ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι προϋποθέσεις που θέσαμε ώστε να εξασφαλίσουμε BLUE εκτιμητές με τη μέθοδο των συνήθων ελαχίστων τετραγώνων στο κλασσικό γραμμικό υπόδειγμα δεν είναι ιδιαίτερα περιοριστικές όταν το υπόδειγμα αυτό εφαρμόζεται σε πειραματικά δεδομένα στα πλαίσια των θετικών επιστημών, όπου οι μεταβολές στις τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών βρίσκονται υπό τον έλεγχο του ερευνητή. Η κατάσταση όμως είναι διαφορετική όταν το παραπάνω υπόδειγμα χρησιμοποιηθεί στα πλαίσια της οικονομετρίας για την ανάλυση και μέτρηση σχέσεων μεταξύ οικονομικών μεταβλητών. Στην περίπτωση αυτή οι προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες οι OLS εκτιμητές του κλασσικού γραμμικού υποδείγματος είναι BLUE είναι πολύ δεσμευτικές, με αποτέλεσμα σε πολλές περιπτώσεις να μην είναι δυνατό να ικανοποιηθούν. Η παραβίαση των προϋποθέσεων αυτών συνεπάγεται και απώλεια, σε μικρό ή μεγαλύτερο βαθμό, των επιθυμητών ιδιοτήτων των OLS εκτιμητών. Ένα από τα σπουδαιότερα αντικείμενα της θεωρητικής οικονομετρίας αποτελεί η ανάπτυξη εναλλακτικών μεθόδων εκτίμησης στις περιπτώσεις όπου οι υποθέσεις του κλασσικού γραμμικού υποδείγματος παραβιάζονται. Η παραβίαση των υποθέσεων δυνατόν να αφορά τόσο τις στοχαστικές διαταραχές όσο και τις επεξηγηματικές μεταβλητές. Στην ενότητα αυτή θα μελετήσουμε εναλλακτικούς εκτιμητές για τις περιπτώσεις όπου, όσον αφορά τις στοχαστικές διαταραχές, οι προϋποθέσεις ομοσκεδαστικότητας και απουσίας αυτοσυσχέτισης δεν πληρούνται. Πιο συγκεκριμένα: i) Θα αναπτύξουμε τους λεγόμενους εκτιμητές γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων (generalized least squares, ή GLS estimators), ii) Θα μελετηθούν οι συνέπειες της εφαρμογής OLS εκτιμητών όταν έχουμε μη σφαιρικές διαταραχές, όπως στην περίπτωση της 1

2 ετεροσκεδαστικότητας και των αυτοσυσχετιζόμενων διαταραχών, iii) Θα περιγραφούν διαδικασίες ελέγχου της ορθότητας των προϋποθέσεων ομοσκεδαστικότητας και έλλειψης αυτοσυσχετίσεως στις διαταραχές. 7.2 ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Η υπόθεση Ε(uu ) = σ 2 I που ίσχυε όταν δεν υπήρχε ετεροσκεδαστικότητα ή αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα τώρα πλέον αντικαθίσταται από την: Ε(uu ) = σ 2 Ω όπου Ω ένας γνωστός πίνακας διαστάσεων Ν Ν. Παραδείγματα για τη μορφή του πίνακα Ω: 1)Για την περίπτωση ετεροσκεδαστικότητας ο Ω έχει τη μορφή: 2)Για την περίπτωση που η μορφή της αυτοσυσχέτισης στις στοχαστικές διαταραχές Ui εκφράζεται με ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα 1 ου βαθμού (AR(1) )δηλ. U i = ρu i 1 +εi με εi iid ο πίνακας Ω θα έχει τη μορφή: 2

3 Ο αντικειμενικός σκοπός των εκτιμητών GLS είναι να ενσωματώσουν την επιπλέον πληροφορία που μας παρέχεται αν γνωρίζουμε τη μορφή του Ω. Δεχόμενοι ότι οι υπόλοιπες προϋποθέσεις που είχαν τεθεί για τους OLS εκτιμητές εξακολουθούν να ισχύουν, αυτό μπορεί να πραγματοποιηθεί με την εφαρμογή κατάλληλου μετασχηματισμού στα αρχικά δεδομένα σε τρόπο ώστε να επιτύχουμε για τις μετασχηματισμένες στοχαστικές διαταραχές u να ισχύει: E(u u ) = σ 2 I Καθώς ο Ω μπορεί να θεωρηθεί ως θετικά ορισμένος (δηλ. για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα Χ να ισχύει x Ωx>0) σύμφωνα με γνωστό θεώρημα της γραμμικής άλγεβρας υπάρχει μη ιδιάζων πίνακας P τέτοιος ώστε: Χρησιμοποιώντας τώρα τον πίνακα P για να μετασχηματίσουμε τα αρχικά μας δεδομένα θα έχουμε: Για τις μετασχηματισμένες στοχαστικές διαταραχές θα έχουμε: 3

4 Επομένως για τις μετασχηματισμένες μεταβλητές y, Χ πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις ώστε οι OLS εκτιμητές που αναφέρονται σε αυτές, δηλ. οι εκτιμητές που δίνονται από τη σχέση: ˆ ( X X ) X y, * * * 1 * * να είναι BLUE. Επομένως οι GLS εκτιμητές είναι οι OLS εκτιμητές των μετασχηματισμένων δεδομένων. Αναφερόμενοι τώρα στα αρχικά μας δεδομένα οι GLS εκτιμητές θα δίνονται από τη σχέση: Ο πίνακας διακύμανσης συνδιακύμανσης των εκτιμητών ˆGLS θα είναι: Επιπλέον ο εκτιμητής του σ 2 για την περίπτωση των GLS εκτιμητών θα είναι: = {P(y Xβ GLS )} {P(y Xβ GLS } (N k) = (y Xβ GLS ) P P(y Xβ GLS ) (N k) 2 y X ˆ 1 ˆ y X N K ˆ ( ) / GLS Ο εκτιμητής αυτός είναι αμερόληπτος και διαφέρει από τον αντίστοιχο ML εκτιμητή (που στον παρανομαστή έχει Ν αντί (Ν-Κ)).Ο τελευταίος για μικρά δείγματα είναι προφανώς μεροληπτικός. Το ερώτημα που τίθεται είναι τι συνέπειες θα έχουμε αν για μη σφαιρικές διαταραχές εξακολουθήσουμε να χρησιμοποιούμε OLS εκτιμητές. Έστω λοιπόν ότι στο υπόδειγμα: y = Xβ + u με u~(0, σ 2 Ω) χρησιμοποιούμε τον OLS εκτιμητή για το β τότε όπως ξέρουμε: GLS 4

5 β = β + (Χ Χ) 1 Χ u και Ε(β ) = β + (Χ Χ) 1 Χ Ε(u) = β, άρα ο β εξακολουθεί να είναι αμερόληπτος. Όμως VAR(β ) = Ε{(β β)(β β) } = Ε{(Χ Χ) 1 Χ uu Χ(Χ Χ) 1 } = σ 2 (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ(Χ Χ) 1 σ 2 (Χ Χ) 1 Επιπλέον αποδεικνύεται ότι: Ε(u u ) = σ 2 {trω tr{(χ Χ) 1 Χ ΩΧ}} σ 2 (Ν κ) Άρα: Ο OLS εκτιμητής του VAR COV(β ) μεροληπτικός. δηλ. ο σ 2 (X X) 1 είναι Ο OLS εκτιμητής του σ 2 είναι μεροληπτικό στο βαθμό που tr(ω (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ) διαφέρει από το σ 2 (Ν κ) Έστω και αν χρησιμοποιήσουμε τον εκτιμητή σ 2 (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ(Χ Χ) 1, ο εκτιμητής του β δε θα είναι αποτελεσματικός καθώς όπως είδαμε ο αντίστοιχος GLS εκτιμητής είναι ο σ 2 (Χ Ω 1 Χ) 1 (για την διακύμανση του β ). Tα t-test και F-test δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού R 2 δεν είναι αμερόληπτη (αφού η διακύμανση των καταλοίπων δεν είναι αμερόληπτη), και δεν μπορούμε να ελέγξουμε αν είναι στατιστικά σημαντική. Το προβλήματα αυτά λύνονται χρησιμοποιώντας τους GLS εκτιμητές που όπως είδαμε είναι οι OLS εκτιμητές των δεδομένων που έχουμε κατάλληλα μετασχηματίσει ώστε να πληρούνται οι προϋποθέσεις που εξασφαλίζουν BLUE εκτιμητές. Οι GLS εκτιμητές βρίσκουν εφαρμογή στις περιπτώσεις ετεροσκεδαστικότητας και αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων. Βέβαια μέχρι τώρα υποθέσαμε ότι ο πίνακας Ω είναι γνωστός, κάτι που φυσικά δεν ισχύει στην πράξη. Ο Ω αποτελείται από Ν Ν στοιχεία και αν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση υποθέτουμε ότι τα Ν διαγώνια στοιχεία είναι γνωστά. Αν δεν είναι γνωστά, τότε πρέπει με κάποιο τρόπο να εκτιμηθούν. Έτσι στην πράξη οι 5

6 άγνωστες παράμετροι αντικαθίστανται από συνεπείς εκτιμήσεις τους, και οι εκτιμητές που προκύπτουν και αυτό τον τρόπο ονομάζονται εκτιμητές εφικτών γενικευμένων, ελαχίστων τετραγώνων (Feasible Generalized least Squares). Επειδή η περίπτωση της αυτοσυσχέτισης εξετάζεται εκτενώς και στα πλαίσια του μαθήματος των χρονολογικών σειρών, στη συνέχεια θα επικεντρωθούμε κατά κύριο λόγο στο πρόβλημα της ετεροσκεδαστικότητας, ενώ για την περίπτωση της αυτοσυσχέτισης η μελέτη θα περιοριστεί στην περίπτωση των AR(1) διαταραχών που είναι και η συνηθέστερη. 7.3 ΕΤΕΡΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Θεωρώντας για απλούστευση το υπόδειγμα Y i = β 1 + β 2 X i + U i θα προσπαθήσουμε να δώσουμε πρώτα απ όλα μια εξήγηση στο γεγονός ότι ο OLS εκτιμητής του β 2 ενώ είναι αμερόληπτος δεν είναι βέλτιστος. Αν δεχθούμε κατά τα γνωστά ότι τιμή Χ i αντιστοιχεί μία κατανομή τιμών Y i και οι διακυμάνσεις των κατανομών αυτών δεν είναι ίδιες τότε θα θέλαμε να μπορούμε να δώσουμε μεγαλύτερη βαρύτητα σε εκείνες τις κατανομές με τη μικρότερη διακύμανση καθώς αυτό θα μας επέτρεπε να εκτιμήσουμε καλύτερα την PRF. Αυτό ακριβώς κάνουμε με τα GLS! Πράγματι ο VAR COV(u ) για την περίπτωση της ετεροσκεδαστικότητας γράφεται: 2 σ VAR COV(u ) = 1 [ ] = 1 Ω σ Ν 1 1 σ Άρα Ω 1 σ 1 = και άρα P = [ [ σ Ν2 ] Επομένως για να μετασχηματίσουμε τα αρχικά μας δεδομένα αρκεί να διαιρέσουμε το αρχικό υπόδειγμα με σ i δηλ: 6 σ Ν ]

7 με X 0i = 1 i Ορίζουμε Y i = β 1 + β 2 X i + U i Y i X 0i X i = β σ 1 + β i σ 2 + U i i σ i σ i y i = Py i = y i σ i X i = PX i = X i σ i y i = β 1 Χ 0i + β 2 Χ i + U i U i = PU i = U i σ i Προσοχή: τώρα έχουμε β 1, β 2 αντί β 1, β 2 Τότε VAR(u i ) = E(u 2 i ) = E( u i ) 2 = 1 Ε(u 2 σ i σ i ) = σ 2 i i σ2 = 1 i Άρα όπως περιμέναμε τα υπόλοιπα επομένως οι β 1, β 2 BLUE. τώρα είναι ομοσκεδαστικά και Για να έχουμε τους GLS εκτιμητές β 1, β 2 πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε το u i 2 = (Y i β Χ 1 01 β Χ 2 i ) 2 δηλ. το ( u i ) = {( Y i ) β σ i σ 1 ( Χ 01 ) i σ i β ( X i 2 )} 2 σ i (σημ.: Το u i είναι τα κατάλοιπα του υποδείγματος για τα αρχικά δεδομένα δηλ. του Y i = β 1 + β Χ 2 i + u i ) Θέτοντας 1 σ i 2 για τα GLS ελαχιστοποιούμε το: w i u 2 i = w i (Y i β 1 β 2 X i ) 2, ενώ όπως ξέρουμε για τα OLS ελαχιστοποιούμε το: u 2 i = (Y i β 1 β X 2 i ) 2 Άρα έχουμε επιτύχει αυτό που θέλαμε: με τα GLS ελαχιστοποιούμε ένα σταθμισμένο άθροισμα τετραγώνων των υπολοίπων, όπου οι σταθμίσεις w i = 1 σ i 2 είναι αντιστρόφως ανάλογες των διακυμάνσεων των πληθυσμών 7

8 που αντιστοιχούν στο εκάστοτε Χ i (!!). Άρα τα GLS εκτιμούν πιο αξιόπιστα από το OLS την PRF. Λόγω του ότι τα W i λειτουργούν ως σταθμίσεις (Weights), τα GLS για την περίπτωση της ετεροσκεδαστικότητας ονομάζονται και «σταθμισμένα ελάχιστα τετράγωνα» (Weighted Least Squares). Ως εδώ η αντιμετώπιση το προβλήματος της ετεροσκεδαστικότητας φαίνεται να είναι απόλυτα επιτυχής με τα GLS, όμως θεωρήσαμε ως δεδομένα ότι: (α)υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα (β) γνωρίζουμε τα διαγώνια στοιχεία του Ω. Στην πράξη apriori δεν γνωρίζουμε ούτε το (α) ούτε το (β). Το πρώτο λοιπόν ερώτημα που πρέπει να απαντηθεί είναι πως 2 ανιχνεύουμε την ετεροσκεδαστικότητα στα δεδομένα μας; Αφού τα σ i μπορούν να είναι γνωστά μόνο όταν μας είναι γνωστοί οι πληθυσμοί των Y i X i αναγκαστικά ανατρέχουμε στα κατάλοιπα U i που ελπίζουμε ότι είναι καλές εκτιμήσεις των διαταραχών U i. Έτσι αναπόφευκτα εκτιμάμε αρχικά το υπόδειγμα με OLS ώστε να έχουμε τα U i. Μια πρώτη εικόνα μπορούμε να έχουμε από τη γραφική παράσταση των U i2 με κάθε μια από τις ανεξάρτητες μεταβλητές, αλλά και με την Y i. Η μορφή της γραφικής παράστασης μπορεί να υποδηλώνει και το χαρακτήρα της ετεροσκεδαστικότητας, αν υπάρχει. Βέβαια υπάρχουν και πιο αυστηρές μέθοδοι και μάλιστα αρκετές, αν και κάποιες παλαιότερες εξ αυτών (π.χ. έλεγχος Park, έλεγχος Glejser) έχουν δεχθεί κριτική για την ορθότητα τους. Ενδεικτικά θα περιγράψουμε τον έλεγχο Goldfield Quandt και τον έλεγχο White. Έλεγχος Goldfield Quandt Έστω το υπόδειγμα: Y i = β 1 + β 2 X i + U i : Υποθέτουμε ότι ισχύει: σ i 2 = σ 2 X i 2, ή έστω ότι το σ i 2 είναι μονότονη 8

9 συνάρτηση κάποιας από τις επεξηγηματικές μεταβλητές. Για τον έλεγχο ετεροσκεδαστικότητας ακολουθούμε τα επόμενα βήματα: 1 ο. Κατατάσσουμε τις παρατηρήσεις μας κατά σειρά μεγέθους ως προς την X i (και έστω κατά αύξουσα τάξη). 2 o. Παραλείπουμε τις C μεσαίες παρατηρήσεις και χωρίζουμε τις (N C) υπόλοιπες (Ν-C) σε δυο ομάδες των 2 παρατηρήσεων. 3 o. Εκτιμάμε για κάθε ομάδα χωριστά ένα υπόδειγμα OLS παλινδρόμησης. Έστω RSS1, RSS2 τα αθροίσματα των τετραγώνων των υπολοίπων για τις ομάδες με τις μικρότερες και τις μεγαλύτερες τιμές Χ i αντίστοιχα. 4 o. Υπολογίζουμε το λόγο: λ = RSS 2 df RSS 1 df (στατιστικό Goldfeld-Quant) όπου οι β.ε., είναι (N C) K με Κ τον αριθμό των παραμέτρων του 2 υποδείγματος. Αν U i κατανέμονται κανονικά ο λ ακολουθεί κατανομή F με df, df βαθμούς ελευθερίας (df = (N C) K) 2 Η Ho: δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα, απορρίπτεται αν η τιμή του λ βρεθεί > της κρίσιμης τιμής της F κατανομής για προεπιλεγμένο επίπεδο σημαντικότητας και τους δεδομένους β.ε. Η αφαίρεση των C μεσαίων παρατηρήσεων γίνεται ώστε η διαφορά RSS μεταξύ των δύο ομάδων να είναι πιο έντονη. Για μικρά δείγματα (Ν< 30) το C μπορεί να είναι μεταξύ 4 και 8. Εφαρμογή Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται τα δεδομένα για τις καταναλωτικές δαπάνες και το εισόδημα για 30 οικογένειες. Υποθέτοντας ένα γραμμικό υπόδειγμα C i = β 1 + β 2 I i + U i να εξετασθεί η ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας. Λύση Αφού ανακατατάξουμε τα δεδομένα κατά αύξουσα τάξη ως προς Ι και 9

10 αφαιρέσουμε τις 4 μεσαίες παρατηρήσεις εκτιμάμε τις OLS παλινδρομήσεις για κάθε ομάδα: C 1i = 3,41 + 0,699I 1i RSS 1 = 377,17 (S. E) (8,7 ) (0,074 ) df = 11 C 2i = 28,02 + 0,794I 2i RSS 2 = 1536,8 (S. E. ) (30,6 ) (0,131 ) df = 11 Από πίνακα της κατανομής F βρίσκουμε: F 0,05 (11, 11 ) = 2,82 Επειδή η ευρεθείσα τιμή είναι > της κρίσιμης απορρίπτουμε την Ho και επομένως δεχόμαστε την ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας. Δεδομένα σε αύξουσα σειρά ως προς Χ Y X Y X Middle 4 Observations 10

11 Έλεγχος White Ένας άλλος πολύ διαδεδομένος έλεγχος για ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας είναι ο έλεγχος White. Στα πλεονεκτήματα του ελέγχου αυτού συμπεριλαμβάνεται το γεγονός ότι δεν προϋποθέτει τον καθορισμό των μεταβλητών που προκαλούν την ετεροσκεδαστικότητα και επιπλέον δεν προϋποθέτει οι διαταρακτικοί όροι να ακολουθούν την κανονική κατανομή. Τονίζεται πάντως ότι ο έλεγχος White είναι ασυμπτωτικός. Τα βήματα που ακολουθούμε είναι τα εξής: (1)Υπολογίζουμε τα κατάλοιπα U t που προκύπτουν από το αρχικό υπόδειγμα χρησιμοποιώντας OLS. (2)Εκτιμάμε τη λεγόμενη βοηθητική παλινδρόμηση (auxiliary regression) στην οποία η εξαρτημένη μεταβλητή είναι τα τετράγωνα των καταλοίπων που υπολογίσαμε στο (1) και επεξηγηματικές μεταβλητές όλες οι ανεξάρτητες μεταβλητές του (1), τα τετράγωνα τους, καθώς και όλα τα μεταξύ τους γινόμενα και υπολογίζουμε τον συντελεστή προσδιορισμού R 2. (3)Το στατιστικό NR 2 p 2 X (q) με q τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών στη βοηθητική παλινδρόμηση. Αν η τιμή του στατιστικού αυτού βρεθεί < της κρίσιμης τιμής για προεπιλεγμένο επίπεδο 11

12 σημαντικότητας και δεδομένους β.ε. τότε η μηδενική υπόθεση (ότι όλοι οι συντελεστές στη βοηθητική παλινδρόμηση πλην του σταθερού είναι 0 δηλ. ότι δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα) δεν απορρίπτεται. Αν από την άλλη πλευρά η Ho απορριφθεί αυτό σημαίνει αποδοχή ετεροσκεδαστικότητας όμως δεν έχουμε ενδείξεις για τα χαρακτηριστικά της. Σχετικά με τον έλεγχο White πρέπει να σημειώσουμε και πάλι ότι ισχύει για μεγάλα δείγματα, ενώ ένα μειονέκτημα του ειδικά όταν δεν έχουμε πολύ μεγάλο δείγμα, είναι οι πολλοί βαθμοί ελευθερίας που «σπαταλούνται» στη βοηθητική παλινδρόμηση, κάτι που μειώνει και την ισχύ του ελέγχου. Εκτιμητές ανθεκτικοί στην ετεροσκεδαστικότητα (Heteroscedasticity robust estimators) Όπως είδαμε οι OLS εκτιμητές παρουσία ετεροσκεδαστικότητας είναι μη αποτελεσματικοί και η διακύμανση τους δίνεται από τη σχέση: VAR COV(Β ) = σ 2 (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ(Χ Χ) 1 Ακόμα και στην περίπτωση που αποφασίσει κανείς να προχωρήσει με τους OLS εκτιμητές θα πρέπει να εκτιμήσει τον πίνακα Ω. Ο White (1980) πρότεινε έναν εκτιμητή στον οποίο τα διαγώνια στοιχεία του Ω αντικαθίστανται με τα τετράγωνα των καταλοίπων από την OLS παλινδρόμηση. Ο εκτιμητής που προκύπτει (γνωστός σαν white heteroscedasticity-consistent variance covariance matrix estimator) είναι συνεπής και έτσι τα F, t-test μπορούν να χρησιμοποιηθούν ασυμπτωτικά. Για μικρά δείγματα οι Davidson and Mackinnon προτείνουν τη χρήση των (ΝU i2 ) N K αντί των U i2. Σημειώνεται ότι στις τελευταίες εκδόσεις τους όλα τα οικονομετρικά πακέτα περιλαμβάνουν τον εκτιμητή του White. 12

13 Εφικτά Γενικευμένα Ελάχιστα Τετράγωνα Όταν ο πίνακας Ω δεν είναι γνωστός, για την περίπτωση της ετεροσκεδαστικότητας πρέπει να γίνουν υποθέσεις σχετικά με το χαρακτήρα της ετεροσκεδαστικότητας. Οι πιο συνηθισμένες από αυτές είναι οι ακόλουθες: 2 Χ 1 0 i. E(u 2 i ) = σ 2 X 2 i τότε προφανώς Ω = [ ] 0 2 Χ Ν X 1 0 Άρα P = [ X N ] Χ 1 0 ii. E(u 2 i ) = σ 2 X i τότε Ω = [ ] P = 0 Χ Ν 1 X [ X N ] iii. E(u 2 i ) = σ 2 (E(Y i )) 2 επειδή το Ε(Y i ) δεν είναι γνωστό iv. χρησιμοποιούμε το Y i αντί αυτού. Λογαριθμίζουμε τα δεδομένα. Η συμπίεση στις κλίμακες που προκαλεί ο λογαριθμικός μετασχηματισμός αμβλύνει τις διαφορές μεταξύ των τιμών των U i2. Επιπλέον όπως γνωρίζουμε, οι συντελεστές παλινδρόμησης μας δίνουν τις ελαστικότητες οι οποίες και θεωρούνται σταθερές στο log-log υπόδειγμα. 7.4 ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΜΕ AR(1) ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ Έλεγχος αυτοσυσχέτισης με το στατιστικό Durbin-Watson Yt = β1+ β2xt + Ut στοχαστικές διαταραχές (πληθυσμιακή παλινδόμηση) κατάλοιπα Yt = β 1 + β X 2 t + e t (δειγματική παλινδρόμηση) 13

14 Το στατιστικό D-W χρησιμοποιεί τα et και ορίζεται ως εξής: d= N t=2 (e t e t 1 ) 2 N e2 t=1 t (=RSS) Προϋποθέσεις εφαρμογής 1. Στο οικονομετρικό υπόδειγμα πρέπει να υπάρχει σταθερός όρος. 2. Οι επεξηγηματικές μεταβλητές πρέπει να είναι μη-στοχαστικές. 3. Οι διαταραχές πρέπει να ακολουθούν ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα πρώτου βαθμού δηλ. Ut= ρut-1 + εt με εt iid και ρ < Δεν πρέπει μεταξύ των επεξηγηματικών μεταβλητών του υποδείγματος να περιλαμβάνονται χρονικές υστερήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής όπως για παράδειγμα στο υπόδειγμα: Yt= β1+ β2xt+ β3yt-1+ Ut 5. Οι στοχαστικές διαταραχές Ut πρέπει να ακολουθούν την κανονική κατανομή. Πλεονέκτημα : Ευκολία στον υπολογισμό της τιμής του d Μειονεκτήματα : Πολλές προϋποθέσεις για να είναι δυνατή η χρήση του d. Οχι ακριβής κατανομή πιθανότητας για το d, καθώς τα et εξαρτώνται από τις εκάστοτε επεξηγηματικές μεταβλητές. Οι D-W έδωσαν πίνακα τιμών για τα dl, du με dl, du = f(n,k) όπου Κ= αριθμός επεξηγηματικών μεταβλητών στο υπόδειγμα Ν= αριθμός παρατηρήσεων. Όρια τιμών για το d N N t=2 + t=2 e 2 e t e t 1 N l2 t=1 t d= e t 2 2( e t 2 e t e) e t 2 d 2(1 ρ ) 14

15 και επειδή 1 ρ 1 0 d 4 για ρ = 0 d 2 για ρ = +1 (τέλεια θετική αυτοσυσχέτιση) d = 0 για ρ = 1 (τέλεια αρνητική αυτοσυσχέτιση) d = 4 (+) αυτοσυσχέτ ιση Όχι απόφα ση Όχι αυτοσυσχέτ ιση Όχι απόφα ση (-) αυτοσυσχέτ ιση 0 dl du 2 4-dU 4-dL 4 Για την εφαρμογή του ελέγχου D-W ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Εκτιμάμε το οικονομετρικό υπόδειγμα και παίρνουμε τα κατάλοιπα 2. Από τα κατάλοιπα υπολογίζουμε το d. 3. Με βάση τον αριθμό των παρατηρήσεων και τον αριθμό των επεξηγηματικών μεταβλητών στο υπόδειγμα βρίσκουμε τις κρίσιμες τιμές dl, du από το σχετικό πίνακα. 4. Αποφασίζουμε για την ύπαρξη ή μη αυτοσυσχέτισης με βάση το παραπάνω σχήμα. Διόρθωση Αυτοσυσχέτισης Καθώς παρουσία αυτοσυσχέτισης οι OLS εκτιμητές των παραμέτρων του υποδείγματος είναι μη-αποτελεσματικοί χρειάζονται διορθωτικές κινήσεις ώστε οι εκτιμητές μας να έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες. Μεθοδολογικά είναι χρήσιμο να διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: 15

16 α) Όταν η δομή της αυτοσυσχέτισης στις διαταραχές είναι γνωστή. Συνήθως υποθέτουμε ένα AR(1) σχήμα για τις διαταραχές: Ut= ρut-1 + εt με ρ < 1 και εt iid. Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε: Y t = β 1 + β 2 X t + U t ρy t 1 = ρβ 1 + ρβ 2 X t 1 + ρu t 1 (Y t ρy t 1 ) = β 1 (1 ρ) + β 2 (X t ρx t 1 ) + (U t ρu t 1 ) ε t ( ) X t = β 1 + β 2 X t + ε t (*) Εξίσωση γενικευμένων διαφορών (Generalized difference equation or Quasi difference equation) Καθώς το εt στην εξίσωση γενικευμένων διαφορών πληροί όλες τις προϋποθέσεις ώστε οι OLS εκτιμητές να είναι BLUE μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο OLS ώστε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους στο υπόδειγμα με τις μετασχηματισμένες μεταβλητές. Σημειώνεται ότι γράφοντας το υπόδειγμα σε χρόνο t-1 και εν συνεχεία αφαιρώντας ένα ποσοστό (=ρ) των τιμών των μεταβλητών τη χρονική στιγμή t-1 από τις αντίστοιχες τιμές των μεταβλητών αυτών τη χρονική στιγμή t, χάνεται η πρώτη παρατήρηση. Αυτό δυνατόν να έχει σοβαρές συνέπειες ιδιαίτερα σε μικρά δείγματα. Για να αποφύγουμε κάτι τέτοιο για τις πρώτες παρατηρήσεις των Yt, Xt χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό Prais-Winsten: Y 1 = Y 1 (1 ρ 2 ) X 1 = X 1 (1 ρ 2 ) 16

17 Συμπλήρωση για την εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης για μικρά δείγματα Στην περίπτωση μικρών δειγμάτων η σχέση d 2(1 ρ ) δεν ισχύει. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε την κατά Theil Nagar τροποποίηση για την εκτίμηση του ρ που δίνεται από την σχέση: ρ = N2 (1 d 2 ) + K2 N 2 K 2 όπου Ν= μέγεθος δείγματος, Κ= αριθμός συντελεστών συμπεριλαμβανομένου και του σταθερού όρου. Για δεδομένο Κ για Ν έχουμε: ρ = (1 d 2 )+K2 N 2 1 K2 N 2 lim N ρ = 1 d 2 β) Όταν η δομή της αυτοσυσχέτησης στις διαταραχές δεν είναι γνωστή. Ακολουθούμε μία διαδικασία δύο σταδίων A. Γίνεται εκτίμηση του ρ (υπάρχουν διάφορες μέθοδοι γι αυτό το σκοπό) B. Χρησιμοποιούμε την εκτίμηση του ρ για να μετασχηματίσουμε τις μεταβλητές μας και να γίνει η εκτίμηση των συντελεστών μέσω της γενικευμένης εξίσωσης διαφορών. Επειδή έχουμε την εκτίμηση των συντελεστών της τιμής του ρ και όχι την αληθή τιμή η μέθοδος είναι γνωστή ως FGLS ή EGLS. Σημαντική παρατήρηση: 17

18 Όταν χρησιμοποιούμε έναν εκτιμητή ανεξαρτήτου της αληθούς τιμής οι OLS εκτιμήσεις των συντελεστών έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες μόνο ασυμπτωτικά δηλαδή σε μεγάλα δείγματα το ίδιο ισχύει και για ελέγχους υποθέσεων. Εκτίμηση του ρ 1. Από D-W 2. Εκτίμηση από τα κατάλοιπα u t = ρ u t E t 3. Επαναληπτικές μέθοδοι: Cochrane-Orcutt Hilbert-Lu Καθαρή και επαγόμενη αυτοσυσχέτιση Η αυτοσυσχέτιση στις διαταραχές ενός υποδείγματος παλινδρόμησης μπορεί να διακριθεί σε «καθαρή» κα «επαγόμενη». Αυτό εξαρτάται από το κατά πόσον το υπόδειγμα είναι σωστά ορισμένο. Για ένα σωστά ορισμένο υπόδειγμα η αυτοσυσχέτιση στις διαταραχές μπορεί να οφείλεται στο ότι η αυτοσυσχέτιση που εμφανίζεται σε κάποιες μεταβλητές που υπεισέρχονται στο υπόδειγμα δεν αντισταθμίζεται μέσω του υποδείγματος και έτσι μεταφέρεται στο διαταρακτικό όρο. Επιπλέον, είναι δυνατό η αυτοσυσχέτιση να οφείλεται στο γεγονός ότι ενώ το υπόδειγμα είναι σωστά ορισμένο, η εξαρτημένη μεταβλητή έχει μετρηθεί με σφάλμα. Αυτή η αυτοσυσχέτιση ονομάζεται καθαρή αυτοσυσχέτιση, και δεν είναι δυνατό να εξαλειφθεί όσο η εκτίμηση του 18

19 υποδείγματος γίνεται με OLS. Περισσότερο συνηθισμένη είναι η περίπτωση της εμφάνισης αυτοσυσχέτισης στις διαταραχές λόγω εσφαλμένης εξειδίκευσης του υποδείγματος. Το σφάλμα εξειδίκευσης μπορεί να οφείλεται: (i) Σε παράλειψη μιας ή περισσότερων ερμηνευτικών μεταβλητών. Σε αυτή την περίπτωση αν η μεταβλητή που έχει παραληφθεί εμφανίζει αυτοσυσχέτιση, η αυτοσυσχέτιση αυτή μεταφέρεται στις διαταραχές. (ii) Σε λάθος συναρτησιακή μορφή. Για παράδειγμα αν η σωστή εξειδίκευση του υποδείγματος απαιτεί πολυωνυμική παλινδρόμηση και αντ αυτής χρησιμοποιηθεί γραμμική παλινδρόμηση τότε στις διαταραχές θα αποτυπωθεί η αδυναμία του υποδείγματος να ερμηνεύσει τις μη γραμμικές διακυμάνσεις της εξαρτημένης μεταβλητής με τη μορφή (θετικής στη συγκεκριμένη περίπτωση) αυτοσυσχέτισης. Η αυτοσυσχέτιση που εμφανίζεται σε αυτές τις περιπτώσεις ονομάζεται επαγόμενη αυτοσυσχέτιση και είναι δυνατό να εξαλειφθεί στο πλαίσιο των OLS εκτιμήσεων των συντελεστών του υποδείγματος, εφόσον αναιρεθούν οι αιτίες που την προκαλούν. 7.5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1) Επειδή στα εφικτά γενικευμένα ελάχιστα τετράγωνα τα στοιχεία του πίνακα Ω είναι εκτιμήσεις των πραγματικών τιμών, τα FGLS έχουν ισχύ ασυμπτωτικά. Για αυτό το λόγο και όλοι οι στατιστικοί έλεγχοι π.χ. t- test, F-test ισχύουν ασυμπτωτικά δηλ. για μεγάλα δείγματα. Για μικρά δείγματα εάν η ακρίβεια στην εκτίμηση του Ω δεν είναι καλή τότε η υπεροχή των FGLS εκτιμητών έναντι των εκτιμητών OLS αμφισβητείται. Αν για παράδειγμα σε ένα 19

20 υπόδειγμα υπάρχει στα κατάλοιπα αυτοσυσχέτιση που περιγράφεται από ένα AR(2) υπόδειγμα και εσφαλμένα χρησιμοποιηθεί AR(1) υπόδειγμα, οι εκτιμήσεις FGLS είναι χειρότερες των OLS εκτιμήσεων, όπως έδειξε σχετική μελέτη από τον Engle (1973). Από την άλλη πλευρά πάλι για την περίπτωση αυτοσυσχετιζόμενων καταλοίπων οι Rao and Griliches (1969) έδειξαν με πειράματα Monte Carlo για μικρά δείγματα ότι οι FGLS εκτιμητές υπερέχουν των OLS εκτιμητών για υπόδειγμα AR(1) στα κατάλοιπα και ρ 0.3 όπου ρ ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης. 2) Για την ετεροσκεδαστικότητα, σε κάθε περίπτωση ο μετασχηματισμός των δεδομένων με τον πίνακα P δημιουργεί μια επιπλέον μεταβλητή, αφού και η σταθερά του αρχικού υποδείγματος πολλαπλασιάζεται με P. Έτσι για τα μετασχηματισμένα δεδομένα θα πρέπει να εκτιμήσουμε ένα υπόδειγμα χωρίς σταθερό όρο. Εξαίρεση αποτελεί η περίπτωση (i) της προηγούμενης ενότητας, καθώς αν διαιρέσουμε με Χi ο συντελεστής παλινδρόμησης β 2 στο υπόδειγμα Y i = β 1 + β 2 X i + U i μετατρέπεται σε σταθερό όρο. Άρα στην περίπτωση αυτή έχουμε και στα μετασχηματισμένα δεδομένα μια ανεξάρτητη μεταβλητή την 1 και υπόδειγμα με X i σταθερό όρο. 3) Αν γίνει χρήση του λογαριθμικού μετασχηματισμού χρειάζεται προσοχή στα αρχικά δεδομένα καθώς δεν πρέπει να εμπεριέχονται σ αυτά αρνητικές τιμές. Ένας τρόπος να αποφύγουμε αυτό το πρόβλημα είναι αντί για ln Y i, ln X i να 20

21 χρησιμοποιήσουμε ln(y i + K), ln(x i + K) όπου K>0 τέτοιος ώστε Y i + K > 0 i, X i + K > 0 i. 4) Για τα εφικτά γενικευμένα ελάχιστα τετράγωνα η περίπτωση (iii) έχει νόημα όταν στο υπόδειγμα έχουμε περισσότερες της μίας επεξηγηματικές μεταβλητές. Διαφορετικά η (iii) εμπίπτει στην (i). 5) Με τους ad-hoc μετασχηματισμούς υπάρχει ο κίνδυνος δημιουργίας εσφαλμένων συσχετίσεων. Αν π.χ. οι Y i, X i δεν συσχετίζονται και τις μετασχηματίσουμε ως Y i X i τελευταίες ενδέχεται να συσχετίζονται. και, 1 X i οι 6) Επειδή μία εσφαλμένη εξειδίκευση ενός υποδείγματος μπορεί να προκαλέσει στατιστικά σημαντικές τιμές του D-W test, το στατιστικό αυτό δύναται να χρησιμεύσει και ως έλεγχος ορθής εξειδικεύσεως ενός υποδείγματος. Επιπρόσθετα, επειδή η τιμή του D-W υπόκειται σε σημαντικές μεταβολές όταν η αυτοσυσχέτιση είναι επαγόμενη και εκτιμώνται διαφορετικές εξειδικεύσεις, το D-W μπορεί να χρησιμεύσει και για τον χαρακτηρισμό της αυτοσυσχέτισης ως «καθαρής», ή «επαγόμενης». 7.6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Για το υπόδειγμα: Υt = βxt +Ut πληρούνται όλες οι υποθέσεις του θεωρήματος Gauss-Markov, εκτός από το ότι η διακύμανση του στοχαστικού όρου δεν είναι σταθερή, αλλά περιγράφεται από τη σχέση: VAR(Ut)= σ 2 Xt. Να δείξετε ότι ο βέλτιστος γραμμικός αμερόληπτος 21

22 εκτιμητής (BLUE) του β ισούται με Y X. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε χωρίς απόδειξη την παρακάτω σχέση που μας δίνει τον OLS εκτιμητή του β: ˆ N i 1 N i 1 X Y i X 2 i i όπου Ν το μέγεθος του δείγματος. 2) Να απαντήσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λάθος. Δικαιολογείστε με συντομία τις απαντήσεις σας. α) Όταν υπάρχει αυτοσυσχέτιση οι OLS εκτιμητές είναι μεροληπτικοί και ασυνεπείς. β) Η παράλειψη μίας σημαντικής ερμηνευτικής μεταβλητής από το υπόδειγμα μπορεί να προκαλέσει στατιστικά σημαντική τιμή στο στατιστικό DW. γ) Η διαδικασία των FGLS δίνει εκτιμητές που έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες μόνο ασυμπτωτικά, δηλ. για μεγάλα δείγματα. 3) Από τα δεδομένα 30 παρατηρήσεων για τις μεταβλητές Υ, Χ1, Χ2 εκτιμήθηκε με OLS το παρακάτω υπόδειγμα: Υt = - 1,8 + 0,27X1t + 0,44X2t + et Rad 2 = 0,96 DW = 0,52 (t) (2,5) (3,5) (1,97) (α) Να ελεγχθεί η ύπαρξη αυτοσυσχέτισης στα κατάλοιπα. 22

23 (β) Είναι δυνατό να εξετάσουμε τη στατιστική σημαντικότητα των συντελεστών του υποδείγματος; (γ) Να βρεθεί μια εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης στις στοχαστικές διαταραχές. (δ) Με ποιό τρόπο θα χρησιμοποιούσατε την παραπάνω εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης ώστε οι εκτιμήσεις των συντελεστών του υποδείγματος να είναι BLUE; 23

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. . (Υποδείγματα με Διαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 1 )

Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. . (Υποδείγματα με Διαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 1 ) Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ.. (Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις ) Περιεχόμενα. Γενικά. Οικονομετρικά Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις. Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμηματικό e-mal : dap_ode@yahoo.gr www.dap-pape.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Οικονομικών και Κοινωνικών Επιστημών. ΔΠΜΣ Στην Οικονομική Επιστήμη. Διπλωματική Εργασία

Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Οικονομικών και Κοινωνικών Επιστημών. ΔΠΜΣ Στην Οικονομική Επιστήμη. Διπλωματική Εργασία Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Οικονομικών και Κοινωνικών Επιστημών ΔΠΜΣ Στην Οικονομική Επιστήμη Διπλωματική Εργασία Θέμα : «Ζήτηση Προθεσμιακών Καταθέσεων» Όνομα : Ελένη Ζίττη Αριθμός Μητρώου : Μ 08/04 Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Συγχρονισμός Συμβόλων Εισαγωγή Σε ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα, η έξοδος του φίλτρου λήψης είναι μια κυματομορφή συνεχούς χρόνου y( an x( t n ) n( n x( είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΝΕΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ» (ΜΒΑ) ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΥΠΟ:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΝΕΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ» (ΜΒΑ) ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΥΠΟ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΝΕΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ» (ΜΒΑ) ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΥΠΟ: ΜΑΡΙΝΑΚΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Α/Μ: 72 ΘΕΜΑ: «ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΟ CAPITAL ASSET PRICING

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. Μια συνοπτική παρουσίαση της Άλγεβρας, για όσους θέλουν να προετοιμαστούν για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις των ΕΠΑ.Λ. Για απορίες στο www.commonmaths.weebly.com

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Γεσθημανή Μηντζιώρη MD, MSc, PhD Μονάδα Ενδοκρινολογίας της Αναπαραγωγής, Α Μαιευτική και Γυναικολογική

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο πρόβλεψης αγοραίων αξιών ακινήτων βάσει των μεθόδων OLS και GWR με χρήση GIS Η περίπτωση του Δήμου Θεσσαλονίκης

Μοντέλο πρόβλεψης αγοραίων αξιών ακινήτων βάσει των μεθόδων OLS και GWR με χρήση GIS Η περίπτωση του Δήμου Θεσσαλονίκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΣΤΕΛΕΧΗ (EMBA) Διατριβή μεταπτυχιακού Μοντέλο πρόβλεψης αγοραίων αξιών ακινήτων

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και Πρόβλεψη Χρονοσειρών

Ανάλυση και Πρόβλεψη Χρονοσειρών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ανάλυση και Πρόβλεψη Χρονοσειρών Διπλωματική εργασία της Γεωργίας Μαργιά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ανδρομάχη Σκουφά Επιβλέπουσα:

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία

Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία Θεόδωρος Μαριόλης * 1. Εισαγωγή Ο λεγόμενος Λόγος Οικονομικής Εξάρτησης (Economic Dependency Ratio),

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου.

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου. 2.1 Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου. 1) Η τιμή του χ είναι,χ Ητιμή του χ είναι 5 Ηεντολή εμφανίζει ότι υπάρχει στα διπλά εισαγωγικά ως έχει.

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματιστηριακή και Οικονομική Ανάπτυξη: Μια εμπειρική έρευνα για τις Η.Π.Α. με την ανάλυση της αιτιότητας. Κατιρτζόγλου Σοφία

Χρηματιστηριακή και Οικονομική Ανάπτυξη: Μια εμπειρική έρευνα για τις Η.Π.Α. με την ανάλυση της αιτιότητας. Κατιρτζόγλου Σοφία Χρηματιστηριακή και Οικονομική Ανάπτυξη: Μια εμπειρική έρευνα για τις Η.Π.Α. με την ανάλυση της αιτιότητας Κατιρτζόγλου Σοφία Στόχος της εργασίας Διεξαγωγή συμπερασμάτων για τις οικονομικές και χρηματιστηριακές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ Θέμα: ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων (Data Structures)

Δομές Δεδομένων (Data Structures) Δομές Δεδομένων (Data Structures) Ανάλυση - Απόδοση Αλγορίθμων Έλεγχος Αλγορίθμων. Απόδοση Προγραμμάτων. Χωρική/Χρονική Πολυπλοκότητα. Ασυμπτωτικός Συμβολισμός. Παραδείγματα. Αλγόριθμοι: Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Κωνσταντίνος Τζιόμαλος Επίκουρος Καθηγητής Παθολογίας ΑΠΘ Α Προπαιδευτική Παθολογική Κλινική, Νοσοκομείο ΑΧΕΠΑ 1 ο βήμα : καταγραφή δεδομένων Το πιο πρακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Αποτέλεσμα Υποκατάστασης και Αποτέλεσμα Εισοδήματος

Αποτέλεσμα Υποκατάστασης και Αποτέλεσμα Εισοδήματος Αποτέλεσμα Υποκατάστασης και Αποτέλεσμα Εισοδήματος (Επιπτώσεις Μεταβολής της Τιμής στη Ζητούμενη Ποσότητα) () Διαγραμματική Παρουσίαση Α. Επιπτώσεις Μεταβολής της Τιμής στα Κανονικά Αγαθά M x / p (Π)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

Δελτίο Τύπου. Αθήνα, 21 Ιανουαρίου 2010

Δελτίο Τύπου. Αθήνα, 21 Ιανουαρίου 2010 Αθήνα, 21 Ιανουαρίου 2010 Δελτίο Τύπου Παρουσιάστηκε, σήμερα στις 21 Ιανουαρίου 2010 στο ξενοδοχείο St.George Lycabettus, το τρίτο τεύχος της Εξαμηνιαίας Έκθεσης Ανάλυσης των Τουριστικών Τάσεων με τις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 4. ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα