ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι προϋποθέσεις που θέσαμε ώστε να εξασφαλίσουμε BLUE εκτιμητές με τη μέθοδο των συνήθων ελαχίστων τετραγώνων στο κλασσικό γραμμικό υπόδειγμα δεν είναι ιδιαίτερα περιοριστικές όταν το υπόδειγμα αυτό εφαρμόζεται σε πειραματικά δεδομένα στα πλαίσια των θετικών επιστημών, όπου οι μεταβολές στις τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών βρίσκονται υπό τον έλεγχο του ερευνητή. Η κατάσταση όμως είναι διαφορετική όταν το παραπάνω υπόδειγμα χρησιμοποιηθεί στα πλαίσια της οικονομετρίας για την ανάλυση και μέτρηση σχέσεων μεταξύ οικονομικών μεταβλητών. Στην περίπτωση αυτή οι προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες οι OLS εκτιμητές του κλασσικού γραμμικού υποδείγματος είναι BLUE είναι πολύ δεσμευτικές, με αποτέλεσμα σε πολλές περιπτώσεις να μην είναι δυνατό να ικανοποιηθούν. Η παραβίαση των προϋποθέσεων αυτών συνεπάγεται και απώλεια, σε μικρό ή μεγαλύτερο βαθμό, των επιθυμητών ιδιοτήτων των OLS εκτιμητών. Ένα από τα σπουδαιότερα αντικείμενα της θεωρητικής οικονομετρίας αποτελεί η ανάπτυξη εναλλακτικών μεθόδων εκτίμησης στις περιπτώσεις όπου οι υποθέσεις του κλασσικού γραμμικού υποδείγματος παραβιάζονται. Η παραβίαση των υποθέσεων δυνατόν να αφορά τόσο τις στοχαστικές διαταραχές όσο και τις επεξηγηματικές μεταβλητές. Στην ενότητα αυτή θα μελετήσουμε εναλλακτικούς εκτιμητές για τις περιπτώσεις όπου, όσον αφορά τις στοχαστικές διαταραχές, οι προϋποθέσεις ομοσκεδαστικότητας και απουσίας αυτοσυσχέτισης δεν πληρούνται. Πιο συγκεκριμένα: i) Θα αναπτύξουμε τους λεγόμενους εκτιμητές γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων (generalized least squares, ή GLS estimators), ii) Θα μελετηθούν οι συνέπειες της εφαρμογής OLS εκτιμητών όταν έχουμε μη σφαιρικές διαταραχές, όπως στην περίπτωση της 1

2 ετεροσκεδαστικότητας και των αυτοσυσχετιζόμενων διαταραχών, iii) Θα περιγραφούν διαδικασίες ελέγχου της ορθότητας των προϋποθέσεων ομοσκεδαστικότητας και έλλειψης αυτοσυσχετίσεως στις διαταραχές. 7.2 ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Η υπόθεση Ε(uu ) = σ 2 I που ίσχυε όταν δεν υπήρχε ετεροσκεδαστικότητα ή αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα τώρα πλέον αντικαθίσταται από την: Ε(uu ) = σ 2 Ω όπου Ω ένας γνωστός πίνακας διαστάσεων Ν Ν. Παραδείγματα για τη μορφή του πίνακα Ω: 1)Για την περίπτωση ετεροσκεδαστικότητας ο Ω έχει τη μορφή: 2)Για την περίπτωση που η μορφή της αυτοσυσχέτισης στις στοχαστικές διαταραχές Ui εκφράζεται με ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα 1 ου βαθμού (AR(1) )δηλ. U i = ρu i 1 +εi με εi iid ο πίνακας Ω θα έχει τη μορφή: 2

3 Ο αντικειμενικός σκοπός των εκτιμητών GLS είναι να ενσωματώσουν την επιπλέον πληροφορία που μας παρέχεται αν γνωρίζουμε τη μορφή του Ω. Δεχόμενοι ότι οι υπόλοιπες προϋποθέσεις που είχαν τεθεί για τους OLS εκτιμητές εξακολουθούν να ισχύουν, αυτό μπορεί να πραγματοποιηθεί με την εφαρμογή κατάλληλου μετασχηματισμού στα αρχικά δεδομένα σε τρόπο ώστε να επιτύχουμε για τις μετασχηματισμένες στοχαστικές διαταραχές u να ισχύει: E(u u ) = σ 2 I Καθώς ο Ω μπορεί να θεωρηθεί ως θετικά ορισμένος (δηλ. για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα Χ να ισχύει x Ωx>0) σύμφωνα με γνωστό θεώρημα της γραμμικής άλγεβρας υπάρχει μη ιδιάζων πίνακας P τέτοιος ώστε: Χρησιμοποιώντας τώρα τον πίνακα P για να μετασχηματίσουμε τα αρχικά μας δεδομένα θα έχουμε: Για τις μετασχηματισμένες στοχαστικές διαταραχές θα έχουμε: 3

4 Επομένως για τις μετασχηματισμένες μεταβλητές y, Χ πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις ώστε οι OLS εκτιμητές που αναφέρονται σε αυτές, δηλ. οι εκτιμητές που δίνονται από τη σχέση: ˆ ( X X ) X y, * * * 1 * * να είναι BLUE. Επομένως οι GLS εκτιμητές είναι οι OLS εκτιμητές των μετασχηματισμένων δεδομένων. Αναφερόμενοι τώρα στα αρχικά μας δεδομένα οι GLS εκτιμητές θα δίνονται από τη σχέση: Ο πίνακας διακύμανσης συνδιακύμανσης των εκτιμητών ˆGLS θα είναι: Επιπλέον ο εκτιμητής του σ 2 για την περίπτωση των GLS εκτιμητών θα είναι: = {P(y Xβ GLS )} {P(y Xβ GLS } (N k) = (y Xβ GLS ) P P(y Xβ GLS ) (N k) 2 y X ˆ 1 ˆ y X N K ˆ ( ) / GLS Ο εκτιμητής αυτός είναι αμερόληπτος και διαφέρει από τον αντίστοιχο ML εκτιμητή (που στον παρανομαστή έχει Ν αντί (Ν-Κ)).Ο τελευταίος για μικρά δείγματα είναι προφανώς μεροληπτικός. Το ερώτημα που τίθεται είναι τι συνέπειες θα έχουμε αν για μη σφαιρικές διαταραχές εξακολουθήσουμε να χρησιμοποιούμε OLS εκτιμητές. Έστω λοιπόν ότι στο υπόδειγμα: y = Xβ + u με u~(0, σ 2 Ω) χρησιμοποιούμε τον OLS εκτιμητή για το β τότε όπως ξέρουμε: GLS 4

5 β = β + (Χ Χ) 1 Χ u και Ε(β ) = β + (Χ Χ) 1 Χ Ε(u) = β, άρα ο β εξακολουθεί να είναι αμερόληπτος. Όμως VAR(β ) = Ε{(β β)(β β) } = Ε{(Χ Χ) 1 Χ uu Χ(Χ Χ) 1 } = σ 2 (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ(Χ Χ) 1 σ 2 (Χ Χ) 1 Επιπλέον αποδεικνύεται ότι: Ε(u u ) = σ 2 {trω tr{(χ Χ) 1 Χ ΩΧ}} σ 2 (Ν κ) Άρα: Ο OLS εκτιμητής του VAR COV(β ) μεροληπτικός. δηλ. ο σ 2 (X X) 1 είναι Ο OLS εκτιμητής του σ 2 είναι μεροληπτικό στο βαθμό που tr(ω (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ) διαφέρει από το σ 2 (Ν κ) Έστω και αν χρησιμοποιήσουμε τον εκτιμητή σ 2 (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ(Χ Χ) 1, ο εκτιμητής του β δε θα είναι αποτελεσματικός καθώς όπως είδαμε ο αντίστοιχος GLS εκτιμητής είναι ο σ 2 (Χ Ω 1 Χ) 1 (για την διακύμανση του β ). Tα t-test και F-test δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού R 2 δεν είναι αμερόληπτη (αφού η διακύμανση των καταλοίπων δεν είναι αμερόληπτη), και δεν μπορούμε να ελέγξουμε αν είναι στατιστικά σημαντική. Το προβλήματα αυτά λύνονται χρησιμοποιώντας τους GLS εκτιμητές που όπως είδαμε είναι οι OLS εκτιμητές των δεδομένων που έχουμε κατάλληλα μετασχηματίσει ώστε να πληρούνται οι προϋποθέσεις που εξασφαλίζουν BLUE εκτιμητές. Οι GLS εκτιμητές βρίσκουν εφαρμογή στις περιπτώσεις ετεροσκεδαστικότητας και αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων. Βέβαια μέχρι τώρα υποθέσαμε ότι ο πίνακας Ω είναι γνωστός, κάτι που φυσικά δεν ισχύει στην πράξη. Ο Ω αποτελείται από Ν Ν στοιχεία και αν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση υποθέτουμε ότι τα Ν διαγώνια στοιχεία είναι γνωστά. Αν δεν είναι γνωστά, τότε πρέπει με κάποιο τρόπο να εκτιμηθούν. Έτσι στην πράξη οι 5

6 άγνωστες παράμετροι αντικαθίστανται από συνεπείς εκτιμήσεις τους, και οι εκτιμητές που προκύπτουν και αυτό τον τρόπο ονομάζονται εκτιμητές εφικτών γενικευμένων, ελαχίστων τετραγώνων (Feasible Generalized least Squares). Επειδή η περίπτωση της αυτοσυσχέτισης εξετάζεται εκτενώς και στα πλαίσια του μαθήματος των χρονολογικών σειρών, στη συνέχεια θα επικεντρωθούμε κατά κύριο λόγο στο πρόβλημα της ετεροσκεδαστικότητας, ενώ για την περίπτωση της αυτοσυσχέτισης η μελέτη θα περιοριστεί στην περίπτωση των AR(1) διαταραχών που είναι και η συνηθέστερη. 7.3 ΕΤΕΡΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Θεωρώντας για απλούστευση το υπόδειγμα Y i = β 1 + β 2 X i + U i θα προσπαθήσουμε να δώσουμε πρώτα απ όλα μια εξήγηση στο γεγονός ότι ο OLS εκτιμητής του β 2 ενώ είναι αμερόληπτος δεν είναι βέλτιστος. Αν δεχθούμε κατά τα γνωστά ότι τιμή Χ i αντιστοιχεί μία κατανομή τιμών Y i και οι διακυμάνσεις των κατανομών αυτών δεν είναι ίδιες τότε θα θέλαμε να μπορούμε να δώσουμε μεγαλύτερη βαρύτητα σε εκείνες τις κατανομές με τη μικρότερη διακύμανση καθώς αυτό θα μας επέτρεπε να εκτιμήσουμε καλύτερα την PRF. Αυτό ακριβώς κάνουμε με τα GLS! Πράγματι ο VAR COV(u ) για την περίπτωση της ετεροσκεδαστικότητας γράφεται: 2 σ VAR COV(u ) = 1 [ ] = 1 Ω σ Ν 1 1 σ Άρα Ω 1 σ 1 = και άρα P = [ [ σ Ν2 ] Επομένως για να μετασχηματίσουμε τα αρχικά μας δεδομένα αρκεί να διαιρέσουμε το αρχικό υπόδειγμα με σ i δηλ: 6 σ Ν ]

7 με X 0i = 1 i Ορίζουμε Y i = β 1 + β 2 X i + U i Y i X 0i X i = β σ 1 + β i σ 2 + U i i σ i σ i y i = Py i = y i σ i X i = PX i = X i σ i y i = β 1 Χ 0i + β 2 Χ i + U i U i = PU i = U i σ i Προσοχή: τώρα έχουμε β 1, β 2 αντί β 1, β 2 Τότε VAR(u i ) = E(u 2 i ) = E( u i ) 2 = 1 Ε(u 2 σ i σ i ) = σ 2 i i σ2 = 1 i Άρα όπως περιμέναμε τα υπόλοιπα επομένως οι β 1, β 2 BLUE. τώρα είναι ομοσκεδαστικά και Για να έχουμε τους GLS εκτιμητές β 1, β 2 πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε το u i 2 = (Y i β Χ 1 01 β Χ 2 i ) 2 δηλ. το ( u i ) = {( Y i ) β σ i σ 1 ( Χ 01 ) i σ i β ( X i 2 )} 2 σ i (σημ.: Το u i είναι τα κατάλοιπα του υποδείγματος για τα αρχικά δεδομένα δηλ. του Y i = β 1 + β Χ 2 i + u i ) Θέτοντας 1 σ i 2 για τα GLS ελαχιστοποιούμε το: w i u 2 i = w i (Y i β 1 β 2 X i ) 2, ενώ όπως ξέρουμε για τα OLS ελαχιστοποιούμε το: u 2 i = (Y i β 1 β X 2 i ) 2 Άρα έχουμε επιτύχει αυτό που θέλαμε: με τα GLS ελαχιστοποιούμε ένα σταθμισμένο άθροισμα τετραγώνων των υπολοίπων, όπου οι σταθμίσεις w i = 1 σ i 2 είναι αντιστρόφως ανάλογες των διακυμάνσεων των πληθυσμών 7

8 που αντιστοιχούν στο εκάστοτε Χ i (!!). Άρα τα GLS εκτιμούν πιο αξιόπιστα από το OLS την PRF. Λόγω του ότι τα W i λειτουργούν ως σταθμίσεις (Weights), τα GLS για την περίπτωση της ετεροσκεδαστικότητας ονομάζονται και «σταθμισμένα ελάχιστα τετράγωνα» (Weighted Least Squares). Ως εδώ η αντιμετώπιση το προβλήματος της ετεροσκεδαστικότητας φαίνεται να είναι απόλυτα επιτυχής με τα GLS, όμως θεωρήσαμε ως δεδομένα ότι: (α)υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα (β) γνωρίζουμε τα διαγώνια στοιχεία του Ω. Στην πράξη apriori δεν γνωρίζουμε ούτε το (α) ούτε το (β). Το πρώτο λοιπόν ερώτημα που πρέπει να απαντηθεί είναι πως 2 ανιχνεύουμε την ετεροσκεδαστικότητα στα δεδομένα μας; Αφού τα σ i μπορούν να είναι γνωστά μόνο όταν μας είναι γνωστοί οι πληθυσμοί των Y i X i αναγκαστικά ανατρέχουμε στα κατάλοιπα U i που ελπίζουμε ότι είναι καλές εκτιμήσεις των διαταραχών U i. Έτσι αναπόφευκτα εκτιμάμε αρχικά το υπόδειγμα με OLS ώστε να έχουμε τα U i. Μια πρώτη εικόνα μπορούμε να έχουμε από τη γραφική παράσταση των U i2 με κάθε μια από τις ανεξάρτητες μεταβλητές, αλλά και με την Y i. Η μορφή της γραφικής παράστασης μπορεί να υποδηλώνει και το χαρακτήρα της ετεροσκεδαστικότητας, αν υπάρχει. Βέβαια υπάρχουν και πιο αυστηρές μέθοδοι και μάλιστα αρκετές, αν και κάποιες παλαιότερες εξ αυτών (π.χ. έλεγχος Park, έλεγχος Glejser) έχουν δεχθεί κριτική για την ορθότητα τους. Ενδεικτικά θα περιγράψουμε τον έλεγχο Goldfield Quandt και τον έλεγχο White. Έλεγχος Goldfield Quandt Έστω το υπόδειγμα: Y i = β 1 + β 2 X i + U i : Υποθέτουμε ότι ισχύει: σ i 2 = σ 2 X i 2, ή έστω ότι το σ i 2 είναι μονότονη 8

9 συνάρτηση κάποιας από τις επεξηγηματικές μεταβλητές. Για τον έλεγχο ετεροσκεδαστικότητας ακολουθούμε τα επόμενα βήματα: 1 ο. Κατατάσσουμε τις παρατηρήσεις μας κατά σειρά μεγέθους ως προς την X i (και έστω κατά αύξουσα τάξη). 2 o. Παραλείπουμε τις C μεσαίες παρατηρήσεις και χωρίζουμε τις (N C) υπόλοιπες (Ν-C) σε δυο ομάδες των 2 παρατηρήσεων. 3 o. Εκτιμάμε για κάθε ομάδα χωριστά ένα υπόδειγμα OLS παλινδρόμησης. Έστω RSS1, RSS2 τα αθροίσματα των τετραγώνων των υπολοίπων για τις ομάδες με τις μικρότερες και τις μεγαλύτερες τιμές Χ i αντίστοιχα. 4 o. Υπολογίζουμε το λόγο: λ = RSS 2 df RSS 1 df (στατιστικό Goldfeld-Quant) όπου οι β.ε., είναι (N C) K με Κ τον αριθμό των παραμέτρων του 2 υποδείγματος. Αν U i κατανέμονται κανονικά ο λ ακολουθεί κατανομή F με df, df βαθμούς ελευθερίας (df = (N C) K) 2 Η Ho: δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα, απορρίπτεται αν η τιμή του λ βρεθεί > της κρίσιμης τιμής της F κατανομής για προεπιλεγμένο επίπεδο σημαντικότητας και τους δεδομένους β.ε. Η αφαίρεση των C μεσαίων παρατηρήσεων γίνεται ώστε η διαφορά RSS μεταξύ των δύο ομάδων να είναι πιο έντονη. Για μικρά δείγματα (Ν< 30) το C μπορεί να είναι μεταξύ 4 και 8. Εφαρμογή Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται τα δεδομένα για τις καταναλωτικές δαπάνες και το εισόδημα για 30 οικογένειες. Υποθέτοντας ένα γραμμικό υπόδειγμα C i = β 1 + β 2 I i + U i να εξετασθεί η ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας. Λύση Αφού ανακατατάξουμε τα δεδομένα κατά αύξουσα τάξη ως προς Ι και 9

10 αφαιρέσουμε τις 4 μεσαίες παρατηρήσεις εκτιμάμε τις OLS παλινδρομήσεις για κάθε ομάδα: C 1i = 3,41 + 0,699I 1i RSS 1 = 377,17 (S. E) (8,7 ) (0,074 ) df = 11 C 2i = 28,02 + 0,794I 2i RSS 2 = 1536,8 (S. E. ) (30,6 ) (0,131 ) df = 11 Από πίνακα της κατανομής F βρίσκουμε: F 0,05 (11, 11 ) = 2,82 Επειδή η ευρεθείσα τιμή είναι > της κρίσιμης απορρίπτουμε την Ho και επομένως δεχόμαστε την ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας. Δεδομένα σε αύξουσα σειρά ως προς Χ Y X Y X Middle 4 Observations 10

11 Έλεγχος White Ένας άλλος πολύ διαδεδομένος έλεγχος για ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας είναι ο έλεγχος White. Στα πλεονεκτήματα του ελέγχου αυτού συμπεριλαμβάνεται το γεγονός ότι δεν προϋποθέτει τον καθορισμό των μεταβλητών που προκαλούν την ετεροσκεδαστικότητα και επιπλέον δεν προϋποθέτει οι διαταρακτικοί όροι να ακολουθούν την κανονική κατανομή. Τονίζεται πάντως ότι ο έλεγχος White είναι ασυμπτωτικός. Τα βήματα που ακολουθούμε είναι τα εξής: (1)Υπολογίζουμε τα κατάλοιπα U t που προκύπτουν από το αρχικό υπόδειγμα χρησιμοποιώντας OLS. (2)Εκτιμάμε τη λεγόμενη βοηθητική παλινδρόμηση (auxiliary regression) στην οποία η εξαρτημένη μεταβλητή είναι τα τετράγωνα των καταλοίπων που υπολογίσαμε στο (1) και επεξηγηματικές μεταβλητές όλες οι ανεξάρτητες μεταβλητές του (1), τα τετράγωνα τους, καθώς και όλα τα μεταξύ τους γινόμενα και υπολογίζουμε τον συντελεστή προσδιορισμού R 2. (3)Το στατιστικό NR 2 p 2 X (q) με q τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών στη βοηθητική παλινδρόμηση. Αν η τιμή του στατιστικού αυτού βρεθεί < της κρίσιμης τιμής για προεπιλεγμένο επίπεδο 11

12 σημαντικότητας και δεδομένους β.ε. τότε η μηδενική υπόθεση (ότι όλοι οι συντελεστές στη βοηθητική παλινδρόμηση πλην του σταθερού είναι 0 δηλ. ότι δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα) δεν απορρίπτεται. Αν από την άλλη πλευρά η Ho απορριφθεί αυτό σημαίνει αποδοχή ετεροσκεδαστικότητας όμως δεν έχουμε ενδείξεις για τα χαρακτηριστικά της. Σχετικά με τον έλεγχο White πρέπει να σημειώσουμε και πάλι ότι ισχύει για μεγάλα δείγματα, ενώ ένα μειονέκτημα του ειδικά όταν δεν έχουμε πολύ μεγάλο δείγμα, είναι οι πολλοί βαθμοί ελευθερίας που «σπαταλούνται» στη βοηθητική παλινδρόμηση, κάτι που μειώνει και την ισχύ του ελέγχου. Εκτιμητές ανθεκτικοί στην ετεροσκεδαστικότητα (Heteroscedasticity robust estimators) Όπως είδαμε οι OLS εκτιμητές παρουσία ετεροσκεδαστικότητας είναι μη αποτελεσματικοί και η διακύμανση τους δίνεται από τη σχέση: VAR COV(Β ) = σ 2 (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ(Χ Χ) 1 Ακόμα και στην περίπτωση που αποφασίσει κανείς να προχωρήσει με τους OLS εκτιμητές θα πρέπει να εκτιμήσει τον πίνακα Ω. Ο White (1980) πρότεινε έναν εκτιμητή στον οποίο τα διαγώνια στοιχεία του Ω αντικαθίστανται με τα τετράγωνα των καταλοίπων από την OLS παλινδρόμηση. Ο εκτιμητής που προκύπτει (γνωστός σαν white heteroscedasticity-consistent variance covariance matrix estimator) είναι συνεπής και έτσι τα F, t-test μπορούν να χρησιμοποιηθούν ασυμπτωτικά. Για μικρά δείγματα οι Davidson and Mackinnon προτείνουν τη χρήση των (ΝU i2 ) N K αντί των U i2. Σημειώνεται ότι στις τελευταίες εκδόσεις τους όλα τα οικονομετρικά πακέτα περιλαμβάνουν τον εκτιμητή του White. 12

13 Εφικτά Γενικευμένα Ελάχιστα Τετράγωνα Όταν ο πίνακας Ω δεν είναι γνωστός, για την περίπτωση της ετεροσκεδαστικότητας πρέπει να γίνουν υποθέσεις σχετικά με το χαρακτήρα της ετεροσκεδαστικότητας. Οι πιο συνηθισμένες από αυτές είναι οι ακόλουθες: 2 Χ 1 0 i. E(u 2 i ) = σ 2 X 2 i τότε προφανώς Ω = [ ] 0 2 Χ Ν X 1 0 Άρα P = [ X N ] Χ 1 0 ii. E(u 2 i ) = σ 2 X i τότε Ω = [ ] P = 0 Χ Ν 1 X [ X N ] iii. E(u 2 i ) = σ 2 (E(Y i )) 2 επειδή το Ε(Y i ) δεν είναι γνωστό iv. χρησιμοποιούμε το Y i αντί αυτού. Λογαριθμίζουμε τα δεδομένα. Η συμπίεση στις κλίμακες που προκαλεί ο λογαριθμικός μετασχηματισμός αμβλύνει τις διαφορές μεταξύ των τιμών των U i2. Επιπλέον όπως γνωρίζουμε, οι συντελεστές παλινδρόμησης μας δίνουν τις ελαστικότητες οι οποίες και θεωρούνται σταθερές στο log-log υπόδειγμα. 7.4 ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΜΕ AR(1) ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ Έλεγχος αυτοσυσχέτισης με το στατιστικό Durbin-Watson Yt = β1+ β2xt + Ut στοχαστικές διαταραχές (πληθυσμιακή παλινδόμηση) κατάλοιπα Yt = β 1 + β X 2 t + e t (δειγματική παλινδρόμηση) 13

14 Το στατιστικό D-W χρησιμοποιεί τα et και ορίζεται ως εξής: d= N t=2 (e t e t 1 ) 2 N e2 t=1 t (=RSS) Προϋποθέσεις εφαρμογής 1. Στο οικονομετρικό υπόδειγμα πρέπει να υπάρχει σταθερός όρος. 2. Οι επεξηγηματικές μεταβλητές πρέπει να είναι μη-στοχαστικές. 3. Οι διαταραχές πρέπει να ακολουθούν ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα πρώτου βαθμού δηλ. Ut= ρut-1 + εt με εt iid και ρ < Δεν πρέπει μεταξύ των επεξηγηματικών μεταβλητών του υποδείγματος να περιλαμβάνονται χρονικές υστερήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής όπως για παράδειγμα στο υπόδειγμα: Yt= β1+ β2xt+ β3yt-1+ Ut 5. Οι στοχαστικές διαταραχές Ut πρέπει να ακολουθούν την κανονική κατανομή. Πλεονέκτημα : Ευκολία στον υπολογισμό της τιμής του d Μειονεκτήματα : Πολλές προϋποθέσεις για να είναι δυνατή η χρήση του d. Οχι ακριβής κατανομή πιθανότητας για το d, καθώς τα et εξαρτώνται από τις εκάστοτε επεξηγηματικές μεταβλητές. Οι D-W έδωσαν πίνακα τιμών για τα dl, du με dl, du = f(n,k) όπου Κ= αριθμός επεξηγηματικών μεταβλητών στο υπόδειγμα Ν= αριθμός παρατηρήσεων. Όρια τιμών για το d N N t=2 + t=2 e 2 e t e t 1 N l2 t=1 t d= e t 2 2( e t 2 e t e) e t 2 d 2(1 ρ ) 14

15 και επειδή 1 ρ 1 0 d 4 για ρ = 0 d 2 για ρ = +1 (τέλεια θετική αυτοσυσχέτιση) d = 0 για ρ = 1 (τέλεια αρνητική αυτοσυσχέτιση) d = 4 (+) αυτοσυσχέτ ιση Όχι απόφα ση Όχι αυτοσυσχέτ ιση Όχι απόφα ση (-) αυτοσυσχέτ ιση 0 dl du 2 4-dU 4-dL 4 Για την εφαρμογή του ελέγχου D-W ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Εκτιμάμε το οικονομετρικό υπόδειγμα και παίρνουμε τα κατάλοιπα 2. Από τα κατάλοιπα υπολογίζουμε το d. 3. Με βάση τον αριθμό των παρατηρήσεων και τον αριθμό των επεξηγηματικών μεταβλητών στο υπόδειγμα βρίσκουμε τις κρίσιμες τιμές dl, du από το σχετικό πίνακα. 4. Αποφασίζουμε για την ύπαρξη ή μη αυτοσυσχέτισης με βάση το παραπάνω σχήμα. Διόρθωση Αυτοσυσχέτισης Καθώς παρουσία αυτοσυσχέτισης οι OLS εκτιμητές των παραμέτρων του υποδείγματος είναι μη-αποτελεσματικοί χρειάζονται διορθωτικές κινήσεις ώστε οι εκτιμητές μας να έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες. Μεθοδολογικά είναι χρήσιμο να διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: 15

16 α) Όταν η δομή της αυτοσυσχέτισης στις διαταραχές είναι γνωστή. Συνήθως υποθέτουμε ένα AR(1) σχήμα για τις διαταραχές: Ut= ρut-1 + εt με ρ < 1 και εt iid. Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε: Y t = β 1 + β 2 X t + U t ρy t 1 = ρβ 1 + ρβ 2 X t 1 + ρu t 1 (Y t ρy t 1 ) = β 1 (1 ρ) + β 2 (X t ρx t 1 ) + (U t ρu t 1 ) ε t ( ) X t = β 1 + β 2 X t + ε t (*) Εξίσωση γενικευμένων διαφορών (Generalized difference equation or Quasi difference equation) Καθώς το εt στην εξίσωση γενικευμένων διαφορών πληροί όλες τις προϋποθέσεις ώστε οι OLS εκτιμητές να είναι BLUE μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο OLS ώστε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους στο υπόδειγμα με τις μετασχηματισμένες μεταβλητές. Σημειώνεται ότι γράφοντας το υπόδειγμα σε χρόνο t-1 και εν συνεχεία αφαιρώντας ένα ποσοστό (=ρ) των τιμών των μεταβλητών τη χρονική στιγμή t-1 από τις αντίστοιχες τιμές των μεταβλητών αυτών τη χρονική στιγμή t, χάνεται η πρώτη παρατήρηση. Αυτό δυνατόν να έχει σοβαρές συνέπειες ιδιαίτερα σε μικρά δείγματα. Για να αποφύγουμε κάτι τέτοιο για τις πρώτες παρατηρήσεις των Yt, Xt χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό Prais-Winsten: Y 1 = Y 1 (1 ρ 2 ) X 1 = X 1 (1 ρ 2 ) 16

17 Συμπλήρωση για την εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης για μικρά δείγματα Στην περίπτωση μικρών δειγμάτων η σχέση d 2(1 ρ ) δεν ισχύει. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε την κατά Theil Nagar τροποποίηση για την εκτίμηση του ρ που δίνεται από την σχέση: ρ = N2 (1 d 2 ) + K2 N 2 K 2 όπου Ν= μέγεθος δείγματος, Κ= αριθμός συντελεστών συμπεριλαμβανομένου και του σταθερού όρου. Για δεδομένο Κ για Ν έχουμε: ρ = (1 d 2 )+K2 N 2 1 K2 N 2 lim N ρ = 1 d 2 β) Όταν η δομή της αυτοσυσχέτησης στις διαταραχές δεν είναι γνωστή. Ακολουθούμε μία διαδικασία δύο σταδίων A. Γίνεται εκτίμηση του ρ (υπάρχουν διάφορες μέθοδοι γι αυτό το σκοπό) B. Χρησιμοποιούμε την εκτίμηση του ρ για να μετασχηματίσουμε τις μεταβλητές μας και να γίνει η εκτίμηση των συντελεστών μέσω της γενικευμένης εξίσωσης διαφορών. Επειδή έχουμε την εκτίμηση των συντελεστών της τιμής του ρ και όχι την αληθή τιμή η μέθοδος είναι γνωστή ως FGLS ή EGLS. Σημαντική παρατήρηση: 17

18 Όταν χρησιμοποιούμε έναν εκτιμητή ανεξαρτήτου της αληθούς τιμής οι OLS εκτιμήσεις των συντελεστών έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες μόνο ασυμπτωτικά δηλαδή σε μεγάλα δείγματα το ίδιο ισχύει και για ελέγχους υποθέσεων. Εκτίμηση του ρ 1. Από D-W 2. Εκτίμηση από τα κατάλοιπα u t = ρ u t E t 3. Επαναληπτικές μέθοδοι: Cochrane-Orcutt Hilbert-Lu Καθαρή και επαγόμενη αυτοσυσχέτιση Η αυτοσυσχέτιση στις διαταραχές ενός υποδείγματος παλινδρόμησης μπορεί να διακριθεί σε «καθαρή» κα «επαγόμενη». Αυτό εξαρτάται από το κατά πόσον το υπόδειγμα είναι σωστά ορισμένο. Για ένα σωστά ορισμένο υπόδειγμα η αυτοσυσχέτιση στις διαταραχές μπορεί να οφείλεται στο ότι η αυτοσυσχέτιση που εμφανίζεται σε κάποιες μεταβλητές που υπεισέρχονται στο υπόδειγμα δεν αντισταθμίζεται μέσω του υποδείγματος και έτσι μεταφέρεται στο διαταρακτικό όρο. Επιπλέον, είναι δυνατό η αυτοσυσχέτιση να οφείλεται στο γεγονός ότι ενώ το υπόδειγμα είναι σωστά ορισμένο, η εξαρτημένη μεταβλητή έχει μετρηθεί με σφάλμα. Αυτή η αυτοσυσχέτιση ονομάζεται καθαρή αυτοσυσχέτιση, και δεν είναι δυνατό να εξαλειφθεί όσο η εκτίμηση του 18

19 υποδείγματος γίνεται με OLS. Περισσότερο συνηθισμένη είναι η περίπτωση της εμφάνισης αυτοσυσχέτισης στις διαταραχές λόγω εσφαλμένης εξειδίκευσης του υποδείγματος. Το σφάλμα εξειδίκευσης μπορεί να οφείλεται: (i) Σε παράλειψη μιας ή περισσότερων ερμηνευτικών μεταβλητών. Σε αυτή την περίπτωση αν η μεταβλητή που έχει παραληφθεί εμφανίζει αυτοσυσχέτιση, η αυτοσυσχέτιση αυτή μεταφέρεται στις διαταραχές. (ii) Σε λάθος συναρτησιακή μορφή. Για παράδειγμα αν η σωστή εξειδίκευση του υποδείγματος απαιτεί πολυωνυμική παλινδρόμηση και αντ αυτής χρησιμοποιηθεί γραμμική παλινδρόμηση τότε στις διαταραχές θα αποτυπωθεί η αδυναμία του υποδείγματος να ερμηνεύσει τις μη γραμμικές διακυμάνσεις της εξαρτημένης μεταβλητής με τη μορφή (θετικής στη συγκεκριμένη περίπτωση) αυτοσυσχέτισης. Η αυτοσυσχέτιση που εμφανίζεται σε αυτές τις περιπτώσεις ονομάζεται επαγόμενη αυτοσυσχέτιση και είναι δυνατό να εξαλειφθεί στο πλαίσιο των OLS εκτιμήσεων των συντελεστών του υποδείγματος, εφόσον αναιρεθούν οι αιτίες που την προκαλούν. 7.5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1) Επειδή στα εφικτά γενικευμένα ελάχιστα τετράγωνα τα στοιχεία του πίνακα Ω είναι εκτιμήσεις των πραγματικών τιμών, τα FGLS έχουν ισχύ ασυμπτωτικά. Για αυτό το λόγο και όλοι οι στατιστικοί έλεγχοι π.χ. t- test, F-test ισχύουν ασυμπτωτικά δηλ. για μεγάλα δείγματα. Για μικρά δείγματα εάν η ακρίβεια στην εκτίμηση του Ω δεν είναι καλή τότε η υπεροχή των FGLS εκτιμητών έναντι των εκτιμητών OLS αμφισβητείται. Αν για παράδειγμα σε ένα 19

20 υπόδειγμα υπάρχει στα κατάλοιπα αυτοσυσχέτιση που περιγράφεται από ένα AR(2) υπόδειγμα και εσφαλμένα χρησιμοποιηθεί AR(1) υπόδειγμα, οι εκτιμήσεις FGLS είναι χειρότερες των OLS εκτιμήσεων, όπως έδειξε σχετική μελέτη από τον Engle (1973). Από την άλλη πλευρά πάλι για την περίπτωση αυτοσυσχετιζόμενων καταλοίπων οι Rao and Griliches (1969) έδειξαν με πειράματα Monte Carlo για μικρά δείγματα ότι οι FGLS εκτιμητές υπερέχουν των OLS εκτιμητών για υπόδειγμα AR(1) στα κατάλοιπα και ρ 0.3 όπου ρ ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης. 2) Για την ετεροσκεδαστικότητα, σε κάθε περίπτωση ο μετασχηματισμός των δεδομένων με τον πίνακα P δημιουργεί μια επιπλέον μεταβλητή, αφού και η σταθερά του αρχικού υποδείγματος πολλαπλασιάζεται με P. Έτσι για τα μετασχηματισμένα δεδομένα θα πρέπει να εκτιμήσουμε ένα υπόδειγμα χωρίς σταθερό όρο. Εξαίρεση αποτελεί η περίπτωση (i) της προηγούμενης ενότητας, καθώς αν διαιρέσουμε με Χi ο συντελεστής παλινδρόμησης β 2 στο υπόδειγμα Y i = β 1 + β 2 X i + U i μετατρέπεται σε σταθερό όρο. Άρα στην περίπτωση αυτή έχουμε και στα μετασχηματισμένα δεδομένα μια ανεξάρτητη μεταβλητή την 1 και υπόδειγμα με X i σταθερό όρο. 3) Αν γίνει χρήση του λογαριθμικού μετασχηματισμού χρειάζεται προσοχή στα αρχικά δεδομένα καθώς δεν πρέπει να εμπεριέχονται σ αυτά αρνητικές τιμές. Ένας τρόπος να αποφύγουμε αυτό το πρόβλημα είναι αντί για ln Y i, ln X i να 20

21 χρησιμοποιήσουμε ln(y i + K), ln(x i + K) όπου K>0 τέτοιος ώστε Y i + K > 0 i, X i + K > 0 i. 4) Για τα εφικτά γενικευμένα ελάχιστα τετράγωνα η περίπτωση (iii) έχει νόημα όταν στο υπόδειγμα έχουμε περισσότερες της μίας επεξηγηματικές μεταβλητές. Διαφορετικά η (iii) εμπίπτει στην (i). 5) Με τους ad-hoc μετασχηματισμούς υπάρχει ο κίνδυνος δημιουργίας εσφαλμένων συσχετίσεων. Αν π.χ. οι Y i, X i δεν συσχετίζονται και τις μετασχηματίσουμε ως Y i X i τελευταίες ενδέχεται να συσχετίζονται. και, 1 X i οι 6) Επειδή μία εσφαλμένη εξειδίκευση ενός υποδείγματος μπορεί να προκαλέσει στατιστικά σημαντικές τιμές του D-W test, το στατιστικό αυτό δύναται να χρησιμεύσει και ως έλεγχος ορθής εξειδικεύσεως ενός υποδείγματος. Επιπρόσθετα, επειδή η τιμή του D-W υπόκειται σε σημαντικές μεταβολές όταν η αυτοσυσχέτιση είναι επαγόμενη και εκτιμώνται διαφορετικές εξειδικεύσεις, το D-W μπορεί να χρησιμεύσει και για τον χαρακτηρισμό της αυτοσυσχέτισης ως «καθαρής», ή «επαγόμενης». 7.6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Για το υπόδειγμα: Υt = βxt +Ut πληρούνται όλες οι υποθέσεις του θεωρήματος Gauss-Markov, εκτός από το ότι η διακύμανση του στοχαστικού όρου δεν είναι σταθερή, αλλά περιγράφεται από τη σχέση: VAR(Ut)= σ 2 Xt. Να δείξετε ότι ο βέλτιστος γραμμικός αμερόληπτος 21

22 εκτιμητής (BLUE) του β ισούται με Y X. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε χωρίς απόδειξη την παρακάτω σχέση που μας δίνει τον OLS εκτιμητή του β: ˆ N i 1 N i 1 X Y i X 2 i i όπου Ν το μέγεθος του δείγματος. 2) Να απαντήσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λάθος. Δικαιολογείστε με συντομία τις απαντήσεις σας. α) Όταν υπάρχει αυτοσυσχέτιση οι OLS εκτιμητές είναι μεροληπτικοί και ασυνεπείς. β) Η παράλειψη μίας σημαντικής ερμηνευτικής μεταβλητής από το υπόδειγμα μπορεί να προκαλέσει στατιστικά σημαντική τιμή στο στατιστικό DW. γ) Η διαδικασία των FGLS δίνει εκτιμητές που έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες μόνο ασυμπτωτικά, δηλ. για μεγάλα δείγματα. 3) Από τα δεδομένα 30 παρατηρήσεων για τις μεταβλητές Υ, Χ1, Χ2 εκτιμήθηκε με OLS το παρακάτω υπόδειγμα: Υt = - 1,8 + 0,27X1t + 0,44X2t + et Rad 2 = 0,96 DW = 0,52 (t) (2,5) (3,5) (1,97) (α) Να ελεγχθεί η ύπαρξη αυτοσυσχέτισης στα κατάλοιπα. 22

23 (β) Είναι δυνατό να εξετάσουμε τη στατιστική σημαντικότητα των συντελεστών του υποδείγματος; (γ) Να βρεθεί μια εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης στις στοχαστικές διαταραχές. (δ) Με ποιό τρόπο θα χρησιμοποιούσατε την παραπάνω εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης ώστε οι εκτιμήσεις των συντελεστών του υποδείγματος να είναι BLUE; 23

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση

3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση 3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση 3. Αιτίες που προκαλούν την ετεροσκεδαστικότητα Η ετεροσκεδαστικότητα οφείλεται σε διάφορες αιτίες. Οι πιο σημαντικές από αυτές είναι: Η ετεροσκεδαστικότητα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. . (Υποδείγματα με Διαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 1 )

Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. . (Υποδείγματα με Διαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 1 ) Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ.. (Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις ) Περιεχόμενα. Γενικά. Οικονομετρικά Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις. Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Σχέσεις μεταξύ δύο μεταβλητών... 21

Περιεχόμενα. 1. Σχέσεις μεταξύ δύο μεταβλητών... 21 Περιεχόμενα 1. Σχέσεις μεταξύ δύο μεταβλητών... 21 1.1 Παραδείγματα διμεταβλητών σχέσεων... 21 1.1.1 Διμεταβλητές κατανομές συχνοτήτων... 25 1.2 Ο συντελεστής συσχέτισης... 27 1.2.1 Ο συντελεστής συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... 15. Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19. 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21

Πρόλογος... 15. Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19. 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 1.1 Τι είναι η οικονομετρία... 21 1.2 Σκοποί της οικονομετρίας... 24 1.3 Οικονομετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή 2013 [Πρόλογος] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 2012-2013 Μ.Επ. ΟΕ0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης Μαρί-Νοέλ Ντυκέν, Επ. Καθηγητρία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ SOS & ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ www.dap papei.gr 2 ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Τι θα γράψω: Στις εξετάσεις τα θέματα περιλαμβάνουν ερωτήσεις και ασκήσεις (κυρίως ασκήσεις) όπου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμηματικό e-mal : dap_ode@yahoo.gr www.dap-pape.gr

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΕΒΔΟΜΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2008-2009

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ πόσες μετακινήσεις δημιουργούνται σε και για κάθε κυκλοφοριακή ζώνη; ΟΡΙΣΜΟΙ μετακίνηση μετακίνηση με βάση την κατοικία μετακίνηση με βάση άλλη πέρα της κατοικίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Χ. ΑΠ. ΛΑΔΙΑΣ

ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Χ. ΑΠ. ΛΑΔΙΑΣ ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Χ. ΑΠ. ΛΑΔΙΑΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Τα μέτρα διασποράς χρησιμεύουν για τη μέτρηση των περιφερειακών ανισοτήτων. Τα περιφερειακά χαρακτηριστικά που χρησιμοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Οικονομικών και Κοινωνικών Επιστημών. ΔΠΜΣ Στην Οικονομική Επιστήμη. Διπλωματική Εργασία

Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Οικονομικών και Κοινωνικών Επιστημών. ΔΠΜΣ Στην Οικονομική Επιστήμη. Διπλωματική Εργασία Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Οικονομικών και Κοινωνικών Επιστημών ΔΠΜΣ Στην Οικονομική Επιστήμη Διπλωματική Εργασία Θέμα : «Ζήτηση Προθεσμιακών Καταθέσεων» Όνομα : Ελένη Ζίττη Αριθμός Μητρώου : Μ 08/04 Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΥΛΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. Σάββας Παπαδόπουλος metrika@otenet.gr http://www.riskmetrica.wordpress.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΥΛΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. Σάββας Παπαδόπουλος metrika@otenet.gr http://www.riskmetrica.wordpress. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Η Ύλη του µαθήµατος είναι στις διαφάνειες (slides) τα οποία καλύφθηκαν στην τάξη και βρίσκονται στην ιστοσελίδα: ανεξάρτητα µε το πιο βιβλίο που χρησιµοποιείται. Μερικά από τα θέµατα καλύπτονται

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Συγχρονισμός Συμβόλων Εισαγωγή Σε ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα, η έξοδος του φίλτρου λήψης είναι μια κυματομορφή συνεχούς χρόνου y( an x( t n ) n( n x( είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα