ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι προϋποθέσεις που θέσαμε ώστε να εξασφαλίσουμε BLUE εκτιμητές με τη μέθοδο των συνήθων ελαχίστων τετραγώνων στο κλασσικό γραμμικό υπόδειγμα δεν είναι ιδιαίτερα περιοριστικές όταν το υπόδειγμα αυτό εφαρμόζεται σε πειραματικά δεδομένα στα πλαίσια των θετικών επιστημών, όπου οι μεταβολές στις τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών βρίσκονται υπό τον έλεγχο του ερευνητή. Η κατάσταση όμως είναι διαφορετική όταν το παραπάνω υπόδειγμα χρησιμοποιηθεί στα πλαίσια της οικονομετρίας για την ανάλυση και μέτρηση σχέσεων μεταξύ οικονομικών μεταβλητών. Στην περίπτωση αυτή οι προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες οι OLS εκτιμητές του κλασσικού γραμμικού υποδείγματος είναι BLUE είναι πολύ δεσμευτικές, με αποτέλεσμα σε πολλές περιπτώσεις να μην είναι δυνατό να ικανοποιηθούν. Η παραβίαση των προϋποθέσεων αυτών συνεπάγεται και απώλεια, σε μικρό ή μεγαλύτερο βαθμό, των επιθυμητών ιδιοτήτων των OLS εκτιμητών. Ένα από τα σπουδαιότερα αντικείμενα της θεωρητικής οικονομετρίας αποτελεί η ανάπτυξη εναλλακτικών μεθόδων εκτίμησης στις περιπτώσεις όπου οι υποθέσεις του κλασσικού γραμμικού υποδείγματος παραβιάζονται. Η παραβίαση των υποθέσεων δυνατόν να αφορά τόσο τις στοχαστικές διαταραχές όσο και τις επεξηγηματικές μεταβλητές. Στην ενότητα αυτή θα μελετήσουμε εναλλακτικούς εκτιμητές για τις περιπτώσεις όπου, όσον αφορά τις στοχαστικές διαταραχές, οι προϋποθέσεις ομοσκεδαστικότητας και απουσίας αυτοσυσχέτισης δεν πληρούνται. Πιο συγκεκριμένα: i) Θα αναπτύξουμε τους λεγόμενους εκτιμητές γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων (generalized least squares, ή GLS estimators), ii) Θα μελετηθούν οι συνέπειες της εφαρμογής OLS εκτιμητών όταν έχουμε μη σφαιρικές διαταραχές, όπως στην περίπτωση της 1

2 ετεροσκεδαστικότητας και των αυτοσυσχετιζόμενων διαταραχών, iii) Θα περιγραφούν διαδικασίες ελέγχου της ορθότητας των προϋποθέσεων ομοσκεδαστικότητας και έλλειψης αυτοσυσχετίσεως στις διαταραχές. 7.2 ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Η υπόθεση Ε(uu ) = σ 2 I που ίσχυε όταν δεν υπήρχε ετεροσκεδαστικότητα ή αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα τώρα πλέον αντικαθίσταται από την: Ε(uu ) = σ 2 Ω όπου Ω ένας γνωστός πίνακας διαστάσεων Ν Ν. Παραδείγματα για τη μορφή του πίνακα Ω: 1)Για την περίπτωση ετεροσκεδαστικότητας ο Ω έχει τη μορφή: 2)Για την περίπτωση που η μορφή της αυτοσυσχέτισης στις στοχαστικές διαταραχές Ui εκφράζεται με ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα 1 ου βαθμού (AR(1) )δηλ. U i = ρu i 1 +εi με εi iid ο πίνακας Ω θα έχει τη μορφή: 2

3 Ο αντικειμενικός σκοπός των εκτιμητών GLS είναι να ενσωματώσουν την επιπλέον πληροφορία που μας παρέχεται αν γνωρίζουμε τη μορφή του Ω. Δεχόμενοι ότι οι υπόλοιπες προϋποθέσεις που είχαν τεθεί για τους OLS εκτιμητές εξακολουθούν να ισχύουν, αυτό μπορεί να πραγματοποιηθεί με την εφαρμογή κατάλληλου μετασχηματισμού στα αρχικά δεδομένα σε τρόπο ώστε να επιτύχουμε για τις μετασχηματισμένες στοχαστικές διαταραχές u να ισχύει: E(u u ) = σ 2 I Καθώς ο Ω μπορεί να θεωρηθεί ως θετικά ορισμένος (δηλ. για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα Χ να ισχύει x Ωx>0) σύμφωνα με γνωστό θεώρημα της γραμμικής άλγεβρας υπάρχει μη ιδιάζων πίνακας P τέτοιος ώστε: Χρησιμοποιώντας τώρα τον πίνακα P για να μετασχηματίσουμε τα αρχικά μας δεδομένα θα έχουμε: Για τις μετασχηματισμένες στοχαστικές διαταραχές θα έχουμε: 3

4 Επομένως για τις μετασχηματισμένες μεταβλητές y, Χ πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις ώστε οι OLS εκτιμητές που αναφέρονται σε αυτές, δηλ. οι εκτιμητές που δίνονται από τη σχέση: ˆ ( X X ) X y, * * * 1 * * να είναι BLUE. Επομένως οι GLS εκτιμητές είναι οι OLS εκτιμητές των μετασχηματισμένων δεδομένων. Αναφερόμενοι τώρα στα αρχικά μας δεδομένα οι GLS εκτιμητές θα δίνονται από τη σχέση: Ο πίνακας διακύμανσης συνδιακύμανσης των εκτιμητών ˆGLS θα είναι: Επιπλέον ο εκτιμητής του σ 2 για την περίπτωση των GLS εκτιμητών θα είναι: = {P(y Xβ GLS )} {P(y Xβ GLS } (N k) = (y Xβ GLS ) P P(y Xβ GLS ) (N k) 2 y X ˆ 1 ˆ y X N K ˆ ( ) / GLS Ο εκτιμητής αυτός είναι αμερόληπτος και διαφέρει από τον αντίστοιχο ML εκτιμητή (που στον παρανομαστή έχει Ν αντί (Ν-Κ)).Ο τελευταίος για μικρά δείγματα είναι προφανώς μεροληπτικός. Το ερώτημα που τίθεται είναι τι συνέπειες θα έχουμε αν για μη σφαιρικές διαταραχές εξακολουθήσουμε να χρησιμοποιούμε OLS εκτιμητές. Έστω λοιπόν ότι στο υπόδειγμα: y = Xβ + u με u~(0, σ 2 Ω) χρησιμοποιούμε τον OLS εκτιμητή για το β τότε όπως ξέρουμε: GLS 4

5 β = β + (Χ Χ) 1 Χ u και Ε(β ) = β + (Χ Χ) 1 Χ Ε(u) = β, άρα ο β εξακολουθεί να είναι αμερόληπτος. Όμως VAR(β ) = Ε{(β β)(β β) } = Ε{(Χ Χ) 1 Χ uu Χ(Χ Χ) 1 } = σ 2 (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ(Χ Χ) 1 σ 2 (Χ Χ) 1 Επιπλέον αποδεικνύεται ότι: Ε(u u ) = σ 2 {trω tr{(χ Χ) 1 Χ ΩΧ}} σ 2 (Ν κ) Άρα: Ο OLS εκτιμητής του VAR COV(β ) μεροληπτικός. δηλ. ο σ 2 (X X) 1 είναι Ο OLS εκτιμητής του σ 2 είναι μεροληπτικό στο βαθμό που tr(ω (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ) διαφέρει από το σ 2 (Ν κ) Έστω και αν χρησιμοποιήσουμε τον εκτιμητή σ 2 (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ(Χ Χ) 1, ο εκτιμητής του β δε θα είναι αποτελεσματικός καθώς όπως είδαμε ο αντίστοιχος GLS εκτιμητής είναι ο σ 2 (Χ Ω 1 Χ) 1 (για την διακύμανση του β ). Tα t-test και F-test δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού R 2 δεν είναι αμερόληπτη (αφού η διακύμανση των καταλοίπων δεν είναι αμερόληπτη), και δεν μπορούμε να ελέγξουμε αν είναι στατιστικά σημαντική. Το προβλήματα αυτά λύνονται χρησιμοποιώντας τους GLS εκτιμητές που όπως είδαμε είναι οι OLS εκτιμητές των δεδομένων που έχουμε κατάλληλα μετασχηματίσει ώστε να πληρούνται οι προϋποθέσεις που εξασφαλίζουν BLUE εκτιμητές. Οι GLS εκτιμητές βρίσκουν εφαρμογή στις περιπτώσεις ετεροσκεδαστικότητας και αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων. Βέβαια μέχρι τώρα υποθέσαμε ότι ο πίνακας Ω είναι γνωστός, κάτι που φυσικά δεν ισχύει στην πράξη. Ο Ω αποτελείται από Ν Ν στοιχεία και αν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση υποθέτουμε ότι τα Ν διαγώνια στοιχεία είναι γνωστά. Αν δεν είναι γνωστά, τότε πρέπει με κάποιο τρόπο να εκτιμηθούν. Έτσι στην πράξη οι 5

6 άγνωστες παράμετροι αντικαθίστανται από συνεπείς εκτιμήσεις τους, και οι εκτιμητές που προκύπτουν και αυτό τον τρόπο ονομάζονται εκτιμητές εφικτών γενικευμένων, ελαχίστων τετραγώνων (Feasible Generalized least Squares). Επειδή η περίπτωση της αυτοσυσχέτισης εξετάζεται εκτενώς και στα πλαίσια του μαθήματος των χρονολογικών σειρών, στη συνέχεια θα επικεντρωθούμε κατά κύριο λόγο στο πρόβλημα της ετεροσκεδαστικότητας, ενώ για την περίπτωση της αυτοσυσχέτισης η μελέτη θα περιοριστεί στην περίπτωση των AR(1) διαταραχών που είναι και η συνηθέστερη. 7.3 ΕΤΕΡΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Θεωρώντας για απλούστευση το υπόδειγμα Y i = β 1 + β 2 X i + U i θα προσπαθήσουμε να δώσουμε πρώτα απ όλα μια εξήγηση στο γεγονός ότι ο OLS εκτιμητής του β 2 ενώ είναι αμερόληπτος δεν είναι βέλτιστος. Αν δεχθούμε κατά τα γνωστά ότι τιμή Χ i αντιστοιχεί μία κατανομή τιμών Y i και οι διακυμάνσεις των κατανομών αυτών δεν είναι ίδιες τότε θα θέλαμε να μπορούμε να δώσουμε μεγαλύτερη βαρύτητα σε εκείνες τις κατανομές με τη μικρότερη διακύμανση καθώς αυτό θα μας επέτρεπε να εκτιμήσουμε καλύτερα την PRF. Αυτό ακριβώς κάνουμε με τα GLS! Πράγματι ο VAR COV(u ) για την περίπτωση της ετεροσκεδαστικότητας γράφεται: 2 σ VAR COV(u ) = 1 [ ] = 1 Ω σ Ν 1 1 σ Άρα Ω 1 σ 1 = και άρα P = [ [ σ Ν2 ] Επομένως για να μετασχηματίσουμε τα αρχικά μας δεδομένα αρκεί να διαιρέσουμε το αρχικό υπόδειγμα με σ i δηλ: 6 σ Ν ]

7 με X 0i = 1 i Ορίζουμε Y i = β 1 + β 2 X i + U i Y i X 0i X i = β σ 1 + β i σ 2 + U i i σ i σ i y i = Py i = y i σ i X i = PX i = X i σ i y i = β 1 Χ 0i + β 2 Χ i + U i U i = PU i = U i σ i Προσοχή: τώρα έχουμε β 1, β 2 αντί β 1, β 2 Τότε VAR(u i ) = E(u 2 i ) = E( u i ) 2 = 1 Ε(u 2 σ i σ i ) = σ 2 i i σ2 = 1 i Άρα όπως περιμέναμε τα υπόλοιπα επομένως οι β 1, β 2 BLUE. τώρα είναι ομοσκεδαστικά και Για να έχουμε τους GLS εκτιμητές β 1, β 2 πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε το u i 2 = (Y i β Χ 1 01 β Χ 2 i ) 2 δηλ. το ( u i ) = {( Y i ) β σ i σ 1 ( Χ 01 ) i σ i β ( X i 2 )} 2 σ i (σημ.: Το u i είναι τα κατάλοιπα του υποδείγματος για τα αρχικά δεδομένα δηλ. του Y i = β 1 + β Χ 2 i + u i ) Θέτοντας 1 σ i 2 για τα GLS ελαχιστοποιούμε το: w i u 2 i = w i (Y i β 1 β 2 X i ) 2, ενώ όπως ξέρουμε για τα OLS ελαχιστοποιούμε το: u 2 i = (Y i β 1 β X 2 i ) 2 Άρα έχουμε επιτύχει αυτό που θέλαμε: με τα GLS ελαχιστοποιούμε ένα σταθμισμένο άθροισμα τετραγώνων των υπολοίπων, όπου οι σταθμίσεις w i = 1 σ i 2 είναι αντιστρόφως ανάλογες των διακυμάνσεων των πληθυσμών 7

8 που αντιστοιχούν στο εκάστοτε Χ i (!!). Άρα τα GLS εκτιμούν πιο αξιόπιστα από το OLS την PRF. Λόγω του ότι τα W i λειτουργούν ως σταθμίσεις (Weights), τα GLS για την περίπτωση της ετεροσκεδαστικότητας ονομάζονται και «σταθμισμένα ελάχιστα τετράγωνα» (Weighted Least Squares). Ως εδώ η αντιμετώπιση το προβλήματος της ετεροσκεδαστικότητας φαίνεται να είναι απόλυτα επιτυχής με τα GLS, όμως θεωρήσαμε ως δεδομένα ότι: (α)υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα (β) γνωρίζουμε τα διαγώνια στοιχεία του Ω. Στην πράξη apriori δεν γνωρίζουμε ούτε το (α) ούτε το (β). Το πρώτο λοιπόν ερώτημα που πρέπει να απαντηθεί είναι πως 2 ανιχνεύουμε την ετεροσκεδαστικότητα στα δεδομένα μας; Αφού τα σ i μπορούν να είναι γνωστά μόνο όταν μας είναι γνωστοί οι πληθυσμοί των Y i X i αναγκαστικά ανατρέχουμε στα κατάλοιπα U i που ελπίζουμε ότι είναι καλές εκτιμήσεις των διαταραχών U i. Έτσι αναπόφευκτα εκτιμάμε αρχικά το υπόδειγμα με OLS ώστε να έχουμε τα U i. Μια πρώτη εικόνα μπορούμε να έχουμε από τη γραφική παράσταση των U i2 με κάθε μια από τις ανεξάρτητες μεταβλητές, αλλά και με την Y i. Η μορφή της γραφικής παράστασης μπορεί να υποδηλώνει και το χαρακτήρα της ετεροσκεδαστικότητας, αν υπάρχει. Βέβαια υπάρχουν και πιο αυστηρές μέθοδοι και μάλιστα αρκετές, αν και κάποιες παλαιότερες εξ αυτών (π.χ. έλεγχος Park, έλεγχος Glejser) έχουν δεχθεί κριτική για την ορθότητα τους. Ενδεικτικά θα περιγράψουμε τον έλεγχο Goldfield Quandt και τον έλεγχο White. Έλεγχος Goldfield Quandt Έστω το υπόδειγμα: Y i = β 1 + β 2 X i + U i : Υποθέτουμε ότι ισχύει: σ i 2 = σ 2 X i 2, ή έστω ότι το σ i 2 είναι μονότονη 8

9 συνάρτηση κάποιας από τις επεξηγηματικές μεταβλητές. Για τον έλεγχο ετεροσκεδαστικότητας ακολουθούμε τα επόμενα βήματα: 1 ο. Κατατάσσουμε τις παρατηρήσεις μας κατά σειρά μεγέθους ως προς την X i (και έστω κατά αύξουσα τάξη). 2 o. Παραλείπουμε τις C μεσαίες παρατηρήσεις και χωρίζουμε τις (N C) υπόλοιπες (Ν-C) σε δυο ομάδες των 2 παρατηρήσεων. 3 o. Εκτιμάμε για κάθε ομάδα χωριστά ένα υπόδειγμα OLS παλινδρόμησης. Έστω RSS1, RSS2 τα αθροίσματα των τετραγώνων των υπολοίπων για τις ομάδες με τις μικρότερες και τις μεγαλύτερες τιμές Χ i αντίστοιχα. 4 o. Υπολογίζουμε το λόγο: λ = RSS 2 df RSS 1 df (στατιστικό Goldfeld-Quant) όπου οι β.ε., είναι (N C) K με Κ τον αριθμό των παραμέτρων του 2 υποδείγματος. Αν U i κατανέμονται κανονικά ο λ ακολουθεί κατανομή F με df, df βαθμούς ελευθερίας (df = (N C) K) 2 Η Ho: δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα, απορρίπτεται αν η τιμή του λ βρεθεί > της κρίσιμης τιμής της F κατανομής για προεπιλεγμένο επίπεδο σημαντικότητας και τους δεδομένους β.ε. Η αφαίρεση των C μεσαίων παρατηρήσεων γίνεται ώστε η διαφορά RSS μεταξύ των δύο ομάδων να είναι πιο έντονη. Για μικρά δείγματα (Ν< 30) το C μπορεί να είναι μεταξύ 4 και 8. Εφαρμογή Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται τα δεδομένα για τις καταναλωτικές δαπάνες και το εισόδημα για 30 οικογένειες. Υποθέτοντας ένα γραμμικό υπόδειγμα C i = β 1 + β 2 I i + U i να εξετασθεί η ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας. Λύση Αφού ανακατατάξουμε τα δεδομένα κατά αύξουσα τάξη ως προς Ι και 9

10 αφαιρέσουμε τις 4 μεσαίες παρατηρήσεις εκτιμάμε τις OLS παλινδρομήσεις για κάθε ομάδα: C 1i = 3,41 + 0,699I 1i RSS 1 = 377,17 (S. E) (8,7 ) (0,074 ) df = 11 C 2i = 28,02 + 0,794I 2i RSS 2 = 1536,8 (S. E. ) (30,6 ) (0,131 ) df = 11 Από πίνακα της κατανομής F βρίσκουμε: F 0,05 (11, 11 ) = 2,82 Επειδή η ευρεθείσα τιμή είναι > της κρίσιμης απορρίπτουμε την Ho και επομένως δεχόμαστε την ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας. Δεδομένα σε αύξουσα σειρά ως προς Χ Y X Y X Middle 4 Observations 10

11 Έλεγχος White Ένας άλλος πολύ διαδεδομένος έλεγχος για ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας είναι ο έλεγχος White. Στα πλεονεκτήματα του ελέγχου αυτού συμπεριλαμβάνεται το γεγονός ότι δεν προϋποθέτει τον καθορισμό των μεταβλητών που προκαλούν την ετεροσκεδαστικότητα και επιπλέον δεν προϋποθέτει οι διαταρακτικοί όροι να ακολουθούν την κανονική κατανομή. Τονίζεται πάντως ότι ο έλεγχος White είναι ασυμπτωτικός. Τα βήματα που ακολουθούμε είναι τα εξής: (1)Υπολογίζουμε τα κατάλοιπα U t που προκύπτουν από το αρχικό υπόδειγμα χρησιμοποιώντας OLS. (2)Εκτιμάμε τη λεγόμενη βοηθητική παλινδρόμηση (auxiliary regression) στην οποία η εξαρτημένη μεταβλητή είναι τα τετράγωνα των καταλοίπων που υπολογίσαμε στο (1) και επεξηγηματικές μεταβλητές όλες οι ανεξάρτητες μεταβλητές του (1), τα τετράγωνα τους, καθώς και όλα τα μεταξύ τους γινόμενα και υπολογίζουμε τον συντελεστή προσδιορισμού R 2. (3)Το στατιστικό NR 2 p 2 X (q) με q τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών στη βοηθητική παλινδρόμηση. Αν η τιμή του στατιστικού αυτού βρεθεί < της κρίσιμης τιμής για προεπιλεγμένο επίπεδο 11

12 σημαντικότητας και δεδομένους β.ε. τότε η μηδενική υπόθεση (ότι όλοι οι συντελεστές στη βοηθητική παλινδρόμηση πλην του σταθερού είναι 0 δηλ. ότι δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα) δεν απορρίπτεται. Αν από την άλλη πλευρά η Ho απορριφθεί αυτό σημαίνει αποδοχή ετεροσκεδαστικότητας όμως δεν έχουμε ενδείξεις για τα χαρακτηριστικά της. Σχετικά με τον έλεγχο White πρέπει να σημειώσουμε και πάλι ότι ισχύει για μεγάλα δείγματα, ενώ ένα μειονέκτημα του ειδικά όταν δεν έχουμε πολύ μεγάλο δείγμα, είναι οι πολλοί βαθμοί ελευθερίας που «σπαταλούνται» στη βοηθητική παλινδρόμηση, κάτι που μειώνει και την ισχύ του ελέγχου. Εκτιμητές ανθεκτικοί στην ετεροσκεδαστικότητα (Heteroscedasticity robust estimators) Όπως είδαμε οι OLS εκτιμητές παρουσία ετεροσκεδαστικότητας είναι μη αποτελεσματικοί και η διακύμανση τους δίνεται από τη σχέση: VAR COV(Β ) = σ 2 (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ(Χ Χ) 1 Ακόμα και στην περίπτωση που αποφασίσει κανείς να προχωρήσει με τους OLS εκτιμητές θα πρέπει να εκτιμήσει τον πίνακα Ω. Ο White (1980) πρότεινε έναν εκτιμητή στον οποίο τα διαγώνια στοιχεία του Ω αντικαθίστανται με τα τετράγωνα των καταλοίπων από την OLS παλινδρόμηση. Ο εκτιμητής που προκύπτει (γνωστός σαν white heteroscedasticity-consistent variance covariance matrix estimator) είναι συνεπής και έτσι τα F, t-test μπορούν να χρησιμοποιηθούν ασυμπτωτικά. Για μικρά δείγματα οι Davidson and Mackinnon προτείνουν τη χρήση των (ΝU i2 ) N K αντί των U i2. Σημειώνεται ότι στις τελευταίες εκδόσεις τους όλα τα οικονομετρικά πακέτα περιλαμβάνουν τον εκτιμητή του White. 12

13 Εφικτά Γενικευμένα Ελάχιστα Τετράγωνα Όταν ο πίνακας Ω δεν είναι γνωστός, για την περίπτωση της ετεροσκεδαστικότητας πρέπει να γίνουν υποθέσεις σχετικά με το χαρακτήρα της ετεροσκεδαστικότητας. Οι πιο συνηθισμένες από αυτές είναι οι ακόλουθες: 2 Χ 1 0 i. E(u 2 i ) = σ 2 X 2 i τότε προφανώς Ω = [ ] 0 2 Χ Ν X 1 0 Άρα P = [ X N ] Χ 1 0 ii. E(u 2 i ) = σ 2 X i τότε Ω = [ ] P = 0 Χ Ν 1 X [ X N ] iii. E(u 2 i ) = σ 2 (E(Y i )) 2 επειδή το Ε(Y i ) δεν είναι γνωστό iv. χρησιμοποιούμε το Y i αντί αυτού. Λογαριθμίζουμε τα δεδομένα. Η συμπίεση στις κλίμακες που προκαλεί ο λογαριθμικός μετασχηματισμός αμβλύνει τις διαφορές μεταξύ των τιμών των U i2. Επιπλέον όπως γνωρίζουμε, οι συντελεστές παλινδρόμησης μας δίνουν τις ελαστικότητες οι οποίες και θεωρούνται σταθερές στο log-log υπόδειγμα. 7.4 ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΜΕ AR(1) ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ Έλεγχος αυτοσυσχέτισης με το στατιστικό Durbin-Watson Yt = β1+ β2xt + Ut στοχαστικές διαταραχές (πληθυσμιακή παλινδόμηση) κατάλοιπα Yt = β 1 + β X 2 t + e t (δειγματική παλινδρόμηση) 13

14 Το στατιστικό D-W χρησιμοποιεί τα et και ορίζεται ως εξής: d= N t=2 (e t e t 1 ) 2 N e2 t=1 t (=RSS) Προϋποθέσεις εφαρμογής 1. Στο οικονομετρικό υπόδειγμα πρέπει να υπάρχει σταθερός όρος. 2. Οι επεξηγηματικές μεταβλητές πρέπει να είναι μη-στοχαστικές. 3. Οι διαταραχές πρέπει να ακολουθούν ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα πρώτου βαθμού δηλ. Ut= ρut-1 + εt με εt iid και ρ < Δεν πρέπει μεταξύ των επεξηγηματικών μεταβλητών του υποδείγματος να περιλαμβάνονται χρονικές υστερήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής όπως για παράδειγμα στο υπόδειγμα: Yt= β1+ β2xt+ β3yt-1+ Ut 5. Οι στοχαστικές διαταραχές Ut πρέπει να ακολουθούν την κανονική κατανομή. Πλεονέκτημα : Ευκολία στον υπολογισμό της τιμής του d Μειονεκτήματα : Πολλές προϋποθέσεις για να είναι δυνατή η χρήση του d. Οχι ακριβής κατανομή πιθανότητας για το d, καθώς τα et εξαρτώνται από τις εκάστοτε επεξηγηματικές μεταβλητές. Οι D-W έδωσαν πίνακα τιμών για τα dl, du με dl, du = f(n,k) όπου Κ= αριθμός επεξηγηματικών μεταβλητών στο υπόδειγμα Ν= αριθμός παρατηρήσεων. Όρια τιμών για το d N N t=2 + t=2 e 2 e t e t 1 N l2 t=1 t d= e t 2 2( e t 2 e t e) e t 2 d 2(1 ρ ) 14

15 και επειδή 1 ρ 1 0 d 4 για ρ = 0 d 2 για ρ = +1 (τέλεια θετική αυτοσυσχέτιση) d = 0 για ρ = 1 (τέλεια αρνητική αυτοσυσχέτιση) d = 4 (+) αυτοσυσχέτ ιση Όχι απόφα ση Όχι αυτοσυσχέτ ιση Όχι απόφα ση (-) αυτοσυσχέτ ιση 0 dl du 2 4-dU 4-dL 4 Για την εφαρμογή του ελέγχου D-W ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Εκτιμάμε το οικονομετρικό υπόδειγμα και παίρνουμε τα κατάλοιπα 2. Από τα κατάλοιπα υπολογίζουμε το d. 3. Με βάση τον αριθμό των παρατηρήσεων και τον αριθμό των επεξηγηματικών μεταβλητών στο υπόδειγμα βρίσκουμε τις κρίσιμες τιμές dl, du από το σχετικό πίνακα. 4. Αποφασίζουμε για την ύπαρξη ή μη αυτοσυσχέτισης με βάση το παραπάνω σχήμα. Διόρθωση Αυτοσυσχέτισης Καθώς παρουσία αυτοσυσχέτισης οι OLS εκτιμητές των παραμέτρων του υποδείγματος είναι μη-αποτελεσματικοί χρειάζονται διορθωτικές κινήσεις ώστε οι εκτιμητές μας να έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες. Μεθοδολογικά είναι χρήσιμο να διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: 15

16 α) Όταν η δομή της αυτοσυσχέτισης στις διαταραχές είναι γνωστή. Συνήθως υποθέτουμε ένα AR(1) σχήμα για τις διαταραχές: Ut= ρut-1 + εt με ρ < 1 και εt iid. Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε: Y t = β 1 + β 2 X t + U t ρy t 1 = ρβ 1 + ρβ 2 X t 1 + ρu t 1 (Y t ρy t 1 ) = β 1 (1 ρ) + β 2 (X t ρx t 1 ) + (U t ρu t 1 ) ε t ( ) X t = β 1 + β 2 X t + ε t (*) Εξίσωση γενικευμένων διαφορών (Generalized difference equation or Quasi difference equation) Καθώς το εt στην εξίσωση γενικευμένων διαφορών πληροί όλες τις προϋποθέσεις ώστε οι OLS εκτιμητές να είναι BLUE μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο OLS ώστε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους στο υπόδειγμα με τις μετασχηματισμένες μεταβλητές. Σημειώνεται ότι γράφοντας το υπόδειγμα σε χρόνο t-1 και εν συνεχεία αφαιρώντας ένα ποσοστό (=ρ) των τιμών των μεταβλητών τη χρονική στιγμή t-1 από τις αντίστοιχες τιμές των μεταβλητών αυτών τη χρονική στιγμή t, χάνεται η πρώτη παρατήρηση. Αυτό δυνατόν να έχει σοβαρές συνέπειες ιδιαίτερα σε μικρά δείγματα. Για να αποφύγουμε κάτι τέτοιο για τις πρώτες παρατηρήσεις των Yt, Xt χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό Prais-Winsten: Y 1 = Y 1 (1 ρ 2 ) X 1 = X 1 (1 ρ 2 ) 16

17 Συμπλήρωση για την εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης για μικρά δείγματα Στην περίπτωση μικρών δειγμάτων η σχέση d 2(1 ρ ) δεν ισχύει. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε την κατά Theil Nagar τροποποίηση για την εκτίμηση του ρ που δίνεται από την σχέση: ρ = N2 (1 d 2 ) + K2 N 2 K 2 όπου Ν= μέγεθος δείγματος, Κ= αριθμός συντελεστών συμπεριλαμβανομένου και του σταθερού όρου. Για δεδομένο Κ για Ν έχουμε: ρ = (1 d 2 )+K2 N 2 1 K2 N 2 lim N ρ = 1 d 2 β) Όταν η δομή της αυτοσυσχέτησης στις διαταραχές δεν είναι γνωστή. Ακολουθούμε μία διαδικασία δύο σταδίων A. Γίνεται εκτίμηση του ρ (υπάρχουν διάφορες μέθοδοι γι αυτό το σκοπό) B. Χρησιμοποιούμε την εκτίμηση του ρ για να μετασχηματίσουμε τις μεταβλητές μας και να γίνει η εκτίμηση των συντελεστών μέσω της γενικευμένης εξίσωσης διαφορών. Επειδή έχουμε την εκτίμηση των συντελεστών της τιμής του ρ και όχι την αληθή τιμή η μέθοδος είναι γνωστή ως FGLS ή EGLS. Σημαντική παρατήρηση: 17

18 Όταν χρησιμοποιούμε έναν εκτιμητή ανεξαρτήτου της αληθούς τιμής οι OLS εκτιμήσεις των συντελεστών έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες μόνο ασυμπτωτικά δηλαδή σε μεγάλα δείγματα το ίδιο ισχύει και για ελέγχους υποθέσεων. Εκτίμηση του ρ 1. Από D-W 2. Εκτίμηση από τα κατάλοιπα u t = ρ u t E t 3. Επαναληπτικές μέθοδοι: Cochrane-Orcutt Hilbert-Lu Καθαρή και επαγόμενη αυτοσυσχέτιση Η αυτοσυσχέτιση στις διαταραχές ενός υποδείγματος παλινδρόμησης μπορεί να διακριθεί σε «καθαρή» κα «επαγόμενη». Αυτό εξαρτάται από το κατά πόσον το υπόδειγμα είναι σωστά ορισμένο. Για ένα σωστά ορισμένο υπόδειγμα η αυτοσυσχέτιση στις διαταραχές μπορεί να οφείλεται στο ότι η αυτοσυσχέτιση που εμφανίζεται σε κάποιες μεταβλητές που υπεισέρχονται στο υπόδειγμα δεν αντισταθμίζεται μέσω του υποδείγματος και έτσι μεταφέρεται στο διαταρακτικό όρο. Επιπλέον, είναι δυνατό η αυτοσυσχέτιση να οφείλεται στο γεγονός ότι ενώ το υπόδειγμα είναι σωστά ορισμένο, η εξαρτημένη μεταβλητή έχει μετρηθεί με σφάλμα. Αυτή η αυτοσυσχέτιση ονομάζεται καθαρή αυτοσυσχέτιση, και δεν είναι δυνατό να εξαλειφθεί όσο η εκτίμηση του 18

19 υποδείγματος γίνεται με OLS. Περισσότερο συνηθισμένη είναι η περίπτωση της εμφάνισης αυτοσυσχέτισης στις διαταραχές λόγω εσφαλμένης εξειδίκευσης του υποδείγματος. Το σφάλμα εξειδίκευσης μπορεί να οφείλεται: (i) Σε παράλειψη μιας ή περισσότερων ερμηνευτικών μεταβλητών. Σε αυτή την περίπτωση αν η μεταβλητή που έχει παραληφθεί εμφανίζει αυτοσυσχέτιση, η αυτοσυσχέτιση αυτή μεταφέρεται στις διαταραχές. (ii) Σε λάθος συναρτησιακή μορφή. Για παράδειγμα αν η σωστή εξειδίκευση του υποδείγματος απαιτεί πολυωνυμική παλινδρόμηση και αντ αυτής χρησιμοποιηθεί γραμμική παλινδρόμηση τότε στις διαταραχές θα αποτυπωθεί η αδυναμία του υποδείγματος να ερμηνεύσει τις μη γραμμικές διακυμάνσεις της εξαρτημένης μεταβλητής με τη μορφή (θετικής στη συγκεκριμένη περίπτωση) αυτοσυσχέτισης. Η αυτοσυσχέτιση που εμφανίζεται σε αυτές τις περιπτώσεις ονομάζεται επαγόμενη αυτοσυσχέτιση και είναι δυνατό να εξαλειφθεί στο πλαίσιο των OLS εκτιμήσεων των συντελεστών του υποδείγματος, εφόσον αναιρεθούν οι αιτίες που την προκαλούν. 7.5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1) Επειδή στα εφικτά γενικευμένα ελάχιστα τετράγωνα τα στοιχεία του πίνακα Ω είναι εκτιμήσεις των πραγματικών τιμών, τα FGLS έχουν ισχύ ασυμπτωτικά. Για αυτό το λόγο και όλοι οι στατιστικοί έλεγχοι π.χ. t- test, F-test ισχύουν ασυμπτωτικά δηλ. για μεγάλα δείγματα. Για μικρά δείγματα εάν η ακρίβεια στην εκτίμηση του Ω δεν είναι καλή τότε η υπεροχή των FGLS εκτιμητών έναντι των εκτιμητών OLS αμφισβητείται. Αν για παράδειγμα σε ένα 19

20 υπόδειγμα υπάρχει στα κατάλοιπα αυτοσυσχέτιση που περιγράφεται από ένα AR(2) υπόδειγμα και εσφαλμένα χρησιμοποιηθεί AR(1) υπόδειγμα, οι εκτιμήσεις FGLS είναι χειρότερες των OLS εκτιμήσεων, όπως έδειξε σχετική μελέτη από τον Engle (1973). Από την άλλη πλευρά πάλι για την περίπτωση αυτοσυσχετιζόμενων καταλοίπων οι Rao and Griliches (1969) έδειξαν με πειράματα Monte Carlo για μικρά δείγματα ότι οι FGLS εκτιμητές υπερέχουν των OLS εκτιμητών για υπόδειγμα AR(1) στα κατάλοιπα και ρ 0.3 όπου ρ ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης. 2) Για την ετεροσκεδαστικότητα, σε κάθε περίπτωση ο μετασχηματισμός των δεδομένων με τον πίνακα P δημιουργεί μια επιπλέον μεταβλητή, αφού και η σταθερά του αρχικού υποδείγματος πολλαπλασιάζεται με P. Έτσι για τα μετασχηματισμένα δεδομένα θα πρέπει να εκτιμήσουμε ένα υπόδειγμα χωρίς σταθερό όρο. Εξαίρεση αποτελεί η περίπτωση (i) της προηγούμενης ενότητας, καθώς αν διαιρέσουμε με Χi ο συντελεστής παλινδρόμησης β 2 στο υπόδειγμα Y i = β 1 + β 2 X i + U i μετατρέπεται σε σταθερό όρο. Άρα στην περίπτωση αυτή έχουμε και στα μετασχηματισμένα δεδομένα μια ανεξάρτητη μεταβλητή την 1 και υπόδειγμα με X i σταθερό όρο. 3) Αν γίνει χρήση του λογαριθμικού μετασχηματισμού χρειάζεται προσοχή στα αρχικά δεδομένα καθώς δεν πρέπει να εμπεριέχονται σ αυτά αρνητικές τιμές. Ένας τρόπος να αποφύγουμε αυτό το πρόβλημα είναι αντί για ln Y i, ln X i να 20

21 χρησιμοποιήσουμε ln(y i + K), ln(x i + K) όπου K>0 τέτοιος ώστε Y i + K > 0 i, X i + K > 0 i. 4) Για τα εφικτά γενικευμένα ελάχιστα τετράγωνα η περίπτωση (iii) έχει νόημα όταν στο υπόδειγμα έχουμε περισσότερες της μίας επεξηγηματικές μεταβλητές. Διαφορετικά η (iii) εμπίπτει στην (i). 5) Με τους ad-hoc μετασχηματισμούς υπάρχει ο κίνδυνος δημιουργίας εσφαλμένων συσχετίσεων. Αν π.χ. οι Y i, X i δεν συσχετίζονται και τις μετασχηματίσουμε ως Y i X i τελευταίες ενδέχεται να συσχετίζονται. και, 1 X i οι 6) Επειδή μία εσφαλμένη εξειδίκευση ενός υποδείγματος μπορεί να προκαλέσει στατιστικά σημαντικές τιμές του D-W test, το στατιστικό αυτό δύναται να χρησιμεύσει και ως έλεγχος ορθής εξειδικεύσεως ενός υποδείγματος. Επιπρόσθετα, επειδή η τιμή του D-W υπόκειται σε σημαντικές μεταβολές όταν η αυτοσυσχέτιση είναι επαγόμενη και εκτιμώνται διαφορετικές εξειδικεύσεις, το D-W μπορεί να χρησιμεύσει και για τον χαρακτηρισμό της αυτοσυσχέτισης ως «καθαρής», ή «επαγόμενης». 7.6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Για το υπόδειγμα: Υt = βxt +Ut πληρούνται όλες οι υποθέσεις του θεωρήματος Gauss-Markov, εκτός από το ότι η διακύμανση του στοχαστικού όρου δεν είναι σταθερή, αλλά περιγράφεται από τη σχέση: VAR(Ut)= σ 2 Xt. Να δείξετε ότι ο βέλτιστος γραμμικός αμερόληπτος 21

22 εκτιμητής (BLUE) του β ισούται με Y X. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε χωρίς απόδειξη την παρακάτω σχέση που μας δίνει τον OLS εκτιμητή του β: ˆ N i 1 N i 1 X Y i X 2 i i όπου Ν το μέγεθος του δείγματος. 2) Να απαντήσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λάθος. Δικαιολογείστε με συντομία τις απαντήσεις σας. α) Όταν υπάρχει αυτοσυσχέτιση οι OLS εκτιμητές είναι μεροληπτικοί και ασυνεπείς. β) Η παράλειψη μίας σημαντικής ερμηνευτικής μεταβλητής από το υπόδειγμα μπορεί να προκαλέσει στατιστικά σημαντική τιμή στο στατιστικό DW. γ) Η διαδικασία των FGLS δίνει εκτιμητές που έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες μόνο ασυμπτωτικά, δηλ. για μεγάλα δείγματα. 3) Από τα δεδομένα 30 παρατηρήσεων για τις μεταβλητές Υ, Χ1, Χ2 εκτιμήθηκε με OLS το παρακάτω υπόδειγμα: Υt = - 1,8 + 0,27X1t + 0,44X2t + et Rad 2 = 0,96 DW = 0,52 (t) (2,5) (3,5) (1,97) (α) Να ελεγχθεί η ύπαρξη αυτοσυσχέτισης στα κατάλοιπα. 22

23 (β) Είναι δυνατό να εξετάσουμε τη στατιστική σημαντικότητα των συντελεστών του υποδείγματος; (γ) Να βρεθεί μια εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης στις στοχαστικές διαταραχές. (δ) Με ποιό τρόπο θα χρησιμοποιούσατε την παραπάνω εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης ώστε οι εκτιμήσεις των συντελεστών του υποδείγματος να είναι BLUE; 23

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μέχρι τώρα τα προβλήματα που δημιουργούνται από την παραβίαση των υποθέσεων που πρέπει να ισχύουν ώστε οι OLS εκτιμητές να είναι BLUE

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ. 2.1 Σύντομη ανασκόπηση του κλασσικού υποδείγματος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ. 2.1 Σύντομη ανασκόπηση του κλασσικού υποδείγματος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ.1 Σύντομη ανασκόπηση του κλασσικού υποδείγματος παλινδρόμησης συνήθων ελαχίστων τετραγώνων (Ordinary Leas Squares regression model).. Ένα παράδειγμα οικονομετρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Στις βασικές υποθέσεις των γραμμικών υποδειγμάτων (απλών και πολλαπλών), υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21

Πρόλογος Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 1.1 Τι είναι η οικονομετρία... 21 1.2 Σκοποί της οικονομετρίας... 24 1.3 Οικονομετρική

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΝ (ΑΛΛΗΛΟΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ) ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΝ (ΑΛΛΗΛΟΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ) ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΝ (ΑΛΛΗΛΟΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ) ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μέχρι τώρα η μελέτη μας επικεντρώθηκε σε οικονομικά υποδείγματα μιας εξισώσεως, όπου έχουμε πάντα μια εξαρτημένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης ΜΑΘΗΜΑ 3ο Υποδείγματα μιας εξίσωσης Οι βασικές υποθέσεις 1. Ο διαταρακτικός όρος u t είναι μια τυχαία μεταβλητή με μέσο το μηδέν. Eu t = 0 για t = 1,2,3..n 2. Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής u t είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν ΜΑΘΗΜΑ 12ο Αιτιότητα Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή προκαλεί μία άλλη σε μία εξίσωση παλινδρόμησης. Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Σφάλµα εξειδικεύσεως Αν η υπόθεση Α.1 ισχύει, τότε το υπόδειγµα παλινδρόµησης είναι σωστά εξειδικευµένο

Διαβάστε περισσότερα

Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF)

Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF) ΜΑΘΗΜΑ 5ο Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF) Στον έλεγχο των Dickey Fuller (DF) και στα τρία υποδείγματα που χρησιμοποιήσαμε προηγουμένως κάνουμε την υπόθεση ότι ο διαταρακτικός όρος e είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση

3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση 3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση 3. Αιτίες που προκαλούν την ετεροσκεδαστικότητα Η ετεροσκεδαστικότητα οφείλεται σε διάφορες αιτίες. Οι πιο σημαντικές από αυτές είναι: Η ετεροσκεδαστικότητα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Κεφάλαιο 8 1) Τι είναι ετεροσκεδαστικότητα και τι είδους προβλήµατα παρουσιάζονται; ( 2, 4, σελίδες 370-372). 2) Γράψτε τον τύπο της διακύµανσης της κλίσης όταν

Διαβάστε περισσότερα

Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model)

Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model) ΜΑΘΗΜΑ 4 ο 1 Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model) Αυτοσυσχέτιση (Serial Correlation) Lagrange multiplier test of residual

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 6: Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 6: Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 6: Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Διαγνωστικοί Έλεγχοι Διαπίστωσης της Αυτοσυσχέτισης Οι περισσότεροι από τους διαγνωστικούς ελέγχους της αυτοσυσχέτισης αναφέρονται σε αυτοσυσχέτιση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 8: Κανονικότητα. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 8: Κανονικότητα. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 8: Κανονικότητα Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ- ΕΤΕΡΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ(HETEROSCEDASTICITY) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 011-01 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ENATO ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΤΕΡΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ (HETEROSCEDASTICITY) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2010-2011

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100 Ποσοτικές Μέθοδοι Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100 Απλή Παλινδρόμηση Η διερεύνηση του τρόπου συμπεριφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΛΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΛΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΛΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τι σημαίνει παλινδρόμηση Ο όρος «παλινδρόμηση» (regression) χρησιμοποιήθηκε στη στατιστική αρχικά από τον Francs Galton

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΔΕΚΑΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ(AUTOCORELLATION) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2008-2009 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 4ο Διαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης Ονομάζουμε συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) και συμβολίζεται με τα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 2: Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 2: Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ Ερώτηση : Εξηγείστε τη διαφορά µεταξύ του συντελεστή προσδιορισµού και του προσαρµοσµένου συντελεστή προσδιορισµού. Πώς µπορεί να χρησιµοποιηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ: ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Οι παραβιάσεις των σημαντικότερων υποθέσεων των γραμμικών υποδειγμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΔΕΙΓΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι (3ο Εξάμηνο) Όνομα εξεταζόμενου: Α.Α. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθήνας -- Τμήμα ΔΕΟΣ Καθηγητής: Γιάννης Μπίλιας

ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΔΕΙΓΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι (3ο Εξάμηνο) Όνομα εξεταζόμενου: Α.Α. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθήνας -- Τμήμα ΔΕΟΣ Καθηγητής: Γιάννης Μπίλιας ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΔΕΙΓΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι (3ο Εξάμηνο) Όνομα εξεταζόμενου: Α.Α. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθήνας -- Τμήμα ΔΕΟΣ Καθηγητής: Γιάννης Μπίλιας ΟΔΗΓΙΕΣ: Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Απαντήστε με ακρίβεια

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο. Μοναδιαία ρίζα

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο. Μοναδιαία ρίζα ΜΑΘΗΜΑ 4 ο Μοναδιαία ρίζα Είδαμε προηγουμένως πως ο έλεγχος της στασιμότητας μιας χρονικής σειράς μπορεί να γίνει με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Ένας άλλος τρόπος που χρησιμοποιείται ευρύτατα στην ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος.

ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος. :\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος. ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ-ΕΚΤΙΜΗΣΗ-ΑΝΑΛΥΣΗ- ΠΡΟΒΛΕΨΗ- ΣΕΝΑΡΙΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 8ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 8ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 8ο Επιλογή του αριθμού των χρονικών υστερήσεων Στις περισσότερες οικονομικές χρονικές σειρές υπάρχει υψηλή συσχέτιση μεταξύ της τρέχουσας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Παραβιάσεις των κλασσικών υποθέσεων. ο εκτιμητής LS είναι: Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι:

Παραβιάσεις των κλασσικών υποθέσεων. ο εκτιμητής LS είναι: Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: Παραιάσεις των κλασσικών υποθέσεων Στο γραμμικό υπόδειγμα y = x+ u, =,,, ο εκτιμητής LS είναι: ˆ x y = = x = Οι ασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ˆ ( ) Var =, αμεροληψία, ˆ σ = x = Επιπλέον αν δεν έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η απόδοση της εκπαιδευσης

Η απόδοση της εκπαιδευσης Η απόδοση της εκπαιδευσης Τι ονομάζουμε ως συνάρτηση μισθού; Οποιαδήποτε παλινδρόμηση με την οποία προσπαθούμε να ερμηνεύσουμε την μεταβλητότητα του ωρομισθίου ή των αμοιβών από εργασία (ατομικά δεδομένα)

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 7: Συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 7: Συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 7: Συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 10: Διαγνωστικοί Έλεγχοι. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 10: Διαγνωστικοί Έλεγχοι. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 10: Διαγνωστικοί Έλεγχοι Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 5ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 5ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 5ο Μοναδιαία ρίζα Είδαμε προηγουμένως πως ο έλεγχος της στασιμότητας μιας χρονικής σειράς μπορεί να γίνει με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης.

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο

Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο Χρήσιμες Οδηγίες Με την βοήθεια του λογισμικού E-views να απαντήσετε στα ερωτήματα των επόμενων σελίδων, (οι απαντήσεις πρέπει να περαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Σχέσεις μεταξύ δύο μεταβλητών... 21

Περιεχόμενα. 1. Σχέσεις μεταξύ δύο μεταβλητών... 21 Περιεχόμενα 1. Σχέσεις μεταξύ δύο μεταβλητών... 21 1.1 Παραδείγματα διμεταβλητών σχέσεων... 21 1.1.1 Διμεταβλητές κατανομές συχνοτήτων... 25 1.2 Ο συντελεστής συσχέτισης... 27 1.2.1 Ο συντελεστής συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Ευαισθησία της γραμμής παλινδρόμησης (Sensitivity of linear regression)

Ευαισθησία της γραμμής παλινδρόμησης (Sensitivity of linear regression) ΜΑΘΗΜΑ 6ο Ευαισθησία της γραμμής παλινδρόμησης (Sensitivity of linear regression) Γιατηνευαισθησίατηςγραμμήςπαλινδρόμησης χρησιμοποιούμε την ανάλυση της διακύμανσης ή το στατιστικό F Έλεγχος βελτίωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 18: ΠΡΟΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑI ΑΡΙΘΜΟΔΕΙΚΤΕΣ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... 15. Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19. 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21

Πρόλογος... 15. Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19. 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 1.1 Τι είναι η οικονομετρία... 21 1.2 Σκοποί της οικονομετρίας... 24 1.3 Οικονομετρική

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. . (Υποδείγματα με Διαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 1 )

Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. . (Υποδείγματα με Διαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 1 ) Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ.. (Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις ) Περιεχόμενα. Γενικά. Οικονομετρικά Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις. Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 11ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 11ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 11ο Συνολοκλήρωσης και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ 4. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μέχρι τώρα μελετήθηκαν οικονομετρικά υποδείγματα μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές, την εξαρτημένη μεταβλητή και την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΔΕΚΑΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ (AUTOCORELLATION) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2010-2011

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ

ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ 3.1 Εισαγωγή ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ Στο κεφ. 2 είδαμε πώς θα μπορούσαμε να σχεδιάσουμε έναν βέλτιστο ταξινομητή εάν ξέραμε τις προγενέστερες(prior) πιθανότητες ( ) και τις κλάση-υπό όρους πυκνότητες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Μοντέλα Χρονοσειρών και Αυτοσυσχέτισης ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Σταυρούλα Γαζή

Γραμμικά Μοντέλα Χρονοσειρών και Αυτοσυσχέτισης ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Σταυρούλα Γαζή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ.Π.Μ.Σ. : «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ των ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ και των ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» Κατεύθυνση : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ και ΕΠΙΧΕΙΡΙΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Γραμμικά Μοντέλα Χρονοσειρών και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα