ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗΣ Συγγφή Επιμέλι: Πνγιώτης Φ. Μίς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ Μι άβδς μήκυς ίνι μιόμφ φτισμένη μ θτικό φτί. Ν υπλγιστί η δύνμη πυ ξσκίτι σ έν θτικό σημικό φτί q, πυ βίσκτι σ πόστση πό τ έν άκ της άβδυ ν η πόστση ίνι κτά μήκς της άβδυ. (Σχλή Μηχνλόγων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) d d q F Έστω έν στιχιώδς φτί d της άβδυ πλάτυς d, πυ βίσκτι σ πόστση πό τ φτί q. Μ τη βήθι της στθής γμμικής πυκνότητς φτίυ της άβδυ λ ίνι: d = λd Αλλά: λ πότ: d d () Η δύνμη πυ σκί στ φτί q τ στιχιώδς φτί d ίνι: () q d q df ˆ df d ˆ Επιδή η δύνμη πό κάθ στιχιώδς φτί d έχι την ίδι κτύθυνση, η λική δύνμη στ φτί q ίνι τλικά: q df d F q ˆ ˆ q ˆ F q ˆ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ Μι άβδς μήκυς ίνι μιόμφ φτισμένη μ θτικό φτί. Ν υπλγιστί η δύνμη πυ ξσκίτι σ έν θτικό σημικό φτί q, πυ βίσκτι σ πόστση πό τ έν άκ της άβδυ κάθτ πς υτή. (Σχλή Χημικών Μηχνικών Ε.Μ.Π.) Έν στιχιώδς φτί d της άβδυ σκί στ q δύνμη πυ έχι τη διύθυνση της μτξύ τυς πόστσης κι μέτ: df κι πιδή () qd q d df πκύπτι: q d df Επιδή η διύθυνση της df μτβάλλτι κθώς μτβάλλτι η πόστση τυ d πό την άκη της άβδυ, νλύυμ τη df στις συνιστώσς της df = dfsinθ κι df y = dfcosθ. όπυ cosθ = / κι sinθ = /. Επμένως τλικά ίνι: Ά: F df q ( d d df df y q θ q θ d 3/ ) ( df df d ) κι df y = 3/ q q ( d 3/ ) F q F y df y q ( d 3/ ) q F y q ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 3 Δίντι κυκλικός δκτύλις κτίνς μιόμφ φτισμένς μ γμμική πυκνότητ φτίυ λ. ) Υπλγίστ την έντση τυ ηλκτικύ πδίυ σ έν σημί Σ στν άξν τυ δκτυλίυ πυ πέχι πόστση z πό τ κέντ τυ. β) Αν ίνι τ λικό φτί τυ δκτυλίυ δίξτ ότι σ μγάλς πστάσις τ πδί μιάζι μ κίν σημικύ φτίυ στ κέντ τυ δκτυλίυ. γ) Σ πι πόστση η έντση τυ πδίυ γίντι μέγιστη; (Τμήμ Φυσικής Ε.Κ.Π.Α.) de de // de z ) Έστω έν στιχιώδς φτί dq στην πιφέι τυ δκτυλίυ πυ έχι πλάτς d κι πέχι πόστση πό τ σημί Σ. Η στιχιώδης έντση πυ πκλί στ σημί Σ έχι μέτ : dq de () Αλλά dq λd πότ η () γίντι : d λ de d () Επιδή όπως πτηίτι ι στιχιώδις ντάσις de πό κάθ dq τυ δκτυλίυ λλάζυν κτύθυνση στ χώ, νλύντς την de στις δυ κάθτς συνιστώσς της de z κι de // πκύπτι ότι λόγω συμμτίς ι ιζόντις συνιστώσς de // λληλνιύντι. Ά τ ηλκτικό πδί κίτι στν άξν z κι ίνι : de z () λ de cosθ de z d cosθ (3) Αλλά : cosθ=z/ κι z πότ η (3) γίντι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ λ z λz λz de z d d de z d (4) 3 3/ ( z ) Συνπώς λκληώνντς όλς τις de z πκύπτι τ ηλκτικό πδί στ σημί Σ: E de z ( λz z 3/ ) c d λz E ( z ) ( 3/ ẑ λz z 3/ ) π (5) β) Σ μγάλς πστάσις, δηλδή γι z>> ίνι z z ή λz λ Οπότ η (5) δίνι: E 3 (6) z z Επίσης η μιόμφη πυκνότητ φτίυ τυ δκτυλίυ ίνι : τ λικό φτί τυ δκτυλίυ. Ά η (6) γίντι : E E (7) π z z 3/ ( z ) z. λ, όπυ π Δηλδή πάγμτι σ μγάλς πστάσις τ πδί πσμιάζι μ κίν σημικύ φτίυ στ κέντ τυ δκτυλίυ. 3 γ) Γι ν βθί η πόστση z στην πί η έντση τυ πδίυ γίντι μέγιστη κί ν πσδιιστί τ μέγιστ της συνάτησης Ε Σ (z), πυ δίντι πό τη σχέση (5). Δηλδή : de dz Σ (5) λ d z 3 / dz ( z ) 3 / 3 / ( z ) z ( z ) z 3 ( z ) 3/ / ( z ) 3z ( z ) / ( z ) 3z ( z ) z z / z / Κι πιδή η δύτη πάγωγς d E Σ /dz στ σημί z / ίνι νητική, η πόστση υτή τυ z ντιστιχί στη μέγιστη τιμή της Ε Σ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 4 Φτί ίνι κτνμημέν μιόμφ κτά μήκς νός ημικυκλικύ βόχυ κτίνς. Υπλγίστ τ ηλκτικό πδί στ κέντ τυ ημικυκλικύ βόχυ. (Σχλή Ηλκτλόγων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) ds Τ ηλκτικό πδί στ κέντ Ο πό στιχιώδς φτί dq τυ βόχυ έχι μέτ: dθ θ Ο de y θ de de de dq Αλλά: dq= λds = λdθ κι λ=/π πότ: de dθ () 4π Λόγω συμμτίς πτηίτι ότι ι y συνιστώσς τυ πδίυ πυ φίλντι σ κάθ στιχιώδς φτί dq λληλνιύντι, έτσι ώστ τ λικό πδί ν κίτι στη διύθυνση. Πάγμτι : Ε () de desin θ sin θdθ 4π 4π 4π π ( ) π π cosθ Ε y () de y de cosθ cos θdθ 4π 4π π π sin θ 4π ( ) E y ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 5 Κύλινδς κτίνς κι πίυ μήκυς ίνι μιόμφ θτικά φτισμένς μ χωική πυκνότητ φτίυ. Ο άξνς τυ κυλίνδυ τυτίζτι μ τν άξν z. Ν υπλγιστύν : ) Η έντση τυ ηλκτικύ πδίυ σ κάθ σημί τυ χώυ. β) Οι συνιστώσς Ε, E y, E z της έντσης τυ πδίυ στ σωτικό τυ κυλίνδυ. γ) Ν πληθυτί ότι η πόκλιση τυ πδίυ στ σωτικό τυ κυλίνδυ ίνι /. (Σχλή Χημικών Μηχνικών Ε.Μ.Π.) z ) Λόγω κυλινδικής συμμτίς κι πίυ μήκυς της κτνμής, η έντση έχι κτινική διύθυνση (κίτι στ πίπδ y) κι στθό μέτ σ σημί πυ ισπέχυν πό τν άξν τυ κυλίνδυ. Επιλέγντς ως πιφάνι Gauss κύλινδ κτίνς κι μήκυς, ηλκτική ή ξέχτι μόν πό την πάπλυη πιφάνιά τυ. Συνπώς νόμς τυ Gauss δίνι γι τ σωτικό κι ξωτικό τυ κυλίνδυ : y Γι <: ds dv E σ π π S V σ ή δινυσμτικά σ ˆ Γι > : ds dv E π π S V ξ ξ ή δινυσμτικά ξ ˆ Η ξάτηση της έντσης μ την πόστση πό τν άξν τυ κυλίνδυ φίντι στ κόλυθ σχήμ : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ε σ ξ β) Στ σωτικό τυ κυλίνδυ υπλγίστηκ ότι : σ ˆ Επιδή όμως όπως νφέθηκ λόγω συμμτίς η έντση κίτι στ πίπδ y ίνι ˆ yŷ, πότ : σ (ˆ yŷ) Ά :, y y κι Ε z = γ) Η πόκλιση τυ σ ίνι : σ y y z z σ Τ πτέλσμ υτό έχτι σ συμφωνί μ τη διφική μφή τυ νόμυ τυ Gauss. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 6 Σφί κτίνς μ κέντ στ Ο ίνι μιόμφ φτισμένη μ πυκνότητ φτίυ κι έχι φότιστη σφιική πή, της πίς τ κέντ βίσκτι σ πόστση πό τ Ο. Ν υπλγιστί η έντση τυ ηλκτικύ πδίυ στ σωτικό της πής. (Σχλή Μηχνλόγων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) Ο P Κ Η έντση τυ ηλκτικύ πδίυ σ σημί P της σφιικής πής πκύπτι ως η πλληλί των ντάσων συμπγύς σφίς χωίς πή πυ χκτηίζτι πό πυκνότητ φτίυ ( ) κι της σφιικής πής σν ν ήτν φτισμένη μ πυκνότητ φτίυ -( ).Δηλδή : () P Αλλά όπως γνωίζυμ πό τη θωί, η έντση στ σωτικό μιόμφ φτισμένης σφίς ίνι : ˆ 3 3 Ά δώ ίνι : 3 κι 3 ( ) Επμένως η () γίντι : P P ( ) Αλλά πό τη δινυσμτική άθιση ισχύι : Ά τλικά : P 3 Δηλδή η έντση τυ ηλκτικύ πδίυ ίνι ίδι γι κάθ σημί της σφιικής πής (μγνές ηλκτικό πδί μέσ στην πή). ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 7 Ένς σφιικός φλιός σωτικής κτίνς κι ξωτικής κτίνς b ίνι φτισμένς μ χωική πυκνότητ φτίυ () = k/ (γι <<b), όπυ η πόστση πό τ κέντ κι k στθά. Στ κέντ τυ φλιύ υπάχι σημικό φτί. Ν υπλγιστί η έντση τυ ηλκτικύ πδίυ σ κάθ σημί τυ χώυ. (Σχλή Εφμσμένων Μθημτικών & Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π.) S Λόγω σφιικής συμμτίς της κτνμής φτίυ η έντση έχι κτινική διύθυνση. Επιλέγντς σφιική πιφάνι Gauss κι φμόζντς τ νόμ τυ Gauss στις τις κόλυθς πιχές τυ χώυ πκύπτι : S 3 S b q Γι < : ds enc S () 4π Όπως φίντι γι < τ πικλιόμν φτί πό την πιφάνι Gauss ίνι μόν τ σημικό φτί. Γι < < b : q q ds () S enc enc 4π Τ λικό φτί πυ πικλίι η πιφάνι Gauss S ισύτι μ τ άθισμ τυ σημικύ φτίυ κι τυ φτίυ τυ φλιύ μέχι κτίνς <<b. Δηλδή : q enc dv, όπυ = k/ κι γι σφιική κτνμή dv = 4π d V Οπότ : q 4πk d πk( ) enc Ά η () δίνι τλικά : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ πk( ) Γι > b : b q enc ds 3 4π 4πk d S 3 πk(b 3 ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 8 Κύβς κμής κτλμβάνι τ χώ :, y, z (>). Στ χώ υτό υπάχι ηλκτικό πδί c( ) ˆ, όπυ c θτική στθά. Ν υπλγιστύν : ) Η χωική πυκνότητ φτίυ στην πιχή. β) Τ λικό φτί πυ υπάχι μέσ στν κύβ. γ) Η ηλκτική ή μέσ πό την πιφάνι τυ κύβυ. δ) Εξτάστ ν τ πδί υτό ίνι ηλκτσττικό. (Σχλή Εφμσμένων Μθημτικών & Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π.) y ) Σύμφων μ τη διφική μφή τυ νόμυ τυ Gauss ίνι : / y y z z [ c( ) ] z c( ) () β) Τ λικό φτί πυ πικλίι κύβς τυ σχήμτς θ υπλγιστί μέσω της πυκνότητς φτίυ. Δηλδή : dq dq dv q dv, όπυ η λκλήωση λμβάνι χώ σ όλ τν όγκ τυ dv V κύβυ κι πιδή = () κι dv = ddydz νάγτι στ τιπλό λκλήωμ : q c ( )d dy dz c ( )d q - c () γ) Η ηλκτική ή ίνι σύμφων μ τ νόμ Gauss: 4 Φ Ε () q c 4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ δ) Γι ν ίνι τ πδί υτό ηλκτσττικό πέπι ν ίνι στόβιλ (δηλ. ). Είνι : ˆ / c( ) ŷ / y ẑ / z ˆ yˆ c( ) z ẑ c( ) y Ά τ πδί ίνι συντηητικό, δηλδή ηλκτσττικό. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 9 Τ ηλκτικό δυνμικό σ κάπι πιχή τυ χώυ δίντι πό τη συνάτηση : 3 V(, y) -A( 3y), όπυ Α στθά. ) Ν υπλγιστί η έντση τυ ηλκτικύ πδίυ. β) Ν υπλγιστί η χωική πυκνότητ της κτνμής τυ φτίυ στην πί φίλτι υτό τ πδί. (Σχλή Χημικών Μηχνικών Ε.Μ.Π.) ) Η έντση τυ ηλκτικύ πδίυ πέι πό τ ηλκτικό δυνμικό έτσι ώστ : V V V V ˆ ŷ ẑ ( 3 ˆ 3Aŷ ẑ) y z 3 ˆ 3Aŷ β) Από τη διφική μφή τυ νόμυ Gauss πκύπτι : / y y (6 ) 6 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ Η συνάτηση δυνμικύ νός ηλκτικύ πδίυ δίντι πό τη σχέση : V(, y) k( y ), όπυ k στθά Ν υπλγιστύν : ) Η έντση τυ ηλκτικύ πδίυ σ τυχί σημί τυ χώυ. β) Η χωική πυκνότητ φτίυ σ τυχί θέση. γ) Τ έγ της ηλκτικής δύνμης γι μτκίνηση νός φτίυ q πό τη θέση Α(,) μέχι τη θέση Β(3,4). (Σχλή Εφμσμένων Μθημτικών & Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π.) V V V ) Είνι : V ˆ ŷ ẑ (kˆ kyŷ ẑ) y z kˆ kyŷ () β) Η χωική πυκνότητ φτίυ ίνι σύμφων μ τη διφική μφή τυ νόμυ Gauss : / y y z z ( k k ) Δηλδή τ δυνμικό υτό πικτί σ πιχή λύθη φτίων. γ) Η ηλκτική δύνμη πυ σκίτι στ φτί q ίνι : () F qe kq(ˆ yŷ) () Οπότ τ έγ γι τη μτκίνηση τυ φτίυ πό τ σημί Α στ Β ίνι : W Β F d () kq (3,4) (ˆ yŷ) (dˆ dyŷ) kqd (,) 9 6 kq W 7kq ή WΑΒ F d q Ε d qvα VΒ qk() k(9 6) Α Β Α W ΑΒ 7kq 3 4 ydy ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ Έστω τ ηλκτικό πδί ( y)ˆ ( y) ŷ ) Ν υπλγιστί η πυκνότητ φτίυ στ χώ. β) Ν υπλγιστί η συνάτηση τυ ηλκτικύ δυνμικύ V(,y,z), λμβάνντς ως σημί νφάς δυνμικύ τ σημί Ο(,,). (Σχλή Νυπηγών Μηχνικών Ε.Μ.Π.) ) Από τη διφική μφή τυ νόμυ Gauss πκύπτι : / y y Δηλδή η έντση τυ ηλκτικύ υτύ πδίυ πιγάφι χώ κνό φτίων. β) Από τη σχέση ( 6) πυ συνδέι την έντση μ τ δυνμικό πκύπτι : V ( y)ˆ V V ( y)ŷ ˆ ŷ y V ( y) V ( y) y () () Ολκληώνντς την () ως πς κτώντς τ y στθό πκύπτι : dv Ε ( - y)d -V y c(y) (3) όπυ η στθά λκληώνντς c(y) ίνι συνάτηση της μτβλητής y. Πγωγίζντς μικά την (3) ως πς y πκύπτι: V y () c(y) y c(y) ( y) y y ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ c y c(y) ydy c(y) (όπυ c στθά) (4) Συνπώς η (3) λόγω της (4) δίνι τη συνάτηση τυ ηλκτικύ δυνμικύ : c y y V c y y V Αλλά πιδή στ σημί (,) ίνι V(,) = πό την ππάνω φίντι ότι η τιμή της στθάς c ίνι c=. Ά τλικά η συνάτηση τυ ηλκτικύ δυνμικύ ίνι : y y y) V(,

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ Λπτός κυκλικός δίσκς κτίνς κι κέντ στ Ο ίνι μιόμφ φτισμένς μ πιφνική πυκνότητ φτίυ σ. Ν υπλγιστύν : ) Τ ηλκτικό δυνμικό στ σημί Ρ τυ άξν τυ δίσκυ, πυ πέχι πόστση z πό τ κέντ τυ. β) Η έντση τυ ηλκτικύ πδίυ στ ίδι σημί κι πι τ πτέλσμ ν. (Τμήμ Φυσικής Ε.Κ.Π.Α.) d z P z O z ) Θωύμ έν στιχιώδς φτί dq τυ δίσκυ σ μφή κυκλικύ δκτυλίυ κτίνς κι ύυς d. Επιδή κάθ σημί τυ δκτυλίυ υτύ πέχι την ίδι πόστση z πό τ σημί P, τ δυνμικό πυ πκλί στ σημί P ίνι : dv dq z () Αλλά τ φτί τυ δκτυλίυ ίνι : dq σds σπd πότ η () γίντι : dv σπd dv z σd z () Ολκληώνντς τη σχέση () σ όλ τ δίσκ πκύπτι τ δυνμικό τυ δίσκυ στ σημί P ως : V P σ dv d σ z z V P σ z z (3) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ β) Επιδή τ δυνμικό V ίνι συνάτηση μόν τυ z, η έντση τυ ηλκτικύ πδίυ στ σημί P ίνι : E P dv dz P (3) σ ẑ z z ẑ E P σ z z ẑ (4) Στην πίπτωση πυ, δηλδή γι άπι φτισμέν πίπδ, ός της σχέσης (4) z, πότ η σχέση υτή δίνι : z P σ ẑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 3 Δυ πάλληλς άπις μτλλικές πλάκς, πυ πέχυν πόστση μτξύ τυς ίνι κάθτς στν άξν κι διτηύντι σ δυνμικό V κι V ντίστιχ. Ν υπλγιστί τ δυνμικό V() στ χώ μτξύ των πλκών κθώς κι η έντση τυ ηλκτικύ πδίυ, ν στ χώ μτξύ των πλκών δν υπάχυν ηλκτικά φτί. (Τμήμ Φυσικής Ε.Κ.Π.Α.) V V Επιδή χώς μτξύ των πλκών δν πιέχι φτί, δηλδή =, ισχύι η - ξίσωση Laplace ( ) : O = V V V V y z Λόγω πίπδης συμμτίς τ δυνμικό μτβάλλτι μόν συντήσι τυ, πότ η ππάνω νάγτι στην : d d V d d dv d dv d d d dv d c dv c c d V c () όπυ c, c στθές ι πίς υπλγίζντι πό τις ικές συνθήκς. Δηλδή γι = ίνι V V V c c c V () () Γι = ίνι V V () V c c () c V V Ά : V() V γι Η έντση τυ ηλκτικύ πδίυ ίνι : V V dv V ˆ d E V V ˆ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 4 Έστω σύστημ πίων φτίων +q κι -q τπθτημένων νλλάξ σ στθή πόστση. Ν υπλγιστί η ηλκτσττική νέγι νός θτικύ φτίυ +q. Δίντι τ νάπτυγμ : 3 4 n( ) (Σχλή Μηχνλόγων Μηχνικών Ε.Μ.Π.) -q +q -q +q -q +q -q +q Η ηλκτσττική νέγι νός θτικύ φτίυ q της άπιης διάτξης ίνι : q( q) qq q( q) q U π 3 όπυ πάγντς κφάζι την άπιη έκτση τυ πλέγμτς κι πς τις δυ κτυθύνσις. Αλλά γι = πό τ νάπτυγμ πυ δίντι πκύπτι: n( ) n... 3 q Ά : U n π ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

22 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 5 Ένς σφιικός γωγός σωτικής κτίνς κι ξωτικής b ίνι φτισμένς μ η- λκτικό φτί, νώ στ κέντ τυ σφιικύ γωγύ έχι τπθτηθί σημικό η- λκτικό φτί q. Ν υπλγιστύν : ) Η τλική κτνμή τυ ηλκτικύ φτίυ στ σφιικό γώγιμ φλιό. β) Η έντση τυ ηλκτικύ πδίυ πντύ στ χώ. γ) Τ ηλκτικό δυνμικό πντύ στ χώ. (Σχλή Εφμσμένων Μθημτικών & Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π.) ) Τ φτί μ τ πί ίνι φτισμένς σφιικός γωγός θ κτνμηθί στην σωτική πιφάνι κι στην ξωτική πιφάνι, έτσι ώστ στ σωτ- q b ικό τυ γωγύ η έντση ν ίνι μηδέν, δηλδή E. Σημιώντι ότι λόγω σφιικής συμμτίς τυ πβλήμτς τ φτί, ίνι μιόμφ κτνμημέν στις πιφάνις τυ γώγιμυ φλιύ. Λόγω της χής διτήησης τυ φτίυ θ ισχύι : () Θωώντς σφιική πιφάνι S μ κτίν < < b κι πιδή τ σημί της πιφάνις υτής έχυν μηδνική έντση, νόμς τυ Gauss δίνι: S q E ds enc q q κι λόγω της () : q ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

23 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ β) Η έντση E υπλγίζτι μέσω τυ νόμυ Gauss : q enc q q Γι : ds 4π ˆ S () Γι b : Σύμφων μ τη βσική ιδιότητ των γωγών ίνι : E (3) Γι b : () qenc q q ds 34π S 3 3 (q ) ˆ (4) γ) Θωώντς ως σημί νφάς τ άπι ( V ), τ ηλκτικό δυνμικό θ υπλγιστί πό τη σχέση : dv ˆ d Επμένως : V dv d ˆ V d Γι b : (4) V3 3 q d 3d V q Γι (3),(4) q d b : V d 3d d b b b V q στθ. b Γι < : V d 3d d d b b (),(3),(4) q b d q d V q q b ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

24 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμ 6 Ν πδιχθί ότι ι πλισμί νός πυκνωτή μ πίπδς κι πάλληλς πλάκς μβδύ S κι πόστσης d, έλκντι μτξύ τυς μ δύνμη : F q / S. Επίσης ν διχθί ότι η πίση πυ σκίτι ίνι ίση μ την πυκνότητ νέγις στ πδί. (Τμήμ Φυσικής Ε.Κ.Π.Α.) Αν υπτθί ότι η πόστση d μτξύ των πλισμών τυ πυκνωτή υξηθί κτά d, τότ τ έγ πυ πιτίτι γι την μτκίνηση των πλισμών ίνι : dw F d Fd () όπυ F η δύνμη μτξύ των πλισμών. Τ έγ υτό πέπι ν ισύτι μ τη μτβλή της ηλκτσττικής νέγις τυ πυκνωτή κι υτή ίνι : du dv Sd () όπυ dv Sd στιχιώδης όγκς μτξύ των πλισμών κτά τη μτκίνησή τυς. Από τις σχέσις () κι () πκύπτι : Fd Sd F Γι ένν πίπδ πυκνωτή όμως νόμς τυ Gauss δίνι : S (3) q q Φ S (4) S Μ ντικτάστση στη σχέση (3) της (4) υπλγίζτι η ζητύμνη δύνμη : Η πίση πυ σκίτι ίνι : q F (3) F P S S du dv u όπυ u du dv η πυκνότητ νέγις τυ πδίυ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

25 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ