A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

Transcript

1 A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο μονάδων = 84) Θέμα ο : (α) Σας δίνεται σύνολο αριθμών κινητής υποδιαστολής M M, t, L, U. Εξηγείστε τι ακριβώς είναι η κάθε παράμετρος. Δώστε αριθμητικό παράδειγμα ενός μη-ακέραιου αριθμού M. Ποιος είναι ο μικρότερος, mi, και ποιος ο μέγιστος αριθμός, ma, αυτού του συνόλου? (4 μονάδες). (β) Δώστε τον ορισμό του έψιλον της μηχανής,. Πόσος είναι ο αριθμός αυτός (θεωρητικά) για το σύστημα που σας δόθηκε στο πρώτο υποερώτημα? (4 μονάδες) (γ) Πως θα υπολογίζατε στον υπολογιστή την συνάρτηση όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια? (4 μονάδες). f e,, όπου,, με, (δ) Έστω y, με y. Υπολογίστε το σχετικό λάθος για την πράξη y στις εξής δύο περιπτώσεις: (i), y M και (ii), y M όπου M είναι ένα σύνολο αριθμών κινητής υποδιαστολής. (8 μονάδες) μία συστολή με σταθερά Lipschitz L. Αποδείξτε ότι: (α) η έχει στο διάστημα ab, σταθερό σημείο (β) το σημείο αυτό είναι μοναδικό (γ) η ακολουθία που Θέμα ο : Έστω συνάρτηση : ab, ab, παράγεται από την γενική επαναληπτική μέθοδο ( μονάδες) είναι καλά ορισμένη και συγκλίνει προς το. Θέμα ο. (α) Ποια είναι η γενική μορφή της μεθόδου Newto-Raphso για την εύρεση της ρίζας της γενικής αλγεβρικής εξίσωσης f? ( μονάδες) (β) Με χρήση αναπτύγματος Taylor αποδείξτε ότι η μέθοδος όταν συγκλίνει, συγκλίνει (τουλάχιστον) τετραγωνικά, δηλαδή ότι: lim c όπου, c είναι σταθερά και προσεγγίσεων της ρίζας η οποία παράγεται με την μέθοδο αυτή. ( μονάδες) (γ) Θεωρείστε την συνάρτηση f : είναι η ακολουθία με f e. Εφαρμόστε την μέθοδο Newto-Raphso για την εύρεση της ρίζας της εξίσωσης f θεωρώντας κατάλληλη αρχική προσέγγιση της ρίζας,, και στην συνέχεια υπολογίστε το. (8 μονάδες)

2 Θέμα 4 ο. (α) Σας δίνεται το γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων: bc, a bc, abc. Περιγράψτε και εφαρμόστε τα δύο βασικά βήματα της μεθόδου απαλοιφής του Gauss με μερική οδήγηση για να υπολογίσετε τα ab, και c. (8 μονάδες) (β) Δώστε τον ορισμό της φυσικής νόρμας πινάκων στον συνέχεια θεωρείστε τον πίνακα A καθώς και τις ιδιότητες που την διέπουν. Στην για τον οποίο σας ζητείτε να υπολογίστε τις νόρμες A, A, A (γ) Έστω πίνακας και A E. (8 μονάδες) A για τον οποίο ισχύει det A και διάνυσμα b με b. Στην συνέχεια θεωρείστε το γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων A b, για το οποίο γνωρίζετε ότι ο πίνακας A μπορεί να μεταβληθεί κατά την ποσότητα A. Γνωρίζοντας ότι A A αποδείξτε την σχέση: A A. ( 8 μονάδες) A A A

3 B Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο μονάδων = 84) Θέμα ο : (α) Σας δίνεται σύνολο αριθμών κινητής υποδιαστολής M M, t 4, L 6, U 5. Εξηγείστε τι ακριβώς είναι η κάθε παράμετρος. Δώστε αριθμητικό παράδειγμα ενός μη-ακέραιου αριθμού M. Ποιος είναι ο μικρότερος, mi, και ποιος ο μέγιστος αριθμός, ma, αυτού του συνόλου? (4 μονάδες). (β) Δώστε τον ορισμό του έψιλον της μηχανής,. Πόσος είναι ο αριθμός αυτός (θεωρητικά) για το σύστημα που σας δόθηκε στο πρώτο υποερώτημα? (4 μονάδες) (γ) Εστω ότι θέλετε να υπολογίσετε στον υπολογιστή την συνάρτηση f l,. Στην, περίπτωση που πως θα κάνατε τον υπολογισμό με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια? (4 μονάδες). (δ) Έστω y, με y. Υπολογίστε το σχετικό λάθος για την πράξη y για την περίπτωση που, y M, όπου M είναι ένα σύνολο αριθμών κινητής υποδιαστολής. (6 μονάδες) Θέμα ο : Έστω συνάρτηση : ab, ab, στο διάστημα ab, σταθερό σημείο μία συστολή με σταθερά Lipschitz L. Δείξτε ότι: (α) η έχει παράγεται από την γενική επαναληπτική μέθοδο μονάδες) (β) το σημείο αυτό είναι μοναδικό (γ) η ακολουθία είναι καλά ορισμένη και συγκλίνει στο που. ( Θέμα ο. (α) Ποια είναι η γενική μορφή της μεθόδου Newto-Raphso για την εύρεση της ρίζας,, της γενικής αλγεβρικής εξίσωσης f? Με χρήση αναπτύγματος Taylor αποδείξτε ότι η μέθοδος όταν συγκλίνει, συγκλίνει (τουλάχιστον) τετραγωνικά, δηλαδή ότι: και lim c όπου, c είναι σταθερά είναι η ακολουθία προσεγγίσεων της ρίζας η οποία παράγεται με την μέθοδο αυτή. ( μονάδες) (β) Ποια είναι η γενική μορφή της μεθόδου της τέμνουσας και πως αυτή προκύπτει από την μέθοδο Newto- Raphso? Στην συνέχεια εφαρμόστε την μέθοδο της τέμνουσας για να βρείτε την θετική ρίζα της εξίσωσης

4 f όπου f 4. Εφαρμόστε την μέθοδο θεωρώντας κατάλληλες αρχικές προσεγγίσεις της ρίζας,, και στην συνέχεια υπολογίστε το. ( μονάδες) Θέμα 4 ο. (α) Σας δίνεται το γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων: abc, a bc, abc. Περιγράψτε και εφαρμόστε τα δύο βασικά βήματα της μεθόδου απαλοιφής του Gauss για να υπολογίσετε τα ab, και c. (8 μονάδες) (β) Δώστε τον ορισμό της φυσικής νόρμας πινάκων στον καθώς και τις ιδιότητες που την διέπουν. Στην 4 συνέχεια θεωρείστε τον πίνακα A για τον οποίο σας ζητείτε να υπολογίστε τις νόρμες A, A και A E. (6 μονάδες) (γ) Έστω πίνακας A για τον οποίο ισχύει det A και διάνυσμα b με b. Στην συνέχεια θεωρείστε το γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων A b, για το οποίο γνωρίζετε ότι ο πίνακας A μπορεί να μεταβληθεί κατά την ποσότητα A. Γνωρίζοντας ότι A A αποδείξτε την σχέση: A A. (8 μονάδες) A A A 4

5 Γ Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο μονάδων = 84) Θέμα ο : (α) Έστω.56 και η προσεγγιστική του τιμή.56. Υπολογίστε το σχετικό και το απόλυτο λάθος της προσέγγισης αυτής. Ποιο από αυτά τα δύο μεγέθη αντιπροσωπεύει καλύτερα το λάθος της προσέγγισης? (4 μονάδες). (β) Δώστε τον ορισμό του έψιλον της μηχανής, και φτιάξτε ένα απλό αλγόριθμο για τον προσεγγιστικό υπολογισμό του στον υπολογιστή. (8 μονάδες) (γ) Πως θα υπολογίζατε στον υπολογιστή την συνάρτηση όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια? (4 μονάδες). f e,, για,, με, Θέμα ο. Ποια είναι η γενική μορφή της μεθόδου Newto-Raphso για την εύρεση της ρίζας της γενικής αλγεβρικής εξίσωσης f? Στην συνέχεια, με χρήση αναπτύγματος Taylor αποδείξτε ότι η μέθοδος όταν συγκλίνει, συγκλίνει (τουλάχιστον) τετραγωνικά, δηλαδή ότι: και lim c όπου, c είναι σταθερά είναι η ακολουθία προσεγγίσεων της ρίζας η οποία παράγεται με την μέθοδο αυτή. ( μονάδες) (β) Θεωρείστε την συνάρτηση :[,] f με f e. Εφαρμόστε την μέθοδο Newto-Raphso για να βρείτε την ρίζα της εξίσωσης f, θεωρώντας κατάλληλη αρχική προσέγγιση της ρίζας,, και στην συνέχεια υπολογίστε το. (8 μονάδες) Θέμα ο. Σας ζητείται η εύρεση της ρίζας της εξίσωσης f με (i) της γενικής επαναληπτικής μεθόδου (6 μονάδες) f e με χρήση: Υπάρχει διάστημα [ ab, ], ab, για το οποίο να ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος της συστολής για την επαναληπτική μέθοδο που επιλέξατε? (6 μονάδες) (ii) της μεθόδου της τέμνουσας (8 μονάδες) 5

6 Για την κάθε μία από αυτές τις μεθόδους βρείτε την προσέγγιση της ρίζας,, ξεκινώντας από οποιαδήποτε αρχική προσέγγιση θεωρείτε κατάλληλη. Θέμα 4 ο. (α) Σας δίνεται το γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων: bc, a bc, abc. Περιγράψτε και εφαρμόστε τα δύο βασικά βήματα της μεθόδου απαλοιφής του Gauss με μερική οδήγηση για να υπολογίσετε τα ab, και c. (8 μονάδες) (β) Σας δίνονται τα παρακάτω δύο συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων: 4 (i) 4 (ii) όπου, Ποια από τα δύο αυτά συστήματα μπορεί να λυθεί με τις μεθόδους Jacobi και Gauss-Seidel? Στην συνέχεια, για το σύστημα που επιλέξατε και θεωρώντας οποιοδήποτε αρχική προσέγγιση της λύσης θεωρείτε κατάλληλη, υπολογίστε την προσέγγιση που παράγουν οι μέθοδοι αυτοί. ( μονάδες) (γ) Σας δίνεται ο πίνακας A για τον οποίο σας ζητείτε να υπολογίστε τις νόρμες A, A, A και A E. (8 μονάδες) 6

7 Δ Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο μονάδων = 84) Θέμα ο : (α) Έστω.55 και η προσεγγιστική του τιμή.5. Υπολογίστε το σχετικό και το απόλυτο λάθος της προσέγγισης αυτής. Ποιο από αυτά τα δύο μεγέθη αντιπροσωπεύει καλύτερα το λάθος της προσέγγισης? (4 μονάδες). (β) Δώστε τον ορισμό του έψιλον της μηχανής, και φτιάξτε ένα απλό αλγόριθμο για τον προσεγγιστικό υπολογισμό του στον υπολογιστή. (8 μονάδες) (γ) Πως θα υπολογίζατε στον υπολογιστή την συνάρτηση όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια? (4 μονάδες). f l,, για,, με, Θέμα ο. (α) Ποια είναι η γενική μορφή της μεθόδου Newto-Raphso για την εύρεση της ρίζας της γενικής αλγεβρικής εξίσωσης f? Στην συνέχεια, με χρήση αναπτύγματος Taylor αποδείξτε ότι η μέθοδος όταν συγκλίνει, συγκλίνει (τουλάχιστον) τετραγωνικά, δηλαδή ότι: και lim c όπου, c είναι σταθερά είναι η ακολουθία προσεγγίσεων της ρίζας η οποία παράγεται με την μέθοδο αυτή. ( μονάδες) (β) Θεωρείστε την συνάρτηση :[,] f με f si. Εφαρμόστε την μέθοδο Newto- Raphso για να βρείτε την ρίζα της εξίσωσης f θεωρώντας κατάλληλη αρχική προσέγγιση της ρίζας,, και στην συνέχεια υπολογίστε το. (8 μονάδες) Θέμα ο. Σας ζητείται η εύρεση της ρίζας της εξίσωσης f με f 5 (i) της γενικής επαναληπτικής μεθόδου (6 μονάδες) κάνοντας χρήση: Υπάρχει διάστημα [ ab, ], ab, για το οποίο να ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος της συστολής για την επαναληπτική μέθοδο που επιλέξατε? (6 μονάδες) (ii) της μεθόδου της τέμνουσας (8 μονάδες) 7

8 Για την κάθε μία από αυτές τις μεθόδους βρείτε την προσέγγιση της ρίζας,, ξεκινώντας από οποιαδήποτε αρχική προσέγγιση θεωρείτε κατάλληλη. Θέμα 4 ο. (α) Σας δίνεται το γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων: bc, a bc, abc. Περιγράψτε και εφαρμόστε τα δύο βασικά βήματα της μεθόδου απαλοιφής του Gauss με μερική οδήγηση για να υπολογίσετε τα ab, και c. (8 μονάδες) (β) Σας δίνονται τα παρακάτω δύο συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων: 4 (i) 4 (ii) όπου, Ποια από τα δύο αυτά συστήματα μπορεί να λυθεί με τις μεθόδους Jacobi και Gauss-Seidel? Στην συνέχεια, για το σύστημα που επιλέξατε και θεωρώντας οποιοδήποτε αρχική προσέγγιση της λύσης θεωρείτε κατάλληλη, υπολογίστε την προσέγγιση που παράγουν οι μέθοδοι αυτοί. ( μονάδες) (γ) Σας δίνεται ο πίνακας A - για τον οποίο σας ζητείτε να υπολογίστε τις νόρμες A, A, A και A E. (8 μονάδες) 8

9 Α Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Σεπτεμβρίου 6 Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο μονάδων = 84) Θέμα ο : (α) Εκφράστε τους αριθμούς. και. σε μορφή αριθμών κινητής υποδιαστολής με βάση το ( μονάδες). (β) Να γίνει αποκοπή και στρογγυλοποίηση των αριθμών.56 και.66 με σημαντικά ψηφία ( μονάδες). (γ) Περιγράψτε τις παραμέτρους που χαρακτηρίζουν τους αριθμούς μηχανής ενός υπολογιστή ( μονάδες). (δ) Είναι δυνατόν να αντιπροσωπευθεί ένας άρρητος αριθμός στον υπολογιστή και γιατί? ( μονάδες) (ε) Πως θα υπολογίζατε στον υπολογιστή την συνάρτηση f με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια? (5 μονάδες). (στ) Έστω ότι θέλετε να υπολογίσετε τους όρους της ακολουθία I I I si,, όπου,,, I σύμφωνα με τον απλό αλγόριθμο:,,. Εξετάστε αν ο αλγόριθμος αυτός είναι ευσταθής ή ασταθής ( μονάδες). Θέμα ο : Θεωρείστε την συνάρτηση, f : (α) Δείξτε ότι η εξίσωση f έχει μοναδική ρίζα (β) Έστω ότι θέλετε να υπολογίσετε αριθμητικά το με f e ελάχιστο αριθμό διχοτομήσεων,, που πρέπει εφαρμοσθεί έτσι ώστε. Δείξτε επίσης ότι, (4 μονάδες). με την μέθοδο της διχοτόμησης. Υπολογίστε τον 4, όπου είναι η ακολουθία προσεγγίσεων της ρίζας που παράγεται με την μέθοδο αυτή. Στην συνέχεια, υπολογίστε το ξεκινώντας από οποιοδήποτε θεωρείτε κατάλληλο (8 μονάδες). (γ) Δώστε τον ορισμό του σταθερού σημείου μίας συνάρτησης και στην συνέχεια αποδείξτε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση : ab, ab, έχει στο διάστημα, ab τουλάχιστον ένα σταθερό σημείο (8 μονάδες). 9

10 (δ) Δώστε την γενική μορφή της μεθόδου Newto-Raphso για την εύρεση της ρίζας της αλγεβρικής εξίσωσης f και στην συνέχεια, με χρήση αναπτύγματος Taylor, αποδείξτε ότι συγκλίνει (τουλάχιστον) τετραγωνικά, δηλαδή ότι: lim c όπου, c είναι σταθερά και προσεγγίσεων της ρίζας η οποία παράγεται με την μέθοδο αυτή ( μονάδες). είναι η ακολουθία Θέμα ο. (α) Σας δίνονται τα παρακάτω δύο γραμμικά συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων: (i) abc, abc, abc (iι) abc, 4abc, ab5c Ποιο από τα δύο αυτά συστήματα μπορεί να λυθεί με τις μεθόδους Jacobi και Gauss-Seidel και γιατί? Στην συνέχεια υπολογίστε τις προσεγγίσεις που παράγουν αυτές οι δύο μέθοδοι, ξεκινώντας με οποιαδήποτε προσέγγιση θεωρείτε κατάλληλη, όπου είναι το διάνυσμα που σχηματίζουν οι άγνωστοι abc,, με οποιαδήποτε σειρά θεωρείτε κατάλληλη ( μονάδες). (β) Έστω A και μία διανυσματική νόρμα στον καθώς και η αντίστοιχη φυσική νόρμα πινάκων που παράγεται από αυτήν στον. Αν A αποδείξτε ότι ο πίνακας I A είναι αντιστρέψιμος πίνακας, A A όπου I είναι ο μοναδιαίος πίνακας, καθώς επίσης ότι: I A (γ) Δώστε τον ορισμό του δείκτη κατάστασης A ενός πίνακα ( μονάδες). det A A για τον οποίο ισχύει και αποδείξτε ότι A. Στην συνέχεια θεωρείστε το γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων A b, b, με b για το οποίο γνωρίζετε ότι το b μπορεί να μεταβληθεί κατά την ποσότητα b. Αποδείξτε ότι: A b (8 μονάδες). b

11 Β Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Σεπτεμβρίου 6 Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία του κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο μονάδων = 84) Θέμα ο : (α) Εκφράστε τους αριθμούς.76 και. σε μορφή αριθμών κινητής υποδιαστολής με βάση το ( μονάδες). (β) Να γίνει αποκοπή και στρογγυλοποίηση των αριθμών και.68 με σημαντικά ψηφία ( μονάδες). (γ) Περιγράψτε τις παραμέτρους που χαρακτηρίζουν τους αριθμούς μηχανής ενός υπολογιστή ( μονάδες). (δ) Είναι δυνατόν να αντιπροσωπευθεί ένας άρρητος αριθμός στον υπολογιστή και γιατί? ( μονάδες) (ε) Πως θα υπολογίζατε στον υπολογιστή την συνάρτηση f,, με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια? (5 μονάδες). I (στ) Έστω ότι θέλετε να υπολογίσετε τους όρους της ακολουθία I I I cos,, όπου, σύμφωνα με τον απλό αλγόριθμο:,,. Εξετάστε αν ο αλγόριθμος αυτός είναι ευσταθής ή ασταθής ( μονάδες). Θέμα ο : Θεωρείστε την συνάρτηση, f : με f l (α) Δείξτε ότι η εξίσωση f έχει μοναδική ρίζα (β) Έστω ότι θέλετε να υπολογίσετε αριθμητικά το ελάχιστο αριθμό διχοτομήσεων,, που πρέπει εφαρμοσθεί έτσι ώστε. Δείξτε επίσης ότι.5, (4 μονάδες). με την μέθοδο της διχοτόμησης. Υπολογίστε τον 5, όπου είναι η ακολουθία προσεγγίσεων της ρίζας που παράγεται με την μέθοδο αυτή. Στην συνέχεια, υπολογίστε το ξεκινώντας από οποιοδήποτε θεωρείτε κατάλληλο (8 μονάδες). (γ) Δώστε τον ορισμό του σταθερού σημείου μίας συνάρτησης και στην συνέχεια αποδείξτε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση : ab, ab, έχει στο διάστημα, ab τουλάχιστον ένα σταθερό σημείο (8 μονάδες).

12 (δ) Δώστε την γενική μορφή της μεθόδου Newto-Raphso για την εύρεση της ρίζας της αλγεβρικής εξίσωσης f και στην συνέχεια, με χρήση αναπτύγματος Taylor, αποδείξτε ότι συγκλίνει (τουλάχιστον) τετραγωνικά, δηλαδή ότι: lim c όπου, c είναι σταθερά και προσεγγίσεων της ρίζας η οποία παράγεται με την μέθοδο αυτή ( μονάδες). είναι η ακολουθία Θέμα ο. (α) Σας δίνονται τα παρακάτω δύο γραμμικά συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων: (i) abc, 4abc, ab5c (ii) abc, abc, abc Ποιο από τα δύο αυτά συστήματα μπορεί να λυθεί με τις μεθόδους Jacobi και Gauss-Seidel και γιατί? Στην συνέχεια υπολογίστε τις προσεγγίσεις που παράγουν αυτές οι δύο μέθοδοι, ξεκινώντας με οποιαδήποτε προσέγγιση θεωρείτε κατάλληλη, όπου είναι το διάνυσμα που σχηματίζουν οι άγνωστοι abc,, με οποιαδήποτε σειρά θεωρείτε κατάλληλη ( μονάδες). (β) Έστω A και μία διανυσματική νόρμα στον καθώς και η αντίστοιχη φυσική νόρμα πινάκων στον που παράγεται από αυτήν. Αν A αποδείξτε ότι ο πίνακας I A είναι αντιστρέψιμος πίνακας, A A όπου I είναι ο μοναδιαίος πίνακας, καθώς επίσης ότι: I A (γ) Δώστε τον ορισμό του δείκτη κατάστασης A ενός πίνακα ( μονάδες). det A A για τον οποίο ισχύει και αποδείξτε ότι A. Στην συνέχεια θεωρείστε το γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων A b, b, με b για το οποίο γνωρίζετε ότι το b μπορεί να μεταβληθεί κατά την ποσότητα b. Αποδείξτε ότι: A b (8 μονάδες). b

13 Α Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 7 -- Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας -- Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υποερωτήματος. Σύνολο μονάδων = 8) Θέμα ο ( μονάδες): (α) Τι αντιπροσωπεύει η κάθε παράμετρος ενός συνόλου αριθμών μηχανής M M,, t U, L πλήθος των στοιχείων του M και ποια τα ma M, mi M ; (5 μονάδες). ; Ποιο είναι το (β) Έστω δύο αριθμοί μηχανής, y M. Υπολογίστε το άνω φράγμα για το σχετικό σφάλμα των πράξεων (i) y, (ii) y, (iii) y ( μονάδες). (γ) Θεωρείστε το σύνολο αριθμών μηχανής M M, t, U, L =.478 και y=.. Ποιοι είναι οι αριθμοί fl, και τους αριθμούς fl y και πόσο είναι τα αντίστοιχα απόλυτα σφάλματα με δεδομένο ότι η προσέγγιση αριθμών γίνεται με στρογγυλοποίηση; ( μονάδες)., (δ) Πως θα υπολογίζατε στον υπολογιστή την συνάρτηση f ta, όπου,, με, όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια; (5 μονάδες). (ε) Τι είναι το λάθος υπερχείλισης και τι το λάθος υπεκχείλισης στον υπολογιστή; Ποιο από αυτά είναι το πιο e σημαντικό; Πως θα υπολογίζατε την έκφραση έτσι ώστε να αποφύγετε διακοπή του υπολογιστικού e προγράμματος για πολύ μεγάλες τιμές του ; (5 μονάδες). Θέμα ο ( μονάδες): Θεωρείστε την συνάρτηση, f : με f cos (α) Δείξτε ότι η εξίσωση f έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα,. Επιλέξτε κατάλληλη μορφή για με την μέθοδο σταθερού σημείου για να υπολογίσετε την ρίζα αυτή (για την μορφή που θα επιλέξετε να ). Στην αποδείξετε ότι η ακολουθία προσεγγίσεων της ρίζας θα συγκλίνει στην ρίζα για κάθε, συνέχεια, εφαρμόστε την μέθοδο που επιλέξατε για να υπολογίσετε το, ξεκινώντας από κατάλληλη αρχική προσέγγιση της ρίζας, ( μονάδες). (β) Δώστε την γενική μορφή της μεθόδου Newto-Raphso για την εύρεση της ρίζας της αλγεβρικής εξίσωσης f και στην συνέχεια, με χρήση αναπτύγματος Taylor, αποδείξτε ότι η μέθοδος, όταν συγκλίνει, συγκλίνει τουλάχιστον τετραγωνικά δηλαδή ότι: lim c όπου, c είναι η ασυμπτωτική σταθερά του λάθος και είναι η ακολουθία προσεγγίσεων της ρίζας η οποία παράγεται με την μέθοδο αυτή. Σε ποια περίπτωση η σύγκλιση είναι ακόμα μεγαλύτερη της τετραγωνικής; ( μονάδες).

14 (γ) Περιγράψτε την μέθοδο Newto-Raphso για την εύρεση της λύσης,, y του συστήματος εξισώσεων:, ep, f y y g, y si( y) l( y) ( μονάδες). Θέμα ο ( μονάδες): (α) Δώστε τον ορισμό του θετικά ορισμένου πίνακα ( μονάδες). 4 c (β) Δίνεται πίνακας A με A c. Με δεδομένο το γεγονός ότι «κάθε πραγματικός και συμμετρικός πίνακας είναι θετικά ορισμένος αν και μόνο αν οι ιδιοτιμές του είναι θετικές», βρείτε σε ποιο διάστημα θα πρέπει να ανήκει η παράμετρος c ώστε ο πίνακας A να είναι θετικά ορισμένος (6 μονάδες). (γ) Επιλέξτε c έτσι ώστε ο A να είναι θετικά ορισμένος και εφαρμόστε την απαλοιφή Gauss χωρίς οδήγηση για να τον τριγωνοποιήσετε (6 μονάδες). (δ) Εφαρμόστε ανάλυση L-U του πίνακα A, δηλαδή βρείτε τους πίνακες LU, τέτοιοι ώστε A LU. Εξηγείστε την διαδικασία που πρέπει να εφαρμόσετε για να επιλύσετε το γραμμικό πρόβλημα A b όπου b (ε) Έστω (6 μονάδες). A, μία διανυσματική νόρμα στον παράγεται από αυτήν στον I A. Αν A αποδείξτε ότι η απειροσειρά καθώς και η αντίστοιχη φυσική νόρμα πινάκων που I, A, A, A,... συγκλίνει με άθροισμα (Υπόδειξη: θεωρείστε την κατάλληλη ακολουθία μερικών αθροισμάτων και υπολογίστε το όριό της) ( μονάδες). 4

15 Β Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 7 -- Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας -- Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υποερωτήματος. Σύνολο μονάδων = 8) Θέμα ο ( μονάδες): (α) Τι αντιπροσωπεύει η κάθε παράμετρος ενός συνόλου αριθμών μηχανής M M,, t U, L πλήθος των στοιχείων του M και ποια τα ma M, mi M ; (5 μονάδες). ; Ποιο είναι το (β) Έστω δύο αριθμοί μηχανής, y M. Υπολογίστε το άνω φράγμα για το σχετικό σφάλμα των πράξεων (i) y, (ii) y, (iii) y ( μονάδες). (γ) Θεωρείστε το σύνολο αριθμών μηχανής M M, t, U, L =.5 και y=6.. Ποιοι είναι οι αριθμοί fl, και τους αριθμούς fl y και πόσο είναι τα αντίστοιχα απόλυτα σφάλματα με δεδομένο ότι η προσέγγιση αριθμών γίνεται με στρογγυλοποίηση; ( μονάδες)., (δ) Πως θα υπολογίζατε στον υπολογιστή την συνάρτηση f ta, όπου,, με, όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια; (5 μονάδες). (ε) Τι είναι το λάθος υπερχείλισης και τι το λάθος υπεκχείλισης στον υπολογιστή; Ποιο από αυτά είναι το πιο e σημαντικό; Πως θα υπολογίζατε την έκφραση έτσι ώστε να αποφύγετε διακοπή του υπολογιστικού e προγράμματος για πολύ μεγάλες τιμές του ; (5 μονάδες). Θέμα ο ( μονάδες): Θεωρείστε την συνάρτηση, f : με f l 5 (α) Δείξτε ότι η εξίσωση f έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα,. Επιλέξτε κατάλληλη μορφή για με την μέθοδο σταθερού σημείου για να υπολογίσετε την ρίζα αυτή (για την μορφή που θα επιλέξετε να ). Στην αποδείξετε ότι η ακολουθία προσεγγίσεων της ρίζας θα συγκλίνει στην ρίζα για κάθε, συνέχεια, εφαρμόστε την μέθοδο που επιλέξατε για να υπολογίσετε το, ξεκινώντας από κατάλληλη αρχική προσέγγιση της ρίζας, ( μονάδες). (β) Δώστε την γενική μορφή της μεθόδου Newto-Raphso για την εύρεση της ρίζας της αλγεβρικής εξίσωσης f και στην συνέχεια, με χρήση αναπτύγματος Taylor, αποδείξτε ότι η μέθοδος, όταν συγκλίνει, συγκλίνει τουλάχιστον τετραγωνικά δηλαδή ότι: lim c όπου, c είναι η ασυμπτωτική σταθερά του λάθος και είναι η ακολουθία προσεγγίσεων της ρίζας η οποία παράγεται με την μέθοδο αυτή. Σε ποια περίπτωση η σύγκλιση είναι ακόμα μεγαλύτερη της τετραγωνικής; ( μονάδες). (γ) Περιγράψτε την μέθοδο Newto-Raphso για την εύρεση της λύσης,, y του συστήματος εξισώσεων: 4, ep, f y y g, y si( y) l( y) ( μονάδες). 5

16 Θέμα ο ( μονάδες): (α) Δώστε τον ορισμό του θετικά ορισμένου πίνακα ( μονάδες). 4 (β) Δίνεται πίνακας A με A c. Με δεδομένο το γεγονός ότι «κάθε πραγματικός και c συμμετρικός πίνακας είναι θετικά ορισμένος αν και μόνο αν οι ιδιοτιμές του είναι θετικές», βρείτε σε ποιο διάστημα θα πρέπει να ανήκει η παράμετρος c ώστε ο πίνακας A να είναι θετικά ορισμένος (6 μονάδες). (γ) Επιλέξτε c έτσι ώστε ο A να είναι θετικά ορισμένος και εφαρμόστε την απαλοιφή Gauss χωρίς οδήγηση για να τον τριγωνοποιήσετε (6 μονάδες). (δ) Εφαρμόστε ανάλυση L-U του πίνακα A, δηλαδή βρείτε τους πίνακες LU, τέτοιοι ώστε A LU. Εξηγείστε την διαδικασία που πρέπει να εφαρμόσετε για να επιλύσετε το γραμμικό πρόβλημα A b όπου b (ε) Έστω (6 μονάδες). A, μία διανυσματική νόρμα στον παράγεται από αυτήν στον I A. Αν A αποδείξτε ότι η απειροσειρά καθώς και η αντίστοιχη φυσική νόρμα πινάκων που I, A, A, A,... συγκλίνει με άθροισμα (Υπόδειξη: θεωρείστε την κατάλληλη ακολουθία μερικών αθροισμάτων και υπολογίστε το όριό της) ( μονάδες). 6

17 Α Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 8 -- Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας -- Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υποερωτήματος. Σύνολο μονάδων = ) Θέμα ο (5 μονάδες): Δίνεται η συνάρτηση f : με f e (α) Δείξτε ότι η εξίσωση f έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα.,.8. Επιλέξτε κατάλληλη μορφή για την γενική επαναληπτική μέθοδο για να υπολογίσετε την ρίζα αυτή (για την μορφή που θα επιλέξετε να αποδείξετε ότι η ακολουθία ). Στην συνέχεια, εφαρμόστε την μέθοδο προσεγγίσεων της ρίζας θα συγκλίνει στην ρίζα για κάθε.,.8 που επιλέξατε για να υπολογίσετε το, ξεκινώντας από κατάλληλη αρχική προσέγγιση της ρίζας, (5 μονάδες). (β) Εφαρμόστε την μέθοδο Newto-Raphso για να υπολογίστε την προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης που παράγεται από την μέθοδο αυτή. ( μονάδες). 9 5 Θέμα ο (5 μονάδες): Σας δίνεται το γραμμικό σύστημα 4,, του οποίου ο 7 6 πίνακας έχει μη-μηδενική ορίζουσα. Μπορεί το σύστημα αυτό να επιλυθεί με τις μεθόδους Jacobi και Gauss- Seidel και γιατί? Αν όχι, φέρτε το στην κατάλληλη μορφή. (5 μονάδες) Υπολογίστε την προσέγγιση που παράγουν οι μέθοδοι αυτοί θεωρώντας κατάλληλη αρχική προσέγγιση της λύσης. ( μονάδες) Θέμα ο ( μονάδες): Δίνονται τα ζεύγη σημείων i, i,.,,,,., 4,.5 f. Υπολογίστε το πολυώνυμο Lagrage το οποίο παρεμβάλλει την άγνωστη συνάρτηση f στα σημεία αυτά ( μονάδες). Ποια είναι η προβλεπόμενη τιμή της f στο.5 ; (5 μονάδες) Πιο είναι το μέγιστο σφάλμα της παρεμβολής, 4 αν θεωρήσουμε ότι f C 4, 4 ; (5 μονάδες) Θέμα 4 ο () f ( h) f( h) ( μονάδες): Σας δίνεται ο τύπος πεπερασμένων διαφορών f( ) D f( ). h Υπολογίστε πόσο είναι το σφάλμα αποκοπής θεωρώντας ότι η f είναι φορές συνεχώς παραγωγίσιμη στο διάστημα h, h ( μονάδες). Στην συνέχεια χρησιμοποιείστε τον τύπο αυτό για να υπολογίσετε αριθμητικά την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f σε όποια από τα σημεία που δόθηκαν στο ο θέμα είναι εφικτό (5 μονάδες). Διαφορετικά, χρησιμοποιείστε οποιονδήποτε τύπο γνωρίζετε ακόμα και αν δεν είναι της () ίδιας ακρίβειας με τον D f( ). (5 μονάδες) Θέμα 5 ο ( μονάδες):υπολογίστε το ολοκλήρωμα I d 7 με (α) την μέθοδο του ορθογωνίου (5 μονάδες), (β) την μέθοδο του τραπεζίου (5 μονάδες) και (γ) την μέθοδο του Simpso (5 μονάδες). Για την κάθε μέθοδο χρησιμοποιείστε μόνο δύο υποδιαστήματα για να κάνετε τους υπολογισμούς. Πόσο είναι το προσεγγιστικό σφάλμα για την μέθοδο του ορθογωνίου και πόσο για την μέθοδο του τραπεζίου; (5 μονάδες)

18 Β Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 8 -- Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας -- Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υποερωτήματος. Σύνολο μονάδων = ) με Θέμα ο (5 μονάδες): Δίνεται η συνάρτηση f : f e (α) Δείξτε ότι η εξίσωση f έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα.,.8. Επιλέξτε κατάλληλη μορφή για την γενική επαναληπτική μέθοδο για να υπολογίσετε την ρίζα αυτή (για την μορφή που θα επιλέξετε να αποδείξετε ότι η ακολουθία ). Στην συνέχεια, εφαρμόστε την μέθοδο προσεγγίσεων της ρίζας θα συγκλίνει στην ρίζα για κάθε.,.8 που επιλέξατε για να υπολογίσετε το, ξεκινώντας από κατάλληλη αρχική προσέγγιση της ρίζας, (5 μονάδες). (β) Εφαρμόστε την μέθοδο Newto-Raphso για να υπολογίστε την προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης που παράγεται από την μέθοδο αυτή. ( μονάδες). 5 9 Θέμα ο (5 μονάδες): Σας δίνεται το γραμμικό σύστημα 4,, του οποίου ο πίνακας έχει μη-μηδενική ορίζουσα. Μπορεί το σύστημα αυτό να επιλυθεί με τις μεθόδους Jacobi και Gauss- Seidel και γιατί? Αν όχι, φέρτε το στην κατάλληλη μορφή (5 μονάδες). Υπολογίστε την προσέγγιση που παράγουν οι μέθοδοι αυτοί θεωρώντας κατάλληλη αρχική προσέγγιση της λύσης. ( μονάδες) Θέμα ο ( μονάδες): Δίνονται τα ζεύγη σημείων i, i,,,.5,,.8, 4,.75 f. Υπολογίστε το πολυώνυμο Lagrage το οποίο παρεμβάλλει την άγνωστη συνάρτηση f στα σημεία αυτά ( μονάδες). Ποια είναι η προβλεπόμενη τιμή της f στο.5 ; (5 μονάδες). Πιο είναι το μέγιστο σφάλμα της παρεμβολής, 4 αν θεωρήσουμε ότι f C 4, 4 ; (5 μονάδες) Θέμα 4 ο () f ( h) f( h) ( μονάδες): Σας δίνεται ο τύπος πεπερασμένων διαφορών f( ) D f( ). h Υπολογίστε πόσο είναι το σφάλμα αποκοπής θεωρώντας ότι η f είναι φορές συνεχώς παραγωγίσιμη στο διάστημα h, h ( μονάδες). Στην συνέχεια χρησιμοποιείστε τον τύπο αυτό για να υπολογίσετε αριθμητικά την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f σε όποια από τα σημεία που δόθηκαν στο ο θέμα είναι εφικτό (5 μονάδες). Διαφορετικά, χρησιμοποιείστε οποιονδήποτε τύπο γνωρίζετε ακόμα και αν δεν είναι της () ίδιας ακρίβειας με τον D f( ). (5 μονάδες) Θέμα 5 ο ( μονάδες):υπολογίστε το ολοκλήρωμα 8 I e d με (α) την μέθοδο του ορθογωνίου (5 μονάδες), (β) την μέθοδο του τραπεζίου (5 μονάδες) και (γ) την μέθοδο του Simpso (5 μονάδες). Για την κάθε μέθοδο χρησιμοποιείστε μόνο δύο υποδιαστήματα για να κάνετε τους υπολογισμούς. Πόσο είναι το προσεγγιστικό σφάλμα για την μέθοδο του ορθογωνίου και πόσο για την μέθοδο του τραπεζίου; (5 μονάδες)

19 Α Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Σεπτεμβρίου 8 -- Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας -- Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υποερωτήματος. Σύνολο μονάδων = ) Θέμα ο ( μονάδες): (α) Πως θα υπολογίζατε στον υπολογιστή την πραγματική συνάρτηση f si( ) για ώστε να έχετε υψηλή ακρίβεια; (5 μονάδες) (β) Σας δίνεται το σύνολο αριθμών μηχανής M M t 4,, U, L. Πιο θα είναι το αποτέλεσμα της πράξης και γιατί; (5 μονάδες) 4 στην μηχανή αυτή Θέμα ο ( μονάδες): (α) Δίνεται η συνάρτηση f :[, 4] με f cos si 4. Υπολογίστε την προσέγγιση που παράγει η μέθοδος Newto-Raphso για την εύρεση της ρίζας της εξίσωσης f στο διάστημα [, 4] ( μονάδες) (β) Ποια θα ήταν η τροποποίηση της μεθόδου έτσι ώστε, σε κάθε περίπτωση να επιτυγχάνεται η τετραγωνική σύγκλιση; (σημείωση για το β: μην κάνετε υπολογισμούς) ( μονάδες) Θέμα ο ( μονάδες): Σας δίνεται το γραμμικό σύστημα απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση Επιλύστε το με 4 6 στα σημεία,,, χρησιμοποιώντας την μέθοδο των διαιρεμένων διαφορών (5 μονάδες). Ποια είναι η προβλεπόμενη τιμή της f Θέμα 4 ο ( μονάδες): Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής της f si στο 4και πόσο είναι το απόλυτο σφάλμα; (5 μονάδες) Θέμα 5 ο (5 μονάδες): Σας δίνεται ο τύπος πεπερασμένων διαφορών () f ( h) f( ) f( h) f( ) D f( ). Υπολογίστε πόσο είναι το σφάλμα αποκοπής θεωρώντας ότι η h f είναι 4 φορές συνεχώς παραγωγίσιμη στο διάστημα h, h ( μονάδες). Χρησιμοποιείστε τον τύπο αυτό για να υπολογίσετε αριθμητικά την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f σε όποια από τα σημεία που δόθηκαν στο 4 ο θέμα είναι δυνατόν. (5 μονάδες) Θέμα 6 ο (5 μονάδες): (α) Υπολογίστε αριθμητικά το ολοκλήρωμα I e d με την μέθοδο του τραπεζίου χρησιμοποιώντας υποδιαστήματα (5 μονάδες) (β) Πόσο είναι το ελάχιστο πλήθος των απαραίτητων υποδιαστημάτων (για ομοιόμορφο διαμερισμό) έτσι ώστε το μέγιστο σφάλμα στον υπολογισμό του ολοκληρώματος του πρώτου υποερωτήματος με την μέθοδο του ορθογωνίου να είναι μικρότερο από 5 5 ; (5 μονάδες) (γ) Πόσο θα είναι το μέγιστο σφάλμα με την μέθοδο του Simpso για το ολοκλήρωμα I d ; Δώστε την απάντηση χωρίς να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα. (5 μονάδες) 9

20 Β Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Σεπτεμβρίου 8 -- Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας -- Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υποερωτήματος. Σύνολο μονάδων = ) Θέμα ο ( μονάδες): (α) Πως θα υπολογίζατε στον υπολογιστή την πραγματική συνάρτηση cos( ) f για ώστε να έχετε υψηλή ακρίβεια; (5 μονάδες) (β) Σας δίνεται το σύνολο αριθμών μηχανής M Mt 5,, U 8, L. Πιο θα είναι το αποτέλεσμα της πράξης 4 5 στην μηχανή αυτή και γιατί; (5 μονάδες) Θέμα ο ( μονάδες): (α) Δίνεται η συνάρτηση f :[, ] με f cos si 4. Υπολογίστε την προσέγγιση που παράγει η μέθοδος Newto- Raphso για την εύρεση της ρίζας της εξίσωσης f στο διάστημα [, ]. ( μονάδες) (β) Ποια θα ήταν η τροποποίηση της μεθόδου έτσι ώστε σε κάθε περίπτωση να επιτυγχάνεται η τετραγωνική σύγκλιση; (σημείωση για το β: μην κάνετε υπολογισμούς) ( μονάδες) Θέμα ο ( μονάδες): Σας δίνεται το γραμμικό σύστημα απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση Επιλύστε το με 9 Θέμα 4 ο ( μονάδες): Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής της f cos στα σημεία,,, χρησιμοποιώντας την μέθοδο των διαιρεμένων διαφορών (5 μονάδες). Ποια είναι η προβλεπόμενη τιμή της f στο 4και πόσο είναι το απόλυτο σφάλμα; (5 μονάδες) Θέμα 5 ο (5 μονάδες): Σας δίνεται ο τύπος πεπερασμένων διαφορών () f ( h) f( ) f( h) f( ) D f( ). Υπολογίστε πόσο είναι το σφάλμα αποκοπής θεωρώντας ότι η h f είναι 4 φορές συνεχώς παραγωγίσιμη στο διάστημα h, h ( μονάδες). Χρησιμοποιείστε τον τύπο αυτό για να υπολογίσετε αριθμητικά την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f σε όποια από τα σημεία που δόθηκαν στο 4 ο θέμα είναι δυνατόν. (5 μονάδες) Θέμα 6 ο (5 μονάδες): (α) Υπολογίστε αριθμητικά το ολοκλήρωμα e d I με την μέθοδο του τραπεζίου χρησιμοποιώντας υποδιαστήματα (5 μονάδες) (β) Πόσο είναι το ελάχιστο πλήθος των απαραίτητων υποδιαστημάτων (για ομοιόμορφο διαμερισμό) έτσι ώστε το μέγιστο σφάλμα στον υπολογισμό του 5 ολοκληρώματος του πρώτου υποερωτήματος με την μέθοδο του ορθογωνίου να είναι μικρότερο από ; (5 μονάδες) (γ) Πόσο θα είναι το μέγιστο σφάλμα με την μέθοδο του Simpso για το ολοκλήρωμα I d ; Δώστε την απάντηση χωρίς να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα. (5 μονάδες)

21 Α Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 9 -- Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας -- Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υποερωτήματος. Σύνολο μονάδων = ) Επιλύστε τα θέματα,, καθώς και από τα υπόλοιπα θέματα. Θέμα ο ( μονάδες): Έστω ότι θέλετε να υπολογίσετε αριθμητικά τους όρους της ακολουθίας Q για μεγάλες τιμές του Ν όπου οι όροι της ακολουθίας δίνονται από τον αναδρομικό τύπο Q Q,, Q. Υποθέτοντας ότι σφάλματα στρογγύλευσης γίνονται μόνο στην αντιπροσώπευση των όρων της ακολουθίας εξετάστε αν ο αλγόριθμος αυτός είναι ευσταθής. N Θέμα ο (5 μονάδες): (α) Δίνεται η πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής cos si f και η εξίσωση f η οποία έχει μία μοναδική ρίζα,, στο διάστημα, Εφαρμόστε την μέθοδο Newto-Raphso για να υπολογίστε την ρίζα αυτή. Διακόψτε την διαδικασία όταν βρείτε σημαντικά ψηφία ίδια μεταξύ δύο διαδοχικών προσεγγίσεων της ρίζας. Πως βρήκατε αρχική προσέγγιση της ρίζας; ( μονάδες). (β) Εκτελείτε δύο επαναληπτικές μεθόδους εύρεσης της ρίζας μιας μη γραμμικής αλγεβρικής εξίσωσης για τις οποίες, εκτός από την τελική λύση, έχετε διαθέσιμη και την ποσότητα k k k όπου k,,,..., N. Τα αποτελέσματα για τις ποσότητες k, k N 6, N 5,..., N δίνονται στον παρακάτω πίνακα: k N 6 N 5 N 4 N N N N Μέθοδος Α.45Ε-.99Ε-.5E-.7E-.87E-4.5E-8.E-6 Μέθοδος Β.E-.8E-.E+ 6.9E- 4.7E-.89E-5.E-5 Γνωρίζετε επίσης ότι η μία από αυτές τις μεθόδους είναι ης τάξης και η άλλη ης. Προσδιορείστε τις και βρείτε την ασυμπτωτική σταθερά του λάθους για κάθε μία (5 μονάδες). Θέμα ο (5 μονάδες): Περιγράψτε την διαδικασία επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος A b,,,, b, A det A με ανάλυση LU (χωρίς εναλλαγές γραμμών για λόγους απλούστευσης). Στην συνέχεια εφαρμόστε την ανάλυση αυτή για να επιλύσετε το γραμμικό σύστημα. Θέμα 4 ο ( μονάδες): Δίνονται τα ζεύγη σημείων i, i,,,,,5 f. Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής (με όποιον τρόπο θέλετε) το οποίο παρεμβάλλει την άγνωστη συνάρτηση f στα σημεία αυτά και βρείτε την προσεγγιστική τιμή της f στο.5 ; ( μονάδες). Πιο είναι το μέγιστο σφάλμα της παρεμβολής

22 στο διάστημα υπολογίστε το ολοκλήρωμα Θέμα 5 ο αν θεωρήσουμε ότι f C, ( μονάδες): Εστω I f d και τα f(), f(), f () (6 μονάδες). ; (4 μονάδες). Χρησιμοποιώντας το πολυώνυμο αυτό f C [ a, b], h και έστω ο τύπος πεπερασμένων διαφορών f ( ) 4 f( h) f( h) f( ) όπου a h b. Υπολογίστε πόσο είναι το συνολικό σφάλμα αυτής h της προσεγγιστικής έκφρασης (δηλαδή το σφάλμα αποκοπής και το σφάλμα στρογγύλευσης). Υπάρχει βέλτιστο h για την ελαχιστοποίηση του άνω φράγματος του συνολικού σφάλματος και αν ναι, ποιο είναι αυτό; Θέμα 6 ο d ( μονάδες):υπολογίστε το ολοκλήρωμα I όπου a το τελευταίο ψηφίο του 5 a a αριθμού μητρώου σας, με (α) την μέθοδο του ορθογωνίου (5 μονάδες), (β) την μέθοδο του τραπεζίου (5 μονάδες) και (γ) την μέθοδο του Simpso (5 μονάδες). Για την κάθε μέθοδο χρησιμοποιείστε μόνο δύο υποδιαστήματα για να κάνετε τους υπολογισμούς. Πόσο είναι το προσεγγιστικό σφάλμα για την μέθοδο του ορθογωνίου και πόσο για την μέθοδο του τραπεζίου; (5 μονάδες) Θέμα 7 ο ( μονάδες): (a) Δημιουργείτε τον αλγόριθμο κατασκευής του πολυωνύμου παρεμβολής, p p ( ), με την μέθοδο Lagrage, ο οποίος θα υπολογίζει την τιμή του πολυωνύμου για δεδομένο. ( μονάδες) (b)δημιουργείστε τον αλγόριθμο υπολογισμού της ρίζας της μη-γραμμικής εξίσωσης του ου θέματος με την μέθοδο Newto-Raphso (5 μονάδες). (c) Επαναλάβετε το προηγούμενο ερώτημα αλλά με την μέθοδο της εφαπτομένης (5 μονάδες). Σημείωση: μπορείτε να κατασκευάσετε τους αντίστοιχους αλγορίθμους είτε κατευθείαν τα υπολογιστικά προγράμματα σε fortra 9.

23 Β Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 9 -- Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας -- Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υποερωτήματος. Σύνολο μονάδων = ) Επιλύστε τα θέματα,, καθώς και από τα υπόλοιπα θέματα. Q για μεγάλες τιμές του Ν όπου οι όροι της ακολουθίας δίνονται από τον αναδρομικό τύπο Q Q,, Q e.υποθέτοντας ότι σφάλματα στρογγύλευσης γίνονται μόνο στην αντιπροσώπευση των όρων της ακολουθίας εξετάστε αν ο αλγόριθμος αυτός είναι ευσταθής. Θέμα ο ( μονάδες): Έστω ότι θέλετε να υπολογίσετε αριθμητικά τους όρους της ακολουθίας N Θέμα ο (5 μονάδες): (α) Δίνεται η πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής f ep( )si και η εξίσωση f η οποία έχει μία μοναδική ρίζα,, στο διάστημα.4, Εφαρμόστε την μέθοδο Newto-Raphso για να υπολογίστε την ρίζα αυτή. Διακόψτε την διαδικασία όταν βρείτε σημαντικά ψηφία ίδια μεταξύ δύο διαδοχικών προσεγγίσεων της ρίζας. Πως βρήκατε αρχική προσέγγιση της ρίζας; ( μονάδες). (β) Εκτελείτε δύο επαναληπτικές μεθόδους εύρεσης της ρίζας μιας μη γραμμικής αλγεβρικής εξίσωσης για τις οποίες, εκτός από την τελική λύση, έχετε διαθέσιμη και την ποσότητα k k k όπου k,,,..., N. Τα αποτελέσματα για τις ποσότητες k, k N 6, N 5,..., N δίνονται στον παρακάτω πίνακα: k N 6 N 5 N 4 N N N N Μέθοδος Α.6Ε-.99Ε-.5E-.7E-.87E-4.5E-8.E-6 Μέθοδος Β.4E-.8E-.E+ 6.9E- 4.7E-.89E-5.E-5 Γνωρίζετε επίσης ότι η μία από αυτές τις μεθόδους είναι ης τάξης και η άλλη ης. Προσδιορείστε τις και βρείτε την ασυμπτωτική σταθερά του λάθους για κάθε μία (5 μονάδες). Θέμα ο (5 μονάδες): Περιγράψτε την διαδικασία επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος A b, A det A με ανάλυση LU (χωρίς εναλλαγές γραμμών για λόγους απλούστευσης). Στην συνέχεια εφαρμόστε την ανάλυση αυτή για να επιλύσετε το γραμμικό σύστημα.,,, b, Θέμα 4 ο ( μονάδες): Δίνονται τα ζεύγη σημείων i, i,.,,.5,,. f. Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής (με όποιον τρόπο θέλετε) το οποίο παρεμβάλλει την άγνωστη συνάρτηση f στα σημεία αυτά και βρείτε την προσεγγιστική τιμή της f στο.5 ; ( μονάδες). Πιο είναι το μέγιστο σφάλμα

24 της παρεμβολής στο διάστημα πολυώνυμο αυτό υπολογίστε το ολοκλήρωμα Θέμα 5 ο ( μονάδες): Εστω αν θεωρήσουμε ότι f C, ; (4 μονάδες). Χρησιμοποιώντας το I f d και τα f(), f(), f () (6 μονάδες). f C [ a, b], h και έστω ο τύπος πεπερασμένων διαφορών f ( h) 4 f( h) f( ) f( ) όπου a b h. Υπολογίστε πόσο είναι το συνολικό σφάλμα αυτής h της προσεγγιστικής έκφρασης (δηλαδή το σφάλμα αποκοπής και το σφάλμα στρογγύλευσης). Υπάρχει βέλτιστο h για την ελαχιστοποίηση του άνω φράγματος του συνολικού σφάλματος και αν ναι, ποιο είναι αυτό; Θέμα 6 ο ( μονάδες):υπολογίστε το ολοκλήρωμα I d όπου a το τελευταίο ψηφίο του αριθμού μητρώου σας, με (α) την μέθοδο του ορθογωνίου (5 μονάδες), (β) την μέθοδο του τραπεζίου (5 μονάδες) και (γ) την μέθοδο του Simpso (5 μονάδες). Για την κάθε μέθοδο χρησιμοποιείστε μόνο δύο υποδιαστήματα για να κάνετε τους υπολογισμούς. Πόσο είναι το προσεγγιστικό σφάλμα για την μέθοδο του ορθογωνίου και πόσο για την μέθοδο του τραπεζίου; (5 μονάδες) a 5 a 5 Θέμα 7 ο ( μονάδες): (a) Δημιουργείτε τον αλγόριθμο κατασκευής του πολυωνύμου παρεμβολής, p p ( ), με την μέθοδο Lagrage, ο οποίος θα υπολογίζει την τιμή του πολυωνύμου για δεδομένο. ( μονάδες) (b)δημιουργείστε τον αλγόριθμο υπολογισμού της ρίζας της μη-γραμμικής εξίσωσης του ου θέματος με την μέθοδο Newto-Raphso (5 μονάδες). (c) Επαναλάβετε το προηγούμενο ερώτημα αλλά με την μέθοδο της εφαπτομένης (5 μονάδες). Σημείωση: μπορείτε να κατασκευάσετε τους αντίστοιχους αλγορίθμους είτε κατευθείαν τα υπολογιστικά προγράμματα σε fortra 9. 4

25 Γ Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 9 -- Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας -- Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υποερωτήματος. Σύνολο μονάδων = ) Επιλύστε τα θέματα,, καθώς και από τα υπόλοιπα θέματα. Θέμα ο ( μονάδες): Έστω ότι θέλετε να υπολογίσετε αριθμητικά τους όρους της ακολουθίας Q για μεγάλες τιμές του Ν όπου οι όροι της ακολουθίας δίνονται από τον αναδρομικό τύπο Q Q,, Q l. Υποθέτοντας ότι σφάλματα στρογγύλευσης γίνονται μόνο στην αντιπροσώπευση των όρων της ακολουθίας εξετάστε αν ο αλγόριθμος αυτός είναι ευσταθής. N Θέμα ο (5 μονάδες): (α) Δίνεται η πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής f ep( )cos και η εξίσωση f η οποία έχει μία μοναδική ρίζα,, στο διάστημα.4, Εφαρμόστε την μέθοδο Newto-Raphso για να υπολογίστε την ρίζα αυτή. Διακόψτε την διαδικασία όταν βρείτε σημαντικά ψηφία ίδια μεταξύ δύο διαδοχικών προσεγγίσεων της ρίζας. Πως βρήκατε αρχική προσέγγιση της ρίζας; ( μονάδες). (β) Εκτελείτε δύο επαναληπτικές μεθόδους εύρεσης της ρίζας μιας μη γραμμικής αλγεβρικής εξίσωσης για τις οποίες, εκτός από την τελική λύση, έχετε διαθέσιμη και την ποσότητα k k k όπου k,,,..., N. Τα αποτελέσματα για τις ποσότητες k, k N 6, N 5,..., N δίνονται στον παρακάτω πίνακα: k N 6 N 5 N 4 N N N N Μέθοδος A.E+.8E-.E+ 6.9E- 4.7E-.89E-5.E-5 Μέθοδος B.55Ε+.8Ε-.5E-.7E-.87E-4.5E-8.E-6 Γνωρίζετε επίσης ότι η μία από αυτές τις μεθόδους είναι ης τάξης και η άλλη ης. Προσδιορείστε τις και βρείτε την ασυμπτωτική σταθερά του λάθους για κάθε μία (5 μονάδες). Θέμα ο (5 μονάδες): Περιγράψτε την διαδικασία επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος A b,,,, b, A det A με ανάλυση LU (χωρίς εναλλαγές γραμμών για λόγους απλούστευσης). Στην συνέχεια εφαρμόστε την ανάλυση αυτή για να επιλύσετε το γραμμικό σύστημα. Θέμα 4 ο ( μονάδες): Δίνονται τα ζεύγη σημείων i, i,,,,,9 f. Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής (με όποιον τρόπο θέλετε) το οποίο παρεμβάλλει την άγνωστη συνάρτηση f στα σημεία αυτά και βρείτε την προσεγγιστική τιμή της f στο.5 ; ( μονάδες). Πιο είναι το μέγιστο σφάλμα της παρεμβολής 5

26 στο διάστημα υπολογίστε το ολοκλήρωμα Θέμα 5 ο αν θεωρήσουμε ότι f C, ( μονάδες): Εστω I f d και τα f(), f(), f () (6 μονάδες). ; (4 μονάδες). Χρησιμοποιώντας το πολυώνυμο αυτό f C [ a, b], h και έστω ο τύπος πεπερασμένων διαφορών f ( h) f( h) f( ) f( ) όπου a b h. Υπολογίστε πόσο είναι το συνολικό σφάλμα αυτής h της προσεγγιστικής έκφρασης (δηλαδή το σφάλμα αποκοπής και το σφάλμα στρογγύλευσης). Υπάρχει βέλτιστο h για την ελαχιστοποίηση του άνω φράγματος του συνολικού σφάλματος και αν ναι, ποιο είναι αυτό; Θέμα 6 ο ( μονάδες):υπολογίστε το ολοκλήρωμα I e d όπου a το τελευταίο ψηφίο του αριθμού a 5 e μητρώου σας, με (α) την μέθοδο του ορθογωνίου (5 μονάδες), (β) την μέθοδο του τραπεζίου (5 μονάδες) και (γ) την μέθοδο του Simpso (5 μονάδες). Για την κάθε μέθοδο χρησιμοποιείστε μόνο δύο υποδιαστήματα για να κάνετε τους υπολογισμούς. Πόσο είναι το προσεγγιστικό σφάλμα για την μέθοδο του ορθογωνίου και πόσο για την μέθοδο του τραπεζίου; (5 μονάδες) Θέμα 7 ο ( μονάδες): (a) Δημιουργείτε τον αλγόριθμο κατασκευής του πολυωνύμου παρεμβολής, p p ( ), με την μέθοδο Lagrage, ο οποίος θα υπολογίζει την τιμή του πολυωνύμου για δεδομένο. ( μονάδες) (b)δημιουργείστε τον αλγόριθμο υπολογισμού της ρίζας της μη-γραμμικής εξίσωσης του ου θέματος με την μέθοδο Newto-Raphso (5 μονάδες). (c) Επαναλάβετε το προηγούμενο ερώτημα αλλά με την μέθοδο της εφαπτομένης (5 μονάδες). Σημείωση: μπορείτε να κατασκευάσετε τους αντίστοιχους αλγορίθμους είτε κατευθείαν τα υπολογιστικά προγράμματα σε fortra 9. 6

27 Α Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Σεπτεμβρίου 9 -- Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας -- Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υποερωτήματος. Σύνολο μονάδων = ) Θέμα ο (8 μονάδες): (α) Δίνεται η συνάρτηση f :[,] με f e 4. Έχει ρίζα η συνάρτηση αυτή στο [,]; Aν ναι, εφαρμόστε δύο φορές την μέθοδο της διχοτόμισης για να βρείτε τις προσεγγίσεις της ρίζας αυτής,,, και στην συνέχεια εφαρμόστε την μέθοδο Newto-Raphso για να βρείτε τα,,.... Διακόψτε την διαδικασία όταν βρείτε σημαντικά ψηφία ίδια μεταξύ δύο διαδοχικών προσεγγίσεων της ρίζας. ( μονάδες) (β) Εκτελείτε δύο επαναληπτικές μεθόδους εύρεσης της ρίζας μιας μη γραμμικής αλγεβρικής εξίσωσης για τις οποίες, εκτός από την τελική λύση, έχετε διαθέσιμες και τις ποσότητες k k k, k,,,..., N, οι 7 τελευταίες από τις οποίες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: k N 6 N 5 N 4 N N N N Μέθοδος Α.45Ε-.99E-.5E-.7E-.87E-4.5E-8.E-6 Μέθοδος Β.E-.8E-.E+ 6.9E- 4.7E-.89E-5.E-5 Γνωρίζετε επίσης ότι η μία από αυτές τις μεθόδους είναι ης τάξης και η άλλη ης. Προσδιορείστε τις και βρείτε την ασυμπτωτική σταθερά του σφάλματος για κάθε μία. (5 μονάδες) (γ) Κατά την εκτέλεση της μεθόδου Newto-Raphso διαπιστώνετε ότι η σύγκλιση της μεθόδου δεν είναι τετραγωνική, όπως προβλέπει η θεωρία. Για ποιους λόγους πιστεύεται ότι συμβαίνει αυτό; ( μονάδες), Θέμα ο, ( μονάδες): Δίνεται το γραμμικό σύστημα εξισώσεων A b, A,, b det A. (α) Υπό ποιες προϋποθέσεις μπορεί η εφαρμοσθεί η ανάλυση Cholesky για την επίλυσή του; Περιγράψτε, εν συντομία, την διαδικασία επίλυσης με την μέθοδο αυτή. (5 μονάδες) (β) Έστω A,, b. Αποδείξτε ότι ο πίνακας A είναι θετικά ορισμένος (5 μονάδες) 5 και εφαρμόστε την ανάλυση Cholesky για να επιλύσετε το πρόβλημα A b. ( μονάδες) Κάντε έλεγχο επαλήθευσης της λύσης ( μονάδες). Θέμα ο ( μονάδες): Εξετάστε αν κάποια από τις συναρτήσεις p και q, όπου,, p, q, 9 9,, ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες μίας φυσικής κυβικής splie η οποία να παρεμβάλει την f ( ) si σημεία,, ( μονάδες). Ποια από τις συναρτήσεις αυτές πιστεύετε ότι είναι η πιο κατάλληλη για να υπολογίσετε τις προσεγγιστικές τιμές των στα I f d, f(), f(), f () ; (5 μονάδες) Σε κάθε περίπτωση, 7

28 ποιο είναι το αντίστοιχο απόλυτο σφάλμα, σε σχέση με τις ακριβείς τιμές; ( μονάδες). Δίνεται ότι η ακριβής 8 4 τιμή του ολοκληρώματος είναι: I. Θέμα 4 ο ( μονάδες): Εστω f C 4 [ a, b], h ( abh,, ) και έστω ο τύπος πεπερασμένων διαφορών f ( h) 4 f( h) 5 f( h) f( ) f( ) όπου a b h. h (α) Βρείτε το σφάλμα αποκοπής αυτής της έκφρασης και την τάξης ακρίβειάς της. (8 μονάδες). (β) Αναφέρετε ποιο επιπλέον σφάλμα υπεισέρχεται κατά την εφαρμογή της έκφρασης αυτής στον υπολογιστή και ποια η επίδρασή του στα τελικά αποτελέσματα. Πρακτικά τι θα συμβεί αν h ; (4 μονάδες) (γ) Με δεδομένo τον πίνακα τιμών της συνάρτησης που δίνεται παρακάτω, εφαρμόστε τον παραπάνω τύπο πεπερασμένων διαφορών για να υπολογίσετε, όπου είναι δυνατόν, την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης. (4 μονάδες) f() (δ) Με βάση την απάντηση του (α) ερωτήματος, για ποιες συναρτήσεις η προσεγγιστική έκφραση για την δεύτερη παράγωγο είναι ακριβής; (4 μονάδες) N υπολογίζει j Θέμα 5 ο ( μονάδες): Δείξτε ότι ο σύνθετος κανόνας ολοκλήρωσης I f j j f j ακριβώς την έκφραση i e d αν χρησιμοποιηθούν Ν στο πλήθος ισαπέχοντα υποδιαστήματα του [, ], με N, όπου N, φυσικoί αριθμοί. 8

29 B Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Σεπτεμβρίου 9 -- Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας -- Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υποερωτήματος. Σύνολο μονάδων = ) Θέμα ο (8 μονάδες): (α) Δίνεται η συνάρτηση f :[,] με f e. Έχει ρίζα η συνάρτηση αυτή στο [,]; Aν ναι, εφαρμόστε δύο φορές την μέθοδο της διχοτόμισης για να βρείτε τις προσεγγίσεις της ρίζας αυτής,,, και στην συνέχεια εφαρμόστε την μέθοδο Newto-Raphso για να βρείτε τα,,.... Διακόψτε την διαδικασία όταν βρείτε σημαντικά ψηφία ίδια μεταξύ δύο διαδοχικών προσεγγίσεων της ρίζας. ( μονάδες) (β) Εκτελείτε δύο επαναληπτικές μεθόδους εύρεσης της ρίζας μιας μη γραμμικής αλγεβρικής εξίσωσης για τις οποίες, εκτός από την τελική λύση, έχετε διαθέσιμες και τις ποσότητες k k k, k,,,..., N, οι 7 τελευταίες από τις οποίες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: k N 6 N 5 N 4 N N N N Μέθοδος A.E-.8E-.E+ 6.9E- 4.7E-.89E-5.E-5 Μέθοδος B.45 Ε -.99E-.5E-.7E-.87E-4.5E-8.E-6 Γνωρίζετε επίσης ότι η μία από αυτές τις μεθόδους είναι ης τάξης και η άλλη ης. Προσδιορείστε τις και βρείτε την ασυμπτωτική σταθερά του σφάλματος για κάθε μία. (5 μονάδες) (γ) Κατά την εκτέλεση της μεθόδου Newto-Raphso διαπιστώνετε ότι η σύγκλιση της μεθόδου δεν είναι τετραγωνική, όπως προβλέπει η θεωρία. Για ποιους λόγους πιστεύεται ότι συμβαίνει αυτό; ( μονάδες), Θέμα ο, ( μονάδες): Δίνεται το γραμμικό σύστημα εξισώσεων A b, A,, b det A. (α) Υπό ποιες προϋποθέσεις μπορεί η εφαρμοσθεί η ανάλυση Cholesky για την επίλυσή του; Περιγράψτε, εν συντομία, την διαδικασία επίλυσης με την μέθοδο αυτή. (5 μονάδες) (β) Έστω A,, b. Αποδείξτε ότι ο πίνακας A είναι θετικά ορισμένος (5 μονάδες) και εφαρμόστε την ανάλυση Cholesky για να επιλύσετε το πρόβλημα A b. ( μονάδες) Κάντε έλεγχο επαλήθευσης της λύσης ( μονάδες). Θέμα ο ( μονάδες): Εξετάστε αν κάποια από τις συναρτήσεις p και q, όπου q 5, 9,, p 5,, 9, ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες μίας φυσικής κυβικής splie η οποία να παρεμβάλει την f ( ) cos σημεία,, ( μονάδες). Ποια από τις συναρτήσεις αυτές πιστεύετε ότι είναι η πιο κατάλληλη για να υπολογίσετε τις προσεγγιστικές τιμές των στα I f d, f(), f(), f () ; (5 μονάδες) Σε κάθε περίπτωση, ποιο είναι το αντίστοιχο απόλυτο σφάλμα, σε σχέση με τις ακριβείς τιμές; ( μονάδες). Δίνεται ότι η ακριβής τιμή του ολοκληρώματος είναι I 4. 9

30 Θέμα 4 ο ( μονάδες): Εστω f C 4 [ a, b], h ( abh,, ) και έστω ο τύπος πεπερασμένων διαφορών f ( ) 5 f( h) 4 f( h) f( h) f( ) όπου a h b. h (α) Βρείτε το σφάλμα αποκοπής αυτής της έκφρασης και την τάξης ακρίβειάς της. (8 μονάδες). (β) Αναφέρετε ποιο επιπλέον σφάλμα υπεισέρχεται κατά την εφαρμογή της έκφρασης αυτής στον υπολογιστή και ποια η επίδρασή του στα τελικά αποτελέσματα. Πρακτικά τι θα συμβεί αν h ; (4 μονάδες) (γ) Με δεδομένo τον πίνακα τιμών της συνάρτησης που δίνεται παρακάτω, εφαρμόστε τον παραπάνω τύπο πεπερασμένων διαφορών για να υπολογίσετε, όπου είναι δυνατόν, την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης. (4 μονάδες) f() (δ) Με βάση την απάντηση του (α) ερωτήματος, για ποιες συναρτήσεις η προσεγγιστική έκφραση για την δεύτερη παράγωγο είναι ακριβής; (4 μονάδες) N υπολογίζει j Θέμα 5 ο ( μονάδες): Δείξτε ότι ο σύνθετος κανόνας ολοκλήρωσης I f j j f j ακριβώς την έκφραση i e d αν χρησιμοποιηθούν Ν στο πλήθος ισαπέχοντα υποδιαστήματα του [, ], με N, όπου N, φυσικoί αριθμοί.

31 Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Ιανουάριος -- Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας -- Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υποερωτήματος. Σύνολο μονάδων = ) Θέμα ο ( μονάδες): Δίνεται η συνάρτηση f :[,] με f e 4. Έχει ρίζα η συνάρτηση αυτή στο [,] και αν ναι γιατί; ( μον.). Για την εύρεση αυτής της ρίζας δίνονται οι δύο επαναληπτικές μέθοδοι l(4) l( ), και f( ),,,,,.... Ποια από τις δύο αυτές μεθόδους έχει f ( ) f ( ) ταχύτητα σύγκλισης μεγαλύτερη από ένα και γιατί (5 μον.); Εφαρμόστε την για να βρείτε τα, και ξεκινώντας με κατάλληλη αρχική προσέγγιση της ρίζας, (5 μον.). (β) Εκτελείτε δύο επαναληπτικές μεθόδους εύρεσης της ρίζας μιας μη γραμμικής αλγεβρικής εξίσωσης για τις οποίες, εκτός από την τελική λύση, έχετε διαθέσιμες και τις ποσότητες k k k, k,,,..., N, οι 7 τελευταίες από τις οποίες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: k N 6 N 5 N 4 N N N N Μέθοδος Α.45Ε-.99E-.5E-.7E-.87E-4.5E-8.E-6 Μέθοδος Β.E-.8E-.E+ 6.9E- 4.7E-.89E-5.E-5 Γνωρίζετε επίσης ότι η μία από αυτές τις μεθόδους είναι ης τάξης και η άλλη ης. Προσδιορείστε τις και βρείτε την ασυμπτωτική σταθερά του σφάλματος για κάθε μία. (4 μονάδες) (γ) Κατά την εκτέλεση της μεθόδου Newto-Raphso διαπιστώνετε ότι η σύγκλιση της μεθόδου δεν είναι τετραγωνική, όπως προβλέπει η θεωρία. Για ποιους λόγους πιστεύεται ότι συμβαίνει αυτό; (4 μονάδες) Θέμα ο ( μονάδες): Δίνεται το γραμμικό σύστημα εξισώσεων A b, όπου A,, 5 b. Βρείτε τον πίνακα επανάληψης της επαναληπτικής μεθόδου Gauss-Seidel (6 μον.) και την φασματική του ακτίνα (8 μον.). Με βάση την τελευταία αποφανθείτε κατά πόσο η μέθοδος θα συγκλίνει (4 μον.) Εφαρμόστε δύο επαναλήψεις της μεθόδου ξεκινώντας με κατάλληλη αρχική προσέγγιση της λύσης,, για να υπολογίστε τα και (4 μον.). Θέμα ο (8 μονάδες): Εξετάστε αν κάποια από τις συναρτήσεις p και q, όπου p, 9,, q, 9,, ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες μίας φυσικής κυβικής splie η οποία να παρεμβάλει την f ( ) si σημεία,, ( μονάδες). Ποια από τις συναρτήσεις αυτές πιστεύετε ότι είναι η πιο κατάλληλη για να υπολογίσετε τις προσεγγιστικές τιμές των στα I f d, f(), f(), f () ; (4 μονάδες) Σε κάθε περίπτωση,