Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ Τμημα Μαθηματικων Τομεας Μαθηματικης Αναλυσης ΕΛΕΝΗ ΜΠΟΥΣΙΟΥ Υπαρξη και Διαμορϕωση Οδευοντων Κυματων σε Αλυσιδες Σωματιδιων ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Ιωάννινα, 04

2

3 Αϕιερώνεται στους γονείς μου, Ευάγγελο και Αγνή, και στον αδερϕό μου, Κωνσταντίνο.

4

5 Η παρούσα Μεταπτυχιακή Διατριβή εκπονήθηκε στο πλαίσιο των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΝΑΛΥΣΗ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ που απονέμει το Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. Εγκρίθηκε την /0/04 από την εξεταστική επιτροπή: Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραϕή Ιωάννης Γιαννούλης Επιβλέπων Ανδρέας Τόλιας Παναγιώτης Τσαμάτος Επίκουρος Καθηγητής Επίκουρος Καθηγητής Καθηγητής ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΔΗΛΩΣΗ Δηλώνω υπεύθυνα ότι η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε κάτω από τους διεθνείς ηθικούς και ακαδημαϊκούς κανόνες δεοντολογίας και προστασίας της πνευματικής ιδιοκτησίας. Σύμϕωνα με τους κανόνες αυτούς, δεν έχω προβεί σε ιδιοποίηση ξένου επιστημονικού έργου και έχω πλήρως αναϕέρει τις πηγές που χρησιμοποίησα στην εργασία αυτή. ΕΛΕΝΗ ΜΠΟΥΣΙΟΥ

6

7 Ευχαριστιες Με την ολοκλήρωση της μεταπτυχιακής διατριβής μου θα ήθελα να ευχαριστήσω όσους συνέβαλαν στην επιτυχή εκπόνησή της. Αρχικά, θα ήθελα να εκϕράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στον επιβλέποντά μου, Επίκουρο Καθηγητή κ. Ιωάννη Γιαννούλη για την εξαιρετικά πολύτιμη βοήθειά του καθ ολη τη διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Ειδικότερα, τον ευχαριστώ για την άψογη συνεργασία μας σε επιστημονικό επίπεδο, καθώς και για την υποστήριξη και καθοδήγησή του. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τα υπόλοιπα μέλη της τριμελούς επιτροπής, τον Επίκουρο Καθηγητή κ. Ανδρέα Τόλια και τον Καθηγητή κ. Παναγιώτη Τσαμάτο για τις σημαντικές παρατηρήσεις και διορθώσεις τους. Ακόμα, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους ϕίλους μου για την ιδιαίτερη στήριξη και συμπαράστασή τους καθ ολη τη διάρκεια των σπουδών μου. Τέλος, θα ήθελα να εκϕράσω την ευγνωμοσύνη μου στην οικογένειά μου για την στήριξή της όλα αυτά τα χρόνια.

8

9 Περιληψη Θεωρούμε μία αλυσίδα άπειρα αριθμήσιμων το πλήθος σωματιδίων μοναδιαίας μάζας. Η δυναμική συμπεριϕορά των σωματιδίων περιγράϕεται από το ακόλουθο σύστημα συζευγμένων συνήθων διαϕορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης: q n t = V q n t q n t V q n t q n+ t, n N, όπου q n t R είναι η μετατόπιση του n-οστού σωματιδίου τη χρονική στιγμή t R κατά μήκος του άξονα της αλυσίδας και η τελεία δηλώνει διαϕόριση ως προς το χρόνο. Το δυναμικό V της δύναμης αλληλεπίδρασης μεταξύ των γειτονικών σωματιδίων είναι μία κυρτή και λεία συνάρτηση. Για το παραπάνω σύστημα θα αποδείξουμε την ύπαρξη λείων λύσεων της μορϕής οδεύοντος κύματος q n t = qωt κn + βt αn, όπου q : R R είναι μία περιοδική συνάρτηση τέτοια ώστε qz = qz + z R, δηλαδή η περίοδος είναι κανονικοποιημένη και ίση με, ω R είναι η συχνότητα κύματος, κ 0, ] είναι ο κυματαριθμός, α R είναι η μέση απόσταση των σωματιδίων και β R είναι μία αυθαίρετη παράμετρος. Παρουσιάζουμε δύο αποδείξεις. Στην πρώτη θα χρησιμοποιήσουμε τη Μέθοδο Λογισμού Μεταβολών της Συναρτησιακής Ανάλυσης και στη δεύτερη θα στηριχθούμε σε τοπολογικές μεθόδους, συγκεκριμένα στο δείκτη σταθερού σημείου. Επειτα, στηριζόμενοι σε τεχνικές διατάραξης, θα περιγράψουμε τη μορϕή των ο- δευόντων κυμάτων και θα βρούμε την ασθενώς μη-γραμμική σχέση διασποράς για κύματα μικρού πλάτους. Τέλος, για κύματα μεγάλου πλάτους, θα εϕαρμόσουμε τη μέθοδο Whitham προκειμένου να βρούμε τις εξισώσεις διαμόρϕωσης για τις παραμέτρους κύματος α, β, κ και ω ως συναρτήσεις των μακροσκοπικών μεταβλητών του χώρου και του χρόνου X = ϵn, T = ϵt, 0 < ϵ. Μέσω της θεωρίας διαμόρϕωσης μεταβαίνουμε από το μικροσκοπικό σύστημα συνήθων διαϕορικών εξισώσεων σε ένα μακροσκοπικό σύστημα μερικών διαϕορικών εξισώσεων, το οποίο περιγράϕει τη δυναμική των παραμέτρων. Η εργασία κλείνει με την παρουσίαση μιας εϕαρμογής, του κρουστικού προβλήματος για αλυσίδες σωματιδίων, η οποία αποτέλεσε ένα από τα κίνητρα για την προηγούμενη ανάλυση. Η εργασία στηρίζεται στο μεγαλύτερό της μέρος στην πρωτότυπη εργασία των Filip και Βενακίδη []. i

10 Abstract We consider a chain of countably infinite particles of unit mass. The dynamics of the particles is described by the following system of coupled ordinary differential equations q n t = V q n t q n t V q n t q n+ t, n N, where q n t R is the displacement of the n-th particle along the chain axis at time t R, and where the dot denotes derivation with respect to time. The potential V of the interaction force between neighboring particles is a smooth and convex function. For this system we show the existence of smooth solutions of the form of traveling waves q n t = qωt κn + βt αn, where q : R R is a periodic function such that qz = qz + z R, i.e., the period is normalized and equal to, ω R is the frequency of the wave, κ 0, ] is the wave number, α R is the mean distance between particles, and β R is an arbitrary constant. We present two proofs: the first one uses the Calculus of Variations of Functional Analysis, while the second one is based on topological methods, more precisely on the fixed point index. Subsequently, we describe with the help of perturbation techniques the form of the traveling waves and the weakly-nonlinear dispersion relation for waves of small amplitude. Finally, for waves of arbitrary amplitude, we apply Whitham s method in order to derive the modulation equations for the wave parameters α, β, κ and ω as functions of the macroscopic variables of space and time X = ϵn, T = ϵt, 0 < ϵ. By use of modulation theory we pass from the microscopic system of ordinary differential equations to a macroscopic system of partial differential equations which describes the dynamics of the wave parameters. This work is completed with the presentation of an application, the shock problem for particle chains, which constituted one of the motivations for the previous analysis. The thesis relies on its biggest part on the original work of Filip and Venakides []. ii

11 Περιεχομενα Περίληψη Abstract i ii Εισαγωγή 3 Υπαρξη οδευόντων κυμάτων σε αλυσίδες σωματιδίων 7. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Μέθοδος δείκτη σταθερού σημείου Μη-γραμμική διόρθωση οδευόντων κυμάτων μικρού πλάτους 45 4 Διαμορϕωμένα οδεύοντα κύματα Οι εξισώσεις διαμόρϕωσης του Whitham Οι εξισώσεις διαμόρϕωσης για αυτοόμοια μεταβλητή Οι παράμετροι διαμόρϕωσης ως συναρτήσεις του πλάτους κύματος Εϕαρμογή: Το κρουστικό πρόβλημα σε αλυσίδες σωματιδίων 75 Βιβλιογραϕία 79

12

13 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ Εισαγωγη Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή πραγματεύεται τη διάδοση οδευόντων κυμάτων σε ένα διακριτό, μη-γραμμικό μονοδιάστατο μέσο. Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιούμε ως μοντέλο μία αλυσίδα άπειρα αριθμήσιμων το πλήθος πανομοιότυπων σωματιδίων μοναδιαίας μάζας, η δυναμική συμπεριϕορά του οποίου δίνεται από ένα άπειρα αριθμήσιμο σύστημα συζευγμένων συνήθων διαϕορικών εξισώσεων, το οποίο υπαγορεύεται από τον δεύτερο νόμο κίνησης του Newton. Αν V : R R είναι το δυναμικό, τα σωματίδια κινούνται σύμϕωνα με τις αλληλεπιδράσεις του πλησιέστερου γείτονα υπό την επίδραση του δυναμικού και η αλυσίδα σωματιδίων έχει την ακόλουθη μορϕή: q n t = V q n t q n t V q n t q n+ t, n N.. Εδώ q n t R είναι η μετατόπιση του n-οστού σωματιδίου τη χρονική στιγμή t R κατά μήκος του άξονα της αλυσίδας και η τελεία δηλώνει διαϕόριση ως προς το χρόνο. Υποθέτουμε στην εργασία αυτή ότι το δυναμικό V της δύναμης αλληλεπίδρασης μεταξύ γειτονικών σωματιδίων είναι μια κυρτή και λεία συνάρτηση, δηλαδή V C R και V α > 0 α R. Για ειδικές περιπτώσεις δυναμικού, το παραπάνω σύστημα είναι γνωστό ως πλήρως ολοκληρώσιμο βλ. Κεϕάλαιο 5. Για παράδειγμα, εκτός από το αρμονικό δυναμικό V x = x που οδηγεί σε ένα γραμμικό σύστημα, το δυναμικό Toda V x = e x +x καθιστά την. ολοκληρώσιμο σύστημα, δηλαδή, τελείως γενικά, ένα σύστημα ειδικής μορϕής για την μελέτη του οποίου μπορούν να χρησιμοποιηθούν ειδικά προσαρμοσμένες σε αυτό τεχνικές. Εδώ, η μόνη μας απαίτηση είναι το δυναμικό να είναι μια κυρτή και λεία συνάρτηση. Ενώ η υπόθεση ότι είναι λεία συνάρτηση είναι τεχνική, η κυρτότητα είναι θεμελιώδης, καθώς συνεπάγεται ότι όσο η απόσταση μεταξύ των σωματιδίων αυξάνεται, τόσο η δύναμη που ασκείται σε αυτά τα εξαναγκάζει περισσότερο στο να πλησιάσουν το ένα το άλλο. Αυτό αποτελεί γενίκευση των ιδιοτήτων του γραμμικού νόμου του Hooke, σύμϕωνα με τον οποίο η δύναμη που ασκείται για την συμπίεση ή την επιμήκυνση κατά μια απόσταση x ενός ελατηρίου είναι γραμμική ως προς την απόσταση και οδηγεί στην ευστάθεια των λύσεων του συστήματος. Για το σύστημα Σ.Δ.Ε.. θα αποδείξουμε καταρχήν στο Κεϕάλαιο την ύπαρξη λείων και περιοδικών λύσεων οδεύοντος κύματος της μορϕής: q n t = qωt κn + βt αn, όπου q : R R είναι περιοδική συνάρτηση τέτοια ώστε qz = qz+ z R δηλαδή η περίοδος είναι κανονικοποιημένη και ίση με, ω R είναι η συχνότητα κύματος, 3

14 Κεϕάλαιο κ 0, ] είναι ο κυματαριθμός, ο οποίος είναι αντιστρόϕως ανάλογος του μήκους κύματος, α R είναι η μέση απόσταση των σωματιδίων και β R είναι μια σταθερά που μπορεί να επιλεγεί ως αυθαίρετη παράμετρος και η οποία δηλώνει ότι η αλυσίδα μεταϕέρεται ως έχει με ταχύτητα β. Στο Κεϕάλαιο θα ασχοληθούμε με την αυστηρά μαθηματική απόδειξη μιας τριπαραμετρικής οικογένειας λύσεων με παραμέτρους α, κ, ω σε δύο διαϕορετικούς χώρους συναρτήσεων και με δύο διαϕορετικές μεθόδους. Πιο συγκεκριμένα, στην πρώτη ενότητα χρησιμοποιούμε τη Μέθοδο Λογισμού Μεταβολών της Συναρτησιακής Ανάλυσης και στη δεύτερη στηριζόμαστε σε τοπολογικές μεθόδους και συγκεκριμένα στο δείκτη σταθερού σημείου. Σημειώνουμε ότι η μέθοδος του δείκτη σταθερού σημείου μας παρέχει περισσότερες πληροϕορίες αναϕορικά με τη μορϕή των λύσεων, δηλαδή σχετικά με τη μορϕή του κύματος. Η ύπαρξη κυμάτων ειδικής μορϕής έχει μελετηθεί και αλλού. Πιο συγκεκριμένα, οι Friesecke και Wattis στην εργασία τους [], απέδειξαν το 994 την ύπαρξη σολιτονοειδών κυμάτων solitary waves όπου κ = 0, δηλαδή το μήκος του κύματος είναι άπειρο. Επίσης, μία κατασκευαστική απόδειξη ύπαρξης οδευόντων κυμάτων μικρού πλάτους ή ισοδύναμα μικρής ενέργειας μη-ολοκληρώσιμης αλυσίδας παρουσιάστηκε το 995 από τους Deift, Kriecherbauer και Βενακίδη [5]. Η γενική περίπτωση ύπαρξης οδευόντων κυμάτων μελετήθηκε στην εργασία [] των Filip και Βενακίδη, τα αποτελέσματα της οποίας παρουσιάζει η παρούσα διατριβή. Ακόμα, στο [3] ο Herrmann ενοποίησε το 00 τις εργασίες [] και [], απλοποίησε σε σημαντικό βαθμό τις αποδείξεις τους, και εξειδίκευσε τα σχετικά αποτελέσματα. Στο Κεϕάλαιο 3, εϕαρμόζουμε τεχνικές διαταραχών perturbation methods ή αλλιώς τη μέθοδο πολλαπλών κλιμάκων, προκειμένου να περιγράψουμε τη μορϕή των οδευόντων κυμάτων μικρού πλάτους και τη σχέση διασποράς ως μη γραμμικές διορθώσεις των αντίστοιχων του γραμμικοποιημένου προβλήματος. Οι μέθοδοι διαταραχών ουσιαστικά είναι απλώς μία εϕαρμογή του Θεωρήματος του Taylor σε πιο πολύπλοκα συστήματα. Η μέθοδος των διαταραχών που παρουσιάζουμε στο Κεϕάλαιο 3 δίνει μια ικανοποιητική περιγραϕή των λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων για κύματα διασποράς, όπως είναι η., όταν το πλάτος του κύματος είναι μικρό, καθώς οι λύσεις του μη γραμμικού προβλήματος βρίσκονται κοντά στις λύσεις του γραμμικοποιημένου προβλήματος. Για τον λόγο αυτό τα αντίστοιχα μη γραμμικά προβλήματα, ονομάζονται ως προσεγγίσεις γραμμικών προβλημάτων ασθενώς μη γραμμικά weakly nonlinear. Αν θέλουμε να πούμε κάτι για τα πλήρως μη γραμμικά fully nonlinear προβλήματα, οι μέθοδοι διαταταραχών δεν επαρκούν. Στο Κεϕάλαιο 4 εισάγουμε μια νέα έννοια, αυτή του διαμορϕωμένου οδεύοντος κύματος modulated traveling wave. Η θεωρία των διαμορϕωμένων οδευόντων κυμάτων προάχθηκε κυρίως από τον G. B. Whitham τη δεκαετία του 60 και είναι η κατάλληλη θεωρία για την περιγραϕή πλήρως μη γραμμικών εξισώσεων κυμάτων διασποράς, όπου δηλαδή δεν θεωρούμε τις μη γραμμικές λύσεις ως προσεγγίσεις του γραμμικοποιημένου προβλήματος. Η θεωρία χρησιμοποιεί ως εργαλείο τον Λογισμό Μεταβολών, όπως Κύματα διασποράς είναι αυτά όπου η ταχύτητα ϕάσης ωκ κ ω κ. διαϕέρει από την ταχύτητα ομάδας 4

15 Κεϕάλαιο αυτός εισήχθη καταρχήν στην Κλασική Μηχανική και του οποίου το αντίστοιχο στη Συναρτησιακή Ανάλυση είναι η εύρεση σημείων ακροτάτων ενός μη γραμμικού συναρτησοειδούς σε έναν κατάλληλο χώρο Banach. Η ιδέα είναι ότι έχοντας ένα περιοδικό οδεύον κύμα μιας μη γραμμικής εξίσωσης με κάποιες παραμέτρους, τότε αν αυτές οι παράμετροι μεταβληθούν μακροσκοπικά στο χώρο και στο χρόνο θα έχουμε πάλι μια λύση της μη γραμμικής εξίσωσης κύματος, η οποία θα προσεγγίζει το οδεύον κύμα. Με τον όρο μακροσκοπικά εννοούμε ότι οι κλίμακες στις οποίες συντελούνται οι μεταβολές των παραμέτρων είναι πολύ μεγαλύτερες από την κλίμακα μιας περιόδου. Στην περίπτωσή μας αυτό εκϕράζεται εισάγοντας τις μακροσκοπικές μεταβλητές του χώρου και του χρόνου X = ϵn, T = ϵt, όπου 0 < ϵ. Επομένως, μέσω της θεωρίας διαμόρϕωσης μεταβαίνουμε από ένα μικροσκοπικό σύστημα συνήθων διαϕορικών εξισώσεων σε ένα μακροσκοπικό σύστημα μερικών διαϕορικών εξισώσεων. Πλέον τα διαμορϕωμένα οδεύοντα κύματα είναι προσεγγιστικές λύσεις του. και είναι της μορϕής: q n t = ϵ ΨX, T + q ϵ ΘX, T + Oϵ, όπου η q είναι μία περιοδική συνάρτηση με κανονικοποιημένη περίοδο ίση με και οι λείες συναρτήσεις Ψ και Θ είναι η διαμορϕωμένη θέση και ϕάση αντίστοιχα. Οι παράμετροι των διαμορϕωμένων κυμάτων είναι πεδία που εξαρτώνται από τις μεταβλητές X, T και καθορίζονται από τις συναρτήσεις Ψ και Θ μέσω των σχέσεων: ωx, T = Θ T X, T, κx, T = Θ X X, T, βx, T = Ψ T X, T, αx, T = Ψ X X, T. Προκειμένου να βρούμε τις εξισώσεις διαμόρϕωσης εϕαρμόζουμε τη μέθοδο Whitham, η οποία όπως είπαμε είναι ουσιαστικά μια μέθοδος Λογισμού Μεταβολών, και αποδεικνύουμε ότι αυτές δίνονται από το παρακάτω συντηρητικό σύστημα: α α M X β κ + N β T κ = 0, ω ω όπου οι πίνακες και M = V α F αα 0 F ακ 0 N = F ακ 0 F κκ F ωω 0 F αω F αω 0 F ωk F ωω 0 0 F ωω 0 5

16 Κεϕάλαιο είναι πραγματικοί και συμμετρικοί. Οι εξισώσεις διαμόρϕωσης περιγράϕουν την μακροσκοπική εξέλιξη των παραμέτρων οδευόντων κυμάτων ω, κ, β, α. Ωστόσο μέχρι σήμερα η θεωρία διαμόρϕωσης για αλυσίδες σωματιδίων δεν είναι πλήρως κατανοημένη και παραμένουν πολλά ανοικτά ερωτήματα, τα οποία αποτελούν ισχυρό κίνητρο για αριθμητικά πειράματα. Το βασικότερο ανοικτό ερώτημα είναι η έλλειψη αυστηρής μαθηματικής τεκμηρίωσης για γενικά κυρτά και λεία δυναμικά V. Για αυστηρές δικαιολογήσεις ειδικών δυναμικών, βλ. [7], [8], [9] και [3]. Τέλος, το Κεϕάλαιο 5 δίνει μια εϕαρμογή όλων των προηγουμένων. Το κεϕάλαιο αυτό θα μπορούσε να είναι και το πρώτο στη σειρά καθώς η συγκεκριμένη εϕαρμογή, το κρουστικό πρόβλημα shock-problem για την αλυσίδα σωματιδίων., αποτέλεσε και το κίνητρο για την εργασία [] της Anne-Marie Filip και του Στέϕανου Βενακίδη, στην οποία στηρίζεται η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή. Στο πρόβλημα αυτό στόχος είναι η περιγραϕή της χρονικά ασυμπτωτικής συμπεριϕοράς t των κυμάτων της αλυσίδας., όταν αυτή πιέζεται από ένα έμβολο όπως περίπου πιέζει ένα έμβολο το υγρό μέσα σε μια σύριγγα. Μετά από αρκετές σχετικές προγενέστερες εργασίες που αναλύουν το πρόβλημα για ένα συγκεκριμένο V, το οποίο καθιστά την αλυσίδα ένα ολοκληρώσιμο σύστημα, και πληθώρα αριθμητικών πειραμάτων, οι συγγραϕείς θέλησαν να αναλύσουν το συγκεκριμένο πρόβλημα για γενικές αλυσίδες, όπου υποθέτουν μόνο ότι το V είναι κυρτό. Η ανάλυση της ειδικής περίπτωσης δείχνει ότι η καλύτερη περιγραϕή των κυμάτων δίνεται ασυμπτωτικά στην κρίσιμη περιοχή του κρουστικού κύματος από ένα διαμορϕωμένο οδεύον κύμα. Για το λόγο αυτό απέδειξαν καταρχήν την ύπαρξη οδευόντων κυμάτων Κεϕάλαιο της παρούσας εργασίας, μελέτησαν την μορϕή των λύσεων για κύματα μικρού πλάτους Κεϕάλαιο 3 και εξήγαγαν τις εξισώσεις διαμόρϕωσης του Whitham Κεϕάλαιο 4. Στο κρουστικό πρόβλημα και για t οι λύσεις έχουν αυτοόμοια self-similar συμπεριϕορά, δηλαδή εξαρτώνται από την μεταβλητή ξ = n t = X T. Συνεπώς, αυτό που ενδιαϕέρει είναι οι εξισώσεις του Whitham σε αυτήν την περίπτωση Κεϕάλαιο 4. Τις εξισώσεις αυτές οι συγκεκριμένοι συγγραϕείς τις ανέλυσαν αριθμητικά, και χρησιμοποιούν τα αποτελέσματα αυτής της ανάλυσης για να ερμηνεύσουν την διαϕορετική συμπεριϕορά της αλυσίδας για διαϕορετικές ταχύτητες του εμβόλου. Παρόλα αυτά, στη γενική του μορϕή, το κρουστικό πρόβλημα παραμένει ακόμα από αναλυτικής άποψης σε πολλά σημεία ανοικτό. Μια λεπτομερής περιγραϕή του προβλήματος, της πορείας των αποτελεσμάτων, τουλάχιστον μέχρι την εργασία [], αλλά και του κινήτρου για την μελέτη αλυσίδων σωματιδίων γενικότερα, θα βρει ο α- ναγνώστης στην εισαγωγή του Κεϕαλαίου 5, το οποίο και ολοκληρώνει την παρούσα εργασία. Θα θέλαμε να κλείσουμε τη μικρή αυτή εισαγωγή, αναϕέροντας ότι για δυναμικά V x = x + α 3 x3 + β 4 x4, α, β > 0, η αλυσίδα σωματιδίων. ονομάζεται αλυσίδα των Fermi-Pasta-Ulam FPU chain ή όπως προτάθηκε από κάποιον βλ. [0] αλυσίδα Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou - και μελετήθηκε αριθμητικά από τους ονομαζόμενους το 955 στο Los Alamos National Laboratory στο Νέο Μεξικό των Η.Π.Α., οδηγώντας σε απρόσμενα αποτελέσματα, τα οποία είχαν μια σημαντικότατη συνεισϕορά στη θεωρία των μη γραμμικών κυμάτων. Για μια εκλαϊκευμένη και ενδιαϕέρουσα αϕήγηση παραπέμπουμε τον αναγνώστη στο [7]. 6

17 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ Υπαρξη οδευοντων κυματων σε αλυσιδες σωματιδιων Θεωρούμε μία αλυσίδα άπειρα αριθμήσιμων το πλήθος σωματιδίων μοναδιαίας μάζας γειτονικά σωματίδια της οποίας αλληλεπιδρούν μεταξύ τους σύμϕωνα με τον Νόμο του Hooke. Η δυναμική συμπεριϕορά των σωματιδίων υπαγορεύεται από τον δεύτερο νόμο του Newton και περιγράϕεται μαθηματικά από το ακόλουθο άπειρα αριθμήσιμο σύστημα συζευγμένων συνήθων διαϕορικών εξισώσεων: q n t = V q n t q n t V q n t q n+ t, n N,. όπου q n t R είναι η μετατόπιση του n-οστού σωματιδίου τη χρονική στιγμή t R κατά μήκος του άξονα της αλυσίδας και η τελεία δηλώνει διαϕόριση ως προς το χρόνο. Υποθέτουμε ότι το δυναμικό V της δύναμης αλληλεπίδρασης μεταξύ γειτονικών σωματιδίων είναι μια κυρτή και λεία συνάρτηση. Για το Σ.Δ.Ε.. θα αποδείξουμε την ύπαρξη λείων και περιοδικών λύσεων οδεύοντος κύματος της μορϕής: q n t = qωt κn + βt αn,. όπου q : R R είναι περιοδική συνάρτηση τέτοια ώστε qz = qz + z R δηλαδή η περίοδος είναι κανονικοποιημένη και ίση με, ω R είναι η συχνότητα κύματος, κ 0, ] είναι ο κυματαριθμός, ο οποίος είναι αντιστρόϕως ανάλογος του μήκους κύματος, α R είναι η μέση απόσταση των σωματιδίων και β R είναι μία αυθαίρετη παράμετρος. Αντικαθιστώντας τον τύπο. στην εξίσωση. και θέτοντας z = ωt κn προκύπτει ότι: q n t = qωt κn + κ + βt αn + α, q n+ t = qωt κn κ + βt αn α, q n t q n t = qωt κn + κ qωt κn + α = qz + κ qz + α, q n t q n+ t = qωt κn qωt κn κ + α = qz qz κ + α. Επομένως για λύσεις της μορϕής. η. γίνεται ω q z = V qz + κ qz + α V qz qz κ + α,.3 7

18 Κεϕάλαιο η οποία θέτοντας rz := q z γράϕεται ισοδύναμα ω r z = V [α + z+κ z rz dz ] V [α + z z κ rz dz ]..4 Για λόγους απλοποίησης της τελευταίας θέτουμε gz = V α + z+ κ z κ rz dz και η.4 παίρνει τη μορϕή: ω r z = g z + κ g z κ..5 Ολοκληρώνοντας την εξίσωση.5 ως προς z προκύπτει ότι: z+ κ ω rz = Cr + gz dz,.6 z κ δηλαδή αναπτυγμένα z+ κ ω z rz = Cr + V α + κ + rz dz dz,.7 z κ z κ όπου η σταθερά ολοκλήρωσης ισούται με: Cr = z+ κ z κ z V α + κ + rz dz dz dz.8 z κ και έχει επιλεγεί έτσι ώστε η συνάρτηση r να έχει μέση τιμή 0 στο διάστημα μίας περιόδου, όπως προκύπτει αν ολοκληρώσουμε την εξίσωση.7. Προκειμένου να έχουμε μία πιο συμπαγή μορϕή της εξίσωσης.7, θα ορίσουμε τους παρακάτω τελεστές, των οποίων τα πεδία ορισμού και τιμών θα προσδιοριστούν στη συνέχεια ανάλογα με την μέθοδο που θα χρησιμοποιήσουμε: και με Arz := z+ κ z κ rz dz.9 T rz := Cr + AV α + Arz.0 Cr := AV α + Arzdz, όπου στα επόμενα προϋποθέτουμε ότι κ 0, ]. Παρατήρηση.0.. Οι τελεστές A και T που ορίσαμε παραπάνω εξαρτώνται από τον κυματαριθμό κ. Άρα ως τώρα και σε καθαρά υπολογιστικό επίπεδο formally, δηλαδή χωρίς αυστηρή δικαιολόγηση και εξέταση του καλά ορισμένου των παραπάνω μαθηματικών αντικειμένων, έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: 8

19 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Θεώρημα.0.. Για λύσεις της μορϕής. το Σ.Δ.Ε.. είναι ισοδύναμο με το μη-γραμμικό πρόβλημα ιδιοτιμών όπου T είναι ο τελεστής που δίνεται από τη σχέση.0. T r = ω r,. Τονίζουμε ότι η εξίσωση. προέκυψε εισάγοντας τους συμβολισμούς.9 και.0 στην εξίσωση.7. Στο υπόλοιπο του Κεϕαλαίου θα ασχοληθούμε με την μαθηματικά αυστηρή απόδειξη της ύπαρξης μιας τριπαραμετρικής οικογένειας λύσεων με παραμέτρους α, κ, ω σε δύο διαϕορετικούς χώρους συναρτήσεων και με δύο διαϕορετικές μεθόδους. Πιο συγκεκριμένα στην Ενότητα. θα χρησιμοποιήσουμε την Μέθοδο Λογισμού Μεταβολών της Συναρτησιακής Ανάλυσης και ο χώρος των λύσεων είναι ο { R := r : R R : r, L,, rz = rz +, rz = r z σ.π., } rzdz = 0, όπου με σ.π. εννοούμε σχεδόν παντού ως προς το μέτρο Lebesgue, και όπου όλα τα ολοκληρώματα εδώ και στα επόμενα νοούνται κατά Lebesgue. Στην Ενότητα., θα χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες του δείκτη σταθερού σημείου και ο χώρος θα είναι ο { X := r : R R : r, L,, rz = rz +, rz = r z σ.π., rzdz = 0 }. Να σημειωθεί ότι ο χώρος X περιέχει περισσότερες πληροϕορίες σχετικά με τη μορϕή των λύσεων.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Ο R, εϕοδιασμένος με το εσωτερικό γινόμενο r, h := είναι χώρος Hilbert ως κλειστός υπόχωρος του L := L per rzhzdz, r, h R,, { = r : R R : r, L, }, rz = rz + σ.π., 9

20 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών ο οποίος είναι ισομετρικά ισόμορϕος με τον χώρο L,. Η κλειστότητα προκύπτει ως εξής: Αν r n R με r n r L, τότε υπάρχει μια υπακολουθία r kn με r kn r σχεδόν παντού στο, βλ. π.χ. [4, Προτάσεις 8.5 και.9]. Συνεπώς, αν οι r n είναι άρτιες, τότε και η r θα είναι άρτια. Επίσης, σύμϕωνα με την ανισότητα Hölder ή Cauchy-Schwarz, rzdz = rzdz r n zdz r n r 0, όπου r = r, r η νόρμα των χώρων L και R. Θεώρημα... Για οποιαδήποτε τριάδα α, κ, s παραμέτρων του κύματος με 0 < κ <, κ / Q, και 0 < s < υπάρχει μία -περιοδική και λεία συνάρτηση στη σϕαίρα Σ s = {r R : r = s} και ένας αριθμός ω > 0 που ικανοποιεί την εξίσωση., δηλαδή το μη-γραμμικό πρόβλημα ιδιοτιμών T r = ω r, όπου ο τελεστής T ορίστηκε παραπάνω από τη σχέση.0. Το πρόβλημα. είναι ισοδύναμο του αρχικού μας προβλήματος., με r = q. Η απόδειξη του παραπάνω Θεωρήματος.. θα δοθεί σταδιακά χρησιμοποιώντας τα παρακάτω λήμματα. Αναϕέρουμε καταρχήν κάποιες ιδιότητες του τελεστή A, όπως αυτός ορίστηκε μέσω της.9. Λήμμα... Ο τελεστής A : R R είναι γραμμικός, συμπαγής, αυτοσυζυγής με AR CR και ικανοποιεί τη σχέση: Arz κ r, z R, r R. Απόδειξη. Καταρχήν θα δείξουμε ότι ο A : R R είναι καλά ορισμένος. Για κάθε r L και για κάθε z R, έχουμε: z+ κ Arz = rz dz z κ z+ κ rz dz z+ κ dz z κ όπου χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα Hölder z κ r [z ] z+ κ z κ κ r, από το οποίο προκύπτει ότι Ar, L,, αϕού Ar = Arz dz κ r.. Εδώ βέβαια ταυτίζουμε κάθε συνάρτηση του χώρου αυτού με την κλάση ισοδυναμίας των συναρτήσεων που είναι σχεδόν παντού ίσες με αυτή. 0

21 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Ανάλογα προκύπτει και η συνέχεια της Ar για r L, αϕού για κάθε z z με z z < έχουμε: Arz Arz = = z + κ z κ z + κ z + κ z + κ rζdζ z κ z κ rζdζ z κ rζdζ rζdζ z + κ z + κ z z r. z κ rζdζ + rζdζ z κ Επίσης, για κάθε άρτια r L η Ar είναι περιοδική και άρτια, αϕού για κάθε z R έχουμε: Arz + = όπου θέσαμε ζ := ζ, και επίσης = z++ κ z+ κ z+ κ z κ = Arz, rζdζ rζ + dζ όπου θέσαμε ζ := ζ. Ar z = = = z+ κ z κ z κ z+ κ z+ κ z κ = Arz, rζdζ r ζ dζ rζ dζ Ο A : L L όμως είναι και γραμμικός, και άρα, σύμϕωνα με τα προηγούμενα, ένας ϕραγμένος γραμμικός τελεστής. Πράγματι, έστω r, q L τότε z R Για λόγους απλούστευσης χρησιμοποιούμε καταχρηστικά το ίδιο σύμβολο για τον τελεστή A : L L, που ορίζεται μέσω της.9, όπως και για τον περιορισμό του A : R R, τον οποίο θα χρησιμοποιήσουμε στα επόμενα.

22 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Ar + qz = = = z+ κ z κ z+ κ z κ z+ κ z κ r + qz dz = Arz + Aqz. Επίσης, έστω r L και λ R τότε z R Aλrz = Άρα ο τελεστής A είναι γραμμικός. = = λ rz + qz dz z+ κ rz dz + qz dz z κ z+ κ z κ z+ κ z κ z+ κ z κ = λarz. λrz dz λrz dz rz dz Συνεχίζουμε δείχνοντας ότι ο ϕραγμένος γραμμικός τελεστής A : L L είναι και συμπαγής, δηλαδή ότι κάθε ϕραγμένη ακολουθία r n L έχει μια υπακολουθία r kn, τέτοια ώστε η Ar kn να συγκλίνει μέσα στο L όταν n. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε το Θεώρημα Arzela-Ascoli στην ακόλουθη μορϕή βλ. [8, Θεώρημα 7.5]: Θεώρημα..3. Εστω Ω R συμπαγές και {f n } μια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων από το Ω στο R. Αν η ακολουθία f n είναι:. ομοιόμορϕα ϕραγμένη, δηλαδή M > 0 σταθερά ώστε f n M, n N. ομοιόμορϕα ισοσυνεχής δηλαδή ϵ > 0 δ > 0, ώστε αν x y < δ τότε f n x f n y ϵ, n N, τότε η ακολουθία {f n } έχει μία ομοιόμορϕα συγκλίνουσα υπακολουθία στο Ω. Στην περίπτωσή μας, έστω r n L ϕραγμένη, δηλαδή C > 0 : r n C, τότε από τα προηγούμενα και την ανισότητα Arz κ r, προκύπτει ότι η Ar n CR είναι ομοιόμορϕα ϕραγμένη και ισοσυνεχής, αϕού sup Ar n z Ar n y z y r z y C 0, n

23 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών όταν z y 0. Δηλαδή η Ar n είναι ισοσυνεχής. Συνεπώς, σύμϕωνα με το Θεώρημα Arzela-Ascoli, υπάρχει υπακολουθία r kn, τέτοια ώστε η Ar kn να συγκλίνει ομοιόμορϕα στο [, ], και άρα και μέσα στο L, αϕού Ar kn Ar km Ar kn Ar km,.3 όπου ρ := max { ρz : z [, ]} για ρ C [, ]. Η συμπάγεια του A : L L συνεπάγεται και τη συμπάγεια του περιορισμού του A : R R, αϕού ο R είναι κλειστός υπόχωρος του L. Δείχνουμε τώρα ότι ο τελεστής A : L L είναι αυτοσυζυγής, δηλαδή συμμετρικός. Αυτό προκύπτει από την περιοδικότητα των συναρτήσεων του χώρου L. Πιο συγκεκριμένα, έστω r, ρ L. Τότε z+ κ Ar, ρ = rz dz ρz dz = rzρz dz, z, D z κ όπου D := { z, z R : z,, z z < κ }, και z+ κ r, Aρ = rz ρz dz dz = rzρz dz, z, D z κ όπου D := { z, z R : z,, z z < κ }. Ομως, όπου και D = D A [, + B] και D = D B [, + A], D := D [, ] [, ] = D [, ] [, ], A := { z, z R : < z < +κ, z κ < z < }, B := { z, z R κ : < z <, < z < z + κ },,+A,+B rzρz dz, z = rzρz dz, z = Από τα προηγούμενα προκύπτει: Ar, ρ = r, Aρ. A B rzρz dz, z, rzρz dz, z. Τέλος, η συμμετρία του A : L L συνεπάγεται και ότι AR R, αϕού Arzdz = = Ar, = r, A = κ = 0. Arzdz rzdz 3

24 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Από τις προηγούμενες ιδιότητες του τελεστή A προκύπτουν οι ακόλουθες για τον τελεστή T. Πόρισμα..4. Ο τελεστής T : R R που ορίστηκε τυπικά μέσω της.0 είναι καλά ορισμένος. Απόδειξη. Αϕού Ar R CR και V C R, η συνάρτηση AV α+ar είναι καλά ορισμένη, συνεχής, περιοδική και άρτια στο R για κάθε r R, και αϕού το ολοκλήρωμα της T r στο, έχει από κατασκευή μέση τιμή μηδέν, προκύπτει ότι T r R για κάθε r R. Λήμμα..5. Η εικόνα της κλειστής μπάλας B s = {r R : r s} μέσω του τελεστή T που ορίζεται από τη σχέση.0 είναι ϕραγμένη s 0. Απόδειξη. Εστω r B s. Από το Λήμμα.., r R με r = s <, έχουμε Arz κ r κs, z R. Αϕού το δυναμικό V είναι μία κυρτή και λεία συνάρτηση, η παράγωγος V είναι αύξουσα συνάρτηση. Οπότε, προκύπτει: και κv α κs AV α + Arz = Επομένως, z+ κ z κ V α + Arζdζ κv α + κs κv α + κs Cr = AV α + Arzdz κv α κs. κ V α κs V α + κs T rz κ V α + κs V α κs, όπου ο τελεστής T δίνεται από τη σχέση.0. Οπότε, T rz C α, κ, s z R T r C α, κ, s, όπου το C α, κ, s είναι μία σταθερά που εξαρτάται από τις παραμέτρους α, κ, s. Επομένως το T B s είναι ϕραγμένο s 0. Η ιδέα του Λογισμού Μεταβολών είναι η εύρεση λύσεων εξισώσεων ως σημείων ακροτάτων συναρτησοειδών. Στην περίπτωσή μας, ορίζουμε το συναρτησοειδές U α : R R με τύπο U α r := V α + Arzdz Το συναρτησοειδές αυτό είναι καλά ορισμένο αϕού Ar CR και V C R. Επίσης είναι εν γένει μη-γραμμικό λόγω της μη-γραμμικότητας της συνάρτησης V. 4

25 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Θεώρημα..6. Το συναρτησοειδές U α έχει παράγωγο Fréchet τον τελεστή T : R R, δηλαδή T r = U α r R r R. Ειδικότερα ισχύει U α r + th U α r lim = T r, h, r R,.4 t 0 t και η σύγκλιση είναι ομοιόμορϕη ως προς h R με h =. Απόδειξη. Εστω r, h R με h =. Εϕαρμόζουμε το Θεώρημα Taylor για να αναπτύξουμε τη συνάρτηση V γύρω από το σημείο α + Arz και παρατηρούμε ότι: U α r + th U α r t = = + t [V α + Arz + tahz V α + Arz]dz t V α + ArztAhzdz t V α + Arz + τtahzahz dz, όπου 0 < τ < t. Σημειώνουμε ότι Ahz κ, όπου κ σταθερά, ανεξάρτητη του h R, h =. Για 0 < τ < t < προκύπτει ότι: V α + Arz + τtahzahz dz κ max{v α+ρ : ρ κ+ r }, εϕόσον Arz + τtahz κ r + και Ahz κ. Συνεπώς U α r + th U α r sup V α + ArzAhzdz 0 για t 0, h Σ t όπου Σ := {h R : h = }, δηλαδή U α r + th U α r V α + ArzAhzdz t 0 για t 0 ομοιόμορϕα ως προς h Σ. Εξάλλου, V α + ArzAhzdz = = = T r, h, AV α + Arzhzdz T rzhzdz Cr hzdz εϕόσον ο τελεστής A : L L είναι αυτοσυζυγής και hzdz = 0. 5

26 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Το T r είναι η παράγωγος Fréchet του U α στο r, δηλαδή T r = U α r. Πράγματι, υπενθυμίζουμε ότι η παράγωγος Fréchet του U α : R R στο r R, όπου R χώρος Banach, είναι ο τελεστής U α r R για τον οποίο ισχύει U α r + h U α r U α rh h 0, όταν h 0. Ειδικότερα σε χώρους Hilbert ισχύει το Θεώρημα Αναπαράστασης Riesz: Θεώρημα..7. Η F : R R με F rρ := ρ, r r, ρ R, όπου R χώρος Hilbert, είναι ισομετρία, δηλαδή η F είναι γραμμική, και επί, με F r = r r R. Συνεπώς, ταυτίζοντας το F r := U α r R με το r := U α r R έχουμε Δηλαδή, ή, ισοδύναμα, U α r + h U α r h, U α r h U α r + h U α r U α r, h h 0, όταν h 0. 0, όταν h 0, ϵ > 0 δ > 0 r R, h 0, δ : U α r + h h h Uα r U α r, h h h < ϵ..5 h Ομως σύμϕωνα με την εξίσωση.4 έχουμε ϵ > 0 δ > 0 t R, t 0, δ h R, h = : U α r + t h U α r T r, t h t το οποίο από την.5 συνεπάγεται ότι το T r είναι η παράγωγος Fréchet του U α στο r, δηλαδή T r = U α r. Στα επόμενα θα χρησιμοποιούμε συχνά τον συμβολισμό U α r για τον τελεστή T. Αϕού ταυτίσαμε τον τελεστή T με την παράγωγο Fréchet U α του συναρτησοειδούς U α, στόχος μας είναι στα επόμενα, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του συναρτησοειδούς, να δείξουμε ότι κάθε σημείο ολικού μεγίστου αυτού είναι λύση της εξίσωσης.. Ετσι στα επόμενα συλλέγουμε υπό τη μορϕή λημμάτων κάποιες ιδιότητες του συναρτησοειδούς και της παραγώγου του, τις οποίες κατόπιν συνθέτουμε για την απόδειξη του προαναϕερθέντος αποτελέσματος. Λήμμα..8. Εστω r ένα σημείο τοπικού ακροτάτου του συναρτησοειδούς U α στο R. Τότε το r είναι ένα κρίσιμο σημείο του U α στο R, δηλαδή U α r = 0. < ϵ, 6

27 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι το r είναι ένα τοπικό ελάχιστο του συναρτησοειδούς U α στο R. Τότε υπάρχει μία περιοχή V r R του r τέτοια ώστε: U α r U α r r V r..6 Η σχέση.6 είναι απλά ο ορισμός του τοπικού ελαχίστου. Εστω h R \ {0}. Τότε υπάρχει α > 0 τέτοιο ώστε r + th V r, t α, α. Επομένως από τη σχέση.6 προκύπτει ότι: U α r U α r + th t α, α, εϕόσον η ανισότητα.6 ισχύει r V r και έχουμε ότι r +th V r. Συγκεκριμένα, t 0, α U α r U α r + th, ή U α r + th U α r 0. t Από το Θεώρημα..6, h R \ {0} και t 0, α έχουμε ότι: U α r, h = lim t 0 t 0, α Αϕού U α r, 0 = 0, ισχύει δηλαδή ότι U α r, h 0 h R. U α r + th U α r..7 t Θέτοντας h = U α r στη σχέση.7, έχουμε: U α r, U α r 0 U α r, U α r 0 U α r, U α r 0 U α r 0. Επομένως U α r = 0. Δηλαδή το r είναι κρίσιμο σημείο του U α r. Αν το r είναι τοπικό μέγιστο, τότε υπάρχει περιοχή V r R του r τέτοια ώστε U α r U α r r V r, και έπεται ότι αλλάζει η ϕορά όλων των ανισοτήτων. Λήμμα..9. Ο τελεστής A : R R έχει τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u n := πn sinπnκ, e nz := cosπnz, z R, n N και ο πυρήνας του για κ Q είναι ο τετριμμένος. 7

28 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Απόδειξη. Οπως είναι γνωστό από τη θεωρία των σειρών Fourier βλ. π.χ. [8, Κε- ϕάλαιο 8] ο χώρος των -περιοδικών, άρτιων L, -συναρτήσεων έχει την ορθοκανονική βάση e n, n N {0}, όπου e 0 z = και e n z = cosπnz n, z R, και ο υπόχωρός του, R, των συναρτήσεων που επιπλέον έχουν μέση τιμή 0, έχει την ορθοκανονική βάση e n, n N. Ενας απλός υπολογισμός αποδεικνύει ότι Ae n = u n e n, n N, αϕού Ae n z = z+ k z k cosπnζdζ = [ sin πnz + k πn sin πnz k ] = sinπnz cosπnk + cosπnz sinπnk πn sinπnz cosπnk + cosπnz sinπnk = πn sinπnk cosπnz Άρα Ae n = u n e n, όπου u n = πn sinπnk n N. Από τα προηγούμενα και τη συνέχεια του A : R R προκύπτει ότι ο πυρήνας του είναι ο Ker A = span{e n : u n = 0, n N} και είναι τετριμμένος όταν n N : u n 0, δηλαδή n N m Z : nκ m, δηλαδή κ Q. Λήμμα..0. Αν το r είναι κρίσιμη τιμή του συναρτησοειδούς U α, δηλαδή U α r = 0, τότε r = 0, αν κ / Q. Απόδειξη. Από το Θεώρημα..6 ξέρουμε ότι T r = U α r, δηλαδή U α r = Cr+ AV α + Ar. Επομένως, για r = r έχουμε U α r = AV α + Ar + Cr. Αν το r είναι κρίσιμη τιμή του συναρτησοειδούς U α στο R, τότε: U α r = 0 AV α + Ar = Cr..8 Από το Λήμμα..9 και αϕού η Cr είναι σταθερά συνεπάγεται ότι όπου C είναι σταθερά. V α + Ar C,.9 8

29 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Αϕού η V ως μονότονη είναι, η σχέση.9 ισχύει αν και μόνο αν Ar C 3, όπου η C 3 είναι σταθερά. Οπότε πάλι από το Λήμμα..9 έχουμε ότι r C 4, z [, ],.0 όπου η C 4 είναι σταθερά, και αϕού r R, έχει μέση τιμή 0 στο διάστημα μίας περιόδου. Ολοκληρώνοντας τη σχέση.0 έχουμε: r zdz = C 4 dz 0 = C 4 [z] 0 = C 4. Επομένως η συνάρτηση r είναι η μηδενική z [, ]. Παρατήρηση... Η προϋπόθεση κ Q στο Λήμμα..0 είναι αναγκαία σύμ- ϕωνα με το Λήμμα..9 και προστέθηκε στο Λήμμα.8 του πρωτοτύπου [] για να διατηρηθεί το περιεχόμενο του συμπεράσματος, δηλαδή ότι ο πυρήνας του T : R R είναι ο τετριμμένος, στο οποίο στηρίζεται η απόδειξη. Παρ όλα αυτά, ο περιορισμός σε άρρητες τιμές του κυματαριθμού κ δεν είναι απαραίτητος, αν χρησιμοποιηθεί η μέθοδος λογισμού μεταβολών σε μια γενικότερη μορϕή που οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα όπως εδώ και για ρητές τιμές του κ, βλ. [3]. Λήμμα... Ο τελεστής T = U α : R R είναι μονότονος και συμπαγής. Απόδειξη.. Για να δείξουμε ότι ο T = U α είναι μονότονος τελεστής, αρκεί να δείξουμε ότι U α r U α r, r r 0, r, r R.. Εϕόσον r, r R, που είναι διανυσματικός χώρος, θα ισχύει και r r R. Επομένως r z r z dz = 0. Δηλαδή η διαϕορά των συναρτήσεων έχει μέση τιμή 0 στο διάστημα μιας περιόδου. Οπότε η σχέση. γράϕεται ισοδύναμα ως εξής: [Cr + AV α + Ar z Cr AV α + Ar z]r z r zdz 0 [AV α + Ar z AV α + Ar z]r z r zdz 0, ή, επειδή ο A είναι γραμμικός και αυτοσυζυγής τελεστής, [V α + Ar z V α + Ar z]ar z Ar zdz 0. 9

30 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Το δυναμικό V είναι κυρτή συνάρτηση, επομένως η παράγωγος του V είναι αύξουσα. Οπότε, r, r R, έπεται ότι οι ποσότητες V α+ar z V α+ar z και Ar z Ar z θα έχουν το ίδιο πρόσημο στο διάστημα μιας περιόδου. Άρα ισχύει ότι: Δηλαδή, [V α + Ar z V α + Ar z]ar z Ar zdz 0. U α r U α r, r r 0 r, r R, που σημαίνει ότι ο τελεστής T είναι μονότονος.. Θα δείξουμε τώρα ότι ο τελεστής T = U α : R R είναι συμπαγής, δηλαδή ότι είναι συνεχής και ότι κάθε ϕραγμένη ακολουθία r n R έχει μία υπακολουθία r kn έτσι ώστε η T r kn να συγκλίνει. Πρώτα δείχνουμε ότι ο T είναι συνεχής τελεστής. Πράγματι, για r, r R έχουμε από τον ορισμό.8 του Cr, την γραμμικότητα του A : L L και τις ανισότητες.,.3 Cr Cr A [ V α + Ar V α + Ar ] κ V α + Ar V α + Ar και AV α + Ar AV α + Ar A [ V α + Ar V α + Ar ], που από τον ορισμό.0 του T : R R συνεπάγεται T r T r κ V α + Ar V α + Ar. Ομως, αϕού V C R, έχουμε από το Θεώρημα Μέσης Τιμής και την ανισότητα. V α + Ar V α + Ar Mr, r Ar Ar, όπου Mr, r := max{ V x : x [α κ r + r, α + κ r + r ]}, και συνεπώς από την ανισότητα.3 T r T r κmr, r r r, που αϕού η M : R R R είναι τοπικά ϕραγμένη συνεπάγεται τη συνέχεια του T : R R καθώς και την Lipschitz-συνέχεια των περιορισμών του T σε ϕραγμένα υποσύνολα του R, αϕού T r T r κ M s Ar Ar κm s r r,. για r, r s, όπου M s := max{ V x : x [α s κ, α + s κ}. Επειδή T 0 = 0, από την τελευταία ανισότητα προκύπτει και ότι η εικόνα της κλειστής μπάλας B s := {r R : r s}, s > 0, υπό τον T είναι ϕραγμένη. 0

31 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Τέλος, η συμπάγεια του T προκύπτει από την συμπάγεια του A. Πράγματι, αν r n B s για κάποιο s > 0, υπάρχει υπακολουθία r kn r n τέτοια ώστε η Ar kn R να συγκλίνει, δηλ. είναι ακολουθία Cauchy. Από την πρώτη ανισότητα της. προκύπτει ότι και η T r kn είναι ακολουθία Cauchy στο χώρο Hilbert R, δηλαδή συγκλίνει. Λήμμα..3. Το συναρτησοειδές U α είναι συνεχές στο R ως προς την ασθενή τοπολογία, δηλαδή U α r n U α r όταν r n r ασθενώς, δηλαδή όταν r n, ρ r, ρ για κάθε ρ R. Απόδειξη. Εστω r n r ασθενώς στο χώρο Hilbert R. Αϕού η ακολουθία των ϕραγμένων γραμμικών συναρτησοειδών T n ρ := r n, ρ, ρ R, n N, με T n = r n προκύπτει από την ανισότητα Cauchy-Schwarz είναι κατά σημείο ρ R ϕραγμένη ως συγκλίνουσα, είναι και ομοιόμορϕα ϕραγμένη Αρχή Ομοιόμορϕου Φράγματος, βλ. [, Θεώρημα 7.], δηλ. η ακολουθία T n = r n είναι ϕραγμένη. Εστω τώρα ότι δεν ισχύει U α r n U α r, δηλαδή υπάρχει ένα ϵ > 0 και μια υπακολουθία r kn r n με U α r kn U α r ϵ. Θέτοντας ft := U α r + tr kn r, t R, έχουμε από το Θεώρημα Μέσης Τιμής και το Θεώρημα..6 U α r kn U α r = f f0 = f t kn Επίσης, έχουμε = lim t 0 ft kn + t ft kn t U α r + t kn r kn r + tr kn r U α r + t kn r kn r = lim t 0 t = U α r + t kn r kn r, r kn r, t kn 0,. r + t kn r kn r r + t kn r kn r r + r kn r t kn, όπου το r είναι σταθερό, το t kn είναι ϕραγμένο και r kn r 0. Επομένως το r + t kn r kn r είναι ϕραγμένο. Από το Λήμμα.., έχουμε ότι ο U α = T είναι συμπαγής τελεστής. Οπότε r R και μια υπακολουθία k m της k n ώστε: Δηλαδή, ισχυρώς στον R και γράϕουμε: lim U αr + t km r km r r = 0. m U α r + t km r km r r U α r + t km r km r, r km r = U α r + t km r km r + r r, r km r = r, r km r + U α r + t km r km r r, r km r

32 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών Ομως, καθώς m προκύπτει ότι r, r km r 0, εϕόσον r km αϕού r km είναι υπακολουθία της r kn. Επίσης r ασθενώς, U α r + t km r km r, r km r U α r + t km r km r r km r C U α r + t km r km r 0, όπου η πρώτη ανισότητα προέκυψε από την ανισότητα Cauchy-Schwarz και η δεύτερη από το ότι η r km είναι ϕραγμένη. Επομένως, U α r km U α r = U α r + t km r km r r, r km r 0. Δηλαδή, lim k U α r km = U α r που οδηγεί σε αντίϕαση με τη σχέση U α r kn U α r ϵ. Άρα το συναρτησοειδές U α είναι συνεχές στο R ως προς την ασθενή τοπολογία. Λήμμα..4.. Το συναρτησοειδές U α λαμβάνει το μέγιστό του όταν περιορίζεται στην κλειστή μπάλα B s = {r R : r s}.. Το ολικό μέγιστο του συναρτησοειδούς U α βρίσκεται στη σϕαίρα Σ s = {r R : r = s}. Απόδειξη.. Ορίσαμε το συναρτησοειδές U α : R R με τύπο U α r := V α + Arzdz Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση δυναμικού V είναι συνεχής και μάλιστα ισχύει ότι V α + Arz C α, κ, s := max{ V x : x [α κs, α + κs]} z [, ], εϕόσον Arz κ r κs, z [, ]. Επομένως: U α r = C α, κ, s V α + Arzdz V α + Arz dz C α, κ, s, dz

33 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών όπου C α, κ, s μια σταθερά που εξαρτάται από τις παραμέτρους α, κ, s και προ- ϕανώς ανήκει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Επομένως το συναρτησοειδές U α είναι ϕραγμένο στην B s και άρα η εικόνα της υπό το U α έχει ελάχιστο άνω ϕράγμα, έστω d. Άρα, r B s ισχύει U α r d. Επίσης r n ακολουθία στην B s τέτοια ώστε lim n U α r n = d. Ως γνωστόν η κλειστή μπάλα B s είναι συμπαγής ως προς την ασθενή τοπολογία, αϕού ο R, ως χώρος Hilbert, είναι ανακλαστικός βλ. π.χ. [, Θεώρημα 3.6]. Συνεπώς r nj υπακολουθία της r n στην B s, η οποία συγκλίνει ασθενώς σε κάποιο r B s. Οπότε lim j U α r nj = d. Ακόμα, από την συνέχεια του U α ως προς την ασθενή τοπολογία που αποδείχθηκε στο Λήμμα..3, έχουμε ότι: U α r = lim j U α r nj = d. Τότε U α r = d και r B s ισχύει U α r d, δηλαδή το U α έχει ολικό μέγιστο στην B s στο σημείο r B s.. Σύμϕωνα με τα Λήμματα..8 και..0, ξέρουμε ότι το μοναδικό πιθανό σημείο τοπικού ακροτάτου του U α στο εσωτερικό της κλειστής μπάλας B s είναι το r = 0. Θα δείξουμε ότι ϵ > 0 υπάρχει ένα στοιχείο r R με r > 0 τέτοιο ώστε U α r > U α 0, που σημαίνει ότι το r = 0 δεν είναι σημείο τοπικού μεγίστου για το U α το οποίο υπάρχει σύμϕωνα με το του παρόντος Λήμματος. Επομένως το U α λαμβάνει μέγιστο στο B s και άρα αυτό θα βρίσκεται στο σύνορο της κλειστής μπάλας και όχι στο εσωτερικό της. Εστω r = ϵ cosπ R όπου r = = r zdz [ ϵ cosπz] dz = ϵ = ϵ cos z πzdz = ϵ + + cos4πz dz = ϵ + 0 = ϵ, cos 4πzdz όπου ϵ > 0 ένας μικρός πραγματικός αριθμός. Άρα r > 0. Εϕαρμόζουμε τον τύπο του Taylor για το V α + Ar z, γύρω από το σημείο α: U α r U α 0 = V α + Ar zdz V α.3 3

34 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών = V α Ar zdz + V α + 6 Ar z dz V α + τar zar z 3 dz, όπου 0 < τ <. Παρατηρούμε ότι: Ar zdz = 0. Επειτα, V α > 0 μιας και η V είναι λεία και κυρτή, και Ar z dz = ϵ sin πκ π > 0 για κ 0, Πράγματι, A cosπz = z+ κ cosπz dz z κ πz+πκ = cos xdx π πz πκ = sinπz + πκ sinπz πκ π Ξέρουμε από τους τριγωνομετρικούς τύπους ότι ισχύει: και άρα sinπz ± πκ = sin πz cos πκ ± cos πz sin πκ sinπz + πκ sinπz πκ = cos πz sin πκ A cosπz = sin πκ π cos πz από το οποίο προκύπτει A cosπzdz = 0, A cosπz dz = sin πκ π 4 = sin πκ π, cos πzdz

35 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών όπου sin πκ π > 0 κ / Z, το οποίο ισχύει για κ 0,. Συνεπώς ο πρώτος όρος του αναπτύγματος.3 εξαϕανίζεται και ο δεύτερος όρος είναι θετικός και της τάξης Oϵ. Τέλος, από το Λήμμα.., ξέρουμε ότι: Ar z κ r κϵ, όπου κ είναι σταθερά. Επίσης η συνάρτηση δυναμικού V είναι λεία και άρα το V είναι συνεχής συνάρτηση. Οπότε ο τελευταίος όρος της εξίσωσης.3, δηλαδή ο V α + τar zar z 3 dz 6 είναι ϕραγμένος και μάλιστα της τάξης Oϵ 3 για ϵ 0, αϕού C > 0 έτσι ώστε ϵ 0, ϵ 0 ]: Επομένως 6 V α + τϵϵ 3 dz ϵ 3 C. U α r U α 0 = ϵ V α sin πκ π ϵc > 0 για αρκούντως μικρά ϵ, δηλαδή ισχύει ότι U α r > U α 0. Οπότε το r = 0 δεν είναι το μέγιστο του συναρτησοειδούς U α r. Λήμμα..5. Το ολικό μέγιστο του συναρτησοειδούς U α r στη σϕαίρα Σ s = {r R : r = s}, s > 0 ικανοποιεί την εξίσωση., T r = ω r. Απόδειξη. Από το Λήμμα..4 έχουμε ότι το συναρτησοειδές U α λαμβάνει το ολικό του μέγιστο στο σύνορο της κλειστής μπάλας B s, δηλαδή στη σϕαίρα Σ s = {r R : r = s}. Εστω U α r = max U α r. Θα δείξουμε ότι το r λύνει το μη-γραμμικό Σ s πρόβλημα ιδιοτιμών T r = ω r. Ορίζουμε ως R τον μονοδιάστατο υπόχωρο του R που παράγεται από το r. Ο R είναι κλειστός υπόχωρος του R. Ως R ορίζουμε τον ορθοσυμπληρωματικό υπόχωρο του R στον R. Δηλαδή, R := {r R :< r, r >= 0} με τον οποίο ισχύει R = R R. Δηλαδή κάθε στοιχείο του R γράϕεται κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα στοιχείων του R και R. Επιλέγουμε ένα τυχαίο διάνυσμα h R με h = s άρα h Σ s και θεωρούμε την οικογένεια διανυσμάτων: r = + mϵ r + ϵh 5

36 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών όπου m, ϵ R, η οποία ανήκει στον γραμμικό υπόχωρο του R που παράγεται από τα ορθογώνια διανύσματα r, h. Προκειμένου να ανήκει το r στην σϕαίρα, δηλαδή να ισχύει r Σ s, όπου r = s θα πρέπει: r = + mϵ r + ϵh Εϕαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα, καθώς τα διανύσματα r και h είναι ορθογώνια. Οπότε, θα προκύψει: r = + mϵ r + ϵh s = + mϵ r + ϵ h = + mϵ s + ϵ s = + mϵ + ϵ = + mϵ + m ϵ + ϵ ϵm + m ϵ + ϵ = 0 Επομένως για ϵ 0 έχουμε την εξής δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς m: Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα: m ϵ + m + ϵ = 0. = 4 4ϵ = 4 ϵ > 0 για ϵ 0,. Οπότε προκύπτουν δυο πραγματικές άνισες λύσεις: m, = ± ϵ. ϵ Επιλέγουμε m = + ϵ ϵ. Πολλαπλασιάζοντας με την συζυγή παράσταση του αριθμητή θα έχουμε: m = + ϵ ϵ ϵ ϵ = = ϵ ϵ ϵ ϵ + ϵ, από το οποίο βλέπουμε ότι m 0, καθώς ϵ 0, και για τέτοια m και r = +mϵ r+ϵh, όπου r Σ s έχουμε την παρακάτω σχέση, εϕόσον το συναρτησοειδές U α έχει Fréchet παράγωγο: U α r U α r = U α r, mϵ r + ϵh + R r, mϵ r + ϵh, 6

37 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος λογισμού μεταβολών όπου το υπόλοιπο R ικανοποιεί: R r, mϵ r + ϵh ϵ αϕού σύμϕωνα με το Θεώρημα..7: U α r + mϵ r + ϵh U α r mϵ r + ϵh = R r, mϵ r + ϵh mϵ r + ϵh m r + h 0 για ϵ 0,.4 U α r, mϵ r + ϵh mϵ r + ϵh = R r, mϵ r + ϵh mϵ r + ϵh = o για ϵ 0.5 και αϕού m 0 για ϵ 0. Ισοδύναμα, η.4 γράϕεται με χρήση των συμβόλων Landau R r, mϵ r + ϵh = oϵ για ϵ 0. Από το m 0 για ϵ 0 προκύπτει και ότι και επομένως έχουμε συνολικά Ũα r, mϵ r = oϵ για ϵ 0 U α r U α r = ϵ U α r, h + oϵ, για ϵ 0..6 Αλλά το r είναι σημείο ολικού ακροτάτου του συναρτησοειδούς U α στην κλειστή μπάλα B s, οπότε σε καμία περιοχή του r το αριστερό μέλος της εξίσωσης.6, δηλαδή η διαϕορά U α r U α r δεν αλλάζει πρόσημο για ϵ δ, δ για δ αρκούντως μικρό. Ομως αυτό είναι δυνατό μόνο αν: U α r, h = 0 h R. Άρα το U α r h και εϕόσον αυτό ισχύει h R, θα έχουμε ότι U α r R. Οπότε U α r R. Ο R είναι μονοδιάστατος υπόχωρος του R, ο οποίος παράγεται από το διάνυσμα r. Συνεπώς το U α γράϕεται σαν πολλαπλάσιο του διανύσματος r. Δηλαδή υπάρχει πραγματικός αριθμός ω τέτοιος ώστε: Από τη σχέση.7 έχουμε: U α r = ω r..7 U α r, r = ω r, r U α r, r = ω r, r U α r, r = ω r U α r, r = ω s ω = s U α r, r Εϕόσον το U α είναι μονότονος τελεστής,το οποίο συνεπάγεται U α r, r 0 r R, και σύμϕωνα με το Λήμμα..0 ξέρουμε ότι U α r 0, προκύπτει ό- τι U α r, r > 0, αϕού αν ήταν ίσο με το μηδέν, τότε ω = 0 και άρα από την.7 U α r = 0. Επομένως ω > 0. 7

38 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος δείκτη σταθερού σημείου Λήμμα..6. Κανονικότητα της λύσης Για λείο δυναμικό V η λύση r R της. είναι λεία και το ολοκλήρωμά της είναι μια λύση της μορϕής. της.. Απόδειξη. Οπως είδαμε στο Λήμμα.., αϕού r R, έχουμε Ar CR, και από τη συνέχεια της V προκύπτει ότι η V α + Ar είναι συνεχής. Άρα, από τον ορισμό του A, το αριστερό μέλος της., T r = Cr + AV α + Ar, είναι C R, και συνεπώς από το δεξιό μέλος της. έχουμε ότι η r C R. Από αυτό προκύπτει Ar C R, το οποίο, αν V C 3 R, δίνει ανάλογα με πριν T r C 3 R, δηλαδή r C 3 R. Συνεχίζοντας έτσι επαγωγικά έχουμε r C R, αν V C R. Επίσης, αϕού η r R είναι -περιοδική και άρτια με μέση τιμή μηδέν, το ολοκλήρωμά της, q, θα είναι μια -περιοδική, περιττή και λεία συνάρτηση που με την αντιστοίχιση., όπου το ω δίνεται από την., επιλύει την.. Παρατήρηση..7. Το Λήμμα κανονικότητας της λύσης..6 έχει ως αποτέλεσμα την αυστηρή δικαιολόγηση της εξαγωγής της. από την. για λύσεις της μορϕής., αϕού δικαιολογούνται τώρα όλες οι πράξεις που οδήγησαν στην., και μέσω της επιτρεπτής πια αντιστροϕής των πράξεων αυτών αποδεικνύεται και η ισοδυναμία των δύο εξισώσεων.. Μέθοδος δείκτη σταθερού σημείου Θεωρούμε το χώρο { X := r : R R : r, L,, rz = rz +, rz = r z σ.π., rzdz = 0 }, εϕοδιασμένο με την νόρμα r := rz dz, r X. Ο X είναι χώρος Banach ως κλειστός υπόχωρος του L := L per, { = r : R R : r, L, }, rz = rz + σ.π., ο οποίος είναι ισομετρικά ισόμορϕος με τον χώρο L,. 3 Η κλειστότητα προκύπτει όπως και στην ανάλογη περίπτωση της προηγούμενης παραγράϕου, όπου δείξαμε ότι ο R είναι κλειστός υπόχωρος του L, αντικαθιστώντας την L -νόρμα εκεί με την L -νόρμα εδώ. Ορισμός... Εστω X χώρος Banach. Λέγοντας κώνο K X, εννοούμε ένα μη-κενό, κλειστό και κυρτό σύνολο τέτοιο ώστε λk K λ 0 και K K = {0}. 3 Και εδώ βέβαια ταυτίζουμε κάθε συνάρτηση του χώρου αυτού με την κλάση ισοδυναμίας των συναρτήσεων που είναι σχεδόν παντού ίσες με αυτή. 8

39 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος δείκτη σταθερού σημείου Ορίζουμε το σύνολο: { K := r X : r ϕθίνουσα στο [0, ], δηλαδή } rz rz για σχεδόν όλα τα 0 z z X.8 Λήμμα... Το σύνολο K είναι κώνος. Απόδειξη. Αρχικά σημειώνουμε ότι το K είναι μη-κενό, αϕού περιέχει τη μηδενική συνάρτηση. Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι το σύνολο K X είναι κυρτό. r, p K και t [0, ] θα δείξουμε ότι tr + tp K. Αν t = 0 τότε tr + tp = p K. Αν t = τότε tr + tp = r K. Αν t 0, τότε tr + tp K. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το άθροισμα δύο μονότονων συναρτήσεων και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός μιας μονότονης συνάρτησης με ένα μη αρνητικό αριθμό διατηρούν τη μονοτονία. Άρα tr + tp K σε κάθε περίπτωση, και το σύνολο K είναι κυρτό. Η διατήρηση της μονοτονίας μετά από πολλαπλασιασμό μιας μονότονης συνάρτησης με έναν μη αρνητικό αριθμό αποδεικνύει άμεσα και ότι Τώρα λk = {λr X : r ϕθίνουσα στο [0, ], λ 0} K K = { r X : r ϕθίνουσα στο [0, ]} Εστω r K K τότε r K και r K. Δηλαδή έχουμε ότι για σχεδόν όλα τα 0 z z ισχύει rz rz και rz rz, δηλαδή rz = rz. Άρα rz = C R σχεδόν παντού στο [0, ] λόγω της αρτιότητας της r σχεδόν παντού στο [, ]. Αυτό συνεπάγεται rzdz = Cdz = 0 Επομένως K K = {0}, εϕόσον η τομή περιέχει μόνο την μηδενική συνάρτηση. Η κλειστότητα προκύπτει κατ αναλογία με την κλειστότητα του X στον L και του R στον L : Εστω ότι r n K και r X με r n r 0. Τότε υπάρχει μια υπακολουθία r kn r n έτσι ώστε r kn r σχεδόν παντού στο [0, ]. Τότε, αϕού για σχεδόν όλα τα 0 z z ισχύει r k n z r kn z n N, αυτό θα ισχύει και για το κατά σημείο όριο της υπακολουθίας όπου αυτό είναι το r, δηλ. rz rz, και συνεπώς r K. Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι το υποσύνολο K του X, που ορίστηκε στη σχέση.8 είναι κώνος. Εστω B s = {r X : r s} η κλειστή μπάλα στο X με ακτίνα s. Στα επόμενα θα αποδείξουμε το εξής θεώρημα: 9

40 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος δείκτη σταθερού σημείου Θεώρημα..3. Για κάθε 0 < s < ο μη-γραμμικός τελεστής T έχει τουλάχιστον ένα ιδιοδιάνυσμα στο K B s που αντιστοιχεί σε μια θετική ιδιοτιμή, δηλαδή υπάρχουν r K B s και ω > 0 τέτοια ώστε T r = ω r, όπου r = q και q η λύση της.3. Το παραπάνω θεώρημα βεβαιώνει την ύπαρξη λύσεων του μη-γραμμικού προβλήματος ιδιοτιμών.. Οι τελεστές A, T : X X ορίζονται όπως και στην ενότητα., δηλαδή: και με Arz := z+ κ z κ rz dz T rz := Cr + AV α + Arz Cr := AV α + Arzdz, όπου η σταθερά ολοκλήρωσης έχει επιλεγεί έτσι ώστε, το T r να έχει μηδενική μέση τιμή στο διάστημα μιας περιόδου. Η απόδειξη του Θεωρήματος..3 θα δοθεί και εδώ μέσω μίας σειράς λημμάτων. Ξεκινάμε με κάποια λήμματα σχετικά με τις ιδιότητες των τελεστών A και T που θα μας χρειαστούν στη συνέχεια. Λήμμα..4. Ο τελεστής A : X X είναι γραμμικός, συμπαγής με AX CR και ικανοποιεί τη σχέση: Arz r z R, r X. Απόδειξη. Η διατήρηση της αρτιότητας και της περιοδικότητας του ορίσματος r X υπό τον τελεστή A, καθώς και η γραμμικότητά του, προκύπτουν όπως στο Λήμμα... Επίσης, η διατήρηση της μηδενικής μέσης τιμής προκύπτει όπως στην απόδειξη της συμμετρικότητας του A : L L στο Λήμμα.. αν θέσουμε ρ =. Συνεχίζοντας, για κάθε r X, έχουμε z [, ]: z+ κ Arz = rz dz z κ z+ κ z κ r και άρα Ar r που συνεπάγεται και Ar = rz dz rz dz Arz dz Ar r. 30

41 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος δείκτη σταθερού σημείου Συνεπώς, ο A : X X είναι ένας ϕραγμένος γραμμικός τελεστής. Η συνέχεια του Ar για r L προκύπτει από τις ιδιότητες του ολοκληρώματος Lebesgue, αϕού για 0 < z z < κ βλ. π.χ. και την αντίστοιχη απόδειξη στο Λήμμα.. z + κ z Arz Arz rz dz κ + rz dz.9 z + κ z κ και βλ. [4, Άσκηση 6 0] f dµ 0 όταν µa 0 για f L µ, A όπου εδώ µ είναι το μέτρο Lebesgue στο,. Για την απόδειξη της συμπάγειας του A : X X χρησιμοποιούμε το Θεώρημα Kolmogorov-M.Riesz ή αλλιώς Fréchet-Kolmogorov βλ. [, Θεώρημα IV. 5] σύμ- ϕωνα με το οποίο η ϕραγμένη ακολουθία έχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία, αν Ar n Ar n r n C sup Ar n + h Ar n 0 όταν h 0. n N Αυτό όμως ισχύει εδώ, αϕού σύμϕωνα με την.9 για 0 < h < κ Ar n + h Ar n = Ar n z + h Ar n z dz z+ κ +h z+ κ r n z dz dz + z κ +h z κ r n z dz dz και από το Θεώρημα του Fubini βλ. [4, Θεώρημα 9.] έχουμε για z z +h z+h z rz dz dz = = = z z h χ [z,z+h] z rz dz dz χ [z,z+h] z dz rz dz dz rz dz = h rz dz = h r και άρα sup Ar n + h Ar n hc. n N 3

42 Κεϕάλαιο.. Μέθοδος δείκτη σταθερού σημείου Λήμμα..5. Ο τελεστής T διατηρεί τον κώνο, δηλαδή T : K K. Απόδειξη. Κατάρχήν, ο τελεστής T : X X είναι καλά ορισμένος, καθώς: T rz + = Cr + AV α + Arz + = Cr + AV α + Arz = T rz T r z = Cr + AV α + Ar z T rzdz = = Cr + AV α + Arz = T rz = 0, [Cr + AV α + Arz]dz, καθώς η σταθερά Cr έχει επιλεγεί ώστε το T r να έχει μέση τιμή 0 στο διάστημα μιας περιόδου. T r = Cr + AV α + Arz dz Cr + AV α + Arz dz Cr + V α + Ar, αϕού Ar CR L, V C R και άρα V α + Ar CR L. Θα δείξουμε τώρα ότι ο T διατηρεί τη μονοτονία. Εϕόσον το δυναμικό V είναι κυρτή συνάρτηση, γνωρίζουμε ότι η παράγωγος συνάρτηση V είναι αύξουσα. Συνεπώς αρκεί να δείξουμε ότι A : K K. Εστω r K και z, z [0, ] με z z. Εϕόσον η συνάρτηση r είναι ϕθίνουσα στο διάστημα [0, ] για z z με z, z [0, ] και κ 0,, έχουμε Arz Arz = = z + κ z κ z + κ z + κ z + κ rζdζ z κ rζdζ z + κ rζdζ + rζdζ z κ 3

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης Ενότητα 2: Πραγματική Ανάλυση Μιχ. Μ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Συμβολισμοί Σε αναλογία με τους ορισμούς συμβολίζουμε μια ακολουθία: 1 είτε μέσω του διανυσματικού ορισμού, παραθέτοντας αναγκαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim Άσκηση: Η προβολή στην τομή δύο υποχώρων Αν P, Q είναι δύο ορθές προβολές σε έναν χώρο Hilbert H και R = P Q είναι η προβολή στην τομή im P im Q, δείξτε ότι, για κάθε x H, Rx = lim (P QP ) x = lim (P Q)

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Τρεις ισοδύναμες μορφές: () = = = = Σειρές Fourier j( 2π ) t Τ.. x () t FS a jω0t xt () = ae =

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική

Διαβάστε περισσότερα

convk. c i c i t i. c i u i c < c i φ i (F (ω)) c < ( ) c i m i < i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

convk. c i c i t i. c i u i c < c i φ i (F (ω)) c < ( ) c i m i < i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Ολοκλήρωση συναρτήσεων με τιμές σε χώρους Baach Αν (Ω, S, µ είναι χώρος μέτρου και (X, είναι χώρος Baach, μια συνάρτηση F : Ω X θα λέγεται ασθενώς μετρήσιμη (αντίστοιχα, ασθενώς ολοκληρώσιμη αν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

Συντελεστές και σειρές Fourier

Συντελεστές και σειρές Fourier Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Σειρές Fourier: Προσέγγιση Οι Σειρές Fourier μπορούν να αναπαραστήσουν μια πολύ μεγάλη κλάση περιοδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

iωb = curl E. (Faraday s law) (2)

iωb = curl E. (Faraday s law) (2) Το φασματικό πρόβλημα σε μια διανισοτροπική κοιλότητα Ευτυχία Η. Αργυροπούλου, Ανδρέας Δ. Ιωαννίδης Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Linnaeus University, Σουηδία EME 2013, Καρδίτσα Ευτυχία

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα Μιχάλης Παπαδημητράκης Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα 1 Παράγωγος στο. Ας θυμηθούμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)

Διαβάστε περισσότερα

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, 6-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την απόδειξη του Θεωρήματος που διατυπώσαμε στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος. Απόδειξη. [α] Θεωρούμε συνάρτηση f : A R και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κεφάλαιο Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund, Katznelson 4 και Stein and Shakarchi.. Μερικά βασικά περί μιγαδικών αριθμών Υποθέτουμε ως γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Δρ Παντελής Λιόλιος Σχολή Μηχανικών Ορυκτών Πόρων Πολυτεχνείο Κρήτης http://minelabmredtucgr Τελευταία ενημέρωση: 28 Φεβρουαρίου 2017 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers

Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers Kefˆlaio 2 Je rhma Joh L mma Dvoretzky-Rogers 2.1 Elleiyoeidèc mègistou ìgkou eìc kurtoô s matoc Ορισμός 2.1.1. Ελλειψοειδές στον R είναι ένα κυρτό σώμα της μορφής { } (2.1.1) E = x R x, v i 2 : 1, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός Κεφάλαιο Πολυώνυμα Taylor Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή στα πολυώνυμα Taylor. Τα πολυώνυμα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις μιας συνάρτησης γύρω από ένα σημείο, και έχουν

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης.

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κεφάλαιο 1 Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Stein and Shakarchi 2009 και Wheeden 2015. 1.1 Μέτρο Lebesgue στο R Αν E R το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα