papost/

Transcript

1 Δρ. Παντελής Σ. Αποστολόπουλος Επίκουρος Καθηγητής papost/ ΤΕΙ Ιονίων Νήσων, Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

2 Οπως είδαμε και σε προηγούμενα εδάφια, το Η/Μ κύμα είναι ουσιαστικά φως. Παρόλα αυτά το αντίστροφο δεν ισχύει δηλαδή το φως δεν είναι απαραίτητα κύμα. Η δυϊκή υπόσταση του φωτός, ως κύμα και ως σωματίδια τα οποία μεταφέρουν ενέργεια, είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί για να ερμηνευτεί το σύνολο των φαινομένων που σχετίζονται με την Η/Μ ακτινοβολία. Σχήμα 24. Για τα φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη διάδοση του φωτός σε διαφορετικά μέσα τα οποία διαχωρίζονται με ένα σύνορο (διαχωριστική επιφάνεια) ή σε μη ομογενή μέσα χρησιμοποιούμε την κυματική του φύση. Η προσέγγιση την οποία κάνουμε για το Η/Μ κύμα ως ακτίνα φωτός θεωρεί ότι οι ακτίνες του κύματος είναι ευθείες γραμμές οι οποίες είναι πάντοτε κάθετες στο μέτωπο του κύματος. Συνεπώς το Η/Μ κύμα (παρόλο που εκτείνεται στο χώρο) διαδίδεται σε μία ευθεία γραμμή στη κατεύθυνση των ακτίνων του.

3 Με βάση την προηγούμενη προσέγγιση, αλλά μην αγνοώντας την κυματική φύση του φωτός στα συγκεκριμένα φαινόμενα, έστω ότι Η/Μ ακτινοβολία διαδίδεται σε μέσο με ταχύτητα υ και συναντά διαχωριστική επιφάνεια μετά την οποία βρίσκεται μέσο άπειρης σύνθετης εγκάρσιας αντίστασης. Είναι προφανές ότι το Η/Μ κύμα θα ανακλαστεί πλήρως. Τότε είτε μέσω της παρατήρησης είτε θεωρητικά μπορούμε να δείξουμε ότι Σχήμα 1. θ 1 = θ 1 Ιδιότητες και Χαρακτηριστικά του Νόμου της Ανάκλασης 1 Η προσπίπτουσα, η κάθετος στη διαχωριστική επιφάνεια και η ανακλώμενη ακτίνα κείτονται στο ίδιο επίπεδο. 2 Η θ 1 καλείται γωνία πρόσπτωσης και η θ 1 γωνία ανάκλασης 3 Η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης

4 Άσκηση 1 Εστω η διάταξη δύο καθρεφτών M 1, M 2 του Σχήματος 2 οι οποίοι σχηματίζουν γωνία μεταξύ τους. Στον M 1 προσπίπτει ακτίνα φωτός υπό γωνία 65 0 ως προς την κάθετο. Υπολογίσατε τη γωνία ανάκλασης της ακτίνας ως προς την κάθετο του καθρέφτη M 2. Εάν η γωνία πρόσπτωσης είναι φ και η γωνία ( M 1, M 2 ) = θ ποια η ολική απόκλιση της προσπίπτουσας ακτίνας; Σχήμα 2

5 Λύση Οπως φαίνεται στο Σχήμα 25 και χρησιμοποιώντας το νόμο της ανάκλασης η γωνία που σχηματίζει η ανακλώμενη ακτίνα με το επίπεδο του M 1 είναι 25 0 ενώ η γωνία που σχηματίζει με το επίπεδο του M 2 είναι Συνεπώς η γωνία πρόσπτωσης στον M 2 είναι 55 0 που είναι ίση με την τελική γωνία ανάκλασης της αρχικής ακτίνας από τον καθρέφτη M 2. Σχήμα 2

6 Στην περίπτωση κατά την οποία η γωνία που σχηματίζουν οι καθρέφτες είναι τυχαία και ίση με θ τότε αν η γωνία πρόσπτωσης είναι φ διαπιστώνουμε ότι γ φ + θ = γ = φ θ. Επιπλέον για τις γωνίες της βάσης του τριγώνου με μπλε χρώμα λαμβάνουμε 90 0 φ και γ αφού αποτελούν μέρη γωνίας (η προσπίπτουσα και ανακλώμενη ακτίνα και οι προεκτάσεις των). Τελικά από το άθροισμα των γωνιών του μπλε τριγώνου α + 2(90 0 φ) + 2γ = α = 2θ και β = θ. Η γωνία β καλείται ολική γωνία ανάκλασης ή απόκλισης της προσπίπτουσας ακτίνας. Σχήμα 2

7 Νόμος της Διάθλασης Εχουμε δει ότι εάν το δεύτερο μέσο στο οποίο διαδίδεται ένα κύμα έχει πεπερασμένη σύνθετη εγκάρσια αντίσταση τότε η ταχύτητα του κύματος διαφοροποιείται και υφίσταται μερική ανάκλαση και μετάδοση στο δεύτερο μέσο. Ως Η/Μ κύμα, το φως έχει ακριβώς την ίδια συμπεριφορά. Εστω ότι η ταχύτητά του στο μέσο 1 είναι υ 1 και στο μέσο 2 είναι υ 2. Τότε η γωνία θ 2, ως προς την κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων, με την οποία διαδίδεται η ακτίνα φωτός στο μέσο 2 ικανοποιεί τη σχέση sin θ 2 sin θ 1 = υ 2 υ 1 Η τελευταία σχέση καλείται νόμος της διάθλασης. Από την μονοτονία της συνάρτησης του ημιτόνου διαπιστώνουμε ότι υ 1 < υ 2 θ 1 < θ 2 Σχήμα 3

8 Δείκτης Διάθλασης Είναι χρήσιμο να ορίσουμε έναν συντελεστή ο οποίος να περιγράφει τη μείωση της ταχύτητας του φωτός όταν αυτό διαδίδεται σε κάποιο μέσο συγκριτικά με την τιμή που έχει όταν διαδίδεται στο κενό. Ορίζεται ως δείκτης διάθλασης ο συντελεστής n = c υ Προφανώς ο δείκτης διάθλασης n είναι αδιάστατη ποσότητα και ισούται με τη μονάδα για το κενό. Μία από τις βασικότερες ιδιότητες του φαινομένου της διάθλασης είναι και το ότι η μεταβολή της ταχύτητας υ σημαίνει μεταβολή του μήκους κύματος λ ενώ η συχνότητα ν της Η/Μ ακτινοβολίας παραμένει σταθερή! Σχήμα 4

9 Με βάση την τελευταία ιδιότητα είναι θέμα πράξεων να δείξουμε ότι ν 1 = ν 2 λ 1 n 1 = λ 2 n 2 που δίνει τον τρόπο συσχέτισης του μήκους κύματος και του δείκτη διάθλασης της Η/Μ ακτινοβολίας σε δύο μέσα διάδοσης. Επιπλέον εάν το ένα μέσο είναι το κενό η σχέση αυτή γράφεται n = λ λ n Ο νόμος της διάθλασης, χρησιμοποιώντας την ανωτέρω περιγραφή, παίρνει τη μορφή sin θ 2 sin θ 1 = n 1 n 2 δηλαδή η γωνία διάθλασης της προσπίπτουσας ακτίνας είναι αντιστρόφως ανάλογη του δείκτη διάθλασης του μέσου. Η τελευταία σχέση καλείται Νόμος Διάθλασης του Snell

10 Ολική Ανάκλαση, Αρχή του Fermat Ολική Εσωτερική Ανάκλαση Μία ενδιαφέρουσα περίπτωση λαμβάνει χώρα όταν μία φωτεινή ακτίνα διαδίδεται σε μέσο με δείκτη διάθλασης n 1 και συναντά διαχωριστική επιφάνεια μετά την οποία υπάρχει μέσο με δείκτη διάθλασης n 2 ο οποίος είναι μικρότερος από αυτόν του πρώτου μέσου (n 1 > n 2 ). Με βάση το νόμο του Snell όσο αυξάνεται η γωνία πρόσπτωσης θ 1 τόσο αυξάνεται και η γωνία διάθλασης θ 2 δηλαδή η διαθλώμενη ακτίνα τείνει να απομακρύνεται από την κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια. Συνεπώς τείνει να ευθυγραμμιστεί με αυτήν δηλαδή θ Η γωνία πρόσπτωσης θ c για την οποία θ 2 = 90 0 καλείται κρίσιμη γωνία.

11 Ολική Ανάκλαση, Αρχή του Fermat Οπτικές Ινες Για γωνίες πρόσπτωσης θ 1 > θ c η φωτεινή ακτίνα ανακλάται πλήρως από τη διαχωριστική επιφάνεια και επιστρέφει στο μέσο με δείκτη διάθλασης n 1. Η κρίσιμη γωνία sin θ c = n 2 n 1 Η σημαντικότερη εφαρμογή του φαινομένου της ολικής εσωτερικής ανάκλασης είναι ένα μέσο μετάδοσης φωτός το οποίο καλείται οπτική ίνα. Κατασκευάζεται από ομοαξονικά, κυλινδρικής διατομής, πλαστικά υλικά (προκειμένου να υπάρχει ελαστικότητα). Αποτελείται από τρία μέρη: τον πυρήνα που είναι υλικό με δείκτη n 1, την επικάλυψη με δείκτη n 2 < n 1 και το περίβλημα για την αποφυγή μηχανικών φθορών. Το φως που διαδίδεται στον πυρήνα υφίσταται συνεχόμενες ολικές εσωτερικές ανακλάσεις με μικρή απώλεια της έντασής του.

12 Ολική Ανάκλαση, Αρχή του Fermat Αρχή του Fermat Η Αρχή του Fermat αναφέρεται στη διαδρομή που ακολουθεί μία φωτεινή ακτίνα όταν διαδίδεται από ένα σημείο στο άλλο και μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Μία φωτεινή ακτίνα η οποία διαδίδεται μεταξύ δύο σημείων ακολουθεί διαδρομή ελαχίστου χρόνου Άμεση συνέπεια της αρχής του Fermat είναι και η ιδιότητα της αντιστρόφου πορείας του φωτός: Κάθε φωτεινή ακτίνα η οποία διαδίδεται από ένα σημείο P σε σημείο Q ακολουθεί ακριβώς την ίδια διαδρομή κατά τη διάδοσή της από το Q στο P.

13 Ολική Ανάκλαση, Αρχή του Fermat Προκειμένου να διαπιστώσουμε τη χρησιμότητα της αρχής του Fermat θα την αξιοποιήσουμε ώστε να αποδείξουμε το νόμο του Snell. Πράγματι από το Σχήμα 30 έχουμε t = r 1 + r 2 a2 + x = 2 + υ 1 υ 2 c/n 1 b 2 + (d x) 2 c/n 2 Λόγω του ότι ζητάμε τον ελάχιστο χρόνο μετάβασης P Q παραγωγίζουμε την τελευταία σχέση ως προς x dt dx = d dx a2 + x 2 c/n 1 + b 2 + (d x) 2 = 0 c/n 2 n 1 x a2 + x = n 2 (d x) 2 b 2 + (d x) 2

14 Ολική Ανάκλαση, Αρχή του Fermat Ομως δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι sin θ 1 = x a2 + x 2 (d x) sin θ 2 = b 2 + (d x) 2 Από τις τελευταίες σχέσεις λαμβάνουμε άμεσα τον Νόμο Διάθλασης του Snell sin θ 2 sin θ 1 = n 1 n 2