Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων"

Transcript

1 Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 6 Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων

2 Εισαγωγή Οι 3Δ εικόνες στα Γραφικά αποτελούνται από διάφορα σχήματα & δομές: Γεωμετρικά σχήματα (π.χ. σφαίρες) Μαθηματικές επιφάνειες (π.χ. τμήματα επιφάνειας NURBS) Τυχαίες επιφάνειες, όχι μαθηματικά ορισμένες (π.χ. επιφάνεια ψηφιοποιημένου αντικειμένου) Αντικείμενα όγκου, όπου η εσωτερική δομή του αντικειμένου είναι εξίσου σημαντική με την επιφάνεια του (π.χ. ανθρώπινο όργανο) Ακανόνιστα αντικείμενα (π.χ. καπνός) Μοντέλα: Προσεγγιστικές αναπαραστάσεις αντικειμένων, κατασκευασμένα ώστε να διατηρούν πολλές από τις ιδιότητες του αντικειμένου Τα μοντέλα επιδέχονται την επεξεργασία που απαιτούν οι αλγόριθμοι γραφικών 2

3 Εισαγωγή (2) Πολυγωνικά Μοντέλα: Συνηθέστερη αναπαράσταση επιφανειών Η πληροφορία που περιέχεται στα μοντέλα αυξάνεται συνεχώς Βασικές εφαρμογές στα Γραφικά συχνά απαιτούν μοντέλα με λιγότερη πληροφορία Απλοποίηση Μοντέλου: Μειώνει την ποσότητα πληροφορίας που περιέχει ένα μοντέλο, χωρίς να θυσιάσει σημαντικά την ποιότητα της αναπαράστασης 3

4 Ανασκόπηση Μοντέλων 2 κύριες κατηγορίες μοντέλων: Αναπαράσταση Επιφάνειας (ή αναπαράσταση συνόρου (b-rep)) Αναπαριστά μόνο την επιφάνεια αντικειμένου Αναπαράσταση Όγκου (ή υποδιαίρεση χώρου) Αναπαριστά όλο τον όγκο που καταλαμβάνει ένα αντικείμενο Η αναπαράσταση επιφάνειες χρησιμοποιείται συχνότερα διότι: Πολλά αντικείμενα δεν είναι κλειστά αναπαράσταση όγκου μη εφαρμόσιμη Τα περισσότερα αντικείμενα είναι αδιαφανή εξοικονόμηση επεξεργασίας με την αναπαράσταση μόνο της επιφάνειας τους, που καθορίζει την εμφάνιση τους Η αναπαράσταση όγκου χρησιμοποιείται: Για ημιδιαφανή αντικείμενα Για αντικείμενα με ενδιαφέρουσα εσωτερική δομή Σαν βοηθητική δομή σε γενικούς αλγόριθμους γραφικών 4

5 Ανασκόπηση Μοντέλων (2) Κάποια μοντέλα δεν κατηγοριοποιούνται εύκολα σε μια από τις παραπάνω κατηγορίες: Μοντέλα κατασκευαστικής στερεάς γεωμετρίας (CSG): αναπαριστούν ένα αντικείμενο συνδυάζοντας στοιχειώδη γεωμετρικά σχήματα Άμορφα αντικείμενα & φαινόμενα: μοντελοποιούνται σαν νέφη σημείων ή σαν συνοθύλευμα στοιχειωδών επιφανειών ή όγκων Τα Μοντέλα Επιφάνειας κατηγοριοποιούνται: Σε αυτά που έχουν κάποια μαθηματική περιγραφή όπως: Στοιχειώδη Γεωμετρικά Σχήματα Επιφάνειες NURBS Επιφάνειες Υποδιαίρεσης Γενικές Παραμετρικές Επιφάνειες Και σε αυτά που δεν έχουν κάποια μαθηματική περιγραφή: Αποτελούνται από ένα σύνολο σημείων & ένα σύνολο πολυγώνων που κατασκευάζονται από τα σημεία του συνόλου σαν κορυφές πολυγωνικά μοντέλα 5

6 Ανασκόπηση Μοντέλων (3) Συγκρίνοντας τις δυο μορφές των μοντέλων επιφάνειας: Τα μαθηματικά μοντέλα: Είναι συνήθως ακριβείς αναπαραστάσεις αντικειμένων Επιτρέπουν ακριβείς υπολογισμούς για το αντικείμενο (π.χ. κανονικό διάνυσμα) Περιορίζονται σε ορισμένα είδη αντικειμένων Δεν μπορούν να περιγράψουν τυχαία σχήματα Τα πολυγωνικά μοντέλα: Είναι προσεγγίσεις των αρχικών αντικειμένων Αν χρησιμοποιούνται αρκετές κορυφές, είναι αρκετά ακριβείς προσεγγίσεις Είναι πιο γενικά Ακόμα και η μαθηματικές αναπαραστάσεις συνήθως κατασκευάζονται σε μια διακριτή μορφή πολυγωνικών μοντέλων 6

7 Ανασκόπηση Μοντέλων (4) Τα πολύγωνα μπορεί να αποτελούνται από οποιοδήποτε πλήθος κορυφών. Στην πράξη: Τετράπλευρα Τρίγωνα Πολυγωνικά Μοντέλα Τετραπλεύρων: Παράγονται κατά τον σχεδιασμό παραμετρικών επιφανειών Δυστυχώς, ένα τετράπλευρο στις 3Δ δεν είναι απαραίτητα επίπεδο: Περιορίζεται το σχήμα και η ευελιξία του μοντέλου Δυσκολότεροι υπολογισμοί Πολυγωνικά Μοντέλα Τριγώνων: Ένα τρίγωνο είναι πάντα επίπεδο Κάθε πολύγωνο τριγωνοποιείται εύκολα τριγωνικό μοντέλο παράγεται από οποιοδήποτε πολυγωνικό μοντέλο τριγωνικά μοντέλα (ή τριγωνικά πλέγματα) χρησιμοποιούνται σχεδόν πάντα σε εφαρμογές που περιλαμβάνουν πολυγωνικά μοντέλα 7

8 Ανασκόπηση Μοντέλων (5) Τα πολυγωνικά μοντέλα γενικεύονται σε πολυεδρικά μοντέλα για την αναπαράσταση όγκου Βασικό πολυεδρικό σχήμα είναι το τετράεδρο τα τετραεδρικά πλέγματα είναι η πιο γενική & ευέλικτη αναπαράσταση όγκου Τα μοντέλα που αποτελούνται από παραλληλεπίπεδα είναι πολύ διαδεδομένα, κυρίως σαν παράγωγα διαδικασιών υποδιαίρεσης του χώρου που χρησιμοποιούν ορθογώνια πλέγματα Δομικό στοιχείο των παραλληλεπιπέδων καλείται ογκοστοιχείο Χρησιμοποιούνται ακόμα Ιεραρχικές αναπαραστάσεις όγκου (οκταδικά δέντρα, δέντρα δυαδικής διαμέρισης χώρου) Θα επικεντρωθούμε στα πολυγωνικά μοντέλα 8

9 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων Μοντέλο επιφάνειας πολλαπλότητας 2Δ (ή απλά πολλαπλότητα): Κάθε σημείο της επιφάνειας έχει γειτνίαση ομοιομορφική με έναν ανοικτό δίσκο (εσωτερικό κύκλου) Αν και η επιφάνεια υπάρχει στον 3Δ χώρο, όταν εξεταστεί σε μια μικρή περιοχή γύρω από ένα σημείο είναι τοπολογικά επίπεδη Σε μια επιφάνεια-πολλαπλότητα: Κάθε ακμή μοιράζεται μεταξύ ακριβώς 2 εδρών Γύρω από κάθε κορυφή υπάρχει ένας κλειστός βρόγχος εδρών Επιφάνεια πολλαπλότητα με σύνορο: Κάθε σημείο της επιφάνειας έχει γειτνίαση ομοιομορφική με έναν μισό δίσκο Σε μια επιφάνεια πολλαπλότητα με σύνορο: Κάποιες ακμές (συνοριακές) ανήκουν ακριβώς σε μια έδρα Γύρω από κάποιες κορυφές (συνοριακές) ο βρόγχος εδρών είναι ανοικτός Συνήθως, μια 3Δ επιφάνεια που δεν είναι πολλαπλότητα με σύνορο είναι μια κλειστή επιφάνεια 9

10 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (2) (a) Τμήμα επιφάνειας πολλαπλότητας (b) Συνοριακή κορυφή επιφάνειας πολλαπλότητας με σύνορο (c) Ακμή που δεν ανήκει σε επιφάνεια πολλαπλότητας (d) Μη συνοριακή κορυφή που δεν ανήκει σε επιφάνεια πολλαπλότητας 10

11 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (3) Ένα μοντέλο επιφάνειας είναι ένα απλοειδές σύμπλοκο αν τα πολύγωνα που το αποτελούν εφάπτονται μόνο κατά μήκος των ακμών τους, και οι ακμές του μοντέλου τέμνονται μόνο στα άκρα τους (a) Απλοειδές σύμπλοκο (b) Μη απλοειδές σύμπλοκο (τριγωνικό πλέγμα) (τριγωνικό πλέγμα) 11

12 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (4) Προσανατολισμένη επιφάνεια: Επιφάνεια που έχει 2 όψεις Όπως μια κόλλα χαρτιού Οι περισσότερες επιφάνειες είναι προσανατολισμένες Στις κλειστές προσανατολισμένες επιφάνειες το εσωτερικό & εξωτερικό τμήμα της επιφάνειας είναι σαφώς διακριτά Κατά σύμβαση, το κανονικό διάνυσμα μιας κλειστής προσανατολισμένης επιφάνειας δείχνει προς την έξω μεριά ΗταινίαMoebius είναι μια μη προσανατολισμένη επιφάνεια 12

13 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (5) Τα κλειστά μοντέλα πολλαπλότητας που είναι ομοιομορφικά ως προς τη σφαίρα, ικανοποιούν τον τύπο του Euler: V E + F = 2 όπου: V: # κορυφών } E: # ακμών του μοντέλου F: # εδρών 13

14 Ιδιότητες Πολυγωνικών Μοντέλων (6) Για ένα κλειστό τριγωνικό μοντέλο ο παραπάνω τύπος υποδηλώνει: Ότι το πλήθος των τριγώνων του μοντέλου είναι σχεδόν 2-πλάσιο του πλήθους των κορυφών Ότι ο μέσος αριθμός τριγώνων γύρω από μια κορυφή είναι 6 Ο τύπος του Euler γενικεύεται για μοντέλα που δεν είναι πολλαπλότητες: V E + F = 2 2G όπου G είναι το γένος (genus) του μοντέλου Το γένος ενός μοντέλου μπορεί να θεωρηθεί το πλήθος των διαμπερών οπών του μοντέλου: Ο τόρος (torus) έχει γένος 1 Ο διπλός τόρος έχει γένος 2 14

15 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα Πολλές δομές δεδομένων έχουν προταθεί για την αναπαράσταση πολυγωνικών μοντέλων. Διαφέρουν: Στον τύπο των πολυγωνικών μοντέλων που μπορούν να αναπαραστήσουν Στην ποσότητα & τύπο πληροφορίας που φυλάσσουν άμεσα για το μοντέλο Στις λοιπές πληροφορίες που μπορούν να παράγουν έμμεσα για το μοντέλο Χρήσιμες πληροφορίες για τα Γραφικά: Τοπολογικές πληροφορίες: αν το μοντέλο είναι πολλαπλότητα, είναι κλειστό, έχει όριο ή έχει τρύπες Πληροφορίες γειτνίασης: γειτονικές έδρες δοθέντων ακμών και εδρών, γειτονικές ακμές και έδρες γύρω από δοθείσα κορυφή, σύνορο ενός ανοικτού μοντέλου Χαρακτηριστικά συνημμένα στο μοντέλο: κανονικά διανύσματα, χρώματα, ιδιότητες υλικού, συντεταγμένες υφής 15

16 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (2) Οι βασικότερες δομές δεδομένων που χρησιμοποιούνται: Άμεση λίστα ακμών περιέχουν για κάθε ακμή/έδρα του μοντέλου Άμεση λίστα εδρών τις συντεταγμένες των αντίστοιχων κορυφών Παράδειγμα: Για το τετράεδρο της εικόνας ισχύει: Λίστα ακμών: e =( (x,y,z ), (x,y,z )), e = ( (x,y,z ), (x,y,z )), Λίστα εδρών: } e =( (x,y,z ), (x,y,z )), e = ( (x,y,z ), (x,y,z )), e =( (x,y,z ), (x,y,z )), e = ( (x,y,z ), (x,y,z )) f f f f =((x,y,z ),(x,y,z ),(x,y,z )), =((x,y,z ),(x,y,z ),(x,y,z )), =((x,y,z ),(x,y,z ),(x,y,z )), =((x,y,z ),(x,y,z ),(x,y,z ))

17 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (3) Λίστα ακμών: Δεν αναπαριστά επιφάνεια Δεν καθορίζει τις έδρες του μοντέλου Οι έδρες πρέπει να συμπεραθούν από τα δεδομένα των ακμών οδηγεί σε πιθανές ασάφειες Λίστα εδρών: Οι συντεταγμένες κάθε κορυφής επαναλαμβάνονται για κάθε ακμή ή έδρα που την περιέχει σπατάλη χώρου Δεν δίνει πληροφορίες για την γειτνίαση των εδρών και των ακμών Οι κορυφές μπορούν να ανιχνευθούν με σύγκριση συντεταγμένων μπορεί να προκύψουν προβλήματα αριθμητικής ακρίβειας ο υπολογισμός της γειτνίασης μπορεί να παρουσιάζει προβλήματα 17

18 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (4) Αρκετά από τα παραπάνω μειονεκτήματα επιλύονται από την δεικτοδοτημένη λίστα εδρών: Περιέχει λίστα κορυφών & λίστα εδρών του μοντέλου Οι κορυφές των εδρών δίνονται σαν αναφορές στη λίστα κορυφών Παράδειγμα: το προηγούμενο τετράεδρο αναπαρίσταται ως: v0=(x 0,y 0,z 0), f 0= ( v3, v2, v1), v1=(x 1,y 1,z 1), f 1= ( v2, v3, v0), v2=(x 2,y 2,z 2), f 2= ( v1, v0, v3), v =(x,y,z ), f = ( v, v, v ) Για την αναπαράσταση προσανατολισμένων μοντέλων με χρήση της δεικτοδοτημένης λίστας εδρών, συνηθίζεται να ταξινομούνται οι κορυφές των εδρών είτε με την φορά των δεικτών του ρολογιού είτε αντίστροφα ευκολότεροι υπολογισμοί 18

19 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (5) Δεικτοδοτημένη λίστα εδρών: Μπορεί να αναπαραστήσει όλα τα είδη πολυγωνικών μοντέλων Επιτρέπει άμεσες τροποποιήσεις στις θέσεις των κορυφών του μοντέλου Οι ακμές των πολυγώνων μπορούν να διαπιστωθούν έμμεσα αλλά επαναλαμβάνονται για κάθε πολύγωνο που τις χρησιμοποιεί Απαιτείται κάποια διαδικασία για παραγωγή λίστας μοναδικών ακμών Δεν παρέχει πληροφορίες γειτνίασης αν και τα δεδομένα της δομής επαρκούν για τον υπολογισμό της γειτνίασης 19

20 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (6) Ειδικά για τριγωνικά μοντέλα, τα γειτονικά τρίγωνα μπορούμε να τα χειριστούμε πιο αποδοτικά σαν ταινία τριγώνων ή βεντάλια τριγώνων, προκειμένου να μειωθούν οι επαναλήψεις δεδομένων Ταινία τριγώνων Βεντάλια τριγώνων (v 0, v 1, v 2, v 3, v 4 ) (v 0, v 1, v 2, v 3, v 4 ) 20

21 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (7) Η δεικτοδοτημένη λίστα εδρών μπορεί να συνδυαστεί με άλλα δεικτοδοτημένα (ως προς κορυφές ή έδρες) δεδομένα που αφορούν άλλα γνωρίσματα του μοντέλου : Πχ. χρώμα Κάποιες δομές δεδομένων μπορούν να αναπαραστήσουν απευθείας κάποια πληροφορία γειτνίασης & επιτρέπουν την εύκολη παραγωγή πληροφοριών που αφορούν την γειτνίαση Αυτές οι δομές δεδομένων είναι δεικτοδοτημένες, περιέχουν τουλάχιστον μια λίστα κορυφών και πραγματεύονται μοντέλα πολλαπλότητας 21

22 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (8) Η δομή winged-edge, είναι μια τέτοια δομή: Κεντρικός κόμβος πληροφορίας είναι η ακμή Κάθε ακμή αποθηκεύει αναφορές: Στις 2 κορυφές της Στις 2 γειτονικές της έδρες Στις 4 γειτονικές της ακμές 22

23 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (9) Η δομή ημι-ακμής είναι παρόμοια με την δομή winged-edge, αλλά χρησιμοποιεί προσανατολισμένες ακμές: Κάθε ακμή διαχωρίζεται σε 2 ημι-ακμές Κάθε ημι-ακμή αποθηκεύει μια αναφορά: Στην κορυφή που αρχίζει & την κορυφή που τελειώνει Στη γειτονική έδρα της Στις 2 γειτονικές της ημι-ακμές κατά μήκος της γειτονικής της έδρας Στην αντίθετή της ημι-ακμή Η δομή ημι-ακμής είναι πιο αποδοτική από την δομή winged-edge για αρκετές ερωτήσεις γειτνίασης 23

24 Δομές Δεδομένων για Πολυγωνικά Μοντέλα (10) Η δομή Quad-edge είναι παρόμοια με τις παραπάνω: Είναι πιο πολύπλοκη Χρησιμοποιείται για τον αποδοτικό υπολογισμό ερωτήσεων γειτνίασης Μπορεί να αναπαραστήσει ταυτόχρονα ένα μοντέλο πολλαπλότητας & το δυϊκό του Το δυϊκό μοντέλο κατασκευάζεται περιστρέφοντας τις ακμές κατά 90 o, και αντικαθιστώντας τις κορυφές με έδρες & αντίστροφα Π.χ. Το δυϊκό ενός τετραέδρου είναι ένα τετράεδρο Το δυϊκό ενός κύβου είναι ένα οκτάεδρο & αντίστροφα Χρήσιμη στην υπολογιστική γεωμετρία, την αλγοριθμική δηλαδή μελέτη γεωμετρικών προβλημάτων 24

25 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου Τα πολυγωνικά μοντέλα συχνά δημιουργούνται αυτόματα με: Σχεδίαση των επιφανειών, που είναι ορισμένες με μαθηματικό τρόπο 3Δ σάρωση αληθινών αντικειμένων Η αύξηση της δύναμης των υπολογιστών και τα πλεονεκτήματα της 3Δ σάρωσης οδηγούν σε μοντέλα με μεγάλο αριθμό κορυφών και εδρών Το έργο Digital Michelangelo, π.χ., χρησιμοποίησε σαρωτές προηγμένης τεχνολογίας για να σαρώσει και ανακατασκευάσει κάποια από τα γλυπτά του Μιχαήλ Άγγελου Αποτέλεσμα: εκατομμύρια τρίγωνα (1/4 mm πλέγμα σάρωσης) Μερικά gigabytes δεδομένα Το μέγεθος της πληροφορίας είναι δύσκολο στην επεξεργασία Αυτή η λεπτομέρεια είναι χρήσιμη μόνο σε συγκεκριμένες εφαρμογές 25

26 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (2) Οι εφαρμογές των γραφικών μπορούν να ωφεληθούν από πολλαπλές αναλύσεις (επίπεδα λεπτομέρειας (LODs)) του μοντέλου που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε διαφορετικές συνθήκες θέασης Όταν η προβολή του μοντέλου είναι μικρή, μόνο ένα μικρό τμήμα λεπτομέρειας είναι ορατό Είναι επίσης ωφέλιμο να μεταβάλλεται η λεπτομέρεια σε διαφορετικές περιοχές του ίδιου μοντέλου Συνεπίπεδα τρίγωνα συγχωνεύονται σε λιγότερα και μεγαλύτερα τρίγωνα Περιοχές κοντά στον παρατηρητή χρειάζονται περισσότερη λεπτομέρεια από εκείνες που βρίσκονται μακριά Τα επίπεδα λεπτομέρειας και η επιλεκτική εκλέπτυνση είναι κατάλληλα για αλληλεπιδραστικές εφαρμογές 26

27 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (3) Διαφορετικά επίπεδα λεπτομέρειας και μεγέθη: (5000 αριστερά- vs δεξιά- τρίγωνα) Εχουν αναπτυχθεί αρκετές τεχνικές απλοποίησης μοντέλων Μειώνουν τον αριθμό των εδρών ενός πολυγωνικού μοντέλου, ενώ παράλληλα προσπαθούν να διατηρούν την εμφάνιση και δομή του αρχικού μοντέλου Οι σχετικές εφαρμογές, συνήθως έχουν το αρχικό μοντέλο σε διαφορετικά επίπεδα λεπτομέρειας και δυναμικά επιλέγουν την κατάλληλη 27

28 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (4) Οι αλγόριθμοι απλοποίησης: Αντιμετωπίζουν ευκολότερα κλειστά πλέγματα που είναι πολλαπλότητες Χειρίζονται συχνά και το σύνορο των μη-κλειστών μοντέλων 28

29 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (5) Οι μέθοδοι απλοποίησης χωρίζονται σε 2 μεγάλες ομάδες: Αυτές που παράγουν διακριτά επίπεδα λεπτομέρειας του αρχικού μοντέλου Αυτές που παράγουν συνεχή επίπεδα λεπτομέρειας του αρχικού μοντέλου Διακριτά επίπεδα λεπτομέρειας: Ορίζεται ο επιθυμητός αριθμός εδρών Δημιουργείται ένα νέο μοντέλο με τον επιθυμητό αριθμό εδρών Αν ζητηθεί άλλο επίπεδο λεπτομέρειας, ο αλγόριθμος εκτελείται ξανά Συνεχή επίπεδα λεπτομέρειας: Παράγεται μια συνεχής ακολουθία από όλο και περισσότερο απλοποιημένα μοντέλα, χρησιμοποιώντας τοπικές απλοποιήσεις του αρχικού μοντέλου Μπορεί να παραχθεί οποιοδήποτε ενδιάμεσο επίπεδο λεπτομέρειας, με καταγραφή των βημάτων απλοποίησης 29

30 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (6) Οι αλγόριθμοι συνεχούς απλοποίησης είναι πιο ενδιαφέροντες από τους διακριτούς Είναι προσαρμοστικοί και εύκολα αντιστρέψιμοι επιτρέπουν την μετακίνηση «πάνω» και «κάτω» μεταξύ επιπέδων λεπτομέρειας Υποστηρίζουν την επιλεκτική εκλέπτυνση, δηλαδή την δυναμική προσαρμογή της λεπτομέρειας σε διάφορα μέρη του μοντέλου Ομαλή εκλέπτυνση του πλέγματος ελαχιστοποίηση οπτικών ατελειών κατά την εναλλαγή επιπέδων λεπτομέρειας σε διαδραστικές εφαρμογές. 30

31 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (7) Πως εκτιμούμε την ποιότητα του απλοποιημένου μοντέλου σε σχέση με το αρχικό; Οι περισσότεροι αλγόριθμοι οδηγούνται από συγκεκριμένα μέτρα για να ορίσουν, π.χ.: Ποια είναι η κατάλληλη θέση για μια νέα κορυφή Ποια ακμή πρέπει να αφαιρεθεί πρώτη για να μειωθεί η διαφορά μεταξύ αρχικού και απλοποιημένου μοντέλου Αυτά τα μέτρα δίνουν επίσης μια εκτίμηση της ποιότητας του τελικού μοντέλου οι αλγόριθμοι απλοποίησης μπορούν να συγκριθούν 31

32 Απλοποίηση Πολυγωνικού Μοντέλου (8) Τα πιο διαδεδομένα μέτρα, εκτιμούν κάποια απόσταση του απλοποιημένου μοντέλου από το αρχικό: Απόσταση Hausdorff: μετράει τη μέγιστη απόσταση μεταξύ 2 οποιωνδήποτε σημείων δύο επιφανειών M και M d ( M, M ') = max(max{ d( v, M ')},max{ d( v', M)}), v M v' M' όπου d( v, M) = min{ v w} είναι η απόσταση ενός σημείου v από μια w M επιφάνεια M, ορισμένη ως η απόσταση του v απότοπιοκοντινόσημείο w της επιφάνειας Μέση τετραγωνική απόσταση 2 επιφανειών: 1 1 d2( M, M ') = d(, M ') d( ', M), s v + s' v v M v' M ' όπου s και s είναι επιφάνειες των M και M αντίστοιχα Αυτές οι εξισώσεις πρέπει να είναι διακριτές για να μπορούν να υπολογιστούν πάνω σε πολυγωνικά μοντέλα πετυχαίνεται με τη δειγματοληψία σημείων πάνω στις επιφάνειες 32

33 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών Κατάρρευση Ακμής (edge collapse): Τοπική πράξη σε τριγωνικό πλέγμα Αφαιρεί μια ακμή του μοντέλου και 2 γειτονικά της τρίγωνα με την κατάρρευση μιας ακμής σε μία κορυφή Χρησιμοποιώντας κατάρρευση ακμών, είναι εύκολος ο υπολογισμός της απόστασης μεταξύ του απλοποιημένου και του αρχικού μοντέλου διαφέρουν στις έδρες γύρω από την ακμή που κατέρρευσε Υποθέτουμε μοντέλα που είναι πολλαπλότητες, αλλά υπάρχουν και παραλλαγές για μη πολλαπλότητες 33

34 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (2) Αλγόριθμος κατάρρευσης ακμής: 1. Για κάθε ακμή του μοντέλου που μπορεί να καταρρεύσει, υπολόγισε μια προτεραιότητα κατάρρευσης και ταξινόμησε τις ακμές σε μια ουρά προτεραιότητας 2. Όσο υπάρχουν υποψήφιες ακμές στην ουρά και ο στόχος απλοποίησης (μέγιστο σφάλμα, πλήθος εδρών του μοντέλου) δεν έχει επιτευχθεί: a) Αφαίρεσε την πρώτη ακμή από την ουρά b) Κατέρρευσε την ακμή (το πλέγμα αλλάζει μόνο τοπικά γύρω από την ακμή) c) Επανυπολόγισε τις προτεραιότητες των ακμών που επηρέασε η κατάρρευση Παράγοντες που επηρεάζουν το αποτέλεσμα της μεθόδου: Το μέτρο εκτίμησης μεταβολής του πλέγματος για κάθε κατάρρευση ακμής (εκχώρηση της προτεραιότητας) Η θέση της νέα κορυφής κατά την κατάρρευση ακμής 34

35 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (3) Σε μερικές υλοποιήσεις, η θέση της νέας κορυφής είναι σταθερή (π.χ. ένα από τα δύο άκρα ή μέσον) Σε άλλες υλοποιήσεις, οι παραπάνω 2 παράγοντες είναι συσχετισμένοι: Η θέση της νέας κορυφής υπολογίζεται σαν αποτέλεσμα μιας μεθόδου βελτιστοποίησης, που ελαχιστοποιεί το σφάλμα απλοποίησης Το ελάχιστο σφάλμα που επιτυγχάνεται χρησιμοποιείται και σαν προτεραιότητα της κατάρρευσης ακμής 35

36 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (4) Απλοποίηση με τη μέθοδο τετραγωνικού σφάλματος: Ελαχιστοποιεί την τετραγωνική απόσταση της νέας κορυφής από τις έδρες γύρω από την ακμή που κατέρρευσε Έστω Δ μια τριγωνική έδρα του μοντέλου με εξίσωση επιπέδου: ax + by + cz + d = 0 Τετραγωνική απόσταση σημείου x =[x, y, z] T από το επίπεδο Δ : 2 T 2 ( ax + by + cz + d) ( nx+ d) T ˆ 2 T T ˆ T ˆ2 Q ( ) ( ˆ ) ( ˆˆ ) 2 ˆ Δ x = = = + d = + d + d, a + b + c n x x nn x n x n όπου ˆ = n n είναι το μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα του Δ και ˆ d d = n n Μπορεί να αναπαρασταθεί από την τετραγωνική μορφή: T ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 Q = ( Ab,, p) = Δ ( nn, dn, d ), οπότε: T T QΔ ( x) = x Ax+ 2b x+ p 36

37 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (5) Έτσι, το άθροισμα των τετραγωνικών αποστάσεων του x από 2 τρίγωνα Δ1 και Δ2 υπολογίζεται με άθροιση των τετραγωνικών μορφών: Q = ( A, b Δ, p ) και Q = ( A 2 2, b Δ 2, p2) : Q ( x) + Q ( x) = ( Q + Q )( x) = x ( A + A ) x+ 2( b + b ) x+ ( p + p ) T T Δ1 Δ2 Δ1 Δ Το αποτέλεσμα είναι επίσης τετραγωνικής μορφής Γενικεύεται για οποιοδήποτε αριθμό τριγώνων Ο αλγόριθμος απλοποίησης αρχικά αποδίδει σε κάθε κορυφή v του πλέγματος, τη μορφή που εκφράζει το άθροισμα των τετραγωνικών αποστάσεων ενός σημείου από τις έδρες γύρω από την κορυφή: Qv = wδqδ Δ arround x όπου w Δ είναι το βάρος της επιφάνειας της αντίστοιχης έδρας καλύτερη κλιμάκωση 37

38 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (6) Αφού η ακμή e(v 0, v d ) καταρρεύσει, η συνολική τετραγωνική απόσταση της προκύπτουσας κορυφής v s από όλες τις έδρες γύρω από τις v 0 και v d είναι: Q( vs ) = Qv ( v ή 0 s) + Qv ( v ) d s Q= Qv + Q που είναι η γνωστή μορφή Q =(A, b, p) Η θέση που ελαχιστοποιεί το Q είναι η βέλτιστη για την v s Μετά από παραγώγιση, προκύπτει ότι το ελάχιστο του Q επιτυγχάνεται για v s = A -1 b και το ελάχιστο είναι: T 1 T Q( vs) = b A b+ p = b vs + p Αν ο A είναι ιδιάζων πίνακας η ελαχιστοποίηση περιορίζεται πάνω στην ακμή e(v 0,v d ) 0 d Αν αποτύχει, η v s επιλέγεται ανάμεσα στις v 0 και v d, ανάλογα με το ποια κορυφή δίνει τη μικρότερη τιμή στο Q v 38

39 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (7) Η απλοποίηση με επαναληπτική κατάρρευση ακμών έχει όλες τις ιδιότητες των μεθόδων συνεχών επιπέδων λεπτομέρειας: Είναι εύκολα αντιστρέψιμη με την πράξη διάσπασης κορυφής σε αντίστροφη σειρά σε σχέση με τις καταρρεύσεις ακμών πρέπει να διατηρούνται οι αρχικές θέσεις κορυφών για κάθε κατάρρευση ακμής Προοδευτικό πλέγμα: το απλοποιημένο πλέγμα μαζί με την ακολουθία διασπάσεων κορυφών που οδηγούν στο αρχικό Με τη φύλαξη πληροφορίας για γειτονικές κορυφές και έδρες κάθε κατάρρευσης ακμής, είναι δυνατή η εφαρμογή επιλεκτικής εκλέπτυνσης και εκτράχυνσης του πλέγματος σε περιοχές ενδιαφέροντος Μπορούν να εφαρμοσθούν διάφορα μέτρα σφάλματος και στρατηγικές για την τοποθέτηση κορυφής, οπότε η μέθοδος προσαρμόζεται σε πολλαπλούς σκοπούς και διαθέσιμους πόρους. 39

40 Απλοποίηση με Διαδοχικές Καταρρεύσεις Ακμών (8) Η απλοποίηση μεγάλων μοντέλων είναι χρονοβόρα Αν χρησιμοποιείται διαδικασία βελτιστοποίησης, κοστίζει ακόμα περισσότερο συνήθως προϋπολογίζεται Τα επίπεδα λεπτομέρειας μπορούν να αξιοποιηθούν διαδραστικά σε πραγματικό χρόνο για επιλεκτική εκλέπτυνση του μοντέλου Η απλοποίηση με βάση την κατάρρευση ακμών διαδίδεται και υπάρχει σε αρκετές βιβλιοθήκες γραφικών (π.χ. DirectX) 40

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Αναπαράσταση μοντέλου Το 3D μοντέλο το αποθηκεύουμε στην μνήμη με τις εξής δομές δεδομένων: Λίστα κορυφών Λίστα τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design)

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) Ενότητα # 2: Στερεοί Μοντελοποιητές (Solid Modelers) Δρ Κ. Στεργίου

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012 0B Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Περιεχόμενα Πίνακας Περιεχομένων...2 Περιεχόμενα...2 Προγραμματιστικές λεπτομέρειες υλοποίησης...3 geom.h...3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ

Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ ΓΡΑΦΙΚΑ Γέμισμα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΕΜΙΣΜΑΤΟΣ Για τις πλεγματικές οθόνες υπάρχουν: Αλγόριθμοι γεμίσματος:, που στηρίζονται στη συνάφεια των pixels του εσωτερικού ενός πολυγώνου Αλγόριθμοι σάρωσης: που στηρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Μοντέλα Περιγραφής Τρισδιάστατων αντικειμένων

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Μοντέλα Περιγραφής Τρισδιάστατων αντικειμένων Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Μοντέλα Περιγραφής Τρισδιάστατων αντικειμένων 3Δ Αναπαράσταση Μοντέλα Περιγραφής Τρισδιάστατων αντικειμένων 1. Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering)

Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering) Υφή Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering) Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3D Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης Απομάκρυνση Πίσω Επιφανειών

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση Κατάτμηση Εικόνας Γεώργιος Παπαϊωάννου 2015 ΚΑΤΩΦΛΙΩΣΗ Κατωφλίωση - Γενικά Είναι η πιο απλή μέθοδος segmentation εικόνας Χωρίζουμε την εικόνα σε 2 (binary) ή περισσότερες στάθμες

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Oι οπτικές επιδράσεις, που μπορεί να προκαλέσει μια εικόνα στους χρήστες, αποτελούν ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσματα των λειτουργιών γραφικών με Η/Υ. Τον όρο της οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικής Ισχύος Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ (Αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 5 o Φροντιστήριο

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 5 o Φροντιστήριο Πρόβλημα ο Ασκήσεις Φροντιστηρίου 5 o Φροντιστήριο Δίνεται το παρακάτω σύνολο εκπαίδευσης: # Είσοδος Κατηγορία 0 0 0 Α 2 0 0 Α 0 Β 4 0 0 Α 5 0 Β 6 0 0 Α 7 0 Β 8 Β α) Στον παρακάτω κύβο τοποθετείστε τα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #07 Γραμμές και Πολύγωνα: Εισαγωγή Αναπαράσταση 2D και 3D Χρωματισμός πολυγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά & Οπτικοποίηση. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή. Γραφικά & Οπτικοπίηση: Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 1

Γραφικά & Οπτικοποίηση. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή. Γραφικά & Οπτικοπίηση: Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 1 Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Ιστορικά Ιστορική ανασκόπηση : 2 Ιστορικά (2) Ρυθμοί ανάπτυξης CPU και GPU 3 Εφαρμογές Ειδικά εφέ για ταινίες & διαφημίσεις Επιστημονική εξερεύνηση μέσω οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάγκη Ανάπτυξης Μοντέλων και Δομών Χωρικών Δεδομένων

Ανάγκη Ανάπτυξης Μοντέλων και Δομών Χωρικών Δεδομένων Ανάγκη Ανάπτυξης Μοντέλων και Δομών Χωρικών Δεδομένων Η περιγραφή των γεωγραφικών δεδομένων, η σύνδεση και διαχείριση γεωμετρικής πληροφορίας, η οποία αναφέρεται σε: μετρητικές ιδιότητες που αναφέρονται:

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Μάθηση και Γενίκευση. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Μάθηση και Γενίκευση Το Πολυεπίπεδο Perceptron (MultiLayer Perceptron (MLP)) Έστω σύνολο εκπαίδευσης D={(x n,t n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, t n =(t n1,, t np ) T Θα πρέπει το MLP να έχει d νευρώνες

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0

Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0 Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0 Παράθυρα των εγγράφων Επιφάνεια του σχεδίου. Σχεδιάστε εδώ νέα αντικείμενα με τα εργαλεία σημείων, διαβήτη, σχεδίασης ευθύγραμμων αντικειμένων και κειμένου.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών). ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB. Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι

21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB. Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι 21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι Τι είναι Αλγόριθμος; Οι οδηγίες που δίνουμε με λογική σειρά, ώστε να εκτελέσουμε μια διαδικασία ή να επιλύσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τεράστιες ανάγκες σε αποθηκευτικό χώρο

Τεράστιες ανάγκες σε αποθηκευτικό χώρο ΣΥΜΠΙΕΣΗ Τεράστιες ανάγκες σε αποθηκευτικό χώρο Παράδειγμα: CD-ROM έχει χωρητικότητα 650MB, χωρά 75 λεπτά ασυμπίεστου στερεοφωνικού ήχου, αλλά 30 sec ασυμπίεστου βίντεο. Μαγνητικοί δίσκοι χωρητικότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι καθολικοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, εμπνευσμένοι από τις βασικές αρχές της φυσικής εξέλιξης.

Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι καθολικοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, εμπνευσμένοι από τις βασικές αρχές της φυσικής εξέλιξης. Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι καθολικοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, εμπνευσμένοι από τις βασικές αρχές της φυσικής εξέλιξης. Ένα από τα γνωστότερα παραδείγματα των ΕΑ είναι ο Γενετικός

Διαβάστε περισσότερα

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση ΤΨΣ 50 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές

Γραφικά με υπολογιστές Γραφικά με Υπολογιστές Ενότητα # 3: Εισαγωγή Φοίβος Μυλωνάς Τμήμα Πληροφορικής Φοίβος Μυλωνάς Γραφικά με υπολογιστές 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e

Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e Άσκηση 1 Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e Υπάρχουν τρία μαύρα τετραγωνάκια (b), τρία άσπρα (w) και ένα κενό (e). Η σπαζοκεφαλιά έχει τις ακόλουθες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Αναπαράσταση Αντικείμενων 3D

Γραφικά Υπολογιστών: Αναπαράσταση Αντικείμενων 3D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Αναπαράσταση Αντικείμενων 3D (Object Representations) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Προσομοίωσης

Εφαρμογές Προσομοίωσης Εφαρμογές Προσομοίωσης H προσομοίωση (simulation) ως τεχνική μίμησης της συμπεριφοράς ενός συστήματος από ένα άλλο σύστημα, καταλαμβάνει περίοπτη θέση στα πλαίσια των εκπαιδευτικών εφαρμογών των ΤΠΕ. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής

Περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής Κεφάλαιο 5 Περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται οι περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών οι οποίες συναντώνται σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής.

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων. 9η Διάλεξη Ταξινόµηση - Στοιχειώδεις µέθοδοι. Ε. Μαρκάκης

Δοµές Δεδοµένων. 9η Διάλεξη Ταξινόµηση - Στοιχειώδεις µέθοδοι. Ε. Μαρκάκης Δοµές Δεδοµένων 9η Διάλεξη Ταξινόµηση - Στοιχειώδεις µέθοδοι Ε. Μαρκάκης Περίληψη Bubble Sort Selection Sort Insertion Sort Χαρακτηριστικά επιδόσεων Shellsort Ταξινόµηση συνδεδεµένων λιστών Δοµές Δεδοµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ] 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα. Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής

Γραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα. Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής Γραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής Βασικές λειτουργίες απεικόνισης μετατροπή του παγκόσμιου συστήματος συντεταγμένων, ενός αντικειμένου, σε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς

Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #08 Αποκοπή (εισαγωγή) Σημειακή Αποκοπή Αποκοπή Ευθύγραμμων Τμημάτων (line

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Α2. Ο αλγόριθμος αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών Α3. Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

κυρτών και σύνθετων σωμάτων

κυρτών και σύνθετων σωμάτων Τ.Ε.Ι. Αθηνών τμήμα Πληροφορικής Διπλωματική εργασία Ανίχνευση συγκρούσεων σε σκηνές 3Δ κυρτών και σύνθετων σωμάτων Κόνιαρης Χαράλαμπος Επιβλέπων καθηγητής : Δρ. Ιωάννης Πρατικάκης Περιληπτικά (1) Γενικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή Γραφικά με Η/Υ Εισαγωγή Πληροφορίες μαθήματος (1/4) Υπεύθυνος μαθήματος: Μανιτσάρης Αθανάσιος, Καθηγητής ιδάσκοντες: Μανιτσάρης Αθανάσιος: email: manits@uom.gr Μαυρίδης Ιωάννης: email: mavridis@uom.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

Η γνώση του αναγλύφου

Η γνώση του αναγλύφου ΨΗΦΙΑΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ε ΑΦΟΥΣ Η γνώση του αναγλύφου συµβάλλει στον προσδιορισµό Ισοϋψών καµπυλών Κλίσεων του εδάφους Προσανατολισµού Ορατότητας Μεταβολών Κατανοµής φωτισµού ιατοµών Χωµατισµών Υδροκρίτη Οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Απεικόνιση

Κεφάλαιο 2: Απεικόνιση Κεφάλαιο 2: Απεικόνιση Σύνοψη Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι η διαδικασία οπτικής απεικόνισης του εικονικού κόσμου, τόσο από την τεχνολογική όσο και από τη σχεδιαστική σκοπιά. Γίνεται μια εισαγωγική επισκόπηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα Κεφάλαιο 3 Μαθηματικό υπόβαθρο Μαθησιακοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση αυτού του κεφαλαίου, ο αναγνώστης θα είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες και να πραγματοποιεί πράξεις των σημείων και των

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος

Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος Διδακτική των Μαθηματικών με Τ.Π.Ε Σελίδα 1 από 6 Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:... Κάντε κλικ στο URL https://www.geogebra.org/m/msrbdbc5.

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή

Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή Αποκοπή Οι αλγόριθμοι αποκοπής έχουν σχεδιαστεί έτσι ώστε να είναι αποτελεσματικοί στο να εντοπίζουν τα τμήματα μίας σκηνής ή ενός αντικειμένου σε συντεταγμένες προβολής που βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΕΚΦΕ Αν. Αττικής Υπεύθυνος: Κ. Παπαμιχάλης ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΟΓΚΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ Κεντρική επιδίωξη των εργαστηριακών ασκήσεων φυσικής στην Α Γυμνασίου, είναι οι μαθητές να οικοδομήσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ - ΕΝΟΤΗΤΑ 1 7/4/2013 ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Ορισμός

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ - ΕΝΟΤΗΤΑ 1 7/4/2013 ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Ορισμός ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 : ΕΙΣΑΓΩΓΗ Διάλεξη 1: Γενικά για το ΓΣΠ, Ιστορική αναδρομή, Διαχρονική εξέλιξη Διάλεξη 2 : Ανάλυση χώρου (8/4/2013) Διάλεξη 3: Βασικές έννοιες των Γ.Σ.Π.. (8/4/2013)

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1 Εικόνα Εισαγωγή Ψηφιακή αναπαράσταση Κωδικοποίηση των χρωμάτων Συσκευές εισόδου και εξόδου Βάθος χρώματος και ανάλυση Συμβολική αναπαράσταση Μετάδοση εικόνας Σύνθεση εικόνας Ανάλυση εικόνας Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ Από τις καταστάσεις της ύλης τα αέρια και τα υγρά δεν παρουσιάζουν κάποια τυπική διάταξη ατόμων, ενώ από τα στερεά ορισμένα παρουσιάζουν συγκεκριμένη διάταξη ατόμων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Μία μέθοδος προσομοίωσης ψηφιακών κυκλωμάτων Εξελικτικής Υπολογιστικής

Μία μέθοδος προσομοίωσης ψηφιακών κυκλωμάτων Εξελικτικής Υπολογιστικής Μία μέθοδος προσομοίωσης ψηφιακών κυκλωμάτων Εξελικτικής Υπολογιστικής Βασισμένο σε μια εργασία των Καζαρλή, Καλόμοιρου, Μαστοροκώστα, Μπαλουκτσή, Καλαϊτζή, Βαλαή, Πετρίδη Εισαγωγή Η Εξελικτική Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ CAD/CAM/CNC 1. ΤΕΙ Κρήτης

ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ CAD/CAM/CNC 1. ΤΕΙ Κρήτης ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΠΛΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (HERMITE, BEZIER, B-SPLINES, NURBS, COONS) CAD/CAM/CNC

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Κεφάλαιο 9: Συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών 208 9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Οι συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών είναι επεξεργαστές ειδικού σκοπού οι οποίοι είναι συνήθως προσκολλημένοι σε

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D 1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής

Απεικόνιση Υφής. Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος B Δημιουργία Συντεταγμένων Υφής Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Γενικά Είδαμε ότι μπορούμε να αποθηκεύσουμε συντεταγμένες υφής στις κορυφές των τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα