דף נוסחאות בתורת הבקרה Eran Salfati

Transcript

1 דף נוסחאות בתורת הבקרה Er l פרק מערכות בקרה במצב המתמיד פרק מבוא למערכות בקרה העתקת מסכם מנקודה שאחרי מלבן לנקודה שלפניו ( ) מבנה כללי של מערכת בקרה בחוג סגור: פונקצית תמסורת: הגדרה: פונקצית תמסורת היא היחס שבין אות המוצא לבין אות המבוא של המערכת. C C( ) בקר מווסת את אות המוצא ע"י שליטה בהתקן המבוקר. זרימת אותות: שיטה לניתוח דיאגראמת מלבנים של מערכת בקרה, בה עוקבים אחר כל האותות במערכת. פונקצית התמסורת תהיה שווה לאות המוצא חלקי אות הכניסה. העתקת מסכם מנקודה שלפני מלבן לנקודה שאחריו רכיב הפעלה מפעיל את ההתקן המבוקר. תהליך מבוקר התהליך אותו מבקרת כל המערכת. חיישן / מתמר ייחוס. רכיב המודד את הערך המצוי ומספק אות כללים לחישוב פונקצית תמסורת שקולה של מערכת: מלבנים בטור מלבנים בטור מכפילים. הפרדת נקודת סיכום הגדרות: מערכת בקרה בחוג פתוח: מערכת שאינה מכילה מנגנון לתיקון עצמי של סטיות בגודל המבוקר. מלבנים במקביל בעלי אותות הזורמים לאותו כיוון מערכת בקרה בחוג סגור: מערכת שמכילה 3 שלבים: מדידה של האות המצוי, השוואה מול האות הרצוי, וביצוע פעולה לתיקון.. r משוב שלילי: תפקידו להקטין את השגיאה ' c. r משוב חיובי: תפקידו להגדיל את השגיאה ' c מלבנים במקביל מחברים. הפיכת חוג משוב עם משוב H לחוג עם משוב יחידה H ' H ( H) בקרה לא רציפה: מערכת בקרה בחוג סגור בעלת מצבים בלבד. בקרה רציפה: מערכת שבה תיקון השגיאה נעשה בצורה רציפה. מצב מתמיד (מצב יציב): מצב זה מוגדר כאשר אותות המבוא והמוצא של המערכת קבועים ב. מצב מעבר (התגובה הדינאמית): תגובת המערכת מרגע שהתחיל שינוי באות המבוא ועד להיווצרות מצב מתמיד חדש במוצא. מלבנים במקביל בעלי אותות הזורמים לכיוונים מנוגדים - משוב H ± H העתקת נקודת צומת מנקודה שאחרי מלבן לנקודה שלפניו יציבות של מערכת: מערכת היא יציבה אם עבור כניסה חסומה מתקבלת תגובה חסומה במוצא. סף יציבות מצב בו המערכת מגיבה בתנודות קבועות. חוסר יציבות מצב בו אות המוצא הולך וגדל ללא הגבלה. מערכת מרובת כניסות: בניתוח דיאגראמת מלבנים של מערכת מרובת כניסות, נשתמש בעיקרון הסופרפוזיציה. לפי עיקרון זה, בכל שלב נאפס את כל הכניסות ונשאיר רק כניסה אחת פעילה. אות המוצא יהיה שווה לסכום התרומות של כל אחת מהכניסות בנפרד. העתקת נקודת צומת מנקודה שלפני מלבן לנקודה שאחריו

2 דף נוסחאות בתורת הבקרה Er l ( ) g( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) F פרק 3 התגובה הדינאמית של מערכות בקרה אפיון אותות: אות מדרגה ) :(U, > u( ), < אות ריצה :(m) פירוק לשברים חלקיים: שיטה: הצגה כללית עבור מקרה א' P ( ) A B C D... ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) k k k k הצגה כללית עבור מקרה ב' הזזה ב הזזה ב P ( ) A B C D H... ( α α ) ( α α ) ( α α ) ( α α ) k k k התמרת לפלס: ( ) lm ( ) lm ( ) F ( ) תכונות כלליות: הגדרת ההתמרה משפט הערך ההתחלתי:, > r( ), < ( ) lm ( ) lm ( ) F ( ) lm L { ( )} ( ) F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F אות תאוצה :(Acclro) ליניאריות משפט הערך הסופי: ההגבר הסטטי של מערכת: >, ( ), < אות פולס :(Pul) ( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), < ( ), < <, > אות הלם,Imul) :(Dl, δ ( ), אות סינוס :(u) ( ) A( ) π פעולות עם אותות התמרת הנגזרת (סדר ראשון) התמרת הנגזרת (סדר שני) התמרת הנגזרת (סדר כלשהו) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) F ( ( ) ) F ( ) ( ) ( τ) τ g ( ) ( ) F התמרת האינטגרל פונקציות אלמנטאריות: שם פונקציה קבוע מישור ה מישור ה δ( ) u( ) ( ) co( )! דלתא (הלם) מדרגה אקספוננט חזקה סינוס קוסינוס פתרון מעגלים חשמליים באמצעות התמרת לפלס: Z L נגד קבל Z C C סליל L Z ) הכפלה בקבוע : ) הזזה ב :

3 Er l דף נוסחאות בתורת הבקרה פרק 4 מערכות מסדר ראשון ומסדר שני מעגל גוזר: מעגלים חשמליים בשילוב מגברי שרת: מגבר שרת: רכיב חשמלי אקטיבי, אשר מגביר את ההפרש בין כניסותיו. הגדרות: אפסים ערכים של אשר מאפסים את המונה של.() V ( V V ) A ou A הגבר בחוג פתוח שואף לאינסוף. התנגדות כניסה שואפת לאינסוף. ou התנגדות מוצא שואפת לאפס. קצר מדומה (אדמה מדומה) הנחות:.3 עקב תכונת הקצר המדומה,. V V 4. עקב התנגדות כניסה אינסופית, לא נכנס זרם למגבר ולכן הזרם בקבל שווה לזרם בנגד. V ( ) Vou ( ) C Vou ( ) V ( ) C Vou ( ) C V ( ) V ( ) C V ( ) ou v ( ) C v ' ( ) ou ניתוח: קטבים ערכים של אשר מאפסים את המכנה של.() משוואה אופיינית: המכנה של פונקצית התמסורת האופיינית של המערכת. פולינום אופייני: המכנה של פונקצית תמסורת כלשהי. סדר של מערכת בקרה: סדר המערכת נקבע לפי החזקה הגבוהה ביותר של המשוואה האופיינית. τ y '( ) y( ) x( ) מערכות מסדר ראשון: משוואה דיפרנציאלית אופיינית: τ- קבוע ה של המערכת. - ההגבר הסטטי של המערכת. Y ( ) ( ) ( ) τ ( )' נגזרת של פולינום: מעגל אינטגרטור: פונקצית תמסורת אופיינית: ( ) V ( V V ) A ou V ou Vou Vou V V A V V מגבר מהפך: התגובה ב לאות מדרגה: τ τ y( ) y() y( ) ( ) הנחות:. עקב תכונת הקצר המדומה,. V V. עקב התנגדות כניסה אינסופית, לא נכנס זרם למגבר ולכן הזרם בנגד שווה לזרם בקבל. נוסחה זו נקראת גם משוואת הדפקים. V ( ) Vou ( ) C V ( ) Vou ( ) C Vou ( ) V ( ) C Vou ( ) V ( ) C vou ( ) v ( ) C C הנחות:. עקב תכונת הקצר המדומה, V. V. עקב התנגדות כניסה אינסופית, לא נכנס זרם למגבר ולכן הזרם ב- שווה לזרם ב-. V ( ) Vou ( ) V ( ) Vou ( ) Vou ( ) V ( ) Vou ( ) V ( ) vou ( ) v ( ) ניתוח: ניתוח: אינטגרל של פולינום: בד"כ.C 3

4 דף נוסחאות בתורת הבקרה Er l, ( ) ( ) מערכות מסדר שני: משוואה דיפרנציאלית אופיינית: y ξ y y x ''( ) '( ) ( ) ( ) - מקדם הריסון, מנת הריסון. ξ - תדירות טבעית בלתי מרוסנת. - ההגבר הסטטי של המערכת. ריסון קריטי ריסון תת קריטי, ריסון חסר < ξ < שני שורשים מרוכבים בעלי חלק ממשי שלילי. ניתן לכתוב את פונקצית התמסורת כך: ( ) ( ξ ) ( ξ ) ξ שני שורשים ממשים שליליים שווים: ניתן לכתוב את פונקצית התמסורת כך: התגובה ב לאות מדרגה: ξ ξ ξ y( ) g ξ ξ Y ( ) ( ) ( ) פונקצית תמסורת אופיינית: התגובה ב לאות מדרגה: y( ) ( ) ξ שורשי המשוואה האופיינית: : : () ξ ξ, ± y() M P o. התגובה ב לאות מדרגה: M r( ) o. π τ ξ π ξ ξπ ξ π ξ 5 5τ ξ ξπ ξ ξ π ± j, ( ) ξ ξ, ± ξ > ריסון יתר חסר הפסדים נוסחאות: ξ שני שורשים מדומים בלבד: ניתן לכתוב את פונקצית התמסורת כך: y( ) ( co ) התגובה ב לאות מדרגה: : שני שורשים ממשים שליליים שונים: ניתן לכתוב את פונקצית התמסורת כך: ( ) ( )( ) y( ) התגובה ב לאות מדרגה: : פירוט: Ovrhoo ההפרש בין הערך המרבי של תגובת היתר לבין הערך הרצוי. MP הערך המרבי של תגובת היתר. רגע תגובת היתר המרבי. המחזור של התנודה. ההתייצבות של הערך המתמיד החדש. התדירות הזוויתית של התנודה המרוסנת. τ- קבוע ה של המערכת. 4

5 פרק 5 דף נוסחאות בתורת הבקרה Er l :oo Locu יציבות של מערכות בקרה קריטריון ראוט: דרכים כלליות לבדיקת יציבות של מערכת: הכנסת אות הלם או מדרגה ובדיקה האם אות המוצא מתכנס לערך סופי. שימוש במשפט הערך הסופי. חישוב הפרמטר ξ: > ξ - המערכת יציבה. ξ - המערכת לא יציבה. חישוב המיקום הגיאומטרי של השורשים (מג"ש): משמאל לציר המדומה המערכת יציבה.. על / מימין לציר המדומה המערכת לא יציבה..v.. קריטריון ראוט. שיטת לוקוס השורשים Locu).(oo שלבי פתרון:. חישוב פונקצית התמסורת השקולה של המערכת בחוג סגור.. רישום הפולינום האופייני של פונקצית התמסורת בצורה קנונית. 3. בדיקת התנאים ההכרחיים לקיום משפט ראוט:.v כל המקדמים של הפולינום האופייני בעלי אותו סימן..v כל המקדמים של הפולינום האופייני שונים מאפס. 4. בניית טבלת ראוט. דיאגראמת oo Locu מתארת את מיקום קטבי החוג הסגור של מערכת בקרה עם משוב מהצורה: ( ) C( ) H עבור ערכי שונים. כל ענף בדיאגראמה מתחיל בקוטב ) עבור ( ומסתיים (עבור ( או באפס או לאורך אסימפטוטה בדיקת היציבות דרך ניתוח תגובת ה של המערכת: קריטריון נייקוויסט. v. קריטריון בודה..v טבלת ראוט: מתוך הדיאגראמה ניתן לבחון בצורה ויזואלית נוחה את יציבות המערכת עבור ערכים שונים של הגבר..7 הערה: כדי לתאר את התנהגות המערכת באופן מלא, יש לצייר דיאגראמות נפרדות. אחת עבור > ואחת עבור <. b 3 b 4 5 b 3 3 c c c 3 b b b c 3 3 b b b b c b b b b c b 3 y() ξ > המקום הגיאומטרי של השורשים (מג"ש): 3 3 מקרים בעלי יציבות Im 4 4 ξ y() ξ < מקרים חסרי יציבות עבור מערכת מהצורה הנ"ל oo Locu דוגמא: להלן דיאגראמת ושפונקצית התמסורת שלה בחוג סגור היא: ( ) 5 6 עבור ציר מדומה Imgry Ax oo Locu : > l Ax ציר ממשי () ξ > y() ξ (4) ריסון יתר y() חסר הפסדים משפט ראוט: המערכת יציבה אם כל המקדמים שבעמודה הראשונה (המודגשת) הם בעלי אותו סימן. ריסון קריטי ξ () חסר ריסון < ξ < (5) מסקנה, המערכת יציבה לכל > בצד השמאלי של המישור המרוכב. כיוון שהגרף כולו נמצא עבור < : y() y().5 oo Locu חסר ריסון ξ (6) ריסון תת קריטי < ξ < (3).5 y() Imgry Ax -.5 חסר ריסון < ξ (7) ציר מדומה l Ax ציר ממשי מסקנה, עבור ערכים מסוימים של <, ישנו קוטב בצד הימני של המישור המרוכב. במקרים אלו, המערכת אינה יציבה. 5

6 דף נוסחאות בתורת הבקרה Er l פרק 6 תיאור רכיבי בקרה אופייניים רכיב תנודות: רכיב מת: y( ) x( ) Y ( ) ( ) ( ) y( ) x( ) Y ( ) ( ) ( ) רכיב הגברה: : y ξ y y x ''( ) '( ) ( ) ( ) Y ( ) ( ) ( ) : ξ : מתואר לעיל עבור מקרים שונים של ריסון. רכיב גזירה: y( ) x '( ) Y ( ) ( ) ( ) רכיב אינטגרציה: פרק 7 ביצועי מערכות בקרה במצב המתמיד פונקצית התמסורת של השגיאה: E( ) ( ) ( ) H ( ) y( ) x( ) Y ( ) ( ) ( ) : () : טבלה לחישוב השגיאה במערכת כלשהי: סוג אות הכניסה מדרגה מקדם השגיאה השגיאה במצב המתמיד v v lm ( ) H ( ) P lm ( ) H ( ) v H lm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ריצה תאוצה ( ) y() τ y '( ) y( ) x( ) Y ( ) ( ) ( ) τ רכיב התמדה: טבלה לחישוב השגיאה לפי סוג המערכת: סוג המערכת: נקבע לפי מספר הקטבים הנמצאים בראשית הצירים של המערכת בחוג פתוח. סוג אפס קטבים בראשית הצירים. סוג קוטב אחד בראשית הצירים. סוג קטבים בראשית הצירים. y( ) τ x '( ) x( ) Y ( ) ( ) τ ( ) : רכיב גזירה מעשית: : סוג המערכת מדרגה b ריצה v v תאוצה b v b סוג סוג סוג דומה לתיאור של רכיב גזירה. הצורה הכללית של פונקצית תמסורת בחוג פתוח: Pm ( ) O. L( ) ( ) H ( ) Q ( ) m m m bm bm bm... b (... ) סוג המערכת. 6

7 דף נוסחאות בתורת הבקרה Er l פרק 8 סוגי בקרה בקרה יחסית אינטגראלית :PI בקרה יחסית עם נגזרת - :PD ( ) m( ) ( ) m m( ) ( ) ( ) m m( ) c ( ) ( ) m בקרה דו מצבית: הבקר רגיש לקיום השגיאה ולכיוונה. הסבר: בשיטה זו, יציאת הבקר נמצאת באחד משני מצבים קיצוניים. לדוגמא, שסתום סגור או פתוח. מישור ה מישור ה M ( ) E( ) E( ) M ( ) [ ] M ( ) E( ) E( ) M ( ) c M ( ) E( ) E( ) M ( ) : m( ) ( ) m M ( ) E( ) M ( ) PB בקרה יחסית :P-Proorol הבקר רגיש לגודל השגיאה ולכיוונה. מישור ה - m תפוקת הבקר עבור שגיאה אפס. - הגבר הבקר. מקדם היחס: Proorol B PB מקדם זה קובע כמה אחוזים מתחום המדידה הכולל, על המשתנה המבוקר להשתנות, כדי להניע את רכיב ההפעלה לכל תחום מהלכו. : בקר משולב - :PID מישור ה ( ) m( ) ( ) ( ) m M ( ) E( ) E( ) E( ) M ( ) M ( ) c [ E( ) E( ) E( )] M ( ) ( ) m( ) M ( ) E( ) בקרה אינטגראלית :I-Igrl הבקר רגיש לגודל השגיאה ול קיומה. בקרת נגזרת :D-Drvv הבקר רגיש לשינוי בשגיאה. מישור ה : - מקדם הנגזרת. m( ) ( ) m m( ) ( ) m מישור ה : - מהירות האינטגרציה. סיכום: M ( ) E( ) M ( ) M ( ) E( ) M ( ) - האינטגרציה. P : I D 7

8 דף נוסחאות בתורת הבקרה Er l τ פרק 9 של מערכת בקרה הגדרת : אות המבוא: x( ) A y( ) A ( ) ou אות המוצא: רכיב גזירה: רכיב תנודות: ( j) ( ) ( ξ ) ξ ( ) rcg 7 ( j) ( ) A A A ou הגדרות: פיגור פאזה כאשר y() מפגר אחר x() בזוית קידום פאזה כאשר y() מקדים את x() בזוית יחס האמפליטודות היחס בין Aou ל- A 8 7 j ( ) ( j) המעבר למישור ה: 9 רכיב אינטגרציה: רכיב מת: ( j) ( ) ( j) ( ) 9 דיאגראמת נייקוויסט: רכיב הגברה: 7 9 ( j) ( ) 8 8 רכיב התמדה: 9 7 ( j) ( τ) ( ) rcg( τ) רכיב גזירה מעשית: קריטריון היציבות של נייקוויסט: H ( j) H ( j) 8 הנקודה הקריטית: ( j) ( τ) ( ) rcg( τ) אופן הבדיקה: נניח שעבור תדירות מסוימת,.Φ-8 נתייחס ל- 3 מקרים: 8

9 דף נוסחאות בתורת הבקרה Er l A[ b]. ξ <.77 ξ >.77 4 b c 9 8. A log ( ) 9 A[ b] - כלומר עקומת נייקוויסט עוברת H ( j ) < מימין לנקודה הקריטית המערכת יציבה. - כלומר עקומת נייקוויסט עוברת H ( j ) דרך הנקודה הקריטית המערכת בסף יציבות. - כלומר עקומת נייקוויסט עוברת H ( j ) > משמאל לנקודה הקריטית המערכת לא יציבה. רכיב גזירה: תהודה...3 ξ r ξ <.77 b c. 9. A ( ) A[ b] A log ( τ) ( ) rcg( τ) A[ b] A log A log A log 4 דיאגראמת בודה: דקדה :(Dc) מציין שינוי של פי. רכיב התמדה: רכיב מת:.. c τ. b c 45 9 c τ. A log A log 6 4 A log 4 אוקטבה :(Ocv) מציין שינוי של פי. H ( j) A log ( τ) ( ) rcg( τ) A[ b]. c τ 45 b c 9 6 b. oc A log ( ) log A[ b]. b c שיפוע של זהה לשיפוע של רכיב הגברה:. רכיב אינטגרציה: רכיב גזירה מעשית:. c τ רכיב תנודות: קריטריון היציבות של בודה: A b ( ) 8 הנקודה הקריטית: אופן הבדיקה: נניח שעבור תדירות מסוימת, 8-Φ. נתייחס ל- 3 מקרים: >A המערכת יציבה. b A המערכת בסף יציבות. b <A המערכת לא יציבה. b...3 ניסוח נוסף: A b בה כנקודה נגדיר את בה 8-Φ. כנקודה π נגדיר את π המערכת יציבה רק אם: (נק' החיתוך עם ציר ). <. לבין ציר (8-Φ) ( לבין ציר 8-. A b A log ξ ξ ( ) rcg יציבות יחסית: עודף הגבר : Mrg π המרחק בין ערך ההגבר ב.( A b ) עודף מופע ψ :Ph Mrg ) המרחק בין ערך הזוית ב עודף מופע חיובי המערכת יציבה. עודף מופע שלילי המערכת לא יציבה. Alog ( ) 9 A[ b] b c.. 9 9

10 דף נוסחאות בתורת הבקרה Er l I C דיאגראמת מלבנים: A[ b] A Q ( ) H ( ) π 8 ψ π qc θ( ) P( ) θ( ) τ τ M τ q שחזור פונקצית תמסורת מתוך דיאגראמת בודה: כדי לשחזר את פונקצית התמסורת מתוך דיאגראמת בודה נתונה, נתייחס לקירוב האסימפטוטי של הדיאגראמה, תוך מתן דגש על הפינות, כלומר על הנקודות בהן השיפוע משתנה. רכיב הגברה לא תורם שיפוע. רכיב אינטגרציה, התמדה תורמים שיפוע שלילי. רכיב גזירה, גזירה מעשית תורמים שיפוע חיובי. פרק מודולים של מערכות פיסיקליות מילוי מיכל עם הוצאת נוזל ע"י משאבה: מערכת לחימום נוזל: ( ) P ( ) P( ) τ τ C H( ) ( ) Q ( ) Q ( ) A o Q ( ) o השלבים בניתוח מערכת בקרה פיסיקלית:. הגדרת הרכיבים של החוג הקדומני (התהליך) ושל חוג המשוב.. רישום המשוואות של מרכיבי המערכת. 3. בניית דיאגראמת מלבנים. 4. חישוב פונקצית התמסורת של המערכת. 5. חישובים מספריים. מערכת לבקרת מתח עם מחולל זרם ישר: דיאגראמת מלבנים: מערכת לחץ פניאומאטית: τ A Q ( ) H ( ) Eg ( ) ( ) V ( ) τ L τ x x g x x V V V x V g I C Iou דיאגראמת מלבנים: P ( ) P ( ) - x התנגדות סליל העירור. - L x השראות סליל העירור. - פוטנציומטר המשוב. דיאגראמת מלבנים: מילוי מיכל עם הוצאת נוזל דרך ברז בעל התנגדות : H( ) ( ) Q ( ) A Qo ( ) ( ) Q ( ) A A דיאגראמת מלבנים: חיבור מערכות מילוי ללא השפעה הדדית: H ( ) ( ) ( ) Q H Q( ) Q( ) Q ( ) ( τ )( τ ) τ A τ A Q ( ) H ( ) V ( ) Eg ( ) τ H ( ) ( ) Q ( ) A מערכת פשוטה למילוי מיכל:

11 ה- דף נוסחאות בתורת הבקרה Er l F b v( ) כוח בוכנה: - מקדם הבוכנה. b 3 ou b 3 v v v v חיבור מערכות מילוי עם השפעה הדדית: גשר ויטסטון: ( ) α - טמפרטורה במעלות צלזיוס. - התנגדות באפס מעלות צלזיוס. מערכות מכאניות: α- מקדם טמפרטורה נתון. חוקי המכאניקה: מרחק.x() מהירות x'() v() תאוצה x''() () v'() חוקי ניוטון: F החוק הראשון של ניוטון עבור גוף שנמצא בשיווי משקל לא פועלים עליו כוחות מכאניים, כלומר או שהגוף במנוחה או שהוא במהירות קבועה. F m החוק השני של ניוטון כאשר שקול הכוחות שונה מאפס, הגוף נמצא בתאוצה. F F,, החוק השלישי של ניוטון גוף המפעיל כוח על גוף אחר, מרגיש את אותו כוח בכיוון הפוך. כוח המופעל חזרה ממשטח מכונה נורמל. F קפיץ: - קבוע הקפיץ. m [ ]F כוח האלסטי של הקפיץ. m] - [ אורך המתיחה. כוח המשיכה / הכבידה: F m g g 9.8 m F µ N כוח חיכוך: µ- מקדם החיכוך. - N כוח נורמאלי. כוח החיכוך פועל בכיוון המנוגד לכיוון התנועה.