Προσομοίωση Συστήματος Πρόωσης Πλοίου με Δίχρονο Ναυτικό Κινητήρα DIESEL

Transcript

1 ..I. Αθηνών Σ.Τ.Εφ. / Τμήμα Ναυπηγικής Πτυχιακή Εργασία Σπουδαστές: Παναγιώτης Ρούσσος Σπύρος Θεοφύλακτος Επιβλέπων καθηγητής: Γεράσιμος Θεοτοκάτος Προσομοίωση Συστήματος Πρόωσης Πλοίου με Δίχρονο Ναυτικό Κινητήρα DISL

2 Επιβλέπων καθηγητής: Γεράσιμος Π. Θεοτοκάτος Διδάκτωρ Μηχανολόγος Μηχανικός Ε.Μ.Π. Σπουδαστές: Παναγιώτης Ν. Ρούσσος Σπύρος Χ. Θεοφύλακτος

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 4 Κεφ. Εισαγωγή 5. Θεωρία της Μοντελοποίησης Μ.Ε.Κ. 5. Σκοπός Εργασίας 6 Κεφ. Μοντελοποίηση των Διεργασιών / Μορφή Μοντέλου 7. Εξισώσεις Μοντέλου 7. Ανάπτυξη μοντέλου στο πακέτο Η/Υ Mtlb Simuling 7 Κεφ. 3 Προσομοίωση κινητήρα MAN B&W 4L60MC Ρύθμιση μοντέλου Αποτελέσματα προσομοίωσης Σταθερών συνθηκών Μεταβατικών συνθηκών Σχόλια Συμπεράσματα 50 Κεφ. 4 Προσομοίωση κινητήρα MAN B&W 9Κ90MC 5 4. Ρύθμιση μοντέλου 5 4. Αποτελέσματα προσομοίωσης Σταθερών συνθηκών Μεταβατικών συνθηκών Σχόλια Συμπεράσματα 70 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α 7 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β 75 Σύμβολα / Σταθερές 80 Βιβλιογραφία 8 3

4 Πρόλογος Η μοντελοποίηση Μηχανών Εσωτερικής Καύσης (Μ.Ε.Κ.) και ιδίως των μεγάλων, τόσο απο πλευράς μεγέθους όσο και κόστους, δίχρονων πετρελαιοκινητήρων έχει αποκτήσει μεγάλη σημασία για τους ακόλουθους λόγους: - Οι ναυτικοί κινητήρες Diesel, με ή χωρίς μειωτήρα, αποτελούν μακράν το πιο δημοφιλές κύριο μέσο πρόωσης πλοίων. Ειδικά οι αργόστροφοι δίχρονοι κινητήρες Diesel είναι η πιο οικονομική εκδοχή όλων των Μ.Ε.Κ. (έως και 55g/kWh) ενώ ταυτόχρονα επιτυγχάνουν θερμικούς βαθμούς απόδοσης της τάξεως του 54% []. Επίσης, μπορούν κάλλιστα να χειρίζονται κακής ποιότητας καύσιμα, διατηρώντας υψηλότατο βαθμό αξιοπιστίας. Συνήθως δεν συνοδεύονται απο μειωτήρα ή αντίστοιχη άλλη διάταξη και ως αποτέλεσμα των παραπάνω έχουν χαμηλό κόστος συντήρησης []. - Ο ναυτικός κινητήρας Diesel είναι όπως αναφέραμε το κύριο μέσο για την κίνηση της έλικας, και έτσι οποιαδήποτε εντολή για επιτάχυνση / επιβράδυνση ή και διατήρηση ταχύτητος σε περίπτωση αλλαγής κατάστασης της θάλασσας πρέπει να μεταφράζεται σε κατάλληλη μεταβολή του φορτίου του κινητήρα (με την προυπόθεση οτι δεν υπερβαίνεται το MCR) μέσω της παροχής καυσίμου. Αυτή είναι μια διαδικασία που μπορεί να προσομοιωθεί, αλλά για να αυξηθεί η ακρίβεια αυτής της προσομοίωσης για λόγους π.χ. προχωρημένης βελτιστοποίησης των σχεδιαστικών χαρακτηριστικών πρέπει να δημιουργηθούν μαθηματικά μοντέλα ιδιαίτερα πολύπλοκα. Σε άλλες περιπτώσεις π.χ. σχεδίαση κινητήρων αυτοκινήτων οπου η ανάπτυξη τέτοιων μοντέλων είναι άκρως ασύμφορη αν όχι ανέφικτη, κατασκευάζονται πειραματικές πλατφόρμες (test-beds), κινητήρες αποκλειστικά για εκτέλεση πειραμάτων. Στην περίπτωση μας αυτό θεωρείται αδύνατον δεδομένου του κόστους αλλά και του γεγονότος οτι καμία κατασκευή κινητήρα τέτοιου μεγέθους δεν εκκινεί εαν δεν υπάρχει παραγγελία και μάλιστα εαν το πλοίο δεν βρίσκεται σε ένα στάδιο κατασκευής [3]. Έτσι όλο σχεδόν το βάρος της εύρεσης πειραματικών δεδομένων για δίχρονους αργόστροφους ναυτικούς κινητήρες Diesel και κυρίως για συνολική προωστήρια εγκατάσταση (κινητήρας στροβιλοϋπερπληρωτής έλικα για συγκεκριμένο πλοίο κάθε φορά) πέφτει στα μαθηματικά μοντέλα προσομοίωσης. Στο ο κεφάλαιο αναπτύσσεται η θεωρία περί μοντελοποίησης ναυτικών κινητήρων Diesel, τα είδη των μοντέλων κλπ. Στο ο κεφάλαιο αναπτύσσεται εκτενώς η θεωρία που ερμηνεύει θερμο-ρευστοδυναμικώς τις διεργασίες του εργαζόμενου μέσου στον κινητήρα συνοδευόμενη απο τις εξισώσεις αυτών. Εδώ παρουσιάζονται και εναλλακτικές εξισώσεις για ορισμένες μεταβλητές / διεργασίες που δοκιμάστηκαν αλλά τελικά δεν προτιμήθηκαν να εισαχθούν στο μοντέλο. Χωρίς ουσιαστικό σκοπό αλλά για την πληρότητα του κειμένου και την καλύτερη κατανόηση απο πλευράς του αναγνώστη, παρουσιάζονται επίσης οι αποδείξεις ορισμένων μαθηματικών τύπων. Το μοντέλο που αναπτύχθηκε, προσαρμόστηκε και δοκιμάστηκε σε δυο ναυτικούς κινητήρες της ΜΑΝ B&W. Η λειτουργία των κινητήρων προσομοιώθηκε τόσο υπο σταθερές όσο και υπο μεταβατικές συνθήκες. Η ρύθμιση του μοντέλου, η παρουσίαση των αποτελεσμάτων καθώς και ο σχολιασμός τους και τα συμπεράσματα παρουσιάζονται στα κεφάλαια 3 & 4 για τους δυο κινητήρες αντίστοιχα. Η αναλυτική παρουσίαση της εισαγωγής δεδομένων στο μοντέλο στο περιβάλλον MALAB Simulink φαίνεται στα Παραρτήματα Α και Β. Αθήνα, Μάιος

5 . Εισαγωγή. Θεωρία της Μοντελοποίησης ναυτικών κινητήρων DISL. H μοντελοποίηση ενός κινητήρα είναι η προσομοίωση της λειτουργίας του, μέσω της μαθηματικής απεικόνισης των ρευστοδυναμικών και θερμοδυναμικών διεργασιών που υφίσταται το εργαζόμενο μέσο κατα την ροή του μέσα στον κινητήρα. Οι βασικότεροι στόχοι της μοντελοποίησης Μ.Ε.Κ. ως προωστήρια εγκατάσταση πλοίου είναι:. Πρόβλεψη επιδόσεων και κατ επέκταση βελτιστοποίηση σχεδιαστικών χαρακτηριστικών του κινητήρα, επιλογή βέλτιστου υπερπληρωτή κ.α.. Ερμηνεία και κατανόηση των πειραματικών αποτελεσμάτων, των φυσικών διεργασιών που λαμβάνουν χώρα, την αλληλεπίδραση των διαφόρων εμπλεκόμενων υποσυστημάτων και άλλων φαινομένων που σχετίζονται με τον κινητήρα και γενικότερα την προωστήρια εγκατάσταση. Στα μαθηματικά μοντέλα Μ.Ε.Κ., οι βασικές εξισώσσεις που το συντελούν μπορεί να προέρχονται απο τις Αρχές διατήρησης της ενέργειας και μάζας οπότε και έχουμε ένα Θερμοδυναμικό μοντέλο ή απο μια πλήρη (χωρική) ανάλυση της κίνησης του εργαζόμενου μέσου μέσα απο τον κινητήρα οπότε και έχουμε ένα Ρευστοδυναμικό μοντέλο. Τα θερμοδυναμικά μοντέλα καλούνται και μοντέλα Μηδενικής Διάστασης, διότι δεν μπορούν να προβλεφθούν γεωμετρικά στοιχεία της κίνησης του ρευστού στο χώρο λόγω έλλειψης μοντελοποίησης της ροής, Φαινομενολογικά μοντέλα καθώς πέρα απο την εξίσωση διατήρησης της ενέργειας, προστίθενται λεπτομέρειες για κάθε φαινόμενο και Ημι-διάστατα μοντέλα εκείνα όπου ειδικά γεωμετρικά στοιχεία προστίθενται στη βασική θερμοδυναμική προσέγγιση. Τα απλουστευμένα θερμοδυναμικά μοντέλα είναι αυτά της Μέσης Τιμής ανα Κύκλο μοντέλα (Cycle men vlue models) τα οποία είναι πρακτικά για γρήγορη εκτίμηση επιδόσεων υπο μεταβαλλόμενα σημεία λειτουργίας. Τα ρευστοδυναμικά μοντελα λέγονται και Χωρικά ή Πολυδιάστατα ή Πεπερασμένων στοιχείων μοντέλα (CFD Models ή Finite-element models) διότι εξ ορισμού δίνουν λεπτομερείς γεωμετρικές πληροφορίες για την ροή του εργαζόμενου μέσου στον χώρο. Οι διεργασίες που λαμβάνουν χώρα στον θάλαμο κάυσης, η σχεδίαση της έλικας κλπ, πραγματοποιούνται σε τρεις διαστάσεις [6,8]. Για τον υπολογισμό της εισερχόμενης και εξερχόμενης ροής μάζας στον κινητήρα, έχουν αναπτυχθεί τρεις τύποι μοντέλων:. Ωσεί σταθερά μοντέλα (Qusi stedy models),. Πλήρωσης / Εκκένωσης μοντέλα (Filling / mptying models) και. Μοντέλα Δυναμικής αερίων (Gs dynmic models). 5

6 Ωσεί Σταθερά Μοντέλα Ο κινητήρας και ο υπερπληρωτής θεωρούνται αλληλοσυνδεδεμένα στοιχεία που συνδέονται με την παροχή μάζας του αέρα και μέσω των λόγων πιέσεων κατά μήκος τους. Οι διαδικασίες θεωρούνται να είναι ωσεί- σταθερές, δηλαδή σε κάθε χρονικό βήμα ο ρυθμός μεταβολής μιας μεταβλητής είναι σταθερός. Τα ωσεί σταθερά μοντέλα παρέχουν απλή, γρήγορη και οικονομική προσομοίωση, επειδή όμως απαιτούνται εξειδικευμένα πειραματικά δεδομένα για την κάθε μηχανή που προσομειώνεται, το πεδίο εφαρμογής τους είναι περιορισμένο [6]. Μοντέλα Πλήρωσης / Εκκένωσης Οι όγκοι ελέγχου (δοχεία εισαγωγής / εξαγωγής) προσομοιώνονται με πεπερασμένους όγκους στους οποίους η μάζα των αερίων μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου. Σ αυτούς εφαρμόζουμε την αρχή της διατήρησης μάζας και τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο για ανοιχτό σύστημα, αγνοώντας τους όρους κινητικής και δυναμικής ενέργειας [6]. Μοντέλα Δυναμικής Αερίων Χρησιμοποιούνται για την μελέτη των φαινομένων που σχετίζονται με την εναλλαγή των αερίων σε ένα κινητήρα. Το μεγάλο πλεονέκτημα τους είναι οτι προσομοιάζουν με ακρίβεια τον συντονισμό του συστήματος εξαγωγής. Εφαρμόζονται ιδιαίτερα στην προσομοίωση κινητήρων μικρών, πολυκύλινδρων με μεγάλα μήκη αυλών εξαγωγής, δίχρονων, υπερπληρούμενων με σύστημα παλμών [6].. Σκοπός Εργασίας o μοντέλο που θα αναπτυχθεί στα πλαίσια της παρούσης εργασίας είναι ένα ωσεί σταθερό μέσης τιμής ανά κύκλο μοντέλο προσομοίωσης της συνολικής προωστήριας εγκατάστασης πλοίου. o μοντέλο βασίζεται στις δυο διαφορικές εξισώσεις της περιστρφικής κίνησης για τις στροφές στροβιλοϋπερπληρωτή και μηχανής. Για να γίνει εφικτή η επίλυση αυτών των εξισώσεων, πρέπει προηγουμένως να επιλυθεί ένα σύνθετο μή-γραμμικό αλγεβρικό σύστημα εξισώσεων σε συνδυασμό με τις υπόλοιπες μαθηματικές σχέσεις [3]. Οι μαθηματικές εξισώσεις του μοντέλου αναπτύσσονται και επιλύονται με την βοήθεια του λογισμικού / προγραμματιστικού περιβάλλοντος ΜΑΤLAB Simulink. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται σε μορφή διαγραμμάτων όπου συγκρίνονται και με τα αντίστοιχα πειραματικά δεδομένα όπου αυτά ήταν διαθέσιμα. 6

7 . Μοντελοποίηση των Διεργασιών / Μορφή Μοντέλου. Εξισώσεις μοντέλου Στο σχήμα που ακολουθεί, φαίνεται η πορεία του εργαζόμενου μέσου (αέρα πριν την εισαγωγή στους κυλίνδρους / καυσαερίου μετά την καύση) διαμέσου των σημαντικών μερών του κινητήρα. Αυτά είναι ο κινητήρας (οι κυλίνδροι) ο οποίος είναι συνδεδεμένος μεταξύ του όγκου εισαγωγής αέρα και του όγκου εξαγωγής καυσαερίων, ο στροβιλοϋπερπληρωτής που αποτελείται απο τον συμπιεστή και τον στρόβιλο συνδεδεμένους σε κοινό άξονα, το ψυγείο αέρα και το δίκτυο εξαγωγής καυσαερίων. p, * p, xhust Pipe Compressor prc, ηc Ntc pdt, dt urbine prt, ηt pc, c Air Cooler ΔpAC, ε mf m w m pinl, inl p, Scvenging Air Receiver ngine xhust Gs Receiver N Σχήμα. Τα σημαντικά για την μοντελοποίηση μέρη του κινητήρα. Ο κινητήρας συνολικά μοντελοποιείται αναλύοντας τις διεργασίες που λαμβάνουν χώρα σε κάθε ένα απο αυτά τα τμήματα. Όλα τα εξεταζόμενα αέρια θεωρούνται ιδανικά και κατά συνέπεια υπακούουν στη καταστατική εξίσωση την ιδανικών αερίων. Οι εξισώσεις που διέπουν το μοντέλο παρουσιάζονται παρακάτω. 7

8 Σημείωση: Όπου χρησιμοποιούνται οι όροι ενθαλπία και εντροπία, εννοείται η ειδική ενθαλπία h [kj/kg] και ειδική εντροπία s [kj/kg/k] αντίστοιχα. Ροπή Κινητήρα Από τον ο νόμο του Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση του στροφαλοφόρου άξονα του κινητήρα και από τις γνωστές σχέσεις της περιστροφικής κίνησης προκύπτει η εξίσωση που δίνει την χρονική μεταβολή των στροφών (rpm): dω Q QL I dt dn Q QL ω π f π N dt I N[ rpm] π ω f Η σχέση () θα αναλυθεί περαιτέρω σε σχετική παράγραφο. H παραγόμενη ανά κύκλο ροπή κινητήρα (ngine orque) είναι: () είναι: z Vh pe Q () π όπου z6 ο αριθμός των κυλίνδρων, Q L η ροπή φορτίου ή ροπή έλικας (δες σχετική παράγραφο), V h ο όγκος εμβολισμού (Piston Displcement) του κάθε κυλίνδρου, ο οποίος π D V h s (3) 4 όπου D η διάμετρος του εμβόλου (bore) s η διαδρομή του εμβόλου (stroke), και p e ή bmep η μέση πραγματική πίεση (Men ffective Pressure), η οποία από τις δοκιμές του κατασκευαστή αποτελεί σημαντικό πειραματικό δεδομένο και υπολογίζεται αναλυτικά από τον τύπο: p e p p (4) i f Μέση Πίεση Τριβών (Friction Men ffective Pressure) p f ή fmep: Η μέση πίεση τριβών θεωρείται συνάρτηση της μέγιστης μέσης ενδεικνύμενης πίεσης και των στροφών του στροφάλου []: p k p + k N + k (5) f f i,mx f f 0 όπου οι σταθερές στην έχουν τις ακόλουθες τιμές: k f k f k f

9 Εναλλακτικά (με λιγότερο αξιόπιστα αποτελέσματα) θα μπορούσε να μοντελοποιηθεί η παρακάτω σχέση [6]: μ C PIS p f α + b pi + c (6) D όπου οι πιέσεις σε 0 5 N/m μ Ν s/m το δυναμικό ιξώδες του ελαίου (μ. 0-4 kp s/cm ), α , b0.047 και c0.453n/m σταθερές και C PIS η μέση (γραμμική) ταχύτητα του εμβόλου, η οποία δίνεται από τον τύπο: C f PIS s f s N CPIS (7) N [ ] [ rpm] s όπου f η συχνότητα περιστροφής του στροφαλοφόρου άξονα. Επίσης, εναλλακτικά θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ο τύπος των Millington & Hrtles: p f ( 4) N + C PIS 6895 ε 40 (8) όπου ε ο λόγος συμπίεσης (ε 9), που υπενθυμίζουμε ότι είναι: V + V h c ε (9) Vc και όπου V c ο επιζήμιος όγκος όταν το έμβολο βρίσκεται στο Α.Ν.Σ. Μέση Ενδεικνύμενη Πίεση (Indicted Men ffective Pressure) pi ή imep: Ορίζεται ως εξής: Wi pi k sc (0) s όπου W i το ενδεικνύμενο έργο κινητήρα όπως προκύπτει απο δυναμοδεικτικό διάγραμμα και k sc ο σχετικός συντελεστής κλίμακας του δυναμοδεικτικού διαγράμματος. Επειδή όμως το μοντέλο μας δεν είναι κατα βάση θερμοδυναμικό δεν σχεδιάζει δυναμοδεικτικό διάγραμμα, χρησιμοποιείται η παρακάτω σχέση: p i pi, mx nc FR () όπου p i,mx η μέγιστη τιμή της imep. F R : ο δείκτης παροχής καυσίμου (δες παρακάτω), και n c : ο βαθμός απόδοσης καύσης (Combustion frction or Combustion efficiency), ο οποίος είναι ανάλογος του λόγου αέρα καυσίμου AF ως εξής [5]: 9

10 n c.0 αν AF 7 n c 0.0 αν AF 9 n c 0.5 AF.5 αν 9 < AF < 7. Υπενθυμίζουμε ότι ανά κύκλο, ο λόγος αέρα καυσίμου (Air-to-Fuel Rtio) είναι: m AF () m Παροχή (Μάζας) Καυσίμου (Fuel mss flow rte) z m fcy N m f (3) 60 όπου m fcy η μάζα καυσίμου ανά κύλινδρο και κύκλο λειτουργίας. Σημείωση: εάν επρόκειτο για 4-χρονο κινητήρα η παροχή μάζας καυσίμου θα ήταν η υποδιπλάσια: z m fcy N m f,4 X (4) 80 Ο παρακάτω τύπος που δεν επιλέχθηκε, είναι προσεγγιστικός διότι κάνει την παραδοχή ότι η μάζα καυσίμου ανά κύκλο ανά κύλινδρο είναι γραμμικής σχέσης με τον δείκτη παροχής καυσίμου, που δεν συμβαίνει στην πραγματικότητα. N m f z m fcy,mx FR (5) 60 όπου το m fcy,mx [kg/cyl/cycle] βρίσκεται από τα διαγράμματα του κατασκευαστή, σε συνθήκες MCR και F R ο δείκτης κανόνα καυσίμου (δες παρακάτω) Δείκτης Κανόνα Καυσίμου Επειδή τα σημεία λειτουργίας καθορίζονται απο το δείκτη κανόνα καυσίμου ή δείκτη παροχής καυσίμου (Fuel Index ή Fuel Rck Position ή hrottle Rck Position), αυτός είναι πρωτεύον εισαχθέν δεδομένο. Υπάρχει άμεση αντιστοιχία με την επι τοις εκατό τιμή της μέσης ενδεικνύμενης πίεσης και έμμεση αντιστοιχία με το φορτίο ως επι τοις εκατό ποσοστό της ισχύος του κινητήρα. Η αντιστοιχία αυτή, γνωρίζοντας την imep είναι: pi F R (6) p Παροχή (Μάζας) Καυσαερίων (xhust mss flow rte), από την αρχή διατήρησης της μάζας είναι (σε kg/s): f i,mx m m + m (7) f Συμπιεστής (Compressor) Βαθμός Απόδοσης Συμπιεστή (Compressor fficiency) 0

11 Η απόδοση της συμπίεσης που λαμβάνει χώρα στον συμπιεστή είναι η μεταβολή της ενθαλπίας (έργο) κατά την αντίστοιχη (ιδανική) ισοεντροπική συμπίεση προς την μεταβολή της ενθαλπίας κατά την πραγματική μεταβολή (σχήμα). Σχήμα. Αναπαράσταση πραγματικής (-) και αδιαβατικής (-is) συμπίεσης σε διάγραμμα εντροπίας ενθαλπίας. O O O is O C h h h h n (8) Θεωρώντας οτι ο αέρας συμπεριφέρεται ως ιδανικό αέριο, c p σταθ. έχουμε: O O O is O O O O is O C n (9) Λαμβάνοντας υπ όψιν την καταστατική εξίσωση και τον νόμο Poisson της αδιαβατικής μεταβολής έχουμε: γ γ γ γ p p v p v p p R v O is O (0) O O C p p n γ γ () Για διευκόλυνση της μοντελοποίησης, δεν θα χρησιμοποιηθεί το παραπάνω μοντέλο για τον βαθμό απόδοσης του συμπιεστή αλλά θα ληφθεί απ ευθείας απο τον χάρτη του συμπιεστή (compressor mp). Στον χάρτη (εικόνα ) διακρίνουμε την Surge Line (Γραμμή Πάλμωσης). Αυτή υποδηλώνει την ελάχιστη ποσότητα αέρα που μπορεί να παρέχει ο συμπιεστής στον

12 εκάστωτε λόγο πιέσεων. Αριστερά αυτής της γραμμής διακρίνουμε την περιοχή ασταθούς λειτουργίας (Unstble Zone). Η αστάθεια αυτή είναι αποτέλεσμα αποκόλλησης των οριακών στρωμάτων απο τα πτερύγια του συμπιεστή. Αυτό συνήθως σημαίνει οτι ο συμπιεστής είναι υπερβολικά μεγάλος για αυτήν την παροχή αέρα (ή οτι ο στρόβιλος είναι υπερβολικά μικρός). Η αστάθεια μπορεί να είναι ολική, δηλαδή η παροχή μάζας να ταλαντώνεται έντονα μεταξύ θετικών και αρνητικών τιμών ή μπορεί να είναι μερική, δηλαδή σε κάποιο τμήμα (βαθμίδα) του συμπιεστή. Η τελευταία περίπτωση καλείται και Rough Running και εδώ η παροχή του συμπιεστή είναι θετική αλλά μικρότερη απο την αντίστοιχη κάτω υπο σταθερές συνθήκες λειτουργίας. Σχήμα 3. Παράδειγμα χάρτη συμπιεστή [] Αντίστοιχα δεξιά απο το εύρος λειτουργίας που υποδεικνύεται στο διάγραμμα με την λέξη Rnge και είναι η περιοχή με τους υψηλότερους βαθμούς απόδοσης, έχουμε την περιοχή Σταγγαλισμού (Choke Zone). Εδώ ο βαθμός απόδοσης είναι συνήθως μικρότερος περίπου της τάξεως του 60% και παρατηρείται το φαινόμενο του στραγγαλισμού της ροής στην στενώτερη διατομή της πτερωτής του συμπιεστή. Δηλαδή για να λειτουργήσει σωστά σε μεγαλύτερη παροχή μάζας απαιτείται μεγαλύτερη ταχύτητα περιστροφής της πτερωτής. Στον χάρτη του συμπιεστή έχουμε τις εξής παραμέτρους:

13 Στον άξονα Χ: την διορθωμένη παροχή μάζας (corrected mss flow rte). Εναλλακτικά στον άξονα Χ, μπορεί να έχουμε την Παροχή όγκου αέρα ή διορθωμένη παροχή μάζας (Mss Flow Prmeter, MFP) σε κάποια θερμοκρασία και πίεση αναφοράς: m p, V ή Στον άξονα Υ: τον λόγο πιέσεων (pressure rtio): pi pr c p όπου p I : η παραγόμενη από τον συμπιεστή πίεση, δηλαδή η πίεση στην είσοδο των κυλίνδρων (inlet mnifold pressure), p 0 5 P η αρχική (ατμοσφαιρική) πίεση (mbient pressure), οπού δεχόμαστε ότι δεν έχει μεταβληθεί μέχρι να φτάσει στην είσοδο του συμπιεστή, 90K (6.85ºC) η αρχική θερμοκρασία (mbient temperture), Τ ref 93.5K η θερμοκρασία αναφοράς (reference temperture). Επίσης έχουμε καμπύλες σταθερής διορθωμένης ταχύτητας (corrected speed): N C όπου N C οι στροφές του υπερπληρωτή. Τέλος, έχουμε καμπύλες («νησίδες») ίσου βαθμού απόδοσης n C. Σε μια καμπύλη ίσου ισεντροπικού βαθμού απόδοσης του συμπιεστή ο λόγος πιέσεων μπορεί να είναι κάποια πολυωνυμική συνάρτηση των στροφών που προκύπτει απο την μαθηματικοποίηση των πειραματικών δεδομένων, όπως παραδείγματος χάρη στην περίπτωση μας ( 3): m p O O p ref ref pr c k + k N + k N () c0 c C c C όπου οι σταθερές στην 3.. Ισχύς / Ροπή Συμπιεστή (Compressor Power / orque) Απο τον ο Θερμοδυναμικό νόμο για κλειστό σύστημα και αγνοώντας την μετάδοση θερμότητος το παραγόμενο κατά την συμπίεση έργο ισούται κατά απόλυτη τιμή με την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αέρα, δηλαδή: W m h h (3) O O 3

14 Αναλόγως η ισχύς του συμπιεστή (έργο ανα μονάδα χρόνου) θα είναι για σύστημα υπερπλήρωσης σταθερής πίεσης: O O C C h h m W P (4) Εκ του ορισμού του βαθμού απόδοσης της συμπίεσης έχω: C O Ois O O n h h h h (5) Οπότε διαδοχικά ισχύουν: ( ) γ γ C C P C Ois C P C Ois C P C p p n c m W n c m W n c m W (6) Αντίστοιχα, η ροπή του συμπιεστή είναι: C C C N W Q W Q π ω 30 (7) Τελικώς η ροπή του συμπιεστή είναι: 30 γ γ π C C c P c p p N n c m Q (8) όπου 90K, p 05P η θερμοκρασία περιβάλλοντος (mbient temperture) και η πίεση περιβάλλοντος (mbient pressure) αντίστοιχα, δηλαδή οι συνθήκες του αέρα στη είσοδο του συμπιεστή, p C η παραγόμενη από τον συμπιεστή πίεση, δηλαδή η πίεση στην είσοδο του ψυγείου αέρα, και c p.005kj/kg/k, η μέση ειδική θερμοχωριτηκότητα του αέρα. Η θερμοκρασία στην έξοδο του συμπιεστή έχει αυξηθεί σε σχέση με την αρχική ατμοσφαιρική θερμοκρασία (εξαιτίας της συμπίεσης). Διαδοχικά ισχύει: 4

15 ( ) ( ) + γ γ C C C Ois C C Ois p C C p C O Ois O O O O O Ois C p p n n c n c n h h h h h h h h n + c C C n p p γ γ (9) όπου Τ C η θερμοκρασία του αέρα κατά την έξοδο του συμπιεστή (και στην είσοδο του ψυγείου αέρα). Ψυγείο Αέρα (Intercooler) Πολύ συνοπτικά, το Ψυγείο Αέρα συμβάλει στα εξής:. Μειώνοντας την θερμοκρασία του εισαγόμενου στους κυλίνδρους αέρα, βελτιώνει (αυξάνει) την πυκνότητα του για να αυξηθεί η συνολική μάζα αέρα που θα αποτελέσει το ένα συστατικό του καύσιμου μίγματος,. Μειώνει την θερμική καταπόνηση της μηχανής. H αποδοτικότητα του ψυγείου αέρα (intercooler efficiency) είναι το ποσό θερμότητας που αφαιρείται απο το εργαζόμενο μέσο (αέρας) προς το μέγιστο δυνατό ποσό θερμοτητας που μπορεί να αφαιρεθεί. ( ) ( ) ( ) ( ) w C I C w C p I C p c m c m ε ε (30) Έτσι, η θερμοκρασία μετά το ψυγείο αέρα δηλαδή στην είσοδο των κυλίνδρων (inlet mnifold temperture) είναι: ( ) w c I ε + ε (3) όπου 5

16 w 3 C ( w 305.5K) η θερμοκρασία του ψυκτικού υγρού. ε0.9 η αποδοτικότητα του ψυγείου αέρα που λαμβάνει τιμές από 0.8 έως Η αποδοτικότητα του ψυγείου, ελλείψει πειραματικών δεδομένων μπορεί να λαμβάνεται σταθερή. Στην πραγματικότητα δεν είναι σταθερή, αφού είναι συνάρτηση συντελεστών μετάδοσης θερμότητας και κατ επέκταση θερμοκρασιών, παροχής μάζας κλπ που μεταβάλλονται με μεταβολή των συνθηκών λειτουργίας (trnsient). Ωστόσο, η μικρή μεταβολή του ε έχει αποδειχθεί οτι επιφέρει ασήμαντη μεταβολή της ροής μάζας αέρα, τουλάχιστον για το συγκεκριμένο μοντέλο [5]. Εισάγουμε μια σχέση: ( ) ε f (3) Η ενθαλπία του εισαγόμενου στους κυλίνδρους αέρα είναι: m A h I c (33) P I Αντίστοιχα η πίεση αέρα εισόδου στους κύλινδρους (inlet mnifold pressure) έχει υποστεί μια πτώση Δp AC απο αυτήν που παρήγαγε ο συμπιεστής καθώς ο αέρας διαπέρασε το ψυγείο αέρα. Δηλαδή, ισχύει: pinl pc Δp AC (34) Η πτώση πίεσης Δp AC αναλυτικά υπολογίζεται απο τον τύπο: Δp AC f AC ρ wa (35) Λαμβάνοντας υπ όψιν: V A w p V m R προκύπτει: f AC R C m A Δp AC (36) pc AAC όπου f AC ο συνολικός συντελεστής τριβής του ψυγείου, w A η ταχύτητα του αέρα, κλπ. Ενθαλπία & Θερμοκρασία καυσαερίου Ο ενεργειακός ισολογισμός της καύσης του μίγματος έχει ως εξής: m I m m h + m h m AF h AF h f n c h I I I + n + n c c + n c f h h f f f ζ H m U h m f + m ( AF + ) h f h ( AF + ) h (37) Η ενθαλπία των καυσαερίων (xhust gs enthlpy) δίνεται επιλύοντας την ανωτέρω σχέση ως προς h : 6

17 ζ HU hi + nc h n AF exh (38) + AF όπου H u 4500kJ/kg (ή H u 000kcl/kg) η κατώτερος θερμογόνος δύναμη του πετρελαίου (Fuel lower clorific vlue), n exh ή n cor 0.9 διορθωτικός συντελεστής για την μετάδοση θερμότητας των καυσαερίων στον οχετό εξαγωγής από την βαλβίδα εξαγωγής έως την είσοδο του στροβίλου και ζ α : παράμετρος που εκτιμά την αναλογία της χημικής ενέργειας του καυσίμου στο καυσαέριο στην είσοδο του στροβίλου (Fuel chemicl energy proportion in exhust gs). Για τον υπλογισμό του ζ μπορούμε να επιλύσουμε τον ανωτέρω θερμικό ισολογισμό ως προς το ζ, ή να χρησιμοποιήσουμε το ακόλουθο διάγραμμα. [ c ( AF + ) c AF] ζ p p I (39) n H c U Το ακόλουθο διάγραμμα [4] έχει στον άξονα x το AF και στον άξονα y την θερμοκρασιακή διαφορά I σε Κ. Ενδιάμεσες τιμές λαμβάνονται με γραμμική παρεμβολή. I (K) AF Σχήμα 4. Διάγραμμα υπολογισμού ζ. 7

18 Για την απλοποίηση της μοντελοποίησης και ελλείψει πειραματικών δεδομένων μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια ημιεμπειρική γραμμική σχέση της μέσης πραγματικής πίεσης: ( bmep) ζ f (40) Αυτή κατά πρώτη προσέγγιση θα βασίζεται στο παρακάτω διάγραμμα [4] που υποδεικνύει την εξάρτηση του ζ απο την bmep για: γραμμή α: δίχρονοι κινητήρες και γραμμή b: τετράχρονοι κινητήρες. Σχήμα 5. Διάγραμμα εκτίμησης ζ συναρτήσει της bmep. Για ιδιάζουσες περιπτώσεις και στην περίπτωση που δεν διατίθενται πειραματικά στοιχέια ή ικανοποιητικές εμπειρικές τιμές, είναι θεμιτό το ζ να διορθωθεί απο υπολογισμούς της σχέσης (39) βάσει των προηγουμένων ή αρχικών αποτελεσμάτων της προσομοίωσης [4]. Οπότε, η θερμοκρασία των καυσαερίων (xhust gs temperture) κάθε χρονική στιγμή θα είναι: h (4) c p όπου c p 7.0J/kg K η ειδική θερμότητα των καυσαερίων υπο σταθερή πίεση (xhust gs specific het t constnt pressure). Βαθμός απόδοσης & Ισχύς κινητήρα, Κατανάλωση καυσίμου είναι: Ο πραγματικός βαθμός απόδοσης του κινητήρα (otl engine efficiency) P P e e η e ηe (4) Pf m f H k όπου P e ή P b η ισχύς πέδης του κινητήρα (ngine brke power) και P f η προσδιδόμενη απο το καύσιμο ισχύς. H ισχύς πέδηςτου κινητήρα (ngine brke power) προφανώς είναι: 8

19 P [ W ] Q [ Nm] N [rpm e π ] 30 (43) Η πραγματική ειδική κατανάλωση (Specific fuel consumption) ορίζεται ως εξής: m f [ kg / s] bsfc[ kg / kwh] 3600 (44) Pe [ kw ] ή m f [ kg / s] bsfc[ kg / PSh] (45) Pe [ PS] Εναλλακτικά, η πραγματική ειδική κατανάλωση μπορεί να υπολογιστεί συναρτήσει του βαθμού απόδοσης όπως προκύπτει απο τις σχέσιες (4) & (44): 3600 bsfc[ kg / kwh] (46) η b H k [ kj / kg] ή bsfc[ kg / PSh]. (47) η b H k [ kj / kg] Ισχύει: kg/kwh kg/psh. Ροή μάζας αέρα, Ροή μάζας καυσαερίου, Πίεση καυσαερίων Η ροή μάζας του αέρα προς τον κύλινδρο υπολογίζεται με την ακόλουθη σχέση η οποία προκύπτει απο τον συνδυασμό των εξισώσεων Bernoulli και αρχής διατήρησης της μάζας για την ροή μέσω ακροφυσίου: γ + p γ γ I γ p p m A CV Aeq (48) R γ ir I pi pi όπου p : η πίεση των καυσαερίων στην έξοδο των κυλίνδρων που είναι ίση με την πίεση στην είσοδο του στροβίλου. C V ή c d συντελεστής μεταβολής ροής στις βαλβίδες εισαγωγής & εξαγωγής (Inlet port/exhust vlve flow dischrge coefficient). Αυτός ο συντελεστής στην πραγματικότητα δεν είναι σταθερός όπως θεωρείται στο μοντέλο μας αλλά στα χαμηλά σημεία λειτουργίας (rck positions) έχει την τάση να αυξάνεται π.χ. κατά 0% σε rck A eq ή A Veq η ενεργή ισοδύναμη επιφάνεια των βαλβίδων εισαγωγής & εξαγωγής σε m (Inlet port/exhust vlve men equivlent re). Στον δίχρονο κινητήρα, η παραπάνω ροή μάζας υπολογίζεται θεωρώντας οτι ο κάθε κύλινδρος ισοδυναμεί με ένα σύστημα με δυο ανοίγματα (orifices) στη σειρά όπου το ένα αντιστοιχεί συις θυρίδες εισαγωγής και το άλλο στην βαλβίδα εξαγωγής. Αυτό μπορεί να απλουστευθεί περαιτέρω αντικαθιστώντας τα δυο αυτά ανοίγματα με ένα ισοδύναμο άνοιγμα με διαφορά πίεσης την διαφορά της πίεσης εισαγωγής και εξαγωγής. Η ενεργή ισοδύναμη επιφάνεια ροής για το σύνολο των κυλίνδρων, δηλαδή πόση επιφάνεια αυτού του ισοδύναμου ανοίγματος παραμένει ανοιχτή κατά την πλήρη περιστροφή του στροφάλου (που αντιστοιχεί σε δυο χρόνους), υπολογίζεται με το ολοκλήρωμα: 9

20 π i ( ϕ) Ae ( ϕ) ( ϕ) + A ( ϕ) z A Aeq dϕ (49) π A 0 i όπου Α i η επιφάνεια των θυρίδων εισαγωγής, Α e η επιφάνεια της βαλβίδας εξαγωγής και φ η γωνία στροφάλου σε ακτίνα (rd) ή μοίρες (deg). Τα παραπάνω εξηγούνται γραφικά με σχηματικό διάγραμμα. Δες σχήμα Σημείωση: Σε περίπτωση η γωνία στροφάλου εισαχθεί σε μοίρες η σχέση (48) γίνεται: 360 z Ai ( ϕ) Ae ( ϕ) Aeq 360 dϕ (50) A ( ϕ) + A ( ϕ) H ροή μάζας καυσαερίου (exhust gs mss flow rte) είναι: Εάν και εάν 0 i p e e m A + m F At, eff Ψ( prt ) (5) R m όπου Ψ(pr t ) συνάρτηση: Ψ ( prt ) f ( pr t, γ ) (5) ως ακολούθως: pt, dt prcrit, τότε η ροή είναι υποηχητική (subsonic flow) και η συνάρτηση είναι: p p t, dt p όπου < pr crit Ψ ( pr ) t γ p γ p t, dt γ p p t, dt γ + γ, τότε η ροή είναι ηχητική (sonic flow) και η συνάρτηση είναι: Ψ ( ) pr t (53) γ + γ γ (54) γ + γ γ pr crit (55) γ + και για γ.34 είναι pr crit Αυτό σημαίνει οτι όταν η πίεση του καυσαερίου στην είσοδο του στροβίλου (upstrem pressure) είναι.856 ή παραπάνω φορές μεγαλύτερη της πίεσης εξόδου απ τον στρόβιλο (downstrem pressure), έχουμε υποηχητική ροή, δηλαδή ροή που έχει υποστεί αδιαβατικό στραγγαλισμό (choked flow). Η πίεση των καυσαερίων (xhust gs pressure ή upstrem pressure) προκύπτει επιλύοντας τον τύπο της παροχής μάζας καυσαερίου ως προς την p : 0

21 p ( m + m ) A F A t, eff R exh όπου Α t,eff δες παρακάτω παράγραφο ( Στρόβιλος). Ψ ( pr ) t (56) Τα τρία μεγέθη m A, p και προκύπτουν απο τις εξισώσεις (48), (56) & (37) οι οποίες συνιστούν ένα μή-γραμμικό αλγεβρικό σύστημα 3 εξισώσεων με τις 3 αυτές άγνώστες ανεξάρτητες μεταβλητές. Σημείωση: Η θερμοκρασία καυσαερίου δίνεται απο την σχέση (4) η οποία όμως συνεπάγεται την επίλυση της (37). Στρόβιλος (urbine) Βαθμός Απόδοσης Στροβίλου (urbine fficiency) Θερμοδυναμικώς, ορίζεται ως εξής: O 4 n (57) γ p γ dt p όπου, p : οι συνθήκες των καυσαερίων στην είσοδο του στροβίλου, o4, p dt : οι συνθήκες των καυσαερίων στην έξοδο του στροβίλου και γ Ε : ο λόγος των ειδικών θερμοτήτων των καυσαερίων, γ Ε.34. Η ενεργή επιφάνεια ροής στροβίλου A t,eff. εξής: Η ενεργή περιοχή ροής του στροβίλου (turbine effective flow re) ορίζεται ως A t, eff At, eq (58) όπου A t,eq η ισοδύναμη γεωμετρική επιφάνεια του στροβίλου, σε m. Είναι ένα γεωμετρικό μέγεθος του στροβίλου που θεωρείται σταθερό. Προκύπτει απο τα εξής γεωμετρικά δεδομένα του στροβίλου: A t, eq A A nozzle rotor (59) Anozzle + Arotor Α nozzle η ελάχιστη επιφάνεια ροής του ακροφυσίου εισαγωγής του στροβίλου και Α rotor η ελάχιστη επιφάνεια ροής της έλικας του στροβίλου. Σε αντίθεση με την A eq, εδώ δεν χρειάζεται εύρεση μέσης τιμής, διότι στην διάρκεια ενός κύκλου δεν μεταβάλλεται σημαντικά λόγω του μεγάλου αριθμού των πτερυγίων στον ρότορα (έλικα) του στροβίλου [3].

22 ο αδιάστατος συντελεστής ροής του στροβίλου. Η παράμετρος μπορεί να μοντελοποιηθεί συναρτήσει του λόγου πιέσεων στο στρόβιλο: pt, f p dt. (60) Συχνά, στα πειραματικά δεδομένα συμπεριλαμβάνεται η παράμετρος ροής μάζας MFP (Mss flow prmeter) σε σχέση με τον λόγο πιέσεων του στροβίλου: m f ( prt ) (6) p MFP Λύνοντας την σχέση (5) ή (56) ως προς τον όρο MFP, προκύπτει η παρακάτω σχέση. Αυτός είναι έμμεσος τρόπος να υπολογιστεί ο α Τ. MFP At, eq Ψ( prt ) (6) R exh Δίκτυο εξαγωγής καυσαερίων Η πίεση στην έξοδο του στροβίλου p t,dt (turbine pressure downstrem) είναι υψηλότερη της ατμοσφαιρικής εξαιτίας κυρίως τριβών και στενώσεων του δικτύου σωλήνωσης εξαγωγής καυσαερίων κατά 5 30mbr. Δηλαδή ισχύει: p t, dt p + Δpep (63) Με περεταίρω ανάλυση, η διαφορά πίεσης λόγω γραμμικών τριβών είναι: Δp ep Δp ep l λep d ep ep ρ λep d ep, dt w, dt, dt lep m ρ A όπου λ ep ο συντελεστής τρβής της σωλήνωσης του δικτύου εξάτμισης, εκ του διαγράμματος Moody, λ ep f(r n,e), l ep το μήκος του δικτύου εξάτμισης, d ep η εσωτερική διάμετρος της σωλήνωσης του δικτύου, A ep η διατομή της σωλήνωσης του δικτύου, ρ Ε,dt η πυκνότητα του καυσαερίου μετά το στρόβιλο, w,dt η ταχύτητα (m/s) του καυσαερίου μετά το στρόβιλο. Ωστόσο, επειδή όλα αυτά τα στοιχεία για την αναλυτική εύρεση του Δp ep δεν είναι διαθέσιμα, θεωρούμε την μεταβολή πίεσης μια απλούστερη παραβολή σε σχέση με την παροχή μάζας του καυσαερίου: ep (64)

23 Δ p k m (65) ep p, dt Γνωρίζοντας την παροχή μάζας σε συνθήκες MCR και την μέγιστη τιμή των 5 30mbr πίεσης για την οποία δεν έχουμε πειραματικά δεδομένα αλλά λαμβάνουμε απ την βιβλιογραφία, βρίσκουμε την σταθερά k p,dt. k p, dt Δpep,mx (66) m,mx Η ταχύτητα της άκρης των πτερυγίων του στροβίλου (Velocity of rotor blde tip) είναι (σε m/s): U π Dturb N C (67) όπου D turb : η διάμετρος της πτερωτής του στροβίλου (urbine wheel dimeter). Η ταχύτητα των καυσαερίων (xhust gs velocity) για ισοεντροπική εκτόνωση, είναι: C S γ γ p h (68) p όπου h : η ενθαλπία των καυσαερίων. Η εξάρτηση του n από τον λόγο των ταχυτήτων U /C S είναι σαφώς ισχυρότερη από την εξάρτηση του από τον λόγο πιέσεων p /p. Έτσι, ο ισοεντροπικός βαθμός απόδοσης του στροβίλου για τους σκοπούς του μοντέλου μπορεί να εκτιμάται από ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού της μορφής: n U U κ 0 κ 0 + κ 00 C + S C (69) S όπου: κ Τ0, κ Τ0, κ Τ00 : οι σταθεροί συντελεστές ισοεντροπικού βαθμού απόδοσης στροβίλου (urbine isentropic efficiency coefficients) [3]. Αντικαθιστώντας την ταχύτητα U (6) στην (63), παίρνουμε: n π Dturb N C π Dturb N C κ 0 κ 0 + κ 00 C + S C. (70) S Εναλλακτικά, και απλούστερα ο βαθμός απόδοσης του στροβίλου μπορεί να μοντελοποιηθεί ως μια συνάρτηση (π.χ. πολυώνυμο -βαθμού) του λόγου πιέσεων pr t. 3

24 n pt, f p dt. (7) Ισχύς / Ροπή Στροβίλου (urbine Power / orque) γ p W γ n m c p p (7) Q 30 m c p π N C n p p γ γ (73) Στροφές Υπερπληρωτή Οι εξισώσεις των στροφών του υπερπληρωτή και κινητήρα (επόμενη παράγραφος) είναι οι δυο βασικές διαφορικές εξισώσεις που στελεχώνουν το μοντέλο. Πρόκειται για την εφαρμογή της εξίσωσης διατήρησης της στροφορμής (ngulr momentum conservtion) ή ισοδύναμα του ου νόμου του Νεύτωνα για περιστροφική κίνηση. dn dt C Q Q I c (74) π 30 C Στροφές Μηχανής Η σχέση () αναλυτικά γράφεται ως εξής: dn dt n n i Q Q sh GB GB L (75) I + I GB + I sh + I p όπου Ι Ε, Ι GB, I sh, I p οι ροπές αδράνειας του κινητήρα, του μειωτήρα, του αξονικού συστήματος και της έλικας αντίστοιχα, n sh, n GB οι βαθμοί απόδοσης του αξονικού συστήματος και του μειωτήρα αντίστοιχα, i GB ο λόγος μείωσης του μειωτήρα (ger rtio) Σε περίπτωση που δεν υπάρχει μειωτήρας, I GB 0, n GB, i GB. Η ροπή αδράνειας της έλικας αναλύεται περεταίρω ως εξής: I p ( + new ) I p, (76) όπου Ι p, η ροπή αδράνειας της έλικας σε ανοιχτή θάλασσα (ανεπηρέαστη απο τον ομόρρου του πλοίου), 4

25 n ew συντελεστής προσαύξησης της ροπής αδράνειας της έλικας (ntrined wter coefficient vrition) λόγω προσκολλημένης ποσότητας νερού στα πτερύγια της έλικας. Ροπή Φορτίου (Lod orque): Q i L GB C Q N N P N P Q L C Q i GB N όπου N P : οι στροφές της έλικας, N : οι στροφές του κινητήρα και i GB : ο λόγος μείωσης του μειωτήρα (Ger rtio). C Q : η σταθερά νόμου έλικας η οποία προφανώς βρίσκεται ως εξής: C Q GB N (77) Q (78) i Συνεργασία Μηχανής Έλικας Γάστρας Στα μοντέλα που αναπτύχθηκαν στα πλάισια του παρόντος έργου, δεν προσομοιώθηκε κίνηση του πλοίου μέσω μιας έλικας. Η περαιτέρω ανάπτυξη του μοντέλου θα σήμαινε την προσθήκη του πλοίου για το οποίο επιλέχθηκαν οι συγκεκριμένοι κινητήρες και της έλικας σταθερού ή μεταβλητού βήματος. Οι εξισώσεις (#_) αυτής της παραγράφου που δεν εισήχθησαν στο μοντέλο, και κάνουν εφικτή την όσο το δυνατόν απλούστερη προσομοίωση της συνεργασίας μηχανής-έλικας-γάστρας παρουσιάζονται παρακάτω. Απ τον ο νόμο του Νεύτωνα για την ευθύγραμμη κίνηση του πλοίου, έχω: dυ R (#) dt m + m όπου R η συνολική αντίσταση (otl Resistnce) σε N η οποία αν δεν υπάρχει ως πειραματικό δεδομένο, μπορεί να θωρείται μια δευτέρου βαθμού συνάρτηση της ταχύτητας του πλοίου V s, m V η μάζα του πλοίου σε kg που προφανώς είναι: m ρ (#) όπου η πυκνότητα του θαλασσινού νερού των 5 C σε μονάδες SI είναι ρ05kg/m 3. m hydro η μάζα θαλασσινού νερού που σύμφωνα με την θεωρία του οριακού στρώματος προσκολλάται στην γάστρα και αυξάνει την αδράνεια του πλοίου. Θεωρείται μια προσαύξηση 5% στην μάζα του πλοίου (m hydro 0.05 m V ) [3], και Τ η ώση (hrust) σε N. H ώση και η ροπή της έλικας (Νόμος της έλικας) δίνονται από τους τύπους: 4 N P k ρ DP (#3) N P QP kq ρ DP (#4) 3600 hydro 5

26 όπου N P οι στροφές της έλικας σε rpm D P η διάμετρος της έλικας, Κ Q ο συντελεστής ροπής (orque coefficient), Κ Τ ο συντελεστής ώσης (hrust coefficient) για τον οποίο ισχύει: k (#5) J ρ υ DP Εισάγοντας ένα ποσοστό μέιωσης της ώσης -t λόγω του ότι η έλικα λειτουργεί στην περιοχή της πρύμνης και όχι σε καθαρό απο τύρβη περιβάλλον, συναρτήσει της αντίστασης, η ώση ορίζεται ως: R (#6) t Οι αδιάστατοι συντελεστές ώσης και ροπής της έλικας, παρουσιάζονται στα διαγράμματα του κατασκευαστή, έχοντας δεδομένα τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της έλικας, δηλαδή τον λόγο εκτεταμένης επιφάνειας / προβεβλημένης επιφάνειας έλικας A p, /A p,p, τον αριθμό πτερυγίων z p, τον λόγο βήματος / διάμετρο έλικας p p /D p και τον συντελεστή προχώρησης J. Με την βοήθεια των συντελεστών Κ Τ & Κ Q ορίζεται ο βαθμός απόδοσης της έλικας: k J η p k π Υπενθυμίζεται ότι ο συντελεστής προχώρησης της έλικας (Advnce coefficient) J είναι: VA J (#7) N P DP όπου V A η ταχύτητα προχώρησης της έλικας (η ταχύτητα με την οποία το νερό τελικώς φτάνει στην έλικα) η οποία είναι μικρότερη απο την ταχύτητα του πλοίου V s κατά την ταχύτητα ομόρρου V w που δημιουργείται λόγω της ζώνης τριβής (θεωρία οριακού στρώματος) της οποίας το πάχος μάλιστα αυξάνεται με την απόσταση απο το πρωραίο τμήμα της γάστρας. Έτσι, ισχύει: VA Vs Vw (#8) Για να εκφραστεί η παραπάνω σχέση σε αδιάστατη μορφή, εισάγεται ο συντελεστής ομόρρου w: Vw Vs VA w (#9) Vs Vs Ο πραγματικός ποσοστό ολίσθησης που υποδυκνύει την λειτουργία της έλικας σε διάφορες καταστάσεις φορτίου είναι: SR V /( p N / 60) (#0) [4]. R Q A p p Περεταίρω ανάλυση του συγκεκριμένου θέματος στην βιβλιογραφική αναφορά

27 . Ανάπτυξη μοντέλου στο πακέτο Η/Υ Mtlb Simuling. Στο σχήμα 6 φαίνεται η αρχική σελίδα του μοντέλου στο περιβάλλον Mtlb Simulink []. Τα πράσινα υποσυστήματα (subsystems) περιέχουν σταθερές και δεδομένα (input dt), διαφορετικά για κάθε κινητήρα που εισάγει ο χρήστης. Αυτά είναι δεδομένα απο τα τεχνικά χαρακτηριστικά που παρέχει ο κατασκευαστής, φυσικές σταθερές, σταθερές των εξισώσεων που προσομοιώνουν τα πειραματικά δεδομένα κλπ. Τα υποσυστήματα βαμμένα κίτρινο, είναι οι αρχικές τιμές που επίσης εισάγει ο χρήστης. Όσο πιο κοντυνές είναι οι αρχικές αυτές τιμές σ αυτές που θα υπολογιστούν απο την προσομοίωση για το δοθέν σημείο λειτουργίας F R, τόσο πιο γρήγορα θα συγκλίνει το μοντέλο. Το πορτοκαλί κουτί είναι το(α) σημείο(α) λειτουργίας σε μορφή μονοδιάστατου πίνακα σε σχέση με τον χρόνο (Fuel rck position ή fuel index). Στην επόμενη εικόνα φαίνεται η προσθήκη ενος αναλογικός-ολοκληρωτικός-διαφορικός ρυθμιστής στροφών PID (Proportionl-integrl-differentil engine governor) σύμφωνα με τον οποίο το τελικό rck position προκύπτει απο την σχέση: t d( ΔN ) FR FR, 0 + k p ΔN + ki ΔNdt + kd (79) 0 dt όπου ΔN N ord N η διαφορά των των επιθυμητών στροφών (ordered engine speed) και τηων πραγματικών στροφών της μηχανής (ctul engine speed). k p η σταθερά του αναλογικού όρου, k i η σταθερά του ολοκληρωτικού όρου και k d η σταθερά του διαφορικού όρου. Οι σταθερές αυτές προκύπτουν με διάφορες μέθοδους, εκ των οποίων οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες είναι η «χειροκίνητη» μέθοδος (mnul tuning) και η μέθοδος Ziegler Nichols. Κατά τις δυο μεθόδους, αρχικά ρυθμίζεται η σταθερά k p έχοντας μηδενίσει τις k i και k d. Στην συνέχεια, ρυθμίζονται οι k i και k d. Στην περίπτωση που υπάρχει ρυθμιστής στροφών, το απλό rck position schedule αντικαθιστάται με engine speed schedule + PID governor, όπως φαίνεται στο σχήμα 7. Αναλυτικά ο PID governor φαίνεται στο σχήμα 8. Εκεί φαίνεται η εφαρμογή της σχέσης (79), επίσης οτι χρησιμοποιήθηκε σταθερά χρόνου στις επιθυμητές στροφές (Gin3) με όμοιο τρόπο που εφαρμόστηκαν και οι άλλες σταθερές χρόνου (δες κεφ. 3 & 4), καθώς και περιοριστής ροπής. Επίσης, προστέθηκε ένα περιοριστής ροπής (orque limiter) ο οποίος περιορίζει την μεταβολή του κανόνα καυσίμου εως μια προκαθορισμένη μέγιστη τιμή μεταβολής αυτού, έτσι ώστε να αξασφαλίζεται ή ασφαλής λειτουργία του κινητήρα κατα την διάρκεια των απότομων και έντονων προσομοιώσεων μεταβατικών συνθηκών. Στα υπόλοιπα υποσυστήματα ουσιαστικά ο χρήστης δεν μεταβάλλει κάτι. Στο ροζ υποσύστημα επιλύονται οι δυο βασικές διαφορικές εξισώσεις, κατά την επίλυση των οποίων η ολοκλήρωση απαιτεί τις αρχικές τιμές των στροφών. Τέλος, στο κόκκινο κουτί αποθηκεύεται η μεταβλητή engpr η οποία φέρει (σε μορφή πίνακα) όλα τα αποτελέσματα της προσομοίωσης. Η διαδικασία υπολογισμών έχει ως εξής []: Με την εκκίνηση της προσομοίωσης (εκκίνηση του χρονομέτρου) οι στροφές κινητήρα και υπερπληρωτή έχουν τις αρχικές τους τιμές και υπολογίζονται οι τρεις ανεξάρτητες μεταβλητές (ροή μάζας αέρα, πίεση και θερμοκρασία καυσαερίου). Για κάθε χρονικό βήμα, γίνεται ανάδραση των τελευταίων τιμών των παραγώγων των στροφών μηχανής και 7

28 υπερπληρωτή στον ολοκληρωτή που χρησιμοποιεί τετάρτης τάξης μέθοδο ολοκλήρωσης Runge-Kutt με σταθερό χρονικό βήμα, υπολογίζονται οι απαιτούμενες παραμέτροι των υπομοντέλων (ή υποσυστημάτων) και επιλύεται το μή γραμμικό αγεβρικό σύστημα των εξισώσεων (37), (48) και (56), με την βοήθεια της fsolve function του Optimistion oolbox στο Μαtlαb [7]. Η διαδικασία που μόλις περιγράφτηκε, επαναλαμβάνεται για κάθε χρονικό βήμα μέχρι το τέλος του χρόνου προσομοίωσης. Το χρονικό βήμα ορίστηκε ένα δέκατο του δευτερολέπτου 0.s. Inp_geo_eng Inp_geo_eng ngine geometry time rposition schedule 0.5 Initil ng rpm 48 Initil C rpm Inp_compr Inp_mb_irprop inp_eng_comp Input_engine_components Inp_shf tsy s Inp_shf tsy s shfting system Inp_prop propeller 0 strt time Inp_timecon time constnts dndt_eng_tc Neng_init Neng Ntc_init Ntc N_eng_tc clcultion eng_inp FR mfcy mfcy Fuel mount Neng fuel flow rte Ntc Inp_compr Out_compr mb, ir_prop com pressor mf Neng shf t_prop prop_out propeller clcultions eng_rp_mf Neng Ntc dndt_eng_tc compr inp_eng_comp shf tsy s propeller ng_out strt time time constnts engine prmeters clcultions engpr o Workspce Σχήμα 6. Αρχική σελίδα μοντέλου (twostroke v.0). 8

29 time Nord schedule Nord rpos Neng PID governor Σχήμα 7. Προσθήκη PID governor. Εδώ εισάγονται οι επιθυμητές στροφές μηχανής οι οποίες μεταφράζονται σε rck position με την βοήθεια του ρυθμιστή στροφών PID. rpos_init Initil rpos Nord 94 Nord Initil Neng /0. Gin3 x os Integrtor kp Gin ki Gin kd Gin s Integrtor du/dt Derivtive rpos_unlimited Neng rpos_limited orque limiter rpos Σχήμα 8. Ανάλυση του PID governor. 9

30 3 Προσομοίωση κινητήρα MAN B&W 4L60MC 3. Ρύθμιση Μοντέλου Ο εξεταζόμενος κινητήρας είναι ο ΜΑΝ B&W 4L60MC (Σχήμα 9). Σχήμα 9. Η μηχανή MAN B&W 4L60MC σε τομή. 30

31 Είναι αργόστροφος υπερπληρούμενος δίχρονος πετρελαιοκινητήρας με τα εξής κύρια χαρακτηριστικά []: Τύπος Κινητήρα ΜΑΝ Β&W 4L60MC Αριθμός κυλίνδρων (z) 4 Διαδρομή εμβόλου (S) 944mm Διάμετρος κυλίνδρων (D) 600mm Μέγιστη Συνεχής Ισχύς (P bmcr ) 670kW Στροφές (N,MCR ) rpm Μέση πραγματική πίεση πέδης (bmep MCR ).65MP Στρόβιλοϋπερπληρωτής ΜΑΝ Β&W ΝΑ57/ΤΟ Διάμετρος πτερωτής συμπιεστή (D C ) 0.57m Διάμετρος πτερωτής στροβίλου (D ) m Στην κωδικοποιημένη ονομασία του κινητήρα ο αριθμός 60 δηλώνει διάμετρο εμβόλου (ίση με διάμετρο κυλίνδρου) D0.6m (bore) και από τα στοιχεία του κατασκευαστή (MAN Β&W) έχω διαδρομή εμβόλου (stroke) s.944m. Το γράμμα L δηλώνει μια σχετικά μακριά διαδρομή (Long stroke) ή ότι ο λόγος s/d (Stroke/Bore rtio) είναι 3.3. Πράγματι, s 3.4 D Για την αξιοποίηση των πειραματικών δεδομένων στο μοντέλο, αυτά πρέπει να εκφραστούν μαθηματικώς. Παρακάτω παρουσιάζονται τα χρησιμοποιηθέντα πειραματικά αποτελέσματα καθώς και η βέλτιστη μαθηματική έκφραση που χρησιμοποιήθηκε. 3.. Συγκεντρωτικός πίνακας πειραματικών δεδομένων κινητήρα Τα διαθέσιμα πειραματικά δεδομένα που αφορούν τον κινητήρα (λειτουργία υπο σταθερές συνθήκες) είναι συγκεντρωμένα στις πρώτες επτά στήλες του παρακάτω πίνακα. 3

32 () () (3) (4) (5) (6) (7) %P b /00 P b [kw] bmep [P] p inl [P] u [m/s] exh [K] bsfc [g/kwh] (8) (9) (0) () () (3) (4) (5) Q e [Nm] N e [rpm] N tc [rpm] fmep [br] imep [br] rpos m f [kg/s] m fcy [kg/cyl/cycle] Για τον υπολογισμό των μεγεθών των στηλών 8 5 εφαρμόζονται οι αντίστοιχες σχέσεις της θεωρίας (κεφ.). Σημείωση: Οι στροφές μηχανής προφανώς είναι: Pb [ kw ] N (80) π Q [ Nm] Μέση πίεση τριβών (στήλη ) Χρησιμοποιείται η σχέση (5): p f k f pi,mx + k f N + k f 0 (5) όπου οι σταθερές έχουν τις ακόλουθες τιμές: k f0 0.03, k f , k f και imep mx 7.55br. Καύσιμο Κατανάλωση Καυσίμου: Ξεχωρίζουμε τα rck position και κατανάλωση καυσίμου ανα κύκλο και κύλινδρο στήλες (3) & (5), τα οποία εισάγονται στο μοντέλο σε μορφή μονοδιάστατου πίνακα. - Κατώτερος θερμογόνος δύναμη καυσίμου: Η u 4500 kj/(kg K) - Διορθωτικός συντελεστής καύσης. Λαμβάνεται απο την βιβλιογραφία, η τυπική τιμή: n cor Χημική ενέργεια του καυσίμου στο καυσαέριο ζ : Η σχέση (40) γίνεται [3]: 3

33 ζ k p + k (8) Z e Z 0 όπου οι σταθερές: k Z και k Z Η γραφική αναπαράσταση της ανωτέρω σχέσης είναι η ακόλουθη η οποία είναι τρόπον τινά σύμφωνη με το διάγραμμα της εικόνας 4 (κεφ.). Ωστόσο, στα χαμηλά σημεία λειτουργίας, δηλαδή στις χαμηλές τιμές της bmep, η σχέση (8) παύει να είναι αξιόπιστη και διορθωτικές τιμές ελήφθησαν απο υπολογισμό του ζ βάσει των αρχικών αποτελεσμάτων της προσομοίωσης. Δες 3.3 Συμπεράσματα. ζ y 0.005x bmep (br) 3.. Συμπιεστής Απο τις πειραματικές δοκιμές του κινητήρα με τον συγκεκριμένο υπερπληρωτή προέκυψαν: ) η γραμμή βέλτιστης απόδοσης επάνω στον χάρτη του συμπιεστή απο την οποία λαμβάνουμε τα δεδομένα του λόγου πιέσεων pr c συναρτήσει της διορθωμένης ταχύτητας των ακμών των πτερυγίων του συμπιεστή v cor (Impeller tip speed) και διορθωμένης παροχής αέρα. V c,red. ) η καμπύλη εξάρτησης του ισεντροπικού βαθμού απόδοσης του συμπιεστή συναρτήσει της διορθωμένης ταχύτητας. Διορθωμένη ταχύτητα: ref vcor v Αντίστοιχα ορίζεται και η διορθωμένη παροχή. Επειδή όμως ο παράγοντας ref θεωρούμε οτι η ανωτέρω ταχύτητα και παροχή δεν χρειάζονται διόρθωση. Οι στροφές του υπερπληρωτή, γνωρίζοντας την ταχύτητα των ακμών των πτερυγίων είναι: 60 v v ω R NC π D C 33

34 είναι: όπου D C 0.57m (στοιχεία κατασκευαστή). Επίσης καταγράφω την παροχή μάζας αέρα στον συμπιεστή, η οποία προφανως m ρ V (8) όπου ρ.9kg/m 3 η πυκνότητα του αέρα περιβάλλοντος (mbient ir density). pr c v (m/s) N C (rpm) V (m 3 /s) m A (kg/s) n c Σημείωση: Οι δυο πρώτες σειρές τιμών δεν μετρήθηκαν αλλά προέκυψαν απο εξωτερική παρεμβολή των υπολοίπων. εξής: H βέλτιστη συνάρτηση pr c f(n C ) με επεξεργασία των τιμών προέκυψε ως pr όπου οι σταθερές είναι: k c0 k c k c c k + k N + k N (83) c0 c C c C Σημείωση: Η σταθερά k c0 ορίστηκε εξαρχής ίση με ένα () για να μειωθούν οι σταθερές που θα εισαχθούν στο μοντέλο. 34

35 Dt Plynomil -grde, kc0 prc Ntc (rpm) Αντίστοιχα η βέλτιστη συνάρτηση του βαθμού απόδοσης του συμπιεστή συναρτήσει των στροφών του υπερπληρωτή, n c f(n C ) είναι: και οι σταθερές είναι: k efc k efc k efc n (84) c kefc0 + kefc NC + kefc N C nc y x x Dt Polynomil -grde Ntc (rpm) 35

36 3..3 Ψυγείο Αέρα - Αποδοτικότητα ψυγείου αέρα. Ελλείψει πειραματικών δεδομένων, λαμβάνεται σταθερή. Απο παρόμοιες σχεδιάσεις επιλέχθηκε η τιμή: ε Συνολικός συντελεστής τριβής ψυγείου: f AC 0 - Επιφάνεια ροής ψυγείου: A AC 0.5m Επιφάνεια ροής κυλίνδρων - Συντελεστής ροής θυρίδων εισαγωγής / βαλβίδας εξαγωγής: Οι τιμές του c d σε σχέση με το rck position καθορίστηκαν ως εξής (δες 3.3): r_pos c d Μέση ισοδύναμη επιφάνεια ροής θυρίδων εισαγωγής / βαλβίδας εξαγωγής: Προκύπτει απο την σχέση (47), αλλά στην προκειμένη περίπτωση που δεν υπήρχαν διαθέσιμα δεδομένα, ελήφθη απο παρόμοιες σχεδιάσεις. Α eq 0.05m Στρόβιλος Απο τα πειραματικά αποτελέσματα των δοκιμών του κινητήρα με τον συγκεκριμένο υπερπληρωτή προέκυψαν δυο διαγράμματα που δείχνουν τη μεταβολή της ενεργής επιφάνειας στροβίλου A t,eff και του βαθμού απόδοσης του n t συναρτήσει του λόγου πιέσεων pr t. Τα πειραματικά αποτελέσματα που αφορούν τον στρόβιλο, συγκεντρωμένα σε πίνακα: pr t A t,eff (cm ) t n t

37 Η ενεργή επιφάνεια στροβίλου ορίζεται ως εξής: A t, eff t At, eq (85) όπου t ο συντελεστής ροής στροβίλου (αδιάστατος), Α t,eq 33.3cm (0.0333m ) η ισοδύναμη επιφάνεια στροβίλου. Στόχος είναι να εκφραστεί ο συντελεστής ροής στροβίλου t συναρτήσει του λόγου πιέσεων. H βέλτιστη συνάρτηση προκύπτει με μορφή κλάσματος δευτεροβάθμιου αριθμητή / πρωτοβάθμιου παρονομαστή ως εξής: t k (86) pr + k t prt + kt prt + t t 0 όπου οι σταθερές έχουν τις ακόλουθες τιμές: k t0.33 k t.3 k t Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνονται τα πειραματικά δεδομένα και η παραπάνω καμπύλη t Dt Qudrtic/Liner prt Αντίστοιχα και η βέλτιστη σχέση n t f(pr t ) είναι η ακόλουθη: n t k + k pr + k pr (87) eft0 eft t eft t και οι σταθερές έχουν τις ακόλουθες τιμές: k eft k eft

38 k eft nt y x x Dt Polynomil -grde prt 3..6 Δίκτυο εξαγωγής καυσαερίων - Συντελεστής πίεσης δικτύου εξαγωγής καυσαερίων: Αντικαθιστώντας στην σχέση (64) Δp ep,mx 500N/m και m,mx 4.8kg/s, προκύπτει: k p,dt.4n Ροπές αδράνειας Ροπή αδράνειας στροβιλοϋπερπληρωτή I C 0.483kg m Ροπή αδράνειας κινητήρα I Εng 39800kg m Αξονικό σύστημα - Βαθμός απόδοσης αξονικού συστήματος: n sh Αδράνεια αξονικού συστήματος: I sh 5000kg m - Λόγος μείωσης μειωτήρα (Δεν υπάρχει μειωτήραςεγκατεστημένος): i GB Έλικα - Αδράνεια έλικας: I p, 5000kg m - Σταθερά νόμου έλικας, δες σχέση (70): C Q kNm/rpm 38

39 - Συντελεστής προσαύξησης ροπής αδράνειας έλικας: n ew 0.0 Σημείωση: Οι λοιπές σταθερές, όπως συνθήκες περιβάλλοντος κ.α. που είναι κοινές στις προσομοιώσεις και των δυο κινητήρων, παρουσιάζονται στο τέλος, στην Σύμβολα / Σταθερές. 3. Αποτελέσματα Τόσο τα πειραματικά μας αποτελέματα όσο και οι προσομοιώσεις, δηλαδή τα αποτελέσματα του μοντέλου μας, αφορούν σε:. Προσομοιώσεις σταθερού σημείου λειτουργίας ή σταθερών συνθηκών (Stedystte Runs). Εδώ έχουμε κάθε φορά ένα σταθερό σημείο λειτουργίας (rck position), συγκρίνουμε τα πειραματικά αποτελέσματα με τα προσομοιωμένα, έτσι ώστε να καλιμπράρουμε τις αρχικές σταθερές του μοντέλου.. Προσομοιώσεις μεταβατικών σημείων λειτουργίας (rnsient Runs). Εδώ ξεκινάμε με κάποιο σημείο λειτουργίας και σε κάποιες χρονικές στιγμές το μεταβάλλουμε είτε απότομα ( κατακόρυφα ) είτε ομαλά ( με ράμπα ) όπου συγκρίνοντας τα αποτελέσματα μπορούμε να ελέγξουμε την ταχύτητα με την οποία αποκρίνεται το μοντέλο η οποία εξαρτάται απο τις τιμές αδράνειας, τις σταθερές χρόνου (καθυστέρησης) και τους περιοριστές απότομων μεταβολών (limiters), αν υπάρχουν. Τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται σε αυτήν την παράγραφο και που δεν συνοδεύονται απο ιδιαίτερο σχόλιο, είναι αυτά που πρέκυψαν απο τις τελευταίες προσομοιώσεις έχοντας κάτα κάποιο τρόπο ολοκληρώσει την ρύθμιση του μοντέλου. 3.. Προσομοιώσεις σταθερών συνθηκών Κατ αρχήν εκτελούμε κάποιες δοκιμαστικές προσομοιώσεις σταθερών συνθηκών μεγάλης διάρκειας, για να έχουμε σαφή εικόνα των αρχικών τιμών των στροφών κινητήρα και υπερπληρωτή έτσι ώστε στις ακόλουθες προσομοιώσεις να απαιτείται λιγότερος χρόνος για να συγκλίνει το μοντέλο στις τελικές τιμές. Στην προσομοίωση του συγκεκριμένου κινητήρα δεν χρησιμοποιήθηκε PID ρυθμιστής στροφών μηχανής, οπότε οι αρχικές συνθήκες που μας χρειάζονται είναι ο ακόλουθος πίνακας. r_pos N Ε (rpm) N C (rpm)

40 Όλες οι προσομοιώσεις υπο σταθερές συνθήκες είχαν χρονική διάρκεια μοντέλου t sim 0s. Όπως φάινεται για παράδειγμα στα παρακάτω διαγράμματα, ο χρονος αυτός είναι αρκετός για να συγκλίνει το μοντέλο. Απο κάθε προσομοίωση, καταγράφουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής στον τελικό χρόνο της προσομοίωσης (0s). Τυπώνονται οι παρακάτω μεταβλητές. Στο παράδειγμα, έγινε προσομοίωση 0s υπο σταθερές συνθήκες F R 0.85 εισάγοντας τις σωστές αρχικές τιμές. 40