R 1. e 2r V = Gauss E + 1 R 2

Transcript

1 : Γραμμική πυκνότητα φορτίου βρίσκεται στον άξονα αγώγιμου κυινδρικού φοιού εσωτερικής ακτίνας και εξωτερικής α) Να υποογιστεί η επαγόμενη πυκνότητα φορτίου στις δύο όψεις του φοιού, αν το συνοικό του φορτίο είναι μηδέν β) Επαναάβατε αν ο φοιός είναι γειωμένος : Η χρονική μέση τιμή του ηεκτρικού δυναμικού του ουδέτερου ατόμου του υδρογόνου είναι V e 4πε ) e a όπου e το φορτίο του ηεκτρονίου και a η ακτίνα Boh Ποια η κατανομή a φορτίου στο άτομο αυτό; Ποιο το συνοικό φορτίο της κατανομής; Αφού υποογίσετε το ηεκτρικό πεδίο βρείτε το οικό φορτίο εφαρμόζοντας νόμο Gauss E εγκ a Συμφωνούν τα δυο αποτεέσματα; ε ο σετ ασκήσεων Ηεκτρομαγνητισμού Ι 3 : Πρόβημα 34 από Giffiths: Δείξτε ότι η μέση τιμή του πεδίου στο εσωτερικό μιας σφαίρας ακτίνας, που οφείεται σε όα τα φορτία που περικείει η σφαίρα, είναι Eμέσο p 4πε, 3 όπου p η συνοική διποική ροπή Υπάρχουν ποοί τρόποι για να αποδείξετε αυτό το καταπηκτικά από αποτέεσμα Μία μέθοδος είναι η παρακάτω: α) Δείξτε ότι η μέση τιμή του πεδίου που οφείεται σε ένα φορτίο q, το οποίο βρίσκεται στο σημείο μέσα στη σφαίρα, είναι ίση με το πεδίο στο που οφείεται σε μια ομοιόμορφα φορτισμένη σφαίρα ακτίνας και πυκνότητας φορτίου ρ q 4 ), δηαδή είναι 3 π3 4πε 4 3 π3 ) q ˆ τ όπου είναι το διάνυσμα από το στο τ β) Το τεευταίο πεδίο μπορεί να βρεθεί από το νόμο του Gauss Εκφράστε την απάντηση συναρτήσει της διποικής ροπής του q γ) Γενικεύστε αυτό το αποτέεσμα για μια αυθαίρετη κατανομή φορτίου χρησιμοποιώντας την αρχή της επαηίας δ) Δείξτε ότι η μέση τιμή του πεδίου στον όγκο της σφαίρας, που οφείεται σε όα τα φορτία που βρίσκονται στο εξωτερικό της, είναι ίση με το πεδίο που παράγουν στο κέντρο της Η διποική ροπή φορτίου q ορίζεται σαν p q 4 : α) Δύο κατανομές φορτίων ρ και ρ δημιουργούν ηεκτρικό πεδίο E και E αντίστοιχα Οταν βρίσκονται μακρυά η μια από την άη έχουν ενέργειες W και W αντίστοιχα Αν τις φέρουμε κοντά, η οική ενέργεια του συστήματος είναι W E τ και μπορεί να γραφεί σαν W ε ε E E ) τ W W W int, όπου W int ε E E τ η ενέργεια αηεπίδρασης Δείξτε ότι η τεευταία μπορεί να γραφεί σαν W int V ρ τ β) Εστω δυο φορτισμένες σφαίρες με φορτία q και q, των οποίων τα κέντρα βρίσκονται σε απόσταση δεν επικαύπτονται) Δείξτε ότι η αν η πυκνότητα φορτίου κάθε μιας σφαίρας εξαρτάται μόνο από την απόσταση από το κέντρο της, η ενέργεια αηεπίδρασης είναι W int q q 4πε γ) Δείξτε ότι αν οι σφαίρες έχουν ίσες ακτίνες και είναι ομογενώς φορτισμένες με αντίθετα φορτία q, q, είναι W W 3 4πε 5 δ) Εστω αφήνουμε τις σφαίρες του προηγούμενου ερωτήματος από απόσταση Αν έχουν ίσες μάζες m πόση είναι η ταχύτητά τους όταν μόις ακουμπούν δη όταν η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους είναι ); Αγνοήστε το μαγνητικό πεδίο και την χρονοεξάρτηση των πεδίων) ε) Εστω ότι με κάποιο τρόπο οι σφαίρες καθώς κινούνται μπορούν να μπουν η μια μέσα στην άη, χωρίς να αάξει η κατανομή φορτίου τους Ποια είναι η ταχύτητά τους τη στιγμή που αηεπικαύπτονται πήρως; 5 : Ενας πυκνωτής αποτεείται από δύο σφαιρικούς αγωγούς ακτίνων και, που βρίσκονται σε απόσταση Αν η απόσταση είναι αρκετά μεγάη σε σύγκριση με τις ακτίνες, οπότε το ηεκτρικό πεδίο που δημιουργεί κάθε μια από τις σφαίρες όταν φορτιστεί είναι σε καή προσέγγιση σφαιρικά συμμετρικό γύρω από το κέντρο της, να δειχθεί ότι η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C 4πε 6 : Πρόβημα 36 από Giffiths: Δύο σφαιρικές κοιότητες ακτίνων a και b έχουν δημιουργηθεί στο εσωτερικό μιας ουδέτερης) αγώγιμης σφαίρας ακτίνας Στο κέντρο κάθε κοιότητας τοποθετείται από ένα σημειακό φορτίο ονομάστε αυτά τα φορτία q a και q b α) Βρείτε τις επιφανειακές πυκνότητες φορτίου σ a, σ b και σ β) Ποιο είναι το πεδίο στο εξωτερικό του αγωγού; γ) Ποιο είναι το πεδίο μέσα σε κάθε κοιότητα; δ) Πόση είναι η δύναμη στα q a και q b ; ε) Ποια από αυτές τις απαντήσεις θα άαζε αν ένα Νεκτάριος Βαχάκης, 4//5

2 τρίτο φορτίο q c ερχόταν κοντά στον αγωγό; ο σετ ασκήσεων Ηεκτρομαγνητισμού Ι 7 : α) Εστω γραμμική κατανομή φορτίου απείρου μήκους με γραμμική πυκνότητα, η οποία είναι παράηη στον άξονα και περνά από το σημείο x, y ) Δείξτε ότι η μέση τιμή του δυναμικού σε σημεία του κύκου ακτίνας < που βρίσκεται στο επίπεδο xy και έχει κέντρο το x, y ), είναι ίση με το δυναμικό στο κέντρο, δη ισχύει V l V κέντρο Δίνεται ότι για c > c > ισχύει π ln c c c c cos φ φ π ln c β) Με βάση το προηγούμενο αποτέεσμα και την αρχή της επαηίας, δείξτε ότι η ύση της εξίσωσης Laplace σε δυο διαστάσεις V x, y) έχει την ιδιότητα V x, y) V l, δη η τιμή του δυναμικού σε σημείο x, y) ισούται με το μέσο όρο του δυναμικού σε σημεία κύκου ακτίνας με κέντρο το x, y) Ενας άος τρόπος απόδειξης της ιδιότητας αυτής προκύπτει από τον τύπο του Cauchy f) f ) πi για αναυτικές συναρτήσεις των οποίων το πραγματικό και φανταστικό μέρος ικανοποιούν την εξίσωση Laplace) Με x iy, e iφ, προκύπτει f) π f ) φ fx, y) f l π Νεκτάριος Βαχάκης, 4//5

3 ο σετ ασκήσεων Ηεκτρομαγνητισμού Ι ΛΥΣΕΙΣ: : α) Λόγω συμμετρίας σ ϖ σ σταθερό Αφού στο εσωτερικό του αγωγού E, ο νόμος Gauss σε επιφάνεια κυίνδρου μήκους L και άξονα την γραμμική πυκνότητα φορτίου δίνει εγκ σ L L σ Αιώς: Λόγω συμμετρίας E Eϖ) ˆϖ Από νόμο Gauss σε επιφάνεια κυίνδρου μήκους L, άξονα την γραμμική πυκνότητα φορτίου και ακτίνα ϖ <, EπϖL L E ε πε ϖ, ενώ για < ϖ < είναι E εσωτερικό αγωγού) Άρα E ϖ E ϖ σ σ ε Αφού το συνοικό φορτίο του φοιού είναι μηδέν κάθε μήκος του L έχει αντίθετο φορτίο στις δύο όψεις Επίσης σ ϖ σ σταθερό όγω συμμε- τρίας Άρα σ Lσ L σ β) Η διαφορά είναι ότι τώρα δεν υπάρχουν φορτία στην έξω όψη : Για > το ηεκτρικό πεδίο είναι E V ˆ e 4πε a ) e a a ˆ και η πυκνότητα φορτίου ρ ε E ε E ) e e πa 3 a Για a είναι E e, δη πεδίο σημειακού ˆ 4πε φορτίου e στη θέση, με ρ e δ ) Αιώς: Για, είναι ρ ε E e e δ ) 4π ˆ 4πδ ) Συνοικά οιπόν ρ e δ ) e e πa 3 a Το συνοικό φορτίο ρτ e δ )τ e e πa 3 a 4π e θέτω /a ξ e e ξ ξ ξ, διότι ξ e ξ ξ ξ e ξ ξ e ξ e ξ ξ ξ e ξ ξe ξ ξ e ξ ξe ξ e ξ ξ ξ ξ ) e ξ Από νόμο Gauss το φορτίο που περικείει η σφαιρική επιφάνεια σταθερό είναι εγκ ) ε E a ε E4π e ) e a a a Το συνοικό φορτίο είναι lim εγκ ), διότι ξ ξ lim ξ e ξ lim ξ 4ξ e ξ lim ξ 4 ), 4eξ σε συμφωνία με το προηγούμενο αποτέεσμα 3 : 4 : α) E E E V V E ) V E V E ) V ρ /ε, οπότε W int ) ε VE τ V ρ τ V ρ τ VE a β) Η σφαίρα δημιουργεί δυναμικό V σφαιρικά συμμετρικό ως προς το κέντρο της O θ Σε κάθε σημείο της σφαίρας είναι V q 4πε όπου ) cos θ Αιώς: Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο με πευρές τις,, η πευρά απέναντι από τη γωνία θ έχει μήκος cos θ Άρα σε σφαιρικές συντεταγμένες συστήματος με αρχή το κέντρο της σφαίρας και άξονα προς το κέντρο της σφαίρας είναι W int q ρ )τ 4πε cos θ π π Νεκτάριος Βαχάκης, 4//5 σφαίρα q ρ ) sin θ θ φ θ φ 4πε cos θ q π π φ ρ ) sin θθ 4πε φ θ cos θ Θέτοντας ξ cos θ, ξ sin θθ, sin θθ το οοκήρωμα cos θ ξ / ξ ξ/ π, οπότε sin θθ θ cos θ [ cos θ ] π θ > Ετσι W int q ρ )4π q q 4πε 4πε q γ) Η σφαίρα με φορτίο έχει σταθερή πυκνότητα ρ 3 Εστω δημιουργούμε το φορτίο μεταφέ- 4π3 ροντας κάθε φοιό με ακτίνα από ως από το στην τεική του θέση Οταν έχουμε δημιουργήσει ήδη το φορτίο μέχρι ακτίνα, το δυναμικό

4 για είναι V ρ4π 3 /3 Κατά τη μεταφορά 4πε του επόμενου φοιού με φορτίο q ρ4π από το στο προστίθεται στο σύστημα ενέργεια W qv V ) 4πρ 4 Άρα 3ε 4πρ W 4 4πρ 5 3 3ε 5ε πε Αιώς: Το φορτίο δημιουργεί ακτινικό, σφαιρικά συμμετρικό πεδίο E E)ˆ Από νόμο Gauss σε σφαιρική επιφάνεια ακτίνας βρίσκουμε E4π ε 3 ρ αν 4π 3 4π 3 ε 3 ρ αν ρ αν 3ε E ρ 3 Η ενέργεια είναι 3ε αν W ε E τ ε E 4π πρ 9ε 4 ] [ }{{ } [ ] 6 ο σετ ασκήσεων Ηεκτρομαγνητισμού Ι 4πρ 5 5ε 3 πε Αιώς: Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση W V ρτ V ρ4π Στο εσωτερικό της σφαίρας το δυναμικό μπορεί να βρεθεί από V ) V ) E Χρησιμο- ποιώντας το πεδίο που βρήκαμε από νόμο Gauss, V ) E E ρ 3 ) και τεικά W πρ 6ε 3 4) 3 3ε πε δ) Η οική ενέργεια του συστήματος των δυο σφαιρών, υποογισμένη στη θέση όπου είναι ακίνητες, είναι ίση με την ηεκτροστατική τους ενέργεια W W W W int 3 πε ) 4πε 6 4πε 5 ) Οταν η απόστασή τους είναι έχουν κινητική ενέργεια mv αφού έχουν ίσες μάζες οι ταχύτητές τους είναι αντίθετες ώστε η οική ορμή να είναι μηδέν, ίση με την αρχική) και 6 ηεκτροστατική ενέργεια 4πε 5 ) Άρα mv 6 4πε 5 ) 6 4πε 5 ) v 4πε m ) Αιώς: Αφού στη διαδικασία που μας ενδιαφέρει τα φορτία δεν δημιουργούνται ή καταστρέφονται θα μπορούσαμε να αγνοήσουμε την ιδιοενέργειά τους μιας που είναι ίδια στην αρχική και τεική κατάσταση) και στη σχέση διατήρησης ενέργειας να χρησιμοποιήσουμε την ενέργεια αηεπίδρασης W int στη θέση της οικής ηεκτροστατικής ενέργειας Οπως δείξαμε στο ερώτημα β) η ενέργεια αυτή, εφόσον τα q q φορτία δεν επικαύπτονται, είναι 4πε Ετσι θα είχαμε mv ) 4πε ) ) 4πε v 4πε m ) ε) Στην τεική κατάσταση η ηεκτροστατική ενέργεια είναι μηδέν αφού το οικό ηεκτρικό πεδίο για το οποίο ισχύει η αρχή της επαηίας είναι μηδέν) οπότε mv 6 4πε 5 ) v 6 4πε m 5 ) Σημειώστε ότι εδώ δεν θα ήταν σωστό να χρησιμοποιηθεί η σαν ηεκτροστατική ενέργεια, q q 4πε διότι ακόμα και αν αγνοήσουμε τις ιδιοενέργειες των q q φορτίων η ενέργεια αηεπίδρασης δεν είναι 4πε όγω της επικάυψης μερικής ή οικής) 5 : Η διαφορά δυναμικού V V E μπορεί εύκοα να βρεθεί για διαδρομή μεταξύ των πησιέστερων σημείων των σφαιρών, πάνω στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα τους Νεκτάριος Βαχάκης, 4//5 O Αφού το πεδίο κάθε σφαίρας είναι συμμετρικό γύρω από το κέντρο της, σε κάθε σημείο της διαδρομής αυτής είναι E 4πε ẑ και E 4πε ) ẑ) Άρα V [ ] V 4πε ) [ 4πε ] ) ), 4πε 4πε

5 διότι, όγω της, ), Η χωρητικότητα C 4πε V V 6 : ο σετ ασκήσεων Ηεκτρομαγνητισμού Ι 7 : α) Το δυναμικό από τη γραμμική κατανομή σε σημείο που απέχει απόσταση ϖ από αυτή, είναι V ln ϖ, όπου c αυθαίρετη θετική σταθερά Αυτό μπορεί να βρεθεί από το ηε- πε c κτρικό πεδίο E, μέσω της E V Από νόμο Gauss προκύπτει ότι, σε κυινδρικές συντεταγμένες με άξονα τη γραμμική κατανομή, το ηεκτρικό πεδίο γράφεται E πε ϖ ˆϖ δες πρόβημα και V V ϖ ), οπότε V ϖ V ϖ ln ϖ πε ϖ πε ϖ πε c y O φ x Στην περίπτωσή μας, ϖ ) cos φ και άρα 4π ε V l φ π π ) π πε ) ln c c ln φ c ) cos φ φ c c Σύμφωνα με τον τύπο που δίδεται και αφού c > c >, το οοκήρωμα της προηγούμενης σχέσης ισούται με π ln c Άρα V l ln πε c φ V κέντρο β) Κάθε διδιάστατη κατανομή φορτίου ρx, y) μπορεί να θεωρηθεί επαηία γραμμικών κατανομών παράηων στον άξονα Εστω σημείο x, y) και κύκος ακτίνας γύρω από αυτό, κενός από γραμμικές κατανομές φορτίου οπότε το δυναμικό ικανοποιεί την εξίσωση Laplace) Για το δυναμικό V i x, y) από κάθε γραμμική κατανομή φορτίου i η οποία βρίσκεται έξω από τον κύκο), ισχύει όπως δείξαμε στο προηγούμενο ερώτημα V i l V i,κέντρο Η αρχή της επαηίας δίνει αμέσως V l V i V i,κέντρο V κέντρο i i Το συνοικό φορτίο ανά μονάδα μήκους του άξονα είναι κατανομών με φορτίο ανά μήκος ρx, y)x y q ρx, y)x y, δη επαηία γραμμικών Νεκτάριος Βαχάκης, 4//5