Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων"

Transcript

1 Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 6 Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων

2 Εισαγωγή Οι 3Δ εικόνες στα Γραφικά αποτελούνται από διάφορα σχήματα & δομές: Γεωμετρικά σχήματα (π.χ. σφαίρες) Μαθηματικές επιφάνειες (π.χ. τμήματα επιφάνειας NURBS) Τυχαίες επιφάνειες, όχι μαθηματικά ορισμένες (π.χ. επιφάνεια ψηφιοποιημένου αντικειμένου) Αντικείμενα όγκου, όπου η εσωτερική δομή του αντικειμένου είναι εξίσου σημαντική με την επιφάνεια του (π.χ. ανθρώπινο όργανο) Ακανόνιστα αντικείμενα (π.χ. καπνός) Μοντέλα: Προσεγγιστικές αναπαραστάσεις αντικειμένων, κατασκευασμένα ώστε να διατηρούν πολλές από τις ιδιότητες του αντικειμένου Τα μοντέλα επιδέχονται την επεξεργασία που απαιτούν οι αλγόριθμοι γραφικών 2

3 Εισαγωγή (2) Πολυγωνικά Μοντέλα: Συνηθέστερη αναπαράσταση επιφανειών Η πληροφορία που περιέχεται στα μοντέλα αυξάνεται συνεχώς Βασικές εφαρμογές στα Γραφικά συχνά απαιτούν μοντέλα με λιγότερη πληροφορία Απλοποίηση Μοντέλου: Μειώνει την ποσότητα πληροφορίας που περιέχει ένα μοντέλο, χωρίς να θυσιάσει σημαντικά την ποιότητα της αναπαράστασης 3

4 Ανασκόπηση Μοντέλων 2 κύριες κατηγορίες μοντέλων: Αναπαράσταση Επιφάνειας (ή αναπαράσταση συνόρου (b-rep)) Αναπαριστά μόνο την επιφάνεια αντικειμένου Αναπαράσταση Όγκου (ή υποδιαίρεση χώρου) Αναπαριστά όλο τον όγκο που καταλαμβάνει ένα αντικείμενο Η αναπαράσταση επιφάνειες χρησιμοποιείται συχνότερα διότι: Πολλά αντικείμενα δεν είναι κλειστά αναπαράσταση όγκου μη εφαρμόσιμη Τα περισσότερα αντικείμενα είναι αδιαφανή εξοικονόμηση επεξεργασίας με την αναπαράσταση μόνο της επιφάνειας τους, που καθορίζει την εμφάνιση τους Η αναπαράσταση όγκου χρησιμοποιείται: Για ημιδιαφανή αντικείμενα Για αντικείμενα με ενδιαφέρουσα εσωτερική δομή Σαν βοηθητική δομή σε γενικούς αλγόριθμους γραφικών 4

5 Ανασκόπηση Μοντέλων (2) Κάποια μοντέλα δεν κατηγοριοποιούνται εύκολα σε μια από τις παραπάνω κατηγορίες: Μοντέλα κατασκευαστικής στερεάς γεωμετρίας (CSG): αναπαριστούν ένα αντικείμενο συνδυάζοντας στοιχειώδη γεωμετρικά σχήματα Άμορφα αντικείμενα & φαινόμενα: μοντελοποιούνται σαν νέφη σημείων ή σαν συνοθύλευμα στοιχειωδών επιφανειών ή όγκων Τα Μοντέλα Επιφάνειας κατηγοριοποιούνται: Σε αυτά που έχουν κάποια μαθηματική περιγραφή όπως: Στοιχειώδη Γεωμετρικά Σχήματα Επιφάνειες NURBS Επιφάνειες Υποδιαίρεσης Γενικές Παραμετρικές Επιφάνειες Και σε αυτά που δεν έχουν κάποια μαθηματική περιγραφή: Αποτελούνται από ένα σύνολο σημείων & ένα σύνολο πολυγώνων που κατασκευάζονται από τα σημεία του συνόλου σαν κορυφές πολυγωνικά μοντέλα 5

6 Ανασκόπηση Μοντέλων (3) Συγκρίνοντας τις δυο μορφές των μοντέλων επιφάνειας: Τα μαθηματικά μοντέλα: Είναι συνήθως ακριβείς αναπαραστάσεις αντικειμένων Επιτρέπουν ακριβείς υπολογισμούς για το αντικείμενο (π.χ. κανονικό διάνυσμα) Περιορίζονται σε ορισμένα είδη αντικειμένων Δεν μπορούν να περιγράψουν τυχαία σχήματα Τα πολυγωνικά μοντέλα: Είναι προσεγγίσεις των αρχικών αντικειμένων Αν χρησιμοποιούνται αρκετές κορυφές, είναι αρκετά ακριβείς προσεγγίσεις Είναι πιο γενικά Ακόμα και η μαθηματικές αναπαραστάσεις συνήθως κατασκευάζονται σε μια διακριτή μορφή πολυγωνικών μοντέλων 6

7 Ανασκόπηση Μοντέλων (4) Τα πολύγωνα μπορεί να αποτελούνται από οποιοδήποτε πλήθος κορυφών. Στην πράξη: Τετράπλευρα Τρίγωνα Πολυγωνικά Μοντέλα Τετραπλεύρων: Παράγονται κατά τον σχεδιασμό παραμετρικών επιφανειών Δυστυχώς, ένα τετράπλευρο στις 3Δ δεν είναι απαραίτητα επίπεδο: Περιορίζεται το σχήμα και η ευελιξία του μοντέλου Δυσκολότεροι υπολογισμοί Πολυγωνικά Μοντέλα Τριγώνων: Ένα τρίγωνο είναι πάντα επίπεδο Κάθε πολύγωνο τριγωνοποιείται εύκολα τριγωνικό μοντέλο παράγεται από οποιοδήποτε πολυγωνικό μοντέλο τριγωνικά μοντέλα (ή τριγωνικά πλέγματα) χρησιμοποιούνται σχεδόν πάντα σε εφαρμογές που περιλαμβάνουν πολυγωνικά μοντέλα 7

8 Ανασκόπηση Μοντέλων (5) Τα πολυγωνικά μοντέλα γενικεύονται σε πολυεδρικά μοντέλα για την αναπαράσταση όγκου Βασικό πολυεδρικό σχήμα είναι το τετράεδρο τα τετραεδρικά πλέγματα είναι η πιο γενική & ευέλικτη αναπαράσταση όγκου Τα μοντέλα που αποτελούνται από παραλληλεπίπεδα είναι πολύ διαδεδομένα, κυρίως σαν παράγωγα διαδικασιών υποδιαίρεσης του χώρου που χρησιμοποιούν ορθογώνια πλέγματα Δομικό στοιχείο των παραλληλεπιπέδων καλείται ογκοστοιχείο Χρησιμοποιούνται ακόμα Ιεραρχικές αναπαραστάσεις όγκου (οκταδικά δέντρα, δέντρα δυαδικής διαμέρισης χώρου) Θα επικεντρωθούμε στα πολυγωνικά μοντέλα 8

9 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων Μοντέλο επιφάνειας πολλαπλότητας 2Δ (ή απλά πολλαπλότητα): Κάθε σημείο της επιφάνειας έχει γειτνίαση ομοιομορφική με έναν ανοικτό δίσκο (εσωτερικό κύκλου) Αν και η επιφάνεια υπάρχει στον 3Δ χώρο, όταν εξεταστεί σε μια μικρή περιοχή γύρω από ένα σημείο είναι τοπολογικά επίπεδη Σε μια επιφάνεια-πολλαπλότητα: Κάθε ακμή μοιράζεται μεταξύ ακριβώς 2 εδρών Γύρω από κάθε κορυφή υπάρχει ένας κλειστός βρόγχος εδρών Επιφάνεια πολλαπλότητα με σύνορο: Κάθε σημείο της επιφάνειας έχει γειτνίαση ομοιομορφική με έναν μισό δίσκο Σε μια επιφάνεια πολλαπλότητα με σύνορο: Κάποιες ακμές (συνοριακές) ανήκουν ακριβώς σε μια έδρα Γύρω από κάποιες κορυφές (συνοριακές) ο βρόγχος εδρών είναι ανοικτός Συνήθως, μια 3Δ επιφάνεια που δεν είναι πολλαπλότητα με σύνορο είναι μια κλειστή επιφάνεια 9

10 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (2) (a) Τμήμα επιφάνειας πολλαπλότητας (b) Συνοριακή κορυφή επιφάνειας πολλαπλότητας με σύνορο (c) Ακμή που δεν ανήκει σε επιφάνεια πολλαπλότητας (d) Μη συνοριακή κορυφή που δεν ανήκει σε επιφάνεια πολλαπλότητας 10

11 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (3) Ένα μοντέλο επιφάνειας είναι ένα απλοειδές σύμπλοκο αν τα πολύγωνα που το αποτελούν εφάπτονται μόνο κατά μήκος των ακμών τους, και οι ακμές του μοντέλου τέμνονται μόνο στα άκρα τους (a) Απλοειδές σύμπλοκο (b) Μη απλοειδές σύμπλοκο (τριγωνικό πλέγμα) (τριγωνικό πλέγμα) 11

12 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (4) Προσανατολισμένη επιφάνεια: Επιφάνεια που έχει 2 όψεις Όπως μια κόλλα χαρτιού Οι περισσότερες επιφάνειες είναι προσανατολισμένες Στις κλειστές προσανατολισμένες επιφάνειες το εσωτερικό & εξωτερικό τμήμα της επιφάνειας είναι σαφώς διακριτά Κατά σύμβαση, το κανονικό διάνυσμα μιας κλειστής προσανατολισμένης επιφάνειας δείχνει προς την έξω μεριά ΗταινίαMoebius είναι μια μη προσανατολισμένη επιφάνεια 12

13 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (5) Τα κλειστά μοντέλα πολλαπλότητας που είναι ομοιομορφικά ως προς τη σφαίρα, ικανοποιούν τον τύπο του Euler: V E + F = 2 όπου: V: # κορυφών } E: # ακμών του μοντέλου F: # εδρών 13

14 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (6) Για ένα κλειστό τριγωνικό μοντέλο ο παραπάνω τύπος υποδηλώνει: Ότι το πλήθος των τριγώνων του μοντέλου είναι σχεδόν 2-πλάσιο του πλήθους των κορυφών Ότι ο μέσος αριθμός τριγώνων γύρω από μια κορυφή είναι 6 Ο τύπος του Euler γενικεύεται για μοντέλα που δεν είναι πολλαπλότητες: V E + F = 2 2G όπου G είναι το γένος (genus) του μοντέλου Το γένος ενός μοντέλου μπορεί να θεωρηθεί το πλήθος των διαμπερών οπών του μοντέλου: Ο τόρος (torus) έχει γένος 1 Ο διπλός τόρος έχει γένος 2 14

15 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα Πολλές δομές δεδομένων έχουν προταθεί για την αναπαράσταση πολυγωνικών μοντέλων. Διαφέρουν: Στον τύπο των πολυγωνικών μοντέλων που μπορούν να αναπαραστήσουν Στην ποσότητα & τύπο πληροφορίας που φυλάσσουν άμεσα για το μοντέλο Στις λοιπές πληροφορίες που μπορούν να παράγουν έμμεσα για το μοντέλο Χρήσιμες πληροφορίες για τα Γραφικά: Τοπολογικές πληροφορίες: αν το μοντέλο είναι πολλαπλότητα, είναι κλειστό, έχει όριο ή έχει τρύπες Πληροφορίες γειτνίασης: γειτονικές έδρες δοθέντων ακμών και εδρών, γειτονικές ακμές και έδρες γύρω από δοθείσα κορυφή, σύνορο ενός ανοικτού μοντέλου Χαρακτηριστικά συνημμένα στο μοντέλο: κανονικά διανύσματα, χρώματα, ιδιότητες υλικού, συντεταγμένες υφής 15

16 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (2) Οι βασικότερες δομές δεδομένων που χρησιμοποιούνται: Άμεση λίστα ακμών περιέχουν για κάθε ακμή/έδρα του μοντέλου Άμεση λίστα εδρών τις συντεταγμένες των αντίστοιχων κορυφών Παράδειγμα: Για το τετράεδρο της εικόνας ισχύει: Λίστα ακμών: e =( (x,y,z ), (x,y,z )), e = ( (x,y,z ), (x,y,z )), Λίστα εδρών: } e =( (x,y,z ), (x,y,z )), e = ( (x,y,z ), (x,y,z )), e =( (x,y,z ), (x,y,z )), e = ( (x,y,z ), (x,y,z )) f f f f =((x,y,z ),(x,y,z ),(x,y,z )), =((x,y,z ),(x,y,z ),(x,y,z )), =((x,y,z ),(x,y,z ),(x,y,z )), =((x,y,z ),(x,y,z ),(x,y,z ))

17 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (3) Λίστα ακμών: Δεν αναπαριστά επιφάνεια Δεν καθορίζει τις έδρες του μοντέλου Οι έδρες πρέπει να συμπεραθούν από τα δεδομένα των ακμών οδηγεί σε πιθανές ασάφειες Λίστα εδρών: Οι συντεταγμένες κάθε κορυφής επαναλαμβάνονται για κάθε ακμή ή έδρα που την περιέχει σπατάλη χώρου Δεν δίνει πληροφορίες για την γειτνίαση των εδρών και των ακμών Οι κορυφές μπορούν να ανιχνευθούν με σύγκριση συντεταγμένων μπορεί να προκύψουν προβλήματα αριθμητικής ακρίβειας ο υπολογισμός της γειτνίασης μπορεί να παρουσιάζει προβλήματα 17

18 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (4) Αρκετά από τα παραπάνω μειονεκτήματα επιλύονται από την δεικτοδοτημένη λίστα εδρών: Περιέχει λίστα κορυφών & λίστα εδρών του μοντέλου Οι κορυφές των εδρών δίνονται σαν αναφορές στη λίστα κορυφών Παράδειγμα: το προηγούμενο τετράεδρο αναπαρίσταται ως: v0=(x 0,y 0,z 0), f 0= ( v3, v2, v1), v1=(x 1,y 1,z 1), f 1= ( v2, v3, v0), v2=(x 2,y 2,z 2), f 2= ( v1, v0, v3), v =(x,y,z ), f = ( v, v, v ) Για την αναπαράσταση προσανατολισμένων μοντέλων με χρήση της δεικτοδοτημένης λίστας εδρών, συνηθίζεται να ταξινομούνται οι κορυφές των εδρών είτε με την φορά των δεικτών του ρολογιού είτε αντίστροφα ευκολότεροι υπολογισμοί 18

19 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (5) Δεικτοδοτημένη λίστα εδρών: Μπορεί να αναπαραστήσει όλα τα είδη πολυγωνικών μοντέλων Επιτρέπει άμεσες τροποποιήσεις στις θέσεις των κορυφών του μοντέλου Οι ακμές των πολυγώνων μπορούν να διαπιστωθούν έμμεσα αλλά επαναλαμβάνονται για κάθε πολύγωνο που τις χρησιμοποιεί Απαιτείται κάποια διαδικασία για παραγωγή λίστας μοναδικών ακμών Δεν παρέχει πληροφορίες γειτνίασης αν και τα δεδομένα της δομής επαρκούν για τον υπολογισμό της γειτνίασης 19

20 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (6) Ειδικά για τριγωνικά μοντέλα, τα γειτονικά τρίγωνα μπορούμε να τα χειριστούμε πιο αποδοτικά σαν ταινία τριγώνων ή βεντάλια τριγώνων, προκειμένου να μειωθούν οι επαναλήψεις δεδομένων Ταινία τριγώνων Βεντάλια τριγώνων (v 0, v 1, v 2, v 3, v 4 ) (v 0, v 1, v 2, v 3, v 4 ) 20

21 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (7) Η δεικτοδοτημένη λίστα εδρών μπορεί να συνδυαστεί με άλλα δεικτοδοτημένα (ως προς κορυφές ή έδρες) δεδομένα που αφορούν άλλα γνωρίσματα του μοντέλου : Πχ. χρώμα Κάποιες δομές δεδομένων μπορούν να αναπαραστήσουν απευθείας κάποια πληροφορία γειτνίασης & επιτρέπουν την εύκολη παραγωγή πληροφοριών που αφορούν την γειτνίαση Αυτές οι δομές δεδομένων είναι δεικτοδοτημένες, περιέχουν τουλάχιστον μια λίστα κορυφών και πραγματεύονται μοντέλα πολλαπλότητας 21

22 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (8) Η δομή winged-edge, είναι μια τέτοια δομή: Κεντρικός κόμβος πληροφορίας είναι η ακμή Κάθε ακμή αποθηκεύει αναφορές: Στις 2 κορυφές της Στις 2 γειτονικές της έδρες Στις 4 γειτονικές της ακμές 22

23 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (9) Η δομή ημι-ακμής είναι παρόμοια με την δομή winged-edge, αλλά χρησιμοποιεί προσανατολισμένες ακμές: Κάθε ακμή διαχωρίζεται σε 2 ημι-ακμές Κάθε ημι-ακμή αποθηκεύει μια αναφορά: Στην κορυφή που αρχίζει & την κορυφή που τελειώνει Στη γειτονική έδρα της Στις 2 γειτονικές της ημι-ακμές κατά μήκος της γειτονικής της έδρας Στην αντίθετή της ημι-ακμή Η δομή ημι-ακμής είναι πιο αποδοτική από την δομή winged-edge για αρκετές ερωτήσεις γειτνίασης 23

24 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (10) Η δομή Quad-edge είναι παρόμοια με τις παραπάνω: Είναι πιο πολύπλοκη Χρησιμοποιείται για τον αποδοτικό υπολογισμό ερωτήσεων γειτνίασης Μπορεί να αναπαραστήσει ταυτόχρονα ένα μοντέλο πολλαπλότητας & το δυϊκό του Το δυϊκό μοντέλο κατασκευάζεται περιστρέφοντας τις ακμές κατά 90 o, και αντικαθιστώντας τις κορυφές με έδρες & αντίστροφα Π.χ. Το δυϊκό ενός τετραέδρου είναι ένα τετράεδρο Το δυϊκό ενός κύβου είναι ένα οκτάεδρο & αντίστροφα Χρήσιμη στην υπολογιστική γεωμετρία, την αλγοριθμική δηλαδή μελέτη γεωμετρικών προβλημάτων 24

25 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου Τα πολυγωνικά μοντέλα συχνά δημιουργούνται αυτόματα με: Σχεδίαση των επιφανειών, που είναι ορισμένες με μαθηματικό τρόπο 3Δ σάρωση αληθινών αντικειμένων Η αύξηση της δύναμης των υπολογιστών και τα πλεονεκτήματα της 3Δ σάρωσης οδηγούν σε μοντέλα με μεγάλο αριθμό κορυφών και εδρών Το έργο Digital Michelangelo, π.χ., χρησιμοποίησε σαρωτές προηγμένης τεχνολογίας για να σαρώσει και ανακατασκευάσει κάποια από τα γλυπτά του Μιχαήλ Άγγελου Αποτέλεσμα: εκατομμύρια τρίγωνα (1/4 mm πλέγμα σάρωσης) Μερικά gigabytes δεδομένα Το μέγεθος της πληροφορίας είναι δύσκολο στην επεξεργασία Αυτή η λεπτομέρεια είναι χρήσιμη μόνο σε συγκεκριμένες εφαρμογές 25

26 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (2) Οι εφαρμογές των γραφικών μπορούν να ωφεληθούν από πολλαπλές αναλύσεις (επίπεδα λεπτομέρειας (LODs)) του μοντέλου που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε διαφορετικές συνθήκες θέασης Όταν η προβολή του μοντέλου είναι μικρή, μόνο ένα μικρό τμήμα λεπτομέρειας είναι ορατό Είναι επίσης ωφέλιμο να μεταβάλλεται η λεπτομέρεια σε διαφορετικές περιοχές του ίδιου μοντέλου Συνεπίπεδα τρίγωνα συγχωνεύονται σε λιγότερα και μεγαλύτερα τρίγωνα Περιοχές κοντά στον παρατηρητή χρειάζονται περισσότερη λεπτομέρεια από εκείνες που βρίσκονται μακριά Τα επίπεδα λεπτομέρειας και η επιλεκτική εκλέπτυνση είναι κατάλληλα για αλληλεπιδραστικές εφαρμογές 26

27 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (3) Διαφορετικά επίπεδα λεπτομέρειας και μεγέθη: (5000 αριστερά- vs δεξιά- τρίγωνα) Εχουν αναπτυχθεί αρκετές τεχνικές απλοποίησης μοντέλων Μειώνουν τον αριθμό των εδρών ενός πολυγωνικού μοντέλου, ενώ παράλληλα προσπαθούν να διατηρούν την εμφάνιση και δομή του αρχικού μοντέλου Οι σχετικές εφαρμογές, συνήθως έχουν το αρχικό μοντέλο σε διαφορετικά επίπεδα λεπτομέρειας και δυναμικά επιλέγουν την κατάλληλη 27

28 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (4) Οι αλγόριθμοι απλοποίησης: Αντιμετωπίζουν ευκολότερα κλειστά πλέγματα που είναι πολλαπλότητες Χειρίζονται συχνά και το σύνορο των μη-κλειστών μοντέλων 28

29 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (5) Οι μέθοδοι απλοποίησης χωρίζονται σε 2 μεγάλες ομάδες: Αυτές που παράγουν διακριτά επίπεδα λεπτομέρειας του αρχικού μοντέλου Αυτές που παράγουν συνεχή επίπεδα λεπτομέρειας του αρχικού μοντέλου Διακριτά επίπεδα λεπτομέρειας: Ορίζεται ο επιθυμητός αριθμός εδρών Δημιουργείται ένα νέο μοντέλο με τον επιθυμητό αριθμό εδρών Αν ζητηθεί άλλο επίπεδο λεπτομέρειας, ο αλγόριθμος εκτελείται ξανά Συνεχή επίπεδα λεπτομέρειας: Παράγεται μια συνεχής ακολουθία από όλο και περισσότερο απλοποιημένα μοντέλα, χρησιμοποιώντας τοπικές απλοποιήσεις του αρχικού μοντέλου Μπορεί να παραχθεί οποιοδήποτε ενδιάμεσο επίπεδο λεπτομέρειας, με καταγραφή των βημάτων απλοποίησης 29

30 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (6) Οι αλγόριθμοι συνεχούς απλοποίησης είναι πιο ενδιαφέροντες από τους διακριτούς Είναι προσαρμοστικοί και εύκολα αντιστρέψιμοι επιτρέπουν την μετακίνηση «πάνω» και «κάτω» μεταξύ επιπέδων λεπτομέρειας Υποστηρίζουν την επιλεκτική εκλέπτυνση, δηλαδή την δυναμική προσαρμογή της λεπτομέρειας σε διάφορα μέρη του μοντέλου Ομαλή εκλέπτυνση του πλέγματος ελαχιστοποίηση οπτικών ατελειών κατά την εναλλαγή επιπέδων λεπτομέρειας σε διαδραστικές εφαρμογές. 30

31 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (7) Πως εκτιμούμε την ποιότητα του απλοποιημένου μοντέλου σε σχέση με το αρχικό; Οι περισσότεροι αλγόριθμοι οδηγούνται από συγκεκριμένα μέτρα για να ορίσουν, π.χ.: Ποια είναι η κατάλληλη θέση για μια νέα κορυφή Ποια ακμή πρέπει να αφαιρεθεί πρώτη για να μειωθεί η διαφορά μεταξύ αρχικού και απλοποιημένου μοντέλου Αυτά τα μέτρα δίνουν επίσης μια εκτίμηση της ποιότητας του τελικού μοντέλου οι αλγόριθμοι απλοποίησης μπορούν να συγκριθούν 31

32 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (8) Τα πιο διαδεδομένα μέτρα, εκτιμούν κάποια απόσταση του απλοποιημένου μοντέλου από το αρχικό: Απόσταση Hausdorff: μετράει τη μέγιστη απόσταση μεταξύ 2 οποιωνδήποτε σημείων δύο επιφανειών M και M d ( M, M ') = max(max{ d( v, M ')},max{ d( v', M)}), v M v' M' όπου d( v, M) = min{ v w} είναι η απόσταση ενός σημείου v από μια w M επιφάνεια M, ορισμένη ως η απόσταση του v απότοπιοκοντινόσημείο w της επιφάνειας Μέση τετραγωνική απόσταση 2 επιφανειών: 1 1 d2( M, M ') = d(, M ') d( ', M), s v + s' v v M v' M ' όπου s και s είναι επιφάνειες των M και M αντίστοιχα Αυτές οι εξισώσεις πρέπει να είναι διακριτές για να μπορούν να υπολογιστούν πάνω σε πολυγωνικά μοντέλα πετυχαίνεται με τη δειγματοληψία σημείων πάνω στις επιφάνειες 32

33 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών Κατάρρευση Ακμής (edge collapse): Τοπική πράξη σε τριγωνικό πλέγμα Αφαιρεί μια ακμή του μοντέλου και 2 γειτονικά της τρίγωνα με την κατάρρευση μιας ακμής σε μία κορυφή Χρησιμοποιώντας κατάρρευση ακμών, είναι εύκολος ο υπολογισμός της απόστασης μεταξύ του απλοποιημένου και του αρχικού μοντέλου διαφέρουν στις έδρες γύρω από την ακμή που κατέρρευσε Υποθέτουμε μοντέλα που είναι πολλαπλότητες, αλλά υπάρχουν και παραλλαγές για μη πολλαπλότητες 33

34 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (2) Αλγόριθμος κατάρρευσης ακμής: 1. Για κάθε ακμή του μοντέλου που μπορεί να καταρρεύσει, υπολόγισε μια προτεραιότητα κατάρρευσης και ταξινόμησε τις ακμές σε μια ουρά προτεραιότητας 2. Όσο υπάρχουν υποψήφιες ακμές στην ουρά και ο στόχος απλοποίησης (μέγιστο σφάλμα, πλήθος εδρών του μοντέλου) δεν έχει επιτευχθεί: a) Αφαίρεσε την πρώτη ακμή από την ουρά b) Κατέρρευσε την ακμή (το πλέγμα αλλάζει μόνο τοπικά γύρω από την ακμή) c) Επανυπολόγισε τις προτεραιότητες των ακμών που επηρέασε η κατάρρευση Παράγοντες που επηρεάζουν το αποτέλεσμα της μεθόδου: Το μέτρο εκτίμησης μεταβολής του πλέγματος για κάθε κατάρρευση ακμής (εκχώρηση της προτεραιότητας) Η θέση της νέα κορυφής κατά την κατάρρευση ακμής 34

35 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (3) Σε μερικές υλοποιήσεις, η θέση της νέας κορυφής είναι σταθερή (π.χ. ένα από τα δύο άκρα ή μέσον) Σε άλλες υλοποιήσεις, οι παραπάνω 2 παράγοντες είναι συσχετισμένοι: Η θέση της νέας κορυφής υπολογίζεται σαν αποτέλεσμα μιας μεθόδου βελτιστοποίησης, που ελαχιστοποιεί το σφάλμα απλοποίησης Το ελάχιστο σφάλμα που επιτυγχάνεται χρησιμοποιείται και σαν προτεραιότητα της κατάρρευσης ακμής 35

36 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (4) Απλοποίηση με τη μέθοδο τετραγωνικού σφάλματος: Ελαχιστοποιεί την τετραγωνική απόσταση της νέας κορυφής από τις έδρες γύρω από την ακμή που κατέρρευσε Έστω Δ μια τριγωνική έδρα του μοντέλου με εξίσωση επιπέδου: ax + by + cz + d = 0 Τετραγωνική απόσταση σημείου x =[x, y, z] T από το επίπεδο Δ : 2 T 2 ( ax + by + cz + d) ( nx+ d) T ˆ 2 T T ˆ T ˆ2 Q ( ) ( ˆ ) ( ˆˆ ) 2 ˆ Δ x = = = + d = + d + d, a + b + c n x x nn x n x n όπου ˆ = n n είναι το μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα του Δ και ˆ d d = n n Μπορεί να αναπαρασταθεί από την τετραγωνική μορφή: T ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 Q = ( Ab,, p) = Δ ( nn, dn, d ), οπότε: T T QΔ ( x) = x Ax+ 2b x+ p 36

37 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (5) Έτσι, το άθροισμα των τετραγωνικών αποστάσεων του x από 2 τρίγωνα Δ1 και Δ2 υπολογίζεται με άθροιση των τετραγωνικών μορφών: Q = ( A, b Δ, p ) και Q = ( A 2 2, b Δ 2, p2) : Q ( x) + Q ( x) = ( Q + Q )( x) = x ( A + A ) x+ 2( b + b ) x+ ( p + p ) T T Δ1 Δ2 Δ1 Δ Το αποτέλεσμα είναι επίσης τετραγωνικής μορφής Γενικεύεται για οποιοδήποτε αριθμό τριγώνων Ο αλγόριθμος απλοποίησης αρχικά αποδίδει σε κάθε κορυφή v του πλέγματος, τη μορφή που εκφράζει το άθροισμα των τετραγωνικών αποστάσεων ενός σημείου από τις έδρες γύρω από την κορυφή: Qv = wδqδ Δ arround x όπου w Δ είναι το βάρος της επιφάνειας της αντίστοιχης έδρας καλύτερη κλιμάκωση 37

38 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (6) Αφού η ακμή e(v 0, v d ) καταρρεύσει, η συνολική τετραγωνική απόσταση της προκύπτουσας κορυφής v s από όλες τις έδρες γύρω από τις v 0 και v d είναι: Q( vs ) = Qv ( v ή 0 s) + Qv ( v ) d s Q= Qv + Q που είναι η γνωστή μορφή Q =(A, b, p) Η θέση που ελαχιστοποιεί το Q είναι η βέλτιστη για την v s Μετά από παραγώγιση, προκύπτει ότι το ελάχιστο του Q επιτυγχάνεται για v s = A -1 b και το ελάχιστο είναι: T 1 T Q( vs) = b A b+ p = b vs + p Αν ο A είναι ιδιάζων πίνακας η ελαχιστοποίηση περιορίζεται πάνω στην ακμή e(v 0,v d ) 0 d Αν αποτύχει, η v s επιλέγεται ανάμεσα στις v 0 και v d, ανάλογα με το ποια κορυφή δίνει τη μικρότερη τιμή στο Q v 38

39 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (7) Η απλοποίηση με επαναληπτική κατάρρευση ακμών έχει όλες τις ιδιότητες των μεθόδων συνεχών επιπέδων λεπτομέρειας: Είναι εύκολα αντιστρέψιμη με την πράξη διάσπασης κορυφής σε αντίστροφη σειρά σε σχέση με τις καταρρεύσεις ακμών πρέπει να διατηρούνται οι αρχικές θέσεις κορυφών για κάθε κατάρρευση ακμής Προοδευτικό πλέγμα: το απλοποιημένο πλέγμα μαζί με την ακολουθία διασπάσεων κορυφών που οδηγούν στο αρχικό Με τη φύλαξη πληροφορίας για γειτονικές κορυφές και έδρες κάθε κατάρρευσης ακμής, είναι δυνατή η εφαρμογή επιλεκτικής εκλέπτυνσης και εκτράχυνσης του πλέγματος σε περιοχές ενδιαφέροντος Μπορούν να εφαρμοσθούν διάφορα μέτρα σφάλματος και στρατηγικές για την τοποθέτηση κορυφής, οπότε η μέθοδος προσαρμόζεται σε πολλαπλούς σκοπούς και διαθέσιμους πόρους. 39

40 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (8) Η απλοποίηση μεγάλων μοντέλων είναι χρονοβόρα Αν χρησιμοποιείται διαδικασία βελτιστοποίησης, κοστίζει ακόμα περισσότερο συνήθως προϋπολογίζεται Τα επίπεδα λεπτομέρειας μπορούν να αξιοποιηθούν διαδραστικά σε πραγματικό χρόνο για επιλεκτική εκλέπτυνση του μοντέλου Η απλοποίηση με βάση την κατάρρευση ακμών διαδίδεται και υπάρχει σε αρκετές βιβλιοθήκες γραφικών (π.χ. DirectX) 40

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012 0B Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Περιεχόμενα Πίνακας Περιεχομένων...2 Περιεχόμενα...2 Προγραμματιστικές λεπτομέρειες υλοποίησης...3 geom.h...3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1 Εικόνα Εισαγωγή Ψηφιακή αναπαράσταση Κωδικοποίηση των χρωμάτων Συσκευές εισόδου και εξόδου Βάθος χρώματος και ανάλυση Συμβολική αναπαράσταση Μετάδοση εικόνας Σύνθεση εικόνας Ανάλυση εικόνας Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Χαρακτηριστικά Οριζοντιογραφία Στο γραφικό περιβάλλον της εφαρμογής είναι δυνατή η σχεδίαση οριζοντιογραφιών δρόμων, σιδηροδρομικών γραμμών, ανοικτών και

Διαβάστε περισσότερα

Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά

Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά Εξερευνήστε την 3 η διάσταση! Έκδοση 2.1 CABRI 3D V2 Πρωτοποριακά Μαθηματικά Εργαλεία ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΤΗ 1 2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1 -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο:

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Τι είναι το GeoGebra; Γρήγορη Εκκίνηση Λογισμικό Δυναμικών Μαθηματικών σε ένα - απλό στη χρήση - πακέτο Για την εκμάθηση και τη διδασκαλία σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης Συνδυάζει διαδραστικά γεωμετρία,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε τις θέσεις που

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2 Περιοχή εργασίας A. Παράθυρο εγγράφου B. Συγκέντρωση πινάκων συμπτυγμένων σε εικονίδια Γ. Γραμμή τίτλου πίνακα Δ. Γραμμή μενού E. Γραμμή επιλογών Στ. Παλέτα εργαλείων Ζ. Κουμπί σύμπτυξης σε εικονίδια Η.

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Ιπτάμενες Μηχανές. Οδηγός για το Μαθητή

Ιπτάμενες Μηχανές. Οδηγός για το Μαθητή Ιπτάμενες Μηχανές Οδηγός για το Μαθητή Το ελικόπτερο Αφού βεβαιωθείτε ότι βρίσκεστε στο περιβάλλον του εκπαιδευτικού προγράμματος, επιλέξτε «Έναυσμα». Ακολουθώντας τις οδηγίες που παρουσιάζονται στην οθόνη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμοί, επίπεδο 2 και άνω. εξερευνώντας τους αριθμούς: Μεγαλύτερο από, Μικρότερο από

Μαθηματικά: Αριθμοί, επίπεδο 2 και άνω. εξερευνώντας τους αριθμούς: Μεγαλύτερο από, Μικρότερο από 8η Δραστηριότητα Νίκησε τον χρόνο Δίκτυα ταξινόμησης Περίληψη Αν και οι υπολογιστές είναι γρήγοροι, υπάρχει ένα όριο στο πόσο γρήγορα μπορούν να επιλύουν τα προβλήματα. Ένας τρόπος για να επιταχύνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές προϊόντων (1/3) Πλέγµα τριγώνων (polygon meshes) Εικόνες απόστασης (range images)

Μορφές προϊόντων (1/3) Πλέγµα τριγώνων (polygon meshes) Εικόνες απόστασης (range images) Μορφές προϊόντων (1/3) Νέφη σηµείων (point clouds) + Εύκολος τρόπος παρουσίασης στον Η/Υ + Ικανοποιητικό τελικό προϊόν για απλά σχήµατα / όψεις υσκολία ερµηνείας για αντικείµενα µε σύνθετες µορφές Απώλεια

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης

Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης Προγραμματίζω με το ΒΥΟΒ 1 Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης Από το μάθημα της Φυσικής γνωρίζουμε ότι κίνηση σημαίνει αλλαγή της θέσης ενός αντικειμένου. Οι εντολές κίνησης που μας παρέχει το ΒΥΟΒ χωρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο)

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Ενότητα 1: Εισαγωγή στη C - Αλγόριθμοι Καθηγήτρια Εφαρμογών: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΔ 200: ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΙΙ. Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012, Χειμερινό Εξάμηνο Διδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

ΕΣΔ 200: ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΙΙ. Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012, Χειμερινό Εξάμηνο Διδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟΥ ΕΣΔ 200: ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΙΙ Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012, Χειμερινό Εξάμηνο Διδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Intensity Transformations Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Image Enhancement: είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Έκδοση 5.0

Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Έκδοση 5.0 Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Έκδοση 5.0 Πνευματικά Δικαιώματα 2007 Ίδρυμα ECDL (ECDL Foundation www.ecdl.org) Όλα τα δικαιώματα είναι κατοχυρωμένα. Κανένα μέρος αυτού του εγγράφου δεν μπορεί να αναπαραχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στα συστήματα σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή computer aided design and manufacture (cad/cam)

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στα συστήματα σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή computer aided design and manufacture (cad/cam) Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στα συστήματα σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή computer aided design and manufacture (cad/cam) 1.1 Ορισμός σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή CAD (Computer

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Ζωγραφίζοντας με τους αριθμούς - Η αναπαράσταση των εικόνων

Ζωγραφίζοντας με τους αριθμούς - Η αναπαράσταση των εικόνων 2η Δραστηριότητα Ζωγραφίζοντας με τους αριθμούς - Η αναπαράσταση των εικόνων Περίληψη Οι υπολογιστές απομνημονεύουν τα σχέδια, τις φωτογραφίες και άλλα σχήματα, χρησιμοποιώντας μόνον αριθμούς. Με την επόμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

Προσομοίωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Προσομοίωση 7.1 Συστήματα και πρότυπα συστημάτων 7.2 Η διαδικασία της προσομοίωσης 7.3 Ανάπτυξη προτύπων διακριτών γεγονότων 7.4 Τυχαίοι αριθμοί 7.5 Δείγματα από τυχαίες μεταβλητές 7.6 Προσομοίωση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗ Εκτίμηση και μέτρηση Μ1.1 Συγκρίνουν και σειροθετούν αντικείμενα με βάση το ύψος, το μήκος,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015

Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015 Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015 Βάλβης Δημήτριος Μηχανικός Πληροφορικής ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΟΠΟΙΙΑ 2: ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΟΔΩΝ. ωτήρης Λυκουργιώτης

ΟΔΟΠΟΙΙΑ 2: ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΟΔΩΝ. ωτήρης Λυκουργιώτης ΟΔΟΠΟΙΙΑ 2: ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΟΔΩΝ ωτήρης Λυκουργιώτης ΦΩΜΑΣΙΜΟΙ Για τον υπολογισμό των όγκων χωματισμών έχουν χρησιμοποιηθεί κατά καιρούς διάφορες μέθοδοι. Οι περισσότερες βασίζονται στη χρήση διατομών. Διατομές

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ 1 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ 1 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Aπό τo βιβλίο Heinz Grohe: Otto und Dieselmotoren. 9 Auflage, Vogel Buchverlag 1990. Kεφάλαιο 2: Mechanische Grundlagen Επιμέλεια μετάφρασης:

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα Θέματα Διπλωματικών Εργασιών

Προτεινόμενα Θέματα Διπλωματικών Εργασιών Προτεινόμενα Θέματα Διπλωματικών Εργασιών Θεματική ενότητα: Σχεδίαση πολυμεσικών εφαρμογών Ενδεικτικό Θέμα: Θέμα 1. Τα πολυμέσα στην εκπαίδευση: Σχεδίαση πολυμεσικής εφαρμογής για την διδασκαλία ενός σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3.1 Εισαγωγη ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τα συστηματα εφαρμοζονται σε αναπτυξιακα προγραμματα, σε μελετες σχεδιασμου εργων, σε προγραμματα διατηρησης ή προστασιας περιβαλλοντος και υδατικων πορων και

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων Σαχαρίδης Γιώργος Πρόβλημα 1 Μία εταιρεία έχει μία παραγγελία για την παραγωγή κάποιου προϊόντος. Με τις 2 υπάρχουσες βάρδιες (40 ώρες την εβδομάδα η καθεμία) μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης

Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης 7η Δραστηριότητα Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης Περίληψη Οι υπολογιστές χρησιμοποιούνται συχνά για την ταξινόμηση καταλόγων, όπως για παράδειγμα, ονόματα σε αλφαβητική σειρά, ραντεβού

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός γρήγορης εκκίνησης του PowerSuite

Οδηγός γρήγορης εκκίνησης του PowerSuite Το PowerSuite είναι η ολοκληρωμένη λύση απόδοσης για τον υπολογιστή σας. Ενσωματώνοντας το RegistryBooster, το DriverScanner και το SpeedUpMyPC σε ένα ενιαίο περιβάλλον εργασίας σάρωσης, το PowerSuite

Διαβάστε περισσότερα

Επαναλαμβάνοντας το Ισόπλευρο Τρίγωνο με Δύο Κώδικες

Επαναλαμβάνοντας το Ισόπλευρο Τρίγωνο με Δύο Κώδικες Επαναλαμβάνοντας το Ισόπλευρο Τρίγωνο με Δύο Κώδικες Λουμπαρδιά Αγγελική 1, Ναστάκου Μαρία 2 1 Καθηγήτρια Μαθηματικών, 2 o Γενικό Λύκειο Τρίπολης loumpardia@sch.gr 2 Διευθύντρια, ΙΕΚ Σπάρτης marynasta@sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Κεφάλαιο 9: Ζωγραφική

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Κεφάλαιο 9: Ζωγραφική ζωγραφικής, αντιγραφή, Το περιβάλλον του προγράμματος ζωγραφικής «Ζωγραφική» Το περιβάλλον του προγράμματος ζωγραφικής Designer Το περιβάλλον του προγράμματος ζωγραφικής Tux-Paint ζωγραφικής, αντιγραφή,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1)

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1) Αλγόριθμος C4.5 Αποφυγή υπερπροσαρμογής (overfitting) Reduced error pruning Rule post-pruning Χειρισμός χαρακτηριστικών συνεχών τιμών Επιλογή κατάλληλης μετρικής για την επιλογή των χαρακτηριστικών διάσπασης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ

Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου Όπως διατυπώθηκε στην κοσμοθεωρία μας ΤΟ ΙΔΙΟΝ, ο κόσμος μας, το σύμπαν μας είναι μία ολογραφία, περίπου ένα επίπεδο τετράγωνο. Υπάρχουν έξι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΉΜΑ ΕΠΙΣΤΉΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 7 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: hp://ecla.uop.gr/coure/tst25 e-ail:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Γ. Χαραλαμπίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Βίντεο. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 06-1

Βίντεο. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 06-1 Βίντεο Εισαγωγή Χαρακτηριστικά του βίντεο Απόσταση θέασης Μετάδοση τηλεοπτικού σήματος Συμβατικά τηλεοπτικά συστήματα Ψηφιακό βίντεο Εναλλακτικά μορφότυπα Τηλεόραση υψηλής ευκρίνειας Κινούμενες εικόνες

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Οδηγίες Εγκατάστασης & Εγχειρίδιο Χρήσης Πίνακας περιεχομένων 1. Εισαγωγή... 3 2. Οδηγίες εγκατάστασης...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΑΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΡΑΜΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΑΣΟΠΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΔΑΣ ΜΑΡΙΟΣ 2008 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Στον κ. Ι. Τάκο για την καθοδήγηση του σε όλη

Διαβάστε περισσότερα

Ο φτωχός χαρτογράφος Χρωματισμός Γράφων

Ο φτωχός χαρτογράφος Χρωματισμός Γράφων Δραστηριότητα 13 Ο φτωχός χαρτογράφος Χρωματισμός Γράφων Ηλικιακή Ομάδα Απαιτούμενες Ικανότητες Χρόνος Μέγεθος ομάδας Aπό τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού και πάνω. Χρωματισμός. 30 λεπτά ή και περισσότερο.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνιδάκια με τη LOGO

Παιχνιδάκια με τη LOGO Όταν σβήνει ο υπολογιστής ξεχνάω τα πάντα. Κάτι πρέπει να γίνει Κάθε φορά που δημιουργώ ένα πρόγραμμα στη Logo αυτό αποθηκεύεται προσωρινά στη μνήμη του υπολογιστή. Αν θέλω να διατηρηθούν τα προγράμματά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΠΕΙΡΩΜΑΤΑ - ΚΟΧΛΙΕΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΠΕΙΡΩΜΑΤΑ - ΚΟΧΛΙΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΠΕΙΡΩΜΑΤΑ - ΚΟΧΛΙΕΣ Διαμόρφωση Σπειρώματος Το σπείρωμα δημιουργείται από την κίνηση ενός παράγοντος σχήματος (τρίγωνο, ορθογώνιο κλπ) πάνω σε έλικα που

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Α Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να γνωρίσουν οι μαθητές τα υλικά που χρειάζονται για το ελεύθερο σχέδιο και τον τρόπο που θα τα

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης Κωδικοποίηση Πηγής Coder Decoder Μεταξύ πομπού και καναλιού παρεμβάλλεται ο κωδικοποιητής (coder). Έργο του: η αντικατάσταση των συμβόλων πληροφορίας της πηγής με εναλλακτικά σύμβολα ή λέξεις. Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα