς ελευθερίας σε τέτοιες θερμοκρασίες, η καμπύλη 3 να περιγράφει πολυατομικό αερίου καθώς έχει περισσότερους από δύο περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ

Σχετικά έγγραφα

ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΕΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΕΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΘΕΩΡΙΑ Περιεχόμενα 1. Μελέτη Ισόχωρης μεταβολής 2. Μελέτη Ισοβαρής μεταβολής 3. Μελέτη Ισόθερμης μεταβολής 4.