ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ Η Ι ΑΚΤΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΤΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ Η Ι ΑΚΤΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΤΗΣ"

Transcript

1 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ Η Ι ΑΚΤΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΤΗΣ Παναγιώτης Σπύρου, Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθανάσιος Γαγάτσης, Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης αποτελεί µια από τις πλέον βασικές για την συγκρότηση της Μαθηµατικής επιστήµης στην σηµερινή της µορφή. Τα προγράµµατα διδασκαλίας χειρίζονται συχνά συναρτήσεις, σε µαθήµατα µαθηµατικών και άλλων µαθηµάτων περιλαµβάνοντας πολλές µορφές και αναδείξεις της έννοιας. Ωστός,ο το αφηρηµένο και το περιεκτικό νόηµα της συνάρτησης γίνεται δύσκολα κατανοητό και οι µαθητές έχουν δυσκολίες στο χειρισµό και την εφαρµογή. Το ξεδίπλωµα της έννοιας µέσα στην επιστηµολογική και ιστορική της διάσταση φωτίζει πολλές από τις δυσκολίες που αφορούν στην διδακτική της µεταφορά. Η εργασία αυτή έχει στόχο να συµβάλει σε µια µεγάλη συζήτηση που έχει ανοίξει εδώ και πολλά χρόνια στο πλαίσιο της ιδακτικής των Μαθηµατικών µε θέµα την συνάρτηση. 1. ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι κεντρική στην επιστήµη των Μαθηµατικών και τις εφαρµογές της και ανάγεται στην γενικότερη τάση του ανθρώπου να κάνει συσχετισµούς µεταξύ ποσοτήτων, η οποία θα µπορούσαµε να πούµε ότι είναι τόσο αρχαία όσο και τα ίδια τα Μαθηµατικά. Όµως, η πορεία που οδήγησε από τους απλούς συσχετισµούς στην σύγχρονη έννοια της συνάρτησης είναι περίπλοκη, µακρόχρονη και δραµατική. Η αντίληψη µιας πολύ γενικής αντιστοιχίας σε τιµές (π.χ. ηµεροµηνίας) και άλλων τιµών (γωνιακών θέσεων Πλανητών) φαίνεται ότι υπάρχει στον Πτολεµαίο 165 µ.χ. ή στους Βαβυλώνιους ακόµη παλιότερα (Katz, p147). Επίσης, από πολύ παλιά συσχετισµοί µεταξύ γωνίας και ύψους προαναγγέλλουν συναρτησιακές έννοιες, όπως εκείνης της εφαπτοµένης (Keisoglou & Spyrou, 2003). Κατά την περίοδο των αρχαίων Ελλήνων, κάνει την εµφάνισή της µια ιδιαίτερη διαχείριση των µαθηµατικών αντικειµένων η οποία θα υπερβεί κατά πολύ εκείνη των απλών υπολογισµών και θα δώσει ουσιαστικά προοπτική στην απόδειξη και την ακρίβεια που θα κάνουν τα Μαθηµατικά επιστήµη. Η ιδέα του λόγου, που έγινε βασικό διανοητικό εργαλείο της διαλεκτικής και της Γεωµετρίας είναι γνωστό ότι δεν παρέπεµπε άµεσα στην µέτρηση,

2 2 Szabo (1973), Mueler (1981) αλλά απετέλεσε ένα εργαλείο προς σύγκριση απαραίτητο στις αποδείξεις. Οπωσδήποτε, η σχέση διαµέτρου και περιφέρειας ή εµβαδόν κύκλου αποτελούν πρώιµες µορφές συναρτησιακού συσχετισµού (functionality), αλλά ένας τέτοιος συνθετικός ορισµός δεν στάθηκε σε εκείνη την εποχή αναγκαίος (Boyer, 1949). Η νεοτερικότητα, από τον Όρεσµο ως τον Γαλιλαίο (Boyer 1949, Katz 1993, Koyré (1994)), θα µετατοπιστεί σε ένα άλλο επίπεδο αφαίρεσης που θα προκύψει µε την µετατροπή του λόγου σε ratio, δηλαδή σε υπολογιστική σχέση µε αριθµητικό αποτέλεσµα, καθόσον η αναγέννηση βλέπει τις φυσικές οντότητες ως res extensa (µεγέθη εκτατά και µετρούµενα). Ο ορθολογισµός των αρχαίων θα µετατραπεί σε ρασιοναλισµό. Εξάλλου, η νεοτερικότητα διαθέτει ένα τέλειο αριθµητικό σύστηµα και σκέφτεται µε έννοιες ακόµη πιο αφηρηµένες, κάτι που θα έχει ως αποτέλεσµα να φτάσει στην Άλγεβρα, Klein (1992, 1998). Επίσης, ξεπερνώντας τα επιστηµολογικά εµπόδια των αρχαίων βάζει την διάσταση του χρόνου, ως οµογενές µέγεθος, στις µετρήσεις και αρχίζει να κάνει µαθηµατική κινητική Koyré (1994). Η µαθηµατική µελέτη της κίνησης αποτελεί καθαυτό επίτευγµα της Αναγέννησης και είναι εκείνη που θα οδηγήσει στις δυναµικές ιδέες του Απειροστικού Λογισµού, όπως της παραγώγου και του διαφορικού, οπότε και αναπόφευκτα θα προκύψει η ανάγκη νέων µαθηµατικών εργαλείων (Boyer 1949). Στα µαθηµατικά χειριζόµαστε σχέσεις εν γένει, όπως στην αναλυτική γεωµετρία έχουµε σχέσεις του τύπου του κύκλου, της έλλειψης ή στην άλγεβρα σχέσεις ισοδυναµίας ή διάταξης. Ωστόσο, η ανάγκη υπολογισµών και ιδιαίτερα στα πλαίσια της Ανάλυσης (Βασάκος, 1995) είναι εκείνη που οδήγησε στην ιδέα χειρισµού της ειδικής κατηγορίας των µονοσηµάντων σχέσεων, γεγονός που θα γίνει τελικά αποδεκτό στον τελικό ορισµό της συνάρτησης. ιάφορες επεξεργασίες, που θα διαρκέσουν τρεις και πλέον αιώνες µετά την Αναγέννηση και προσιδιάζουν στην ιδέα της συνάρτησης, θα κάνουν την εµφάνισή τους. Από τον ορισµό του Bernoulli 1718 ως η ποσότητα που συντίθεται µε οποιοδήποτε τρόπο από µια µεταβλητή και σταθερών περνάµε στον ορισµό του Euler 1747 Συνάρτηση µιας µεταβλητής ποσότητας είναι µια αναλυτική έκφραση που συνθέτει µε οποιοδήποτε τρόπο µια

3 3 µεταβλητή ποσότητα και αριθµούς ή σταθερές ποσότητες (Katz, 512). Θα πρέπει να παρατηρήσουµε εδώ την ιδέα της µεταβλητής που είναι εµφανής, όπου την εποχή του εκείνη, η µεταβλητή ή η σταθερά δεν είναι παρά εκτατά συνήθως γεωµετρικά µεγέθη κατά την µελέτη καµπύλων (τετµηµένες, τεταγµένες κ.λ.π.) (Euler, σελ. 2) στις οποίες αναφερόταν τα σύµβολα και φαινόταν ως συγκεκριµένες πραγµατικές οντότητες. Όµως αυτή η αντίληψη, η αναφορά των γραµµάτων σε αντικείµενα που θεωρούντο πραγµατικά, όπως παρατηρεί ο Βασάκος (1995) δεν πρέπει να άρεσε στον Euler και προσπάθησε το 1775 να διατυπώσει ένα ορισµό πιο αφηρηµένο Μια ποσότητα θα ονοµαζόταν συνάρτηση µόνο όταν εξαρτιόταν από µια άλλη ποσότητα µε έναν τέτοιο τρόπο ώστε, εάν η τελευταία ποσότητα αλλάζει η πρώτη ποσότητα να υφίσταται αλλαγή από µόνη της (Katz σελ. 515). (Στον Euler αναλυτική έκφραση σηµαίνει µαθηµατικός τύπος. Ο Euler ενώ αναγνώριζε ότι η έκφραση 2 x αποτελεί συνάρτηση αφού οριζόταν µε ένα τύπο δεν θεωρούσε το ίδιο και για την πολυκλαδική συνάρτηση της µορφής x x αν x 0 και x x αν x 0. Επίσης, του αποδίδεται και η χρήση του συµβόλου f από το function. εν πρέπει να µας διαφύγει ότι υπάρχει µια σύνδεση µε αυτό που λέµε λειτουργία ή διαδικασία και την οποία προσπαθούµε αποδώσουµε µε την ιδέα της συνάρτησης, Cassirer (1953)). Οι προκαντιανές αυτές επεξεργασίες αποτελούν επινοήσεις και προσεγγίσεις που κατασκευάζουν και εξελίσσουν οι µαθηµατικοί εργαζόµενοι µέσα στο ίδιο το µαθηµατικό φαινόµενο που αποκαλύπτεται µέσα σε µυριάδες νέες ιδέες, Απειροστικού, Άλγεβρας, τριγωνοµετρικών συναρτήσεων, µηχανικής, αστρονοµίας, ιαφορικής Γεωµετρίας. Αστερισµοί νέων ιδεών και νοητικών συγκροτηµάτων προκαλούν δέος για τον πλούτο των κοµψών συσχετισµών και των συµµετριών που αναδεικνύουν, αλλά αφήνουν ένα ανοικτό µυστήριο να εκτείνεται µεταξύ αυτού που ο Kant ονόµασε a priori συνθετικές κρίσεις και ενέταξε τα µαθηµατικά έναντι εκείνου που ονόµασε a priori αναλυτικές κρίσεις και ενέταξε την λογική, Αναπολιτάνος (1985). Με άλλα λόγια, θα µπορούσαµε να πούµε την διαδικασία του νου µεταξύ της καθαρής εποπτείας του µαθηµατικού µέχρι την ακριβή, λογική, αντικειµενική και ανεξάρτητη από την υποκειµενική εµπειρία αφηρηµένη και τυπική διατύπωση.

4 4 Ο 19 ος αιώνας είναι η εποχή που κυριαρχεί το αίτηµα θεµελίωσης για τα Μαθηµατικά Ρουσόπουλος (1985). Σε αυτό θα συµβάλλουν µεγάλοι µαθηµατικοί της εποχής, όπως οι Langrange, Legendre, Cauchy, Bolzano, Dedekind, Cantor, Weierstrass, Peano, Frege κ.ά. Ο Cauchy, που έδωσε τον µαθηµατικό ορισµό ορίου ακολουθίας, προσπαθεί να ξεπεράσει και τις διαισθητικές δεσµεύσεις της έννοιας της συνάρτησης µε µικρή όµως επιτυχία, Όταν µεταβλητές ποσότητες συνδέονται µεταξύ τους κατά τέτοιο τρόπο ώστε όταν δίνεται η τιµή µιας από αυτές, να µπορούµε να προσδιορίσουµε τις τιµές των άλλων, τότε συνήθως εννοούµε ότι αυτές οι µεταβλητές ποσότητες µπορούν να εκφρασθούν µέσω της µιας από αυτές, και η οποία τότε παίρνει την ονοµασία ανεξάρτητη µεταβλητή. Οι αποµένουσες ποσότητες που εκφράζονται µέσο της ανεξάρτητης µεταβλητής είναι εκείνες που µπορούµε να ονοµάσουµε συναρτήσεις αυτής της µεταβλητής. Πρέπει να σηµειωθεί ότι ο Cauchy έχει ακόµη υπόψη του τις αναλυτικές συναρτήσεις που είναι συνεχείς και διαφορίσιµες. Εκείνο που δεν είναι άµεσα εµφανές σε αυτές τις πρώτες προσεγγίσεις της συνάρτησης, αλλά θα πρέπει να διακριθεί ιδιαίτερα στην προηγούµενη περιγραφή, είναι µια άλλη επιστηµολογική διάσταση που κρύβει. Η συνάρτηση, στην µαθηµατική πρακτική, αποτελεί µια ειδική σχέση που προσφέρεται ιδιαίτερα στους υπολογισµούς. Στην ουσία πρόκειται για την εκτίµηση ενός µεγέθους y η οποία όµως ανάγεται στην εκτίµηση ενός άλλου µεγέθους x µέσο µιας σχέσης που τα συνδέει. Το y έρχεται να αποτελέσει τον στόχο που επιδιώκετε να γνωρίζουµε την τιµή του, σε ένα πλαίσιο διαχείρισης, την στιγµή που το x µας είναι το άµεσα προσπελάσιµο. Με αυτή την οπτική η συνάρτηση προσφέρεται ως διαµεσολαβητικό εργαλείο θα λέγαµε δηλαδή ότι την ιδέα της διαµεσολαβηµένης εκτίµησης ή ακόµη περιγραφής. Ο Fraenkel (1966) εκφράζει χαρακτηριστικά το συγκεκριµένο ζήτηµα ως εξής: Η συνάρτηση T = f (t) που χαρακτηρίζει το θερµογράφο είναι µονότιµη, για κάθε στιγµή t αντιστοιχεί µια κάποια θερµοκρασία. Αν, οποτεδήποτε, ρωτήσουµε σε ποια χρονική τιµή είχαµε µια συγκεκριµένη θερµοκρασία η απάντηση δίδεται από µια συνάρτηση - Η αντίστροφη της συνάρτησης T = f (t) - είναι εν γένει µη µονότιµη καθόσον διαφορετικές χρονικές στιγµές έχουν διαφορετική µπορεί να έχουν την αυτή θερµοκρασία. Η ιδέα του µονότιµου αλλά µη αναπόφευκτα αντιστρεπτού είναι χρήσιµη στην ανάλυση (Fraenkel, σελ. 23).

5 5 Κύριο αίτηµα σε αυτή την προ των συνόλων εποχή είναι η εξάλειψη της έννοιας της µεταβλητής και η αποφυγή της κάθε ειδικής αναφοράς. Προηγείται η µαθηµατική εµπειρία της έρευνας των φυσικών χορδών από τον Euler και αργότερα τον Daniel Bernoulli (Katz, σελ. 524) στις τριγωνοµετρικές σειρές και σε συναρτήσεις και η ανάπτυξη των δυναµοσειρών από τον Lagrange. Επίσης, η µελέτη διαφορικών µερικών εξισώσεων που να εκφράζουν την κίνηση των παλουµένων χορδών, έκανε την ιδέα της συνάρτησης κεντρική µέσα στην ανάλυση (Menheim, 1964, σελ 47). Ο Fourier είχε ως κύριο ενδιαφέρον την µαθηµατική φυσική και ιδιαίτερα την Αναλυτική Θεωρία της Θερµότητας. Τα συµπεράσµατα του είχαν συνέπειες και στους µουσικούς ήχους. Το κύριο συµπέρασµά του αναφέρεται στο ότι κάθε περιοδική συνάρτηση είναι άθροισµα απλών ηµιτονοειδών συναρτήσεων της µορφής Dsin 2 pft (Kline, σελ. 519). Αποτέλεσµα των ερευνών του Fourier ήταν οι αναζήτηση µιας γενίκευσης της έννοιας της συνάρτησης που θα επεκταθεί τελικά από τον Dirichlet (Menheim, σελ. 44). Εκτός των άλλων, συναρτήσεις εντελώς παράδοξες κάνουν την εµφάνισή τους ως εργαλεία των µαθηµατικών στην προσπάθειά να λύσουν όλα και πιο πολύπλοκα προβλήµατα, όπως εκείνη του Dirichlet,: Η τιµή της f (x) είναι ίση µε 1, αν ο x είναι ρητός και 0 αν ο x είναι άρρητος. Τελικά ο Dirichlet 1837 θα καταλήξει σε µια πιο γενική διατύπωση: Η µεταβλητή y είναι συνάρτηση της µεταβλητής x η οποία ορίζεται στο διάστηµα a <x <b, αν σε κάθε τιµή της µεταβλητής x από αυτό το διάστηµα αντιστοιχεί µια µόνη τιµή της µεταβλητής y, ανεξάρτητα από τη µορφή της αντιστοιχίας (Davis & Herch, σελ. 257, 1981). Κατά αρχή, στον ορισµό αυτό εµφανίζεται ξεκάθαρα το µονοσήµαντο της τιµής y. Ακόµη, αν και διατηρείται ο όρος µεταβλητή ενέχει πλέον θέσει νοητής επιλογής ενός στοιχείου του συνόλου των πραγµατικών αριθµών a <x <b και είναι πλέον ανεξάρτητη από την εµµονή σε µια εποπτική είτε χρονική διάσταση, (Frege, σελ. 1974, Ρουσόπουλος, σελ. 211). Ο Frege στο Was ist eine Funkion? δείχνει πόσο αµφίβολος είναι ο όρος της µεταβλητής, καθώς υπονοεί τον χρόνο, κάτι που δεν έχει να κάνει µε την Ανάλυση και επικαλείται τις λογικές ασάφειες που προκύπτουν στην έννοια της συνάρτησης ώστε ν αναζητήσει ένα

6 6 άλλο τρόπο διατύπωσης των µαθηµατικών δηλώσεων. Τις παρατηρήσεις του θα ακολουθήσει η δουλειά του που ονόµασε εννοιογραφία και αποτελεί την έναρξη της σχολής των Λογικιστών που θα συνεχίσει ο Russell, (Kneebone, 1962, Ρουσόπουλος 1995). Το παλιό αίτηµα του άχρονου (Bergson, 1954) πραγµατικού όντος, που δροµολόγησαν στην ιστορία του πνεύµατος ο Παρµενίδης και ο Πλάτων, επανέρχεται ως η λογική δέσµευση που εξασφαλίζει την αντικειµενικότητα του νοήµατος όπως απαιτήθηκε από τον Frege, τον Russell, τον Hilbert ή ακόµη τον Husserl, (Ρουσόπουλος 1991, Hilbert 1995, Husserl 1985). Το 1887 είναι µια εποχή όπου το ζήτηµα της λογικής θεµελίωσης είναι ακόµη πιο ώριµο. Η θεωρία των συνόλων έχει ήδη δώσει σηµαντικά εργαλεία για την αναζήτηση λογικής ενότητας της µαθηµατικής σκέψης, ενώ ο ίδιος ο Dedeking έχει ήδη θεµελιώσει την ιδέα του γεωµετρικού συνεχούς µε τις οµώνυµες τοµές του. Έτσι, θα εκφράσει και τον ορισµό της απεικόνισης αλλά µε εργαλεία που αγγίζουν πλέον τις σύγχρονες µαθηµατικές απαιτήσεις: Με την απεικόνιση ενός συστήµατος S ένας κανόνας γίνεται αντιληπτός όταν σύµφωνα µε αυτόν σε κάθε στοιχείο s του S αντιστοιχίζεται ένα µοναδικό αντικείµενο το οποίο ονοµάζεται εικόνα του s και συµβολίζεται φ(s). Θα λέµε επίσης ότι το φ(s) αντιστοιχεί στο στοιχείο s και ότι το φ(s) δηµιουργείται από την απεικόνιση φ µέσο του στοιχείου s. Αυτό το s µετασχηµατίζεται από την απεικόνιση φ σε φ(s). Θα ακολουθήσουν τα παραδείγµατα συναρτήσεων του είδους της καµπύλης του Peano (συνεχής συνάρτηση µε πεδίο τιµών το [0,1] υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών που έχει ως τιµή ένα τετράγωνο) ή εκείνη του Weierstrass, (συνάρτηση παντού συνεχής αλλά πουθενά παραγωγίσιµη, (Menheim, σελ. 72, Boyer 1944) καθώς επίσης και ο εψιλοντικός ορισµός του τελευταίου της συνεχούς συνάρτησης διαµορφώνοντας το περιβάλλον της σύγχρονης επίγνωσης για το είδος των νοητών αντικείµενων τα οποία µιλούµε. Η συνάρτηση θα καταστεί έτσι το βασικό εργαλείο στο σύνολο των σύγχρονων µαθηµατικών.

7 7 Τέλος, ο σύγχρονος ορισµός της συνάρτησης διαµορφώνεται µετά τον Hausdorff (1914), ο οποίος δίνει τον ορισµό του διατεταγµένου ζεύγους. Αργότερα ο Kuratowski δίνει ένα πιο αυστηρό ορισµό του διατεταγµένου ζεύγους απαλλάσοντας τον από την οποια χρονική διάταξη του πρώτου στοιχείου από το δεύτερο [( a, b) { a,{ a, b}}]. Σηµερινός ορισµός που γράφεται στα βιβλία π.χ Stewart & Tall (1977), είναι της µορφής: Έστω δυο τυχαία σύνολα X και Y. Ονοµάζουµε συνάρτηση υποσύνολο f, του XxY τέτοιο ώστε (F 1 ) Αν x X υπάρχει y Y τέτοιο ώστε ( x, y) f. f : X Y είναι ένα (F 2 ) Το σηµείο y είναι µοναδικό: Με άλλα λόγια, αν x X και y, z Y είναι τέτοια ώστε αν ( x, y) f και ( x, z) f, έπεται ότι y = z. Ακόµη, έχει ενδιαφέρον να αναφέρουµε ένα παρόµοιο ορισµό που ωστόσο κινείται σε µια ακόµη πιο τυπική διατύπωση επιρρεασµένη από τις λογικές απόψεις και διατυπώσεις του Russell (Whitehead & Russell, 1962) ο Kuratowski (1961, 47), γράφει:. Έστω X και Y είναι δυο σύνολα. Με τον όρο συνάρτηση (function) οποίας οι µεταβλητές (arguments) διατρέχουν τα σύνολα X, πεδίο τιµών (domain), και τις οποίας οι τιµές (values) ανήκουν στο πεδίο τιµών καρτεσιανού γινοµένου XxY µε την ιδιότητα ότι για κάθε y τέτοιο ώστε Y (range) καταλαβαίνουµε ένα υποσύνολο f του x X υπάρχει ένα και µόνο ένα < x, y > f. Συνήθως γράφουµε y = f (x) αντί του < x, y > f. Κατά συνέπεια, µπορούµε να πούµε εν συντοµία τα εξής: Η συνάρτηση ως τυπική µαθηµατική έννοια αποτελεί µια νοητική κατασκευή που ολοκληρώθηκε σχετικώς πρόσφατα µέσα στη επιστήµη. Πρόκειται για µια σύνοψη και ενοποίηση πολλών εν πρώτοις διαφορετικών εµπειριών και νοητικών εργαλείων που µαθηµατικοί και επιστήµονες εν γένει χρησιµοποίησαν για να λύσουν προβλήµατα και να συγκροτήσουν θεωρίες. Η λιτότητα του σηµερινού συνολοθεωρητικού ορισµού, όπως τον ξέρουµε, δεν αποτελεί για τους µαθητές απλά ένα ξυράφι του Ochkam αλλά την έρηµη ψυχρή κορυφή

8 8 ενός παγόβουνου που κρύβει βαθιά την ιστορική πρακτική και εµπειρία που την διαµόρφωσε. 2. ΤΟ ΖΗΤΗΜΑ ΤΗΣ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Εξαιτίας ακριβώς αυτής της ιστορικής συµπύκνωσης, που περιγράψαµε παραπάνω (Boyer 1944, Βασάκος 1995, Katz 1991) η έννοια της συνάρτησης είναι τόσο αφηρηµένη ώστε να παρουσιάζει πολλές δυσκολίες για την διδακτική της µεταφορά, (παρόλη την απλότητα και την σαφήνεια του ορισµού της για τα κριτήρια ενός µαθηµατικού). Στα διδακτικά εγχειρίδια παρεισφρύουν κατά συγκεχυµένο τρόπο οι διάφορες επιστηµολογικές προσεγγίσεις που οδήγησαν στο νόηµα της συνάρτησης, µέσα στην µακρόχρονη ιστορική της εξέλιξη. Η πολυπλοκότητα, αυτής της διδακτικής µεταφοράς, έχει απασχολήσει ιδιαίτερα τους ενασχολούµενους µε την διδακτική των σχολικών (και όχι µόνο) Μαθηµατικών και έχει συντελέσει στην εµφάνιση στη διεθνή βιβλιογραφία σε µια πολυδιάστατη µελέτη της έννοιας Freudenthal (1983), Dubinsky & Harel (1992), Sierpinska (1992), Kalchman & Case, (1998), Βασάκος (1995), Ασβεστά & Γαγάτσης (1995), Gagatsis & Christou (2000). Θα επιχειρήσουµε να περιγράψουµε κάποιους προβληµατισµούς και προτάσεις που µας φαίνονται να έχουν µεγαλύτερο ενδιαφέρον. Οι ερευνητές συνήθως αναζητούν τα επιστηµολογικά εµπόδια, όπως αυτά µπορούν να προβλεφθούν από την ιστορική µελέτη της έννοιας και επιπλέον προτείνουν µεθόδους διδασκαλίας που έχουν σα στόχο να ξεπεραστούν τα εµπόδια αυτά, Sierpinska (1992). Μια άλλη αντιµετώπιση είναι εκείνη του Freudenthal (1983) που ασχολείται κυρίως µε τις βιωµένες εµφανίσεις της έννοιας µέσω γλωσσικών µεταφορών, πρακτικών, φυσικών εµπειριών και εφαρµογών. Είναι προφανές ότι σε τέτοιους σχεδιασµούς για µια ενδεχόµενη διδακτική µεταφορά δεν πρέπει να αγνοηθεί το ότι µέσα στο πλαίσιο της γνωστικής ψυχολογίας και ιδιαίτερα από τον ίδιο Piaget, έχουν γίνει προσπάθειες για την αναγωγή σε σωµατικές κιναισθητικές εµπειρίες που προκύπτουν δια µέσου των δράσεων των υποκειµένων και θα µπορούσαν να αποτελέσουν το βιωµατικό υπόστρωµα, ώστε να γίνει κατανοητή µια τέτοια έννοια.

9 9 Στην περίπτωση της συνάρτησης, ο Piaget είχε διαθέσει µια εκτεταµένη έρευνα στο τέλος της καριέρας του (Piaget and al. (1968), Davidson 1988, 1992, Chapman M. & Lindenberger (1988) Kalchman & Case, 1998). Ο Piaget θεωρούσε ότι οι αρχικές καταβολές της έννοιας προηγούνται της λειτουργικής περιόδου των 7 ετών. Στις έρευνες του αναζητά τα πρωταρχικά βιώµατα που αντιστοιχούν σε συσχετισµούς του τύπου έναένα ή πολλά-ένα. Π.χ όσο δυνατότερα σπρώξω την µπάλα τόσο µακρύτερα θα πάει (Davidson 1988). Επίσης, εµπειρίες που έχουν την µορφή πολλά-ένα Davidson (1992), καθόσον ένα επιδιωκόµενο αποτέλεσµα, π.χ. η προσέγγιση ενός αντικειµένου, µπορεί να επιτευχθεί µε πολλούς τρόπους άσκησης µιας δράσης. Ενδείξεις των Watson and al (2002), στην µελέτη της κατανόησης των διανυσµάτων αναφέρουν τον όρο effect, µε τον οποίο οι µαθητές δηλώνουν την κατάληξη στο αυτό αποτέλεσµα από διαφορετικές εναλλακτικές δράσεις (βλέπε επίσης Chapman & Lindenberer, 1988). Τα παιδιά στο σχολείο έχουν νοητικές εµπειρίες του πολλά - ένα, δηλαδή του ίδιου effect από πολύ νωρίς, όταν π.χ. καταλαβαίνουν ότι πολλά διαφορετικά κλάσµατα µπορούν να καταλήξουν στο αυτό ανάγωγο κλάσµα, το οποίο τελικά προκύπτει, µετά τις απλοποιήσεις. Σε αυτό το πλαίσιο κινείται και ο Freudenthal (1983) ο οποίος επικρίνοντας τον Piaget (σελ. 540) για το περιορισµένο και ασαφές της πρότασής του µε βάση την γενετική ψυχολογία, προσεγγίζει την βιωµατικότητα µε την φαινοµενολογική µέθοδο που ενδεχοµένος είναι και πλέον αποδοτική. H φαινοµενολογική προσέγγιση έχει ένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον σήµερα που είναι επίκαιρη η συζήτηση για τα ενσώµατα µαθηµατικά * (embodied mathematics) από τις αναφορές άλλωστε των προτεργατών, Núñez & al. (1999), Varela and al. (1992). Είναι γενικά παραδεκτό ότι η διδασκαλία των Μαθηµατικών στο σχολείο γίνεται σε µεγάλο βαθµό ξεκοµµένη από τις εµπειρίες των παιδιών µε αποτέλεσµα οι έννοιες να µην βρίσκουν κάποιο προηγούµενο εννοιολογικό υπόστρωµα για να στηριχθούν. Συχνά, οι καλούµενες εφαρµογές από την φυσική, την οικονοµία ή άλλες επιστήµες προϋποθέτουν µια άλλη επιστηµονική γνώση που κι εκείνη µε την σειρά της προϋποθέτει τα µαθηµατικά για να γίνει κατανοητή. Εκτός των άλλων, πραγµατιστικές αναφορές είναι και εξεζητηµένες, αφού όπως αναφέρει ο Γαγάτσης καµιά νοικοκυρά δεν στήνει κάποια

10 10 συνάρτηση για να ψωνίσει. Την ίδια στιγµή, αυτό που γίνεται πολύ λίγο είναι η αξιοποίηση των άµεσων βιωµατικών και αδιαµεσολάβητων εµπειριών που προέρχονται από την επαφή µας µε το φυσικό περιβάλλον, την αίσθηση της βαρύτητας, την πρόσληψη της συµµετρίας, της οµοιότητας ή της σταθερότητας των µορφών. Lappas & Spyrou (2003), Watson & al (2002), Núñez & al. (1999), Lakoff & Núñez (2000). Ο Freudenthal επιδιώκει µε την φαινοµενολογική του µέθοδο στην αξιοποίηση της εµπειρίας κατά την πορεία του χουσερλιανού αιτήµατος δηλ. την πορεία υποκειµενικής κατασκευής του αντικειµενικού νοήµατος. Σε αυτή την κατεύθυνση συνάδει και όλο το κατασκευαστικό ρεύµα το οποίο καλύπτουµε µε την οµπρέλα κονστρουκτιβισµός. Σε ότι αφορά στην συνάρτηση, ο Freudenthal συζητά αρχικά το φλέγον ζήτηµα της µεταβλητής περίπου ως εξής: Αρχικά µεταβλητή σήµαινε κάτι που πράγµατι αλλάζει, κάτι στον φυσικό, κοινωνικό, πνευµατικό αλλά επίσης µαθηµατικό κόσµο που τον αντιλαµβανόµαστε, φανταζόµαστε και υποθέτουµε ως µεταβαλλόµενο στον χρόνο. Επίσης, µεταβλητά µαθηµατικά αντικείµενα, δηλαδή εκφράσεις όπως, i) ο αριθµός ε προσεγγίζει (συγκλίνει προς) το 0 ii) το σηµείο P διατρέχει την επιφάνεια S iii) το στοιχείο x διατρέχει το σύνολο S iv) ο αριθµός e 1 προσεγγίζεται από την ακολουθία n 1 +, αν ο n πηγαίνει τείνει στο άπειρο, µαρτυρούν την κινητική άποψη της µεταβλητής. Είναι αλήθεια, παρατηρεί ο Freudenthal αναφερόµενος σε συζητήσεις για τις οποίες κάναµε λόγω νωρίτερα, ότι στην πορεία του πρώτου µισού 20ου αιώνα τέτοιες εκφράσεις είχαν τεθεί εκτός νόµου από τους νεολογικιστές. Πράγµατι µπορεί να γραφεί xn συγκλίνει στο 0 lim = 0 n x n n

11 11 και να ορισθεί µε όχι κινητικό τρόπο ως για κάθε ε > 0 υπάρχει ένα n 0 τέτοιο ώστε xn < ε για n > n0. Επίσης το iii) µπορεί να γραφτεί ως x S Κάνοντας αυτές τις επιστηµολογικές διακρίσεις ο Freudenthal, υπογραµίζει την επίγνωση που πρέπει να χαρακτηρίζει την διδασκαλία από το κινητικό µιας έννοιας στο στατικό. Ακόµη παραπέρα, επικαλείται τις βιωµένες έννοιες της ιδέας της εξάρτησης στον περιβάλλοντα κόσµο, κοινωνικό, φυσικό, πνευµατικό. Οι εξαρτήσεις µπορούν να γίνουν αντικειµενικές, (εδώ κάνει χρήση του χουσερλιανού νοήµατος του αντικειµενικού), δηλαδή να παρουσιαστούν ως νοητά αντικείµενα ( να θεµατοποιηθούν ως νοητά όντα). Μια τέτοια εξάρτηση µπορεί να είναι, ιανοητικά βιωµένη, προερχόµενη από χρήση, προϊόν της συνείδησης, βιωµένη ως αντικείµενο, ονοµατιζόµενη ως αντικείµενο. Π.χ. Σχέση διάταξης χρονική ή χωρική. Ένα σώµα πέφτει, η σχέση χρόνου και θέσης του σώµατος. υο ελαστικά σώµατα συγκρούονται. Η εξάρτηση µεταξύ ζευγών διανυσµάτικών µεγεθών των ταχυτήτων. Εξαρτήσεις από τον χρόνο, κίνηση, ανάπτυξη, σχάση, ροπή. Σχέσης µεταξύ αγγίγµατος ενός πλήκτρου στο πιάνο ή στην γραφοµηχανή. Μεταξύ στροφής ενός διακόπτη και ηλεκτρικού αποτελέσµατος. Οι συναρτήσεις, για τον Freudenthal µπορεί να δοθούν µε τύπο, µε γραφική παράσταση, πίνακα τιµών ή λεκτική. Η λεκτική διατύπωση είναι συχνά η µόνη δυνατή, όπως για παράδειγµα η συνάρτηση του Dirichlet που αναφέραµε προηγουµένως. Η Sierpinska (1992) προτείνει µε την σειρά της ένα καλό υπόδειγµα προσέγγισης, αφού προϋποθέτει ότι για την κατανόηση µιας έννοιας είναι αναγκαία µια προκατανόηση και ο σχηµατισµός προεννοιών. Πρότεινε παραπέρα διαβαθµίσεις κατανόησης, όπου στην συγκεκριµένη περίπτωση λειτουργούν τα τέσσερα νοητικά ενεργήµατα που θα ήταν απαραίτητα να οδηγήσουν στην αφηρηµένη ιδέα της συνάρτησης, ενοποιώντας τις διάσπαρτες δυνατές εµφανίσεις της στην διδασκαλία των µαθηµατικών. Αυτά είναι:

12 12 1) Αναγνώριση, (κάτι που ήταν µακρινό, ξαφνικά εµφανίζεται ως κυρίαρχο αντικείµενο της εικόνας, αναδεικνύεται θεµατοποιηµένο από τον νου). 2) ιάκριση, σε σχέση µε τα αντικείµενα µιας άλλης κατηγορίας. 3) Γενίκευση, που οδηγεί στην επίγνωση της δυνατότητας να το επεκτείνουµε σε ένα πλαίσιο εφαρµογών. 4) Σύνθεση ανάµεσα σε αποµονωµένα γεγονότα που αίφνης οργανώντονται σε συνεπείς ολότητες. Στη συνέχεια η Sierpinska αναζητά τα διάφορα εµπόδια που εµφανίζουν οι µαθητές στην διδασκαλία και τα συσχετίζει µε την ιστορική ή την διδακτική εξέλιξη της έννοιας προτείνοντας µια διδακτική πορεία που θα έχει επίγνωση αυτών των εµποδίων και θα υπογραµµίζει το ξεπέρασµά τους. Η τεχνική αυτή θυµίζει την πορεία προς την γενίκευση µέσω αντιπαραδειγµάτων που προτείνει ο Lakatos I. (1996). Η πορεία αυτή θα εµφανίσει στο τέλος το µαθηµατικό ορισµό της έννοιας αφού έχει διδάξει όλες τις επί µέρους δυνατές εµφανίσεις του µέσα στην εµπειρία των µαθητών. Οι µαθητές ενίοτε, παγιδεύονται σε µια σειρά εµπόδια που αποτελούν γενικεύσεις των αποσπασµατικών σχολικών εµπειριών ή µεταφορών γλωσσικών συνειρµών, που προσλαµβάνονται κατά κυριολεξία, όπως για παράδειγµα την αναζήτηση µιας χρονικής µεταβλητής πίσω από τους όρους της ανεξάρτητης ή της εξαρτηµένης µεταβλητής. Αυτό αποτέλεσε ένα ισχυρό επιστηµολογικό εµπόδιο, όπως είδαµε στις ιστορικές µας αναφορές, καθώς η µελέτη κίνησης στάθηκε αποφασιστικός παράγων στην ανάδειξη της έννοιας. Έτσι, συναντούµε γενικά διαισθητικά σχήµατα ως αποκρυσταλλώσεις παρεξηγήσεων που αποκτούν ανθεκτικότητα και επιβιώνουν της διδασκαλίας που δεν έχει επίγνωση των παρεκκλίσεων αυτού ή του άλλου είδους. Θα µπορούσαµε να πούµε, ότι η διδασκαλία δεν µπορεί και δεν πρέπει να είναι καθοδήγηση εν λεοφόρω αλλά περιγραφή διεξόδου εν µέσω γλιστερών ατραπών. Τα εκπαιδευτικά προγράµµατα ακολουθούν διάφορους δρόµους αποκαλύπτοντας στα παιδιά κοµµάτια ενός παζλ που συγκροτούν ένα αόριστο συνοθήλευµα αποσπασµατικών

13 13 πληροφοριών, τυφλών αποµνηµονεύσεων, διάσπαρτων συνιστωσών που ενδεχοµένως ενοποιούνται σε πανεπιστηµιακό επίπεδο σπουδών που έχουν να κάνουν µε τις θετικές επιστήµες. Τύποι, γραφήµατα, διαγράµµατα, προφορική περιγραφή σχέσεων, ένα αόριστο σχήµα συνειρµών, όπως παρατηρεί κι η Sierpinska (1992). Ας δούµε µερικά από αυτά τα εµπόδια που διακρίνει η Sierpinska. Το ασυνείδητο σχήµα σκέψης που αναφέρεται στις αλλαγές του κόσµου ως φαινόµενα και χωρίς να επικεντρώνεται στο πως τα πράγµατα αλλάζουν, παραγνωρίζοντας το τι αλλάζει, δηλαδή τις παραµέτρους της αλλαγής. Μια τέτοια στάση βλέπει κατά ποιοτικό τροπο τον κόσµο και δεν στέκεται στις ποσοτικές σχέσεις. Η σκέψη που κατά πρωταρχικό τρόπο αναπτύσσεται στην άλγεβρα και αφορά στον χωρισµό σε σταθερές και άγνωστες ποσότητες οδηγεί συχνά στην ιδέα της εξίσωσης και όχι στην συνάρτηση. Συµµετρία µεταξύ των x και y. Στην εξίσωση της έλλειψης ή του κύκλου έχουµε τις σχέσεις των x και y οι οποίες εµφανίζονται κατά ένα ισοδύναµο και συµετρικό τρόπο. ηλαδή, δεν έχουµε να κάνουµε µε ανεξάρτητη και εξαρτηµένη µεταβλητή και η σειρά τους είναι αδιάφορη. Ο χειρισµός συµβόλων στην άλγεβρα είναι συχνά αδιαφοροποιητος στο αν λύνω µια εξίσωση για x ή για y, ακόµη δε για σταθερές ή µεταβλητές. Σύγχυση µεταξύ συνάρτησης και σχέσης. Η διάκριση µεταξύ της χρήσης του αριθµού και της ποσότητας. Αυτό εν γένει ωφείλεται από µια περιοριµένη κατανόηση του συνόλου των πραγµατικών αριθµών. Η εντύπωση ότι οι συναρτήσεις πρέπει να δίδονται µε ένα αναλυτικό τύπο. Πρόβληµα µεταξύ των διαφορετικών αναπαραστάσεων µιας συνάρτησης, συµβολική, γραφική, µε πίνακα τιµών κλπ. Η χρονικότητα της µεταβλητής που αναφέραµε παραπάνω. Άλλα εµπόδια όπως η εύκολη εντύπωση της συνάρτησης ως 1-1 και δυσκολία της κατανόησης του πολλά ένα. Οι εργασίες που αναφέρονται στην συνάρτηση προτείνουν εναλλακτικές διδασκαλίες όπως η επιφύλαξη του Βασάκου για την αποτελεσµατικότητα του συνολοθεωρητικού

14 14 ορισµού στην µέση εκπαίδευση. Ωστόσο, εκείνο που πρέπει να επισηµάνουµε είναι ότι όλες αυτές οι απόψεις κατά βάθος έχουν υπόψη τους το παράδειγµα της οµάδας εκείνων των µαθητών, που από επιλογή τους έχει εξασφαλιστεί η εµπλοκή τους σε αυτό τον προβληµατισµό. Τι γίνεται όµως µε τον εν γένει µαθητικό πληθυσµό, αν τον προσεγγίσουµε µε στοιχεία από την κοινωνική ψυχολογία. Είναι γενικά αποδεκτό ότι η διδασκαλία µέσα στην σύγχυση των εκπαιδευτικών στόχων που την καθορίζουν, περιορίζεται να εφοδιάσει τους µαθητές νοητικά εργαλεία για τα οποία δεν είναι καθόλου προφανής η αναγκαιότητά τους, τόσο για διδάσκοντες όσο και διδασκόµενους. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα, ενότητες που δεν είναι απαραίτητες για την εισαγωγή στα ανώτερα εκπαιδευτικά ιδρύµατα, να υποτιµούνται και να µην συγκεντρώνουν την ανάλογη προσοχή. Είναι γνωστό επίσης, ότι µαθητές που στοχεύουν σε θεωρητικές σχολές ή οποίες δεν οδηγούν σε θετικές επιστήµες βλέπουν τα µαθηµατικά ως ένα δευτερεύον αντικείµενο. Έτσι, οι πανεπιστηµιακοί που διδάσκουν σε φοιτητές µη αυστηρά θετικών κατευθύνσεων έρχονται αντιµέτωποι µ ένα άλλο ιδιόρρυθµο καθήκον να αναπληρώσουν την έλλειψη αυτού του εκπαιδευτικού στόχου και να αναζητήσουν τρόπους συγκρότησης µιας µαθηµατικής παιδείας σε ένα υπόστρωµα εν µέρει αποτρεπτικό και συχνά σοβαρά ελλιπές. Το θέµα τη διδασκαλίας µαθηµατικών αντικειµένων σε φοιτητές του ΕΠΑ είναι ένα ανοικτό ζήτηµα και ίσως λίγο µελετηµένο. Αναπόφευκτα, έχει να κάνει µε το τι και το πώς πρέπει να διδάξουµε σε µια οµάδα φοιτητών, που η εκπαίδευσή τους είναι πολύµορφη και δεν εξαντλείται µέσα στο αντικείµενο των µαθηµατικών ή των εφαρµογών τους. Ο µελλοντικός δάσκαλος θα χρησιµοποιήσει ένα πολύ µικρό µέρος των πραγµατικών µαθηµατικών, αφού θα διδάξει σε τάξεις του δηµοτικού τις βασικές µαθηµατικές πράξεις και έννοιες. Η όποια πλέον αφηρηµένη περιοχή των µαθηµατικών φαντάζει στο φοιτητή ως πολυτέλεια και προκαλεί πολλά ερωτήµατα. Πολλοί από αυτούς τους φοιτητές έρχονται από τµήµατα θεωρητικoύ Λυκείου και έχουν µικρή πείρα κι ίσως ενδιαφέρον για µαθηµατικές έννοιες, όπως επίσης µειωµένη αυτοπεποίθηση για τις ικανότητές τους σε αυτά, που πρέπει να ενισχυθεί! Είναι βασικό να απαντηθούν ορισµένα ερωτήµατα που δυσκολεύουν την επικοινωνία και την διδασκαλία των καθηγητών που διδάσκουν µαθηµατικά σε τέτοια Τµήµατα. Η κάθε συζήτηση έχει υπόρρητες παραµέτρους που εξασφαλίζουν την επιτυχία της. Η έχει αδήλωτες προϋποθέσεις που αφορούν στην αναγκαιότητά της τους λόγους και τις αξίες που το προς διαπραγµάτευση µήνυµα καθίσταται έγκυρο. Ο φοιτητής πρέπει να ξέρει γιατί του διδάσκεται ή εν λόγω ύλη και πως θα του φανεί χρήσιµη στο επάγγελµά του. Η µέχρι τώρα πρακτική που συναντούµε στα πανεπιστήµια είναι ότι αυτό απαιτεί το πρόγραµµα και ο

15 15 καθηγητής γνωρίζει τι και πως θα το κάνει. ηλαδή, το ήδη υπάρχον διδακτικό συµβόλαιο δεν δίνει της απαντήσεις που χρειάζεται ο φοιτητής για να δικαιολογήσει την ανάγκη να επενδύσει πνευµατικά και να θεµατοποιήσει το αντικείµενο µάθησης και τις δυσκολίες του. Έτσι θα ήθελα να αναφέρουµε κάποιους λόγους, που αφηρηµένα µαθηµατικά αντικείµενα τα οποία µοιάζουν να είναι έξω από τα άµεσα αναγκαία, για τις επαγγελµατικές ανάγκες του δασκάλου, πρέπει να τα διδαχθεί. Το άλλο δε ερώτηµα που προκύπτει αµέσως µετά είναι το πώς θα διδαχθούν αυτά τα αντικείµενα. Θα προσπαθήσουµε να δώσουµε κάποιες απαντήσεις στο πρώτο. Ο δάσκαλος θα διδάξει τις πρώτες βασικές έννοιες που θα στηρίξουν όλη την µετέπειτα µαθηµατική παιδεία του νέου. Είναι γνωστό ότι τα µαθηµατικά που χρησιµοποιούν καθηµερινά όλοι οι ενήλικες, ακόµη και εκείνοι που έχουν ως αντικείµενο εργασίας τα µαθηµατικά είναι τα µαθηµατικά του δηµοτικού, κάνοντας υπολογισµούς που αφορούν τα προβλήµατα της ζωής. Οι ειδικοί σε κάποιο µαθηµατικό αντικείµενο, χειρίζονται ως επί το πλείστον µόνο µια περιορισµένη περιοχή, ενώ σε όλα τα άλλα ζητήµατα κάνουν και αυτοί χρήση των βασικών πράξεων και εννοιών. Το ίδιο µπορούµε να πούµε για όλους τους εκείνους που ασχολούνται µε επιστηµονικούς ή τεχνικούς κλάδους, χρησιµοποιώντας µαθηµατικά. Αυτό σηµαίνει ότι την ορθολογική και µαθηµατικοποιηµένη οργάνωση της κοινωνίας την προετοιµάζει η διδασκαλία των µαθηµατικών στο δηµοτικό. Ένα άλλο ζήτηµα που θα πρέπει να λάβουµε υπόψη είναι ότι αυτή η πρωταρχική εκµάθηση των µαθηµατικών έχει να κάνει µε ένα πλήθος επιστηµολογικών προϋποθέσεων, έτσι όπως το µελέτησε ο Piaget κι η σύγχρονη γνωστική επιστήµη. Σε αυτές τις ηλικίες, θα γίνουν οι πρώτες καταγραφές της µαθηµατικής σκέψης και αφαίρεσης, της µαθηµατικοποίησης των προβληµάτων του φυσικού και κοινωνικού περιβάλλοντος, της αναζήτησης των παραµέτρων που ποσοτικοποιούνται στα προβλήµατα της ζωής, στην κατανόηση των µορφών του κόσµου µέσα από την εκµάθηση των γεωµετρικών αποδόσεων τους και η εν γένει µοντελοποίηση. Ο δάσκαλος για να βοηθήσει αυτές τις διεργασίες πρέπει να είναι ενήµερος για το τι σηµαίνει µαθηµατική σκέψη της οποίας προετοιµάζει τις βάσεις. Πρέπει να διδάσκει δίνοντας προοπτική, κατά τις υποδείξεις του Vigotski, στα επόµενα στάδια υψηλότερων αφαιρέσεων. Οι γνώσεις τις αριθµητικής πρέπει να προετοιµάζουν εκείνες της άλγεβρας, κάτι που σηµαίνει ότι ο δάσκαλος πρέπει να έχει επίγνωση των διαδικασιών αυτής της µετάβασης. Για τον ίδιο στοχαστή, µια έννοια ή µια δοµή σκέψης γίνεται κατανοητή όταν κανείς την δει σε ένα υψηλότερο εννοιολογικό σύστηµα και συχνά καταφεύγει στην σύγκριση αριθµητικής και άλγεβρας. Έτσι είναι αυτονόητο, ότι για να διδάξει κάποιος πρέπει να γνωρίζει πολύ περισσότερα από τα αντικείµενα της διδασκαλίας του! Ας εντοπίσουµε τώρα το συγκεκριµένο ζήτηµα της διδασκαλίας της συνάρτησης, µιας έννοιας που βασική στην µαθηµατική επιστήµη και η οποία επισύρει ένα πλήθος παρεξηγήσεων και δυσκολιών ένεκα του ιδιαίτερα επεξεργασµένου και αφηρηµένου χαρακτήρα της.

16 16 Οι µαθηµατικοί έχουν συνηθίσει από την εκπαίδευσή τους σε ένα εντελώς παραγωγικό τρόπο σκέψης, που παράγει το ειδικό από το γενικό κι αυτό φαίνεται συχνά O Tall & al (2000), αναφέρει ότι η πανεπιστηµιακή εκπαίδευση προχωρά από τους ορισµούς στο αντικείµενα, τα αντικείµενα συγκροτούνται και συγκροτούνται µέσα στους ορισµούς, ενώ στην µέση εκπαίδευση το αντικείµενο εµφανίζεται πρώτα στην εποπτεία και µετά αποδίδεται µε ορισµούς. Με βάση τις παραπάνω διακρίσεις της Sierpinska, µια ενδεχόµενη διδασκαλία της συνάρτησης είναι εκείνη που θα ξεκινά από τις διάφορες δυνατές εµφανίσεις της έννοιας, π.χ. γραφική παράσταση, πίνακες τιµών, λεκτικές είτε συµβολικές µορφές. Θα την διακρίνει από άλλες που συνειρµικά ενδεχοµένως εµπλέκονται στο νου των µαθητών, π.χ σχέσεις που δεν είναι συναρτήσεις, όπως εξίσωση του κύκλου ή την σύγχυση που επικρατεί συχνά σε σχέση µε την έννοια της εξίσωσης, επειδή και εκείνη δίδεται µε τύπο. Στερεότυπες αποδόσεις της έννοιας, π.χ συνέχεια της συνάρτησης, µονοκλαδική. Επίσης, µια παραδοσιακή και από την ιστορία το ξεκαθάρισµα του νοήµατος της µεταβλητής ως χρονικής τοιαύτης. Θα πρέπει να προσθέσουµε κι άλλες στερεότυπες προσκολλήσεις των µαθητών που παρατηρήσαµε κατά την έρευνά µας, όπως οι 1-1 συνάρτηση ως το πλέον διαδεδοµένο παράδειγµα συνάρτησης κι ακόµη η αναµονή των συνεκτικών περιγραµµάτων στην περιγραφή µέσω βέννιων διαγραµµάτων. Τις παραπάνω φάσεις ακολούθησε ο ένας από τους δυο διδάσκοντες, δηλαδή περιέγραψε τις διαφορετικές αναπαραστάσεις συναρτήσεων που κάνουν την εµφάνισή τους στην προηγούµενη εκπαίδευσή τους µαθηµατικών φυσικής, οικονοµικών, ξεκαθάρισε τι από τα επιµέρους χαρακτηριστικά µπορεί να γενικευτεί κατά λανθασµένο τρόπο. ιέταξε τις περιπτώσεις από τις πιο απλές στις πλέον σύνθετες γραµµικές µη γραµµικές και στο τέλος έδωσε τον γενικό συνολοθεωρητικό ορισµό και έδειξε πως εξειδικεύεται στις γνωστές αναπαραστατικές µορφές, σε µια φάση σύνθεσης. Όπως γνωρίζουµε, ο ορισµός έχει προκύψει προσπαθώντας να συµπεριλάβει και να αποδώσει πολύ πιο πολύπλοκες µορφές όπως η συνάρτηση του Weierstrass ή του Dirichlet. Τέτοιες συναρτήσεις δεν θα προκύψουν στις ανάγκες του δασκάλου, κι ακόµη, οι κάποιες ιδιόρυθµες συναρτήσεις που µπορούν να συναντήσουν, αν τους προκύψει να χειριστούν στατιστικές µελέτες, δεν θα είναι ποτέ παθολογικές περιπτώσεις. Ωστόσο, η εκµάθηση ενός τόσο αφηρηµένου ορισµού, που ενοποιεί έστω και τις περιορισµένες περιπτώσεις της ενδεχόµενης εµπειρίας τους, αποτελεί µια σηµαντική

17 17 εξάσκηση στη λητότητα της µαθηµατικής αφαίρεσης και αποτελεί υπόδειγµα της ίδιας της λογικής των µαθηµατικών. Επίσης, η πορεία που προτείνει ο Freudenthal, που η εµπειρία του νοήµατος της µεταβλητής εµφανίζεται τόσο µε τον δυναµικό της χαρακτήρα όσο και τον στατικό και αχρονοποιηµένο, διδάσκει τον φοιτητή µια πολίτιµη επιστηµολογική διάσταση των µαθηµατικών, που θα του φανεί ιδιαίτερα χρήσιµη στις απορίες των µικρών µαθητών, όταν θα τους εγκαθιστά τα πρωτα λογικά νοήµατα διατήρησης. 3. ΑΝΤΙ ΕΠΙΛΟΓΟΥ Όπως φαίνεται, από την επιστηµολογική διάσταση της έννοιας της συνάρτησης, µε τον τρόπο που αυτή αποτυπώθηκε στην σύντοµη ιστορική παρουσίαση, πρόκειται για µια δύσκολη έννοια για την οποία απαιτήθηκαν πολλοί αιώνες συζήτησης, προτάσεων και υπερπήδησης πολύ διαφορετικών εµποδίων ώστε να συγκροτηθεί. Είναι φανερό ότι για πολλούς µαθηµατικούς προηγούµενων αιώνων η έννοια της συνάρτησης δεν εξέφραζε κατ ανάγκη το αυτό µαθηµατικό φαινόµενο. Από την άλλη πλευρά, εξίσου δύσκολη φαίνεται να είναι και η διδακτική µεταφορά της έννοιας, αφού η τελευταία εµπλέκει τρεις διαφορετικές διαστάσεις την επιστηµολογική διάσταση όπως αυτή εκφράστηκε στα µαθηµατικά κείµενα διάφορων µαθηµατικών µέσα στην ιστορία την επιστηµολογία των καθηγητών των µαθηµατικών και τέλος τη διδακτική διάσταση η οποία δεν αφορά µόνο τις γνώσεις των µαθητών, αλλά και τη λειτουργία του εν γένει διδακτικού συστήµατος και τους περιορισµούς τους οποίους βάζει, (δηλαδή αυτό που κατά τον Chevallard (1991) αποτελεί την νοόσφαιρα των µαθηµατικών.) Με βάση τις σύντοµες προηγούµενες παρατηρήσεις, φαίνεται εντελώς φυσικό οι µαθητές της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης οποιασδήποτε χώρας να έχουν προβλήµατα µε την έννοια αυτή. Αυτά τα προβλήµατα δε µπορεί παρά να αποτελούν αντικείµενο πολλών και ξεχωριστών ερευνών. Μια τέτοια ερευνητική πρόταση σε σχέση µε φοιτητές του Τµήµατος Επιστηµών της Αγωγής του Πανεπιστηµίου Κύπρου προτείνεται στο...

18 18 * Ο όρος ενσώµατα µαθηµατικά έχει προταθεί για µετάφραση του embodied mathematics από την Μαριάννα Κονδύλη, αναπληρώτρια καθηγήτρια του Πανεπιστηµίου Πατρών, γλωσσολόγο και τον Κώστα Γαβρά µαθηµατικό. Βιβλιογραφία Αναπολιτάνος. (1985), Εισαγωγή στην Φιλοσοφία των Μαθηµατικών, Αθήνα. Ασβεστά Α. & Γαγάτσης Α. (1995), Προβλήµατα ερµηνείας και η έννοια της συνάρτησης, Στο Α. Γαγάτση (Εκδ.), ιδακτική και Ιστορία των Μαθηµατικών (σσ ), Θεσσαλονίκη: Erasmus ICP-94-G-201/11. Βασάκος Θωµάς, Η έννοια της Συνάρτησης στους µαθητές του Λυκείου και Ενέργειες κατανόησης-εµπόδια που σχετίζονται µε τον ορισµό της συνάρτησης, Στο Α. Γαγάτσης (Εκδ.), ιδακτική των Μαθηµατικών: ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΕΥΝΑ. (σς ), Θεσσλονίκη: ART of TEXT. Bergson H. (1954), Creative Evolution, (translated by A. Mitchell), Macmillan, London, ελληνική µετάφραση, Η δηµιουργός εξέλιξις, εκδόσεις Αναγνωστίδη,. Boyer C. B. (1944), Historical Stages in the Definition of Curves, Mathematical Magazin, t. 19, pp Boyer C. B. (1949), The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover, New York. Cassirer E. (1953), Substance and Function, Dover. Chapman M. & Lindenberger (1988), Functions, Operations, and Decalage in the Development of Transivity, Developmental Psychology, Vol. 24, No 4, pp Chevallard Y. et Josua M. A.(1991), La transposition didactique, editions de la Penseé Sauvage. Davidson P.M. (1988), Piaget s Category-Theoretic Interpretation of Cognitive Development: A Neglected Contribution, Human Development, 31: pp Davidson P.M. (1992), Genevan Contribution Characterizing the Age 4 Transition, Human Development, 35: pp Davis P. J. & Hersh R. (1981), The Mathematical Experience, Birkhäuser, Boston, Ελληνική µετάφραση Αναστασιάδη, εκδόσεις Τροχαλία.

19 19 Dubinky E. & Harel G. (1992), The concept of function. Aspects of epistemology and pedagogy, Mathematical Association of America (MMA). Euler L. (1797), INTRODUCTION A L ANALYSE INFINITÉSIMALE, Ches BARROIS, PARIS. Fraenkel A. A. (1966), Abstract Set Theory, North Holland, Amsterdam. Frege G. (1974) Was ist eine Function? Hubert und Co, Göttingen. Freudenthal H. (1983), Didactical Phenomenology of Mathematical Structures, Reidel P. C. Dordrecht. Gagatsis A. & Christou C. (2000), Investigating Students Understanding of Multiplication and Division by Analysing their Textual Eigen Productions, Scienta Pedagogica Experimentalis XXXVII, 2, pp Hausdorff F. (1962), Set Theory, Chelsea, London. Hilbert D. (1995), Θεµέλια της Γεωµετρίας, Τροχαλία. E. Husserl (1982), Logical Investigations, Rootlege & Kegan Paul, London. Ελληνική µεταφραση Σκουτερόπουλου, εύτερη Λογική Έρευνα, εκδ. Γνώση Kalman M. & Case R. (1988), Scienta Paedagogica Experimentalis, XXXV, 1, 1998, V.J. Katz (1993), A History of Mathematics, Harper Collins College Publishers, New York. Klein J. (1992), A Histoty of Greek Mathematics and the Origin of Algebra, Dover, New York. Klein J. (1981), The World of Physics and The Natural World, St. Johns Review, Vol. Autumn pp Ελληνική µετάφραση, Νεύση 7. (1988) σ Kline M. (1962), Mathematics A Cultural Approach, Addison Wesley, London. Keisoglou S. & Spyrou P. (2003), Processes of mathematization in a learning environment combining devices and computational tools, Rediconti Ricerca Mathematica, 13, p Koyré A, (1943), Galileo and Plato, Journal of History of Ideas, Vol. IV, no 4, p , Ελληνική µετάφραση Κ. Κριµπά, (1994), Γαλιλαίος και Πλάτων, ΝΕΥΣΙΣ, Ι σελ Kuratowski K. (1961), Introduction to Set Theory and Topology, Pergamon Press. Lakatos I. (1976), Proofs and Refutations, Cambridge University Press, Ελληνική Μετάφραση (1996), Αποδείξεις και Ανασκευές, Τροχαλία, Αθήνα. Lakoff G. & Núñez E. R. (2000), Where Mathematics comes from, basic books, New York.

20 20 Lappas D. & Spyrou P. (2003), Embodied Cognition and the Origins of Geometry: A Model Approach of Embodied Mathematics Through Geometric Considerations, (submitted), appeared in front the mathematics, AMS. Menheim H. J. (1964), The Genesis of Point Set Topology, Pergamon Press, London. Mueller I. (1981), Philosophy of Mathematics and deductive structure in Euclid s Elements Cabridge, Massachussets London, MIT. Núñez R. E. & Edwards L. D. & Matos J. F. (1999), Embodied Cognition as Grounding for Situatedness and Context in Mathematics Education, Education Studies in Mathematics 39: Piaget J. & Grize J.B. & Szeminska A. & Bang V. (1977), Epistemology and Psychology of Functions, Dordrect. Ρουσόπουλου Γ. (1991), Επιστηµολογία των Μαθηµατικών, Guttenberg. Stewart I. & Tall D (1977), The Foundations of Mathematics, Oxford U. P. London. Sierpinska A: (1992), On understanding the notion of function, in G. Harel and E. Dubinsky, MAA Notes, Vol. 25. Sfard A. (1992). Operational origins of mathematical objects and the quandary of reifications the case of function. In Guershon Harel & Ed Dubinsky (Eds), The concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy (pp ) Washington, DC: MAA (MAA) Notes 25. Szabo A. (1973), Απαρχαί των Ελληνικών Μαθηµατικών, µετ. Φ. Βασιλείου, ΤΕΕ Αθήναι. Tall D. & Thomas M. & Davis G. & Gray E. & Simpson A. (2000), What is the Object of the Encapsulation of a process? Journal of Mathematical Behavior 18 (2), Varela F. & Thompson E. & Rosch E. (1992), The Embodied Mind, MIT Press, London. Watson A. & Spyrou P. & Tall D. (2002), The relationship between physical embodiment mathematical symbolism: The concept of vector, Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 2, pp Whitehead & Russell (1962), Principia Mathematica, Cambidge.

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

, α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194. α α α α α α α α α «α µα. α α µ «α α µα» α

, α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194. α α α α α α α α α «α µα. α α µ «α α µα» α , α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194 ΠΕΡΙΛΗΨΗ α α α α µα α 04. α α α α α α α α α α «α µα µα» µ µ α µα α α α α µ α α µ «α α µα» α µα α α µ α µ α α α α α

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ιαισθητικές Αντιλήψεις στην Έννοια της Πιθανότητας ΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Κώστας Κωνσταντίνου, Γεωργία Τάνου, Ιλιάδα Ηλία, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ,ΕΙΚΟΝΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Νάκου Αλεξάνδρα Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Ο όρος ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ δημιουργεί μία αίσθηση ασάφειας αφού επιδέχεται πολλές εξηγήσεις. Υπάρχει συνεχής διάλογος και προβληματισμός ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκαλία της Ροµποτικής Επιστήµης στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση Εµπειρίες από άλλα εκπαιδευτικά συστήµατα και προσαρµογή στην Ελληνική πραγµατικότητα

ιδασκαλία της Ροµποτικής Επιστήµης στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση Εµπειρίες από άλλα εκπαιδευτικά συστήµατα και προσαρµογή στην Ελληνική πραγµατικότητα ιδασκαλία της Ροµποτικής Επιστήµης στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση Εµπειρίες από άλλα εκπαιδευτικά συστήµατα και προσαρµογή στην Ελληνική πραγµατικότητα Αντώνιος Τζες Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµατος Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας 1. Μια διαδεδομένη αντίληψη περί επιστήμης Γνώση / Κατανόηση των φαινομένων του φυσικού κόσμου

Διαβάστε περισσότερα

Το ιδακτικό Υλικό στο Κεφάλαιο των Πιθανοτήτων της Γ τάξης του ηµοτικού: Τρόπος Κατανόησης και ιαχείρισής του από Μαθητές και ασκάλους Χρυσάνθη Σκουµπουρδή και Φραγκίσκος Καλαβάσης Περίληψη Στην εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Παραδοτέο Π.1 (Π.1.1) Εκθέσεις για προµήθεια εκπαιδευτικού υλικού

Παραδοτέο Π.1 (Π.1.1) Εκθέσεις για προµήθεια εκπαιδευτικού υλικού 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ Μέτρο 2.2 Αναµόρφωση Προγραµµάτων Προπτυχιακών Σπουδών ιεύρυνση Τριτοβάθµιας Κατ. Πράξης 2.2.2.α Αναµόρφωση Προγραµµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ

ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ ΜΑΘΗΣΗ ΜΕΣΩ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 1 ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ 1. Τι αλλαγές επιχειρούν τα νέα ΠΣ; 2 2. Γιατί το πέρασμα στην πράξη (θα)

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού

Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού Όνοµα: Τάσος Αναστάσιος Επώνυµο: Μικρόπουλος Τίτλος: Αναπληρωτής Καθηγητής, Εργαστήριο Εφαρµογών Εικονικής Πραγµατικότητας στην Εκπαίδευση, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2009: 22892841 ή 22892832, Εmail: stavrost@ucy.ac.cy ή haris@ucy.ac.cy. www.ucy.ac.cy/fmweb/metaptihiaka.htm

2009: 22892841 ή 22892832, Εmail: stavrost@ucy.ac.cy ή haris@ucy.ac.cy. www.ucy.ac.cy/fmweb/metaptihiaka.htm ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΘΕΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2009-2010 Το Πανεπιστήµιο Κύπρου ανακοινώνει ότι δέχεται αιτήσεις για περιορισµένο αριθµό θέσεων στο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Διδακτικής του Μαθήµατος των Θρησκευτικών. Γ Οµάδα

Άσκηση Διδακτικής του Μαθήµατος των Θρησκευτικών. Γ Οµάδα Άσκηση Διδακτικής του Μαθήµατος των Θρησκευτικών Γ Οµάδα Διδάσκων: Αθ. Στογιαννίδης Λέκτορας 11ο Μάθηµα Διερεύνηση Προϋποθέσεων Διδασκαλίας - Α : Η θεωρία του Jean Piaget για τη νοητική ανάπτυξη του ανθρώπου

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΤΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Απευθύνεται: Σε κάθε εκπαιδευτικό που ενδιαφέρεται να βελτιώσει και να εκσυγχρονίσει τη διδασκαλία του/της. Στους/ις υποψήφιους/ες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΟ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΜΕΝΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΣΧΕ ΙΟ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΜΕΝΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΕ ΙΟ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΜΕΝΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ Επιµέλεια: Καλαντζής Παναγιώτης, ηµ. Σχ. Παίδων «Π. & Α. Κυριακού». Γνωστικό αντικείµενο: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΗΜΟΤΙΚΟΥ 1. ΤΙΤΛΟΣ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ: Μονάδες µέτρησης επιφανείας

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας με τη βοήθεια λογισμικού υπολογιστικών φύλλων

Διδάσκοντας με τη βοήθεια λογισμικού υπολογιστικών φύλλων 169 Επιμορφωτικό υλικό για την επιμόρφωση των εκπαιδευτικών - Τεύχος 1 (Γενικό Μέρος) Ενότητα 3.6.2 Διδάσκοντας με τη βοήθεια λογισμικού υπολογιστικών φύλλων 1. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών Παράρτημα 1: Τεχνική έκθεση τεκμηρίωσης σεναρίου Το εκπαιδευτικό σενάριο που θα σχεδιαστεί πρέπει να συνοδεύεται από μια τεχνική έκθεση τεκμηρίωσής του. Η τεχνική αυτή έκθεση (με τη μορφή του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εκµάθηση προµαθηµατικών εννοιών για ΑµεΑ στο φάσµα του Αυτισµού µε το λογισµικό LT125-ThinkingMind

Εκµάθηση προµαθηµατικών εννοιών για ΑµεΑ στο φάσµα του Αυτισµού µε το λογισµικό LT125-ThinkingMind Εκµάθηση προµαθηµατικών εννοιών για ΑµεΑ στο φάσµα του Αυτισµού µε το λογισµικό LT125-ThinkingMind Λαδιάς Αναστάσιος, Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Β Αθήνας Μπέλλου Ιωάννα, Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ)

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) Α1. ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ Tο Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Κρήτης είναι ένα από τα πρώτα οργανωµένα µεταπτυχιακά

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΙΣ Ι

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΙΣ Ι ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΙΣ Ι 1.Ελλιπής ή ατελής διδασκαλία της σύγχρονης γεωμετρίας στα λύκεια. 2.Ελάχιστες ώρες μαθηματικών και έλλειψη ολοκληρωμένης διδασκαλίας της σύγχρονης γεωμετρίας στις σχολές "οικοδόμων" μηχανικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Υπό ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΑΡΤΙΚΗ, ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΣΟΥΓΙΑΝΝΗ ΚΑΙ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΡΤ1ΚΗ Ανωτάτη Βιομηχανική Σχολή Πειραιά 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα συνήθη κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων βασίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΓΕΝΙΚΑ Βασικός στόχος είναι η ανατροφοδότηση της εκπαιδευτικής διαδικασίας και ο εντοπισμός των μαθησιακών ελλείψεων με σκοπό τη βελτίωση της παρεχόμενης σχολικής εκπαίδευσης. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργική Εκπαίδευση. Θεματική ενότητα 10 1/2. Όνομα καθηγητή: Αλέξανδρος Κουτσούρης Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας και Ανάπτυξης

Γεωργική Εκπαίδευση. Θεματική ενότητα 10 1/2. Όνομα καθηγητή: Αλέξανδρος Κουτσούρης Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας και Ανάπτυξης Γεωργική Εκπαίδευση Θεματική ενότητα 10 1/2 Όνομα καθηγητή: Αλέξανδρος Κουτσούρης Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας και Ανάπτυξης ΜΑΘΗΣΙΑΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ Οι φοιτητές/τριες πρέπει να είναι ικανοί/ες: α) να αναφέρουν

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο Πρόληψης των Εξαρτήσεων και Προαγωγής της Ψυχοκοινωνικής Υγείας Περιφερειακής Ενότητας Κιλκίς «ΝΗΡΕΑΣ»

Κέντρο Πρόληψης των Εξαρτήσεων και Προαγωγής της Ψυχοκοινωνικής Υγείας Περιφερειακής Ενότητας Κιλκίς «ΝΗΡΕΑΣ» Εργαστήριο δικτύωσης σε εκπαιδευτικούς πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης με θέμα: «Η συναισθηματική νοημοσύνη και η επίδρασή της στην εκπαιδευτική διαδικασία» 6 7 Μαΐου 2014 Κέντρο Πρόληψης των

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Μέχρι πριν λίγα χρόνια ηαντίληψη που επικρατούσε ήταν ότι ημαθηματική γνώση είναι ένα αγαθό που έχει παραχθεί και καλούνται οι μαθητές να το καταναλώσουν αποστηθίζοντάς

Διαβάστε περισσότερα

εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Μιχάλης

εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Μιχάλης Ενσωμάτωση των ΤΠΕ στην εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Τιμοθέου Σάββας & Χριστοφορίδης Μιχάλης Μελέτη και γραφική Παράσταση Συνάρτησης Τμήμα:Γ6 ( με 18 μαθητές)

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές ενότητες Στόχος

Διδακτικές ενότητες Στόχος Η διδασκαλία του τριγωνομετρικού κύκλου με τον παραδοσιακό τρόπο στον πίνακα, είναι μία διαδικασία όχι εύκολα κατανοητή για τους μαθητές, με αποτέλεσμα τη μηχανική παπαγαλίστικη χρήση των τύπων της τριγωνομετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

Ευριπίδης Παπαδηµητρίου Επ. καθηγητής ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης ----------------------

Ευριπίδης Παπαδηµητρίου Επ. καθηγητής ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης ---------------------- Ευριπίδης Παπαδηµητρίου Επ. καθηγητής ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης ---------------------- Τελικό κείµενο επιστηµονικής εισήγησης Τίτλος: Εκπαίδευση µε στόχο την αειφόρο ανάπτυξη: Τι πρέπει να καλλιεργήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Θεματική Ενότητα: Πολλαπλές Ερμηνευτικές Προσεγγίσεις Βασίλειος Τσακανίκας Γεώργιος Τσαπακίδης vasilistsakanikas@yahoo.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΓΝΩΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΑΝΑΓΝΩΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ Αναγνωσιµότητα και Eικόνες ΑΝΑΓΝΩΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης, Ιλιάδα Ηλία, Στυλιανή Καταλάνου Μοδεστίνα Μοδέστου, Ορτάνζια Ιωάννου Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

132 Γενικό Μέρος µαθητών. Lam, F. S., & Pennington, M. (1995). The computer vs. the pen: a comparative study of Word processing in a Hong Kong secondary classroom. Computer Assisted Language Learning,

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ Αναπαραστάσεις και Κατανόηση Συνόλων Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ Ειρήνη Αριστοτέλους, Χρυστάλλα Περικλέους, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών Αγωγής,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση εκπαιδευτών/τριών Επιμορφωτικών Κέντρων Υπουργείου Παιδείας και Πολιτισμού

Επιμόρφωση εκπαιδευτών/τριών Επιμορφωτικών Κέντρων Υπουργείου Παιδείας και Πολιτισμού Επιμόρφωση εκπαιδευτών/τριών Επιμορφωτικών Κέντρων Υπουργείου Παιδείας και Πολιτισμού Σάββατο, 28 Μαρτίου 2015 Λύκειο Λατσιών Αλέξανδρος Ταμπάκης Εκπαιδευτής Ε.Κ. Εισαγωγή 1. Χαρακτηριστικά ενήλικων εκπαιδευομένων

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

8. Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΤΑΛΕΝΤΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

8. Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΤΑΛΕΝΤΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 8. Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΤΑΛΕΝΤΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Πολυάριθµες είναι οι περιοχές όπου ένα ταλέντο ή µία χαρακτηριστική κλίση µπορεί να εκδηλωθεί. Το ταλέντο στα µαθηµατικά έχει ιδιαίτερα απασχολήσει την επιστηµονική

Διαβάστε περισσότερα

Η παραγωγή και η χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού ως διδακτική επιλογή

Η παραγωγή και η χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού ως διδακτική επιλογή Η παραγωγή και η χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού ως διδακτική επιλογή Κ. Ραβάνης Νέες τεχνολογίες και εκπαίδευση Η μεγάλη ανάπτυξη των νέων τεχνολογιών και οι υψηλές ταχύτητες πρόσβασης στις πληροφορίες,

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος

Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος Ακολούθως αναπτύσσονται ορισμένα διευκρινιστικά σχόλια για το Σχέδιο Μαθήματος. Αφετηρία για τον ακόλουθο σχολιασμό υπήρξαν οι σχετικές υποδείξεις που μας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Τάξη: Γ Γυμνασίου A Λυκείου Μάθημα : Άλγεβρα Διδακτική ενότητα: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες, Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Εισαγωγή Σενάριο : Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014. Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση

Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014. Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014 Δημήτρης Μπίρμπας ΠΠΛ Αγίων Αναργύρων Σοφία Παππά ΠΠΛ Ζάννειο Πειραιά Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Μία από τις πιο σηµαντικές διαδικασίες που χαρακτηρίζουν τη συγγραφή και δηµοσίευση µιας ερευνητικής εργασίας, είναι η αξιολόγησή της από έµπειρους επιστήµονες του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες και αρχές των Φυσικών Επιστημών Δ ι δ α κ τ ι κ έ ς ε ν ό τ η τ ε ς Τεχνικές διδασκαλίας

Βασικές έννοιες και αρχές των Φυσικών Επιστημών Δ ι δ α κ τ ι κ έ ς ε ν ό τ η τ ε ς Τεχνικές διδασκαλίας Α Τίτλος Προγράμματος Εκπαίδευσης Ενηλίκων Βασικές έννοιες και αρχές των Φυσικών Επιστημών Β Ομάδα Στόχος στην οποία απευθύνεται Το πρόγραμμα απευθύνεται σε αποφοίτους Γενικών / Τεχνικών Λυκείων, ΤΕΕ που

Διαβάστε περισσότερα

Νάντια Παπαπαναγιωτάκη

Νάντια Παπαπαναγιωτάκη Νάντια Παπαπαναγιωτάκη Στην ένταξη µε πάνε σαράντα κύµατα Οι περιοχές στις οποίες δραστηριοποιηθήκαµε από τον Νοέµβριο µέχρι σήµερα ήταν τα Άνω Λιόσια, το Ζεφύρι, το Ίλιον και οι Αχαρνές µε έντεκα (11)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου

Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου ΙΣΧΥΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΩΡΕΣ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2011 1. Θρησκευτικά 2 Θρησκευτικά: 2 ώρες 2. Αρχαία Ελληνική Γλώσσα & Γραμματεία

Διαβάστε περισσότερα

Εξ αποστάσεως Εκπαίδευση Ενηλίκων: Θέµατα και Ζητήµατα. της Πολυµορφικότητας. Αντώνης Λιοναράκης Επικ. Καθηγητής, ΕΑΠ

Εξ αποστάσεως Εκπαίδευση Ενηλίκων: Θέµατα και Ζητήµατα. της Πολυµορφικότητας. Αντώνης Λιοναράκης Επικ. Καθηγητής, ΕΑΠ Εξ αποστάσεως Εκπαίδευση Ενηλίκων: Θέµατα και Ζητήµατα ευτέρα 17 εκεµβρίου 2007 ΤΕΙ Λαµίας Η εξ αποστάσεως Εκπαίδευση και η έννοια της Πολυµορφικότητας Αντώνης Λιοναράκης Επικ. Καθηγητής, ΕΑΠ Έρευνα (2007),

Διαβάστε περισσότερα

PATHWAY. D2.1 The basic features of the inquiry learning and teaching. A short review for the Greek teachers. Author: Christos Ragiadakos

PATHWAY. D2.1 The basic features of the inquiry learning and teaching. A short review for the Greek teachers. Author: Christos Ragiadakos PATHWAY D2.1 The basic features of the inquiry learning and teaching A short review for the Greek teachers Author: Christos Ragiadakos [It will be distributed to the Greek teachers during the Training

Διαβάστε περισσότερα

«Μια διδακτική προσέγγιση της γραμμικής συνάρτησης μέσω επίλυσης προβλήματος συνεργατικά και με τη χρήση του εκπαιδευτικού λογισμικού Function Probe»

«Μια διδακτική προσέγγιση της γραμμικής συνάρτησης μέσω επίλυσης προβλήματος συνεργατικά και με τη χρήση του εκπαιδευτικού λογισμικού Function Probe» «Ψηφιακές και Διαδικτυακές εφαρμογές στην Εκπαίδευση» «Μια διδακτική προσέγγιση της γραμμικής συνάρτησης μέσω επίλυσης προβλήματος συνεργατικά και με τη χρήση του εκπαιδευτικού λογισμικού Function Probe»

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ 3Π /2008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδοι: ΠΕ 05 ΓΑΛΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ, ΠΕ 06 ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ, ΠΕ 07 ΓΕΡΜΑΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

EDUS265 Εκπαιδευτική Τεχνολογία

EDUS265 Εκπαιδευτική Τεχνολογία EDUS265 Εκπαιδευτική Τεχνολογία Χαράλαμπος Βρασίδας www.cardet.org www.unic.ac.cy 2004-2006 CARDET 1 Απόψεις Γιατί οι ορισμοί ενός κλάδου είναι σημαντικοί; Πώς θα ορίζατε τον όρο «Τεχνολογία»; Πώς θα ορίζατε

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

«Η μικρή ιστορία μιας βιώσιμης Ελληνικής επιχείρησης: μια προσέγγιση της ανίσωσης 2 ου βαθμού»

«Η μικρή ιστορία μιας βιώσιμης Ελληνικής επιχείρησης: μια προσέγγιση της ανίσωσης 2 ου βαθμού» «Η μικρή ιστορία μιας βιώσιμης Ελληνικής επιχείρησης: μια προσέγγιση της ανίσωσης 2 ου βαθμού» Ματοσσιάν Αλμπέρ-Ντικράν 1, Κουτσκουδής Παναγιώτης 2 1 Καθηγητής Μαθηματικών, Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1 Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1.1 Ηλεκτρικά και Ηλεκτρονικά Συστήµατα Μετρήσεων Στο παρελθόν χρησιµοποιήθηκαν µέθοδοι µετρήσεων που στηριζόταν στις αρχές της µηχανικής, της οπτικής ή της θερµοδυναµικής.

Διαβάστε περισσότερα

Ενδιάμεση Έκθεση: Ποσοτικά Ευρήματα Έρευνας απόψεων Σχολικών Συμβούλων για τα Γνωστικά Αντικείμενα του Δημοτικού

Ενδιάμεση Έκθεση: Ποσοτικά Ευρήματα Έρευνας απόψεων Σχολικών Συμβούλων για τα Γνωστικά Αντικείμενα του Δημοτικού Ενδιάμεση Έκθεση: Ποσοτικά Ευρήματα Έρευνας απόψεων Σχολικών Συμβούλων για τα Γνωστικά Αντικείμενα του Δημοτικού ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Η παρούσα έρευνα έχει σκοπό τη συλλογή εμπειρικών δεδομένων σχετικά με

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.) και Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.) Τάξη : Γ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα