PRIMJENA RECIKLIRANOG AGREGATA IZ GRAĐEVNOG OTPADA
|
|
|
- Νικόλαος Χριστόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 PRIMJENA RECIKLIRANOG AGREGATA IZ GRAĐEVNOG OTPADA 1 UVOD Recikliranje građevinskog otpada u pojedinim europskim zemljama, kao što su Nizozemska, Belgija i Danska čini više od 80% ukupno proizvedenog građevinskog otpada/otpada od rušenja. Na taj način se istovremeno smanjuje potreba za novom eksploatacijom u nenarušenoj prirodi te se rješava problem građevinskog otpada koji inače često završava na divljim deponijima. Građevinski otpad / otpad od rušenja se može upotrijebiti kao agregat za izradu betona, morta, asfalta ili za ostale radove u cestogradnji ovisno o tome da li se radi o betonskom ili asfaltnom lomu, a najčešće je to mješavina (šuta) te velike količine iskopa. Recikliranje betona nastalog procesom rušenja sastoji se od sljedećih koraka: odabir otpadnog materijala; drobljenje betonskih blokova; uklanjanje onečišćenja; miješanje s prirodnim agregatom. Svi ugrađeni dijelovi kao što je primjerice armatura, moraju se ukloniti te je potrebno spriječiti onečišćenje s drugim materijalima kao što su asfalt, zemlja, glina, staklo, gips, papir ili drvo. Postrojenja za recikliranje agregata se ne razlikuju značajno od postrojenja koja proizvode drobljeni agregat iz prirodnih nalazišta. Postrojenje za recikliranje može biti mobilno i smješteno u blizini konstrukcije koja se ruši, odnosno u blizini nove konstrukcije za koju će se upotrijebiti reciklirani agregat ili se može formirati centralno postrojenje koje ne mora biti blizu konstrukcije koja se ruši, ali koje će zbog automatiziranog procesa imati puno veću produktivnost te će se na taj način kompenzirati veća udaljenost do mjesta primjene recikliranog agregata. Reciklirani agregat treba zadovoljiti sva ispitivanja kao i obični agregat iz prirodnih nalazišta. Isto tako, beton od recikliranog agregata može se miješati, transportirati, ugrađivati i zbijati na isti način kao i obični beton. Svojstva recikliranog agregata koja se razlikuju od svojstava agregata iz prirodnih nalazišta su gustoća, apsorpcija vode i onečišćenost, što će biti i obrađeno u ovom radu. Građevinarstvo predstavlja jedan od glavnih pokazatelja razvitka i prosperiteta u zapadnim zemljama, a građevinski otpad i otpad od rušenja su prepoznati kao prioritetan tok otpada u Europskoj Uniji. To znači da će se posebna pažnja posvetiti mjerama promicanja reciklaže te vrste otpada. Zahvaljujući činjenici da građevinski otpad i otpad od rušenja zauzimaju veliki volumen, moći će se iskoristiti dragocjeni prostor koja su zauzimala odlagališta. Nadalje, ako se takav otpad ne razvrsta na samom izvoru, može sadržavati male količine opasnog otpada. Međutim, isto tako, građevinski otpad ima visoku novčanu vrijednost, a tehnologija za separaciju i obnovu građevinskog otpada i otpada od rušenja je dobro utemeljena, lako dostupna i u pravilu jeftina. I najvažnije, postoji tržište za agregate od građevinskog otpada i otpada od rušenja, i upotrebljava se u cestogradnji, drenažnim radovima i ostalim građevinskim projektima. Vrlo interesantna i još uvijek nedovoljno istražena je mogućnost korištenja recikliranog agregata u proizvodnji betona, što je predmet ovog rada.
2 2 RECIKLIRANI AGREGAT ZA BETON Agregat je granulirani mineralni materijal podoban za upotrebu u betonu. Agregat može biti prirodni (slika 2a), umjetni ili recikliran od materijala prethodno upotrijebljenih u građenju (slika 2b). a) b) Slika 2 : Prirodni (a) i reciklirani agregat (b) Materijal prethodno upotrijebljen u građenju, a koji se može reciklirati i koristiti kao agregat za beton je slijedeći: betonski lom; miješani lom od rušenja u visokogradnji s lomom opeke (šuta miješana s opekom); čisti lom opeke. Mogućnosti korištenja ovise stanju materijala tj. o ispunjavanju osnovnih svojstava kao agregata bilo prirodnog ili recikliranog ali i o zahtjevima za konačni betonski proizvod ili građevinu gdje će biti upotrijebljen. 2.1 Mogućnosti upotrebe Građevni otpad i to oko 80%, ovisno o podrijetlu i sastavu, uz određene tehnologije recikliranja se može ponovno iskoristiti kao ekonomski vrijedna sirovina za uporabu. U tablici 1 prikazana je upotreba recikliranog agregata u EU. Zemlja %-tak recikliranja građevnog otpada Tablica 1: Upotreba recikliranog agregata Proizvodnja recikliranog agregata (mil. tona) Proizvodnja agregata mineralne sirovine (mil. tona) Belgija 75 3,1 55 Češka Danska Francuska Nizozemska 85 0,5 22 Njemačka Španjolska - 8,2 420 Švicarska - 62,5 50 Hrvatska *Izvor: Podaci iz Studije društveno-gospodarskog značaja, potreba i opravdanosti eksploatacije mineralnih sirovina na prostoru Zagrebačke županije (Institut za primjenjenu ekologiju 2005).
3 Kada je riječ o korištenju recikliranog agregata u beton onda je to najčešće za: - dodatak raznim vrstama betona i mortova; - materijal za izradu betonskih elemenata i sklopova. Međutim pri korištenju recikliranih agregata treba sagledati i okolišne uvjete kao i uvjete za primjenu u gospodarskom poslovanju, stoga se mora definirati: tehničko rješenje, koje naravno ovisi o vrstama i količinama otpadnih građevnih materijala; okolišni okvir; logistika vezana za planiranje i organizaciju; prihvaćenost okoline; ekonomska opravdanost. Mogućnosti upotrebe recikliranog agregata za betonu u Hrvatskoj su deklarativno omogućene kroz zakonsku regulativu, kako je prikazano u tablici 2. Tablica 2: Upotreba recikliranog agregata prema regulativi u RH Vrsta materijala Podrijetlo Primjena Regulativa Čisti lom opeke Miješani lom od rušenja u visokogradnji s lomom opeke (šuta miješana s opekom) Proizvodnja opeke Stambena gradnja, visokogradnja Dodatni materijal za proizvodnju zidnih elemenata, betona, laganog betona, stabiliziranje, drenažni slojevi, ispuna, nasipavanje Dodatni materijal za proizvodnju zidnih elemenata, betona, laganog betona, stabiliziranje, drenažni slojevi, ispuna, nasipavanje, završni slojevi podova Tehnički propis za betonsk ekonstrukcije Tehnički propis za zidane konstrukcije HRN EN 12620; HRN EN ; HRN EN Tehnički propis za betonsk ekonstrukcije Tehnički propis za zidane konstrukcije HRN EN 12620; HRN EN ; HRN EN 13242; HRN EN Betonski lom Cestogradnja, izgradnja mostova, industrija Nevezani gornji nosivi slojevi, nevezani donji nosivi slojevi, vezani nosivi slojevi, izgradnja poljoprivrednih putova, dodatni materijali za proizvodnju betona, drenažni slojevi EN ; HRN EN 13242; HRN EN 13043; HRN EN 12620
4 2.2 Osvrt na zahtjeve kvalitete Iako je već značajno korištenje recikliranih agregata u Europi, još uvijek je nedovoljno definirano područje. U europskoj regulativi, agregati dobiveni recikliranjem građevnog otpada su jedna podgrupa agregata (materijala) iz sporednih izvora. Hrvatska je preuzela niz EU norma iz područja agregata, bilo za betonske, zidane ili kolničke konstrukcije. Iz norma specifikacija, na koje upućuju pojedini tehnički propisi, definirani su zahtjevi za agregat a time i reciklirani agregat. Opći zahtjevi su: Opći zahtjevi za granulometrijski sastav; Oblik zrna; Gustoća zrna i upijanje vode; Trajnost (otpornost na smrzavanje i odmrzavanje, volumna postojanost; alkalno silikatna reaktivnost); Kemijski zahtjevi. U tablici 3. prikazan je popis važeće tehničke regulative sa specificiranim dodatnim zahtjevima u slučaju korištenja recikliranih agregata. Tablica 3. Zakonska regulativa za agregat (i reciklirani agregat) Popis važećih tehničkih propisa i norma Tehnički propis za betonske konstrukcije- Prilog D, NN br. 101/05 i 85/06 Tehnički propis za zidane konstrukcije- Prilog F (F.1), NN br. 1/07 HRN EN 12620:2003; Agregati za beton HRN EN :2003; Lagani agregati- 1.dio: Lagani agregati za beton, mort i mort za zalijevanje Opći - gubitak žarenjem - termička provodljivost - gubitak žarenjem Dodatni zahtjevi Specifični - postojanost i fizikalni sastav pepela iz spalionica (B1) HRN EN 13139:2003; Agregati za mort HRN EN 206-1:2006: Beton-1.dio: Specifikacije, svojstva, proizvodnja i sukladnost *Agregat obnovljen iz vode za ispiranje betona može se rabiti za izradu betona **Nerazdvojeni obnovljeni agregat ne treba dodavati u količinama većim od 5% ukupne mase agregata ***Kada su količine obnovljenog agregata veće od 5% ukupne količine agregata, moraju biti istog tipa kao primarni agregat i moraju biti razdvojene u odvojene krupne i sitne frakcije i zadovoljavati HRN EN 12620
![3 EKSPERIMENTALNA ISTRAŽIVANJA 3.1 Cilj i metodologija istraživanja Jedna od faza projekta LIFE [1] je pilot project. Praćeno je rušenje građevine gdje su se snimile i razvrstale sve količine otpada.](/docs-images/68/58120595/images/5-0.jpg "Izdvojeni građevni otpad od betona, miješane šute i opeke, odvezen je na deponiju Jakuševac. Otpadni građevni materijali su odvojeno deponirani te potom prerađeni, tj.")
5 3 EKSPERIMENTALNA ISTRAŽIVANJA 3.1 Cilj i metodologija istraživanja Jedna od faza projekta LIFE [1] je pilot project. Praćeno je rušenje građevine gdje su se snimile i razvrstale sve količine otpada. Izdvojeni građevni otpad od betona, miješane šute i opeke, odvezen je na deponiju Jakuševac. Otpadni građevni materijali su odvojeno deponirani te potom prerađeni, tj. reciklirani na farkcije, što je prikazano na slici 2. a) deponija prihvatnog otpada b) postrojenje za reciklažu c) reciklirani agregat Slika 2: Jakuševac Recikliranjem su dobiveni slijedeći reciklirani agregati: Reciklirani beton, frakcije ; Reciklirana šuta, frakcije ; Reciklirana opeka, frakcije. Ispitivanja su provedena sa ciljem utvrđivanja kvalitete osnovnih svojstava za prirodni agregat. 3.2 Rezultati i diskusija Granulometrijski sastav- Frakcija 0/4 mm Granulometrijski sastav- Frakcija 4/16 mm Granulometrijski sastav- frakcija 16/32 mm Prolaz kroz sito, % (m/m) B/1810/07 C/1813/07 Š/1816/07 zahtjev TPBK 0 0,063 0,25 0,5 1,0 2,0 4,0 5,6 8 Prolaz kroz sito, % (m/m) B/1811/07 C/1814/07 Š/1817/07 zahtjev TPBK 0 0 0, ,4 32,0 Sieve pass,% (m/m) , , B/1812/07 C/1815/07 Š/1818/07 TRCS value Otvori sita, d 0,45 mm Sieve mesh size, d 0,45 mm Otvori sita, d 0,45 mm Slika 3: Granulometrijska krivulja recikliranog agregata
6 3.2.2 Ostala svojstva agregata za beton Rezultati ispitivanja ostalih svojstava agregata zahtijevanih prema Tehničkom propisu za betonske konstrukcije (TPBK) i HRN EN prikazani su u tablici 4. Tablica 4. Rezultati ispitivanja svojstava recikliranog agregata Svojstvo Ispitna metoda HRN EN Jedinica mjere Indeks oblika SI (%) Otpornost na drobljenje LA Sadržaj sulfata topivih u kiselini AS Sadržaj ukupnog sumpora Frakcija (mm) Rezultat (Razred prema HRN EN 12620) B C Š 4/16 11 (SI 15 ) 17 (SI 20 ) 8 (SI 15 ) 16/32 13 (SI 15 ) 8 (SI 15 ) 25(SI 40 ) koef. 4/16 27 (LA 30 ) cl cl.11. Sadržaj klorida Cl cl.7. Nasipna gustoćaρ sr (%) Gustoća zrna ρ (Mg/m 3 ) Upijanje cvode U Zahtjev TPBK- Prilog D SI 20 SI 40 LA 30 LA 35 (%) mješavina 0,05 (AS 0,2 ) 0,19 (AS 0,2 ) 0,23* (AS 0,2 ) AS 0,2 (%) mješavina 0,03 0,02 0,04 1% (%) mješavina 0,00 0,01 0,00 (%) Otpornost na smrzavanje/odmr zavanje F (%) 4/16 Postojanost magnezijevim sulfatom MS *-ne zadovoljava zahtjev TPBK 0/4 1,24 1,20 1,39 4/16 1,32 0,95 1,11 16/32 1,35 0,98 1,10 0/4 2,67 2,62 2,73 4/16 2,68 2,56 2,63 16/32 2,65 2,40 2,52 0/4 3,2 14,9 6,2 4/16 2,9 18,4 11,9 16/32 3,2 14,9 10,0 9,8* (F Deklarirani ) (%) 4/16 16 (MS 18 ) 1,6 (F 2 ) 3,1* (F 4 ) 64* (MS Deklarirani ) 26* (MS 35 ) 0,15% 0,06% 0,03% F 1 F 2 MS 18 MS 25 Frakcija 0/4 mm reciklirana iz betona zadovoljava zahtjeve TPBK-Prilog D. Frakcija je pogodna za primjenu u betonu. Krupne frakcije reciklirane iz betona ne zadovoljavaju zahtjeve TPBK-Prilog D zbog nepostojanosti na smrzavanje i odmrzavanje pa je primjena moguća samo za betone u suhom okruženju uz korekciju granulometrijskog sastava. Frakcije recikliranog agregata iz opeke nisu pogodne za primjenu u betonu jer ne zadovoljavaju zahtjeve TPBK-Prilog D u pogledu granulometrijskog sastava, sadržaja sitnih čestica, otpornosti na drobljenje te postojanosti na magnezijev sulfat.
7 Frakcije recikliranog agregata iz šute nisu pogodne za primjenu u betonu jer ne zadovoljavaju zahtjeve TPBK- Prilog D u pogledu granulometrijskog sastava, sadržaja sitnih čestica, otpornosti na drobljenje, postojanosti na magnezijev sulfat, smrzavanje i odmrzavanje te sadržaja sulfata topivog u kiselini. Iako u normi HRN EN nema zahtjeva za vrijednost upijanja vode, ono je kod reciklirane opeke i šute veće i do deset puta od uobičajenih vrijednosti. To će se svakako odraziti na svojstva trajnosti betona. 4. ZAKLJUČAK Budući da je ovo prvo kontrolirano procesiranje građevinskog otpada i proizvodnja recikliranog agregata u Hrvatskoj, ovo su prvi rezultati ispitivanja osobina recikliranog agregata. Specifični rezultati ukazuju da je potrebno usavršiti i poboljšati proces proizvodnje obzirom na bolje granulometrijsko odvajanje frakcija 4/8 i 8/16. Očekuje se da će se u tom slučaju čvrstoća poboljšati, barem sa proizvodnjom agregata iz ostataka betona koji se reciklira. Primjena recikliranog agregata u betonu predmet je budućeg istraživanja.
AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
AGREGAT Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aeif. jcrnojevac@gmail.com SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU JOSIP JURAJ STROSSMAYER UNIVERSITY OF OSIJEK 1 Pojela agregata PODJELA AGREGATA - PREMA
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
OSNOVNI TEHNIČKI UVJETI ZA KAKVOĆU MATERIJALA I IZVEDBU KOLNIKA
OSNOVNI TEHNIČKI UVJETI ZA KAKVOĆU MATERIJALA I IZVEDBU KOLNIKA Izvođač je dužan dostaviti potrebnu dokumentaciju za sve građevinske materijale koji će se koristiti u izgradnji a kojom se dokazuju tražena
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
SVJEŽI BETON. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
SJEŽI BETON Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif. jcrnojevac@gmail.com SEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU JOSIP JURAJ STROSSMAYER UNIERSITY OF OSIJEK 1 Uvod Beton je umjetni građevni materijal
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
VEŽBA 7. ISPITIVANJE BETONA I NJEGOVIH KOMPONENTI
VEŽBA 7. ISPITIVANJE BETONA I NJEGOVIH KOMPONENTI O betonu... Beton je konstruktivni materijal koji nastaje očvršćavanjem mešavine: kamenih agregata, mineralnog veziva i vode aditivi Aktivne komponente
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
NAREDBA O OBAVEZNOM ATESTIRANJU FRAKCIONISANOG KAMENOG AGREGATA ZA BETON I ASFALT. ("Sl. list SFRJ", br. 41/87)
NAREDBA O OBAVEZNOM ATESTIRANJU FRAKCIONISANOG KAMENOG AGREGATA ZA BETON I ASFALT ("Sl. list SFRJ", br. 41/87) 1. Obaveznom atestiranju podleže sledeće vrste frakcionisanog kamenog agregata za beton i
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Kontrola proizvodnje betona prema EN 206-1
Kontrola proizvodnje betona prema EN 206-1 Sadržaj Agregat Kriteriji za granulometrijski sastav agregata 4 Pregled svojstava i kategorija 8 Cement Označavanje cementa prema EN 197-1 12 Beton Odnosi između
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA
OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:
DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr
DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
MOGUĆNOST KORIŠĆENjA RECIKLIRANIH MATERIJALA KAO AGREGATA ZA BETON U SAVREMENOJ GRAĐEVINSKOJ PRAKSI
MOGUĆNOST KORIŠĆENjA RECIKLIRANIH MATERIJALA KAO AGREGATA ZA BETON U SAVREMENOJ GRAĐEVINSKOJ PRAKSI Savremena građevinska praksa, u skladu sa aktuelnim konceptom održivog razvoja, sve više se bavi problemima
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
Reverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Moguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +