ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΦΑΣΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΑΕΡΑ ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΙΚΟΥΣ ΔΙΑΧΩΡΙΣΤΕΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΦΑΣΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΑΕΡΑ ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΙΚΟΥΣ ΔΙΑΧΩΡΙΣΤΕΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΣ ΠΑΤΡΑ 2012

2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΦΑΣΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΑΕΡΑ ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΙΚΟΥΣ ΔΙΑΧΩΡΙΣΤΕΣ

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΦΑΣΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΑΕΡΑ ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΙΚΟΥΣ ΔΙΑΧΩΡΙΣΤΕΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΣ ΠΑΤΡΑ 2012

4 ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Μάργαρης Διονύσιος Αναπλ. Καθηγητής Τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών Πολυτεχνικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών Πανίδης Θρασύβουλος Αναπλ. Καθηγητής Τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών Πολυτεχνικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών Χατζηκωνσταντίνου Παύλος Καθηγητής Γενικού Τμήματος Πολυτεχνικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών ΕΠΤΑΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Μάργαρης Διονύσιος Αναπλ. Καθηγητής Τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών Πολυτεχνικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών Πανίδης Θρασύβουλος Αναπλ. Καθηγητής Τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών Πολυτεχνικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών Χατζηκωνσταντίνου Παύλος Καθηγητής Γενικού Τμήματος Πολυτεχνικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών ΧΧΧΧΧΧ ΧΧΧΧΧΧΧΧ XXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXXX XXXXXXX XXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXXX XXXXXXX XXXXXX XXXXXXXXXXXXXX ΧΧΧΧΧΧ ΧΧΧΧΧΧΧΧ XXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXXX XXXXXXX XXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXXX XXXXXXX XXXXXX XXXXXXXXXXXXXX ΧΧΧΧΧΧ ΧΧΧΧΧΧΧΧ XXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXXX XXXXXXX XXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXXX XXXXXXX XXXXXX XXXXXXXXXXXXXX ΧΧΧΧΧΧ ΧΧΧΧΧΧΧΧ XXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXXX XXXXXXX XXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXXX XXXXXXX XXXXXX XXXXXXXXXXXXXX Η παρουσίαση της διδακτορικής διατριβής έγινε στις ΧΧ ΧΧΧΧΧΧΧ 2012 ενώπιον της παραπάνω Επταμελούς Εξεταστικής Επιτροπής. Η έγκριση της διδακτορικής διατριβής από το Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών δεν υποδηλώνει την αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα (Νόμος 5343/32, άρθρο 202 2).

5 Αφιερωμένο στη σύζυγό μου Θεοδώρα και στα παιδιά μου Σπυρίδωνα και Κωνσταντίνα

6

7 Περιεχόμενα Περιεχόμενα Περιεχόμενα Πρόλογος Ευχαριστίες Περίληψη Summary i vi vii viii x 1. Εισαγωγή Προσδιορισμός του Προβλήματος Ανασκόπηση Βιβλιογραφίας Ροή Εργασίας Δομή Προεπισκόπηση Διατριβής 4 Παραπομπές 5 2. Η Κίνηση των Ρευστών Οι Τρόποι που Ρέουν τα Ρευστά Ιδιότητες των Ρευστών Εξισώσεις που Περιγράφουν την Κίνηση των Ρευστών Ανάπτυξη των Εξισώσεων Κίνησης Αρχές Τύρβης Μοντελοποίηση της Τύρβης Μοντελοποίηση Τάσεων Reynolds Υπολογισμός Τάσεων Reynolds Άλλες Τεχνικές Μοντελοποίησης 19 Παραπομπές Ειδικές Περιπτώσεις Ροής Ρευστών Διφασική Μονοδιάστατη Ροή Γενική Θεώρηση Διφασικής Ροής Ομογενής Ροή Είδη διφασικής ροής υγρού αερίου Ροϊκές περιοχές σε κατακόρυφη προς τα άνω ροή μίγματος Ροϊκοί χάρτες για κατακόρυφη ροή Ροϊκές περιοχές σε οριζόντια ροή Ροϊκοί χάρτες για οριζόντια ροή Ροϊκές περιοχές σε κεκλιμένη ροή Ανάλυση Ροϊκών Μεγεθών Διφασικής Ροής Εισαγωγή Παράμετροι διφασικής ροής Βαθμίδες πίεσης στη διφασική ροή Στροβιλώδης Ροή Χαρακτηριστικά Στροβιλώδους Ροής 32 i

8 Υπολογιστική και Πειραματική Ανάλυση Διφασικής Ροής Αέρα Νερού σε Φυγοκεντρικούς Διαχωριστές Δημιουργία Στροβιλώδους Ροής Βασικά Αποτελέσματα των Στροβίλων 36 Παραπομπές Αριθμητική Επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων Τεχνικές Αριθμητικής Διακριτοποίησης Η Μέθοδος των Πεπερασμένων Διαφορών Η Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων Η Μέθοδος των Πεπερασμένων Όγκων Σύγκλιση και Ευστάθεια Μη-Γραμμικότητα και Χρονική Εξάρτηση Εξασφαλίζοντας την Εξίσωση Πίεσης Αρχικές και Οριακές Συνθήκες για Προβλήματα Ροής Ρευστών Διαχωρισμός Μεθόδων Επίλυσης Segregated-Coupled Μοντέλα Τύρβης Εισαγωγή Επιλέγοντας Μοντέλο Τύρβης Σύγκριση προσέγγισης Reynolds Average με LES Μέσος Όρος Reynolds Σύγκριση Μοντέλων Μεταφοράς Boussinesq και Reynolds To Μοντέλο Spalart-Allmaras To Μοντέλο Standard k-ε To Μοντέλο RNG k-ε To Ρεαλιστικό Μοντέλο k-ε To Μοντέλο Τάσεων Reynolds Υπολογιστική Ισχύς: Χρόνος CPU και «Συμπεριφορά Λύσης» Τα Μοντέλα Standard, RNG και Ρεαλιστικό k-ε Ο Χειρισμός Κοντά στα Τοιχώματα για Τυρβώδεις Ροές Περιοριζόμενες από Τοιχώματα Επισκόπηση Εξισώσεις Τοιχωμάτων Έναντι Μοντέλου Πλησίον Τοιχωμάτων Εισαγωγή στη Μοντελοποίηση Πολυφασικών Ροών Συστήματα Πολυφασικών Ροών Παραδείγματα Πολυφασικών Συστημάτων Προσεγγίσεις για τη Μοντελοποίηση Πολυφασικών Ροών Επιλέγοντας Πολυφασικό Μοντέλο 72 Παραπομπές 74 ii 5. Παρουσίαση Πρότυπου Φυγοκεντρικού Διαχωριστή. Σχεδίαση Κατασκευή Παραγωγή Πλέγματος Φυγοκεντρικοί Διαχωριστές Χαρακτηριστικά πρότυπου φυγοκεντρικού διαχωριστή Σχεδίαση Κατασκευή Διαστάσεις Αρχή λειτουργίας 81

9 Περιεχόμενα 5.6 Παραγωγή Πλέγματος Διαχωριστή Γραφικό Περιβάλλον Εργασίας Τοπολογία Γεωμετρία Σχεδιασμός Δημιουργία Πλέγματος Πλεγματοποίηση Ακμών Πλεγματοποίηση Πλευρών Πλεγματοποίηση Επιμέρους Όγκων Ζώνες Παρακολούθησης Τελικό Εισαγόμενο Πλέγμα στο FLUENT 91 Παραπομπές CFD Ανάλυση Πρότυπου Φυγοκεντρικού Διαχωριστή Εισαγωγή Ανασκόπηση Βιβλιογραφίας Θεωρητική Ανάλυση Τεκμηρίωση Μέθοδοι Υπολογιστικής Ρευστομηχανικης Προσέγγιση Euler Lagrange Προσέγγιση Euler Euler Το μοντέλο Volume of Fluid Το πολυφασικό μοντέλο Euler Το πολυφασικό μοντέλο Mixture Κριτήριο Μοντέλου Αριθμητική Επίλυση Όγκοι Ελέγχου Παραγωγή Πλέγματος Στήσιμο Αριθμητικής Προσομοίωσης Υποθέσεις -Παραδοχές Μοντελοποίησης για την Ανάλυση του Διαχωριστή Παράμετροι Σχεδίασης Παραγωγή Πλέγματος Αρχική Επεξεργασία (Pre Processing) Αξιολόγηση Ποιότητας Πλέγματος και Τελική Επεξεργασία (Post Processing) Προδιαγραφές Ροής Παράμετροι Σχεδιασμού Προδιαγραφές Ροής Συνθήκες Λειτουργίας Προδιαγραφές Ροής Μεγέθη Απόδοσης Διαχωριστή Παρουσίαση - Ανάλυση Αποτελεσμάτων Υπολογισμός αριθμητικής επίλυσης Σχεδιαστικές Παράμετροι και Αποδόσεις Διαχωριστή Τυπικά Μοτίβα Πεδίου Ροής Εξαγόμενα από την Ανάλυση Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής Συνθήκες Λειτουργίας και Απόδοση Διαχωριστή Πειραματικά Αποτελέσματα και Διαχωριστής Φάσεων Συμπεράσματα 117 Παραπομπές 118 iii

10 Υπολογιστική και Πειραματική Ανάλυση Διφασικής Ροής Αέρα Νερού σε Φυγοκεντρικούς Διαχωριστές 7. Πειραματική Ανάλυση Πρότυπου Φυγοκεντρικού Διαχωριστή Εισαγωγή Πειραματική Έρευνα Πειραματικές Παράμετροι Σχεδιαστικές Παράμετροι Πειραματική Εγκατάσταση Πειραματικη Διαδικασία Πειραματική Αβεβαιότητα Ανάλυση Σφαλμάτων Παρουσίαση Σχολιασμός Αποτελεσμάτων Παρουσίαση Αποτελεσμάτων και Διαγραμμάτων Συσχετισμός Αποτελεσμάτων Συμπεράσματα 130 Παραπομπές Πιστοποίηση Τεχνικής Προσομοίωσης Εισαγωγή Γεωμετρία της Ροής Πειραματική Έρευνα Αριθμητική Διερεύνηση Αριθμητική Διευθέτηση και Τεχνικές Επίλυσης Επικύρωση Αριθμητικής Επίλυσης Επίδραση Τύπου Πλέγματος και Μοντέλου Τύρβης Επίδραση Πλάνου Διαφοροποίησης Επίδραση Πυκνότητας Πλέγματος Απόδοση Βέλτιστου Μοντέλου Συμπεράσματα 141 Παραπομπές Ανακεφαλαίωση και Προοπτικές Ανακεφαλαίωση Πρωτότυπα Σημεία Διατριβής Προοπτικές Τελικά Συμπεράσματα 144 iv Π-1 Παράρτημα 1. Αριθμητική Επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων με το Πρόγραμμα FLUENT 145 Π-1.1 Μέθοδοι Επίλυσης Segregated- και Coupled 145 Π Διακριτή (Segregated) Mέθοδος Eπίλυσης 145 Π Μέθοδος Συνδυαστικής (Coupled) Επίλυση 146 Π Γραμμικοποίηση: Συνεπαγόμενη (Implicit) Έναντι Ρητής (Explicit) 147 Π-1.2 Μοντέλα Τύρβης στο Πρόγραμμα FLUENT 150 Π Τα μοντέλα Standard, RNG και Ρεαλιστικό k-ε 150 Π Το Μοντέλο Standard k-ε 150 Π Το μοντέλο RNG k-ε 151

11 Περιεχόμενα Π Το Ρεαλιστικό Μοντέλο k-ε 154 Π Μοντελοποίηση της Τυρβώδους Παραγωγής στα Μοντέλα k-ε 157 Π Επίδραση της Άνωσης στην Τύρβη στα Μοντέλα k-ε 157 Π Επίδραση της Συμπιεστότητας στην Τύρβη στα Μοντέλα k-ε 158 Π Μοντελοποίηση Μετάδοσης Θερμότητας και Μεταφοράς 159 Μάζας στα Μοντέλα k-ε Π-1.3 Ο Χειρισμός Κοντά στα Τοιχώματα Near Wall Treatment 161 Π Εξισώσεις Τοιχωμάτων 161 Π Κανονικές Standard - Εξισώσεις Τοιχωμάτων 161 Π Εξισώσεις Τοιχωμάτων για μη- Ισορροπία (Non-Equilibrium) 164 Π Standard Εξισώσεις Τοιχωμάτων Έναντι Ασταθών Εξισώσεων Τοιχωμάτων 166 Π Περιορισμοί της Προσέγγισης Εξισώσεων Τοιχωμάτων 166 Π Μοντέλο δύο Στρωμάτων 167 Π Πλέγμα για Προσομοιώσεις Τυρβωδών Ροών 168 Π Οδηγίες για Εξισώσεις Τοιχωμάτων Πλέγματος Πλησίον Τοιχωμάτων 168 Π Οδηγίες για Μοντέλο Δύο Στρωμάτων Πλέγματος Πλησίον Τοιχωμάτων 169 Π-1.4 Μοντελοποίηση Διφασικής Ροής με Μοντέλο Mixture 170 Παραπομπές 175 Π-2 Παραρτημα 2. Φωτογραφίες Διφασικής Ροής Διαχωριστή 177 Π-3 Παραρτημα 3. Λεπτομέρειες-Φωτογραφίες Πειράματος 193 Π-4 Παραρτημα 4. Σύμβολα - Ονοματολογία 211 Π-5 Παραρτημα 5. Βιογραφικό Σημείωμα 213 Π-5.1 Σύντομο Βιογραφικό Σημείωμα 213 Π-5.2 Επαγγελματική Εμπειρία 213 Π-5.3 Ακαδημαϊκή Εμπειρία 215 Π Ακαδημαϊκές Σπουδές Πτυχία Τίτλοι 215 Π Συγγραφικό Έργο 216 Π Δημοσιεύσεις σε Έγκυρα Διεθνή Επιστημονικά Περιοδικά 216 Π Παρουσιάσεις σε Έγκυρα Διεθνή Επιστημονικά Συνέδρια 217 Π Διδακτική Εμπειρία 217 v

12 Πρόλογος Πρόλογος Η παρούσα εργασία ξεκίνησε το 2006 και ήρθε να συνεχίσει μια μελέτη που είχε κάνει το εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών στο παρελθόν πάνω σε έναν διαχωριστή φάσεων με παραπλήσια γεωμετρία. Ο αρχικός σχεδιασμός, ήταν η έρευνα να γίνει μόνο με μεθόδους Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής. Ο τομέας αυτός της επιστήμης, σημείωσε ραγδαία βελτίωση την προηγούμενη δεκαετία και το πρόγραμμα FLUENT που χρησιμοποιεί το εργαστήριο παρέχει γενικά αξιόπιστα αποτελέσματα. Ωστόσο, η υπό μελέτη ροή, είναι διφασική και αρκετά περίπλοκη, γεγονός που μειώνει τον βαθμό αξιοπιστίας της διαδικασίας. Έγινε λοιπόν τροποποίηση στο αρχικό πλάνο και μετά την πρώτη σειρά προσομοιώσεων της ροής, έγινε και μία σειρά πειραμάτων. Τα αποτελέσματα των πειραμάτων μας έδωσαν πλέον ένα έγκυρο μέτρο σύγκρισης και το τελικό αποτέλεσμα είναι διπλό: τεκμηριωμένη γνώση των μέσων μεγεθών για ένα συγκεκριμένο εύρος ροών νερού αέρα και ένα πιστοποιημένο μοντέλο προσομοίωσης σε αυτή την γκάμα ροών. Ολοκληρώθηκε έτσι ένας κύκλος εξέλιξης του διαχωριστή με πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα. Επιπλέον, το εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών αποκόμισε σημαντική εμπειρία και τεχνογνωσία στο πεδίο του διαχωρισμού φάσεων, κάτι που είναι εξαιρετικά επίκαιρο με την έκρηξη που παρατηρείται το τελευταίο διάστημα στις έρευνες υδρογονανθράκων στη Χώρα μας. vi

13 Υπολογιστική και Πειραματική Ανάλυση Διφασικής Ροής Αέρα Νερού σε Φυγοκεντρικούς Διαχωριστές Ευχαριστίες Φτάνοντας στο τέλος της μακροχρόνιας - όπως εξελίχτηκε - προσπάθειας για την περάτωση της διατριβής μου, αισθάνομαι την ανάγκη να ευχαριστήσω τους ανθρώπους που με στήριξαν όλα αυτά τα χρόνια. Τον Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών κ. Μάργαρη Διονύσιο, ο οποίος σε μία στιγμή που αναζητούσα επιστημονική στέγη, μου την έδωσε απλόχερα και μου παρείχε το κατάλληλο ακαδημαϊκό περιβάλλον ώστε να προχωρήσω την έρευνά μου. Τον εκλιπόντα Ομότιμο Καθηγητή του Τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών κ. Παπαηλιού Δημοσθένη, ο οποίος ήταν ο πρώτος που με εμπιστεύτηκε και με παρότρυνε να προχωρήσω στον τομέα της έρευνας, παρά τις αυξημένες επαγγελματικές μου υποχρεώσεις, παράγοντας που για άλλους καθηγητές θα ήταν αποτρεπτικός. Τον Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών κ. Κούτμο Παναγιώτη, με τον οποίο περάσαμε πολλά απογεύματα μπροστά στον υπολογιστή και ο οποίος μου μετέδωσε το μικρόβιο της υπολογιστικής ρευστομηχανικής αλλά και πολλές από τις γνώσεις που ήταν βασικές για τη συνέχιση της ενασχόλησής μου με τον τομέα αυτό της έρευνας. Τους κ. Πανίδη Θρασύβουλο και Χατζηκωνσταντίνου Παύλο, οι οποίοι με τις εύστοχες παρεμβάσεις τους, συνέβαλαν στην άρτια τεκμηρίωση της παρούσας εργασίας. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω τη σύζυγό μου Θεοδώρα, η οποία μου έδωσε τον απαιτούμενο χρόνο για την ενασχόληση με την διατριβή μου, περικόπτοντας σημαντικά τον δικό της ώστε να καλύπτει την απουσία μου από την οικογένειά μας. vii

14 Περίληψη Περίληψη Η ανάπτυξη που σημειώθηκε τις τελευταίες δεκαετίες στον τομέα της εξόρυξης υδρογονανθράκων οδήγησε στην υιοθέτηση όλο και πιο σύγχρονων τεχνικών διαχωρισμού των προϊόντων στην πηγή. Οι φυγοκεντρικοί διαχωριστές είναι η πιο επιτυχημένη και διαδεδομένη εφαρμογή. Σε αυτή την γκάμα, έρχεται να προστεθεί και ο πρότυπος φυγοκεντρικός διαχωριστής που παρουσιάζεται στην παρούσα εργασία. Η ανάλυση προσπαθεί να ισορροπήσει μεταξύ μίας «αυστηρά επιστημονικής» ανάλυσης του στροβιλώδους πεδίου διφασικής ροής μέσα στο διαχωριστή και μιας πιο «πρακτικής» ανάλυσης της απόδοσης της συγκεκριμένης συσκευής. Η πρώτη είναι απαραίτητη λόγω της πρωτοτυπίας που παρουσιάζει το συγκεκριμένο επιστημονικό πεδίο και της έλλειψης προγενέστερων μελετών που να καλύπτουν το θέμα, ενώ η δεύτερη είναι επιβεβλημένη λόγω της «πρακτικότητας» που προσδοκούμε να έχει το τελικό αποτέλεσμα. Ο προσδιορισμός του προβλήματος που θέτει προς επίλυση η παρούσα εργασία και η ανασκόπηση βιβλιογραφίας που καθορίζει σε μεγάλο βαθμό την κατεύθυνση που θα ακολουθήσει η έρευνα, γίνεται στο 1 ο κεφάλαιο. Για την αντιμετώπιση του προβλήματος ακολουθείται η τυπική διαδικασία εξέλιξης ενός βιομηχανικού προϊόντος σε τέσσερα στάδια. Στο 1 ο στάδιο αρχικά αναλύεται η ιδέα concept- λειτουργίας και η θεωρία πάνω στην οποία βασίζεται. Στο 2 ο στάδιο γίνεται αρχική διερεύνηση λειτουργίας του διαχωριστή, με προσομοίωση της ροής με Υπολογιστή Ρευστομηχανική. Στο 3 ο στάδιο γίνεται πειραματική παραμετρική ανάλυση της λειτουργίας του διαχωριστή. Τέλος, στο 4 ο στάδιο γίνεται επιβεβαίωση πιστοποίηση της τεχνικής προσομοίωσης. Στο 2 ο κεφάλαιο γίνεται μία θεωρητική ανάλυση των εξισώσεων που διέπουν τη ροή των ρευστών. Οι εξισώσεις κίνησης αναπτύσσονται και εξηγείται πως διαμορφώνονται μετά την ανάπτυξη της τύρβης. Στο σημείο αυτό γίνεται αντιληπτό ότι δεν είναι δυνατή η επίλυσή τους με αναλυτικές μεθόδους αλλά με αριθμητικές. Αυτή είναι και η απαρχή της εισόδου των αριθμητικών μεθόδων στη μηχανική ρευστών. Στο 3 ο κεφάλαιο παρατίθεται το θεωρητικό υπόβαθρο πάνω στο οποίο βασίζεται η ανάλυση των διφασικών ροών αλλά και των στροβιλωδών ροών, έννοιες που συναντώνται στα επόμενα κεφάλαια. Η θεωρητική ανάλυση ολοκληρώνεται στο 4 ο κεφάλαιο με την εμβάθυνση στην αριθμητική επίλυση των εξισώσεων του 2 ου κεφαλαίου. Αρχίζουμε με μία σύντομη παρουσίαση των μεθόδων που αναπτύχθηκαν τις τελευταίες δεκαετίες, επικεντρώνοντας στη μέθοδο που χρησιμοποιούμε στην παρούσα εργασία. Στη συνέχεια παρατίθενται διάφορα μοντέλα προσομοίωσης ροών επικεντρώνοντας στις διφασικές ροές. Επειδή το αντικείμενο αυτό περιλαμβάνει εκτεταμένες μαθηματικές αναλύσεις, μεταφέρθηκαν αρκετά τμήματα στο παράρτημα 1, ώστε το κυρίως κείμενο της εργασίας να παρουσιάζει ομοιογένεια και να διατηρεί την ισορροπία μεταξύ της θεωρητικής ανάλυσης και της πρακτικής ερευνητικής προσέγγισης που αναφέρθηκε προηγουμένως. Από το 5 ο κεφάλαιο ξεκινά η παρουσίαση του καθαρά ερευνητικού έργου και ακολουθείται η λογική και χρονολογική σειρά που αναλύθηκε πριν, με τα τέσσερα στάδια εξέλιξης του «προϊόντος». Σε αυτό λοιπόν το κεφάλαιο αναλύεται η ιδέα conceptλειτουργίας και η θεωρία πάνω στην οποία βασίζεται και παρουσιάζονται σχέδια από την viii

15 Υπολογιστική και Πειραματική Ανάλυση Διφασικής Ροής Αέρα Νερού σε Φυγοκεντρικούς Διαχωριστές σχεδίασή του στο AUTOCAD. Εκτός από αυτό όμως, κρίθηκε σκόπιμο να προχωρήσουμε ένα ακόμη βήμα, με τη δόμηση του πλέγματος του πεδίου ροής του διαχωριστή. Ο λόγος είναι καθαρά τεχνικός και έγκειται στην παραπλήσια μορφή των εξής δύο εργασιών: της σχεδίασης στο AUTOCAD και της σχεδίασης της γεωμετρίας στο GAMBIT. Το πλέγμα ακολούθησε αμέσως μετά, για να μην επανερχόμαστε στη χρήση του GAMBIT στο επόμενο κεφάλαιο. Στο 6 ο κεφάλαιο γίνεται η αρχική διερεύνηση λειτουργίας του διαχωριστή, με προσομοίωση της ροής με Υπολογιστική Ρευστομηχανική. Ουσιαστικά ολοκληρώνεται η φάση της μοντελοποίησης, με την επεξεργασία του πλέγματος στο FLUENT σε επίπεδο post processing αλλά και με το «στήσιμο» της προσομοίωσης. Τέλος, με το «στήσιμο» του μοντέλου, είμαστε σε θέση να διεξάγουμε την προμοίωση και να συλλέξουμε αποτελέσματα στη συνέχεια. Στην ανάλυση που γίνεται, ακολουθείται η ροή: θεωρητική τεκμηρίωση, υλοποίηση προσομοίωσης ροής και συλλογή επεξεργασία αποτελεσμάτων. Από τα αποτελέσματα της ανάλυσης προκύπτει ότι η απόδοση αυξάνει με την ταχύτητα εισόδου του μίγματος κάτι που είναι επιστημονικά σωστό αποδεκτό. Επιτεύχθηκε σύγκλιση της λύσης και παρήχθησαν εικόνες της ροής μέσα στο διαχωριστή που μας δίνουν μια ποιοτική αποτίμηση του πεδίου ροής. Επειδή τα εξαγόμενα της εργασίας εδώ είναι κυρίως εικόνες από το FLUENT που περιγράφουν τη ροή, αυτές παρατίθενται στο παράρτημα 2 για να διευκολυνθεί η ροή της διατριβής. Στο 7 ο κεφάλαιο γίνεται η πειραματική παραμετρική ανάλυση της λειτουργίας του διαχωριστή. Στην ανάλυση αυτή, ακολουθείται και πάλι η ροή: θεωρητική τεκμηρίωση, διεξαγωγή πειράματος και συλλογή επεξεργασία αποτελεσμάτων. Διερευνήθηκαν οι επιδράσεις των ανεξαρτήτων παραμέτρων συνδυασμένες σαν κλάσμα όγκου αέρα, στην απόδοση του διαχωριστή. Η συσκευή παρουσίασε καλή απόδοση σε συγκεκριμένες περιοχές λειτουργίας κάτι που υποδεικνύει ότι υπάρχει δυναμική για περαιτέρω έρευνα και βελτίωση. Σε αυτό το κεφάλαιο, δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην περιγραφή της πειραματικής εγκατάστασης, η οποία δεν προϋπήρχε, αλλά σχεδιάστηκε και κατασκευάστηκε από το μηδέν για την παρούσα εργασία. Σχέδια από τη φάση της σχεδίασης της εγκατάστασης στο AUTOCAD αλλά και λεπτομέρειές της, παρουσιάζονται αναλυτικά στο παράρτημα 3 μαζί με χαρακτηριστικές εικόνες από τη λειτουργία της. Το πρώτο εξαγόμενο από το πείραμα, είναι η ανάλυση της απόδοσης της συσκευής όπως παρουσιάστηκε στο 7 ο κεφάλαιο. Το δεύτερο εξαγόμενο, -εξίσου σημαντικό- είναι η πιστοποίηση της μοντελοποίησης που έγινε στο 6 ο κεφάλαιο. Αυτή η διαδικασία λαμβάνει χώρα στο 8 ο κεφάλαιο. Το εξαγόμενο εδώ, είναι η τυποποίηση των ρυθμίσεων της υπολογιστικής διαδικασίας με τέτοιο τρόπο, ώστε στον επόμενο κύκλο (loop) πιστοποίησης του προϊόντος να έχουμε περισσότερα και πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από το πρώτο στάδιο. Η ακρίβεια της πρόβλεψης με το υπολογιστικό πρόγραμμα, προέκυψε από την καλή αντιστοιχία που επιτεύχθηκε μεταξύ των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης με το βέλτιστο μοντέλο, με τα πειραματικά αποτελέσματα τόσο σε σχέση με την παροχή αέρα στην έξοδο, όσο και με την απόδοση διαχωρισμού της συσκευής. Τέλος, στο 9 ο κεφάλαιο κατατίθεται σύντομα και με την εμπειρία που αποκτήθηκε- μία σειρά από δυνατότητες βελτίωσης του διαχωριστή. Είμαστε στο σημείο που αφήνουμε την ακαδημαϊκή ανάλυση του πεδίου ροής που ολοκληρώθηκε με επιτυχία και επικεντρωνόμαστε στην πιο πρακτική πτυχή, της βελτίωσης της απόδοσης της συσκευής. ix

16 Περίληψη Summary The growth experienced in recent decades in the extraction of hydrocarbons, led to the adoption of increasingly modern technical products towards the phase separation near the source. The centrifugal separator is the most successful and widespread application. In this range of products, belongs the novel centrifugal separator presented in the present study. The analysis tries to balance between a "strictly scientific" analysis of the turbulent twophase flow field in the separator and a more "practical" analysis of the performance of this device. The first is necessary because of the originality that has the particular scientific field and the lack of previous studies covering the issue; while the latter is essential because of the "practicality" we expect the final result to have. The problem that the present work is trying to solve, and the literature review that determines the direction to be followed by the research team, are presented in the 1 st chapter. To tackle this problem, we follow a standard procedure of an industrial product development in four stages. In the first stage, the concept of function and the theory on which it is based are discussed. In the second stage, an initial investigation of the separator running a CFD simulation is performed. In the third step, an experimental - parametric analysis of the separator s performance is being held. Finally, the fourth step is a confirmation - verification of CFD simulation. The 2 nd chapter, is a theoretical analysis on the development of the governing equations of fluid flow. The equations of motion are developed and the transformation after the turbulence development is explained. At this point it is understood that it is not possible to solve them by analytical methods but with numerical. This is the beginning of the entry of numerical methods in fluid mechanics. The 3 rd chapter, outlines the theoretical background upon which the analysis of twophase flows and of turbulent flows is based. The theoretical analysis is completed in the 4 th chapter by deepening in the numerical solution of equations of the second chapter. We begin with a brief presentation of the methods developed in recent decades, focusing on the method used in this work. Several simulation models focusing on the two-phase flow are presented here. Because this topic includes extensive mathematics, several sections were carried in Annex 1 to allow for consistency to the body of work, and maintain a balance between theoretical analysis and practice - research approach mentioned earlier. The presentation of pure research project starts in the 5 th chapter, following the logical and chronological sequence that was analyzed before, with four stages in the product development. In this chapter, we discussed the concept of function and the theory on which it is based, and presented drawings of the design procedure in AUTOCAD. Apart from this however, it was decided to go a step further by building the grid of the flow field inside separator geometry. The reason is purely technical and is the similarity of the following two tasks: the design in AUTOCAD and geometry and mesh generation in GAMBIT. So the grid was generated in order not to revert to the use of GAMBIT in the next chapter. In the 6 th chapter, we investigate the operation of the separator, by conducting an initial CFD simulation. An investigation of air-water separation process has been conducted using x

17 Υπολογιστική και Πειραματική Ανάλυση Διφασικής Ροής Αέρα Νερού σε Φυγοκεντρικούς Διαχωριστές numerical simulation. Separator performance has been analyzed in terms of separation efficiency and pressure drop along the water flow path. The results of the analysis show that the performance increases with the inflow speed of the mixture which is scientifically correct - acceptable. Having achieved a converged solution and having produced images of the flow inside the separator we give a qualitative assessment of the flow field. Because the extracted work here is mostly pictures of the FLUENT describing the flow, these are listed in Annex 2 to facilitate the flow of the thesis. In the 7 th chapter, the experimental - parametric analysis of the separator s performance is conducted. New experimental data are reported, on the onsets of gas (air) and liquid (water) entrainment, mass flow rate and separation performance for the two-phase flow through the novel compact phase separator under various conditions. These data series 3 3 cover the ranges of 1m / h m 0 water 4m / h and 4% vf air 90%. Influences of the independent parameters m 0 and air m 0 combined as air volume fraction vf water air on the performance n, were considered. In this chapter, special emphasis is placed on describing the experimental setup, which did not exist, but was designed and built from scratch for this work. Designs from the design stage of the installation in AUTOCAD and its details are presented in detail in Annex 3 along with typical images of the operation. The first outcome of the experiment is the analysis of device s performance as presented in chapter 7. The second outcome, -equally important- is the certification of modeling technique applied in chapter 6. This process takes place in the 8 th chapter. The outcome, is to standardize the configuration of the computational process in such a way, that in the next development loop of the product, we have more and more reliable results than in the first stage. Finally, in chapter 9 (deposited soon after the experience gained), a series of possible improvements in the separator are presented. We leave it to the point that the academic analysis of the flow field was completed successfully and focus on more the practical aspect of improving the device s performance. xi

18

19 Εισαγωγή 1. Εισαγωγή 1.1. Προσδιορισμός του Προβλήματος Η τεχνολογία διαχωρισμού αέριας και υγρής φάσης που εφαρμόζεται τις τελευταίες δεκαετίες βασίζεται κυρίως στη βαρύτητα. Αυτοί οι συμβατικοί διαχωριστές χρησιμοποιούν μεγάλα και βαριά δοχεία. Η τεχνολογία αυτή είναι ιδιαίτερα δαπανηρή, ειδικά για υπεράκτιες εφαρμογές. Το απαιτούμενο βάρος και μέγεθος είναι συνήθως εμπόδιο για κατασκευές πάνω σε θαλάσσιες πλατφόρμες. Η ανάγκη όμως να εξερευνηθούν νέα υποθαλάσσια κοιτάσματα πετρελαίου, με παράλληλη μείωση των δαπανών για εξοπλισμό, έδωσε την ώθηση για έρευνα πάνω σε νέους πιο συμπαγείς διαχωριστές υγρών - αερίων. Μία από τις πιο ελπιδοφόρες προσεγγίσεις χρησιμοποιεί την αρχή του στροβιλισμού (cyclone concept). Ο υπόψη εξοπλισμός είναι απλός (χωρίς κινητά μέρη), συμπαγής, με χαμηλό βάρος και περιορισμένο κόστος. Τα χαρακτηριστικά αυτά ενισχύουν την ταχεία προώθηση της χρήσης του στη βιομηχανία ως εναλλακτική λύση στους συμβατικούς διαχωριστές που βασίζονται στη βαρύτητα. Επί του παρόντος η έννοια του κυκλώνα χρησιμοποιείται στο σχεδιασμό διαφόρων συστημάτων. Επιγραμματικά μπορούμε να αναφέρουμε τα: Vertical Annular Separation and Pumping System (VASPS; Gregory [1], BP report [2], Entress et al. [3]), το Gas Liquid Cylindrical Cyclone (GLCC; Kouba et al. [4], Kouba and Shoham [5] and Marti et al. [6]), και Cyclone Separator (CS; Franca et al. [7]). Μια εναλλακτική λύση για το διαχωρισμό υγρής αέριας φάσης, η οποία είναι ελκυστική από οικονομική άποψη, είναι ο Φυγοκεντρικός Διαχωριστής (CPS - Centrifugal Phase Separator) που προτείνεται στην παρούσα μελέτη. Είναι μία απλή, και χαμηλού κόστους συσκευή διαχωρισμού δύο φάσεων. Είναι ένα κατακόρυφο τμήμα σωλήνα, το οποίο συνδέει δύο «έλικοειδή» (στην είσοδο και στην έξοδο). Ο διαχωρισμός επιτυγχάνεται με τη φυγόκεντρο και τις επιπτώσεις της βαρύτητας. Για να γίνουν περαιτέρω βελτιώσεις στο σχεδιασμό του φυγοκεντρικού διαχωριστή, είναι απαραίτητη μια καλή κατανόηση της δυναμικής των ρευστών που διέπει το πρόβλημα. Οι αναλυτικές τεχνικές είναι αναποτελεσματικές, χρονοβόρες και δεν επιτρέπουν γρήγορη εκτίμηση τυχόν αλλαγών στη γεωμετρία της ροής. Το πρόβλημα αυτό παρακάμπτεται με τη χρήση της Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής (CFD). Συγκεκριμένα, με τη χρήση υπολογιστικών μοντέλων που χρησιμοποιούν εξισώσεις RANS (Reynolds- Averaged Navier-Stokes). Έτσι με έναν οικονομικό και γρήγορο τρόπο, έχουμε τη δυνατότητα κατανόησης της πολύπλοκης δυναμικής των ρευστών και του πώς μπορεί να επηρεαστεί αυτή από αλλαγές στο σχεδιασμό και τις συνθήκες λειτουργίας. Το θέμα εδώ είναι η αξιοπιστία των αποτελεσμάτων. Για να είναι έγκυρη η τεχνική επίλυσης πρέπει να υπάρχει εμπειρία σε παρόμοια γεωμετρία ροής, ή τουλάχιστον κάποια σειρά μετρήσεων για αντιπαραβολή. Στην περίπτωση του πεδίου ροής του πρότυπου διαχωριστή της παρούσας διατριβής, δεν υπάρχει τίποτε από τα ανωτέρω.για να αποκατασταθεί η εμπιστοσύνη στις προβλέψεις μας λοιπόν, απαιτείται επικύρωση των αποτελεσμάτων της CFD-ανάλυση με κάποιο πείραμα. 1

20 Υπολογιστική και Πειραματική Ανάλυση Διφασικής Ροής Αέρα Νερού σε Φυγοκεντρικούς Διαχωριστές Ο στόχος της παρούσας διατριβής λοιπόν είναι να υλοποιήσει έναν πλήρη κύκλο δοκιμής και πιστοποίησης του διαχωριστή. Δηλαδή να υλοποιήσει τις τρείς ακόλουθες φάσεις: Φάση 1 η : Παραγωγή και παρουσίαση των προβλέψεων σχετικά με την απόδοση διαχωρισμού από την άποψη της μέσης ροής μάζας, μέσα σε έναν εργαστηριακής κλίμακας φυγόκεντρο διαχωριστή χρησιμοποιώντας RANS CFD. Ένα υπολογιστικό μοντέλο βασισμένο στον εμπορικό κώδικα FLUENT 6 εξελίχτηκε για το σκοπό αυτό και επιλύθηκε για τρισδιάστατη διφασική ροή (υγρό αέριο) μέσα στο διαχωριστή. Σε αυτή τη φάση εφαρμόστηκαν όλοι οι γνωστοί κανόνες για την βέλτιστη απόδοση του μοντέλου. Στη σωστή επιλογή και εφαρμογή αυτών των κανόνων (ελλείψει πειραματικών δεδομένων), βασίζεται η πεποίθησή μας για ρεαλιστική προσομοίωση της ροής σε αυτή τη φάση. Φάση 2 η : Διεξαγωγή κατάλληλου πειράματος για την συλλογή και παρουσίαση των κατάλληλων δεδομένων που περιγράφουν τη ροή μέσα στο διαχωριστή και κατά συνέπεια την απόδοσή του. Φάση 3 η : Σύγκριση των δεδομένων των δύο πρώτων φάσεων. Η υπολογιζόμενη συμπεριφορά της ροής συγκρίνεται με τα πειραματικά αποτελέσματα για τη δημιουργία ενός επιπέδου εμπιστοσύνης στις αριθμητικές προβλέψεις και να καθοριστούν οι επιδόσεις του «άριστου» μοντέλου. Οι παράγοντες προσομοίωσης όπως ο τύπος του πλέγματος, το μοντέλο τύρβης, το μοντέλο οριζόντιας μεταφοράς (advection sheme) και το επίπεδο ανάλυσης του πλέγματος δοκιμάζονται με σκοπό να βρεθεί ο καλύτερος συνδυασμός μεταξύ τους Ανασκόπηση Βιβλιογραφίας Μια ανασκόπηση της αρχειακής βιβλιογραφίας έδειξε ότι έχουν γίνει σημαντικές πρόοδοι στην προσομοίωση διαχωριστών κυκλώνα. Οι Boysan et al. [8] οι οποίοι ήταν από τους πρώτους χρήστες της τεχνολογίας CFD, εφάρμοσαν το αλγεβρικό μοντέλο (ASM) σε προσομοιώσεις ενός διαχωριστή κυκλώνα. Αργότερα οι Zhou et al. [9], Modigell et al. [10], και Hoekstra et al. [11] εφάρμοσαν CFD σε αυτό το πρόβλημα με διάφορους βαθμούς επιτυχίας. Στις εργασίες τους έκαναν προσομοιώσεις σε δύο διαστάσεις μονοφασικής ροής σε κυκλώνες αντιμετωπίζοντας το πεδίο ροής ως σταθερό και συμμετρικό ως προς έναν άξονα. Ωστόσο για να πάρουμε περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τα πολύπλοκα πεδία ροής σε συσκευές κυκλώνα, είναι απαραίτητο να εκτελεστούν αριθμητικές προσομοιώσεις σε τρεις διαστάσεις. Αρκετοί ερευνητές έχουν διεξάγει αριθμητικές προσομοιώσεις του διαχωριστή κυκλώνα σε τρεις διαστάσεις (Griffiths et al. [12], Zhao et al. [13], Yoshida et al. [14,15], Montavon et al. [16], Schimdit et al. [17], Wang et al. [18], Derksen et al. [19], Derksen [20], Witt et al. [21]). Αυτοί οι συγγραφείς δοκίμασαν διάφορα μοντέλα τύρβης, από το algebraic stress model [13], standard k-ε [14,15,16,21], RNG k-ε [12], και ένα μοντέλο Reynolds stress [18,21]. Μελέτες τους έχουν αποδείξει ότι η Υπολογιστική Ρευστομηχανική ακόμη δεν μπορεί να παράγει μια πολύ ακριβή περιγραφή του πεδίου ροής λόγω των δυσκολιών στην μοντελοποίηση των φαινομένων στην περιστροφική (στροβιλώδη) ροή. Τα 2

21 Εισαγωγή αποτελέσματα για την πτώση της πίεσης έχουν «μέτρια ταύτιση» με τα πειραματικά δεδομένα. Η πειραματική πτώση της πίεσης ήταν μεγαλύτερη από την υπολογιζόμενη πτώση πίεσης κατά 60%, 15%, και 16% για τυποποιημένο k-ε [15], RNG k-ε [12], και Reynolds Stress Model [18], αντίστοιχα. Πρόσφατα, Large Eddy Simulation (LES) χρησιμοποιήθηκε για την πρόβλεψη των χαρακτηριστικών αστάθειας, σπειροειδούς μορφής, και των χαρακτηριστικών δίνης του πυρήνα ενός διαχωριστή κυκλώνα [17,19,20]. Επιτεύχθηκε καλή συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα τόσο όσον αφορά τη μέση ταχύτητα όσο και τις διακυμάνσεις της ταχύτητας, όταν χρησιμοποιήθηκε υψηλή χωρική και χρονική ανάλυση. Η υπεροχή της LES προσέγγισης σε σχέση με την προσέγγιση Reynolds average φάνηκε ξεκάθαρα, αλλά με σημαντικά αυξημένο «υπολογιστικό κόστος». Ενώ τα αποτελέσματα ανάλυσης της ροής με CFD δίνουν μία πρώτη εικόνα της περίπλοκης διφασικής ροής μέσα στο διαχωριστή, τα πειραματικά δεδομένα χρειάζονται για να επικυρωθεί η αριθμητική ανάλυση. Μια πρωτοποριακή πειραματική μελέτη με «τοπικές» μετρήσεις σε στροβιλώδεις ροές έγινε από τους Nissan και Bresan [22]. Οι Ito et al [23] ερεύνησαν την εξασθένιση του στροβίλου σε μία εφαπτομενικά εγχεόμενη στροβιλώδη ροή. Το πεδίο ταχυτήτων σε εξασθενούσα στροβιλώδη ροή μέσα σε έναν σωληνοειδή αγωγό μελετήθηκε από τους Algifri et al [24] με τη χρήση της τεχνικής hot wire probe. O Kitoh [25] μελέτησε στροβιλώδεις ροές που παράγονται με οδηγά πτερύγια. Αποδείχτηκε ότι η ένταση του στροβίλου εξασθενεί εκθετικά στην κατεύθυνση του άξονα της ροής. Αργότερα οι Yu και Kitoh [26] εξέλιξαν μια αναλυτική μέθοδο για την πρόβλεψη της εξασθένισης μιας στροβιλώδους ροής μέσα σε έναν ευθύ σωληνοειδή αγωγό. Σε μελέτη των Chang και Dhir [27], τυρβώδες πεδίο ροής σε έναν σωλήνα ερευνήθηκε εγχύοντας αέρα εφαπτομενικά μέσα στο σωλήνα. Παρουσιάστηκαν προφίλ μέσης ταχύτητας στον διαμήκη αλλά και στον εγκάρσιο άξονα μαζί με τις τάσεις Reynolds. O Κurokawa [28] χρησιμοποίησε ένα Laser Doppler Velocimeter (LDV) και έναν σωλήνα Pitot για να χαρακτηρίσει τη στροβιλώδη ροή. Επιβεβαίωσε την ύπαρξη ενός πολύπλοκου προφίλ ταχυτήτων στη στροβιλώδη ροή, διακρίνοντας τρεις περιοχές για την εφαπτομενική συνιστώσα της ταχύτητας: έναν βίαιο στρόβιλο στον κεντρικό άξονα (εσωτερική περιοχή), ένα ελεύθερο στρόβιλο κοντά στα τοιχώματα (περιοχή τοιχώματος) και μια ενδιάμεση περιοχή (περιοχή δακτυλίου). Ο Erdal [29] μέτρησε εφαπτομενική και αξονική κατανομή ταχυτήτων καθώς και τις αντίστοιχες διακυμάνσεις (ταλαντώσεις) τους. Παρόμοιες αναφορές σε συμβατικούς (στροβιλώδεις) διαχωριστές φάσεων που λειτουργούν σε παρόμοιες συνθήκες αναφέρθηκαν και από τους Oropeza-Vazquez et al [30] (πείραμα και προσομοίωση) και Barbat et al [31] (υπολογιστικό) και δίνουν μία ενδοσκόπηση στους διαχωριστές που δυνητικά θα αντικαταστήσει ο νέος διαχωριστής της παρούσας έρευνας. Ο Hassan et al [32] δίνει μια λεπτομερή περιγραφή της πειραματικής διαδικασίας και ανάλυσης που πρέπει να ακολουθηθεί για την μελέτη απόδοσης τέτοιων συσκευών. Μια αρχική αριθμητική επίλυση της ροής έγινε από τους Ghiaus και Μάργαρη [33] χρησιμοποιώντας το υπολογιστικό πρόγραμμα PHOENICS, δίνοντας μια αρχική «ποιοτική» (όχι ποσοτική) εικόνα της ροής μέσα στον διαχωριστή. 3

22 Υπολογιστική και Πειραματική Ανάλυση Διφασικής Ροής Αέρα Νερού σε Φυγοκεντρικούς Διαχωριστές Όπως φαίνεται από την ανωτέρω ανασκόπηση βιβλιογραφίας, δεν είναι πολλές οι επιστημονικές ερευνητικές αναφορές πειραματικές, αναλυτικές ή υπολογιστικές - σχετικά με την απόδοση φυγοκεντρικών διαχωριστών. Αυτό το κενό έρχεται να καλύψει η παρούσα έρευνα Ροή Εργασίας Για την αντιμετώπιση του προβλήματος που αναλύθηκε στην 1η παράγραφο, με τα υπάρχοντα ερευνητικά δεδομένα που παρατέθηκαν στην 2η παράγραφο, ακολουθείται η τυπική διαδικασία εξέλιξης ενός βιομηχανικού προϊόντος. 1 ο Στάδιο: Αρχικά αναλύεται η ιδέα concept- λειτουργίας και η θεωρία πάνω στην οποία βασίζεται. 2 ο Στάδιο: Αρχική διερεύνηση λειτουργίας του διαχωριστή, με προσομοίωση της ροής με Υπολογιστική Ρευστομηχανική. 3 ο Στάδιο: Πειραματική παραμετρική ανάλυση της λειτουργίας του διαχωριστή. 4 ο Στάδιο: Επιβεβαίωση πιστοποίηση τεχνικής προσομοίωσης. Με την ολοκλήρωση αυτού του κύκλου loop εξέλιξης προϊόντος, έχουμε επιτύχει δύο στόχους: α. Πλήρη γνώση των δυνατοτήτων του διαχωριστή φάσεων με την παρούσα γεωμετρία. Γνωρίζοντας τα δυνατά και αδύνατα σημεία του διαχωριστή, είμαστε σε θέση να προτείνουμε το εύρος καλής λειτουργίας του αλλά και αλλαγές στη γεωμετρία για βελτίωση των επιδόσεων του. β. Παγίωση μιας πιστοποιημένης τεχνικής προσομοίωσης του πεδίου ροής ώστε να έχουμε τη δυνατότητα να διερευνήσουμε πολλές προτεινόμενες τροποιήσεις και με σχετική ασφάλεια να απορρίψουμε κάποιες και να επιλέξουμε άλλες για να κάνουμε έναν δεύτερο κύκλο εξέλιξης βελτίωσης. Ο δεύτερος πλέον κύκλος θα είναι σαφώς πιο γρήγορος και με καλύτερα αποτελέσματα Δομή Προεπισκόπηση Διατριβής Η ανωτέρω αναλυθείσα ροή, οδηγεί στην δομή εργασίας σε κεφάλαια και παραρτήματα ως ακολούθως: Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Κεφάλαιο 2: Η κίνηση των Ρευστών Κεφάλαιο 3: Ειδικές Περιπτώσεις Ροής Ρευστών Κεφάλαιο 4: Αριθμητική Επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 5: Παρουσίαση Πρότυπου Φυγοκεντρικού Διαχωριστή. Σχεδίαση Κατασκευή Παραγωγή Πλέγματος Κεφάλαιο 6: CFD ανάλυση Πρότυπου Φυγοκεντρικού Διαχωριστή Κεφάλαιο 7: Πειραματική Ανάλυση Πρότυπου Φυγοκεντρικού Διαχωριστή Κεφάλαιο 8: Πιστοποίηση Τεχνικής Προσομοίωσης Κεφάλαιο 9: Ανακεφαλαίωση και Προοπτικές Παράρτημα 1: Αριθμητική Επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων με το FLUENT Παράρτημα 2: Φωτογραφίες Διφασικής Ροής Διαχωριστή Παράρτημα 3: Λεπτομέρειες Φωτογραφίες Πειράματος 4

23 Εισαγωγή Βιβλιογραφικές Αναφορές [1] Gregory, J., VASPS (Vertical Annular Separator and Pumping System) sends subsea separation on downward spiral to success. Offshore Eng. 24, [2] BP s Integrated Subsea Drilling/Production System, Ocean Industry, 1990, Nov., pp [3] Entress, J.H., Pridden, D.L., Baker, A.C., The current state of development of the VASPS subsea separation and pumping system. Offshore Technology Conference, May, [4] Kouba, G.E., Shoham, O., Shirazi, S., Design and performance of gas liquid cylindrical cyclone separators. Proceedings of the BHR Group, 7th International Conference on Multiphase Flow, Cannes France, June 7 9. [5] Kouba, G., Shoham, O., A review of gas liquid cylindrical cyclone (GLCC) technology. International Conference on Production Separation Systems, Aberdeen, UK, April [6] Marti, S.K., Erdal, F.M., Shoham, O., Shirazi, S.A., Kouba, G.E., Analysis of gas carry-under in gas liquid cylindrical cyclones. International Conference on Hydrocyclones, Cambridge, UK, April 2 4. [7] Franca, F.A., Rosa, E.S., Bannwart, A.C., Moura, L.F., Alhanati, F.J., Hydrodynamic studies on a cyclone separator. Offshore Technology Conference, Houston, May, OTC 8059, [8] Boysan, F., Ayers, W. H., and Swithenbank, J., 1982, A Fundamental Mathematical Modeling Approach to Cyclone Design, Trans. Inst. Chem. Eng., 16, pp [9] Zhou, L. X., and Soo, S. L., 1990, Gas-Solid Flow and Collection of Solids in a Cyclone Separator, Powder Technol., 63, pp [10] Modigell, M., and Weng, M., 2000, Pressure Loss and Separation Characteristics Calculation of a Uniflow Cyclone With a CFD Method, Chem. Eng. Technol., 23, pp [11] Hoekstra, A. J., Derksen, J. J., and Van Der Akker, H. E. A., 1999, An Experimental and Numerical Study of Turbulent Swirling Flow in Gas Cyclones, Chem. Eng. Sci., 54, pp [12] Griffiths, W. D., and Boysan, F., 1996, Computational Fluid Dynamics (CFD) and Empirical Modeling of the Performance of a Number of Cyclone Samples, J. Aerosol Sci., 27, pp [13] Zhao, J. Q., and Abrahamson, J., 1999, The Flow in Conical Cyclones, Second International Conference on CFD in the Minerals and Process Industries, Melbourne, Australia, Dec. 6 8, 1999; CSIRO, pp

24 Υπολογιστική και Πειραματική Ανάλυση Διφασικής Ροής Αέρα Νερού σε Φυγοκεντρικούς Διαχωριστές [14] Yoshida, H., Saeki, T., Hashimoto, K., and Fujioka, T., 1991, Size Classification of Sub-Micron Powder by Air Cyclone and Three-Dimensional Analysis, J. Chem. Eng. Jpn., 24, pp [15] Yoshida, H., Fukui, K., Yoshida, K., and Shinoda, E., 2001, Particle Separation by Iinoya s Type Gas Cyclone, Powder Technol., 118, pp [16] Montavon, C. A., Grotjans, H., Hamill, I. S., Phillips, H. W., and Jones, I. P., 2000, Mathematical Modelling and Experimental Validation of Flow in a Cyclone, 5th International Conference on Cyclone Technologies, Warwick, UK, 31 May 2 June, 2000; BHR Group, pp [17] Schmidt, S., and Blackburn, H. M., 2003, Simulation of Turbulent Flow in a Cyclonic Separator, Third International Conference on CFD in the Minerals and Process Industries, Melbourne, Australia, Dec ; CSIRO, pp [18] Wang, B., Xu, L. X., Xiao, G. X., Chu, K. W., and Yu, A. B., 2003, Numerical Study of Gas-Solid Flow in a Cyclone Separator, Third International Conference on CFD in the Minerals and Process Industries, Melbourne, Australia, Dec ; CSIRO, pp [19] Derksen, J. J., 2003, Separation Performance Predictions of a Stairmand High- Efficiency Cyclone, AIChE J., 49, pp [20] Derksen, J. J., and Van den Akker, H. E. A., 2000, Simulation of Vortex Core Precession in a Reverse-Flow Cyclone, AIChE J., 46, pp [21] Witt, P. J., and Mittoni, L. J., 1999, Validation of a CFD Model for Predicting Gas Flow in a Cyclone, CHEMECA99, Newcastle, Australia, Dec [22] Nissan, A. H., and Bresan, V. P., 1961, Swirling Flow in Cylinders, AIChE J., 7, pp [23] Ito, S., Ogawa, K., and Kuroda, C., 1979, Decay Process of Swirling Flow in a Circular Pipe, Int. Chem. Eng., 19, pp [24] Algifri, A. H., Bhardwaj, R. K., and Rao, Y. V. N., 1988, Turbulence Measurements in Decaying Swirl Flow in a Pipe, Appl. Sci. Res., 45, pp [25] Kitoh, O., 1991, Experimental Study of Turbulent Swirling Flow in a Straight Pipe, J. Fluid Mech., 225, pp [26] Yu, S. C. M., and Kitoh, O., 1994, General Formulation for the Decay of Swirling Motion Along a Straight Pipe, Int. Commun. Heat Mass Transfer, 21, pp [27] Chang, F., and Dhir, V. K., 1994, Turbulent Flow Field in Tangentially Injected Swirl Flows in Tubes, Int. J. Heat Fluid Flow, 15, pp [28] Kurokawa, J., 1995, Gas Liquid Flow Characteristics and Gas-Separation Efficiency in a Cyclone Separator, ASME FED-Vol. 225, Gas Liquid Flows, pp [29] Erdal, F., 2001, Local Measurements and Computational Fluid Dynamic Simulations in a Gas Liquid Cylindrical Cyclone Separator, Ph.D. dissertation, The University of Tulsa. 6

25 Εισαγωγή [30] Oropeza-Vazquez, C., Afanador, E., Gomez, L., Wang, S., Mohan, R., Shoham, O., Kouba, G. (2004), Oil water Separation in a Novel Liquid Liquid Cylindrical Cyclone (LLCC ) Compact Separator Experiments and Modellin Journal of Fluids Engineering vol. 126 pp [31] Barbat, T., Bhatia, K., Pitla, S. (2003), CFD Study of Phase Separators in A/C Automotive System, SAE Technical Paper Series, [32] Hassan, I.G., Sollman, H.M., Sims, G.E., Kowalski, J.E. (1998), Two-Phase Flow From a Stratified Region Through a Small Side Branch, Journal of Fluids Engineering vol. 120 pp [33] Ghiaus, A.G., Margaris, P.D. (2002), Numerical Investigation of a Novel Compact Separator, 4th GRACM Cs on Computational Mechanics, GRACM 2002, June, Patras, Greece. 7

26 Υπολογιστική και Πειραματική Ανάλυση Διφασικής Ροής Αέρα Νερού σε Φυγοκεντρικούς Διαχωριστές 8

27 Η Κίνηση των Ρευστών 2. Η Κίνηση των Ρευστών 2.1. Οι Τρόποι που Ρέουν τα Ρευστά Οι ροές που συναντάμε στη φύση αφορούν ρευστά που δεν είναι «ιδανικά», αλλά έχουν ιξώδες. Οι ροές που αφορούν αυτά τα ρευστά, ονομάζονται «ιξώδεις» ροές. Είναι σημαντικό να αναγνωριστούν τα εξής: Οι ιξώδεις ροές (μπορεί να) είναι στρωτές στις περιπτώσεις όπου το ρευστό εξαναγκάζεται και ρέει σαν να ήταν μία σειρά από στρώματα που κινούνται το ένα πάνω στο άλλο. Οι ιξώδεις ροές (μπορεί να) είναι τυρβώδεις στις περιπτώσεις όπου η ροή σε ένα σημείο του πεδίου ρέει προς μία κατεύθυνση μεν, αλλά αυτή η μέση ταχύτητα έχει και ένα επιπρόσθετο τμήμα, φαινομενικά τυχαίας ταλάντωσης (στην εναλλαγή κατεύθυνσης). Κανονικά ένα ρευστό ρέει παράλληλα γύρω από το έμπροσθεν τμήμα ενός αντικειμένου αλλά στο όπισθεν τμήμα του η ροή δεν μένει παράλληλη στην επιφάνεια και το ρευστό στροβιλίζεται. Τότε λέμε ότι η ροή αποκολλάται από την επιφάνεια και αναπτύσσονται στρόβιλοι (δίνες). Όταν ένα ρευστό ρέει γύρω από ένα στερεό σώμα, η ροή επιβραδύνεται. Αυτό συμβαίνει γιατί τα ρευστά είναι «κολλώδη» και παχύρευστα (sticky and viscous). Η περιοχή -του ρευστού- εφαπτομενικά γύρω από το σώμα, η οποία επιβραδύνεται, ονομάζεται οριακό στρώμα. Μέσα στο οριακό στρώμα, η ταχύτητα του ρευστού αλλάζει με την απόσταση από τη στερεή επιφάνεια και έτσι η κίνηση των ρευστών προκαλεί την περιστροφή των αντικειμένων. Εκτός της περιοχής του οριακού στρώματος αυτό δεν συμβαίνει. Όταν το ρευστό απομακρυνθεί από το στερεό, η επίδραση της στερεής επιφάνειας είναι ακόμη εμφανής και αυτή η περιοχή ονομάζεται «απόρευμα» (wake). Όλες οι ανωτέρω ιδιότητες συναντώνται σε προβλήματα βιομηχανικών ροών, και οι τεχνικές μοντελοποίησης πρέπει να μπορούν να τις αναπαράγουν αν αυτές υφίστανται στην πραγματικότητα. Δεδομένου ότι ο υπολογιστής μπορεί να κάνει μόνο μαθηματικές πράξεις, είναι αναγκαίο να περιγράψουμε την κίνηση του ρευστού με μαθηματικούς όρους. Τότε, αν βρεθεί λύση στο μαθηματικό πρόβλημα, μπορεί να προσδιοριστεί μία πρόβλεψη της φυσικής ροής. Για να διευκολυνθεί η διατύπωση του μαθηματικού προβλήματος, πρέπει να οριστούν διάφορες ιδιότητες των ρευστών και να εξελιχθούν οι εξισώσεις που καθορίζουν την διακύμανσή τους στο χώρο και στο χρόνο Ιδιότητες των Ρευστών Τα ρευστά σε κίνηση περιγράφονται με πολλούς τρόπους αλλά πρέπει να βρεθεί μία μέθοδος πλήρους καταγραφής της κατάστασής τους. Ένας προφανής τρόπος, είναι να εξασφαλίσουμε μια περιγραφή της ταχύτητας του ρευστού σε όλα τα σημεία 9

28 Υπολογιστική και Πειραματική Ανάλυση Διφασικής Ροής Αέρα Νερού σε Φυγοκεντρικούς Διαχωριστές του χώρου και χρόνου. Να σημειωθεί ότι η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος και για τον καθορισμό της απαιτείται τόσο μέτρο όσο και κατεύθυνση. Ένας τρόπος καθορισμού του διανύσματος της ταχύτητας είναι να καθοριστούν οι συνιστώσες του σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Αυτή όμως η περιγραφή του πεδίου ταχυτήτων δεν περιέχει αρκετές πληροφορίες για την περιγραφή της κατάστασης του ρευστού πλήρως, καθώς απαιτείται η γνώση και άλλων ιδιοτήτων (μεγεθών) μαζί με την ταχύτητα. Το προφανές ερώτημα είναι ποια είναι αυτά τα μεγέθη. Είναι γνωστό ότι τα ρευστά μπορούν να εξασκούν δύναμη στα στερεά. Για παράδειγμα, σε έναν ισχυρό άνεμο, οι άνθρωποι και τα δένδρα ταλαντώνονται και κεραμίδια σηκώνονται από τις σκεπές. Άρα ο αέρας εξασκεί κάποια αδύναμη σε αυτά τα αντικείμενα. Οι δυνάμεις αυτές χρησιμοποιούνται από διάφορα μέσα μεταφοράς. Τα πλοία επιπλέουν στο νερό αφού αυτό το υγρό εξασκεί πάνω τους την άνωση, ενώ τα αεροπλάνα πετούν μέσα στον αέρα αφού αυτός εξασκεί στις πτέρυγες την άντωση. Ο μηχανισμός που δημιουργεί αυτές τις δυνάμεις είναι ότι το ρευστό εξασκεί πίεση στην επιφάνεια ενός σώματος και αυτή η πίεση λειτουργεί με τέτοιο τρόπο ώστε αν υπολογιστεί το άθροισμα όλων των πιέσεων σε μικρά τμήματα της επιφάνειας του αντικειμένου, προκύπτει μια συνολική δύναμη. Πίεση (ή ένταση) είναι η κάθετη δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας και εμφανίζεται τόσο όταν το ρευστό κινείται όσο και όταν είναι στάσιμο. Για παράδειγμα, ένα πλοίο επιπλέει στο νερό ανεξάρτητα από την ταχύτητά του ενώ ένα συμβατικό αεροσκάφος πρέπει να έχει κάποια ταχύτητα ώστε να αναπτύσσεται άντωση στις πτέρυγες. Εκτός από την πίεση (ή ένταση ή κάθετη τάση), εξ αιτίας του ρευστού υπάρχει και μία τάση η οποία είναι εφαπτόμενη στην επιφάνεια του στερεού. Αυτή η τάση αναπτύσσεται διότι η κύρια μάζα του ρευστού και το στερεό σώμα κινούνται με σχετική ταχύτητα μεταξύ τους με αποτέλεσμα τη «διάτμηση» του ρευστού. Τα ρευστά ανθίστανται σε αυτή τη διάτμηση έτσι ώστε μια «διατμητική» τάση να αναπτύσσεται σε διεύθυνση παράλληλη με αυτή της σχετικής κίνησης του ρευστού ως προς το στερεό. Αυτό συνιστά μια πηγή οπισθέλκουσας στην επιφάνεια η οποία είναι ανάλογη του ιξώδους του ρευστού. Αν το ιξώδες του ρευστού είναι τόσο μικρό ώστε να μπορεί να αγνοηθεί, η ροή θεωρείται άτριβη (inviscid). Αυτό δε συμβαίνει ποτέ στην πραγματικότητα, αλλά είναι μια καλή προσέγγιση για απλοποίηση κάποιων υπολογισμών. Στην πραγματικότητα οι ροές είναι πάντα ιξώδεις (viscous). Το άλλο κύριο μέγεθος ενός ρευστού είναι η πυκνότητα που είναι η μάζα του ρευστού στη μονάδα του όγκου. Όταν φουσκώνουμε το λάστιχο του αυτοκινήτου ο αέρας μέσα του συμπιέζεται. Αυτό συμβαίνει γιατί αναγκάζουμε μια ποσότητα αέρα να καταλάβει έναν όγκο ο οποίος είναι σταθερός και ο οποίος είναι ήδη γεμάτος αέρα. Τελικά αφού στον ίδιο όγκο βρίσκεται μεγαλύτερη ποσότητα αέρα, η πυκνότητα αυξάνεται. Για τις περιπτώσεις που πραγματεύεται η παρούσα εργασία, η πυκνότητα θα θεωρείται σταθερή κάτι που συμβαίνει και στην πραγματικότητα σε ροές χαμηλών ταχυτήτων που δεν έχουμε θερμικά φαινόμενα. Στις περιπτώσεις που η πυκνότητα είναι σταθερή, λέμε ότι η ροή είναι ασυμπίεστη. Αντίθετα για ροές ρευστού υψηλής ταχύτητας κοντά σε αυτή του ήχου, τα φαινόμενα συμπιεστότητας δεν μπορούν να παραλειφθούν. 10

29 Η Κίνηση των Ρευστών Συνοψίζοντας, τα σημαντικά μεγέθη που μαζί με την ταχύτητα μπορούν να περιγράψουν πλήρως τη ροή των ρευστών είναι: Πίεση Ιξώδες Πυκνότητα Για να υπολογιστούν τα ανωτέρω μεγέθη, πρέπει να οριστούν οι μαθηματικές εξισώσεις που καθορίζουν τη σχέση μεταξύ τους. Η ανάπτυξη αυτών των εξισώσεων αναλύεται στις ακόλουθες παραγράφους Εξισώσεις που Περιγράφουν την Κίνηση των Ρευστών Κάθε πρόγραμμα υπολογιστικής ρευστομηχανικής (CFD software package) έχει σαν στόχο να προβλέπει τον τρόπο που ρέει ένα ρευστό σε μια δεδομένη κατάσταση. Για να το επιτύχει αυτό πρέπει να παράγει αριθμητικές λύσεις στις εξισώσεις που καθορίζουν την κίνηση του ρευστού (κυβερνώσες εξισώσεις governing equations). Σε ότι αφορά τον αναλυτή που διαχειρίζεται το «υπολογιστικό πρόγραμμα», απαιτείται να έχει γνώση τόσο των ιδιοτήτων του ρευστού οι οποίες θα πρέπει να μοντελοποιηθούν ανάλογα, όσο και των εξισώσεων που καθορίζουν την κίνηση. Αυτές οι εξισώσεις παράγονται ξεκινώντας με δεδομένη την αρχή διατήρησης της μάζας και της ορμής. Στις επόμενες παραγράφους αναλύεται με συντομία η φιλοσοφία που διέπει την εξέλιξη των εξισώσεων κίνησης των ρευστών ή αλλιώς «κυβερνωσών εξισώσεων» ή εξισώσεων κίνησης. Η ακριβής μαθηματική εξαγωγή τους ξεφεύγει από τους σκοπούς της παρούσας διατριβής. Με δεδομένες τις εξισώσεις κίνησης, το επόμενο βήμα είναι η παραγωγή αριθμητικού ανάλογου (των διαφορικών εξισώσεων) και η παραγωγή αριθμητικής πρόβλεψης (επίλυσης) της ροής. Ωστόσο, σε αυτό ακριβώς το σημείο απαντώνται διάφορα προβλήματα στην προσπάθεια παραγωγής αριθμητικής επίλυσης των αναλυτικών εξισώσεων. Το ένα πρόβλημα αφορά στη φυσική της ροής και στο πως θα μοντελοποιηθεί η τύρβη, καθώς περιπλέκει αρκετά την κατάσταση αφού έχει φαινομενικά τυχαία επίδραση σε κάθε σημείο της ροής. Στις ακόλουθες παραγράφους λοιπόν θα επιχειρηθεί μια συνοπτική παρουσίαση των επιδράσεων της τύρβης στη ροή και πως αυτή μοντελοποιείται Ανάπτυξη των Εξισώσεων Κίνησης Όταν ρέουν τα ρευστά, υπάρχει κίνηση προς τις τρείς διευθύνσεις. Για να αντιμετωπιστεί όμως η πολυπλοκότητα του προβλήματος, συχνά θεωρούμε τη ροή σε δύο διαστάσεις. Αυτή η υπόθεση είναι χρήσιμη γιατί μειώνει τις παραμέτρους που πρέπει να ληφθούν υπόψη. Έτσι, για την ανάλυση που ακολουθεί στις επόμενες παραγράφους, η ροή ρευστών θεωρείται δύο διαστάσεων. Τέτοιες ροές, περιλαμβάνουν όλα τα χαρακτηριστικά που είναι απαραίτητα για την επίδειξη της διαδικασίας που ακολουθείται για την παραγωγή των μαθηματικών εξισώσεων, ενώ 11