ΟΡΟΣΗΜΟ Ένα υλικό σημείο που κάνει α.α.τ πλάτους Α=10cm τη χρονική στιγμή t=0s έχει απομάκρυνση x 5 3 cm. Να βρείτε την αρχική φάση φ 0

Transcript

1 Απλή Αρμονική Ταλάντωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις Ένα υλικό σημείο που κάνει α.α.τ πλάτους Α=10cm τη χρονική στιγμή t=0s έχει απομάκρυνση x 5 3 cm. Να βρείτε την αρχική φάση φ Η εξίσωση κίνησης υλικού σημείου που κάνει α.α.τ δίνεται από τη σχέση x A ημ(ωt φ ο ). Να βρείτε τα μεγέθη Α, ω, φ 0, αν το μήκος της τροχιάς του είναι d=2 0 cm και τη χρονική στιγμή t=0 η απομάκρυνση είναι x=+5 cm και η ταχύτητα υ 20 3 cm / s Ένα σωμάτιο εκτελεί α.α.τ πλάτους Α= 5 cm. Αν το σωμάτιο τη χρονική στιγμή t=0 έχει απομάκρυνση x=-2,5 cm και ταχύτητα υ 10 3 cm / s να βρείτε την αρχική φάση φ 0 και τη συχνότητα της ταλάντωσης Υλικό σημείο που κάνει α.α.τ κινείται σε τμήμα ευθείας μήκους d=8 cm. Αν η συχνότητα είναι f=10 Hz και τη χρονική στιγμή t=0 το κινητό βρίσκεται στη μέγιστη θετική απομάκρυνση του να γραφτεί η εξίσωση της κίνησης και να υπολογιστεί η επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t=0 (π 2 =10) Η εξίσωση υλικού σημείου που κάνει α.α.τ 2π π δίνεται από τη σχέση x 10 ημ t 3 4, με x σε cm και t σε s. Να βρείτε τα μεγέθη x, υ, α τη χρονική στιγμή t=3 s Μικρό σώμα μάζας m=0,1 εκτελεί α.α.τ μεταξύ ακραίων θέσεων που απέχουν απόσταση d=20 cm. Το σώμα εκτελεί 4 πλήρεις ταλαντώσεις σε χρονική διάρκεια Δt=0,4s και τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα α) Να γράψετε τις εξισώσεις των μεγεθών x, υ και α σε συνάρτηση με το χρόνο και να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις. β) Να βρείτε τη δύναμη που δέχεται το σώμα όταν διέρχεται από τη θέση x=-0,05 m γ) Να βρείτε το μέτρο της επιτάχυνσης και το μέτρο της ταχύτητας του σώματος, τη στιγμή που το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του ισούται με 10 Ν. (Δίνεται π 2 =10) 1.62 Υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ πλάτους Α=0,2m και γωνιακής συχνότητας ω= 10π rad/s. Να γράψετε τις εξισώσεις x=f(t), υ= f(t) και α= f(t) στις περιπτώσεις όπου η χρονική στιγμή t=0: α) Το σημείο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα, β) το σημείο διέρχεται από τη θέση με αρνητική ταχύτητα, γ) Η ταχύτητα του σώματος ισούται με υ υ 3 / 2 και η απομάκρυνσή του max είναι θετική. (Να θεωρήσετε για τις πράξεις π 2 =10) Η εξίσωση της απομάκρυνσης ενός σώματος που εκτελεί α.α.τ είναι: x=0,2. ημ(4πt+π/2) (SΙ). α) Να υπολογίσετε την ελάχιστη χρονική διάρκεια για την μετακίνηση του σώματος από τη θέση (i) x=α στη θέση x=-α και (ii) x= Α/2 με υ<0 στη θέση x A 3 / 2, β) Να υπολογίσετε τις χρονικές στιγμές στις οποίες το σώμα διέρχεται από τη θέση x= Α/2. γ) Επί πόσο χρόνο κατά τη διάρκεια μια περιόδου, το σώμα βρίσκεται μεταξύ των θέσεων x 1 =A/2 και x 2 =-Α/ Ένα σώμα μάζας 0,1 kg κάνει απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=10 cm, περίοδο Τ = 2 s και αρχική φάση π/3 rad. Να γράψετε τις εξισώσεις x=f(t), υ=f(t) και α=f(t) και να υπολογίσετε τις τιμές των μεγεθών x και F τη στιγμή 2/3 s. Δίνεται ότι π 2 =10. 93

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Απλή Αρμονική Ταλάντωση 1.65 Υλικό σημείο μάζας m=0,5 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση: π y 0,1ημ 10πt 2 (S.I.). Να υπολογίσετε την σταθερά της ταλάντωσης D όπως επίσης τις τιμές των μεγεθών y, υ και α τις στιγμές 0,1 s και 0,05 s. Δίνεται ότι π 2 = Υλικό σημείο μάζας m=0,1kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η επιτάχυνσή του έχει μέγιστη τιμή α max =16 m/s 2. Το μήκος της τροχιάς του είναι 8 cm. Να βρείτε τη περίοδο της κίνησης, τη σταθερά D και το μέτρο της ταχύτητας του ταλαντωτή στη θέση 2 cm. Δίνεται ότι π 2 = Ένα σώμα μάζας m=0,01 kg κάνει απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους 0,3 m. Στη θέση 0,1 m η δύναμη επαναφοράς έχει μέτρο 20 Ν. Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας στη ίδια θέση Ένα σώμα μάζας m=0,01 kg κάνει απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α=0,2 m. Αν η σταθερά D είναι 10 N/m, να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας στη θέση 0,1 m Υλικό σημείο μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η ταχύτητά του δίνεται από την εξίσωση: π υ 0,2π συν 2πt 2 (S.I.) Να βρείτε το πλάτος Α, τη περίοδο Τ και αρχική φάση φ 0 της ταλάντωσης και τη θέση x όταν η ταχύτητα έχει μέτρο 0,1π m/s Υλικό σημείο μάζας m=10-2 kg κάνει απλή αρμονική ταλάντωση και η ταχύτητά του δίνεται από την εξίσωση: υ=10π. ημ(2πt) (S.I.) Να υπολογιστούν: α) το πλάτος Α, η περίοδος Τ και αρχική φάση φ 0, β) η απομάκρυνση και η ταχύτητα του υλικού σημείου τη στιγμή t=0,125 s, γ) η χρονική στιγμή που γίνεται η ταχύτητά του είναι υ= 10π m/s για πρώτη φορά και δ) την τιμή της δύναμης επαναφοράς τη χρονική στιγμή t=2 s. Δίνεται ότι π 2 = Υλικό σημείο κάνει απλή αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση: y=a. ημ(ωt+φ 0 ) α) Να καθορίσετε τις τιμές των μεγεθών A, ω, φ 0 αν γνωρίζετε ότι: i. το μήκος της τροχιάς είναι d=20 cm, ii. τη χρονική στιγμή t=0 είναι y=+5 cm και υ= cm/s. β) Να βρείτε την επιτάχυνση του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή t= Σώμα μάζας m 0,5kg εκτελεί α.α.τ με σταθερά επαναφοράς D 8Ν / m. Tη χρονική στιγμή t 0 το σώμα διέρχεται από τη θέση x1 2 m με υ 0 και την ίδια στιγμή η κινητική του ενέργεια ισούται με το μισό της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης. α) Να υπολογίσετε τον χρόνο της απευθείας μετάβασης του σώματος από τη θέση x Α στη θέση x 0. β) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης. γ) Να γράψετε την εξίσωση της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με τον χρόνο. δ) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη χρονική στιγμή t 1 = π/16 s μέχρι τη χρονική στιγμή t 2 =π/4 s Ένας ταλαντωτής μάζας m = 2 kg σε απομάκρυνση x 1 = 2 m έχει ταχύτητα υ 1 = 4 m/s και σε απομάκρυνση x 2 =4 m έχει ταχύτητα υ 2 = 2 m/s. Να υπολογίσετε την ολική ενέργεια Υλικό σημείο κάνει α.α.τ με περίοδο T=4 s π και αρχική φάση φ0 rad. Να βρείτε την 6 εξίσωση της κίνησης αν η ολική ενέργεια ισούται με Ε ολ 6J και η μέγιστη απόλυτη τιμή της δύναμης επαναφοράς είναι Fmax 4 Ν Ένας ταλαντωτής μάζας m 1kg κάνει α.α.τ. κυκλικής συχνότητας ω 2rad / s και πλάτους Α. Όταν ο ταλαντωτής αποκτήσει από 2 το περιβάλλον του ενέργεια ΔΕ 4 10 J, το πλάτος του αυξάνεται κατά A =10 cm. Να βρείτε το αρχικό πλάτος Α Η εξίσωση της ταχύτητας σώματος μάζας m=0,2kg που εκτελεί α.α.τ είναι: π υ υmax συν 2πt S.I. 4 94

3 Απλή Αρμονική Ταλάντωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Η μέγιστη τιμή της δυναμικής ενέργειας του σώματος ισούται με υπολογίσετε: Umax 25J. Να α) τη μέγιστη ταχύτητα του σώματος καθώς και την ταχύτητα του την χρονική στιγμή t=t/2, β) την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας όταν η ταχύτητα του ισούται με υ 2,5π 3 m / s, γ) το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας του σώματος όταν η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης ισούται με U= 16 J, δ) το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος και το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση x=2 m με υ>0. Να θεωρήσετε για τις πράξεις π 2 = Ένα κινητό εκτελεί απλή αρμονική κίνηση με πλάτος Α και περίοδο 10s. Μετά από 1,25s να υπολογιστεί ποιό ποσοστό της ολικής ενέργειας του ταλαντωτή, είναι η δυναμική του ενέργεια. Δίνεται ότι τη στιγμή t=0 είναι x=0 και υ< Αρμονικός ταλαντωτής έχει περίοδο Τ=2s.78η χρονική στιγμή t=0 είναι x=α/2 και υ<0. Αν η ολική ενέργεια της ταλαντώσεως åßí áé Å ολ =0,4 J και το μέτρο της μέγιστης δύναμης είναι F max =4 N, να βρείτε: α) την εξίσωση της κίνησης x-t του υλικού σημείου και β) τη χρονική στιγμή κατά την οποία, για πρώτη φορά, θα είναι U=Κ Αρμονικός ταλαντωτής μάζας m = 0,1 kg έχει ολική ενέργεια Ε ολ = J. Οι αλγεβρικές τιμές της επιτάχυνσης και της απομάκρυνσης του υλικού σημείου συνδέονται με τη σχέση α= 4. y στο S.I. Nα γράψετε την χρονική εξίσωση της ταχύτητας του υλικού σημείου, αν για τη χρονική στιγμή t=0 είναι Κ=E ολ και η φορά κίνησης είναι αρνητική Ένα μικρό σώμα εκτελεί αρμον ική ταλάντωση ξεκινώντας για t = 0 από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο κατά τη θετική φορά. Το σώμα έχει ολική ενέργεια Ε ολ =8J και μέγιστη τιμή της δύναμης επαναφοράς είναι F max = 4 N. Επίσης βρέθηκε ότι το σώμα χρειάζεται χρόνο Δt = 1s, για να μεταβεί κατευθείαν από τη θέση με x=+a στη θέση x = -A. α) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. β) Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας του σώματος στη θέση x 2m. γ) Να βρεθούν οι θέσεις και οι χρονικές στιγμές μέσα στην πρώτη περίοδο, που η κινητική ενέργεια του σώματος είναι τριπλάσια από τη δυναμική του To διάγραμμα κινητικής ενέργειας - χρόνου για ένα σώμα μάζας m=4kg που κάνει αρμονική ταλάντωση φαίνεται στο σχήμα. α) Να βρείτε τη σταθερά D και να γράψετε την εξίσωση x=f(t), αν γνωρίζετε ότι τη στιγμή t=0 είναι υ<0. β) Ποιες στιγμές μέσα στην 1η περίοδο είναι μέγιστο το μέτρο της επιτάχυνσης; γ) Να γίνει το διάγραμμα της δυναμικής ενέργειας με το χρόνο Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος A=4cm. Τη χρονική στιγμή t=0 περνάει από τη θέση y=2 cm κινούμενο κατά τη θετική φορά. Μετά από χρόνο t=10 2 s περνάει από την ίδια θέση κινούμενο κατά την αρνητική φορά. α) Να βρείτε την περίοδο της κίνησης. β) Να γράψετε τις εξισώσεις που δίνουν, την απομάκρυν ση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνεται ότι π 2 = Υλικό σημείο κάν ει απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A=20 cm. Τη χρονική στιγμή t 1 =1 s είναι στη θέση x 1 = 10 2 cm με υ>0, ενώ τη χρονική στιγμή t 2 =4s είναι στη θέση ισορροπίας με υ<0 για πρώτη φορά. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x με το χρόνο t του υλικού σημείου Αρμονικός ταλαντωτής διέρχεται από δύο σημεία της τροχιάς του, που απέχουν απόσταση d=10 2 cm με ίδια κατά μέτρο ταχύτητα, μέσα σε ελάχιστο χρόνο Δt=4s. Μετά το πέρασμά του από το δεύτερο σημείο, χρειάζεται άλλα 4s για να επιστρέψει σ'αυτό 95

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Απλή Αρμονική Ταλάντωση κινούμενο με αντίθετη φορά. Να βρείτε την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης. Θεωρείστε για δ ιευκόλυνσή σας ότι η ταλάντωση δεν έχει αρχική φάση Σύστημα ελατήριο - σώμα ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο δ άπεδο, έχοντας πλάτος A 1 =0,2m. Τη στιγμή ακριβώς που το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, προσκολλάται πάνω του δεύτερο σώμα τριπλάσιας μάζας με αποτέλεσμα η ενέργεια της ταλάντωσης να μειωθεί κατά 75%. Να βρείτε: α) το πλάτος της νέας ταλάντωσης, f β) το λόγο 2 f ταλαντώσεων και υmax,2 γ) το λόγο υ 1 max,1 δύο ταλαντώσεων. των συχν οτήτων των δύο των μέγιστων ταχυτήτων των 1.86 To διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου για ένα σώμα μάζας m=4kg που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση φαίνεται στο σχήμα. α) Να βρείτε τη σταθερά επαναφοράς D και να γράψετε την εξίσωση x=f(t). β) Ποιες στιγμές είναι μέγιστο το μέτρο της επιτάχυνσης; γ) Να γίνει το διάγραμμα Κ-t. Δίνεται ότι π 2 = Δύο σώματα με μάζες m 1 και m 2 =2m 1 κάνουν απλή αρμονική ταλάντωση με ίδιο πλάτος Α =0,3m. Τα διαγράμματα της φάσης σε σχέση με το χρόνο της κίνησης των δύο σωμάτων, φαίνονται στο σχήμα. Δίνεται ότι εφθ=2. α) Να γραφούν οι εξισώσεις x = f (t) για τις δύο κινήσεις. β) Αν οι σταθερές των δύο ταλαντωτών είναι D2 D 1 και D 2, να βρείτε το λόγο D To διάγραμμα x=f(t) για ένα σώμα μάζας m=2kg που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση φαίνεται στο σχήμα. α) Να βρείτε τη σταθερά D και να γράψετε την εξίσωση F=f(t). β) Ποιες στιγμές το σώμα έχει ταχύτητα μέγιστου μέτρου και πόση είναι η υ max ; γ) Σε πόσο χρόνο θα γίνει U=K για 1η φορά; Δίνεται ότι π 2 = Υλικό σημείο μάζας m=0,2 kg κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. Όταν η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του είναι y 1 =6 cm, η ταχύτητά του έχει μέτρο υ 1 =0,08 m/s, ενώ όταν η απομάκρυνση είναι y 2 =8 cm η ταχύτητα έχει μέτρο υ 2 =0,06 m/s. Να βρείτε: α) την ολική ενέργεια ταλάντωσης του υλικού σημείου καθώς και το πλάτος του, β) τις θέσεις στις οποίες η δυναμική ενέργεια είναι το 75% της ολικής του, γ) το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος, όταν η απομάκρυνσή του είναι 6cm. 1 96

5 Απλή Αρμονική Ταλάντωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Συστήματα με ελατήριο που κάνουν απλή αρμονική ταλάντωση 1.90 Ένα σώμα μάζας m=4kg συνδέεται στα άκρα συστήματος ελατηρίων όπως στο σχήμα (περιπτώσεις α και β). (α) στο οριζόντιο επίπεδο. Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας κατά x 1 =0,2 m και τη χρονική στιγμή t=0 το εκτοξεύουμε, από τη θέση αυτή με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ 4 3 m/s και φορά προς τη θέση x= +A. k 1 m k Θ.Ι m k 2 k 1 (β) m Τα ελατήρια έχουν σταθερές k 1 =220 Ν/m και k 2 =180 Ν/m. Το σώμα αρχικά ισορροπεί.. Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατά 0,2 m και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί στο λείο δάπεδο. α) Να δειχθεί σε κάθε περίπτωση ότι το σύστημα κάνει αρμονική κίνηση και να υπολογιστεί το μέτρο της μέγιστης ταχύτητάς του. β) Αν τετραπλασιάσουμε τη μάζα του σώματος που συνδέεται στα ελατήρια, πως μεταβάλλεται η μέγιστη ταχύτητα του σώματος, αν το πλάτος παραμένει σταθερό; γ) Αν τετραπλασιάσουμε το πλάτος ταλάντωσης ενώ η μάζα του σώματος που συνδέεται στα ελατήρια δεν μεταβάλλεται, πόση γίνεται η περίοδος ταλάντωσης; 1.91 α) Αν στην ελεύθερη άκρη ελατηρίου σταθεράς k κρεμάσουμε σώμα με μάζα m 1 = 8 kg, να δείξετε ότι εκτελεί α.α.τ. β) Η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ 1 =2 s. Αν τώρα αντικαταστήσουμε το σώμα μάζας m 1 με άλλο σώμα μάζας m 2 = 2 kg, να βρείτε την περίοδο Τ 2 της ταλάντωσης που θα κάνει το δεύτερο σώμα. k 2 k 10 Το σώμα εκτελεί α.α.τ με συχνότητα f Hz. π α) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος. β) Να γράψετε την εξίσωση της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης με το χρόνο. γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος τη χρονική στιγμή που η κινητική ενέργεια ισούται με τη δυναμική ενέργεια. δ) Να υπολογίσετε τη μεταβολή της ορμής του σώματος από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη στιγμή που η κινητική ενέργεια του σώματος έγινε μηδέν για πρώτη φορά To σώμα του σχήματος έχει μάζα m=2 kg και ισορροπεί στερεωμένο στο άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 200 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. x1 m υ 1.92 Οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k έχει το ένα άκρο του στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Στο ελεύθερο άκρο του στερεώνεται σώμα μάζας 1 kg που μπορεί να κινείται χωρίς τριβές Το σώμα εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας του φέρνοντάς το κάτω από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου κατά Δx =0,2 m. Aφήνουμε το σώμα να κινηθεί χωρίς αρχική 97

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ταχύτητα, θεωρώντας τη χρονική στιγμή αυτή t=0 και ότι είναι y>0. α) Να δείξετε ότι εκτελεί α.α.τ. β) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας υ=f(t). και να υπολογίσετε την μέγιστη ενέργεια του ελατηρίου. γ) Ποια χρονική στιγμή το σώμα αποκτά τη μέγιστη ταχύτητά του για δεύτερη φορά μετά τη στιγμή t=0; δ) Να βρείτε μέχρι τότε το έργο της δύναμης επαναφοράς. Δίνεται ότι g=10 m/s 2 Απλή Αρμονική Ταλάντωση 1.96 To σώμα του σχήματος έχει μάζα m=2 kg και ισορροπεί στερεωμένο στο άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 200 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο Ένα σώμα μάζας Μ=1 kg συνδέεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ένα άλλο σώμα μάζας m=3 kg κρέμεται από το σώμα Μ, και το ελατήριο επιμηκύνεται ακόμα κατά 15 cm. Αφαιρείται το σώμα μάζας m και το σώμα μάζας Μ αφήνεται ελεύθερο τη στιγμή t=0, που θεωρούμε ότι είναι x>0. α) Να βρεθούν το πλάτος και η περίοδος της κίνησης. β) Να γράψετε τη σχέση x =f(t) και να βρείτε την U ελ,max. Δίνεται ότι g=10 m/s Ένα σώμα μάζας Μ=1 kg συνδέεται στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο. Ένα άλλο σώμα μάζας m=3 kg αφήνεται πάνω στο σώμα μάζας Μ και το σύστημα αρχίζει να κινείται τη στιγμή t=0, που θεωρούμε ότι είναι x>0. α) Να δειχθεί ότι σύστημα κάνει αρμονική κίνηση και να υπολογιστεί η ενέργειά του. β) Να κάνετε το διάγραμμα U T =f(t). Το σώμα εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας του φέρνοντάς το στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Δίνουμε στο σώμα αρχική ταχύτητα μέτρου υ0 3 m/s, προς τα κάτω θεωρώντας τη χρονική στιγμή αυτή t=0 και ότι είναι y>0. α) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας υ=f(t). β) Να υπολογίσετε την μέγιστη ενέργεια του ελατηρίου. γ) Ποια χρονική στιγμή το σώμα αποκτά τη μέγιστη ταχύτητά του για δεύτερη φορά μετά τη στιγμή t=0; δ) Να βρείτε μέχρι τότε το έργο της δύναμης επαναφοράς. Δίνεται ότι g=10 m/s Πάνω στo λείο δάπεδο μπορεί να κινείται το σώμα Σ, μάζας m=2,5 kg το οποίο είναι στη θέση ισορροπίας του και δέχεται από τα ελατήρια δυνάμεις με μέτρα F 1 =100. (AΣ) και F 2 =150. (BΣ) αντίστοιχα. Οι θέσεις Α και Β είναι οι θέσεις φυσικού μήκους των ελατηρίων αντίστοιχα. Δίνεται ότι AB 1 m. 6 γ) Να υπολογίσετε το λόγο F F ελ,max επαναφ,max Δίνεται η σταθερά του ελατηρίου k=100 Ν/m και g=10 m/s 2.. α) Να δείξετε ότι το σώμα Σ θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση, αν εκτραπεί απο τη θέση ισορροπίας του και αφεθεί να κινηθεί. β) Αν η ταχύτητα του σώματος όταν περνάει από το Α είναι 2/3 m/s να βρείτε πόσο είναι το 98

7 Απλή Αρμονική Ταλάντωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 μέτρο της ταχύτητάς του, όταν διέρχεται από το σημείο Β, καθώς και το πλάτος της ταλάντωσης α) Το σύστημα σώμα μάζας m=2kg με το ελατήριo, που φαίνεται στο σχήμα, ισορροπεί. Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Να δείξετε ότι το σύστημα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. Το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο. α) Το πλάτος ταλάντωσης και να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης - χρόνου αν για t=0 είναι x>0. β) Την ενέργεια που προσφέρθηκε στο σώμα. γ) Τον μέγιστο ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος Το σώμα μάζας m=1 kg του σχήματος αρχικά ηρεμεί και το ελατήριο σταθεράς k=100 Ν/m, είναι στο φυσικό του μήκος.ασκούμε οριζόντια δύναμη σταθερού μέτρου F=10 Ν όπως φαίνεται στο σχήμα. β) To διάγραμμα F=f(t) για τον ταλαντωτή φαίνεται στο σχήμα. Nα βρεθεί η σταθερά του ελατηρίου και να γραφούν οι εξίσώσεις της απομάκρυνσης της ταχύτητας και της επιτάχυνσης με το χρόνο Το σώμα μάζας m=1kg του σχήματος αρχικά ηρεμεί στο λείο δάπεδο και το ελατήριο έχει σταθερά k=100 Ν/m. Ασκούμε δύναμη F όπως φαίνεται στο σχήμα και όταν το σώμα αποκτήσει ταχύτητα μέτρου υ= 3 m/s, το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά 0,1 m. Tη στιγμή αυτή που θεωρούμε ότι είναι η στιγμή t=0, καταργείται η δύναμη F. Το σώμα κάνει αρμονική ταλάντωση. Να βρείτε: α) Να δείξετε ότι το σύστημα κάνει αρμονική ταλάντωση και να βρείτε το πλάτος της. β) Όταν το σώμα αποκτήσει μέγιστη ταχύτητα καταργείται η δύναμη F. Να υπολογίσετε: ι. Την ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που καταργείται η δύναμη. ιι. Το νέο πλάτος ταλάντωσης Ένας ανελκυστήρας ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ=2 m/s. Στην οροφή του είναι στερεωμένο κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k=100ν/m, στο κάτω άκρο του οποίου είναι κρεμασμένο σώμα μάζας m=1 kg, που ισορροπεί ως προς το ελατήριο. α) Αν το ασανσέρ σταματήσει ακαριαία πόσο είναι το πλάτος Α της ταλάντωσης του σώματος; β) Tο σώμα κρατείται ώστε το ελατήριο να είναι στο φυσικό του μήκος καθώς ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα το ασανσέρ. Aν το σώμα αφεθεί ελεύθερο, όταν το ασανσέρ σταματήσει ακαριαία, πόσο είναι το πλάτος Α της ταλάντωσης; Δίνεται ότι g=10m/s 2. 99

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ * Το καροτσάκι του σχήματος κινείται α) με σταθερού μέτρου ταχύτητα υ, β) με σταθερή επιτάχυνση α=5 m/s 2. Δίνεται g=10m/s 2. Απλή Αρμονική Ταλάντωση To σώμα Σ 1 μάζας m=2 kg, του σχήματος μπορεί να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Εκτρέπουμε το σώμα Σ 1 από τη θέση ισορροπίας του κατά τη διεύθυνση των ελατηρίων κατά d=0,1m και τη χρονική στιγμή t=0 το αφήνουμε ελεύθερο. Το καροτσάκι ακινητοποιείται ακαριαία όταν το μέτρο της ταχύτητας είναι υ= 10 m/s και στις δύο περιπτώσεις, να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης. Δίνονται: k=100 Ν/m, m=0,5 kg και το δάπεδο του καροτσιού είναι λείο Σώμα Σ 1 μάζας m 1 =2 kg ισορροπεί συνδεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=400 Ν/m, του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται σε οροφή. Βλήμα Σ 2, ίσης μάζας με το σώμα Σ 1, κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου υ= 3 m/s. To βλήμα συγκρούεται με το σώμα και δημιουργείται συσσωμάτωμα. Η στιγμή που ολοκληρώνεται η κρούση θεωρούμε ότι είναι η στιγμή t=0 και η απομάκρυνση είναι θετική. α) Να γράψετε την χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης για την απλή αρμονική ταλάντωση του συστήματος. β) Να βρείτε το χρονικό διάστημα μέχρι να μηδενιστεί για πρώτη φορά η ταχύτητα του συσσωματώματος. γ) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος τη χρονική στιγμή t π s 12 ; Ταυτόχρονα, από ύψος h πάνω από τη θέση ισορροπίας, αφήνουμε να πέσει ελεύθερα σώμα Σ 2 που έχει ίση μάζα με το σώμα Σ 1. α) Να δείξετε ότι το σώμα Σ 1 κάνει α.α.τ. β) Να βρείτε το ύψος h, ώστε το σώμα Σ 2 να συναντήσει το Σ 1 όταν διέρχεται για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του. γ) Αν με τη κρούση δημιουργείται συσσωμάτωμα, να βρείτε το νέο πλάτος ταλάντωσης. Δίνονται: π 2 =10, g=10 m/s 2, k 1 = 120 N/m, k 2 =80 N/m Τα σώματα Σ 1, Σ 2 του σχήματος ισορροπούν και τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος. Απομακρύνουμε αριστερά το σώμα Σ 1 κατά x 1 =0,2 m και το σώμα Σ 2 δεξιά κατά x 2 =0,1m και τα αφήνουμε ταυτόχρονα ελεύθερα. α) Πότε θα συναντηθούν για πρώτη φορά τα δύο σώματα και σε ποια θέση; Tι ταχύτητες έχουν τότε; β) Αν μετά την κρούση η φορά της ταχύτητας του κάθε σώματος αντιστρέφεται χωρίς να αλλάξει το μέτρο της, να βρείτε τη μέγιστη απομάκρυνση του κάθε σώματος από το σημείο κρούσης. γ) Ποιος είναι ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών κρούσεων; Δίνονται: m 1 =1 kg, k 1 =100 N/m, m 2 =2 kg, k 2 =200 N/m. 100

9 Απλή Αρμονική Ταλάντωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ * Ένας δίσκος μάζας M=1kg είναι στερεωμένος στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται σε οριζόντιο δάπεδο. Πάνω στο δίσκο κάθεται ένα πουλί μάζας m=0,5kg, το οποίο κάποια στιγμή εκτινάσσεται με τα πόδια του κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα υ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Δίνονται ότι οι μάζες των σωμάτων Σ 1 και Σ 2 είναι m 1 =1kg και m 2 =3 kg αντίστοιχα. π=3, Οριζόντιος δίσκος εκτελεί κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ=1s και πλάτος A=0,3 m. Όταν ο δίσκος βρίσκεται στην κατώτερη θέση, τοποθετούμε πάνω του μικρό σώμα, χωρίς να αλλάξει η περίοδος Τ και το πλάτος A. To σώμα θα εγκαταλείψει το δίσκο; Αν ναι σε ποιο μέγιστο ύψος θα φτάσει το σώμα από τη θέση που εγκατέλειψε το δίσκο; Δίνεται g=π 2 m/s 2. To σύστημα δίσκος - ελατήριο κάνει αρμονική ταλάντωση πλάτους 0,1m, να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας που εγκαταλείπει το πουλί το δίσκο. Δίνεται g=10m/s 2. Χάσιμο επαφής στη γραμμική αρμονική ταλάντωση Το σώμα Σ 1 του σχήματος είναι στερεωμένο στο άκρο του ελατηρίου και είναι σε επαφή με το σώμα Σ 2. Το σύστημα ισορροπεί ενώ το ελατήριο είναι συσπειρωμένο, με τη βοήθεια νήματος, κατά 0,4m. Κόβουμε το νήμα και τα σώματα κινούνται στο λείο δάπεδο * Στις άκρες κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=400n/m είναι συνδεδεμένα δύο σώματα Σ 1 και Σ 2 με μάζες m 1 =1kg και m 2 =3 kg αντίστοιχα όπως φαίνεται στο σχήμα. Να βρείτε το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης, του σώματος μάζας m 1 ώστε το σώμα μάζας m 2 να μη χάσει την επαφή του με το δάπεδο. Δίνεται ότι g=10 m/s * Το σύστημα του σχήματος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στο λείο δάπεδο πλάτους Α=0,05m. α) Να δείξετε ότι θα χαθεί η επαφή των δύο σωμάτων. β) Αν το μέτρο της μέγιστης ορμής του συστήματος είναι 8 kg. m/s, να βρείτε: i. τη σταθερά k του ελατηρίου, ii. το πλάτος ταλάντωσης του συστήματος σώμα Σ 1 - ελατήριο μετά το χάσιμο της επαφής και iii. την απόσταση των σωμάτων τη στιγμή που μηδενίζεται για 2η φορά η ταχύτητα του Σ 1. Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ των σωμάτων Σ 1 και Σ 2, ώστε το σώμα Σ 2 να μην ολισθαίνει σε σχέση με το Σ 1 κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης; Δίνονται: m 1 =2 kg, m 2 =0,5 kg, g=10 m/s 2 και k=250 N/m Σώμα Σ 1 μάζας m 1 = 1 kg ισορροπεί συνδεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100 Ν/m, του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται σε οροφή. Στο σώμα Σ 1 κρεμάμε με νήμα δεύτερο σώμα Σ 2 μάζας m 2 = 3 kg. 101

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Απλή Αρμονική Ταλάντωση k Σ Λείο κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία κλίσης φ=30 ο. Στα σημεία Α και Β στερεώνουμε τα άκρα δύο ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k 1 =60 Ν/m και k 2 =140 Ν/m αντίστοιχα. Στα ελεύθερα άκρα των ελατηρίων, δένουμε σώμα Σ 1 με μάζα m 1 = 2 kg και το κρατάμε στη θέση όπου τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος (όπως φαίνεται στο σχήμα). Σ 2 Το σύστημα εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας του προς τα κάτω κατά Δx = 0,2 m. Aφήνουμε το σύστημα να κινηθεί χωρίς αρχική ταχύτητα, θεωρώντας τη χρονική στιγμή αυτή t=0 και ότι είναι y>0. α) Να δείξετε ότι εκτελεί α.α.τ. β) Να γράψετε την εξίσωση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο. γ) Να βρείτε για ποιο μεγιστο πλάτος το σύστημα εκτελεί α.α.τ. χωρίς να χαλρώσει το νήμα. (g=10 m/s 2 ) Το ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου k=100 N/m είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο. Στο άλλο άκρο του είναι σταθερά συνδεμένος δίσκος Σ 1 μάζας Μ=1 kg, πάνω στον οποίο είναι τοποθετημένο σώμα Σ 2 μάζας m=3 kg. To σύστημα ισορροπεί. Εκτρέπουμε το σύστημα προς τα κάτω συμπιέζοντας το ελατήριο κατά ΔL= 0,5 m και το αφήνουμε ελεύθερο. α. Nα αποδείξετε ότι το σώμα μάζας m θα χάσει την επαφή του με το δίσκο μάζας M. β. Ποιο είναι τότε το μέτρο της ταχύτητας των σωμάτων; γ. Ποιο είναι το νέο πλάτος ταλάντωσης του δίσκου με το ελατήριο; Σ1 k Σ2 Γνωστά είναι: g=10 m/s 2 και π 2 =10. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 αφήνουμε το σώμα Σ 1 ελεύθερο. Δ1. Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ 1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Δ2. Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απομάκρυνση του σώματος Σ 1 από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο. Να θεωρήσετε θετική φορά τη φορά από το Α προς το Β. Κάποια χρονική στιγμή που το σώμα Σ 1 βρίσκεται στην αρχική του θέση, τοποθετούμε πάνω του (χωρίς αρχική ταχύτητα) ένα άλλο σώμα Σ 2 μικρών διαστάσεων μάζας m 2 =6 kg. Το σώμα Σ 2 δεν ολισθαίνει πάνω στο σώμα Σ 1 λόγω της τριβής που δέχεται από αυτό. Το σύστημα των δύο σωμάτων κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. Δ3. Να βρείτε τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του σώματος Σ 2. Δ4. Να βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή οριακής στατικής τριβής που πρέπει να υπάρχει μεταξύ των σωμάτων Σ 1 και Σ 2, ώστε το Σ 2 να μην ολισθαίνει σε σχέση με το Σ 1. Δίνονται: ημ30 ο = 1/2, συν30 ο = 3 / 2, g=10 m/s 2. (Πανελλήνιες εξετάσεις 2012) 102

11 Απλή Αρμονική Ταλάντωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Θέμα 1 1o Κριτήριο αξιολόγησης 1. Σε αρμονική ταλάντωση ποια από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστή; α. Η επιτάχυνση έχει ίδια φορά με τη φορά της ταχύτητας. β. Η επιτάχυνση έχει φορά προς θέση πλάτους. γ. Η δύναμη επαναφοράς έχει φορά προς τη θέση ισορροπίας. δ. Η δύναμη και η ταχύτητα είναι πάντα ομόρροπα διανύσματα. Μονάδες 5 2. Σε αρμονική ταλάντωση ποια από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστή; α. Η κίνηση από τη θέση ισορροπίας προς ακραία θέση είναι ομαλά επιβραδυνόμενη. β. Η κίνηση από ακραία θέση προς τη θέση ισορροπίας είναι ομαλά επιταχυνόμενη. γ. Η δύναμη επαναφοράς έχει αντίθετη φορά με τη φορά της ταχύτητας. δ. Η δύναμη και η ταχύτητα είναι ομόρροπα διανύσματα όταν το κινητό πηγαίνει προς τη θέση ισορροπίας. Μονάδες 5 3. Σε αρμονική ταλάντωση ποια από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστή; α. Ο ταλαντωτής έχει μέγιστη δυναμική ενέργεια στη θέση x=0. β. Ο ταλαντωτής έχει μέγιστη κινητική ενέργεια στη θέση x=0. γ. Ο ταλαντωτής έχει μέγιστη κινητική ενέργεια στη θέση x=α. δ. Ο ταλαντωτής έχει μέγιστη ενέργεια στη θέση x=α/2 Μονάδες 5 4. Σε αρμονική ταλάντωση η ταχύτητα έχει περίοδο μεταβολής 2s. Tότε η δυναμική ενέργεια του ταλαντωτή μεταβάλλεται με περίοδο α. 2s β. 1s γ. 4s δ. 0,5s Μονάδες 5 5. Ένα σώμα μάζας m κρέμεται στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k και ταλαντώνεται με συχνότητα f 0. Αν το σώμα αντικατασταθεί από άλλο μάζας 9m, η συχνότητα ταλάντωσης του σώματος μάζας 4m, είναι: α. 4f 0 β. f 0 γ. 2f 0 δ. f 0 /3 Μονάδες 5 Θέμα 2 1. Σώμα μάζας m είναι δεμένο στη μία άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε οροφή. Το σώμα εκτρέπεται κατά 0,2m από τη Θ.Ι του, κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και αφήνεται ελέυθερο. Η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται για πρώτη φορά σε χρόνο t 1. Επαναλαμβάνεται η ίδια διαδικασία με πλάτος 0,4m. Ο ελάχιστος χρόνος που χρειάζεται για να μηδενιστεί η ταχύτητά του για πρώτη φορά, είναι: α. t 1 β. 2t 1 γ. t 1 /2 δ. 4t 1 Nα δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 7 103

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Απλή Αρμονική Ταλάντωση 2. Σώμα μάζας m είναι δεμένο στη μία άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο. Το σύστημα κάνει αρμονική ταλάντωση πλάτους Α 1. Αν επαναλάβουμε τη διαδικασία με το ίδιο ελατήριο και άλλο σώμα μάζας 4m, δίνοντας στο σύστημα την ίδια ενέργεια, ο λόγος Α 1 /Α 2 είναι: α. 2 β. 0,5 γ. 4 δ.1 Nα δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 8 3. Για αρμονικό ταλαντωτή να κάνετε τα διαγράμματα Κ, U και E σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x, σε κοινό σύστημα αξόνων και να βρείτε τα σημεία τομής τους. Μονάδες 10 Θέμα 3 Σώμα μάζας m=2kg είναι δεμένο στις άκρες οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k 1 =120 Ν/m και k 2 =80 Ν/m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα ισορροπεί αρχικά και τα ελατήρια είναι στο φυσικό τους μήκος.το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο και το σώμα εκτρέπεται 0,1m από τη θέση ισορροπίας κατά τη διεύθυνση του άξονα των ελατηρίων. Το σώμα αφήνεται ελεύθερο τη στιγμή t=0, θεωρώντας ότι τότε είναι x>0. α. Να αποδείξετε ότι η κίνηση είναι αρμονική και να βρείτε την περίοδό της. Μονάδες 6 β. Να γράψετε τις σχέσεις x=f(t) και υ=f(t). Μονάδες 6 γ. Να υπολογίσετε τη μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος. Μονάδες 6 δ. Να υπολογίσετε τoν ρυθμό μεταβολής μεταβολής dk dt τη στιγμή π 20 s. Θέμα 4 Μονάδες 7 Το σώμα μάζας m=1kg του σχήματος αρχικά ηρεμεί στερεωμένο στο άκρο του ελατηρίου σταθεράς k=200 Ν/m. Ασκούμε κατακόρυφη δύναμη F όπως στο σχήμα και όταν η ταχύτητα του σώματος αποκτήσει μέτρο υ= 6 m/s, το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί ακόμα κατά x=0,1 m. Tότε που θεωρούμε ότι είναι t=0 και x>0, καταργείται η δύναμη F και το σώμα κάνει αρμονική ταλάντωση. α. Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης - χρόνου για την ταλάντωση του σώματος και να υπολογίσετε τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. Μονάδες 8 β Να υπολογίσετε την ενέργεια που προσφέρθηκε στο σώμα. γ. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής dk dt του σώματος, τη στιγμή t=0. Μονάδες 8 Δίνεται ότι g=10 m/s 2. Μονάδες 9 104

13 Απλή Αρμονική Ταλάντωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Θέμα 1 2o Κριτήριο αξιολόγησης 1. Σε αρμονική ταλάντωση η διαφορά φάσης φ x φ α, είναι: α. μηδέν β. π rad γ. π/2 rad δ. π rad Μονάδες 5 2. Σε αρμονικό ταλαντωτή ελατήριο - μάζα η σταθερά επαναφοράς D: α. είναι ανάλογη της μάζας του σώματος, β. εξαρτάται από την περίοδο, γ. είναι ανεξάρτητη της μάζας του σώματος, δ. εξαρτάται από την ολική ενέργεια της ταλάντωσης. Μονάδες 5 3. Σε αρμονικό ταλαντωτή ελατήριο - μάζα διπλασιάζεται το πλάτος. Τότε: α. υποδιπλασιάζονται τα μεγέθη υ max και α max, β. διπλασιάζεται η περίοδος, γ. η ολική ενέργεια τερταπλασιάζεται. δ. η ολική ενέργεια δεν αλλάζει. Μονάδες 5 4. Σε αρμονική ταλάντωση η δυναμική ενέργεια του ταλαντωτή γίνεται ίση με την κινητική του: α. δύο φορές β. σε τέσσερεις θέσεις γ. τέσσερεις φορές δ.μια φορά Μονάδες 5 5. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις που αναφέρονται σε αρμονική ταλάντωση είναι σωστές και ποιές λάθος: α. H συνισταμένη δύναμη που επενεργεί στο σώμα έχει τη μορφή ΣF Dx. β. Τα μεγέθη x και α έχουν ίδια φάση. γ. Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με την ολική του ενέργεια στη θέση x 0. δ. Η ολική ενέργεια μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο. m ε. Η συχνότητα της κίνησης δίνεται από τη σχέση f 2π. D Θέμα 2 Μονάδες 5 1. Ένα σημειακό αντικείμενο κάνει αρμονική ταλάντωση και τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση x=+a. Να συμπληρωθεί ο πίνακας με χρήση των μεγεθών m, ω, A και του π. Χρόνος Φάση x υ ΣF U Κ 0 Τ/4 Τ/2 3Τ/4 Τ Μονάδες 7 105

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Απλή Αρμονική Ταλάντωση 2. Σώμα μάζας m είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k του οποίου το πάνω άκρο είναι στερεωμένο. H αρχική παραμόρφωση του ελατηρίου είναι Δy. Κρεμάμε στο σώμα δεύτερο σώμα ίδιας μάζας και αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να ταλαντωθεί από την αρχική θέση ισορροπίας του. Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης θα είναι ίση με: α. E ολ 2 k 2Δy β. E 2 2 ολ k Δy 2 k Δy γ. E ολ = 4 Nα δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 8 3. Ένας αρμονικός ταλαντωτής τη στιγμή t=0 είναι στη θέση x=+a. Nα κάνετε τα διαγράμματα Κ, U και E σε συνάρτηση με το χρόνο, σε κοινό σύστημα αξόνων. Μονάδες 10 Θέμα 3 To διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου για ένα σώμα μάζας 1kg που κάνει αρμονική ταλάντωση, φαίνεται στο σχήμα. α. Να γράψετε τις σχέσεις x=f(t) και α=f(t) και να κάνετε τα αντίστοιχα διαγράμματα. Μονάδες 6 β. Να βρείτε τις θέσεις στις οποίες γίνεται U=K. Μονάδες 6 γ. Πότε συμβαίνει αυτό για πρώτη φορά; 2 Μονάδες 6 δ. Να βρείτε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής Δp Δt στις θέσεις του ερωτήματος β. Μονάδες 7 Θέμα 4 Στο σχήμα το σύστημα εκτελεί αρμονική ταλάντωση χωρίς το σώμα Σ 2 να χάνει την επαφή του με το σώμα Σ 1. Αν δίνονται k=100 N/m, m 1 =1kg, και m 2 =3 kg, τότε: α. να βρείτε το λόγο της σταθεράς της ταλάντωσης του Σ 2 προς τη σταθερά της ταλάντωσης του Σ 1. Μονάδες 8 β. το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης για να μη χαθεί η επαφή των δύο σωμάτων. Μονάδες 8 γ. να βρείτε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής dk dt του συστήματος, όταν γίνεται U=3K, και το σύστημα ταλαντώνεται με το πλάτος του ερωτήματος β. Δίνεται ότι g=10 m/s 2. Μονάδες 9 106

15