άλγεβρα α λυκείου 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "άλγεβρα α λυκείου 1"

Transcript

1

2 άλγεβρ λυκείου ριθµοί - 3,4, π3,4-73 9, , e,7-7% , ν -30% -ν κ λ N Z Q R -, 3 + y 3-5 y C πργµτικούς ριθµούς λέµε τους: ρητούς, δηλ. τους ριθµούς κλσµτικής µορφής: κ/λ όπου κ, λ είνι κέριοι ριθµοί (µετξύ υτών είνι βέβι οι κέριοι κι ειδικότερ οι θετικοί κέριοι (φυσικοί) ριθµοί που πρώτους επινοήσµε στην προσπάθειά µς γι πρίθµηση, οι δεκδικοί κι οι περιοδικοί δεκδικοί ριθµοί) µζί µε τους άρρητους, δηλ. τους ριθµούς που δεν γράφοντι σε κλσµτική µορφή όπως γι πράδειγµ είνι ο (που πριστάνει το µήκος της διγωνίου τετργώνου πλευράς ) κι γενικά κάθε ρίζ ριθµού που δεν είνι τετράγωνο κερίου, ο π3.45 (που πριστάνει τον λόγο του µήκους ενός κύκλου προς το µήκος µις διµέτρου του) κ.. κι τους πριστάνουµε µε τ σηµεί του άξον των πργµτικών ριθµών: O e π µε τη συµφωνί, γι λόγους πλότητς κι µόνο, ν λέµε: τ σηµεί 0, κ.λ.π., ντί ν λέµε: τ σηµεί Ο(0), Α() κ.λ.π. στ επόµεν όπου µιλάµε γι ριθµούς θ εννοούµε πργµτικούς! (λλιώς θ τονίζουµε το είδος τους!)

3 δηµήτρη ποιµενίδη κι πράξεις έχουµε ήδη ορίσει τις πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού µε τις ιδιότητες: i.ντιµετθετική +ββ+ ββ ii.προσετιριστική +(β+γ)(+β)+γ (+β+γ) (βγ)(β)γ (βγ) iii.επιµεριστική (β+γ)β+γ iv.ύπρξης (µονδικού) ουδετέρου στοιχείου +0 v.ύπρξης (µονδικού) συµµετρικού στοιχείου +(-)0 - ( 0) ο ριθµός λέγετι ντίθετος του κι προφνώς ισχύει: (-) ενώ, δύο ριθµοί κι β λέγοντι ντίθετοι ότν +β0 ο ριθµός - λέγετι ντίστροφος του, συµβολίζετι κι ως κι προφνώς ισχύει: ( - ) - ενώ, δύο ριθµοί κι β λέγοντι ντίστροφοι ότν β ορίσµε επίσης τις πράξεις της φίρεσης: -β+(-β) κι της διίρεσης ενώ άµεσες συνέπειες της µονδικότητς των ποτελεσµάτων των πράξεων της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού (ντ. θροίσµτος κι γινοµένου) είνι οι ιδιότητες: -β+(-β) :β β β β β vi. +γβ+δ κι γβδ γδ γδ vii. β +γβ+γ β γβγ όπου η ισχύει µόνο ότν γ 0 (νόµοι διγρφής) ς ποδείξουµε τώρ τις ιδιότητες: viii. 00 i. β0 0 ή β0 (χρκτηριστική του R). β 0 0 κι β 0 πρώτ την viii.: (σύµφων µε το ν. διγρφής) (0+0)0 (επιµεριστική ιδιότητ _το 0 είνι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης) 00 (το 0 είνι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης) που ισχύει τώρ την i.: ν β0 τότε: ν 0 η ισότητ β0 γράφετι β0 (σύµφων µε την viii.) άρ β0 (σύµφων µε το ν. διγρφής) ν 0 προφνώς το ζητούµενο ισχύει, άρ σε κάθε περίπτωση είνι 0 ή β0 ν 0 ή β0 τότε: προφνώς β0 (σύµφων µε την viii.) µπορείς ν ποδείξεις την. χρησιµοποιώντς τη µέθοδο της «εις άτοπο πγωγής»;

4 άλγεβρ λυκείου 3 επίσης ισχύουν οι ιδιότητες: i. (-)β -(β) (-)(-β)β (κνόνες των προσήµων) ii. (+β) --β (β) - - β - δηλ. β β (κνόνες πλοιφής πρενθέσεων) ς ποδείξουµε την i. φού: (-)β+β[(-)+]β0β0, είνι: (-)β -(β) φού: (-)(-β)+[-(β)](-)(-β)+(-)β(-)[(-β)+β](-)00, είνι: (-)(-β)β ενώ συνέπει των ιδιοτήτων των ριθµών είνι κι ο τρόπος εκτέλεσης των πράξεων µετξύ κλσµάτων που βλέπεις δίπλ: iii. β +β + γ γ γ ενώ κι γ γ β δ βδ γ δ +βγ + β δ βδ ς δούµε την πόδειξη της δεύτερης σχέσης σύµφων µε τις προηγούµενες ιδιότητες: γ + β δ β + γ δ (ορισµός της διίρεσης) + γ β δ (ιδιότητ iv.) δ + γβ δ β β δ (ιδιότητ v.) δ +βγ βδ βδ (ιδιότητ ii.) (δ +βγ) βδ (ιδιότητ iii.) δ +βγ βδ (ορισµός της διίρεσης) οι νλογίες (δηλ. οι ισότητες λόγων) έχουν τις κόλουθες ιδιότητες: iv. v. vi. γ β δ γ ε... β δ ζ γ ε... β δ ζ δβγ β γ δ ±β β γ β γ ± δ δ ε... δ ζ ε ± ζ... ζ + γ ε β + δ ζ ς ποδείξουµε την vi. ν γ ε... λ β δ ζ τότε είνι: λβ, γλδ,, ελζ συνεπώς: + γ ε β + δ ζ λβ + λδ λζ β + δ ζ λ(β + δ ζ) β + δ ζ λ ν ποδείξεις τις iv. κι v.

5 4 δηµήτρη ποιµενίδη δυνάµεις ορίσµε R κι ν Ν µε ν τη δύνµη µε βάση κι εκθέτη ν ή λλιώς δύνµη του µε εκθέτη ν (συµβ. ν ): ν.. ν πράγοντες ορίσµε επίσης: κι γι 0: 0 κι ν ν (δηλ. ορίσµε κι δυνάµεις µε εκθέτη κέριο ενώ 0 0 δεν ορίσµε κι ούτε πρόκειτι!) ειδικά τις δυνάµεις κι 3 τις λέµε ντίστοιχ τετράγωνο κι κύβο του κι τις διβάζουµε τετράγωνο κι κύβος ντιστοίχως. είδµε κόµ τις διπλνές ιδιότητες των δυνάµεων: i. κ λ κ+λ κ κ-λ ii. λ iii. ν β ν (β) ν ν iv. ν ( ) ν β β v. ( κ ) λ κλ vi. ν 0 τι σηµίνει όµως (σύµφων µε τον ορισµό της δύνµης) ( κ ) λ ; ( κ ) λ (.. ). (.. ). (.. ) (.. ).. κλ κ πράγοντες κ πράγοντες κ πράγοντες κ πράγοντες λκ πράγοντες λ πράγοντες µόλις ποδείξµε την ιδιότητ v. (ν ποδείξεις τις υπόλοιπες ιδιότητες µόνος σου!) δέξου (χωρίς πόδειξη προς το πρόν) ότι: ν β ν β, ν ν περιττός β ή -β, ν ν άρτιος ς θυµηθούµε τις προηγούµενες ιδιότητες µε µερικά πρδείγµτ: (. 5) , o (, )(4, )0, , ή σε τυποποιηµένη µορφή:, (-) 4 (θυµήσου πως κοινός πράγοντς βγίνει η δύνµη µε τον µικρότερο εκθέτη) ( ) ( ) (-) +(y+3) κι y+30 κι y-3(φού ν 0 κι η ισότητ ισχύει προφνώς ότν 0) ν+(-ν) ο ν -ν 3 ( ) ν ν

6 άλγεβρ λυκείου 5 τυτότητες λέµε τις ισότητες που ισχύουν γι όλες τις τιµές των µετβλητών που περιέχουν, σηµντικότερες (κι ήδη γνωστές σου οι περισσότερες) είνι οι κόλουθες: i. (±β) ±β+β ii. (±β) 3 3 ±3 β+3β ±β 3 iii. (+β+γ) +β +γ +β+βγ+γ iv. -β (-β)(+β) v. 3 ±β 3 (±β)( β+β ) vi. ν β ν (-β)( ν- + ν- β+ ν-3 β + + β ν-3 +β ν- +β ν- ), ν Ν µε ν vii. ν +β ν (+β)( ν- - ν- β+ ν-3 β - + β ν-3 -β ν- +β ν- ), ειδικά ν ν περιττός τις οποίες µπορείς ν ποδείξεις ξιοποιώντς την επιµεριστική ιδιότητ κι τις ιδιότητες των δυνάµεων όπως στην πόδειξη της vi. (-β)( ν- + ν- β+ ν-3 β + + β ν-3 +β ν- +β ν- ) ν- +( ν- β+ ν-3 β + + β ν-3 +β ν- +β ν- )-β( ν- + ν- β+ ν-3 β + + β ν-3 +β ν- )-ββ ν- ν -β ν κι ν, στην περίπτωση που ο ν είνι περιττός, βάλεις στην vi. όπου β τον β, θ δεις ότι: ν (-β) ν (-(-β))( ν- + ν- (-β)+ ν-3 (-β) + + (-β) ν-3 +(-β) ν- +(-β) ν- ), δηλδή ότι: ν +β ν (+β)( ν- - ν- β+ ν-3 β - + β ν-3 -β ν- +β ν- ) δηλ. την vii. (φού οι περιττοί εκθέτες διτηρούν στη δύνµη το πρόσηµο της βάσης!) γι ν ποδείξω µί τυτότητ κάνω πράξεις στο έν µέλος (το πιο σύνθετο) µέχρι ν κτλήξω στο άλλο ( ) ή σε κάθε µέλος ξεχωριστά µέχρι ν κτλήξω στο ίδιο ποτέλεσµ ( ) ή κι στ δύο µέλη τυτοχρόνως (προχωρώντς ισοδύνµ) µέχρι ν κτλήξω σε µί ισότητ η οποί ν είνι φνερό ότι ισχύει ( ) γι πράδειγµ θ ποδείξουµε ότι : ( +β )( +y ) (+βy) +(y-β) (τυτότητ του Lagrange) ος τρόπος: (+βy) +(y-β) +βy+β y + y -yβ+β ( +y )+β (y + ) ( +y )( +β ) τέλος! ος τρόπος: ( +β )( +y ) + y +β +β y (+βy) +(y-β) +βy+β y + y -yβ+β άρ : ( +β )( +y ) (+βy) +(y-β) 3 ος τρόπος: ( +β )( +y ) (+βy) +(y-β) + y +β +β y +βy+β y + y -yβ+β που ισχύει! ν ποδείξεις την τυτότητ: 3 +β 3 +γ 3-3βγ (+β+γ)[(-β) +(β-γ) +(γ-) ] (τυτότητ του Euler)

7 6 δηµήτρη ποιµενίδη άλγεβρ κι γεωµετρί y (+β)(+y)+y+β+βy β β (+β) +β +β β β γ (+β+γ) +β +γ +β+βγ+γ β γ -β (+β)(-β) -β β -β β -β β -β β φτιάξε µί δική σου τυτότητ κι έν σχήµ που ν την «ποδεικνύει»!

8 άλγεβρ λυκείου 7 δύο σκήσεις θ ποδείξω ότι,β,γ R: ν +β+γ0 τότε 3 +β 3 +γ 3 3βγ (δηλδή ότι: +β+γ0 3 +β 3 +γ 3 3βγ) +β+γ 0 +β -γ (+β) 3 (-γ) β+3β +β 3 -γ 3 3 +β 3 +γ 3-3 β-3β 3 +β 3 +γ 3-3β(+β) 3 +β 3 +γ 3-3β(-γ) 3 +β 3 +γ 3 3βγ ξιοποίησε την τυτότητ του Euler γι ν βγάλεις άµεσ το προηγούµενο συµπέρσµ! ν 3 +β 3 +γ 3 3βγ µπορούµε ν συµπεράνουµε ότι +β+γ0; θ ποδείξω ότι,β,γ R: ν +β +γ -β-βγ-γ0 τότε βγ κι ντιστρόφως (δηλδή ότι: +β +γ -β-βγ-γ0 βγ) «βλέπω» την υπόθεση κι λέω: «ν είχ β,βγ,γ το πρώτο µέλος θ µου θύµιζε τυτότητ» γι υτό «βλέπω» ότι: +β +γ -β-βγ-γ 0 (πολλπλσίσ κι τ µέλη µε ) δηλ. -β+β +β -βγ+γ +γ -γ+ 0 δηλ. (-β) + (β-γ) + (γ-) 0 (*) λλά είνι: (-β) 0 κι (β-γ) 0 κι (γ-) 0 συνεπώς πό τη σχέση (*) συµπερίνω ότι : (-β) 0 κι (β-γ) 0 κι (γ-) 0 δηλ. -β0 κι β-γ0 κι γ-0 δηλ. β κι βγ κι γ άρ: βγ. ντιστρόφως τώρ ν βγ τότε: +β +γ -β-βγ-γ λλιώς: µπορώ ν ποδείξω την ισοδυνµί των προτάσεων «+β +γ -β-βγ-γ0» κι «βγ» µε µί ντιστρεπτή πορεί +β +γ -β-βγ-γ 0 +β +γ -β-βγ-γ 0 -β+β +β -βγ+γ +γ -γ+ 0 (-β) + (β-γ) + (γ-) 0 (-β) 0 κι (β-γ) 0 κι (γ-) 0 -β0 κι β-γ0 κι γ-0 β κι βγ κι γ βγ

9 8 δηµήτρη ποιµενίδη µί τελευτί προσπάθει γι τις τυτότητες ( Α + Β ) Α + ΑΒ + Β ( Α Β ) Α ΑΒ + Β π.χ. (3+µ) (3) µ + µ π.χ. (κ µ ) (κ) -. κ. µ+µ 9 +6µ+µ 4κ 4κµ+µ Α + ΑΒ + Β ( Α + Β ) Α ΑΒ + Β ( Α Β ) π.χ ( ) 4 (+ 3 ) π.χ. 9ρ 6ρ + (3ρ) -. 3ρ. + (3ρ ) ( Α + Β ) 3 Α 3 + 3Α Β + 3ΑΒ + Β 3 ( Α Β ) 3 Α 3 3Α Β + 3ΑΒ Β 3 π.χ. (3κ+y) 3 (3κ) 3 +3(3κ) y+3. 3κ(y) +(y) 3 π.χ. ( λ) λ+3(λ) (λ) 3 7κ 3 +54κ y+36κy +8y λ+λ 8λ 3 Α - Β ( Α Β )( Α + Β ) ( Α+Β+Γ ) Α +Β +Γ +ΑΒ+ΒΓ+ΓΑ π.χ. 4κ 5ν π.χ. (-β+γ) (κ) (5ν) (κ 5ν)(κ+5 ν) (+(-β)+γ) +β +γ -β-βγ+γ Α 3 - Β 3 ( Α - Β )( Α + ΑΒ + Β ) Α 3 + Β 3 ( Α + Β )( Α ΑΒ + Β ) π.χ. κ 3 5 π.χ. 8+γ 3 κ (κ 5)(κ +5κ+5) 3 +γ 3 (+γ)(4 γ+γ ) Α ν Β ν (Α-Β)(Α ν- +Α ν- Β+ +ΑΒ ν- +Β ν- ) Α ν +Β ν (Α+Β)(Α ν- -Α ν- Β+ -ΑΒ ν- +Β ν- ) π.χ. 5-3 π.χ (-)( ) (+)( ) κι άλλες (; ) τυτότητες (Α+Β) 3 Α 3 +Β 3 +3ΑΒ(Α+Β) (Α Β) 3 Α 3 -Β 3-3ΑΒ(Α Β) Α +Β (Α+Β) ΑΒ Α +Β (Α Β) +ΑΒ Α 3 +Β 3 (Α+Β) 3 3ΑΒ(Α+Β) Α 3 Β 3 (Α Β) 3 +3ΑΒ(Α Β)

10 άλγεβρ λυκείου 9 πργοντοποίηση πολυωνύµων γιτί επίλυση εξισώσεων κι νισώσεων, όπως στο πράδειγµ: -0 (-)0 0 ή -0 0 ή πλοποίηση κλσµτικών λγεβρικών (ρητών) πρστάσεων, όπως στο πράδειγµ: 7-7β -β 7( -β) ( -β)( +β) 7 +β εύρεση ΕΚΠ πολυωνύµων κι πράξεις µε ρητές πρστάσεις, όπως στο πράδειγµ: ( -) πώς άµεσ, όπως στο πράδειγµ: - ( -) ( -) ( -) - ( -) - - ( - ) - ( -) 3ω 6-6ω 5 +3ω 3ω (ω 4 -ω 3 +) µε οµδοποίηση, όπως στο πράδειγµ: κ 3 -κ +κ- κ (κ-)+(κ-) (κ-)(κ +) ή λλιώς : κ 3 -κ +κ- κ(κ +)-(κ +) (κ +)(κ-) ή λλιώς : κ 3 -κ +κ- (κ-)(κ +κ+)-κ(κ-) (κ-)(κ +κ+-κ) (κ-)(κ +) ξιοποιώντς τις τυτότητες Α +Β ± ΑΒ (Α± Β) Α 3 ± Β 3 ± 3Α Β+3ΑΒ (Α± Β) 3 Α Β (Α Β) (Α+Β) Α 3 ± Β 3 (Α± Β) (Α ΑΒ+Β ) µε συνδυσµό των προηγουµένων µεθόδων, όπως στ πρδείγµτ: 4(-y)+(y-)(+β) (-y)-(-y)(+β) 3 ( ++)-7( ++) (-y)( -(+β) ) (+) ( ) (-y)(--β)(++β) (+) (-3)( +3+9) ( +y -ω ) -4 y 9 +β 9 ( +y -ω ) -(y) ( 3 ) 3 +(β 3 ) 3 ( +y -ω -y)( +y -ω +y) ( 3 +β 3 )( 6-3 β 3 +β 6 ) [(-y) -ω ][(+y) -ω ] (+β)( -β+β )( 6-3 β 3 +β 6 ) (-y-ω)(-y+ω)(+y-ω)(+y+ω)

11 0 δηµήτρη ποιµενίδη το ΕΚΠ πολυωνύµων είνι το γινόµενο όλων των πρώτων (δηλ. υτών που δεν πργοντοποιούντι περισσότερο) πργόντων τους, µε τον µεγλύτερο εµφνιζόµενο εκθέτη γι πράδειγµ φού: (-) 3 (-) -+ (-) - (-) είνι: ΕΚΠ ( , -+, -) 3 (-) κι οι πράξεις µε ρητές πρστάσεις πολλπλσισµός-πλοποίηση όπως στ πρδείγµτ: ω 3 4 ω - + ( - +) ( -) ( -) ( -)( +) ( -) ( -)( - + ( - )( +) ( -)( ω ω - + 5ω + 6 (ω -)(ω + ) (ω -)(ω +) +) +) ω - (ω + )(ω + 3) ( -)( +) ( -) ω - (ω +)(ω + 3) ( + )( - + 4)( -) : ( -)( + ) + ( +)( + ) πρόσθεση όπως στ πρδείγµτ: ( -) (ΕΚΠ : -) ( -) - ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) (ΕΚΠ : (-) ) ( -) - ( -) + - ( -) ( -) ( -) - + -

12 άλγεβρ λυκείου η διάτξη των πργµτικών ριθµών λέµε ότι ο ριθµός είνι µικρότερος (ντ. µεγλύτερος) πό τον ριθµό β ότν η διφορά -β είνι ρνητικός (ντ. θετικός) ριθµός κι γράφουµε τότε < β (ντ. > β).σύµφων µε τον ορισµό υτό κάθε ρνητικός (ντ. θετικός) ριθµός είνι µικρότερος (ντ. µεγλύτερος) του µηδενός συνεπώς ο προηγούµενος ορισµός διτυπώνετι συµβολικά: < β -β < 0 (ντ. > β -β > 0) κι θυµήσου ότι: β -β 0 ενώ είνι προφνής η ισοδυνµί: <β β> Αν < β ή β (ντ. > β ή β) τότε γράφουµε: β (ντ. β) γι δύο ριθµούς κι β ισχύει µι κριβώς π τις σχέσεις: <β, β, >β (ρχή της τριχοτοµίς) δες δίπλ την τοποθέτηση τριών ριθµών, β, γ µε < β < γ πάνω - β γ + στον άξον των πργµτικών. Από τον τρόπο εκτέλεσης των πράξεων της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού, προκύπτει ότι: ν >0 κι β>0 τότε +β>0, ενώ ν <0 κι β<0 τότε +β<0 ν οι,β είνι οµόσηµοι τότε β>0 κι β >0, ενώ ν οι,β είνι ετερόσηµοι τότε β<0 κι β <0 κι ντιστρόφως επίσης ισχύουν οι κόλουθες ιδιότητες: <β i. <γ (µετβτική ιδιότητ της διάτξης) β<γ ν γ<0 γ>βγ ii. <β +γ<β+γ iii. <β iv. ν β>0 τότε: <β > β ν γ>0 γ<βγ <β,β,γ,δ θετικοί v. +γ<β+δ vi. <β γ<βδ γ<δ γ<δ ς δούµε δύο ποδείξεις της v. µί «ευθεί» σύµφων µε την ii. <β +γ<β+γ ενώ γ<δ β+γ<β+δ,συνεπώς σύµφων µε την i. +γ<β+δ κι µί «πλάγι» (γι ν ποδείξω ότι:) +γ<β+δ (ρκεί ν ποδείξω ότι:) -β<δ-γ που ισχύει φού -β<0 γιτί <β κι δ-γ>0 γιτί δ>γ ν ποδείξεις (µε όσους περισσότερους τρόπους µπορείς!) τις υπόλοιπες ιδιότητες.

13 δηµήτρη ποιµενίδη θ ποδείξουµε ότι: γι θετικούς,β κι µη µηδενικό φυσικό ν: i. β ν β ν ii. <β ν <β ν (µε «ευθεί πόδειξη») i. ν β τότε: ν β. β..... β β ν ν πράγοντες ν πράγοντες ii. ν <β τότε <β <β ν <β ν ( σύµφων µε την vi). ) <β (µε «εις άτοπον πγωγή») i. ν ν β ν τότε: β <β ή β< ν <β ν ή β ν < ν ( σύµφων µε την ii). ) ΑΤΟΠΟ φού ν β ν άρ: β ii. ν ν <β ν τότε: β β ή β< ν β ν ή β ν < ν ( σύµφων µε τις i). κι ii). ) ΑΤΟΠΟ φού ν <β ν άρ: <β γι την πόδειξη µίς νισότητς προτιµάµε ν δουλέψουµε «πλάγι», νάγοντς συνήθως την πόδειξή της στην πόδειξη µίς άλλης ισοδύνµής της, χρησιµοποιώντς τις υποθέσεις, ιδιότητες ή άλλες γνωστές σχέσεις γι πράδειγµ: θ ποδείξουµε ότι: +β β πργµτικά: +β β +β -β 0 (-β) 0 που ισχύει (η ισότητ ισχύει ν κι µόνο ν β) λλιώς: «γνωρίζουµε ότι (-β) 0 συνεπώς +β -β 0 άρ +β β» θ ποδείξουµε ότι: ν - τότε πργµτικά: (-)-(-) 0 (-)( -) 0 (-) (+) 0 που ισχύει γιτί (-) 0 κι + 0 φού - (η ισότητ ισχύει ν κι µόνο ν ή -)

14 άλγεβρ λυκείου 3 η επίλυση των εξισώσεων ου βθµού µετά πό πλοιφή προνοµστών κι πρενθέσεων κάθε εξίσωση ου βθµού µπορεί ν έρθει ν 0 β - δηλ. έχει µονδική λύση στη µορφή: +β0, οπότε: κι β 0 είνι δύντη δηλ. δεν έχει κµί λύση ν 0 κι β0 ισχύει R δηλ. έχει άπειρες λύσεις είνι όπως λέµε όριστη ή λλιώς τυτότητ (φού επληθεύετι πό όλους τους πργµτικούς) γι πράδειγµ: ( - ) 0( + ) ( - 4) - 5( +) γι ν πλείψουµε τους προνοµστές πολλπλσιάζουµε µε το 4 ΕΚΠ(4,5,0) δηλ. µε το πλοιφή πρενθέσεων χωρισµός γνωστών-γνώστων (+ -) - νγωγή οµοίων όρων - - ( :) - (3- ) 3-6 6[-(3-)](3-) πλοιφή προνοµστών ( χιστί ) ( :) πλοιφή πρενθέσεων χωρισµός γνωστών-γνώστων (+ -) 08 νγωγή οµοίων όρων άρ η εξίσωση είνι δύντη

15 4 δηµήτρη ποιµενίδη εκτός πό τον άγνωστο µις εξίσωσης, που στ µθηµτικά συνήθως τον πριστάνουµε µε το, είνι δυντόν στην εξίσωση ν εµφνίζοντι κι άλλες µετβλητές (που τις λέµε πρµέτρους) πό τις τιµές των οποίων εξρτάτι η ύπρξη κι το πλήθος των λύσεων (ριζών) της εξίσωσης όπως θ δούµε στ πρδείγµτ: λ 3 -λ λ+λ λ 3 -λλ +λ (λ 3 -λ)λ +λ λ(λ+)(λ-)λ(λ+) () ν λ(λ+)(λ-) 0 δηλ. ν λ 0 κι λ - κι λ, η () έχει µονδική λύση () λ(λ +) λ(λ +)(λ -) λ - ν λ(λ+)(λ-) 0 δηλ. ν λ0 ή λ- ή λ, η () είνι δύντη ή όριστη () 0λ(λ+) ν λ0: () 00 που ισχύει R (όριστη) ν λ-: () 00 που ισχύει R (όριστη) ν λ: () 0 που είνι δύντη (-β)(β-) -β(β-) -(β-)β (-β+)β () ν -β+ 0 δηλ. ν β +, η () έχει µονδική λύση () β -β + ν -β+ 0 δηλ. ν β+, η () είνι δύντη ή όριστη () 0(+) ν (+) 0 δηλ. ν 0 κι - η () είνι δύντη ν (+)0 δηλ. ν 0 ή - η () ισχύει R (όριστη)

16 άλγεβρ λυκείου 5 τ διστήµτ των πργµτικών ριθµών το διάστηµ που περιέχει τους ριθµούς µε κλειστό διάστηµ (συµβ. [, β] ) πό το µέχρι το β λέµε το ευθύγρµµο τµήµ της ευθείς των πργµτικών µε άκρ τις εικόνες των ριθµών κι β, δηλ. όλους τους πργµτικούς ριθµούς µε β ενώ, νοικτό διάστηµ (συµβ. (, β)) π το µέχρι το β λέµε το [, β] χωρίς τους κι β. Κάθε ριθµός ενός διστήµτος διφορετικός πό τ άκρ του λέµε ότι νήκει στο εσωτερικό του. Με νάλογο τρόπο ορίζουµε τ υπόλοιπ πό τ διστήµτ που βλέπουµε δίπλ: β [ ] β ( ) β [ ) β ( ] [ ( + + ) ) β <<β <β < β < - ( ] - ( ) < η επίλυση των νισώσεων ου βθµού µετά πό πλοιφή προνοµστών κι πρενθέσεων κάθε νίσωση ου βθµού µπορεί ν έρθει στη µορφή +β< 0, οπότε: ν +β>0, τ συµπεράσµτά µς είνι νάλογ γι πράδειγµ: ν 0 ν > 0 β < - κι β 0 δεν ισχύει γι κµί τιµή του δηλ. είνι δύντη ισχύει R κι β<0 β > - ν < 0 5+ > 5(-) 5+ > > - 6(-) < 3(-) 6-6 < < < -3 η νίσωση ληθεύει R η νίσωση είνι δύντη ( -3) + ( -3) + - > - 0 ( - ) > 0(-) ( -3) - 5( +) > > -9-9 < πρσττικά: - /3 + (-, 3 ) δηλ. λύσεις της νίσωσης είνι οι (άπειροι) ριθµοί που είνι µικρότεροι του /3

17 6 δηµήτρη ποιµενίδη 6(+) (Σ): - < 5(+) -5 < 0+ > -/3 -/3 < -3 δηλ. (-/3, -3] - -/ < +3 < 8 < 4 (Σ): - > +0 > > οι νισώσεις δεν συνληθεύουν άρ το σύστηµ είνι δύντο < 3 - < 3 - < > - δηλ. [, + ) < < 5 < 5/3 δηλ. [, 5/3) -90 (+3)(-3)0-3 ή 3 (Σ): 3 4- < 0 4 < > ρίζ κι πρόσηµο >0-0 + του πρωτοβάθµιου πολυωνύµου +β: < β γι πράδειγµ: - 5/ + 5-: + 0 -

18 άλγεβρ λυκείου 7 πόλυτη τιµή ενός πργµτικού ριθµού (συµβ. ) λέµε την πόστση της εικόνς του πάνω στον άξον των πργµτικών πό την ρχή του άξον (δηλ. πό την εικόν του 0),, ν 0 0 συνεπώς: 0 -, ν 0 0 άµεσες συνέπειες του προηγούµενου ορισµού είνι οι κόλουθες ιδιότητες: i. 0 (η ισότητ ισχύει µόνο ότν 0) ii. κι - iii. iv. ή - ενώ µε προφνή γεωµετρική ερµηνεί κι πολύ χρήσιµες στην επίλυση εξισώσεων κι νισώσεων είνι οι ιδιότητες: ν θ είνι θετικός ριθµός v. θ -θ ή θ vi. < θ -θ < < θ -θ -θ 0 0 θ θ vii. > θ < -θ ή > θ -θ 0 θ ς ποδείξουµε την vi. ν 0: < θ 0 < θ ν < 0: < θ 0 < - < θ 0 > > -θ -θ < < 0 άρ R: < θ -θ < < θ λλιώς: < θ < θ -θ < 0 (+θ)(-θ) < 0 ( +θ > 0 κι -θ < 0) ή ( +θ < 0 κι -θ > 0) ( > -θ κι < θ ) ή ( < -θ κι > θ ) -θ < < θ (οι νισώσεις <-θ κι > θ δεν συνληθεύουν) ν ποδείξεις την ιδιότητ vii. ν λύσεις τις νισώσεις: 0 κι 0 κι τις νισώσεις: κι ν είνι ρνητικός ριθµός. γι πράδειγµ θ λύσουµε τις: ή ή -7

19 8 δηµήτρη ποιµενίδη ή < - < 4-3 < 4 ή - < 4 < 4 ή - / < < () ν 3- < 0 δηλ. ν < /3 η () είνι δύντη ν 3-0 δηλ. ν /3 η () είνι δύντη ν 3- > 0 δηλ. ν > /3 : () ή (πορρίπτετι) ή 4/5 - > 4+ () ν 4+ < 0 δηλ. ν < -/ η () ισχύει ν 4+ 0 δηλ. ν -/ η () ισχύει ν 4+ > 0 δηλ. ν > -/ : () - < -4- ή - > 4+ < -/5 ή < - (δύντο) συνεπώς λύσεις της () είνι όλοι οι πργµτικοί µε (-, -/5). πόλυτη τιµή κι πράξεις µπορείς ν πολλπλσιάσεις (διιρέσεις) πόλυτες τιµές, όχι όµως ν προσθέσεις (φιρέσεις) φού ισχύουν οι ιδιότητες: viii. β β i. β β. - β +β + β ς ποδείξουµε την viii. β β β ( β ) (β) β (β) β που ισχύει! λλιώς: ν β 0 δηλ. ν 0 ή β0 η viii. προφνώς ισχύει ν β > 0 τότε ν > 0 κι β > 0: β β β ν < 0 κι β < 0: β β(-)(-β) β ν β < 0 τότε ν > 0 κι β < 0: β -β(-β) β ν < 0 κι β > 0: β -β(-)β β άρ σε κάθε περίπτωση δηλ.,β R: β β ς ποδείξουµε το δεξιό σκέλος της. +β + β ( +β ) ( + β ) +β + β + β (+β) +β + β +β +β +β + β β β που ισχύει (η ισότητ ισχύει ν κι µόνο ν β β δηλ. ν κι µόνο ν β 0) ν ποδείξεις το ριστερό σκέλος της. πότε ισχύουν οι ισότητες κι στ δύο σκέλη της. ;

20 άλγεβρ λυκείου 9 πόστση δύο ριθµών κι β (συµβ. d(,β)) λέµε την πόστση των εικόνων τους στον πργµτικό άξον κι όπως µπορείς εύκολ ν διπιστώσεις γεωµετρικά, ν β: d(,β)β- ενώ ν >β: d(,β)-β 0 0 β β δηλ. σε κάθε περίπτωση: d(,β) β- β 0 γι πράδειγµ: d(-,-7) -7-(-) 5 χωρίς πόλυτες τιµές µπορείς ν γράψεις µί πράστση µε πόλυτες τιµές χωρίς υτές (ότν βέβι υπάρχουν λόγοι πιο σηµντικοί πό την ντιπάθειά σου γι υτές) ότν θέλεις ν την πλοποιήσεις ή ν λύσεις µί εξίσωση ή νίσωση ή κόµ ότν ς φήσουµε κλύτερ κάποι πράγµτ γι ργότερ κι ς δούµε γι πράδειγµ: την Α χωρίς πόλυτες τιµές >0 >4-0 κι επειδή πρέπει - 0 είνι - 0 δηλ. ->0 > o o συνεπώς: Α - -( - 4) ( -) - -( - 4) ( -) - -( - 4) ( - 4) , (-,0), [0,), (,4), [4,+ ) λλιώς την νίσωση () - > 4+ (- > 4+ κι - 0) ή (-(-) > 4+ κι - < 0) ( < - κι ) ή ( < - κι < ) 5 < - 5

21 0 δηµήτρη ποιµενίδη ρίζες πργµτικών ριθµών τετργωνική ρίζ ενός µη ρνητικού ριθµού (συµβ. ) ονοµάσµε τον µη ρνητικό ριθµό που ν υψωθεί στο τετράγωνο µς δίνει τον δηλ. την µη ρνητική λύση της εξίσωσης, συνεπώς: ή - γι πράδειγµ: 4 4 ή σύµφων µε τον προηγούµενο ορισµό: i. ( ) ii. (!) επίσης: iii. β β iv. β β φού: ( β ) ( ) ( β ) β. γενικεύοντς τώρ, ν ν Ν, ορίζουµε ως ν-οστή ρίζ του ή λλιώς ν-οστής τάξης ρίζ του (συµβ. ν ) τον µη ρνητικό ριθµό που ν υψωθεί στην ν µς δίνει τον δηλδή την µη ρνητική λύση της εξίσωσης ν, έτσι ενώ, 6 γι πράδειγµ: 6 64 φού σύµφων µε τον προηγούµενο ορισµό: 6 64 v. ( ν ) ν vi. ν 0: ν ν vii. ν < 0 κι ν άρτιος: ν ν - κι viii. ν ν β ν β i. β ν ν κ ν ν. ( ) κ ν β φού: ( ν ν β ) ν ( ν ) ν ( ν β ) ν β, i. µ ν µν ii. νκ µκ ν µ φού: ( ) µν µ ν [( µ ν ) µ ] ν ( ν ) ν νκ µκ ν κ µ ν µ κι ( ) κ γι πράδειγµ: η µεττροπή των κλσµάτων µε άρρητους προνοµστές σε ισοδύνµ ( 3 +) ( 3 +) ( 3 -)( 3 +) ( 3) ( 3 -) ή λλιώς: µε ρητούς προνοµστές διευκολύνει την κτνόησή τους κι τον λογισµό µε υτά! + - ( )( + + ) ( + + +) - ( ) + + ν ν β ν ν ν ) ν ) ( β ( β ν < ν β ( ν ) ν < ( ν β ) ν < β ν ποδείξεις τις ιδιότητες ii, iv, vii, i κι

22 άλγεβρ λυκείου η εξίσωση ν (ν Ν) ν > 0 κι ο ν είνι περιττός σύµφων µε τον ορισµό της ν, έχει µονδική θετική ρίζ την ν µη θετική ρίζ ρ δεν έχει γιτί ν ρ 0 είνι ρ ν 0, δηλ. ρ ν, συνεπώς: ν ν ν > 0 κι ο ν είνι άρτιος ν ρ είνι ρίζ της, δηλ. ρ ν τότε φού (-ρ) ν κι ο ρ είνι ρίζ της κι επειδή σύµφων µε τον ορισµό της ν έχει µονδική θετική ρίζ την ν, συµπερίνουµε ότι: ν ν ή - ν ν < 0 κι ο ν είνι άρτιος φού R: ν 0, δηλ. ν, η ν είνι δύντη ν < 0 κι ο ν είνι περιττός ν - ν - (-) ν - - ν -, δηλδή: ν - ν - ς λύσουµε γι πράδειγµ µερικές εξισώσεις 4-40 ( 3 -)0 0 ή 3 0 ή ή δύντη ( λλιώς: η 6 +0 είνι προφνώς δύντη φού έχει ο µέλος πάντ θετικό) ν ο ν είνι άρτιος, χρησιµοποίησε την τυτότητ: ν -(-)( ν- + ν- + ++) γι ν λύσεις την εξίσωση: ν- + ν

23 δηµήτρη ποιµενίδη η εξίσωση ου βθµού: +β+γ0 ( 0) + β + γ 0 β γ + - β β + +( ) β γ - 4 β (+ ) β - 4γ 4 () ν β -4γ < 0 η () είνι δύντη φού: ( ο µέλος) 0 ενώ ( ο µέλος)< 0 ν β β -4γ 0 η () γράφετι ισοδύνµ: (+ ) ( β (+ ) - ( β - 4γ ) 0 β β - 4γ β β - 4γ (+ + )( + - ) 0 β β - 4γ β β - 4γ ή β - β - 4γ ή -β + β - 4γ β - 4γ ) ν β β -4γ0 οι λύσεις είνι ίσες, γι υτό τότε λέµε ότι η () έχει µί διπλή λύση, την - (η πράστση β -4γ λέγετι δικρίνουσ της εξίσωσης κι συµβολίζετι µε το γράµµ ) γι πράδειγµ: (3+5)0 0 ή -5/3-30 3/ - 3 / ή 3 / η 5 +0 είνι δύντη στο R, φού R: ( ο µέλος) > 0 (όπως φάνηκε στ τρί πρώτ πρδείγµτ ότν β0 ή γ0 δε χρειάζετι ν δουλέψουµε µε τους τύπους!) η έχει -4.. (-)5 - ± 5 συνεπώς:. ή η έχει (-) < 0 συνεπώς είνι δύντη η έχει συνεπώς έχει µί(διπλή)ρίζ: στην περίπτωση που είνι 0 (όπως εδώ) µπορούµε ν δουλέψουµε κι λλιώς: (5+) 0 (5+)(5+)0 -/5 ή -/5 5

24 άλγεβρ λυκείου 3 κι η χρυσή τοµή δηλ. η διίρεση ευθυγράµµου τµήµτος σε µέσο κι άκρο λόγο η χρυσή τοµή του επιτυγχάνετι ότν: - δηλδή ότν: ( 5 -) δηλδή ότν: (φού:, > 0) + 5 οπότε: φ κι: φ φ οι τύποι του vieta ν, είνι οι ρίζες της εξίσωσης +β+γ0 ( 0) (), τότε: + -β - -β + + -β β - -β - -β + (-β) - ( β 4-4γ ) 4γ 4 γ οπότε ν θέσουµε + S κι P έχουµε: S β γ - κι P κι φού: () + β + γ 0 S+P0 () (δηλ. οι ρίζες της () είνι οι ρίζες της ()) µπορούµε: γνωρίζοντς το άθροισµ S κι το γινόµενο P δύο ριθµών ν σχηµτίσουµε την εξίσωση () της οποίς υτοί είνι ρίζες γνωρίζοντς το άθροισµ S κι το γινόµενο P δύο ριθµών ν τους βρούµε είτε λύνοντς την () είτε µε δοκιµές (φού η () δεν µπορεί ν έχει άλλες ρίζες) βλέποντς την () ν δούµε το άθροισµ S κι το γινόµενο P των ριζών της γι πράδειγµ: ν +y-β κι y-β οι,y είνι οι ρίζες της w (-β)w-β0 ( * ) (ν υτή έχει ρίζες!) ν +y-β κι y-β βρίσκουµε, «µε το µάτι» ή λύνοντς την ( * ), ότι:, y-β (ή y, -β) η εξίσωση , έχει S κι P συνεπώς έχει ρίζες:, 3 3 η εξίσωση , έχει προφνή ρίζ το κι P960 συνεπώς έχει ρίζες:,960 η εξίσωση 3+30, έχει S3 κι P3 λλά δεν έχει ρίζες! (φού έχει 9-< 0)

25 4 δηµήτρη ποιµενίδη το πολυώνυµο (τριώνυµο) f() +β+γ ( 0) β γ β β β γ γράφετι: ( + + ) [ + + ( ) - ( ) + ] β [( + ) - ], οπότε 4 ν >0: β +β+γ [( + ) - ( ) ] (µέθοδος συµπλήρωσης τετργώνου) (- )(- ), όπου, είνι οι ρίζες της εξίσωσης f()0, έστω µε < λλά: (- )(- )>0 (- >0 κι - >0) ή (- <0 κι - <0) (> κι > ) ή (< κι < ) > ή < συνεπώς: ν (, ) το f() είνι οµόσηµο του, κι επειδή f( )0 κι f( )0, ισχύει: ν (, ) το f() είνι ετερόσηµο του ν 0: β +β+γ ( + ) (-ρ), όπου ρ είνι η (διπλή) ρίζ της εξίσωσης f()0 συνεπώς: ν ρ το f() είνι οµόσηµο του ενώ ν ρ είνι f(ρ)0 ν <0: β β +β+γ [( + ) + ] κι προφνώς R: ( + ) + > συνεπώς: το f() είνι οµόσηµο του R το τριώνυµο χρειάζετι οργάνωση β -4γ ρίζες µορφή πρόσηµο > 0, 0 -β ± -β ρ (- )(- ) (-ρ) οµόσηµο ετερόσηµο οµόσηµο του του του - ρ + 0 οµόσηµο οµόσηµο του του - + < 0 οµόσηµο του β S + - γ P ν +ys κι yp τότε οι,y (ν υπάρχουν) είνι οι ρίζες της: ω -Sω+P0 κι ντιστρόφως

26 άλγεβρ λυκείου 5 στην πράξη τώρ µε πρδείγµτ: > 0 < ή > 5 7 ± (φού ή 5 ) (3-5) (+ ) > 0 (-) > 0 R /{ } > 0 ισχύει R φού: -8 < 0 κι > δύντη γιτί R: -7+5 > 0 φού: < (+3)(-) < 0 < -3 ή > 9. ( ) ( )(- -5+3) ( ) (- -5+3) γινόµενο σύµφων µε τον πίνκ προσήµων: [ 3, ] {} [,+ ) < 0 ( ) - - < 0 - < < < (φού R + : - < ) < 4 κι 0 0 < 4

27 6 δηµήτρη ποιµενίδη ή - -5/3 -/ / 5/ ή 3 5 δηλ. [- 3 5, - ] [, 3 5 ] > 0 ( ) -3-4 > 0 > 4 ή < - (δύντη) -4 > 0 < - ή > δηλδή: (-, ) (, + ) εξισώσεις κι νισώσεις στις οποίες ο άγνωστος εµφνίζετι στους προνοµστές κλσµάτων τις λέµε ρητές. Γι ν τις λύσουµε πρέπει πρώτ ν βρούµε γι ποιες τιµές του γνώστου έχει νόηµ η νζήτηση λύσεών τους, δηλδή γι ποιες τιµές του γνώστου ορίζοντι τ κλάσµτ. A() ειδικά η > 0 ισοδύνµ γράφετι Α()B() > 0 (οπότε ) B() 3. η + 3 (*) ορίζετι γι, τότε (*) η - (*) ορίζετι γι 0 κι, τότε (*) (-)- (-)( -)0 - - (φού είνι ) 5. η τότε η (*) (+)(-)[ (*)ορίζετι γι - κι 0 κι, + - ( +)( -3 + ) ( +)( -) 6 ( +)( -) 6( -) ( +)( -)( -) 6 ] (+)(-) ( +)( -) (-)( -3)+66 (-)( -3)+6(-)0 (-)( -3+6) (φού ) που είνι δύντη γιτί έχει -5< 0, άρ η (*) είνι δύντη.

28 άλγεβρ λυκείου >, φού πρέπει < ( + 3)( -) < 0 < κι < 0 (3-)(+) < 0 < - ή > (7-8)(-5) 0 κι 5 7 < ( -) ( + 3)( 0. ( - 5) - 9) 0 ( ) 3 ( + 3)( 9)( 5) 0 κι ( ) ( 5) γινόµενο σύµφων µε τον πίνκ προσήµων: (, 3] [ 3,] [3,5) (5,+ ) ( -) κι 0 ή - Σωστό ή Λάθος; + > > ++ - > < - + Σωστό ή Λάθος;

29 8 δηµήτρη ποιµενίδη Γι ποιες τιµές του : i. ορίζετι ο ριθµός ρ + ii. ο ρ ισούτι µε τον ντίστροφό του;. Αν -β -3, ν υπολογίσεις την τιµή της πράστσης: Α 4(+β)-6β+(5-). 3. Ν ποδείξεις ότι ν το τετράγωνο ενός κερίου είνι άρτιος τότε κι ο είνι άρτιος. 4. Ν ποδείξεις ότι: i. το γινόµενο δύο διδοχικών κερίων είνι άρτιος ριθµός ii. το γινόµενο τεσσάρων διδοχικών κερίων διιρείτι µε το 4 κι µε το Αν γ β δ (γ 0), ν ποδείξεις ότι: + γ β + γδ β. 6. Ένς πτέρς άφησε κληρονοµιά στ τρί του πιδιά ηλικίς 8, κι 0 ετών υπό τον όρο ν τ µοιρσθούν νάλογ µε την ηλικί τους. Πόσ ευρώ θ πάρει το κάθε πιδί; 7. Ν βρεις την τιµή της πράστσης: Α 3 6 ( - )( - ) ( - )...( - ). 3 3 (β γ) (γ) 8. Ν βρεις την τιµή της πράστσης: Α - 5 ( β) -7, ν, β0 - κι γ Αν κι y , ν γράψεις στην τυποποιηµένη τους µορφή τους ριθµούς y - κι β(y - ) Ν ποδείξεις ότι ο ριθµός διιρείτι µε τον 9.. Ν λύσεις τις κόλουθες εξισώσεις: 6 i. ( ) ii iii ( ) ( ). 3 4

30 άλγεβρ λυκείου 9. Ν ποδείξεις ότι: (+y) 3 (-y)-( 4 -y 4 ) y( -y ). 3. Ν ποδείξεις την τυτότητ: 4 +β 4 +γ 4 - β - β γ - γ (+β+γ)(-β+γ)(+β-γ)(-β-γ) (De Moivre) 4. Αν γι τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ ισχύει η σχέση: (+β) +(β+γ) +(γ+) 4(β+βγ+γ) ν ποδείξεις ότι υτό είνι ισόπλευρο. y z 5. Ν ποδείξεις ότι ν yz τότε: + +. y + + yz + y + z + z + 6. Ν ποδείξεις ότι ν +y+z0 τότε: +y +z (y -z). - y -yz y -z -z z - -y 7. Ν ποδείξεις ότι ν +y+z0 τότε: y y + z z + 8. Αν y z ν δείξεις ότι η πράστση: έχει τιµή νεξάρτητη των, y, z. y z + - ( - y)( -z) (y - )(y -z) (z - )(z - y) 9. Ν γράψεις τις κόλουθες πρστάσεις στην πλούστερη δυντή µορφή: + y - y Α ( - ) : ( - )( ) 3 3 y y + y Β Γ β -β 0. Αν 0<<β, ν συγκρίνεις τους ριθµούς κι +β +β.. Αν 5< < 6 κι - y, µετξύ ποιων ριθµών βρίσκοντι οι ριθµοί +y, -y κι 4y ;. Αν,β > ν ποδείξεις ότι: +β < β. 3. i. ν ποδείξεις ότι ν > 0: +, ενώ ν < 0: + - ii. ν ποδείξεις ότι ν, β, γ > 0 κι ( +β + γ)( + + ) 9 τότε: βγ. β γ 4. είξε ότι γι τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Â 90 ο ) ισχύει: 3 > β 3 +γ 3.

31 30 δηµήτρη ποιµενίδη y 5. Αν,y > 0 ν ποδείξεις ότι: + y +. y 6. Αν +β+γ0, δείξε ότι: β+βγ+γ Αν +β, ν ποδείξεις ότι: i. β 4 ii. +β iii. 3 + β 3 4 iv. 4 +β Αν β γ β γ δ, ν ποδείξεις ότι: +δ β +γ. 9. Γι τις πλευρές, β, γ τριγώνου ΑΒΓ, ν ποδείξεις ότι: i. +β +γ < (β+βγ+γ) ii. ν (+β) +(β+γ) +(γ+) 4(β+βγ+γ) τότε το ΑΒΓ είνι ισόπλευρο. 30. Αν +β κι +y, ν ποδείξεις ότι +βy. 3. Ν λύσεις τις κόλουθες εξισώσεις: i. 3(-)-5(-)(3-4)+7 ii. 5(-) (-)(+)+4(- )0 iii iv Ν λύσεις τις κόλουθες εξισώσεις: i. λ (-)+(λ+) 0 ii. λ (-)+λµµ (+) (λ,µ R). 33. Λύσε την εξίσωση: Μπορείς ν βρεις έν διψήφιο ριθµό µε άθροισµ ψηφίων, ο οποίος ν είνι κτά 6 µεγλύτερος πό τον ριθµό που προκύπτει ν ενλλάξουµε τ ψηφί του;. 35. Πέρυσι η ηλικί της Ειρήνης ήτν τριπλάσι πό την ηλικί της µητέρς της η οποί τη γέννησε στ 4. Ποι είνι η ηλικί της Ειρήνης; 36. Πόσ κιλά κράµτος σηµιού περιεκτικότητς 95% κ.β. πρέπει ν νµείξουµε µε 5 κιλά κράµτος σηµιού περιεκτικότητς 80% κ.β. γι ν πάρουµε κράµ σηµιού µε περιεκτικότητ 90% κ.β.; 37. ύο εργάτες τελείωσν έν έργο δουλεύοντς µέρες ο πρώτος κι 5 µέρες o δεύτερος. Το µεροκάµτο του πρώτου ήτν µικρότερο πό το µεροκάµτο του δευτέρου. Αν η συνολική τους µοιβή ήτν 35, βρες το µεροκάµτο του κάθε εργάτη.

32 άλγεβρ λυκείου Το προηγούµενο έτος η µετοχή Α προυσίσε κέρδη 5% ενώ η µετοχή Β ζηµίες 5%. Εφέτος ένς επενδυτής ποκόµισε πό τις δύο υτές µετοχές ετήσιο κέρδος 000, έχοντς επενδύσει κεφάλιο Τι κεφάλιο επένδυσε σε κάθε µί; 39. Ο Χρήστος γι ν µζέψει τις ελιές του µπρµπa-αυγουστή, χρειάζετι 5 ηµέρες περισσότερες πό όσες χρειάζετι ο Αρτάν. ουλεύοντς κι οι δυο µζί µζεύουν τις ελιές σε 6 ηµέρες. Σε πόσες ηµέρες µζεύει τις ελιές ο Αρτάν κι σε πόσες ο Χρήστος; 40. Βρες το µέσο (κέντρο) του διστήµτος [, β]. 4. Ν λύσεις τις κόλουθες νισώσεις: i. (+)(-3) > 5 ii. (-3) iii. - < iv Γι τις διάφορες τιµές των πργµτικών πρµέτρων λ κι µ, ν λύσεις τις νισώσεις: i. λ[(+)-λ]- 0 κι ii. µ(-) -λ 43. Ν λύσεις τ κόλουθ συστήµτ: i. -< -3 3 ii. + -< 3 iii < + < +3 5(+) 50 3 < +4 iv. v. vi. vii. 5(-) < (+) 5 3(-) - + > 3 3(-)+ < Αν + β κι - β, ν ποδείξεις ότι β. 45. Βρες τους πργµτικούς, y γι τους οποίους ισχύει: 3-y + y Γράψε χωρίς πόλυτες τιµές τις κόλουθες πρστάσεις: i. Α ii. Β - - -β, όπου < β + - iii. Γ iv Αν,β R * κι β +β 0, ν ποδείξεις ότι: β< Λύσε τις εξισώσεις: i κι ii

33 3 δηµήτρη ποιµενίδη 49. Ν λύσεις τις κόλουθες εξισώσεις: i ii iii iv v vi Ν λύσεις τις κόλουθες νισώσεις: i. 3-( +7) > 3( -) ii. - < iii. 3(-3 )+ - 4(-3 ) iv > + v. - vi < Λύσε τις νισώσεις: i. - - κι ii Αν + y + y, ν ποδείξεις ότι: y. 53. Αν -β κι β-γ 3, ν ποδείξεις ότι: -γ Αν y, ν ποδείξεις ότι: + y + y - y. 55. i. Βρες τον ριθµό που ισπέχει πό τους κι. ii. Βρες τους ριθµούς που πέχουν πό τον λιγότερο πό όσο πέχουν πό τον. 56. Ένς συµµθητής σου λέει 48 κι ένς άλλος 4 3. Τι προτιµάς εσύ κι πότε; 57. Μπορείς ν ξνγράψεις τις κόλουθες πρστάσεις χρησιµοποιώντς µί το πολύ ρίζ; 3 i. A ii. B iii. C 4-3 iv. D 6 3 ( - 5) v. E ( + )( 3-4) vi. F vii. G viii. H 6 3 i. I Ν γράψεις τις κόλουθες πρστάσεις στην πλούστερη δυντή µορφή: i. Α ( 3 -) ii. Γ iii. Β iv

34 άλγεβρ λυκείου Ν λύσεις τις εξισώσεις: i. - 7 κι ii Πρέπει ν στρώσεις µε πλκάκι κι ν περιφράξεις µι τετργωνική πίστ η οποί σύµφων µε το µθηµτικό κ. Φευγάτο έχει πλευρά Μπορείς ν βρεις το εµβδόν κι την περίµετρό της; 6. Ν µεττρέψεις τ κόλουθ κλάσµτ σε ισοδύνµ µε ρητούς προνοµστές: vii. 3 i β + β 4 ii. 4 8 viii. iii i. iv v z z vi Ν συγκρίνεις τους ριθµούς: i κι 4 80 ii. 7-3 κι iii. + κι 3 + iv. κι Αν, β (0, + ), ν ποδείξεις ότι: β β +β +β. 64. Ν ποδείξεις ότι: - γ +βδ +β γ + δ. 65. Αν, β, γ είνι άνισοι νά δύο θετικοί πργµτικοί ριθµοί µε +β+γ, ν ποδείξεις ότι: i. - > βγ ii. ( -)( -)( -) > 8. β γ 66. Αν, β (0, + ) κι βγ, ν ποδείξεις ότι: + γ - γ - β Ν λύσεις τις κόλουθες εξισώσεις: i ii iii iv Λύσε την εξίσωση: +y +4-6y Ν λύσεις τις κόλουθες εξισώσεις: i. 3 5 ii iii iv. w 3w+50 v. 4s +4s+0 vi vii. d +d -40 viii. (+)440 i. λ+λ µ0

35 34 δηµήτρη ποιµενίδη 70. Ν βρεις το πλήθος των ριζών των κολούθων εξισώσεων: i. -λ-0 ii. -β+β 0 iii. -++ β 0 ( 0) 7. Ν βρεις τις τιµές του θετικού πργµτικού ριθµού κ γι τις οποίες έχει ρίζες η εξίσωση κ κ Ν βρεις τον πργµτικό ριθµό λ ώστε η εξίσωση (λ-) -(λ-) -0 ν έχει δύο ίσες ρίζες. 73. Γι ν στµτήσει έν υτοκίνητο που κινείτι µε στθερή τχύτητ 0 Km/h σε µι ευθεί οδό χρειάζετι 3m πό το σηµείο που ο οδηγός πάτησε το φρένο. Πόση ώρ χρειάζετι γι ν κινητοποιηθεί το υτοκίνητο; 74. i. Πίνοντς τ τσιπουράκι τους µι πρέ µθηµτικών τσουγκρίζουν νά δύο τ ποτήρι τους κι κούγοντι 0 τσουγκρίσµτ. Πόσοι ήτν οι µθηµτικοί; ii. Ο πλέον νηφάλιος π υτούς κτάφερε ν βρει πόσες πλευρές έχει το κυρτό πολύγωνο που έχει 0 διγώνιες. Μπορείς κι εσύ; 75. Μπορείς ν βρεις τον διψήφιο που έχει δεκάδες τρεις λιγότερες πό τις µονάδες του κι ισούτι µε τον διπλάσιο του γινοµένου των ψηφίων του; 76. Ένς ποδηλάτης δινύει 60km, ξεκουράζετι κι επιστρέφει µε µέση τχύτητ 5km/h µικρότερη πό τη µέση τχύτητ µετάβσης ποδηλτώντς µί ώρ πρπάνω πό όσο στη µετάβση. Μπορείς ν βρεις τον χρόνο κι την τχύτητ µετάβσης; 77. Ν λύσεις τις κόλουθες εξισώσεις: i ii iii iv v vi vii viii. - 3 i ( - ) - 7( - ) i. + 5 ii ( + ) ες τις ρίζες των κολούθων εξισώσεων: i. t 5t-360 ii. s +5s+0 iii. +(+ 3 )+ 0 iv v. w +96w+9600 vi Υπάρχουν τιµές του πργµτικού ριθµού λ γι τις οποίες η εξίσωση 3 +(λ-)+0 έχει ρίζες ντίθετες; 80. Βρες τις τιµές του πργµτικού ριθµού λ γι τις οποίες η εξίσωση +(λ-)+-λ 0 έχει ρίζες ετερόσηµες.

36 άλγεβρ λυκείου Ν βρεις (ν υπάρχουν) τις τιµές του πργµτικού ριθµού λ γι τις οποίες η εξίσωση -+λ+0 έχει: i). δύο ρίζες ετερόσηµες ii). δύο ρίζες θετικές κι άνισες iii). δύο ρίζες ρνητικές. 8. Ποις εξίσωσης ρίζες είνι οι ριθµοί: + κι - ; 83. Ν λύσεις τ κόλουθ συστήµτ: +y 3 +y +y 5 i. ii. iii. y / y y 84. ίνετι η εξίσωση -(λ-)-(λ-)0 όπου λ (, + ) i). ν ποδείξεις ότι υτή έχει άνισες ρίζες ρ, ρ ii). ν ποδείξεις ότι + -. ρ ρ 85. Ν βρεις τις εξισώσεις που έχουν ρίζες i). ντίθετες κι ii). ντίστροφες των ριζών της εξίσωσης +β+γ0 (βγ 0). 86. Ν πλοποιήσεις τις κόλουθες πρστάσεις: i. - (a +β) + aβ + (3-a) - 6a ii iii. ( + -3)( ) 87. Βρες τον ώστε το τριώνυµο (-) + ν είνι τέλειο τετράγωνο. 88. Βρες, γι τις διάφορες τιµές του το πρόσηµο των τριωνύµων: i. f() - ii. s(t)t t + iii. d() Ν λύσεις τις κόλουθες νισώσεις: i. (-)(+3) 0 ii > 0 iii. +7< 0 iv. 4 5 > 0 v vi vii. 3+5 > 0 viii Ν λύσεις τις νισώσεις: i ii iii < 0 9. Γι ποιες τιµές του µ ισχύει R: µ (µ+)+µ < 0; 9. Γι ποιες τιµές του λ έχει δύο άνισες ρίζες η εξίσωση: (λ+) +(λ-)+0;

37 36 δηµήτρη ποιµενίδη 93. Ν ποδείξεις ότι, y R: y+y Λύσε τις εξισώσεις: + i. - - ( -) iii ii iv Λύσε τις νισώσεις: i. -3 < 0 ii iii. 5 iv. 0 < < Λύσε τις νισώσεις: i > 0 ii. (+) 3 6(+) iii. 3 + < 7 iv. (+) 3 ( 5-4) 0 v. ( +-3)( 3-0) > 0 vi. ( +)( 3 ) < Λύσε τις νισώσεις: i. < + ii > iii ( -3)( ) ( iv. > 0 v )( - - -) (3 0 vi. +)( - 5-6) Λύσε τa συστήµτ: > < 0 -(+ 3 )+ 3 0 i. ii. iii iv. -< 3 3 v. > - vi. > > Ν λύσεις i. την εξίσωση 5-8 ii. την νίσωση Γι ποιες τιµές του λ ισχύει R: 0 < + λ + < ; + +

38 άλγεβρ λυκείου Ο ριθµός π είνι Αν β 0 τότε κι β Αν + τότε Συµπλήρωσε τ κενά ώστε ν ισχύουν οι ισότητες: i. ( ) ii ( )( ) iii. ( ) iv ( )( ) v ( + )( ) 5. ΕΚΠ( 4 -, 3 -, 3, +) Η εξίσωση (λ -)λ+ είνι τυτότητ ότν λ Αν -3 < < κι - < 0 τότε Συµπλήρωσε τον κόλουθο πίνκ: πόλυτη τιµή πόστση νίσωση - < d(,) < - < < 3 + < d(,3) < 5 o -δ < < o +δ ( δ > 0) 3 < < 4

39 38 δηµήτρη ποιµενίδη 0. -β ( + β )( ). Γράψε στην πλούστερη δυντή µορφή τον ριθµό: ( 3 -) (- ) β Μι εξίσωση ου βθµού µε ρίζες -8 κι - είνι η: Οι ρίζες της εξίσωσης +( -)- 0 είνι οι: κι Αν το άθροισµ των ριζών της εξίσωσης +β+γ0 είνι 0 ενώ το γινόµενό τους -3 τότε οι ρίζες είνι: κι Αν το άθροισµ των ριζών της εξίσωσης +β+γ0 είνι 5 ενώ το γινόµενό τους 0 τότε οι ρίζες είνι: κι ενώ επίσης ισχύουν: γ κι β -----

40 άλγεβρ λυκείου Αντιστοίχισε τις ισότητες στις τιµές του ν γι τις οποίες υτές ισχύουν:.. ( ) 3 -ν 3 ( ) ν 6 8 β. 3. ( 3ν- ) - ν-5 γ (3 - ) ν-3 δ. - ε. -3. Εξίσωσε τις πρστάσεις των δύο στηλών:. (-β) 8. β ( - ) β. +4β -4β β. (-β)(+β)( +β )( 4 +β 4 ) γ. -4β +4β 3. (-+β) δ. 8 -β 8 +β - β 4. (-β) 3 +3β(-β) ε. β (-β)( +β+β ) στ. 3 -β 3 ζ. 3 +β 3

41 40 δηµήτρη ποιµενίδη 3. Αντιστοίχισε τις εξισώσεις στις λύσεις τους: δύντη β. γ δ. τυτότητ ε Αν < < 5 κι - < β < 3, ν ντιστοιχίσεις τις κόλουθες πρστάσεις στ διστήµτ στ οποί υτές πίρνουν τις τιµές τους:. (-4,). -β β. (-,4). -β γ. (,5) 3. +β δ. (-8,8) 4. -3β ε. (-3,-) 5. στ. (-8,0) ζ. (0,8)

42 άλγεβρ λυκείου Αντιστοίχισε τις νισώσεις στις λύσεις τους: κι 0. β. 0 ή γ. -4 ή δ < 4 ε στ. - 4 ζ Αντιστοίχισε τις πρστάσεις στις πλοποιηµένες τους µορφές: β γ. 4. ( ) 4 δ. 5. ε.

43 4 δηµήτρη ποιµενίδη 7. Αντιστοίχισε τις πρστάσεις στις πλοποιηµένες τους µορφές: β γ δ ε στ. 4 ζ Ν ντιστοιχίσεις τ δεδοµέν στ συµπεράσµτ γι το είδος κι το πλήθος των ριζών της εξίσωσης +β+γ0:. > 0, γ > 0, - β > 0. δύο άνισες θετικές ρίζες. γ < 0, - β 0 β. δύο άνισες ρνητικές ρίζες 3. 0, - β > 0 γ. δύο ντίθετες ρίζες 4. > 0, γ 0, - β < 0 δ. µι ρίζ το 0 κι µι ρνητική 5. < 0 ε. µι διπλή θετική πίζ 6. > 0, γ > 0, - β < 0 στ. δεν υπάρχουν πργµτικές ρίζες

44 άλγεβρ λυκείου Αντιστοίχισε τ τριώνυµ στις πργοντοποιηµένες τους µορφές:. (3-)(+). -3+ β. (-)(-3). --3 γ. (- )(+) 3. -(-)- δ. (+)(-3) ε. (-)(-) στ. (3+)(-) ζ. (-)(+) 0. Αντιστοίχισε τις νισώσεις στις λύσεις τους:. (,3) < 0 β. (-,) γ. (,) < 0 δ. (-,) 4. (-) (-- ) > 0 ε. η νίσωση είνι δύντη > 0 στ. (,3) ζ. R

45 44 δηµήτρη ποιµενίδη. Αν 0 < < β, ν διτάξεις πό το µικρότερο προς το µεγλύτερο τους ριθµούς:, β κι β.. Αν 0< <, ν διτάξεις πό το µικρότερο προς το µεγλύτερο τους ριθµούς: +,, 0, -, κι. 3. Αν 0< <, ν διτάξεις πό το µικρότερο προς το µεγλύτερο τους ριθµούς:, 3,, 0, 3 - κι. 4. Ν διτάξεις πό το µικρότερο προς το µεγλύτερο τους ριθµούς:, 3 3, 3 + κι Αν ρ,ρ είνι οι ρίζες του τριωνύµου +β+γ κι ισχύουν: > 0, ρ < ρ, +β+γ > 0 κι -β+γ < 0, ν διτάξεις πό το µικρότερο προς το µεγλύτερο τους ριθµούς: ρ, ρ, - κι.

46 άλγεβρ λυκείου Ο ριθµός 5 είνι άρρητος. Αν γβγ τότε σίγουρ β 3. Ισχύει: β 0 0 ή β 0 4. Ισχύει: β 0 0 κι β 0 5. Ισχύει: +γβ+δ β κι γδ 6. Οι ντίστροφοι ριθµοί είνι ετερόσηµοι 7. Ισχύει: (-β) -(β-) 8. Αν +β 0 τότε ο +β ο 9. Ισχύει: ν β ν β (ν Ν) 0. Αν ν β ν κι ο ν είνι περιττός τότε β. Ισχύει: Ισχύει: [( ) 3 ] Ισχύει: (-3) Ισχύει: Ισχύει: (-) ν (-) ν ν 6. Ισχύει: (-β) +(β-γ) 0 βγ0 7. Ισχύει: (+β)(β-) -β 8. Ισχύει: (--β) (+β) 9. Ισχύει: Ισχύει: > β > β. Ισχύει: > β γ > βγ. Ισχύει: > β < (,β 0) β 3. Αν > β κι γ > δ τότε -γ > β-δ

47 46 δηµήτρη ποιµενίδη 4. Αν < 0 τότε - < Αν > 0 κι β < 0 τότε -β > 0 6. Αν β0 η εξίσωση +β0 είνι τυτότητ 7. Η εξίσωση λ0 (λ R) είνι δύντη 8. Υπάρχει τιµή του λ γι την οποί η εξίσωση (λ 5 +3)-7+ έχει τρεις κριβώς λύσεις 9. Αν η εξίσωση (λ -)λ- είνι όριστη τότε η εξίσωση (λ-)λ είνι δύντη 30. Αν η εξίσωση +β0 έχει δύο λύσεις τότε είνι τυτότητ 3. Η εξίσωση - + έχει µονδική λύση την 0 3. Αν ο είνι µη ρνητικός πργµτικός τότε (0,+ ) 33. Ισχύει: Η νίσωση 0+ < 0 είνι δύντη Μι λύση της νίσωσης < - είνι ο ριθµός Αν - - τότε είνι < Ισχύει: -β β- 38. R: Η εξίσωση -3-0 έχει δύο λύσεις 40. Η νίσωση - 0 ληθεύει R 4. - [-,3] 4. Ισχύει: 43. Ισχύει: ( ) 44. Γι κάθε ή ισχύει: ( -)( -) Αν,β > 0 τότε ισχύει: > β > β 46. Ισχύει: 47. Ισχύει: 48. Ισχύει: 6 3 ν ν Αν η εξίσωση +β+γ0 ( 0) έχει ρίζες ντίθετες τότε είνι β0

48 άλγεβρ λυκείου Αν γι την εξίσωση +β+γ0 ( 0) ισχύει γ < 0 τότε υτή έχει δύο άνισες πργµτικές ρίζες 5. Υπάρχουν πργµτικοί,β µε +β κι β 53. Γι ν έχει η εξίσωση +(λ-)+50 ρίζες ντίθετες πρέπει ν είνι λ 54. Αν S είνι το άθροισµ, P το γινόµενο των ριζών της εξίσωσης +β+γ0 κι είνι S > 0 ενώ P < 0 τότε οι ρίζες είνι θετικές 55. Αν η εξίσωση 4 +β +γ0 ( 0) έχει β -4γ > 0, β > 0 κι γ > 0 τότε υτή δεν έχει ρίζες στο R 56. Αν ρ R κι f(ρ) < 0 όπου f() +β+γ τότε το τριώνυµο f() έχει δύο άνισες πργµτικές ρίζες 57. Αν f() -4+3 τότε f(π) < Η γρφική πράστση της συνάρτησης f() +5-6 βρίσκετι κάτω πό τον άξον ότν (,3) 59. ( - + 4)( + )

49 48 δηµήτρη ποιµενίδη. Αν -yy- τότε:. y β. +y γ. -y δ. -y0. Αν 3λ κι λβ τότε ο λόγος β. 6 β. 6 είνι ίσος µε: γ. 3 δ Αν y τότε ο -3 είνι ο:. y 3 β. y-3 γ. 8 y δ. 3-y 4. Ο ριθµός ( ) 3 είνι ο:. β. 64 γ. 6 δ Αν ο κ είνι άρτιος τότε ο ριθµός (-) κ + κ είνι ίσος µε:. β. (-) κ+ γ. 0 δ. κ+ 6. Αν +3 τότε ο 3 είνι ίσος µε:. +7 β. +6 γ δ Αν + τότε ο ισούτι µε:. 3 β. 8 γ. δ Αν -y τότε ο -y ισούτι µε:. β. +y γ. 0 δ. y 9. Αν +y3 κι y τότε ο +y ισούτι µε:. β. 5 γ. 9 δ. 7

50 άλγεβρ λυκείου Ποιος πό τους κόλουθους ριθµούς είνι πολλπλάσιο του 6;. 6 ν+ - β. 7 ν+ - γ. 4 ν - δ. 8 ν- +. Αν ισχύει -β > +β τότε:. > 0 β. β > 0 γ. > β δ. β < 0. Αν < β < 0 τότε:. β < β < β. β > β > γ. β < < β δ. β < < β 3. Ισχύει: > β < β. ότν οι,β είνι ετερόσηµοι β. µόνο ότν οι,β είνι ρνητικοί γ. µόνο ότν οι,β είνι θετικοί δ. ότν οι,β είνι οµόσηµοι 4. Η εξίσωση (λ -)λ- είνι δύντη ότν:. λ β. λ0 γ. λ- ή λ δ. λ- 5. Αν λ/ η εξίσωση (λ-)λ 5 + έχει:. µόνη λύση την β. κµί λύση γ. δύο κριβώς λύσεις δ. άπειρες λύσεις 6. Σε µί προπόνηση δρόµου µεγάλων ποστάσεων ένς θλητής ξεκινά µε 9km/h, ενώ ένς δεύτερος ξεκινά µετά µί ώρ µε τχύτητ km/h κι φθάνει τον πρώτο µετά ώρες. Ποι πό τις κόλουθες εξισώσεις µθηµτικοποιεί το πρόβληµ;. (+)9 β. +0 γ. 9(+) δ Οι νισώσεις - < < 9 κι 5 < < 0 συνληθεύουν ότν:. (-,0) β. (5,9) γ. (-,5) δ. (9,0) 8. Η νίσωση (-) > 0 ληθεύει:. (,+ ) β. (0,) γ. R δ. R- {} 9. Η σχέση - ισχύει:. R β. γι < 0 γ. γι 0 δ. γι κµί τιµή του 0. Η εξίσωση :. έχει κριβώς µι λύση β. έχει κριβώς δύο λύσεις γ. έχει άπειρες λύσεις δ. δεν έχει λύση

51 50 δηµήτρη ποιµενίδη. Αν y y 0 τότε:. οι,y είνι θετικοί β. οι,y είνι οµόσηµοι γ. οι,y είνι ρνητικοί δ. οι,y είνι ντίθετοι. Αν +y 0 τότε:. y0 β. 0 ή y0 γ. 0 κι y 0 δ. οι,y είνι ντίθετοι 3. Αν +y -y τότε:. y β. +y0 γ. 0 ή y0 δ. (+y)(-y) > 0 4. Ισχύει - β +β + β ότν:. β > 0 β. β < 0 γ. β0 δ. ποτέ 5. Η τιµή της πράστσης Α γι - είνι:. β. γ. - δ Το κλάσµ ισούτι µε: β. 3-5 γ δ Αν 3 τότε η πράστση Α ( -) + ( -3) είνι ίση µε:. 0 β. γ. -5 δ Το κλάσµ ορίζετι ότν: β. - < < γ. δ Η εξίσωση έχει λύσεις:. -3 β κι 3 3 γ δ Η εξίσωση (λ+) -λ-0 έχει µι διπλή ρίζ ότν:. λ β. λ- γ. λ δ. λ- 3. Αν γ < 0 η εξίσωση +β +γ0 έχει:. κριβώς µι λύση β. κριβώς δύο λύσεις γ. κριβώς τέσσερις λύσεις δ. κµί λύση

52 άλγεβρ λυκείου Οι ρίζες της εξίσωσης είνι:. 45 κι β. 453 κι γ. - κι -453 δ. 453 κι Αν η µι ρίζ της εξίσωσης +β-50 είνι ίση µε το τετράγωνο της άλλης τότε η µικρότερη ρίζ της εξίσωσης είνι η:. -5 β. -5 γ. 5 δ Αν ρ,ρ είνι οι ρίζες της εξίσωσης +β+γ0 τότε η γ +β+0 έχει ρίζες:. ρ κι ρ β. ρ κι ρ γ. ρ κι ρ δ. ρ κι ρ 35. Αν +y-7 κι -y-8 τότε οι,y είνι οι ρίζες της εξίσωσης:. ω -7ω-80 β. ω +7ω+80 γ. ω +7ω-80 δ. ω -8ω Αν ρ,ρ είνι οι ρίζες της εξίσωσης --0, µι εξίσωση µε ρίζες τις -ρ, -ρ είνι η:. ++0 β. +-0 γ δ Το τριώνυµο λ -(λ+)+ είνι τετράγωνο διωνύµου ότν:. λ β. λ0 γ. λ- δ. λ- ή λ 38. Αν το τριώνυµο f() +β+γ έχει ρίζες - κι 3 τότε:. f(-3) < 0 β. f(-3) > 0 γ. f() > 0 δ. f() > Αν ρ,ρ (ρ < ρ ) είνι οι ρίζες του τριωνύµου f() +β+γ0 κι ισχύει f(κ) < 0 τότε ο ριθµός κ νήκει στο διάστηµ:. (-,ρ ) β. (ρ,ρ ) γ. [ρ,+ ) δ. (ρ,+ ) 40. Η πράστση Α - + ορίζετι στο:. (-,] β. (-,] γ. (-,-) δ. (-,+ )

53 5 δηµήτρη ποιµενίδη σύνολο λέµε «µί συλλογή ντικειµένων ή επινοηµάτων της νόησής µς, σφώς ορισµένων κι µετξύ τους δικεκριµένων». Τ σύνολ συµβολίζοντι µε κεφλί γράµµτ. Γι πράδειγµ, ν Ε: είνι η συλλογή όλων των ψηλών νθρώπων Η: είνι η συλλογή όλων των κερίων ριθµών νάµεσ στον - κι τον L: είνι η συλλογή όλων των κινητών τηλεφώνων των µθητών του λυκείου µς D: είνι η συλλογή όλων των λύσεων της εξίσωσης 3-0 τότε: η Ε δεν είνι σύνολο στ Μθηµτικά φού δεν είνι κλά ορισµένη (πόσο ψηλοί;) η L δεν είνι σύνολο στ Μθηµτικά φού τ κινητά δεν είνι όλ διφορετικά µετξύ τους, ενώ: οι Η κι D, σύµφων µε τον ορισµό που δώσµε, είνι σύνολ στ Μθηµτικά. γι ν δηλώσουµε ότι έν ντικείµενο ή λλιώς στοιχείο νήκει (ντ. δεν νήκει) στο σύνολο Α γράφουµε A (ντ. Α) έτσι γι πράδειγµ 0 Η ενώ 3 D. Στο Λύκειο θ σχοληθούµε µε σύνολ ριθµών, ξεκινώντς πό τ ήδη γνωστά µς σύνολ: N (των φυσικών ριθµών), Z (των κερίων ριθµών), Q (των ρητών ριθµών) κι R (των πργµτικών ριθµών) Έν σύνολο πριστάνετι µε περιγρφή ή µε νγρφή των στοιχείων του, γι πράδειγµ D{ R/ 3-0}(διβάζουµε: το σύνολο των πργµτικών όπου (µε την ιδιότητ) 3-0)ή λλιώς:d{0,-,} Λέµε ότι τ σύνολ Α,Β είνι ίσ (συµβ. ΑΒ) ότν έχουν τ ίδι στοιχεί, γι πράδειγµ ΗD, ενώ λέµε ότι το σύνολο Α είνι υποσύνολο του Β (συµβ. Α Β) ότν κάθε στοιχείο του Α είνι κι στοιχείο του Β ή πιο πλά ότν τ στοιχεί του Α είνι µέρος των στοιχείων του Β γι πράδειγµ Ν Ζ Q R Αν Α Β κι Β Α τότε προφνώς ΑΒ, ενώ γι σύνολ Α,Β,Γ ισχύει: ν Α Β κι Β Γ τότε Α Γ Κενό (συµβ. ) ονοµάζουµε το σύνολο χωρίς στοιχεί δηλ. το { } κι δεχόµστε ότι γι κάθε σύνολο Α είνι Α, ενώ τ σύνολ στ οποί νφερόµστε τ θεωρούµε υποσύνολ ενός συνόλου που περιέχει βέβι όλ τ στοιχεί όλων των συνόλων κι το λέµε βσικό σύνολο (συµβ. Ω) ή σύνολο νφοράς (δουλεύοντς µε σύνολ ριθµών θ έχουµε συνήθως ΩR). Συµπλήρωµ ή ντίθετο του Α (συµβ. Α ή Α c ) λέµε το σύνολο Α { Ω / A }. Τ σύνολ προυσιάζοντι εποπτικά στ διγράµµτ Venn, στ οποί το Ω πριστάνετι µε το εσωτερικό ενός ορθογωνίου ενώ τ υποσύνολά του µε χωρί τ οποί βρίσκοντι µέσ στο προηγούµενο ορθογώνιο. έν διάστηµ είνι έν σύνολο πργµτικών ριθµών µε την χρκτηριστική ιδιότητ: «γι οποιουσδήποτε,, κάθε ενδιάµεσός τους ριθµός, νήκει επίσης στο» έτσι γι πράδειγµ είνι: (-,5] { R/ 5 }, [-,7) { R/ - < 7 } κ.λ.π.

54 άλγεβρ λυκείου 53 πράξεις συνόλων Ένωση δύο συνόλων Α,Β (συµβ. Α Β) ονοµάζουµε το σύνολο των στοιχείων που νήκουν σε έν τουλάχιστον π τ Α, Β Α Β { Ω / A ή B } Α Β Α A B Β Τοµή δύο συνόλων Α,Β (συµβ. Α Β) ονοµάζουµε το σύνολο των κοινών στοιχείων των Α κι Β Ω Α Β { Ω / A κι B } Αν Α Β, τότε τ Α,Β λέγοντι ξέν µετξύ τους Α Β Ω Αν ΒΑ, τότε τ Α,Β λέγοντι συµπληρωµτικά ή ντίθετ κι είνι προφνές ότι τ Α,Β είνι συµπληρωµτικά ότν ισχύουν Α Β κι Α Β Ω Α Β (Α ) Ω δύο σύνολ Α κι Β Α Β Α Β Α Β Α (Α Β ) Β (Α Β) Α Β Β Ω Ω Ω ότν Α Β ότν Α Β ότν Β Α οπότε: Α Β Β Α Β Α Α Β δες ότι πάντ ισχύουν οι σχέσεις: Α(Α Β ) (Α Β) κι Α Β (Α Β ) (Α Β) (Α Β)

55 54 δηµήτρη ποιµενίδη συνάρτηση λέγετι µί διδικσί (κνόνς, λγόριθµος) µε βάση την οποί σε κάθε στοιχείο ενός συνόλου ντιστοιχίζουµε έν κριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου. πεδίο (σύνολο) ορισµού D f νεξάρτητη µετβλητή συνάρτηση f πεδίο (σύνολο) τιµών f(d f ) { y R/yf() µε D f } εξρτηµένη µετβλητή εικόν του µέσω της f τιµή της f στο σηµείο y λλιώς: f() διάγρµµ Venn η διδικσί υτή µπορεί ν περιγράφετι µε µί ισότητ της µορφής yf() (τύπος της f) η οποί εκφράζει τη σχέση εξάρτησης του y πό το ξεφεύγοντς γι λίγο πό τ µθηµτικά µπορούµε ν πούµε ότι συνάρτηση ειδικότερ είνι η σχέση εξάρτησης δύο µεγεθών π.χ. του διστήµτος s κι του χρόνου t στη Φυσική ή της τιµής πώλησης P κι του κόστους πργωγής K στην Οικονοµί γι την ονοµσί µίς συνάρτησης (ν της δώσουµε όνοµ!) κι τον συµβολισµό των µετβλητών της µπορούν ν χρησιµοποιηθούν οποιδήποτε γράµµτ Λτινικά ή Ελληνικά πεζά ή κεφλί έτσι π.χ.ο κνόνς (συνάρτηση): «πεντπλσίσε ένν ριθµό φού τον πολλπλσιάσεις µε τον ευτό του» µπορεί ν περιγρφεί µε τις εκφράσεις: f()5 ή y5 ή h()5 ή h5t κ.. θ σχοληθούµε µε πργµτικές συνρτήσεις (δηλ. f(d f ) R) µίς πργµτικής µετβλητής (δηλ. D f R) γι ν ορισθεί µί συνάρτηση f πιτούντι: το D f η εικόν f() του κάθε του D f (ή ο τρόπος εύρεσής της) ν το D f µίς συνάρτησης f δεν δίνετι, τότε συµφωνούµε ν θεωρούµε ως D f : το ευρύτερο υποσύνολο του R γι τ στοιχεί του οποίου έχει νόηµ η έκφρση f() 3- γι πράδειγµ το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f() + είνι το D f (-,0) (0,3] (φού πρέπει: 3-0 κι 0 κι + >0) ενώ το εµβδόν (ως συνάρτηση της βάσης ) ενός ορθογωνίου µε περίµετρο 40, είνι: Εy(0-) (φού +y40, συνεπώς y0-) δηλδή: Ε()(0-) µε D(0,0) (φού είνι >0 κι y >0 δηλ. 0- >0) y

56 άλγεβρ λυκείου 55 γρφική πράστση (c f ) µίς συνάρτησης f ονοµάζουµε την πεικόνιση του συνόλου G {(, y)/ D f κι yf()} σε Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων δηλδή το σύνολο των σηµείων (, f()) δηλ. τη γρµµή (ν προκύπτει γρµµή!) µε εξίσωση (c f ): yf() γι πράδειγµ ς χράξουµε τη γρφική πράστση της συνάρτησης f(), [-3/, 3/] µε σηµεί της που θ βρούµε πό τον κόλουθο πίνκ τιµών της -3/. -. -/. 0. /.. 3/ Yf() 9/.. /. 0. /.. 9/ δεν είνι όµως κάθε γρµµή γρφική πράστση κάποις συνάρτησης όπως γι πράδειγµ η (c): +y, y y - φού +y ή (δηλ. κάθε [-, ] ντιστοιχεί σε δύο y) y - - η c βεβίως σχηµτίζετι π τις γρφικές πρστάσεις c δύο συνρτήσεων, των: y -, [-, ] κι y - -, [-, ] είνι φνερό ότι µί κτκόρυφη ευθεί τέµνει τη γρφική πράστση µίς συνάρτησης σε έν το πολύ σηµείο! κοινά σηµεί (ν υπάρχουν) της c f µε τους άξονες είνι το (0,f(0)) κι τ σηµεί ( o,0) όπου o είνι ρίζ της εξίσωσης f()0 η c f βρίσκετι «πάνω» (ντ. «κάτω») πό τον γι τις τιµές του που είνι λύσεις της νίσωσης f() >0 (ντ. f() <0) κοινά σηµεί των c f,c g δύο συνρτήσεων f κι g yf() είνι οι λύσεις του συστήµτος δηλ. τ σηµεί µε τετµηµένη ρίζ της f()g() yg() η c f βρίσκετι «πάνω» (ντ. «κάτω») πό τη c g γι τις τιµές του που είνι λύσεις της νίσωσης f() >g() (ντ. f() <g())

57 56 δηµήτρη ποιµενίδη γι πράδειγµ ς δούµε τις γρφικές πρστάσεις των f() - κι g()+, R yf() yf() yg() yg() γι 0 y- άρ η cf έχει µε τον y y κοινό σηµείο το (0, -) γι y0-0 - ή άρ η c f έχει µε τον κοινά σηµεί τ (-, 0) κι (, 0) γι 0 y άρ η cg έχει µε τον y y κοινό σηµείο το (0, ) γι y άρ η cg έχει µε τον κοινό σηµείο το (-, 0) y ή y+ y+ y0 y3 y c f c g άρ οι c f, c g έχουν κοινά σηµεί τ (-, 0) κι (, 3) f()>g() ->+ (+)(-)>0 <- ή > O άρ η c f βρίσκετι «πάνω» πό τη c g ότν (-, -) (, + ) κι βέβι «κάτω» πό τη c g ότν (-, ) ισότητ κι πράξεις δύο συνρτήσεις f,g λέγοντι ίσες (συµβ. fg) ότν D f D g D κι D: f()g() ενώ γι δύο συνρτήσεις f,g ορίζουµε ως άθροισµ των f,g τη συνάρτηση: (f+g)()f()+g() µε D f+g D f D g διφορά των f,g τη συνάρτηση: (f-g)()f()-g() µε D f-g D f D g γινόµενο των f,g τη συνάρτηση: (fg)()f()g() µε D fg D f D g f() πηλίκο των f,g τη συνάρτηση: (f/g)() µε D f/g D f D g { D g /g()0} g() η εξίσωση - - εκφράζει την ισότητ των συνρτήσεων f() - κι g()- Σωστό ή Λάθος;

58 άλγεβρ λυκείου 57 πόστση δύο σηµείων y y A(,y ) y B(,y ) A(,y ) B(,y ) y y y y B(,y ) y A(,y ) ΑΒ - ΑΒ y - y γενικά: ΑΒ ( - ) + (y - y) (σύµφων µε το Πυθγόρειο Θεώρηµ) συντετγµένες κι συµµετρί ως προς τους άξονες κι το κέντρο ως προς τη διχοτόµο του ου τετρτηµορίου Ν(-,β) y β Κ(,β) y (0,β) K(,β) - Γ(0,) Λ(β,) Μ(-,-β) -β Λ(,-β) O Α(,0) Β(β,0) (προκύπτουν πό ισότητες ορθογωνίων τριγώνων) συµµετρί της γρφικής πράστσης µίς συνάρτησης ν ισχύει D f : - D f κι f(-)f() ν ισχύει D f : - D f κι f(-) -f() τότε η f λέγετι άρτι κι η c f είνι συµµετρική τότε η f λέγετι περιττή κι η c f είνι συµµετρική ως προς τον άξον y y ως προς το σηµείο Ο(0,0) όπως γι πράδειγµ η f() που έχει D f R όπως γι πράδειγµ η f() 3 που έχει D f R κι R: - R κι f(-)f() κι R: - R κι f(-) -f()

59 58 δηµήτρη ποιµενίδη µονοτονί κι κρόττ f γνησίως ύξουσ (συµβ. ) στο διάστηµ D f f γνησίως φθίνουσ (συµβ. ) στο διάστηµ D f ορ., : < f( ) < f( ) ορ., : < f( ) > f( ) ν f ή στο τότε η f λέγετι γνησίως µονότονη στο, ενώ ν f ή στο D f τότε η f λέγετι γνησίως µονότονη στο D f ή πλά γνησίως µονότονη ν f στο τότε η f διτηρεί τη διάτξη του δηλδή κ, λ : κ > λ f(κ) > f(λ), ενώ ν f στο τότε η f λλάζει τη διάτξη του δηλδή κ, λ : κ > λ f(κ) < f(λ) ν f στο τότε «περπτώντς» προς τ δεξιά πάνω στη c f ότν η τετµηµένη «µς» νήκει στο «νεβίνουµε» ενώ ν f στο «κτεβίνουµε» ν γι κάθε ( D f ) που είνι «κοντά» στο o ( D f ) ισχύει: f() f( o ) (ντ. f() f( o )) τότε λέµε ότι η f έχει (προυσιάζει) στο o (γι o ) τοπικό µέγιστο (ντ. τοπικό ελάχιστο) το y 0 f( 0 ), ενώ ν γι κάθε D f ισχύει: f() f( o ) (ντ. f() f( o )) τότε λέµε ότι η f έχει (προυσιάζει) στο o (γι o ) ολικό µέγιστο (ντ. ολικό ελάχιστο) το y 0 f( 0 ) τ τοπικά ή ολικά µέγιστ κι ελάχιστ της f λέγοντι κρόττ της f (κρόττες τιµές της f) γι πράδειγµ ς δούµε τη συνάρτηση f () -, που έχει D f [, + ), [, + ) ισχύουν: < -< - -< - f( ) < f( ) άρ η f είνι γνησίως ύξουσ c f [, + ) ισχύουν: f() f() (φού f ) άρ η f έχει στο ολικό ελάχιστο το 0 (f()) ν µί συνάρτηση f είνι γν. µονότονη στο διάστηµ, ν ποδείξεις ότι η εξίσωση f()0 έχει στο (δηλ. γι ) το πολύ µί ρίζ

60 άλγεβρ λυκείου 59 ορική συµπεριφορά κι συνέχει λέµε ότι το όριο (limit) της f στο o είνι l (ντ. ± ) κι γράφουµε lim f() l o ν οι τιµές της f είνι κοντά στον ριθµό l (ντ. είνι πολύ µεγάλες ή πολύ µικρές) (ντ. lim f() ± o ) ότν οι τιµές του είνι κοντά στον ριθµό o λέµε ότι το όριο της f στο + είνι l (ντ. ± ) κι γράφουµε lim f() l lim f() + + ν οι τιµές της f είνι κοντά στον ριθµό l (ντ. είνι πολύ µεγάλες ή πολύ µικρές) ότν οι τιµές του είνι πολύ µεγάλες λέµε ότι το όριο της f στο - είνι l (ντ. ± ) κι γράφουµε lim f() l lim f() - - ν οι τιµές της f είνι κοντά στον ριθµό l (ντ. είνι πολύ µεγάλες ή πολύ µικρές) ότν οι τιµές του είνι πολύ µικρές (ντ. ± (ντ. ± ) ) ν lim f() f( ) τότε η f λέγετι συνεχής στο o κι o o η συνέχει της c f δεν δικόπτετι στο σηµείο ( o,f( o )) ν η f είνι συνεχής σε όλ τ σηµεί ενός διστήµτος τότε λέγετι συνεχής στο κι η c f είνι συνεχόµενη γρµµή ότν µί ευθεί λέγετι σύµπτωτη της c f ν η c f την πλησιάζει κοντεύοντς ν τυτισθεί µζί της χωρίς όµως ποτέ ν τυτίζετι (συµπίπτει) ς δούµε γι πράδειγµ τη c f της f() µε D f (-, 0) (0, + ) lim f() - lim f() + lim - 0 lim f() - f() + lim f() c f y+ η συνέχει της c f δεν δικόπτετι σε κνέν σηµείο του Α f δηλδή η f είνι συνεχής c f 0 η ευθεί 0 είνι κτκόρυφη σύµπτωτη κι η ευθεί y+ είνι πλάγι σύµπτωτη της c f

61 60 δηµήτρη ποιµενίδη µί εικόν, χίλιες λέξεις βλέποντς τη γρφική πράστση (c f ) κάποις συνάρτησης f δηλ. την κµπύλη µε εξίσωση: yf()... y πεδίο ορισµού της f : D f [-3/, + ) (c f ) : yf() σύνολο τιµών της f : f(d f ) [-, + ) O η c f τέµνει τον y y στο (0, ) η c f τέµνει τον στ (-, 0),(, 0)&(5, 0) δηλ. η εξίσωση f()0 έχει ρίζες: -,, 5, [-3/, 0]: < f( ) < f( ) δηλ. f (γνησίως ύξουσ) στο [-3/, 0], [0, 3]: < f( ) > f( ) δηλ. f (γνησίως φθίνουσ) στο [0, 3], [3, + ): < f( ) < f( ) δηλ. f (γνησίως ύξουσ) στο [3, + ) η τιµή f(-3/) ( -) είνι η µικρότερη π τις τιµές της f ότν το είνι κοντά στο -3/ δηλ. η f έχει στο -3/ τοπικό ελάχιστο το - η τιµή f(0) ( ) είνι η µεγλύτερη π τις τιµές της f ότν το είνι κοντά στο 0 δηλ. η f έχει στο 0 τοπικό µέγιστο το η τιµή f(3) ( -) είνι η µικρότερη π τις τιµές της f ότν το είνι κοντά στο 3 δηλ. η f έχει στο 3 τοπικό ελάχιστο το - η c f έχει πιο χµηλό σηµείο το (3,-) ενώ δεν έχει πιο ψηλό σηµείο δηλ. η f έχει στο 3 ολικό ελάχιστο το - ενώ δεν έχει ολικό µέγιστο ότν το πίρνει τιµές κοντά στο 6, το y πίρνει τιµές κοντά στο 3 ότν το πίρνει πολύ µεγάλες τιµές κι το y πίρνει πολύ µεγάλες τιµές η συνέχει της κµπύλης δεν δικόπτετι γι κµιά τιµή του δηλ. δηλ. lim f() 3 lim + 6 f() + δηλ. η f είνι συνεχής σε όλο το D f

62 άλγεβρ λυκείου 6 η συνάρτηση f()+β προφνώς D f R κι f(d f )R (συνεπώς η f δεν έχει κρόττ) ν < 0 +β> +β f( )>f( ) άρ f, R: < ν 0 0 +β0 +β f( )f( ) άρ η f είνι στθερή (f()β) ν > 0 +β< +β f( )<f( ) άρ f β η c f είνι η ευθεί (ε): y+β που τέµνει τους άξονες στ σηµεί Α( -, 0) (ν 0) κι Β(0, β) τη γωνί ω που γράφει η ηµιευθεί Α περιστρεφόµενη κτά τη θετική φορά γύρω πό το Α µέχρι ν τυτισθεί µε την ε τη λέµε γωνί της ε µε τον (προφνώς: 0 ω<80 ο ) ν 0 οπότε ε// ορίζουµε ω0 εύκολ ποδεικνύετι (do it!) ότι εφω ο λοιπόν κθορίζει τη διεύθυνση της ε κι γι υτό λέγετι συντελεστής διεύθυνσης της ε (συµβ. λ ε ) ε y O B A yβ ω γι ευθείες ε,ε µε συντ. διεύθυνσης λ,λ ντιστοίχως προφνώς ισχύει: ε //ε λ λ y ενώ ν ε ε τότε: λ εφω λ εφ(90 ο +ω ) λ εφ(80 ο -(90 ο -ω )) λ -εφ(90 ο -ω ) λ - δηλ. ισχύει: ε ε λ λ - λ ε ω ω ε ν β0 δηλ. f(), η c f είνι η ευθεί y η οποί προφνώς διέρχετι πό το Ο(0, 0) πότε δύο ποσά κι y λέγοντι νάλογ κι ποι είνι τότε η συνάρτηση η οποί εκφράζει την µετξύ τους σχέση;

63 6 δηµήτρη ποιµενίδη η ευθεί Α+By+Γ0 (µε Α 0 ή Β 0) y η ευθεί (γιτί;) γρµµή που ποτελείτι π τ σηµεί της µορφής ( o,y) έχει εξίσωση o, είνι κτκόρυφη (δηλ. ) κι δεν ορίζετι γιa υτήν συντελεστής διεύθυνσης ενώ, η ήδη γνωστή οριζόντι ευθεί yy o (γρφική πράστση στθερής συνάρτησης) έχει συντελεστή διεύθυνσης 0, φού είνι πράλληλη στον. y o O o o yy o θ ποδείξουµε ότι κάθε ευθεί έχει εξίσωση της µορφής Α+Βy+Γ0 () (µε Α 0 ή Β 0) κι ντίστροφ, κάθε εξίσωση της µορφής () είνι εξίσωση ευθείς. η εξίσωση (y+β) κάθε πλάγις (οριζόντις, ν 0) ευθείς γράφετι: -y+β0 δηλ. στη µορφή (), ενώ η εξίσωση ( ο ) κάθε κτκόρυφης ευθείς γράφετι: - ο 0 δηλ. κι πάλι στη µορφή () ν Β 0: () y - B A - Β Γ δηλ. η εξίσωση της γνωστής µς πλάγις (οριζόντις ν Α0) ευθείς, ενώ ν Β0 (οπότε Α 0): () - Α Γ δηλ. η εξίσωση της γνωστής µς κτκόρυφης ευθείς. ς δούµε τώρ όλ τ είδη των ευθειών κι τις εξισώσεις τους y o y+β y β y o yy o ω o β - O 0 y0 y

64 άλγεβρ λυκείου 63 το πρόβληµ των πεζών ύο πόλεις Α κι Β πέχουν 40Km. ύο πεζοί ξεκινούν τυτόχρον µε στθερές τχύτητες ο ος πό την Β προς την Α µε 4.5Km/h κι ο ος πό την Α προς τη Β µε 3.5Km/h. i. ν εκφράσεις τις ποστάσεις s των πεζών πό την πόλη Α ως συνάρτηση του χρόνου t κι ν κάνεις τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων υτών ii. που κι πότε θ συνντηθούν οι δύο πεζοί; κι κάποιες λύσεις του i. ο ος πεζός σε t h δινύει πόστση 4.5t Km κι η κίνησή του διρκεί 40 ~ 8. 9 h 4.5 συνεπώς πέχει πό την πόλη Α πόστση s40-4.5t Km όπου 0 t 8.9 η γρφική πράστση της συνάρτησης είνι το ευθύγρµµο τµήµ ΚΛ o ος πεζός σε t h δινύει πόστση 3.5t Km κι η κίνησή του διρκεί 40 ~. 4 h 3.5 συνεπώς πέχει πό την πόλη Α πόστση s3.5t Km όπου 0 t.4 η γρφική πράστση της συνάρτησης είνι το ευθύγρµµο τµήµ ΟΜ s (Km) Κ Μ t s40-4.5t Ν(5,7.5) t 0.4 s3.5t Ο Λ t (h) ii. γρφική λύση φού οι γρφικές πρστάσεις τέµνοντι στο Ν(5, 7.5) οι πεζοί θ συνντηθούν µετά 5h σε πόστση 7.5Km πό την πόλη Α λγεβρική λύση µε σύστηµ: s40-4.5t t3.5t 408t t5h s3.5t s3.5t s3.5t s7.5km µε πλή εξίσωση: έστω ότι θ συνντηθούν µετά t h, τότε: ο ος θ έχει δινύσει 4.5t Km, ο ος 3.5t Km κι θ είνι: 4.5t+3.5t40 8t40 t5 άρ θ συνντηθούν µετά 5h σε πόστση Km πό την πόλη Α.

65 64 δηµήτρη ποιµενίδη το γρµµικό σύστηµ εξισώσεων µε γνώστους () δηλ. το σύστηµ (Σ): +β yγ () + yγ () οι, λέγοντι συντελεστές του οι β, β λέγοντι συντελεστές του y οι γ, γ λέγοντι στθεροί όροι του (Σ) οι εξισώσεις () κι () του (Σ) είνι οι εξισώσεις δύο ευθειών ε, ε του επιπέδου, ενώ λύση του (Σ) λέµε κάθε ζεύγος πργµτικών (,y) που επληθεύει τις () κι () δηλ. κάθε κοινό σηµείο των ε, ε ν οι ε κι ε τέµνοντι στο ( o, y o ) το (Σ) έχει µονδική λύση, τη λύση: (, y)( o, y o ) ν οι ε κι ε τυτίζοντι το (Σ) έχει άπειρες λύσεις (όριστο) (τ άπειρ κοινά σηµεί των ε,ε ) ν οι ε κι ε είνι πράλληλες το (Σ) δεν έχει λύση (δύντο) (φού οι ε,ε δεν έχουν κοινά σηµεί) ς δούµε γι πράδειγµ +y y -+ (ε ) το (Σ ) : που γράφετι: 3 +3y - y - - (ε ) 3 3 κι έχει µονδική λύση: (,y)(, -) (το σηµείο τοµής των ε κι ε ) -3y - y + (ε ) 3 3 το (Σ ) : που γράφετι: -+6y y + (ε ) 3 3 κι έχει άπειρες λύσεις: (,y)(, + ) 3 3 όπου είνι οποιοσδήποτε πργµτικός ριθµός (τ άπειρ σηµεί της ευθείς y + ) 3 3-4y y - (ε ) το (Σ 3 ) : που γράφετι: -y - y + (ε ) κι δεν έχει κµί λύση (φού ε //ε )

66 άλγεβρ λυκείου 65 η λγεβρική επίλυση του γρµµικού συστήµτος η µέθοδος της ντικτάστσης +y y -+ y -+ y - γι πράδειγµ το (Σ ): +3y -3/ +3(-+) -3/ -5-5/ 3/ έχει µονδική λύση: (,y)(3/, -) -3y - 3y- 3y- το (Σ ): -+6y -(3y-)+6y 0y0 έχει άπειρες λύσεις (είνι όριστο): (, y)(3y-, y), y R ή λλιώς: (, y)(, /3+/3), R (λύσεις που είνι οι προηγούµενες σε άλλη µορφή) -4y (y-)-4y 0y6 το (Σ 3 ): -y - y- y- δεν έχει κµί λύση (είνι δύντο) η µέθοδος των ντιθέτων συντελεστών 3-y. () 6-4y (ε ) 6-4y γι πράδειγµ το (Σ 4 ): -+5y3. (3) -6+5y9 (ε ) (ε )+(ε ) y y έχει µονδική λύση: (,y)(,) η µέθοδος των οριζουσών θ λύσουµε τώρ το (Σ) γι ν βγάλουµε κάποι χρήσιµ κι γενικώς εφρµόσιµ συµπεράσµτ ν β β γ γ 0 το (Σ) προφνώς έχει άπειρες λύσεις (κάθε ζεύγος πργµτικών ριθµών) ν β β 0 κι (γ 0 ή γ 0) το (Σ) προφνώς είνι δύντο ν ένς τουλάχιστον π τους συντελεστές των γνώστων του (Σ) είνι µη µηδενικός, έστω 0 (ν δουλέψουµε οµοίως γι άλλον µη µηδενικό συντελεστή, θ προκύψουν νάλογ συµπεράσµτ), τότε: γ -βy γ -βy (Σ) συνεπώς: γ -βy +β yγ ( β - β )y γ - γ βγ ν β - β 0 το (Σ) έχει µονδική λύση: (, y) ( β ν β - β 0 τότε: ν γ - γ 0 το (Σ) είνι δύντο γ ν γ - γ 0 το (Σ) έχει άπειρες λύσεις (όριστο): (, y) ( -βγ γ - γ, ) - β β - β -βy, y ), y R

67 66 δηµήτρη ποιµενίδη β ν ονοµάσουµε: τον ριθµό β - β ορίζουσ του (Σ) (συµβ. D ή ) β γ β τον ριθµό β γ -β γ ορίζουσ του (συµβ. D ή ) γ β γ κι τον ριθµό γ - γ ορίζουσ του y (συµβ. D y ή ) γ τ συµπεράσµτ της προηγούµενης διερεύνησης του συστήµτος (Σ) είνι τ κόλουθ: ν D 0 : το (Σ) έχει µονδική λύση την: (, y) ( D D y, D D ) ν D 0 : το (Σ) είνι δύντο (κµί λύση) ή όριστο (άπειρες λύσεις), ειδικότερ: ν D 0 ή D y 0: το (Σ) είνι δύντο ν D D y 0: το (Σ) είνι όριστο εκτός πό την περίπτωση που είνι: β β 0 κι γ 0 ή γ 0 οπότε το (Σ) είνι δύντο γι πράδειγµ +y το (Σ ) : έχει µονδική λύση την (, y) (, ) +3y -3/ (, ) (3/, -) το (Σ ) : -3y - -+6y έχει: DD X D Y 0, συνεπώς είνι όριστο, έχει δηλδή άπειρες λύσεις των οποίων τη µορφή πρέπει ν βρούµε: -3y - -3y - 3y- (Σ ) δηλ. (, y) (3y-, y), y R -+6y :(-) -3y - y R το (Σ 3 ): -4y -y - έχει: D0 κι D 0, συνεπώς είνι δύντο

68 άλγεβρ λυκείου 67 το (Σ 5 ): λ+λ yλ+ λ 3 +λ 6 yλ+, λ R η ύπρξη κι το πλήθος των λύσεων των πρµετρικών συστηµάτων εξρτώντι πό τις τιµές της πρµέτρου, τη δε διδικσί επίλυσής τους τη λέµε διερεύνηση έχει: D D y λ λ D 3 6 λ λ λ + λ + λ λ 6 λ 7 -λ 5 λ 5 (λ -) λ 5 (λ+)(λ-) λ 6 (λ+)-λ (λ+) λ (λ+)(λ 4 -) λ λ + 3 λ(λ+)-λ 3 (λ+) λ(λ+)(-λ ) λ λ + ν D 0 δηλδή ν λ - κι λ 0 κι λ 4 λ - - λ το (Σ 5 ) έχει µονδική λύση την (, y) (, ) 3 4 λ (λ -) λ (λ -) ν D 0 δηλδή ν λ- ή λ0 ή λ, το (Σ 5 ) είνι δύντο ή όριστο, ειδικότερ: ν λ- (D D y 0) -+y0 (:) -+y0 R (Σ 5 ) -+y0 -+y0 y το(σ 5 ) είνι όριστo µε άπειρες λύσεις όλ τ ζεύγη της µορφής (,y)(,), R ν λ0 (D D y 0) 0+0y (Σ 5 ) 0+0y το (Σ 5 ) είνι δύντο ν λ (D -) +y (:) +y (Σ 5 ) +y +y το (Σ 5 ) είνι δύντο (λλιώς: το (Σ 5 ) είνι δύντο φού έχει D - 0) +β y0 µπορείς ν λύσεις (διερευνήσεις) το (Σ): ; +β y0 τ γρµµικά συστήµτ µε µηδενικούς στθερούς όρους, όπως υτό, τ λέµε οµογενή

69 68 δηµήτρη ποιµενίδη γρµµικό σύστηµ µν λέµε κάθε σύστηµ µ εξισώσεων της µορφής: ν ν β µε ν γνώστους:,,, ν ενώ λύση του κάθε διτετγµένη ν-άδ (,,, ν ) που επληθεύει όλες τις εξισώσεις του. τ νν (τετργωνικά) γρµµικά συστήµτ µπορούν ν λυθούν µε γενίκευση της µεθόδου των οριζουσών που είδες, ενώ γενικότερ, τ µν γρµµικά συστήµτ λύνοντι µε τη µέθοδο του επυξηµένου πίνκ (µην τροµάζεις, δεν είνι γι τώρ) που είνι η γλώσσ που κτλβίνει ο P.C. µς ότν του ζητάµε ν µς τ λύσει. προς το πρόν ς λύσουµε µε τη µέθοδο της ντικτάστσης γι πράδειγµ το σύστηµ: +y-ω -y+ω -y+ω -y+ω +κ (Σ ) -3y-5ω -y+ω-3y-5ω -4y-4ω0 y-ω y-κ 3-y-7ω6 6-3y+3ω-y-7ω6-4y-4ω0 ωκ (κ R) που έχει άπειρες λύσεις (όριστο), όλες τις τριάδες της µορφής: (, y, ω)(+κ, -κ, κ), κ R ς λύσουµε έξυπν µε τη µέθοδο των ντιθέτων συντελεστών γι πράδειγµ το σύστηµ: +y-3 () ()+()+(3) +y+w (4) +y+w - (Σ ) y+w () y+w () (4)-() - y- w+3 (3) w+3 (3) (4)-(3) y- w4 που έχει µονδική λύση: (, y, w)(-, -, 4) κι ς ποφνθούµε µε µι µόνο µτιά ότι γι πράδειγµ το σύστηµ: -+y-w4 () (Σ 3 ) -3y-3w- () +y+4w0 (3) είνι δύντο ( φού ()+()+(3) 03! ) + y+ 3 z 0 γιτί το (Σ) + y+ 3 z 0 δεν είνι ποτέ δύντο; y+ 33 z 0

70 άλγεβρ λυκείου 69 η συνάρτηση f()/ (<0) προφνώς D f (-, 0) (0, + ) κι f(d f )(-, 0) (0, + ) (συνεπώς η f δεν έχει κρόττ), (-, 0): < > < f( ) < f( ) άρ f στο (-, 0), (0, + ): < > < f( ) < f( ) άρ f στο (0, + ) (-, 0) κι (0, + ) είνι < λλά > δηλ. f( ) > f( ) συνεπώς φού δεν ισχύει, D f : < f( ) < f( ), η f δεν είνι (στο D f ) lim f() 0 - lim f() 0 + lim 0 - f() + lim 0 + f() - o D f : lim f() lim f(o ), συνεπώς η f είνι συνεχής o o o D f - D f κι f(-) - -f(), συνεπώς η f είνι περιττή - ν ( o, y o ) c f τότε y o άρ κι o δηλ. (y o, o ) c f, συνεπώς η c f είνι συµµετρική y o o ως προς την ευθεί y η c f είνι η υπερβολή (c): y (µε κλάδους στο ο κι 4 ο τετρτηµόριο) µε σύµπτωτες τις 0 κι y0 τ συµπεράσµτά µς γι τη µονοτονί, τ κρόττ (ν υπάρχουν), την ορική συµπεριφορά κι το σύνολο τιµών µίς συνάρτησης f προυσιάζοντι στον πίνκ µετβολών της συνάρτησης ς δούµε γι πράδειγµ τον πίνκ µετβολών κι τη γρφική πράστση της συνάρτησης f() yf() f(d f ) (0, + ) (-, 0) R * c f νάλογ θ είνι τ συµπεράσµτά µς πό τη µελέτη της συνάρτησης f() µε > 0 (κάνε τη!) πότε δύο ποσά κι y λέγοντι ντιστρόφως νάλογ; ποι είνι τότε η συνάρτηση η οποί εκφράζει την µετξύ τους σχέση;

71 70 δηµήτρη ποιµενίδη η συνάρτηση f() (a<0) προφνώς D f R κι f(d f )(-, 0] συνεπώς η f έχει στο 0 (γι 0) µέγιστο το f(0)0, (-,0]: < - > - (- ) >(- ) < f( )<f( ) άρ f στο(-,0], [0,+ ): < < > f( ) > f( ) άρ f στο [0,+ ) πρτήρησε ότι η f προυσιάζει κρόττο στο σηµείο λλγής της µονοτονίς της! lim - f() -, lim f() - + o o D f : lim f() lim f( ), συνεπώς η f είνι συνεχής o o o D f - D f κι f(-) (-) f(), συνεπώς η f είνι άρτι η c f είνι η πρβολή (c): y µε κορυφή το Ο(0,0) κι άξον συµµετρίς τον y y ς δούµε γι πράδειγµ τον πίνκ µετβολών κι τη γρφική πράστση της συνάρτησης f() ma το f(0) yf() f(d f ) (-, 0] (-, 0] (-, 0] c f νάλογ θ είνι τ συµπεράσµτά µς πό τη µελέτη της συνάρτησης f() µε > 0 (κάνε τη!) τι εκφράζει στη Φυσική η συνάρτηση f()5 ;

72 άλγεβρ λυκείου 7 η συνάρτηση f() 3 προφνώς D f R 0 < < 3 3 < < 0 < 3 3 < < < 0 - > - ( - ) 3 > (- ) > < συνεπώς, R: < f( )<f( ) άρ η f είνι lim f() f( ), άρ η f είνι συνεχής o - o lim f() -, lim f() + + προφνώς f(d f )R κι η f δεν έχει κρόττ R - R κι f(-)(-) 3-3 -f() άρ η f είνι περιττή - + c f yf() - + η συνάρτηση f()sqrt() προφνώς D f [0, + ), [0, + ): < < f( )<f( ) άρ η f lim f() f( ), άρ η f είνι συνεχής o o lim f() +, ενώ [0, + ): 0 f () 0f(0) + συνεπώς η f έχει ελάχιστο στο 0 το f(0)0 κι f(d f )R 0 + c f yf() min f(0)0 + πολλές µζί προσπάθησε ν ξεχωρίσεις στο διπλνό «κουβάρι» τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων: y, y, y 3, y κι y

73 7 δηµήτρη ποιµενίδη συµµετρικές γρφικές πρστάσεις ν g()f(-), τότε η c g είνι η συµµετρική της c f ως προς τον y y, γιτί: ν Α( o, y o ) c f τότε το συµµετρικό του ως προς y y είνι το Α (- o, y o ) c g φού y o f( o )f(-(- 0 ))g(- o ) ενώ ν A( o, y o ) c g τότε: y o g( o )f(- o ), άρ το A (- o, y o ) c f c f ς δούµε γι πράδειγµ δίπλ τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f()+ κι g()-+ (f(-)) c g ν g()-f(), τότε η c g είνι η συµµετρική της c f ως προς τον, γιτί: ν Α( o, y o ) c f, το συµµετρικό του ως προς είνι το Α ( o, -y o ) c g φού y o f( o ) -y o -f( 0 )g( o ) ενώ ν A( o, y o ) c g τότε: y o g( o ) -y o -g( o )f( 0 ), άρ το A ( o, -y o ) c f c f ς δούµε γι πράδειγµ δίπλ τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f()+ κι g()-- (-f()) c g ν g()-f(-), τότε η c g είνι η συµµετρική της c f ως προς O(0,0), γιτί: ν Α( o, y o ) c f,το συµµετρικό του ως προς O(0,0) είνι το Α (- o, -y o ) c g φού y o f( o ) -y o -f(-(- 0 ))g(- o ) ενώ ν A( o, y o ) c g τότε: y o g( o ) -y o -g(-(- o ))f(- 0 ), άρ το A (- o, -y o ) c f c f ς δούµε γι πράδειγµ δίπλ τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f() - κι g()- - (-f(-)) c g τ προηγούµεν συµπεράσµτ µς βοηθούν στη χάρξη γρφικών πρστάσεων συνρτήσεων ν ξέρουµε τις γρφικές πρστάσεις κάποιων στοιχειωδών (βσικών) συνρτήσεων

74 άλγεβρ λυκείου 73 οριζόντι κι κτκόρυφη µετφορά µις γρφικής πράστσης γι τις γρφικές πρστάσεις δύο συνρτήσεων f κι g ισχύουν: ν g()f(-) τότε κάθε σηµείο G( o, y o ) της c g προκύπτει πό την οριζόντι µετφορά κτά µονάδες του σηµείου F( o -, y o ) της c f κι ντιστρόφως (προς τ δεξιά ν >0 κι προς τ ριστερά ν <0), γιτί: G( o,y o ) c g y o g( o ) y o f( o -) F( o -,y o ) c f συνεπώς η c g είνι η c f µετκινηµένη οριζόντι κτά c g c f δες γι πράδειγµ δίπλ τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f() κι g()(+) (f(-(-)) ) ν g()f()+β τότε κάθε σηµείο G( o,y o ) της c g προκύπτει πό την κτκόρυφη µετφορά κτά β µονάδες του σηµείου F( o, y o -β) της c f κι ντιστρόφως (προς τ πάνω ν β>0 κι προς τ κάτω ν β<0), γιτί: G( o, y o ) c g y o g( o ) y o f( o )+β y o -βf( o ) F( o, y o -β) c f συνεπώς η c g είνι η c f µετκινηµένη κτκόρυφ κτά β c g c f δες γι πράδειγµ δίπλ τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f()(+) κι g()(+) - (f()+(-) ) ς δούµε τώρ γι πράδειγµ πως χρησιµοποιούµε τ προηγούµεν συµπεράσµτ γι ν χράξουµε τη γρφική πράστση της συνάρτησης f() +4+3 (ρκεί βέβι ν µετσχηµτίσουµε κτάλληλ τον τύπο της) f() (συµπλήρωση τετργώνου) (+) - συνεπώς η c f προκύπτει π την µετφορά της πρβολής y κτά µονάδ προς τ ριστερά κι µονάδες προς τ κάτω δηλδή η c f είνι η πρβολή y +4+3 που έχει: κορυφή το σηµείο Κ(-, -) κι άξον συµµετρίς την ευθεί - c f νάλογ εργζόµστε γι τη χάρξη της c f της συνάρτησης f() +β+γ ( 0)

75 74 δηµήτρη ποιµενίδη η συνάρτηση f() +β+γ ( 0) έχει: D f R, ενώ δουλεύοντς όπως κι γι τη λύση της εξίσωσης f()0, βρίσκουµε ότι: β f() ( + ) -, συνεπώς η f: 4 έχει γρφική πράστση την πρβολή y β β µετκινηµένη οριζόντι κτά - κι κτκόρυφ κτά - ( f(- )) 4 β β β β µε άξον συµµετρίς την - κι κορυφή το σηµείο: Κ (-, - ) δηλ. το Κ(-, f(- )) 4 κι µονοτονί κι κρόττ β β β β ν >0: η f στο (-, - ], στο [-, + ), έχει γι - ελάχιστο το y f(- )- 4 κι f(d f )f(r)[ -, + ) 4 β β β β ν <0: η f στο (-, - ], στο [-, + ), έχει γι - µέγιστο το y f(- )- 4 κι f(d f )f(r)(-, - ] 4 ς µελετήσουµε γι πράδειγµ την f() β , η οποί έχει >0 κι yf() f(r) min το f(3) [-, + ) [-, + ) [-, + ) η γρφική πράστση της f είνι πρβολή µε άξον συµµετρίς την ευθεί: 3 κι κορυφή το σηµείο Κ(3, f(3)) δηλ. το Κ(3, -) πρτήρησε ότι η πρβολή: -τέµνει τον y y στο Γ(0, 8) που σηµίνει ότι f(0)8 -τέµνει τον στ Α(, 0) κι Β(4, 0) που σηµίνει ότι f()0 κι f(4)0 δηλ. οι ριθµοί κι 4 είνι ρίζες της εξίσωσης f()0 -βρίσκετι κάτω πό τον ότν οι τετµηµένες των σηµείων της βρίσκοντι στο (, 4) που σηµίνει f() < 0 (, 4) -βρίσκετι πάνω πό τον ότν οι τετµηµένες των σηµείων της βρίσκοντι στο (-, ) (4, + ) που σηµίνει f() > 0 (-, ) (4, + ) y Γ 3 c f κι βρες λγεβρικά: A B τις ρίζες κι το πρόσηµο του τριωνύµου f() Κ(3, -)

76 άλγεβρ λυκείου 75 έν πρόβληµ φυσικής(;) Σύµφων µε τους Φυσικούς, το ύψος h ενός πυρύλου που εκτοξεύετι κτκόρυφ µε ρχική τχύτητ υ ο µετά πό χρόνο t είνι: h(t)υ ο t- gt,όπου g είνι η επιτάχυνση της βρύτητς που είνι περίπου ίση µε 0m/sec/sec. Εκτοξεύουµε ένν πύρυλο µε υ ο 00m/sec. i. πόσ sec διρκεί η πτήση του πυρύλου; ii. ποιο είνι το µέγιστο ύψος στο οποίο θ φθάσει ο πύρυλος κι πόσ sec µετά την εκτόξευσή του θ συµβεί υτό; κι η λύση του γι το ύψος του πυρύλου t sec µετά την εκτόξευσή του, ισχύει: h00t- 0t, δηλδή: h -5t +00t, t 0 i. τη στιγµή της εκτόξευσης (t0) ο πύρυλος βρίσκετι σε ύψος 0m η πτήση διρκεί µέχρι το ύψος ν ξνγίνει 0m (δηλ. µέχρι ν πέσει ο πύρυλος) το πρόβληµ λοιπόν είνι ν βρούµε πότε είνι h0 h0 σηµίνει: -5t +00t 0 δηλδή: 5t(-t+40) 0 δηλδή: t 0 ή t 40 χρονική στιγµή εκτόξευσης χρονική στιγµή πτώσης άρ η πτήση διρκεί 40sec ii. το πρόβληµ είνι ν βρούµε το µέγιστο της συνάρτησης: h -5t +00t, t 0 κι την τιµή της µετβλητής t, γι την οποί έχουµε το µέγιστο υτό -00 η συνάρτηση h, έχει γι t 0 (-5) µέγιστο το h -5(0) άρ ο πύρυλος θ φθάσει σε µέγιστο ύψος 000m µετά πό χρόνο 0sec (πό την εκτόξευσή του) πργµτικά η συνάρτηση είνι της µορφής:f() +β+γ µε <0 συνεπώς έχει γι β ma - β y ma f(- ) - 4

77 76 δηµήτρη ποιµενίδη τ µη γρµµικά συστήµτ εξισώσεων µε δύο γνώστους µπορούµε ν τ λύσουµε λγεβρικά (π.χ. µε ντικτάστση) ή γρφικά ν οι εξισώσεις τους είνι εξισώσεις γνωστών γρµµών του επιπέδου κι συνεπώς οι λύσεις τους είνι τ κοινά σηµεί των γρµµών υτών γι πράδειγµ: +y (5+4)0 το (Σ ) y+ y+ y+ 0-4/5 ή y y-3/5 έχει δύο λύσεις, τ ζεύγη (, y)(0, ) κι (, y)(-4/5, -3/5) y y+ + y y y y y το (Σ ) +y ( -) 0 + y 4 y y - ή y- y έχει δύο λύσεις, τ σηµεί Α(-, - ) κι Β(, ) y4 y 4 y 4 το (Σ 3 ) y y y y (-)( +)0 έχει µονδική λύση την: κι y y + 4 y ν εξετάσεις τη σχετική θέση της ευθείς (ε): yλ+ κι του κύκλου (c): +y, γι τις διάφορες τιµές της πργµτικής πρµέτρου λ

78 άλγεβρ λυκείου 77 η σύνθεση δύο συνρτήσεων ν f() είνι η τιµή µίς συνάρτησης f στο σηµείο κι την ντιστοιχίσουµε (ν µπορούµε! ) µέσω µίς άλλης συνάρτησης g στην τιµή g(f()) τότε στην ουσί ντιστοιχίζουµε το στο g(f()) µέσω µίς συνάρτησης που λέγετι σύνθεση της f µε την g (συµβ. gof) D f f f(d f ) g(d g ) D g g(f()) D gof f() (gof)(d gof ) g D gof { D f κι f() D g } gof D gof : (gof)()g(f()) γι πράδειγµ ν f() κι s()3- τότε: D f [0, + ), D s R κι D fos { D s κι s() D f } D s R 3, συνεπώς ορίζετι η fos (σύνθεση της s µε την f) µε s() D f 3-0 D fos (-, 3] κι (fos)() f(s()) 3 - ν f() κι g() - τότε: D f (0,+ ), D g R κι D fog { D g κι g() D f } D g R δύντο, άρ D fog, δηλ. η fog (σύνθεση της g µε την f) δεν ορίζετι! g() D f - > 0 µε την προϋπόθεση ότι ορίζοντι οι εµφνιζόµενες συνθέσεις συνρτήσεων i. είνι προφνές ότι γενικά: fog gof ii. ποδεικνύετι ότι: fo(goh)(fog)oh (δηλδή η πράξη της σύνθεσης δύο συνρτήσεων έχει την προσετιριστική λλά όχι την ντιµετθετική ιδιότητ)

79 78 δηµήτρη ποιµενίδη συνάρτηση έν προς έν κι ντίστροφη συνάρτηση µί συνάρτηση f λέγετι έν προς έν (συµβ. -) ότν, D f : f( ) f( ) ή λλιώς (ισοδύνµ): f( )f( ) έτσι π.χ. η f() 3 είνι -, ενώ η f() δεν είνι y 3 y είνι φνερό ότι µί οριζόντι ευθεί τέµνει τη γρφική πράστση µίς συνάρτησης - σε έν το πολύ σηµείο! ν ποδείξεις ότι ν µί συνάρτηση είνι γνησίως µονότονη τότε είνι - ν µί συνάρτηση yf() είνι -,ορίζετι η ντίστροφή της συνάρτηση (συµβ. f - ) η οποί ντιστοιχίζει (επιστρέφει) κάθε y f(d f ) στο D f πό το οποίο ντιστοιχήθηκε δηλ. ισχύει: yf() f - (y) D f f(d f ) f(d f - ) f - (f())f - (y) f f - y y yf()f(f - (y)) D f - ν Μ(, β) c f τότε Μ (β, ) c - κι ντιστρόφως f ( γιτί: βf() f - (β) ) συνεπώς οι c f κι c - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y γι ν ορίσω την f - πρέπει ν βρώ: i. το D - που είνι το f(d f ) f ii. τον τύπο της που τον βρίσκω λύνοντς (ως προς D f ) την εξίσωση yf() f ς τ δούµε όµως όλ υτά πίρνοντς γι πράδειγµ την f() µε D f [0, + ) η f προφνώς είνι - ( γι υτό εξάλλου θεωρήσµε [0, + ) ) η εξίσωση y έχει λύση ως προς D f ν κι µόνο ν: y 0 τότε y συνεπώς: D - f(d f ) [0, + ) κι f - (y) y ή λλιώς: f() f (βλέπεις οι µθηµτικοί επιµένουµε ν συµβολίζουµε µε την ν. µετβλητή!),β [0, + ) ισχύει: (, β) c f β β (β, ) c f συνεπώς οι c f κι c - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y f c f y c f -

80 άλγεβρ λυκείου Ν γράψεις µε νγρφή τ κόλουθ σύνολ: Α { ρ Ζ / - ρ < 5 } Β { (,y) / R, y R κι +y 0 } Γ { R / -60 κι - 5 }.. Έστω τ σύνολ Α {,,3,4,5 } κι Β { 4,5,6,7 } µε Ω { 0,,,3,4,5,6,7,8,9 } i. ν βρεις τ σύνολ Α Β κι Α Β κι ν προυσιάσεις εποπτικά σε έν διάγρµµ Venn τ σύνολ Α κι Β. ii. ν βρεις τ σύνολ Α, Β κι ν επληθεύσεις τις σχέσεις: (Α Β) Α Β κι (Α Β) Α Β (νόµοι De Morgan) 3. Ένς λµρινάς έχει µί τετργωνική λµρίν πλευράς m κι θέλει ν κτσκευάσει έν ντεπόζιτο σχήµτος ορθογωνίου πρλληλεπιπέδου. Ν εκφράσεις τον όγκο V του ντεπόζιτου ως συνάρτηση της πλευράς του τετργώνου που πρέπει ν ποκόψει πό τις τέσσερις γωνίες της λµρίνς. Ποιο είνι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης υτής; 4. N εκφράσεις το εµβδόν Ε του ορθογωνίου τριγώνου που έχει υποτείνουσ 5, ως συνάρτηση του µήκους της βάσης του. Ποιο είνι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης υτής; 5 5. N εκφράσεις το ύψος υ του ισοσκελούς τριγώνου που έχει ίσες πλευρές 4, ως συνάρτηση του µήκους της βάσης του. Ποιο είνι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης υτής; 4 υ 4

81 80 δηµήτρη ποιµενίδη 6. Έν κινητό δινύει 50m µε ευθύγρµµη οµλή κίνηση. Ν εκφράσεις την τχύτητά του υ ως συνάρτηση της διάρκεις t (sec) της κίνησής του. Ποιο είνι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης υτής; 7. Ένς πρτηριούχος υγρών κυσίµων µς προµηθεύει πετρέλιο γι το χειµών µε το κόλουθο κοστολόγιο: 0.47 /lt γι τ πρώτ λίτρ µέχρι κι 000lt 0.45 /lt γι τ υπόλοιπ λίτρ µέχρι κι 3000lt κι 0.4 /lt γι τ υπόλοιπ λίτρ. Ν βρεις το κόστος Κ προµήθεις λίτρων πετρελίου ως συνάρτηση του. 8. Σε έν ντεπόζιτο υπάρχουν 800 lt πετρελίου. Βυτιοφόρο µε 6000 lt, ρχίζει ν το γεµίζει µε στθερή προχή 00lt/min. Ν βρεις: i. τις ποσότητες του πετρελίου στο ντεπόζιτο κι το βυτίο ως συνάρτηση του χρόνου ii. µετά πόσ min η ποσότητ του πετρελίου στο ντεπόζιτο θ είνι όση κι στο βυτίο. 9. Κάποιο όχηµ ότν τξιδεύει µε τχύτητ υ Km/h έχει κτνάλωση κυσίµων υ 3 lt/h. Ν βρεις τη συνολική ποσότητ κυσίµων που χρειάζετι το όχηµ γι ν δινύσει µι πόστση 000Km µε στθερή τχύτητ υ. 0. ίπλ βλέπεις µί σκάλ ΑΒ µήκους 3 µέτρων που στηρίζετι στον τοίχο ΑΟ. Το άκρο της Β που γλιστράει πέχει πό τον τοίχο πόστση ΒΟ+t όπου t ( t 0) είνι ο χρόνος σε sec. Ν βρεις: i. Πόσο πέχει ρχικά η σκάλ πό τον τοίχο ii. Πότε θ πέσει η σκάλ iii. Το εµβδόν του τριγώνου που σχηµτίζει η σκάλ µε τον τοίχο κι το έδφος ως συνάρτηση του χρόνου t. Β Α Ο. Ν βρεις τ πεδί ορισµού των κολούθων συνρτήσεων: i. f() + + ii. y - iii. s(t) t 3t - t + iv. d() - v. g(s) s vi. u v 3v 7 - v vii. R(w) w -3w + w + w viii. s() i. r θ + θ -, 0. Έστω η συνάρτηση: f() 3, > 0 i. ποιες είνι οι τιµές της f στ σηµεί κι ; ii. ποιους ριθµούς ντιστοιχίζει η f στον ριθµό ; 3. Φντάσου έν διάγρµµ του Venn. Πού ήσουν πριν σε πάει η συνάρτηση f() 3 + στον ριθµό ;

82 άλγεβρ λυκείου Λύσε την εξίσωση f() -7, όπου f()(-), R. 5. Αν f() +, R ν λύσεις την εξίσωση f(+)f()+. 6. Αν γι µι συνάρτηση f ισχύει R: f( )6f(+)-5, ν βρεις το f(3). 7. Από όλες τις συνρτήσεις της µορφής f() + 5 +c, όπου c R, βρες εκείνη της οποίς η γρφική πράστση διέρχετι πό το σηµείο Α(, 7). 8. Γιτί τ σηµεί Α(-, λ +) κι Β(-, -), όπου λ R, δεν είνι δυντό ν νήκουν στη γρφική πράστση της ίδις συνάρτησης; 9. Ποι σηµεί της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f() 3 +, R έχουν τετγµένη διπλάσι πό την τετµηµένη τους; 0. Ν ποδείξεις ότι το τρίγωνο µε κορυφές τ σηµεί Α(-3, 0), Β(3, 0) κι Γ(, ) είνι εγγεγρµµένο στο ηµικύκλιο µε εξίσωση y Γι µι συνάρτηση f ισχύει, R: f( + )f( )+f( ). Ν ποδείξεις ότι η γρφική της πράστση διέρχετι πό την ρχή των ξόνων.. Ν εξετάσεις ν έχουν κοινά σηµεί οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων: f() -5 κι g() Βρες τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων των κολούθων συνρτήσεων µε τους άξονες συντετγµένων: t - - i. f()- - ii. s(t) iii. y t - t iv. s Γι ποιες τιµές του η γρφική πράστση της συνάρτησης f βρίσκετι «κάτω» πό τον άξον, ότν: i. f() 3 +- ii. f() ( -)( ) Γι ποιες τιµές του η γρφική πράστση της συνάρτησης f βρίσκετι «πάνω» πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης g, ότν: i. f() κι g() + ii. f() κι g() + -

83 8 δηµήτρη ποιµενίδη 6. Βρες τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων των κολούθων συνρτήσεων: i. f() 3 3+ κι g()+ ii. f() + κι g() 7. Ν εξετάσεις ν είνι ίσες οι συνρτήσεις: i. f() - κι g() - + ii. f()- κι g() f 8. Αν f() + κι g() -, ποιες είνι οι συνρτήσεις fg κι ; g 9. Μπορείς ν βρεις το εµβδόν του τριγώνου που έχει κορυφές τ σηµεί Α(-, ), Β(0, ) κι Γ(0, 5 ); 30. Ν βρεις την πόστση των σηµείων της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f()3 4, τ οποί έχουν τετµηµένες κι. 3. Ν ποδείξεις ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ µε κορυφές τ σηµεί Α(-3, ), Β(, ), Γ(3, -) κι (-, -) είνι πρλληλόγρµµο. 3. Ποιες πό τις συνρτήσεις που κολουθούν έχουν γρφική πράστση µε κέντρο συµµετρίς το Ο(0, 0) ή άξον συµµετρίς τον y y; i. f()- + 3 ii. f() 3 iii. f() - 4 iv. f() Αν µι συνάρτηση f είνι περιττή κι 0 D f, ν ποδείξεις ότι η γρφική της πράστση διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. 34. Γι δύο συνρτήσεις f κι g ισχύει R: g()f(-). Ν ποδείξεις ότι ν η f είνι άρτι (ντ. περιττή) τότε κι η g είνι άρτι (ντ. περιττή). 35. Ν εξετάσεις ως προς τη µονοτονί τις κόλουθες συνρτήσεις: i. f() - ii. g()+ iii. h() i. µελέτησε τη συνάρτηση f() 3 ως προς τη µονοτονί της, κι ii. σύγκρινε τους ριθµούς: 0,6 3 κι Ν εξετάσεις την µονοτονί κι ν βρεις ν υπάρχουν τ κρόττ της συνάρτησης: f()

84 άλγεβρ λυκείου Ν βρεις το εµβδόν του τριγώνου που σχηµτίζει η ευθεί (ε): y3- i. µε τους άξονες συντετγµένων ii. µε τις ευθείες: 3 κι y. 39. Βρες την εξίσωση της ευθείς που διέρχετι πό το σηµείο Α(, 3) κι i. σχηµτίζει µε τον άξον γωνί 45 ο ii. διέρχετι κι πό το σηµείο Β(3, ) iii. είνι πράλληλη στην ευθεί y- iv. είνι κάθετη στην ευθεί i. γι ποιες τιµές του πργµτικού ριθµού λ, είνι πράλληλες οι ευθείες (ε ): yλ +-λ κι (ε ): 4λ-y+30; ii. γι τις τιµές υτές του λ, χάρξε τις ευθείες στο κρτεσινό επίπεδο. 4. Ν ποδείξεις ότι οι ευθείες (ε): -λy+0 κι (ζ): -λ-y+0 είνι κάθετες λ R. 4. Βρες την εξίσωση της γρµµής στην οποί νήκουν τ σηµεί Μ(λ-, -λ), όπου λ R. +, < Χάρξε τη γρφική πράστση της συνάρτησης f() -, - -, > κι δες ν η f έχει: i). κρόττες τιµές ii). σηµεί συνέχεις. 44. Βρες τη συνάρτηση της οποίς τη γρφική πράστση βλέπεις στο διπλνό σχήµ. 45. Λύσε τ κόλουθ συστήµτ: -β -y 9φ-ω y0 i. ii. iii. iv. 4-β -y 5φ+7ω 3+y0-3 y 4 3(+y)-y -3 c-n3 5 y + - y + 3 v. vi. vii. vii. - y 5 (+y)-y c+n y y + 3

85 84 δηµήτρη ποιµενίδη 46. Λύσε τ συστήµτ γι τις διάφορες τιµές των πργµτικών πρµέτρων λ,, β: λ+λ yλ+ +βy λ-y0 (λ+)+(λ+)y0 i. ii. iii. iv. λ 3 +λ 6 yλ+ β+yβ -4+λy0 (λ+3)+(λ+4)y0 47. Λύσε τ κόλουθ συστήµτ: +y+w +y-w +y-w +y+w0 i. -y+w0 ii. -y-w iii. -3y-5w iv. +y0 +y+3w4 +4y-w5 3-y-7w6 3y+w0 48. Βρες τον πργµτικό ριθµό λ ώστε ν συντρέχουν οι ευθείες: (ε ): +(λ+)y-30, (ε ): +λy-λ0 κι (ε 3 ): +y Βρες τους πργµτικούς κ, λ, µ, ν είνι γνωστό ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης f()(λ-κ) +(µ+λ)+κ+µ διέρχετι πό τ σηµεί Α(-, 0), Β(, 0) κι Γ(0, ). 50. Ν βρεις την λύση (, y) ενός γρµµικού συστήµτος γι τις ορίζουσες του οποίου ισχύουν οι σχέσεις: D+D D y 0, D-D +D y 0 κι D+D +D y. 5. Βρες τους κερίους ριθµούς των οποίων η διφορά των τετργώνων ισούτι µε Μπορείς ν βρεις τους τριψήφιους ριθµούς που έχουν άθροισµ ψηφίων 5 κι οι οποίοι δεν λλάζουν ν τους διβάσουµε πό τ δεξιά προς τ ριστερά; 53. Αν στο Γ ΘΕΤ έρθουν 4 κόµη γόρι τότε τ γόρι θ είνι το 75% του τµήµτος, ν όµως φύγουν γόρι τότε τ γόρι θ είνι το 50% του τµήµτος. Μπορείς ν βρεις πόσ γόρι κι πόσ κορίτσι έχει το Γ ΘΕΤ ; 4 -, Έστω η συνάρτηση f() -4, - < 0 4, 0 < < 4, i. ν ποδείξεις ότι η f είνι άρτι ii. ν λύσεις την εξίσωση: f() iii. φού χράξεις τη γρφική πράστση της f κι επληθεύσεις τ προηγούµεν συµπεράσµτά σου, ν γράψεις τ διστήµτ µονοτονίς κι τ κρόττ της f. 55. Ν ποδείξεις ότι το Α(, ) είνι το πλησιέστερο στην ρχή των ξόνων σηµείο της υπερβολής y.

86 άλγεβρ λυκείου Ν βρεις κι ν χράξεις τις υπερβολές οι οποίες έχουν σύµπτωτες τους άξονες συντετγµένων κι των οποίων τ σηµεί τετµηµένης πέχουν πό την ρχή των ξόνων πόστση. 57. Ν χράξεις στο ίδιο σύστηµ συντετγµένων τις γρ. πρστάσεις των συνρτήσεων: i. f()+ κι g() + 4 ii. f() κι 4 g(). 58. Ν χράξεις στο ίδιο σύστηµ συντετγµένων τις γρ. πρστάσεις των συνρτήσεων: i. f() ii. g() - iii. h() - iv. s() Ν χράξεις στο ίδιο σύστηµ συντετγµένων τις γρ. πρστάσεις των συνρτήσεων: i. f() ii. g() + 3 iii. h() iv. s() Ν χράξεις στο ίδιο σύστηµ συντετγµένων τις γρ. πρστάσεις των συνρτήσεων: i. f() ii. g()(+) iii. h()(+) - iv. s() ίνετι η συνάρτηση f() i. βρες τ διστήµτ µονοτονίς, τ κρόττ, το σύνολο τιµών κι τ σηµεί τοµής της γρφικής πράστσης της f µε τους άξονες ii. χάρξε τη γρφική πράστση της f. 6. Ν πρστήσεις γρφικά τις κόλουθες συνρτήσεις: i. f() ++ ii. g() iii. h() Ν χράξεις στο ίδιο σύστηµ συντετγµένων τις γρ. πρστάσεις των συνρτήσεων: i. f() - +- κι g() - +- ii. f() -3 κι g() Βρες το τριώνυµο του οποίου η γρφική πράστση διέρχετι πό τ σηµεί: Α(3, 0), Β(, ) κι Γ(0, 4). 65. Αν η συνάρτηση f()λ (λ λ-4)+-λ προυσιάζει µέγιστο γι, ν βρεις: i. τ διστήµτ µονοτονίς της ii. τον πργµτικό ριθµό λ κι το σύνολο τιµών της. 66. Βρες τους πργµτικούς κ, λ ν είνι γνωστό ότι η πρβολή y(κ-) +(λ+)+3 έχει κορυφή το σηµείο Κ(-, 5).

87 86 δηµήτρη ποιµενίδη 67. Βρες τις τιµές του πργµτικού ριθµού λ γι τις οποίες η πρβολή y +(λ+)+λ i. έχει άξον συµµετρίς τον y y ii. εφάπτετι στον. 68. Ν βρεις το γεωµετρικό τόπο των κορυφών των πρβολών y -λ+ (λ R). 69. Έν κινητό κινείτι στο κρτεσινό επίπεδο κι t sec µετά την ένρξη της κίνησής του βρίσκετι στο σηµείο Μ(t-, t t). i. πό ποιο σηµείο ξεκίνησε το κινητό; ii. σε ποι χρονική στιγµή θ βρεθεί το κινητό στο σηµείο Α(3, ); iii. ποι είνι η γρµµή πάνω στην οποί κινείτι; iv. σε ποι χρονική στιγµή θ βρεθεί το κινητό στο χµηλότερο σηµείο της τροχιάς του; 70. Ν ποδείξεις ότι πό όλ τ ορθογώνι µε στθερή περίµετρο το µεγλύτερο εµβδόν το έχει το τετράγωνο. 7. Έν πλοίο βρίσκετι στο στίγµ Α, 30Km ντολικά του στίγµτος Ο κι κινείτι δυτικά µε τχύτητ 5Km/h. Έν άλλο πλοίο βρίσκετι στο στίγµ Β, 0Km βόρει του Ο κι κινείτι νότι µε τχύτητ 5Km/h. i. ν βρεις την πόστση s(t) των δύο πλοίων ύστερ πό t ώρες. ii. ύστερ πό πόσες ώρες γίνετι ελάχιστη η πόστση; B 5Km/h 0Km O W 30Km N E S 5Km/h A 7. Έν πρκτορείο διοργνώνει µί εκδροµή γι 40 τουλάχιστον άτοµ µε τιµή συµµετοχής 600 /άτοµο. Γι ν υξήσει το κέρδος του, κάνει την κόλουθη προσφορά: «γι κάθε επιπλέον (των 40) άτοµο που θ συµµετάσχει, η τιµή συµµετοχής γι όλ τ άτοµ µειώνετι κτά 0». Πόσ άτοµ πρέπει ν συµµετάσχουν γι ν έχει τ µέγιστ δυντά έσοδ; 73. Αφού λύσεις λγεβρικά, ν πρστήσεις γρφικά τ κόλουθ συστήµτ: y 6+5 +y-0 y3 +y-30 i. ii. iii. iv. y-7 +y 4 y 0 y 74. Ν βρεις τη σχετική θέση της ευθείς yλ- κι της πρβολής y +, γι τις διάφορες τιµές της πργµτικής πρµέτρου λ. 75. Ν εκφράσεις τις κόλουθες συνρτήσεις ως συνθέσεις άλλων συνρτήσεων: i. f()(3-) 5 ii. f() - + iii. f() 4 - iv. f() + -3

88 άλγεβρ λυκείου Ν ορίσεις τις κόλουθες συνρτήσεις: - i. gof ν f() - κι g() - + ii. fos ν f() κι s() iii. fof ν f() Ν εξετάσεις ν ορίζετι η ντίστροφη συνάρτηση των συνρτήσεων: i. f() ++ ii. f() 4 - iii. f()+ + 3 iv. f() Ν βρεις (ν είνι δυντόν) την ντίστροφη των κολούθων συνρτήσεων: i. f()3- ii. f() Ν βρεις (ν είνι δυντόν) την ντίστροφη της συνάρτησης f()- κι ν χράξεις τις γρφικές πρστάσεις των f, f - µζί µε την ευθεί y. 80. ίνετι η συνάρτηση f() 3 +- i. ν ποδείξεις ότι η f είνι - ii. ν λύσεις την εξίσωση: f( 5) -.

89 88 δηµήτρη ποιµενίδη. Αφού Ω τ σύνολ κι είνι συµπληρωµτικά.. Αν Α Β τότε Α Β ενώ Α Β κι Α Β Η συνάρτηση f της οποίς τη γρφική πράστση c f βλέπεις δίπλ προυσιάζει: y στο ολικό ελάχιστο το y c f στο ολικό µέγιστο το y στο τοπικό µέγιστο το y Γι τη συνάρτηση f της οποίς τη γρφική πράστση c f βλέπεις δίπλ ισχύουν: y lim f() ενώ f() c f φού lim f() f() η f δεν είνι στο σηµείο Η συνάρτηση f της οποίς τη γρφική πράστση βλέπεις στο διπλνό σχήµ, έχει: y D f c f f(d f ) είνι γνησίως ύξουσ στ διστήµτ: κι στθερή στο: γι η f προυσιάζει ολικό το yf() επίσης ισχύει: lim f()

90 άλγεβρ λυκείου Ν συµπληρώσεις την ηµιτελή γρφική πράστση κάποις συνάρτησης f που βλέπεις στο διπλνό σχήµ, ν είνι γνωστό ότι η f είνι περιττή στο διάστηµ [-5,5] c f y 7. Αν 0 D f κι η συνάρτηση f είνι περιττή τότε f(0) 8. Στο διπλνό σχήµ βλέπεις τη γρφική πράστση κάποις συνάρτησης f. Ν συµπληρώσεις στο ίδιο σχήµ κι µε διφορετικό χρώµ τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων g() -f() κι s() f () y c f 9. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο R τότε ισχύει: f() f(+ ). (<,,, ή >; ) 0. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ στο R κι f(+) < f(3), τότε ισχύει: (<,,, ή >; ). Η γρφική πράστση της συνάρτησης f() 3 - είνι µί ε η οποί έχει : λ ε Αν ω είνι η γωνί που σχηµτίζει η ε µε τον τότε εφω συνεπώς ω Αν το σύστηµ +β yγ +β yγ έχει DD D y 0 τότε είνι όριστο εκτός πό την περίπτωση οπότε είνι

91 90 δηµήτρη ποιµενίδη -yβ 3. Το σύστηµ είνι δύντο ότν y 4. Αν γι τις ορίζουσες ενός γρµµικού συστήµτος ισχύει η σχέση: D -4 +(D y +) + D - 0 τότε η λύση του συστήµτος είνι: (, y) Με δύο µεττοπίσεις, οριζόντι κτά - κι κτκόρυφ κτά της πρβολής y προκύπτει η γρφική πράστση της συνάρτησης f() Η κµπύλη µε εξίσωση y -5+4 είνι µε άξον συµµετρίς την ευθεί κορυφή το σηµείο κι έχει µε τους άξονες κοινά σηµεί τ Αν η πρβολή y +β+γ έχει 0 τότε κοινό της σηµείο µε τους άξονες είνι το Η γρφική πράστση της συνάρτησης f() προυσιάζει συµµετρί ως προς Η σύνθεση της συνάρτησης f() + µε τη συνάρτηση g() (-) είνι η συνάρτηση h() Η συνάρτηση y+ είνι συνεπώς ορίζετι η ντίστροφή της συνάρτηση η οποί έχει τύπο y

92 άλγεβρ λυκείου 9. Αντιστοίχισε τ σύνολ που βλέπεις ριστερά στις εποπτικές τους προυσιάσεις που βλέπεις µε τη µορφή σκισµένων χωρίων στ διγράµµτ Venn δεξιά. Α Β. Α Β. Ω Α Β. Α Β β. Ω 3. Α Β γ. Α Β Ω 4. Ω δ. Α Β Ω 5. Β ε. Α Β Ω. Αντιστοίχισε τους ριθµούς που βλέπεις ριστερά στις εικόνες τους, µέσω της συνάρτησης f() , που βλέπεις µετξύ των υπολοίπων ριθµών δεξιά β. 3. γ δ ε. 8

93 9 δηµήτρη ποιµενίδη 3. Αντιστοίχισε τις συνρτήσεις στις γρφικές τους πρστάσεις:. f(). f() - 3. f() - 4. f() - -. β. γ. δ. 4. Αντιστοίχισε τις συνρτήσεις στις γρφικές τους πρστάσεις:. f(). g() - 3. y +. β. γ. 5. Αντιστοίχισε τις συνρτήσεις στις γρφικές τους πρστάσεις:. β. γ.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

δηµήτρη ποιµενίδη άλγεβρα α λυκείου

δηµήτρη ποιµενίδη άλγεβρα α λυκείου δηµήτρη ποιµενίδη άλγεβρ λυκείου Θεσσλονίκη 0 φιερωµένο στην ειρήνη άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr το λεξιλόγιο της µθηµτικής λογικής κι τ σύνολ δηµήτρη ποιµενίδη paul gauguin (848-903) the midday nap (894)

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές

Διαβάστε περισσότερα

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x)

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)]

1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)] Γι ποιες τιμές του ορίζοντι οι πρστάσεις ; δ 9 7 ε Ν υπολογιστούν οι πρκάτω πρστάσεις : Α = 7 Ν γίνουν οι πράξεις: Β = 7 γ στ [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] Αν = 9 0 8 κι = 0,00 ν υπολογίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 193 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 194 Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής ενός πργμτικού ριθμού Μονάδες 5 Β. Αν 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι ν ποδείξετε ότι: μ μν ν = Γ. Ν χρκτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Έννοιες

Επαναληπτικές Έννοιες Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Α Ενιίου Λυκείου Άλγεβρ Α Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ 78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 0 Υπερολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Oρισµός Υπερολή ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η διφορά των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη πο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε

Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΥΠΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΝΑΜΕΩΝ I. ν... ν πράγοντες, ν, ν ν> ν Rκι ν Ν II. ν, ν µ, ν Ν µ ν ν µ, >, µ Ζ, µ ν ν Ν κι εάν Ορισµός : Αν > κι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α.. Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου Α.. ) Βλέπε τον ορισµό στη σελίδ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης 1 Θ Ε Ω Ρ Ι Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Τ Υ Π Ο Ι Ι Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α Μηδενικό διάνυσµ: AA= 0 µε οποιδήποτε κτεύθυνση Μονδιίο διάνυσµ: AB = 1 Αντίθετ δινύσµτ: ντίθετη

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων;

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Α) Ν πντήσετε στις πρκάτω ερωτήσεις 1. Τι ονοµάζετι διάνυσµ κι πώς συµβολίζετι;. Ποιο διάνυσµ ονοµάζετι µηδενικό; 3. Τι ονοµάζετι µέτρο ενός δινύσµτος κι πώς συµβολίζετι; 4. Ποιο διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Αγγελική Βλάχου Αργύρης Φελλούρης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Αγγελική Βλάχου Αργύρης Φελλούρης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Αγγελική Βλάχου Αργύρης Φελλούρης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ 1.1. Κάθε πρότση της μορφής f(x) = φ(x), όπου f κι φ είνι λγερικές πρστάσεις της μετλητής

Διαβάστε περισσότερα

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ένς Πίνκς συντελεστών Α µπορεί ν έχει ντίστροφο δηλδή, µπορεί ν είνι «µηιδιάζων» µόνο εάν είνι τετργωνικός Η συνθήκη τετργωνικότητς είνι νγκί λλά όχι κι ικνή γι την ύπρξη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επνέκδοση του πρόντος βιβλίου πργμτοποιήθηκε πό το Ινστιτούτο Τεχνολογίς Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφντος»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 9 Έλλειψη Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έλλειψη ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Η γενική µορφή της β βάθµις εξίσωσης + β + γ 0, 0. Οι λύσεις της β βάθµις εξίσωσης β 4γ Η εξίσωση + β + γ 0, 0 Ότν > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες, τις, Ότν 0 Έχει µί διπλή ρίζ,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο Μθημτικά Β Κτ/νσης ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός: Έλλειψη με εστίες Ε κι Ε λέγετι ο γεωμ τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του ΕΈ Το στθερό υτό άθροισμ

Διαβάστε περισσότερα