Matematika 2. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 1 / 121
|
|
|
- Ἀβιούδ Αλαβάνος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matematika 2 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 1 / 121
2 Integriranje racionalnih funkcija; primjena integrala Integriranje racionalnih funkcija Problem: integrirati funkciju oblika f (x) = P(x) Q(x), gdje su P(x)i Q(x) polinomi; uvijek možemo pretpostaviti da je degp < degq (inače možemo prvo podijeliti P s Q, i onda za ostatak vrijedi pretpostavka) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 2 / 121
3 Integriranje racionalnih funkcija; primjena integrala Integriranje racionalnih funkcija Problem: integrirati funkciju oblika f (x) = P(x) Q(x), gdje su P(x)i Q(x) polinomi; uvijek možemo pretpostaviti da je degp < degq (inače možemo prvo podijeliti P s Q, i onda za ostatak vrijedi pretpostavka) Ideja: zapisati P(x) Q(x) kao sumu jednostavnijih racionalnih funkcija; tzv. parcijalnih razlomaka, i onda integrirati svaki takav parcijalni razlomak zasebno Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 2 / 121
4 Kako izgledaju parcijalni razlomci? 1 1 (x a) k, gdje je a R, k N Kako rastaviti P(x) Q(x) na parcijalne razlomke? Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 3 / 121
5 Kako izgledaju parcijalni razlomci? 1 1 (x a) k, gdje je a R, k N 2 1 (x 2 +px+q) l, gdje su p, R, l N, a kvadratna funkcija x x 2 + px + q nema realnih nultočaka (dakle p 2 4q < 0). Kako rastaviti P(x) Q(x) na parcijalne razlomke? Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 3 / 121
6 Kako izgledaju parcijalni razlomci? 1 1 (x a) k, gdje je a R, k N 2 1 (x 2 +px+q) l, gdje su p, R, l N, a kvadratna funkcija x x 2 + px + q nema realnih nultočaka (dakle p 2 4q < 0). Kako rastaviti P(x) Q(x) na parcijalne razlomke? Faktorizirati Q(x) na ireducibilne faktore (polinome) (Ireducibilni polinomi (s realnim koeficijentima) su ili polinomi prvog stupnja ili polinomi drugog stupnja bez realnih nultočaka; nakon izlučivanja vodećeg člana: x a, odnosno x 2 + px + q, gdje p 2 4q < 0). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 3 / 121
7 Kako izgledaju parcijalni razlomci? 1 1 (x a) k, gdje je a R, k N 2 1 (x 2 +px+q) l, gdje su p, R, l N, a kvadratna funkcija x x 2 + px + q nema realnih nultočaka (dakle p 2 4q < 0). Kako rastaviti P(x) Q(x) na parcijalne razlomke? Faktorizirati Q(x) na ireducibilne faktore (polinome) (Ireducibilni polinomi (s realnim koeficijentima) su ili polinomi prvog stupnja ili polinomi drugog stupnja bez realnih nultočaka; nakon izlučivanja vodećeg člana: x a, odnosno x 2 + px + q, gdje p 2 4q < 0). Ti ireducibilni faktori se mogu ponavljati, tako da općenito imamo Q(x) = (x a 1 ) n 1... (x a k ) n k (x + p 1 x + q 1 ) m 1... (x + p l x + q l ) m l. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 3 / 121
8 tada postoje realni brojevi A 1,1, A 1,2,..., A k,nk, B 1,1, C 1,1,..., B l,ml, C l,ml takvi da je P(x) Q(x) = A 1,1 + A 1,2 x a 1 (x a 1 ) 2 + A 1,n1 (x a 1 ) n + + A k,n k 1 (x a k ) n + k B 1,1 x + C 1,1 (x + p 1 x + q 1 ) + B 1,2x + C 1,2 (x + p 1 x + q 1 ) B 1,m 1 x + C 1,m1 (x + p 1 x + q 1 ) m + 1 B l,1 x + C l,1 (x + p l x + q l ) + B l,2x + C l,2 (x + p l x + q l ) 2 + B l,m l x + C l,ml (x + p l x + q l ) m. l Te brojeve ćemo pronaći rješavanjem sistema linearnih jednadžbi dobivenih množenjem prethodnog izraza s Q(x). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 4 / 121
9 Primjer Rastavite x 2 x + 3 f (x) = x 6 6x x 4 18x x 2 12x + 4 na parcijalne razlomke. Rješenje Prvo rastavimo Q(x) = x 6 6x x 4 18x x 2 12x + 4 na ireducibilne faktore. To općenito može biti vrlo teško, no u ovom slučaju, budući da su koeficijenti cjelobrojni pokušajmo pronaći cjelobrojna rješenja testiranjem slobodnog člana. Dakle, kandidati za eventualne cjelobrojne nultočke su:±1, ±2, ±4. Ako pogdimo rješenje, neka je to neki α, koristimo Bezoutov teorem, te podijelimo dani polinom s x α i s kvocijentom ponovimo cijeli postupak. Dobivamo da su cjelobroje nultočke 1 i 2, i to s kratnosti 2; nakon dijeljenja s (x 1) 2 i (x 2) 2 dobivamo Q(x) = x 6 6x 5 +14x 4 18x 3 +17x 2 12x +4 = (x 1) 2 (x 2) 2 (x 2 +1). Ovime smo završili s rastavljenjem na faktore, budući da je x ireducibilan polinom. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 5 / 121
10 Sada tražimo rastav racionalne funkcije x f (x) = 2 x+3 u parcijalne razlomke sljedećeg x 6 6x 5 +14x 4 18x 3 +17x 2 12x+4 oblika: f (x) = A 1,1 x 1 + A 1,2 (x 1) 2 + A 2,1 x 2 + A 2,2 (x 2) 2 + Cx + D x Sada pomnožimo gornji izraz s Q(x) i dobivamo x 2 x + 3 = A 1,1 (x 1)(x 2) 2 (x 2 + 1) + A 1,2 (x 2) 2 (x 2 + 1)+ A 2,1 (x 1) 2 (x 2)(x 2 + 1) + A 2,2 (x 1) 2 (x 2 + 1)+ (Cx + D)(x 1) 2 (x 2) 2. Desnu stranu gornjeg izraza sredimo po potencijama od x, i dobivamo sustav linearnih jednadžbi u nepoznanicama A 1,1, A 1,2, A 2,1 A 2,2, C, D čije je rješenje [ A 1,1 = 2, A 1,2 = ( ) ( 3, A 2,1 = 11 ), A 2,2 = 1, C = 2 5 ( ) ( 1, D = 1 ) 5 10 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 6 / 121
11 Sada smo originalni problem sveli na sljedeće Kako integrirati parcijalne razlomke? dx = ln x + C 1 x a Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 7 / 121
12 Sada smo originalni problem sveli na sljedeće Kako integrirati parcijalne razlomke? 1 x adx = ln x + C 1 dx = k + C (x a) k (x a) k+1 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 7 / 121
13 Sada smo originalni problem sveli na sljedeće Kako integrirati parcijalne razlomke? 1 x adx = ln x + C 1 dx = k + C (x a) k (x a) k+1 1 x 2 +px+q dx = 1 arctg( (x+ p 2 )2 +q p2 4 dx = 1 q p2 4 x q p2 4 ) + C Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 7 / 121
14 Sada smo originalni problem sveli na sljedeće Kako integrirati parcijalne razlomke? 1 x adx = ln x + C 1 dx = k + C (x a) k (x a) k+1 1 x 2 +px+q dx = 1 dx = 1 arctg( x ) + C (x+ p 2 )2 +q p2 4 q p2 q p2 4 4 I = Ax+B dx svodimo na prethodni slučaj na sljedeći način: x 2 +px+q I = A x+b/a x 2 +px+q dx = A 2 ( 2x+p x 2 +px+q dx) + (B pa 2 ) 1 x 2 +px+q dx. Prvi integral riješimo supstitucijom t = x 2 + px + q, dt = (2x + p)dx i prvi integral postaje A 2 ln(x 2 + px + q). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 7 / 121
15 Sada smo originalni problem sveli na sljedeće Kako integrirati parcijalne razlomke? 1 x adx = ln x + C 1 dx = k + C (x a) k (x a) k+1 1 x 2 +px+q dx = 1 dx = 1 arctg( (x+ p 2 )2 +q p2 4 q p2 4 I = Ax+B x 2 +px+q x+b/a x q p2 4 ) + C dx svodimo na prethodni slučaj na sljedeći način: I = A x 2 +px+q dx = A 2 ( 2x+p x 2 +px+q dx) + (B pa 2 ) 1 x 2 +px+q dx. Prvi integral riješimo supstitucijom t = x 2 + px + q, dt = (2x + p)dx i prvi integral postaje A 2 ln(x 2 + px + q). I = Ax+B dx, k 2. Kao i u prethodnom slučaju, (x 2 +px+q) k rastavljamo ga na dva integrala: I = A 2 ( 2x+p dx) + (B pa (x 2 +px+q) k 2 ) 1 dx. Prvi integeral, (x 2 +px+q) k opet uz supstituciju t = x 2 + px + q, postaje A 2 ( k + C. (x 2 +px+q) k+1 Ostaje nam riješiti slučaj Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 7 / 121
16 1 dx, k 2. Prvo uočimo da je (x 2 +px+q) k x 2 + px + q = (x + p 2 )2 + (q p2 p2 4 ), gdje je q 4 > 0, tako da je q p2 4 = a2 ; substitucijom t = x + p 2 reduciramo na slučaj Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 8 / 121
17 1 dx, k 2. Prvo uočimo da je (x 2 +px+q) k x 2 + px + q = (x + p 2 )2 + (q p2 p2 4 ), gdje je q 4 > 0, tako da je q p2 4 = a2 ; substitucijom t = x + p 2 reduciramo na slučaj 1 dx, k 2. Ove integrale izračunavamo induktivno; (x 2 +a 2 ) k označimo I k = 1 dx. Znamo da je I (x 2 +a 2 ) k 1 = 1 a arctg x a. Sada primjenimo parcijalnu integraciju na I 1 = Dobivamo I 2 = 1 { 1 x 2 + a 2 dx = dv = dx; u = 1 2 x 2 dx 2a2 + a2 { } x + I 2a 2 x 2 +a 2 1 } 1 x 2 + a 2 = 1 (x 2 + a 2 ) 2 dx. x x 2 + a 2 + Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 8 / 121
18 Sada analogno postupamo za općeniti k; dakle parcijalno integriramo I k = { } 1 dx = dv = dx; u = 1 = (x 2 +a 2 ) k x 2 +a 2 x + 2k x 2 dx. Nakon rastavljanja brojnika u drugom (x 2 +a 2 ) k (x 2 +a 2 ) k+1 integralu x 2 = x 2 + a 2 a 2 i nakon sre divanja, dobivamo I k+1 = 1 { } x 2ka 2 (x 2 + a 2 ) k + (2k 1)I k. Primjer Riješite neodre deni integral sin 2 x cos x d x sin 3 x + 2 sin 2 x 1. Uz suptituciju t = sin x naš integral prelazi u t 2 d t t 3 +2t 2 1. Pronalazimo da je jedna nultočka nazivnika t = 1. Faktorizirani nazivnik jednak je (t + 1)(t )(t ). Nakon rastava u parcijalne razlomke i vraćanja u varijablu x, dobivamo da je integral jednak Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 9 / 121
19 ln(sin x+1) ln(sin x ) ln(sin x Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 10 / 121
20 Vektori u trodimenzionalnom prostoru Motivacija: u fizici, kemiji, tehnici (sila, brzina, akceleracija) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 11 / 121
21 Vektori u trodimenzionalnom prostoru Motivacija: u fizici, kemiji, tehnici (sila, brzina, akceleracija) 3-dimenzionalni euklidski prostor E 3 ; točke A, B, C... Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 11 / 121
22 Vektori u trodimenzionalnom prostoru Motivacija: u fizici, kemiji, tehnici (sila, brzina, akceleracija) 3-dimenzionalni euklidski prostor E 3 ; točke A, B, C... Precizna matematička definicija: usmjerene dužine AB i CD su ekvivalentne ako dužine AD i BC imaju zajedničko polovište; to pišemo kao AB CD Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 11 / 121
23 Vektori u trodimenzionalnom prostoru Motivacija: u fizici, kemiji, tehnici (sila, brzina, akceleracija) 3-dimenzionalni euklidski prostor E 3 ; točke A, B, C... Precizna matematička definicija: usmjerene dužine AB i CD su ekvivalentne ako dužine AD i BC imaju zajedničko polovište; to pišemo kao AB CD biti ekvivalentan u ovom smislu jest relacija ekvivalencije( refleksivnost, antisimetričnost, tranzitivnost) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 11 / 121
24 Vektori u trodimenzionalnom prostoru Motivacija: u fizici, kemiji, tehnici (sila, brzina, akceleracija) 3-dimenzionalni euklidski prostor E 3 ; točke A, B, C... Precizna matematička definicija: usmjerene dužine AB i CD su ekvivalentne ako dužine AD i BC imaju zajedničko polovište; to pišemo kao AB CD biti ekvivalentan u ovom smislu jest relacija ekvivalencije( refleksivnost, antisimetričnost, tranzitivnost) znamo da tada ta relacije ekvivalencije dijeli skup svih usmjerenih dužina u E 3 na klase ekvivalencije, koje nazivamo vektori (oznake a, b, c,...) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 11 / 121
25 Vektori u trodimenzionalnom prostoru Motivacija: u fizici, kemiji, tehnici (sila, brzina, akceleracija) 3-dimenzionalni euklidski prostor E 3 ; točke A, B, C... Precizna matematička definicija: usmjerene dužine AB i CD su ekvivalentne ako dužine AD i BC imaju zajedničko polovište; to pišemo kao AB CD biti ekvivalentan u ovom smislu jest relacija ekvivalencije( refleksivnost, antisimetričnost, tranzitivnost) znamo da tada ta relacije ekvivalencije dijeli skup svih usmjerenih dužina u E 3 na klase ekvivalencije, koje nazivamo vektori (oznake a, b, c,...) Skup svih takvih vektora označavamo s V 3 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 11 / 121
26 Vektori u trodimenzionalnom prostoru Motivacija: u fizici, kemiji, tehnici (sila, brzina, akceleracija) 3-dimenzionalni euklidski prostor E 3 ; točke A, B, C... Precizna matematička definicija: usmjerene dužine AB i CD su ekvivalentne ako dužine AD i BC imaju zajedničko polovište; to pišemo kao AB CD biti ekvivalentan u ovom smislu jest relacija ekvivalencije( refleksivnost, antisimetričnost, tranzitivnost) znamo da tada ta relacije ekvivalencije dijeli skup svih usmjerenih dužina u E 3 na klase ekvivalencije, koje nazivamo vektori (oznake a, b, c,...) Skup svih takvih vektora označavamo s V 3 svaki vektor je reprezentiran usmjerenom dužinom (to označavamo ovako AB = a ) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 11 / 121
27 a =norma ili duljina vektora a (jednak duljini bilo kojeg reprezentanta vektora a -zašto je to dobro definirano?) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 12 / 121
28 a =norma ili duljina vektora a (jednak duljini bilo kojeg reprezentanta vektora a -zašto je to dobro definirano?) smjer vektora je klasa paralelenih pravaca na kojima leže predstavnici tog vektora Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 12 / 121
29 a =norma ili duljina vektora a (jednak duljini bilo kojeg reprezentanta vektora a -zašto je to dobro definirano?) smjer vektora je klasa paralelenih pravaca na kojima leže predstavnici tog vektora orijentacija (za dani smjer, dvije mogućnosti ) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 12 / 121
30 a =norma ili duljina vektora a (jednak duljini bilo kojeg reprezentanta vektora a -zašto je to dobro definirano?) smjer vektora je klasa paralelenih pravaca na kojima leže predstavnici tog vektora orijentacija (za dani smjer, dvije mogućnosti ) Dvije usmjerene dužine odre duju isti vektor ako su istog smjera, duljine i orijentacije (ova tri svojstva odre duju svaki vektor) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 12 / 121
31 a =norma ili duljina vektora a (jednak duljini bilo kojeg reprezentanta vektora a -zašto je to dobro definirano?) smjer vektora je klasa paralelenih pravaca na kojima leže predstavnici tog vektora orijentacija (za dani smjer, dvije mogućnosti ) Dvije usmjerene dužine odre duju isti vektor ako su istog smjera, duljine i orijentacije (ova tri svojstva odre duju svaki vektor) "iz svake točke možemo povući vektor": neka je O E 3 prozvoljna, i neka je dan vektor a. Tada postoji jedinstvena točka A u E 3 takva da je OA = a (dakle OA je reprezentant vekotra a ). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 12 / 121
32 a =norma ili duljina vektora a (jednak duljini bilo kojeg reprezentanta vektora a -zašto je to dobro definirano?) smjer vektora je klasa paralelenih pravaca na kojima leže predstavnici tog vektora orijentacija (za dani smjer, dvije mogućnosti ) Dvije usmjerene dužine odre duju isti vektor ako su istog smjera, duljine i orijentacije (ova tri svojstva odre duju svaki vektor) "iz svake točke možemo povući vektor": neka je O E 3 prozvoljna, i neka je dan vektor a. Tada postoji jedinstvena točka A u E 3 takva da je OA = a (dakle OA je reprezentant vekotra a ). a 0, a = 0 a = 0 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 12 / 121
33 a =norma ili duljina vektora a (jednak duljini bilo kojeg reprezentanta vektora a -zašto je to dobro definirano?) smjer vektora je klasa paralelenih pravaca na kojima leže predstavnici tog vektora orijentacija (za dani smjer, dvije mogućnosti ) Dvije usmjerene dužine odre duju isti vektor ako su istog smjera, duljine i orijentacije (ova tri svojstva odre duju svaki vektor) "iz svake točke možemo povući vektor": neka je O E 3 prozvoljna, i neka je dan vektor a. Tada postoji jedinstvena točka A u E 3 takva da je OA = a (dakle OA je reprezentant vekotra a ). a 0, a = 0 a = 0 bitne operacije na vektorima: zbrajanje vektora i množenje vektora skalarom Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 12 / 121
34 Zbrajanje vektora u E 3 metodom trokuta i metodom paralelograma b a + b b a + b a a Zašto dobivamo iste rezultate različitim metodama?( svojstva paralelograma... ) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 13 / 121
35 Svojstva zbrajanja vektora 1 ( a, b V 3 ) a + b = b + b (komutativnost) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 14 / 121
36 Svojstva zbrajanja vektora 1 ( a, b V 3 ) a + b = b + b (komutativnost) 2 ( a, b, c V 3 ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (asocijativnost) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 14 / 121
37 Svojstva zbrajanja vektora 1 ( a, b V 3 ) a + b = b + b (komutativnost) 2 ( a, b, c V 3 ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (asocijativnost) 3 postoji nul-vektor-neutralni vektor za zbrajanje: ( a V 3 ) a + 0 = a Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 14 / 121
38 Svojstva zbrajanja vektora 1 ( a, b V 3 ) a + b = b + b (komutativnost) 2 ( a, b, c V 3 ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (asocijativnost) 3 postoji nul-vektor-neutralni vektor za zbrajanje: ( a V 3 ) a + 0 = a 4 Za svaki vektor a V 3 postoji jedinstveni vektor, u oznaci a t.d. je a + ( a ) = 0. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 14 / 121
39 Množenje vektora skalarom Za a V 3 i λ R definiramo novi vektor λ a propisujući mu duljinu, smjer i orijentaciju. λ a = λ a Primjetimo da je 0 a = 0, a V 3. Svojstva množenja vektora skalarom Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 15 / 121
40 Množenje vektora skalarom Za a V 3 i λ R definiramo novi vektor λ a propisujući mu duljinu, smjer i orijentaciju. λ a = λ a smjer od λ a jednak je smjeru a Primjetimo da je 0 a = 0, a V 3. Svojstva množenja vektora skalarom Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 15 / 121
41 Množenje vektora skalarom Za a V 3 i λ R definiramo novi vektor λ a propisujući mu duljinu, smjer i orijentaciju. λ a = λ a smjer od λ a jednak je smjeru a orijentacija λ a jednaka je orijentaciji a ako je λ > 0 i suprotna ako je λ < 0. Primjetimo da je 0 a = 0, a V 3. Svojstva množenja vektora skalarom Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 15 / 121
42 Množenje vektora skalarom Za a V 3 i λ R definiramo novi vektor λ a propisujući mu duljinu, smjer i orijentaciju. λ a = λ a smjer od λ a jednak je smjeru a orijentacija λ a jednaka je orijentaciji a ako je λ > 0 i suprotna ako je λ < 0. Primjetimo da je 0 a = 0, a V 3. Svojstva množenja vektora skalarom 1 1 a = a, a V 3 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 15 / 121
43 Množenje vektora skalarom Za a V 3 i λ R definiramo novi vektor λ a propisujući mu duljinu, smjer i orijentaciju. λ a = λ a smjer od λ a jednak je smjeru a orijentacija λ a jednaka je orijentaciji a ako je λ > 0 i suprotna ako je λ < 0. Primjetimo da je 0 a = 0, a V 3. Svojstva množenja vektora skalarom 1 1 a = a, a V 3 2 µ(ν a ) = (µν) a (kvaziasocijativnost) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 15 / 121
44 Množenje vektora skalarom Za a V 3 i λ R definiramo novi vektor λ a propisujući mu duljinu, smjer i orijentaciju. λ a = λ a smjer od λ a jednak je smjeru a orijentacija λ a jednaka je orijentaciji a ako je λ > 0 i suprotna ako je λ < 0. Primjetimo da je 0 a = 0, a V 3. Svojstva množenja vektora skalarom 1 1 a = a, a V 3 2 µ(ν a ) = (µν) a (kvaziasocijativnost) 3 λ( a + b ) = λ a + λ b (distributivnost množenja skalarom obzirom na zbrajanje vektora) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 15 / 121
45 Množenje vektora skalarom Za a V 3 i λ R definiramo novi vektor λ a propisujući mu duljinu, smjer i orijentaciju. λ a = λ a smjer od λ a jednak je smjeru a orijentacija λ a jednaka je orijentaciji a ako je λ > 0 i suprotna ako je λ < 0. Primjetimo da je 0 a = 0, a V 3. Svojstva množenja vektora skalarom 1 1 a = a, a V 3 2 µ(ν a ) = (µν) a (kvaziasocijativnost) 3 λ( a + b ) = λ a + λ b (distributivnost množenja skalarom obzirom na zbrajanje vektora) 4 (λ + µ) a = λ a + µ a (distributivnost množenja skalarom obzirom na zbrajanje skalara) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 15 / 121
46 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Motivacija Često upotrebljavamo izraze koji nam opisuju likove, plohe ili tijela oko nas govoreći da su jednosimenzionalni, dvodimenzionalni ili trodimenzionalni. Za preciznu matematičku definiciju tih pojmova (čime se nećemo baviti) je prvi korak definirati linearnu zavisnost (odnosno nezavisnost) vektora. Definicija Za skup vektora { a 1, a 2,..., a n } kažemo da je linearno zavisan ako postoje brojevi λ 1, λ 2,..., λ n od kojih je barem jedan različit od nule, takvi da je λ 1 a1 + λ 2 a2 + + λ n an = 0. Primjedba Izraz oblika λ 1 a1 + λ 2 a2 + + λ n an nazivamo linearna kombinacija vektora a 1, a 2,..., a n s koeficijentima λ 1, λ 2,..., λ n Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 16 / 121
47 što znači da su dva vektora linearno zavisna? Neka su a i b ne-nul vektori. Neka je λ 1 a + λ2 b = 0 i neka je npr. λ1 0. a = λ 2 λ 1 b, dakle oni su proporcionalni, istog smjera te ne razapinju ravninu već pravac. Kažemo još i da su kolinearni. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 17 / 121
48 što znači da su dva vektora linearno zavisna? Neka su a i b ne-nul vektori. Neka je λ 1 a + λ2 b = 0 i neka je npr. λ1 0. a = λ 2 λ 1 b, dakle oni su proporcionalni, istog smjera te ne razapinju ravninu već pravac. Kažemo još i da su kolinearni. pogledajmo sve linearne kombinacije dva fiksirana, linearno nezavisna vektora a i b. Primjenjujući, recimo, pravilo paralelograma za računanje linearnih kombinacija λ 1 a + λ2 b vidimo da su te linearne kombinacije vektori koji formiraju jednu ravninu, ravninu razapetu vektorima a i b. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 17 / 121
49 što znači da su dva vektora linearno zavisna? Neka su a i b ne-nul vektori. Neka je λ 1 a + λ2 b = 0 i neka je npr. λ1 0. a = λ 2 λ 1 b, dakle oni su proporcionalni, istog smjera te ne razapinju ravninu već pravac. Kažemo još i da su kolinearni. pogledajmo sve linearne kombinacije dva fiksirana, linearno nezavisna vektora a i b. Primjenjujući, recimo, pravilo paralelograma za računanje linearnih kombinacija λ 1 a + λ2 b vidimo da su te linearne kombinacije vektori koji formiraju jednu ravninu, ravninu razapetu vektorima a i b. Što znači da su tri vektora iz V 3 linearno zavisna? Analogno kao prije, dobivamo da je onda a 1 = λ 2 λ 1 a2 λ 3 λ 1 a2, dakle jedan vektor je onda linearna kombinacija druga dva te se nalazi u ravnini razapetoj tim vektorima. Dakle, 3 linearno zavisna vektora su komplanarna. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 17 / 121
50 Koordinatizacija z T 0 (x 0, y 0, z 0 ) z 0 k j y 0 y O i x 0 x Vidimo da je, nakon uvo denja koordinatnog sustava, OT 0 = r T0 = x 0 i + y0 j + z0 k. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 18 / 121
51 Tako možemo točki T 0 pridružiti koordinate vektora OT koordinatizacija T 0 (x 0, y 0, z 0 ) E 3 R 3. Nakon uvo denja koordinata, jednostavno je zapisati rezultat zbrajanja vektora i množenja vektora skalarom Neka je a = a 1 i + a2 j + a3 k (a1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ). Tada je a + b = (a1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 19 / 121
52 Tako možemo točki T 0 pridružiti koordinate vektora OT koordinatizacija T 0 (x 0, y 0, z 0 ) E 3 R 3. Nakon uvo denja koordinata, jednostavno je zapisati rezultat zbrajanja vektora i množenja vektora skalarom Neka je a = a 1 i + a2 j + a3 k (a1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ). Tada je a + b = (a1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ). Neka je λ R i a = (a 1, a 2, a 3 ). Tada je λ a = (λa 1, λa 2, λa 3 ). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 19 / 121
53 Tako možemo točki T 0 pridružiti koordinate vektora OT koordinatizacija T 0 (x 0, y 0, z 0 ) E 3 R 3. Nakon uvo denja koordinata, jednostavno je zapisati rezultat zbrajanja vektora i množenja vektora skalarom Neka je a = a 1 i + a2 j + a3 k (a1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ). Tada je a + b = (a1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ). Neka je λ R i a = (a 1, a 2, a 3 ). Tada je λ a = (λa 1, λa 2, λa 3 ). jednostavan kriterij za kolinearnost dva vektora (Kako glasi?) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 19 / 121
54 Skalarni produkt Motivacija U fizici se često susrećemo s pojmom rada. Znamo da je sila vrši rad djeovanjem na nekom putu. Me dutim, što ako sila i put s nisu paralelni? F Iz iskustva nam je jasno da će učinkovitost u gornjoj situaciji biti to veća što je kut izme du sile F i puta s manji. Pri računanju rada u ovoj situaciji poslužit ćemo se skalarnim produktom. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 20 / 121
55 Definicija Skalarni produkt je binarna operacija : V 3 V 3 R koja paru vektora pridružuje skalar (broj) na sljedeći način: a b = a b cos( ( a, b )), gdje ( a, b ) označava kut izme du vektora a i b za koji uzimamo da je uvijek u [0, π]. Primjetimo da, za zadane duljine a i b, skalarni produkt je najveći kada su vektori me dusobno paralelni i jednake orijentacije; a jednak je nuli kada su vektori me dusobno okomiti. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 21 / 121
56 Svojstva skalarnog produkta 1 a a = a a = a 2 0, a a = 0 a = 0. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 22 / 121
57 Svojstva skalarnog produkta 1 a a = a a = a 2 0, a a = 0 a = 0. 2 λ R (λ a ) b = λ( a b ). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 22 / 121
58 Svojstva skalarnog produkta 1 a a = a a = a 2 0, a a = 0 a = 0. 2 λ R (λ a ) b = λ( a b ). 3 a, b V 3 a b = a b komutativnost Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 22 / 121
59 Svojstva skalarnog produkta 1 a a = a a = a 2 0, a a = 0 a = 0. 2 λ R (λ a ) b = λ( a b ). 3 a, b V 3 a b = a b komutativnost 4 a, b, c V 3 a ( b + c ) = a b + a c distributivnost Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 22 / 121
60 Promotrimo skalarne produkte me du elementima koordinatne baze { i, j, k }. Vrijedi: i i = 1, i j = 0, i k = 0, j k = 0, k k = j j = 1. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 23 / 121
61 Promotrimo skalarne produkte me du elementima koordinatne baze { i, j, k }. Vrijedi: i i = 1, i j = 0, i k = 0, j k = 0, k k = j j = 1. Koristeći svojstva skalarnog produkta dobivamo a b = (a1 i + a2 j + a3 k ) (b1 i + b2 j + b3 k ) = a 1 b 1 i i + a1 b 2 i j + a1 b 3 i k + a 2 b 1 j i + a2 b 2 j j + a2 b 3 j k + a 3 b 1 k i + a3 b 2 k j + a3 b 3 k k. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 23 / 121
62 Promotrimo skalarne produkte me du elementima koordinatne baze { i, j, k }. Vrijedi: i i = 1, i j = 0, i k = 0, j k = 0, k k = j j = 1. Koristeći svojstva skalarnog produkta dobivamo a b = (a1 i + a2 j + a3 k ) (b1 i + b2 j + b3 k ) = a 1 b 1 i i + a1 b 2 i j + a1 b 3 i k + a 2 b 1 j i + a2 b 2 j j + a2 b 3 j k + a 3 b 1 k i + a3 b 2 k j + a3 b 3 k k. Dobivamo izraz za skalarni produkt ako su vektori a i b zadani u bazi: za a = (a 1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ) vrijedi a b = a1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 23 / 121
63 Korolar Neka je vektor a zadan u bazi { i, j, k } kao a = (a 1, a 2, a 3 ). Tada je a = a1 2 + a2 2 + a2 3. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 24 / 121
64 Korolar Neka je vektor a zadan u bazi { i, j, k } kao a = (a 1, a 2, a 3 ). Tada je a = a1 2 + a2 2 + a2 3. Korolar Neka su dva ne-nul vektora zadani u bazi { i, j, k } s a = (a1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ). Tada je kosinus kuta izme du ta dva vektora dan s cos( ( a, b )) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. a1 2 + a2 2 + a2 3 b1 2 + b2 2 + b2 3 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 24 / 121
65 Korolar Za dva ne-nul vektora a = (a 1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ) vrijedi da su okomiti ako i samo ako je a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. Prema prethodnim korolarima, a budući da su koordinatne osi razapete vektorima baze { i, j, k }, slijedi da su kosinusi smjera vektora a = (a 1, a 2, a 3 ) jednaki Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 25 / 121
66 Korolar Za dva ne-nul vektora a = (a 1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ) vrijedi da su okomiti ako i samo ako je Definicija a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. Kosinusi smjera su kosinusi kuteva koje vektor zatvara s kooordinatnim osima. Prema prethodnim korolarima, a budući da su koordinatne osi razapete vektorima baze { i, j, k }, slijedi da su kosinusi smjera vektora a = (a 1, a 2, a 3 ) jednaki Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 25 / 121
67 cos( ( a, i )) = a 1, a1 2 + a2 2 + a2 3 cos( ( a, j )) = cos( ( a, k )) = a 2, a1 2 + a2 2 + a2 3 a 3. a1 2 + a2 2 + a2 3 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 26 / 121
68 Vektorski produkt Motivacija Upotreba vektorskog produkta je vrlo česta u fizici-pomoću njega se npr. opisuju elektromagnetska djelovanja Definicija Vektorski produkt je binarna operacija : V 3 V 3 V 3 opisana na sljedeći način: paru ne-nul vektora a i b pridružuje se novi vektor, u oznaci a b, a zadan na sljedeći način Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 27 / 121
69 Vektorski produkt Motivacija Upotreba vektorskog produkta je vrlo česta u fizici-pomoću njega se npr. opisuju elektromagnetska djelovanja Definicija Vektorski produkt je binarna operacija : V 3 V 3 V 3 opisana na sljedeći način: paru ne-nul vektora a i b pridružuje se novi vektor, u oznaci a b, a zadan na sljedeći način a b = a b sin( ( a, b )), Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 27 / 121
70 Vektorski produkt Motivacija Upotreba vektorskog produkta je vrlo česta u fizici-pomoću njega se npr. opisuju elektromagnetska djelovanja Definicija Vektorski produkt je binarna operacija : V 3 V 3 V 3 opisana na sljedeći način: paru ne-nul vektora a i b pridružuje se novi vektor, u oznaci a b, a zadan na sljedeći način a b = a b sin( ( a, b )), smjer vektora a b je zadan tako da je on okomit i na a i na b, Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 27 / 121
71 Vektorski produkt Motivacija Upotreba vektorskog produkta je vrlo česta u fizici-pomoću njega se npr. opisuju elektromagnetska djelovanja Definicija Vektorski produkt je binarna operacija : V 3 V 3 V 3 opisana na sljedeći način: paru ne-nul vektora a i b pridružuje se novi vektor, u oznaci a b, a zadan na sljedeći način a b = a b sin( ( a, b )), smjer vektora a b je zadan tako da je on okomit i na a i na b, orijentacija vektora a b je takva da { a, b, a b } čine desnu bazu. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 27 / 121
72 Vektorski produkt Motivacija Upotreba vektorskog produkta je vrlo česta u fizici-pomoću njega se npr. opisuju elektromagnetska djelovanja Definicija Vektorski produkt je binarna operacija : V 3 V 3 V 3 opisana na sljedeći način: paru ne-nul vektora a i b pridružuje se novi vektor, u oznaci a b, a zadan na sljedeći način a b = a b sin( ( a, b )), smjer vektora a b je zadan tako da je on okomit i na a i na b, orijentacija vektora a b je takva da { a, b, a b } čine desnu bazu. ako je neki od vektora a ili b jednak 0, definiramo da je a b = 0. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 27 / 121
73 Svojstva vektorskog produkta 1 a a = 0, a V 3, Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 28 / 121
74 Svojstva vektorskog produkta 1 a a = 0, a V 3, 2 a, b V 3 i λ R vrijedi λ( a b ) = (λ a ) b = a (λ b ) (kvaziasocijativnost), Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 28 / 121
75 Svojstva vektorskog produkta 1 a a = 0, a V 3, 2 a, b V 3 i λ R vrijedi λ( a b ) = (λ a ) b = a (λ b ) (kvaziasocijativnost), 3 a ( b + c ) = a b + a c ) (distributivnost), Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 28 / 121
76 Svojstva vektorskog produkta 1 a a = 0, a V 3, 2 a, b V 3 i λ R vrijedi λ( a b ) = (λ a ) b = a (λ b ) (kvaziasocijativnost), 3 a ( b + c ) = a b + a c ) (distributivnost), 4 a b = b a (antikomutativnost). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 28 / 121
77 Geometrijsko značenje vektorskog produkta Osim česte upotrebe u fizici (sjetimo se samo Maxwellova zakona!) vektorski produkt ima i vrlo izravnu geometrijsku interpretaciju a b b a Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 29 / 121
78 Znamo da je površina paralelograma jednaka produktu duljina susjednih stranica pomnoženog sinusom kuta izme du njih. U našem slučaju, nekolinearni vektori a i b razapinju paralelogram (kao na slici). Prema tome, njegova površina je upravo a b sin( ( a, b )). Zaključujemo da je vektorski produkt a b vektora a i b jednak vektoru koji je okomit na ravninu koju razapinju ta dva vektora, po iznosu je jednak površini paralelograma kojeg razapinju ta dva vekotora a orijentacija mu je takva da { a, b, a b } čine desnu bazu. Posljedica Vektorski produkt dva ne-nul vektora je nul vektor ako i samo ako su ta dva vektora paralelna (kolinearna, linearno zavisna). Problem Vektorski produkt smo definirali opisno. Ako su nam vektori zadani koordinatno, kako njihov vektorski produkt izračunati pomoću tih koordinata? To napravimo slično računu za analogno situaciju u slučaju skalarnog produkta: koristeći distributivnost i kvazisocijativnost, možemo stvar svesti na računanje vektorskih produkata vektora baze { i, j, k }. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 30 / 121
79 Koristimo: i i = j j = k k = 0, i j = j i = k, i k = k i = j, j k = k j = i ; te izraze uvrštavmo u kada raspišemo (a 1 i + a2 j + a3 k ) (b1 i + b2 j + b3 k ). Dobivamo a b = (a2 b 3 a 3 b 2 ) i (a 1 b 3 a 3 b 1 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k. Sada ćemo napraviti malu digresiju koja će nam omogućiti jednostavniji zapis prethodne formule. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 31 / 121
80 Determinante drugog i trećeg reda Matrica je pravokutna shema u koju upisujemo neke podatke; za nas će to biti brojevi. Da bi točno označili kamo koji broj pripada, matrične elemente najčešće označavamo s dva indeksa; dakle općeniti oblik m n realne matrice je a 1,1 a 1,2 a 1,3... a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,3... a 2,n a m,1 a m,2 a m,3... a m,n. Dakle, na presjeku i tog retka i j tog stupca matrice nalazi se element a i,j. Npr. u matrici [ ] je a 1,1 = 2, a 1,2 = 1, a 2,1 = 3, a 2,2 = 2. Matricu zovemo kvadratna ako je m = n tj. ima jednako mnogo redaka koliko i stupaca. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 32 / 121
81 Inače kažemo da je matrica tipa m n a ako je kvadratna kažemo da je reda n. Matrice se koriste u raznim granama prirodnih, tehničkih i društvenih znanosti, a mi ćemo ih koristiti kod rješavanja sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Definicija Prvu operaciju nazivamo zbrajanje matrica a drugu množenje matrica skalarom. Primjetimo da zbrajati možemo samo matrice istog tipa. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 33 / 121
82 Inače kažemo da je matrica tipa m n a ako je kvadratna kažemo da je reda n. Matrice se koriste u raznim granama prirodnih, tehničkih i društvenih znanosti, a mi ćemo ih koristiti kod rješavanja sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Definicija Neka su dane matrice A i B tipa m n. Definiramo A + B kao matricu tipa m n koja na mjestu (i, j) ima A i,j + B i,j (A i,j označavam matrični element matrice A na mjestu (i, j), analogno za B). Prvu operaciju nazivamo zbrajanje matrica a drugu množenje matrica skalarom. Primjetimo da zbrajati možemo samo matrice istog tipa. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 33 / 121
83 Inače kažemo da je matrica tipa m n a ako je kvadratna kažemo da je reda n. Matrice se koriste u raznim granama prirodnih, tehničkih i društvenih znanosti, a mi ćemo ih koristiti kod rješavanja sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Definicija Neka su dane matrice A i B tipa m n. Definiramo A + B kao matricu tipa m n koja na mjestu (i, j) ima A i,j + B i,j (A i,j označavam matrični element matrice A na mjestu (i, j), analogno za B). Za matricu A tipa m n i λ R, s λa označavamo matricu tipa m n t.d. (λa) i,j = λa i,j. Prvu operaciju nazivamo zbrajanje matrica a drugu množenje matrica skalarom. Primjetimo da zbrajati možemo samo matrice istog tipa. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 33 / 121
84 Determinanta je broj kojeg se može pridružiti svakoj kvadratnoj matrici, ali mi ćemo se zadržati samo na determinantama 2. i 3. reda (tj. determinantama matrica 2 2 i 3 3). Determinantu matrice A označavamo s deta. Definicija ([ ]) a1,1 a Definiramo det 1,2 = a 2,1 a 2,2 a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 = a 1,1a 2,2 a 1,2 a 2,1. Npr = ( 1) 2 = π 1 π 1 = π 1 ( 1) ( π) = 0. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 34 / 121
85 Determinantu trećeg reda defnirati ćemo pomoću tzv.razvoja po prvom retku (ovo je jedna od nekoliko ekvivalentnih definicija): a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 = a 1,1 a 2,2 a 2,3 a 3,2 a 3,3 a 1,2 a 2,1 a 2,3 a 3,1 a 3,3 + a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 3,1 a 3,2. Primjetimo da množimo elemente prvog retka s determinatama drugog reda i to upravo onima koje preostaju kada prekrižimo u originalnoj matrici onaj redak i onaj stupac u kojem se nalazi dani element: dakle a 1,1 množimo s determinatom koju dobijemo kad iz originalne matrice izbacimo 1. redak i 1.stupac, a 1,2 množimo s determinatom koju dobijemo kad iz originalne matrice izbacimo 1. redak i i 2. stupac itd. Primjetimo da se izraz a 2 b 3 a 3 b 2 koji se javlja u izrazu za vektorski produkt može zapisati kao a 2 a 3 b 2 b 3 analogno i za ostale izraze u toj formuli. Dakle, vrijedi a a b = 2 a 3 a b 2 b 3 i 1 a 3 a b 1 b 3 j + 1 a 2 b 1 b 2 k. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 35 / 121
86 Primjetimo da izraz s desne strane možemo interpretirati, čisto formalno, kao determinatu trećeg reda koju smo razvili po prvom retku (jasno ovo je samo formalna analogija jer su za nas elementi i j k determinate brojevi a ne vektori!) a 1 a 2 a 3. Zbog toga zapisujemo b 1 b 2 b 3 i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b. 3 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 36 / 121
87 Primjer Izračunajte a b ako je a = (1, 2, 3) i b = (3, 4, 5). Kolika je površina paralelograma kojeg razapinju ova dva vektora? Vrijedi i j k a b = = 2 i + 4 j 2 k. Prema geometrijskoj interpretaciji vektorskog produkta, vrijedi da je tražena površina jednaka 2 i + 4 j 2 k = = 2 6. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 37 / 121
88 Mješoviti produkt Definicija Za tri vektora a, b, c definiramo njihov mješoviti produkt, u oznaci ( a, b, c ), kao ( a b ) c. Iz definicije nam je očit i naziv. Odredimo sada formulu za mješoviti produkt ukoliko su vektori a, b, c dani svojim prikazima u bazi. Vrijedi Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 38 / 121
89 Mješoviti produkt Definicija Za tri vektora a, b, c definiramo njihov mješoviti produkt, u oznaci ( a, b, c ), kao ( a b ) c. Iz definicije nam je očit i naziv. Odredimo sada formulu za mješoviti produkt ukoliko su vektori a, b, c dani svojim prikazima u bazi. Vrijedi Teorem Za vektore a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ), c = (c 1, c 2, c 3 ) vrijedi ( a, b, a 1 a 2 a 3 c ) = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 38 / 121
90 Dokaz. Znamo da vrijedi i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 te ako to opet raspišemo po komponentama, te skalarno pomnožimo s vektorom c = (c 1, c 2, c 3 ) te dobivamo (a 2 b 3 a 3 b 2 )c 1 (a 1 b 3 a 3 b 1 )c 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 )c 3, što je upravo c 1 c 2 c 3 raspis determinante a 1 a 2 a 3 po prvom retku. b 1 b 2 b 3 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 39 / 121
91 Da bi dovršili dokaz, trebamo još pokazati da zamjenom redaka u ovoj determinanti dobivamo traženu determinantu a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3. Za to će nam trebati općenita svojstva determinanti Teorem Determinata trećeg reda zamjenom dva retka mijenja predznak, tj. a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 c 3, analogno i kad zamijenimo 1. i 3. ili 2. i 3. redak. Množenjem jednog retka determinante sa skalarom, čitava determinata se množi tim skalarom, tj. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 40 / 121
92 λa 1 λa 2 λa 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = λ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3, analogno i za 2. i 3. redak. Determinanta je tako der aditivna po retcima, naime vrijedi: a 1 + a 1 a 2 + a 2 a 3 + a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 + a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3, analogno bi vrijedilo i za aditivnost po drugom, odnosno trećem retku. To nam daje sljedeću posljedicu za mješoviti produkt. Korolar Za proizvoljne vektore a, b, c V 3 vrijedi ( a, b, c ) = ( b, c, a ) = ( c, a, b ) = ( a, c, b ) = ( b, a, c ) = ( c, b, a ). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 41 / 121
93 Geometrijsko značenje mješovitog produkta Promotrimo paralelepiped razapet vektorima a, b, c : to znači da na tim vektorima leže bridovi koji izlaze iz jednog vrha parelelepipeda a b c b v a Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 42 / 121
94 Problem: izračunati volmen gornjeg paralelepipeda. Znamo da je, općenito, volumen prizme jednak produktu (površine) neke baze i visine na tu bazu. Recimo da nam je baza paralelogram razapet vektorima a i b. Visina na tu bazu je okomica v koju spuštamo na nju iz kraja vektora c. Primjetimo da je v paralelna s a b. Duljina v, je prema slici jednaka umnošku c i kosinusa kuta izme du v i c, dakle izme du c i a b. Dakle, sve zajedno imamo da je površina baze jednaka a b a v jednak c cos ( c, a b ). Dakle, volumen je jednak a b c cos ( c, a b ). U ovom izrazu prepoznajemo ( a b ) c = ( a, b, c ). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 43 / 121
95 Korolar Volumen paralelepipeda razapetog vektorima a, b, c jednak je ( a, b, c ). Primjetimo da gornja situacija degenerira ako u stvari ta tri vektora ne razapinju paralelepiped, tj. ako su komplanarni ( -volumen tog paralelepipeda je 0). To nam daje sljedeći Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 44 / 121
96 Korolar Volumen paralelepipeda razapetog vektorima a, b, c jednak je ( a, b, c ). Primjetimo da gornja situacija degenerira ako u stvari ta tri vektora ne razapinju paralelepiped, tj. ako su komplanarni ( -volumen tog paralelepipeda je 0). To nam daje sljedeći Korolar Neka su dani vektori a = (a1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ), c = (c 1, c 2, c 3 ). Tada su oni komplanarni ako i samo ako je ( a, b, c ) = 0. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 44 / 121
97 Primjer Na dite volumen paralelepipeda kojemu je jedan vrh u točki (0, 1, 0) a bridovi koji izlaze iz tog vrha završavaju u vrhovima (1, 2, 1), (3, 2, 2) i (2, 1, 4). Iz ovih podataka nalazimo da su vektori koji izlaze iz toga vrha dani s (1, 1, 1), (3, 1, 2) i (2, 0, 4). Računamo = (12 4) + 1 ( 2) = = 6, te je volmen paralelpipeda jednak 6. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 45 / 121
98 Sustavi linearnih jednadžbi Jednadžba u jednoj nepoznanici x je linearna ako je oblika ax + b = c, za neke realne brojeve a, b, c. Analogno, jednadžba u n nepoznanica x 1, x 2,..., x n je linearna ako je oblika a 1 x 1 + a n x n = b, za neke realne brojeve a 1, a 2,..., a n, b. Često se u praksi (u primjenama znanosti i tehnici) javljaju sustavi takvih jednadžbi. Konstante koje se javljaju u sustavu opećenito indeksiramo dvama indeksima, tako da je opći oblik sustava od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica sljedeći a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 (1) a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2. a m,1 x 1 + a m,2 x a m,n x n = b m. Konstante a i,j se nazivaju koeficijenti sistema, a konstante b 1,..., b m slobodni koeficijenti. Primjetimo da koeficijent a i,j stoji u i-toj jednadžbi uz nepoznanicu x j. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 46 / 121
99 Definicija Rješenje gornjeg sustava jednadžbi je svaka ure dena n torka brojeva (x1 0, x 2 0,..., x n 0 ) uz koju, nakon uvrštavanja, x i = xi 0 gornje jednadžbe postaju jednakosti. Primjer Uočimo da je (1, 2) rješenje sustava 2x 1 + x 2 = 4 6x 1 + 3x 2 = 12. Uočimo da je i (0, 4) tako der rješenje tog sustava. Pogledajmo sada nekoliko jednostavnih primjera u kojima se javljaju sustavi (sistemi) linearnih jednadžbi. Primjer 1 Stočna hrana sadrži 3 komponente: kukuruz, soju i zob.u njima se bjelančevine, masti i vlakna javljaju u sljedećim omjerima: Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 47 / 121
100 žitarica bjelanč. masti vlakna kukuruz 25% 40% 30% soja 40% 20% 20% zob 30% 30% 10% Želimo sastaviti stočnu hranu sastavljenu od kukuruza, soje i zobi koja treba sadržavati 2200 g proteina, 2800 g masti i 1800 g vlakana. Koliko treba uzeti svake žitarice? Neka kukuruza uzimamo x 1 (grama), soje x 2 a zobi x 3. Tada uvjeti na bjelančevine, masti i vlakna daju 3 jednadžbe: x x x 3 = x x x 3 = x x x 3 = 1800 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 48 / 121
101 Kada sredimo gornje izraze i riješimo se nazivnika, dobivamo sustav 5x 1 + 8x 2 + 4x 3 = x 1 + 2x 2 + 3x 3 = x 1 + 2x 2 + x 3 = Zatim prvu jednadžbu pomnožimo s 4 i od toga oduzmemo drugu pomnoženu s 5; zatim prvu pomnožimo s 3 i od nje oduzmemo treću pomnoženu s 5, dobivamo 5x 1 + 8x 2 + 4x 3 = x 2 + x 3 = x 2 = Sada iz zadnje jednadžbe izračunamo x 2 = 1500, to uvrstimo u predzadnju i dobivamo x 3 = 3000 te onda iz prve dobivamo x 1 = Kasnije ćemo sustavno uopćiti ovaj način rješavanja jednadžbi. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 49 / 121
102 Primjer 2 Na dite sjecište sljedećih pravaca (u ravnini) zadanih implicitno: 3x 4y = 1 3x 4y = 4. Primjetimo, točka (x, y) je na pravcu ako njezine kooordinate zadovoljavaju jednadžbu tog pravca. Stoga je točka (x, y) na presjeku tih pravaca ako je (x, y) rješenje ovog sistema jednadžbi. Me dutim, oduzimajući te dvije jednadžbe (znamo da se oduzimenjem dvije jednadžbe skup rješenja ne mijenja) dobivamo 0 = 3, što je nemoguće. Dakle, ova dva pravca nemaju presjek (odmah je bilo jasno da su paralelni). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 50 / 121
103 Primjer 3 Promotrimo raskrižje na kojemu postoje mjerači prometa. Treba odrediti koliko automobila pro de cestama izme du pojedininh čvorova, ako imamo podatke za svaki pojedini čvor (koliko automobila ulazi odnosno izlazi iz njega). Sve su ceste jednosmjerne x x 4 x x Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 51 / 121
104 Prema gornjoj slici možemo postaviti sustav x 1 + +x 4 = 1000 x 1 +x 2 = 1100 x 2 +x 3 = 700 x 3 +x 4 = 600 Sada oduzmemo prvu od druge jednadžbe, i rezultat napišemo umjesto druge jednadžbe (ostavimo prvu kakva jest). Onda oduzmemo drugu od treće jednadžbe, i upišemo rezultat umjesto treće jednadžbe, a drugu ostavimo kakva jest. Dobivamo x 1 + x 4 = 1000 x 2 x 4 = 100 x 3 +x 4 = 600 x 3 +x 4 = 600 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 52 / 121
105 Budući da su zadnje dvije jednadžbe jednake, jednu možemo izbrisati i onda početi rješavati od treće prema prvoj. Vidimo da je, ako uzmemo da je x 4 = t proizvoljan, x 3 je moguće izraziti kao x 3 = 600 t, x 2 = t, x 1 = 1000 t. Uobičajeno je, ako sustav nije vezan uz neki konkretna problem, gledati sva realna rješenja sustava, tj. sve moguće četvorke (1000 t, t, 600 t, t) gdje t R. Me dutim, budući da je riječ nužno nenegativnim cijelim brojevima (broj automobila), moramo uzeti t Z 0, 0 t 600. Primjetimo da smo u svim primjerima dovodili sustav u jednostavniji oblik pokraćivanjem nekih nepoznanica iz nekih jednadžbi pomoću množenja neke jednadžbe skalarom (brojem) i dodavanja drugoj jednadžbi. Tu metodu ćemo detaljno proučiti. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 53 / 121
106 Gaussova metoda eliminacije Primjetimo da se skup svih rješenja sustava (1) ne mijenja ako u primjenimo na njega jednu od sljedećih tzv elementarnih transformacija 1 Množenje retka sustava (tj. neke jednadžbe sustava) nekim realnim brojem različitim od nule Ideja Gausoove metode eliminacije je, korištenjem elementarnih transformacija, svesti sustav (1) na tzv. gornjetrokutasti sustav, koji je oblika (navedimo za sada točnu definiciju u situaciji tzv. kvadratnog sustava, tj. kada je m = n; općeniti slučaj je vrlo sličan) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 54 / 121
107 Gaussova metoda eliminacije Primjetimo da se skup svih rješenja sustava (1) ne mijenja ako u primjenimo na njega jednu od sljedećih tzv elementarnih transformacija 1 Množenje retka sustava (tj. neke jednadžbe sustava) nekim realnim brojem različitim od nule 2 Zamijena redaka matrice (tj. jednadžbi u sustavu) Ideja Gausoove metode eliminacije je, korištenjem elementarnih transformacija, svesti sustav (1) na tzv. gornjetrokutasti sustav, koji je oblika (navedimo za sada točnu definiciju u situaciji tzv. kvadratnog sustava, tj. kada je m = n; općeniti slučaj je vrlo sličan) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 54 / 121
108 Gaussova metoda eliminacije Primjetimo da se skup svih rješenja sustava (1) ne mijenja ako u primjenimo na njega jednu od sljedećih tzv elementarnih transformacija 1 Množenje retka sustava (tj. neke jednadžbe sustava) nekim realnim brojem različitim od nule 2 Zamijena redaka matrice (tj. jednadžbi u sustavu) 3 Zbrajanje (oduzimanje) redaka sustava Ideja Gausoove metode eliminacije je, korištenjem elementarnih transformacija, svesti sustav (1) na tzv. gornjetrokutasti sustav, koji je oblika (navedimo za sada točnu definiciju u situaciji tzv. kvadratnog sustava, tj. kada je m = n; općeniti slučaj je vrlo sličan) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 54 / 121
109 a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2+ + a 1,m x m = b 1 a 2,2 x 2+ + a 2,n x m = b 2 (2). a m,mx n = b m. Dakle, u i tom retku vrijedi a i,1 = a i,2 =... = a i,i 1 = 0. Općenito, sustavu (1) pridružujemo tzv. matricu sustava a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n... a m,1 a m,2 a m,n Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 55 / 121
110 i tzv. proširenu matricu sustava a 1,1 a 1,2 a 1,n b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n b (3) a m,1 a m,2 a m,n b m Očigledno su sve releventne informacije o sustavu sadržane u proširenoj matrici sustava te elementarne transformacije na jednadžbama sustava odgovaraju elementarnim transformacijama nad retcima proširene matrice sustava. Stoga, radi kratkoće, u Gaussovoj metodi eliminacije radimo s matricama, a ne s čitavim jednadžbama. Vidimo da svo denjem na gornjetrokutasti oblik eliminiramo nepoznanice iz jednadžbi, tako da u zadnjoj jednažbi ostane najmanje nepoznanica. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 56 / 121
111 Postupak Pretpostavimo da imamo proširenu matricu sustava (3). 1 Prona dimo redak i t.d je a i,1 0 (npr. mozda imamo a 1,1 0). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 57 / 121
112 Postupak Pretpostavimo da imamo proširenu matricu sustava (3). 1 Prona dimo redak i t.d je a i,1 0 (npr. mozda imamo a 1,1 0). 2 Eventualno zamijenimo prvi i i ti redak Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 57 / 121
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Analitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Vektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
AB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)
Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Matematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Geologija, Znanost o okolišu Matematika 1
1 Algebra matrica 11 Osnovni pojmovi Definicija 1 Neka su m i n prirodni brojevi Niz elemenata (a 11, a 12,, a 1n, a 21, a 22,, a 2n,, a m1, a m2,, a mn R m n posloženih u pravokutnu shemu A = a 11 a 12
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru
Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 5 Skalarni, vektorski i mješoviti produkt vektora Lekcije iz Matematike 1. 5. Skalarni, vektorski i mje²oviti produkt vektora I. Naslov i obja²njenje naslova
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Riješeni zadaci: Linearna algebra
Riješeni zadaci: Linearna algebra Matrice Definicija Familiju A od m n realnih (kompleksnih) brojeva a ij, i 1,, m, j 1,, n zapisanih u obliku pravokutne tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a
MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički
Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima
UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna
Matematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković
Matematika Skripta za seminar Miroslav Jerković Matematika - seminar ii Sadržaj Realni i kompleksni brojevi. Realni brojevi............................... Kompleksni brojevi............................3
Matematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković
Matematika Skripta za seminar Miroslav Jerković Matematika - seminar ii Sadržaj Realni i kompleksni brojevi. Realni brojevi............................... Kompleksni brojevi............................
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Linearna algebra. Mirko Primc
Linearna algebra Mirko Primc Sadržaj Dio 1. Linearna algebra 1 7 Poglavlje 1. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi 9 1. Sistemi linearnih jednadžbi 9 2. Trokutasti sistemi jednadžbi 11 3. Gaussova metoda
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Matematika Zbirka zadataka
Matematika Zbirka zadataka Kristina Devčić Božidar Ivanković Veleučilište Nikola Tesla u Gospiću Uvod Unaprijed se zahvaljujemo na svakom komentaru o propustima i nedosljednostima, a svaka primjedba glede
1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Analitička geometrija afinog prostora
Analitička geometrija afinog prostora Linearno zavisan i linearno nezavisan skup točaka U realnom afinom prostoru A n dane točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s, s k, ako i
1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Matematika 1. kolokviji. Sadržaj
Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k