ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου

Transcript

1 Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (τω οποίω πρέπει ξέρουμε & τις ποδείξεις πό το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου υ υ όπου υ το υπόλοιπο της διίρεσης του με το 4 - υ υ 3 : 4ρ υ 4ρ υ ( 4 ρ υ ρ υ υ - υ υ υ υ 3 Α z z είι μιγδικοί ριθμοί τότε: (a z (b z z z z z z - z (c z z z z (d z z z z z (e z z Σελίδ 9 ΤΟΥ (a : z z ( β (γ δ ( γ (β δ ( γ (β δ ( β (γ δ z z 3 Επίλυση της Εξίσωσης z βz γ με βγ IR κι Έστω η εξίσωση Οι λύσεις της είι: z βz γ με β γ IR κι z β ±

2 Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης σελ 9 : Εργζόμστε όπως στη τίστοιχη περίπτωση στο IR κι τη μετσχημτίζουμε με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετργώω στη μορφή: όπου β z 4 β 4γ η δικρίουσ της εξίσωσης Έτσι έχουμε τις εξής περιπτώσεις: > Tότε η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις: Tότε έχει μι διπλή πργμτική λύση: < Tότε επειδή β z Άρ οι λύσεις της είι: ( ( z β z 4 4 ( z ( β ± ι β ± ( οι οποίες είι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί η εξίσωση γράφετι: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Πρτηρούμε ότι κι εδώ ισχύου οι σχέσεις : β z z κι z z γ 4 Α z z z είι μιγδικοί ριθμοί τότε: (f z z -z (g z z z ( z z z z ( z z z z z Σελίδ ΤΟΥ ( c : Πράγμτι έχουμε: z z z z z z z z ( z z (z z z z z z z z z z z z z z κι επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει θ ισχύει κι η ισοδύμη ρχική

3 Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης 5 Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω f κι f είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί y που διχοτομεί τις γωίες Oy κι Oy Σελίδ 54 : Ας πάρουμε τώρ μι συάρτηση f κι ς θεωρήσουμε τις γρφικές πρστάσεις C κι C τω f κι της f στο ίδιο σύστημ ξόω (Σχ Επειδή f ( y f (y έ σημείο M (β ήκει στη γρφική y πράστση C της f τότε το σημείο Μ (β θ ήκει στη γρφική πράστση C της f κι τιστρόφως Τ σημεί όμως υτά είι συμμετρικά ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες Oy κι Oy Επομέως: Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω f κι f είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί y που διχοτομεί τις γωίες Oy κι Oy C y O M(β C M (β Έτσι οι γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω < είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί y f ( κι g( log 6 Α Ρ( - - κι o IR τότε lm P ( P ( o o Σελίδ 67 : Έστω τώρ το πολυώυμο κι IR P ( Σύμφω με τις πρπάω ιδιότητες έχουμε: lm( lm ( lm lm P( lm ( lm lm lm Επομέως P( lm P( P( 7 Α Ρ( - - Q(β κ κ β κ- κ- β β κι o IR τότε P lm ( o Q( P( o Q( εφόσο Q( o o Σελίδ 67

4 Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης Έστω η ρητή συάρτηση P( f ( όπου P ( Q ( πολυώυμ Q( του κι o IR με Q( o Τότε Επομέως lm P( P( P( lm f ( lm Q( lm Q( Q( P( lm Q( P( εφόσο Q( Q( 8 Α μι συάρτηση f είι συεχής στο κλειστό διάστημ [β] κι f( f(β τότε γι κάθε ριθμό η μετξύ τω f( κι f(β υπάρχει τουλάχιστο ές o (β τέτοιος ώστε ισχύει f( o η Σελίδ 94 Ας υποθέσουμε ότι f ( < f (β Τότε θ ισχύει f ( < η < f (β (Σχ Α θεωρήσουμε τη συάρτηση g( f ( η [β] πρτηρούμε ότι: η g είι συεχής στο [ β] κι g (g(β < φού y f (β B(βf(β g ( f ( η < κι η g (β f (β η > yη Επομέως σύμφω με το θεώρημ του Bolzano υπάρχει ( β τέτοιο ώστε ( f ( η οπότε f ( η g f (a O a Α( f( β 9 Α μι συάρτηση f είι πργωγίσιμη σ έ σημείο o τότε είι κι συεχής στο σημείο υτό Σελίδ 7 Γι έχουμε οπότε f ( f ( ( f ( ( f

5 ' f f Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης f ( f ( lm [f ( f ( ] lm ( f ( f ( lm lm ( f ( φού η f είι πργωγίσιμη στο lm f ( f ( Επομέως δηλδή η f είι συεχής στο Η συάρτηση f( c είι πργωγίσιμη κι (c Σελίδ 3 : Πράγμτι είι έ σημείο του IR τότε γι ισχύει: Επομέως δηλδή ( c f ( f ( f ( f ( lm c c Η συάρτηση f( είι πργωγίσιμη κι ( Σελίδ 3 : Πράγμτι είι έ τυχίο σημείο του R τότε γι ισχύει: Επομέως ( ( o f ( lm lm o lm o o o R δηλδή ( Η συάρτηση f( Ν * > είι πργωγίσιμη κι ( - Σελίδ 4 : Πράγμτι είι έ σημείο του R τότε γι ισχύει: οπότε δηλδή ( f ( f ( lm lm ( 3 Η συάρτηση f( [ είι πργωγίσιμη στο ( γι κάθε ( Σελίδ 4 κι ( : Πράγμτι είι έ σημείο του ( τότε γι ισχύει: οπότε ( ( ( ( ( ( f ( f (

6 Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης δηλδή ( f ( f ( lm lm 4 Η συάρτηση f(ημ είι πργωγίσιμη κι (ημ συ Σελίδ 4 (ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ: Πράγμτι γι κάθε IR κι ισχύει Επειδή έχουμε Δηλδή f ( f ( ( ημ ημ( ημ (συ ημ ημ συ ημ συ συ ημ ημ ημ συ lm κι lm f ( f ( lm ημ συ συ συ 5 Η συάρτηση f(συ είι πργωγίσιμη κι ( σ υ ' η µ Σελίδ 4 (ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ: Πράγμτι γι κάθε οπότε Δηλδή f ( f ( συ( συ IR κι ισχύει: συ συ ημ ημ συ συ ημ συ ημ f ( f ( συ ημ lm lm συ lm ημ συ ημ ημ ( συ ημ 6 Α οι συρτήσεις fg είι πργωγίσιμες στο o Δ τότε κι η συάρτηση f g είι πργωγίσιμη στο o κι ισχύει ( f g ( f ( g ( Σελίδ 9 o o o Γι ισχύει: (f g( (f g( f ( g( f ( g( f ( f ( g( g( Επειδή οι συρτήσεις f g είι πργωγίσιμες στο έχουμε:

7 Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης δηλδή Α οι συρτήσεις (f g( (f g( f ( f ( g( g( lm lm lm f ( g ( f g ( f ( g ( ( f g είι πργωγίσιμες σ έ διάστημ Δ τότε γι κάθε Δ ισχύει: ( f g ( f ( g ( Το πρπάω θεώρημ ισχύει κι γι περισσότερες πό δύο συρτήσεις Δηλδή f f είι πργωγίσιμες στο Δ τότε f k ( f f f k ( f ( f ( f k ( 7 Η συάρτηση f ( IR * Ν * είι πργωγίσιμη κι ( Σελίδ 3 * Πράγμτι γι κάθε IR έχουμε: ( ( ( ( 8 Η συάρτηση f ( εφ είι πργωγίσιμη στο IR IR { συ } κι ( ε φ Σελίδ 3 σ υ Πράγμτι γι κάθε IR έχουμε: (εφ ημ συ συ ημ συ συ (ημ συ ημ(συ συ συσυ ημημ συ 9 Η συάρτηση f ( σ φ είι πργωγίσιμη στο IR IR { ημ } κι ( σ φ η µ Σελίδ 3 Η συάρτηση f ( ( IR-Z είι πργωγίσιμη κι ( Σελίδ 34

8 Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης Πράγμτι y ln e κι θέσουμε u ln (> τότε έχουμε Επομέως u u ln y (e e u e (γι > u y e Η συάρτηση f( (> κι είι πργωγίσιμη κι ισχύει ( ln Σελίδ 34 Πράγμτι Επομέως y e ln κι θέσουμε u ln τότε έχουμε u y e ' y (e u ' e u ' u e ln ln ln Γι κάθε R * ισχύει: (ln Σελίδ 35 Πράγμτι > τότε (ln (ln εώ < τότε ln ln( οπότε θέσουμε y ln( κι u έχουμε y ln u Επομέως y (ln u u ( u κι άρ (ln 3 Α μι συάρτηση f είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι f ( γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η f είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Σελίδ 5 Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε Πράγμτι Α τότε προφώς f ( f ( ισχύει f ( f ( Α < τότε στο διάστημ [ ] η f ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως υπάρχει ( τέτοιο ώστε ξ f f ( (ξ ( f (

9 Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f (ξ οπότε λόγω της ( είι f ( f ( Α < τότε ομοίως ποδεικύετι ότι f ( f ( Σε όλες λοιπό τις περιπτώσεις είι f ( f ( 4 Α δύο συρτήσεις fg Σελίδ 5 είι συεχείς σε έ διάστημ Δ κι f (g ( γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι κάθε Δ ισχύει: Η συάρτηση ισχύει f(g(c f g είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο ( f g ( f ( g ( Επομέως σύμφω με το πρπάω θεώρημ η συάρτηση f g είι στθερή στο Δ Άρ υπάρχει στθερά C τέτοι ώστε γι κάθε Δ ισχύει f ( g( c οπότε f ( g( c 5 Έστω μι συάρτηση f συεχής σε έ διάστημ Δ Α f (> γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η f είι γησίως ύξουσ σε όλο το Δ Σελίδ 53 6 Έστω μι συάρτηση f συεχής σε έ διάστημ Δ Α f (< γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η f είι γησίως φθίουσ σε όλο το Δ Σελίδ 53 Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι f ( > Έστω με < Θ δείξουμε ότι f ( < f ( Πράγμτι στο διάστημ [ ] η f ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως υπάρχει ξ ( τέτοιο f ( f ( ώστε f (ξ οπότε έχουμε f ( f ( f (ξ( Επειδή f (ξ > κι > έχουμε f ( f ( > οπότε f ( < f ( Στη περίπτωση που είι f ( < εργζόμστε λόγως

10 Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης 7 (Fermat Α μι συάρτηση f:δ R προυσιάζει στο εσωτερικό σημείο o του διστήμτος Δ τοπικό κρόττο κι είι πργωγίσιμη στο o τότε f ( o Σελίδ 6 Ας υποθέσουμε ότι η f προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η f προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο υπάρχει δ > τέτοιο ώστε ( δ δ κι f ( f ( γι κάθε ( δ δ ( Επειδή επιπλέο η f είι πργωγίσιμη στο ισχύει f ( f ( lm f ( lm f ( Επομέως f ( ( δ τότε λόγω της ( θ είι f ( f ( οπότε θ έχουμε f ( f ( f ( lm ( ( δ τότε λόγω της ( θ είι f ( f ( οπότε θ έχουμε f ( f ( f ( lm (3 Έτσι πό τις ( κι (3 έχουμε f ( Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη y f( O δ δ 3 8 Έστω f μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της f στο διάστημ Δ τότε όλες οι συρτήσεις της μορφής G(F(c c IR είι πράγουσες της f στο Δ κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρει τη μορφή G(F(c c IR Σελίδ 34 Κάθε συάρτηση της μορφής G ( F( c όπου c είι μι πράγουσ της f στο Δ φού G ( (F( c F ( f ( γι κάθε Δ Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της f στο Δ Τότε γι κάθε κι G ( f ( οπότε Δ ισχύου F ( f (

11 Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης G ( F ( γι κάθε Δ Άρ σύμφω με το πόρισμ της 6 υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε G ( F( c γι κάθε 9 (ΘΘΟΛ Έστω f μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [β] Α G είι μι πράγουσ της f στο [β] τότε β f ( t dt G( β G( Σελίδ 334 Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ η συάρτηση F ( f (tdt είι μι πράγουσ της f στο [ β ] Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της f στο [ β] θ υπάρχει c Από τη ( γι Επομέως G ( F( G( οπότε γι β έχουμε τέτοιο ώστε G ( F( c ( έχουμε ( F( c f (tdt c G(β F(β G( f (tdt G( κι άρ β β G c οπότε c G( f (tdt G(β G( ΕΠΙΣΗΣ προσοχή στη ΕΠΟΠΤΙΚΗ πόδειξη του Θεωρήμτος (σελ 34 γι f ( >