Τπολογισμός Διαγράμματος Διασποράς Μονοδιάστατων και Δισδιάστατων Πλασμονικών Κυματοδηγών

Transcript

1 ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΗΛΕΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ ΣΟΜΕΑ ΣΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Τπολογισμός Διαγράμματος Διασποράς Μονοδιάστατων και Δισδιάστατων Πλασμονικών Κυματοδηγών Διπλωματική Εργασία του Δημητρίου κούρα Επιβλέπων Καθηγητής: Εμμανουήλ Κριεζής ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΙΟΤΛΙΟ 21

2

3 Πρόλογος Στο τελευταίο έτος φοίτησής μου στο τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης μου δόθηκε η ευκαιρία να εξερευνήσω τον κόσμο της πλασμονικής. Αποτέλεσμα της ενασχόλησης αυτής είναι η παρούσα διπλωματική εργασία. Είναι εκπληκτικό το γεγονός ότι υπάρχει έντονη κινητικότητα γύρω από το αντικείμενο και η αρθρογραφία είναι εκτενής. Αντικατοπτρίζεται με αυτόν τον τρόπο το εύρος των εφαρμογών, στις οποίες ενδέχεται να αξιοποιηθεί η τεχνολογία αυτή. Σκοπός της εργασίας είναι η μελέτη της διάδοσης των πολαριτονίων επιφανειακών πλασμονίων (surface plasmon polaritons, SPPs) σε βασικές πλασμονικές δομές. Αρχικά, παρατίθεται μια εισαγωγή στις ιδιότητες των μετάλλων στις οπτικές συχνότητες. Με βάση αυτήν την ανάλυση διερευνώνται οι ιδιότητες της απλούστερης πλασμονικής δομής, της δομής μετάλλου/διηλεκτρικού (Insulator Metal, IM). Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα συχνοτικά και γεωμετρικά διαγράμματα διασποράς των μονοδιάστατων πλασμονικών δομών διηλεκτρικού/μετάλλου/διηλεκτρικού (Insulator Metal Insulator, IMI) και μετάλλου/διηλεκτρικού/μετάλλου (Metal Insulator Metal, MIM). Τέλος, μελετώνται οι επιφανειακοί ρυθμοί πλασμονίων στον δισδιάστατο κυματοδηγό μεταλλικής ταινίας (stripe). Τα διαγράμματα διασποράς για τις IMI και MIM δομές προκύπτουν από τη λύση των υπερβατικών εξισώσεων με την αριθμητική μέθοδο που παρουσιάζεται στο παράρτημα Α. Επίσης, χρησιμοποιήθηκε το εμπορικό πακέτο ComSol Multiphysics, το οποίο κάνει χρήση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM). Η μέθοδος αυτή συγκρίνεται με τη μέθοδο ενεργού δείκτη διάθλασης (Effective Index Method, EIM). Στο σημείο αυτό θα ήθελα να εκφράσω τις ειλικρινείς μου ευχαριστίες προς τον καθηγητή του τμήματος και επιβλέποντα της διπλωματικής μου εργασίας κ. Εμμανουήλ Κριεζή, του οποίου η διδασκαλία με ώθησε να ασχοληθώ με τις Οπτικές Επικοινωνίες και για την ευκαιρία που μου έδωσε να καταπιαστώ με την πλασμονική. Τέλος, ευχαριστώ θερμά τον υποψήφιο διδάκτορα του τμήματος κ. Οδυσσέα Τσιλιπάκο, για την πάντα πρόθυμη και άμεση ανταπόκρισή του καθώς και για τις εύστοχες παρατηρήσεις του. Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 21 Δημήτριος Σκούρας

4 ii

5 Πίνακας περιεχομένων Πρόλογος i Πίνακας περιεχομένων iii 1 Ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες των μετάλλων στις οπτικές συχνότητες Οι εξισώσεις του Maxwell Η συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς Πειραματικός προσδιορισμός της διηλεκτρικής σταθεράς Μοντέλα προσέγγισης της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς Βελτιωμένα μοντέλα προσέγγισης της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς Πολαριτόνια επιφανειακών πλασμονίων Η κυματική εξίσωση Πολαριτόνια επιφανειακών πλασμονίων σε μονή διεπιφάνεια αγωγού-διηλεκτρικού TM ρυθμοί TE ρυθμοί Διασπορά με τη συχνότητα Διατάξεις διέγερσης SPPs Συγκέντρωση της ενέργειας και μήκος διάδοσης Πολαριτόνια επιφανειακών πλασμονίων σε πολυστρωματικά συστήματα Ανάλυση της δομής τριών στρωμάτων Η σχέση διασποράς Η συμμετρική δομή και οι ρυθμοί που υποστηρίζει Η δομή διηλεκτρικού/μετάλλου/διηλεκτρικού iii

6 3.2.1 Διαγράμματα διασποράς ω β SPPs μακράς εμβέλειας Συγκέντρωση του πεδίου και μήκος διάδοσης Η δομή μετάλλου/διηλεκτρικού/μετάλλου Διαγράμματα διασποράς Συγκέντρωση του πεδίου και μήκος διάδοσης Κλειστές εκφράσεις υπολογισμού του κυματικού διανύσματος σε ΙΜΙ και ΜΙΜ δομές Επιφανειακοί ρυθμοί πλασμονίων σε διατάξεις πεπερασμένου πλάτους Η γεωμετρία διηλεκτρικού/μετάλλου/διηλεκτρικού με μεταλλικό πυρήνα πεπερασμένου πλάτους και οι ρυθμοί που υποστηρίζει Ηλεκτρομαγνητική ανάλυση της μεταλλικής ταινίας Ονοματολογία των υποστηριζόμενων ρυθμών Η σχέση διασποράς των θεμελιωδών ρυθμών με το πάχος του πυρήνα Υπολογισμός με τη μέθοδο ενεργού δείκτη διάθλασης Υπολογισμός με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων Ο θεμελιώδης ρυθμός Η συμπεριφορά του ρυθμού Η διασπορά του ρυθμού ss b ss b με το πάχος του μεταλλικού φιλμ ss b με το πλάτος του μεταλλικού φιλμ Η κατανομή των θεμελιωδών ρυθμών Παράρτημα Α. Επίλυση των υπερβατικών εξισώσεων Βιβλιογραφία iv

7 Κεφάλαιο 1 συχνότητες Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οϖτικές Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι η διερεύνηση των οπτικών ιδιοτήτων των µετάλλων σε ένα µεγάλο εύρος συχνοτήτων µε ιδιαίτερη έµφαση στις υψηλότερες συχνότητες. Η αλληλεπίδραση των µετάλλων µε τα εφαρµοζόµενα ηλεκτροµαγνητικά πεδία µπορεί να περιγραφεί σύµφωνα µε το κλασικό υπόβαθρο που προσφέρουν οι εξισώσεις του Maxwell. Ακόµα και η συµπεριφορά δοµών µε µέγεθος της τάξης των µερικών νανοµέτρων είναι δυνατόν να περιγραφούν µε τις εξισώσεις του Maxwell χωρίς να χρειάζεται να καταφύγει κανείς στην κβαντοµηχανική. Συνεπώς, θα χρησιµοποιήσουµε την κλασική θεωρία για την περιγραφή της οπτικής συµπεριφοράς των µετάλλων. Θα παρατηρήσουµε αµέσως την ισχυρή εξάρτηση των ιδιοτήτων τους από τη συχνότητα και θα διαπιστώσουµε φαινόµενα τα οποία πολλές φορές ίσως να µην ήταν αναµενόµενα. Έτσι, θα εισαγάγουµε την έννοια της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς, η οποία µπορεί να προκύπτει είτε από πειραµατικά δεδοµένα ή από µοντέλα που προσπαθούν να προσεγγίσουν την πραγµατική συµπεριφορά των µετάλλων. 1.1 Οι εξισώσεις του Maxwell Αφετηρία για τη µελέτη της αλληλεπίδρασης των υλικών µε ηλεκτροµαγνητικά πεδία αποτελούν οι µακροσκοπικές εξισώσεις του Maxwell. Το πλεονέκτηµα της πρώτης αυτής προσέγγισης είναι ότι δεν είναι απαραίτητο να λάβουµε υπόψη µας λεπτοµέρειες που αφορούν τις θεµελιώδεις αλληλεπιδράσεις µεταξύ των φορτισµένων σωµατιδίων στο µέσο και του εφαρµοζόµενου ηλεκτροµαγνητικού πεδίου. Παρόλο που ασχολούµαστε µε δοµές πολύ µικρής τάξης µεγέθους, δεν χρειάζεται να καταφύγουµε σε µικροσκοπικές περιγραφές. Τα ηλεκτρικό πεδίο Ε (V/m), το µαγνητικό πεδίο Η (A/m), η διηλεκτρική µετατόπιση D (C/m 2 ) και η µαγνητική επαγωγή Β (A/m 2 ) δεδοµένου ότι θα

8 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες περιορίσουµε τη διερεύνησή µας σε γραµµικά ισοτροπικά µέσα σχετίζονται αναµεταξύ τους µέσω των καταστατικών εξισώσεων D = ε Ε, (1.1) B = µ Η, (1.2) όπου ε και µ η διηλεκτρική επιδεκτικότητα και η µαγνητική διαπερατότητα αντίστοιχα, και ορίζονται ως ε = εε r, (1.3) µ = µ µ r. (1.4) Με ε r συµβολίζουµε τη σχετική επιδεκτικότητα και µε µ r τη σχετική 12 διαπερατότητα, ενώ για το κενό έχουµε ε F/m και µ = 4π 1 H/m. Η πυκνότητα ρεύµατος J (amperes ανά τετραγωνικό µέτρο) σε αγώγιµο µέσο είναι όπου σ είναι η αγωγιµότητα του µέσου. Το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο ικανοποιεί τις σχέσεις από τις οποίες προκύπτουν και οι γνωστές σχέσεις J = σ Ε, (1.5) B E =, (1.6) t D H = J +, (1.7) t µε χρήση της D = ρ, (1.8) B = (1.9) ρ J =. (1.1) t Με ρ συµβολίζεται η πυκνότητα φορτίου (σε coulombs ανά τετραγωνικό µέτρο). Οι εξισώσεις (1.6) (1.9) αποτελούν τις εξισώσεις του Maxwell και συνδέουν τα τέσσερα ηλεκτροµαγνητικά πεδία E, H, D, B µε τις πυκνότητες ρεύµατος και φορτίου, δηλαδή το αποτέλεσµα µε το αίτιο. 2

9 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες 1.2 Η συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς Η συµπεριφορά των µετάλλων εµφανίζει εξάρτηση από τη συχνότητα, πιθανόν και από το κυµατικό διάνυσµα. Θα πρέπει, λοιπόν, να γενικεύσουµε τις γραµµικές εξισώσεις (1.1) και (1.5) σε πιο γενικές εξισώσεις οι οποίες λαµβάνουν υπόψη τους τη µη τοπικότητα στον χρόνο και στον χώρο. Αν υποθέσουµε ότι όλες οι χαρακτηριστικές διαστάσεις είναι αρκετά µικρές, ώστε να µην έχουµε εξάρτηση από απόλυτες χρονικές και χωρικές συντεταγµένες, αλλά µόνο από τις διαφορές τους µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις σχέσεις ' ' ' ' ' ' ( ) = ( ) ( ) (,t) = dt ' ' σ ( ',t t ' ) ( ',t ' ). D r,t ε dt dr ε r - r,t t E r,t, (1.11) J r dr r - r E r (1.12) Για διέγερση µε µοναδιαία ώση η κρουστική απόκριση των (1.11) και (1.12) έχει ως αποτέλεσµα τις γραµµικές εξισώσεις (1.1) και (1.5). Εφόσον µας ενδιαφέρει η εξάρτηση από τη συχνότητα, θα πρέπει να κάνουµε χρήση του µετασχηµατισµού Fourier ως προς τον όρο dt i( K r ωt) dr e και µε αυτό τον τρόπο µεταφερόµαστε στο πεδίο των χωρικών και χρονικών συχνοτήτων και τις αντίστοιχες σχέσεις ( ) = ( ) ( ) D Κ,ω εε Κ,ω E Κ,ω, (1.13) ( ) = ( ) ( ) J Κ,ω σ Κ,ω E Κ,ω. (1.14) Σε αυτό το σηµείο είναι σκόπιµο να εισαγάγουµε δύο επιπλέον σχέσεις, οι οποίες συνδέουν τα τέσσερα ηλεκτροµαγνητικά µεγέθη D = ε Ε+ P, (1.15) 1 H = Β Μ, (1.16) µ όπου εισήχθησαν οι έννοιες πόλωση P και µαγνήτιση M. Η πόλωση συνδέεται µε την πυκνότητα ρεύµατος µέσω της σχέσης P J =, (1.17) t ενώ η µαγνήτιση αντιπροσωπεύει τη µαγνητική απόκριση του υλικού. Καθώς δεν θα ασχοληθούµε µε µαγνητικά υλικά η µαγνήτιση θεωρείται ίση µε µηδέν. Κάνοντας χρήση 3

10 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες των σχέσεων (1.13), (1.14), (1.15) και (1.17) και της αντιστοιχίας t iω στο πεδίο των συχνοτήτων, µπορούµε να καταλήξουµε στη σχέση µεταξύ της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς 1 (dielectric function) και της αγωγιµότητας iσ( Κ, ω) ε (, ω) = 1 + εω Κ (1.18) και γίνεται εµφανές ότι υπάρχει αµοιβαία σχέση ανάµεσα στο ε και το σ. Μπορούµε δηλαδή να περιγράψουµε και µε τις δύο ποσότητες την ηλεκτροµαγνητική συµπεριφορά των µετάλλων 2. Όπως είναι φανερό, στη γενική περίπτωση τόσο η συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς όσο και η αγωγιµότητα είναι συναρτήσεις του κυµατικού διανύσµατος Κ. Στις περιπτώσεις της αλληλεπίδρασης του φωτός µε µέταλλα µπορεί να απλοποιηθεί η παραπάνω ε Κ =,ω = ε(ω) ως οριακή περίπτωση µιας χωρικά τοπικής απόκρισης. Μια σχέση στην ( ) τέτοια απλοποίηση ισχύει όσο το µήκος κύµατος στο υλικό είναι αρκετά µεγαλύτερο από όλες τις χαρακτηριστικές διαστάσεις του υλικού, όπως το µέγεθος της µοναδιαίας κυψελίδας ή τη µέση ελεύθερη διαδροµή των ηλεκτρονίων, κάτι που ικανοποιείται σε γενικές γραµµές µέχρι τις υπεριώδεις συχνότητες. Παραµένει, φυσικά, η εξάρτηση της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς από τη συχνότητα. 1.3 Πειραµατικός ϖροσδιορισµός της διηλεκτρικής σταθεράς Όπως ήδη αναφέρθηκε, η συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς εµφανίζει εξάρτηση από τη συχνότητα, το ίδιο και η αγωγιµότητα. Στη γενική περίπτωση θα είναι µιγαδικές συναρτήσεις της µορφής ε( ω) = ε ( ω) + iε (ω) και ( ) ( ) 1 2 σ ω σ ω iσ (ω) = Στις οπτικές συχνότητες µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον µιγαδικό δείκτη διάθλασης (complex refractive index) του µέσου, ο οποίος ορίζεται ως n = ε και προφανώς είναι επίσης µιγαδική συνάρτηση της συχνότητας ( ) ( ) που συνδέουν τον δείκτη διάθλασης µε τη διηλεκτρική σταθερά n ω = n ω + ik(ω). Εύκολα προκύπτουν οι σχέσεις 1 Έτσι θα αποκαλείται από εδώ και στο εξής η σχετική επιδεκτικότητα. 2 Ιστορικά, συνηθίζεται να χρησιµοποιείται η αγωγιµότητα στις χαµηλότερες συχνότητες και σε θεωρητικούς υπολογισµούς, ενώ στις υψηλότερες συχνότητες και σε πειραµατικές µελέτες συνηθέστερη είναι η χρήση της διηλεκτρικής σταθεράς. 4

11 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες και αντιστρόφως = (1.19) ε n k, ε2 = 2nk (1.2) 2 ε n ε1 ε 2, 2 2 = + + (1.21) ε k 2. 2n = (1.22) Το φανταστικό µέρος k του δείκτη διάθλασης ονοµάζεται συντελεστής εξάλειψης (extinction coefficient) και καθορίζει την απορρόφηση που υφίσταται ένα ηλεκτροµαγνητικό πεδίο κατά τη διάδοσή του στο µέσο. Είναι άµεσα συνδεδεµένος µε τον συντελεστή απορρόφησης α του νόµου του Beer 1 µέσω της σχέσης 2k(ω)ω α(ω) =. (1.23) c Αυτό καταδεικνύει ότι το φανταστικό µέρος της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς ε 2 καθορίζει το κατά πόσο απορροφάται το πεδίο κατά τη διάδοση στο µέσο. Τα πραγµατικό µέρος n του µιγαδικού δείκτη διάθλασης (το οποίο ονοµάζεται απλώς δείκτης διάθλασης) είναι ενδεικτικό της φασικής ταχύτητας του διαδιδόµενου κύµατος στο µέσο και για ε 1 ε2 καθορίζεται κυρίως από το ε 1. Σε µελέτες που έχουν δηµοσιευτεί [1 2] υπάρχουν τα πειραµατικά δεδοµένα για τα n και k, απ όπου µπορούµε να σχεδιάσουµε τη συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς ε συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας ω. Ένα πολύ συχνά χρησιµοποιούµενο υλικό για τις οπτικές επικοινωνίες είναι ο άργυρος. Με χρήση των δεδοµένων για τον άργυρο σύµφωνα µε τους Johnson & Christy [1] ο µιγαδικός δείκτης διάθλασης συναρτήσει της ενέργειας σε ev απεικονίζεται στο σχήµα 1.1. Στο σχήµα 1.1(α) εµφανίζεται το πραγµατικό του µέρος, δηλαδή ο δείκτης διάθλασης n, ενώ στο σχήµα 1.1(β) το φανταστικό µέρος, ο συντελεστής εξάλειψης k. Στο ίδιο σχήµα παροσυσιάζονται οι δείκτες διάθλασης του χρυσού και του χαλκού. Οι οπτικές σταθερές των µετάλλων καθορίστηκαν πειραµατικά µε µετρήσεις των συντελεστών µετάδοσης και ανάκλασης σε κανονική πρόσπτωση και του συντελεστή µετάδοσης για p πολωµένο φως και πρόσπτωση στις 6. 1 Η ένταση µιας ακτίνας που διαδίδεται κατά µήκος ενός µέσου µε απώλειες αποσβένεται εκθετικά σύµφωνα µε τη σχέση Ι( x) ax = I e. 5

12 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες Σχήµα 1.1 Πραγµατικό (α) και φανταστικό (β) µέρος του δείκτη διάθλασης ˆn(ω) από τα δεδοµένα των Johnson & Christy για τον χρυσό (γκρι κύκλοι), τον χαλκό (µαύρα τετράγωνα) και τον άργυρο (γκρι τρίγωνα) συναρτήσει της ενέργειας σε ev. Σχήµα 1.2 Πραγµατικό (α) και φανταστικό (β) µέρος της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς ε(ω) από τα δεδοµένα των Johnson & Christy για τον χρυσό (γκρι κύκλοι), τον χαλκό (µαύρα τετράγωνα) και τον άργυρο (γκρι τρίγωνα) συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας ω. 6

13 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες Οι Johnson & Christy παραθέτουν τους οπτικούς συντελεστές n, k γιατί έχουν πλεονέκτηµα σε σχέση µε την εποπτεία των συντελεστών ανάκλασης και µετάδοσης. Όµως, είναι σκόπιµο να τους µετατρέψουµε στη µιγαδική συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς µέσω των σχέσεων (1.19) και (1.2) και να πάρουµε το πραγµατικό και φανταστικό της µέρος ε 1 και ε 2 αφού οι διηλεκτρικές σταθερές είναι πιο στενά συνδεδεµένες µε την ηλεκτρονική δοµή των στερεών και πιο άµεσα συγκρίσιµες µε τη θεωρία. Επιπλέον, για λόγους εποπτείας είναι χρησιµότερο να παρατηρήσουµε τη συµπεριφορά της διηλεκτρικής σταθεράς συναρτήσει της συχνότητας. Οι αντίστοιχες συναρτήσεις διηλεκτρικής σταθεράς του αργύρου, του χρυσού και του χαλκού συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας φαίνονται στο σχήµα 1.2. Στο σχήµα 1.2(α) φαίνεται το πραγµατικό της µέρος ε 1 και στο σχήµα 1.2(β) το φανταστικό ε Μοντέλα ϖροσέγγισης της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς Καθώς η διηλεκτρική σταθερά είναι συνάρτηση της συχνότητας, είναι επιθυµητό να περιγράψουµε τη µεταβολή της µε κάποια κλειστή έκφραση. Για τα µέταλλα η συµπεριφορά αυτή προσεγγίζεται αρκετά καλά απ το µοντέλο ϖλάσµατος (plasma model) για αρκετά µεγάλο εύρος συχνοτήτων [3]. Το µοντέλο αυτό υποθέτει ένα νέφος ελεύθερων ηλεκτρονίων, τα οποία ταλαντώνονται υπό την επίδραση του εφαρµοζόµενου ηλεκτροµαγνητικού πεδίου. Η κίνησή τους αποσβένεται από συκρούσεις µε πυρήνες θετικών ιόντων και οι συγκρούσεις αυτές συµβαίνουν µε χαρακτηριστική συχνότητα (characteristic collision frequency) γ = 1 τ. Με τ συµβολίζεται ο χρόνος χαλάρωσης (relaxation time) του νέφους ελεύθερων ηλεκτρονίων και µια τυπική τιµή του είναι της τάξης του 14 1 σε θερµοκρασία δωµατίου, η οποία αντιστοιχεί σε συχνότητα σύγκρουσης 1 ΤΗz [4]. Η εγγυρότητα αυτής της προσέγγισης για ευγενή µέταλλα περιορίζεται λόγω διαζωνικών µεταβάσεων (interband transitions), οι οποίες συµβαίνουν στην ορατή περιοχή. Ξεκινώντας µε βάση την εξίσωση κίνησης ενός ηλεκτρονίου υπό την επίδραση ενός ηλεκτρικού πεδίου σε ένα νέφος ηλεκτρονίων και θεωρώντας ότι το ηλεκτρικό πεδίο ( ) m x + mγx = ee (1.24) Ε t E e iωt έχει αρµονική µεταβολή στον = χρόνο, µπορούµε να πάρουµε ως λύση της παραπάνω εξίσωσης τη σχέση 7

14 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες e x ( t) = E ( t ), (1.25) m ω 2 ( + iγω) η οποία περιγράφει την ταλάντωση του ηλεκτρονίου. Η µακροσκοπική πόλωση, που είναι αποτέλεσµα της µετατόπισης των ηλεκτρονίων, δίνεται από τη σχέση συνδυασµό µε τις (1.15) και (1.25) δίνει τη διηλεκτρική µετατόπιση P = nex, η οποία σε όπου ορίσαµε την 2 ω p = ε 1, 2 ω + iγω D E (1.26) 2 2 p = ως συχνότητα ϖλάσµατος (plasma frequency) του νέφους ω ne ε m ελεύθερων ηλεκτρονίων (n η πυκνότητα των ελεύθερων ηλεκτρονίων, e το φορτίο του ηλεκτρονίου και m η µάζα του). Είναι πλέον εµφανές από την (1.26) ότι η συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς για το µοντέλο ϖλάσµατος 1 ή αλλιώς γνωστό από τον εµπνευστή του ως µοντέλο του Drude [5] είναι η ( ) 2 ωp 2 ε ω = 1. ω + iγω (1.27) Η συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς, όπως προαναφέραµε, είναι µιγαδική ε ω ε ω iε (ω) συνάρτηση της µορφής ( ) ( ) δίνονται απ τις αντίστοιχες σχέσεις = 1 + 2, το δε πραγµατικό και φανταστικό µέρος Για ω 2 2 ωp τ 1 ( ) = (1.28) ε ω 1, 1 ω τ 2 p ω τ ε2 ( ω ) =. ω ( + ω τ ) (1.29) > ωp το πραγµατικό µέρος της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς παίρνει θετικές τιµές και το µέταλλο παύει να διατηρεί το «µεταλλικό» του χαρακτήρα. Γι αυτόν τον λόγο θα περιοριστούµε σε συχνότητες µικρότερες της συχνότητας πλάσµατος. Για µεγάλες σ = 1 iωτ 1 Αν εξετάσει κανείς το κλασσικό µοντέλο του Drude για την AC αγωγιµότητα των µετάλλων ( ) και το συνδυάσει µε την (1.27) θα ανακτήσει τη γενικότερη (1.18). σ ω 8

15 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες συχνότητες και όσο πλησιάζουµε στην ω p το πραγµατικό µέρος της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς παίζει κυρίαρχο ρόλο, ενώ το φανταστικό µέρος είναι αµελητέο. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι για µεγάλες συχνότητες ω γ το γινόµενο ω τ παίρνει τιµές πολύ µεγαλύτερες της µονάδας και έτσι επικρατεί η ε 1(ω). Θεωρούµε δηλαδή ότι έχουµε αµελητέα απόσβεση λόγω συγκρούσεων. Σε αυτήν την περίπτωση µπορούµε να προσεγγίσουµε την παραπάνω συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς µε τη συνάρτηση ϖλάσµατος ελεύθερων ηλεκτρονίων χωρίς αϖόσβεση η οποία είναι αµιγώς πραγµατική. 2 ωp = (1.3) 2 ε(ω) 1, ω Σε συχνότητες µικρότερες της συχνότητας πλάσµατος, ω < ωp, η διηλεκτρική σταθερά του µετάλλου γίνεται αρνητική και η λύση της εξίσωσης του Helmholtz 1 αποσβένεται εκθετικά στον χώρο, γεγονός που οδηγεί στην ανακλαστική συµπεριφορά του µετάλλου. Αντιθέτως, όταν ω > ωp η λύση της εξίσωσης Helmholtz δείχνει ότι το µέταλλο γίνεται διαφανές. Βλέπουµε, δηλαδή, ότι η συχνότητα πλάσµατος µπορεί να ερµηνευθεί ως η συχνότητα στην οποία το µεταλλο αρχίζει να γίνεται διαφανές στην ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία [4]. Μπορεί να αποδειχτεί ότι η συχνότητα πλάσµατος αντιστοιχεί στη χαρακτηριστική συχνότητα των διαµήκων ταλαντώσεων του νέφους ελεύθερων ηλεκτρονίων [3]. Τα κβάντα των ταλαντώσεων αυτών λέγονται ϖλασµόνια (plasmons ή volume plasmons) και λόγω της διαµήκους φύσης τους δεν µπορούν να συζευχθούν µε εγκάρσια ηλεκτροµαγνητικά κύµατα, εν αντιθέσει µε τα επιφανειακά πλασµόνια (surface plasmons) τα οποία συζεύγνυνται µε φωτόνια, για να δηµιουργήσουν πολαριτόνια (polaritons), όπως θα δούµε αργότερα. Η συχνότητα πλάσµατος για τα περισσότερα µέταλλα βρίσκεται στο υπεριώδες φάσµα, γεγονός που εξηγεί γιατί αυτά λειτουργούν ανακλαστικά σε ορατά µήκη κύµατος. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται η συχνότητα πλάσµατος και το αντίστοιχο µήκος κύµατος για τα τρία ευγενή µέταλλα µε τα οποία ασχοληθήκαµε (χρυσός, άργυρος και χαλκός). Χρησιµοποιήθηκαν τα δεδοµένα των N. Aschcroft και N. Mermin [4] για την πυκνότητα των ελεύθερων ηλεκτρονίων n και τον χρόνο χαλάρωσης τ των µετάλλων αυτών. 1 Στην εξίσωση Helmholtz κεφάλαιο E k εε που παραθέτουµε εδώ θα καταλήξουµε αναλυτικά στο + = 9

16 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες Μέταλλο 22 3 n [1 cm ] τ[fs] p 16 1 ω [1 s ] λ[nm] Χαλκός Χρυσός Άργυρος Το διάγραµµα που δίνει το µοντέλο πλάσµατος ελευθέρων ηλεκτρονίων για τον άργυρο συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας φαίνεται ακολούθως στο σχήµα 1.3. Εµφανίζονται τόσο το πραγµατικό (σχήµα 1.3(α)) όσο και το φανταστικό µέρος (σχήµα 1.3(β)) της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς. Σχήµα 1.3 Πραγµατικό (α) και φανταστικό (β) µέρος της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς ε(ω) του άργυρου σύµφωνα µε το µοντέλο πλάσµατος ελεύθερων ηλεκτρονίων. Στο εσωτερικό των σχηµάτων παρουσιάζεται σε ένα στενότερο παράθυρο συχνοτήτων η σύγκριση για τον χρυσό (γκρι κύκλοι), τον χαλκό (µαύρα τετράγωνα) και τον άργυρο (γκρι τρίγωνα). Σύµφωνα µε το µοντέλο αυτό οι ιδιότητες των τριών µετάλλων είναι πολύ κοντά, κατ ουσίαν συµπίπτουν. Η σύγκριση φαίνεται στο εσωτερικό των σχηµάτων 1.3 (α) και (β) όπου παρουσιάζονται το πραγµατικό και φανταστικό µέρος, αντιστοίχως, της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς για τον χρυσό (γκρι κύκλοι), τον χαλκό (µαύρα τετράγωνα) και τον 1

17 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες άργυρο (γκρι τρίγωνα) σε ένα στενότερο παράθυρο συχνοτήτων. Ωστόσο, στις υψηλότερες συχνότητες αυτό δεν είναι κατ ανάγκη αληθές, καθώς µέταλλα όπως ο χρυσός και ο άργυρος έχουν διαφορετικές ιδιότητες παρόλο που έχουν ίδια συχνότητα πλάσµατος. Αλκαλικά µέταλλα όπως το λίθιο, το σόδιο και το ποτάσιο έχουν σχεδόν ίδια απόκριση µε το Drude µοντέλο και γίνονται διαφανή στο υπεριώδες, αλλά στην περίπτωση των ευγενών µετάλλων η απορρόφηση λόγω διαζωνικών µεταβάσεων γίνεται σηµαντική για τις ορατές συχνότητες. Βλέπουµε, δηλαδή, πως είναι πολλές οι περιπτώσεις κατά τις οποίες αυτή η προσέγγιση µπορεί να θεωρηθεί ικανοποιητική για τον οπτικό χαρακτηρισµό µεταλλικών φιλµ. Ωστόσο, η εγκυρότητά της περιορίζεται σε συχνότητες στη ζώνη κοντινών υπέρυθρων, καθώς αυτή αποτυγχάνει στις ορατές και κοντινές υπεριώδεις περιοχές. Για να καταστεί δυνατή µια πιο ακριβής περιγραφή της συµπεριφοράς των µετάλλων σε πιο ευρύ µέρος του ηλεκτροµαγνητικού φάσµατος, πρέπει κανείς να αξιοποιήσει τα πειραµατικά δεδοµένα που υπάρχουν (Johnson & Christy, Palik). Όπως φαίνεται από αυτά τα δεδοµένα (σχήµατα 1.1 και 1.2 ), ναι µεν η συµπεριφορά που κυριαρχεί στο υπέρυθρο φάσµα είναι αυτή των ελεύθερων ηλεκτρονίων, όπου έχουµε µικρά n και µεγάλα k, αλλά στο ορατό και κοντινό υπεριώδες φάσµα κυριαρχεί η διαζωνική αϖορρόφηση (interband absorption), όπου τα n και τα k είναι και τα δύο της τάξης της µονάδας. Για το Drude µοντέλο χωρίς απόσβεση βλέπουµε από το σχήµα 1.3 ότι για ω ωp η συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς τείνει στη µονάδα ( ε 1). Έτσι, για τα ευγενή µέταλλα πρέπει να επεκταθεί το µοντέλο αυτό για τις συχνότητες ω > ωp, περιοχή στην οποία εµφανίζεται µια παραµένουσα πόλωση λόγω της ύπαρξης πυρήνων ιόντων. Η πόλωση αυτή αντιπροσωπεύεται από τον επιπρόσθετο όρο πόλωσης P = ε (ε 1) E. Με αυτόν τον τρόπο η σχέση (1.27) µετατρέπεται στην ε(ω) = ε ω 2 ωp 2 + iγω µε τη διηλεκτρική σταθερά ε να παίρνει τιµές συνήθως στο διάστηµα 1 ε 1. (1.31) Για πιο µικρές συχνότητες, δηλαδή συχνότητες στις οποίες ισχύει ω γ, οι σχέσεις (1.19) (1.22) δείχνουν ότι το φανταστικό µέρος της διηλεκτρικής σταθεράς ε 2 είναι πολύ µεγαλύτερο του πραγµατικού ε 1 και αυτό οδηγεί σε συντελεστές διάθλασης µε συγκρίσιµα πραγµατικά και φανταστικά µέρη 11

18 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες 2 ε τω 2 p = = (1.32) n k. 2 2ω Σε αυτό το φασµατικό παράθυρο τα µέταλλα εµφανίζουν κυρίως απορροφητική συµπεριφορά µε συντελεστή απορρόφησης 2 2ωτωp = (1.33) 2 α. c Σε χαµηλές συχνότητες παρατηρούµε εισχώρηση των πεδίων στο µέταλλο µε τον εκθετικό τρόπο που υποδεικνύει ο νόµος του Beer ζ/δ e, όπου δ το βάθος διείσδυσης (skin depth) 2 c δ =. α = kω (1.34) Φαίνεται πως η περιγραφή αυτή ισχύει όσο η µέση ελεύθερη διαδροµή των ηλεκτρονίων είναι πολύ µικρότερη απο το βάθος διείσδυσης. Σε θερµοκρασία δωµατίου ισχύει αυτή η συνθήκη και έτσι δικαιολογείται η χρήση του µοντέλου ελεύθερων ηλεκτρονίων. Σε χαµηλότερες θερµοκρασίες, όµως, η µέση ελεύθερη διαδροµή µπορεί να αυξηθεί κατά πολλές τάξεις µεγέθους 1, γεγονός που οδηγεί σε αλλαγές στο βάθος της εισχώρησης των πεδίων στο µέταλλο και µπορεί να κάνει ακατάλληλη τη χρήση µοντέλου ελεύθερων ηλεκτρονίων. Αν εξετάσει κανείς τη συµπεριφορά της (1.27), δηλαδή το µοντέλο του Drude, και τη συγκρίνει µε τα πειραµατικά δεδοµένα των Johnson & Christy, θα διαπιστώσει αυτό που έχουµε ήδη περιγράψει. Στις υψηλότερες συχνότητες, όταν συµπληρώνεται κάποια ζώνη ηλεκτρονίων και έτσι ηλεκτρόνια µεταβαίνουν στις επόµενες ζώνες ηλεκτρονίων και σε υψηλότερες ενεργειακές καταστάσεις, εµφανίζεται αυτό που νωρίτερα περιγράψαµε ως διαζωνικές µεταβάσεις. Στο σχήµα 1.4 φαίνεται πως το µοντέλο του Drude προσπαθεί να προσεγγίσει τα δεδοµένα των Johnson & Christy για τον άργυρο, ένα πολύ συνηθισµένο υλικό για εφαρµογές σε αυτές τις συχνότητες, και πως αποτυγχάνει όταν εµφανίζεται το φαινόµενο των διαζωνικών µεταβάσεων. Ήδη από τα 4 ev το µοντέλο του Drude αρχίζει να µην αντεπεξέρχεται και δεν µπορεί να προσεγγίσει ικανοποιητικά τη συµπεριφορά ενός πραγµατικού µετάλλου. 1 Φαινόµενο γνωστό ως anomalous skin effect. 12

19 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες Σχήµα 1.4 Σύγκριση ανάµεσα στο µοντέλο του Drude (µε µαύρη γραµµή) και στα πειραµατικά δεδοµένα των Johnson & Christy για τον άργυρο (γκρι τρίγωνα). Συγκρίνονται τόσο τα πραγµατικά (α) όσο και τα φανταστικά µέρη (β) τους. Γίνεται, λοιπόν, εµφανής η ανάγκη να προσεγγιστεί µε πιο ακριβή τρόπο η συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς των πραγµατικών µετάλλων και να βρεθούν µοντέλα που δίνουν ακριβέστερα αποτελέσµατα για µεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων. Μάλιστα, σκόπιµο είναι να βρεθούν µοντέλα µε απλή δοµή, που να έχουν ισχύ στο κοντινό υπέρυθρο και ορατό φάσµα συχνοτήτων, και που µπορούν να καλύψουν τα µέταλλα τα οποία χρησιµοποιούνται για οπτοηλεκτρονικές εφαρµογές. 1.5 Βελτιωµένα µοντέλα ϖροσέγγισης της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς Είναι ουκ ολίγες οι προσπάθειες για δηµιουργία µοντέλων που θα προσεγγίζουν πολύ πειστικά τη συµπεριφορά των µετάλλων µε τη συχνότητα. Ωστόσο, για παράδειγµα, µοντέλα όπως αυτά που σχετίζονται στενά µε τη δοµή των ζωνών των ηλεκτρονίων αποδεικνύονται είτε υπερβολικά πολύπλοκα για πρακτική χρήση είτε περιορίζονται στην περιγραφή ενός συκεκριµένου υλικού. Μοιραία, συνηθίζεται να καταφεύγει κανείς σε απλά 13

20 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες φαινοµενολογικά µοντέλα που µπορούν να αντιπροσωπεύσουν περισσότερα υλικά, όπως το µοντέλο ταλαντωτών Lorentz Drude (LD) ή το µοντέλο του Erman. Η χρήση του µοντέλου Lorentz Drude είναι πολύ συχνή για τις εφαρµογές που µας ενδιαφέρουν. Στην ουσία προκύπτει µε την προσθήκη κάποιων όρων στο γνωστό µας Drude µοντέλο, γεγονός που αποτελεί πλεονέκτηµα, αφού το Drude µοντέλο µπορεί εύκολα να ενσωµατωθεί σε αριθµητικές µεθόδους του πεδίου του χρόνου που χρησιοποιούνται για την επίλυση των εξισώσεων του Maxwell, όπως η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (Finite Difference Time Domain, FDTD). Αν αντικαταστήσουµε την εξίσωση (1.24) µε την 2 x + x + x = E (1.35) m mγ mω e, µπορούµε να υπερκεράσουµε την ανεπάρκεια του Drude µοντέλου. Στην πραγµατικότητα, προσθέτουµε τον όρο 2 mω x, ο οποίος αντιπροσωπεύει ένα δέσµιο ηλεκτρόνιο (bound electron) µε συχνότητα συντονισµού ω, ο οποίος όρος µπορεί να περιγράψει την πόλωση που δηµιουργείται στις περιοχές όπου λαµβάνουν χώρα οι διαζωνικές µεταβάσεις. Για να περιγραφεί ακριβέστερα η συµπεριφορά των ευγενών µετάλλων, χρειάζεται να λυθεί η εξίσωση (1.35) µερικές φορές, ώστε να πάρουµε έναν αριθµό όρων που συνεισφέρουν ο καθένας ξεχωριστά στη συνολική πόλωση. Κάθε λύση προσφέρει έναν Lorentz ταλαντωτή όρο της µορφής Α i 2 2 i ω ω iγ ω i και αυτός προστίθεται στο Drude µοντέλο. Συνοψίζοντας, η συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς σύµφωνα µε το LD µοντέλο θα αποτελείται από το άθροισµα όρων που περιγράφουν τα ενδοζωνικά φαινόµενα (δηλαδή η επίδραση των ελεύθερων ηλεκτρονίων, ε f ) και τα διαζωνικά φαινόµενα (δηλαδή η επίδραση των δέσµιων ηλεκτρονίων, ε b ). Η ε f (ω) ταυτίζεται προφανώς µε την (1.27), ενώ η ε b (ω) όπως περιγράφηκε θα είναι της µορφής b ( ) k 2 fjωp (1.36) j= 1 ωj ω + iωγj ε ω =, 2 2 ( ) όπου k είναι ο αριθµός των ταλαντωτών µε συχνότητα ω p, δύναµη f j και χαρακτηριστική συχνότητα Γ j. Οι συντελεστές οι οποίοι εµφανίζονται στην (1.36) δίνονται υπό µορφή πινάκων στη σχετική αρθρογραφία, µε το άρθρο του Aleksandar Rakic πάνω στις οπτικές ιδιότητες µεταλλικών φιλµ να αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγµα [6]. 14

21 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες Σχήµα 1.5 Πραγµατικό (α) και φανταστικό (β) µέρος της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς για τον άργυρο σύµφωνα µε το Lorentz Drude µοντέλο. Σχήµα 1.6 Πραγµατικό (µαύρη γραµµή) και φανταστικό (γκρι γραµµή) µέρος της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς για τον άργυρο σύµφωνα µε το Lorentz Drude µοντέλο, λογαριθµική κλίµακα. 15

22 Κεφάλαιο 1. Ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες των µετάλλων στις οπτικές συχνότητες Σύµφωνα µε τα δεδοµένα που προσφέρει, µπορούµε να κατασκευάσουµε το LD µοντέλο για τον άργυρο. Προκύπτει, έτσι, η συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς, της οποίας το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος φαίνονται στο σχήµα 1.5 ή όπως εµφανίζεται σε πολλές µελέτες στο σχήµα 1.6 σε λογαριθµική κλίµακα. Είναι εµφανές ότι µε το LD µοντέλο οι διαζωνικές µεταβάσεις λαµβάνονται υπόψη µέσω των δέσµιων ταλαντωτών και έτσι επεκτείνεται το Drude µοντέλο και στο κοντινό υπέρυθρο και ορατό φάσµα αρκετά ικανοποιητικά. Έχοντας καταφέρει να παρουσιάσουµε ικανοποιητικές συναρτήσεις διηλεκτρικής σταθεράς για την περιγραφή των µετάλλων σε µεγάλο εύρος συχνοτήτων, µπορούµε πλέον να προχωρήσουµε στη µελέτη της µετάδοσης επιφανειακών κυµάτων στη διαχωριστική επιφάνεια ενός µετάλλου και ενός διηλεκτρικού, που είναι και ο σκοπός του επόµενου κεφαλαίου. 16

23 Κεφάλαιο 2 Πολαριτόνια εϖιφανειακών ϖλασµονίων Τα πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων (surface plasmon polaritons, SPPs) είναι οδεύοντα επιφανειακά ηλεκτροµαγνητικά κύµατα συζευγµένα µε τις ταλαντώσεις των ελεύθερων ηλεκτρονίων του µετάλλου στη διαχωριστική επιφάνεια ανάµεσα σε ένα µέταλλο και σ ένα διηλεκτρικό [7]. Το πεδίο αυτό είναι µέγιστο στη διαχωριστική επιφάνεια και µειώνεται εκθετικά προς τις εγκάρσιες διευθύνσεις (evanescent wave). Το µειονέκτηµα που εµφανίζεται έχει να κάνει µε την απόσβεση των SPPs λόγω ωµικών απωλειών στο µέταλλο και οδηγεί σε µικρά µήκη διάδοσης στο ορατό και κοντινό υπέρυθρο φάσµα. Αυτό το µειονέκτηµα, ωστόσο, φαίνεται να µην λειτουργεί ανασταλτικά, καθώς τα µήκη διάδοσης είναι επαρκή όταν πραγµατευόµαστε διατάξεις σε πολύ µικρή κλίµακα και ολοκληρωµένες οπτικές ή ηλεκτρο οπτικές διατάξεις. Την τελευταία δεκαετία το ενδιαφέρον για τα SPPs έχει αναθερµανθεί. Ενώ σε θεωρητικό επίπεδο είχαν γίνει βήµατα, λόγω κατασκευαστικών δυσκολιών για πολλά χρόνια υπήρξε στασιµότητα. Με την ανάπτυξη τεχνικών κατασκευής µεταλλικών δοµών σε νανοκλίµακα ήταν επόµενη µια αναβίωση των SPPs, καθώς εξαρτήµατα βασισµένα σε αυτά αποτελούν πολλά υποσχόµενη εναλλακτική λύση για ολοκληρωµένα φωτονικά κυκλώµατα, τα οποία θα πληρούν βασικά κριτήρια, όπως χαµηλό κόστος, απλότητα στην κατασκευή, αλλά και κριτήρια ευελιξίας και απόδοσης. εδοµένου ότι τα SPPs είναι επιφανειακά κύµατα, διευκολύνεται η ανάπτυξη µιας δισδιάστατης, επίπεδης, οπτικής τεχνολογίας (planar optics). Επιπλέον, µε κατάλληλο σχεδιασµό µπορούν να δηµιουργηθούν δοµές για διάδοση σε διαστάσεις µικρότερες του µήκους κύµατος στο υλικό (sub wavelength confinement). Σκοπός µας σε αυτό το κεφάλαιο είναι να υποδείξουµε τους περιορισµούς στους οποίους θα πρέπει να υπακούει το οδηγούµενο κύµα και, µε γνώµονα αυτούς, να καταλήξουµε σε γενικές εξισώσεις που θα περιγράφουν τη διάδοση στον κυµατοδηγό. Εν συνεχεία θα εξετάσουµε την απλούστερη διάταξη που µπορεί να οδηγήσει επιφανειακά

24 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων κύµατα, τη µονή διεπιφάνεια µετάλλου/διηλεκτρικού. Θα ασχοληθούµε µε τους ρυθµούς που µπορεί να υποστηρίξει αυτή η δοµή και τους δυνατούς τρόπους διέγερσης αυτών. Τέλος, θα µας απασχολήσει η απόσταση που µπορεί να καλύψει ένα τέτοιο κύµα και το κατά πόσο µπορεί να είναι περιορισµένο κοντά στη διεπιφάνεια. 2.1 Η κυµατική εξίσωση Καθώς τα πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων είναι οδεύοντα επιφανειακά κύµατα στη διαχωριστική επιφάνεια ανάµεσα σε ένα διηλεκτρικό και σε έναν αγωγό, είναι λογικό να αρχίσουµε τη διερεύνησή µας µε την εφαρµογή των εξισώσεων του Maxwell στη διαχωριστική επιφάνεια αυτή. Σκοπός µας είναι να καταλήξουµε σε µια γενική µορφή εφαρµόσιµη στην οδήγηση ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων, την κυµατική εξίσωση (wave equation) [8]. Αν θεωρήσουµε ότι έχουµε αρµονική µεταβολή στο πεδίο του χρόνου, µπορούµε να γράψουµε για τα τέσσερα ηλεκτροµαγνητικά µεγέθη iωt { } iωt { } iωt { } iωt { } ( ) = ( ) E r,t Re Ε r e, (2.1) ( ) = ( ) H r, t Re H r e, (2.2) ( ) = ( ) D r,t Re D r e, (2.3) B( r,t) = Re B( r )e. (2.4) Για µη µαγνητικά υλικά ( µ r = 1) και µε την παραδοχή ότι δεν επιβάλλονται εξωτερικά φορτία ( ρ = ) και ρεύµατα, µε τη χρήση των εξισώσεων (2.1) (2.4) οι εξισώσεις (1.6) (1.9) µπορούν να γραφούν ως = = E iωb iωµ H, 1 (2.5) H = iωd = iωε E, (2.6) H =, (2.7) ( ) εe =. (2.8) Αν εφαρµόσουµε τον τελεστή στην εξίσωση (2.5), παίρνουµε την 1 Οι εξισώσεις προκύπτουν µε αυτά τα πρόσηµα διότι θεωρήσαµε αρµονική µεταβολή µε το χρόνο, άρα t iω. 18

25 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων Με χρήση της ταυτότητας γραφεί σαν ( ) ( E) = iωµ H. (2.9) 2 E E Ε και αφού η (2.8) µπορεί να ( ) = ( ) εe = ε E + ε E = παίρνουµε την ε E = Ε, (2.1) ε την οποία µπορούµε να αντικαταστήσουµε στο αριστερό µέλος της (2.9). Επιπλέον, από την (2.6) παίρνουµε για το δεξί µέλος της (2.9) το 2 k εε, όπου k ο κυµατικός αριθµός (wave number) του διαδιδόµενου κύµατος στο κενό, και αν ορίσουµε την ταχύτητα του φωτός στο κενό ως c = 1 ε µ εκφράζεται ως ω k ω ε µ. c = = (2.11) Έτσι, για ένα µέσο µε διηλεκτρική σταθερά ε, η διανυσµατική κυµατική συνάρτηση για το ηλεκτρικό πεδίο είναι 2 ε k ε =. ε E Ε Ε (2.12) Αν, τέλος, θεωρήσουµε αµελητέα µεταβολή στο διηλεκτρικό προφίλ για αποστάσεις της τάξης του ενός µήκους κύµατος, τότε παίρνουµε την εξίσωση του Helmholtz 2 2 E k ε Ε. (2.13) + = Η αντίστοιχη για το µαγνητικό πεδίο είναι προφανώς 2 2 Η k ε Η. (2.14) + = Υποθέτουµε διάδοση κατά τη διεύθυνση x σε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων και µηδενική χωρική µεταβολή στη διεύθυνση y, δηλαδή η διάσταση y εκτείνεται στο άπειρο. Το δε ε εξαρτάται µόνο από µία συντεταγµένη στο χώρο ε = ε(z). Τα οδεύοντα κύµατα διατηρούνται στο επίπεδο ανάµεσα στον αγωγό και το διηλεκτρικό, το επίπεδο z =, και µπορούν να περιγραφούν µετά από τις παραδοχές που κάναµε από τη σχέση iβx E(x, y, z) = E (z)e. Η συνιστώσα του κυµατικού διανύσµατος που βρίσκεται στη διεύθυνση διάδοσης ονοµάζεται σταθερά διάδοσης (propagation constant) και 19

26 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων αντιπροσωπεύεται από τη µιγαδική παράµετρο παρουσιάζεται στο σχήµα 2.1. β = kx [9]. Η γεωµετρία που περιγράψαµε Σχήµα 2.1 Γεωµετρία του επίπεδου κυµατοδηγού. Η διάδοση του κύµατος γίνεται κατά τη x διεύθυνση στο σύστηµα καρτεσιανών συντεταγµένων. Εισάγοντας το ηλεκτρικό πεδίο µε τη µορφή που πήραµε µετά τις παραδοχές στη σχέση (2.13) λαµβάνουµε την κυµατική εξίσωση ενώ για το µαγνητικό πεδίο ισχύει πάλι µια αντίστοιχη σχέση. 2 E(z) (k 2 ε β ) Ε =, (2.15) z Με αφετηρία την (2.15) µπορεί κανείς να κάνει εκτεταµένες αναλύσεις για τους ρυθµούς που προκύπτουν κατά τη διάδοση ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων σε κυµατοδηγούς. Εισάγοντας σ αυτήν τις εξισώσεις (1.6) και (1.7) µπορούµε να καταλήξουµε σε συγκεκριµένες εξισώσεις για τις x, y και z συνιστώσες του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου και µε αυτόν τον τρόπο µπορούµε να καθορίσουµε το προφίλ του πεδίου στον χώρο και να µελετήσουµε τη διασπορά των οδηγούµενων κυµάτων. Υπενθυµίζουµε ότι θεωρούµε αρµονική µεταβολή των πεδίων µε τον χρόνο και χρησιµοποιώντας τη σύµβαση t = iω παίρνουµε τις ακόλουθες εξισώσεις Ε y Εx z Ε y x z Εy = iωµ Η x, z Ε z = iωµ Η y, x Ε x = iωµ Η z, y (2.16) (2.17) (2.18) 2

27 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων H y z H z y = iωε εe, x (2.19) Hx z H z x = iωεεe y, (2.2) H y x H y x = iωε εe. z (2.21) Αν επιπλέον θεωρήσουµε ότι το κύµα οδεύει κατά τη διεύθυνση x, που σηµαίνει ότι x = iβ, και οµοιογένεια κατά τη διεύθυνση y, δηλαδή y =, οι παραπάνω εξισώσεις απλοποιούνται στις Εx z Hx z Ε y z = iωµ Η, 21 x iβez = iωµ Η y, (2.22) (2.23) iβey = iωµ Η z, (2.24) H y z = iωε εe, x iβhz = iωεεe y, (2.25) (2.26) iβhy = iωεεe z. (2.27) Το σύστηµα εξισώσεων στο οποίο καταλήξαµε περιλαµβάνει δυο σύνολα εξισώσεων αποσυζευγµένα µεταξύ τους. Το κάθε σύνολο απαρτίζεται από τρεις εξισώσεις και φανερώνει την πόλωση που θα έχει το αντίστοιχο οδεύον κύµα. ιαδίδονται, δηλαδή, δύο ρυθµοί µε τον πρώτο να έχει µη µηδενικές τις E x, E z και H x και ο οποίος συνεκδοχικά ονοµάζεται εγκάρσιος µαγνητικός ρυθµός (transverse magnetic, TM ή p), τον δεύτερο δε, ο οποίος έχει µη µηδενικές τις electric, TE ή s). H x, H z και E y, να αποτελεί τον εγκάρσιο ηλεκτρικό (transverse Η λύση των (2.22) (2.27) που οδηγεί σε TM ρυθµούς αποτελείται από τις 1 Hy Ex = i, ωε ε z και η κυµατική εξίσωση που τους περιγράφει είναι η E z (2.28) β = Hy (2.29) ωε ε

28 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων 2 H y (k 2 ε β )H y =. z Αναλόγως, για τους TE ρυθµούς έχουµε τη λύση (2.3) 1 Ey Hx = i, ωµ z και η κυµατική εξίσωση που τους περιγράφει είναι η H z (2.31) β = Ey (2.32) ωµ 2 E y y z + (k ε β )E =. (2.33) Τέλος, είναι σηµαντικό να αναφερθούµε στον ενεργό δείκτη διάθλασης n eff (effective index), ένα πολύ χρήσιµο και συχνα χρησιµοποιούµενο µέγεθος, ο οποίος ορίζετα ως β n eff =. (2.34) k Αν συµβολίσουµε ως λ το µήκος κύµατος στο κενό, τότε µπορούµε να ορίσουµε το µήκος κύµατος στη γραµµή ως και θα ισχύει επιπλέον η σχέση λ λ g, Re[ neff ] = (2.35) 2π β n eff. λ = (2.36) Η φυσική σηµασία της σταθεράς διάδοσης β είναι η στροφή της φάσης ανά µονάδα µήκους διάδοσης. Έτσι, ο ενεργός δείκτης διάθλασης µπορεί να ερµηνευθεί ως ο λόγος ενός µήκους κύµατος στο µέσο προς το µήκος κύµατος στο κενό, ή ως ο λόγος της στροφής της φάσης στο µέσο προς αυτήν στο κενό. Μετά την εισαγωγή της έννοιας του δείκτη διάθλασης η κυµατική εξίσωση µπορεί να πάρει την επίσης χρήσιµη µορφή της 2 H z y eff y + k (ε n )H =. (2.37) 22

29 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων Συµπερασµατικά, καταφέραµε να καταλήξουµε σε εξισώσεις οι οποίες µας δίνουν τη δυνατότητα να προχωρήσουµε στην περιγαφή και την κατανόηση των SPPs στην απλή διαχωριστική επιφάνεια δύο υλικών και ακόµη παραπέρα σε διατάξεις µε περισσότερα στρώµατα υλικών. 2.2 Πολαριτόνια εϖιφανειακών ϖλασµονίων σε µονή διεϖιφάνεια αγωγού διηλεκτρικού Λογική αφετηρία της διερεύνησης των SPPs είναι η απλούστερη δοµή, αυτή της µονής διεπιφάνειας αγωγού διηλεκτρικού. Απαραίτητη προϋπόθεση για να υποστηρίζεται επιφανειακό κύµα σε µια τέτοια επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια είναι το ένα µέσο να έχει διηλεκτρική σταθερά µε αρνητικό πραγµατικό µέρος ενώ το άλλο θετική διηλεκτρική σταθερά [1]. Έτσι, θεωρούµε ότι ο ηµιχώρος z > πληρούται µε διηλεκτρικό θετικής πραγµατικής διηλεκτρικής σταθεράς ε 2, ενώ ο ηµιχώρος z < πληρούται µε αγώγιµο υλικό συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς ε 1(ω) και µάλιστα µε αρνητικό πραγµατικό µέρος 1. Επιπλέον, θεωρούµε διάδοση κατά τη x διεύθυνση και, εφόσον επιθυµούµε οδεύον κύµα περιορισµένο στη διαχωριστική επιφάνεια και όχι ακτινοβολούµενο, εκθετική απόσβεση στην εγκάρσια z διεύθυνση. Η γεωµετρία της µονής διεπιφάνειας διηλεκτρικού/µετάλλου (Insulator/Metal, IM) που περιγράψαµε απεικονίζεται στο σχήµα 2.2(α). Στο σχήµα 2.2(β) φαίνεται µια αναπαράσταση της διάδοσης του επιφανειακού πλασµονίου κατά τη διεύθυνση x στη διαχωριστική επιφάνεια. Σχήµα 2.2 (α) Γεωµετρία µονής διεπιφάνειας διηλεκτρικού (µε διηλεκτρική σταθερά ε 2 ) και µετάλλου (µε συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς ε (ω) ). 1 (β) Αναπαράσταση της διάδοσης του επιφανειακού πλασµονίου. 1 Υπενθυµίζεται ότι το πραγµατικό µέρος της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς διατηρεί αρνητικό πραγµατικό µέρος για συχνότητες µικρότερες της συχνότητας πλάσµατος ω. p 23

30 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων TM ρυθµοί Στη διάθεσή µας έχουµε ως πιθανές λύσεις τους εγκάρσιους ηλεκτρικούς και τους εγκάρσιους µαγνητικούς ρυθµούς. Ας διερευνήσουµε πρώτα τους ΤM ρυθµούς. Φυσικά, θα πρέπει να λάβουµε υπόψη τις απαιτήσεις που επιβάλαµε για οδήγηση κατά τη x διεύθυνση, άρα θα εµφανίζεται ένας όρος της µορφής k k (i 1, 2) i iβx e. Επιπλέον, αν συµβολίσουµε ως = z,i = τη συνιστώσα του κυµατικού διανύσµατος, η οποία είναι κάθετη στο επίπεδο επαφής των δύο υλικών, και µε ẑ = 1 ki το µήκος αϖόσβεσης (decay length) του εκθετικά µειούµενου πεδίου κατά την εγκάρσια διεύθυνση (δηλαδή το πόσο περιορίζεται το πεδίο κοντά στη διεπιφάνεια), τότε επιβάλλουµε έναν όρο της µορφής θεωρώντας ένα πλάτος kiz e. Τέλος, A i για τη συνιστώσα του µαγνητικού πεδίου καταλήγουµε στη µορφή του µαγνητικού πεδίου, η οποία θα καθορίσει και τις συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου. Για τον χώρο ο οποίος πληρούται µε αγωγό, δηλαδή για z < έχουµε iβx k z H (z) A e e = 1 (2.38) y 1 και σύµφωνα µε τις (2.28) και (2.29) προκύπτουν οι σχέσεις 1 iβx k z E z = ia k e e, (2.39) ( ) 1 x 1 1 ωεε1 β iβx k1z Ez ( z) = A1 e e. (2.4) ωε ε Με αντίστοιχο τρόπο για το διηλεκτρικό, δηλαδή για z > προκύπτουν οι σχέσεις 1 iβx k2z y ( ) = 2 (2.41) H z A e e, 1 iβx k z E z = ia k e e, (2.42) ( ) 2 x 2 2 ωεε2 β iβx E z(z) A2 e e ωε ε k z = 2 (2.43) 2 Παραµένει να επιβάλλουµε τις οριακές συνθήκες για το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο στη διαχωριστική επιφάνεια. Η συνέχεια του µαγνητικού πεδίου απαιτεί (απουσία επιφανειακών ρευµάτων) οι εφαπτοµενικές συνιστώσες του να είναι ίσες, iβx k1z iβx k 2z 1 = 2. Η συνέχεια της διηλεκτρικής µετατόπισης (απουσία A e e A e e 24

31 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων επιφανειακών φορτίων) απαιτεί την ισότητα των κάθετων στην επιφάνεια συνιστωσών, β iβx k z iβx k z ωεε1 ωεε2 A e e 1 ε = A e e 2 ε. Άρα, Φυσικά, η συνιστώσα οδηγώντας µας στις σχέσεις β k2 ε A 2 1 = A2 και. k = ε (2.44) 1 1 H y θα πρέπει να ικανοποιεί επίσης την κυµατική εξίσωση (2.3) = 1 (2.45) k β k ε, = β ε2 (2.46) k k. Τελικά, αν συνδυάσουµε τις (2.44) (2.46) καταλήγουµε στο επιθυµητό αποτέλεσµα, δηλαδή στη σχέση που δίνει τη διασπορά των πολαριτόνιων επιφανειακών πλασµονίων που οδηγούνται στη διεπιφάνεια των δύο ηµιχώρων ε1ε β = k 2. ε + ε 1 2 (2.47) Υπενθυµίζεται ότι, για να έχουµε οδήγηση SPPs στη διεπιφάνεια, θα πρέπει να έχουµε δυο υλικά των οποίων τα πραγµατικά µέρη των διηλεκτρικών σταθερών τους να έχουν αντίθετο πρόσηµο. Επιπλέον, θα πρέπει να ισχύει Re[ ε ] 1 > ε2 ώστε να αποφευχθούν αρνητικά υπόριζα στη (2.47), γεγονός το οποίο θα οδηγούσε σε φανταστική φασική σταθερά και άρα σε απόσβεση. Σύµφωνα µε τις συµβάσεις που έχουµε κάνει, για να έχουµε οδήγηση που περιορίζεται κοντά στην επίπεδη διεπιφάνεια αγωγού και διηλεκτρικού, και εφόσον ε2 > θα πρέπει [ ] Re ε 1 <. Η έκφραση (2.47) ισχύει για υλικά είτε µε µιγαδική είτε µε πραγµατική διηλεκτρική σταθερά, δηλαδή για αγωγούς µε απώλειες ή χωρίς. Στην περίπτωση κατά την οποία το διηλεκτρικό δεν εισάγει απώλειες και το µέταλλο διατηρεί συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς ε 1(ω) = ε1, Re + iε1,im για την οποία ισχύει ε1,re > iε1,im, µπορούµε να διαχωρίσουµε τη σταθερά διάδοσης στο πραγµατικό και το φανταστικό της µέρος β = βre + iβim ως εξής ω ε2ε1, Re ω ε2ε1, Re ε1,im βre = και β Im =. c ε 2 2 ε 1,Re c ε2 ε + + 1,Re 2(ε 1,Re ) 25

32 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων TE ρυθµοί Παραµένει να εξετάσουµε και τους εγκάρσιους ηλεκτρικούς ρυθµούς. Με ακριβώς ανάλογο τρόπο, για z < iβx k1z y ( ) = 1 (2.48) E z A e e, ενώ για z > 1 iβx k z H z = ia k e e, (2.49) ( ) 1 x 1 1 ωµ β iβx k1z Hz ( z) = A1 e e, (2.5) ωµ iβx k2z y ( ) = 2 (2.51) E z A e e, 1 iβx k z H z = ia k e e, (2.52) ( ) 2 x 2 2 ωµ β iβx k 2z Hz ( z) = A2 e e. (2.53) ωµ Αν εξετάσουµε στη συνέχεια την ισχύ των οριακών συνθηκών στη διαχωριστική Α k k επιφάνεια, θα διαπιστώσουµε ότι πρέπει να ικανοποιείται η ( ) =. Ωστόσο, η απαίτηση για περιορισµό του κύµατος στη διαχωριστική επιφάνεια απαιτεί ότι Re[ k 1] > και Re[ k 2 ] >, συνθήκη η οποία ικανοποιείται µόνο για Α1 = και άρα Α2 =. Άρα, διαπωστώνουµε ότι επιφανειακοί ρυθµοί για TE πόλωση δεν εµφανίζονται. Τα πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων στην περίπτωση της µονής διαχωριστικής επιφάνειας υπάρχουν µόνο για TM πόλωση ιασϖορά µε τη συχνότητα Ενδιαφέρον παρουσιάζει η µελέτη της συχνοτικής διασποράς των οδηγούµενων surface plasmon polaritons στη µονή διεπιφάνεια. Είναι χρήσιµο να κάνουµε σύγκριση τόσο στη συµπεριφορά της σταθεράς διάδοσης για διαφορετικά διηλεκτρικά, όσο και για µέταλλα που περιγράφονται µε το Drude µοντέλο µε ή χωρίς απόσβεση. Αρχικά, θα µελετήσουµε τη διεπιφάνεια του άργυρου που προσεγγίζεται από το µοντέλο ελεύθερων ηλεκτρονίων χωρίς απόσβεση (το οποίο περιγράφεται από την (1.3)) µε διηλεκτρικό τον αέρα ( ε 2 = 1 ). Το διάγραµµα διασποράς του επιφανειακά οδεύοντος κύµατος µε σχέση 26

33 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων διασποράς τη (2.47) παρουσιάζεται στο σχήµα 2.3 µε γκρι γραµµές. Στο ίδιο σχήµα γίνεται σύγκριση µε τη διεπιφάνεια του ίδιου µετάλλου και διηλεκτρικό το διοξείδιο του πυριτίου SiO = µε µαύρες γραµµές. Η συχνότητα ω κανονικοποιήθηκε µε τη (ε 1.5 ) συχνότητα πλάσµατος ω p. Με συνεχείς γραµµές αναπαριστάται το πραγµατικό µέρος της σταθεράς διάδοσης, ενώ µε διακεκοµµένες το φανταστικό µέρος. Επίσης, µε αντίστοιχο χρώµα φαίνονται οι γραµµές φωτός στο κάθε διηλεκτρικό, η διασπορά που θα είχε η σταθερά διάδοσης αν η διάδοση γινόταν στο διηλεκτρικό και υπολογίζεται από την β = (ω c) ε. 2 Σχήµα 2.3 ιάγραµµα διασποράς των SPPs στη διεπιφάνεια µετάλλου και διηλεκτρικού. Το µέταλλο που χρησιµοποιείται είναι ο άργυρος και περιγράφεται από το µοντέλο πλάσµατος ελεύθερων ηλεκτρονίων χωρίς απόσβεση. Με γκρι χρώµα απεικονίζεται η σταθερά διάδοσης για διηλεκτρικό τον αέρα ενώ µε µαύρη για διηλεκτρικό το διοξείδιο του πυριτίου. Εµφανίζονται τα πραγµατικά (συνεχείς γραµµές) και τα φανταστικά (διακεκοµµένες γραµµές) µέρη της σταθεράς διάδοσης. Με το αντίστοιχο χρώµα φαίνονται οι γραµµές του φωτός στο κάθε διηλεκτρικό. Παρατηρώντας το σχήµα 2.3 µπορούν να προκύψουν χρήσιµα συµπεράσµατα για τα πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων. Φαίνεται πολύ καθαρά ότι υπάρχει µια περιοχή συχνοτήτων µε καθαρά φανταστικές σταθερές διάδοσης, για τις οποίες συνεπώς δεν µπορεί να υπάρξει διάδοση. Πέρα από το κατώφλι της συχνότητας πλάσµατος, δηλαδή για ω > ωp, το µέταλλο, όπως προαναφέρθηκε, χάνει τον «µεταλλικό» του χαρακτήρα, και 27

34 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων παρατηρούνται οι αποκαλούµενοι ακτινοβολούµενοι ρυθµοί (volume plasmons ή Radiative Plasmon Polaritons, RPPs). Για συχνότητες ανάµεσα στους SPP και RPP ρυθµούς κατά τις οποίες, όπως αναφέραµε, δεν µπορεί να υπάρχει διάδοση, δηλαδή η περιοχή των συχνοτήτων αναµεταξύ των bandgap) [11-12]. ω sp και ω p ονοµάζεται ως κενή ϖλασµονική ζώνη (plasmonic Για συχνότητες πολύ µικρότερες της ω p, ο συντελεστής διάδοσης είναι πολύ κοντά στο κυµατικό διάνυσµα του διαδιδόµενου κύµατος στο διηλεκτρικό και τα κύµατα εκτείνονται για πολλά µήκη κύµατος µέσα σε αυτό 1. Αυξάνοντας τη συχνότητα εντοπίζεται µια χαρακτηριστική συχνότητα στην οποία η φασική σταθερά λαµβάνει πολύ µεγάλες τιµές. Πρόκειται για τη συχνότητα εϖιφανειακού ϖλασµoνίου (surface plasmon frequency) ωp ω sp =, 1 + ε2 (2.54) η οποία προκύπτει αν στη συνάρτηση διασποράς (2.47) εισάγουµε το Drude µοντέλο και είναι η συχνότητα στην οποία Re[ ε (ω)] 1 = ε2 [13]. Όσο η συχνότητα τείνει στην ω sp, το β τείνει στο άπειρο και η ταχύτητα οµάδας στο µηδέν ( v ). Αυτό συµβαίνει καθώς το φανταστικό µέρος της διηλεκτρικής σταθεράς του µετάλλου γίνεται µηδέν (Im[ε1 ( ω )] = ), δηλαδή στο όριο της ταλάντωσης των ηλεκτρονίων αγωγιµότητας χωρίς απόσβεση, µε το ρυθµό να αποκτά ηλεκτροστατικό χαρακτήρα. Ο ρυθµός σε αυτήν την περίπτωση είναι γνωστός και ως εϖιφανειακό ϖλασµόνιο (surface plasmon). Αυτό που παρατηρούµε εποπτικά µπορεί να ανακτηθεί από την ιδιότητα του ηλεκτρικού δυναµικού φ να ικανοποιεί την εξίσωση Laplace 2 φ =. Ψάχνουµε για µια λύση, η οποία θα έχει µορφή κύµατος µε διάδοση κατά x και θα αποσβένεται εκθετικά κατά τη διεύθυνση z. Έτσι έχουµε για z < g ενώ για z > iβx k z = 1 (2.55) ( ) 1 φ z Α e e, iβx k z = 2 (2.56) ( ) 2 φ z Α e e. Όπως αναφέραµε, πρέπει να ικανοποιείται η εξίσωση Laplace για το ηλεκτρικό δυναµικό, έτσι η 2 φ = ικανοποιείται αν k1 = k2 = β. Συνεπώς, το µήκος απόσβεσης ẑ είναι το 1 Σε αυτό το πλαίσιο παρατηρείται το φαινόµενο γνωστό ως κύµατα Sommerfeld Zenneck. 28

35 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων ίδιο τόσο για το µέταλλο όσο και για το διηλεκτρικό. Εν συνεχεία, οι οριακές συνθήκες επιβάλλουν ότι ( ) A A και ε ω ε. 1 = = (2.57) Η (2.57) παρατηρούµε ότι ικανοποιείται, αν υποθέσουµε ότι έχουµε ένα µέταλλο που περιγράφεται από την (1.3) στην ω sp. Επιπλέον, αν τη συγκρίνουµε µε τη (2.47) επιβεβαιώνεται ότι όταν το β το SPP κύµα τείνει στο επιφανειακό πλασµόνιο. Μέχρι στιγµής, όσον αφορά τη µονή διεπιφάνεια µετάλλου/διηλεκτρικού, ασχοληθήκαµε µε την περίπτωση µεταλλικού ηµιχώρου που περιγράφεται από το µοντέλο ελεύθερων ηλεκτρονίων χωρίς απόσβεση. Θεωρήσαµε, δηλαδή, ότι η διηλεκτρική σταθερά του µετάλλου παίρνει µόνο πραγµατικές τιµές. Ωστόσο, όπως έχει εξηγηθεί στο κεφάλαιο 1, στην πραγµατικότητα, τα µέταλλα τα οποία χρησιµοποιούνται εισάγουν απώλειες τόσο λόγω των ελεύθερων ηλεκτρονίων όσο λόγω των διαζωνικών µεταβάσεων, οι οποίες εµφανίζονται ήδη στο κοντινό υπέρυθρο και ορατό φάσµα. Συνεπώς, τα πραγµατικά µέταλλα έχουν και φανταστικό µέρος, η συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς είναι µιγαδική και συνεκδοχικά η σταθερά διάδοσης των SPPs θα είναι και αυτή µιγαδική. Πρέπει, λοιπόν, να µελετηθεί η µονή διεπαφάνεια ανάµεσα σε διηλεκτρικό και σε ένα πραγµατικό µέταλλο. Το διάγραµµα διασποράς που προκύπτει µε τη συχνότητα εµφανίζεται στο σχήµα 2.4. Ως µέταλλο χρησιµοποιήθηκε ο άργυρος µε συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς ε 1 (ω), σύµφωνα µε το µοντέλο Lorentz Drude από τα δεδοµένα του Α. Rakic [6]. Παρουσιάζεται το µεν πραγµατικό µέρος του κυµατικού διανύσµατος Re[ β ] συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας ω, το δε φανταστικό παρατίθεται στο εσωτερικό του σχήµατος. Εξετάζεται η µονή διεπιφάνεια αργύρου/αέρα µε µαύρη γραµµή καθώς και η διεπιφάνεια αργύρου/διοξειδίου του πυριτίου µε γκρι γραµµή. Με τα αντίστοιχα χρώµατα παρουσιάζονται οι γραµµές του φωτός στο κάθε διηλεκτρικό. Αν συγκρίνουµε το σχήµα 2.4 µε την περίπτωση µετάλλου χωρίς απώλειες του σχήµατος 2.3 παρατηρούµε παρόµοια συµπεριφορά του β, αυτήν τη φορά, όµως, η σταθερά διάδοσης δεν απειρίζεται. Πιο συγκεκριµένα στην επιφανειακή συχνότητα πλάσµατος ω sp τα δέσµια SPPs µεγιστοποιούνται και µάλιστα το β παίρνει πεπερασµένη τιµή, επιβάλλοντας έτσι ένα κάτω όριο στο µήκος κύµατος επιφανειακού πλάσµατος λsp = 2π Re[β]. Επιπλέον, επιβάλλει ένα όριο στο κατά πόσο ο ρυθµός συγκεντρώνεται εγκάρσια στη διαχωριστική επιφάνεια 29

36 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων εφόσον έχουµε υποθέσει εκθετική εγκάρσια απόσβεση Τέλος, στις συχνότητες ανάµεσα στις e kz z, όπου 2 ω 2 kz = β ε 2( ). c ω sp και ω p, ενώ προηγουµένως η διάδοση ήταν απαγορευµένη λόγω του µηδενισµού του πραγµατικού µέρους της σταθεράς διάδοσης, για το πραγµατικό µέταλλο επιτρέπεται ένα ψευδοδέσµιο 1 (quasibound, QB) µέρος της σχέσης διασποράς. Στο σχήµα 2.4 επισηµαίνονται, επίσης, οι περιοχές στις οποίες εµφανίζονται οι RPP, QB και SPP ρυθµοί για τη διαχωριστική επιφάνεια Ag / SiO 2. Σχήµα 2.4 ιάγραµµα διασποράς των SPPs στη διεπιφάνεια µέταλλου και διηλεκτρικού. Το µέταλλο που χρησιµοποιείται είναι ο άργυρος και περιγράφεται από το µοντέλο ταλαντωτών Lorentz Drude. Με γκρι χρώµα εµφανίζεται το πραγµατικό µέρος της σταθεράς διάδοσης για διηλεκτρικό τον αέρα ενώ µε µαύρη για διηλεκτρικό το διοξείδιο του πυριτίου. Με το αντίστοιχο χρώµα φαίνονται οι γραµµές του φωτός στο κάθε διηλεκτρικό. Στο εσωτερικό παρουσιάζεται το φανταστικό µέρος του κυµατικού διανύσµατος. 2.3 ιατάξεις διέγερσης SPPs Αν δούµε το σχήµα 2.3 από µια διαφορετική οπτική γωνία, όπως στο σχήµα 2.5(α), αντιλαµβανόµαστε ότι η διέγερση των SPPs, για παράδειγµα στη διεπιφάνεια µετάλλου αέρα, δεν είναι εφικτή µε απλή πρόσπτωση φωτός στον ελεύθερο χώρο. Για κάθε γωνιακή 1 Εξ ου και αναφέρονται πολλές φορές ως ψευδοδέσµιοι ρυθµοί (QB). Σε αντίθεση µε το µοντέλο χωρίς απόσβεση, όπου εµφανίζεται µόνο φανταστικό µέρος, για τα πραγµατικά µέταλλα η σταθερά διάδοσης έχει και πραγµατικό µέρος σε αυτή την περιοχή, έτσι, µαθηµατικά τουλάχιστον, δεν µπορούµε να αποκλείσουµε εκ των προτέρων αυτούς τους ρυθµούς. 3

37 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων συχνότητα το κυµατικό διάνυσµα ενός SPP στη διεπιφάνεια µετάλλου διηλεκτρικού είναι µεγαλύτερο από αυτό του φωτός στο διηλεκτρικό, ksp > kαέρα. Για αυτόν τον λόγο, το φως που διαδίδεται στον αέρα δεν µπορεί να συζευχθεί και να διεγείρει SPPs. Λόγω της δέσµιας φύσης τους, διέγερση των SPPs µπορεί να συµβεί µόνο στο χώρο που βρίσκεται δεξιά της γραµµής του φωτός στο αντίστοιχο διηλεκτρικό, γεγονός που υπονοεί ότι απαιτούνται ειδικές τεχνικές διέγερσης των επιφανειακών κυµάτων [14]. Σχήµα 2.5 (α) Με µαύρη γραµµή εµφανίζεται η γραµµή φωτός στον αέρα καθώς και η διασπορά του SPP στη διεπιφάνεια µετάλλου αέρα. Στη σκούρα γκρι περιοχή οι ρυθµοί είναι διαρρέοντες και µπορούν να εισχωρήσουν στο πρίσµα. εξιά της γραµµής του φωτός στο πρίσµα (λευκή γραµµή) οι ρυθµοί είναι δέσµιοι. (β) ιάταξη Kretschmann για διέγερση SPP στη διεπιφάνεια µετάλλου αέρα µε την τεχνική προσαρµογής φάσης, κατά την οποία η διέγερση είναι βέλτιστη όταν ksp = k. Ένα SPP είναι δυνατόν να διεγερθεί κατά µήκος µιας διεπιφάνειας µετάλλου αέρα χρησιµοποιώντας ένα πρίσµα µε υψηλό δείκτη διάθλασης, διάταξη η οποία παρουσιάζεται στο σχήµα 2.5(β). Εµπνευστής της διάταξης αυτής, η οποία εκµεταλλεύτεται την τεχνική προσαρµογής φάσης (phase matching), είναι ο E. Kretschmann και µέσω αυτής επιτυγχάνουµε να µεγεθύνουµε την παράλληλη στη διαχωριστική επιφάνεια συνιστώσα του κυµατικού διανύσµατος της προσπίπτουσας δέσµη φωτός, k, και να την αντιστοιχίσουµε στο κυµατικό διάνυσµα του οδεύοντος SPP, k sp, το οποίο και επιθυµούµε να διεγείρουµε. Η διάταξη αυτή µπορεί να διεγείρει µόνο ρυθµούς που βρίσκονται πάνω από τη γραµµή του φωτός στο πρίσµα (αφού k = kπρίσµα sin θ < kπρίσµα ksp kπρίσµα ) για τους οποίους ισχύει < και βρίσκονται στη σκούρα γκρι περιοχή του σχήµατος 2.5(α) [15]. 31

38 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων Όµως, όπως το φως από το πρίσµα µπορεί να διεγείρει SPPs, τα SPPs θα µπορούν να εισχωρήσουν και αυτά µε τη σειρά τους στο πρίσµα. ηλαδή παρατηρείται µια ακτινοβολία διαρροής, από την οποία και παίρνουν οι διαρρέοντες αυτοί SPP ρυθµοί την ονοµασία τους (leaky SPP modes). Κάτω από τη γραµµή του φωτός στο πρίσµα, στην περιοχή ανοιχτού γκρι, δεν µπορούν να διεγερθούν SPPs µε αυτήν την τεχνική, διότι το κυµατικό τους διάνυσµα είναι µεγαλύτερο από αυτό του φωτός στο πρίσµα ksp > kπρίσµα. Για αυτούς τους ρυθµούς δεν διαρρέεται ακτινοβολία, είναι δέσµιοι ρυθµοί (bound modes), χωρίς, ωστόσο, να αποφεύγονται σηµαντικές απώλειες στο υλικό [16]. Εναλλακτικά, µπορεί να χρησιµοποιηθεί κάποια άλλη µέθοδος αύξησης της σταθεράς διάδοσης για διέγερση των SPPs, όπως σύζευξη µε κάποια περιοδική διάταξη ή σκέδαση λόγω τραχύτητας ή ατέλειας στην επιφάνεια. Επίσης, έχει προταθεί η τεχνική, κατά την οποία ο πρόβολος (optical probe) ενός οπτικού µικροσκοπίου σάρωσης κοντινού πεδίου (near field scanning) µπορεί να αποτελέσει σηµειακή πηγή SPPs σε φιλµς αργύρου και χρυσού [17 18]. Η διάταξη αυτή παρατίθεται στο σχήµα 2.6(β). Τέλος, στο σχήµα 2.6(α) περιγράφεται µια προσφάτως προταθείσα τεχνική διέγερσης ενός SPP σε µία µεταλλική επιφάνεια µε φως στον ελεύθερο χώρο συνδυάζοντας φωτόνια από δύο διαφορετικές πηγές laser (nonlinear four wave mixing) [19]. Σχήµα 2.6 (α) Τεχνική διέγερσης SPPs σε µεταλλική επιφάνεια χρησιµοποιώντας φως στον ελεύθερο χώρο. Αυτό επιτυγχάνεται µε τη χρήση τριών φωτονίων, τα οποία παράγονται από δυο διαφορετικές πηγές λέιζερ. (β) ιάταξη οπτικού µικροσκοπίου σάρωσης κοντινού πεδίου για διέγερση SPP (αριστερά) και διάταξη για διερεύνηση χωρικής και γωνιακής κατανοµής του µεταδιδόµενου φωτός (δεξιά). 32

39 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων Όπως φαίνεται, η διαδικασία απαιτεί τρία φωτόνια, τα οποία δηµιουργούνται από δύο συµφασικές πηγές λέιζερ µε συχνότητες ω 1 και ω2 προσπίπτοντα υπό γωνίες θ 1 και θ 2 αντίστοιχα. Η µια πηγή προσφέρει δύο φωτόνια ενώ η άλλη ένα. Η τεχνική αυτή δίνει τη δυνατότητα να διεγερθούν επιφανειακά πλασµόνια οπουδήποτε στο µέταλλο ενώ αποφεύγεται η διαρροή της ακτινοβολίας. Ενδεχοµένως αν µπορέσουµε να εκµεταλλευτούµε την τεχνική αυτή διεγείροντας τη µεταλλική επιφάνια σε διαφορετικά σηµεία στο χώρο αλλά και µε χρονική καθυστέρηση, να βρεθούµε πιο κοντά στην επεξεργασία σήµατος µε SPPs. 2.4 Συγκέντρωση της ενέργειας και µήκος διάδοσης Ένα οδεύον surface plasmon polariton αποσβένεται κατά τη διάδοσή του λόγω των ωµικών απωλειών στο µέταλλο. Το µήκος εξασθένησης ενέργειας (energy attenuation length), δηλαδή το µήκος που διανύει ο ρυθµός κατά το οποίο η ένταση του θα πέσει στο 1 e, είναι γνωστό ως µήκος διάδοσης (propagation length) και δίνεται από τη σχέση 1 L =. (2.58) 2Im[β] Τυπικά, στο ορατό φάσµα, αναλόγως µε το διηλεκτρικό και το µέταλλο που απαρτίζουν τη µονή διεπιφάνεια, το µήκος διάδοσης παίρνει τιµές της τάξης των 1 ως 1 µm. Παροµοίως, όπως εξηγήθηκε και νωρίτερα, η απόσταση η κάθετη στο επίπεδο επαφής των δύο υλικών κατά την οποία το πλάτος των πεδίων πέφτει στο 1 e ονοµάζεται µήκος αϖόσβεσης (decay length) 1 ẑ = ( i = 1, 2). (2.59) k i Εκφράζει, δηλαδή, το πόσο περιορίζεται το πεδίο κοντά στη διεπιφάνεια, ώστε όσο µεγαλύτερο το µήκος απόσβεσης, τόσο περισσότερο εκτείνεται το πεδίο εκατέρωθεν της διεπιφάνειας και τόσο µικρότερη είναι η συγκέντρωση. Η σχέση διασποράς καταδεικνύει ότι και τα δύο αυτά µεγέθη εµφανίζουν ισχυρή εξάρτηση από τη συχνότητα. Από τα διαγράµµατα διασποράς γίνεται εµφανές ότι για συχνότητες κοντά στην ω sp τα SPPs παρουσιάζουν αυξηµένη απόσβεση και άρα έχουν µικρή απόσταση διάδοσης. Επιπλέον, το πεδίο παρουσιάζει ιχυρή συγκέντρωση κατά την εγκάρσια στη διαχωριστική επιφάνεια διεύθυνση. 33

40 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων Στο σχήµα 2.7 απεικονίζεται το µήκος διάδοσης L του SPP συναρτήσει του µήκους κύµατος στο κενό κανονικοποιηµένο ως προς λ sp. Η σύγκριση γίνεται ανάµεσα σε δυο µονές διεπιφάνειες. Με γκρι γραµµή παρουσιάζεται το µήκος διάδοσης του SPP για τη διεπιφάνεια αργύρου/αέρα, ενώ µε µαύρη παρουσιάζεται αυτό της διεπιφάνειας αργύρου/διοξειδίου του πυριτίου. Στο εσωτερικό του σχήµατος εµφανίζεται επιπλέον το µήκος διάδοσης για διηλεκτρικό το πυρίτιο µε διηλεκτρική σταθερα εsi = 11.9 (µε ανοιχτό γκρι), όµως, η σύγκριση για τα τρία διηλεκτρικά στην προκειµένη περίπτωση γίνεται συναρτήσει του µήκους κύµατος στο κενό σε nm και σε ένα στενότερο παράθυρο συχνοτήτων. Ως συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς για τον άργυρο χρησιµοποιήθηκε το µοντέλο Lorentz Drude, σύµφωνα µε τα δεδοµένα του Α. Rakic [6]. Σχήµα 2.7 Μήκος διάδοσης L του οδεύοντος επιφανειακού κύµατος για τη µονή διεπιφάνεια αργύρου/αέρα (µε µαύρη γραµµή) και αργύρου/διοξειδίου του πυριτίου (µε γκρι γραµµή) συναρτήσει του µήκους κύµατος στο κενό κανονικοποιηµένο ως προς λ sp. Στο εσωτερικό εµφανίζεται, επιπλέον, το µήκος διάδοσης του πυριτίου συναρτήσει του µήκους κύµατος στο κενό σε nm. Ενδεικτική της µετάβασης ανάµεσα στους QB και RPP ρυθµούς είναι η περιοχή κοντά στη συχνότητα επιφανειακού πλασµονίου, η οποία, αν προσέξουµε το σχήµα 1.2, αντιστοιχεί στην περιοχή ανωµαλίας της συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς του άργυρου. Όπως φαίνεται από τη σύγκριση του µήκους διάδοσης ανάµεσα στα δυο διηλεκτρικά, το 34

41 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων µέγεθος αυτού του ακρότατου µπορεί να ελεγχθεί από την επιλογή του διηλεκτρικού. Αντιστρόφως, για µια δεδοµένη συχνότητα, το µήκος κύµατος του επιφανειακού πλασµονίου µπορεί να ρυθµιστεί µεταβάλλοντας τη διηλεκτρική σταθερά του διηλεκτρικού. Συνεπώς, παρουσιάζεται δυνατότητα δυναµικού ελέγχου του µήκους διάδοσης κάνοντας χρήση ενός ηλεκτρο οπτικού υλικού. Για παράδειγµα, σε µήκος κύµατος στο κενό λ = 155 nm, µια διαφορά στον δείκτη διάθλασης του διηλεκτρικού της τάξης του n =.1 µπορεί να προκαλέσει µεταβολή 6 µm στο µήκος διάδοσης [13]. Επίσης, από το εσωτερικό του σχήµατος 2.7 παρατηρούµε ότι για δεδοµένο µήκος κύµατος µεγαλύτερο µήκος διάδοσης έχει το διηλεκτρικό µε τη µικρότερη διηλεκτρική σταθερα. Παρ όλα ταύτα, αν λάβουµε υπόψη συνδυαστικά τη σταθερά διάδοσης και το µήκος διάδοσης, διαπιστώνουµε ότι ένας βέλτιστος συµβιβασµός ανάµεσα σε µικρά µήκη κύµατος πλασµονίου και χαµηλών αποσβέσεων εκπληρώνεται για µεγαλύτερους δείκτες διάθλασης. Χρήσιµη είναι και η αναπαράσταση της εισχώρησης του πεδίου στα δυο υλικά της µονής διεπιφάνειας. Στο σχήµα 2.8 για τη διεπιφάνεια αργύρου/διοξειδίου του πυριτίου παρουσιάζεται το µήκος απόσβεσης ẑ συναρτήσει του µήκους κύµατος στο κενό σε nm και κανονικοποιηµένο ως προς λ sp για τον αγώγιµο ηµιχώρο (γκρι επιφάνεια) και τον διηλεκτρικό ηµιχώρο (λευκή επιφάνεια). Στο ίδιο σχήµα επισηµαίνονται οι ζώνες των µηκών κύµατος, στις οποίες ο ρυθµός έχει χαρακτήρα RPP, QB ή SPP. Προκύπτει ότι όσο µικρότερη είναι η συγκέντρωση του πεδίου δηλαδή όσο περισσότερο εκτείνεται το πεδίο στους δυο ηµιχώρους τόσο µεγαλύτερο είναι το µήκος διάδοσής του. Αυτό αποτελεί έναν χαρακτηριστικό συµβιβασµό για την πλασµονική. Στο ίδιο το µέταλλο, τα πεδία περιορίζονται σε αποστάσεις της τάξης των 2 nm µετά το µήκος κύµατος λ sp σε ένα ευρύ φάσµα συχνοτήτων από το ορατό ως το υπέρυθρο. Στο διηλεκτρικό, όπως ήταν αναµενόµενο, το βάθος διείσδυσης αυξάνεται για µεγαλύτερα µήκη κύµατος και φτάνει σε µεγέθη της τάξης του 1 µm. Μια σηµαντική παρατήρηση είναι ότι περιορισµός του πεδίου κάτω από το όριο περίθλασης (diffraction limit) του µισού µήκους κύµατος στο διηλεκτρικό µπορεί να επιτευχθεί κοντά στην ω sp, όπου εντοπίζεται τοπικό ελάχιστο τόσο για το µέταλλο όσο και για το διηλεκτρικό. Ωστόσο, κατά τον συντονισµό αυτόν, αν και διαπιστώνεται ελάχιστη πυκνότητα ενέργειας στο µέταλλο, η διάδοση είναι της τάξης των µερικών νανοµέτρων εξαιτίας της ταχύτητας οµάδας, η οποία τείνει στο µηδέν. Εν συνεχεία, για µικρότερα µήκη 35

42 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων κύµατος, παρουσιάζεται κοινό τοπικό µέγιστο που σηµατοδοτεί τη µετάβαση σε ακτινοβολούµενους ρυθµούς πολαριτονίων πλασµονίων. Παρατηρούµε, παρ όλα αυτά, ελαφρώς βελτιωµένη µετάδοση. Σχήµα 2.8 Μήκος απόσβεσης ẑ του πεδίου κατά την εγκάρσια ως προς τη διάδοση διεύθυνση για τη µονή διεπιφάνεια αργύρου/διοξειδίου του πυριτίου συναρτήσει του µήκους κύµατος στο κενό κανονικοποιηµένο ως προς λ sp. Απεικονίζεται η εισχώρηση του πεδίου τόσο στον αγώγιµο ηµιχώρο (γκρι επιφάνεια), όσο στον διηλεκτρικό ηµιχώρο (λευκή επιφάνεια). Τέλος, προσεγγίζοντας την IM δοµή από ενεργειακή σκοπιά, είναι σκόπιµο να µελετήσουµε την κατανοµή της πυκνότητας ενέργειας στους δύο ηµιχώρους. Η πυκνότητα ενέργειας στο διηλεκτρικό υπολογίζεται από τη γνωστή εξίσωση 1 1 usio = E D = ε 2 2E E, 2 2 (2.6) ενώ στο µέταλλο η πυκνότητα ενέργειας υπολογίζεται από το θεώρηµα του Poynting για γραµµικά µέσα µε απώλειες [2] 1 d(ωε 1(ω)) usio = Re. 2 2 dω E E (2.61) Θα υπολογίσουµε την πυκνότητα ενέργειας της εφαπτοµενικής συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου, E x, ως συνάρτηση της απόστασης από τη διαχωριστική επιφάνεια z, όπως φαίνεται 36

43 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων στο σχήµα 2.9. Οι υπολογισµοί έγιναν για χαρακτηριστικά µήκη κύµατος στο κενό, όπως λ = 55 nm (α), λ = 4 nm (β), λ = 3 nm (γ) και λ = 25 nm (δ), ώστε γίνεται αντιληπτή η µετάβαση από SPP στους RPP ρυθµούς. Ο άργυρος προσεγγίστηκε από το Lorentz Drude µοντέλο και το προσπίπτον πεδίο έχει κανονικοποιηθεί. Σχήµα 2.9 Πυκνότητα ενέργειας της εφαπτοµενικής συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου, E x, ως συνάρτηση της απόστασης από τη διαχωριστική επιφάνεια z. Οι υπολογισµοί έγιναν για µήκος κύµατος στο κενό λ = 55 nm (α), λ = 4 nm (β), λ = 3 nm (γ), και λ = 25 nm (δ). Μειώνοντας το µήκος κύµατος από τα 55 nm στα 4 nm και πλησιάζοντας προς τη συχνότητα επιφανειακού πλάσµατος, η πυκνότητα ενέργειας περιορίζεται περισσότερο γύρω από τη διεπιφάνεια και κυρίως στο µεταλλικό υπόστρωµα. Για λ = 3 nm βρισκόµαστε στην περιοχή αµέσως πριν τους ακτινοβολούντες ρυθµούς, ώσπου περνάµε στην περιοχή αυτή, στα 25 nm, όπου παρατηρείται µικρή αύξηση της πυκνότητας 37

44 Κεφάλαιο 2. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων ενέργειας στο διηλεκτρικό και µείωση στο µέταλλο αλλά η απόσβεση γίνεται πολύ γρήγορα άνω και κάτω της διαχωριστικής επιφάνειας µετάλλου/διηλεκτρικού. Αναφερθήκαµε στον τυπικό συµβιβασµό που πρέπει να γίνεται ανάµεσα στον περιορισµό του πεδίου κοντά στη διαχωριστική επιφάνεια και το µήκος διάδοσης. Για τη µονή διεπιφάνεια µετάλλου/διηλεκτρικού, όταν παρατηρείται ικανοποιητική µετάδοση του κύµατος, δηλαδή µεγάλο µήκος διάδοσης, το πεδίο εκτείνεται κατά πολύ στο διηλεκτρικό. Αυτό, βέβαια, δεν είναι επιθυµητό, αν θέλει κανείς να σχεδιάσει ολοκληρωµένες πλασµονικές δοµές. Στη µονή διεπαφάνεια το βάθος διείσδυσης στο διηλεκτρικό αυξάνεται εκθετικά µε το µήκος κύµατος, όµως παραµένει σχεδόν σταθερό στο µέταλλο για συχνότητες διέγερσης στο ορατό και το κοντινό υπέρυθρο φάσµα. ιαισθάνεται κανείς ότι µια δοµή µετάλλου/διηλεκτρικού/µετάλλου θα προσφέρει καλύτερη οδήγηση του κύµατος µέσω της διαφοράς του δείκτη διάθλασης στον πυρήνα και το περίβληµα και ταυτόχρονα το µέταλλο θα προσφέρει τον κατάλληλο περιορισµό του πεδίου. Επόµενο βήµα, όπως γίνεται καταφανές, είναι να εξετάσουµε τις δοµές διηλεκτρικό/µέταλλο/διηλεκτρικό και µέταλλο/διηλεκτρικό/µέταλλο και ποια σχέση διασποράς εµφανίζουν αυτές. 38

45 Κεφάλαιο 3 συστήµατα Πολαριτόνια εϖιφανειακών ϖλασµονίων σε ϖολυστρωµατικά Στο προηγούµενο κεφάλαιο µελετήθηκε η διάδοση επιφανειακών κυµάτων στη µονή διεπιφάνεια µετάλλου/διηλεκτρικού. Με την προϋπόθεση ότι τα πραγµατικά µέρη των δυο υλικών έχουν αντίθετα πρόσηµα, διαπιστώθηκε η οδήγηση των πολαριτονίων επιφανειακών πλασµονίων. Μάλιστα διαπιστώσαµε ότι επιτυγχάνονται ικανοποιητικά µήκη διάδοσης. Παρ όλα αυτά, τα µεγάλα µήκη διάδοσης συνοδεύονται από αυξηµένη εισχώρηση του πεδίου στο µέταλλο και το διηλεκτρικό, µε τη φτωχή αυτή συγκέντρωση του πεδίου να στέκεται εµπόδιο στη δηµιουργία πλασµονικών διατάξεων µε υψηλό βαθµό ολοκλήρωσης. Η παρατήρηση ότι η διείσδυση του πεδίου στο διηλεκτρικό αυξάνει όσο αυξάνει η συχνότητα, ενώ για το µέταλλο στις ορατές και κοντινές υπέρυθρες συχνότητες παραµένει σχεδόν σταθερή οδήγησε στη στροφή προς τη δοµή µέταλλο/διηλεκτρικό/µέταλλο. Στρέφουµε, εποµένως, την προσοχή µας σε δοµές πολλών στρωµάτων µε εναλλασσόµενα λεπτά στρώµατα αγωγών και διηλεκτρικών. Κάθε διεπιφάνεια µπορεί να οδηγήσει δέσµια SPPs. Στο σχήµα 3.1(β), για παράδειγµα, φαίνεται πώς µπορούν να διεγερθούν SPPs µε ένα γυάλινο πρίσµα σε κάθε διεπιφάνεια αναλόγως µε τη γωνία πρόσπτωσης [21]. Γίνεται εµφανές ότι, αν το στρώµα το οποίο διαχωρίζει διαδοχικές διεπιφάνειες έχει συγκρίσιµο ή µικρότερο πάχος από το µήκος απόσβεσης κατά την εγκάρσια διεύθυνση ẑ του ρυθµού που διαδίδεται στη διεπιφάνεια, τότε τα SPPs που διαδίδονται σε κάθε διεπιφάνεια αλληλεπιδρούν αναµεταξύ τους και έχουν ως αποτέλεσµα συζευγµένους ρυθµούς (coupled SPPs) [22]. Θα εστιάσουµε την προσοχή µας σε δυο βασικές δοµές οι οποίες υποστηρίζουν συζευγµένους ρυθµούς. Η πρώτη αποτελείται από ένα λεπτό µεταλλικό φιλµ πλαισιωµένο από δυο διηλεκτρικά περιβλήµατα, τα οποία εκτείνονται στο άπειρο, δηλαδή µια ετεροδοµή διηλεκτρικού/µετάλλου/διηλεκτρικού (Isnulator/Metal/Isnulator, IMI). Η δεύτερη αποτελεί τη συζυγή δοµή της πρώτης µε ένα λεπτό διηλεκτρικό φιλµ να πλαισιώνεται από µεταλλικούς ηµιάπειρους χώρους, δηλαδή ετεροδοµή µετάλλου/διηλεκτρικού/µετάλλου

46 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα (Metal/Insulator/Metal, MIM). Στη γενική της µορφή η γεωµετρία µιας IMI ή MIM ετεροδοµής πάχους πυρήνα t = 2α παρουσιάζεται στο σχήµα 3.1(α). Σχήµα 3.1 (α) Γεωµετρία ενός συστήµατος τριών στρωµάτων αποτελούµενο από ένα λεπτό φιλµ (1) πάχους t = 2α πλαισιωµένο από δύο στρώµατα τα οποία εκτείνονται στο άπειρο, (2) και (3). (β) ιέγερση πολαριτονίων επιφανειακών πλασµονίων µε ένα γυάλινο πρίσµα δείκτη διάθλασης n και στις δύο διεπιφάνειες ενός λεπτού µεταλλικού φιλµ διηλεκτρικής συνάρτησης n 1(ω ) εξαρτηµένη από τη γωνία πρόσπτωσης. n2 < n3 < n οι δείκτες διάθλασης των διηλεκτρικών υλικών. 3.1 Ανάλυση της δοµής τριών στρωµάτων Η σχέση διασϖοράς Υπενθυµίζεται για τη µονή διεπιφάνεια ότι διαδίδονται µόνο οι εγκάρσιοι µαγνητικοί TM ρυθµοί, όπως αποδείξαµε στο κεφάλαιο 2. Εφόσον ενδιαφερόµαστε µόνο για τους χαµηλότερης τάξης οδηγούµενους ρυθµούς, αφετηρία της ηλεκτροµαγνητικής ανάλυσης θα είναι οι γενικές εξισώσεις (2.28) έως (2.3) που περιγράφουν τους ΤΜ ρυθµούς. Αρχικά, θα παρουσιάσουµε τις εξισώσεις που περιγράφουν το πεδίο που εισχωρεί στους δύο ηµιχώρους εκατέρωθεν του λεπτού φιλµ. Απαιτούµε εκθετική απόσβεση του πεδίου στα περιβλήµατα (2) και (3) του σχήµατος 3.1(α) και συµβολίζουµε για απλότητα, όπως για τη µονή διεπιφάνεια, τη συνιστώσα του κυµατικού διανύσµατος κατά τη διεύθυνση εγκάρσια στις διεπιφάνειες ως ki = k z,i (i = 1, 2,3). Για z > α, οι συνιστώσες του πεδίου είναι y k z = (3.1) iβx 3 ( ) H z Αe e, 4

47 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα 1 iβx k 3z Ex ( z) ia k 3e e, ωεε3 = (3.2) ενώ για z < α έχουµε β iβx k 3z Ez ( z) A e e, ωεε3 = (3.3) y ( ) 2 iβx k z = (3.4) H z Βe e, 1 iβx k 2z Ex ( z) ib k 2e e, ωεε2 = (3.5) β iβx k 2z Ez ( z) B e e. ωεε2 = (3.6) Μένει να προσδιοριστούν οι εξισώσεις που διέπουν τα πεδία στο λεπτό φιλµ. Στον πυρήνα, δηλαδή για α < z < α, διεγείρονται ρυθµοί στο ζεύγος της άνω και κάτω διαχωριστικής επαφάνειας, οι οποίοι περιγράφονται από τις y 1 1 ( ) iβx k z iβx k z = + (3.7) H z Ce e De e, 1 iβx k 1z 1 iβx k 1z Ex ( z) ic k1e e id k1e e, ωεε1 ωεε1 = + (3.8) β iβx k 1z β iβx k 1z Ez ( z) C e e D e e. ωεε1 ωεε1 = + (3.9) Οι οριακές συνθήκες επιβάλλουν, επιπλέον, τη συνέχεια των εφαπτοµενικών συνιστωσών του µαγνητικού πεδίου H y και του ηλεκτρικού πεδίου διαχωριστική επιφάνεια στις ακόλουθες σχέσεις. Για z E x, γεγονός που µας οδηγεί για κάθε = α k α k α k α = + (3.1) Ae 3 Ce 1 De 1, A -k α C k α D k α ε3 ε1 ε1 k e 3 k e 1 k e 1, = + (3.11) και για z = α k α k α k α = + (3.12) Βe 2 Ce 1 De 1, 41

48 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα Επιπλέον, η εξίσωση (2.3), µέσω της Β k α C k α D k α ε2 ε1 ε1 k e 2 = k e 1 + k e 1. (3.13) H y πρέπει για κάθε ένα από τα τρία στρώµατα να πληροί την κυµατική i = i ( = (3.14) k β k ε i 1, 2,3). Έχουµε, δηλαδή, ένα γραµµικό σύστηµα τεσσάρων εξισώσεων, το οποίο µπορούµε να γράψουµε σε µορφή πίνακα ως εξής: k3α k1α k1α e e e k3 k3α k1 k1α k1 k1α A e e e ε ε ε B = k α k α k α C e e e k k k e e e ε ε ε 2 k α 1 k α 1 k α Πρόκειται για µια εξίσωση πινάκων της µορφής M v = D. (3.15). Για να µην έχουµε τετριµµένη λύση, η ορίζουσα του πίνακα Μ πρέπει να είναι µηδέν, det(m) =. Σε διαφορετική περίπτωση θα είχαµε έναν αντιστρέψιµο πίνακα και v = M 1 =. Θέτοντας, λοιπόν, την ορίζουσα ίση µε µηδέν µπορούµε να καταλήξουµε σε µια πεπλεγµένη έκφραση για τη σχέση διασποράς, η οποία συνδέει το β και το ω µέσω της 4 k α k 1 ε1 + k 2 ε 2 k 1 ε1 + k 3 ε 3 k1 ε1 k 2 ε2 k1 ε1 k 3 ε3 e 1 =. (3.16) Παρατηρώντας την (3.16) και υποθέτοντας πως το πάχος του φιλµ t = 2α θα γίνει πάρα πολύ µεγάλο, δηλαδή αν α, καταλήγουµε στη (2.44), την εξίσωση για δυο ασύζευκτα SPPs στις αντίστοιχες διαχωριστικές επιφάνειες Η συµµετρική δοµή και οι ρυθµοί ϖου υϖοστηρίζει Ενδιαφέρον παρουσιάζει η ειδική περίπτωση κατά την οποία τόσο το υπόστρωµα (2) όσο και το υπέρστρωµα (κάλυµµα) (3) αποτελούνται από το ίδιο υλικό, έτσι έχουν ίδιες διηλεκτρικές σταθερές ε2 = ε3, ώστε και οι συνιστώσες του κυµατικού διανύσµατος του 42

49 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα ρυθµού k 2 και k 3, κατά τα θετικά και αρνητικά z αντίστοιχα, θα είναι ίσες ( k2 = k3 ). Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση (3.16) µετατρέπεται στην 2k α k1 ε1 + k2 ε2 k1 ε1 k 2 ε2 e 1 = ±, (3.17) την οποία και µπορούµε να χωρίσουµε στο ζεύγος εξισώσεων k 2ε tanh 1 ( k 1α ) = (περιττή συµµετρία), (3.18) k1ε2 k1ε tanh 2 ( k 1α ) = (άρτια συµµετρία). (3.19) k 2ε1 Οι παραπάνω σχέσεις διασποράς θα αντιπροσωπεύουν ηλεκτρικά πεδία τα οποία θα εµφανίζουν είτε άρτια είτε περιττή συµµετρία [23]. Αποδεικνύεται ότι η εξίσωση (3.18) περιγράφει ρυθµούς µε περιττή συµµετρία. Ακριβέστερα, η E x(z), δηλαδή η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου κατά τη διεύθυνση διάδοσης, έχει περιττή συµµετρία ως προς τον άξονα x, ενώ οι H y(z) και E z(z) είναι συναρτήσεις µε άρτια συµµετρία. Αντιθέτως, η εξίσωση (3.19) περιγράφει ρυθµούς µε άρτια συµµετρία, δηλαδή η συνάρτηση µε τις H y(z) και E z(z) να είναι αντισυµµετρικές συναρτήσεις. E x(z) είναι συµµετρική Για του λόγου το αληθές, αν η δοµή είναι συµµετρική µε k2 = k3, εισάγοντας την αρνητική λύση της (3.17) η οποία αντιστοιχεί στους περιττούς ρυθµούς και την εξίσωση (3.18) στην εξίσωση (3.15) µπορούµε να υπολογίσουµε τους συντελεστές A, B, C και D. Μετά από πράξεις και θέτοντας Α = 1, καταλήγουµε στην έκφραση της συνιστώσας του µαγνητικού πεδίου Hy σε κάθε χωρίο της δοµής k 2( z α) iβx e e, z > α 2 2 (k1 ε 1 ) (k 2 ε 2 ) iβx Hy = e cosh(k1z), α < z < α. k1 ε1 k 2( z+ α ) iβx e e, z < α (3.2) Παρατηρούµε ότι πρόκειται για συνάρτηση συµµετρική ως προς τον άξονα x. Εφόσον έχει υπολογισθεί το µαγνητικό πεδίο E x και Hy του ΤΜ ρυθµού, οι συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου E z δίνονται από τις εξισώσεις (2.28) και (2.29) αντίστοιχα. Αναλόγως, αν κάνουµε 43

50 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα χρήση της θετικής λύσης της εξίσωσης (3.17) η οποία αντιστοιχεί στους άρτιους ρυθµούς και την εξίσωση (3.19) το µαγνητικό πεδίο θα δίνεται από την αντισυµµετρική συνάρτηση k 2( z α) iβx e e, z > α 2 2 (k1 ε 1 ) (k 2 ε 2 ) iβx Hy = e sinh(k1z), α < z < α. k1 ε1 k 2( z+ α) iβx e e, z < α (3.21) και Στο σχήµα 3.2 απεικονίζεται η µορφή των συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου E z καθώς διαδίδονται κατά τη διεύθυνση x για τους περιττούς και τους άρτιους ρυθµούς σύµφωνα µε τις εξισώσεις (3.2) και (3.21). Αποδεικνύεται κατ αυτόν τον τρόπο ο ισχυρισµός µας όσον αφορά τις συµµετρίες των συνιστωσών του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου. Ας σηµειωθεί ότι από τις εξισώσεις (2.28) και (2.29) γίνεται φανερό ότι στο διηλεκτρικό ισχύει Ez Ex = β/k2 και, επιπλέον, από την εξίσωση (3.14) προκύπτει ότι β > k 2, άρα η κυρίαρχη συνιστώσα είναι η Ez 1. Ex Σχήµα 3.2 Η µορφή του περιττού (α) και άρτιου (β) ρυθµού για τις συνιστώσες E x και E z του ηλεκτρικού πεδίου στη δοµή τριών στρωµάτων. Η διάδοση γίνεται κατά τη διεύθυνση x. 1 Για αυτόν τον λόγο συνηθίζεται πολλές φορές να ονοµάζονται οι ρυθµοί ως συµµετρικοί ή αντισυµµετρικοί αναλόγως µε τη συµµετρία που παρουσιάζει η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου E z. Παρ όλα αυτά, εµείς υιοθετούµε την ονοµατολογία των ρυθµών αναφορικά µε τη συµµετρία της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου κατά τη διεύθυνση διάδοσης E. x 44

51 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα Συµπερασµατικά, καταλήξαµε σε υπερβατικές εξισώσεις που συνδέουν τη σταθερά διάδοσης β και τη γωνιακή συχνότητα ω, καθώς και σε εκφράσεις για τις πεδιακές συνιστώσες για τη γεωµετρία τριών στρωµάτων. Στη συνέχεια, θα εφαρµόσουµε τις σχέσεις αυτές στις IMI και MIM δοµές και θα διερευνήσουµε τις ιδιότητες των συζευγµένων SPPs στα δυο αυτά συστήµατα. 3.2 Η δοµή διηλεκτρικού/µετάλλου/διηλεκτρικού Αρχικά θα µελετήσουµε τη συµµετρική IMI δοµή. Σύµφωνα µε το σχήµα 3.1(α), έχουµε ένα λεπτό µεταλλικό φιλµ πάχους t = 2α άνω και κάτω από το οποίο υπάρχει διηλεκτρικό. Το µέταλλο περιγράφεται από µια συχνοτικά εξαρτώµενη συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς ε 1 = ε 1 (ω), ενώ το διηλεκτρικό το οποίο αποτελεί το υπόστρωµα και το υπέρστρωµα έχει µια θετική πραγµατική διηλεκτρική σταθερά ε 2. Όπως και για τη µονή διεπιφάνεια, θα χρησιµοποιήσουµε ως µέταλλο τον ευρέως χρησιµοποιούµενο στην πλασµονική τεχνολογία άργυρο αλλά και τον χρυσό. Θα διερευνήσουµε τη σχέση διασποράς του κυµατικού διανύσµατος, τόσο µε τη συχνότητα όσο και µε το πάχος του πυρήνα. Τέλος, θα διαπιστώσουµε την ύπαρξη ρυθµών µε µεγάλα µήκη διάδοσης και θα εξετάσουµε τη συγκέντρωση της ενέργειας στον κυµατοδηγό ιαγράµµατα διασϖοράς ω β Μια πρώτη προσέγγιση και σε αυτή τη γεωµετρία είναι να θεωρήσουµε ότι ο άργυρος µπορεί να προσεγγιστεί µέσω του Drude µοντέλου χωρίς απόσβεση, δηλαδή η συνάρτηση διηλεκτρικής του σταθεράς θα είναι αµιγώς πραγµατική. Έτσι, λαµβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (3.18) και (3.19), µπορούµε να υπολογίσουµε τη σχέση διασποράς 1 για τους άρτιους όσο και τους περιττούς ρυθµούς που υποστηρίζονται από τη δοµή αέρα/αργύρου/αέρα και για διάφορες τιµές του α, δηλαδή για διαφορετικά πάχη του λεπτού φιλµ αργύρου. Η σχέση διασποράς εµφανίζεται στο σχήµα 3.3 και υπολογίστηκε για πάχος του µεταλλικού πυρήνα t = 5 nm (µε σκούρα γκρι γραµµή) και t = 1 nm (µε µαύρη γραµµή). Με ανοιχτή γκρι γραµµή φαίνεται η σχέση διασποράς της µονής διεπιφάνειας αργύρου/αέρα ως µέτρο σύγκρισης. Επίσης, εµφανίζεται µε ανοιχτή γκρι διακεκοµµένη γραµµή η γραµµή του φωτός στον αέρα. 1 εδοµένου ότι ο σκοπός µας είναι να παρουσιάσουµε τα διαγράµµατα διασποράς και όχι τις λεπτοµέρειες της µεθόδου, παραλείπουµε τις λεπτοµέρειες από το κυρίως κείµενο. Θα κάνουµε αναφορά σε αυτές στο παράρτηµα Α. 45

52 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα Σχήµα 3.3 ιάγραµµα διασποράς για τους άρτιους και περιττούς συζευγµένους ρυθµούς για τη δοµή αέρα/αργύρου/αέρα µε πάχος µεταλλικού πυρήνα t t = 5 nm (µε σκούρα γκρι γραµµή) και = 1nm (µε µαύρη γραµµή). Με ανοιχτή γκρι συνεχή γραµµή εµφανίζεται το διάγραµµα διασποράς για τη µονή διεπιφάνεια αργύρου/αέρα, ενώ η γραµµή του φωτός στον αέρα εµφανίζεται µε ανοιχτή γκρι διακεκοµµένη γραµµή. Ο άργυρος προσεγγίστηκε µε το Drude µοντέλο µε χωρίς απόσβεση. Σε γενικές γραµµές, οι σχέσεις διασποράς των συζευµένων SPPs παρακολουθούν αυτήν της µονής διεπιφάνειας. Όταν το SPP διεγείρεται σε µια διαχωριστική διεπιφάνεια µετάλλου/διηλεκτρικού, τα ηλεκτρόνια στο µέταλλο δηµιουργούν µια επιφανειακή πόλωση η οποία αυξάνει το τοπικά διεγειρόµενο ηλεκτρικό πεδίο. Για την IMI δοµή, τα ηλεκτρόνια του µεταλλικού πυρήνα εµποδίζουν τη διάταξη των φορτίων στην κάθε διαχωριστική επιφάνεια και διατηρούν ένα σχεδόν µηδενικό (ή ελάχιστο) πεδίο µέσα στον κυµατοδηγό 1. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα οι επιφανειακές πολώσεις στην κάθε πλευρά του µεταλλικού φιλµ να παραµένουν σε φάση. Αυτό εξηγεί γιατί δεν εµφανίζεται συχνότητα αποκοπής για κάποιο πάχος του κυµατοδηγού [13]. Παρατηρούµε, ωστόσο, ότι για κάποιο συγκεκριµένο πάχος του µεταλλικού πυρήνα οι ρυθµοί που µπορούν να διεγερθούν βρίσκονται εκατέρωθεν της σχέσης διασποράς στην αντίστοιχη µονή διεπιφάνεια, µε τους περιττούς να βρίσκονται άνωθέν της ενώ τους άρτιους υπό αυτήν. Χαρακτηριστικό είναι ότι οι περιττοί ρυθµοί σε σχέση µε το SPP στη µονή διεπιφάνεια έχουν υψηλότερη συχνότητα κατά ω+ και οι άρτιοι 1 Φαινόµενο γνωστό ως Electric Field Screening. 46

53 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα έχουν χαµηλότερες συχνότητες κατά ω. Στην περίπτωση κατά την οποία το µέταλλο θεωρείται ότι περιγράφεται από το µοντέλο ελεύθερων ηλεκτρονίων χωρίς απόσβεση, δηλαδή Im[ ε 1(ω) ] =, και αν το κυµατικό διάνυσµα β τείνει σε µεγάλους αριθµούς, η συχνότητα τείνει στις χαρακτηριστικές συχνότητες 2βα p 2ε2e ω ω+ = 1, 1+ ε + 1+ ε 2 2 2βα p 2ε2e ω ω = ε 1+ ε 2 2 (3.22) (3.23) Επιβεβαιώνεται, δηλαδή, η διαίσθηση ότι η δοµή τριών στρωµάτων µπορεί µέσω του περιττού ρυθµού να οδηγήσει κύµατα µε µεγαλύτερα κυµατικά διανύσµατα, και άρα µικρότερο µήκος κύµατος στη γραµµή, σε χαµηλότερες συχνότητες απ ότι η µονή διεπιφάνεια. Στις µικρές συχνότητες τα συζευγµένα SPPs, όπως και τα SPPs στη µονή διεπιφάνεια, ακολουθούν τη γραµµή του φωτός. Όπως για τη µονή διεπιφάνεια µετάλλου/διηλεκτρικού, είναι επιθυµητό να µελετήσουµε τη διασπορά µε τη συχνότητα του κυµατικού διανύσµατος και για ένα πραγµατικό µέταλλο. Η προσέγγιση πραγµατικού µετάλλου για τον άργυρο, ο οποίος αποτελεί τον πυρήνα της δοµής, γίνεται µε το µοντέλο Lorentz Drude. Τα διαγράµµατα ω β των περιττών και άρτιων ρυθµών φαίνονται στο σχήµα 3.4(α) και (β) αντίστοιχα. Σχήµα 3.4 ιάγραµµα διασποράς για τους περιττούς (α) και άρτιους (β) ρυθµούς για τη δοµή SiO 2 / Ag / SiO µε πάχος µεταλλικού πυρήνα t = 25nm (ανοιχτή γκρι γραµµή), 2 t = 5 nm (µε σκούρα γκρι γραµµή) και t = 1nm (µαύρη γραµµή). Ο άργυρος προσεγγίστηκε µε το Lorentz Drude µοντέλο. 47

54 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα t Παρουσιάζεται η διασπορά για πάχη πυρήνα t = 25 nm (µε ανοιχτή γκρι γραµµή), = 5 nm (µε σκούρα γκρι γραµµή) και t = 1 nm (µε µαύρη γραµµή). Εντοπίζονται, σε άµεση αντιστοιχία µε τη γεωµετρία µετάλλου/διηλεκτρικού, περιοχές SPP, RPP και ψευδοδέσµιων ρυθµών. Όσο µεγαλώνει το πάχος του πυρήνα, η διασπορά της σταθεράς διάδοσης γίνεται αντίστοιχη της διεπιφάνειας Ag / SiO2 του σχήµατος 2.4. Για τους περιττούς ρυθµούς, σε δεδοµένη συχνότητα, ελαττώνοντας το πάχος του φιλµ παρατηρούνται µικρότερα κυµατικά διανύσµατα. Αυξάνοντας τη συχνότητα, όταν αυτή ξεπερνά τη συχνότητα πλασµονίου, το SPP αποκτά µέγιστο κυµατικό διάνυσµα. Στη συνέχεια αποκτά όλο και µικρότερο κυµατικό διάνυσµα περνώντας µέσα από την περιοχή των ψευδοδέσµιων ρυθµών ως την περιοχή των RPP ρυθµών. Επίσης, όσο µικραίνει το πάχος του µεταλλικού φιλµ, το κυµατικό διάνυσµα πλησιάζει στη γραµµή του φωτός στο διηλεκτρικό. Αναφορικά µε τους άρτιους ρυθµούς, αν η ενέργεια είναι σταθερή, το κυµατικό διάνυσµα γίνεται µεγαλύτερο για µικρότερα πάχη πυρήνα. Και σε αυτήν την περίπτωση, κοντά στην ω sp η διασπορά του κυµατικού διανύσµατος παρουσιάζει µέγιστο και αναδιπλώνεται σε µικρότερα κυµατικά διανύσµατα. Επίσης, υπάρχουν οι περιοχές για τις οποίες το SPP γίνεται ακτινοβολούν περνώντας πρώτα από την ψευδοδέσµια περιοχή. Ας σηµειωθεί ότι οι RPP ρυθµοί παρατηρούνται σε αρκετά υψηλότερες συχνότητες µειουµένου του πάχους της λεπτής ταινίας και υπάρχει µια απαγορευµένη πλασµονική ζώνη παρά την ύπαρξη της περιοχής QB ρυθµών [13] SPPs µακράς εµβέλειας Μέχρι στιγµής, µελετήθηκε η διασπορά του κυµατικού διανύσµατος µε τη συχνότητα. Ενδιαφέρον, επίσης, παρουσιάζει η εξάρτηση της σταθεράς διάδοσης β από το πάχος του µεταλλικού φιλµ. Για τη λύση της σχέσης (3.17) θα θεωρήσουµε χρυσό πυρήνα ενσωµατωµένο σε πολυµερές περίβληµα (benzocyclobutene polymer, BCB) σε µήκος κύµατος στο κενό λ = 155 nm. Επιλέγουµε αυτά τα υλικά καθώς είναι πολύ συνήθη για κατασκευή LR SPP κυµατοδηγών 1. Η τιµή του µιγαδικού δείκτη διάθλασης για τον χρυσό ανακτάται από τα δεδοµένα των Johnson & Christy [1] και είναι ε 1 = i11.2, ενώ 1 Ο χρυσός χρησιµοποιείται λόγω των πολύ καλών οπτικών ιδιοτήτων του στις συχνότητες των τηλεπικοινωνιών, ενώ δεν δηµιουργούνται οξείδια στην επιφάνειά του. Όσον αφορά το περίβληµα, τα πολυµερή αποτελούν καταλληλότερο διηλεκτρικό από το γυαλί. Υπάρχουν υλικά που υπερτερούν του BCB, ωστόσο αυτό χρησιµοποιείται εκτενώς λόγω ευχρηστίας, ευκολίας στην επεξεργασία και αντοχής σε υψηλότερες θερµοκρασίες. 48

55 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα η διηλεκτρική σταθερά του BCB είναι 2 1 =. Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται στο ε σχήµα 3.5, όπου εµφανίζονται το πραγµατικό (σχήµα 3.5(α)) και το φανταστικό (σχήµα 3.5(β)) µέρος της µιγαδικής σταθεράς διάδοσης κανονικοποιηµένα ως προς τη σταθερά διάδοσης στο κενό k [24]. Σχήµα 3.5 Πραγµατικό (α) και φανταστικό β) µέρος της µιγαδικής σταθεράς διάδοσης κανονικοποιηµένα ως προς τη σταθερά διάδοσης στο κενό k για για τη δοµή BCB/Au/BCB σε µήκος κύµατος στο κενό λ περιττός. = 155 nm. Με γκρι αναπαρίσταται ο άρτιος ρυθµός ενώ µε µαύρο χρώµα ο Γίνεται εµφανές πως το SPP, το οποίο υποστηρίζεται από τη µονή διεπιφάνεια, διακλαδίζεται στον άρτιο και τον περιττό ρυθµό καθώς το πάχος του κυµατοδηγού µειώνεται. Στην περίπτωση του άρτιου ρυθµού τόσο η σταθερά διάδοσης όσο και η σταθερά απόσβεσης αυξάνουν ραγδαία µε τη µείωση του πάχους του µεταλλικού φιλµ, µε αποτέλεσµα να έχουµε υψηλή συγκέντρωση και συνεπώς µικρά µήκη διάδοσης σύµφωνα µε την εξίσωση (2.58). Όπως φαίνεται στο σχήµα 3.5(β) η σταθερά απόσβεσης µπορεί να γίνει πολλές τάξεις µεγέθους µεγαλύτερη από αυτην της µονής διεπιφάνειας. Άρα, το µήκος 49

56 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα διάδοσης, σύµφωνα µε τη σχέση (2.58), γίνεται πολύ µικρότερο και έτσι πολύ συχνά αναφέρεται ως SPP µικρής εµβέλειας (Short Ranging SPP, SR SPP). Αντιθέτως, µε τη µείωση του πάχους παρατηρούµε ότι ο περιττός ρυθµός τείνει σε ένα επίπεδο κύµα που διαδίδεται στο διηλεκτρικό περίβληµα. Αυτό οδηγεί σε σηµαντική βελτίωση του µήκους διάδοσης εν συγκρίσει µε το οδεύον SPP στη µονή διεπιφάνεια. Η σύζευξη των SPPs της άνω και κάτω διεπιφάνειας, λοιπόν, οδηγεί σε ρυθµούς µε µεγάλα µήκη διάδοσης, οι οποίοι ονοµάζονται SPPs µακράς εµβέλειας (long ranging SPP, LR SPP) [25]. Ας προσεγγίσουµε το ζήτηµα από µια πιο αυστηρή µαθηµατική σκοπιά. Αν θέσουµε α στη σχέση (3.18) αναφορικά µε τον περιττό ρυθµό για τη συµµετρική IMI δοµή τότε k 2. Συµπεραίνουµε από την εξίσωση (3.14) ότι β (ω/ c) ε2, δηλαδή αποδεικνύεται ότι το οδηγούµενο κύµα τείνει στο επίπεδο κύµα που οδηγείται από το διηλεκτρικό, όπως επισηµαίνεται µε γκρι διακεκοµµένη στο σχήµα 3.5(α). Αν τώρα ανατρέξουµε στο σχήµα 3.5(β), όσο το β (ω/ c) ε2 η σταθερά απόσβεσης τείνει στο µηδέν εφόσον υποθέτουµε διηλεκτρικό χωρίς απώλειες και λόγω της (2.58) L. Αν το διηλεκτρικό εισάγει απώλειες, η απόσβεση ακολουθεί ασυµπτωτικά τις απώλειες του επίπεδου κύµατος στο διηλεκτρικό και η εµβέλεια του SPP γίνεται µακρά [26]. Ωστόσο, επειδή το πεδίο είναι µέγιστο στις διεπιφάνειες, είναι αναµενόµενο τα LR SPPs να παρουσιάζουν αυξηµένη ευαισθησία στα χαρακτηριστικά των επιφανειών αυτών και ιδιαιτέρως εφόσον εργαζόµαστε σε κλίµακα νανοµέτρων [7]. Σχετικά µε τους άρτιους ρυθµούς, όταν α, τότε β (ω/c) ε1 που είναι η σταθερά διάδοσης ενός κύµατος που διαδίδεται στο µέταλλο. Τα περισσότερα µέταλλα είναι αδιαφανή στο ορατό φάσµα και για µεγαλύτερα µήκη κύµατος και έτσι το SPP αποσβένεται πολύ γρήγορα Συγκέντρωση του ϖεδίου και µήκος διάδοσης Όπως αναφέραµε, τα συζευγµένα SPPs του περιττού ρυθµού αποκτούν µεγάλα µήκη διάδοσης και χαρακτηρίζονται ως µακράς εµβέλειας. Αντιθέτως, οι άρτιοι ρυθµοί παρουσιάζουν αυξηµένη συγκέντρωση στο µέταλλο και έτσι µειώνεται µαζί και το µήκος διάδοσης. Είναι, λοιπόν, χρήσιµο να µελετήσουµε τη συµπεριφορά των SPPs στη συµµετρική δοµή IMI και από µια ενεργειακή σκοπιά. Θα µελετήσουµε κατά πόσο το οδηγούµενο κύµα περιορίζεται κοντά στις διεπιφάνειες και θα υπολογίσουµε την απόσταση που µπορεί να διανύσει. 5

57 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα Στο σχήµα 3.6 παρουσιάζεται το µήκος διάδοσης L σύµφωνα µε τη σχέση (2.58) ως συνάρτηση του µήκους κύµατος στο κενό για τη δοµή SiO 2 / Ag / SiO 2 τόσο για τους περιττούς (α) όσο και για τους άρτιους (β) ρυθµούς και για πάχη του µεταλλικού πυρήνα 1 nm (µαύρη γραµµή), 5 nm (σκούρα γκρι γραµµή) και 25 nm (ανοιχτή γκρι γραµµή). Σχήµα 3.6 Μήκος διάδοσης για τους άρτιους (α) και τους περιττούς (β) συζευγµένους ρυθµούς για τη δοµή διοξειδίου του πυριτίου/αργύρου/διοξειδίου του πυριτίου µε πάχος µεταλλικού πυρήνα 1 nm (µαύρη γραµµή), 5 nm (σκούρα γκρι γραµµή) και 25 nm (ανοιχτή γκρι γραµµή) συναρτήσει του µήκους κύµατος στο κενό. Παρατηρούµε ότι µε τη µείωση του πάχους του πυρήνα το µήκος διάδοσης µειώνεται για τους άρτιους ρυθµούς, ενώ για τους περιττούς αυξάνεται αισθητά. Για το λεπτό φιλµ 25 nm, το µήκος διάδοσης του περιττού ρυθµού στο ευρέως χρησιµοποιούµενο στις τηλεπικοινωνίες µήκος κύµατος των 155 nm είναι της τάξης των 1 cm, ενώ αυτό του άρτιου είναι της τάξης των 1 µm. 51

58 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα Οπώς είχαµε περιγράψει για τη µονή διεπιφάνεια IM, κοντά στην περιοχή της συχνότητας επιφανειακού πλασµονίου και την περιοχή που εµφανίζει ανωµαλία η συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς του µετάλλου εντοπίζονται ακρότατα στο µήκος διάδοσης. Ακριβώς το ίδιο φαινόµενο παρατηρείται και για τη δοµή IMI. Στο εσωτερικό του σχήµατος 3.6(α) παρατίθεται το διάγραµµα του µήκους διάδοσης κοντά σε αυτά τα µήκη κύµατος για τους περιττούς ρυθµούς. ιαπιστώνουµε αµέσως ότι πλησίον της ω sp το µήκος διάδοσης γίνεται ελάχιστο, µάλιστα αυτό µετατοπίζεται σε µικρότερα µήκη κύµατος για µικρότερα πάχη του µεταλλικού φιλµ. Αντιθέτως, µέγιστο παρατηρείται στην περιοχή ανωµαλίας της διηλεκτρικής σταθεράς του άργυρου. Για το παχύ φιλµ δεν φαίνεται να έχει µεγάλη απόκλιση από το µήκος που θα διάνυε στη µονή διεπιφάνεια. Ωστόσο, µειώνοντας το πάχος, η διάδοση γίνεται της τάξης των µm. Η βελτίωση αυτή δεν φαίνεται να εντοπίζεται στους άρτιους ρυθµούς, για τους οποίους σε αυτά τα µικρά µήκη κύµατος γίνεται η µετάβαση στους διαρρέοντες ρυθµούς δια µέσου της κενής πλασµονικής ζώνης. Στη συνέχεια θα παραθέσουµε το βάθος κατά το οποίο διεισδύει το πεδίο στο διηλεκτρικό υλικό. Όπως προείπαµε, ο υπολογισµός αυτός γίνεται µε τη βοήθεια της εξίσωσης (2.59). ηλαδή, στη συγκεκριµένη περίπτωση, υπολογίζουµε το µήκος απόσβεσης ẑ = 1 k συναρτήσει του µήκους κύµατος στο κενό, µε τα αποτελέσµατα για τους SiO2 2 άρτιους και περιττούς ρυθµούς να παρουσιάζονται στο σχήµα 3.7(α) και (β) αντίστοιχα. Χρησιµοποιήθηκαν µεταλλικά φιλµ πάχους 1 nm (µαύρη γραµµή), 5 nm (σκούρα γκρι γραµµή) και 25 nm (ανοιχτή γκρι γραµµή). Στο εσωτερικό του σχήµατος 3.7(α) παρουσιάζεται το µήκος απόσβεσης για µήκη κύµατος µικρότερα των 4 nm, περιοχή η οποία παρουσιάζει τις γνωστές ιδιαιτερότητες. Η µείωση του πάχους του φιλµ, όσον αφορά τον περιττό ρυθµό, προκαλεί αυξηµένη διείσδυση του πεδίου στο διηλεκτρικό. Για ακόµη λεπτότερα φιλµ, το SPP χάνει σηµαντικά τη συγκέντρωσή του και εκτείνεται στο SiO 2 σε βάθος των µερικών µm. Την αντίθετη συµπεριφορά εµφανίζουν τα δέσµια SPPs του άρτιου ρυθµού, για τα οποία η µείωση του πάχους προκαλεί ανάλογη µείωση του βάθους διείσδυσης. Στην αντίστοιχη περίπτωση, το πεδίο εκτείνεται σε βάθη των µερικών εκατοντάδων nm. 52

59 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα Σχήµα 3.7 Μήκος απόσβεσης για τους άρτιους (α) και τους περιττούς (β) συζευγµένους ρυθµούς για τη δοµή διοξειδίου του πυριτίου/αργύρου/διοξειδίου του πυριτίου µε πάχος µεταλλικού πυρήνα 1 nm (µαύρη γραµµή), 5 nm (σκούρα γκρι γραµµή) και 25 nm (ανοιχτή γκρι γραµµή) συναρτήσει του µήκους κύµατος στο κενό. Παρατηρώντας το εσωτερικό του σχήµατος 3.7(β), γίνεται φανερή η οµοιότητα της συµπεριφοράς του µήκους απόσβεσης της IMI δοµής µε αυτήν της δοµής IM. Κατά τη µετάβαση από την ψευδοδέσµια περιοχή προς την ακτινοβολούσα εντοπίζεται τοπικό µέγιστο, το οποίο, µάλιστα, µεγεθύνεται όσο το πάχος της ταινίας µειώνεται. Η σύγκριση µε το εσωτερικό του σχήµατος 3.6(α) δείχνει ότι το τοπικό αυτό µέγιστο παρουσιάζεται εξίσου στο µήκος διάδοσης και απόσβεσης. 53

60 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα Συµπερασµατικά, η δοµή διηλεκτρικού/µετάλλου/διηλεκτρικού εξετάστηκε από πολλές πλευρές. Αναζητήθηκε η διασπορά του κυµατικού διανύσµατος µε τη συχνότητα για λεπτά µεταλλικά φιλµ που περιγράφονται από το µοντέλο ελεύθερων ηλεκτρονίων αλλά και για πραγµατικά µέταλλα. Επιπλέον, εξετάστηκε η γεωµετρική διασπορά της δοµής. Τέλος, υπολογίστηκαν το µήκος που µπορεί να διανύσει το πεδίο που υποστηρίζεται, καθώς και η συγκέντρωσή του κοντά στις διεπιφάνειες. ιαπιστώθηκε ότι υποστηρίζονται ρυθµοί που µπορούν να καλύψουν πολύ ικανοποιητικές αποστάσεις για την κλίµακα που πραγµατευόµαστε. Ωστόσο, και σε αυτήν τη δοµή πολαριτονίων πλασµονίων, διαπιστώνεται η ισορροπία που τηρείται ανάµεσα στη διάδοση και τη συγκέντρωση του πεδίου. 3.3 Η δοµή µετάλλου/διηλεκτρικού/µετάλλου Η συζυγής δοµή της γεωµετρίας IMI είναι, φυσικά, η MIM και σε αυτήν την ενότητα θα εξετάσουµε τα κύρια χαρακτηριστικά της, ακολουθώντας παρόµοια διαδικασία µε αυτήν της προηγούµενης ενότητας. Έχουµε, δηλαδή, ένα λεπτό διηλεκτρικό φιλµ µε θετική διηλεκτρική σταθερά ε 1, το οποίο περιβάλλεται από µεταλλικό υπόστρωµα και κάλυµµα ίδιας συνάρτησης διηλεκτρικής σταθεράς ε2 = ε 2(ω). Έχουµε αναφέρει ότι, σε γενικές γραµµές, οι επίπεδες διεπιφάνειες µετάλλου/διηλεκτρικού δεν υποστηρίζουν TE πόλωση και θα ασχοληθούµε µε την TM πόλωση ιαγράµµατα διασϖοράς Θεωρούµε ότι το διηλεκτρικό του πυρήνα είναι ο αέρας και το χρησιµοποιούµενο µέταλλο εκατέρωθεν του διηλεκτρικού είναι ο άργυρος. Ο άργυρος προσεγγίζεται αρχικά από το Drude µοντέλο χωρίς απόσβεση. Η σχέση διασποράς που αντιστοιχεί σε αυτή τη MIM δοµή απεικονίζεται στο σχήµα 3.8. Με σκούρα γκρι συνεχή γραµµή παρουσιάζεται η σχέση διασποράς για πάχος διηλεκτρικού 2α = 25 nm, ενώ µε µαύρη συνεχή γραµµή το πάχος του πυρήνα είναι 1 nm. Απεικονίζονται, επίσης, µε ανοιχτή γκρι διακεκοµµένη γραµµή η σχέση διασποράς στη µονή διεπιφάνεια Ag/αέρα και µε ανοιχτή γκρι συνεχή γραµµή η γραµµή του φωτός στο διηλεκτρικό. Παρουσιάζονται ο θεµελιώδης όπως 1 Στους IMI κυµατοδηγούς οι εγκάρσιοι ηλεκτρικοί ρυθµοί επιφανειακών πλασµονίων δεν επιτρέπονται, όπως επιβάλλουν οι οριακές συνθήκες. Ωστόσο, στις MIM διατάξεις η ύπαρξη συµβατικών ρυθµών, όπως θα δούµε, εκτός από SP ρυθµών υπονοεί ότι η διάδοση TE κυµάτων µπορεί να είναι εφικτή για συγκεκριµένα πάχη διηλεκτρικού και για διέγερση από συγκεκριµένα µήκη κύµατος. 54

61 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα αναφέρεται στη βιβλιογραφία ρυθµός της δοµής, ο περιττός, καθώς και ο άρτιος. Οι ρυθµοί αυτοί προκύπτουν, αναλόγως µε τη συζυγή της δοµή, ως λύσεις των εξισώσεων (3.18) και (3.19), αντίστοιχα. Σχήµα 3.8 ιάγραµµα διασποράς για τους περιττούς και τους άρτιους ρυθµούς της δοµής αργύρου/αέρα/αργύρου µε πάχος µεταλλικού πυρήνα 25 nm (µε σκούρα γκρι συνεχή γραµµή) και 1 nm (µε µαύρη συνεχή γραµµή). Με ανοιχτή γκρι διακεκοµµένη γραµµή εµφανίζεται η σχέση διασποράς για τη µονή διεπιφάνεια αργύρου/αέρα, ενώ η γραµµή του φωτός στο διηλεκτρικό εµφανίζεται µε ανοιχτή γκρι συνεχή γραµµή. Ο άργυρος προσεγγίστηκε µε το Drude µοντέλο χωρίς απόσβεση. Παρατηρούµε ότι, στην περίπτωση που το µέταλλο προσεγγίζεται από το µοντέλο ελευθέρων ηλεκτρονίων, οι ρυθµοί βρίσκονται εκατέρωθεν της καµπύλης διασποράς της µονής διεπιφάνειας, µε τους άρτιους να βρίσκονται άνωθέν της και τους περιττούς κάτω από αυτήν. Ωστόσο, όπως θα διαπιστώσουµε στη συνέχεια, µειώνοντας το πάχος του διηλεκτρικού φιλµ ο άρτιος ρυθµός µπορεί να βρεθεί και κάτω από αυτήν την καµπύλη. Επίσης, θα δούµε ότι οι άρτιοι ρυθµοί διατηρούν, αναλόγως µε την περιοχή συχνοτήτων, άλλοτε πλασµονικά χαρακτηριστικά και άλλοτε µοιάζουν µε τους ρυθµούς σε συµβατκούς κυµατοδηγούς. Αντιθέτως, βλέπουµε ότι οι περιττοί ρυθµοί παρουσιάζουν συµπεριφορά πλησιέστερη σε αυτήν του επιφανειακού πλασµονίου. Η οµοιότητα µε τους συµβατικούς κυµατοδηγούς επεκτείνεται και στο χαρακτηριστικό τους να εµφανίζονται νέοι ρυθµοί µεγαλώνοντας τις διαστάσεις τους. Αν υποθέσουµε ότι το µέταλλικό περίβληµα είναι µη 55

62 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα απορροφητικό, Im[ εm ] =, αποδεικνύεται από την εξίσωση (3.17) ότι αν η διηλεκτρική σταθερά του διηλεκτρικού ικανοποιεί την εd εm 1 (ω ω spp ) υπάρχει µόνο ένας άρτιος ρυθµός ο οποίος οδηγείται στην αποκοπή για µεγαλύτερα διηλεκτρικά φιλµ. Αν, όµως, ισχύει εd εm 1, οδηγούνται δύο ρυθµοί. Ένας περιττός ο οποίος δεν αποκόπτεται και ένας άρτιος µε χαµηλότερα πάχη αποκοπής [27]. Για αυτόν τον λόγο, όταν το πάχος του διηλεκτρικού γίνεται ακετά µικρό η ΜΙΜ δοµή λειτουργεί σαν ένας µονόρυθµος πλασµονικός κυµατοδηγός. Υπενθυµίζεται ότι για την IMI δοµή τα ηλεκτρόνια του αγώγιµου φιλµ εµποδίζουν τη διάταξη των φορτίων στην κάθε διαχωριστική επιφάνεια και διατηρούν το πεδίο σχεδόν µηδενικό µέσα στον κυµατοδηγό. Αντιθέτως, αυτό το φαινόµενο δεν συµβαίνει µέσα στον διηλεκτρικό πυρήνα ενός MIM κυµατοδηγού. Σε κάθε διεπιφάνεια µετάλλου/διηλεκτρικού οι επιφανειακές πολώσεις εξελίσσονται ανεξάρτητα και οι ταλαντώσεις του πλάσµατος δεν είναι υποχρεωτικά σε φάση αναµεταξύ τους. ηλαδή, θα υπάρχουν πάχη διηλεκτρικού για τη MIM γεωµετρία, για τα οποία τα επιφανειακά πλασµόνια στις διεπιφάνειες δεν παραµένουν σε φάση. Συνεπώς, όσο το πάχος του πυρήνα αυξάνει, θα εµφανιστούν επιτρεπόµενες ζώνες συχνοτήτων ή κυµατικών διανυσµάτων και κενές ζώνες από απαγορευµένες συχνότητες. Από άποψη περιορισµού της ενέργειας, ο πιο ενδιαφέρων ρυθµός είναι ο θεµελιώδης περιττός ρυθµός του συστήµατος, ο οποίος δεν εµφανίζει συχνότητα αποκοπής µε τη µείωση του πάχους του πυρήνα [28]. Προφανώς, κρίνεται σκόπιµο να υπολογιστεί η συµπεριφορά του περιττού ρυθµού, όσο και του άρτιου, για λεπτές ταινίες διηλεκτρικού και για πραγµατικά µέταλλα, τα οποία εµφανίζουν απόσβεση. Αν υποθέσουµε ότι το µέταλλο το οποίο χρησιµοποιείται, ο άργυρος, προσεγγίζεται από το Lorentz Drude µοντέλο σύµφωνα µε τα δεδοµένα του Rakic, και το διηλεκτρικό µας είναι ο αέρας, µπορούµε να υπολογίσουµε τη ζητούµενη σχέση διασποράς. Στο σχήµα 3.9 φαίνεται η συνάρτηση διασποράς του κυµατικού διανύσµατος β για διηλεκτρική ταινία πάχους t = 15 nm. Με ανοιχτή γκρι συνεχή γραµµή απεικονίζεται ο περιττός ρυθµός και µε σκούρα γκρι ο άρτιος. Για λόγους σύγκρισης απεικονίζεται και η γραµµή διασποράς της µονής διεπιφάνειας Ag / SiO 2 µε µαύρα σηµεία. Επικεντρώνουµε το ενδιαφέρον µας στην περιοχή των δέσµιων ρυθµών, δηλαδή για συχνότητες µικρότερες της συχνότητας επιφανειακού πλασµονίου. Στο εσωτερικό του σχήµατος παρατίθεται το προφίλ της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου Ey για γωνιακή συχνότητα 56

63 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα 15 ω = 4 1 rad/sec, δηλαδή σε µήκος κύµατος στο κενό λ = 47 nm, για τον άρτιο και τον περιττό ρυθµό 1. Το φαινόµενο που περιγράψαµε προηγουµένως απεικονίζεται πολύ καθαρά παρατηρώντας το σχήµα 3.9, στο οποίο επισηµαίνονται οι συχνότητες για τις οποίες επιτρέπεται η διάδοση των ρυθµών και παρουσιάζεται η µορφή του πεδίου µέσα στον κυµατοδηγό. Σχήµα 3.9 ιάγραµµα διασποράς για τον περιττό (µε ανοιχτή γκρι συνεχή γραµµή) και άρτιο (µε σκούρα γκρι συνεχή γραµµή) ρυθµό της δοµής αργύρου/διοξειδίου του πυριτίου/αργύρου µε πάχος µεταλλικού πυρήνα 15 nm. Με µαύρη διακεκοµµένη γραµµή εµφανίζεται η σχέση διασποράς για τη µονή διεπιφάνεια Ag/SiO 2. Ο άργυρος προσεγγίστηκε µε το Lorentz Drude µοντέλο. Στο εσωτερικό φαίνεται το προφίλ της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου ρυθµούς σε µήκος κύµατος στο κενό λ = 47 nm. E y για τους δύο Ο περιττός ρυθµός προσεγγίζει στενά τον ρυθµό που διαδίδεται στη µονή διαχωριστική επιφάνεια σε όλες τις συχνότητες, αφού το πάχος του διηλεκτρικού γίνεται αρκετά µεγάλο, ώστε τα SPPs συζεύγνυνται ασθενώς. Παρουσιάζει συγκέντρωση κοντά στις διεπιφάνειες και είναι προσεγγιστικά συµµετρικός εκατέρωθεν της κάθε µεταλλο διηλεκτρικής επιφάνειας. Όµως, ο άρτιος ρυθµός υπάρχει µόνο για το φάσµα συχνοτήτων rad/sec, θυµίζοντας τη συµπεριφορά ενός συµβατικού κυµατοδηγού. Το πεδίο οδηγείται από τον πυρήνα και η διείσδυση στο περίβληµα είναι µικρή. Στη συχνότητα 1 Το προφίλ του ηλεκτρικού πεδίου απεικονίστηκε µε τη βοήθεια του εµπορικού πακέτου ComSol, το οποίο κάνει χρήση της µεθόδου πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM). Εκτενέστερη αναφορά και χρήση του προγράµµατος θα γίνει στο κεφάλαιο 4. 57

64 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα των rad/sec ο άρτιος ρυθµός µετατρέπεται από ρυθµός οδηγούµενος στον πυρήνα σε ρυθµός επιφανειακού πλασµονίου. Αν µπορέσουν τα φωτόνια να συζευχθούν σε κύµατα SP, θα οδηγηθούν οι ρυθµοί πολαριτονίων επιφανειακών πλασµονίων, αλλιώς το κύµα θα οδηγηθεί συµβατικά από τον πυρήνα και µάλιστα για ένα περιορισµένο εύρος συχνοτήτων. ιαπιστώνεται, δηλαδή, ένα µεταίχµιο, κατά το οποίο από τη συνύπαρξη συµβατικών και SP ρυθµών µεταβαίνουµε σε πλασµονικούς κυµατοδηγούς σε κλίµακα κάτω του µήκους κύµατος. Μεγαλώνοντας το διηλεκτρικό κενό ανάµεσα στο µεταλλικό υπόστρωµα και το µεταλλικό κάλυµµα πληθαίνουν οι ζώνες που παρατηρούνται οι άρτιοι και περιττοί ρυθµοί µε τους περιττούς ρυθµούς σε γενικές γραµµές να παρατηρούνται σε υψηλότερες συχνότητες όπως πληθαίνουν και οι ζώνες επιτρεπόµενων και απαγορευµένων συχνοτήτων [23]. Ελαττώνοντας το πάχος του πυρήνα το φως είτε θα συζευχθεί σε SP ή θα έρθει αντιµέτωπο µε το όριο περίθλασης και θα υποστεί απόσβεση. Εξηγήθηκε η συµπεριφορά της MIM διάταξης για µεγάλα πάχη διηλεκτρικού και θα προχωρήσουµε στη διερεύνηση της διασποράς για λεπτότερα φιλµ. Αυτή παρουσιάζεται στο σχήµα 3.1 για πάχη πυρήνα t = 5 nm, t = 25 nm και t = 12 nm (µαύρη, γκρι σκούρα και ανοιχτή γκρι συνεχή γραµµή). Ως µέτρο σύγκρισης συµπεριλαµβάνονται η γραµµή διασποράς για τη διεπιφάνεια των δύο ηµιχώρων και η γραµµή του φωτός στο διηλεκτρικό. Σχήµα 3.1 ιάγραµµα διασποράς για τους περιττούς (α) και άρτιους (β) ρυθµούς της δοµής αργύρου/διοξειδίου του πυριτίου/αργύρου µε πάχος µεταλλικού πυρήνα 5 nm (µε µαύρη γραµµή), 25 nm (µε σκούρα γκρι γραµµή) και 12 nm (µε ανοιχτή γκρι γραµµή). Ο άργυρος προσεγγίστηκε µε το Lorentz Drude µοντέλο. 58

65 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα εν θα ασχοληθούµε µε τους ακτινοβολούµενους και τους QB ρυθµούς, όπως περιγράφησαν στις διατάξεις δηλεκτρικού/µετάλλου/διηλεκτρικού. Θα αρκεστούµε στην παρατήρηση της περιοχής των δέσµιων ρυθµών. Οι περιττοί ρυθµοί, όπως αναφέραµε, έχουν αµιγώς πλασµονικό χαρακτήρα. Σε συχνότητες αρκετά χαµηλότερες της ω sp συµπεριφέρονται όµοια µε τους άρτιους ρυθµούς της IMI δοµής και, αντίθετα µε τους αντίστοιχους περιττούς, προσεγγίζουν τη γραµµή του φωτός περισσότερο όσο το πάχος του πυρήνα αυξάνει. Επισηµαίνεται το γεγονός ότι η διασπορά τους δεν φτάνει απαραιτήτως στην 59 ω sp, όπως χαρακτηριστικά φαίνεται στη γραµµή διασποράς για πάχος 12 nm. Ο ρυθµός αποκόπτεται στη συχνότητα των rad/sec περίπου και, µάλιστα, το ίδιο συµβαίνει για κυµατοδηγούς µε πάχος µικρότερο των 2 nm. Σε κάθε περίπτωση το κυµατικό διάνυσµα υπερβαίνει αυτό της µονής διεπιφάνειας. Παρ όλα αυτά, το κυµατικό διάνυσµα αποκοπής παραµένει ουσιαστικά αµετάβλητο για t Goos Hanchen 1. 2 nm [23], γεγονός που µπορεί να εξηγηθεί από το φαινόµενο Αναφορικά µε τους άρτιους ρυθµούς, µόλις η συχνότητα υπερβεί τη συχνότητα επιφανειακού πλασµονίου, παρατηρείται η αναδίπλωση του κυµατικού διανύσµατος, όπως αυτή είχε παρατηρηθεί και για τους άρτιους ρυθµούς της IMI δοµής (δεν φαίνεται στο σχήµα 3.1(α)). Επίσης, παρόµοια συµπεριφορά παρατηρείται στο γεγονός ότι για λεπτότερο πυρήνα σε µικρότερες συχνότητες επιτυγχάνονται µεγαλύτερα κυµατικά διανύσµατα. Εν αντιθέσει µε την IMI διάταξη, η γραµµή διασποράς µπορεί να µην βρίσκεται εξ ολοκλήρου κάτω από τη γραµµή διασποράς του ασύζευκτου SPP. Για παράδειγµα, η καµπύλη για t µονής διαχωριστικής επιφάνειας σε κάθε συχνότητα ενώ για t από τα rad/sec. = 5 nm βρίσκεται αριστερά της γραµµής διασποράς της = 25 nm την τέµνει λίγο πάνω Στο σχήµα 3.11 παρουσιάζεται η διασπορά του κυµατικού διανύσµατος µε το πάχος του πυρήνα. Ως διηλεκτρικό επιλέχθηκε ο αέρας, ο οποίος πλαισιώνεται από περίβληµα άργυρου. Το παραγµατικό και φανταστικό µέρος του κυµατικού διανύσµατος 1 Κατά τη διάδοσή του στον κυµατοδηγό, το γραµµικά πολωµένο φως µπορεί να υποστεί ελαφρά µετατόπιση φάσης καθώς αυτό ανακλάται ολικά στη διαχωριστική επιφάνεια. Η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου µέσο του κυµατοδηγού µηδενίζεται ενώ έχει µεγαλύτερη συγκέντρωση στις διαχωριστικές επιφάνειες. Όσο το φιλµ γίνεται λεπτότερο το βάθος διείσδυσης στο µέταλλο γίνεται συγκρίσιµο µε το πάχος του φιλµ και το συγκεντρωµένο στη µεταλλική επιφάνεια πεδίο ενισχύει το φαινόµενο Goos Hanchen,οδηγώντας το SPP στην αποκοπή. Ey στο

66 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα που φαίνονται στο σχήµα 3.11(α) και (β) αντίστοιχα έχουν κανονικοποιηθεί ως προς τη σταθερά διάδοσης στο κενό k. Για τον άρτιο ρυθµό, µειουµένου του κενού ανάµεσα στις αγώγιµες επιφάνειες σηµειώνεται µείωση του Re[ β ]. Κάτω από το κρίσιµο πάχος του κενού, όταν έχουµε Re[ β] k = 1, όπως αυτό επισηµαίνεται από τη διακεκοµµένη γκρι γραµµή του σχήµατος, ο ρυθµός χάνει τον πλασµονικό του χαρακτήρα και κυµατοδηγείται συµβατικά. Τελικά, ο ρυθµός θα φτάσει στην αποκοπή. Αντίθετα, η µείωση του πάχους του διηλεκτρικού πυρήνα επιφέρει αύξηση του κυµατικού διανύσµατος του περιττού ρυθµού, και, έτσι, αυξάνεται ο περιορισµός. Παράλληλα, η ταχύτητα οµάδας, 1 v = c(n + ωdn dω), ελαττώνεται εκθετικά, µε την οδήγηση αργού φωτός (slow g eff eff light) να γίνεται εφικτή και το πεδίο να παρουσιάζει επιθυµητά, για ορισµένες εφαρµογές, χαρακτηριστικά [29]. Σχήµα 3.11 Πραγµατικό (α) και φανταστικό (β) µέρος της µιγαδικής σταθεράς διάδοσης κανονικοποιηµένα ως προς τη σταθερά διάδοσης στο κενό k για για τη δοµή αργύρου/αέρα/αργύρου σε µήκος κύµατος στο κενό λ άρτιος ρυθµός ενώ µε µαύρο χρώµα ο περιττός. = 633 nm. Με γκρι αναπαρίσταται ο Τέλος, είναι ενδιαφέρον να ανεφερθούµε στην ύπαρξη ενός επιπλέον ρυθµού, πέραν του συµµετρικού και του αντισυµµετρικού που µόλις αναλύσαµε, ο οποίος µπορεί να εµφανιστεί υπό συγκεκριµένες συνθήκες, σε άµεση εξάρτηση από το πάχος του πυρήνα. Σε συχνότητες κάτω από την ω sp και για απορροφητικά µέταλλα, εκτός από τους ρυθµούς αυτούς κανονικής µετάδοσης, µπορεί να υπάρξει ταυτόχρονα και ένας τρίτος οδηγούµενος 6

67 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα συµµετρικός ρυθµός οϖίσθιας διάδοσης (backword propagating mode) [3]. Οι δύο άρτιοι ρυθµοί που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις έχουν παρόµοιο πραγµατικό µέρος κυµατικού διανύσµατος, Re[ β ], κάτι που ενδεχοµένως να µπορούµε να εκµεταλλευτούµε σε πλασµονικούς συζεύκτες (plasmonic couplers). Επίσης, η µελέτη τους αποτελεί ένα ακόµη βήµα προς την κατανόηση του φαινοµένου αρνητικής διάθλασης σε επίπεδες µεταλλο διηλεκτρικές δοµές στη νανοκλίµακα Συγκέντρωση του ϖεδίου και µήκος διάδοσης Εφόσον εξετάστηκε η σχέση διασποράς του κυµατικού διανύσµατος ως συνάρτηση της συχνότητας και ως συνάρτηση του πάχους του διηλεκτρικού φιλµ για απορροφητικά µέταλλα, µπορούµε πλέον να διερευνήσουµε κατά πόσο έχουµε τη δυνατότητα να µιλάµε για υψηλή συγκέντρωση ή για ικανοποιητικό µήκος διάδοσης στις διατάξεις µετάλλου/διηλεκτρικού/µετάλλου. Το µήκος διάδοσης L της διάταξης Ag / SiO 2 / Ag σαν συνάρτηση του µήκους κύµατος στο κενό λ για πάχη διηλεκτρικού t t = 1 nm, = 5 nm, t = 2 nm και t = 12 nm. Στο σχήµα 3.12(α) φαίνονται τα µήκη διάδοσης του περιττού ρυθµού, ενώ στο σχήµα (β) αυτά του άρτιου. Σχήµα 3.12 Μήκος διάδοσης για τους περιττούς (α) και τους άρτιους (β) ρυθµούς για τη δοµή αργύρου/διοξειδίου του πυριτίου/αργύρου µε πάχη διηλεκτρικού t = 1 nm, t = 5 nm, t = 2 nm και t = 12 nm συναρτήσει του µήκους κύµατος στο κενό. Η πλασµονική συµπεριφορά του αντισυµµετρικού ρυθµού αντικατοπτρίζεται και στο µήκος διάδοσής του. Για µεγαλύτερα µήκη κύµατος, όπου η καµπύλη διασποράς 61

68 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα ακολουθεί τη γραµµή του φωτός, παρουσιάζονται αυξηµένα µήκη διάδοσης. Εξάλλου, αύξηση του πάχους του πυρήνα έχει ως αποτέλεσµα την αύξηση της απόστασης που θα διανύσει το SPP. Η διάδοση είναι της τάξης των µερικών δεκάδων µm. Όπως για τον περιττό ρυθµό, έτσι και για τον άρτιο η µετάδοση βελτιώνεται µε την αύξηση του πάχους του φιλµ. Ωστόσο, ο ρυθµός είναι αποσβεννύµενος για µικρά πάχη και για πάχος 5 nm η διάδοση είναι µόλις της τάξης των 1 nm. Όταν το πάχος είναι 1 nm λόγω της έλευσης σε περιοχή επιτρεπόµενης διάδοσης του άρτιου ρυθµού παρατηρείται ένα µήκος διάδοσης λίγο πάνω από τα 4 nm. Το µήκος απόσβεσης της ίδιας διάταξης σαν συνάρτηση του µήκους κύµατος στο κενό λ φαίνεται στο σχήµα 3.13 για τα ίδια πάχη του διηλεκτρικού φιλµ. Κατά τη διάδοση των περιττών ρυθµών, το βάθος διείσδυσης στο µεταλλικό περίβληµα δεν ξεπερνά τα 25 nm. Βλέπουµε ότι επιτυγχάνεται πολύ υψηλή συγκέντρωση στην κλίµακα των νανοµέτρων και είναι δυνατή η πυκνή ολοκλήρωσή τους, εν αντιθέσει µε τους IMI κυµατοδηγούς,. Στην περίπτωση των άρτιων ρυθµών, καθώς µεταβαίνουµε από την ψευδοδέσµια περιοχή στην περιοχή συµβατικής κυµατοδήγησης, παρατηρείται µια ελαφρά αύξηση του βάθους διείσδυσης. Παρ όλα ταύτα, για κάποιο δεδοµένο πάχος πυρήνα, η εισχώρηση του πεδίου στο περίβληµα διατηρείται σχεδόν σταθερή για όλα τα µήκη κύµατος. ηλαδή, παρατηρούµε την ύπαρξη ενός µηχανισµού διαφορετικού των ωµικών απωλειών που υπερισχύει στις IMI διατάξεις, στις οποίες το µήκος απόσβεσης αυξάνεται συνεχώς µε το µήκος κύµατος. Σχήµα 3.13 Μήκος απόσβεσης για τους περιττούς (α) και τους άρτιους (β) ρυθµούς για τη δοµή αργύρου/διοξειδίου του πυριτίου/αργύρου µε πάχη διηλεκτρικού t = 1 nm, t = 5 nm, t = 2 nm και t = 12 nm συναρτήσει του µήκους κύµατος στο κενό. 62

69 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα Τέλος, η µελέτη του µήκος διάδοσης ως συνάρτηση του πάχους του πυρήνα δίνει µια επιπλέον δυνατότητα εποπτείας της δοµής. Θεωρούµε τη δοµή Au/αέρα/Au για µήκος κύµατος ελεύθερου χώρου λ = 155 nm, στο οποίο ο χρυσός έχει διηλεκτρική σταθερά εau = i1.97 [6]. Στο σχήµα 3.14 παρουσιάζεται το ζητούµενο µε γκρι γραµµή για τον περιττό ρυθµό. Για λόγους σύγκρισης υπολογίστηκε το αντίστοιχο µήκος της συζυγούς δοµής αέρα/au/ αέρα (µαύρη γραµµή). Με γκρι διακεκοµµένη γραµµή φαίνεται το µήκος διάδοσης στη µονή διεπιφάνεια Au/αέρα. Όπως γίνεται φανερό, για µεγάλα πάχη του πυρήνα το µήκος διάδοσης και των δυο διατάξεων γίνεται ίσο µε το µήκος διάδοσης στη µονή διεπιφάνεια. Τα SPPs της άνω και κάτω διαχωριστικής επιφάνειας παραµένουν ασύζευκτα. Για λεπτότερα φιλµ τα SPPs αρχίζουν να αλληλεπιδρούν και, έτσι, το µήκος διάδοσης µεγαλώνει για την ΙΜΙ ετεροδοµή, ενώ µικραίνει για τη ΜΙΜ. Πρέπει να τονιστεί το γεγονός ότι το µήκος διάδοσης της ΜΙΜ δοµής γίνεται ίσο µε αυτό της µονής διεπιφάνειας κοντά στο πάχος των 1 µm, σε αντιπαραβολή µε το πάχος των 1 nm που χρειάζεται η ΙΜΙ δοµή. Όπως ήταν αναµενόµενο, τα SPPs αποσβένονται πολύ ταχύτερα στο µεταλλικό φιλµ παρά στον διηλετρικό πυρήνα. Σχήµα 3.14 Μήκος διάδοσης για τους περιττούς ρυθµούς της δοµής Au/αέρα/Au (γκρι γραµµή) και της συζυγούς της δοµής, αέρα/au/αέρα (µαύρη γραµµή), συναρτήσει του πάχους του πυρήνα. Συνοψίζοντας, δείξαµε για τη δοµή µετάλλου/διηλεκτρικού/µετάλλου ότι αποτελεί προτιµότερη επιλογή αν θέλουµε να κατασκευάσουµε διατάξεις υψηλής ολοκλήρωσης. Είδαµε, ακόµα, ότι, αν επιλέξουµε προσεκτικά αρκετά µικρό το πάχος του διηλεκτρικού πυρήνα, µπορούµε να επιτύχουµε πολύ µεγάλες σταθερές διάδοσης β ακόµη και για 63

70 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα διέγερση πολύ κάτω από την ω sp. Γίνεται σαφές ότι ενώ για τη γεωµετρία µετάλλου/διηλεκτρικού για να επιτύχουµε µεγάλα κυµατικά διανύσµατα ήταν απαραίτητη η διέγερση κοντά στην ω sp, µπορούµε µε MIM ετεροδοµές να επιτύχουµε εξίσου µεγάλα β (δηλαδή µικρά λ g ), άρα και µικρά µήκη απόσβεσης ẑ στα µεταλλικά περιβλήµατα, µε σωστή επιλογή του πάχους του πυρήνα για διέγερση στις υπέρυθρες συχνότητες. Από την άλλη, µε τις IMI δοµές µπορούµε να επιτύχουµε µεγαλύτερα µήκη διάδοσης. 3.4 Κλειστές εκφράσεις υϖολογισµού του κυµατικού διανύσµατος σε IMI και MIM δοµές Ύστερα από την ηλεκτροµαγνητική ανάλυση της δοµής τριών στρωµάτων καταλήξαµε µε χρήση των οριακών συνθηκών στις εξισώσεις (3.18) και (3.19), οι οποίες προσφέρονται για υπολογισµό του κυµατικού διανύσµατος στις συµµετρικές IMI και MIM διατάξεις. Οι τιµές του κυµατικού διανύσµατος των ρυθµών β, υπολογίζονται µε αριθµητικές µεθόδους µε έµµεσο τρόπο. Θα ήταν πολύ χρήσιµο για τον σχεδιασµό τέτοιων διατάξεων να µπορέσουµε να υπολογίσουµε τις έµµεσες αυτές λύσεις και να τις προσεγγίσουµε µε άµεσο τρόπο. Τέτοιες κλειστές εκφράσεις έχουν παρουσιαστεί [31] και στο παρόν κεφάλαιο θα εξετάσουµε την αποτελεσµατικότητά τους. Παρατηρώντας τη διασπορά του άρτιου ρυθµού στο σχήµα 3.5, στο όριο ενός πολύ λεπτού φιλµ το πραγµατικό και φανταστικό µέρος του κυµατικού διανύσµατος αυξάνεται ραγδαία και τείνει στο όριο β (2ε d ) (tε m ), όπου εd και ε m η διηλεκτρική σταθερά στο διηλεκτρικό και το µέταλλο αντίστοιχα. Άρα, το µήκος κύµατος του ρυθµού και το µήκος διάδοσης ελαττώνονται και τείνουν να µηδενιστούν για πολύ λεπτά φιλµ. Αποδεικνύεται ότι σε αυτό το όριο ο λόγος των δύο τείνει να είναι σταθερός και µάλιστα καθορίζεται από το πραγµατικό και φανταστικό µέρος της διηλεκτρικής σταθεράς του µετάλλου, L λ Re(ε m ) 4πIm(ε m ). Ο λόγος αυτός αποτελεί πραγµατικότητα για τα ευγενή µέταλλα, όπως µπορούµε να διαπιστώσουµε από το σχήµα 1.2. Αν υποθέσουµε ότι ο µεταλλικός πυρήνας της IMI δοµής έχει αρκετά µικρό πάχος, µπορούµε να εφαρµόσουµε για την εξίσωση (3.14), αναφορικά µε το κυµατικό διάνυσµα στο µέταλλο, την προσέγγιση 2 2 m d m β ε k k ε ε. Καταλήγουµε µε αυτόν τον 64

71 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα τρόπο σε ένα ζεύγος κλειστών εκφράσεων για τον υπολογισµό του κυµατικού διανύσµατος για τον περιττό και τον άρτιο ρυθµό αντίστοιχα 2 2 d d m d m d m β k ε + (ε ε )(ε ε ) tanh (k α ε ε ) (περιττός ρυθµός), (3.24) 2 2 d d m d m d m β k ε + (ε ε )(ε ε ) tanh (k α ε ε ) (άρτιος ρυθµός). (3.25) Για να ελέγξουµε την αποτελεσµατικότητα της προσέγγισης, θα τη συγκρίνουµε µε τις λύσεις που παίρνουµε από τις εξισώσεις (3.18) και (3.19). Στο σχήµα 3.15 γίνεται η σύγκριση ανάµεσα στην ακριβή και την προσεγγιστική µέθοδο για τον ενεργό δείκτη διάθλασης (α) και το µήκος διάδοσης (β). Τα χαρακτηριστικά αυτά µεγέθη των περιττών και των άρτιων ρυθµών υπολογίστηκαν για τη δοµή αέρα/au/αέρα σε µήκος κύµατος στο κενό λ = 775 nm, συχνότητα στην οποία για το µέταλλο ισχύει εm = i. Η ακρίβεια της προσέγγισης είναι εµφανής σε όλο το εύρος των παχών από τα 1 nm ως τον εκφυλισµό των ρυθµών σε αυτόν της µονής διεπιφάνειας αέρα/χρυσού. Σχήµα 3.15 Ενεργός δείκτης διάθλασης (α) και µήκος διάδοσης (β) για τους περιττούς και άρτιους ρυθµούς της δοµής αέρα/au/αέρα συναρτήσει του πάχους του πυρήνα. Με συνεχείς γραµµές φαίνεται η ακριβής µέθοδος, ενώ µε ρόµβους η προσεγγιστική. Όσον αφορά τον συµµετρικό MIM κυµατοδηγό, είδαµε ότι ο µόνος ρυθµός που δεν υφίσταται αποκοπή µε το πάχος του διηλεκτρικού πυρήνα είναι ο περιττός ρυθµός. Λαµβάνοντας υπόψη τη γνωστή από την τριγωνοµετρία προσέγγιση tanh x x (x ), για αρκετά λεπτά διηλεκτρικά φιλµ µπορούµε να πάρουµε την προσέγγιση 65

72 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα β 2 β 2 β 2 d d m k k k β k ε +.5( ) + ( ) [ε ε +.25( ) ], (3.26) όπου β = (2ε ) (tε ). Όπως αναφέραµε, το d m β είναι η σταθερά διάδοσης του SPP όταν το πάχος του πυρήνα γίνεται πολύ µικρό. Από το σχήµα 3.11 µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι ο ενεργός δείκτης διάθλασης γίνεται πολύ µεγαλύτερος από τον δείκτη διάθλασης του διηλεκτρικού. Σε αυτήν την περίπτωση, αν συγκρίνουµε τα σχήµατα 3.5 και 3.11, παρατηρούµε ότι η σταθερά διάδοσης του άρτιου ρυθµού της IMI δοµής έχει παρόµοια συµπεριφορά µε τον περιττό ρυθµό της MIM δοµής. Για µεγάλο πάχος του διηλεκτρικού κενού ανάµεσα στο µεταλλικό κάλυµµα και υπόστρωµα το κυµατικό διάνυσµα τείνει σε αυτό της µονής διεπιφάνειας. Η σχέση (2.47) περιγράφει τη διασπορά της µονής διεπιφάνειας IM και σε αυτό το σηµείο είναι σκόπιµο να την υπενθυµίσουµε: βim = k (εmε d ) (εm + ε d ). Μειώνοντας το πάχος του διηλεκτρικού πυρήνα, όταν τα SPPs των δύο επιφανειών µόλις αλληλεπιδρούν, θα πρέπει να κάνουµε µια διόρθωση στη σχέση διασποράς για να ενσωµατώσουµε την αλληλεπίδραση αυτή. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για την υπερβολική εφαπτοµένη την προσέγγιση tanh 1 2e 2x, καταλήγοντας στην άµεση έκφραση υπολογισµού της σταθεράς διάδοσης για µεγαλύτερο διηλεκτρικό κενό 4ε ε k t d m d β β 1 e, IM 2 2 εm εd (3.27) όπου 2 4εm d = IM,d εm εd k k 1 e k IM,d t, µε k ε k = β ε k =. ε 2 2 d IM,d ΙΜ d εm d Στο σχήµα 3.16 γίνεται η σύγκριση ανάµεσα στην ακριβή λύση και τις προσεγγίσεις µικρού και µεγάλου διηλεκτρικού κενού. Στο σχήµα (α) παρουσιάζεται ο ενεργός δείκτης διάθλασης και στο (β) το µήκος διάδοσης για τη δοµή Au/αέρα/Αu σε µήκος κύµατος στο κενό λ = 155 nm, συχνότητα στην οποία για το µέταλλο ισχύει εm = i. ιαπιστώνεται ότι η προσεγγίσεις είναι ικανοποιητικές, η κάθε µία στο εύρος για το οποίο προορίζεται. Έτσι, µπορούµε να καλύψουµε συνδυαστικά όλο το εύρος των παχών του 66

73 Κεφάλαιο 3. Πολαριτόνια επιφανειακών πλασµονίων σε πολυστρωµατικά συστήµατα διηλεκτρικού κενού και να έχουµε κλειστές εκφράσεις υπολογισµού του κυµατικού διανύσµατος. Σχήµα 3.16 Ενεργός δείκτης διάθλασης (α) και µήκος διάδοσης (β) για τους περιττούς ρυθµούς της δοµής Au/αέρα/Au συναρτήσει του πάχους του πυρήνα. Με µαύρες συνεχείς γραµµές φαίνεται η ακριβής µέθοδος, µε γκρι συνεχείς η προσέγγιση µεγάλου κενού και µε γκρι διακεκοµµένες η προσέγγιση µικρού κενού. Συνοψίζοντας, στο παρόν κεφάλαιο αναλύσαµε τις πολυστρωµατικές δοµές και τη σύζευξη των SPPs που διαδίδονται σε κάθε διαχωριστική επιφάνεια. Καταλήξαµε στις σχέσεις διασποράς για τους άρτιους και περιττούς ρυθµούς που υποστηρίζονται από τις ΙΜΙ και ΜΙΜ δοµές και µελετήσαµε τη διασπορά τόσο µε τη συχνότητα όσο και µε το πάχος του πυρήνα. ιαπιστώσαµε την ύπαρξη ρυθµών οι οποίοι µπορούν να διαδοθούν σε µεγάλες αποστάσεις αναλογικά µε την κλίµακα στην οποία εργαζόµαστε και διατάξεων που προσφέρουν εξαιρετικά υψηλή συγκέντρωση ώστε να µπορούµε να µιλάµε για οδήγηση σε κλίµακα µικρότερη του µήκους κύµατος. Παρ όλα αυτά, οι IMI και MIM ετεροδοµές προσφέρουν περιορισµό του πεδίου για ένα κύµα το οποίο οδεύει κατά τη διεύθυνση x σύµφωνα µε το σχήµα 3.1 κατά µία µόνο διεύθυνση, τη διεύθυνση z, ενώ το πεδίο δεν υφίσταται περιορισµό κατά τη διεύθυνση y. Μια δοµή τριών στρωµάτων µε πεπερασµένο όχι µόνο το πάχος του πυρήνα αλλά και το πλάτος του προσφέρει αυτόν τον επιπλέον περιορισµό και θα µελετηθεί στο επόµενο κεφάλαιο. Για να εξετάσουµε τη συµπεριφορά του, θα χρησιµοποιηθεί κυρίως η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Επιπλέον, θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο του ενεργού δείκτη διάθλασης (effective index method, EIM), την οποία θα εφαρµόσουµε στον ίδιο κυµατοδηγό. 67

74 Κεφάλαιο 4 Εϖιφανειακοί ρυθµοί ϖλασµονίων σε διατάξεις ϖεϖερασµένου ϖλάτους Στο προηγούµενο κεφάλαιο περιγράψαµε τη γεωµετρία τριών στρωµάτων µε άπειρο πλάτος πυρήνα. Ωστόσο, το πρακτικό ενδιαφέρον µιας τέτοιας γεωµετρίας περιορίζεται από το γεγονός ότι προσφέρει περιορισµό του πεδίου µόνο σε µια εγκάρσια διάσταση (1D). ηλαδή, η εξάπλωση του ρυθµού πλευρικά του σηµείου διέγερσης θα τείνει στο άπειρο. Αν εισαγάγουµε και περιορισµό πλάτους στον πυρήνα, εκτός από πάχους δηλαδή, επιβάλλουµε µε αυτόν τον τρόπο περιορισµό του πεδίου και στο εγκάρσιο επίπεδο. Έτσι, θα µελετηθούν οι επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε µεταλλικά φιλµ πεπερασµένου πλάτους. Με την εισαγωγή αυτή του περιορισµού του πεδίου και στο εγκάρσιο επίπεδο προσφέρεται δισδιάστατος περιορισµός (2D confinement), γεγονός που µπορεί να φανεί χρήσιµο αν καταφέρουµε να κατασκευάσουµε κατάλληλους κυµατοδηγούς µε χαµηλές απώλειες στη µετάδοση σήµατος ή στην κατασκευή παθητικών στοιχείων (couplers, splitters). 4.1 Η γεωµετρία διηλεκτρικού/µετάλλου/διηλεκτρικού µε µεταλλικό ϖυρήνα ϖεϖερασµένου ϖλάτους και οι ρυθµοί ϖου υϖοστηρίζει Στο προηγούµενο κεφάλαιο µελετήσαµε τα ΙΜΙ συστήµατα και αποδείξαµε ότι για ικανοποιητικά λεπτό µεταλλικό πυρήνα η αλληλεπίδραση των SPPs στην άνω και κάτω διεπιφάνεια οδηγούν στην εµφάνιση συζευγµένων ρυθµών. Στην περίπτωση µιας συµµετρικής δοµής, δηλαδή µε το ίδιο διηλεκτρικό στο υπόστρωµα και το περίβληµα, οι ρυθµοί παρουσιάζουν συµµετρία, και ο περιττός ρυθµός εµφανίζει την πολύ ελκυστική ιδιότητα της µειωµένης απόσβεσης µειουµένου του πάχους του µεταλλικού πυρήνα. Θα βασιστούµε, λοιπόν, σε αυτήν τη γεωµετρία και θα µελετήσουµε τη συµπεριφορά του κυµατοδηγού που σχηµατίζεται αν περιοριστεί και το πλάτος του πυρήνα, αν δηλαδή εκτός

75 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους από το πάχος του πυρήνα θεωρηθεί πεπερασµένο και το πλάτος του. Η δοµή αυτή η οποία επιβάλλει τον περιορισµό του πεδίου σε δύο διαστάσεις (2D) είναι ευρέως γνωστή ως stripe (σε αντιπαραβολή µε τη δοµή στην οποία ο πυρήνας είναι άπειρου πλάτους µε την οποία ασχοληθήκαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, γνωστή ως slab) και µπορεί να αποδειχτεί πολύ χρήσιµη για µετάδοση σηµάτων και δροµολόγηση ή για την κατασκευή παθητικών διατάξεων. Όπως στις δοµές µε άπειρο πλάτος πυρήνα, η δοµή stripe υποστηρίζει τη διάδοση SPPs µακράς εµβέλειας (long ranging SPPs). Ο πυρήνας µεταλλικού φιλµ έχει πεπερασµένο πάχος (t) και πλάτος (w), και χαρακτηρίζεται από µια συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς ε1 = ε 1(ω), ενώ περιβάλλεται από διηλεκτρικό διηλεκτρικής σταθεράς ε 2. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση για την οποία ισχύει w t 1, δηλαδή µόνο κατά τον κάθετο άξονα y έχουµε διαστάσεις µικρότερες του µήκους κύµατος (sub wave length). Στο σχήµα 4.1 απεικονίζεται η δοµή του µεταλλικού stripe. Σχήµα 4.1 Γεωµετρία της δοµής διηλεκτρικού/µετάλλου/διηλεκτρικού µε µεταλλικό πυρήνα πεπερασµένου πλάτους (µεταλλικό stripe). Το αγώγιµο φιλµ έχει πάχος t και πλάτος w, χαρακτηρίζεται από τη συνάρτηση διηλεκτρικής σταθεράς ε 1( ω ) και περιβάλλεται από διηλεκτρικό διηλεκτρικής σταθεράς ε Ηλεκτροµαγνητική ανάλυση της µεταλλικής ταινίας ιατάξεις µε πεπερασµένο πλάτος δεν υποστηρίζουν καθαρά εγκάρσιους ρυθµούς αλλά έναν συνδυασµό TE και TM ρυθµών. Αντίθετα µε τη δοµή slab, λοιπόν, όλες οι έξι συνιστώσες του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου είναι παρούσες σε όλους τους ρυθµούς και συνεπώς αποκαλούνται υβριδικοί ρυθµοί (hybrid modes) [32]. Η γενική µορφή των πεδίων είναι 69

76 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους i(βz ωt) E(x, y,z, t) = E (x, y)e, (4.1) i(βz ωt) H(x, y,z, t) = H (x, y)e, (4.2) όπου E = E x xˆ + E y yˆ + E zˆ z, (4.3) H = H x xˆ + H y yˆ + H zˆ z. (4.4) Οι σχέσεις αυτές πρέπει να ικανοποιούν τις εξισώσεις του Maxwell (2.5) και (2.6), από τις οποίες αν απαλείψουµε τη συνιστώσα E λαµβάνουµε την κυµατική εξίσωση για το µαγνητικό πεδίο H 1 2 H H (4.5) (ε ) = k. Εφόσον θεωρούµε ότι το υλικό που χρησιµοποιούµε είναι ισοτροπικό, µπορούµε να εκφράσουµε την κυµατική εξίσωση ως συνάρτηση των δύο εγκάρσιων, κατά τη διεύθυνση διάδοσης, συνιστωσών του µαγνητικού πεδίου t (ε t Ht ) ε t( t Ht ) (k β ε ) H t, (4.6) = όπου χρησιµοποιήθηκε το εγκάρσιο ανάδελτα t = x( ˆ x) + y( ˆ y) και η H t x y i(βz ωt) = (H xˆ + H y)e ˆ. ιδιοτιµών για Η σχέση (4.6) δεν επιδέχεται αναλυτική επίλυση, πρόκειται για ένα πρόβληµα λ 2 = β και στη συνέχεια θα παρουσιάσουµε µεθόδους επίλυσής του Ονοµατολογία των υϖοστηριζόµενων ρυθµών Στο κεφάλαιο 3 δείξαµε ότι για πυρήνα άπειρου πλάτους η δοµή τριών στρωµάτων υποστηρίζει µόνο δύο καθαρά δέσµιους TM ρυθµούς οι οποίοι εµφανίζουν πεδίο µε περιττή ή άρτια συµµετρία. Η τάση στη βιβλιογραφία είναι να συµβολίζονται, σε σχέση µε τη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου E y αναφορικά µε το σχήµα 4.1, µε s οι ρυθµοί που παρουσιάζουν άρτια συµµετρία και µε a οι ρυθµοί οι οποίοι θα είναι περιττής συµµετρίας σε σχέση µε τον άξονα x. Για να επιδείξουµε συνέπεια µε την ορολογία που έχει 7

77 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους χρησιµοποιηθεί προηγουµένως, πρέπει να τονιστεί ότι ο s ρυθµός αντιστοιχεί στη λύση της (3.18) ενώ ο a ρυθµός σε αυτήν της (3.19) 1. Επιπλέον, χρησιµοποιούνται δείκτες οι οποίοι δηλώνουν αν πρόκειται περί δέσµιων ή διαρρέοντων ρυθµών µε b (bound) ή l (leaky) αντίστοιχα. Στα σχήµατα 3.4(α) και (β) παρουσιάστηκαν οι σχέσεις διασποράς των s b και a b ρυθµών αντίστοιχα. Αποδεικνύεται ότι για τo µεταλλικό stripe εµφανίζεται ένας διακριτός αριθµός οδηγούµενων ρυθµών όπως επίσης και ένα συνεχές ακτινοβολούµενων ρυθµών. Όσον αφορά τους διακριτούς ρυθµούς, αυτοί µπορεί να υποστηρίζονται από ένα µεταλλικό stripe αλλά να µην υποστηρίζονται από µια διάταξη στενότερου πλάτους, δηλαδή παρατηρείται πλάτος αποκοπής [33]. Ας κάνουµε µια προσπάθεια να διερευνήσουµε τους ρυθµούς που υποστηρίζονται από την εν λόγω δοµή. Είναι φανερό από το σχήµα 4.1 ότι η δοµή εµφανίζει συµµετρία ενός τετάρτου. Εκµεταλλευόµαστε τη συµµετρία αυτήν τοποθετώντας κάθετους ή οριζόντιους τοίχους, δηλαδή µη διαπερατές οριακές συνθήκες τέλειου ηλεκτρικού (PEC) ή τέλειου µαγνητικού (PMC) αγωγού, κατά τον x και y άξονα αντίστοιχα, ηλεκτρικούς ή µαγνητικούς, γεγονός που µας οδηγεί σε τέσσερις πιθανούς συνδυασµούς τοίχων. Το γεγονός ότι η διάταξη αυτή παρουσιάζει µια τέτοιου είδους συµµετρία µας προσανατολίζει να υποθέσουµε την ύπαρξη αντίστοιχα τεσσάρων τύπων ρυθµών. Η συµµετρία ενός τετάρτου, οι δυνατοί συνδυασµοί ηλεκτρικών ή µαγνητικών τοίχων που προκύπτουν καθώς και σε ποιους ρυθµούς οδηγούν αυτοί (σύµφωνα µε την ονοµατολογία την οποία θα παραθέσουµε στη συνέχεια) φαίνονται στο σχήµα 4.2 Όπως αναφέραµε, σε αντίθεση µε τη δοµή τριών στρωµάτων µε άπειρο πλάτος πυρήνα, καθαρά εγκάρσιοι µαγνητικοί ρυθµοί δεν υποστηρίζονται από ένα µεταλλικό φιλµ πεπερασµένου πλάτους και όλες οι έξι συνιστώσες του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου είναι παρούσες. Σε µια συµµετρική δοµή για την οποία ισχύει ότι η αναλογία πλάτος προς πάχος είναι w t 1, η συνιστώσα E y κυριαρχεί. Όσο αυξάνεται το πάχος του φιλµ, η αυξάνει και αν τελικά w t < 1, τότε η E x γίνεται κυρίαρχη. Πρακτικά, στις περισσότερες δοµές ισχύει w t 1 και έτσι η πεδίου [34]. E x E y είναι η κύρια εγκάρσια συνιστώσα του ηλεκτρικού 1 Ο s b ρυθµός αντιστοιχεί στον περιττό όπως τον ονοµάσαµε στο Κεφάλαιο 3 ρυθµό και ο a b ρυθµός στον άρτιο. Η όποια διαφορά στην ονοµατολογία έγκειται, φυσικά, στις συµβάσεις που χρησιµοποιήθηκαν όσον αφορά τη συµµετρία της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου που επιλέχθηκε. 71

78 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους Ας επιχειρήσουµε να επεκτείνουµε την ονοµατολογία την οποία χρησιµοποιήσαµε για τη slab δοµή στη δοµή stripe. Αρχικά, χρειαζόµαστε ένα ζεύγος των γραµµάτων a ή s το οποίο να υποδεικνύει αν η κύρια συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι περιττής ή άρτιας συµµετρίας σε σχέση µε τον y και x άξονα αντίστοιχα. Επιπλέον, απαιτείται η χρήση ενός εκθέτη m που θα δείχνει τον αριθµό των ακροτάτων που παρατηρείται για αυτήν τη συνιστώσα κατά µήκος της µεγαλύτερης διάστασης (τον άξονα x). Ίσως να χρειάζεται ένας επιπλέον εκθέτης που να δηλώνει τον αριθµό των ακροτάτων και κατά τον άξονα y. Τέλος, χρειαζόµαστε έναν δείκτη b ή l ο οποίος θα δηλώνει αν ο εκάστοτε ρυθµός είναι δέσµιος ή διαρρέων (bound ή leaky) αντίστοιχα. Σχήµα 4.2 (α) Oι πιθανοί συνδυασµοί κάθετων ή οριζόντιων τοίχων που µπορούν να χρησιµοποιηθούν κατά µήκος των αξόνων συµµετρίας και οι ρυθµοί στους οποίους οδηγούν. (β) Η συµµετρία ενός τετάρτου που προκύπτει για τη δοµή του µεταλλικού stripe, την οποία εκµεταλλευόµαστε χρησιµοποιώντας µαγνητικούς ή ηλεκτρικούς τοίχους συµµετρίας. Η επιλογή των οριζόντιων και κάθετων τοίχων, αν θα είναι ηλεκτρικοί ή µαγνητικοί, οδηγεί σε διαφορετικούς ρυθµούς µε τις αντιστοιχίες σύµφωνα µε την προταθείσα ονοµατολογία να εµφανίζονται στο σχήµα 4.2(α). Οι πρώτοι ρυθµοί προκύπτουν, σύµφωνα µε τα προαναφερθέντα, από τους τέσσερις πιθανούς συνδυασµούς των συµµετριών και επιλέγονται αυτοί µε τη µεγαλύτερη φασική σταθερά. Είναι οι ss b, sa b, as b και aa b και θεωρούνται ως οι θεµελιώδεις ρυθµοί τους οποίους υποστηρίζει η δοµή. Ο ρυθµός που παρουσιάζει τα πιο ελκυστικά χαρακτηριστικά και αποκτά πρακτικό ενδιαφέρον είναι ο ss b, 72

79 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους όπως θα διαπιστώσουµε στη συνέχεια. Ας µελετήσουµε, όµως, πρώτα τη συµπεριφορά των ρυθµών αυτών για διαφορετικά πάχη του µεταλλικού πυρήνα. ϖυρήνα 4.2 Η σχέση διασϖοράς των θεµελιωδών ρυθµών µε το ϖάχος του Για να εξετάσουµε τη σχέση διασποράς µε τη µεταβολή του πάχους ενός stripe θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο ενεργού δείκτη διάθλασης (effective index method, ΕΙΜ) και στη συνέχεια θα συγκρίνουµε τα αποτελέσµατά µας µε αυτά της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM). Θα επικεντρώσουµε το ενδιαφέρον µας στην περίπτωση όπου το µήκος κύµατος στο κενό είναι λ = 633 nm ώστε να συµβαδίζουµε µε κλασικές µελέτες στο αντικείµενο [35]. Σε αυτό το µήκος κύµατος το αργυρό φιλµ το οποίο θα αποτελεί τον πυρήνα µας έχει διηλεκτρική σταθερά ε1 = 19 + i.53. Το περιβάλλον διηλεκτρικό έχει διηλεκτρική σταθερά ε2 = 4. Το µεταλλικό φιλµ θα έχει πλάτος w = 1µm και θα µεταβάλλεται το πάχος του t. Πρακτικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση w t > 1 και οι υπολογισµοί µας θα περιοριστούν σε ένα αντίστοιχο παράθυρο Υϖολογισµός µε τη µέθοδο ενεργού δείκτη διάθλασης Ας θεωρήσουµε τον ορθογώνιο 2D κυµατοδηγό του σχήµατος 4.3(α). Όπως φαίνεται στο σχήµα αυτό, σύµφωνα µε τη µέθοδο ενεργού δείκτη διάθλασης, αγνοούµε τις σκιασµένες περιοχές [36]. Σαν πρώτο βήµα θεωρούµε έναν ανάλογο 1D κυµατοδηγό, ο οποίος προσφέρει περιορισµό του πεδίου µόνο κατά τη διεύθυνση y, ενώ κατά τη διεύθυνση x εκτείνεται στο άπειρο. ηλαδή υποθέτουµε ένα slab, όπως αυτό µελετήθηκε στο κεφάλαιο 3. Σε αυτήν τη φάση υπολογίζεται ο ενεργός δείκτης διάθλασης της δοµής αυτής κατά τα γνωστά, όπως αυτή φαίνεται στο σχήµα 4.3(β). Στη συέχεια, ο ενεργός δείκτης διάθλασης που υπολογίσαµε θα χρησιµοποιηθεί ως ο δείκτης διάθλασης του πυρήνα ενός 1D κυµατοδηγού ο οποίος, όµως, θα προσφέρει περιορισµό του πεδίου κατά τη διεύθυνση x. Ο ανάλογος slab κυµατοδηγός της δεύτερης φάσης παρουσιάζεται στο σχήµα 4.3(γ). Η EIM είναι αρκετά ακριβής και η αξιοπιστία της έχει αξιολογηθεί µε σύγκριση των αποτελεσµάτων αναλυτικών µελετών και υπολογιστικών µεθόδων [37 38]. 73

80 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους Σχήµα 4.3 Η µέθοδος ενεργού δείκτη διάθλασης. (α) Η διατοµή του 2D κυµατοδηγού. (β) Πρώτο βήµα: Ο ανάλογος 1D κυµατοδηγός µε περιορισµό του πεδίου κατά τη διεύθυνση y. (γ) εύτερο βήµα: Ο ανάλογος 1D κυµατοδηγός µε περιορισµό του πεδίου κατά τη διεύθυνση x. Θεωρούµε ότι ο πυρήνας έχει δείκτη διάθλασης ρυθµό του κυµατοδηγού του σχήµατος (β). n eff, όπου n eff ο ενεργός δείκτης διάθλασης για τον Στο σχήµα 4.4 υπολογίστηκε µε την EIM η διασπορά µε το πάχος t του πυρήνα των τεσσάρων πρώτων ρυθµών που υποστηρίζει η δοµή. Στο ίδιο σχήµα παρουσιάζεται και η σχέση διασποράς των s b και a b ρυθµών συναρτήσει του πάχους t για τον αντίστοιχο slab κυµατοδηγό άπειρου πλάτους ( w = ). Με την αύξηση του πάχους του µεταλλικού πυρήνα οι s b και a b ρυθµοί εκφυλίζονται καθώς αποµακρύνονται οι δυο διεπιφάνειες µετάλλου διηλεκτρικού. Τότε, οι σταθερές διάδοσης των δύο ρυθµών τείνουν στον ρυθµό που υποστηρίζεται από τη µονή διεπιφάνεια αγωγού/διηλεκτρικού που περιγράψαµε στο κεφάλαιο 2. Η διασπορά µιας τέτοιας δοµής δίνεται από τη σχέση (2.47) η οποία δίνει 2 σταθερά διάδοσης Re[ β] k = και σταθερά απόσβεσης Im[ β] k τιµές οι οποίες συµφωνούν µε το σχήµα 4.4. =, Όσο µειώνεται το πάχος του πυρήνα το πεδίο του a b ρυθµού εισχωρεί σταδιακά βαθύτερα στο µεταλλικό φιλµ, µε αποτέλεσµα τόσο η φασική σταθερά όσο και η σταθερά απόσβεσης να γίνονται πολύ µεγάλες για ένα πολύ λεπτό φιλµ. Το αντίθετο φαινόµενο παρατηρείται για τον s b ρυθµό. Το πεδίο εισχωρεί περισσότερο στο περιβάλλον διηλεκτρικό και λιγότερο στον πυρήνα και, συνεπώς, για µεταλλικό πυρήνα πολύ µικρού πάχους παρατηρείται µικρή φασική σταθερά και σταθερά απόσβεσης. Το κύµα που διαδίδεται σε αυτήν την περίπτωση προσεγγίζει ένα TEM κύµα το οποίο διαδίδεται σε έναν χώρο που πληρούται µόνο από το υλικό του περιβλήµατος. Υποθέσαµε, ωστόσο, ότι το περίβληµα δεν εισάγει απόσβεση και εποµένως η σταθερά απόσβεσης προσεγγίζει ασυµπτωτικά το µηδέν. Και οι δυο αυτοί ρυθµοί δεν εµφανίζουν κάποιο πάχος πυρήνα αποκοπής. 74

81 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους Σχήµα 4.4 Η φασική σταθερά (α) και η σταθερά απόσβεσης (β) για τους τέσσερις θεµελιώδεις ρυθµούς ss, b sa, b as και b aa που υποστηρίζονται από τη δοµή του µεταλλικού stripe συναρτήσει b του πάχους t του µεταλλικού πυρήνα, υπολογισµένες µε τη µέθοδο ενεργού δείκτη διάθλασης. Ο πυρήνας πλάτους w = 1µm αποτελείται από λεπτό αργυρό φιλµ το οποίο περιβάλλεται από διηλεκτρικό σταθεράς ε = 4. Το µήκος κύµατος στο κενό είναι λ = 633 nm. Εµφανίζονται επίσης οι ρυθµοί s b και a b που υποστηρίζονται από έναν slab κυµατοδηγό χωρίς περιορισµό πλάτους (w = ). 75

82 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους Όσο το πάχος του stripe µειώνεται, η σύζευξη ανάµεσα στην άνω και κάτω διεπιφάνεια αυξάνεται και οι ρυθµοί χωρίζονται σε δύο κλάδους, τον άνω και τον κάτω, όπως φαίνονται στα σχήµατα 4.4(α) και 4.4(β). Οι ρυθµοί του stripe παρουσιάζουν δύο αντίθετες συµπεριφορές ανάλογα µε το αν η Ey συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου εµφανίζει περιττή ή άρτια συµµετρία σε σχέση µε το οριζόντιο επίπεδο συµµετρίας της δοµής, δηλαδή τον άξονα x. Στην περίπτωση που η συµµετρία της Ey είναι περιττή, οι ρυθµοί ακολουθούν την άνω καµπύλη. Όπως παρατηρούµε, οι b sa και aa b ρυθµοί παραµένουν εκφυλισµένοι για τα πάχη του πυρήνα τα οποία µελετήθηκαν. Ωστόσο, αν µειωνόταν το πάχος του µεταλλικού φιλµ τελικά θα αίρονταν ο εκφυλισµός αυτός και οι ρυθµοί θα χωρίζονταν σε ξεχωριστούς κλάδους. Μειώνοντας το πάχος, το πεδίο εισχωρεί όλο και περισσότερο στο µέταλλο. Αυξάνεται δηλαδή η συγκέντρωση στον µεταλλικό πυρήνα, µε αποτέλεσµα µικρότερες ταχύτητες οµάδας και αυξηµένη απορρρόφηση, γεγονός που οδηγεί σε αυξηµένες σταθερές απορρόφησης και φασικές σταθερές. Αντιλαµβανόµαστε ότι η συµπεριφορά αυτών των ρυθµών είναι ανάλογη του ab ρυθµού ενός slab κυµατοδηγού άπειρου πλάτους. Οι ss b και as b ρυθµοί, οι οποίοι αποτελούν τον κάτω κλάδο, αντιστοιχούν σε συνιστώσα E y άρτιας συµµετρίας ως προς τον άξονα x. Οι δύο αυτοί ρυθµοί συµπίπτουν µέχρι πάχος πυρήνα t =.8 µm και για µικρότερα πάχη χωρίζονται σε δυο ξεχωριστούς κλάδους. Σε αντίθεση µε τους ρυθµούς του άνω κλάδου, όσο το µεταλλικό φιλµ γίνεται λεπτότερο οι ρυθµοί του κάτω κλάδου εξαπλώνονται γύρω από τη δοµή και εισχωρούν περισσότερο στο διηλεκτρικό. Σε αυτήν την περίπτωση, οι ρυθµοί είναι ασθενώς δέσµιοι (weakly bound) και προσεγγίζουν TEM ρυθµό. Η σταθερά απόσβεσης γίνεται αµελητέα και το πραγµατικό µέρος του κυµατικού διανύσµατος προσεγγίζει αυτό του επίπεδου κύµατος που θα διαδίδοταν στο διηλεκτρικό του περιβλήµατος, µια συµπεριφορά η οποία συµφωνεί µε την αναµενόµενη συµπεριφορά ενός SPP µακράς εµβέλειας. Φυσικά, σε πρακτικές εφαρµογές αναµένεται ο απαιτούµενος συµβιβασµός ανάµεσα στο µήκος διάδοσης και στη συγκέντρωση του πεδίου, καθώς η µεγιστοποίηση του κάθε ενός επιτυγχάνεται εις βάρος του άλλου. 76

83 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους Υϖολογισµός µε τη µέθοδο ϖεϖερασµένων στοιχείων Οι ηµιαναλυτικές τεχνικές οι οποίες έχουν κατά καιρό χρησιµοποιηθεί για την ανάλυση των SPP κυµατοδηγών, όπως η EIM, προσφέρουν αρκετά ακριβή αποτελέσµατα. Ωστόσο, είναι περιοριστικές όσον αφορά τις γεωµετρίες οι οποίες µπορούν να επιλυθούν. Επιπλέον, έχει διαπιστωθεί η εξαιρετική ευαισθησία των ρυθµών στη σύνθεση και τη συµµετρία που παρουσιάζει το περίβληµα, µια ευαισθησία, η οποία, αν και εισάγει πολυπλοκότητα, αποτελεί το στοιχείο που κάνει τόσο ενδιαφέρουσες τις δοµές αυτές. Γίνεται, λοιπόν, εµφανής η ανάγκη χρήσης αριθµητικών µεθόδων, οι οποίες θα µπορούν να χειριστούν πολυπλοκότερες γεωµετρίες, καθώς και άλλους παράγοντες, όπως ανωµαλίες στις διεπιφάνειες, περιοδικότητα της δοµής κ.α. Στην παρούσα παράγραφο θα χρησιµοποιήσουµε το εµπορικό πακέτο ComSol Multiphysics για να προσοµοιώσουµε τη δοµή stripe. Το πρόγραµµα κάνει χρήση της µεθόδου πεπερασµένων στοιχείων (FEM solver), αριθµητική µέθοδο κατά την οποία θεωρείται ότι ο χώρος διαιρείται σε στοιχεία πολύ µικρών αλλά πεπερασµένων διαστάσεων. Όπως αναφέρθηκε νωρίτερα, παρατηρώντας το σχήµα 4.1 γίνεται εµφανής η συµµετρία ενός τετάρτου της δοµής, την οποία εκµεταλλευόµαστε τοποθετώντας ηλεκτρικούς ή µαγνητικούς τοίχους στα επίπεδα κάθετης ή οριζόντιας συµµετρίας. Επωφελούµαστε από το γεγονός αυτό, καθώς µε αυτόν τον τρόπο µπορεί να αυξηθεί η ακρίβεια των αποτελεσµάτων και να ελαττωθεί η απαίτηση υπολογιστικών πόρων κατά τη διερεύνηση ρυθµών. ιερευνήθηκαν οι θεµελιώδεις ρυθµοί ss b, as b και aa b και µελετήθηκε η διασπορά τους µε το πάχος του πυρήνα. Στο σχήµα 4.5 παρουσιάζονται για τους τρεις αυτούς ρυθµούς η φασική σταθερά (στην αριστερή στήλη του σχήµατος, σχήµατα (α.1), (β.1) και (γ.1)) και η σταθερά απόσβεσης (στη δεξιά στήλη του σχήµατος, σχήµατα (α.2), (β.2) και (γ.2)) συναρτήσει του πάχους t του µεταλλικού φιλµ. Με µαύρα σηµεία παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της µεθόδου πεπερασµένων στοιχείων. Στο ίδιο σχήµα γίνεται η σύγκριση µε τα αποτελέσµατα που αποκοµίσαµε από τη µέθοδο ενεργού δείκτη διάθλασης, τα οπόια εµφανίζονται µε γκρι διακεκοµµένες γραµµές. Γίνεται εµφανές από το σχήµα 4.5 ότι τα αποτελέσµατα των δύο µεθόδων είναι σε πολύ καλή συµφωνία. Για µεγάλα πάχη πυρήνα φαίνεται ότι η καµπύλη της FEM βρίσκεται σε όλες τις περιπτώσεις ελαφρώς κάτω από την καµπύλη της EIM, τόσο για τη φασική σταθερά όσο και για τη σταθερά απόσβεσης, ωστόσο οι αποκλίσεις είναι µικρές. 77

84 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους Σχήµα 4.5 Η φασική σταθερά (αριστερή στήλη) και η σταθερά απόσβεσης (δεξιά στήλη) για τους θεµελιώδεις ρυθµούς ss (α), b as (β) και b aa b (γ) που υποστηρίζονται από τη δοµή του µεταλλικού stripe συναρτήσει του πάχους t του µεταλλικού πυρήνα. Υπολογίστηκαν µε τη µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων (µαύρα σηµεία) και συγκρίνονται µε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα της µεθόδου ενεργού δείκτη διάθλασης (γκρι γραµµές). Ο πυρήνας πλάτους w = 1µm αποτελείται από λεπτό αργυρό φιλµ το οποίο περιβάλλεται από διηλεκτρικό σταθεράς ε = 4. Το µήκος κύµατος στο κενό είναι λ = 633 nm. 78

85 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους 4.3 Ο θεµελιώδης ρυθµός ss b Η συµϖεριφορά του ρυθµού ss b µε το ϖάχος του µεταλλικού φιλµ Όπως αναφέραµε για τους θεµελιώδεις ρυθµούς, οι ss b και as b, οι οποίοι αποτελούν τον κάτω κλάδο, εµφανίζουν συµπεριφορά που προσεγγίζει long ranging SPP (LR SPP), εν αντιθέσει µε τους sa b και aa b ρυθµούς του άνω κλάδου οι οποίοι µπορούν να χαρακτηριστούν ως µικρής εµβέλειας. Ο ρυθµός ss b µπορεί να αποδειχτεί πολύ χρήσιµος καθώς εµφανίζει κάποια πολύ ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά. Το πλάτος των συνιστωσών του ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου του ρυθµού αυτού κατά τη διεύθυνση διάδοσης ( E z, H z ) καθώς και αυτό των συνιστωσών (E x, H y ) κάθετων στη διεύθυνση διάδοσης ελαττώνεται µε τη µείωση του πάχους του φιλµ. Σε αυτήν την περίπτωση ο ρυθµός τείνει σε έναν TEM ρυθµό αποτελούµενο από τις E y και H x συνιστώσες, ο οποίος διαδίδεται, όπως εξηγήσαµε, στο υλικό του περιβλήµατος, µια συµπεριφορά παρόµοια µε αυτή του s b ρυθµού του αντίστοιχου µεταλλικού slab (όπως φαίνεται από τη διασπορά των σταθερών διάδοσής τους µε το πάχος του φιλµ, σχήµα 4.4(α)). Επιπροσθέτως, εµφανίζει µειούµενη σταθερά απόσβεσης µειουµένου του πάχους και οι απώλειές του είναι µικρότερες του αντίστοιχου s b ρυθµού, ενώ δεν φαίνεται να εµφανίζει κάποιο πάχος αποκοπής. Αντιλαµβανόµαστε ότι ss b ρυθµός µπορεί να χρησιµοποιηθεί αποτελεσµατικά για µετάδοση σε µικρές αποστάσεις και θα επικεντρώσουµε το ενδιαφέρον µας σε αυτόν. Σε µια συµµετρική δοµή stripe, για την οποία η αναλογία πλάτος προς πάχος είναι w t > 1, γεγονός το οποίο ισχύει στις περισσότερες εφαρµογές, η συνιστώσα E y είναι η κύρια εγκάρσια συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου. Ας µελετήσουµε τη συµπεριφορά της E y συνιστώσας για τον παρουσιάζεται το προφίλ της συνιστώσας ss b ρυθµό µεταβάλλοντας το πάχος του πυρήνα. Στο σχήµα 4.6 E y για µεταλλική ταινία πλάτους w = 1µm και για διάφορα πάχη. Ακολούθως, στο σχήµα 4.7 εµφανίζεται το προφίλ της ισχύος κατά τη διεύθυνση διάδοσης Re{S z} για µεταλλική ταινία ίδιου πλάτους. 79

86 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους Σχήµα 4.6 Το προφίλ της συνιστώσας E y του ηλεκτρικού πεδίου για τον είναι t ss b ρυθµό. Τα πάχη της ταινίας = 1 nm (α), t = 8 nm (β), t = 6 nm (γ) και t = 4 nm. Σε όλες τις περιπτώσεις το πλάτος του πυρήνα είναι w = 1µm και το µήκος κύµατος στο κενό είναι λ = 633 nm. 8

87 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους Σχήµα 4.7 Το προφίλ της ισχύος κατά τη διεύθυνση διάδοσης Re{S z} για τον ταινίας είναι t ss b ρυθµό. Τα πάχη της = 9 nm (α), t = 7 nm (β), t = 5 nm (γ) και t = 3 nm (δ). Το πλάτος του πυρήνα είναι w = 1µm και το µήκος κύµατος στο κενό είναι λ = 633 nm. 81

88 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους Και στις δύο περιπτώσεις το µήκος κύµατος στο κενό είναι λ = 633 nm. Στο σχήµα 4.6 παρουσιάζονται τα surface plots της E y ενώ στο σχήµα 4.7 παρουσιάζονται τα contour plots της Re{S z}, επιλογές οι οποίες προσφέρονται από το εµπορικό πακέτο µε τη βοήθεια του οποίου παραγµατοποιήθηκαν οι υπολογισµοί για τα σχήµατα αυτά. Μπορούµε να αντιληφθούµε, παρατηρώντας την εξέλιξη του ρυθµού καθώς µειώνεται το πάχος της ταινίας, ότι το πεδίο εξαπλώνεται όλο και περισσότερο κατά µήκος τόσο του κάθετου όσο και του οριζόντιου άξονα, δηλαδή ελαττώνεται η συγκέντρωση στο µέταλλο. Εφόσον ο ρυθµός εξαπλώνεται περισσότερο στην περιοχή του διηλεκτρικού χωρίς απώλειες και λιγότερο στο µεταλλικό φιλµ που εισάγει απώλειες, είναι λογικό να ελαττώνεται η σταθερά απόσβεσης όπως είδαµε στο σχήµα 4.4(β). Σχήµα 4.8 (α) Το προφίλ της ισχύος κατά τη διεύθυνση διάδοσης Re{S z} για τον ss b ρυθµό. Η αργυρή ταινία έχει πλάτος w = 1µm και πάχος t = 2 nm (διηλεκτρικό περίβληµα ε = 4, µήκος κύµατος στο κενό λ = 633 nm ). (β) ιέγερση LR SPP µε οπτική ίνα κοµµένη υπό κατάλληλη γωνία. Τέλος, παρατηρώντας τα σχήµατα 4.6 και 4.7 γίνεται εµφανές ότι για µεγάλα πάχη της ταινίας ο ρυθµός παραµένει περιορισµένος στις γωνίες του πυρήνα. Μειώνοντας το πάχος της ταινίας, το προφίλ του ρυθµού γίνεται σχεδόν γκαουσιανό στην άνω και κάτω διεπιφάνεια, καθώς αυξάνεται η σύζευξη των πεδίων ανάµεσα σε αυτές τις διεπιφάνειες εξαιτίας αυτής της µείωσης. Η γκαουσιανή κατανοµή µπορεί να φανεί µε καλύτερο, ίσως, τρόπο στο σχήµα 4.8(α) όπου παρουσιάζεται µια διαφορετική προοπτική της Re{S z} για αργυρή ταινία µε πλάτος w = 1µm και πάχος t = 2 nm. Ο ρυθµός ss b όντας συµµετρικός και δεδοµένου ότι, όπως φαίνεται, για µικρό πάχος πυρήνα παρουσιάζει 82

89 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους µέγιστο στο κέντρο έχει το πλεονέκτηµα ότι µπορεί να διεγερθεί µε απλές σε υλοποίηση τεχνικές, όπως η ακροπυροδοτική (end fire) τεχνική ή η τεχνική κατά την οποία χρησιµοποιείται µια οπτική ίνα κοµµένη υπό κατάλληλη γωνία (angle cleaved), όπως αυτή παρουσιάζεται στο σχήµα 4.8(β) [39] Η διασϖορά του ρυθµού ss b µε το ϖλάτος του µεταλλικού φιλµ Προηγουµένως µελετήσαµε τη διασπορά µε το πάχος του πυρήνα για τον θεµελιώδη ρυθµό της δοµής stripe. Είναι εξίσου σηµαντικό να διερευνηθεί και η διασπορά µε το πλάτος της ταινίας. Ας επικεντρώσουµε το ενδιαφέρον µας στο τηλεπικοινωνιακό µήκος κύµατος λ = 155 nm. Ο κυµατοδηγός αποτελείται από πυρήνα χρυσού ενσωµατωµένο σε περίβληµα διοξειδίου του πυριτίου µε διηλεκτρικές σταθερές στη δεδοµένη συχνότητα ε2 = i και = αντίστοιχα. Ο ενεργός δείκτης ε διάθλασης υπολογίστηκε µε χρήση του εµπορικού πακέτου ComSol ως συνάρτηση του πλάτους της µεταλλικής ταινίας και για πάχη πυρήνα t = 3, 25, 2 και 15 nm. Στο σχήµα 4.9(α) εµφανίζεται η κανονικοποιηµένη σταθερά διάδοσης Re[ β ]/ k. Στο σχήµα 4.9(β) παρατίθεται η εξασθένηση ισχύος του ρυθµού (mode power attenuation, MPA) [4]. Αναφέρεται στην απώλεια ισχύος ανά µονάδα µήκους και, όπως αναµένεται, υπολογίζεται από το φανταστικό µέρος του κυµατικού διανύσµατος β µέσω της 2 MPA = Im[ β] log 1(e) (db/ mm). (4.7) 1 Όπως αναφέρθηκε, για τις δεδοµένες αναλογίες πλάτους/πάχους, η κυρίαρχη συνιστώσα είναι η E y, ενώ η E x είναι πολύ µικρή. Όσο αυξάνεται το πλάτος του πυρήνα η E x συνιστώσα τείνει στο µηδέν, ο ρυθµός τείνει να γίνει TM ρυθµός και η σταθερά διάδοσης τείνει σε αυτή του slab κυµατοδηγού. Τέλος, στο σχήµα 4.9(γ) παρουσιάζεται το µέγεθος σηµείου (spot size), το οποίο ορίζεται ως η απόσταση κατά την οποία το πεδίο εκτός του κυµατοδηγού ελαττώνεται κατά το 1 e της µέγιστης τιµής του. Το SP αποσβένεται εκθετικά εκατέρωθεν της διαχωριστικής επιφάνειας σύµφωνα µε το κυµατικό διάνυσµα στο κάθε υλικό και, έτσι, για χαµηλές απώλειες το µέγεθος σηµείου του ρυθµού βρίσκεται από τη σχέση 1 1 W. Re[ k1] Re[ k2 ] = + (4.8)

90 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους Το µέγεθος σηµείου υπολογίζεται κατά µήκος τοµών στο κέντρο του κυµατοδηγού παράλληλα στον άξονα x (συνεχείς γραµµές) και στον άξονα y (διακεκοµµένες γραµµές) [32]. Σχήµα 4.9 Φασική σταθερά (α), MPA (β) και µέγεθος σηµείου (γ) του θεµελιώδους ρυθµού ss b που υποστηρίζεται από τη δοµή stripe συναρτήσει του πλάτους w του µεταλλικού πυρήνα για πάχη πυρήνα t = 3, 25, 2 και 15 nm. Στο (γ) µε συνεχείς γραµµές εµφανίζεται το µέγεθος σηµείου κατά τον άξονα x και µε διακεκοµµένες κατά τον άξονα y. Κατά τον άξονα y το µέγεθος σηµείου τείνει σε αυτό της δοµής slab, καθώς περαιτέρω αύξηση του πλάτους δεν επηρεάζει το πεδίο στο κέντρο του κυµατοδηγού. Κατά τον άξονα x, αρχικά ο ρυθµός έχει αυξηµένο µέγεθος σηµείου, όµως, αυξάνοντας το πλάτος µεγαλώνει η συγκέντρωσή του. Όπως είναι φυσικό, δεν µπορούµε να έχουµε µέγεθος 84

91 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους σηµείου µικρότερο του πλάτους της ταινίας και, έτσι, η µείωσή του συνεχίζεται µέχρι αυτό το όριο, έπειτα από το οποίο αυξάνεται σχεδόν γραµµικά µε το πλάτος. Για µικρότερο πλάτος πυρήνα, η σταθερά διάδοσης τείνει στον δείκτη διάθλασης του διηλεκτρικού και ο ρυθµός έχει πολύ µικρή συγκέντρωση. Παρατηρούµε ότι σε αυτήν την περίπτωση το µέγεθος σηµείου κατά τον οριζόντιο και κατά τον κάθετο άξονα συµπίπτει. Όσον αφορά το MPA, για λεπτότερες ταινίες γίνεται µικρότερο, ενώ µικρές αποσβέσεις (κάτω του.1 db/mm) είναι εφικτές µε µέγεθος σηµείου 5 15 µm για ένα µεγάλο εύρος τιµών πλάτους και πάχους. 4.4 Η κατανοµή των θεµελιωδών ρυθµών Σε αυτήν την παράγραφο θα µελετήσουµε την κατανοµή των συνιστωσών του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου στη δοµή µεταλλικού stripe. Το stripe που θα µελετήσουµε έχει αργυρό πυρήνα και διηλεκτρικό περίβληµα διηλεκτρικής σταθεράς ε = 4. Έχει πλάτος w = 1µm και πάχος t = 1 nm. Το µήκος κύµατος στο κενό είναι λ = 633 nm. Στα σχήµατα 4.1 έως 4.13 εµφανίζεται η χωρική κατανοµή των 6 συνιστωσών του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου σε µία διατοµή του κυµατοδηγού για κάθε έναν από τους θεµελιώδεις ρυθµούς ss b, as b, sa b και b aa αντίστοιχα. Η διατοµή τοποθετείται στο επίπεδο x y και η προβολή της φαίνεται µε µαύρο χρώµα. Παρατηρώντας τα σχήµατα αυτά, γίνεται εµφανές ότι η κύρια εγκάρσια συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι η οι συµµετρίες στην κατανοµή της E y. Η ονοµατολογία που προτάθηκε στο σχήµα 4.2(α) και E y συνιστώσας απεικονίζονται πολύ καθαρά για κάθε έναν από τους ρυθµούς. Για τις δεδοµένες διαστάσεις του µεταλλικού φιλµ, η σύζευξη ανάµεσα σε παράλληλες πλευρές είναι πολύ µικρή. Για το δεδοµένο πλάτος, οι δύο απέναντι πλευρές (αριστερή και δεξιά πλευρά) συζεύγνυνται ασθενώς, ενώ το µικρότερο πάχος της ταινίας επιτρέπει την ελαφρώς αυξηµένη σύζευξη ανάµεσα στην άνω και την κάτω πλευρά. 85

92 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους Σχήµα 4.1 Χωρική κατανοµή των έξι συνιστωσών του πεδίου που σχετίζονται µε τον οποίος υποστηρίζεται από µεταλλική ταινία πάχους t ss b ρυθµό, ο = 1 nm και πλάτους w = 1µm. Η διατοµή του κυµατοδηγού βρίσκεται στο επίπεδο x y, η προβολή της οποίας φαίνεται µε µαύρο χρώµα. Τα πεδία έχουν κανονικοποιηθεί ώστε max Re[ Ey ] = 1. Ωστόσο, σύζευξη συµβαίνει ανάµεσα στις παρακείµενες σε κάθε πλευρά γωνίες δια µέσω των ακµών και, µάλιστα, κυρίως κατά µήκος των αριστερών και δεξιών ακµών. Φυσικά, το ίδιο συµβαίνει και για τις κάθετες ακµές σε κάθε γωνία. Αν αυξηθεί το πάχος του φιλµ, οι θεµελιώδεις ρυθµοί θα τείνουν σε ρυθµούς υποστηριζόµενους από τις αποµονωµένες γωνίες, µε µια ασθενή σύζευξη εξ αιτίας του πεπερασµένου πλάτους να παραµένει. 86

93 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους Σχήµα 4.11 Χωρική κατανοµή των έξι συνιστωσών του πεδίου που σχετίζονται µε τον οποίος υποστηρίζεται από µεταλλική ταινία πάχους t sa b ρυθµό, ο = 1 nm και πλάτους w = 1µm. Η διατοµή του κυµατοδηγού βρίσκεται στο επίπεδο x y, η προβολή της οποίας φαίνεται µε µαύρο χρώµα. Τα πεδία έχουν κανονικοποιηθεί ώστε max Re[ Ey ] = 1. Όσον αφορά τους ρυθµούς υψηλότερης τάξης, η ονοµατολογία που χρησιµοποιήθηκε υπονοεί ότι οι ρυθµοί m aa b και m sab και m ssb θα έχουν περιττό m, ενώ οι ρυθµοί m as b θα έχουν άρτιο m. Το προφίλ τους αναµένεται να αποτελείται από το πεδίο του αντίστοιχου θεµελιώδους ρυθµού µε επιπρόσθετους µηδενισµούς κατά µήκος των άνω και κάτω ακµών (µε τη συνιστώσα του µαγνητικού πεδίου H y να αποτελεί εξαίρεση, παραµένοντας πάντα σχεδόν ίδια µε αυτήν της περίπτωσης m = ) [33]. Όπως για τους 87

94 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους Σχήµα 4.12 Χωρική κατανοµή των έξι συνιστωσών του πεδίου που σχετίζονται µε τον οποίος υποστηρίζεται από µεταλλική ταινία πάχους t as b ρυθµό, ο = 1 nm και πλάτους w = 1µm. Η διατοµή του κυµατοδηγού βρίσκεται στο επίπεδο x y, η προβολή της οποίας φαίνεται µε µαύρο χρώµα. Τα πεδία έχουν κανονικοποιηθεί ώστε max Re[ Ey ] = 1. θεµελιώδεις ρυθµούς, αναµένεται, για δεδοµένο m, οι ρυθµοί ρυθµοί m aa b και m sa b και m as b να εκφυλίζονται αυξάνοντας το πάχος του πυρήνα. Τέλος, οι ρυθµοί υψηλότερης τάξης m aa b και m ss b καθώς και οι m sa b δεν εµφανίζουν πάχος αποκοπής, διότι παρουσιάζουν αυξηµένη συγκέντρωση καθώς το πάχος µειώνεται. Αντιθέτως, όλοι οι m as b και m ssb Εξαίρεση αποτελεί ο ρυθµός ρυθµοί καθώς ελαττώνεται το πάχος του φιλµ θα οδηγηθούν στην αποκοπή. ss b, ο οποίος εξελίσσεται σε ΤΕΜ ρυθµό στο διηλεκτρικό καθώς t. Εξάλλου, µειώνοντας το πλάτος της ταινίας, το 88

95 Κεφάλαιο 4. Επιφανειακοί ρυθµοί πλασµονίων σε διατάξεις πεπερασµένου πλάτους Σχήµα 4.13 Χωρική κατανοµή των έξι συνιστωσών του πεδίου που σχετίζονται µε τον οποίος υποστηρίζεται από µεταλλική ταινία πάχους t aa b ρυθµό, ο = 1 nm και πλάτους w = 1µm. Η διατοµή του κυµατοδηγού βρίσκεται στο επίπεδο x y, η προβολή της οποίας φαίνεται µε µαύρο χρώµα. Τα πεδία έχουν κανονικοποιηθεί ώστε max Re[ Ey ] = 1. πάχος αποκοπής των ρυθµών αυτών παρουσιάζεται σε µεγαλύτερα πάχη. ηλαδή, επιλέγοντας κατάλληλο πλάτος και πάχος για τον πυρήνα της δοµής µπορούµε να κατασκευάσουµε έναν κυµατοδηγό που υποστηρίζει µόνο έναν ρυθµό µακράς εµβέλειας, τον ss b [33]. Συµπερασµατικά, αναλύσαµε τη δοµή διηλεκτρικού/µετάλλου/διηλεκτρικού µε πεπερασµένο πλάτος πυρήνα και παραθέσαµε την ονοµατολογία των ρυθµών που υποστηρίζονται λόγω της συµµετρίας της δοµής. Παρουσιάσαµε το προφίλ των συνιστωσών του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου των τεσσάρων θεµελιωδών ρυθµών, µε τη συνιστώσα E y να 89