Kontekstivabad keeled

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Kontekstivabad keeled"

Transcript

1 Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27

2 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 2 / 27

3 Järgmine punkt 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 3 / 27

4 Programmi struktuur puuna i f a=b then x :=2 ( a 3) e l s e x := a b a+b ; IF = := := a b x * x * 2 - abs abs a a b a b Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 4 / 27

5 Programmipuu interpreteerimine Avaldis: Puu: c (a + b) * c + a b P r o c e d u r e e x e c u t e ( puu ) ; b e g i n w h i l e r e a d ( e l )!= empty do i f a r i t y ( e l )=0 then push ( e l ) f i ; i f a r i t y ( e l )=1 then push ( a p p l y ( e l, pop ( ) ) ) f i ; i f a r i t y ( e l e m e n t )=2 then push ( a p p l y 2 ( e l, pop ( ), pop ( ) ) ) f i ; od ; r e t u r n ( pop ( ) ) ; end ; Puu lõppjärjekorras: c a b + Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 5 / 27

6 Loomuliku keele lause struktuur S NF TF N OMF N T NF Päkapiku M OM kasv tingib NF N liiga napp N N jõuluvanaks tema sobimatuse (Слишком маленький рост гнома заставляет его несовместимость быть Дед Морозом.) Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 6 / 27

7 Fraasistruktuuri grammatika eelmise näite korral S NF TF NF N OMF N NF NF N NF N N TF T NF OMF M OM N Päkapiku N kasv N tema N sobimatuse N jõuluvanaks M liiga OM napp Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 7 / 27

8 Fraasistruktuuri grammatika eelmise näite korral... ehk sama lühemalt: S NF TF NF N OMF N NF N N N TF T NF OMF M OM N Päkapiku kasv tema sobimatuse jõuluvanaks M liiga OM napp Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 7 / 27

9 Fraasistruktuuri grammatika eelmise näite korral... ehk sama lühemalt: S NF TF NF N OMF N NF N N N TF T NF OMF M OM Tuletus grammatikas: N Päkapiku kasv tema sobimatuse jõuluvanaks M liiga OM napp S NF TF N OMF N TF Päkapiku OMF N TF Päkapiku M OM N TF Päkapiku liiga OM N TF Päkapiku liiga napp N TF Päkapiku liiga napp kasv TF Päkapiku liiga napp kasv T NF Päkapiku liiga napp kasv tingib NF Päkapiku liiga napp kasv tingib N NF Päkapiku liiga napp kasv tingib tema NF Päkapiku liiga napp kasv tingib tema N N Päkapiku liiga napp kasv tingib tema sobimatuse N Päkapiku liiga napp kasv tingib tema sobimatuse jõuluvanaks Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 7 / 27

10 Terminoloogiast seoses fraasistruktuuri grammatikatega Sõnad nagu päkapiku, tingib, sobimatuse jne on terminaalid; Tähised nagu S, T, OMF jne on mitteterminaalid ehk muutujad; terminaalide järjendit nimetatakse terminaalseks sõneks või lauseks, näiteks Päkapiku liiga napp kasv ; Sõne (erijuhul ε), mis sisaldab mitteterminaale ja terminaale (terminaalid võivad ka puududa) nimetatakse lausevormiks, näiteks NF TF või Päkapiku liiga OM N tingib NF Grammatikareeglit nagu NF N OMF N või N kasv nimetatakse produktsiooniks; Kui lausevormi β saab lausevormist α ühe tuletussammuga, st tema saamiseks on α üks mitteterminaal asendatud ühe produktsiooni parema poolega, öeldakse, et β on lausevormist α vahetult tuletatav ja kirjutatakse α β; Kui lausevormi β saab lausevormist α mitme järjestikuse vahetu tuletatavuse sammuga, on β lausevormist α tuletatav ja kirjutatakse α + β; Kui β on lausevormist α tuletatav k sammuga, kirjutatakse α k β; Kui α = β või α + β, kirjutatakse α β Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 8 / 27

11 Vahetu tuletatavus ja tuletatavus KV grammatika korral Definitsioon Lausevorm β on vahetult tuletatav lausevormist α (tähistus α β), kui mitteterminaali N ja lausevormide γ, δ ja ϕ korral on täidetud tingimused α = γnδ; β = γϕδ; grammatikas leidub produktsioon N ϕ. Definitsioon Lausevorm β on tuletatav lausevormist α (tähistus α β), kui leiduvad lausevormid γ 0,γ 1,...,γ k, kus k {0,1,2,...}, nii et α = γ 0 ; β = γ k ; γ 0 γ 1 γ k. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 9 / 27

12 Vahetu tuletatavus ja tuletatavus KV grammatika korral Definitsioon Lausevorm β on vahetult tuletatav lausevormist α (tähistus α β), kui mitteterminaali N ja lausevormide γ, δ ja ϕ korral on täidetud tingimused α = γnδ; β = γϕδ; grammatikas leidub produktsioon N ϕ. Alternatiivne definitsioon: Definitsioon Lausevorm β on tuletatav lausevormist α (tähistus α β), kui mingi k {0,1,2,...} korral α k β. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 9 / 27

13 KV grammatika ja KV keel Definitsioon Kontekstivabaks grammatikaks (lühemalt KV grammatikaks) nimetatakse nelikut G = (N,Σ,P,S), kus 1 N on mitteterminaalide tähestik; 2 Σ on terminaalide tähestik (eeldatakse, et N Σ = ); 3 P N V on produktsioonide lõplik hulk, kus V = N Σ; 4 S N on lähtesümbol. Definitsioon KV grammatikaga G = (N,Σ,P,S) genereeritav keel on sõnede hulk L (G) = {x S x ning x Σ }. Definitsioon Sõnede hulk L on kontekstivaba keel (KV keel), kui leidub KV grammatika G, nii et L = L (G). Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 10 / 27

14 Kokkuleppelised tähistused a,b,c,... ja 0,1,...,9 terminaalid; A,B,C,...,S mitteterminaalid, kusjuures S on grammatika lähtesümbol; T,U,V,...,Z terminaalid või mitteterminaalid; α,β,... lausevormid; u,v,...,z terminaalsed sõned. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 11 / 27

15 Aritmeetilise avaldise grammatika S S + T S T T T F T F F (S) F a Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 12 / 27

16 Millise keele genereerib grammatika? Jaan Penjam, Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 13 / 27

17 Millise keele genereerib grammatika? (2) Jaan Penjam, Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 14 / 27

18 Järgmine punkt 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 15 / 27

19 Süntaksipuud KV-grammatikate produktsioonid on esitatavad elementaarpuudena: Jaan Penjam, Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 16 / 27

20 Süntaksipuud (2) Elementaarpuude ühendamise tulemusena saadud puud nimetatakse süntaksipuuks grammatikas G. Süntaksipuu t: S T Süntaksipuu krooniks on lausevorm: Kr(t) = a (S + a) T * F F a ( S S + T ) Täielikku süntaksipuud nimetatakse (oma krooni) tuletuspuuks. F a Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 17 / 27

21 Ühesed keeled ja grammatikad Olgu antud grammatika G produktsioonidega L 1 = L (G) = (a(b + c)) a S SbS S ScS S a Sõnel abaca on grammatika G korral kaks tuletuspuud Tuletuspuud a) b) S S S b S S c S a S c S S b S a a a a a Igale vasaktuletusele vastab täpselt üks tuletuspuu: a) S SbS abs abscs abacs abaca b) S ScS SbScS abscs abacs abaca Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 18 / 27

22 Ühesed keeled ja grammatikad (2) Definitsioon KV-grammatika G on ühene, kui iga sõne x L (G) korral leidub ainult üks tuletuspuu (= üks vasaktuletus). Definitsioon KV-keel L on ühene, kui kui leidub ühene KV-grammatika G, nii et L = L (G). Keel L 1 on ühene S a S aa A bs A cs Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 19 / 27

23 Ühesed keeled ja grammatikad (3) Teoreem Olgu L 1 ja L 2 ühesed keeled. Kui L 1 L 2 =, siis on keel L 1 L 2 samuti ühene. Kui üheste keelte ühisosa ei ole tühi, ei pruugi nende ühend olla ühene. Keeled L 2 = {a n b n c m n,m > 0} ja L 3 = {a m b n c n n,m > 0} on ühesed, vastavad grammatikad on: G 1 : {S AB,A aab,a ab,b cb,b c} G 2 : {S AB,A aa,a a,b bbc,b bc} Keel L = {a n b n c m n,m > 0} {a m b n c n n,m > 0} on mitmene! Teoreem KV-keelte ühesuse probleem pole algoritmiliselt lahenduv. Me tõestame selle hiljem. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 20 / 27

24 Ühesed keeled ja grammatikad (3) Teoreem Olgu L 1 ja L 2 ühesed keeled. Kui L 1 L 2 =, siis on keel L 1 L 2 samuti ühene. Kui üheste keelte ühisosa ei ole tühi, ei pruugi nende ühend olla ühene. Keeled L 2 = {a n b n c m n,m > 0} ja L 3 = {a m b n c n n,m > 0} on ühesed, vastavad grammatikad on: G 1 : {S AB,A aab,a ab,b cb,b c} G 2 : {S AB,A aa,a a,b bbc,b bc} Keel L = {a n b n c m n,m > 0} {a m b n c n n,m > 0} on mitmene! Teoreem KV-keelte ühesuse probleem pole algoritmiliselt lahenduv. Me tõestame selle hiljem. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 20 / 27

25 Järgmine punkt 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 21 / 27

26 Chomsky normaalkuju Definitsioon KV gramaatika G = (N,Σ,P,S) on Chomsky normaalkujul, kui tema produktsioonid on ühel järgmisetst kujudest A BC A a S ε kus S on grammatika lähtesümbol ning A, B ja C on mitteterminaalid ning B ja C ei ole lähtesümbolid. Teoreem Iga KV keel on genereeritav KV grammatikaga Chomsky normaalkujul. Tõestuse idee: Teisendada KV grammatika ekvivalentseks grammatikaks Chomsky normaalkujul järgmiste sammudega: Lisame uue lähtesümboli S 0 ; Elimineerime tühja sõne produktsioonidest kujul A ε; Elimineerime ahelproduktsioonid kujul A B Sobitame produktsioone nii, et grammatika genereeriks sama keele; Teisendame produktsioonid nõutud kujule. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 22 / 27

27 Chomsky normaalkuju Definitsioon KV gramaatika G = (N,Σ,P,S) on Chomsky normaalkujul, kui tema produktsioonid on ühel järgmisetst kujudest A BC A a S ε kus S on grammatika lähtesümbol ning A, B ja C on mitteterminaalid ning B ja C ei ole lähtesümbolid. Teoreem Iga KV keel on genereeritav KV grammatikaga Chomsky normaalkujul. Tõestuse idee: Teisendada KV grammatika ekvivalentseks grammatikaks Chomsky normaalkujul järgmiste sammudega: Lisame uue lähtesümboli S 0 ; Elimineerime tühja sõne produktsioonidest kujul A ε; Elimineerime ahelproduktsioonid kujul A B Sobitame produktsioone nii, et grammatika genereeriks sama keele; Teisendame produktsioonid nõutud kujule. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 22 / 27

28 Chomsky normaalkuju: tõestus Samm 1: Lisada grammatikale uus algsümbol S 0 ja produktsioon S 0 S. Tagab selle, et ühegi produktsiooni parem pool ei sisalda lähtesümbolit. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 23 / 27

29 Chomsky normaalkuju: tõestus Samm 2: Elimineerida tühja parema poolega produktsioonid. Iga produktsiooni jaoks kujul A ε korrata järgmisi samme seni, kuni kõik tühja parema poolega produktsioonid on kustutatud, välja arvatud produktsioon S 0 ε: Kustutada produktsioon A ε; Iga produktsiooni R uav jaoks lisada produktsioon R uv; Iga produktsiooni R uavaw jaoks lisada produktsioonid R uvaw, R uavw ja R uvw; Analoogiliselt eelmisele punktile lisada uued produktsioonid iga produktsiooni jaoks, mille paremas pooles on 3 või enam mitteterminaali A; Iga produktsiooni R A jaoks lisada produktsioon R ε, välja arvatud juhul, kui eelnevate sammude jooksul ei ole produktsioon R ε kustutatud. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 23 / 27

30 Chomsky normaalkuju: tõestus Samm 3: Elimineerida ahelproduktsioonid: Iga produktsiooni jaoks kujul A B korrata järgmisi samme seni, kuni kõik ahelproduktsioonid on kustutatud: Kustutada produktsioon A B. Iga produktsiooni B u jaoks lisada produktsioon A u, välja arvatud juhul, kui see on ahelproduktsioon, mis on varasemate sammude jooksul kustutatud. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 23 / 27

31 Chomsky normaalkuju: tõestus Samm 4: Teisenda produktsioonid, mis pole veel soovitud kujul: Iga produktsiooni jaoks kujul A u 1 u 2...u k, kus k 3 lisada uued mitteterminaalid N 1 N 2...N k 2 ja produktsioonid A u 1 N 1 N 1 u 2 N 2 N k 3 u k 2 N k 2 N k 2 u k 1 u k Iga eelmistes produktsioonides esineva terminaali u i jaoks lisada uus mitteterminaal U i ja produktsioon U i u i. m.o.t.t Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 23 / 27

32 Chomsky normaalkujule teisendamine: näide KV grammatika S ASA ab A B S B b ε Uue lähtesümboli lisamine S ASA ab A B S B b ε S 0 S S ASA ab A B S B b ε Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 24 / 27

33 Chomsky normaalkujule teisendamine: näide KV grammatika S ASA ab A B S B b ε S 0 S S ASA ab A B S B b ε Produktsiooni B ε elimineerimine S 0 S S ASA ab a A B S ε B b Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 24 / 27

34 Chomsky normaalkujule teisendamine: näide KV grammatika S ASA ab A B S B b ε S 0 S S ASA ab a A B S ε B b Produktsiooni A ε elimineerimine S 0 S S ASA ab a AS SA S A B S B b Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 24 / 27

35 Chomsky normaalkujule teisendamine: näide KV grammatika S ASA ab A B S B b ε S 0 S S ASA ab a AS SA S A B S B b Produktsiooni S S elimineerimine S 0 S S ASA ab a AS SA A B S B b Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 24 / 27

36 Chomsky normaalkujule teisendamine: näide KV grammatika S ASA ab A B S B b ε S 0 S S ASA ab a AS SA A B S B b Produktsiooni S 0 S elimineerimine S 0 ASA ab a AS SA S ASA ab a AS SA A B S B b Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 24 / 27

37 Chomsky normaalkujule teisendamine: näide KV grammatika S ASA ab A B S B b ε S 0 ASA ab a AS SA S ASA ab a AS SA A B S B b Produktsiooni A B elimineerimine S 0 ASA ab a AS SA S ASA ab a AS SA A S b B b Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 24 / 27

38 Chomsky normaalkujule teisendamine: näide KV grammatika S ASA ab A B S B b ε S 0 ASA ab a AS SA S ASA ab a AS SA A S b B b Produktsiooni A S elimineerimine S 0 ASA ab a AS SA S ASA ab a AS SA A b ASA ab a AS SA B b Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 24 / 27

39 Chomsky normaalkujule teisendamine: näide KV grammatika S ASA ab A B S B b ε S 0 ASA ab a AS SA S ASA ab a AS SA A b ASA ab a AS SA B b Lõputeisendused S 0 AA 1 CB a AS SA S AA 1 CB a AS SA A b AA 1 CB a AS SA B b A 1 SA C a Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 24 / 27

40 Chomsky normaalkujule teisendamine: näide KV grammatika Chomsky normaalkuju S ASA ab A B S B b ε S 0 AA 1 CB a AS SA S AA 1 CB a AS SA A b AA 1 CB a AS SA B b A 1 SA C a S A B b a S B ε A B b A b S 0 S a A 1 A b Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 24 / 27

41 Cocke-Kasami-Younger i algoritm (CKY-algoritm) Antud: KV grammatika G Chomsky normaalkujul ja sõne w = w 1...w n. Tulemus: Kui w L (G), siis accept, vastasel juhul reject. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 25 / 27

42 CKY algoritm (2) 1,4 1,3 2,4 1,2 2,3 3,4 1,1 2,2 3,3 4,4 Jaan Penjam, Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 26 / 27

43 CKY algoritm (2) 1,2 1,3 1,1 2,2 w 1 w 2 1,4 2,3 2,4 3,4 3,3 4,4 w 3 w 4 Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 26 / 27

44 CKY algoritm (2) 1,2 1,3 1,1 2,2 w 1 w 2 1,4 2,3 2,4 3,4 3,3 4,4 w 3 w 4 Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 26 / 27

45 CKY algoritm (3) Jaan Penjam, Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 27 / 27

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee

Διαβάστε περισσότερα

T~oestatavalt korrektne transleerimine

T~oestatavalt korrektne transleerimine T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:

Διαβάστε περισσότερα

HULGATEOORIA ELEMENTE

HULGATEOORIA ELEMENTE HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad

Διαβάστε περισσότερα

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks

Διαβάστε περισσότερα

Lokaalsed ekstreemumid

Lokaalsed ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Διαβάστε περισσότερα

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2 PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetrilised vektorid

Geomeetrilised vektorid Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse

Διαβάστε περισσότερα

Keerukusteooria elemente

Keerukusteooria elemente Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on

Διαβάστε περισσότερα

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008 Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub

Διαβάστε περισσότερα

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon 2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

Mudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk.

Mudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. Mudeliteooria Kursust luges: Kalle Kaarli 1 20. september 2004. a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. 2 Sisukord 1 Põhimõisted 9 1.1 Signatuur ja struktuur.................. 9

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 7. Κατηγορηματικές Γραμματικές 27,2 Φεβρουαρίου, 9 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Κατηγορηματικές Γραμματικές Ή Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil. 8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,

Διαβάστε περισσότερα

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

YMM3740 Matemaatilne analüüs II

YMM3740 Matemaatilne analüüs II YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja

Διαβάστε περισσότερα

2. HULGATEOORIA ELEMENTE

2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika harjutus

Ehitusmehaanika harjutus Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative

Διαβάστε περισσότερα

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016 KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me

Διαβάστε περισσότερα

Lambda-arvutus. λ-termide süntaks. Näiteid λ-termidest. Sulgudest hoidumine. E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv.

Lambda-arvutus. λ-termide süntaks. Näiteid λ-termidest. Sulgudest hoidumine. E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv. Lambda-arvutus λ-termide süntaks Näiteid λ-termidest Sulgudest hoidumine Lambda-arvutus E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv. E) abstraktsioon (λx. x) (((λx. (λf. (f x))) y)(λz. z)) (λx. y) (λx.

Διαβάστε περισσότερα

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010 KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks

Διαβάστε περισσότερα

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom. Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised

Διαβάστε περισσότερα

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks

Διαβάστε περισσότερα

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27 Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid

Διαβάστε περισσότερα

1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5

1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5 1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................

Διαβάστε περισσότερα

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD 1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki

Διαβάστε περισσότερα

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].

Διαβάστε περισσότερα

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass 2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS

Διαβάστε περισσότερα

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide

Διαβάστε περισσότερα

,millest avaldub 21) 23)

,millest avaldub 21) 23) II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

Semantiline analüüs. Süntaksipuu dekoreeritakse tüübi- ja muu kontekstist sõltuva

Semantiline analüüs. Süntaksipuu dekoreeritakse tüübi- ja muu kontekstist sõltuva Semantiline analüüs Semantiline analüüs Semantiline analüüs kontrollib programmi kontekstuaalsete sõltuvuste korrektsust: leiab vastavuse defineerivate ja kasutusesinemiste vahel, leiab esinemiste tüübid

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad

Eesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad Eesti koolinoorte 4. keeiaolüpiaad Koolivooru ülesannete lahendused 9. klass. Võrdsetes tingiustes on kõikide gaaside ühe ooli ruuala ühesugune. Loetletud gaaside ühe aarruuala ass on järgine: a 2 + 6

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,

Διαβάστε περισσότερα

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a.

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a. Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused oorem rühm (9. ja 0. klass) 6. november 2002. a.. ) 2a + 2 = a 2 2 2) 2a + a 2 2 = 2a 2 ) 2a + I 2 = 2aI 4) 2aI + Cl 2 = 2aCl + I 2 5) 2aCl = 2a + Cl 2 (sulatatud

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ασυμφραστικές Γραμματικές (2.1) Τυπικός Ορισμός Σχεδιασμός Ασυμφραστικών Γραμματικών

Διαβάστε περισσότερα

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud... Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega

Διαβάστε περισσότερα

Prisma. Lõik, mis ühendab kahte mitte kuuluvat tippu on prisma diagonaal d. Tasand, mis. prisma diagonaal d ja diagonaaltasand (roheline).

Prisma. Lõik, mis ühendab kahte mitte kuuluvat tippu on prisma diagonaal d. Tasand, mis. prisma diagonaal d ja diagonaaltasand (roheline). Prism Prisms nimese ulu, mille s u on vsvl rlleelsee j võrdsee ülgedeg ulnurgd, ning ülejäänud ud on rööüliud, millel on ummgi ulnurgg üine ülg. Prlleelseid ulnuri nimese rism õjdes j nende ulnurde ülgi

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36

Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36 Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

6 Mitme muutuja funktsioonid

6 Mitme muutuja funktsioonid 6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad

Διαβάστε περισσότερα

Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas

Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse Ahto Buldas 22. september 2003 2 Sisukord Saateks v 1 Entroopia ja infohulk 1 1.1 Sissejuhatus............................ 1 1.2 Kombinatoorne

Διαβάστε περισσότερα

Ivar Tammeraid itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend

Ivar Tammeraid  itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend TTÜ Mtemtikinstituut http://www.stff.ttu.ee/ mth/ Ivr Tmmerid http://www.stff.ttu.ee/ itmmerid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I Elektrooniline õppevhend Tllinn, Trükitud versioon: Ivr Tmmerid, Mtemtiline nlüüs

Διαβάστε περισσότερα

Lexical-Functional Grammar

Lexical-Functional Grammar Lexical-Functional Grammar Süntaksiteooriad ja -mudelid 2005/06 Kaili Müürisep 6. aprill 2006 1 Contents 1 Ülevaade formalismist 1 1.1 Informatsiooni esitus LFG-s..................... 1 1.2 a-struktuur..............................

Διαβάστε περισσότερα

Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid

Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.

Διαβάστε περισσότερα

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega

Διαβάστε περισσότερα

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.

Διαβάστε περισσότερα

Avaliku võtmega krüptograafia

Avaliku võtmega krüptograafia Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ

ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ ΑΔΑΜΗΣ Δ.Κ. / Τ.Κ. E.T. ΕΓΓ/ΝΟΙ ΨΗΦΙΣΑΝ ΕΓΚΥΡΑ ΓΙΟΒΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΛΕΥΚΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΜΑΝΤΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΔΑΛΙΑΝΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΣΤΡΟΣ 5 2.728 1.860 36 1.825 69 3,8% 152 8,3% 739 40,5%

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α = KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α

Διαβάστε περισσότερα

I. Keemiline termodünaamika. II. Keemiline kineetika ja tasakaal

I. Keemiline termodünaamika. II. Keemiline kineetika ja tasakaal I. Keemiline termdünaamika I. Keemiline termdünaamika 1. Arvutage etüüni tekke-entalpia ΔH f lähtudes ainete põlemisentalpiatest: ΔH c [C(gr)] = -394 kj/ml; ΔH c [H 2 (g)] = -286 kj/ml; ΔH c [C 2 H 2 (g)]

Διαβάστε περισσότερα

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.

Διαβάστε περισσότερα

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise

Διαβάστε περισσότερα

Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2

Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2 Vektorite sklrkorrutis Vtleme füüsikkursusest tuntud olukord, kus kehle mõjub jõud F r j keh teeb selle jõu mõjul nihke s Konkreetsuse huvides olgu kehks rööbsteel liikuv vgun Jõud F r mõjugu vgunile rööbstee

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu 5. a. kevadsemester . Kahe ja kolme muutuja funktsiooni määramispiirkond, selle raja, kinnisus ja lahtisus. Olgu X ja Y hulgad. Kujutus e. funktsioon

Διαβάστε περισσότερα

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

1 Entroopia ja informatsioon

1 Entroopia ja informatsioon Kirjadus: T.M. Cover, J.A. Thomas "Elemets of iformatio theory", Wiley, 99 ja 2006. Yeug, Raymod W. "A first course of iformatio theory", Kluwer, 2002. Mackay, D. "Iformatio theory, iferece ad learig algorithms",

Διαβάστε περισσότερα

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka

Διαβάστε περισσότερα

Ivar Tammeraid itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend

Ivar Tammeraid  itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend TTÜ Mtemtikinstituut http://www.stff.ttu.ee/ mth/ Ivr Tmmerid http://www.stff.ttu.ee/ itmmerid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I Elektrooniline õppevhend Tllinn, Trükitud versioon: Ivr Tmmerid, Mtemtiline nlüüs

Διαβάστε περισσότερα

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud

Διαβάστε περισσότερα

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm.

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm. TTÜ EHHATROONIKAINSTITUUT HE00 - ASINATEHNIKA -, 5AP/ECTS 5 - -0-- E, S 8. KEEVISLIITED NÄIDE δ > 4δ δ b k See 8.. Kattekeevisiide Arvutada kahepoone otsõmbus teraspaatide (S5JG) ühendamiseks. 40 kn; δ

Διαβάστε περισσότερα

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),

Διαβάστε περισσότερα

Tuletis ja diferentsiaal

Tuletis ja diferentsiaal Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon

Διαβάστε περισσότερα

Compress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013

Compress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013 55 C 35 C A A B C D E F G 50 11 12 11 11 10 11 db kw kw db 2015 811/2013 A A B C D E F G 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi

Διαβάστε περισσότερα

Digitaaltehnika Loengukonspekt

Digitaaltehnika Loengukonspekt Digitaaltehnika Loengukonspekt Sisukord Sisukord.... rvusüsteemid...4.. Kümnendsüsteem... 4.. Kahendsüsteem... 4.. Kaheksandsüsteem... 4.4. Kuueteistkümnend süsteem... 4.5. Kahendkodeeritud kümnendsüsteem

Διαβάστε περισσότερα

aab aabb aaabb aaaabb aaaabb aaaabb

aab aabb aaabb aaaabb aaaabb aaaabb Κεφάλαιο 4 Γλώσσες & Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα Σύνοψη Η κλάση των Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα (ΓΧΣ) είναι εκφραστικά αρκετά ισχυρή, ώστε να επιτρέπει την περιγραφή γλωσσών, όπως οι γλώσσες προγραμματισμού,

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ "%&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'-

!#$ %&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'- !!" !"# "%& ##%&%',-... /. -1.'- -13-',,'- '-...4 %. -5"'-1.... /..'-1.....-"..'-1.. 78::8

Διαβάστε περισσότερα

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE TTÜ EHHTROONKNSTTUUT HE00 - SNTEHNK.5P/ETS 5 - -0-- E, S 5. TUGEVUSRVUTUSE PNELE Staatika üesandes (Toereaktsioonide eidmine) vaadatud näidete ause koostada taade sisejõuepüürid (põikjõud ja paindemoment)

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid

Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.1.15 Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid Mathcad töötab üldjoontes sarnaselt teistele Windowsi programmidele. Sellegipoolest on palju pisikesi nüansse,

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα