Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace."

Transcript

1 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα σ ένα ηλεκτρικό κύκλωµα, οι ταλαντώσεις παλλόµενου ελατηρίου, η ροή θερµότητας σε µονωµένο αγωγό κλπ Αυτές οι εξισώσεις σε συνδυασµό µε τις αρχικές συνθήκες περιγράφουν την κατάσταση του συστήµατος κάθε χρονική στιγµή Μια σηµαντική µέθοδος για την επίλυση τέτοιων προβληµάτων είναι και η µέθοδος του µετασχηµατισµού Lplce Ο µετασχηµατισµός Lplce είναι σηµαντικός διότι: εφαρµόζεται σε µια µεγάλη ποικιλία συναρτήσεων και σε συναρτήσεις/σήµατα βραχέας ή και στιγµιαίας διάρκειας Επιλύει προβλήµατα αρχικών συνθηκών σε µη οµογενείς γραµµικές δε µε σταθερούς συντελεστές όπου ο σταθερός όρος µπορεί να µην είναι συνεχής αλλά µια γενικευµένη συνάρτηση, όπως πχ η συνάρτηση Dirc 5 Ορισµός µετασχηµατισµού Lplce Ορισµός 5 Εστω f :, [ ) Lplce της f, συµβολικά L ( f ) τη συνάρτηση Καλούµε µετασχηµατισµό b = = = F L f f() e d lim f() e d, (5) b η οποία ορίζεται για όλες τις τιµές του για τις οποίες το µη γνήσιο ολοκλήρωµα της f () e συγκλίνει Παρατηρήσεις (α) Ο µετασχηµατισµός Lplce ορίζεται και για f :, ως µιγαδικές συναρτήσεις [ ) ( Re ) ( Im) L f = L f + i L f 3

2 Επίσης ο µετασχηµατισµός Lplce επεκτείνεται και για όλες τις τιµές του για τις οποίες το µη γνήσιο ολοκλήρωµα της f () e συγκλίνει Στο εξής για απλότητα θεωρούµε πραγµατικές συναρτήσεις f και (β) Ο µετασχηµατισµός Lplce απεικονίζει µια συνάρτηση f F = F ορισµένη στο πεδίο του χρόνου σε µια νέα συνάρτηση στο πεδίο συχνοτήτων ηλαδή: f L F (β) Εφόσον ο µετασχηµατισµός Lplce απεικονίζει συναρτήσεις σε συναρτήσεις, είναι λογικό να αναρωτηθούµε αν υπάρχει αντίστροφος µετασχηµατισµός L Πράγµατι, υπό κατάλληλες συνθήκες υπάρχει αντίστροφος µετασχηµατισµός L όπως θα δούµε παρακάτω Τότε γράφουµε: f F Μια ικανή συνθήκη ύπαρξης του µετασχηµατισµού Lplce δίνει το ακόλουθο: Θεώρηµα 5 Εστω f :, [ ) είναι: (i) τµηµατικά συνεχής συνάρτηση (δηλαδή είναι συνεχής παντού πλην πεπερασµένου πλήθος σηµείων,, N για τα οποία υπάρχουν τα πλευρικά όρια lim f και lim f, i=,, N και είναι πεπερασµένα) και + i (ii) εκθετικής τάξης α (δηλαδή, είναι πραγµατικές σταθερές µε M, c > ) i f Me > c, όπου M, c, Τότε ο µετασχηµατισµός Lplce της f ορίζεται για κάθε > και µάλιστα ισχύει: lim F = Απόδειξη Εφόσον f Me c >, έχουµε: 33

3 () () c f () e d= f e d+ f e d To πρώτο ολοκλήρωµα είναι καλά ορισµένο, διότι η f e ολοκληρώσιµη ως τµηµατικά συνεχής συνάρτηση στο [,c ] Για το δεύτερο ολοκλήρωµα έχουµε: c ( ) ( ) Me f () e d Me d =, > c c c είναι Aρα το δεύτερο ολοκλήρωµα συγκλίνει απόλυτα (άρα συγκλίνει) µόνον για > Το γεγονός ότι lim F = είναι εύκολο Ας υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό Lplce ορισµένων στοιχειωδών συναρτήσεων :, : = f [ ) f Tότε: Αρα: e e d =, = > L () =, > f f = :, [ ) : Mε ολοκλήρωση κατά παράγοντες παίρνουµε e e e d = e d, + = = > Yπενθυµίζουµε εδώ ότι e, (, n ) lim n = > όπως µπορεί εύκολα να δειχθεί µε εφαρµογή του κανόνα L Hopil n φορές Αρα e = e = > Tελικά: lim lim 34

4 L () =, > Σηµείωση Μπορεί να αποδειχθεί επαγωγικά ότι n! L =, >, n n n +, ( ) f :, [ ) : f() =ηµ ( ) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες παίρνουµε ηµ e I = ηµ ( ) e d = + συν ( ) e d ( ) συν e = ηµσυν ( ) e d I = I I =, + > Υπενθυµίζουµε ότι lim ηµ ( ) e = και συν ( ) e =, ( > ) lim µε χρήση του κριτηρίου παρεµβολής Αρα: L ( ηµ ( ) ) =, + >, f :, [ ) : f() = συν ( ) Εργαζόµαστε όπως στην περίπτωση του ηµ και βρίσκουµε L ( συν ( ) ) =, + > 35

5 f :, [ ) : f() = e ( ) Τότε: Tελικά: ( ) ( ) e e e d = e d = =, > L ( e ) =, > Ασκήσεις Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των συναρτήσεων f = e, Απ F f =, Απ F u () = e < Απ F 53 Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Lplce =, > ( ) 4e + =, > e e = +, > Αν εξαιρέσουµε κάποιες στοιχειώδεις συναρτήσεις των οποίων ο µετασχηµατισµός Lplce υπολογίζεται από τον τύπο (5) µε απ ευθείας ολοκλήρωση, για συναρτήσεις µε πιο πολύπλοκο τύπο τα πράγµατα δυσκολεύουν Απ την άλλη µεριά ένα κριτήριο χρησιµότητας ενός µετασχηµατισµού είναι αν υπάρχουν ιδιότητες αυτού που να διευκολύνουν τους υπολογισµούς Στην ενότητα αυτή αναφέρουµε τέτοιες ιδιότητες του µετασχηµατισµού Lplce A Γραµµικότητα Θεώρηµα 5 Εστω f, g :[, ) Lplce L ( f ) και ( g ) µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης f bg, (, b ) ισχύει έχουν µετασχηµατισµούς L αντιστοίχως Τότε ορίζεται και ο ± και 36

6 ( f ± bg ) = ( f ) ± b ( g ) L L L για κάθε στο κοινό πεδίο ορισµού των L ( f ) και ( g ) L Απόδειξη Αµεση συνέπεια του τύπου 5 και της γραµµικότητας του ολοκληρώµατος Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των f () inh g () coh h () = ηµ για συναρτήσεων =, = και,, b Λύση Λόγω γραµµικότητας έχουµε e e L( f ) = L( inh( ) ) = L = L( e ) L ( e ) Επειδή, L ( e ) = > και L e =, > + (βλέπε προηγούµενη ενότητα), παίρνουµε Tελικά: L ( inh ( ) ) = =, > + L ( inh ( ) ) =, > Mε παρόµοιο τρόπο υπολογίζουµε e + e L( f ) = L coh( ) = L = L e + L e = + =, > + Tελικά: L ( coh ( ) ) =, > 37

7 Τέλος για την h ηµ ( ) = έχουµε ( ) συν L( h) = L ( ) = L = L L ( ηµ ) ( () ( συν ( )) ) =, = > Β Μετάθεση στο πεδίο των συχνοτήτων Θεώρηµα 53 Εστω f :, [ ) L ( f ) = F >, ( ) Τότε ορίζεται και ο µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης έχει µετασχηµατισµό Lplce f e b b b και ισχύει L f () e = F b, > + b Απόδειξη Αµεση απ τον τύπο (5) Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των () b b f e inh h () = e ηµ για συναρτήσεων = και,, b Λύση Από το προηγούµενο παράδειγµα έχουµε L ( inh ( ) ) =, > Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα 53 παίρνουµε L e inh = L inh b =, b> b ( ) ( ) b Τελικά: L e inh =, > b+ b ( ) b b Mε παρόµοιο τρόπο εργαζόµαστε για την h () e ηµ ( ) = Είδαµε 38

8 στο προηγούµενο παράδειγµα ότι Τότε L ( ηµ ( ) ) =, > ( + 4 ) b L ( e ηµ ( ) ) =, b> b b + ( 4 ) Γ Μετάθεση στο πεδίο του χρόνου Θεώρηµα 54 Εστω f :, [ ) L ( f ) = F, >, ( ) Τότε ορίζεται και ο µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης έχει µετασχηµατισµό Lplce και ισχύει ( ) f b b g() =,, b> < b ( ) b, L g = e F > Απόδειξη Αµεση απ τον τύπο (5) Σηµείωση Εστω, > b ub () =,, b>, < b είναι η µοναδιαία συνάρτηση βήµατος Ηeviide Για f όπως στο θεώρηµα 54, η παραπάνω ιδιότητα γράφεται ως εξής: ( ) b b, L u f b = e F > ιαστολή/στάθµιση Τότε ορίζεται και ο µετασχηµα- Θεώρηµα 55 Εστω f :, [ ) L ( f ) = F, >, ( ) τισµός Lplce της συνάρτησης έχει µετασχηµατισµό Lplce f b b> και ισχύει 39

9 L ( f ( b) ) = F, > b b b Απόδειξη Από τον τύπο (5), µε αλλαγή µεταβλητής b = έχουµε y / b L ( f ( b) ) = f ( b) e d = f ( y) e dy b y y b = f ye dy F, b = > b b b Ε Momen Θεώρηµα 56 Εστω f :, [ ) είναι τµηµατικά συνεχής και εκθετικής τάξης ( ) συνάρτηση µε µετασχηµατισµό Lplce L ( f ) = F, > Τότε oρίζεται και ο µετασχηµατισµός n Lplce της συνάρτησης f() ( n ) και ισχύει Aπόδειξη Για n = έχουµε n n ( n) L f() = ( ) F (), > F = f e d = f e d = F ( () ) (), (λόγω οµοιόµορφης σύγκλισης του ολοκληρώµατος ως προς ) Αρα η πρόταση ισχύει για n = Στη συνέχεια εργαζόµαστε επαγωγικά Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της f () = συν για, συνάρτησης Λύση Λαµβάνοντας υπόψη το θεώρηµα 56 και το γεγονός ότι L + ( συν ( ) ) = F =, > όπως είδαµε σε προηγούµενο παράδειγµα, παίρνουµε 4

10 ( συν ( ) ) ( ) F L = =, = > + + Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης f () = e για, Λύση Λαµβάνοντας υπόψη το θεώρηµα 56 και το γεγονός ότι L e = F =, > όπως είδαµε σε προηγούµενο παράδειγµα, παίρνουµε L ( e ) = ( ) F = =, > 3 ΣΤ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ στο πεδίο του χρόνου Θεώρηµα 57 Εστω f :, [ ) είναι τµηµατικά συνεχής και εκθετικής τάξης ( ) συνάρτηση µε µετασχηµατισµό Lplce L ( f ) = F, > Τότε ορίζεται και ο µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης g() = f ( u) du και µάλιστα F ( ) { } L f udu =, > mx, Απόδειξη Αµεση απ τον τύπο (5) Ζ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ στο πεδίο των συχνοτήτων Θεώρηµα 58 Εστω f :, [ ) και έχει µετασχηµατισµό Lplce L ( f ) = F, ( ) f υπάρχει το όριο lim Lplce της συνάρτησης είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη > Αν, τότε ορίζεται και ο µετασχηµατισµός f και µάλιστα 4

11 () f L = F( ω) dω, > Απόδειξη Ξεκινούµε απ το δεξιό µέλος της παραπάνω χρησιµοποιώντας τον τύπο (5) Θεώρηµα 59 Εστω f :, [ ) Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ είναι n φορές παραγωγίσιµη ( n) µε παραγώγους f,, f εκθετικής τάξης και τµηµατικά συνεχή ( n) παράγωγο f για κάθε Αν F = L ( f ), > είναι ο µετασχηµατισµός Lplce της f, τότε ορίζεται ο µετασχηµατισµός ( k Lplce των παραγώγων συναρτήσεων f ), k =,, n και ισχύει ( k) k k ( k ) k L f = L f f f f, > Απόδειξη Χρησιµοποιούµε παραγοντική ολοκλήρωση n φορές στον τύπο (5) Σηµείωση Στην περίπτωση κατά την οποία η f είναι ασυνεχής στο µηδέν όπως πχ η συνάρτηση Heviide, συνήθως επεκτείνουµε τον ορισµό του µετασχηµατισµού Lplce ως εξής: lim L = f f e d ε ε Στην περίπτωση αυτή το θεώρηµα 59 γράφεται ως εξής: ( k) k k ( ( k ) ) k ( ) ( ) L f = L f f f f, > έχει τµηµατικά συνεχή παράγωγο και είναι εκθετικής τάξης Τότε Πόρισµα 5 (αρχικού σηµείου) Εστω f :, [ ) ( F ) f lim = Παράδειγµα Εστω παραγωγίσιµη συνάρτηση y :, [ ) ικανοποιεί το πρόβληµα αρχικών τιµών που 4

12 y + y= e y = 3 Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της y Λύση Παίρνουµε το µετασχηµατισµό Lplce και στα δυο µέλη της δε και έχουµε 3 3 ( y + y) = ( e ) ( y ) + ( y) = ( e ) L L L L L Επειδή ( y ) = ( y) y L L και ( e ) 3 L =, > 3 έχουµε + 3 L ( y) y + L ( y) = + L y =, > L =, >3 ( y) ( + )( + 3) Παράδειγµα Εστω συνάρτηση y :, [ ) πρόβληµα αρχικών τιµών y + y 3y= y = y = Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της y που ικανοποιεί το Λύση Παίρνουµε το µετασχηµατισµό Lplce και στα δυο µέλη της δε και έχουµε ( y + y 3y) = ( y ) + ( y ) 3 ( y) = L L L L L L Επειδή L( y ) = L ( y) y y και ( y ) = ( y) y L () =, >, έχουµε ( ) L L και L y y y + L y y 3 L y =, > 43

13 ( ) L y + L y 3 L y =, > L + y = + + > ( y) 3 5, + 5+ L =, > ( )( + 3) Θ ΣΥΝΕΛΙΞΗ Ορισµός 5 Εστω f, g :[, ) είναι τµηµατικά συνεχείς συναρτήσεις σε κάθε διάστηµα [, ], > Καλούµε συνέλιξη των f, g, συµβολικά f g να είναι η συνάρτηση () f g = f ω g ω dω Η παραπάνω είναι καλά ορισµένη Με χρήση του ορισµού η συνέλιξη ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: f g = g f (αντιµεταθετική) ( f g) h = f ( g h) (προσεταιριστική) f ( g + h) = f g + f h (επιµεριστική) Θεώρηµα 5 Εστω f, g :[, ) και εκθετικής τάξης συναρτήσεις και L ( f ), ( g ) είναι τµηµατικά συνεχείς L είναι οι µετασχηµατισµοί Lplce των f και g αντιστοίχως Τότε ορίζεται ο µετασχηµατισµός Lplce της f g και ισχύει, L f g = L f L g > Απόδειξη Ξεκινούµε απ το δεύτερο µέλος και θυµόµαστε ότι g u = u< Εχουµε, u ( ) L f L g f e d g u e du = 44

14 u ( ) () () u ( + ) g u e du f e d f g u e dud = = Θέτουµε (για το εσωτερικό ολοκλήρωµα) u+ = w και έχουµε () () u ( + ) w f g u e dud = f g w e dwd Επειδή όµως g( w ) =, w< µπορούµε να γράψουµε w () ( ) = () ( ) w f g w e dwd f g w e dwd w Λόγω απόλυτης σύγκλισης του διπλού ολοκληρώµατος µπορούµε να εναλλάξουµε την ολοκλήρωση και έχουµε w ( ) = ( ) w f g w e dwd f g w e ddw w w () () w w w f g w e ddw f g w d e dw = = ( f g) = L Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της συνέλιξης ( b e e ) για,, b Λύση Εχουµε L b b e e = L e L e =, > mx {, b} b Παράδειγµα Για y :, [ ) συνεχή, υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της ολοκληρωτικής εξίσωσης Λύση Εχουµε () = + ( ) y e yω ηµ ω dω ( ω ηµ ω ω) ( ηµ ) L y = L e + L y d = L e + L y L 45

15 + L( y) = + L( y) L ( y) =, > Θεώρηµα 5 Εστω f :, [ ) Ι ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑ R είναι τµηµατικά συνεχής και εκθετικής τάξης T -περιοδική συνάρτηση Τότε ο µετασχηµατισµός Lplce της f ικανοποιεί τη σχέση T L ( f ) = f () e d, > T e Απόδ Χρησιµοποιούµε τον ορισµό και την περιοδικότητα της f Ασκήσεις Με χρήση ιδιοτήτων υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των παρακάτω συναρτήσεων για : f () = + Απ F () =, + > 3 f () = + 3ηµ Απ F () = +, > 3 + () = + Απ F () = +, > f ηµ συν f () = + Απ F () = +, > 3 f () = e Απ F () =, > ( ) f () e ηµ ( 5) = Απ 5 F () =, > ( ) 5 = Απ F () =, + 5+ > f () e ηµ ( 5) 46

16 3 f () = e συν Απ 3 F () =, > 3 + ( 3) e e f () =, f περιοδική Απ F () =, > e, < < f() =,, < < f περιοδική Απ e e + F () =, > ( e ) Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των ακολούθων προβληµάτων αρχικών τιµών y + y= y = Απ F = ( + ) y + y=συν y = 3 y + 4y= = = y y y + y + y= e y = y = Απ F Απ F = F ( + ) = + 4 Απ = ( + ) ( ) 3 Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των ολοκληρωτικών εξισώσεων + y () = + y( ω) συν ( ω) dω Απ F = + e = y( ω) y( ω) dω Απ F = ±, > ( ) 47

17 54 Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce Ορισµός 53 Εστω F: A : F = F Αν υπάρχει f :, : f = f() L f = F, τότε η συνάρτηση [ ) τέτοια ώστε f καλείται αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce της F και γράφουµε f = L F Παρατηρήσεις (α) εν ορίζεται πάντοτε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce συνάρτησης F (β) Αν µια συνάρτηση f έχει µετασχηµατισµό Lplce F = F(),, τότε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce της F ορίζεται µέσω του τύπου ir f () = γ lim e F d π i +, R γ ir όπου γ οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός που εκλέγεται έτσι ώστε η κατακόρυφος Re = γ να περιέχει όλους τους πόλους της F στο αριστερό της µέρος Ο τύπος αυτός είναι ο τύπος αντιστροφής του µετασχηµατισµού Lplce και η χρήση του απαιτεί γνώσεις µιγαδικής ανάλυσης Στο εξής για την εύρεση του αντιστρόφου µετασχηµατισµού Lplce θα χρησιµοποιούµε ιδιότητες που θα αναπτύξουµε παρακάτω (γ) Οσον αφορά στο ερώτηµα αν υπάρχουν δυο διαφορετικοί αντίστροφοι µετασχηµατισµοί Lplce που αντιστοιχούν στην ίδια συνάρτηση f, η απάντηση είναι πως όχι αν η αρχική συνάρτηση f είναι συνεχής Εστω FG, είναι οι µετασχηµατισµοί Lplce δυο συναρτήσεων f, g :[, ) Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων του µετασχηµατισµού Lplce αποδεικνύονται άµεσα οι ακόλουθες ιδιότητες του αντίστροφου µετασχηµατισµού Lplce: Α Γραµµικότητα ( F ± bg) = ( F ) ± b ( G) L L L 48

18 Πράγµατι: ( F ± bg) = ( ( f ) ± b ( g )) = ( ( f ± bg ) ) L L L L L L Β Μετάθεση στο πεδίο συχνοτήτων ( ( f bg )) f bg ( F ) b ( G) = ± = ± = ± L L L L Πράγµατι: ( ) b L F b = f() e, ( ) ( b ) b L F b = L L f() e = f() e Γ Μετάθεση στο πεδίο χρόνου L ( b e F )( ) = u f( b), (, b> ) b ιαστολή Ε Momen ( )() L F b = f,, b> b b L ( ) n F n = n f, ΣΤ Αντιπαράγωγος ( ( ω) ω) f F d L =, Ζ Συνέλιξη ( ) = () L F G f g Παράδειγµα Να βρεθεί ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης F = + 9 Λύση Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του αντίστροφου 49

19 µετασχηµατισµού Lplce και λαµβάνοντας υπόψη το µετασχηµατισµό Lplce των στοιχειωδών συναρτήσεων συν ( ) και ηµ ( ) έχουµε L = συν = ( 3) ηµ ( 3 ), + 9 L + 9 L + 9 Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης F () = 3+ Λύση Χρησιµοποιούµε τη µέθοδο ανάλυσης σε απλά κλάσµατα Εχουµε A B = = + 3+ ( )( ) Τότε: A+ B= A= = A( ) + B( ) (5) A B= B= Σηµείωση Στην παραπάνω σχέση = A( ) + B( ) (βλέπε (5)) µπορούµε να θέσουµε κατευθείαν =, οπότε = A( ) + B() A=, =, οπότε = A( ) + B() B= Μ αυτόν τον τρόπο υπολογίζουµε πιο γρήγορα και εύκολα τους συντελεστές A και B Τελικά: F () = = + L = L L e e, L = + = + Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης F () =, > 5

20 Λύση Εφόσον έχουµε F () = = L ( F) = L e, = ( 3), Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης F () = +, > 3 Λύση Εχουµε F () = + = = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Αρα e L ( F) = L e, L 3 = ( + ) ( + ) Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης F () = + 5 Λύση ος τρόπος: Το τριώνυµο του παρονοµαστή έχει αρνητική διακρίνουσα Με συµπλήρωση τετραγώνων παίρνουµε Αρα = + 5 ( ) + 4 L ( F) = L = = eηµ ( ), ( ) + 4 ( ) + 4 L ος τρόπος (προϋποθέτει γνώσεις µιγαδικής ανάλυσης): Eργαζόµαστε µε τη µέθοδο των απλών κλασµάτων Ετσι έχουµε 5

21 A B = = + 5 ( ) + + i i + i i ( ) = A i + B + i, AB,, Στην παραπάνω ισότητα θέτουµε όπου καθεµιά από τις ρίζες του τριωνύµου: Τότε =, οπότε ( ) ( ) i i i = B( i + i ) B= =, 4i 4 i = A( + i i ) A= = 4i 4 = +, οπότε L ( F ) i i = 4 L + ( + i) 4 L ( i) i i i i ( i ) ( i ) ie ( e e + ) i i iee iee = e + e = + = i i Aπό τον τύπο Euler έχουµε e e iηµ L = Άρα ie iηµ i eηµ eηµ, = = = Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης F () =, > ( ) Λύση Με ανάλυση σε απλά κλάσµατα έχουµε A B F () = = + + Γ ( ) ( ) 5

22 Στην (53) θέτουµε = A + B +Γ (53) = (απλή ρίζα παρονοµαστή), οπότε A = = (διπλή ρίζα παρονοµαστή), οπότε Γ = Πως θα βρούµε όµως τη σταθερά B ; Παραγωγίζουµε την (53) και αντικαθιστούµε τις τιµές των A και Γ που βρήκαµε Ετσι έχουµε A=, Γ= = A + B + B+Γ = + B + B+ Στη συνέχεια για πχ = βρίσκουµε άµεσα B = Ετσι L F = L + L + L = + e + e, ( ) Ασκήσεις Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce των: F () =, Re() >6 + 6 F () = + 5 Απ L ( F) Απ L ( F ) = e 6 ηµ = ( 5 ) F () = Απ L ( F ) συν = 3 F () = + + Απ L / 3 F = e ηµ 3 53

23 55 Εφαρµογή του µετασχηµατισµού Lplce στην επίλυση διαφορικών και ολοκληρωτικών εξισώσεων Μια σηµαντική εφαρµογή του µετασχηµατισµού Lplce εµφανίζεται στην επίλυση γραµµικών διαφορικών εξισώσεων και ολοκληρωτικών εξισώσεων µε σταθερούς συντελεστές Η διαδικασία είναι η εξής: υπολογίζουµε το µετασχηµατισµό Lplce της άγνωστης συνάρτησης y και στη συνέχεια υπολογίζουµε την y µέσω του αντιστρόφου µετασχηµατισµού Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών y y=, y = Λύση Εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Lplce και στα δυο µέλη της δε και έχουµε ( y y) ( y ) ( y) L = L() L L = L () L( y) y() L( y) = L () Αρα ( ) L( y) = y() + L() + L ( y) =, > ( ) + y () = L ( ) Αναλύουµε το µετασχηµατισµό Lplce σε απλά κλάσµατα και έχουµε + A B = + A( ) + B= + ( ) Για = στην παραπάνω ισότητα βρίσκουµε B = 3/ Για = στην παραπάνω ισότητα βρίσκουµε A = / Ετσι ( ) L = L + L = + e, 54

24 Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών y + x= x =, x y= y = Λύση Εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Lplce ταυτόχρονα και στις δυο παραπάνω ισότητες και έχουµε L( y ) + L( x) = L L( x ) L( y) = L() L( y) y() + L( x) = L L( x) x() L( y) = L() L( y) + L( x) = L + L( x) L( y) = L() + L( x) + L( y) = + L( x) L( y) = L( x) = ( + ) L( y) = + 3 Αλλά: L y = y= = + L + L + L + y= ηµ συν Για τη x εργαζόµαστε µε τη µέθοδο απλών κλασµάτων και βρίσκουµε x = + συν+ ηµ Τελικά: x= + συν+ ηµ, y= ηµ συν Παράδειγµα Να λυθεί η ολοκληροδιαφορική εξίσωση 55

25 Λύση Εστω y () ( ω) ω ω y = e + y e d, = c Τότε έχουµε ( ω) ω ( ω) L y = L e + L y e d = L e + L y L e ( c+ + )( ) L( y) y = + L( y) L ( y) = + + ( y) ( c+ + )( ) ( )( + ) L =, > Με ανάλυση σε απλά κλάσµατα παίρνουµε: ( c+ + )( ) A B Γ = + + ( )( + ) + ( + ) ( c )( ) A( ) B( )( ) ( ) + + = Γ (54) Για = παίρνουµε A ( c ) = + 3/9 Για = παίρνουµε Γ = c /3 Παραγωγίζουµε την (54) και έχουµε ( c ) ( ) A( ) B ( ) ( ) οπότε για πχ L ( y) = Γ, = παίρνουµε B ( c) c+ 3 6c c = = 6 /9 Αρα: c+ 3 6c c y = L + L + L ( + ) c+ 3 6c c y= e + e + ηµ 56

26 Ασκήσεις Να λυθούν οι κάτωθι δε µε χρήση του µετασχηµατισµoύ Lplce y + y= y = y + y=συν y = 3 y + y=συν y = 3 + = + = = y y y y + + = = = y y y ( ) e y y Απ y= 3e + Απ y= e + συν+ ηµ Απ y= e + συν+ ηµ Απ y= + + συν ηµ e 8 Απ y= ( 7+ e + 4e + e ) Με χρήση του µετασχηµατισµoύ Lplce να λυθούν τα ακόλουθα συστήµατα δε y + x= x =, x y= y = Απ () = x = y x + y= x =, x y = y = x = 3 x + y =, x = x y= e y = x = 3ηµ Απ y () = + 3συν 6+ e + συν3ηµ x () = 6 Απ e + συν+ 3ηµ y () = 57

27 56 O τελεστής Dirc Ο τελεστής ή «γενικευµένη συνάρτηση» Dirc µοντελοποιεί µε µαθηµατικό τρόπο ξαφνικές και στιγµιαίες φυσικές µεταβολές όπως πχ το στιγµιαίο χτύπηµα µε σφυρί σε σύστηµα µάζαςελατηρίου ή την ξαφνική αλλαγή τάσης λόγω κεραυνού Συνήθως η «γενικευµένη συνάρτηση» Dirc ορίζεται ως εξής: δ b (), b =, b, " ", = b όπου ο συµβολισµός " " έχει την έννοια ότι στο x = η δέλτα είναι όσο άπειρη χρειάζεται ώστε το εµβαδόν E κάτω από το γράφηµά της να ισούται µε τη µονάδα (υπό µια έννοια E = ( ) = ) Πιο αυστηρά, ο τελεστής Dirc ορίζεται «φορµαλιστικά» από τη σχέση () δ () = f b d f b, για κάθε συνάρτηση f µε παραγώγους κάθε τάξης στο οι οποίες φθίνουν γρήγορα στο άπειρο Με τον ορισµό αυτό ο τελεστής δέλτα απεικονίζει σε κάθε «καλή» συνάρτηση f, έναν αριθµό, την τιµή της f στο σηµείο b Ετσι, για κάθε b > ορίζουµε: b δ L = δ e d = e, > Ειδικά για b = ορίζουµε b b Προφανώς: L ( δ ) δ = e d = δ δ = b b Σηµειώνουµε ότι αν ub, b είναι η µοναδιαία συνάρτηση βήµατος Ηeviide, τότε b e L ( ub ) =, > 58

28 Η συνάρτηση Γάµµα Ας θυµηθούµε ότι n n! n n! L ( ) = e d = n+ n+ Για να επεκτείνουµε το παραπάνω αποτέλεσµα και για µη ακεραίους εκθέτες ας θεωρήσουµε ότι x x L = e d, x> Θεωρούµε x >, διότι για x το µεταβλητής y=, > παίρνουµε lim x e d + = Με αλλαγή L x y y x y ( ) = e dy y e dy x+ = Η συνάρτηση x y Γ x = y e dy, x> καλείται Γάµµα συνάρτηση Τότε: x ( x ) x x y Γ + L ( ) = y e dy=, x>, > x+ x+ H συνάρτηση γάµµα επεκτείνεται και σε όλους τους µιγαδικούς αριθµούς αρκεί να µην είναι αρνητικοί ακέραιοι,, 3, Ικανοποιεί δε την ( x ) x ( x) Γ + = Γ, δηλαδή είναι µια γενίκευση του παραγοντικού Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών: Λύση Εχουµε: y + y= u, y =, y =, > 59

29 ( ) ( ) L y + y = L u L y y y + L y = e e ( + ) L( y) = + L ( y) = L ( y) = + e + + ηµ συν y = + u, >, e ή ισοδύναµα () y ηµ < = ηµ + ( συν ( ) ) > Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών:, < π y + y=, y = y = > π Λύση Μπορούµε να γράψουµε: συνεπώς:, < < π u () uπ () =, > π ( π ) L L ( π ) y + y= ηµ u u y + y = u u ( ) e L y y y + L y = π e π L ( y) = = ( e ) + + ( ) L = π π ( y) e e ( συν ) συν ( π ) π y= u + u, π π 6

30 Aσκήσεις Να λυθούν τα προβλήµατα αρχικών τιµών y + y + y= δ π, y = y = Απ ( π y= u e ) ( ) y y y e δ y y + + = +, = = Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών y y y y e π ηµ π Απ = () + 3 ()( ) y u u e ( ), π + =, = = > π y= συν u u + u συν π, Απ π π 6

31 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LAPLACE ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Αρχική συνάρτηση f (), Μετασχηµατισµός Lplce F () = L f () f, > e, > ηµ ( ), > + inh( ), > συν ( ), > + coh( ), > n n n!, > + x, x> ( b ) δ, b ( x ) Γ + x, > + e b u, b b b e / n f() n ( n) ( ) F f + bg F() + bg() ub f ( b), b> b e F() e f() F ( ) f ( u) du F / f F( ω) dω ( n f ) () n n F () f() ( n) ( n) f () f () f g L( f ) L ( g ) ειναι T περιοδικη T f T () e d e 6

32 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LAPLACE ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Μετασχηµατισµός Lplce L ( f ) = F Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Lplce L F = f,, > e, >, > + ηµ ( ), > inh( ), > + συν ( ), coh( ) > n n!, > + n Γ ( x + ) x, > x, x> + b e, b δ b b e /, b u b F() + bg() f + bg b e F(), b ub f b F ( ) e f() n ( n) F > n f() F( ω ) dω f F/ f ( u) du F G f g () 63

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας. Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση.

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση. 3 Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ 3 H κυµατική εξίσωση Θα αναζητήσουµε το µαθηµατικό νόµο που διέπει την ταλάντωση ελαστικού νήµατος/χορδής για µικρές κατακόρυφες µετατοπίσεις Yποθέτουµε ότι η χορδή έχει οµοιόµορφη

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Κριτήριο Παρεμβολής. και. άρα από το παραπάνω κριτήριο παρεµβολής το l im f ( x) (x 1) 2 f (x) 2x (x 1) 2 2x (x 1) 2 f (x) 2x + (x 1) 2

Κριτήριο Παρεμβολής. και. άρα από το παραπάνω κριτήριο παρεµβολής το l im f ( x) (x 1) 2 f (x) 2x (x 1) 2 2x (x 1) 2 f (x) 2x + (x 1) 2 Κριτήριο Παρεμβολής Υποθέτουµε ότι κοντά στο µια συνάρτηση f εγκλωβίζεται ανάµεσα σε δύο συναρτήσεις h και g. Αν, καθώς το τείνει στο, οι g και h έχουν κοινό όριο l, τότε όπως φαίνεται και στο σχήµα, η

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC.

εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC. εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC. 1. Πρώτη µέθοδος περιγραφής του συστήµατος, µέσω ολοκληρωτικοδιαφορικών εξισώσεων. Έστω ένα κύκλωµα L,C,R εν σειρά µε πηγή τάσης. Το κύκλωµα αυτό το θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( ) 3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Στοιχειώδεις ειδικές συναρτήσεις Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Συµπλήρωµα στα παραδείγµατα που υπάρχουν στο Εγχειρίδιο του Μαθήµατος ρ. Α. Μαγουλάς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1 ης Τάξης.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1 ης Τάξης. . Γενικά. Εστω p pt Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις ης Τάξης. = είναι ένας (άγνωστος) αποµονωµένος πληθυσµός ενός βιότοπου τη χρονική στιγµή t. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε nt () γεννήσεις και mt () θανάτους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό aplace στοιχειωδών σηµάτων. αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού aplace. Σεραφείµ Καραµπογιάς 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0 Τρόποι Κατασκευής Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή L αποτελούν ένα ορθοκανονικό L ( ) ( ) (7) και πλήρες σύστημα συναρτήσεων ( ) m( ), m (8) και εάν τότε η εξίσωση Gree ( ) ( ) ( ) (9) z ()

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Νικόλαος. Ατρέας Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 6/7 Περιεχόµενα A. Ορολογία. 4 B. Χρήσιµα στοιχεία θεωρίας. 6 B. Πολλαπλά ολοκληρώµατα Riema. 6 B. Mη γνήσια ολοκληρώµατα Riema σε µη φραγµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ Όταν lim f ( ) =l, εννοούµε ότι οι τιµές f () βρίσκονται όσο θέλουµε κοντά στο l, για τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο. f () y f() y f() y 9 f ( ) =l f () l f() l

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann 3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα