Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Transcript

1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

2 ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá 7, èá äïèïýí óôï ìüèçìá áõôü ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéáò ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï áíáãíþóôçò ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá. 8. ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß 8.. Ïñéóìüò óõíý åéáò Ïñéóìüò (óõíý åéáò). óôù ç óõíüñôçóç f D êáé óçìåßï 0 D. Ôüôå ç f èá ëýãåôáé óõíå Þò (continuous) óôï óçìåßï 0 D ôüôå êáé ìüíïí, üôáí õðüñ åé ôï lim 0 f() êáé éó ýåé (Ó a) lim f() = f ( 0 ) : (8.. - ) 0 Óå êüèå Üëëç ðåñßðôùóç èá ëýãåôáé áóõíå Þò óôï óçìåßï 0 (Ó b êáé Ó ). Ïñéóìüò (ðëåõñéêþò óõíý åéáò). Ç óõíüñôçóç f D èá ëýãåôáé áñéóôåñü, áíôßóôïé á äåîéü óõíå Þò óôï óçìåßï 0 D ôüôå êáé ìüíïí, üôáí lim f() = f ( 0 ) (Ó a), áíôßóôïé á lim + 0 > 0 f ( 0 ) (Ó b). f() =

3 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f 3 f (a) 3 5 (b) Ó Þìá : (a) ÓõíÜñôçóç óõíå Þò óôï 0 = 3. Éó ýåé lim 0 f() = f ( 0 ). (b) Áóõíå Þò óôï 0 = 3. ÕðÜñ åé ôï lim 0 f() êáé åßíáé äéáöïñåôéêü áðü ôï f ( 0 ) f f (a) 3 (b) Ó Þìá : ÓõíÜñôçóç áóõíå Þò óôï 0 = 3, åðåéäþ lim f() 0 lim + f(). (a) ÁñéóôåñÜ óõíå Þò êáé (b) äåîéü óõíå Þò óôï 0 = 3 0 Åýêïëá áðïäåéêíýåôáé óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü üôé ïé óõíáñôþóåéò a, ïé ôñéãùíïìåôñéêýò êáé ç e åßíáé óõíå åßò óõíáñôþóåéò. 8.. Éäéüôçôåò óõíå þí óõíáñôþóåùí Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ïé éäéüôçôåò ôùí óõíå þí óõíáñôþóåùí ìå ôç ìïñöþ ðñïôüóåùí. Ðñüôáóç Áí f; g D óõíå åßò óõíáñôþóåéò óôï óçìåßï 0 D, ôüôå êáé ïé óõíáñôþóåéò f ± g êáé f g åßíáé óõíå åßò óôï óçìåßï 0 D. Ðñüôáóç Áí f; g D óõíå åßò óõíáñôþóåéò óôï óçìåßï 0 D êáé f ( 0 ) 0, ôüôå õðüñ åé ðåñéï Þ $ ( 0 ), ôýôïéá þóôå f ( 0 ) 0 ãéá êüèå Ãéá ôïí ïñéóìü ôçò ðåñéï Þò åíüò óçìåßïõ âëýðå ÌÜèçìá 7 Ïñéóìüò 7::.

4 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß 3 $ ( 0 ), ïðüôå ç óõíüñôçóç =f Ý åé Ýííïéá ãéá êüèå D $ ( 0 ) êáé åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï 0 D. Óýìöùíá ìå ôéò éäéüôçôåò áõôýò ïé ðïëõùíõìéêýò, ñçôýò, õðåñâïëéêýò óõíáñôþóåéò åßíáé óõíå åßò óõíáñôþóåéò óôá ðåäßá ïñéóìïý ôùí ÈåùñÞìáôá óõíå þí óõíáñôþóåùí Èåþñçìá (óýíèåôçò óõíüñôçóçò). óôù üôé ç óõíüñôçóç u = g() D åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï 0 D êáé ç óõíüñôçóç f(u) g(d) åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï u 0 = g ( 0 ) g(d). Ôüôå ç óýíèåôç óõíüñôçóç h() = f(g()) D åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï 0 D. ÐáñÜäåéãìá Ç óõíüñôçóç f() = ln ( + ) åßíáé óõíå Þò, åðåéäþ åßíáé óýíèåóç ôùí óõíå þí óõíáñôþóåùí (Ó ) f(u) = ln u; üôáí u = g() = + : f y (a) (b) Ó Þìá : (a) ÓõíÜñôçóç f() = ln ( + ), üôáí [ 5; 5]. (b) ÓõíÜñôçóç + ðñüóéíç êáé ln ìðëå êáìðýëç

5 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ç óõíüñôçóç f() = e åßíáé óõíå Þò, åðåéäþ åßíáé óýíèåóç ôùí óõíå þí óõíáñôþóåùí (Ó ) f(u) = e u ; üôáí u = : Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ùñßò áðüäåéîç ôá êõñéüôåñá èåùñþìáôá åðß ôùí f (a) y 6 (b) Ó Þìá : (a) ÓõíÜñôçóç f() = e, üôáí [ ; ]. (b) ÓõíÜñôçóç ðñüóéíç êáé e ìðëå êáìðýëç óõíå þí óõíáñôþóåùí. Èåþñçìá (áíôßóôñïöçò óõíüñôçóçò). óôù üôé ç óõíüñôçóç f D åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï 0 D. Ôüôå, áí õðüñ åé ç áíôßóôñïöþ ôçò óõíüñôçóç f f(d), ç f èá åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï ç 0 = g ( 0 ) g(d). Óýìöùíá ìå ôï Èåþñçìá ç ëïãáñéèìéêþ, ïé áíôßóôñïöåò ôñéãùíïìåôñéêýò êáé ïé áíôßóôñïöåò õðåñâïëéêýò óõíáñôþóåéò åßíáé óõíå åßò óõíáñôþóåéò. Èåþñçìá (Bolzano). óôù üôé ç óõíüñôçóç f() [a; b] åßíáé óõíå Þò ãéá êüèå [a; b]. Ôüôå, áí f(a)f(b) < 0, õðüñ åé ôïõëü éóôïí Ýíá óçìåßï ìå (a; b), Ýôóé þóôå f() = 0. (Ó a) ÅöáñìïãÝò ôïõ èåùñþìáôïò ãßíïíôáé óôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôùí åîéóþóåùí. Ï áíáãíþóôçò ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá êáé óôï âéâëßï Á. ÌðñÜôóïò [] Êåö. 5.

6 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß 5 ÐáñáôÞñçóç Áí ç ñßæá åßíáé ðïëëáðëþ ìå âáèìü ðïëëáðëüôçôáò Üñôéï áñéèìü, ôüôå ôï Èåþñçìá äåí éó ýåé (Ó b) f g (a) Ó Þìá : (a) Èåþñçìá ôïõ Bolzano: f() = äéüóôçìá [ ; ] êáé =. (b) g() = ( ) üðïõ ç ñßæá = Ý åé ðïëëáðëüôçôá êáé ôï èåþñçìá äåí åöáñìüæåôáé (b) Èåþñçìá (ãåíßêåõóç Bolzano Þ åíäéüìåóùí ôéìþí). óôù f [a; b] ìßá óõíå Þò óõíüñôçóç êáé f(a) = ç, f(b) = ç ìå ç ç. Áí õðïôåèåß ùñßò ðåñéïñéóìü ôçò ãåíéêüôçôáò üôé ç < ç, ôüôå ãéá êüèå ç (ç ; ç ), õðüñ åé ôïõëü éóôïí Ýíá óçìåßï (ç ; ç ), Ýôóé þóôå f() = ç. Ôï èåþñçìá ãåùìåôñéêü óçìáßíåé üôé êüèå åõèåßá ìå åîßóùóç y = ç, ôýìíåé ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò óõíüñôçóçò óå Ýíá ôïõëü éóôïí óçìåßï (Ó ). Óýìöùíá ôþñá ìå ôï Èåþñçìá áðïäåéêíýåôáé ôï ðáñáêüôù èåþñçìá ôçò ëãåâñáò. Èåþñçìá Áí Ýíá ðïëõþíõìï f() = a 0 + a + : : : + a ìå a 0 åßíáé ðåñéôôïý âáèìïý, åíþ ïé óõíôåëåóôýò ôïõ ðñáãìáôéêïß áñéèìïß, ôüôå õðüñ åé ìßá ôïõëü éóôïí ðñáãìáôéêþ ñßæá ôïõ. Èåþñçìá (ìýãéóôçò êáé åëü éóôçò ôéìþò). óôù üôé ç óõíüñôçóç f() [a; b] åßíáé óõíå Þò ãéá êüèå [a; b]. Ôüôå õðüñ åé Ýíá ôïõëü éóôïí óçìåßï [a; b], áíôßóôïé á óçìåßï [a; b], Ýôóé þóôå (Ó ) f() = min f(); áíôßóôïé á f() = ma f(): [a;b] [a;b]

7 6 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f Ó Þìá : Ãåíßêåõóç ôïõ èåùñþìáôïò ôïõ Bolzano f Ó Þìá : Èåþñçìá : ìýãéóôï óôï (:5; 5:0) ðñüóéíï êáé åëü éóôï óôï (3:65; :0) êüêêéíï óçìåßï

8 8. ÁóõíÝ åéá óõíüñôçóçò ÁóõíÝ åéá óõíüñôçóçò 7 Óôçí ðáñüãñáöï áõôþ èá åîåôáóôïýí ôá åßäç áóõíý åéáò ìéáò óõíüñôçóçò (discontinuous function), ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò åöáñìïãýò. 8.. ÁóõíÝ åéá ïõ åßäïõò Ïñéóìüò Ç óõíüñôçóç f D èá ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï 0 D áóõíý åéá ïõ åßäïõò ôüôå êáé ìüíïí, üôáí õðüñ ïõí ïé ðëåõñéêýò ïñéáêýò ôéìýò ôçò f óôï 0 D (Þ áðåéñßæïíôáé) êáé ìßá ôïõëü éóôïí áðü áõôýò åßíáé äéüöïñç áðü ôçí ôéìþ ôçò óõíüñôçóçò (Ó ). ÐáñáôÞñçóåéò Ôüôå: i) ç áóõíý åéá äéïñèþíåôáé Þ áðáëåßöåôáé, üôáí (Ó ) lim 0 f() = lim + 0 f() = ë (8.. - ) ìå ë ðåðåñáóìýíïò áñéèìüò, äçëáäþ õðüñ åé ç ïñéáêþ ôéìþ ôçò óõíüñôçóçò f() = lim 0 f() = ë êáé åßíáé äéáöïñåôéêþ áðü ôçí ôéìþ ôçò óõíüñôçóçò óôï óçìåßï 0. ii) Ç óõíüñôçóç f ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï 0 D ðåðåñáóìýíï Üëìá ìå ôéìþ d üðïõ d = lim 0 f() lim + 0 f() (8.. - ) ôüôå êáé ìüíïí, üôáí ïé ðëåõñéêýò ïñéáêýò ôéìýò åßíáé ðåðåñáóìýíåò êáé äéáöïñåôéêýò ìåôáîý ôïõò (Ó ). iii) Ç f ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï 0 D Üðåéñï Üëìá ôüôå êáé ìüíïí, üôáí ïé ðëåõñéêýò ïñéáêýò ôéìýò åßíáé äéáöïñåôéêýò ìåôáîý ôïõò êáé ç ìßá ôïõëü éóôïí áðü áõôýò áðåéñßæåôáé (Ó ).

9 8 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f Ó Þìá : ÐáñáôçñÞóåéò (i) f 0 f 8 6 (a) (b) Ó Þìá : (a) ÓõíÜñôçóç f() = ep ( ). (b) g() = ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç f() = :5 áí 0 ( ) áí 0 < áí < < : Èá åîåôáóôåß ç óõíý åéü ôçò ìüíï óôá óçìåßá ðïõ áëëüæåé ï ôýðïò ôçò, äçëáäþ óôá 0 êáé, åðåéäþ óå üëï ôï Üëëï ðåäßï ïñéóìïý ôçò ç f åßíáé óõíå Þò (Ó ). Ôüôå

10 ÁóõíÝ åéá óõíüñôçóçò 9 f Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá i) lim 0 f() = :5 = lim 0 + f(), äçëáäþ ç f ðáñïõóéüæåé áóõíý åéá ïõ åßäïõò óôï óçìåßï 0 ìå Üëìá d = 0:5, ðïõ äéïñèþíåôáé áí ôåèåß áí 0 f() = ( ) áí 0 < : ii) lim f() = 0 = lim + f(), äçëáäþ ç f ðáñïõóéüæåé üìïéá áóõíý åéá ïõ åßäïõò óôï óçìåßï ìå Üëìá d =, ðïõ äåí äéïñèþíåôáé, åðåéäþ áðáéôåßôáé ç áëëáãþ ôïõ ôýðïõ ôçò f, óå áíôßèåóç ìå ôçí ðåñßðôùóç (i) ðïõ áðáéôåßôáé ç áëëáãþ ìüíïí ìéáò óôáèåñüò. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ôçò óõíüñôçóç áí 0 f() = áí > 0: ÅîåôÜæåôáé ç óõíý åéü ôçò ìüíï óôï óçìåßï ðïõ áëëüæåé ï ôýðïò ôçò, äçëáäþ óôï 0, åðåéäþ óå üëï ôï Üëëï ðåäßï ïñéóìïý ôçò ç f åßíáé óõíå Þò. Ôüôå lim f() = 0 + = lim f();

11 0 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá äçëáäþ ç f ðáñïõóéüæåé áóõíý åéá ïõ åßäïõò óôï óçìåßï 0 ìå Üðåéñï Üëìá, ðïõ äåí äéïñèþíåôáé (Ó ). Ç f åßíáé áñéóôåñü óõíå Þò óôï óçìåßï 0 (ðëåõñéêþ óõíý åéá). 8.. ÁóõíÝ åéá ïõ åßäïõò Ïñéóìüò Ç óõíüñôçóç f D èá ðáñïõóéüæåé óôï óçìåßï 0 D áóõíý åéá ôïõ ïõ åßäïõò ôüôå êáé ìüíïí, üôáí äåí ïñßæåôáé ç ïñéáêþ ôéìþ ôçò f óôï óçìåßï 0 D. ÐáñÜäåéãìá H óõíüñôçóç f() = sin áí 0 0 áí = 0 åßíáé óõíå Þò ãéá êüèå ( 0 óáí óýíèåóç ôùí óõíå þí óõíáñôþóåùí êáé g() = sin ). Áðïäåéêíýåôáé üôé äåí ïñßæåôáé ç ïñéáêþ ôéìþ óôï óçìåßï 0,

12 ÁóõíÝ åéá óõíüñôçóçò ïðüôå Ý ïõìå áóõíý åéá ôïõ ïõ åßäïõò (Ó ). 3 f g (a) ( ( ) Ó Þìá : (a) ÓõíÜñôçóç f() = sin ). (b) g() = sin (b) ÁóêÞóåéò. Íá åîåôáóôïýí ùò ðñïò ôç óõíý åéá óå üëï ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí ïé ðáñáêüôù óõíáñôþóåéò f() 3 Ãéá ôç óõíý åéá óôï 0 åîåôüæïíôáé ôá ðëåõñéêü üñéá ôçò f. óôù ïé áêïëïõèßåò a = = ìå = ; ; : : : êáé b = + = ìå = ; ; : : : üðïõ lim a = lim b = 0. Ôüôå lim f (a) = lim f (b) = ( ( + ) ( sin ( ) sin ) = + ( ) = ; åíþ ) + = + (+) = + ; äçëáäþ ãéá ôçí ßäéá óõíüñôçóç Ý ïõìå äéáöïñåôéêü üñéá óôï óçìåßï 0, ðïõ åßíáé Üôïðï óýìöùíá ìå ôçí éäéüôçôá ôïõ ìïíïóþìáíôïõ ôïõ ïñßïõ.

13 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò i) ii) iii) ; = 0 ; = ; 0 ; = 0 + ; 0 ; = 0 v) vi) ; [ ] 0; + ; ( ] ; cos ; [ ; 0) ; (0; ) vii) ; [; ] + ; 0 ; = 0 iv) cos sin + sin ; 0 0 ; = 0 viii) + e = ; 0 ; = 0. ¼ìïéá ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí f() êáé íá ãßíåé ç ìïñöþ ôïõ äéáãñüììáôïò óôá Üêñá ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôùí ( ) i) e iv) sinh ii) iii) v) ln(sin ) + e = ( ep ) ( ) vi) tan.

14 ÁóõíÝ åéá óõíüñôçóçò 3 3. ¼ìïéá ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí f() i) ln tan ( ) iv) tan ( ) ii) ( + ) tan v) e = iii) e =( ) vi) ln cos. Äåßîôå üôé ç åîßóùóç = 0 Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ðñáãìáôéêþ ñßæá óôï äéüóôçìá (; ). Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçìïóßåõóç Þ áíáðáñáãùãþ ôïõ ðáñüíôïò óôï óýíïëü ôïõ Þ ôìçìüôùí ôïõ ùñßò ôç ãñáðôþ Üäåéá ôïõ Êáè. Á. ÌðñÜôóïõ. bratsos@teiath.gr URL:

15

16 Âéâëéïãñáößá [] ÌðñÜôóïò, Á. (0), ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 978{960{35{87{7. [] ÌðñÜôóïò, Á. (00), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 960{35{53{5/978{960{35{53{. [3] ÎÝíïò È. (008), ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò, Åêäüóåéò ÆÞôç, ISBN 978{ 960{56{09{9. [] ÔóÜãêáò, Ãñ. (990), ÌáèÞìáôá Ìéãáäéêþí ÓõíáñôÞóåùí, Èåóóáëïíßêç. [5] Churchill R., Brown J. (005), ÌéãáäéêÝò óõíáñôþóåéò êáé åöáñìïãýò, ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ISBN 960{7309{{3. [6] Finney R. L., Giordano F. R. (00), Áðåéñïóôéêüò Ëïãéóìüò ÉÉ, ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ISBN 978{960{5{8{. [7] Spiegel M., Wrede R. (006), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Ôæéüëá, ISBN 960{8{087{8. [8] Spiegel M., Comple Variables, Åêäüôçò McGraw-Hill Education { Europe, ISBN 007{060{30{. 5

17 6 ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Page

18 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

19 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 0. Αθανάσιος Μπράτσος. «Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης». Έκδοση:.0. Αθήνα 0. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.