ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ"

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 & ΔΙΑΛΕΞΗ 08 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος,

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Ένας από τους σημαντικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των παραμέτρων που χαρακτηρίζουν την κατανομή ενός πληθυσμού σχετικά με την μεταβλητή που εξετάζουμε.. Σε πολλές περιπτώσεις, οι τιμές των παραμέτρων (μέση τιμή, τυπική απόκλιση, αναλογία) για τον πληθυσμό είναι άγνωστες. 3. Χρησιμοποιώντας ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα, μπορούμε να εκτιμήσουμε τις τιμές των παραμέτρων. 4. Δεδομένου ότι η εκτίμηση βασίζεται σε υπό σύνολο του πληθυσμού, δεν αποτελεί ακριβές υπολογισμός. Υπάρχει επομένως σφάλμα εκτίμησης. 5. Όμως υπάρχουν μεθόδους με βάση τις οποίες μπορούμε να ελέγξουμε σε ποιο βαθμό το σφάλμα περιορίζεται προκειμένου να κάνουμε γενικεύσεις για όλο τον πληθυσμό. Η συμπερασματική Στατιστική αποτελείται από εκείνες τις μεθόδους που μας επιτρέπουν να διατυπώσουμε συμπεράσματα για όλο τον πληθυσμό με βάση όμως τα δεδομένα που προέρχονται από το δείγμα.

3 Η ΛΟΓΙΚΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Χαρακτηριστικά του πληθυσμού: Γνωστά; ΝΑΙ ΌΧΙ Τυχαία μεταβλητή Χ: όλες οι τιμές γνωστές Δείγμα Δειγματικές Τιμές Χ1, Χ,,Χ μ σ Χ s 3

4 Συμπερασματική Στατιστική: Σημειακοί εκτιμητές Εκτίμηση κατά διάστημα Έλεγχος Υποθέσεων Γραμμική Παλινδρόμηση 4

5 ΣΗΜΕΙΑΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Η δειγματική μέση τιμή X (η οποία υπολογίζεται με βάση τα δεδομένα του δείγματος) αποτελεί μια εκτίμηση της μέσης τιμής μ του πληθυσμού. Η δειγματική διακύμανση s (βάσει των δεδομένων του δείγματος) αποτελεί μια εκτίμηση της διακύμανσης σ του πληθυσμού. Οι δειγματικές τιμές Χ και s διαφέρουν από δείγμα σε δείγμα. Κατά συνέπεια, υπάρχει σχετική αβεβαιότητα όσον αφορά την αξιοπιστία της δειγματικής εκτίμησης. Όμως από τις δειγματικές τιμές, μπορούμε να βρούμε διαστήματα μέσα στα οποία βρίσκεται με συγκεκριμένο ποσοστό βεβαιότητας (π.χ. 95%) η μέση τιμή μ, η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού όπως και άλλοι παράμετροι (αναλογία: ποσοστό ατόμων). 5

6 ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Οποιοδήποτε διάστημα επεκτείνεται ομοιόμορφα δεξιά και αριστερά από την παράμετρο που εξετάζουμε (μέση τιμή μ, τυπική απόκλιση σ κ.ά.) ονομάζεται διάστημα εμπιστοσύνης (Δ.Ε.). Η εύρεση του διαστήματος εμπιστοσύνης μιας παραμέτρου a) γίνεται με τη βοήθεια ενός γνωστού στατιστικού που περιέχει την εκτιμώμενη (από το δείγμα) παραμέτρου. Ο γνωστός αυτός στατιστικός ακολουθεί συστηματικά μια γνωστή κατανομή (όπως π.χ. η Κανονική Κατανομή, η Διωνυμική). b) Βασίζεται στο επίπεδο εμπιστοσύνης (1-α)% που επιλεγεί ο ίδιος ο ερευνητής (π.χ. 95%). Το επίπεδο εμπιστοσύνης αντανακλά το ποσοστό των παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ που ανήκουν στο διάστημα εμπιστοσύνης. Κατά συνέπεια, το ποσοστό των τιμών της μεταβλητής Χ που βρίσκονται εκτός του διαστήματος εμπιστοσύνης, συμβολίζεται με α και ονομάζεται επίπεδο σημαντικότητας (σφάλμα, ρίσκο). Επιλέγοντας 95% επίπεδο εμπιστοσύνης (βεβαιότητα) δεχόμαστε 5% σφάλμα στην εκτίμηση της παραμέτρου. 6

7 ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Το ακριβές (1-α)% Δ.Ε. της μέσης τιμής είναι: z a. d Όπου: Για το 95% Δ.Ε., α = 5% (0,05) και z α = 1,96 (σύμφωνα με το Πίνακα της Κανονικής Κατανομής). = μέγεθος δείγματος ( > 30) σ. d = ακριβές τυπικό σφάλμα με d = 1 N u = z a. σ. d= ΑΚΡΙΒΕΣ Σφάλμα Δειγματοληψίας 7

8 ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ Η μεταβλητή Χ σε επίπεδο πληθυσμού χαρακτηρίζεται από την μέση τιμή: μ και την τυπική απόκλιση: σ Αν το δείγμα είναι αρκετά μεγάλο και αντιπροσωπευτικό, τότε η εκτίμηση της μέσης τιμής με βάση τα δεδομένα του δείγματος βασίζεται στην Κανονική Κατανομή: X N(, ) Όταν η μέση τιμή μ και η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού δεν είναι γνωστές (πιο πιθανό σενάριο), τότε για την εύρεση του διαστήματος εμπιστοσύνης: (α) χρησιμοποιούμε τις σημειακές εκτιμήσεις: X και s του δείγματος. (β) υπολογίζουμε συστηματικά το (1-α)% Δ.Ε. της μέσης τιμής 8

9 ΜΕΓΕΘΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Δ.Ε. ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (1-α)% Δ.Ε. = z a. d και d 1 N Μέγεθος δείγματος: > 30 Χρήση της Κανονικής Κατανομής α = 5% (1-α) = 95% z α = 1,96 α = 1% (1-α) = 99% z α =,576 Μέγεθος δείγματος: 30 Χρήση της Κατανομής Studet α = 5% (1-α) = 95% α = 1% (1-α) = 99% z α = t(-1; a/) Βλέπε πίνακα Studet 9

10 Πως χρησιμοποιούμε τον Πίνακα Studet? Για =0 και σφάλμα α = 5% α/ =,5% = 0.05 t(-1, 0.05) = t(19, 0.05) =.093 Για =5 και σφάλμα α = 1% α/ = 0.5% = t(-1, 0.005) = t(4, 0.05) =

11 Πως χρησιμοποιούμε τον Πίνακα Studet? Για > 30 ( ) όπως π.χ. = 31 Παρατηρούμε ότι: Αν α/ = 0.05 δηλαδή α = 0.05 (5%), t(-1, 0.05) = t(30, 0.05) = t(, 0.05) = 1.96 Αν α/ = δηλαδή α = 0.01 (1%), t(-1, 0.005) = t(30, 0.005) = t(, 0.005) =

12 Παραδείγματα εκτίμησης κατά διάστημα της μέσης τιμής. 1

13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Παράδειγμα 1: Μια δειγματοληπτική έρευνα σε 00 νοικοκυριά ενός Δήμου όπου συνολικά κατοικούν 000 νοικοκυριά έδωσε τα ακόλουθα αποτελέσματα: κατά μέσο όρο, το μηνιαίο εισόδημα ανέρχεται σε 1100 με διασπορά = Δώστε (α) το 95% διάστημα εμπιστοσύνης και (β) το 99% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο εισόδημα. Συμπέρασμα.. Η ίδια έρευνα επαναλήφθηκε ένα χρόνο μετά την 1 η έρευνα. Τα αποτελέσματα της νέας έρευνας έδειξαν ότι, το μέσο εισόδημα = 1050 με διασπορά = Δώστε το 95% και 99% Δ.Ε. για το μέσο εισόδημα. Συμπέρασμα. Τι γνωρίζουμε; Από τα δεδομένα, έχουμε = 00 και N= 000 /Ν = 0,1 d= 1-0,1 = 0,9 Από το δείγμα, έχουμε X 1000, α 95% Δ.Ε. : z a d ,96 0, ,30 00 = 00 > 30 z α = 1,96 Το εύρος του Δ.Ε. = x 97,30 = 194,6 To εύρος σε σχέση με τη μέση τιμή = 194,6 / % της μέσης τιμής (περιορισμένο εύρος), το μέσο εισόδημα κυμαίνεται μεταξύ: 100,7 μ 1197,3 13

14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 1.β 99% Δ.Ε. : z a d ,576 0, ,87 00 = 00 > 30 z α =,576 (βλέπε πίνακα) Το εύρος του Δ.Ε. = x 17,87 = 55,74 To εύρος σε σχέση με τη μέση τιμή = 55,74 / % της μέσης τιμής (και εδώ έχουμε περιορισμένο εύρος), μπορούμε να στηρίξουμε ότι το μέσο εισόδημα των κατοίκων του Δήμου κυμαίνεται μεταξύ: 97,13 μ 17,87.. Ένα χρόνο μετά, έχουμε: X 1050, α/ 95% Δ.Ε. : z a d ,96 0, ,56 00 Το εύρος του Δ.Ε. = x 10,56 = 05,1 To εύρος σε σχέση με τη μέση τιμή = 05,1 / % της μέσης τιμής (περιορισμένο εύρος), μέσο εισόδημα των κατοίκων του Δήμου κυμαίνεται μεταξύ: 947,54 μ 115,56. β/ Για το 99% Δ.Ε., το μέσο εισόδημα κυμαίνεται μεταξύ : 915,1 μ 1184,79 και το εύρος του αντιστοιχεί περίπου στο 6% της μέσης τιμής. 14

15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Παράδειγμα : Μια δειγματοληπτική έρευνα σε 50 καταστήματα της χώρας έδειξε ότι η μέση τιμή ενός προϊόντος ανέρχεται σε 1,5 με διασπορά = 0,5. Δώστε (α) το 95% διάστημα εμπιστοσύνης και (β) το 98% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή του προϊόντος. Συμπέρασμα. Τι γνωρίζουμε; Ν άγνωστο όμως πολύ μεγάλο (καταστήματα της χώρας): /N d =1 Από το δείγμα έχουμε : X 1,5, 0,5 0,5 0,05 α/ 95% Δ.Ε. : z a 1,5 1,96 1,5 0,13 50 = 50 > 30 z α = 1,96 Το εύρος του Δ.Ε. = 0,6 είναι περιορισμένο Με 5% σφάλματος, μπορούμε να πούμε ότι τα καταστήματα εφαρμόζουν κοινή πολιτική ως προς τη τιμή του προϊόντος. 0,05 β/ 98% Δ.Ε.: z a 1,5,36 1,5 0,1. 50 Είναι φανερό ότι και με % σφάλμα, το εύρος δεν είναι τόσο μικρό. 15

16 Διάστημα εμπιστοσύνης της αναλογίας. 16

17 ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ: p Σε αρκετές περιπτώσεις, τα μεγέθη που εξετάζουμε εκφράζονται σε ποσοστά όπου p = ποσοστό ατόμων με συγκεκριμένο χαρακτήρα (ή απλή αναλογία). Όπως και για την μέση τιμή, μπορούμε να υπολογίσουμε τα όρια ακρίβειας του ποσοστού, δηλαδή να εκτιμήσουμε παρόμοιο διάστημα εμπιστοσύνης. Παράδειγμα: Μια έρευνα σε ένα δείγμα 00 ατόμων έδωσε τα ακόλουθα αποτελέσματα σχετικά με το κάπνισμα. Καπνιστές Αριθμός ατόμων Αναλογία Ναι Όχι Το ποσοστό ατόμων που καπνίζουν = 60% (p = 0.6) και το αντίστοιχο για τους μη καπνιστές είναι 40% (q = 1-p = 0.4). Το ζήτημα είναι το ακόλουθο: σε ποιο βαθμό μπορούμε να γενικεύσουμε το αποτέλεσμα αυτό στο συνολικό πληθυσμό; Μπορούμε, βάσει των αποτελεσμάτων της έρευνας να θεωρήσουμε ότι, το 60% του πληθυσμού είναι καπνιστές; 17

18 ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ: p Για να γενικεύσουμε με σημαντικό βαθμό βεβαιότητας, το αποτέλεσμα της έρευνας, θα πρέπει να βρούμε το Δ.Ε. Έστω : Ν = μέγεθος πληθυσμού = μέγεθος του δείγματος p = αναλογία ατόμων (με βάση το δείγμα) που έχουν το χαρακτηριστικό και q = 1 - p Γνωρίζουμε επίσης ότι η αναλογία p ακολουθεί κατανομή Berouilli όπου: μ = p σ = p.q = p.(1-p) σ = p.q Επομένως το (1-α)% Δ.Ε. για το ποσοστό δίνεται από: pq p(1 p) p za. d p za. d p za. d 1 N Και pq τυπικό σφάλμα του ποσοστού p d Προσοχή Αν μικρό, τότε παίρνουμε t(-1, a/) Βλέπε πίνακα 18

19 Παραδείγματα εκτίμησης κατά διάστημα της αναλογίας. 6

20 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Παράδειγμα 3: Μια δειγματοληπτική έρευνα σε 5 φοιτητές της Θεσσαλίας έδειξε ότι: (α) το ενοίκιο που πληρώνουν, ανέρχεται κατά μέσο όρο στα 10 με τυπική απόκλιση = 65. (β) 0 από αυτούς δεν είναι καθόλου ικανοποιημένοι με το ενοίκιο που πληρώνουν. 1. Δώστε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο ενοίκιο. Συμπέρασμα. Δώστε το 95% Δ.Ε. για το ποσοστό των μη ικανοποιημένων φοιτητών. Τι γνωρίζουμε; Ν άγνωστο όμως μεγάλο (Φοιτητές της Θεσσαλίας): /N d =1 = 5 < 30, θα πρέπει να χρησιμοποιούμε τον συντελεστή t(-1; α/). Για 95% Δ.Ε., α = 5% (ο,ο5) α/ = 0,05 Από τον πίνακα του Studet, βρίσκουμε την τιμή του t(4; 0,05)=,064 (γραμμή 4 και στήλη α/ =0.05) 1. 95% Δ.Ε. : 65 t( 1; a / ) 10, ,83 5 Το μέσο ενοίκιο κυμαίνεται μεταξύ: 183,17 μ 36,83. Το εύρος ξεπερνά τα 50 (6% της μέσης τιμής), μπορεί να θεωρηθεί σχετικά μεγάλο για το προϋπολογισμό ενός φοιτητή. 0

21 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Για να βρούμε το 95% Δ.Ε. για το ποσοστό των μη ικανοποιημένων φοιτητών, χρησιμοποιούμε το ποσοστό (αναλογία) που προέκυψε από το δείγμα. Γνωρίζουμε από την έρευνα σε δείγμα 5 φοιτητών, ότι 0 στους 5 δεν είναι ικανοποιημένοι. Επομένως η αναλογία είναι p =0,8 και κατά συνέπεια q= 0,. = 5 < 30, θα πρέπει να χρησιμοποιούμε τον συντελεστή t(-1; α/) =, % Δ.Ε. για την αναλογία δίνεται από: pq p t( 1; a / ). d Όπως αναφέρθηκε στο 1 ο ερώτημα, = 5 d=1 95% Δ.Ε. : pq 0,8 0, p t( 1; a / ) 0,8,064 0,8 0,17 0,63 p 0,97 5 Το διάστημα είναι ιδιαίτερα μεγάλο. Η εκτίμηση της αναλογίας δεν είναι στατιστικά ικανοποιητική και αυτό οφείλεται στο πολύ μικρό μέγεθος του δείγματος που δεν επιτρέπει αξιόπιστο συμπέρασμα. 1

22 Διάστημα εμπιστοσύνης για: (α) τη διαφορά των μέσων τιμών δύο δειγμάτων, (β) τη διαφορά των αναλογίων σε δύο δείγματα.

23 ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ 1 ο δείγμα ο δείγμα Μέγεθος δείγματος 1 Μέση τιμή Διασπορά X 1 X s 1 s 1 η περίπτωση: τα δύο δείγματα είναι μεγάλα ( 1 30 & 30) Το Δ.Ε. για τη διαφορά των μέσων τιμών = s1 ( X1 X ) za. 1 s η περίπτωση: τα δύο δείγματα είναι μικρά (ή τουλάχιστον ένα από τα δύο) Το Δ.Ε. για τη διαφορά των μέσων τιμών = ( X 1 X ) t( v, a / ). s όπου ν= ( 1 + ) και s ( 1 1) s1 ( 1) s 1 3

24 ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΣΕ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 1 ο δείγμα ο δείγμα Μέγεθος δείγματος 1 Ποσοστό p 1 (q 1 ) p (q ) 1 η περίπτωση: τα δύο δείγματα είναι μεγάλα ( 1 30 & 30) Το Δ.Ε. για τη διαφορά των ποσοστών = ( p q 1 1 p1 p) za. 1 pq η περίπτωση: τα δύο δείγματα είναι μικρά (ή τουλάχιστον ένα από τα δύο) Το Δ.Ε. για τη διαφορά των ποσοστών = ( p 1 p) t(, a / ). p1q 1 1 pq όπου ν= ( 1 + ) 4

25 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Παράδειγμα 4: Μια δειγματοληπτική έρευνα σε 50 άνδρες και 50 γυναίκες έδειξε ότι, (α) η μέση ηλικία των ανδρών = 5 με διασπορά 16 ενώ η μέση ηλικία των γυναικών = 55 με διασπορά = 9 (β) το 60% των ανδρών καπνίζουν έναντι του 50% για τις γυναίκες 1. Δώστε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά των μέσων ηλικιών. Συμπέρασμα.. Δώστε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά των ποσοστών των καπνιστών. Συμπέρασμα. Άνδρες Γυναίκες Μέγεθος δείγματος Μέση ηλικία 5 55 Διασπορά 16 9 Τα δύο δείγματα > 30 s1 95%..: ( X1 X ) za. 1 s %..: (555) ,39 4,39 X X Εφόσον το Δ.Ε. δεν περιλαμβάνει την τιμή 0 και η διαφορά είναι συστηματικά αρνητική, μπορούμε να πούμε ότι, υπάρχει πραγματική διαφορά μεταξύ των ανδρών και των γυναικών ως προς την ηλικία τους. 1,61 5

26 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Για το 95% Δ.Ε. της διαφοράς των ποσοστών καπνιστών και δεδομένου ότι τα δύο δείγματα > 30, έχουμε τα ακόλουθα: Άνδρες Γυναίκες Μέγεθος δείγματος p (% καπνιστών) 0,6 0,5 q(% μη καπνιστών) 0,4 0,5 95% Δ.Ε.: ( p q 1 1 p1 p) za. 1 pq 0,6 0,4 0,5 0,5 95%..: (0,6 0,5) ,10 0,19 0,09 p p ,9 Tο Δ.Ε. περιλαμβάνει την τιμή 0, δηλαδή η διαφορά μπορεί να είναι και αρνητική και θετική! Αυτό δεν γίνεται και κατά συνέπεια, η διαφορά δεν είναι στατιστικά σημαντική. 6

27 ΕΡΕΥΝΑ ΣΕ ΦΟΙΤΗΤΕΣ Μια δειγματοληπτική έρευνα σε 69 φοιτητές του ΤΜΧΠΠΑ και του ΤΠΜ του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας έδωσε τα ακόλουθα αποτελέσματα, σχετικά με την πρόθεσή τους να φύγουν στο εξωτερικό: Τμήμα Θέλουν να φύγουν Δεν θέλουν να φύγουν Σύνολο ΤΜΧΠΠΑ ΤΠΜ Σύνολο Δώστε το 95% και 99% Δ.Ε. για το ποσοστό φοιτητών που σκέφτονται να φύγουν στο εξωτερικό. Συμπέρασμα.. Δώστε το 95% Δ.Ε. για τη διαφορά μεταξύ των δύο τμημάτων του ποσοστού των φοιτητών που σκέφτονται να φύγουν; Είναι σημαντική η διαφορά; 7

28 ΕΡΕΥΝΑ ΣΕ ΦΟΙΤΗΤΕΣ Για τον υπολογισμό των Δ.Ε., θα πρέπει να υπολογίσουμε τα σχετικά ποσοστά των φοιτητών που θέλουν να φύγουν (p) και των υπόλοιπων (q=1-p): Τμήμα Θέλουν να φύγουν Δεν θέλουν να φύγουν Σύνολο ΤΜΧΠΠΑ 55,0 45,0 100,0 ΤΠΜ 7,4 7,6 100,0 Σύνολο 6,3 37,7 100,0 (1.) 95% Δ.Ε. για το ποσοστό φοιτητών που σκέφτονται να φύγουν στο εξωτερικό. To 6,3% των 69 φοιτητών που εξετάζουμε θέλουν να φύγουν: p = 6,3 & q= 37,7. = 69 > 30 z a = 1,96 για 95% Δ.Ε. και z a =,576 για 99% Δ.Ε. Θεωρούμε ότι, /N 0 d 1 pq 6,3 37, %.. p z. 6,3 1,96 6,3 11,4 50,9 < p < 73,7 a pq 6,3 37,7 99%.. p za. 6,3,576 6,3 15, ,3 < p < 77,3 Συμπέρασμα: Τα Δ.Ε. αναδεικνύουν με 95% βεβαιότητας ότι τουλάχιστον το 50% των φοιτητών θέλουν να φύγουν ή με 99% βεβαιότητας, τουλάχιστον 47%! 8

29 (.) 95% Δ.Ε. για τη διαφορά των ποσοστών μεταξύ των τμημάτων. Τι γνωρίζουμε; Τμήμα p q ΤΜΧΠΠΑ 40 55,0 45,0 ΤΠΜ 9 < 30 7,4 7,6 ΕΡΕΥΝΑ ΣΕ ΦΟΙΤΗΤΕΣ Για ένα από τα δύο δείγματα, < 30, επομένως το 95% της διαφοράς των ποσοστών δίνεται από: p1q1 pq 95%.. p1 p t(, a / ) Όπου ν = 1 + = = 67. O πίνακας δεν μας δίνει ν = 67 κατά προσέγγιση, παίρνουμε ν = 60 που είναι πιο κοντά από το ν = 10. Για 95% Δ.Ε., t(60, 0,05) =, % Δ.Ε. = 7,4 7,6 9 55,0 45,0 40 7,4 55,0 17,4 68,9 61,9 17,4, ,5 p1 p 40,3 Το Δ.Ε. είναι μεγάλο και περιλαμβάνει το 0!!! Τα δύο ποσοστά παρουσιάζουν διαφορά η οποία είναι απόλυτα τυχαία και όχι αντιπροσωπευτική. Δεν μπορούμε να πούμε ότι, υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά. 9

30 Σχέση μεταξύ σφάλματος εκτίμησης και μεγέθους δείγματος 30

31 Σφάλμα εκτίμησης - Μέγεθος δείγματος Η μέση τιμή όπως και η αναλογία που «υπολογίζουμε» με βάση τα δεδομένα του δείγματος αποτελούν εκτιμήσεις για το πληθυσμό και περιλαμβάνουν σφάλμα δειγματοληψίας. [Α] z a. d [Β] pq p za. d U U U = σφάλμα δειγματοληψίας = σφάλμα εκτίμησης και υπολογίζεται με τα δεδομένα του δείγματος. 31

32 Σφάλμα εκτίμησης - Μέγεθος δείγματος [Α] U z a d : 1 η περίπτωση βασισμένη στη μέση τιμή και διασπορά μιας επιλεγμένης μεταβλητής Σε περίπτωση που /Ν 0 U z a z a U Αν θέλουμε μικρό σφάλμα δειγματοληψίας, θα πρέπει να επιλέγουμε σχετικά μεγάλο μέγεθος δείγματος, ειδικά όταν γνωρίζουμε ότι ο πληθυσμός που μελετάμε παρουσιάζει σημαντική διασπορά ή / και ανισότητες. 3

33 [Β] pq U za. Σφάλμα εκτίμησης - Μέγεθος δείγματος d Σε περίπτωση που /Ν 0 : η Περίπτωση βασισμένη σε μια αναλόγια του πληθυσμού. U όπου p = ποσοστό του πληθυσμού που έχει το χαρακτηριστικό που εξετάζουμε. z Αν p γνωστό (π.χ. Γνωρίζουμε ότι, το ποσοστό ανεργίας στην Ελλάδα είναι της τάξης του 8% σύμφωνα με τα δεδομένα της Eurostat), τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τον «κατάλληλο» μέγεθος δείγματος για a pq z a pq U (α) ένα επιλεγμένο επίπεδο εμπιστοσύνης (1-α)% και ταυτόχρονα Ο ερευνητής επιλέγει (β) ένα συγκεκριμένο και επιλεγμένο σφάλμα εκτίμησης U% 33

34 Παράδειγμα: Σφάλμα εκτίμησης - Μέγεθος δείγματος Ορισμός του κατάλληλου Μεγέθους δείγματος για μια έρευνα που θα αφορούσε τον κίνδυνο ανεργίας για τον Οικονομικά ενεργό πληθυσμό της Ελλάδας, δεδομένου ότι, το ποσοστό ανεργίας = 8%. Διαδικασία: (α) επιλογή του επιπέδου εμπιστοσύνης: (1-α)% = 95% z a = 1,96 (β) επιλογή του σφάλματος εκτίμησης : U =??? : εξετάζουμε διάφορα εναλλακτικά επίπεδα U 1,96 0,80,7 0,80,7 0, ,96 U U U Στρογγυλοποίηση 10% 0,1 77, % 0,05 309, % 0, ,

35 Σφάλμα εκτίμησης - Μέγεθος δείγματος (γ) Σύγκριση με εναλλακτικά επίπεδα τόσο για το επίπεδο εμπιστοσύνης όσο και για το σφάλμα εκτίμησης (1-a)% = 99% z a =,58 U,58 0,80,7 0,80,7 1, 3419,58 U U U (1-α)% = 95% z a = 1,96 (1-α)% = 99% z a =,58 Στρογγυλοποίηση Στρογγυλοποίηση 10% 0,1 77, , 134 5% 0,05 309, , % 0, , , (δ) Απόφαση: εξαρτάται σε σημαντικό βαθμό από το κόστος εφαρμογής της έρευνας πεδίου. Π.χ. αν το κόστος ανά ερωτηματολόγιο = 5 και ο προϋπολογισμός μας δεν ξεπέρνα τα 1600, τότε δεν μπορούμε να επιλέξουμε πάνω από 30 ερωτηματολόγια =

36 Σφάλμα εκτίμησης - Μέγεθος δείγματος Τι γίνεται αν το ποσοστό p δεν είναι γνωστό; Σε αυτή την περίπτωση, επιλέγουμε συστηματικά p = 50% (0,5) διότι η αναλογία αυτή οδηγεί στο μέγιστο σφάλμα εκτίμησης. p q p.q 0,5 0,5 0,5 0,4 0,6 0,4 0,3 0,7 0,1 0, 0,8 0,16 0,1 0,9 0,09 36

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ 09-10 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Έλεγχοι υποθέσεων Βόλος, 2016-2017

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων

Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 09-10-2015 Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων Βασικές έννοιες Αν. Καθ. Μαρί-Νοέλ Ντυκέν ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 30-10-2015 1. Στατιστικοί παράμετροι - Διάστημα εμπιστοσύνης Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης

Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διαστήματα Εμπιστοσύνης 00 % Διαστήματα Εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού Κατανομή Διασπορά Μέγεθος δείγματος Διάστημα Εμπιστοσύνης Κανονική Γνωστή Οποιοδήποτε Οποιαδήποτε Γνωστή Μεγάλο 30 Z

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα Είδη δειγματοληψίας Γνωρίζουμε ότι: Με τη στατιστική τα δεδομένα γίνονται πληροφορίες Στατιστική Δεδομένα Πληροφορία Αλλά από πού προέρχονται τα δεδομένα; Πώς τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση Διαστήματος. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Στατιστική ΙI. Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον Μέσο

Εκτίμηση Διαστήματος. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Στατιστική ΙI. Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον Μέσο Στατιστική ΙI Ενότητα : Εκτίμηση Διαστήματος Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Aν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική ΙΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 1 Εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 05 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 1 . Διερευνητική Ανάλυση Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 015-016 1 . Διερευνητική Ανάλυση Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Έστω τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων από πληθυσμό του οποίου η κατανομή εξαρτάται από μία ή περισσότερες παραμέτρους, π.χ. μ. Επειδή σε κάθε δείγμα αναμένεται διαφορετική τιμή του μ, είναι προτιμότερο να επιδιώκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα 11 η Διάλεξη Εκτιμήτρια Κάθε στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού (π.χ. ο δειγματικός μέσος) Σημειακή εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος

Διαβάστε περισσότερα

10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης

10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης 10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διαστήματα εμπιστοσύνης για τον μέσο ενός πληθυσμού (Μικρά δείγματα) Άσκηση 10.7.1: Ο επόμενος πίνακας τιμών δείχνει την αύξηση σε ώρες ύπνου που είχαν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 06 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 206-207 2. Διερευνητική Ανάλυση Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 02 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 2016-2017 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Descriptive)

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα. 12 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα. 12 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα 12 η Διάλεξη 1 ο Παράδειγμα (1) Μια αυτόματη μηχανή συσκευάζει καλαμπόκι σε τσουβάλια των 25kg Το βάρος του καλαμποκιού που συσκευάζεται ανά τσουβάλι

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής

cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Δ.Ε. της παραμέτρου θ: ˆ θ cv σ < θ < ˆ θ + cv σ ˆ θ ˆ θ θ = η παράμετρος που θέλουμε να εκτιμήσουμε, ˆ θ = η εκτίμηση της θ που προκύπτει από το τ.δ. cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ 11 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών Βόλος, 2016-2017

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 2 ο ) 3/3/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 2 ο ) 3/3/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος ο ) 3/3/017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων σε επίπεδο σημαντικότητας α για τη διακύμανση σ ενός κανονικού πληθυσμού με ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n Η 0 : σ = σ 0 Περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ΙΙ-Διαστήματα Εμπιστοσύνης Ι (εκδ. 1.1)

Στατιστική ΙΙ-Διαστήματα Εμπιστοσύνης Ι (εκδ. 1.1) Στατιστική ΙΙ- Ι (εκδ. 1.1) Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 17 Ιουλίου 2013 Περιγραφή 1 Δ.Ε.γιατονμέσο µ Δ.Ε. για την αναλογία Τί είναι τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 02 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 2015-2016 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Descriptive)

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #3: Εκτιμητική Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.).

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). a. Τι μπορεί να συνέβη όταν η διάμεσος αυξήθηκε; Το γεγονός ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις 26/5/2017

Επαναληπτικές Ασκήσεις 26/5/2017 Επαναληπτικές Ασκήσεις 2 Άσκηση 1 η (1) Ένας ερευνητής μέτρησε τη συγκέντρωση γλυκόζης (σε mg/dl) στο αριστερό και το δεξί μάτι 35 τυχαία επιλεγμένων υγιών σκύλων συγκεκριμένης ράτσας Έστω ότι με Χ και

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Ας θεωρήσουμε ότι είναι γνωστό από στοιχεία της Παγκόσμιας Οργάνωσης Υγείας ότι οι τιμές χοληστερίνης στον πληθυσμό έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Κρήτης

ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Κρήτης ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Κρήτης Από την περασμένη φορά... Πληθυσμός (population): ένα σύνολο ατόμων Παράμετρος (parameter): χαρακτηριστικό του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. E. Αναστασίου Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α ΕΝΑΡΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Βόλος, 2015-2016 1 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΙΣΤΩΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Εξαρτημένα δείγματα (εξαρτημένες μετρήσεις)

Εξαρτημένα δείγματα (εξαρτημένες μετρήσεις) Ν6_(6)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_0_Έλεγχος_Υποθέσεων0 Ανεξάρτητα δείγματα Εξαρτημένα δείγματα Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ανεξάρτητα δείγματα (ανεξάρτητες μετρήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 3 ο ) 10/3/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 3 ο ) 10/3/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 3 ο ) 10/3/017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων σε επίπεδο σημαντικότητας α για τη διακύμανση σ ενός κανονικού πληθυσμού με ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n Η 0 : σ = σ 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου Σχηματική παρουσίαση της ερευνητικής διαδικασίας ΣΚΟΠΟΣ-ΣΤΟΧΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ερευνητικά

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2016. Στατιστική Ι. 8 η Διάλεξη (Κεντρικό Οριακό Θεώρημα)

21/11/2016. Στατιστική Ι. 8 η Διάλεξη (Κεντρικό Οριακό Θεώρημα) 21/11/2016 Στατιστική Ι 8 η Διάλεξη (Κεντρικό Οριακό Θεώρημα) 1 2 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Αν Χ 1, Χ 2,, Χ Ν ανεξάρτητες τ.μ. που ακολουθούν την ίδια κατανομή με E X i = μ και Var X i = σ 2, τότε για μεγάλα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα