Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων"

Transcript

1 Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 6 Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων

2 Εισαγωγή Οι 3Δ εικόνες στα Γραφικά αποτελούνται από διάφορα σχήματα & δομές: Γεωμετρικά σχήματα (π.χ. σφαίρες) Μαθηματικές επιφάνειες (π.χ. τμήματα επιφάνειας NURBS) Τυχαίες επιφάνειες, όχι μαθηματικά ορισμένες (π.χ. επιφάνεια ψηφιοποιημένου αντικειμένου) Αντικείμενα όγκου, όπου η εσωτερική δομή του αντικειμένου είναι εξίσου σημαντική με την επιφάνεια του (π.χ. ανθρώπινο όργανο) Ακανόνιστα αντικείμενα (π.χ. καπνός) Μοντέλα: Προσεγγιστικές αναπαραστάσεις αντικειμένων, κατασκευασμένα ώστε να διατηρούν πολλές από τις ιδιότητες του αντικειμένου Τα μοντέλα επιδέχονται την επεξεργασία που απαιτούν οι αλγόριθμοι γραφικών 2

3 Εισαγωγή (2) Πολυγωνικά Μοντέλα: Συνηθέστερη αναπαράσταση επιφανειών Η πληροφορία που περιέχεται στα μοντέλα αυξάνεται συνεχώς Βασικές εφαρμογές στα Γραφικά συχνά απαιτούν μοντέλα με λιγότερη πληροφορία Απλοποίηση Μοντέλου: Μειώνει την ποσότητα πληροφορίας που περιέχει ένα μοντέλο, χωρίς να θυσιάσει σημαντικά την ποιότητα της αναπαράστασης 3

4 Ανασκόπηση Μοντέλων 2 κύριες κατηγορίες μοντέλων: Αναπαράσταση Επιφάνειας (ή αναπαράσταση συνόρου (b-rep)) Αναπαριστά μόνο την επιφάνεια αντικειμένου Αναπαράσταση Όγκου (ή υποδιαίρεση χώρου) Αναπαριστά όλο τον όγκο που καταλαμβάνει ένα αντικείμενο Η αναπαράσταση επιφάνειες χρησιμοποιείται συχνότερα διότι: Πολλά αντικείμενα δεν είναι κλειστά αναπαράσταση όγκου μη εφαρμόσιμη Τα περισσότερα αντικείμενα είναι αδιαφανή εξοικονόμηση επεξεργασίας με την αναπαράσταση μόνο της επιφάνειας τους, που καθορίζει την εμφάνιση τους Η αναπαράσταση όγκου χρησιμοποιείται: Για ημιδιαφανή αντικείμενα Για αντικείμενα με ενδιαφέρουσα εσωτερική δομή Σαν βοηθητική δομή σε γενικούς αλγόριθμους γραφικών 4

5 Ανασκόπηση Μοντέλων (2) Κάποια μοντέλα δεν κατηγοριοποιούνται εύκολα σε μια από τις παραπάνω κατηγορίες: Μοντέλα κατασκευαστικής στερεάς γεωμετρίας (CSG): αναπαριστούν ένα αντικείμενο συνδυάζοντας στοιχειώδη γεωμετρικά σχήματα Άμορφα αντικείμενα & φαινόμενα: μοντελοποιούνται σαν νέφη σημείων ή σαν συνοθύλευμα στοιχειωδών επιφανειών ή όγκων Τα Μοντέλα Επιφάνειας κατηγοριοποιούνται: Σε αυτά που έχουν κάποια μαθηματική περιγραφή όπως: Στοιχειώδη Γεωμετρικά Σχήματα Επιφάνειες NURBS Επιφάνειες Υποδιαίρεσης Γενικές Παραμετρικές Επιφάνειες Και σε αυτά που δεν έχουν κάποια μαθηματική περιγραφή: Αποτελούνται από ένα σύνολο σημείων & ένα σύνολο πολυγώνων που κατασκευάζονται από τα σημεία του συνόλου σαν κορυφές πολυγωνικά μοντέλα 5

6 Ανασκόπηση Μοντέλων (3) Συγκρίνοντας τις δυο μορφές των μοντέλων επιφάνειας: Τα μαθηματικά μοντέλα: Είναι συνήθως ακριβείς αναπαραστάσεις αντικειμένων Επιτρέπουν ακριβείς υπολογισμούς για το αντικείμενο (π.χ. κανονικό διάνυσμα) Περιορίζονται σε ορισμένα είδη αντικειμένων Δεν μπορούν να περιγράψουν τυχαία σχήματα Τα πολυγωνικά μοντέλα: Είναι προσεγγίσεις των αρχικών αντικειμένων Αν χρησιμοποιούνται αρκετές κορυφές, είναι αρκετά ακριβείς προσεγγίσεις Είναι πιο γενικά Ακόμα και η μαθηματικές αναπαραστάσεις συνήθως κατασκευάζονται σε μια διακριτή μορφή πολυγωνικών μοντέλων 6

7 Ανασκόπηση Μοντέλων (4) Τα πολύγωνα μπορεί να αποτελούνται από οποιοδήποτε πλήθος κορυφών. Στην πράξη: Τετράπλευρα Τρίγωνα Πολυγωνικά Μοντέλα Τετραπλεύρων: Παράγονται κατά τον σχεδιασμό παραμετρικών επιφανειών Δυστυχώς, ένα τετράπλευρο στις 3Δ δεν είναι απαραίτητα επίπεδο: Περιορίζεται το σχήμα και η ευελιξία του μοντέλου Δυσκολότεροι υπολογισμοί Πολυγωνικά Μοντέλα Τριγώνων: Ένα τρίγωνο είναι πάντα επίπεδο Κάθε πολύγωνο τριγωνοποιείται εύκολα τριγωνικό μοντέλο παράγεται από οποιοδήποτε πολυγωνικό μοντέλο τριγωνικά μοντέλα (ή τριγωνικά πλέγματα) χρησιμοποιούνται σχεδόν πάντα σε εφαρμογές που περιλαμβάνουν πολυγωνικά μοντέλα 7

8 Ανασκόπηση Μοντέλων (5) Τα πολυγωνικά μοντέλα γενικεύονται σε πολυεδρικά μοντέλα για την αναπαράσταση όγκου Βασικό πολυεδρικό σχήμα είναι το τετράεδρο τα τετραεδρικά πλέγματα είναι η πιο γενική & ευέλικτη αναπαράσταση όγκου Τα μοντέλα που αποτελούνται από παραλληλεπίπεδα είναι πολύ διαδεδομένα, κυρίως σαν παράγωγα διαδικασιών υποδιαίρεσης του χώρου που χρησιμοποιούν ορθογώνια πλέγματα Δομικό στοιχείο των παραλληλεπιπέδων καλείται ογκοστοιχείο Χρησιμοποιούνται ακόμα Ιεραρχικές αναπαραστάσεις όγκου (οκταδικά δέντρα, δέντρα δυαδικής διαμέρισης χώρου) Θα επικεντρωθούμε στα πολυγωνικά μοντέλα 8

9 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων Μοντέλο επιφάνειας πολλαπλότητας 2Δ (ή απλά πολλαπλότητα): Κάθε σημείο της επιφάνειας έχει γειτνίαση ομοιομορφική με έναν ανοικτό δίσκο (εσωτερικό κύκλου) Αν και η επιφάνεια υπάρχει στον 3Δ χώρο, όταν εξεταστεί σε μια μικρή περιοχή γύρω από ένα σημείο είναι τοπολογικά επίπεδη Σε μια επιφάνεια-πολλαπλότητα: Κάθε ακμή μοιράζεται μεταξύ ακριβώς 2 εδρών Γύρω από κάθε κορυφή υπάρχει ένας κλειστός βρόγχος εδρών Επιφάνεια πολλαπλότητα με σύνορο: Κάθε σημείο της επιφάνειας έχει γειτνίαση ομοιομορφική με έναν μισό δίσκο Σε μια επιφάνεια πολλαπλότητα με σύνορο: Κάποιες ακμές (συνοριακές) ανήκουν ακριβώς σε μια έδρα Γύρω από κάποιες κορυφές (συνοριακές) ο βρόγχος εδρών είναι ανοικτός Συνήθως, μια 3Δ επιφάνεια που δεν είναι πολλαπλότητα με σύνορο είναι μια κλειστή επιφάνεια 9

10 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (2) (a) Τμήμα επιφάνειας πολλαπλότητας (b) Συνοριακή κορυφή επιφάνειας πολλαπλότητας με σύνορο (c) Ακμή που δεν ανήκει σε επιφάνεια πολλαπλότητας (d) Μη συνοριακή κορυφή που δεν ανήκει σε επιφάνεια πολλαπλότητας 10

11 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (3) Ένα μοντέλο επιφάνειας είναι ένα απλοειδές σύμπλοκο αν τα πολύγωνα που το αποτελούν εφάπτονται μόνο κατά μήκος των ακμών τους, και οι ακμές του μοντέλου τέμνονται μόνο στα άκρα τους (a) Απλοειδές σύμπλοκο (b) Μη απλοειδές σύμπλοκο (τριγωνικό πλέγμα) (τριγωνικό πλέγμα) 11

12 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (4) Προσανατολισμένη επιφάνεια: Επιφάνεια που έχει 2 όψεις Όπως μια κόλλα χαρτιού Οι περισσότερες επιφάνειες είναι προσανατολισμένες Στις κλειστές προσανατολισμένες επιφάνειες το εσωτερικό & εξωτερικό τμήμα της επιφάνειας είναι σαφώς διακριτά Κατά σύμβαση, το κανονικό διάνυσμα μιας κλειστής προσανατολισμένης επιφάνειας δείχνει προς την έξω μεριά ΗταινίαMoebius είναι μια μη προσανατολισμένη επιφάνεια 12

13 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (5) Τα κλειστά μοντέλα πολλαπλότητας που είναι ομοιομορφικά ως προς τη σφαίρα, ικανοποιούν τον τύπο του Euler: V E + F = 2 όπου: V: # κορυφών } E: # ακμών του μοντέλου F: # εδρών 13

14 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (6) Για ένα κλειστό τριγωνικό μοντέλο ο παραπάνω τύπος υποδηλώνει: Ότι το πλήθος των τριγώνων του μοντέλου είναι σχεδόν 2-πλάσιο του πλήθους των κορυφών Ότι ο μέσος αριθμός τριγώνων γύρω από μια κορυφή είναι 6 Ο τύπος του Euler γενικεύεται για μοντέλα που δεν είναι πολλαπλότητες: V E + F = 2 2G όπου G είναι το γένος (genus) του μοντέλου Το γένος ενός μοντέλου μπορεί να θεωρηθεί το πλήθος των διαμπερών οπών του μοντέλου: Ο τόρος (torus) έχει γένος 1 Ο διπλός τόρος έχει γένος 2 14

15 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα Πολλές δομές δεδομένων έχουν προταθεί για την αναπαράσταση πολυγωνικών μοντέλων. Διαφέρουν: Στον τύπο των πολυγωνικών μοντέλων που μπορούν να αναπαραστήσουν Στην ποσότητα & τύπο πληροφορίας που φυλάσσουν άμεσα για το μοντέλο Στις λοιπές πληροφορίες που μπορούν να παράγουν έμμεσα για το μοντέλο Χρήσιμες πληροφορίες για τα Γραφικά: Τοπολογικές πληροφορίες: αν το μοντέλο είναι πολλαπλότητα, είναι κλειστό, έχει όριο ή έχει τρύπες Πληροφορίες γειτνίασης: γειτονικές έδρες δοθέντων ακμών και εδρών, γειτονικές ακμές και έδρες γύρω από δοθείσα κορυφή, σύνορο ενός ανοικτού μοντέλου Χαρακτηριστικά συνημμένα στο μοντέλο: κανονικά διανύσματα, χρώματα, ιδιότητες υλικού, συντεταγμένες υφής 15

16 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (2) Οι βασικότερες δομές δεδομένων που χρησιμοποιούνται: Άμεση λίστα ακμών περιέχουν για κάθε ακμή/έδρα του μοντέλου Άμεση λίστα εδρών τις συντεταγμένες των αντίστοιχων κορυφών Παράδειγμα: Για το τετράεδρο της εικόνας ισχύει: Λίστα ακμών: e =( (x,y,z ), (x,y,z )), e = ( (x,y,z ), (x,y,z )), Λίστα εδρών: } e =( (x,y,z ), (x,y,z )), e = ( (x,y,z ), (x,y,z )), e =( (x,y,z ), (x,y,z )), e = ( (x,y,z ), (x,y,z )) f f f f =((x,y,z ),(x,y,z ),(x,y,z )), =((x,y,z ),(x,y,z ),(x,y,z )), =((x,y,z ),(x,y,z ),(x,y,z )), =((x,y,z ),(x,y,z ),(x,y,z ))

17 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (3) Λίστα ακμών: Δεν αναπαριστά επιφάνεια Δεν καθορίζει τις έδρες του μοντέλου Οι έδρες πρέπει να συμπεραθούν από τα δεδομένα των ακμών οδηγεί σε πιθανές ασάφειες Λίστα εδρών: Οι συντεταγμένες κάθε κορυφής επαναλαμβάνονται για κάθε ακμή ή έδρα που την περιέχει σπατάλη χώρου Δεν δίνει πληροφορίες για την γειτνίαση των εδρών και των ακμών Οι κορυφές μπορούν να ανιχνευθούν με σύγκριση συντεταγμένων μπορεί να προκύψουν προβλήματα αριθμητικής ακρίβειας ο υπολογισμός της γειτνίασης μπορεί να παρουσιάζει προβλήματα 17

18 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (4) Αρκετά από τα παραπάνω μειονεκτήματα επιλύονται από την δεικτοδοτημένη λίστα εδρών: Περιέχει λίστα κορυφών & λίστα εδρών του μοντέλου Οι κορυφές των εδρών δίνονται σαν αναφορές στη λίστα κορυφών Παράδειγμα: το προηγούμενο τετράεδρο αναπαρίσταται ως: v0=(x 0,y 0,z 0), f 0= ( v3, v2, v1), v1=(x 1,y 1,z 1), f 1= ( v2, v3, v0), v2=(x 2,y 2,z 2), f 2= ( v1, v0, v3), v =(x,y,z ), f = ( v, v, v ) Για την αναπαράσταση προσανατολισμένων μοντέλων με χρήση της δεικτοδοτημένης λίστας εδρών, συνηθίζεται να ταξινομούνται οι κορυφές των εδρών είτε με την φορά των δεικτών του ρολογιού είτε αντίστροφα ευκολότεροι υπολογισμοί 18

19 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (5) Δεικτοδοτημένη λίστα εδρών: Μπορεί να αναπαραστήσει όλα τα είδη πολυγωνικών μοντέλων Επιτρέπει άμεσες τροποποιήσεις στις θέσεις των κορυφών του μοντέλου Οι ακμές των πολυγώνων μπορούν να διαπιστωθούν έμμεσα αλλά επαναλαμβάνονται για κάθε πολύγωνο που τις χρησιμοποιεί Απαιτείται κάποια διαδικασία για παραγωγή λίστας μοναδικών ακμών Δεν παρέχει πληροφορίες γειτνίασης αν και τα δεδομένα της δομής επαρκούν για τον υπολογισμό της γειτνίασης 19

20 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (6) Ειδικά για τριγωνικά μοντέλα, τα γειτονικά τρίγωνα μπορούμε να τα χειριστούμε πιο αποδοτικά σαν ταινία τριγώνων ή βεντάλια τριγώνων, προκειμένου να μειωθούν οι επαναλήψεις δεδομένων Ταινία τριγώνων Βεντάλια τριγώνων (v 0, v 1, v 2, v 3, v 4 ) (v 0, v 1, v 2, v 3, v 4 ) 20

21 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (7) Η δεικτοδοτημένη λίστα εδρών μπορεί να συνδυαστεί με άλλα δεικτοδοτημένα (ως προς κορυφές ή έδρες) δεδομένα που αφορούν άλλα γνωρίσματα του μοντέλου : Πχ. χρώμα Κάποιες δομές δεδομένων μπορούν να αναπαραστήσουν απευθείας κάποια πληροφορία γειτνίασης & επιτρέπουν την εύκολη παραγωγή πληροφοριών που αφορούν την γειτνίαση Αυτές οι δομές δεδομένων είναι δεικτοδοτημένες, περιέχουν τουλάχιστον μια λίστα κορυφών και πραγματεύονται μοντέλα πολλαπλότητας 21

22 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (8) Η δομή winged-edge, είναι μια τέτοια δομή: Κεντρικός κόμβος πληροφορίας είναι η ακμή Κάθε ακμή αποθηκεύει αναφορές: Στις 2 κορυφές της Στις 2 γειτονικές της έδρες Στις 4 γειτονικές της ακμές 22

23 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (9) Η δομή ημι-ακμής είναι παρόμοια με την δομή winged-edge, αλλά χρησιμοποιεί προσανατολισμένες ακμές: Κάθε ακμή διαχωρίζεται σε 2 ημι-ακμές Κάθε ημι-ακμή αποθηκεύει μια αναφορά: Στην κορυφή που αρχίζει & την κορυφή που τελειώνει Στη γειτονική έδρα της Στις 2 γειτονικές της ημι-ακμές κατά μήκος της γειτονικής της έδρας Στην αντίθετή της ημι-ακμή Η δομή ημι-ακμής είναι πιο αποδοτική από την δομή winged-edge για αρκετές ερωτήσεις γειτνίασης 23

24 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (10) Η δομή Quad-edge είναι παρόμοια με τις παραπάνω: Είναι πιο πολύπλοκη Χρησιμοποιείται για τον αποδοτικό υπολογισμό ερωτήσεων γειτνίασης Μπορεί να αναπαραστήσει ταυτόχρονα ένα μοντέλο πολλαπλότητας & το δυϊκό του Το δυϊκό μοντέλο κατασκευάζεται περιστρέφοντας τις ακμές κατά 90 o, και αντικαθιστώντας τις κορυφές με έδρες & αντίστροφα Π.χ. Το δυϊκό ενός τετραέδρου είναι ένα τετράεδρο Το δυϊκό ενός κύβου είναι ένα οκτάεδρο & αντίστροφα Χρήσιμη στην υπολογιστική γεωμετρία, την αλγοριθμική δηλαδή μελέτη γεωμετρικών προβλημάτων 24

25 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου Τα πολυγωνικά μοντέλα συχνά δημιουργούνται αυτόματα με: Σχεδίαση των επιφανειών, που είναι ορισμένες με μαθηματικό τρόπο 3Δ σάρωση αληθινών αντικειμένων Η αύξηση της δύναμης των υπολογιστών και τα πλεονεκτήματα της 3Δ σάρωσης οδηγούν σε μοντέλα με μεγάλο αριθμό κορυφών και εδρών Το έργο Digital Michelangelo, π.χ., χρησιμοποίησε σαρωτές προηγμένης τεχνολογίας για να σαρώσει και ανακατασκευάσει κάποια από τα γλυπτά του Μιχαήλ Άγγελου Αποτέλεσμα: εκατομμύρια τρίγωνα (1/4 mm πλέγμα σάρωσης) Μερικά gigabytes δεδομένα Το μέγεθος της πληροφορίας είναι δύσκολο στην επεξεργασία Αυτή η λεπτομέρεια είναι χρήσιμη μόνο σε συγκεκριμένες εφαρμογές 25

26 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (2) Οι εφαρμογές των γραφικών μπορούν να ωφεληθούν από πολλαπλές αναλύσεις (επίπεδα λεπτομέρειας (LODs)) του μοντέλου που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε διαφορετικές συνθήκες θέασης Όταν η προβολή του μοντέλου είναι μικρή, μόνο ένα μικρό τμήμα λεπτομέρειας είναι ορατό Είναι επίσης ωφέλιμο να μεταβάλλεται η λεπτομέρεια σε διαφορετικές περιοχές του ίδιου μοντέλου Συνεπίπεδα τρίγωνα συγχωνεύονται σε λιγότερα και μεγαλύτερα τρίγωνα Περιοχές κοντά στον παρατηρητή χρειάζονται περισσότερη λεπτομέρεια από εκείνες που βρίσκονται μακριά Τα επίπεδα λεπτομέρειας και η επιλεκτική εκλέπτυνση είναι κατάλληλα για αλληλεπιδραστικές εφαρμογές 26

27 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (3) Διαφορετικά επίπεδα λεπτομέρειας και μεγέθη: (5000 αριστερά- vs δεξιά- τρίγωνα) Εχουν αναπτυχθεί αρκετές τεχνικές απλοποίησης μοντέλων Μειώνουν τον αριθμό των εδρών ενός πολυγωνικού μοντέλου, ενώ παράλληλα προσπαθούν να διατηρούν την εμφάνιση και δομή του αρχικού μοντέλου Οι σχετικές εφαρμογές, συνήθως έχουν το αρχικό μοντέλο σε διαφορετικά επίπεδα λεπτομέρειας και δυναμικά επιλέγουν την κατάλληλη 27

28 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (4) Οι αλγόριθμοι απλοποίησης: Αντιμετωπίζουν ευκολότερα κλειστά πλέγματα που είναι πολλαπλότητες Χειρίζονται συχνά και το σύνορο των μη-κλειστών μοντέλων 28

29 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (5) Οι μέθοδοι απλοποίησης χωρίζονται σε 2 μεγάλες ομάδες: Αυτές που παράγουν διακριτά επίπεδα λεπτομέρειας του αρχικού μοντέλου Αυτές που παράγουν συνεχή επίπεδα λεπτομέρειας του αρχικού μοντέλου Διακριτά επίπεδα λεπτομέρειας: Ορίζεται ο επιθυμητός αριθμός εδρών Δημιουργείται ένα νέο μοντέλο με τον επιθυμητό αριθμό εδρών Αν ζητηθεί άλλο επίπεδο λεπτομέρειας, ο αλγόριθμος εκτελείται ξανά Συνεχή επίπεδα λεπτομέρειας: Παράγεται μια συνεχής ακολουθία από όλο και περισσότερο απλοποιημένα μοντέλα, χρησιμοποιώντας τοπικές απλοποιήσεις του αρχικού μοντέλου Μπορεί να παραχθεί οποιοδήποτε ενδιάμεσο επίπεδο λεπτομέρειας, με καταγραφή των βημάτων απλοποίησης 29

30 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (6) Οι αλγόριθμοι συνεχούς απλοποίησης είναι πιο ενδιαφέροντες από τους διακριτούς Είναι προσαρμοστικοί και εύκολα αντιστρέψιμοι επιτρέπουν την μετακίνηση «πάνω» και «κάτω» μεταξύ επιπέδων λεπτομέρειας Υποστηρίζουν την επιλεκτική εκλέπτυνση, δηλαδή την δυναμική προσαρμογή της λεπτομέρειας σε διάφορα μέρη του μοντέλου Ομαλή εκλέπτυνση του πλέγματος ελαχιστοποίηση οπτικών ατελειών κατά την εναλλαγή επιπέδων λεπτομέρειας σε διαδραστικές εφαρμογές. 30

31 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (7) Πως εκτιμούμε την ποιότητα του απλοποιημένου μοντέλου σε σχέση με το αρχικό; Οι περισσότεροι αλγόριθμοι οδηγούνται από συγκεκριμένα μέτρα για να ορίσουν, π.χ.: Ποια είναι η κατάλληλη θέση για μια νέα κορυφή Ποια ακμή πρέπει να αφαιρεθεί πρώτη για να μειωθεί η διαφορά μεταξύ αρχικού και απλοποιημένου μοντέλου Αυτά τα μέτρα δίνουν επίσης μια εκτίμηση της ποιότητας του τελικού μοντέλου οι αλγόριθμοι απλοποίησης μπορούν να συγκριθούν 31

32 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (8) Τα πιο διαδεδομένα μέτρα, εκτιμούν κάποια απόσταση του απλοποιημένου μοντέλου από το αρχικό: Απόσταση Hausdorff: μετράει τη μέγιστη απόσταση μεταξύ 2 οποιωνδήποτε σημείων δύο επιφανειών M και M d ( M, M ') = max(max{ d( v, M ')},max{ d( v', M)}), v M v' M' όπου d( v, M) = min{ v w} είναι η απόσταση ενός σημείου v από μια w M επιφάνεια M, ορισμένη ως η απόσταση του v απότοπιοκοντινόσημείο w της επιφάνειας Μέση τετραγωνική απόσταση 2 επιφανειών: 1 1 d2( M, M ') = d(, M ') d( ', M), s v + s' v v M v' M ' όπου s και s είναι επιφάνειες των M και M αντίστοιχα Αυτές οι εξισώσεις πρέπει να είναι διακριτές για να μπορούν να υπολογιστούν πάνω σε πολυγωνικά μοντέλα πετυχαίνεται με τη δειγματοληψία σημείων πάνω στις επιφάνειες 32

33 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών Κατάρρευση Ακμής (edge collapse): Τοπική πράξη σε τριγωνικό πλέγμα Αφαιρεί μια ακμή του μοντέλου και 2 γειτονικά της τρίγωνα με την κατάρρευση μιας ακμής σε μία κορυφή Χρησιμοποιώντας κατάρρευση ακμών, είναι εύκολος ο υπολογισμός της απόστασης μεταξύ του απλοποιημένου και του αρχικού μοντέλου διαφέρουν στις έδρες γύρω από την ακμή που κατέρρευσε Υποθέτουμε μοντέλα που είναι πολλαπλότητες, αλλά υπάρχουν και παραλλαγές για μη πολλαπλότητες 33

34 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (2) Αλγόριθμος κατάρρευσης ακμής: 1. Για κάθε ακμή του μοντέλου που μπορεί να καταρρεύσει, υπολόγισε μια προτεραιότητα κατάρρευσης και ταξινόμησε τις ακμές σε μια ουρά προτεραιότητας 2. Όσο υπάρχουν υποψήφιες ακμές στην ουρά και ο στόχος απλοποίησης (μέγιστο σφάλμα, πλήθος εδρών του μοντέλου) δεν έχει επιτευχθεί: a) Αφαίρεσε την πρώτη ακμή από την ουρά b) Κατέρρευσε την ακμή (το πλέγμα αλλάζει μόνο τοπικά γύρω από την ακμή) c) Επανυπολόγισε τις προτεραιότητες των ακμών που επηρέασε η κατάρρευση Παράγοντες που επηρεάζουν το αποτέλεσμα της μεθόδου: Το μέτρο εκτίμησης μεταβολής του πλέγματος για κάθε κατάρρευση ακμής (εκχώρηση της προτεραιότητας) Η θέση της νέα κορυφής κατά την κατάρρευση ακμής 34

35 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (3) Σε μερικές υλοποιήσεις, η θέση της νέας κορυφής είναι σταθερή (π.χ. ένα από τα δύο άκρα ή μέσον) Σε άλλες υλοποιήσεις, οι παραπάνω 2 παράγοντες είναι συσχετισμένοι: Η θέση της νέας κορυφής υπολογίζεται σαν αποτέλεσμα μιας μεθόδου βελτιστοποίησης, που ελαχιστοποιεί το σφάλμα απλοποίησης Το ελάχιστο σφάλμα που επιτυγχάνεται χρησιμοποιείται και σαν προτεραιότητα της κατάρρευσης ακμής 35

36 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (4) Απλοποίηση με τη μέθοδο τετραγωνικού σφάλματος: Ελαχιστοποιεί την τετραγωνική απόσταση της νέας κορυφής από τις έδρες γύρω από την ακμή που κατέρρευσε Έστω Δ μια τριγωνική έδρα του μοντέλου με εξίσωση επιπέδου: ax + by + cz + d = 0 Τετραγωνική απόσταση σημείου x =[x, y, z] T από το επίπεδο Δ : 2 T 2 ( ax + by + cz + d) ( nx+ d) T ˆ 2 T T ˆ T ˆ2 Q ( ) ( ˆ ) ( ˆˆ ) 2 ˆ Δ x = = = + d = + d + d, a + b + c n x x nn x n x n όπου ˆ = n n είναι το μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα του Δ και ˆ d d = n n Μπορεί να αναπαρασταθεί από την τετραγωνική μορφή: T ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 Q = ( Ab,, p) = Δ ( nn, dn, d ), οπότε: T T QΔ ( x) = x Ax+ 2b x+ p 36

37 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (5) Έτσι, το άθροισμα των τετραγωνικών αποστάσεων του x από 2 τρίγωνα Δ1 και Δ2 υπολογίζεται με άθροιση των τετραγωνικών μορφών: Q = ( A, b Δ, p ) και Q = ( A 2 2, b Δ 2, p2) : Q ( x) + Q ( x) = ( Q + Q )( x) = x ( A + A ) x+ 2( b + b ) x+ ( p + p ) T T Δ1 Δ2 Δ1 Δ Το αποτέλεσμα είναι επίσης τετραγωνικής μορφής Γενικεύεται για οποιοδήποτε αριθμό τριγώνων Ο αλγόριθμος απλοποίησης αρχικά αποδίδει σε κάθε κορυφή v του πλέγματος, τη μορφή που εκφράζει το άθροισμα των τετραγωνικών αποστάσεων ενός σημείου από τις έδρες γύρω από την κορυφή: Qv = wδqδ Δ arround x όπου w Δ είναι το βάρος της επιφάνειας της αντίστοιχης έδρας καλύτερη κλιμάκωση 37

38 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (6) Αφού η ακμή e(v 0, v d ) καταρρεύσει, η συνολική τετραγωνική απόσταση της προκύπτουσας κορυφής v s από όλες τις έδρες γύρω από τις v 0 και v d είναι: Q( vs ) = Qv ( v ή 0 s) + Qv ( v ) d s Q= Qv + Q που είναι η γνωστή μορφή Q =(A, b, p) Η θέση που ελαχιστοποιεί το Q είναι η βέλτιστη για την v s Μετά από παραγώγιση, προκύπτει ότι το ελάχιστο του Q επιτυγχάνεται για v s = A -1 b και το ελάχιστο είναι: T 1 T Q( vs) = b A b+ p = b vs + p Αν ο A είναι ιδιάζων πίνακας η ελαχιστοποίηση περιορίζεται πάνω στην ακμή e(v 0,v d ) 0 d Αν αποτύχει, η v s επιλέγεται ανάμεσα στις v 0 και v d, ανάλογα με το ποια κορυφή δίνει τη μικρότερη τιμή στο Q v 38

39 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (7) Η απλοποίηση με επαναληπτική κατάρρευση ακμών έχει όλες τις ιδιότητες των μεθόδων συνεχών επιπέδων λεπτομέρειας: Είναι εύκολα αντιστρέψιμη με την πράξη διάσπασης κορυφής σε αντίστροφη σειρά σε σχέση με τις καταρρεύσεις ακμών πρέπει να διατηρούνται οι αρχικές θέσεις κορυφών για κάθε κατάρρευση ακμής Προοδευτικό πλέγμα: το απλοποιημένο πλέγμα μαζί με την ακολουθία διασπάσεων κορυφών που οδηγούν στο αρχικό Με τη φύλαξη πληροφορίας για γειτονικές κορυφές και έδρες κάθε κατάρρευσης ακμής, είναι δυνατή η εφαρμογή επιλεκτικής εκλέπτυνσης και εκτράχυνσης του πλέγματος σε περιοχές ενδιαφέροντος Μπορούν να εφαρμοσθούν διάφορα μέτρα σφάλματος και στρατηγικές για την τοποθέτηση κορυφής, οπότε η μέθοδος προσαρμόζεται σε πολλαπλούς σκοπούς και διαθέσιμους πόρους. 39

40 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (8) Η απλοποίηση μεγάλων μοντέλων είναι χρονοβόρα Αν χρησιμοποιείται διαδικασία βελτιστοποίησης, κοστίζει ακόμα περισσότερο συνήθως προϋπολογίζεται Τα επίπεδα λεπτομέρειας μπορούν να αξιοποιηθούν διαδραστικά σε πραγματικό χρόνο για επιλεκτική εκλέπτυνση του μοντέλου Η απλοποίηση με βάση την κατάρρευση ακμών διαδίδεται και υπάρχει σε αρκετές βιβλιοθήκες γραφικών (π.χ. DirectX) 40

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Αναπαράσταση μοντέλου Το 3D μοντέλο το αποθηκεύουμε στην μνήμη με τις εξής δομές δεδομένων: Λίστα κορυφών Λίστα τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012 0B Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Περιεχόμενα Πίνακας Περιεχομένων...2 Περιεχόμενα...2 Προγραμματιστικές λεπτομέρειες υλοποίησης...3 geom.h...3

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Μάθηση και Γενίκευση. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Μάθηση και Γενίκευση Το Πολυεπίπεδο Perceptron (MultiLayer Perceptron (MLP)) Έστω σύνολο εκπαίδευσης D={(x n,t n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, t n =(t n1,, t np ) T Θα πρέπει το MLP να έχει d νευρώνες

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση Κατάτμηση Εικόνας Γεώργιος Παπαϊωάννου 2015 ΚΑΤΩΦΛΙΩΣΗ Κατωφλίωση - Γενικά Είναι η πιο απλή μέθοδος segmentation εικόνας Χωρίζουμε την εικόνα σε 2 (binary) ή περισσότερες στάθμες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά & Οπτικοποίηση. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή. Γραφικά & Οπτικοπίηση: Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 1

Γραφικά & Οπτικοποίηση. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή. Γραφικά & Οπτικοπίηση: Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 1 Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Ιστορικά Ιστορική ανασκόπηση : 2 Ιστορικά (2) Ρυθμοί ανάπτυξης CPU και GPU 3 Εφαρμογές Ειδικά εφέ για ταινίες & διαφημίσεις Επιστημονική εξερεύνηση μέσω οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών). ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή Γραφικά με Η/Υ Εισαγωγή Πληροφορίες μαθήματος (1/4) Υπεύθυνος μαθήματος: Μανιτσάρης Αθανάσιος, Καθηγητής ιδάσκοντες: Μανιτσάρης Αθανάσιος: email: manits@uom.gr Μαυρίδης Ιωάννης: email: mavridis@uom.gr

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση ΤΨΣ 50 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής

Απεικόνιση Υφής. Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Γενικά Είδαμε ότι μπορούμε να αποθηκεύσουμε συντεταγμένες υφής στις κορυφές των τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1 Εικόνα Εισαγωγή Ψηφιακή αναπαράσταση Κωδικοποίηση των χρωμάτων Συσκευές εισόδου και εξόδου Βάθος χρώματος και ανάλυση Συμβολική αναπαράσταση Μετάδοση εικόνας Σύνθεση εικόνας Ανάλυση εικόνας Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ Από τις καταστάσεις της ύλης τα αέρια και τα υγρά δεν παρουσιάζουν κάποια τυπική διάταξη ατόμων, ενώ από τα στερεά ορισμένα παρουσιάζουν συγκεκριμένη διάταξη ατόμων

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Τι Είναι η Υφή; Η υφή είναι η χωρική διαμόρφωση των ποιοτικών χαρακτηριστικών της επιφάνειας ενός αντικειμένου,

Διαβάστε περισσότερα

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Κεφάλαιο 9: Συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών 208 9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Οι συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών είναι επεξεργαστές ειδικού σκοπού οι οποίοι είναι συνήθως προσκολλημένοι σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Χαρακτηριστικά Οριζοντιογραφία Στο γραφικό περιβάλλον της εφαρμογής είναι δυνατή η σχεδίαση οριζοντιογραφιών δρόμων, σιδηροδρομικών γραμμών, ανοικτών και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές χρήσεις της Matlab

Τυπικές χρήσεις της Matlab Matlab Μάθημα 1 Τι είναι η Matlab Ολοκληρωμένο Περιβάλλον Περιβάλλον ανάπτυξης Διερμηνευμένη γλώσσα Υψηλή επίδοση Ευρύτητα εφαρμογών Ευκολία διατύπωσης Cross platform (Wintel, Unix, Mac) Τυπικές χρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο:

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Τι είναι το GeoGebra; Γρήγορη Εκκίνηση Λογισμικό Δυναμικών Μαθηματικών σε ένα - απλό στη χρήση - πακέτο Για την εκμάθηση και τη διδασκαλία σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης Συνδυάζει διαδραστικά γεωμετρία,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών

Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 5 Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών Εισαγωγή Το οπτικό μας πεδίο είναι περιορισμένο ενώ παράλληλα υπάρχει παρεμπόδιση μεταξύ αντικειμένων βλέπουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ)

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2 Περιοχή εργασίας A. Παράθυρο εγγράφου B. Συγκέντρωση πινάκων συμπτυγμένων σε εικονίδια Γ. Γραμμή τίτλου πίνακα Δ. Γραμμή μενού E. Γραμμή επιλογών Στ. Παλέτα εργαλείων Ζ. Κουμπί σύμπτυξης σε εικονίδια Η.

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

«Τεχνολογία και Προοπτικές εξέλιξης μικρών υδροστροβίλων» Δημήτριος Παπαντώνης και Ιωάννης Αναγνωστόπουλος

«Τεχνολογία και Προοπτικές εξέλιξης μικρών υδροστροβίλων» Δημήτριος Παπαντώνης και Ιωάννης Αναγνωστόπουλος Τα μικρά Υδροηλεκτρικά Εργα γνωρίζουν τα τελευταία χρόνια σημαντική ανάπτυξη, τόσο στην Ευρώπη όσο και στον κόσμο ολόκληρο, είτε με την κατασκευή νέων ή με την ανανέωση του εξοπλισμού των υπαρχόντων σταθμών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα Περιεχόμενα xv Περιεχόμενα 1 Αρχές της Java... 1 1.1 Προκαταρκτικά: Κλάσεις, Τύποι και Αντικείμενα... 2 1.1.1 Βασικοί Τύποι... 5 1.1.2 Αντικείμενα... 7 1.1.3 Τύποι Enum... 14 1.2 Μέθοδοι... 15 1.3 Εκφράσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε τις θέσεις που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΟΠΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΠΟΙΚΙΛΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ CAD

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΟΠΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΠΟΙΚΙΛΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ CAD 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΟΠΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΠΟΙΚΙΛΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ CAD Χρήστος Γεώργιος Κ. Γεωργακόπουλος Χανιά 2014 2 Δομή της παρουσίασης Εισαγωγή Μορφές κονδυλίων Παραγωγή κονδυλίων Γεωμετρία των κονδυλίων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 20130510 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εγκατάσταση προγράμματος DCAD 2 2. Ενεργοποίηση Registration 2 3. DCAD 3 3.1 Εισαγωγή σημείων 3 3.2 Εξαγωγή σημείων 5 3.3 Στοιχεία ιδιοκτησίας

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 8: Διπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον...

Περιεχόμενα. Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον... Περιεχόμενα Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον... 111 Πρόλογος Στο κείμενο αυτό παρουσιάζονται οι νέες δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης Περιεχόμενα Δομές δεδομένων 37. Δομές δεδομένων (θεωρητικά στοιχεία)...11 38. Εισαγωγή στους μονοδιάστατους πίνακες...16 39. Βασικές επεξεργασίες στους μονοδιάστατους πίνακες...25 40. Ασκήσεις στους μονοδιάστατους

Διαβάστε περισσότερα

Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά

Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά Εξερευνήστε την 3 η διάσταση! Έκδοση 2.1 CABRI 3D V2 Πρωτοποριακά Μαθηματικά Εργαλεία ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΤΗ 1 2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1 -

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΔ 200: ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΙΙ. Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012, Χειμερινό Εξάμηνο Διδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

ΕΣΔ 200: ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΙΙ. Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012, Χειμερινό Εξάμηνο Διδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟΥ ΕΣΔ 200: ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΙΙ Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012, Χειμερινό Εξάμηνο Διδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-2: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις H ανάλυση ενός κυκλώματος με αντιστάσεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμοί, επίπεδο 2 και άνω. εξερευνώντας τους αριθμούς: Μεγαλύτερο από, Μικρότερο από

Μαθηματικά: Αριθμοί, επίπεδο 2 και άνω. εξερευνώντας τους αριθμούς: Μεγαλύτερο από, Μικρότερο από 8η Δραστηριότητα Νίκησε τον χρόνο Δίκτυα ταξινόμησης Περίληψη Αν και οι υπολογιστές είναι γρήγοροι, υπάρχει ένα όριο στο πόσο γρήγορα μπορούν να επιλύουν τα προβλήματα. Ένας τρόπος για να επιταχύνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΣΤ Σ Η Τ Μ Η ΑΤ Α Α Τ ΠΑΡΑ Ρ ΓΩΓ Ω ΗΣ Η Σ ΜΕ Η/Υ (CAD-CAM-CAE) Ι

Σ ΣΤ Σ Η Τ Μ Η ΑΤ Α Α Τ ΠΑΡΑ Ρ ΓΩΓ Ω ΗΣ Η Σ ΜΕ Η/Υ (CAD-CAM-CAE) Ι ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕ Η/Υ (CAD-CAM-CAE) Ι ΤΕΧΝΙΚΟ / ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Σύμβολα R: Radius-ακτίνα, Ø (Φι): Διάμετρος, κύκλου ή τόξου ΟΨΕΙΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Βασικές όψεις: Ορθογώνιες προβολές στις έξι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα