ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ Η Ι ΑΚΤΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΤΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ Η Ι ΑΚΤΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΤΗΣ"

Transcript

1 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ Η Ι ΑΚΤΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΤΗΣ Παναγιώτης Σπύρου, Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθανάσιος Γαγάτσης, Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης αποτελεί µια από τις πλέον βασικές για την συγκρότηση της Μαθηµατικής επιστήµης στην σηµερινή της µορφή. Τα προγράµµατα διδασκαλίας χειρίζονται συχνά συναρτήσεις, σε µαθήµατα µαθηµατικών και άλλων µαθηµάτων περιλαµβάνοντας πολλές µορφές και αναδείξεις της έννοιας. Ωστός,ο το αφηρηµένο και το περιεκτικό νόηµα της συνάρτησης γίνεται δύσκολα κατανοητό και οι µαθητές έχουν δυσκολίες στο χειρισµό και την εφαρµογή. Το ξεδίπλωµα της έννοιας µέσα στην επιστηµολογική και ιστορική της διάσταση φωτίζει πολλές από τις δυσκολίες που αφορούν στην διδακτική της µεταφορά. Η εργασία αυτή έχει στόχο να συµβάλει σε µια µεγάλη συζήτηση που έχει ανοίξει εδώ και πολλά χρόνια στο πλαίσιο της ιδακτικής των Μαθηµατικών µε θέµα την συνάρτηση. 1. ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι κεντρική στην επιστήµη των Μαθηµατικών και τις εφαρµογές της και ανάγεται στην γενικότερη τάση του ανθρώπου να κάνει συσχετισµούς µεταξύ ποσοτήτων, η οποία θα µπορούσαµε να πούµε ότι είναι τόσο αρχαία όσο και τα ίδια τα Μαθηµατικά. Όµως, η πορεία που οδήγησε από τους απλούς συσχετισµούς στην σύγχρονη έννοια της συνάρτησης είναι περίπλοκη, µακρόχρονη και δραµατική. Η αντίληψη µιας πολύ γενικής αντιστοιχίας σε τιµές (π.χ. ηµεροµηνίας) και άλλων τιµών (γωνιακών θέσεων Πλανητών) φαίνεται ότι υπάρχει στον Πτολεµαίο 165 µ.χ. ή στους Βαβυλώνιους ακόµη παλιότερα (Katz, p147). Επίσης, από πολύ παλιά συσχετισµοί µεταξύ γωνίας και ύψους προαναγγέλλουν συναρτησιακές έννοιες, όπως εκείνης της εφαπτοµένης (Keisoglou & Spyrou, 2003). Κατά την περίοδο των αρχαίων Ελλήνων, κάνει την εµφάνισή της µια ιδιαίτερη διαχείριση των µαθηµατικών αντικειµένων η οποία θα υπερβεί κατά πολύ εκείνη των απλών υπολογισµών και θα δώσει ουσιαστικά προοπτική στην απόδειξη και την ακρίβεια που θα κάνουν τα Μαθηµατικά επιστήµη. Η ιδέα του λόγου, που έγινε βασικό διανοητικό εργαλείο της διαλεκτικής και της Γεωµετρίας είναι γνωστό ότι δεν παρέπεµπε άµεσα στην µέτρηση,

2 2 Szabo (1973), Mueler (1981) αλλά απετέλεσε ένα εργαλείο προς σύγκριση απαραίτητο στις αποδείξεις. Οπωσδήποτε, η σχέση διαµέτρου και περιφέρειας ή εµβαδόν κύκλου αποτελούν πρώιµες µορφές συναρτησιακού συσχετισµού (functionality), αλλά ένας τέτοιος συνθετικός ορισµός δεν στάθηκε σε εκείνη την εποχή αναγκαίος (Boyer, 1949). Η νεοτερικότητα, από τον Όρεσµο ως τον Γαλιλαίο (Boyer 1949, Katz 1993, Koyré (1994)), θα µετατοπιστεί σε ένα άλλο επίπεδο αφαίρεσης που θα προκύψει µε την µετατροπή του λόγου σε ratio, δηλαδή σε υπολογιστική σχέση µε αριθµητικό αποτέλεσµα, καθόσον η αναγέννηση βλέπει τις φυσικές οντότητες ως res extensa (µεγέθη εκτατά και µετρούµενα). Ο ορθολογισµός των αρχαίων θα µετατραπεί σε ρασιοναλισµό. Εξάλλου, η νεοτερικότητα διαθέτει ένα τέλειο αριθµητικό σύστηµα και σκέφτεται µε έννοιες ακόµη πιο αφηρηµένες, κάτι που θα έχει ως αποτέλεσµα να φτάσει στην Άλγεβρα, Klein (1992, 1998). Επίσης, ξεπερνώντας τα επιστηµολογικά εµπόδια των αρχαίων βάζει την διάσταση του χρόνου, ως οµογενές µέγεθος, στις µετρήσεις και αρχίζει να κάνει µαθηµατική κινητική Koyré (1994). Η µαθηµατική µελέτη της κίνησης αποτελεί καθαυτό επίτευγµα της Αναγέννησης και είναι εκείνη που θα οδηγήσει στις δυναµικές ιδέες του Απειροστικού Λογισµού, όπως της παραγώγου και του διαφορικού, οπότε και αναπόφευκτα θα προκύψει η ανάγκη νέων µαθηµατικών εργαλείων (Boyer 1949). Στα µαθηµατικά χειριζόµαστε σχέσεις εν γένει, όπως στην αναλυτική γεωµετρία έχουµε σχέσεις του τύπου του κύκλου, της έλλειψης ή στην άλγεβρα σχέσεις ισοδυναµίας ή διάταξης. Ωστόσο, η ανάγκη υπολογισµών και ιδιαίτερα στα πλαίσια της Ανάλυσης (Βασάκος, 1995) είναι εκείνη που οδήγησε στην ιδέα χειρισµού της ειδικής κατηγορίας των µονοσηµάντων σχέσεων, γεγονός που θα γίνει τελικά αποδεκτό στον τελικό ορισµό της συνάρτησης. ιάφορες επεξεργασίες, που θα διαρκέσουν τρεις και πλέον αιώνες µετά την Αναγέννηση και προσιδιάζουν στην ιδέα της συνάρτησης, θα κάνουν την εµφάνισή τους. Από τον ορισµό του Bernoulli 1718 ως η ποσότητα που συντίθεται µε οποιοδήποτε τρόπο από µια µεταβλητή και σταθερών περνάµε στον ορισµό του Euler 1747 Συνάρτηση µιας µεταβλητής ποσότητας είναι µια αναλυτική έκφραση που συνθέτει µε οποιοδήποτε τρόπο µια

3 3 µεταβλητή ποσότητα και αριθµούς ή σταθερές ποσότητες (Katz, 512). Θα πρέπει να παρατηρήσουµε εδώ την ιδέα της µεταβλητής που είναι εµφανής, όπου την εποχή του εκείνη, η µεταβλητή ή η σταθερά δεν είναι παρά εκτατά συνήθως γεωµετρικά µεγέθη κατά την µελέτη καµπύλων (τετµηµένες, τεταγµένες κ.λ.π.) (Euler, σελ. 2) στις οποίες αναφερόταν τα σύµβολα και φαινόταν ως συγκεκριµένες πραγµατικές οντότητες. Όµως αυτή η αντίληψη, η αναφορά των γραµµάτων σε αντικείµενα που θεωρούντο πραγµατικά, όπως παρατηρεί ο Βασάκος (1995) δεν πρέπει να άρεσε στον Euler και προσπάθησε το 1775 να διατυπώσει ένα ορισµό πιο αφηρηµένο Μια ποσότητα θα ονοµαζόταν συνάρτηση µόνο όταν εξαρτιόταν από µια άλλη ποσότητα µε έναν τέτοιο τρόπο ώστε, εάν η τελευταία ποσότητα αλλάζει η πρώτη ποσότητα να υφίσταται αλλαγή από µόνη της (Katz σελ. 515). (Στον Euler αναλυτική έκφραση σηµαίνει µαθηµατικός τύπος. Ο Euler ενώ αναγνώριζε ότι η έκφραση 2 x αποτελεί συνάρτηση αφού οριζόταν µε ένα τύπο δεν θεωρούσε το ίδιο και για την πολυκλαδική συνάρτηση της µορφής x x αν x 0 και x x αν x 0. Επίσης, του αποδίδεται και η χρήση του συµβόλου f από το function. εν πρέπει να µας διαφύγει ότι υπάρχει µια σύνδεση µε αυτό που λέµε λειτουργία ή διαδικασία και την οποία προσπαθούµε αποδώσουµε µε την ιδέα της συνάρτησης, Cassirer (1953)). Οι προκαντιανές αυτές επεξεργασίες αποτελούν επινοήσεις και προσεγγίσεις που κατασκευάζουν και εξελίσσουν οι µαθηµατικοί εργαζόµενοι µέσα στο ίδιο το µαθηµατικό φαινόµενο που αποκαλύπτεται µέσα σε µυριάδες νέες ιδέες, Απειροστικού, Άλγεβρας, τριγωνοµετρικών συναρτήσεων, µηχανικής, αστρονοµίας, ιαφορικής Γεωµετρίας. Αστερισµοί νέων ιδεών και νοητικών συγκροτηµάτων προκαλούν δέος για τον πλούτο των κοµψών συσχετισµών και των συµµετριών που αναδεικνύουν, αλλά αφήνουν ένα ανοικτό µυστήριο να εκτείνεται µεταξύ αυτού που ο Kant ονόµασε a priori συνθετικές κρίσεις και ενέταξε τα µαθηµατικά έναντι εκείνου που ονόµασε a priori αναλυτικές κρίσεις και ενέταξε την λογική, Αναπολιτάνος (1985). Με άλλα λόγια, θα µπορούσαµε να πούµε την διαδικασία του νου µεταξύ της καθαρής εποπτείας του µαθηµατικού µέχρι την ακριβή, λογική, αντικειµενική και ανεξάρτητη από την υποκειµενική εµπειρία αφηρηµένη και τυπική διατύπωση.

4 4 Ο 19 ος αιώνας είναι η εποχή που κυριαρχεί το αίτηµα θεµελίωσης για τα Μαθηµατικά Ρουσόπουλος (1985). Σε αυτό θα συµβάλλουν µεγάλοι µαθηµατικοί της εποχής, όπως οι Langrange, Legendre, Cauchy, Bolzano, Dedekind, Cantor, Weierstrass, Peano, Frege κ.ά. Ο Cauchy, που έδωσε τον µαθηµατικό ορισµό ορίου ακολουθίας, προσπαθεί να ξεπεράσει και τις διαισθητικές δεσµεύσεις της έννοιας της συνάρτησης µε µικρή όµως επιτυχία, Όταν µεταβλητές ποσότητες συνδέονται µεταξύ τους κατά τέτοιο τρόπο ώστε όταν δίνεται η τιµή µιας από αυτές, να µπορούµε να προσδιορίσουµε τις τιµές των άλλων, τότε συνήθως εννοούµε ότι αυτές οι µεταβλητές ποσότητες µπορούν να εκφρασθούν µέσω της µιας από αυτές, και η οποία τότε παίρνει την ονοµασία ανεξάρτητη µεταβλητή. Οι αποµένουσες ποσότητες που εκφράζονται µέσο της ανεξάρτητης µεταβλητής είναι εκείνες που µπορούµε να ονοµάσουµε συναρτήσεις αυτής της µεταβλητής. Πρέπει να σηµειωθεί ότι ο Cauchy έχει ακόµη υπόψη του τις αναλυτικές συναρτήσεις που είναι συνεχείς και διαφορίσιµες. Εκείνο που δεν είναι άµεσα εµφανές σε αυτές τις πρώτες προσεγγίσεις της συνάρτησης, αλλά θα πρέπει να διακριθεί ιδιαίτερα στην προηγούµενη περιγραφή, είναι µια άλλη επιστηµολογική διάσταση που κρύβει. Η συνάρτηση, στην µαθηµατική πρακτική, αποτελεί µια ειδική σχέση που προσφέρεται ιδιαίτερα στους υπολογισµούς. Στην ουσία πρόκειται για την εκτίµηση ενός µεγέθους y η οποία όµως ανάγεται στην εκτίµηση ενός άλλου µεγέθους x µέσο µιας σχέσης που τα συνδέει. Το y έρχεται να αποτελέσει τον στόχο που επιδιώκετε να γνωρίζουµε την τιµή του, σε ένα πλαίσιο διαχείρισης, την στιγµή που το x µας είναι το άµεσα προσπελάσιµο. Με αυτή την οπτική η συνάρτηση προσφέρεται ως διαµεσολαβητικό εργαλείο θα λέγαµε δηλαδή ότι την ιδέα της διαµεσολαβηµένης εκτίµησης ή ακόµη περιγραφής. Ο Fraenkel (1966) εκφράζει χαρακτηριστικά το συγκεκριµένο ζήτηµα ως εξής: Η συνάρτηση T = f (t) που χαρακτηρίζει το θερµογράφο είναι µονότιµη, για κάθε στιγµή t αντιστοιχεί µια κάποια θερµοκρασία. Αν, οποτεδήποτε, ρωτήσουµε σε ποια χρονική τιµή είχαµε µια συγκεκριµένη θερµοκρασία η απάντηση δίδεται από µια συνάρτηση - Η αντίστροφη της συνάρτησης T = f (t) - είναι εν γένει µη µονότιµη καθόσον διαφορετικές χρονικές στιγµές έχουν διαφορετική µπορεί να έχουν την αυτή θερµοκρασία. Η ιδέα του µονότιµου αλλά µη αναπόφευκτα αντιστρεπτού είναι χρήσιµη στην ανάλυση (Fraenkel, σελ. 23).

5 5 Κύριο αίτηµα σε αυτή την προ των συνόλων εποχή είναι η εξάλειψη της έννοιας της µεταβλητής και η αποφυγή της κάθε ειδικής αναφοράς. Προηγείται η µαθηµατική εµπειρία της έρευνας των φυσικών χορδών από τον Euler και αργότερα τον Daniel Bernoulli (Katz, σελ. 524) στις τριγωνοµετρικές σειρές και σε συναρτήσεις και η ανάπτυξη των δυναµοσειρών από τον Lagrange. Επίσης, η µελέτη διαφορικών µερικών εξισώσεων που να εκφράζουν την κίνηση των παλουµένων χορδών, έκανε την ιδέα της συνάρτησης κεντρική µέσα στην ανάλυση (Menheim, 1964, σελ 47). Ο Fourier είχε ως κύριο ενδιαφέρον την µαθηµατική φυσική και ιδιαίτερα την Αναλυτική Θεωρία της Θερµότητας. Τα συµπεράσµατα του είχαν συνέπειες και στους µουσικούς ήχους. Το κύριο συµπέρασµά του αναφέρεται στο ότι κάθε περιοδική συνάρτηση είναι άθροισµα απλών ηµιτονοειδών συναρτήσεων της µορφής Dsin 2 pft (Kline, σελ. 519). Αποτέλεσµα των ερευνών του Fourier ήταν οι αναζήτηση µιας γενίκευσης της έννοιας της συνάρτησης που θα επεκταθεί τελικά από τον Dirichlet (Menheim, σελ. 44). Εκτός των άλλων, συναρτήσεις εντελώς παράδοξες κάνουν την εµφάνισή τους ως εργαλεία των µαθηµατικών στην προσπάθειά να λύσουν όλα και πιο πολύπλοκα προβλήµατα, όπως εκείνη του Dirichlet,: Η τιµή της f (x) είναι ίση µε 1, αν ο x είναι ρητός και 0 αν ο x είναι άρρητος. Τελικά ο Dirichlet 1837 θα καταλήξει σε µια πιο γενική διατύπωση: Η µεταβλητή y είναι συνάρτηση της µεταβλητής x η οποία ορίζεται στο διάστηµα a <x <b, αν σε κάθε τιµή της µεταβλητής x από αυτό το διάστηµα αντιστοιχεί µια µόνη τιµή της µεταβλητής y, ανεξάρτητα από τη µορφή της αντιστοιχίας (Davis & Herch, σελ. 257, 1981). Κατά αρχή, στον ορισµό αυτό εµφανίζεται ξεκάθαρα το µονοσήµαντο της τιµής y. Ακόµη, αν και διατηρείται ο όρος µεταβλητή ενέχει πλέον θέσει νοητής επιλογής ενός στοιχείου του συνόλου των πραγµατικών αριθµών a <x <b και είναι πλέον ανεξάρτητη από την εµµονή σε µια εποπτική είτε χρονική διάσταση, (Frege, σελ. 1974, Ρουσόπουλος, σελ. 211). Ο Frege στο Was ist eine Funkion? δείχνει πόσο αµφίβολος είναι ο όρος της µεταβλητής, καθώς υπονοεί τον χρόνο, κάτι που δεν έχει να κάνει µε την Ανάλυση και επικαλείται τις λογικές ασάφειες που προκύπτουν στην έννοια της συνάρτησης ώστε ν αναζητήσει ένα

6 6 άλλο τρόπο διατύπωσης των µαθηµατικών δηλώσεων. Τις παρατηρήσεις του θα ακολουθήσει η δουλειά του που ονόµασε εννοιογραφία και αποτελεί την έναρξη της σχολής των Λογικιστών που θα συνεχίσει ο Russell, (Kneebone, 1962, Ρουσόπουλος 1995). Το παλιό αίτηµα του άχρονου (Bergson, 1954) πραγµατικού όντος, που δροµολόγησαν στην ιστορία του πνεύµατος ο Παρµενίδης και ο Πλάτων, επανέρχεται ως η λογική δέσµευση που εξασφαλίζει την αντικειµενικότητα του νοήµατος όπως απαιτήθηκε από τον Frege, τον Russell, τον Hilbert ή ακόµη τον Husserl, (Ρουσόπουλος 1991, Hilbert 1995, Husserl 1985). Το 1887 είναι µια εποχή όπου το ζήτηµα της λογικής θεµελίωσης είναι ακόµη πιο ώριµο. Η θεωρία των συνόλων έχει ήδη δώσει σηµαντικά εργαλεία για την αναζήτηση λογικής ενότητας της µαθηµατικής σκέψης, ενώ ο ίδιος ο Dedeking έχει ήδη θεµελιώσει την ιδέα του γεωµετρικού συνεχούς µε τις οµώνυµες τοµές του. Έτσι, θα εκφράσει και τον ορισµό της απεικόνισης αλλά µε εργαλεία που αγγίζουν πλέον τις σύγχρονες µαθηµατικές απαιτήσεις: Με την απεικόνιση ενός συστήµατος S ένας κανόνας γίνεται αντιληπτός όταν σύµφωνα µε αυτόν σε κάθε στοιχείο s του S αντιστοιχίζεται ένα µοναδικό αντικείµενο το οποίο ονοµάζεται εικόνα του s και συµβολίζεται φ(s). Θα λέµε επίσης ότι το φ(s) αντιστοιχεί στο στοιχείο s και ότι το φ(s) δηµιουργείται από την απεικόνιση φ µέσο του στοιχείου s. Αυτό το s µετασχηµατίζεται από την απεικόνιση φ σε φ(s). Θα ακολουθήσουν τα παραδείγµατα συναρτήσεων του είδους της καµπύλης του Peano (συνεχής συνάρτηση µε πεδίο τιµών το [0,1] υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών που έχει ως τιµή ένα τετράγωνο) ή εκείνη του Weierstrass, (συνάρτηση παντού συνεχής αλλά πουθενά παραγωγίσιµη, (Menheim, σελ. 72, Boyer 1944) καθώς επίσης και ο εψιλοντικός ορισµός του τελευταίου της συνεχούς συνάρτησης διαµορφώνοντας το περιβάλλον της σύγχρονης επίγνωσης για το είδος των νοητών αντικείµενων τα οποία µιλούµε. Η συνάρτηση θα καταστεί έτσι το βασικό εργαλείο στο σύνολο των σύγχρονων µαθηµατικών.

7 7 Τέλος, ο σύγχρονος ορισµός της συνάρτησης διαµορφώνεται µετά τον Hausdorff (1914), ο οποίος δίνει τον ορισµό του διατεταγµένου ζεύγους. Αργότερα ο Kuratowski δίνει ένα πιο αυστηρό ορισµό του διατεταγµένου ζεύγους απαλλάσοντας τον από την οποια χρονική διάταξη του πρώτου στοιχείου από το δεύτερο [( a, b) { a,{ a, b}}]. Σηµερινός ορισµός που γράφεται στα βιβλία π.χ Stewart & Tall (1977), είναι της µορφής: Έστω δυο τυχαία σύνολα X και Y. Ονοµάζουµε συνάρτηση υποσύνολο f, του XxY τέτοιο ώστε (F 1 ) Αν x X υπάρχει y Y τέτοιο ώστε ( x, y) f. f : X Y είναι ένα (F 2 ) Το σηµείο y είναι µοναδικό: Με άλλα λόγια, αν x X και y, z Y είναι τέτοια ώστε αν ( x, y) f και ( x, z) f, έπεται ότι y = z. Ακόµη, έχει ενδιαφέρον να αναφέρουµε ένα παρόµοιο ορισµό που ωστόσο κινείται σε µια ακόµη πιο τυπική διατύπωση επιρρεασµένη από τις λογικές απόψεις και διατυπώσεις του Russell (Whitehead & Russell, 1962) ο Kuratowski (1961, 47), γράφει:. Έστω X και Y είναι δυο σύνολα. Με τον όρο συνάρτηση (function) οποίας οι µεταβλητές (arguments) διατρέχουν τα σύνολα X, πεδίο τιµών (domain), και τις οποίας οι τιµές (values) ανήκουν στο πεδίο τιµών καρτεσιανού γινοµένου XxY µε την ιδιότητα ότι για κάθε y τέτοιο ώστε Y (range) καταλαβαίνουµε ένα υποσύνολο f του x X υπάρχει ένα και µόνο ένα < x, y > f. Συνήθως γράφουµε y = f (x) αντί του < x, y > f. Κατά συνέπεια, µπορούµε να πούµε εν συντοµία τα εξής: Η συνάρτηση ως τυπική µαθηµατική έννοια αποτελεί µια νοητική κατασκευή που ολοκληρώθηκε σχετικώς πρόσφατα µέσα στη επιστήµη. Πρόκειται για µια σύνοψη και ενοποίηση πολλών εν πρώτοις διαφορετικών εµπειριών και νοητικών εργαλείων που µαθηµατικοί και επιστήµονες εν γένει χρησιµοποίησαν για να λύσουν προβλήµατα και να συγκροτήσουν θεωρίες. Η λιτότητα του σηµερινού συνολοθεωρητικού ορισµού, όπως τον ξέρουµε, δεν αποτελεί για τους µαθητές απλά ένα ξυράφι του Ochkam αλλά την έρηµη ψυχρή κορυφή

8 8 ενός παγόβουνου που κρύβει βαθιά την ιστορική πρακτική και εµπειρία που την διαµόρφωσε. 2. ΤΟ ΖΗΤΗΜΑ ΤΗΣ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Εξαιτίας ακριβώς αυτής της ιστορικής συµπύκνωσης, που περιγράψαµε παραπάνω (Boyer 1944, Βασάκος 1995, Katz 1991) η έννοια της συνάρτησης είναι τόσο αφηρηµένη ώστε να παρουσιάζει πολλές δυσκολίες για την διδακτική της µεταφορά, (παρόλη την απλότητα και την σαφήνεια του ορισµού της για τα κριτήρια ενός µαθηµατικού). Στα διδακτικά εγχειρίδια παρεισφρύουν κατά συγκεχυµένο τρόπο οι διάφορες επιστηµολογικές προσεγγίσεις που οδήγησαν στο νόηµα της συνάρτησης, µέσα στην µακρόχρονη ιστορική της εξέλιξη. Η πολυπλοκότητα, αυτής της διδακτικής µεταφοράς, έχει απασχολήσει ιδιαίτερα τους ενασχολούµενους µε την διδακτική των σχολικών (και όχι µόνο) Μαθηµατικών και έχει συντελέσει στην εµφάνιση στη διεθνή βιβλιογραφία σε µια πολυδιάστατη µελέτη της έννοιας Freudenthal (1983), Dubinsky & Harel (1992), Sierpinska (1992), Kalchman & Case, (1998), Βασάκος (1995), Ασβεστά & Γαγάτσης (1995), Gagatsis & Christou (2000). Θα επιχειρήσουµε να περιγράψουµε κάποιους προβληµατισµούς και προτάσεις που µας φαίνονται να έχουν µεγαλύτερο ενδιαφέρον. Οι ερευνητές συνήθως αναζητούν τα επιστηµολογικά εµπόδια, όπως αυτά µπορούν να προβλεφθούν από την ιστορική µελέτη της έννοιας και επιπλέον προτείνουν µεθόδους διδασκαλίας που έχουν σα στόχο να ξεπεραστούν τα εµπόδια αυτά, Sierpinska (1992). Μια άλλη αντιµετώπιση είναι εκείνη του Freudenthal (1983) που ασχολείται κυρίως µε τις βιωµένες εµφανίσεις της έννοιας µέσω γλωσσικών µεταφορών, πρακτικών, φυσικών εµπειριών και εφαρµογών. Είναι προφανές ότι σε τέτοιους σχεδιασµούς για µια ενδεχόµενη διδακτική µεταφορά δεν πρέπει να αγνοηθεί το ότι µέσα στο πλαίσιο της γνωστικής ψυχολογίας και ιδιαίτερα από τον ίδιο Piaget, έχουν γίνει προσπάθειες για την αναγωγή σε σωµατικές κιναισθητικές εµπειρίες που προκύπτουν δια µέσου των δράσεων των υποκειµένων και θα µπορούσαν να αποτελέσουν το βιωµατικό υπόστρωµα, ώστε να γίνει κατανοητή µια τέτοια έννοια.

9 9 Στην περίπτωση της συνάρτησης, ο Piaget είχε διαθέσει µια εκτεταµένη έρευνα στο τέλος της καριέρας του (Piaget and al. (1968), Davidson 1988, 1992, Chapman M. & Lindenberger (1988) Kalchman & Case, 1998). Ο Piaget θεωρούσε ότι οι αρχικές καταβολές της έννοιας προηγούνται της λειτουργικής περιόδου των 7 ετών. Στις έρευνες του αναζητά τα πρωταρχικά βιώµατα που αντιστοιχούν σε συσχετισµούς του τύπου έναένα ή πολλά-ένα. Π.χ όσο δυνατότερα σπρώξω την µπάλα τόσο µακρύτερα θα πάει (Davidson 1988). Επίσης, εµπειρίες που έχουν την µορφή πολλά-ένα Davidson (1992), καθόσον ένα επιδιωκόµενο αποτέλεσµα, π.χ. η προσέγγιση ενός αντικειµένου, µπορεί να επιτευχθεί µε πολλούς τρόπους άσκησης µιας δράσης. Ενδείξεις των Watson and al (2002), στην µελέτη της κατανόησης των διανυσµάτων αναφέρουν τον όρο effect, µε τον οποίο οι µαθητές δηλώνουν την κατάληξη στο αυτό αποτέλεσµα από διαφορετικές εναλλακτικές δράσεις (βλέπε επίσης Chapman & Lindenberer, 1988). Τα παιδιά στο σχολείο έχουν νοητικές εµπειρίες του πολλά - ένα, δηλαδή του ίδιου effect από πολύ νωρίς, όταν π.χ. καταλαβαίνουν ότι πολλά διαφορετικά κλάσµατα µπορούν να καταλήξουν στο αυτό ανάγωγο κλάσµα, το οποίο τελικά προκύπτει, µετά τις απλοποιήσεις. Σε αυτό το πλαίσιο κινείται και ο Freudenthal (1983) ο οποίος επικρίνοντας τον Piaget (σελ. 540) για το περιορισµένο και ασαφές της πρότασής του µε βάση την γενετική ψυχολογία, προσεγγίζει την βιωµατικότητα µε την φαινοµενολογική µέθοδο που ενδεχοµένος είναι και πλέον αποδοτική. H φαινοµενολογική προσέγγιση έχει ένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον σήµερα που είναι επίκαιρη η συζήτηση για τα ενσώµατα µαθηµατικά * (embodied mathematics) από τις αναφορές άλλωστε των προτεργατών, Núñez & al. (1999), Varela and al. (1992). Είναι γενικά παραδεκτό ότι η διδασκαλία των Μαθηµατικών στο σχολείο γίνεται σε µεγάλο βαθµό ξεκοµµένη από τις εµπειρίες των παιδιών µε αποτέλεσµα οι έννοιες να µην βρίσκουν κάποιο προηγούµενο εννοιολογικό υπόστρωµα για να στηριχθούν. Συχνά, οι καλούµενες εφαρµογές από την φυσική, την οικονοµία ή άλλες επιστήµες προϋποθέτουν µια άλλη επιστηµονική γνώση που κι εκείνη µε την σειρά της προϋποθέτει τα µαθηµατικά για να γίνει κατανοητή. Εκτός των άλλων, πραγµατιστικές αναφορές είναι και εξεζητηµένες, αφού όπως αναφέρει ο Γαγάτσης καµιά νοικοκυρά δεν στήνει κάποια

10 10 συνάρτηση για να ψωνίσει. Την ίδια στιγµή, αυτό που γίνεται πολύ λίγο είναι η αξιοποίηση των άµεσων βιωµατικών και αδιαµεσολάβητων εµπειριών που προέρχονται από την επαφή µας µε το φυσικό περιβάλλον, την αίσθηση της βαρύτητας, την πρόσληψη της συµµετρίας, της οµοιότητας ή της σταθερότητας των µορφών. Lappas & Spyrou (2003), Watson & al (2002), Núñez & al. (1999), Lakoff & Núñez (2000). Ο Freudenthal επιδιώκει µε την φαινοµενολογική του µέθοδο στην αξιοποίηση της εµπειρίας κατά την πορεία του χουσερλιανού αιτήµατος δηλ. την πορεία υποκειµενικής κατασκευής του αντικειµενικού νοήµατος. Σε αυτή την κατεύθυνση συνάδει και όλο το κατασκευαστικό ρεύµα το οποίο καλύπτουµε µε την οµπρέλα κονστρουκτιβισµός. Σε ότι αφορά στην συνάρτηση, ο Freudenthal συζητά αρχικά το φλέγον ζήτηµα της µεταβλητής περίπου ως εξής: Αρχικά µεταβλητή σήµαινε κάτι που πράγµατι αλλάζει, κάτι στον φυσικό, κοινωνικό, πνευµατικό αλλά επίσης µαθηµατικό κόσµο που τον αντιλαµβανόµαστε, φανταζόµαστε και υποθέτουµε ως µεταβαλλόµενο στον χρόνο. Επίσης, µεταβλητά µαθηµατικά αντικείµενα, δηλαδή εκφράσεις όπως, i) ο αριθµός ε προσεγγίζει (συγκλίνει προς) το 0 ii) το σηµείο P διατρέχει την επιφάνεια S iii) το στοιχείο x διατρέχει το σύνολο S iv) ο αριθµός e 1 προσεγγίζεται από την ακολουθία n 1 +, αν ο n πηγαίνει τείνει στο άπειρο, µαρτυρούν την κινητική άποψη της µεταβλητής. Είναι αλήθεια, παρατηρεί ο Freudenthal αναφερόµενος σε συζητήσεις για τις οποίες κάναµε λόγω νωρίτερα, ότι στην πορεία του πρώτου µισού 20ου αιώνα τέτοιες εκφράσεις είχαν τεθεί εκτός νόµου από τους νεολογικιστές. Πράγµατι µπορεί να γραφεί xn συγκλίνει στο 0 lim = 0 n x n n

11 11 και να ορισθεί µε όχι κινητικό τρόπο ως για κάθε ε > 0 υπάρχει ένα n 0 τέτοιο ώστε xn < ε για n > n0. Επίσης το iii) µπορεί να γραφτεί ως x S Κάνοντας αυτές τις επιστηµολογικές διακρίσεις ο Freudenthal, υπογραµίζει την επίγνωση που πρέπει να χαρακτηρίζει την διδασκαλία από το κινητικό µιας έννοιας στο στατικό. Ακόµη παραπέρα, επικαλείται τις βιωµένες έννοιες της ιδέας της εξάρτησης στον περιβάλλοντα κόσµο, κοινωνικό, φυσικό, πνευµατικό. Οι εξαρτήσεις µπορούν να γίνουν αντικειµενικές, (εδώ κάνει χρήση του χουσερλιανού νοήµατος του αντικειµενικού), δηλαδή να παρουσιαστούν ως νοητά αντικείµενα ( να θεµατοποιηθούν ως νοητά όντα). Μια τέτοια εξάρτηση µπορεί να είναι, ιανοητικά βιωµένη, προερχόµενη από χρήση, προϊόν της συνείδησης, βιωµένη ως αντικείµενο, ονοµατιζόµενη ως αντικείµενο. Π.χ. Σχέση διάταξης χρονική ή χωρική. Ένα σώµα πέφτει, η σχέση χρόνου και θέσης του σώµατος. υο ελαστικά σώµατα συγκρούονται. Η εξάρτηση µεταξύ ζευγών διανυσµάτικών µεγεθών των ταχυτήτων. Εξαρτήσεις από τον χρόνο, κίνηση, ανάπτυξη, σχάση, ροπή. Σχέσης µεταξύ αγγίγµατος ενός πλήκτρου στο πιάνο ή στην γραφοµηχανή. Μεταξύ στροφής ενός διακόπτη και ηλεκτρικού αποτελέσµατος. Οι συναρτήσεις, για τον Freudenthal µπορεί να δοθούν µε τύπο, µε γραφική παράσταση, πίνακα τιµών ή λεκτική. Η λεκτική διατύπωση είναι συχνά η µόνη δυνατή, όπως για παράδειγµα η συνάρτηση του Dirichlet που αναφέραµε προηγουµένως. Η Sierpinska (1992) προτείνει µε την σειρά της ένα καλό υπόδειγµα προσέγγισης, αφού προϋποθέτει ότι για την κατανόηση µιας έννοιας είναι αναγκαία µια προκατανόηση και ο σχηµατισµός προεννοιών. Πρότεινε παραπέρα διαβαθµίσεις κατανόησης, όπου στην συγκεκριµένη περίπτωση λειτουργούν τα τέσσερα νοητικά ενεργήµατα που θα ήταν απαραίτητα να οδηγήσουν στην αφηρηµένη ιδέα της συνάρτησης, ενοποιώντας τις διάσπαρτες δυνατές εµφανίσεις της στην διδασκαλία των µαθηµατικών. Αυτά είναι:

12 12 1) Αναγνώριση, (κάτι που ήταν µακρινό, ξαφνικά εµφανίζεται ως κυρίαρχο αντικείµενο της εικόνας, αναδεικνύεται θεµατοποιηµένο από τον νου). 2) ιάκριση, σε σχέση µε τα αντικείµενα µιας άλλης κατηγορίας. 3) Γενίκευση, που οδηγεί στην επίγνωση της δυνατότητας να το επεκτείνουµε σε ένα πλαίσιο εφαρµογών. 4) Σύνθεση ανάµεσα σε αποµονωµένα γεγονότα που αίφνης οργανώντονται σε συνεπείς ολότητες. Στη συνέχεια η Sierpinska αναζητά τα διάφορα εµπόδια που εµφανίζουν οι µαθητές στην διδασκαλία και τα συσχετίζει µε την ιστορική ή την διδακτική εξέλιξη της έννοιας προτείνοντας µια διδακτική πορεία που θα έχει επίγνωση αυτών των εµποδίων και θα υπογραµµίζει το ξεπέρασµά τους. Η τεχνική αυτή θυµίζει την πορεία προς την γενίκευση µέσω αντιπαραδειγµάτων που προτείνει ο Lakatos I. (1996). Η πορεία αυτή θα εµφανίσει στο τέλος το µαθηµατικό ορισµό της έννοιας αφού έχει διδάξει όλες τις επί µέρους δυνατές εµφανίσεις του µέσα στην εµπειρία των µαθητών. Οι µαθητές ενίοτε, παγιδεύονται σε µια σειρά εµπόδια που αποτελούν γενικεύσεις των αποσπασµατικών σχολικών εµπειριών ή µεταφορών γλωσσικών συνειρµών, που προσλαµβάνονται κατά κυριολεξία, όπως για παράδειγµα την αναζήτηση µιας χρονικής µεταβλητής πίσω από τους όρους της ανεξάρτητης ή της εξαρτηµένης µεταβλητής. Αυτό αποτέλεσε ένα ισχυρό επιστηµολογικό εµπόδιο, όπως είδαµε στις ιστορικές µας αναφορές, καθώς η µελέτη κίνησης στάθηκε αποφασιστικός παράγων στην ανάδειξη της έννοιας. Έτσι, συναντούµε γενικά διαισθητικά σχήµατα ως αποκρυσταλλώσεις παρεξηγήσεων που αποκτούν ανθεκτικότητα και επιβιώνουν της διδασκαλίας που δεν έχει επίγνωση των παρεκκλίσεων αυτού ή του άλλου είδους. Θα µπορούσαµε να πούµε, ότι η διδασκαλία δεν µπορεί και δεν πρέπει να είναι καθοδήγηση εν λεοφόρω αλλά περιγραφή διεξόδου εν µέσω γλιστερών ατραπών. Τα εκπαιδευτικά προγράµµατα ακολουθούν διάφορους δρόµους αποκαλύπτοντας στα παιδιά κοµµάτια ενός παζλ που συγκροτούν ένα αόριστο συνοθήλευµα αποσπασµατικών

13 13 πληροφοριών, τυφλών αποµνηµονεύσεων, διάσπαρτων συνιστωσών που ενδεχοµένως ενοποιούνται σε πανεπιστηµιακό επίπεδο σπουδών που έχουν να κάνουν µε τις θετικές επιστήµες. Τύποι, γραφήµατα, διαγράµµατα, προφορική περιγραφή σχέσεων, ένα αόριστο σχήµα συνειρµών, όπως παρατηρεί κι η Sierpinska (1992). Ας δούµε µερικά από αυτά τα εµπόδια που διακρίνει η Sierpinska. Το ασυνείδητο σχήµα σκέψης που αναφέρεται στις αλλαγές του κόσµου ως φαινόµενα και χωρίς να επικεντρώνεται στο πως τα πράγµατα αλλάζουν, παραγνωρίζοντας το τι αλλάζει, δηλαδή τις παραµέτρους της αλλαγής. Μια τέτοια στάση βλέπει κατά ποιοτικό τροπο τον κόσµο και δεν στέκεται στις ποσοτικές σχέσεις. Η σκέψη που κατά πρωταρχικό τρόπο αναπτύσσεται στην άλγεβρα και αφορά στον χωρισµό σε σταθερές και άγνωστες ποσότητες οδηγεί συχνά στην ιδέα της εξίσωσης και όχι στην συνάρτηση. Συµµετρία µεταξύ των x και y. Στην εξίσωση της έλλειψης ή του κύκλου έχουµε τις σχέσεις των x και y οι οποίες εµφανίζονται κατά ένα ισοδύναµο και συµετρικό τρόπο. ηλαδή, δεν έχουµε να κάνουµε µε ανεξάρτητη και εξαρτηµένη µεταβλητή και η σειρά τους είναι αδιάφορη. Ο χειρισµός συµβόλων στην άλγεβρα είναι συχνά αδιαφοροποιητος στο αν λύνω µια εξίσωση για x ή για y, ακόµη δε για σταθερές ή µεταβλητές. Σύγχυση µεταξύ συνάρτησης και σχέσης. Η διάκριση µεταξύ της χρήσης του αριθµού και της ποσότητας. Αυτό εν γένει ωφείλεται από µια περιοριµένη κατανόηση του συνόλου των πραγµατικών αριθµών. Η εντύπωση ότι οι συναρτήσεις πρέπει να δίδονται µε ένα αναλυτικό τύπο. Πρόβληµα µεταξύ των διαφορετικών αναπαραστάσεων µιας συνάρτησης, συµβολική, γραφική, µε πίνακα τιµών κλπ. Η χρονικότητα της µεταβλητής που αναφέραµε παραπάνω. Άλλα εµπόδια όπως η εύκολη εντύπωση της συνάρτησης ως 1-1 και δυσκολία της κατανόησης του πολλά ένα. Οι εργασίες που αναφέρονται στην συνάρτηση προτείνουν εναλλακτικές διδασκαλίες όπως η επιφύλαξη του Βασάκου για την αποτελεσµατικότητα του συνολοθεωρητικού

14 14 ορισµού στην µέση εκπαίδευση. Ωστόσο, εκείνο που πρέπει να επισηµάνουµε είναι ότι όλες αυτές οι απόψεις κατά βάθος έχουν υπόψη τους το παράδειγµα της οµάδας εκείνων των µαθητών, που από επιλογή τους έχει εξασφαλιστεί η εµπλοκή τους σε αυτό τον προβληµατισµό. Τι γίνεται όµως µε τον εν γένει µαθητικό πληθυσµό, αν τον προσεγγίσουµε µε στοιχεία από την κοινωνική ψυχολογία. Είναι γενικά αποδεκτό ότι η διδασκαλία µέσα στην σύγχυση των εκπαιδευτικών στόχων που την καθορίζουν, περιορίζεται να εφοδιάσει τους µαθητές νοητικά εργαλεία για τα οποία δεν είναι καθόλου προφανής η αναγκαιότητά τους, τόσο για διδάσκοντες όσο και διδασκόµενους. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα, ενότητες που δεν είναι απαραίτητες για την εισαγωγή στα ανώτερα εκπαιδευτικά ιδρύµατα, να υποτιµούνται και να µην συγκεντρώνουν την ανάλογη προσοχή. Είναι γνωστό επίσης, ότι µαθητές που στοχεύουν σε θεωρητικές σχολές ή οποίες δεν οδηγούν σε θετικές επιστήµες βλέπουν τα µαθηµατικά ως ένα δευτερεύον αντικείµενο. Έτσι, οι πανεπιστηµιακοί που διδάσκουν σε φοιτητές µη αυστηρά θετικών κατευθύνσεων έρχονται αντιµέτωποι µ ένα άλλο ιδιόρρυθµο καθήκον να αναπληρώσουν την έλλειψη αυτού του εκπαιδευτικού στόχου και να αναζητήσουν τρόπους συγκρότησης µιας µαθηµατικής παιδείας σε ένα υπόστρωµα εν µέρει αποτρεπτικό και συχνά σοβαρά ελλιπές. Το θέµα τη διδασκαλίας µαθηµατικών αντικειµένων σε φοιτητές του ΕΠΑ είναι ένα ανοικτό ζήτηµα και ίσως λίγο µελετηµένο. Αναπόφευκτα, έχει να κάνει µε το τι και το πώς πρέπει να διδάξουµε σε µια οµάδα φοιτητών, που η εκπαίδευσή τους είναι πολύµορφη και δεν εξαντλείται µέσα στο αντικείµενο των µαθηµατικών ή των εφαρµογών τους. Ο µελλοντικός δάσκαλος θα χρησιµοποιήσει ένα πολύ µικρό µέρος των πραγµατικών µαθηµατικών, αφού θα διδάξει σε τάξεις του δηµοτικού τις βασικές µαθηµατικές πράξεις και έννοιες. Η όποια πλέον αφηρηµένη περιοχή των µαθηµατικών φαντάζει στο φοιτητή ως πολυτέλεια και προκαλεί πολλά ερωτήµατα. Πολλοί από αυτούς τους φοιτητές έρχονται από τµήµατα θεωρητικoύ Λυκείου και έχουν µικρή πείρα κι ίσως ενδιαφέρον για µαθηµατικές έννοιες, όπως επίσης µειωµένη αυτοπεποίθηση για τις ικανότητές τους σε αυτά, που πρέπει να ενισχυθεί! Είναι βασικό να απαντηθούν ορισµένα ερωτήµατα που δυσκολεύουν την επικοινωνία και την διδασκαλία των καθηγητών που διδάσκουν µαθηµατικά σε τέτοια Τµήµατα. Η κάθε συζήτηση έχει υπόρρητες παραµέτρους που εξασφαλίζουν την επιτυχία της. Η έχει αδήλωτες προϋποθέσεις που αφορούν στην αναγκαιότητά της τους λόγους και τις αξίες που το προς διαπραγµάτευση µήνυµα καθίσταται έγκυρο. Ο φοιτητής πρέπει να ξέρει γιατί του διδάσκεται ή εν λόγω ύλη και πως θα του φανεί χρήσιµη στο επάγγελµά του. Η µέχρι τώρα πρακτική που συναντούµε στα πανεπιστήµια είναι ότι αυτό απαιτεί το πρόγραµµα και ο

15 15 καθηγητής γνωρίζει τι και πως θα το κάνει. ηλαδή, το ήδη υπάρχον διδακτικό συµβόλαιο δεν δίνει της απαντήσεις που χρειάζεται ο φοιτητής για να δικαιολογήσει την ανάγκη να επενδύσει πνευµατικά και να θεµατοποιήσει το αντικείµενο µάθησης και τις δυσκολίες του. Έτσι θα ήθελα να αναφέρουµε κάποιους λόγους, που αφηρηµένα µαθηµατικά αντικείµενα τα οποία µοιάζουν να είναι έξω από τα άµεσα αναγκαία, για τις επαγγελµατικές ανάγκες του δασκάλου, πρέπει να τα διδαχθεί. Το άλλο δε ερώτηµα που προκύπτει αµέσως µετά είναι το πώς θα διδαχθούν αυτά τα αντικείµενα. Θα προσπαθήσουµε να δώσουµε κάποιες απαντήσεις στο πρώτο. Ο δάσκαλος θα διδάξει τις πρώτες βασικές έννοιες που θα στηρίξουν όλη την µετέπειτα µαθηµατική παιδεία του νέου. Είναι γνωστό ότι τα µαθηµατικά που χρησιµοποιούν καθηµερινά όλοι οι ενήλικες, ακόµη και εκείνοι που έχουν ως αντικείµενο εργασίας τα µαθηµατικά είναι τα µαθηµατικά του δηµοτικού, κάνοντας υπολογισµούς που αφορούν τα προβλήµατα της ζωής. Οι ειδικοί σε κάποιο µαθηµατικό αντικείµενο, χειρίζονται ως επί το πλείστον µόνο µια περιορισµένη περιοχή, ενώ σε όλα τα άλλα ζητήµατα κάνουν και αυτοί χρήση των βασικών πράξεων και εννοιών. Το ίδιο µπορούµε να πούµε για όλους τους εκείνους που ασχολούνται µε επιστηµονικούς ή τεχνικούς κλάδους, χρησιµοποιώντας µαθηµατικά. Αυτό σηµαίνει ότι την ορθολογική και µαθηµατικοποιηµένη οργάνωση της κοινωνίας την προετοιµάζει η διδασκαλία των µαθηµατικών στο δηµοτικό. Ένα άλλο ζήτηµα που θα πρέπει να λάβουµε υπόψη είναι ότι αυτή η πρωταρχική εκµάθηση των µαθηµατικών έχει να κάνει µε ένα πλήθος επιστηµολογικών προϋποθέσεων, έτσι όπως το µελέτησε ο Piaget κι η σύγχρονη γνωστική επιστήµη. Σε αυτές τις ηλικίες, θα γίνουν οι πρώτες καταγραφές της µαθηµατικής σκέψης και αφαίρεσης, της µαθηµατικοποίησης των προβληµάτων του φυσικού και κοινωνικού περιβάλλοντος, της αναζήτησης των παραµέτρων που ποσοτικοποιούνται στα προβλήµατα της ζωής, στην κατανόηση των µορφών του κόσµου µέσα από την εκµάθηση των γεωµετρικών αποδόσεων τους και η εν γένει µοντελοποίηση. Ο δάσκαλος για να βοηθήσει αυτές τις διεργασίες πρέπει να είναι ενήµερος για το τι σηµαίνει µαθηµατική σκέψη της οποίας προετοιµάζει τις βάσεις. Πρέπει να διδάσκει δίνοντας προοπτική, κατά τις υποδείξεις του Vigotski, στα επόµενα στάδια υψηλότερων αφαιρέσεων. Οι γνώσεις τις αριθµητικής πρέπει να προετοιµάζουν εκείνες της άλγεβρας, κάτι που σηµαίνει ότι ο δάσκαλος πρέπει να έχει επίγνωση των διαδικασιών αυτής της µετάβασης. Για τον ίδιο στοχαστή, µια έννοια ή µια δοµή σκέψης γίνεται κατανοητή όταν κανείς την δει σε ένα υψηλότερο εννοιολογικό σύστηµα και συχνά καταφεύγει στην σύγκριση αριθµητικής και άλγεβρας. Έτσι είναι αυτονόητο, ότι για να διδάξει κάποιος πρέπει να γνωρίζει πολύ περισσότερα από τα αντικείµενα της διδασκαλίας του! Ας εντοπίσουµε τώρα το συγκεκριµένο ζήτηµα της διδασκαλίας της συνάρτησης, µιας έννοιας που βασική στην µαθηµατική επιστήµη και η οποία επισύρει ένα πλήθος παρεξηγήσεων και δυσκολιών ένεκα του ιδιαίτερα επεξεργασµένου και αφηρηµένου χαρακτήρα της.

16 16 Οι µαθηµατικοί έχουν συνηθίσει από την εκπαίδευσή τους σε ένα εντελώς παραγωγικό τρόπο σκέψης, που παράγει το ειδικό από το γενικό κι αυτό φαίνεται συχνά O Tall & al (2000), αναφέρει ότι η πανεπιστηµιακή εκπαίδευση προχωρά από τους ορισµούς στο αντικείµενα, τα αντικείµενα συγκροτούνται και συγκροτούνται µέσα στους ορισµούς, ενώ στην µέση εκπαίδευση το αντικείµενο εµφανίζεται πρώτα στην εποπτεία και µετά αποδίδεται µε ορισµούς. Με βάση τις παραπάνω διακρίσεις της Sierpinska, µια ενδεχόµενη διδασκαλία της συνάρτησης είναι εκείνη που θα ξεκινά από τις διάφορες δυνατές εµφανίσεις της έννοιας, π.χ. γραφική παράσταση, πίνακες τιµών, λεκτικές είτε συµβολικές µορφές. Θα την διακρίνει από άλλες που συνειρµικά ενδεχοµένως εµπλέκονται στο νου των µαθητών, π.χ σχέσεις που δεν είναι συναρτήσεις, όπως εξίσωση του κύκλου ή την σύγχυση που επικρατεί συχνά σε σχέση µε την έννοια της εξίσωσης, επειδή και εκείνη δίδεται µε τύπο. Στερεότυπες αποδόσεις της έννοιας, π.χ συνέχεια της συνάρτησης, µονοκλαδική. Επίσης, µια παραδοσιακή και από την ιστορία το ξεκαθάρισµα του νοήµατος της µεταβλητής ως χρονικής τοιαύτης. Θα πρέπει να προσθέσουµε κι άλλες στερεότυπες προσκολλήσεις των µαθητών που παρατηρήσαµε κατά την έρευνά µας, όπως οι 1-1 συνάρτηση ως το πλέον διαδεδοµένο παράδειγµα συνάρτησης κι ακόµη η αναµονή των συνεκτικών περιγραµµάτων στην περιγραφή µέσω βέννιων διαγραµµάτων. Τις παραπάνω φάσεις ακολούθησε ο ένας από τους δυο διδάσκοντες, δηλαδή περιέγραψε τις διαφορετικές αναπαραστάσεις συναρτήσεων που κάνουν την εµφάνισή τους στην προηγούµενη εκπαίδευσή τους µαθηµατικών φυσικής, οικονοµικών, ξεκαθάρισε τι από τα επιµέρους χαρακτηριστικά µπορεί να γενικευτεί κατά λανθασµένο τρόπο. ιέταξε τις περιπτώσεις από τις πιο απλές στις πλέον σύνθετες γραµµικές µη γραµµικές και στο τέλος έδωσε τον γενικό συνολοθεωρητικό ορισµό και έδειξε πως εξειδικεύεται στις γνωστές αναπαραστατικές µορφές, σε µια φάση σύνθεσης. Όπως γνωρίζουµε, ο ορισµός έχει προκύψει προσπαθώντας να συµπεριλάβει και να αποδώσει πολύ πιο πολύπλοκες µορφές όπως η συνάρτηση του Weierstrass ή του Dirichlet. Τέτοιες συναρτήσεις δεν θα προκύψουν στις ανάγκες του δασκάλου, κι ακόµη, οι κάποιες ιδιόρυθµες συναρτήσεις που µπορούν να συναντήσουν, αν τους προκύψει να χειριστούν στατιστικές µελέτες, δεν θα είναι ποτέ παθολογικές περιπτώσεις. Ωστόσο, η εκµάθηση ενός τόσο αφηρηµένου ορισµού, που ενοποιεί έστω και τις περιορισµένες περιπτώσεις της ενδεχόµενης εµπειρίας τους, αποτελεί µια σηµαντική

17 17 εξάσκηση στη λητότητα της µαθηµατικής αφαίρεσης και αποτελεί υπόδειγµα της ίδιας της λογικής των µαθηµατικών. Επίσης, η πορεία που προτείνει ο Freudenthal, που η εµπειρία του νοήµατος της µεταβλητής εµφανίζεται τόσο µε τον δυναµικό της χαρακτήρα όσο και τον στατικό και αχρονοποιηµένο, διδάσκει τον φοιτητή µια πολίτιµη επιστηµολογική διάσταση των µαθηµατικών, που θα του φανεί ιδιαίτερα χρήσιµη στις απορίες των µικρών µαθητών, όταν θα τους εγκαθιστά τα πρωτα λογικά νοήµατα διατήρησης. 3. ΑΝΤΙ ΕΠΙΛΟΓΟΥ Όπως φαίνεται, από την επιστηµολογική διάσταση της έννοιας της συνάρτησης, µε τον τρόπο που αυτή αποτυπώθηκε στην σύντοµη ιστορική παρουσίαση, πρόκειται για µια δύσκολη έννοια για την οποία απαιτήθηκαν πολλοί αιώνες συζήτησης, προτάσεων και υπερπήδησης πολύ διαφορετικών εµποδίων ώστε να συγκροτηθεί. Είναι φανερό ότι για πολλούς µαθηµατικούς προηγούµενων αιώνων η έννοια της συνάρτησης δεν εξέφραζε κατ ανάγκη το αυτό µαθηµατικό φαινόµενο. Από την άλλη πλευρά, εξίσου δύσκολη φαίνεται να είναι και η διδακτική µεταφορά της έννοιας, αφού η τελευταία εµπλέκει τρεις διαφορετικές διαστάσεις την επιστηµολογική διάσταση όπως αυτή εκφράστηκε στα µαθηµατικά κείµενα διάφορων µαθηµατικών µέσα στην ιστορία την επιστηµολογία των καθηγητών των µαθηµατικών και τέλος τη διδακτική διάσταση η οποία δεν αφορά µόνο τις γνώσεις των µαθητών, αλλά και τη λειτουργία του εν γένει διδακτικού συστήµατος και τους περιορισµούς τους οποίους βάζει, (δηλαδή αυτό που κατά τον Chevallard (1991) αποτελεί την νοόσφαιρα των µαθηµατικών.) Με βάση τις σύντοµες προηγούµενες παρατηρήσεις, φαίνεται εντελώς φυσικό οι µαθητές της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης οποιασδήποτε χώρας να έχουν προβλήµατα µε την έννοια αυτή. Αυτά τα προβλήµατα δε µπορεί παρά να αποτελούν αντικείµενο πολλών και ξεχωριστών ερευνών. Μια τέτοια ερευνητική πρόταση σε σχέση µε φοιτητές του Τµήµατος Επιστηµών της Αγωγής του Πανεπιστηµίου Κύπρου προτείνεται στο...

18 18 * Ο όρος ενσώµατα µαθηµατικά έχει προταθεί για µετάφραση του embodied mathematics από την Μαριάννα Κονδύλη, αναπληρώτρια καθηγήτρια του Πανεπιστηµίου Πατρών, γλωσσολόγο και τον Κώστα Γαβρά µαθηµατικό. Βιβλιογραφία Αναπολιτάνος. (1985), Εισαγωγή στην Φιλοσοφία των Μαθηµατικών, Αθήνα. Ασβεστά Α. & Γαγάτσης Α. (1995), Προβλήµατα ερµηνείας και η έννοια της συνάρτησης, Στο Α. Γαγάτση (Εκδ.), ιδακτική και Ιστορία των Μαθηµατικών (σσ ), Θεσσαλονίκη: Erasmus ICP-94-G-201/11. Βασάκος Θωµάς, Η έννοια της Συνάρτησης στους µαθητές του Λυκείου και Ενέργειες κατανόησης-εµπόδια που σχετίζονται µε τον ορισµό της συνάρτησης, Στο Α. Γαγάτσης (Εκδ.), ιδακτική των Μαθηµατικών: ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΕΥΝΑ. (σς ), Θεσσλονίκη: ART of TEXT. Bergson H. (1954), Creative Evolution, (translated by A. Mitchell), Macmillan, London, ελληνική µετάφραση, Η δηµιουργός εξέλιξις, εκδόσεις Αναγνωστίδη,. Boyer C. B. (1944), Historical Stages in the Definition of Curves, Mathematical Magazin, t. 19, pp Boyer C. B. (1949), The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover, New York. Cassirer E. (1953), Substance and Function, Dover. Chapman M. & Lindenberger (1988), Functions, Operations, and Decalage in the Development of Transivity, Developmental Psychology, Vol. 24, No 4, pp Chevallard Y. et Josua M. A.(1991), La transposition didactique, editions de la Penseé Sauvage. Davidson P.M. (1988), Piaget s Category-Theoretic Interpretation of Cognitive Development: A Neglected Contribution, Human Development, 31: pp Davidson P.M. (1992), Genevan Contribution Characterizing the Age 4 Transition, Human Development, 35: pp Davis P. J. & Hersh R. (1981), The Mathematical Experience, Birkhäuser, Boston, Ελληνική µετάφραση Αναστασιάδη, εκδόσεις Τροχαλία.

19 19 Dubinky E. & Harel G. (1992), The concept of function. Aspects of epistemology and pedagogy, Mathematical Association of America (MMA). Euler L. (1797), INTRODUCTION A L ANALYSE INFINITÉSIMALE, Ches BARROIS, PARIS. Fraenkel A. A. (1966), Abstract Set Theory, North Holland, Amsterdam. Frege G. (1974) Was ist eine Function? Hubert und Co, Göttingen. Freudenthal H. (1983), Didactical Phenomenology of Mathematical Structures, Reidel P. C. Dordrecht. Gagatsis A. & Christou C. (2000), Investigating Students Understanding of Multiplication and Division by Analysing their Textual Eigen Productions, Scienta Pedagogica Experimentalis XXXVII, 2, pp Hausdorff F. (1962), Set Theory, Chelsea, London. Hilbert D. (1995), Θεµέλια της Γεωµετρίας, Τροχαλία. E. Husserl (1982), Logical Investigations, Rootlege & Kegan Paul, London. Ελληνική µεταφραση Σκουτερόπουλου, εύτερη Λογική Έρευνα, εκδ. Γνώση Kalman M. & Case R. (1988), Scienta Paedagogica Experimentalis, XXXV, 1, 1998, V.J. Katz (1993), A History of Mathematics, Harper Collins College Publishers, New York. Klein J. (1992), A Histoty of Greek Mathematics and the Origin of Algebra, Dover, New York. Klein J. (1981), The World of Physics and The Natural World, St. Johns Review, Vol. Autumn pp Ελληνική µετάφραση, Νεύση 7. (1988) σ Kline M. (1962), Mathematics A Cultural Approach, Addison Wesley, London. Keisoglou S. & Spyrou P. (2003), Processes of mathematization in a learning environment combining devices and computational tools, Rediconti Ricerca Mathematica, 13, p Koyré A, (1943), Galileo and Plato, Journal of History of Ideas, Vol. IV, no 4, p , Ελληνική µετάφραση Κ. Κριµπά, (1994), Γαλιλαίος και Πλάτων, ΝΕΥΣΙΣ, Ι σελ Kuratowski K. (1961), Introduction to Set Theory and Topology, Pergamon Press. Lakatos I. (1976), Proofs and Refutations, Cambridge University Press, Ελληνική Μετάφραση (1996), Αποδείξεις και Ανασκευές, Τροχαλία, Αθήνα. Lakoff G. & Núñez E. R. (2000), Where Mathematics comes from, basic books, New York.

20 20 Lappas D. & Spyrou P. (2003), Embodied Cognition and the Origins of Geometry: A Model Approach of Embodied Mathematics Through Geometric Considerations, (submitted), appeared in front the mathematics, AMS. Menheim H. J. (1964), The Genesis of Point Set Topology, Pergamon Press, London. Mueller I. (1981), Philosophy of Mathematics and deductive structure in Euclid s Elements Cabridge, Massachussets London, MIT. Núñez R. E. & Edwards L. D. & Matos J. F. (1999), Embodied Cognition as Grounding for Situatedness and Context in Mathematics Education, Education Studies in Mathematics 39: Piaget J. & Grize J.B. & Szeminska A. & Bang V. (1977), Epistemology and Psychology of Functions, Dordrect. Ρουσόπουλου Γ. (1991), Επιστηµολογία των Μαθηµατικών, Guttenberg. Stewart I. & Tall D (1977), The Foundations of Mathematics, Oxford U. P. London. Sierpinska A: (1992), On understanding the notion of function, in G. Harel and E. Dubinsky, MAA Notes, Vol. 25. Sfard A. (1992). Operational origins of mathematical objects and the quandary of reifications the case of function. In Guershon Harel & Ed Dubinsky (Eds), The concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy (pp ) Washington, DC: MAA (MAA) Notes 25. Szabo A. (1973), Απαρχαί των Ελληνικών Μαθηµατικών, µετ. Φ. Βασιλείου, ΤΕΕ Αθήναι. Tall D. & Thomas M. & Davis G. & Gray E. & Simpson A. (2000), What is the Object of the Encapsulation of a process? Journal of Mathematical Behavior 18 (2), Varela F. & Thompson E. & Rosch E. (1992), The Embodied Mind, MIT Press, London. Watson A. & Spyrou P. & Tall D. (2002), The relationship between physical embodiment mathematical symbolism: The concept of vector, Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 2, pp Whitehead & Russell (1962), Principia Mathematica, Cambidge.

εννοιολογικές παρανοήσεις και δυσκολίες στην έννοια της συνάρτησης

εννοιολογικές παρανοήσεις και δυσκολίες στην έννοια της συνάρτησης εννοιολογικές παρανοήσεις και δυσκολίες στην έννοια της συνάρτησης ί ί η έννοια της συνάρτησης: παρανοήσεις και δυσκολίες η έννοια της συνάρτησης είναι µια πολύ δύσκολη έννοια πλήθος ερευνών 1973 Freudenthal

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)......

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)...... 4. Βασικά Στοιχεία ιδακτικής της Άλγεβρας µε τη χρήση Ψηφιακών Τεχνολογιών Οι ψηφιακές τεχνολογίες που έχουν µέχρι τώρα αναπτυχθεί για τη διδασκαλία και τη µάθηση εννοιών της Άλγεβρας µπορούν να χωριστούν

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης

ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης (έννοιες, αντιλήψεις, αναπαραστάσεις) οργάνωση περιεχομένου μαθηματικών, εννοιολογικές αντιλήψεις στα μαθηματικά και στους μαθητές Μαρία Καλδρυμίδου θέματα οργάνωση περιεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ

ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Μ. Καλδρυμίδου, Ε. Μορόγλου Π. Τ. Ν. - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων mkaldrim@uoi.gr, manmo@otenet.gr Στην εργασία αυτή επιχειρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΑΙΝΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ FUNCTION PROBE: ένα παιγνίδι πολλαπλών αναπαραστάσεων στα πλαίσια της συνεργατικής µάθησης.

ΜΑΘΑΙΝΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ FUNCTION PROBE: ένα παιγνίδι πολλαπλών αναπαραστάσεων στα πλαίσια της συνεργατικής µάθησης. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχολή Θετικών Επιστηµών Μαθηµατικό Τµήµα Τοµέας ιδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηµατικών ΜΑΘΑΙΝΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ FUNCTION PROBE:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Πέρα όµως από την Γνωσιακή/Εννοιολογική ανάλυση της δοµής και του περιεχοµένου των σχολικών εγχειριδίων των Μαθηµατικών του Δηµοτικού ως προς τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Ιστοσελίδα: Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις

Ιστοσελίδα:  Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Ιστοσελίδα: http://www.astro.auth.gr/~varvogli/ Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: 10.00-12.00 καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Πλανητάριο, 200 σελίδες Ημερολόγιο μαθήματος Μέθοδος διδασκαλίας:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ IV ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Κ. ΧΡΗΣΤΟΥ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ: Μ. ΣΤΡΙΛΙΓΚΑ ΘΕΜΑ: Η ΚΑΛΥΤΕΡΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 2: Προβλήματα σχετικά με τη διδασκαλία του Απειροστικού Λογισμού Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ο Απειροστικός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια 18 ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια χαρακτηριστικά αποδίδουμε σε ένα πρόσωπο το οποίο λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης)

Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης) Πανεπιστήµιο Αιγαίου Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης Μιχάλης Σκουµιός Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης) Παρατήρηση ιδασκαλίας και Μοντέλο Συγγραφής Έκθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΔΟΜΕΣ Δομή Ομάδας Σύνολο Α και μια πράξη η πράξη είναι κλειστή ισχύει η προσεταιριστική ιδότητα υπάρχει ουδέτερο στοιχείο υπάρχει αντίστροφο στοιχείο ισχύει η αντιμεταθετική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ----- Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού

4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού 4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού χωρίς την απόδειξή του. Στόχοι της δραστηριότητας

Διαβάστε περισσότερα

Σύστηµα αν/σης Φυσική γλώσσα Συµβολική γλώσσα Γεωµετρικό σχήµα Αναπ/ση Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΒ ισούται µε την πλευρά ΑΓ και µε την πλευρ

Σύστηµα αν/σης Φυσική γλώσσα Συµβολική γλώσσα Γεωµετρικό σχήµα Αναπ/ση Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΒ ισούται µε την πλευρά ΑΓ και µε την πλευρ Μορφές Εικονικής Αναπαράστασης της Έννοιας του Τριγώνου στα Μαθηµατικά του ηµοτικού Σχολείου Χρυσάνθη Σκουµπουρδή Περίληψη Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να µελετήσει το ρόλο των παραστάσεων του τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟ του Κύπρου Κυπρίδηµου, µαθηµατικού ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Περίληψη Στη δραστηριότητα αυτή οι µαθητές καλούνται να διερευνήσουν το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = αx 2 + βx + γ. Προτείνεται να διδαχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ ΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΧΑΡΤΗΣ ΧΡΗΣΗ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ. β. φιλιππακοπουλου 1

ΕΙ ΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΧΑΡΤΗΣ ΧΡΗΣΗ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ. β. φιλιππακοπουλου 1 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΧΑΡΤΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΧΡΗΣΗ β. φιλιππακοπουλου 1 Αναλυτικό Πρόγραµµα 1. Εισαγωγή: Μια επιστηµονική προσέγγιση στη χαρτογραφική απεικόνιση και το χαρτογραφικό σχέδιο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe

Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe Γιάννης Π. Πλατάρος -1-20/10/2003 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΕΚΦΡΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΙΑΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe Περίληψη: ίνεται στους µαθητές η διαπραγµάτευση ενός προβλήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠOΥΡΓΕIO ΠΑIΔΕIΑΣ ΚΑI ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΔΑΜΙΑΝΟΥ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΣΒΕΡΚΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ Η συγγραφή και η επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Νάκου Αλεξάνδρα Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Ο όρος ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ δημιουργεί μία αίσθηση ασάφειας αφού επιδέχεται πολλές εξηγήσεις. Υπάρχει συνεχής διάλογος και προβληματισμός ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Τι είναι Μαθηματικά; Ποια είναι η αξία τους καθημερινή ζωή ανάπτυξη λογικής σκέψης αισθητική αξία και διανοητική απόλαυση ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου κάποια ερωτήματα τι είναι η άλγεβρα; τι περιλαμβάνει η άλγεβρα; ποια η σχέση της με την αριθμητική; γιατί

Διαβάστε περισσότερα

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Ένα από τα δύο κομβικά ερευνητικά προβλήματα που οι συστηματικές

Διαβάστε περισσότερα

, α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194. α α α α α α α α α «α µα. α α µ «α α µα» α

, α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194. α α α α α α α α α «α µα. α α µ «α α µα» α , α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194 ΠΕΡΙΛΗΨΗ α α α α µα α 04. α α α α α α α α α α «α µα µα» µ µ α µα α α α α µ α α µ «α α µα» α µα α α µ α µ α α α α α

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Clements & Sarama, 2009; Sarama & Clements, 2009 Χωρική αντίληψη και σκέψη Προσανατολισμός στο χώρο Οπτικοποίηση (visualization) Νοερή εικονική αναπαράσταση Νοερή

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.» 1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Η εργασία αυτή αποτελείται από δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος ορίζεται η έννοια των θετικών

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων I. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως της πιθανότητας, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Και οι απαντήσεις τους Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στο «παλιό» και στο «σύγχρονο» μάθημα των Μαθηματικών; Στο μάθημα παλαιού τύπου η γνώση παρουσιάζεται στο μαθητή από τον διδάσκοντα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία Inside the black box για µια επιστήµη του Νου Επιστροφή στο Νου Γνωστική Ψυχολογία / Γνωσιακή Επιστήµη Inside the black box για µια επιστήµη του Νου Επιστροφή στο Νου Γνωστική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΕΣΤ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΕΣΤ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ 1 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΕΣΤ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με τον όρο αξιολόγηση των µαθητών εννοούµε τη συστηµατική διαδικασία προσδιορισµού του βαθµού επίτευξης από τους µαθητές των στόχων που επιδιώκει το σχολείο

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά.

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. Γ. Οι μαθητές και τα Μαθηματικά. Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. ΠΙΝΑΚΑΣ 55 Στάση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 5: Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί όπου δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η

Διαβάστε περισσότερα

το πλαίσιο της άσκησης των μαθητών στις διαδικασίες της επιστημονικής μεθόδου

το πλαίσιο της άσκησης των μαθητών στις διαδικασίες της επιστημονικής μεθόδου το πλαίσιο της άσκησης των μαθητών στις διαδικασίες της επιστημονικής μεθόδου από τον διαδικτυακό τόπο το Πανεπιστημιακό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Αθηνών (διδακτική τω Φυσικών Επιστημών).

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου»

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Προσομοίωσης

Εφαρμογές Προσομοίωσης Εφαρμογές Προσομοίωσης H προσομοίωση (simulation) ως τεχνική μίμησης της συμπεριφοράς ενός συστήματος από ένα άλλο σύστημα, καταλαμβάνει περίοπτη θέση στα πλαίσια των εκπαιδευτικών εφαρμογών των ΤΠΕ. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΠΟΙΕΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

ΚΑΠΟΙΕΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΠΟΙΕΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Οι εκπαιδευόμενοι χρειάζεται να δουν και να χρησιμοποιήσουν ποικίλα μοντέλα του κλάσματος, εστιάζοντας αρχικά στα οικία κλάσματα όπως είναι το μισό, τα τέταρτα, πέμπτα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Σπύρου Ν. Πνευµατικού Καθηγητή Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών ΕΚ ΟΣΕΙΣ Γ. Α. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΥ 2005 Σ. Ν. Πνευµατικός Η αναπαραγωγή ολικά ή µερικά ή περιληπτικά, ή η αντιγραφή του

Διαβάστε περισσότερα

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Κ. Ι. Παπαχρήστου Τοµέας Φυσικών Επιστηµών, Σχολή Ναυτικών οκίµων papachristou@snd.edu.gr Θα συζητήσουµε µερικά λεπτά σηµεία που αφορούν το έργο ενός χρονικά µεταβαλλόµενου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Η έννοια πρόβληµα Ανάλυση προβλήµατος Με τον όρο πρόβληµα εννοούµε µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή ούτε προφανής. Μερικά προβλήµατα είναι τα εξής:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ιαισθητικές Αντιλήψεις στην Έννοια της Πιθανότητας ΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Κώστας Κωνσταντίνου, Γεωργία Τάνου, Ιλιάδα Ηλία, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Υποδειγματικό Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΙΩΑΝΝΗΣ ΖΑΝΤΖΟΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη μαρία καλδρυμίδου

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη μαρία καλδρυμίδου άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη μαρία καλδρυμίδου άλγεβρα από την επίλυση εξισώσεων στη μελέτη των μεταβολών, των σχέσεων, των κανονικοτήτων και δομών, σε ένα περιβάλλον αναλυτικού συμβολικού συλλογισμού με

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ.

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ. Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΕΙΚΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΧΕΙΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΙΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ. Στο κείμενο που ακολουθεί έχει γίνει προσπάθεια να φανεί ότι ο σχεδιασμός της διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 2012. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 7

Διαβάστε περισσότερα

1 Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Πολλοί µαθητές της Α Γυµνασίου δυσκολεύονται να κατανοήσουν τους αλγορίθµους των

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο

Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ. Μάθημα 1 ο Παιδαγωγικές εφαρμογές Η/Υ Μάθημα 1 ο 14/3/2011 Περίγραμμα και περιεχόμενο του μαθήματος Μάθηση με την αξιοποίηση του Η/Υ ή τις ΤΠΕ Θεωρίες μάθησης Εφαρμογή των θεωριών μάθησης στον σχεδιασμό εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ Η Κλασική Μηχανική σηµματοδοτεί την πρώτη µμεγάλη επανάσταση της ανθρώπινης σκέ- ψης στην πορεία της για την ερµμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ Η πλέον διαδεδοµένη και αποδεκτή θεωρία είναι η τριµερής θεωρία της γνώσης που ορίζει τη γνώση ως δικαιολογηµένη αληθή πεποίθηση (justified true belief). Ανάλυση της τριµερούς

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

1. Οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην εκπαιδευτική διαδικασία

1. Οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην εκπαιδευτική διαδικασία 1. Οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην εκπαιδευτική διαδικασία Ο διδακτικός σχεδιασμός (instructional design) εμφανίσθηκε στην εκπαιδευτική διαδικασία και στην κατάρτιση την περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου) Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra.

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra. Σενάριο 4. Η µέτρηση του εµβαδού ενός παραβολικού οικοπέδου Γνωστική περιοχή: Μαθηµατικά Γ' Λυκείου. Παραβολή. Τετραγωνική συνάρτηση. Εµβαδόν. Ορισµένο ολοκλήρωµα Θέµα: Οι τέσσερις πλευρές ενός οικοπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τµήµα Μαθηµατικών και Στατιστικής Τµηµα Επιστήµων Αγωγής ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ &

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Προλογικό Σημείωμα 9

Περιεχόμενα. Προλογικό Σημείωμα 9 Περιεχόμενα Προλογικό Σημείωμα 9 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1. Εισαγωγή 14 1.2 Τα βασικά δεδομένα των Μαθηματικών και οι γνωστικές απαιτήσεις της κατανόησης, απομνημόνευσης και λειτουργικής χρήσης τους 17 1.2.1. Η

Διαβάστε περισσότερα

Publishers, London. Ευκλείδης Γ Τεύχη:

Publishers, London. Ευκλείδης Γ Τεύχη: Ανάλυση και Συγκριτικές Επισηµάνσεις Σχολικών Βιβλίων του ηµοτικού Σχολείου (Ελλάδας, Κύπρου, Αγγλίας) όσον αφορά στην Έννοια της Πιθανότητας. Συγγραφέας: Ιδιότητα: Καλαβάσης Φραγκίσκος Σκουµπουρδή Χρυσάνθη

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος της ψυχολογικής έρευνας:

Στόχος της ψυχολογικής έρευνας: Στόχος της ψυχολογικής έρευνας: Συστηματική περιγραφή και κατανόηση των ψυχολογικών φαινομένων. Η ψυχολογική έρευνα χρησιμοποιεί μεθόδους συστηματικής διερεύνησης για τη συλλογή, την ανάλυση και την ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση Μία διδακτική προσέγγιση ΣΕΝΑΡΙΟ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.)

Διαβάστε περισσότερα

THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION

THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION E F R A I M F I S C H B E I N, T E L - A V I V U N I V E R S I T Y M A R I A D E R I, U N I V E R S I T Y O F P I S

Διαβάστε περισσότερα

BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS

BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS Effandi Zakaria and Norulpaziana Musiran The Social Sciences, 2010, Vol. 5, Issue 4: 346-351 Στόχος της

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕ60/70, ΠΕ02, ΠΕ03, ΠΕ04)

ΠΕ60/70, ΠΕ02, ΠΕ03, ΠΕ04) «Επιµόρφωση εκπαιδευτικών στη χρήση και αξιοποίηση των ΤΠΕ στην εκπαιδευτική διδακτική διαδικασία» (Γ ΚΠΣ, ΕΠΕΑΕΚ, Μέτρο 2.1, Ενέργεια 2.1.1, Κατηγορία Πράξεων 2.1.1 θ) Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών για

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου

Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου Γιάννης Θωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Νομού Κιλκίς Ομιλία στο Παράρτημα Κέρκυρας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα