«Διερεύνηση χαοτικής συμπεριφοράς τεχνητών νευρωνικών δικτύων: Νευρωνικά μοντέλα χαοτικών ελκυστών και χαοτικά χαρακτηριστικά νευρωνικών δικτύων».

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«Διερεύνηση χαοτικής συμπεριφοράς τεχνητών νευρωνικών δικτύων: Νευρωνικά μοντέλα χαοτικών ελκυστών και χαοτικά χαρακτηριστικά νευρωνικών δικτύων»."

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Διδακτορική διατριβή του Ν. Α. Κωφίδη «Διερεύνηση χαοτικής συμπεριφοράς τεχνητών νευρωνικών δικτύων: Νευρωνικά μοντέλα χαοτικών ελκυστών και χαοτικά χαρακτηριστικά νευρωνικών δικτύων». Επιβλέπων καθηγητής: Ρουμελιώτης Μάνος, Επίκουρος Καθηγητής Μέλη της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής: Τσούρος Κωνσταντίνος, Καθηγητής Μαργαρίτης Κωνσταντίνος, Αναπληρωτής Καθηγητής Θεσσαλονίκη Ιούνιος 2000

2

3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή Μαθηματική περιγραφή δυναμικών συστημάτων Μη διατηρητικά συστήματα Μελέτη των σημείων ισορροπίας των Σ.Δ.Ε Μελέτη των σημείων ισορροπίας αναδρομικών σχέσεων Μονοδιάστατες απεικονίσεις Πολυδιάστατες απεικονίσεις ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΧΑΟΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ 2.1 Ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες Συντελεστές Lyapunov απεικονίσεων 24 Μονοδιάστατες απεικονίσεις 24 Απεικονίσεις πολυδιάστατων χώρων Συντελεστές Lyapunov Σ.Δ.Ε Προσέγγιση χαοτικής συμπεριφοράς 33 Προσέγγιση χαοτικής συμπεριφοράς απεικονίσεων 35 Προσέγγιση χαοτικής συμπεριφοράς Σ.Δ.Ε 41 3.ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ ΣΤΟ ΧΑΟΣ 3.1 Εισαγωγή Ακολουθία διακλαδώσεων διπλασιασμού περιόδων Διαλειπτότητα Κρίση (Crisis) Μετάβαση στο χάος με εμφάνιση Παράξενου ελκυστή 55

5 4. ΜΕΤΡΗΣΙΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΧΑΟΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ 4.1 Εισαγωγή Συντελεστές Lyapunov Εντροπία Kolmogorov-Sinai Μορφοκλασματικά σύνολα (Fractals) Πολυμορφοκλασματικές κατανομές ΤΕΧΝΗΤΑ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5.1 Εισαγωγή Μοντελοποίηση δυναμικών συστημάτων με ΤΝΔ ΑΠΛΑ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΗΣ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ. 6.1 Εισαγωγή Δομικά χαρακτηριστικά των δικτύων Παράμετροι εκπαίδευσης και ελέγχου Βέλτιστες δομές Αναλυτικά αποτελέσματα των βέλτιστων μοντέλων Συμβατική εκπαίδευση Εκπαίδευση σε συνεχή ροή δεδομένων Μικτή εκπαίδευση 6.6 Δίκτυα με αυξημένη πληροφορία εισόδου Συμπεράσματα ΑΠΛΑ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ HENON 7.1 Εισαγωγή Συμμετρικά δίκτυα 114

6 7.3 Μη συμμετρικά δίκτυα 120 Δομή μη συμμετρικών δικτύων 121 Παράμετροι εκπαίδευσης και ελέγχου 122 Βέλτιστες δομές 123 Έλεγχος δικτύων και επιλογή βέλτιστου μοντέλου Σύγκριση συμμετρικών και μη συμμετρικών μοντέλων Συμπεράσματα ΣΥΝΘΕΤΑ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΧΑΟΤΙΚΩΝ ΕΛΚΥΣΤΩΝ 8.1 Εισαγωγή Σύνθετα νευρωνικά μοντέλα της λογιστικής απεικόνισης Σύνθετο μοντέλο δύο εισόδων Σύνθετο μοντέλο τριών εισόδων Συγκριτικά αποτελέσματα Σύνθετο νευρωνικό μοντέλο της απεικόνισης Henon Συμπεράσματα ΧΑΟΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΕΧΝΗΤΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ 9.1 Εισαγωγή Ερευνητικό πλαίσιο - σχετικές δημοσιευμένες εργασίες Μεθοδολογική προσέγγιση 167 Παρουσίαση των Παραμέτρων του αλγορίθμου Επιλογή τιμών για τις παραμέτρους του αλγορίθμου ΧΑΟΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΕΧΝΗΤΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΑΝΑΚΛΗΣΗ 10.1 Εισαγωγικά στοιχεία 179

7 10.2 Υπολογισμός και διερεύνηση ευστάθειας του πρωτεύοντος συντελεστή Lyapunov για τις ακολουθίες τιμών του απόλυτου σφάλματος Μεταβολή της διάστασης του χώρου ενσωμάτωσης Μεταβολή του χρόνου καθυστέρησης Μεταβολή του χρόνου τοπικών υπολογισμών t e Μεταβολή της μέγιστης επιτρεπτής απόστασης τροχιών d max Μήκος ακολουθίας εμπειρικών δεδομένων Ν Ερμηνευτικά σχόλια Συνέπειες της συμπεριφοράς του απόλυτου σφάλματος Ανακεφαλαίωση - Συμπεράσματα ΧΑΟΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΦΑΣΗ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 11.1 Εισαγωγικά στοιχεία Μη συγκλίνοντα δίκτυα Διερεύνηση της συμπεριφοράς της ακολουθίας των βαρών κατά τη φάση εκπαίδευσης Διερεύνηση της συμπεριφοράς της ακολουθίας εισόδων με το ελάχιστο απόλυτο σφάλμα κατά τη φάση εκπαίδευσης Ακολουθία εξόδων ελάχιστου σφάλματος 11.3 Συγκλίνοντα δίκτυα Μελέτη συμπεριφοράς της ακολουθίας εισόδων με το ελάχιστο σφάλμα κατά τη φάση της εκπαίδευσης Χαοτική συμπεριφορά της εξόδου ελαχίστου σφάλματος Χαοτική απόκριση του RMS σφάλματος Απόκριση των συναπτικών βαρών Συμπεράσματα 243 ΑΝΑΚΑΙΦΑΛΑΙΩΣΗ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 245

8 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 249 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2 269

9 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή που εκπονήθηκε στο τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Μακεδονίας παρουσιάζει τα αποτελέσματα έρευνας που διενεργήθηκε στην κοινή γνωστική περιοχή των Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων και της Θεωρίας του Χάους. Το σύνολο των πρωτότυπων ερευνητικών εργασιών που στηρίζουν την διατριβή αναφέρονται παρακάτω: 1. Kofidis Nikos, Roumeliotis Manos, Adamopoulos Miltiadis (1998). «Συγκριτική Δοκιμή Back Propagation Νευρωνικών Δικτύων που Μοντελοποιούν το Χαοτικό Ελκυστή της Λογιστικής Απεικόνισης», 2 ο Συνέδριο Τεχνολογίας και Αυτοματισμού, Οκτώβριος Kofidis Nikos, Roumeliotis Manos, Adamopoulos Miltiadis Comparative Study Of Back Propagation Neural Networks As Models Of The Chaotic Attractor Of The Logistic Map X n+1 =Λx n (1- X n ), Hercma 98, Proceedings of the Fourth Hellenic - European Conference on Computer Mathematics and its Applications. 3. Roumeliotis Manos, Kofidis Nikos, Adamopoulos Miltiadis Back Propagation neural networks with functional link input structure as models of chaotic attractors Neural parallel & Scientific Computations 6 (1998) Kofidis Nikos, Roumeliotis Manos, Adamopoulos Miltiadis (1999). «Improving the Performance of Neural Networks Modeling Strange Attractors by the Use of LVQ Neural Networks as Input Signal Controllers», International J. Computer Math. Vol.73, pp Kofidis Nikos, Roumeliotis Manos, Adamopoulos Miltiadis, Chaotic Error Series Produced In Recall Phase By Neural Models Of Chaotic Attractors υπό δημοσίευση στο Neural parallel & Scientific Computations. 6. Kofidis Nikos, Roumeliotis Manos, Adamopoulos Miltiadis, Chaotic Properties And Pattern Competition During Learning Phase In

10 Back Propagation Neural Networks, υπό δημοσίευση στο International J. Computer Math. Η παρούσα εργασία αποτελείται από 12 κεφάλαια. Στα πρώτα τέσσερα κεφάλαια παρουσιάζεται μια συνοπτική ανασκόπηση της Θεωρίας του Χάους ενώ στα υπόλοιπα συνθέτουν το ερευνητικό σκέλος της διατριβής. Πιο συγκεκριμένα: Το πρώτο κεφάλαιο ασχολείται με τις εισαγωγικές έννοιες, τη μαθηματική περιγραφή και τη μελέτη των σημείων ισορροπίας των δυναμικών συστημάτων. Στο δεύτερο περιγράφεται η μεθοδολογία προσέγγισης της χαοτικής συμπεριφοράς των δυναμικών συστημάτων. Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφονται οι πιο βασικότεροι μηχανισμοί χαοτικής μετάπτωσης ενός δυναμικού συστήματος.. Το τέταρτο κεφάλαιο αναφέρεται στα μετρήσιμα μεγέθη που πιστοποιούν τη χαοτική η συμβατική απόκριση ενός δυναμικού συστήματος. Πιο συγκεκριμένα παρουσιάζονται συνοπτικά οι συντελεστές Lyapunov, η εντροπία Kolmogorov-Sinai, τα μορφοκλασματικά σύνολα και οι πολυμορφοκλασματικές κατανομές. Το πέμπτο κεφάλαιο είναι μια σύντομη εισαγωγή στα Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Τ.Ν.Δ) και τις εφαρμογές τους, αφενός τις γενικές αφετέρου τις ειδικού ενδιαφέροντος που αφορούν τη μοντελοποίηση χαοτικών συστημάτων. Το έκτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στη μοντελοποίηση της λογιστικής απεικόνισης. Για την επιλογή του βέλτιστου μοντέλου εξετάζονται ποικίλες δομές και τρόποι εκπαίδευσης. Αναλυτικά διερευνάται η ανοχή των μοντέλων σε διακυμάνσεις της παραμέτρου του συστήματος. Στο έβδομο κεφάλαιο εξετάζεται η δυνατότητα μοντελοποίησης του χαοτικού ελκυστή του Henon. Από τις δύο διαφορετικές προσεγγίσεις (συμμετρικά και μη συμμετρικά μοντέλα) υπερισχύει η απλούστερη που

11 ικανοποιεί επιπλέον την απαίτηση της δομικής ομοιογένειας των μοντέλων των χαοτικών ελκυστών των δύο απεικονίσεων (Λογιστικής και Henon). Στο όγδοο κεφάλαιο περιγράφεται μέθοδος βελτίωσης των μοντέλων των ελκυστών με χρήση σύνθετων νευρωνικών δικτύων. Ως σύνθετο νευρωνικό δίκτυο θεωρείται μια συστοιχία όμοιων δομικά δικτύων (υπομοντέλα) που λειτουργούν παράλληλα και ανταγωνιστικά. Καθένα από αυτά τα δίκτυα είναι εκπαιδευμένο στην αναπαραγωγή ενός μόνο τμήματος του μοντελοποιούμενου ελκυστή. Η επιλογή του κατάλληλου υπομοντέλου αναλαμβάνεται από ένα δίκτυο L.V.Q. Το ένατο κεφάλαιο είναι μια εισαγωγή στην προσέγγιση των χαοτικών χαρακτηριστικών των νευρωνικών δικτύων. Μια σύντομη ανασκόπηση στις εργασίες που έχουν προηγηθεί της παρούσας θεωρήθηκε σκόπιμη. Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο αλγόριθμος στον οποίο στηρίζεται η διερεύνηση της χαοτικής συμπεριφοράς των συστημάτων που παρουσιάζονται στα δύο επόμενα κεφάλαια. Στο δέκατο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα χαοτικά χαρακτηριστικά της ακολουθίας τιμών του απόλυτου σφάλματος που καταγράφεται κατά τη φάση της ανάκλησης για τα βέλτιστα νευρωνικά μοντέλα των ελκυστών της λογιστικής απεικόνισης και της απεικόνισης του Henon. Στη συνέχεια αναλύονται οι επιπτώσεις της χαοτικής απόκρισης του απόλυτου σφάλματος στη μοντελοποίηση των χαοτικών ελκυστών. Στο ενδέκατο κεφάλαιο παρουσιάζονται χαοτικά χαρακτηριστικά μικρών νευρωνικών δικτύων κατά τη φάση της εκπαίδευσης. Η χαοτική μετάπτωση της εισόδου που αντιστοιχεί στην έξοδο με το ελάχιστο σφάλμα πιστοποιεί των ανταγωνισμό των υπό εκμάθηση προτύπων κατά τη φάση εκπαίδευσης σε συγκλίνοντα και μη συγκλίνοντα δίκτυα. Για την χαοτική απόκριση της εξόδου με το ελάχιστο σφάλμα χρησιμοποιούνται ως εργαλεία αφενός η τοπολογική συζυγία αφετέρου οι αριθμητικοί έλεγχοι. Εξετάζονται επίσης ακολουθίες τιμών των συναπτικών βαρών και του RMS σφάλματος.

12 Στο δωδέκατο κεφάλαιο επιχειρείται μια σύντομη ανασκόπηση της παρούσας εργασίας. Παρουσιάζονται επίσης προτάσεις για τη διεξαγωγή έρευνας βασιζόμενης στα συμπεράσματα και τις κατευθύνσεις που σηματοδοτεί η παρούσα εργασία.

13 1. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Δυναμικά συστήματα ονομάζονται τα φυσικά εκείνα φαινόμενα και οι φυσικές διεργασίες που περιγράφονται από συστήματα διαφορικών εξισώσεων (ή εξισώσεων διαφορών) των οποίων η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος [93]. Οι εξισώσεις αυτές είναι συνήθως μη γραμμικές και γενικά μη επιλύσιμες από τις μέχρι σήμερα γνωστές μεθόδους της μαθηματικής ανάλυσης, για κάθε τιμή του χρόνου και οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες. Τα δυναμικά συστήματα που μελετήθηκαν διεξοδικά και αποτέλεσαν το υπόβαθρο για την κυριαρχία της αιτιοκρατικής αντίληψης, είναι γραμμικά. Η αιτιοκρατία (ντετερμινισμός) δέχεται ότι η συμπεριφορά ενός συστήματος είναι προβλέψιμη, δεδομένων των αρχικών συνθηκών και του μηχανισμού εξέλιξης του στο χρόνο. Η αντίληψη αυτή φαίνεται λογική και πιο προσφιλής ίσως από την αντίστοιχη στατιστική αντιμετώπιση των συστημάτων. Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις η πρακτική της αξία περιορίζεται σημαντικά από την ευαισθησία που επιδεικνύουν πολλά μη γραμμικά και πολύπλοκα, συστήματα, στην επιλογή των αρχικών συνθηκών. Ως μη γραμμικότητα ορίζεται η απουσία γραμμικότητας. Γραμμικό σύστημα θεωρείται αυτό που επιδέχεται ως λύση τυχαίο γραμμικό συνδυασμό γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων του. Πιο συγκεκριμένα αν οι f(x,t) και g(x,t) λύσεις ενός συστήματος γραμμικά ανεξάρτητες και ο γραμμικός συνδυασμός αf(x,t)+βg(x,t) είναι επίσης λύση του συστήματος για τυχαία α και β, τότε το σύστημα είναι γραμμικό [29,95]. Η πολυπλοκότητα ενός συστήματος φαίνεται να απορρέει από την μη γραμμικότητα. Η τυποποίηση της έννοιας πολυπλοκότητα με όρους του μαθηματικού φορμαλισμού είναι έξω από τους στόχους της παρούσας εργασίας. Η συχνή χρήση της ωστόσο, επιβάλλει τον προσδιορισμό της τουλάχιστον από τη σκοπιά μια εμπειρικής προσέγγισης. Φαίνεται ότι η πολυπλοκότητα συνδέεται 1

14 άμεσα με το βαθμό προσομοίωσης ή εξομοίωσης που είναι απαραίτητος, για την κατανόηση και την πρόβλεψη της συμπεριφοράς ενός συστήματος. Η ιδέα αυτή σκιαγραφείται χαρακτηριστικά στα τρία παραδείγματα που ακολουθούν. 1. Ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα και ομαλά σε ένα χώρο χωρίς τριβές μπορεί να περιγραφεί με ένα απλό σύστημα εξισώσεων και η πρόβλεψη της θέσης του σε τυχαίο χρονικό σημείο είναι θέμα απλών αλγεβρικών πράξεων. Η προσομοίωση του συστήματος δεν είναι απαραίτητη. Η πολυπλοκότητα είναι ανύπαρκτη. 2. Ένα ευέλικτο σύστημα παραγωγής (FMS) που περιγράφεται από ένα μη γραμμικό Σύστημα Διαφορικών Εξισώσεων (στο εξής ΣΔΕ) πρέπει να προσομοιωθεί σε Η/Υ για την κατανόηση και την, υπό όρους έστω, πρόβλεψη της συμπεριφοράς του. Το σύστημα αυτό εμφανίζεται σαφώς πιο πολύπλοκο από το προηγούμενο βρίσκεται ωστόσο μέσα στα πλαίσια της κατανόησης, πρόβλεψης και ελέγχου της συμπεριφοράς του. 3. Οποιαδήποτε προσομοίωση είναι ανεπαρκής για την μακροπρόθεσμη πρόβλεψη των καιρικών συνθηκών. Το εν λόγω σύστημα εμφανίζει πολυπλοκότητα σε βαθμό που δεν μπορεί να αντιμετωπιστεί από τις σύγχρονες επιστημονικές και τεχνολογικές δυνατότητες. Στα τρία παραπάνω παραδείγματα επιχειρήθηκε μια αναγωγή της έννοιας της πολυπλοκότητας των συστημάτων, στην πολυπλοκότητα της μεθοδολογίας προσέγγισης. Φαίνεται ότι όσο μεγαλύτερη πολυπλοκότητα εμφανίζει το σύστημα τόσο πιο πολύπλοκα εργαλεία χρησιμοποιούνται για την κατανόηση του. Η προσέγγιση αυτή μπορεί να θεωρηθεί απλοϊκή και ίσως προφανής, σκιαγραφεί όμως κάποιο είδος οριοθέτησης τόσο μεταξύ απλών και πολύπλοκων συστημάτων όσο και μεταξύ συστημάτων με διαφορετικό βαθμό πολυπλοκότητας Μαθηματική περιγραφή δυναμικών συστημάτων 2

15 Θεωρείται ένας Ν-διάστατος χώρος εξαρτημένων μεταβλητών x k (t), k=1,2, Ν, που έχουν ως μόνη ανεξάρτητη μεταβλητή το χρόνο t και αποτελούν συνιστώσες του διανύσματος x(t)=(x 1 (t), x 2 (t), x Ν (t)), t (α,β) όταν ο χρόνος είναι συνεχής στο διάστημα (α,β), ή του διανύσματος x(t n )=(x 1 (t n ), x 2 (t n ), x Ν (t n )), t n (α,β) όταν ο χρόνος παίρνει διακριτές τιμές t n (n ακέραιος) στο διάστημα (α,β). Η εξέλιξη στο χρόνο αυτών των διανυσμάτων, περιγράφεται από συστήματα διαφορικών εξισώσεων, ή συστήματα εξισώσεων διαφορών όπως φαίνεται παρακάτω στις σχέσεις: dx/dt = f(x,t) [1.1] όταν ο χρόνος είναι συνεχής ή, x n+1 = g(x n ) [1.2] όταν ο χρόνος παίρνει διακριτές τιμές Καθένα από τα συστήματα των [1.1] και [1.2], περιγράφει ένα δυναμικό σύστημα. Οι συναρτήσεις f,g : R N R N αποτελούν την μαθηματικοποίηση του φαινομένου, ενώ ο Ευκλείδειος χώρος R N στον οποίο εξελίσσονται τα διανύσματα x(t), x n ονομάζεται χώρος των φάσεων [93]. Αξίζει να σημειωθεί ότι τα συστήματα επαναληπτικών σχέσεων, εκφράζουν την τρέχουσα κατάσταση του συστήματος, σαν συνάρτηση καταστάσεων σε προηγούμενες χρονικές στιγμές, ενώ τα συστήματα διαφορικών εξισώσεων, εκφράζουν το ρυθμό μεταβολής της τρέχουσας κατάστασης, σαν συνάρτηση της 3

16 τρέχουσας κατάστασης. Συνεπώς, οι δύο μαθηματικές εκφράσεις προσδιορίζουν τα συστήματα με εντελώς διαφορετικό τρόπο. Αυτό φαίνεται χαρακτηριστικά στις λύσεις των απλών εξισώσεων dx/dt=λx και x n+1 =λ x n που είναι αντίστοιχα x=x 0 e λt, που είναι ευσταθής για λ<0 και x n =x 0 e nlogλ, που είναι ευσταθής για λ<1. Οι [1.1], [1.2] ισοδύναμα μπορούν να πάρουν τη μορφή: Για Σ.Δ.Ε dx 1 /dt=f 1 (x 1,x 2,,x Ν ) dx 2 /dt=f 2 (x 1,x 2,, x Ν )... dx N /dt=f n (x 1,x 2,, x Ν ) [1.3] Στο παραπάνω ΣΔΕ καμία από τις f 1, f 2,,f N δεν εξαρτάται από τον χρόνο. Στην περίπτωση αυτή το σύστημα ονομάζεται αυτόνομο. Αν κάποια από τις συνιστώσες της f εξαρτάται από τον χρόνο τότε το σύστημα ονομάζεται μή αυτόνομο. Για συστήματα εξισώσεων διαφορών x 1:n+1 =g 1 (x 1:n, x 2:n,,x Ν:n ) x 2:n+1 =g 2 (x 1:n, x 2:n,,x Ν:n )... x Ν:n+1 =g n (x 1:n, x 2:n,,x Ν:n ) [1.4] Μια ολοκληρωμένη αναφορά στην μαθηματική τυποποίηση, δεν μπορεί παρά να συμπεριλάβει την περίπτωση που οι διανυσματικές συναρτήσεις f και g είναι γραμμικές, καθόσον η κατά περιοχές γραμμικοποίηση των συστημάτων αποτελεί βασικό εργαλείο προσέγγισης της συμπεριφοράς τους. Στην περίπτωση αυτή η μορφή που παίρνουν τα συστήματα εκφράζεται με τις εξισώσεις [1.5] και [1.6] για Σ.Δ.Ε και επαναληπτικές σχέσεις αντίστοιχα. 4

17 dx/dt = Αx [1.5] x n+1 = Βx n [1.6] όπου Α,Β πίνακες Ν xν. Η ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων της [1.3] εξασφαλίζεται όταν η συνάρτηση f ικανοποιεί τη συνθήκη του Lipschitz. H συνάρτηση f ικανοποιεί τη συνθήκη του Lipschitz όταν: v,u M R k ισχύει η ανισοϊσότητα: f(v)-f(u) K v-u [25,30,35]. Κριτήριο για το αν μια συνάρτηση ικανοποιεί συνθήκη του Lipschitz αποτελούν οι μερικές παράγωγοι της. Πιο συγκεκριμένα αν υπάρχουν και είναι φραγμένες σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού, τότε η συνάρτηση είναι συνάρτηση Lipschitz. Είναι επίσης φανερό ότι η ύπαρξη των μερικών παραγώγων της f για κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της παραπέμπει στη συνέχεια της f. Η σταθερά Κ ονομάζεται σταθερά του Lipschitz και εκφράζει τον τελεστή της μέγιστης δυνατής εκθετικής απόκλισης μεταξύ γειτονικών λύσεων του συστήματος [1.3], για πεπερασμένο χρόνο. Πιο συγκεκριμένα αν d 0 είναι η Ευκλείδεια απόσταση δύο γειτονικών λύσεων στο χώρο R N, τη χρονική στιγμή t 0, τότε για την εξέλιξη στο χρόνο της απόστασης d(t) ισχύει η σχέση d(t) d 0 e Kδt όπου δt=t-t 0 [91] 1.2 Μη διατηρητικά συστήματα Ο χαρακτηρισμός ενός συστήματος ως μη διατηρητικού, είναι σχετικά εύκολος, όταν έχει κατανοηθεί η φυσική του λειτουργία. Είναι όμως επιθυμητό, να υπάρχει δυνατότητα εξαγωγής παρόμοιων συμπερασμάτων, από το αφηρημένο μαθηματικό μοντέλο του συστήματος. Για την διερεύνηση μιας τέτοιας δυνατότητας εξετάζεται η συμπεριφορά ενός συνόλου αρχικών συνθηκών, όταν αυτό υπόκειται στη διαδικασία f ή g αντίστοιχα των σχέσεων [1.1], [1.2]. Η εφαρμογή της διαδικασίας f (η g αντίστοιχα) οδηγεί μετά από χρόνο t (ή μετά από n επαναλήψεις αντίστοιχα) σε 5

18 κάποιο παράγωγο σύνολο σημείων στο χώρο των φάσεων. Αν για t ο όγκος του συνόλου των αρχικών συνθηκών τείνει στο 0 τότε το υπό εξέταση σύστημα είναι μη διατηρητικό. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει απαραίτητα σύγκλιση σε κάποιο σημείο συσσώρευσης. Μπορεί λ.χ μία σφαίρα (στον τρισδιάστατο χώρο) αρχικών συνθηκών να παραμορφωθεί σε ελλειψοειδές το οποίο με τη σειρά του να εκφυλιστεί σε επίπεδη έλλειψη ή ευθεία μηδενικού όγκου. Αυτό άλλωστε αποτελεί ένδειξη χαοτικής συμπεριφοράς. Οι συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί ένα σύστημα για να θεωρηθεί μη διατηρητικό, περιγράφονται παρακάτω, για τα συστήματα των [1.2] και [1.4]. Δυναμικά συστήματα που περιγράφονται από συστήματα διαφορικών εξισώσεων x (t)=f(x) στο χώρο των φάσεων είναι μη διατηρητικά όταν ικανοποιείται μία από τις παρακάτω ισοδύναμες σχέσεις: div(f) < 0 Σϑf i /ϑx i < 0 Tr(D(f)) < 0 [1.7] όπου D(f) η Ιακωβιανή της f και Τr (D(f)) το ίχνος της. [3,29] Οι παραπάνω ισοδύναμες σχέσεις προκύπτουν ως εξής: Έστω Φ η ροή των σημείων τυχαίου συνόλου αρχικών συνθηκών που περικλείονται σε όγκο V. Η ροή Φ οφείλεται στην διασπορά των σημείων λόγω της εφαρμογής της διανυσματικής συνάρτησης f (μία εικόνα που μπορεί να βοηθήσει στην κατανόηση των παραπάνω είναι η εικόνα ενός συνόλου μορίων αερίου που καταλαμβάνουν όγκο V o οποίος μεταβάλλεται λόγω της εφαρμογής ενός πεδίου πίεσης). Φ= s f n ds Η μεταβολή του όγκου δv σε χρόνο δt περιγράφεται από τη σχέση : δv= δt s f n ds 6

19 Από την παραπάνω σχέση προκύπτει: dv/dt= s f n ds= v f dv Για μη διατηρητικά συστήματα πρέπει να είναι dv/dt<0. Η τυχαιότητα στην επιλογή του αρχικού όγκου επιτρέπει την εξαγωγή συμπερασμάτων από την εξέταση του περιεχομένου του ολοκληρώματος. Συνεπώς η σχέση f<0 και οι ισοδύναμές, της χαρακτηρίζουν μη διατηρητικά συστήματα στην περίπτωση που αυτά περιγράφονται από κάποιο σύστημα διαφορικών εξισώσεων. Για συστήματα εξισώσεων διαφορών, αναφέρεται (χωρίς απόδειξη) και σχολιάζεται, το θεώρημα που επιτρέπει τον υπολογισμό των αξόνων του ελλειψοειδούς, που προκύπτει από την εφαρμογή ενός γραμμικού δυναμικού συστήματος, σε μια σφαίρα αρχικών συνθηκών του χώρου R n [91]. Θεώρημα 1.1 Έστω μοναδιαία σφαίρα Ν του χώρου R n και πίνακας Α, nxn. Αν είναι s 2 1 s 2 n και v 1 v n οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα αντίστοιχα του AA Τ τότε: v 1 v n είναι ορθογώνια μεταξύ τους μοναδιαία διανύσματα και οι άξονες της έλλειψης ΑΝ είναι s j v j για j [1,n] Ζ +. Το παραπάνω θεώρημα, αποδεικνύει, ότι μια σφαίρα Ν αρχικών συνθηκών του χώρου R n προβάλλεται μέσω ενός τετραγωνικού πίνακα Α σε ελλειψοειδές με μήκη αξόνων τις θετικές τετραγωνικές ρίζες των ιδιοτιμών του ΑΑ Τ. Οι διευθύνσεις των αξόνων του ελλειψοειδούς ορίζονται από τα ιδιοδιανύσματα του ΑΑ Τ. Δεδομένου ότι ο πίνακας ΑΑ Τ έχει πραγματικές και μάλιστα θετικές ιδιοτιμές [91] μπορεί να τεθεί ισοδύναμα (χωρίς μεταβολή της ορίζουσας και των ιδιοτιμών του) σε μια από τις παρακάτω μορφές Κ 1, Κ 2. [13,94] s 1 2 7

20 Κ 1 = s s n 2 Στη μορφή Κ 1 οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές και άνισες μεταξύ τους. Στην περίπτωση που κάποια ιδιοτιμή εμφανίζεται ως πολλαπλή ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ο πίνακας τίθεται στη μορφή λ-jordan [13]. Στην Κ 2, η οποία βρίσκεται σε μορφή λ-jordan, εμφανίζεται ενδεικτικά η ιδιοτιμή s m με πολλαπλότητα 3. Κ 2 = s 1 2 s 2 2. s m 2 1 s m 2 1 s m 2... s n 2 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ανεξάρτητα από τη μορφή που θα πάρει ο πίνακας ΑΑ Τ Ισχύει επίσης ότι: det(α A Τ ) = s 1 2 s n 2 det(α A Τ )=det(a)det(a Τ ) και επειδή ο Α είναι τετραγωνικός ισχύει ότι : συνεπώς : det(a)=det(a Τ ) 8

21 και άρα det(a)= (det(α A Τ )) det(a)= s 1 s n Σύμφωνα με την τελευταία σχέση, αν θεωρηθεί ότι η αρχική σφαίρα είναι μοναδιαία, η ορίζουσα του πίνακα Α, καθορίζει αν το σύστημα είναι μη διατηρητικό, δεδομένου ότι το γινόμενο των μηκών των αξόνων του ελλειψοειδούς αποτελεί τον τελεστή μεταβολής του όγκου της θεωρούμενης σφαίρας των αρχικών συνθηκών. Δηλαδή το σύστημα είναι μη διατηρητικό μόνο αν, det(a) < 1 [1.8] Το συμπέρασμα αυτό γίνεται εύκολα κατανοητό για το δισδιάστατο χώρο R 2. Το εμβαδόν του αρχικού κύκλου π1 2 προβάλλεται στο εμβαδόν της προκύπτουσας έλλειψης πs 1 s 2. Είναι φανερό, ότι το γινόμενο s 1 s 2 = deta, αποτελεί τον προαναφερόμενο τελεστή μεταβολής του όγκου. Ο πίνακας Α περιγράφει ένα γραμμικό σύστημα. Όπως όμως θίγεται στις ενότητες 1.3 & 1.4 του παρόντος κεφαλαίου, βασική μεθοδολογία διερεύνησης της συμπεριφοράς των μη γραμμικών συστημάτων, αποτελεί η κατά περιοχές γραμμικοποίηση τους. Το σύστημα, έχει πάντα γραμμική μορφή όταν τίθεται υπό εξέταση και την θέση του πίνακα Α παίρνει η Ιακωβιανή μήτρα του συστήματος, υπολογισμένη σε προεπιλεγμένα σημεία. Στην περίπτωση αυτή διαμορφώνεται για τα μη διατηρητικά συστήματα η σχέση: det[d(g)] < 1 [1.9] όπου D(g) η Ιακωβιανή της g. 9

22 1.3 Μελέτη των σημείων ισορροπίας των Σ.Δ.Ε. Για ένα δυναμικό σύστημα, που εξελίσσεται σε συνεχή χρόνο και συνεπώς περιγράφεται από την [1.3], ορίζονται ως σημεία ισορροπίας, εκείνα για οποία ισχύει f =0, όπου f=(f 1,f 2, f N ). Η ταξινόμηση τους γίνεται με κριτήριο την συμπεριφορά της τροχιάς τυχαίας λύσης του συστήματος, όταν αυτή τα προσεγγίζει. Έτσι τα σημεία ισορροπίας διακρίνονται σε: Σημεία συσσώρευσης (απλοί ελκυστές). Οι απλοί ελκυστές είναι σημεία του χώρου των φάσεων, στα οποία συγκλίνουν οι τροχιές που εκκινούν από ένα συγκεκριμένο σύνολο αρχικών συνθηκών που ονομάζεται ελκόμενο σύνολο (basin of attraction). Μια απλή, φυσική, αναπαράσταση ενός τέτοιου σημείου δίνεται από το κατώτερο σημείο μιας κοίλης επιφάνειας. Σημεία απώθησης. Σημεία πού απωθούν τις τροχιές, οι οποίες εκκινούν από ένα σύνολο αρχικών συνθηκών που καλείται απωθούμενο σύνολο (basin of repulsion). Μια φυσική, αναπαράσταση ενός τέτοιου σημείου δίνεται από την κορυφή ενός λόφου. Σαγματικά σημεία. Κοντά στα σημεία αυτά ή συμπεριφορά του συστήματος εξαρτάται από την διεύθυνση προσέγγισης της τροχιάς, η οποία είναι συνάρτηση των αρχικών συνθηκών. Διακρίνονται δύο σύνολα αρχικών συνθηκών. Αυτό που οδηγεί σε σύγκλιση και ονομάζεται ευσταθής πολλαπλότητα (stable manifold) και αυτό που οδηγεί σε απομάκρυνση και ονομάζεται ασταθής πολλαπλότητα (unstable manifold). Μια απλή αναπαράσταση ενός σαγματικού σημείου δίνεται από το σαμάρι (σάγμα) του οποίου η επιφάνεια είναι ταυτόχρονα κοιλάδα και κορυφογραμμή. Είναι σκόπιμο να διερευνηθεί πρώτα η συμπεριφορά των γραμμικών συστημάτων κοντά στο σημείο x=0 που είναι σημείο ισορροπίας κάθε γραμμικού συστήματος. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (σχέση [1.5]) κάθε γραμμικό σύστημα έχει την μορφή dx/dt=αx, όπου Α είναι ένας ΝxΝ γραμμικός πίνακας. Αν λ 1,λ 2,,λ N είναι οι ιδιοτιμές του Α και u 1,u 2,,u Ν τα αντίστοιχα 10

23 ιδιοδιανύσματα, τότε η γενική λύση του συστήματος είναι περιγράφεται από την παρακάτω σχέση: x = c 1 exp(λ 1 t) u 1 + c 2 exp(λ 2 t) u c N exp(λ N t) u N [1.10] Το παρακάτω θεώρημα περιγράφει τις συνθήκες ευστάθειας του κέντρου συντεταγμένων του συστήματος [1.5]. Θεώρημα 1.2: Έστω Α είναι ένας ΝxΝ γραμμικός πίνακας. Θεωρείται το σύστημα dx/dt=αx. Αν τα πραγματικά μέρη όλων των ιδιοτιμών του Α είναι μη θετικά, τότε το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές στο σημείο x=0. Aν όλες οι ιδιοτιμές έχουν θετικά πραγματικά μέρη, τότε το x=0 είναι ασταθές σημείο απώθησης [91]. Στα σχήματα 1.1 & 1.2 φαίνονται χαρακτηριστικά, για το δισδιάστατο χώρο των φάσεων ένας απλός ελκυστής και ένα απλό σημείο απώθησης. Το σχήμα 1.1 απεικονίζει τις τροχιές των λύσεων του συστήματος x = -x-10y & y = 10x-y ενώ το σχήμα 1.2 του συστήματος x = x-10y & y = 10x+y. Απλός σπειροειδής ελκυστής 50 Y(t) X(t) Σημείο σπειροειδούς απώθησης 50 Y(t) X(t) Σχήμα 1.1: Απλός ελκυστής Σχήμα 1.2: Απλό σημείο απώθησης. Οι διευθύνσεις που ορίζονται από τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α ονομάζονται ιδιοδιευθύνσεις (ή ιδιοχώροι) του συστήματος και παίζουν σημαντικό ρόλο στη 11

24 διερεύνηση της συμπεριφοράς των μη γραμμικών συστημάτων, καθότι εφάπτονται στις ευσταθείς και ασταθείς αντίστοιχα πολαπλότητες των λύσεων [91]. Στην περίπτωση λ.χ. που υπάρχουν κάποιες ιδιοτιμές με αρνητικά πραγματικά μέρη και κάποιες άλλες με θετικά, οι ιδιοδιευθύνσεις, δίνουν το στίγμα των ευσταθών και ασταθών πολλαπλοτήτων του συστήματος αντίστοιχα (στην περίπτωση του γραμμικού συστήματος, είναι οι ίδιες ευσταθείς ή ασταθείς πολλαπλότητες). H διερεύνηση της συμπεριφοράς των μη γραμμικών συστημάτων, έχει τοπικό χαρακτήρα, μια που τις περισσότερες φορές η εύρεση γενικής λύσης του συστήματος, είναι αδύνατη. Το ενδιαφέρον μιας τέτοιας διερεύνησης, εστιάζεται στη μελέτη των σημείων ισορροπίας, στην περιοχή των οποίων διενεργείται γραμμικοποίηση του συστήματος. Έστω ότι το x 0 είναι σημείο ισορροπίας του συστήματος. Για να καταστεί το σημείο ισορροπίας κέντρο του συστήματος συντεταγμένων, χρησιμοποιούνται νέες μεταβλητές που δίνονται από την εξίσωση, y = x-x 0. Το σύστημα [1.3] παίρνει τη γραμμική μορφή: dy/dt = Df(x 0 ) y [1.11] ή ισοδύναμα dy/dt = f 1 / x 1 f 1 / x N f 2 / x 1 f 2 / x N... f N / x 1 f N / x N y D(f) είναι η Ιακωβιανή μήτρα της f υπολογισμένη στο x 0. Το θεώρημα 1.3 περιγράφει τις προϋποθέσεις ευστάθειας του σημείου ισορροπίας: 12

25 Θεώρημα 1.3: Θεωρείται το σύστημα dx/dt=f(x) και x 0 ένα σημείο ισορροπίας του. Αν τα πραγματικά μέρη όλων των ιδιοτιμών της Df(x 0 ) είναι αρνητικά, τότε το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές στο σημείο x 0. Aν έστω και μία ιδιοτιμή, έχει θετικό πραγματικό μέρος, τότε το x 0 =0 είναι ασταθές σημείο [91]. 1.4 Μελέτη των σημείων ισορροπίας αναδρομικών σχέσεων. Όπως έχει προαναφερθεί οι αναδρομικές σχέσεις εκφράζουν την τρέχουσα κατάσταση ενός δυναμικού συστήματος σε συνάρτηση με την προηγούμενη (στην γενική περίπτωση σε συνάρτηση με k προηγούμενες), σε διακριτό χρόνο. Οι όροι απεικόνιση και αναδρομική σχέση χρησιμοποιούνται συχνά ισοδύναμα. Στο παρόν κείμενο ωστόσο θα χρησιμοποιηθούν σαν δύο ξεχωριστές έννοιες. Πιο συγκεκριμένα για τον μονοδιάστατο χώρο R απεικόνιση (map) ονομάζεται η συνάρτηση που έχει πεδίο τιμών ίδιο με το πεδίο ορισμού της. Από τις απεικονίσεις αναδύονται ακολουθίες τιμών {x,g(x),g 2 (x) }, όπου x αρχική τιμή. Η σχέση x n+1 =g(x n ) που παράγει αυτή την ακολουθία καλείται αναδρομική σχέση στο χώρο R. (Χρησιμοποιείται ο συμβολισμός g 2 (x)=g g=g(g(x)) ή γενικεύοντας g k+1 (x)=g k (g(x)). Στο εξής οι όροι απεικόνιση και αναδρομική σχέση θα χρησιμοποιούνται όπως ορίστηκαν παραπάνω, με την έννοια δηλαδή, του στατικού-υποβαστάζοντα (απεικόνιση) και του δυναμικού-παραγωγικού (αναδρομική σχέση) μηχανισμού. Η γενίκευση των παραπάνω ορισμών για χώρους R N, οδηγεί στην περιγραφή δυναμικών συστημάτων από συστήματα αναδρομικών σχέσεων όπως παρουσιάζονται στις ισοδύναμες σχέσεις [1.2] & [1.4]. Η ταξινόμηση των σημείων ισορροπίας των αναδρομικών σχέσεων δεν διαφέρει ουσιαστικά, από την αντίστοιχη των Σ.Δ.Ε. Θεωρείται ωστόσο σκόπιμη η εκ νέου αναφορά στον ακριβή τρόπο με τον οποίο ορίζονται, στην περίπτωση αυτή, που ο μηχανισμός εξέλιξης του συστήματος υπακούει σε 13

26 επαναληπτικές διαδικασίες. Αρχικά αναφέρεται η ταξινόμηση των σημείων ισορροπίας για τον χώρο R 2. Θεωρείται η αναδρομική σχέση g(x) του χώρου R 2 και ένα σημείο p R 2 τέτοιο ώστε g(p)=p. Το p είναι σημείο ισορροπίας της g(x) και ονομάζεται: απλός ελκυστής όταν υπάρχει περιοχή του p, N, τέτοια που να ικανοποιείται η παρακάτω πρόταση: Όλα τα σημεία v της N, τείνουν στο p, υπό την συνεχή και επ άπειρο εφαρμογή της g. Δηλαδή όταν lim k g k (v)=p, v Ν [91]. σημείο απώθησης όταν υπάρχει περιοχή του p,ν, της οποίας όλα τα σημεία απεικονίζονται εκτός αυτής υπό την διαρκή εφαρμογή της g. Δηλαδή όταν v Ν k Z + τέτοιο ώστε g k (v) Ν [91] σαγματικό, όταν το σύνολο των αρχικών συνθηκών που ορίζεται εντός μοναδιαίου κύκλου με κέντρο το p, απεικονίζεται, υπό την διαρκή εφαρμογή της g, σε έλλειψη η οποία σταδιακά (όταν ο αριθμός επαναλήψεων τείνει στο άπειρο), εκφυλίζεται σε ευθεία. Δηλαδή όταν ο ένας της άξονας τείνει στο 0 και ο άλλος στο [91]. Η διεύρυνση των παραπάνω ορισμών για χώρους R N είναι προφανής για τους απλούς ελκυστές και τα σημεία απώθησης. Για την περίπτωση του σαγματικού σημείου τη θέση του κύκλου αρχικών συνθηκών παίρνει μια σφαίρα Ν- διαστάσεων και τη θέση της έλλειψης, ένα ελλειψοειδές Ν-διαστάσεων το οποίο βαθμιαία εκφυλίζεται σε αντικείμενο του R N-K (K<N) χώρου. Λόγω της σπουδαιότητας των αναδρομικών σχέσεων θα μελετηθούν ξεχωριστά οι μονοδιάστατες απεικονίσεις ως προς την συμπεριφορά τους κοντά στα σημεία ισορροπίας Μονοδιάστατες απεικονίσεις. Όπως προαναφέρθηκε σημείο ισορροπίας μιας αναδρομικής σχέσης είναι το σημείο p που ικανοποιεί την εξίσωση g(p)=p. Τα σημεία ισορροπίας γεωμετρικά παριστάνουν την τομή της απεικόνισης με την ευθεία y=x (αν υπάρχει). Αυτή η παρατήρηση καθιστά εύκολη την εύρεση κριτηρίων για το 14

27 χαρακτηρισμό τους, χρησιμοποιώντας την κλίση της απεικόνισης (δηλαδή την παράγωγο) Έτσι για μια ομαλή απεικόνιση (συνεχή και συνεχώς παραγωγίσιμη) ισχύει: Αν g (p) <1, το p είναι απλός ελκυστής της αναδρομικής σχέσης Αν g (p) >1, το p είναι σημείο απώθησης της αναδρομικής σχέσης Ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την κατανόηση της συμπεριφοράς των αναδρομικών σχέσεων παρουσιάζουν οι περιοδικοί κύκλοι, ή σημεία k- περιοδικότητας. Ένας περιοδικός κύκλος, συνίσταται από ένα σύνολο διατεταγμένων, διακριτών τιμών, που επαναλαμβάνονται υπό την επ άπειρον εφαρμογή της αναδρομικής σχέσης. Πιο συγκεκριμένα το σημείο p είναι σημείο περιόδου k της g αν ο k είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος, για τον οποίο ισχύει g k (p)=p. Όπως τα απλά σημεία ισορροπίας έτσι και οι περιοδικοί κύκλοι ταξινομούνται σε κύκλους ελκυστές και σε κύκλους απώθησης για τις μονοδιάστατες αναδρομικές σχέσεις. Έστω ότι για την απεικόνιση g k (x), η αναδρομική σχέση x n+1 =g k (x n ) έχει σημείο ισορροπίας, το p 1. Για το χαρακτηρισμό του σημείου ισορροπίας p 1 προφανώς ισχύει κριτήριο της παραγώγου, εφαρμοζόμενο στην g k (x). Eφαρμόζοντας την ιδιότητα (f q) (x)=f (q(x))q (x) στην αναδρομική σχέση, συνάγεται ότι για την περιοδική τροχιά {p 1,p 2, p k } ισχύει: g k (p 1 )=g (p k ) g (p k- 1) g (p 1 ). Συνεπώς το κριτήριο της παραγώγου διαμορφώνεται για περιοδικούς κύκλους ως ακολούθως: Aν g (p k ) g (p k-1 ) g (p 1 ) <1 η περιοδική τροχιά είναι ευσταθής Aν g (p k ) g (p k-1 ) g (p 1 ) >1 η περιοδική τροχιά είναι ασταθής Πολυδιάστατες απεικονίσεις. 15

28 Θα μελετηθούν αρχικά τα γραμμικά συστήματα αναδρομικών σχέσεων. Στη συνέχεια θα διερευνηθεί η συμπεριφορά των μη γραμμικών συστημάτων, με χρήση της γραμμικοποιημένης τους εκδοχής κοντά στα σημεία ισορροπίας. Ένα γραμμικό σύστημα αναδρομικών σχέσεων έχει την μορφή που παρουσιάζεται στην [1.6], δηλαδή, x n+1 =Βx n. Στην ενότητα 1.2 έγινε αναλυτική αναφορά στις μορφές που μπορεί να πάρει ένας πίνακας όταν έχει πραγματικές ιδιοτιμές. Για τις ανάγκες της παρούσας ενότητας το ζήτημα της ισοδύναμης παράστασης ενός πίνακα θα επανεξεταστεί, συμπεριλαμβάνοντας και την περίπτωση, που ο πίνακας έχει μιγαδικές ιδιοτιμές. Για λόγους εποπτείας, η παρουσίαση θα περιοριστεί στο δισδιάστατο χώρο. Ακολούθως εξετάζονται οι τρεις δυνατές περιπτώσεις: Α) O πίνακας Β έχει πραγματικές και άνισες ιδιοτιμές λ 1,λ 2. Β = λ λ 2 Ο πίνακας Β n επαναλήψεις. Είναι όμως Β n : θα προσδιορίζει το σύστημα (την τιμή του x n ) μετά από n Β n = λ 1 n 0 0 λ 2 n Αν θεωρηθεί ότι το διάνυσμα x 0 = (x 0,y 0 ) δίνει αρχικές τιμές στο σύστημα τότε οι τιμές του μετά από n επαναλήψεις είναι: x n y n = λ 1 n 0 0 λ 2 n x 0 y 0 16

29 Από την παραπάνω εξίσωση γίνεται φανερό ότι αν και οι δύο ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι μικρότερες της μονάδας το σύστημα ισορροπεί στο σημείο x=0 καθότι lim n x n = 0. Αν είναι και οι δύο ιδιοτιμές μεγαλύτερες της μονάδας το x=0 καθίσταται ασταθές σημείο ισορροπίας διότι lim n x n =. Αν μόνο μία από τις δύο ιδιοτιμές είναι μικρότερη της μονάδας τότε το σημείο ισορροπίας είναι σαγματικό σημείο. Αν δηλαδή λ 1 >1 και λ 2 <1 τότε lim n x n = ενώ lim n y n =0. Το παραπάνω συμπέρασμα είναι σύμφωνο με τον ορισμό του σαγματικού σημείου, καθότι αν θεωρηθεί ένας κυκλικός δίσκος αρχικών συνθηκών, με κέντρο το σημείο (0,0) βαθμιαία (καθώς n ) μετασχηματίζεται σε έλλειψη (με κέντρο επίσης την αρχή των αξόνων). Ο ένας άξονας της έλλειψης βρίσκεται επάνω στον άξονα x και ακολουθεί αύξουσα πορεία ενώ ο άλλος άξονας της βρίσκεται στον άξονα y και ακολουθεί πορεία συρρίκνωσης. Παρατήρηση: Για λ 1 = λ 2 = 1 το σύστημα είναι ευσταθές με σταθερή τιμή την εκάστοτε αρχική συνθήκη. Β) Ο πίνακας Β έχει δύο ίσες μεταξύ τους ιδιοτιμές. Η ισοδύναμη μορφή που παίρνει ο πίνακας είναι η ακόλουθη: Β = λ 1 0 λ Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση υπολογίζεται ο πίνακας Β n : Β n = λ 1 n n 0 λ 2 n Για το σύστημα μετά από n επαναλήψεις ισχύει: 17

30 x n y n = λ n-1 λ n 0 λ x 0 y 0 Επειδή για λ<1 οι ακολουθίες λ n, nλ n-1 τείνουν στο 0 όταν n, τα συμπεράσματα είναι αντίστοιχα με αυτά της προηγούμενης περίπτωσης. Πιο συγκεκριμένα για λ<1 ένας μοναδιαίος κυκλικός δίσκος αρχικών συνθηκών προβάλλεται υπό την συνεχή εφαρμογή του συστήματος σε βαθμιαία συρρικνούμενη στο (0,0) έλλειψη. Αντίστοιχα για λ>1 το σημείο ισορροπίας είναι ασταθές σημείο απώθησης. Παρατήρηση: Για λ=1 το σύστημα δεν είναι ευσταθές. Γ) Ο πίνακας Β έχει μιγαδικές συζυγείς ιδιοτιμές. Στη περίπτωση αυτή η ισοδύναμη μορφή του πίνακα είναι η παρακάτω: Β = λ -μ μ λ όταν οι ιδιοτιμές είναι λ+jμ, λ-jμ. Το μέτρο των ιδιοτιμών δίνεται από την σχέση r= (λ 2 +μ 2 ). Έτσι ο Β μπορεί να πάρει τη μορφή: Β = r λ/r μ/r μ/r λ/r Άρα: Β = r cosθ -sinθ 18

31 sinθ cosθ Για το δυναμικό σύστημα προκύπτει η αναδρομική σχέση: x n+1 y n+1 = r cosθ -sinθ sinθ cosθ x n y n Από την παραπάνω εξίσωση γίνεται φανερό ότι το μέτρο r των ιδιοτιμών παίζει το ρόλο του τελεστή μεταβολής του συστήματος. Στη περίπτωση βέβαια αυτή δεν είναι δυνατή η εμφάνιση σαγματικού σημείου αφού οι δύο ιδιοτιμές έχουν το ίδιο μέτρο r. To κριτήριο λοιπόν διαμορφώνεται ως εξής: Αν το μέτρο r των ιδιοτιμών είναι μικρότερο της μονάδας (r<1) τότε το σύστημα ισορροπεί στο x=0. Αν r>1, το (0,0) είναι ασταθές σημείο ισορροπίας για το σύστημα. Πρέπει να επισημανθεί είναι ότι το σύστημα υφίσταται στροφή κατά θ=arctan(μ/λ). Έστω tanφ=y n /x n και tanω= y n+1 /x n+1. Εφαρμόζοντας την αναδρομική σχέση που συνδέει τα y n+1,x n+1 με τα y n, x n, και θ, προκύπτει εύκολα η σχέση ω=θ+φ, που σημαίνει ότι ο κύκλος των αρχικών συνθηκών διευρύνεται ή συρρικνώνεται υφιστάμενος στροφή κατά γωνία θ. Η επέκταση των παραπάνω συμπερασμάτων, σε γραμμικά συστήματα του χώρου R Ν, που προσδιορίζονται από ένα πίνακα Β, ΝxN, εκφράζεται από το θεώρημα 1.4: Θεώρημα 1.4: Έστω πίνακας Β, ΝxN. Θεωρείται η γραμμική απεικόνιση Β(x) στο χώρο R Ν. Το σημείο της αρχής των αξόνων χαρακτηρίζεται ως: απλός ελκυστής, όταν όλες οι ιδιοτιμές τού πίνακα Β, έχουν μέτρο μικρότερο της μονάδας, βρίσκονται δηλαδή, εντός του μοναδιαίου κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο. 19

32 σημείο απώθησης, όταν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα έχουν μέτρο μεγαλύτερο της μονάδας, βρίσκονται δηλαδή, εκτός του μοναδιαίου κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο [13,91,94]. Για τη μελέτη της συμπεριφοράς των μη γραμμικών συστημάτων που περιγράφονται από συστήματα αναδρομικών σχέσεων ακολουθείται η ίδια μεθοδολογία που χρησιμοποιήθηκε και για τα Σ.Δ.Ε. Γραμμικοποιείται δηλαδή το σύστημα στην περιοχή του σημείου ισορροπίας, χρησιμοποιώντας την Ιακωβιανή μήτρα. Πιο αναλυτικά: Έστω g=(g 1,g 2, g k ) μια απεικόνιση του χώρου R k και p R k. H Ιακωβιανή μήτρα Dg(p) της g στο σημείο p, ορίζεται από τον παρακάτω πίνακα στον οποίο οι μερικές παράγωγοι υπολογίζονται στο σημείο p. Dg(p) = g 1 / x 1 g 1 / x k g 2 / x 1 g 2 / x k... g k / x 1 g k / x k Κατά προσέγγιση ισχύει η σχέση g(p+h)-g(p) = Dg(p)h όπου h μία μικρή διαταραχή (διάνυσμα διαταραχής) γύρω από το p. Αν το p είναι σημείο ισορροπίας τότε ισχύει ότι g(p) = p. Έστω ότι το διάνυσμα x n βρίσκεται στην περιοχή του p, είναι δηλαδή x n = p+h n. Τότε σύμφωνα με τα παραπάνω θα ισχύει η σχέση g(p+h n ) - g(p) = Dg(p)h n, από την οποία συνάγεται ότι x n+1 -p=dg(p)h n. Με την υπόθεση ότι x n+1 = p+h n+1 διαμορφώνεται η σχέση h n+1 =Dg(p)h n που περιγράφει ένα γραμμικό σύστημα με κέντρο το σημείο ισορροπίας p,και μεταβλητές που προκύπτουν από τον μετασχηματισμό h=x-p. Για την ευστάθεια των υπό εξέταση σημείων ισορροπίας διατυπώνονται με το θεώρημα 1.5 κρίσεις ανάλογες με αυτές των γραμμικών συστημάτων. 20

33 Θεώρημα 1.5: Έστω μια απεικόνιση g του χώρου R k και ένα σημείο p για το οποίο ισχύει g(p)=p. Το σημείο p είναι απλός ελκυστής, όταν όλες οι ιδιοτιμές της Ιακωβιανής Dg(p) έχουν μέτρο μικρότερο της μονάδας, βρίσκονται δηλ. όλες εντός του μοναδιαίου κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο. Το σημείο p είναι σημείο απώθησης όταν όλες οι ιδιοτιμές της Ιακωβιανής μήτρας Dg(p) έχουν μέτρο μεγαλύτερο της μονάδας, βρίσκονται δηλ. όλες εκτός του μοναδιαίου κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο [91]. 21

34 2. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΧΑΟΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ 2.1 Ευαισθησία στις Αρχικές Συνθήκες. Μια χαρακτηριστική ιδιότητα των συστημάτων που συμπεριφέρονται χαοτικά, είναι η ευαισθησία που παρουσιάζουν στις αρχικές συνθήκες. Ένα σύστημα είναι ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες, όταν γειτονικές τροχιές λύσεων του στο χώρο των φάσεων, αποκλίνουν εκθετικά σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Η εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με το αν ένα σύστημα είναι ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες, επιτυγχάνεται με τη μελέτη της συμπεριφοράς της χρονικής συνάρτησης της απόστασης δύο γειτονικών λύσεων. Πιο συγκεκριμένα αν F(x 0,t), F(x 0,t) είναι δύο γειτονικές λύσεις του συστήματος διερευνάται η συμπεριφορά της συνάρτησης: d(t) = F(x 0,t)-F(x 0,t). [2.1] Με., συμβολίζεται η Ευκλείδεια νόρμα. Η συμπεριφορά της απόκλισης των λύσεων περιορίζεται, όπως αναφέρεται στο κεφάλαιο 1, από τον κανόνα του Lipschitz. Πιο συγκεκριμένα για κάθε ζευγάρι F(t),W(t) λύσεων του συστήματος και για χρονικό διάστημα [t 0,t 1 ] ισχύει [91]: F(t)-W(t) F(t 0 )-W(t 0 ) e [L(t0-t1)], t [t0,t1] [2.2] Η [2.2], παρέχει τη δυνατότητα να εκφραστεί η d(t), ως εκθετική συνάρτηση του χρόνου, δηλαδή d(t) = d 0 e λt [2.3] O συντελεστής λ ονομάζεται τοπικός συντελεστής Lyapunov και όπως φαίνεται από την [2.3], το πρόσημο του παίζει καθοριστικό ρόλο στη συμπεριφορά του συστήματος. Ο καθολικός συντελεστής Lyapunov είναι ο μέσος όρος των 22

35 τοπικών συντελεστών και αποτελεί δείκτη της μέσης συμπεριφοράς του συστήματος. Η γεωμετρική ερμηνεία των συντελεστών Lyapunov παραπέμπει στην διερεύνηση της μεταβολής των συνόλων των αρχικών συνθηκών στο χώρο των φάσεων. Όπως προαναφέρθηκε στο στην κεφάλαιο 1 (ενότητα 1.2, θεώρημα 1.1) μια σφαίρα αρχικών συνθηκών, μετασχηματίζεται σε ελλειψοειδές, υπό την εφαρμογή ενός γραμμικού δυναμικού συστήματος (το ίδιο ισχύει και για μη γραμμικά συστήματα τοπικά). Το κρίσιμο σημείο στη όλη αναζήτηση, είναι η συσχέτιση της μεταβολής της συνάρτησης d(t) (συνάρτηση απόστασης γειτονικών λύσεων του συστήματος) με τους άξονες του ελλειψοειδούς. Αν u j (t) είναι ο ρυθμός μεταβολής για τον άξονα j τότε u j (t) = e λjt [3] και άρα, λ j =lim t (1/t )log u j (t) Αν ο λ j εκφραστεί σαν συνάρτηση της απόλυτης τιμής του άξονα L j του ελλειψοειδούς προκύπτει ότι L j (t)= e λj t L j (0) και συνεπώς: λ j = lim t (1/t )log[l j (t)/l j (0)] [2.4] Πρέπει να σημειωθεί ότι επειδή η απόκλιση των λύσεων πραγματοποιείται πολύ σύντομα, τα μεγέθη των αξόνων κανονικοποιούνται περιοδικά κατά τον υπολογισμό των συντελεστών. Διαφορετικά το μεγάλο ακέραιο των αριθμών που προκύπτουν περιορίζει το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων, γεγονός που μειώνει δραματικά την ακρίβεια των υπολογισμών. Αυτή η έλλειψη ακρίβειας, δεδομένης της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες, καθιστά την όλη διαδικασία άνευ αξίας [3,80]. Οι επόμενες παράγραφοι αναφέρονται στις μαθηματικές διατυπώσεις που προκύπτουν για τους συντελεστές Lyapunov δυναμικών συστημάτων τα οποία περιγράφονται από συστήματα διαφορικών εξισώσεων ή συστήματα αναδρομικών σχέσεων. Για τις περιπτώσεις συστημάτων των οποίων τα δεδομένα προκύπτουν από μετρήσεις γίνεται αναφορά στο κεφάλαιο 4. 23

36 2.2 Συντελεστές Lyapunov Απεικονίσεων. Θα εξεταστούν αρχικά οι μονοδιάστατες απεικονίσεις και στη συνέχεια τα συμπεράσματα θα επεκταθούν σε απεικονίσεις πολυδιάστατων χώρων. Μονοδιάστατες απεικονίσεις Θεωρείται η μονοδιάστατη απεικόνιση g(x) [0,1] [0,1] και η αναδρομική σχέση x n+1 = g(x n )=g n+1 (x 0 ) [2.5] Θεωρείται επίσης το σημείο x 0 + ε που βρίσκεται σε στενή γειτνίαση με το x 0. Αν η g(x) ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz τότε η απόσταση των δύο τροχιών μπορεί να περιγραφεί σαν εκθετική συνάρτηση του χρόνου. εe λn = g n+1 (x 0 ) - g n+1 (x 0 +ε) [2.6] Για άπειρο αριθμό επαναλήψεων προκύπτει λ = lim n 1/n log dg n (x 0 )/dx [2.7] Ο συντελεστής Lyapunov εξαρτάται γενικά από την αρχική συνθήκη x 0. Έτσι για την [2.7] θεωρείται ορθότερη η διατύπωση λ(x 0 )=lim n 1/n log dg n (x 0 )/dx. Στη συνέχεια εξετάζονται οι μονοδιάστατες αναδρομικές σχέσεις ως μηχανισμοί απώλειας πληροφορίας του συστήματος που περιγράφουν. Η παρακάτω ανάλυση βασίζεται στην υπόθεση ότι το x 0 βρίσκεται αρχικά σε κάποιο από τα Ν διαστήματα διαμέρισης του [0,1] με πιθανότητα 1/Ν. Αν υποτεθεί ότι το x 0 έχει προσδιοριστεί σε κάποιο συγκεκριμένο διάστημα, η πληροφορία που αναδύεται από αυτή τη γνώση είναι -ld(1/n) (όπου ld(α) ο λογάριθμος του α με βάση το 2). Η μέση πληροφορία που προκύπτει από τη γνώση για κάποιο τυχαίο σημείο εκφράζεται παρακάτω από την [2.8]: 24

37 N S 0 = -Σ (1/Ν) ld(1/n) = ldn [2.8] 1 Το ερώτημα που τίθεται είναι αν το δυναμικό σύστημα που εφαρμόζεται προκαλεί συστολή ή διαστολή του διαστήματος με μέγεθος 1/Ν. Αν προκαλεί δηλαδή αντίστοιχα αύξηση ή μείωση της μέσης πληροφορίας. Έστω Δx = 1/N, και Δx = g(δx) [2.9] όπου Δx είναι η εικόνα του Δx μετά τη εφαρμογή της g. Γραμμικοποιώντας την [2.9] στην περιοχή του x 0 προκύπτει: Δx = g (x 0 ) Δx [2.10] Η [2.10] είναι δηλωτική της εξάρτησης της μέσης πληροφορίας από την παράγωγο της απεικόνισης στο υπό εξέταση σημείο. Τίθεται g (x 0 ) = α και επιχειρείται ο υπολογισμός του αριθμού των στοιχειωδών τμημάτων του νέου διαμερισμού του [0,1], που προκύπτει μετά από μία εφαρμογή της g(x). Δx = Δx /α Ν Δx = Ν Δx /α αλλά Ν Δx = L = μήκος του [0,1] άρα, L=ΝΔx /α L/Δx = Ν/α [2.11] Ο λόγος Ν/α είναι ο ζητούμενος αριθμός των τμημάτων του νέου διαμερισμού. Η μέση πληροφορία θα πάρει πλέον την τιμή: 25

38 N/α S 1 = -Σ (α/ν) ld(α/n) = ld(n/α) [2.12] 1 Από τις σχέσεις [2.8], [2.12], υπολογίζεται η μεταβολή της μέσης πληροφορίας, μετά από μία επανάληψη κατά την ποσότητα: ΔS 1 = S 1 -S 0 := ld(n/α) - ldn =ldn-ldn-ldα=-ld g (x 0 ) και άρα, ΔS 1 = -ld g (x 0 ) [2.13] Η [2.13] εκφράζει την απώλεια πληροφορίας από την εφαρμογή της g όταν α= g (x 0 ) >1. Στην περίπτωση αυτή το διάστημα Δx διαστέλλεται γεγονός που αυξάνει την αβεβαιότητα σχετικά με τη θέση του x 0. Αν συνεχιστεί ο υπολογισμός της απώλειας πληροφορίας εφαρμόζοντας μία ακόμη φορά την g(x) στο νέο διάστημα Δx που περιέχει την εικόνα του x 0, g(x 0 )=x 1, εξάγεται η σχέση ΔS 2 = -ld g(x 1 ). Για Κ επαναλήψεις προκύπτει μία ακολουθία ΔS = { ΔS 1,ΔS 2,, ΔS k } = { ld g (x 0 ), ld g (x 1 ),, ld g (x k ) } της οποίας ο Κ-όρος εκφράζει την απώλεια πληροφορίας κατά την επανάληψη Κ. Η μέση απώλεια πληροφορίας (για μια επανάληψη) υπολογίζεται από το μέση τιμή των όρων της ακολουθίας για μεγάλο Κ. Θεωρητικά για Κ προκύπτει η μέση την απώλεια πληροφορίας [ΔS] από την απλή εφαρμογή (εφαρμογή μιας επανάληψης) του δυναμικού συστήματος g. K-1 [ΔS] = lim K 1/Κ Σ ld(g (x i ) [2.14] I=0 και δεδομένου ότι ld(a) = log(a)/log2, προκύπτει λαμβάνοντας υπόψη τις [2.7] και [2.14] ότι: [ΔS] log2 = λ(x 0 ) [2.15] 26

39 Η σχέση αυτή των συντελεστών Lyapunov και της μέσης απώλειας πληροφορίας του συστήματος επεκτείνεται όπως θα δειχθεί στο κεφάλαιο 4 και στα συστήματα που εξελίσσονται σε πολυδιάστατους χώρους. Παρατήρηση: Από την παραπάνω ανάλυση προκύπτει, το συμπέρασμα, ότι η απώλεια πληροφορίας συνοδεύεται από μείωση της εντροπίας. Πράγματι στη σχέση [2.13], δεδομένου ότι g(x 0 ) >1, η ΔS 1 προκύπτει μικρότερη του 0, που σημαίνει ότι S 1 < S 0. Η σύγκριση όμως των δύο τιμών της εντροπίας είναι άνευ περιεχομένου διότι η ακρίβεια με την οποία προσεγγίζεται το σύστημα είναι διαφορετική για κάθε περίπτωση. Πιο συγκεκριμένα ο προσδιορισμός της S 0 επιτυγχάνεται, όταν ο παρατηρητής του συστήματος υποβάλλει ldn ερωτήσεις για τον προσδιορισμό του x 0. Αντίθετα ο υπολογισμός της S 1, λαμβάνει χώρα όταν ο παρατηρητής υποβάλλει ldn/α ερωτήσεις, που σημαίνει ότι η παρατήρηση έχει υποστεί αναγκαστική μείωση του βαθμού ακρίβειας. Θα επιχειρηθεί μια προσέγγιση του ζητήματος που προκύπτει, με την προϋπόθεση ότι διατηρούνται σταθερές οι συνθήκες παρατήρησης. Αυτό σημαίνει, ότι έστω και θεωρητικά, ο παρατηρητής διατηρεί τις ίδιες απαιτήσεις ακρίβειας σε όλη τη διάρκεια της παρατήρησης. Πρέπει ωστόσο πριν την οποιαδήποτε ανάλυση να προσδιοριστούν οι προϋποθέσεις αύξησης της εντροπίας ενός συστήματος. Έστω Ε ένα υποσύνολο του χώρου των φάσεων στο οποίο παρατηρείται η εξέλιξη του δυναμικού συστήματος G. Για την διερεύνηση της συμπεριφοράς του G από την οπτική γωνία της θεωρίας Πληροφοριών το Ε διαιρείται σε Ν ίσες μικροκυψέλες. Το σύστημα G δεν επισκέπτεται, αρχικά, παρά μόνο Μ από τις Ν (Μ Ε Μ cε & Μ<Ν) μικροκυψέλες, με πιθανότητα p i, i=1,2, Μ. Η εντροπία (μέση απαιτούμενη πληροφορία για τον προσδιορισμό του συστήματος ή διαφορετικά μέση αναδυόμενη πληροφορία από τη γνώση του συστήματος) υπολογίζεται ως γνωστό από τη σχέση, N S = -Σp i ld(p i ), 1 η οποία λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της, S max = ldμ, όταν p i =1/Μ i=1,2, Μ. 27

40 Η μέγιστη παρατηρούμενη εντροπία αυξάνεται μόνο όταν πραγματοποιείται ένα από τα ακόλουθα σενάρια: Όταν ο παρατηρητής του συστήματος αυτοβούλως αυξήσει τις απαιτήσεις του σχετικά με την ακρίβεια προσέγγισης του συστήματος, αυξάνοντας σε Μ >Μ τις μικροκυψέλες του Ε Μ. Η μέγιστη τιμή της εντροπίας παίρνει πλέον την τιμή ldm >ldm. Όταν διατηρουμένου του μεγέθους των μικροκυψελών (συνεπώς και της ακρίβειας προσέγγισης), το σύστημα διαφεύγει των ορίων του Ε Μ και επισκέπτεται με κάποια πιθανότητα και τις υπόλοιπες μικροκυψέλες του Ε που δεν ανήκουν στο Ε Μ, αυξάνοντας έτσι της αβεβαιότητα σχετικά με τον προσδιορισμό του. Στην περίπτωση αυτή η μέγιστη τιμή της εντροπίας είναι ldν>ldm. Επιστρέφοντας στο δυναμικό σύστημα που περιγράφεται από την μονοδιάστατη απεικόνιση g(x) η αύξηση της εντροπίας μπορεί να παρατηρηθεί τοπικά στα διαστήματα Δx, Δx. Με την υπόθεση ότι το Δx απεικονίζεται στο Δx υφιστάμενο διαστολή μπορεί να οριστεί ένα διάστημα Δx c Δx με την ιδιότητα Δx = Δx. Με το σύμβολο. συμβολίζεται το μέτρο του διαστήματος. Αν τα Δx, Δx, Δx υποστούν διαμέριση με το ίδιο μέγεθος μικροκυψέλης τα Δx, Δx εμφανίζουν την ίδια μέγιστη εντροπία. Αντιστοιχίζοντας τώρα τα Δx, Δx με τα Ε, Ε Μ αντίστοιχα συνάγεται ότι η περίπτωση που εξετάζεται πραγματοποιεί το δεύτερο σενάριο αύξησης της μέγιστης εντροπίας που περιγράφεται παραπάνω. Από τη σκοπιά δηλαδή του παρατηρητή που διατηρεί σταθερές τις απαιτήσεις του για τον προσδιορισμό του συστήματος, η απώλεια πληροφορίας συνεπάγεται την αύξηση της αταξίας και όχι τη μείωσή της όπως φαινομενικά προκύπτει από τη σχέση [2.13] 28

41 Απεικονίσεις πολυδιάστατων χώρων Κρίσιμο σημείο για τον υπολογισμό των συντελεστών Lyapunov, είναι η εξέταση της συμπεριφοράς τυχαίας σφαίρας αρχικών συνθηκών στο χώρο των φάσεων. Στο κεφάλαιο 1 (ενότητα 1.2) περιγράφεται, πως ένα γραμμικό δυναμικό σύστημα x n+1 =Bx n μετασχηματίζει μία σφαίρα αρχικών συνθηκών σε έλλειψη της οποίας οι άξονες έχουν μήκη ίσα με την θετική τετραγωνική ρίζα των ιδιοτιμών του πίνακα ΒΒ Τ. Tο ίδιο ασφαλώς ισχύει και για μη γραμμικά συστήματα, μετά την γραμμικοποίηση τους γύρω από κάποιο σημείο ισορροπίας. Στην περίπτωση αυτή, αντί του πίνακα Β χρησιμοποιείται η Ιακωβιανή Dg(x) υπολογισμένη στο υπό εξέταση σημείο. Εφόσον η αρχική σφαίρα είναι μοναδιαία οι ρίζες των ιδιοτιμών του πίνακα ΒΒ Τ (ή Dg(x)Dg(x) Τ αντίστοιχα) εκφράζουν τον ρυθμό μεταβολής του μήκους των αξόνων. Έστω μια ομαλή απεικόνιση g του χώρου R k και η αναδρομική σχέση x n+1 =g(x n ). Έστω Dg n (x 0 ) η Ιακωβιανή της g n υπολογισμένη στο x 0. Eίναι δηλαδή Dg n (x 0 )=Dg(x 0 ) Dg(x 1 ) Dg(x n ) και x n+1 = Dg n (x 0 )g(x 0 ). Οι ρίζες των ιδιοτιμών της Dg n (x 0 )Dg n (x 0 ) Τ εκφράζουν τον τελεστή μεταβολής των αξόνων του ελλειψοειδούς μετά από n επαναλήψεις. Αν για κάποιο άξονα k, το μέγεθος r n k εκφράζει τον τελεστή μεταβολής του μετά από n επαναλήψεις, τότε η ανά επανάληψη μεταβολή (μέσος ρυθμός μεταβολής) εκφράζεται από το μέγεθος L k (x 0 ) = lim n [(r k n ) 1/n ] [2.16] Ο συντελεστής L k (x 0 ) ονομάζεται αριθμός Lyapunov και αναφέρεται στον άξονα k και στην αρχική τιμή x 0. Ο συντελεστής Lyapunov ορίζεται από τη σχέση[91]: L k (x 0 )=exp[λ k(x 0 )] λ k(x 0 ) = log[l k (x 0 )] [2.17] 29

42 2.3 Συντελεστές Lyapunov Σ.Δ.Ε Θα επιχειρηθεί αρχικά ο υπολογισμός του συντελεστή Lyapunov στο μονοδιάστατο πεδίο των φάσεων. Στην περίπτωση αυτή το σύστημα περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση: x = f(x) x R [2.18] Έστω δύο κοντινές λύσεις x 0, x Η συνάρτηση της απόστασης των δύο λύσεων εκφράζεται από την σχέση: d = x-x 0 [2.19] Αν η απόσταση x - x 0 είναι ικανοποιητικά μικρή, τότε από την κατά Taylor ανάπτυξη της f(x) προκύπτει η σχέση: f(x) = f(x 0 ) + df/dx(x 0 )( x- x 0 ) [2.20] Από τις [2.18], [2.19] και [2.20] εξάγεται η σχέση: d (t) = x - x 0= f(x)-f(x 0 ) = df/dx(x 0 )( x- x 0 ) [2.21] Η συνάρτηση d(t) αναμένεται να έχει εκθετική μορφή. Άρα θα είναι: d(t)=d(t=0)e λt και η παράγωγος της θα έχει τη μορφή: d (t) = λd(t=0) e λt = λd(t) [2.22] Από τις σχέσεις [2.21], [2.22]συνάγεται ότι: λ = df/dx(x 0 ) [2.23] 30

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών

Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών Μη-γραμμικά χαρακτηριστικά ή αναλλοίωτα μέτρα Διάσταση. Ευκλείδια. Τοπολογική 3. Μορφοκλασματική (συσχέτισης, πληροφορίας, μέτρησης κουτιών, ) Εκθέτες Lypunov (μεγαλύτερος,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ με τη χρήση του Maple

ΔΥΝΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ με τη χρήση του Maple ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ +- ΣΟΥΡΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΥΝΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ με τη χρήση του Maple 3 3 3 4 5 x 3 ΠΑΤΡΑ Email: dsourlas@physics.upatras.gr Ιστοσελίδα Τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Ντετερμινιστικά Συστήματα. Στοιχεία Χαοτικής Ανάλυσης Χρονοσειρών

Ντετερμινιστικά Συστήματα. Στοιχεία Χαοτικής Ανάλυσης Χρονοσειρών Ντετερμινιστικά Συστήματα Στοιχεία Χαοτικής Ανάλυσης Χρονοσειρών 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ -ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΑΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 1.1 Δυναμικά συστήματα 1.1.1 Ορισμοί Κάθε σύστημα του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Φυσική Β Γυμνασίου Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 2 Εισαγωγή 1.1 Οι φυσικές επιστήμες και η μεθοδολογία τους Φαινόμενα: Μεταβολές όπως το λιώσιμο του πάγου, η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14 Βαθμός Ασφαλείας: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θέµα α) (µ) Θεωρούµε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουλίου 3 (διάρκεια: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman 1 Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman Το 1960, R.E. Kalman δημόσιευσε το διάσημο έγγραφό του περιγράφοντας μια επαναλαμβανόμενη λύση στο γραμμικό πρόβλημα φιλτραρίσματος διακριτών δεδομένων. Από εκείνη τη στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης χολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη - - - - - - - - Διπλωματική Εργασία Αντωνιάδης Παναγιώτης Δημήτριος

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα