, m ecuańii, n necunoscute;

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ", m ecuańii, n necunoscute;"

Transcript

1 Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a a a1 nn = b1 a11 + a an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 + am amn n = bm a11 a1... a1 n a11 a1... a1 n b1 a1 a... a n A = a1 a... an b, A =, a m1 am... amn a m1 am... amn bm r rangul matricii A = rangul sistemului Sisteme de trei ecuańii cu trei necunoscute a1 + b1 + c1 z = d1 Def. Un sistem de trei ecuańii cu trei necunoscute are forma ( S) : a + b + cz = d, unde a3 + b3 + c3z = d3 a i, b i, c i se numesc coeficienńii necunoscutelor, iar d i termenii liberi ai sistemului. Def. Se numeste soluńie a sistemului orice triplet (s 1, s, s 3 ) care este soluńie pentru fiecare ecuańie a sistemului. a1 b1 c1 A = a b c - matricea sistemului a3 b3 c 3 a1 b1 c1 d1 A = a b c d - matricea etinsă a sistemului a3 b3 c3 d 3 Regula lui Cramer a1 b1 c1 A = a b c ; a3 b3 c 3 a b c = a b c - determinantul matricei sistemului a b c

2 d b c = d b c d b c (se obńine din A înlocuind coeficienńii lui, prin coloana termenilor liberi) = a d c a d c a d c (se obńine din A înlocuind coeficienńii lui, prin coloana termenilor liberi) = z a b d a b d a b d z = ; = ; z = (se obńine din A înlocuind coeficienńii lui z, prin coloana termenilor liberi) Sisteme liniare omogene a1 + b1 + c1 z Sistemul ( S) : a + b + cz se numeşte sistem liniar omogen a3 + b3 + c3z Întotdeauna acest sistem este compatibil avand cel puńin soluńia banală (cu toate componentele egale cu zero) = = z. Daca = det( A) 0 atunci (formulele lui Cramer) sistemul are numai soluńia banală. În acest caz sistemul este compatibil determinat. Daca = det( A) atunci sistemul are şi alte soluńii diferite de cea banală. Sistemul este compatibil nedeterminat. Sisteme de m ecuańii cu n necunoscute a a a1 nn = b1 a11 + a ann = b Au forma : (1)... am 11 + am amnn = bm Dacă un sistem are soluńii, atunci îl numim compatibil (determinat dacă are eact o soluńie şi nedeterminat dacă sistemul are mai mult de o soluńie) Sistemul (1) se numeşte omogen daca are tońi termenii liberi egali cu zero. Sistemul astfel obńinut

3 a a a1 nn a11 + a ann se numeşte sistemul omogen asociat sistemului (1).... am11 + am amn n CoeficienŃii necunoscutelor formeaza o matrice de tip m n: a11 a1... a1 n 1... n A = a a a numită matricea sistemului (1) am 1 am... amn 1 b1 Dacă X = b şi C = sunt coloana necunoscutelor şi respectiv coloana termenilor n bm liberi, atunci sistemul (1) se poate scrie sub forma matriciala AX = C. Două sisteme sunt echivalente dacă sunt amandouă incompatibile sau sunt amandouă compatibile şi au aceleaşi soluńii. Discutia unui sistem Teorema Kronecker Capelli. Sistemul liniar (1) este compatibil dacă şi numai dacă rangul matricii sistemului coincide cu rangul matricii etinse. Comform teoremei avem nevoie de calculul rangului matricii A. Daca rang(a) = r, atunci eistă cel puńin un minor nenul de ordin r. Pe acesta îl numim determinant principal şi-l notam.ca să avem egalitatea rang(a) = rang( A ) trebuie probat ca orice minor al matricii p A care-l contine pe cel principal şi care nu este minor al lui A este nul. Orice astfel de minor de ordin r + 1, obńinut prin bordarea determinantului principal cu elemente corespunzatoare ale coloanei termenilor liberi, precum şi cu cele ale uneia din liniile rămase, se numeşte minor caracteristic. Vom nota un astfel de minor prin car, k, unde k indica linia utilizată pentru bordare. Teorema Rouche. Sistemul liniar (1) este compatibil dacă şi numai dacă tońi minorii caracteristici sunt nuli. Deci dacă cel puńin un minor caracteristic este nenul sistemul este incompatibil. Determinarea solutiilor Presupunem ca rang(a) = r şi că am ales ca determinant principal al sistemului compatibil a... a 11 1r = De precizat că odată ales determinantul principal cu el se merge până la p ar1... arr determinarea soluńiilor. Necunoscutele ale caror coeficienńi sunt în determinantul principal se 3

4 numesc necunoscute principale. Deci în cazul nostru acestea sunt 1,,..., r.celelalte necunoscute (dacă eistă), adica r+1,..., n, se numesc necunoscute secundare. EcuaŃiile ale căror coeficienńi se află în determinantul principal se numesc ecuańii principale. În cazul de fańă primele r ecuańii sunt principale. Celelalte ecuańii (dacă eistă) se numesc ecuańii secundare. a a a1 nn = b1 a11 + a an n = b Se rezolva sistemul format din ecuańiile principale : (*)... ar11 + ar arnn = br SoluŃiile acestui sistem sunt soluńii şi pentru (1), (din rang(a) = rang( A ), rezultă că celelalte linii sunt combinańii liniare ale ecuańiilor principale, ceea ce arată că o soluńie a sistemului de mai sus este soluńie şi pentru (1)). Analizam cazurile : - dacă r = n, atunci sistemul (*) are atâtea ecuańii câte necunoscute. Pentru rezolvare se pot 1 n aplica formulele lui Cramer : 1 = ; = ;...; n =, unde se obńine din n p p p p înlocuind coloana coeficienńilor lui n cu termenii liberi. - daca r < n, atunci în ecuańiile principale se înlocuiesc necunoscutele secundare variabil,..., ; r+ 1 = λr+ 1 n = λn λk R şi se rezolva sistemul format din ecuańiile principale (în care necunoscutele secundare trec în membrul drept). Pentru rezolvare se aplică regula lui Cramer. 4

5 Probleme rezolvate 1. Se consideră sistemul m + + z = m z =, unde m este un parametru real. ( m + 1) + + 3z = m 1 1 a) Să se determine m0r, ştiind că 5 1 = 1. m b) Să se determine m0r astfel încât sistemul să admită soluńia (1,, 3). c) Pentru m = 1 să se rezolve sistemul de ecuańii. m 1 1 R. a) 5 1 = 6m m + 1+ m + m 15 = 5m m m = 1 5m = 10 m =. b) Înlocuim = 1, = şi z = 3 şi obńinem: m + 3 = m 3 m m, m =. m = m =, care verifică şi prima ecuańie + + z = c) Pentru m = 1 sistemul va fi 5 + z =, matricea sistemului A = z = 0 3 = det = 5 1 = = 3 0, este sistem Cramer. Calculăm şi d ( A) 0 3 determinanńii corespunzători necunoscutelor: d d z = 1 = = 1, = 5 = = 18 şi obńinem soluńiile 0 d 1 d 4 dz 18 = = = 4, = = = 8, z = = = 3. d 3 d 3 d 3 d = 5 1 = = 4, 0 3 5

6 + 3z = 3. Se consideră sistemul de ecuańii + + z = 4, unde m R. m + 4z = 1 a) Să se determine m R astfel încât (,1, 1) să fie o soluńie sistemului. 1 3 b) Să se rezolve ecuańia 1 1 = m 3 m, unde m R. m 1 4 c) Pentru m = 5 să se rezolve sistemul de ecuańii. R. a) Înlocuim în ultima ecuańie a sistemului: 1 + 4@( 1) = 1 m = 6 m = b) m 1 4 = m m + + = m + m + = m m m + m 15 cu soluńiile m 1 = 3 şi m = c) Pentru m = 5 matricea sistemului este: A = 1 1 şi din b) ( A) ( ) ( ) det = 1 1 = = = 40 0, sistem Cramer. d = = , d = 4 1 = = 10, d z = 1 4 = = SoluŃia: d 0 d 10 dz 40 = =, = = = 3, z = = = 1. det 40 det 40 det 40 ( A) ( A) ( A) 6

7 3. Se consideră sistemul de ecuańii + + z = az = a z = 4 1 şi matricea A( a) = 1 a M 3 ( R ). 1 4 a a) Să se calculeze det(a(4)). b) Să se determine a R pentru care matricea A(a) este inversabilă. c) Pentru a R {1,} să se rezolve sistemul. ( ) det A 4 = 1 4 = = 6. R. a) ( ) b) Matricea A(a) este inversabilă dacă determinantul matricei este nenul, (det(a(a)) 0). ( A( a) ) a a ( a )( a )( ) ( a )( a ) det = 1 = 1 = 1 1 = a 1 a det(a(a)) 0 (a )(a 1) 0 a şi a 1 a R {;}. c) Pentru a R {1,} det(a(a))=(a )(a 1) 0. ( )( ) d = 1 a = a a 1, SoluŃia: 1 4 a ( A( a) ) d = 1 1 a, 1 1 ( a )( a ) ( )( ) det A( a) a d = 1 1. z d 1 d 0 = = = 1, = =, det a a 1 a a 1 d z 0 z det = = ( A( a) ) ( a )( a 1) ( ) ( )( ) + a + a z = a 4. Se consideră sistemul de ecuańii + b + b z = b, unde a,b,c 0 R, sunt distincte două + c + c z = c câte două. a) Să se rezolve sistemul pentru a, b = 1 şi c =. b) Să se verifice că det (A)=(a b)(b c)(c a), unde A este matricea asociată sistemului. c) Să se demonstreze că soluńia sistemului nu depinde de numerele reale a, b şi c. 7

8 R. a) Pentru a, b = 1 şi c =, sistemul va fi: + + z = 1 + z = 1 ( 1). Din ultimele două ecuańii 4z + + = + 4z = :( ) z = 1 z, = 1 şi S = {(0, 1, 0)}. + z = 1 1 a a 1 a a L1 *( 1) + L 1 b + a b) det( A) = 1 b b b a b a = ( b a)( c a) = L1 *( 1) + L3 1 c + a 1 c c 0 c a c a ( )( ) = b a c a c + a b a ( ) ( b a)( c a)( c b) ( a b)( b c)( c a) = =. (determinant Vandermonde). c) Rezolvăm sistemul prin regula lui Cramer: a a a 1 a a 1 a a ( ) d = b b b, d = 1 b b = d = det A, d = 1 b b şi z c c c 1 c c 1 c c ( ) ( ) ( A) dz ( ) ( ) d d det =, = = = 1, z =, soluńii care nu depind de a, b, c. det A det A det A det A + z t = 1 5) Se consideră sistemul: + + az + t = 1, a şi b parametri reali. + z t = b a) Să se determine a şi b astfel încât matricea sistemului să fie de rang, iar sistemul să fie compatibil. b) Pentru a= 1 şi b=1 să se rezolve sistemul R. a) A = 1 1 a 1 ; A 1 1 a 1 1 = b 1 d = = 3 0determinantul principal. Luăm determinantul de ordinul 3: d = 1 1 a = a + 1 care trebuie să fie nul a= Determinantul caracteristic trebuie să fie nul şi obńinem: dc = = 3b 5 3b 5 b = b 8

9 b) Necunoscutele principale sunt şi, iar z =α 0R şi t =β 0R. = 1 α + β Sistemul principal:. + = 1 + α β = 1 + α β Se consideră matricea A = a) Să se determine rangul matricei A z = 1 b) Să se studieze compatibilitatea sistemului ( S) z = z = 5 R. a) Matricea A are liniile proporńionale ranga= b) d c = = sistemul este incompatibil z + 7t 7. Se consideră sistemul (S) 4 + 7z + 5t. + z 5t a) Sistemul admite soluńiile = 8, =8, z = 3, t =1, respectiv =4, =8,z =0,t =0? JustificaŃi răspunsul. b) Să se rezolve sistemul. R. Sistemul e omogen, deci are ca soluńie soluńia banală = =z =t =0 a) Se verifică că = 8, =8, z= 3, t=1 nu e soluńie a sistemului: ( 8) 8+5 ( 3)+7 1= = 3 0, iar =4, =8, z=0, t=0 e soluńie a sistemului: = 8 8. b) 5 = 6 0 rang A, unde A este matricea sistemului. 4 7 Cum şi rang A= Fie =α0r şi t =β0r se obńine sistemul echivalent α = 11β, =α, z =3β şi t =β unde α,β0r. + 5z = α 7β cu soluńiile = α 5β 9

10 m 8. Se consideră matricea A =, m parametru real a) Să se calculeze determinantul matricei A. 7 9 b) Pentru m=8 să se rezolve ecuańia matriceală A X =,unde X =. 3 z 5 t R. a) m A = 3 A nu este inversabilă pentru m0r. 3 4 b) Pentru m=8 ecuańia maticeală se transformă în: t = z + 8t = 9 =. 3 1 z z + t = t z + 4t = 5 Deoarece 6 5 = 0 rang A şi cum tońi minorii de ordin 3 sunt nuli rang A=. 8 7 Calculând minorii caracteristici = 8 7 9, d = se obńine că sunt nuli, deci sistemul e compatibil nedeterminat. Alegând =α şi t=β, cu α,β0r se obńine sistemul echivalent: 6 + 5z = 7 9α 6β cu soluńiile 8 + 7z = 9 1α 8β d c c 3 = α ; = α, z = 1, t = β, deci ecuańia matriceală are o infinitate de soluńii, matrici coloană de forma α,β0r. 3 α β X = α, cu 1 β 10

11 + + z + t + + z + t 9. Să se rezolve sistemul (S). + + z + t + + z + t R. Sistem omogen, deci admite soluńia banală = = z= t. 1 1 det A=0; = 1 1 = 3 0 minor principal rang A= z = λ Cu t=λ0r + + z = λ. Sistem Cramer cu soluńiile = λ, =0, z=0, t=λ. + + = λ z = Să se rezolve sistemul + 3z = z = R. = 1 3 = 3 Sistemul este de tip Cramer şi are soluńiile: s 3 4 z = = 1, = =, z = = 3. s s s 11. Să se rezolve sistemul: z z z + 3 R. = 6 3 = 5 0 sistemul este compatibil determinat (Cramer) = 1 3 = 5 = = 1, =-10 =, z =5, z= S={(1,,-1)}. 11

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi

Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Adriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs

Adriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Adriana-Ioana Lefter MATEMATICĂ (ALGEBRĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Cuprins Partea 1 ALGEBRĂ 1 Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 3 11 Corpuri 3 12 Matrice 4 13

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare

Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare 1. Matrici şi determinanţi Reamintim aici câteva proprietăţi ale matricilor şi determinanţilor. Definiţia 1.1. Fie K un corp (comutativ) şi m, n N. O funcţie A : {1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Sala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional.

Sala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional. Sala: Octombrie 24 SEMINAR : ALGEBRĂ Conf univ dr: Dragoş-Pătru Covei Programul de studii: CE, IE, SPE Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat distribuit

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

1.11 Rezolvarea circuitelor de curent continuu Metoda teoremelor lui Kirkhhoff

1.11 Rezolvarea circuitelor de curent continuu Metoda teoremelor lui Kirkhhoff Curs mine. ezolvarea circuitelor de curent continuu Metoda teoremelor lui Kirhhoff Se numeşte circuit electric, un ansamblu de surse de tensiune electromotoare şi receptoare, cu legătură conductoare între

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau

EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme de ecuaţii diferenţiale

Sisteme de ecuaţii diferenţiale Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la

Διαβάστε περισσότερα

elemente de geometrie euclidiană

elemente de geometrie euclidiană Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Fizică Algebră liniară şi elemente de geometrie euclidiană Adrian NECULAE - Curs pentru uzul studenţilor - Timişoara - 2010 Tipografia Universităţii de

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme liniare - metode directe

Sisteme liniare - metode directe Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K

Διαβάστε περισσότερα

Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ

Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ IASI, 005 1 Cuprins Capitolul 1 1.1. Matrice şi determinanţi...5 1.1.1. Determinantul unei matrice pătratice...8 1.1.. Matricea

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα