Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ Τμημα Μαθηματικων Τομεας Μαθηματικης Αναλυσης ΕΛΕΝΗ ΜΠΟΥΣΙΟΥ Υπαρξη και Διαμορϕωση Οδευοντων Κυματων σε Αλυσιδες Σωματιδιων ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Ιωάννινα, 04

2

3 Αϕιερώνεται στους γονείς μου, Ευάγγελο και Αγνή, και στον αδερϕό μου, Κωνσταντίνο.

4

5 Η παρούσα Μεταπτυχιακή Διατριβή εκπονήθηκε στο πλαίσιο των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΝΑΛΥΣΗ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ που απονέμει το Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. Εγκρίθηκε την /0/04 από την εξεταστική επιτροπή: Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραϕή Ιωάννης Γιαννούλης Επιβλέπων Ανδρέας Τόλιας Παναγιώτης Τσαμάτος Επίκουρος Καθηγητής Επίκουρος Καθηγητής Καθηγητής ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΔΗΛΩΣΗ Δηλώνω υπεύθυνα ότι η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε κάτω από τους διεθνείς ηθικούς και ακαδημαϊκούς κανόνες δεοντολογίας και προστασίας της πνευματικής ιδιοκτησίας. Σύμϕωνα με τους κανόνες αυτούς, δεν έχω προβεί σε ιδιοποίηση ξένου επιστημονικού έργου και έχω πλήρως αναϕέρει τις πηγές που χρησιμοποίησα στην εργασία αυτή. ΕΛΕΝΗ ΜΠΟΥΣΙΟΥ

6

7 Ευχαριστιες Με την ολοκλήρωση της μεταπτυχιακής διατριβής μου θα ήθελα να ευχαριστήσω όσους συνέβαλαν στην επιτυχή εκπόνησή της. Αρχικά, θα ήθελα να εκϕράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στον επιβλέποντά μου, Επίκουρο Καθηγητή κ. Ιωάννη Γιαννούλη για την εξαιρετικά πολύτιμη βοήθειά του καθ ολη τη διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Ειδικότερα, τον ευχαριστώ για την άψογη συνεργασία μας σε επιστημονικό επίπεδο, καθώς και για την υποστήριξη και καθοδήγησή του. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τα υπόλοιπα μέλη της τριμελούς επιτροπής, τον Επίκουρο Καθηγητή κ. Ανδρέα Τόλια και τον Καθηγητή κ. Παναγιώτη Τσαμάτο για τις σημαντικές παρατηρήσεις και διορθώσεις τους. Ακόμα, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους ϕίλους μου για την ιδιαίτερη στήριξη και συμπαράστασή τους καθ ολη τη διάρκεια των σπουδών μου. Τέλος, θα ήθελα να εκϕράσω την ευγνωμοσύνη μου στην οικογένειά μου για την στήριξή της όλα αυτά τα χρόνια.

8

9 Περιληψη Θεωρούμε μία αλυσίδα άπειρα αριθμήσιμων το πλήθος σωματιδίων μοναδιαίας μάζας. Η δυναμική συμπεριϕορά των σωματιδίων περιγράϕεται από το ακόλουθο σύστημα συζευγμένων συνήθων διαϕορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης: q n t = V q n t q n t V q n t q n+ t, n N, όπου q n t R είναι η μετατόπιση του n-οστού σωματιδίου τη χρονική στιγμή t R κατά μήκος του άξονα της αλυσίδας και η τελεία δηλώνει διαϕόριση ως προς το χρόνο. Το δυναμικό V της δύναμης αλληλεπίδρασης μεταξύ των γειτονικών σωματιδίων είναι μία κυρτή και λεία συνάρτηση. Για το παραπάνω σύστημα θα αποδείξουμε την ύπαρξη λείων λύσεων της μορϕής οδεύοντος κύματος q n t = qωt κn + βt αn, όπου q : R R είναι μία περιοδική συνάρτηση τέτοια ώστε qz = qz + z R, δηλαδή η περίοδος είναι κανονικοποιημένη και ίση με, ω R είναι η συχνότητα κύματος, κ 0, ] είναι ο κυματαριθμός, α R είναι η μέση απόσταση των σωματιδίων και β R είναι μία αυθαίρετη παράμετρος. Παρουσιάζουμε δύο αποδείξεις. Στην πρώτη θα χρησιμοποιήσουμε τη Μέθοδο Λογισμού Μεταβολών της Συναρτησιακής Ανάλυσης και στη δεύτερη θα στηριχθούμε σε τοπολογικές μεθόδους, συγκεκριμένα στο δείκτη σταθερού σημείου. Επειτα, στηριζόμενοι σε τεχνικές διατάραξης, θα περιγράψουμε τη μορϕή των ο- δευόντων κυμάτων και θα βρούμε την ασθενώς μη-γραμμική σχέση διασποράς για κύματα μικρού πλάτους. Τέλος, για κύματα μεγάλου πλάτους, θα εϕαρμόσουμε τη μέθοδο Whitham προκειμένου να βρούμε τις εξισώσεις διαμόρϕωσης για τις παραμέτρους κύματος α, β, κ και ω ως συναρτήσεις των μακροσκοπικών μεταβλητών του χώρου και του χρόνου X = ϵn, T = ϵt, 0 < ϵ. Μέσω της θεωρίας διαμόρϕωσης μεταβαίνουμε από το μικροσκοπικό σύστημα συνήθων διαϕορικών εξισώσεων σε ένα μακροσκοπικό σύστημα μερικών διαϕορικών εξισώσεων, το οποίο περιγράϕει τη δυναμική των παραμέτρων. Η εργασία κλείνει με την παρουσίαση μιας εϕαρμογής, του κρουστικού προβλήματος για αλυσίδες σωματιδίων, η οποία αποτέλεσε ένα από τα κίνητρα για την προηγούμενη ανάλυση. Η εργασία στηρίζεται στο μεγαλύτερό της μέρος στην πρωτότυπη εργασία των Filip και Βενακίδη []. i

10 Abstract We consider a chain of countably infinite particles of unit mass. The dynamics of the particles is described by the following system of coupled ordinary differential equations q n t = V q n t q n t V q n t q n+ t, n N, where q n t R is the displacement of the n-th particle along the chain axis at time t R, and where the dot denotes derivation with respect to time. The potential V of the interaction force between neighboring particles is a smooth and convex function. For this system we show the existence of smooth solutions of the form of traveling waves q n t = qωt κn + βt αn, where q : R R is a periodic function such that qz = qz + z R, i.e., the period is normalized and equal to, ω R is the frequency of the wave, κ 0, ] is the wave number, α R is the mean distance between particles, and β R is an arbitrary constant. We present two proofs: the first one uses the Calculus of Variations of Functional Analysis, while the second one is based on topological methods, more precisely on the fixed point index. Subsequently, we describe with the help of perturbation techniques the form of the traveling waves and the weakly-nonlinear dispersion relation for waves of small amplitude. Finally, for waves of arbitrary amplitude, we apply Whitham s method in order to derive the modulation equations for the wave parameters α, β, κ and ω as functions of the macroscopic variables of space and time X = ϵn, T = ϵt, 0 < ϵ. By use of modulation theory we pass from the microscopic system of ordinary differential equations to a macroscopic system of partial differential equations which describes the dynamics of the wave parameters. This work is completed with the presentation of an application, the shock problem for particle chains, which constituted one of the motivations for the previous analysis. The thesis relies on its biggest part on the original work of Filip and Venakides []. ii

11 Περιεχομενα Περίληψη Abstract i ii Εισαγωγή 3 Υπαρξη οδευόντων κυμάτων σε αλυσίδες σωματιδίων 7. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Μέθοδος δείκτη σταθερού σημείου Μη-γραμμική διόρθωση οδευόντων κυμάτων μικρού πλάτους 45 4 Διαμορϕωμένα οδεύοντα κύματα Οι εξισώσεις διαμόρϕωσης του Whitham Οι εξισώσεις διαμόρϕωσης για αυτοόμοια μεταβλητή Οι παράμετροι διαμόρϕωσης ως συναρτήσεις του πλάτους κύματος Εϕαρμογή: Το κρουστικό πρόβλημα σε αλυσίδες σωματιδίων 75 Βιβλιογραϕία 79

12

13 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ Εισαγωγη Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή πραγματεύεται τη διάδοση οδευόντων κυμάτων σε ένα διακριτό, μη-γραμμικό μονοδιάστατο μέσο. Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιούμε ως μοντέλο μία αλυσίδα άπειρα αριθμήσιμων το πλήθος πανομοιότυπων σωματιδίων μοναδιαίας μάζας, η δυναμική συμπεριϕορά του οποίου δίνεται από ένα άπειρα αριθμήσιμο σύστημα συζευγμένων συνήθων διαϕορικών εξισώσεων, το οποίο υπαγορεύεται από τον δεύτερο νόμο κίνησης του Newton. Αν V : R R είναι το δυναμικό, τα σωματίδια κινούνται σύμϕωνα με τις αλληλεπιδράσεις του πλησιέστερου γείτονα υπό την επίδραση του δυναμικού και η αλυσίδα σωματιδίων έχει την ακόλουθη μορϕή: q n t = V q n t q n t V q n t q n+ t, n N.. Εδώ q n t R είναι η μετατόπιση του n-οστού σωματιδίου τη χρονική στιγμή t R κατά μήκος του άξονα της αλυσίδας και η τελεία δηλώνει διαϕόριση ως προς το χρόνο. Υποθέτουμε στην εργασία αυτή ότι το δυναμικό V της δύναμης αλληλεπίδρασης μεταξύ γειτονικών σωματιδίων είναι μια κυρτή και λεία συνάρτηση, δηλαδή V C R και V α > 0 α R. Για ειδικές περιπτώσεις δυναμικού, το παραπάνω σύστημα είναι γνωστό ως πλήρως ολοκληρώσιμο βλ. Κεϕάλαιο 5. Για παράδειγμα, εκτός από το αρμονικό δυναμικό V x = x που οδηγεί σε ένα γραμμικό σύστημα, το δυναμικό Toda V x = e x +x καθιστά την. ολοκληρώσιμο σύστημα, δηλαδή, τελείως γενικά, ένα σύστημα ειδικής μορϕής για την μελέτη του οποίου μπορούν να χρησιμοποιηθούν ειδικά προσαρμοσμένες σε αυτό τεχνικές. Εδώ, η μόνη μας απαίτηση είναι το δυναμικό να είναι μια κυρτή και λεία συνάρτηση. Ενώ η υπόθεση ότι είναι λεία συνάρτηση είναι τεχνική, η κυρτότητα είναι θεμελιώδης, καθώς συνεπάγεται ότι όσο η απόσταση μεταξύ των σωματιδίων αυξάνεται, τόσο η δύναμη που ασκείται σε αυτά τα εξαναγκάζει περισσότερο στο να πλησιάσουν το ένα το άλλο. Αυτό αποτελεί γενίκευση των ιδιοτήτων του γραμμικού νόμου του Hooke, σύμϕωνα με τον οποίο η δύναμη που ασκείται για την συμπίεση ή την επιμήκυνση κατά μια απόσταση x ενός ελατηρίου είναι γραμμική ως προς την απόσταση και οδηγεί στην ευστάθεια των λύσεων του συστήματος. Για το σύστημα Σ.Δ.Ε.. θα αποδείξουμε καταρχήν στο Κεϕάλαιο την ύπαρξη λείων και περιοδικών λύσεων οδεύοντος κύματος της μορϕής: q n t = qωt κn + βt αn, όπου q : R R είναι περιοδική συνάρτηση τέτοια ώστε qz = qz+ z R δηλαδή η περίοδος είναι κανονικοποιημένη και ίση με, ω R είναι η συχνότητα κύματος, 3

14 Κεϕάλαιο κ 0, ] είναι ο κυματαριθμός, ο οποίος είναι αντιστρόϕως ανάλογος του μήκους κύματος, α R είναι η μέση απόσταση των σωματιδίων και β R είναι μια σταθερά που μπορεί να επιλεγεί ως αυθαίρετη παράμετρος και η οποία δηλώνει ότι η αλυσίδα μεταϕέρεται ως έχει με ταχύτητα β. Στο Κεϕάλαιο θα ασχοληθούμε με την αυστηρά μαθηματική απόδειξη μιας τριπαραμετρικής οικογένειας λύσεων με παραμέτρους α, κ, ω σε δύο διαϕορετικούς χώρους συναρτήσεων και με δύο διαϕορετικές μεθόδους. Πιο συγκεκριμένα, στην πρώτη ενότητα χρησιμοποιούμε τη Μέθοδο Λογισμού Μεταβολών της Συναρτησιακής Ανάλυσης και στη δεύτερη στηριζόμαστε σε τοπολογικές μεθόδους και συγκεκριμένα στο δείκτη σταθερού σημείου. Σημειώνουμε ότι η μέθοδος του δείκτη σταθερού σημείου μας παρέχει περισσότερες πληροϕορίες αναϕορικά με τη μορϕή των λύσεων, δηλαδή σχετικά με τη μορϕή του κύματος. Η ύπαρξη κυμάτων ειδικής μορϕής έχει μελετηθεί και αλλού. Πιο συγκεκριμένα, οι Friesecke και Wattis στην εργασία τους [], απέδειξαν το 994 την ύπαρξη σολιτονοειδών κυμάτων solitary waves όπου κ = 0, δηλαδή το μήκος του κύματος είναι άπειρο. Επίσης, μία κατασκευαστική απόδειξη ύπαρξης οδευόντων κυμάτων μικρού πλάτους ή ισοδύναμα μικρής ενέργειας μη-ολοκληρώσιμης αλυσίδας παρουσιάστηκε το 995 από τους Deift, Kriecherbauer και Βενακίδη [5]. Η γενική περίπτωση ύπαρξης οδευόντων κυμάτων μελετήθηκε στην εργασία [] των Filip και Βενακίδη, τα αποτελέσματα της οποίας παρουσιάζει η παρούσα διατριβή. Ακόμα, στο [3] ο Herrmann ενοποίησε το 00 τις εργασίες [] και [], απλοποίησε σε σημαντικό βαθμό τις αποδείξεις τους, και εξειδίκευσε τα σχετικά αποτελέσματα. Στο Κεϕάλαιο 3, εϕαρμόζουμε τεχνικές διαταραχών perturbation methods ή αλλιώς τη μέθοδο πολλαπλών κλιμάκων, προκειμένου να περιγράψουμε τη μορϕή των οδευόντων κυμάτων μικρού πλάτους και τη σχέση διασποράς ως μη γραμμικές διορθώσεις των αντίστοιχων του γραμμικοποιημένου προβλήματος. Οι μέθοδοι διαταραχών ουσιαστικά είναι απλώς μία εϕαρμογή του Θεωρήματος του Taylor σε πιο πολύπλοκα συστήματα. Η μέθοδος των διαταραχών που παρουσιάζουμε στο Κεϕάλαιο 3 δίνει μια ικανοποιητική περιγραϕή των λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων για κύματα διασποράς, όπως είναι η., όταν το πλάτος του κύματος είναι μικρό, καθώς οι λύσεις του μη γραμμικού προβλήματος βρίσκονται κοντά στις λύσεις του γραμμικοποιημένου προβλήματος. Για τον λόγο αυτό τα αντίστοιχα μη γραμμικά προβλήματα, ονομάζονται ως προσεγγίσεις γραμμικών προβλημάτων ασθενώς μη γραμμικά weakly nonlinear. Αν θέλουμε να πούμε κάτι για τα πλήρως μη γραμμικά fully nonlinear προβλήματα, οι μέθοδοι διαταταραχών δεν επαρκούν. Στο Κεϕάλαιο 4 εισάγουμε μια νέα έννοια, αυτή του διαμορϕωμένου οδεύοντος κύματος modulated traveling wave. Η θεωρία των διαμορϕωμένων οδευόντων κυμάτων προάχθηκε κυρίως από τον G. B. Whitham τη δεκαετία του 60 και είναι η κατάλληλη θεωρία για την περιγραϕή πλήρως μη γραμμικών εξισώσεων κυμάτων διασποράς, όπου δηλαδή δεν θεωρούμε τις μη γραμμικές λύσεις ως προσεγγίσεις του γραμμικοποιημένου προβλήματος. Η θεωρία χρησιμοποιεί ως εργαλείο τον Λογισμό Μεταβολών, όπως Κύματα διασποράς είναι αυτά όπου η ταχύτητα ϕάσης ωκ κ ω κ. διαϕέρει από την ταχύτητα ομάδας 4

15 Κεϕάλαιο αυτός εισήχθη καταρχήν στην Κλασική Μηχανική και του οποίου το αντίστοιχο στη Συναρτησιακή Ανάλυση είναι η εύρεση σημείων ακροτάτων ενός μη γραμμικού συναρτησοειδούς σε έναν κατάλληλο χώρο Banach. Η ιδέα είναι ότι έχοντας ένα περιοδικό οδεύον κύμα μιας μη γραμμικής εξίσωσης με κάποιες παραμέτρους, τότε αν αυτές οι παράμετροι μεταβληθούν μακροσκοπικά στο χώρο και στο χρόνο θα έχουμε πάλι μια λύση της μη γραμμικής εξίσωσης κύματος, η οποία θα προσεγγίζει το οδεύον κύμα. Με τον όρο μακροσκοπικά εννοούμε ότι οι κλίμακες στις οποίες συντελούνται οι μεταβολές των παραμέτρων είναι πολύ μεγαλύτερες από την κλίμακα μιας περιόδου. Στην περίπτωσή μας αυτό εκϕράζεται εισάγοντας τις μακροσκοπικές μεταβλητές του χώρου και του χρόνου X = ϵn, T = ϵt, όπου 0 < ϵ. Επομένως, μέσω της θεωρίας διαμόρϕωσης μεταβαίνουμε από ένα μικροσκοπικό σύστημα συνήθων διαϕορικών εξισώσεων σε ένα μακροσκοπικό σύστημα μερικών διαϕορικών εξισώσεων. Πλέον τα διαμορϕωμένα οδεύοντα κύματα είναι προσεγγιστικές λύσεις του. και είναι της μορϕής: q n t = ϵ ΨX, T + q ϵ ΘX, T + Oϵ, όπου η q είναι μία περιοδική συνάρτηση με κανονικοποιημένη περίοδο ίση με και οι λείες συναρτήσεις Ψ και Θ είναι η διαμορϕωμένη θέση και ϕάση αντίστοιχα. Οι παράμετροι των διαμορϕωμένων κυμάτων είναι πεδία που εξαρτώνται από τις μεταβλητές X, T και καθορίζονται από τις συναρτήσεις Ψ και Θ μέσω των σχέσεων: ωx, T = Θ T X, T, κx, T = Θ X X, T, βx, T = Ψ T X, T, αx, T = Ψ X X, T. Προκειμένου να βρούμε τις εξισώσεις διαμόρϕωσης εϕαρμόζουμε τη μέθοδο Whitham, η οποία όπως είπαμε είναι ουσιαστικά μια μέθοδος Λογισμού Μεταβολών, και αποδεικνύουμε ότι αυτές δίνονται από το παρακάτω συντηρητικό σύστημα: α α M X β κ + N β T κ = 0, ω ω όπου οι πίνακες και M = V α F αα 0 F ακ 0 N = F ακ 0 F κκ F ωω 0 F αω F αω 0 F ωk F ωω 0 0 F ωω 0 5

16 Κεϕάλαιο είναι πραγματικοί και συμμετρικοί. Οι εξισώσεις διαμόρϕωσης περιγράϕουν την μακροσκοπική εξέλιξη των παραμέτρων οδευόντων κυμάτων ω, κ, β, α. Ωστόσο μέχρι σήμερα η θεωρία διαμόρϕωσης για αλυσίδες σωματιδίων δεν είναι πλήρως κατανοημένη και παραμένουν πολλά ανοικτά ερωτήματα, τα οποία αποτελούν ισχυρό κίνητρο για αριθμητικά πειράματα. Το βασικότερο ανοικτό ερώτημα είναι η έλλειψη αυστηρής μαθηματικής τεκμηρίωσης για γενικά κυρτά και λεία δυναμικά V. Για αυστηρές δικαιολογήσεις ειδικών δυναμικών, βλ. [7], [8], [9] και [3]. Τέλος, το Κεϕάλαιο 5 δίνει μια εϕαρμογή όλων των προηγουμένων. Το κεϕάλαιο αυτό θα μπορούσε να είναι και το πρώτο στη σειρά καθώς η συγκεκριμένη εϕαρμογή, το κρουστικό πρόβλημα shock-problem για την αλυσίδα σωματιδίων., αποτέλεσε και το κίνητρο για την εργασία [] της Anne-Marie Filip και του Στέϕανου Βενακίδη, στην οποία στηρίζεται η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή. Στο πρόβλημα αυτό στόχος είναι η περιγραϕή της χρονικά ασυμπτωτικής συμπεριϕοράς t των κυμάτων της αλυσίδας., όταν αυτή πιέζεται από ένα έμβολο όπως περίπου πιέζει ένα έμβολο το υγρό μέσα σε μια σύριγγα. Μετά από αρκετές σχετικές προγενέστερες εργασίες που αναλύουν το πρόβλημα για ένα συγκεκριμένο V, το οποίο καθιστά την αλυσίδα ένα ολοκληρώσιμο σύστημα, και πληθώρα αριθμητικών πειραμάτων, οι συγγραϕείς θέλησαν να αναλύσουν το συγκεκριμένο πρόβλημα για γενικές αλυσίδες, όπου υποθέτουν μόνο ότι το V είναι κυρτό. Η ανάλυση της ειδικής περίπτωσης δείχνει ότι η καλύτερη περιγραϕή των κυμάτων δίνεται ασυμπτωτικά στην κρίσιμη περιοχή του κρουστικού κύματος από ένα διαμορϕωμένο οδεύον κύμα. Για το λόγο αυτό απέδειξαν καταρχήν την ύπαρξη οδευόντων κυμάτων Κεϕάλαιο της παρούσας εργασίας, μελέτησαν την μορϕή των λύσεων για κύματα μικρού πλάτους Κεϕάλαιο 3 και εξήγαγαν τις εξισώσεις διαμόρϕωσης του Whitham Κεϕάλαιο 4. Στο κρουστικό πρόβλημα και για t οι λύσεις έχουν αυτοόμοια self-similar συμπεριϕορά, δηλαδή εξαρτώνται από την μεταβλητή ξ = n t = X T. Συνεπώς, αυτό που ενδιαϕέρει είναι οι εξισώσεις του Whitham σε αυτήν την περίπτωση Κεϕάλαιο 4. Τις εξισώσεις αυτές οι συγκεκριμένοι συγγραϕείς τις ανέλυσαν αριθμητικά, και χρησιμοποιούν τα αποτελέσματα αυτής της ανάλυσης για να ερμηνεύσουν την διαϕορετική συμπεριϕορά της αλυσίδας για διαϕορετικές ταχύτητες του εμβόλου. Παρόλα αυτά, στη γενική του μορϕή, το κρουστικό πρόβλημα παραμένει ακόμα από αναλυτικής άποψης σε πολλά σημεία ανοικτό. Μια λεπτομερής περιγραϕή του προβλήματος, της πορείας των αποτελεσμάτων, τουλάχιστον μέχρι την εργασία [], αλλά και του κινήτρου για την μελέτη αλυσίδων σωματιδίων γενικότερα, θα βρει ο α- ναγνώστης στην εισαγωγή του Κεϕαλαίου 5, το οποίο και ολοκληρώνει την παρούσα εργασία. Θα θέλαμε να κλείσουμε τη μικρή αυτή εισαγωγή, αναϕέροντας ότι για δυναμικά V x = x + α 3 x3 + β 4 x4, α, β > 0, η αλυσίδα σωματιδίων. ονομάζεται αλυσίδα των Fermi-Pasta-Ulam FPU chain ή όπως προτάθηκε από κάποιον βλ. [0] αλυσίδα Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou - και μελετήθηκε αριθμητικά από τους ονομαζόμενους το 955 στο Los Alamos National Laboratory στο Νέο Μεξικό των Η.Π.Α., οδηγώντας σε απρόσμενα αποτελέσματα, τα οποία είχαν μια σημαντικότατη συνεισϕορά στη θεωρία των μη γραμμικών κυμάτων. Για μια εκλαϊκευμένη και ενδιαϕέρουσα αϕήγηση παραπέμπουμε τον αναγνώστη στο [7]. 6

17 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ Υπαρξη οδευοντων κυματων σε αλυσιδες σωματιδιων Θεωρούμε μία αλυσίδα άπειρα αριθμήσιμων το πλήθος σωματιδίων μοναδιαίας μάζας γειτονικά σωματίδια της οποίας αλληλεπιδρούν μεταξύ τους σύμϕωνα με τον Νόμο του Hooke. Η δυναμική συμπεριϕορά των σωματιδίων υπαγορεύεται από τον δεύτερο νόμο του Newton και περιγράϕεται μαθηματικά από το ακόλουθο άπειρα αριθμήσιμο σύστημα συζευγμένων συνήθων διαϕορικών εξισώσεων: q n t = V q n t q n t V q n t q n+ t, n N,. όπου q n t R είναι η μετατόπιση του n-οστού σωματιδίου τη χρονική στιγμή t R κατά μήκος του άξονα της αλυσίδας και η τελεία δηλώνει διαϕόριση ως προς το χρόνο. Υποθέτουμε ότι το δυναμικό V της δύναμης αλληλεπίδρασης μεταξύ γειτονικών σωματιδίων είναι μια κυρτή και λεία συνάρτηση. Για το Σ.Δ.Ε.. θα αποδείξουμε την ύπαρξη λείων και περιοδικών λύσεων οδεύοντος κύματος της μορϕής: q n t = qωt κn + βt αn,. όπου q : R R είναι περιοδική συνάρτηση τέτοια ώστε qz = qz + z R δηλαδή η περίοδος είναι κανονικοποιημένη και ίση με, ω R είναι η συχνότητα κύματος, κ 0, ] είναι ο κυματαριθμός, ο οποίος είναι αντιστρόϕως ανάλογος του μήκους κύματος, α R είναι η μέση απόσταση των σωματιδίων και β R είναι μία αυθαίρετη παράμετρος. Αντικαθιστώντας τον τύπο. στην εξίσωση. και θέτοντας z = ωt κn προκύπτει ότι: q n t = qωt κn + κ + βt αn + α, q n+ t = qωt κn κ + βt αn α, q n t q n t = qωt κn + κ qωt κn + α = qz + κ qz + α, q n t q n+ t = qωt κn qωt κn κ + α = qz qz κ + α. Επομένως για λύσεις της μορϕής. η. γίνεται ω q z = V qz + κ qz + α V qz qz κ + α,.3 7

18 Κεϕάλαιο η οποία θέτοντας rz := q z γράϕεται ισοδύναμα ω r z = V [α + z+κ z rz dz ] V [α + z z κ rz dz ]..4 Για λόγους απλοποίησης της τελευταίας θέτουμε gz = V α + z+ κ z κ rz dz και η.4 παίρνει τη μορϕή: ω r z = g z + κ g z κ..5 Ολοκληρώνοντας την εξίσωση.5 ως προς z προκύπτει ότι: z+ κ ω rz = Cr + gz dz,.6 z κ δηλαδή αναπτυγμένα z+ κ ω z rz = Cr + V α + κ + rz dz dz,.7 z κ z κ όπου η σταθερά ολοκλήρωσης ισούται με: Cr = z+ κ z κ z V α + κ + rz dz dz dz.8 z κ και έχει επιλεγεί έτσι ώστε η συνάρτηση r να έχει μέση τιμή 0 στο διάστημα μίας περιόδου, όπως προκύπτει αν ολοκληρώσουμε την εξίσωση.7. Προκειμένου να έχουμε μία πιο συμπαγή μορϕή της εξίσωσης.7, θα ορίσουμε τους παρακάτω τελεστές, των οποίων τα πεδία ορισμού και τιμών θα προσδιοριστούν στη συνέχεια ανάλογα με την μέθοδο που θα χρησιμοποιήσουμε: και με Arz := z+ κ z κ rz dz.9 T rz := Cr + AV α + Arz.0 Cr := AV α + Arzdz, όπου στα επόμενα προϋποθέτουμε ότι κ 0, ]. Παρατήρηση.0.. Οι τελεστές A και T που ορίσαμε παραπάνω εξαρτώνται από τον κυματαριθμό κ. Άρα ως τώρα και σε καθαρά υπολογιστικό επίπεδο formally, δηλαδή χωρίς αυστηρή δικαιολόγηση και εξέταση του καλά ορισμένου των παραπάνω μαθηματικών αντικειμένων, έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: 8

19 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Θεώρημα.0.. Για λύσεις της μορϕής. το Σ.Δ.Ε.. είναι ισοδύναμο με το μη-γραμμικό πρόβλημα ιδιοτιμών όπου T είναι ο τελεστής που δίνεται από τη σχέση.0. T r = ω r,. Τονίζουμε ότι η εξίσωση. προέκυψε εισάγοντας τους συμβολισμούς.9 και.0 στην εξίσωση.7. Στο υπόλοιπο του Κεϕαλαίου θα ασχοληθούμε με την μαθηματικά αυστηρή απόδειξη της ύπαρξης μιας τριπαραμετρικής οικογένειας λύσεων με παραμέτρους α, κ, ω σε δύο διαϕορετικούς χώρους συναρτήσεων και με δύο διαϕορετικές μεθόδους. Πιο συγκεκριμένα στην Ενότητα. θα χρησιμοποιήσουμε την Μέθοδο Λογισμού Μεταβολών της Συναρτησιακής Ανάλυσης και ο χώρος των λύσεων είναι ο { R := r : R R : r, L,, rz = rz +, rz = r z σ.π., } rzdz = 0, όπου με σ.π. εννοούμε σχεδόν παντού ως προς το μέτρο Lebesgue, και όπου όλα τα ολοκληρώματα εδώ και στα επόμενα νοούνται κατά Lebesgue. Στην Ενότητα., θα χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες του δείκτη σταθερού σημείου και ο χώρος θα είναι ο { X := r : R R : r, L,, rz = rz +, rz = r z σ.π., rzdz = 0 }. Να σημειωθεί ότι ο χώρος X περιέχει περισσότερες πληροϕορίες σχετικά με τη μορϕή των λύσεων.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Ο R, εϕοδιασμένος με το εσωτερικό γινόμενο r, h := είναι χώρος Hilbert ως κλειστός υπόχωρος του L := L per rzhzdz, r, h R,, { = r : R R : r, L, }, rz = rz + σ.π., 9

20 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών ο οποίος είναι ισομετρικά ισόμορϕος με τον χώρο L,. Η κλειστότητα προκύπτει ως εξής: Αν r n R με r n r L, τότε υπάρχει μια υπακολουθία r kn με r kn r σχεδόν παντού στο, βλ. π.χ. [4, Προτάσεις 8.5 και.9]. Συνεπώς, αν οι r n είναι άρτιες, τότε και η r θα είναι άρτια. Επίσης, σύμϕωνα με την ανισότητα Hölder ή Cauchy-Schwarz, rzdz = rzdz r n zdz r n r 0, όπου r = r, r η νόρμα των χώρων L και R. Θεώρημα... Για οποιαδήποτε τριάδα α, κ, s παραμέτρων του κύματος με 0 < κ <, κ / Q, και 0 < s < υπάρχει μία -περιοδική και λεία συνάρτηση στη σϕαίρα Σ s = {r R : r = s} και ένας αριθμός ω > 0 που ικανοποιεί την εξίσωση., δηλαδή το μη-γραμμικό πρόβλημα ιδιοτιμών T r = ω r, όπου ο τελεστής T ορίστηκε παραπάνω από τη σχέση.0. Το πρόβλημα. είναι ισοδύναμο του αρχικού μας προβλήματος., με r = q. Η απόδειξη του παραπάνω Θεωρήματος.. θα δοθεί σταδιακά χρησιμοποιώντας τα παρακάτω λήμματα. Αναϕέρουμε καταρχήν κάποιες ιδιότητες του τελεστή A, όπως αυτός ορίστηκε μέσω της.9. Λήμμα... Ο τελεστής A : R R είναι γραμμικός, συμπαγής, αυτοσυζυγής με AR CR και ικανοποιεί τη σχέση: Arz κ r, z R, r R. Απόδειξη. Καταρχήν θα δείξουμε ότι ο A : R R είναι καλά ορισμένος. Για κάθε r L και για κάθε z R, έχουμε: z+ κ Arz = rz dz z κ z+ κ rz dz z+ κ dz z κ όπου χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα Hölder z κ r [z ] z+ κ z κ κ r, από το οποίο προκύπτει ότι Ar, L,, αϕού Ar = Arz dz κ r.. Εδώ βέβαια ταυτίζουμε κάθε συνάρτηση του χώρου αυτού με την κλάση ισοδυναμίας των συναρτήσεων που είναι σχεδόν παντού ίσες με αυτή. 0

21 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Ανάλογα προκύπτει και η συνέχεια της Ar για r L, αϕού για κάθε z z με z z < έχουμε: Arz Arz = = z + κ z κ z + κ z + κ z + κ rζdζ z κ z κ rζdζ z κ rζdζ rζdζ z + κ z + κ z z r. z κ rζdζ + rζdζ z κ Επίσης, για κάθε άρτια r L η Ar είναι περιοδική και άρτια, αϕού για κάθε z R έχουμε: Arz + = όπου θέσαμε ζ := ζ, και επίσης = z++ κ z+ κ z+ κ z κ = Arz, rζdζ rζ + dζ όπου θέσαμε ζ := ζ. Ar z = = = z+ κ z κ z κ z+ κ z+ κ z κ = Arz, rζdζ r ζ dζ rζ dζ Ο A : L L όμως είναι και γραμμικός, και άρα, σύμϕωνα με τα προηγούμενα, ένας ϕραγμένος γραμμικός τελεστής. Πράγματι, έστω r, q L τότε z R Για λόγους απλούστευσης χρησιμοποιούμε καταχρηστικά το ίδιο σύμβολο για τον τελεστή A : L L, που ορίζεται μέσω της.9, όπως και για τον περιορισμό του A : R R, τον οποίο θα χρησιμοποιήσουμε στα επόμενα.

22 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Ar + qz = = = z+ κ z κ z+ κ z κ z+ κ z κ r + qz dz = Arz + Aqz. Επίσης, έστω r L και λ R τότε z R Aλrz = Άρα ο τελεστής A είναι γραμμικός. = = λ rz + qz dz z+ κ rz dz + qz dz z κ z+ κ z κ z+ κ z κ z+ κ z κ = λarz. λrz dz λrz dz rz dz Συνεχίζουμε δείχνοντας ότι ο ϕραγμένος γραμμικός τελεστής A : L L είναι και συμπαγής, δηλαδή ότι κάθε ϕραγμένη ακολουθία r n L έχει μια υπακολουθία r kn, τέτοια ώστε η Ar kn να συγκλίνει μέσα στο L όταν n. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε το Θεώρημα Arzela-Ascoli στην ακόλουθη μορϕή βλ. [8, Θεώρημα 7.5]: Θεώρημα..3. Εστω Ω R συμπαγές και {f n } μια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων από το Ω στο R. Αν η ακολουθία f n είναι:. ομοιόμορϕα ϕραγμένη, δηλαδή M > 0 σταθερά ώστε f n M, n N. ομοιόμορϕα ισοσυνεχής δηλαδή ϵ > 0 δ > 0, ώστε αν x y < δ τότε f n x f n y ϵ, n N, τότε η ακολουθία {f n } έχει μία ομοιόμορϕα συγκλίνουσα υπακολουθία στο Ω. Στην περίπτωσή μας, έστω r n L ϕραγμένη, δηλαδή C > 0 : r n C, τότε από τα προηγούμενα και την ανισότητα Arz κ r, προκύπτει ότι η Ar n CR είναι ομοιόμορϕα ϕραγμένη και ισοσυνεχής, αϕού sup Ar n z Ar n y z y r z y C 0, n

23 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών όταν z y 0. Δηλαδή η Ar n είναι ισοσυνεχής. Συνεπώς, σύμϕωνα με το Θεώρημα Arzela-Ascoli, υπάρχει υπακολουθία r kn, τέτοια ώστε η Ar kn να συγκλίνει ομοιόμορϕα στο [, ], και άρα και μέσα στο L, αϕού Ar kn Ar km Ar kn Ar km,.3 όπου ρ := max { ρz : z [, ]} για ρ C [, ]. Η συμπάγεια του A : L L συνεπάγεται και τη συμπάγεια του περιορισμού του A : R R, αϕού ο R είναι κλειστός υπόχωρος του L. Δείχνουμε τώρα ότι ο τελεστής A : L L είναι αυτοσυζυγής, δηλαδή συμμετρικός. Αυτό προκύπτει από την περιοδικότητα των συναρτήσεων του χώρου L. Πιο συγκεκριμένα, έστω r, ρ L. Τότε z+ κ Ar, ρ = rz dz ρz dz = rzρz dz, z, D z κ όπου D := { z, z R : z,, z z < κ }, και z+ κ r, Aρ = rz ρz dz dz = rzρz dz, z, D z κ όπου D := { z, z R : z,, z z < κ }. Ομως, όπου και D = D A [, + B] και D = D B [, + A], D := D [, ] [, ] = D [, ] [, ], A := { z, z R : < z < +κ, z κ < z < }, B := { z, z R κ : < z <, < z < z + κ },,+A,+B rzρz dz, z = rzρz dz, z = Από τα προηγούμενα προκύπτει: Ar, ρ = r, Aρ. A B rzρz dz, z, rzρz dz, z. Τέλος, η συμμετρία του A : L L συνεπάγεται και ότι AR R, αϕού Arzdz = = Ar, = r, A = κ = 0. Arzdz rzdz 3

24 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Από τις προηγούμενες ιδιότητες του τελεστή A προκύπτουν οι ακόλουθες για τον τελεστή T. Πόρισμα..4. Ο τελεστής T : R R που ορίστηκε τυπικά μέσω της.0 είναι καλά ορισμένος. Απόδειξη. Αϕού Ar R CR και V C R, η συνάρτηση AV α+ar είναι καλά ορισμένη, συνεχής, περιοδική και άρτια στο R για κάθε r R, και αϕού το ολοκλήρωμα της T r στο, έχει από κατασκευή μέση τιμή μηδέν, προκύπτει ότι T r R για κάθε r R. Λήμμα..5. Η εικόνα της κλειστής μπάλας B s = {r R : r s} μέσω του τελεστή T που ορίζεται από τη σχέση.0 είναι ϕραγμένη s 0. Απόδειξη. Εστω r B s. Από το Λήμμα.., r R με r = s <, έχουμε Arz κ r κs, z R. Αϕού το δυναμικό V είναι μία κυρτή και λεία συνάρτηση, η παράγωγος V είναι αύξουσα συνάρτηση. Οπότε, προκύπτει: και κv α κs AV α + Arz = Επομένως, z+ κ z κ V α + Arζdζ κv α + κs κv α + κs Cr = AV α + Arzdz κv α κs. κ V α κs V α + κs T rz κ V α + κs V α κs, όπου ο τελεστής T δίνεται από τη σχέση.0. Οπότε, T rz C α, κ, s z R T r C α, κ, s, όπου το C α, κ, s είναι μία σταθερά που εξαρτάται από τις παραμέτρους α, κ, s. Επομένως το T B s είναι ϕραγμένο s 0. Η ιδέα του Λογισμού Μεταβολών είναι η εύρεση λύσεων εξισώσεων ως σημείων ακροτάτων συναρτησοειδών. Στην περίπτωσή μας, ορίζουμε το συναρτησοειδές U α : R R με τύπο U α r := V α + Arzdz Το συναρτησοειδές αυτό είναι καλά ορισμένο αϕού Ar CR και V C R. Επίσης είναι εν γένει μη-γραμμικό λόγω της μη-γραμμικότητας της συνάρτησης V. 4

25 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Θεώρημα..6. Το συναρτησοειδές U α έχει παράγωγο Fréchet τον τελεστή T : R R, δηλαδή T r = U α r R r R. Ειδικότερα ισχύει U α r + th U α r lim = T r, h, r R,.4 t 0 t και η σύγκλιση είναι ομοιόμορϕη ως προς h R με h =. Απόδειξη. Εστω r, h R με h =. Εϕαρμόζουμε το Θεώρημα Taylor για να αναπτύξουμε τη συνάρτηση V γύρω από το σημείο α + Arz και παρατηρούμε ότι: U α r + th U α r t = = + t [V α + Arz + tahz V α + Arz]dz t V α + ArztAhzdz t V α + Arz + τtahzahz dz, όπου 0 < τ < t. Σημειώνουμε ότι Ahz κ, όπου κ σταθερά, ανεξάρτητη του h R, h =. Για 0 < τ < t < προκύπτει ότι: V α + Arz + τtahzahz dz κ max{v α+ρ : ρ κ+ r }, εϕόσον Arz + τtahz κ r + και Ahz κ. Συνεπώς U α r + th U α r sup V α + ArzAhzdz 0 για t 0, h Σ t όπου Σ := {h R : h = }, δηλαδή U α r + th U α r V α + ArzAhzdz t 0 για t 0 ομοιόμορϕα ως προς h Σ. Εξάλλου, V α + ArzAhzdz = = = T r, h, AV α + Arzhzdz T rzhzdz Cr hzdz εϕόσον ο τελεστής A : L L είναι αυτοσυζυγής και hzdz = 0. 5

26 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Το T r είναι η παράγωγος Fréchet του U α στο r, δηλαδή T r = U α r. Πράγματι, υπενθυμίζουμε ότι η παράγωγος Fréchet του U α : R R στο r R, όπου R χώρος Banach, είναι ο τελεστής U α r R για τον οποίο ισχύει U α r + h U α r U α rh h 0, όταν h 0. Ειδικότερα σε χώρους Hilbert ισχύει το Θεώρημα Αναπαράστασης Riesz: Θεώρημα..7. Η F : R R με F rρ := ρ, r r, ρ R, όπου R χώρος Hilbert, είναι ισομετρία, δηλαδή η F είναι γραμμική, και επί, με F r = r r R. Συνεπώς, ταυτίζοντας το F r := U α r R με το r := U α r R έχουμε Δηλαδή, ή, ισοδύναμα, U α r + h U α r h, U α r h U α r + h U α r U α r, h h 0, όταν h 0. 0, όταν h 0, ϵ > 0 δ > 0 r R, h 0, δ : U α r + h h h Uα r U α r, h h h < ϵ..5 h Ομως σύμϕωνα με την εξίσωση.4 έχουμε ϵ > 0 δ > 0 t R, t 0, δ h R, h = : U α r + t h U α r T r, t h t το οποίο από την.5 συνεπάγεται ότι το T r είναι η παράγωγος Fréchet του U α στο r, δηλαδή T r = U α r. Στα επόμενα θα χρησιμοποιούμε συχνά τον συμβολισμό U α r για τον τελεστή T. Αϕού ταυτίσαμε τον τελεστή T με την παράγωγο Fréchet U α του συναρτησοειδούς U α, στόχος μας είναι στα επόμενα, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του συναρτησοειδούς, να δείξουμε ότι κάθε σημείο ολικού μεγίστου αυτού είναι λύση της εξίσωσης.. Ετσι στα επόμενα συλλέγουμε υπό τη μορϕή λημμάτων κάποιες ιδιότητες του συναρτησοειδούς και της παραγώγου του, τις οποίες κατόπιν συνθέτουμε για την απόδειξη του προαναϕερθέντος αποτελέσματος. Λήμμα..8. Εστω r ένα σημείο τοπικού ακροτάτου του συναρτησοειδούς U α στο R. Τότε το r είναι ένα κρίσιμο σημείο του U α στο R, δηλαδή U α r = 0. < ϵ, 6

27 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι το r είναι ένα τοπικό ελάχιστο του συναρτησοειδούς U α στο R. Τότε υπάρχει μία περιοχή V r R του r τέτοια ώστε: U α r U α r r V r..6 Η σχέση.6 είναι απλά ο ορισμός του τοπικού ελαχίστου. Εστω h R \ {0}. Τότε υπάρχει α > 0 τέτοιο ώστε r + th V r, t α, α. Επομένως από τη σχέση.6 προκύπτει ότι: U α r U α r + th t α, α, εϕόσον η ανισότητα.6 ισχύει r V r και έχουμε ότι r +th V r. Συγκεκριμένα, t 0, α U α r U α r + th, ή U α r + th U α r 0. t Από το Θεώρημα..6, h R \ {0} και t 0, α έχουμε ότι: U α r, h = lim t 0 t 0, α Αϕού U α r, 0 = 0, ισχύει δηλαδή ότι U α r, h 0 h R. U α r + th U α r..7 t Θέτοντας h = U α r στη σχέση.7, έχουμε: U α r, U α r 0 U α r, U α r 0 U α r, U α r 0 U α r 0. Επομένως U α r = 0. Δηλαδή το r είναι κρίσιμο σημείο του U α r. Αν το r είναι τοπικό μέγιστο, τότε υπάρχει περιοχή V r R του r τέτοια ώστε U α r U α r r V r, και έπεται ότι αλλάζει η ϕορά όλων των ανισοτήτων. Λήμμα..9. Ο τελεστής A : R R έχει τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u n := πn sinπnκ, e nz := cosπnz, z R, n N και ο πυρήνας του για κ Q είναι ο τετριμμένος. 7

28 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Απόδειξη. Οπως είναι γνωστό από τη θεωρία των σειρών Fourier βλ. π.χ. [8, Κε- ϕάλαιο 8] ο χώρος των -περιοδικών, άρτιων L, -συναρτήσεων έχει την ορθοκανονική βάση e n, n N {0}, όπου e 0 z = και e n z = cosπnz n, z R, και ο υπόχωρός του, R, των συναρτήσεων που επιπλέον έχουν μέση τιμή 0, έχει την ορθοκανονική βάση e n, n N. Ενας απλός υπολογισμός αποδεικνύει ότι Ae n = u n e n, n N, αϕού Ae n z = z+ k z k cosπnζdζ = [ sin πnz + k πn sin πnz k ] = sinπnz cosπnk + cosπnz sinπnk πn sinπnz cosπnk + cosπnz sinπnk = πn sinπnk cosπnz Άρα Ae n = u n e n, όπου u n = πn sinπnk n N. Από τα προηγούμενα και τη συνέχεια του A : R R προκύπτει ότι ο πυρήνας του είναι ο Ker A = span{e n : u n = 0, n N} και είναι τετριμμένος όταν n N : u n 0, δηλαδή n N m Z : nκ m, δηλαδή κ Q. Λήμμα..0. Αν το r είναι κρίσιμη τιμή του συναρτησοειδούς U α, δηλαδή U α r = 0, τότε r = 0, αν κ / Q. Απόδειξη. Από το Θεώρημα..6 ξέρουμε ότι T r = U α r, δηλαδή U α r = Cr+ AV α + Ar. Επομένως, για r = r έχουμε U α r = AV α + Ar + Cr. Αν το r είναι κρίσιμη τιμή του συναρτησοειδούς U α στο R, τότε: U α r = 0 AV α + Ar = Cr..8 Από το Λήμμα..9 και αϕού η Cr είναι σταθερά συνεπάγεται ότι όπου C είναι σταθερά. V α + Ar C,.9 8

29 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Αϕού η V ως μονότονη είναι, η σχέση.9 ισχύει αν και μόνο αν Ar C 3, όπου η C 3 είναι σταθερά. Οπότε πάλι από το Λήμμα..9 έχουμε ότι r C 4, z [, ],.0 όπου η C 4 είναι σταθερά, και αϕού r R, έχει μέση τιμή 0 στο διάστημα μίας περιόδου. Ολοκληρώνοντας τη σχέση.0 έχουμε: r zdz = C 4 dz 0 = C 4 [z] 0 = C 4. Επομένως η συνάρτηση r είναι η μηδενική z [, ]. Παρατήρηση... Η προϋπόθεση κ Q στο Λήμμα..0 είναι αναγκαία σύμ- ϕωνα με το Λήμμα..9 και προστέθηκε στο Λήμμα.8 του πρωτοτύπου [] για να διατηρηθεί το περιεχόμενο του συμπεράσματος, δηλαδή ότι ο πυρήνας του T : R R είναι ο τετριμμένος, στο οποίο στηρίζεται η απόδειξη. Παρ όλα αυτά, ο περιορισμός σε άρρητες τιμές του κυματαριθμού κ δεν είναι απαραίτητος, αν χρησιμοποιηθεί η μέθοδος λογισμού μεταβολών σε μια γενικότερη μορϕή που οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα όπως εδώ και για ρητές τιμές του κ, βλ. [3]. Λήμμα... Ο τελεστής T = U α : R R είναι μονότονος και συμπαγής. Απόδειξη.. Για να δείξουμε ότι ο T = U α είναι μονότονος τελεστής, αρκεί να δείξουμε ότι U α r U α r, r r 0, r, r R.. Εϕόσον r, r R, που είναι διανυσματικός χώρος, θα ισχύει και r r R. Επομένως r z r z dz = 0. Δηλαδή η διαϕορά των συναρτήσεων έχει μέση τιμή 0 στο διάστημα μιας περιόδου. Οπότε η σχέση. γράϕεται ισοδύναμα ως εξής: [Cr + AV α + Ar z Cr AV α + Ar z]r z r zdz 0 [AV α + Ar z AV α + Ar z]r z r zdz 0, ή, επειδή ο A είναι γραμμικός και αυτοσυζυγής τελεστής, [V α + Ar z V α + Ar z]ar z Ar zdz 0. 9

30 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Το δυναμικό V είναι κυρτή συνάρτηση, επομένως η παράγωγος του V είναι αύξουσα. Οπότε, r, r R, έπεται ότι οι ποσότητες V α+ar z V α+ar z και Ar z Ar z θα έχουν το ίδιο πρόσημο στο διάστημα μιας περιόδου. Άρα ισχύει ότι: Δηλαδή, [V α + Ar z V α + Ar z]ar z Ar zdz 0. U α r U α r, r r 0 r, r R, που σημαίνει ότι ο τελεστής T είναι μονότονος.. Θα δείξουμε τώρα ότι ο τελεστής T = U α : R R είναι συμπαγής, δηλαδή ότι είναι συνεχής και ότι κάθε ϕραγμένη ακολουθία r n R έχει μία υπακολουθία r kn έτσι ώστε η T r kn να συγκλίνει. Πρώτα δείχνουμε ότι ο T είναι συνεχής τελεστής. Πράγματι, για r, r R έχουμε από τον ορισμό.8 του Cr, την γραμμικότητα του A : L L και τις ανισότητες.,.3 Cr Cr A [ V α + Ar V α + Ar ] κ V α + Ar V α + Ar και AV α + Ar AV α + Ar A [ V α + Ar V α + Ar ], που από τον ορισμό.0 του T : R R συνεπάγεται T r T r κ V α + Ar V α + Ar. Ομως, αϕού V C R, έχουμε από το Θεώρημα Μέσης Τιμής και την ανισότητα. V α + Ar V α + Ar Mr, r Ar Ar, όπου Mr, r := max{ V x : x [α κ r + r, α + κ r + r ]}, και συνεπώς από την ανισότητα.3 T r T r κmr, r r r, που αϕού η M : R R R είναι τοπικά ϕραγμένη συνεπάγεται τη συνέχεια του T : R R καθώς και την Lipschitz-συνέχεια των περιορισμών του T σε ϕραγμένα υποσύνολα του R, αϕού T r T r κ M s Ar Ar κm s r r,. για r, r s, όπου M s := max{ V x : x [α s κ, α + s κ}. Επειδή T 0 = 0, από την τελευταία ανισότητα προκύπτει και ότι η εικόνα της κλειστής μπάλας B s := {r R : r s}, s > 0, υπό τον T είναι ϕραγμένη. 0

31 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Τέλος, η συμπάγεια του T προκύπτει από την συμπάγεια του A. Πράγματι, αν r n B s για κάποιο s > 0, υπάρχει υπακολουθία r kn r n τέτοια ώστε η Ar kn R να συγκλίνει, δηλ. είναι ακολουθία Cauchy. Από την πρώτη ανισότητα της. προκύπτει ότι και η T r kn είναι ακολουθία Cauchy στο χώρο Hilbert R, δηλαδή συγκλίνει. Λήμμα..3. Το συναρτησοειδές U α είναι συνεχές στο R ως προς την ασθενή τοπολογία, δηλαδή U α r n U α r όταν r n r ασθενώς, δηλαδή όταν r n, ρ r, ρ για κάθε ρ R. Απόδειξη. Εστω r n r ασθενώς στο χώρο Hilbert R. Αϕού η ακολουθία των ϕραγμένων γραμμικών συναρτησοειδών T n ρ := r n, ρ, ρ R, n N, με T n = r n προκύπτει από την ανισότητα Cauchy-Schwarz είναι κατά σημείο ρ R ϕραγμένη ως συγκλίνουσα, είναι και ομοιόμορϕα ϕραγμένη Αρχή Ομοιόμορϕου Φράγματος, βλ. [, Θεώρημα 7.], δηλ. η ακολουθία T n = r n είναι ϕραγμένη. Εστω τώρα ότι δεν ισχύει U α r n U α r, δηλαδή υπάρχει ένα ϵ > 0 και μια υπακολουθία r kn r n με U α r kn U α r ϵ. Θέτοντας ft := U α r + tr kn r, t R, έχουμε από το Θεώρημα Μέσης Τιμής και το Θεώρημα..6 U α r kn U α r = f f0 = f t kn Επίσης, έχουμε = lim t 0 ft kn + t ft kn t U α r + t kn r kn r + tr kn r U α r + t kn r kn r = lim t 0 t = U α r + t kn r kn r, r kn r, t kn 0,. r + t kn r kn r r + t kn r kn r r + r kn r t kn, όπου το r είναι σταθερό, το t kn είναι ϕραγμένο και r kn r 0. Επομένως το r + t kn r kn r είναι ϕραγμένο. Από το Λήμμα.., έχουμε ότι ο U α = T είναι συμπαγής τελεστής. Οπότε r R και μια υπακολουθία k m της k n ώστε: Δηλαδή, ισχυρώς στον R και γράϕουμε: lim U αr + t km r km r r = 0. m U α r + t km r km r r U α r + t km r km r, r km r = U α r + t km r km r + r r, r km r = r, r km r + U α r + t km r km r r, r km r

32 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Ομως, καθώς m προκύπτει ότι r, r km r 0, εϕόσον r km αϕού r km είναι υπακολουθία της r kn. Επίσης r ασθενώς, U α r + t km r km r, r km r U α r + t km r km r r km r C U α r + t km r km r 0, όπου η πρώτη ανισότητα προέκυψε από την ανισότητα Cauchy-Schwarz και η δεύτερη από το ότι η r km είναι ϕραγμένη. Επομένως, U α r km U α r = U α r + t km r km r r, r km r 0. Δηλαδή, lim k U α r km = U α r που οδηγεί σε αντίϕαση με τη σχέση U α r kn U α r ϵ. Άρα το συναρτησοειδές U α είναι συνεχές στο R ως προς την ασθενή τοπολογία. Λήμμα..4.. Το συναρτησοειδές U α λαμβάνει το μέγιστό του όταν περιορίζεται στην κλειστή μπάλα B s = {r R : r s}.. Το ολικό μέγιστο του συναρτησοειδούς U α βρίσκεται στη σϕαίρα Σ s = {r R : r = s}. Απόδειξη.. Ορίσαμε το συναρτησοειδές U α : R R με τύπο U α r := V α + Arzdz Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση δυναμικού V είναι συνεχής και μάλιστα ισχύει ότι V α + Arz C α, κ, s := max{ V x : x [α κs, α + κs]} z [, ], εϕόσον Arz κ r κs, z [, ]. Επομένως: U α r = C α, κ, s V α + Arzdz V α + Arz dz C α, κ, s, dz

33 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών όπου C α, κ, s μια σταθερά που εξαρτάται από τις παραμέτρους α, κ, s και προ- ϕανώς ανήκει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Επομένως το συναρτησοειδές U α είναι ϕραγμένο στην B s και άρα η εικόνα της υπό το U α έχει ελάχιστο άνω ϕράγμα, έστω d. Άρα, r B s ισχύει U α r d. Επίσης r n ακολουθία στην B s τέτοια ώστε lim n U α r n = d. Ως γνωστόν η κλειστή μπάλα B s είναι συμπαγής ως προς την ασθενή τοπολογία, αϕού ο R, ως χώρος Hilbert, είναι ανακλαστικός βλ. π.χ. [, Θεώρημα 3.6]. Συνεπώς r nj υπακολουθία της r n στην B s, η οποία συγκλίνει ασθενώς σε κάποιο r B s. Οπότε lim j U α r nj = d. Ακόμα, από την συνέχεια του U α ως προς την ασθενή τοπολογία που αποδείχθηκε στο Λήμμα..3, έχουμε ότι: U α r = lim j U α r nj = d. Τότε U α r = d και r B s ισχύει U α r d, δηλαδή το U α έχει ολικό μέγιστο στην B s στο σημείο r B s.. Σύμϕωνα με τα Λήμματα..8 και..0, ξέρουμε ότι το μοναδικό πιθανό σημείο τοπικού ακροτάτου του U α στο εσωτερικό της κλειστής μπάλας B s είναι το r = 0. Θα δείξουμε ότι ϵ > 0 υπάρχει ένα στοιχείο r R με r > 0 τέτοιο ώστε U α r > U α 0, που σημαίνει ότι το r = 0 δεν είναι σημείο τοπικού μεγίστου για το U α το οποίο υπάρχει σύμϕωνα με το του παρόντος Λήμματος. Επομένως το U α λαμβάνει μέγιστο στο B s και άρα αυτό θα βρίσκεται στο σύνορο της κλειστής μπάλας και όχι στο εσωτερικό της. Εστω r = ϵ cosπ R όπου r = = r zdz [ ϵ cosπz] dz = ϵ = ϵ cos z πzdz = ϵ + + cos4πz dz = ϵ + 0 = ϵ, cos 4πzdz όπου ϵ > 0 ένας μικρός πραγματικός αριθμός. Άρα r > 0. Εϕαρμόζουμε τον τύπο του Taylor για το V α + Ar z, γύρω από το σημείο α: U α r U α 0 = V α + Ar zdz V α.3 3

34 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών = V α Ar zdz + V α + 6 Ar z dz V α + τar zar z 3 dz, όπου 0 < τ <. Παρατηρούμε ότι: Ar zdz = 0. Επειτα, V α > 0 μιας και η V είναι λεία και κυρτή, και Ar z dz = ϵ sin πκ π > 0 για κ 0, Πράγματι, A cosπz = z+ κ cosπz dz z κ πz+πκ = cos xdx π πz πκ = sinπz + πκ sinπz πκ π Ξέρουμε από τους τριγωνομετρικούς τύπους ότι ισχύει: και άρα sinπz ± πκ = sin πz cos πκ ± cos πz sin πκ sinπz + πκ sinπz πκ = cos πz sin πκ A cosπz = sin πκ π cos πz από το οποίο προκύπτει A cosπzdz = 0, A cosπz dz = sin πκ π 4 = sin πκ π, cos πzdz

35 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών όπου sin πκ π > 0 κ / Z, το οποίο ισχύει για κ 0,. Συνεπώς ο πρώτος όρος του αναπτύγματος.3 εξαϕανίζεται και ο δεύτερος όρος είναι θετικός και της τάξης Oϵ. Τέλος, από το Λήμμα.., ξέρουμε ότι: Ar z κ r κϵ, όπου κ είναι σταθερά. Επίσης η συνάρτηση δυναμικού V είναι λεία και άρα το V είναι συνεχής συνάρτηση. Οπότε ο τελευταίος όρος της εξίσωσης.3, δηλαδή ο V α + τar zar z 3 dz 6 είναι ϕραγμένος και μάλιστα της τάξης Oϵ 3 για ϵ 0, αϕού C > 0 έτσι ώστε ϵ 0, ϵ 0 ]: Επομένως 6 V α + τϵϵ 3 dz ϵ 3 C. U α r U α 0 = ϵ V α sin πκ π ϵc > 0 για αρκούντως μικρά ϵ, δηλαδή ισχύει ότι U α r > U α 0. Οπότε το r = 0 δεν είναι το μέγιστο του συναρτησοειδούς U α r. Λήμμα..5. Το ολικό μέγιστο του συναρτησοειδούς U α r στη σϕαίρα Σ s = {r R : r = s}, s > 0 ικανοποιεί την εξίσωση., T r = ω r. Απόδειξη. Από το Λήμμα..4 έχουμε ότι το συναρτησοειδές U α λαμβάνει το ολικό του μέγιστο στο σύνορο της κλειστής μπάλας B s, δηλαδή στη σϕαίρα Σ s = {r R : r = s}. Εστω U α r = max U α r. Θα δείξουμε ότι το r λύνει το μη-γραμμικό Σ s πρόβλημα ιδιοτιμών T r = ω r. Ορίζουμε ως R τον μονοδιάστατο υπόχωρο του R που παράγεται από το r. Ο R είναι κλειστός υπόχωρος του R. Ως R ορίζουμε τον ορθοσυμπληρωματικό υπόχωρο του R στον R. Δηλαδή, R := {r R :< r, r >= 0} με τον οποίο ισχύει R = R R. Δηλαδή κάθε στοιχείο του R γράϕεται κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα στοιχείων του R και R. Επιλέγουμε ένα τυχαίο διάνυσμα h R με h = s άρα h Σ s και θεωρούμε την οικογένεια διανυσμάτων: r = + mϵ r + ϵh 5

36 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών όπου m, ϵ R, η οποία ανήκει στον γραμμικό υπόχωρο του R που παράγεται από τα ορθογώνια διανύσματα r, h. Προκειμένου να ανήκει το r στην σϕαίρα, δηλαδή να ισχύει r Σ s, όπου r = s θα πρέπει: r = + mϵ r + ϵh Εϕαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα, καθώς τα διανύσματα r και h είναι ορθογώνια. Οπότε, θα προκύψει: r = + mϵ r + ϵh s = + mϵ r + ϵ h = + mϵ s + ϵ s = + mϵ + ϵ = + mϵ + m ϵ + ϵ ϵm + m ϵ + ϵ = 0 Επομένως για ϵ 0 έχουμε την εξής δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς m: Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα: m ϵ + m + ϵ = 0. = 4 4ϵ = 4 ϵ > 0 για ϵ 0,. Οπότε προκύπτουν δυο πραγματικές άνισες λύσεις: m, = ± ϵ. ϵ Επιλέγουμε m = + ϵ ϵ. Πολλαπλασιάζοντας με την συζυγή παράσταση του αριθμητή θα έχουμε: m = + ϵ ϵ ϵ ϵ = = ϵ ϵ ϵ ϵ + ϵ, από το οποίο βλέπουμε ότι m 0, καθώς ϵ 0, και για τέτοια m και r = +mϵ r+ϵh, όπου r Σ s έχουμε την παρακάτω σχέση, εϕόσον το συναρτησοειδές U α έχει Fréchet παράγωγο: U α r U α r = U α r, mϵ r + ϵh + R r, mϵ r + ϵh, 6

37 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών όπου το υπόλοιπο R ικανοποιεί: R r, mϵ r + ϵh ϵ αϕού σύμϕωνα με το Θεώρημα..7: U α r + mϵ r + ϵh U α r mϵ r + ϵh = R r, mϵ r + ϵh mϵ r + ϵh m r + h 0 για ϵ 0,.4 U α r, mϵ r + ϵh mϵ r + ϵh = R r, mϵ r + ϵh mϵ r + ϵh = o για ϵ 0.5 και αϕού m 0 για ϵ 0. Ισοδύναμα, η.4 γράϕεται με χρήση των συμβόλων Landau R r, mϵ r + ϵh = oϵ για ϵ 0. Από το m 0 για ϵ 0 προκύπτει και ότι και επομένως έχουμε συνολικά Ũα r, mϵ r = oϵ για ϵ 0 U α r U α r = ϵ U α r, h + oϵ, για ϵ 0..6 Αλλά το r είναι σημείο ολικού ακροτάτου του συναρτησοειδούς U α στην κλειστή μπάλα B s, οπότε σε καμία περιοχή του r το αριστερό μέλος της εξίσωσης.6, δηλαδή η διαϕορά U α r U α r δεν αλλάζει πρόσημο για ϵ δ, δ για δ αρκούντως μικρό. Ομως αυτό είναι δυνατό μόνο αν: U α r, h = 0 h R. Άρα το U α r h και εϕόσον αυτό ισχύει h R, θα έχουμε ότι U α r R. Οπότε U α r R. Ο R είναι μονοδιάστατος υπόχωρος του R, ο οποίος παράγεται από το διάνυσμα r. Συνεπώς το U α γράϕεται σαν πολλαπλάσιο του διανύσματος r. Δηλαδή υπάρχει πραγματικός αριθμός ω τέτοιος ώστε: Από τη σχέση.7 έχουμε: U α r = ω r..7 U α r, r = ω r, r U α r, r = ω r, r U α r, r = ω r U α r, r = ω s ω = s U α r, r Εϕόσον το U α είναι μονότονος τελεστής,το οποίο συνεπάγεται U α r, r 0 r R, και σύμϕωνα με το Λήμμα..0 ξέρουμε ότι U α r 0, προκύπτει ό- τι U α r, r > 0, αϕού αν ήταν ίσο με το μηδέν, τότε ω = 0 και άρα από την.7 U α r = 0. Επομένως ω > 0. 7

38 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος δείκτη σταθερού σημείου Λήμμα..6. Κανονικότητα της λύσης Για λείο δυναμικό V η λύση r R της. είναι λεία και το ολοκλήρωμά της είναι μια λύση της μορϕής. της.. Απόδειξη. Οπως είδαμε στο Λήμμα.., αϕού r R, έχουμε Ar CR, και από τη συνέχεια της V προκύπτει ότι η V α + Ar είναι συνεχής. Άρα, από τον ορισμό του A, το αριστερό μέλος της., T r = Cr + AV α + Ar, είναι C R, και συνεπώς από το δεξιό μέλος της. έχουμε ότι η r C R. Από αυτό προκύπτει Ar C R, το οποίο, αν V C 3 R, δίνει ανάλογα με πριν T r C 3 R, δηλαδή r C 3 R. Συνεχίζοντας έτσι επαγωγικά έχουμε r C R, αν V C R. Επίσης, αϕού η r R είναι -περιοδική και άρτια με μέση τιμή μηδέν, το ολοκλήρωμά της, q, θα είναι μια -περιοδική, περιττή και λεία συνάρτηση που με την αντιστοίχιση., όπου το ω δίνεται από την., επιλύει την.. Παρατήρηση..7. Το Λήμμα κανονικότητας της λύσης..6 έχει ως αποτέλεσμα την αυστηρή δικαιολόγηση της εξαγωγής της. από την. για λύσεις της μορϕής., αϕού δικαιολογούνται τώρα όλες οι πράξεις που οδήγησαν στην., και μέσω της επιτρεπτής πια αντιστροϕής των πράξεων αυτών αποδεικνύεται και η ισοδυναμία των δύο εξισώσεων.. Μέθοδος δείκτη σταθερού σημείου Θεωρούμε το χώρο { X := r : R R : r, L,, rz = rz +, rz = r z σ.π., rzdz = 0 }, εϕοδιασμένο με την νόρμα r := rz dz, r X. Ο X είναι χώρος Banach ως κλειστός υπόχωρος του L := L per, { = r : R R : r, L, }, rz = rz + σ.π., ο οποίος είναι ισομετρικά ισόμορϕος με τον χώρο L,. 3 Η κλειστότητα προκύπτει όπως και στην ανάλογη περίπτωση της προηγούμενης παραγράϕου, όπου δείξαμε ότι ο R είναι κλειστός υπόχωρος του L, αντικαθιστώντας την L -νόρμα εκεί με την L -νόρμα εδώ. Ορισμός... Εστω X χώρος Banach. Λέγοντας κώνο K X, εννοούμε ένα μη-κενό, κλειστό και κυρτό σύνολο τέτοιο ώστε λk K λ 0 και K K = {0}. 3 Και εδώ βέβαια ταυτίζουμε κάθε συνάρτηση του χώρου αυτού με την κλάση ισοδυναμίας των συναρτήσεων που είναι σχεδόν παντού ίσες με αυτή. 8

39 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος δείκτη σταθερού σημείου Ορίζουμε το σύνολο: { K := r X : r ϕθίνουσα στο [0, ], δηλαδή } rz rz για σχεδόν όλα τα 0 z z X.8 Λήμμα... Το σύνολο K είναι κώνος. Απόδειξη. Αρχικά σημειώνουμε ότι το K είναι μη-κενό, αϕού περιέχει τη μηδενική συνάρτηση. Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι το σύνολο K X είναι κυρτό. r, p K και t [0, ] θα δείξουμε ότι tr + tp K. Αν t = 0 τότε tr + tp = p K. Αν t = τότε tr + tp = r K. Αν t 0, τότε tr + tp K. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το άθροισμα δύο μονότονων συναρτήσεων και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός μιας μονότονης συνάρτησης με ένα μη αρνητικό αριθμό διατηρούν τη μονοτονία. Άρα tr + tp K σε κάθε περίπτωση, και το σύνολο K είναι κυρτό. Η διατήρηση της μονοτονίας μετά από πολλαπλασιασμό μιας μονότονης συνάρτησης με έναν μη αρνητικό αριθμό αποδεικνύει άμεσα και ότι Τώρα λk = {λr X : r ϕθίνουσα στο [0, ], λ 0} K K = { r X : r ϕθίνουσα στο [0, ]} Εστω r K K τότε r K και r K. Δηλαδή έχουμε ότι για σχεδόν όλα τα 0 z z ισχύει rz rz και rz rz, δηλαδή rz = rz. Άρα rz = C R σχεδόν παντού στο [0, ] λόγω της αρτιότητας της r σχεδόν παντού στο [, ]. Αυτό συνεπάγεται rzdz = Cdz = 0 Επομένως K K = {0}, εϕόσον η τομή περιέχει μόνο την μηδενική συνάρτηση. Η κλειστότητα προκύπτει κατ αναλογία με την κλειστότητα του X στον L και του R στον L : Εστω ότι r n K και r X με r n r 0. Τότε υπάρχει μια υπακολουθία r kn r n έτσι ώστε r kn r σχεδόν παντού στο [0, ]. Τότε, αϕού για σχεδόν όλα τα 0 z z ισχύει r k n z r kn z n N, αυτό θα ισχύει και για το κατά σημείο όριο της υπακολουθίας όπου αυτό είναι το r, δηλ. rz rz, και συνεπώς r K. Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι το υποσύνολο K του X, που ορίστηκε στη σχέση.8 είναι κώνος. Εστω B s = {r X : r s} η κλειστή μπάλα στο X με ακτίνα s. Στα επόμενα θα αποδείξουμε το εξής θεώρημα: 9

40 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος δείκτη σταθερού σημείου Θεώρημα..3. Για κάθε 0 < s < ο μη-γραμμικός τελεστής T έχει τουλάχιστον ένα ιδιοδιάνυσμα στο K B s που αντιστοιχεί σε μια θετική ιδιοτιμή, δηλαδή υπάρχουν r K B s και ω > 0 τέτοια ώστε T r = ω r, όπου r = q και q η λύση της.3. Το παραπάνω θεώρημα βεβαιώνει την ύπαρξη λύσεων του μη-γραμμικού προβλήματος ιδιοτιμών.. Οι τελεστές A, T : X X ορίζονται όπως και στην ενότητα., δηλαδή: και με Arz := z+ κ z κ rz dz T rz := Cr + AV α + Arz Cr := AV α + Arzdz, όπου η σταθερά ολοκλήρωσης έχει επιλεγεί έτσι ώστε, το T r να έχει μηδενική μέση τιμή στο διάστημα μιας περιόδου. Η απόδειξη του Θεωρήματος..3 θα δοθεί και εδώ μέσω μίας σειράς λημμάτων. Ξεκινάμε με κάποια λήμματα σχετικά με τις ιδιότητες των τελεστών A και T που θα μας χρειαστούν στη συνέχεια. Λήμμα..4. Ο τελεστής A : X X είναι γραμμικός, συμπαγής με AX CR και ικανοποιεί τη σχέση: Arz r z R, r X. Απόδειξη. Η διατήρηση της αρτιότητας και της περιοδικότητας του ορίσματος r X υπό τον τελεστή A, καθώς και η γραμμικότητά του, προκύπτουν όπως στο Λήμμα... Επίσης, η διατήρηση της μηδενικής μέσης τιμής προκύπτει όπως στην απόδειξη της συμμετρικότητας του A : L L στο Λήμμα.. αν θέσουμε ρ =. Συνεχίζοντας, για κάθε r X, έχουμε z [, ]: z+ κ Arz = rz dz z κ z+ κ z κ r και άρα Ar r που συνεπάγεται και Ar = rz dz rz dz Arz dz Ar r. 30

41 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος δείκτη σταθερού σημείου Συνεπώς, ο A : X X είναι ένας ϕραγμένος γραμμικός τελεστής. Η συνέχεια του Ar για r L προκύπτει από τις ιδιότητες του ολοκληρώματος Lebesgue, αϕού για 0 < z z < κ βλ. π.χ. και την αντίστοιχη απόδειξη στο Λήμμα.. z + κ z Arz Arz rz dz κ + rz dz.9 z + κ z κ και βλ. [4, Άσκηση 6 0] f dµ 0 όταν µa 0 για f L µ, A όπου εδώ µ είναι το μέτρο Lebesgue στο,. Για την απόδειξη της συμπάγειας του A : X X χρησιμοποιούμε το Θεώρημα Kolmogorov-M.Riesz ή αλλιώς Fréchet-Kolmogorov βλ. [, Θεώρημα IV. 5] σύμ- ϕωνα με το οποίο η ϕραγμένη ακολουθία έχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία, αν Ar n Ar n r n C sup Ar n + h Ar n 0 όταν h 0. n N Αυτό όμως ισχύει εδώ, αϕού σύμϕωνα με την.9 για 0 < h < κ Ar n + h Ar n = Ar n z + h Ar n z dz z+ κ +h z+ κ r n z dz dz + z κ +h z κ r n z dz dz και από το Θεώρημα του Fubini βλ. [4, Θεώρημα 9.] έχουμε για z z +h z+h z rz dz dz = = = z z h χ [z,z+h] z rz dz dz χ [z,z+h] z dz rz dz dz rz dz = h rz dz = h r και άρα sup Ar n + h Ar n hc. n N 3

42 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος δείκτη σταθερού σημείου Λήμμα..5. Ο τελεστής T διατηρεί τον κώνο, δηλαδή T : K K. Απόδειξη. Κατάρχήν, ο τελεστής T : X X είναι καλά ορισμένος, καθώς: T rz + = Cr + AV α + Arz + = Cr + AV α + Arz = T rz T r z = Cr + AV α + Ar z T rzdz = = Cr + AV α + Arz = T rz = 0, [Cr + AV α + Arz]dz, καθώς η σταθερά Cr έχει επιλεγεί ώστε το T r να έχει μέση τιμή 0 στο διάστημα μιας περιόδου. T r = Cr + AV α + Arz dz Cr + AV α + Arz dz Cr + V α + Ar, αϕού Ar CR L, V C R και άρα V α + Ar CR L. Θα δείξουμε τώρα ότι ο T διατηρεί τη μονοτονία. Εϕόσον το δυναμικό V είναι κυρτή συνάρτηση, γνωρίζουμε ότι η παράγωγος συνάρτηση V είναι αύξουσα. Συνεπώς αρκεί να δείξουμε ότι A : K K. Εστω r K και z, z [0, ] με z z. Εϕόσον η συνάρτηση r είναι ϕθίνουσα στο διάστημα [0, ] για z z με z, z [0, ] και κ 0,, έχουμε Arz Arz = = z + κ z κ z + κ z + κ z + κ rζdζ z κ rζdζ z + κ rζdζ + rζdζ z κ 3