PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II"

Transcript

1 PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Puntuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 puntos, eercicio = 3 puntos, eercicio 3 = puntos, eercicio 4 = puntos). OPCIÓN A Dada a matriz A 0 1 0, a) Se I é a matriz identidade de orde 3, calcula os valores de para os que A I non ten inversa. Calcula, se eiste, a matriz inversa de A. I b) Calcula a matriz X tal que t t XA A = X, sendo A a matriz trasposta de A.. Sea r a recta que pasa polo punto P(1,-1,-) e é perpendicular ao plano : y 3z 6 0. Sea s a recta que pasa polos puntos A(1,0,0) e B(-1,-3,-4). a) Estuda a posición relativa das rectas r e s. Se se cortan, calcula o punto de corte. b) Calcula a distancia do punto A(1,0,0) ao plano que pasa polo punto P(1,-1,-) e é paralelo a Debua a gráfica de f( ), estudando: dominio, puntos de corte cos eios, asíntotas, 1 intervalos de crecemento e decrecemento, máimos e mínimos relativos, puntos de infleión e intervalos de concavidade e conveidade. 4. a) Enuncia o teorema fundamental do cálculo integral. Sabendo que f ( t ) dt (1 ), con f unha función continua en todos os puntos da recta real, calcula f (). b) Calcula 1 1 d OPCIÓN B 1. a) Discute, segundo os valores do parámetro a, o seguinte sistema de ecuacións lineais: a y z a y z 0 y z a b) Resolve, se é posible, o sistema anterior para o caso a 0. y 1. Dada a recta r : z 4 0 a) Calcula a ecuación do plano que pasa polo punto Q(0,,) e contén a recta r. Calcula a área do triángulo que ten por vértices os puntos de intersección de cos eios de coordenadas. b) Calcula a ecuación eral do plano que contén a recta r e é perpendicular ao plano. 3. a) Define función continua nun punto. Cando se di que unha discontinuidade é evitable? Para que e valores de k, a función f( ) é continua en todos os puntos da recta real? k 3 b) Determina os valores de a, b, c, d para que a función g() a b c d teña un máimo relativo no punto (0,4) e un mínimo relativo no punto (,0). 4. Debua e calcula a área da reión limitada pola recta y 7 e a gráfica da parábola f ( ) = 5. (Nota: para o debuo das gráficas, indicar os puntos de corte cos eios, o vértice da parábola e concavidade ou conveidade) 0

2 PAU SETEMBRO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a debe responder só os eercicios dunha das opcións. Puntuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1 = 3 puntos, eercicio = 3 puntos, eercicio 3 = puntos, eercicio 4 = puntos). OPCIÓN A 1. a) Pon un eemplo de matriz simétrica de orde 3 e outro de matriz antisimétrica de orde 3. b) Sea M unha matriz simétrica de orde 3, con det( M) 1. Calcula, razoando a resposta, o t t determinante de M M, sendo M a matriz trasposta de M. 1 1 c) Calcula unha matriz X simétrica e de rango 1 que verifique: X. 0 0 y z 3 0. Dada a recta r : 3 5y 3z 7 0 a) Calcula a ecuación eral do plano perpendicular a r e que pasa polo punto P(, 1, ). b) Calcula o punto Q no que r corta a. Calcula o ángulo que forma o plano con cada un dos planos coordenados. 3. a) Definición e interpretación eométrica da derivada dunha función nun punto. e e cos b) Calcula: lim 0 sen( ) 4. Debua e calcula a área da reión limitada pola gráfica de y 1 e as rectas tanentes a esta parábola nos puntos de corte da parábola co eio OX. (Nota: para o debuo das gráficas, indicar os puntos de corte cos eios, o vértice da parábola e concavidade ou conveidade). OPCIÓN B 1. a) Discute, segundo os valores do parámetro m, o sistema de ecuacións lineais m y z 0 y z 0 y z m b) Resólveo, se é posible, nos casos m 0 e m y 1 0. Dadas as rectas r : y 4 ; s : 5 y 4 z 4 0 z 6 a) Estuda a súa posición relativa. Se se cortan, calcula o punto de corte e o ángulo que forman r e s. b) Calcula, se eiste, o plano que as contén. 3. Debua a gráfica da función f( ), estudando: dominio, puntos de corte cos eios, asíntotas, intervalos de crecemento e decrecemento, máimos e mínimos relativos, puntos de infleión e intervalos de concavidade e conveidade. 4. a) Calcula ln(1 ) d (Nota: ln = logaritmo neperiano) b) Enuncia e interpreta eometricamente o teorema do valor medio do cálculo integral.

3 CONVOCATORIA DE XUÑO OPCIÓN A 1) a) puntos, distribuídos en: 1 punto pola obtención dos valores de λ para os que A+λI non ten inversa. 1 punto polo cálculo da matriz inversa de A-I. b) 1 punto, distribuídos en: 0,5 puntos por despear X 0,5 puntos polos cálculos de A t (A-I) -1 ) a) puntos, distribuídos en: 0,5 puntos pola obtención das rectas r e s. 1 punto polo estudo da posición relativa das rectas. 0,5 puntos pola obtención do punto de corte. b) 1punto, distribuído en: 0,5 puntos pola obtención do plano β. 0,5 puntos pola obtención da distancia do punto ao plano. 3) puntos, distribuídos en: 0,5 puntos polo dominio e puntos de corte cos eies. 0,5 puntos polas asíntotas. 0,5 puntos polos intervalos de crecemento e decrecemento. 0,5 puntos por ustificar que non eisten máimos nin mínimos relativos. 0,5 puntos por ustificar que non eisten puntos de infleión. 0,5 puntos polos intervalos de concavidade e conveidade. 0,5 puntos pola gráfica. 4) a) 1 punto, distribuído en: 0,5 puntos polo enunciado do teorema fundamental do cálculo integral. 0,5 puntos pola obtención de f(). b) 1punto, distribuído en: 0,5 puntos pola división do polinomio do numerador entre o do denominador e a descomposición en fraccións simples. 0,5 puntos polas integrais e aplicación da regra de Barrow. OPCIÓN B 1) a) puntos, distribuídos en: 0,5 puntos pola obtención do rango da matriz de coeficientes. 0,5 puntos polo cálculo do rango da matriz ampliada. 0,5 puntos. Sistema incompatible. 0,5 puntos. Sistema compatible determinado. b) 1 punto, pola solución do sistema para o caso a = 0. ) a) puntos, distribuídos en: 1 punto pola obtención dunha ecuación do plano α. 1 punto polo cálculo da área do triángulo. b) 1 punto, pola obtención da ecuación do plano.

4 3) a) 1 punto, distribuído en: 0,5 puntos pola definición de función continua nun punto. 0,5 puntos pola definición de descontinuidade evitable. 0,5 puntos pola obtención dos valores de k. b) 1 punto, distribuído en: 0,5 puntos pola formulación do problema. 0,5 puntos pola obtención dos valores de a, b, c, d. 4) puntos, distribuídos en: 0,75 puntos polas gráficas. 0,75 puntos pola formulación do problema. 0,5 puntos polo cálculo da integral definida. CONVOCATORIA DE SETEMBRO OPCIÓN A 1) a) 0,5 puntos, distribuídos en: 0,5 puntos polo eemplo de matriz simétrica. 0,5 puntos polo eemplo de matriz antisimétrica. b) 1 punto c) 1,5 puntos, distribuídos en: 0,5 puntos por epresar a condición do rango. 0,5 puntos polas ecuacións do produto de matrices. 0,5 puntos por resolver as ecuacións. ) a) 1,5 puntos b) 1,5 puntos, distribuídos en: 0,75 puntos pola obtención do punto de corte. 0,75 puntos (0,5 puntos por cada ángulo). 3) a) 1 punto, distribuído en: 0,5 puntos pola definición da derivada dunha función nun punto. 0,5 puntos pola interpretación eométrica. b) 1 punto 4) puntos, distribuídos en: 0,5 puntos por representar a parábola. 0,5 puntos pola obtención das tanentes. 0,5 puntos pola formulación da área. 0,5 puntos polo cálculo da integral definida. OPCIÓN B 1) a) puntos, distribuídos en: 0,5 puntos pola obtención do rango da matriz de coeficientes.

5 0,5 puntos polo cálculo do rango da matriz ampliada. 0,5 puntos. Sistema incompatible 0,5 puntos. Sistema compatible determinado. b) 1 punto (0,5 puntos por cada caso) ) a) puntos, distribuídos en: 1 punto pola posición relativa 0,5 puntos polo punto de corte. 0,5 puntos polo ángulo que forman as rectas. b) 1 punto, pola obtención da ecuación do plano. 3) puntos, distribuídos en: 0,5 puntos polo dominio e puntos de corte cos eies. 0,5 puntos polas asíntotas. 0,5 puntos polos intervalos de crecemento e decrecemento. 0,5 puntos polo máimo e mínimo relativos. 0,5 puntos por ustificar que non eisten puntos de infleión. 0,5 puntos polos intervalos de concavidade e conveidade. 0,5 puntos pola gráfica. 4) a) 1 punto, distribuído en: 0,5 puntos pola integración por partes. 0,5 puntos pola integral da función racional. b) 1 punto, distribuído en: 0,5 puntos polo enunciado do teorema do valor medio do cálculo integral. 0,5 puntos pola interpretación eométrica.

6 CONVOCATORIA DE XUÑO OPCIÓN A ) a) A I ; A+ I 1 ( 1) Polo tanto, A I non ten inversa A I ; A I ( 3) ( 1) t t 1 A I ( Ad( A I) ij) A I t t b) XA A X X ( A I) A. E, polo apartado anterior, sabemos que A I ten inversa. Polo tanto: t 1 X A ( A I) X P(1, 1, ) r ) a) r: y 1 vr n (1,,3) z 3 v s 1 A(1,0,0) s s: y 3 AB (, 3, 4) z rang( vr, vs) rang as rectas córtanse ou crúzanse. Ademais rang( vr, vs, PA) rang 3 4, logo as rectas córtanse. 0 1 Punto de corte: 1 = T(3,3, 4) 3 4

7 b) P(1, 1, ) : ( 1) ( y 1) 3( z ) 0 : y 3z 7 0 n n (1,,3) d( A, ) 3) Dom( f ) unidades Puntos de corte cos eies: 0 f ( ) 0 (0,0) ; ( 3,0) f ( ) 0 ( 3) 0 lim f( ) 1 1 Asíntota vertical lim f( ) 1 Non eisten asíntotas horizontais pois lim f( ) Cálculo da asíntota oblicua: 3 m lim 1 ( 1) y 3 3 b lim( ) lim 1 1 Cálculo dos puntos críticos: ( 3)( 1) 3 3 f '( ) ( 1) ( 1) f '( ) 0 3 0, que non ten raíces reais. Polo tanto, non eisten máimos nin mínimos relativos. Intervalos de crecemento e decrecemento: (, 1) ( 1, ) f ( ) > 0 > 0 f ( ) crecent e crecent e Calculamos a segunda derivada: ( )( 1) ( 1)( 3) 4 f "( ) ( 1) ( 1) f "( ) 0 e polo tanto a función non ten puntos de infleión. Intervalos de concavidade e conveidade: 4 3 f( ) é crecente no intervalo (, 1) e no intervalo ( 1, ) (, 1) ( 1, ) f "( ) > 0 < 0 f ( ) convea cóncava f( ) é convea no intervalo (, 1) e cóncava no intervalo ( 1, ) Con todos estes datos a gráfica da función será:

8 = -1 y= + 4) a) Se f( ) é unha función continua en ab, e F( ) f ( t) dt, entón F ( ) é derivable en ( ab, ) e ademais F '( ) f ( ). F( ) f ( t) dt (1 ) f ( ) F '( ) 3 0 e polo tanto: f () b) O numerador e denominador son funcións polinómicas do mesmo grao. Polo tanto, en primeiro lugar, facemos a división: e, tendo en conta que ( 1), facemos a descomposición en fraccións simples 1 A B A B A A 1 1 B Polo tanto 1 d d d d 1 e aplicando a regra de Barrow 1 ln ln 1 ln ln 3 1 ln 1 3ln ln 3 1 ln(8/ 9) 1 d 1 a

9 OPCIÓN B a a a Matriz de Matriz 1) a) ( C) ; ( A) coeficientes ampliada 1 1 a Calculamos o rango da matriz de coeficientes: rang( C) 1 C a 4 4 a 4 3a 6; 3a 6 0 a Polo tanto: a rang( C) a rang( C) 3 Calculamos o rango da matriz ampliada: a rang( A) 3, pois 3 rang( C) rang( A) 3 para a Concluímos que rang( A) 3, para calquera valor do parámetro. Discusión: a rang ( C) 3 rang ( A). Sistema incompatible. Non ten solución. a rang( C) 3 rang( A) nº incógnitas. Sistema compatible determinado. Solución única. b) a 0. Estamos no caso de sistema compatible determinado e é un sistema homoéneo. Polo tanto a solución única é a solución trivial ) a) Q P r r v r 0, y 0, z 0 = 4 y 1 r : r : y 1 z 4 0 z P ( 4,1,0) r; Q(0,,) r vr (1,0,1) vectores directores de QPr ( 4, 1, ) Estes elementos determinan o plano : y z : y z

10 Vértices do triángulo: M( 6,0,0); N(0,3,0); P(0,0,6) i j k MN (6,3,0) MN MP (18, 36, 18) MP (6,0,6) b) Área 1 1 MNP MN MP u v r (1,0,1) vectores directores de n (1,, 1) P ( 4,1,0) r Estes elementos determinan o plano : 4 y 1 z : y z ) a) Dise que f( ) é continua no punto 0, se lim f ( ); f ( ); lim f ( ) f ( ) Dise que f( ) ten unha descontinuidade evitable no punto 0, se lim f( ) 0 f( 0) ou ben f( 0) pero f ( ) lim f ( ) 0 0 e f( ) k non se anula o denominador, pero é un cociente de funcións continuas en. Polo tanto f( ) será continua en se k 0 k Así f( ) é continua en para k (0, ). b) g(0) 4 d 4 g'(0) 0 c 0 3 Máimo relativo en (0, 4) g( ) a b 4 g() 0 8a 4b 4 0 a 1 Mínimo relativo en (,0) g '() 0 1a 4b 0 b 3 4) y 7 Puntos de corte da recta cos eies: (0,7), (7,0) f '( ) Decrecente en (,0) e crecente en (0, ) f ( ) 5 Corte cos eies: (0,5); Vértice (0,5); f "( ) 0 convea

11 Puntos de corte de recta e parábola: y 7 0 Puntos de corte das gráficas: (,9);(1,6) y 5 1 (-,9) (0,7) (0,5) (1,6) - 1 (7,0) +y= Área 7 ( 5) d ( ) d u 3 CONVOCATORIA DE SETEMBRO OPCIÓN A 1) a) Eemplo de matriz Eemplo de matriz : ; : simétrica de orde 3 antisimétrica de orde t t b) M simétrica ( a a ) M M M M M. Entón, tendo en conta que M é de ij ji orde 3: 3 det( M M t ) det( M) det( M) 8 a b c) X cadrada de orde e simétrica X b c rang( X ) 1ac b 0, e non todos nulos a b 1 1 a b a b b c 0 0 b c b c 0 0 temos así:

12 a b a 0 b c 0 b 0 X 0 0 ac b 0 c 0 ) a) Calculamos as ecuacións paramétricas de r : 4 y z 3 r: y 1 3 5y 3z 7 z Por ser o plano e a recta perpendiculares: r n v r ( 1,0,1) Polo tanto: pasa polo punto P(, 1, ) : 1( ) ( z ) 0 : z 4 0 n ( 1,0,1) b) Punto de corte da recta e o plano: Q(4, 1,0) Ángulo que forma cos planos coordenados: Plano XY : z 0 n n cos(, ) cos( n, n ) (, ) : z 4 0 n n 4 Plano YZ : 0 n n cos(, ) cos( n, n ) (, ) : z 4 0 n n 4 Plano XZ : y 0 n n cos(, ) cos( n, n ) 0 (, ) : z 4 0 n n 3) a) Dada a función y f ( ), dise que f( ) é derivable en a, se eiste e é finito o límite: f ( a h) f ( a) lim h 0 h represéntase por f( a) e chámase derivada de f( ) en a. a h a+h f(a+h)-f(a) f ( a h) f ( a) Interpretación eométrica: o cociente h coincide coa pendente da recta secante que pasa por ( a, f ( a)) e ( a h, f ( a h)). A medida que vai diminuindo a amplitude do intervalo a, a h, os puntos de corte determinados polas distintas secantes fanse máis e máis próimos. No límite, a secante convírtese na tanente. Así: a derivada de f( ), en a, coincide coa pendente da recta tanente á gráfica de f( ) no punto ( a, f ( a )). b) É unha indeterminación do tipo 0. Aplicamos L Hôpital 0

13 00 e e cos e e sen e e cos 4 lim lim lim sen( ) cos( ) L' Hôpital cos( ) 4 sen( ) 4) vértice : (0,1) y ' ; y" 0 cóncava parábola: y 1 Puntos corte eie 0X: ( 1,0),(1,0) (0,) Recta tanente en (-1,0): y ( 1) y Recta tanente en (1,0): y ( 1) y Polo tanto: (0,1) 0 1 A ( 1) d ( 1) d 1 0 (-1,0) (1,0) integrando e aplicando a regra de Barrow A u y=+ y=-+ OPCIÓN B m 1 m 1 0 Matriz de Matriz 1) a) ( C) ; ( A) coeficientes ampliada m Calculamos o rango da matriz de coeficientes: C m 4 m rang( C) m rang( C) Calculamos o rango da matriz ampliada: pero para m m, 3 rang( C) rang( A) 3 rang( A) Así, rang( A) 3, m

14 Discusión do sistema: m rang( C) 3 rang ( A). Sistema incompatible. Non ten solución. m rang( C) 3 rang ( A) nº incógnitas Sistema compatible determinado. Solución única. b) Caso m 0. Queda un sistema homoéneo e como estamos no caso dun sistema compatible determinado, a única solución é a trivial: y z 0 Caso m 1. Tamén estamos no caso dun sistema compatible determinado e a solución única podémola obter por Cramer: ; y ; z 1 ) a) Determinamos un punto e un vector director de cada unha das rectas r e s : Pr (3,0, 6) ; v ( 3, 4,0) r v (1,16, 0) s i j k Consideramos (3,4,5) s Podemos estudar a posición relativa utilizando rangos: v ; P (3,0, 1) v r rang rang As rectas córtanse ou crúzanse. v s PP r s Pero como rang vr rang 3 4 0, as rectas son secantes. v s Punto de corte: 4(3 3 ) P(0, 4, 6) O ángulo que forman as rectas podemos calculalo como: vrvs 9 16 ( r, s) ar cos ar cos ar cos v v b) Como as rectas son secantes, están contidas nun plano: 3 3 (0, 4 6) : y vr, vs vectores de z 6 5 r s s

15 3) Dom( g) Puntos de corte cos eies: 0 g( ) 0 (0,0) g( ) 0 0 lim g ( ) Asíntota vertical lim g ( ) Non eisten asíntotas horizontais pois lim g ( ) Cálculo da asíntota oblicua: m lim 1 ( ) y b lim( ) lim Cálculo dos puntos críticos: ( ) 4 g'( ) ( ) ( ) 0 g'( ) 0 4 Intervalos de crecemento e decrecemento: (,0) (0,) (,4) (4, ) g'( ) > 0 < 0 <0 >0 g ( ) crecent e decrecent e decrecent e g ( ) é crecente nos intervalos (,0) e (4, ) e g ( ) é decrecente nos intervalos (0,) e (,4). Calculamos a segunda derivada: ( 4)( ) ( )( 4 ) 8 g"( ) ( ) ( ) g"(0) 1 0 Máimo relativo: (0,0) 4 3 g"(4) 1 0 Mínimo relativo: (4,8) g"( ) 0 e polo tanto a función non ten puntos de infleión. Intervalos de concavidade e conveidade: crecent e (,) (, ) g"( ) < 0 > 0 g( ) cóncava convea g ( ) é convea no intervalo (, ) e cóncava no intervalo (,) Con todos estes datos, a gráfica de g ( ) será:

16 y=+ 8 4 = 4) a) Utilizamos o método de integración por partes: u ln(1 ) du d 3 1 I ln(1 ) d ln(1 ) d dv d v 1 Como o grao do polinomio do numerador é maior que o grao do denominador, facemos a división dos polinomios. Así: b) Se ( ) b 1 I ln(1 ) ( ) ln(1 ) ln(1 ) d C 1 f é unha función continua nun intervalo, f ( ) d f ( c )( b a ) a ab, eiste un punto c( a, b) tal que Interpretación eométrica: A área encerrada pola gráfica de unha función continua nun intervalo pechado, o eio OX e as rectas a, b é igual á área dun rectángulo de base b a e altura f() c, sendo f() c o valor que toma a función nun punto intermedio c. a c b

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Punuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 punos, eercicio = 3 punos, eercicio 3 =

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II PAU Código: 6 XUÑO 01 MATEMÁTICAS II (Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio 3= puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) 21 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os que A ten inversa.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) 1 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

ln x, d) y = (3x 5 5x 2 + 7) 8 x

ln x, d) y = (3x 5 5x 2 + 7) 8 x EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: CÁLCULO DIFERENCIAL. Deriva: a) y 7 6 + 5, b) y e, c) y e) y 7 ( 5 ), f) y ln, d) y ( 5 5 + 7) 8 n e ln, g) y, h) y n. Usando a derivada da función inversa, demostra que: a)

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2016 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2016 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 06 Código: 6 MATEMÁTICAS II (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio = 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS EXERCICIOS DE REFORZO RECTAS E PLANOS Dada a recta r z a) Determna a ecuacón mplícta do plano π que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular a r Calcula o punto de nterseccón de r a π b) Calcula o punto

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O?

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O? EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS Representa en R os puntos S(2, 2, 2) e T(,, ) 2 Debuxa os puntos M (, 0, 0), M 2 (0,, 0) e M (0, 0, ) e logo traza o vector OM sendo M(,, ) Cal é o vector de

Διαβάστε περισσότερα

XUÑO 2018 MATEMÁTICAS II

XUÑO 2018 MATEMÁTICAS II Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso áuniversidade XUÑO 218 Código: 2 MATEMÁTICAS II (Responde só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio

Διαβάστε περισσότερα

VII. RECTAS E PLANOS NO ESPAZO

VII. RECTAS E PLANOS NO ESPAZO VII. RETS E PLNOS NO ESPZO.- Ecuacións da recta Unha recta r no espao queda determinada por un punto, punto base, e un vector v non nulo que se chama vector director ou direccional da recta; r, v é a determinación

Διαβάστε περισσότερα

INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS

INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS Páina 0 REFLEXIONA E RESOLVE Coller un autobús en marca Na gráfica seguinte, a liña vermella representa o movemento dun autobús que arranca da parada e vai,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. PRIMEIRA PARTE (Parte Común) ), cadradas de orde tres, tales que a 21

MATEMÁTICAS. PRIMEIRA PARTE (Parte Común) ), cadradas de orde tres, tales que a 21 PRIMEIRA PARTE (Parte Común) (Nesta primeira parte tódolos alumnos deben responder a tres preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos tres bloques temáticos: Álxebra Lineal, Xeometría e Análise. A puntuación

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA

EXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA Maemáicas II EXERCICIOS DE ÁLXEBRA PAU GALICIA a) (Xuño ) Propiedades do produo de marices (só enuncialas) b) (Xuño ) Sexan M e N M + I, onde I denoa a mariz idenidade de orde n, calcule N e M 3 Son M

Διαβάστε περισσότερα

IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes

IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes 1.- Distancia entre dous puntos Se A e B son dous puntos do espazo, defínese a distancia entre A e B como o módulo

Διαβάστε περισσότερα

XEOMETRÍA NO ESPAZO. - Se dun vector se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido, este está perfectamente determinado no espazo.

XEOMETRÍA NO ESPAZO. - Se dun vector se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido, este está perfectamente determinado no espazo. XEOMETRÍA NO ESPAZO Vectores fixos Dos puntos do espazo, A e B, determinan o vector fixo AB, sendo o punto A a orixe e o punto B o extremo, é dicir, un vector no espazo é calquera segmento orientado que

Διαβάστε περισσότερα

Tema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral,

Tema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral, Tema 3. Espazos métricos Topoloxía Xeral, 2017-18 Índice Métricas en R n Métricas no espazo de funcións Bólas e relacións métricas Definición Unha métrica nun conxunto M é unha aplicación d con valores

Διαβάστε περισσότερα

Sistemas e Inecuacións

Sistemas e Inecuacións Sistemas e Inecuacións 1. Introdución 2. Sistemas lineais 2.1 Resolución gráfica 2.2 Resolución alxébrica 3. Método de Gauss 4. Sistemas de ecuacións non lineais 5. Inecuacións 5.1 Inecuacións de 1º e

Διαβάστε περισσότερα

1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES

1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07 Eames e Tetos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atriución Compartir igual.0 Internacional. A INTEGRAL INDEFINIDA.. DEFINICIÓN DE INTEGRAL

Διαβάστε περισσότερα

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016 Tema 1. Espazos topolóxicos Topoloxía Xeral, 2016 Topoloxía e Espazo topolóxico Índice Topoloxía e Espazo topolóxico Exemplos de topoloxías Conxuntos pechados Topoloxías definidas por conxuntos pechados:

Διαβάστε περισσότερα

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Páxina REFLEXIONA E RESOLVE Cónicas abertas: parábolas e hipérboles Completa a seguinte táboa, na que a é o ángulo que forman as xeratrices co eixe, e, da cónica e b o ángulo

Διαβάστε περισσότερα

Tema: Enerxía 01/02/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA

Tema: Enerxía 01/02/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Tema: Enerxía 01/0/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nome: 1. Unha caixa de 150 kg descende dende o repouso por un plano inclinado por acción do seu peso. Se a compoñente tanxencial do peso é de 735

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS

EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. ) Clul os posiles vlores de,, pr que triz A verifique relión (A I), sendo I triz identidde de orde e triz nul de orde. ) Cl é soluión dun siste hooéneo

Διαβάστε περισσότερα

1. O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE

1. O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE MATEMÁTICA II 06 Exames e Textos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atribución Compartir igual 40 Internacional

Διαβάστε περισσότερα

a) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( )

a) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( ) .. MATEMÁTICAS I PENDENTES (º PARTE) a) Calcula m de modo que o produto escalar de a(, ) e b( m, 5 ) sea igual a 5. b) Calcula a proección de a sobre c, sendo c,. ( ) 5 Se (, ) e y,. Calcula: a) Un vector

Διαβάστε περισσότερα

Procedementos operatorios de unións non soldadas

Procedementos operatorios de unións non soldadas Procedementos operatorios de unións non soldadas Técnicas de montaxe de instalacións Ciclo medio de montaxe e mantemento de instalacións frigoríficas 1 de 28 Técnicas de roscado Unha rosca é unha hélice

Διαβάστε περισσότερα

Funcións e gráficas. Obxectivos. 1.Funcións reais páx. 4 Concepto de función Gráfico dunha función Dominio e percorrido Funcións definidas a anacos

Funcións e gráficas. Obxectivos. 1.Funcións reais páx. 4 Concepto de función Gráfico dunha función Dominio e percorrido Funcións definidas a anacos 9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer o dominio e o percorrido dunha función. Determinar se unha

Διαβάστε περισσότερα

Inecuacións. Obxectivos

Inecuacións. Obxectivos 5 Inecuacións Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Resolver inecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita. Resolver sistemas de ecuacións cunha incógnita. Resolver de forma gráfica inecuacións

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto

Διαβάστε περισσότερα

Funcións e gráficas. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Funcións páx. 4 Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido

Funcións e gráficas. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Funcións páx. 4 Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido 9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quinceer na aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer ou dominio e ou percorrido dunha función. Determinar se

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 1 ELECTOMAGNETISMO INTODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. Calcúlase a resultante polo principio de superposición. Aplícase a 2ª lei

Διαβάστε περισσότερα

PAAU (LOXSE) XUÑO 2005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS

PAAU (LOXSE) XUÑO 2005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS PAAU (LOXSE) XUÑO 005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS Código: 61 O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra

Διαβάστε περισσότερα

NÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz:

NÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz: NÚMEROS COMPLEXOS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE Extraer fóra da raíz Saca fóra da raíz: a) b) 00 a) b) 00 0 Potencias de Calcula as sucesivas potencias de : a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) 5 a) ( ) ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119 Página 0. a) b) π 4 π x 0 4 π π / 0 π / x 0º 0 x π π. 0 rad 0 π π rad 0 4 π 0 π rad 0 π 0 π / 4. rad 4º 4 π π 0 π / rad 0º π π 0 π / rad 0º π 4. De izquierda a derecha: 4 80 π rad π / rad 0 Página 0. tg

Διαβάστε περισσότερα

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos VIII. ESPZO EULÍDEO TRIDIMENSIONL: Áglos perpediclaridade de rectas e plaos.- Áglo qe forma dúas rectas O áglo de dúas rectas qe se corta se defie como o meor dos áglos qe forma o plao qe determia. O áglo

Διαβάστε περισσότερα

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta.

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Páxina 1 de 9 1. Formato da proba Formato proba constará de vinte cuestións tipo test. s cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Puntuación Puntuación: 0.5

Διαβάστε περισσότερα

Ámbito científico tecnolóxico. Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións. Módulo 3 Unidade didáctica 8

Ámbito científico tecnolóxico. Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións. Módulo 3 Unidade didáctica 8 Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Módulo 3 Unidade didáctica 8 Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións Páxina 1 de 45 Índice 1. Programación da unidade...3

Διαβάστε περισσότερα

PÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109

PÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109 PÁGINA 0. La altura del árbol es de 8,5 cm.. BC m. CA 70 m. a) x b) y PÁGINA 0. tg a 0, Con calculadora: sß 0,9 t{ ««}. cos a 0, Con calculadora: st,8 { \ \ } PÁGINA 05. cos a 0,78 tg a 0,79. sen a 0,5

Διαβάστε περισσότερα

Métodos Matemáticos en Física L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro APL)

Métodos Matemáticos en Física L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro APL) L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro Condiciones de contorno. Fuerzas externas aplicadas sobre una cuerda. condición que nos describe un extremo libre en una cuerda tensa. Ecuación

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra 3 puntos; Análise 3,5 puntos;

Διαβάστε περισσότερα

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 3 Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Achar a expresión en coeficientes dun polinomio e operar con eles. Calcular o valor numérico dun polinomio. Recoñecer algunhas identidades notables,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. BLOQUE DE ÁLXEBRA (Puntuación máxima 3 puntos) 1 0 0 1-1 -1 Sexan as matrices

Διαβάστε περισσότερα

A circunferencia e o círculo

A circunferencia e o círculo 10 A circunferencia e o círculo Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar os diferentes elementos presentes na circunferencia e o círculo. Coñecer as posicións relativas de puntos, rectas e circunferencias.

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

PAU XUÑO 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II PAU XUÑO 2014 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS M.H.S.. 1. Dun resorte elástico de constante k = 500 N m -1 colga unha masa puntual de 5 kg. Estando o conxunto en equilibrio, desprázase

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE REFORZO: DETERMINANTES., calcula a matriz X que verifica A X = A 1 B, sendo B =

EXERCICIOS DE REFORZO: DETERMINANTES., calcula a matriz X que verifica A X = A 1 B, sendo B = EXERCICIOS DE REORZO: DETERMINANTES Pr A, lul riz X que verifi AX A B, sendo B ) Define enor opleenrio e duno dun eleeno nunh riz drd ) Dd riz A : i Clul o rngo, segundo os vlores de λ, de A λi, sendo

Διαβάστε περισσότερα

PAU Xuño 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

PAU Xuño 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II PAU Xuño 015 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,

Διαβάστε περισσότερα

NÚMEROS REAIS. Páxina 27 REFLEXIONA E RESOLVE. O paso de Z a Q. O paso de Q a Á

NÚMEROS REAIS. Páxina 27 REFLEXIONA E RESOLVE. O paso de Z a Q. O paso de Q a Á NÚMEROS REAIS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE O paso de Z a Q Di cales das seguintes ecuacións se poden resolver en Z e para cales é necesario o conxunto dos números racionais, Q. a) x 0 b) 7x c) x + d)

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA PROBLEMAS DIOPTRIO PLANO 1. Un raio de luz de frecuencia 5 10 14 Hz incide, cun ángulo de incidencia de 30, sobre unha lámina de vidro de caras plano-paralelas de espesor

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS INTRODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: a) Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. b) Calcúlase cada forza. c) Calcúlase a resultante polo principio

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA PROBLEMAS DIOPTRIO PLANO 1. Un raio de luz de frecuencia 5 10¹⁴ Hz incide cun ángulo de incidencia de 30 sobre unha lámina de vidro de caras plano-paralelas de espesor 10

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. BLOQUE DE ÁLXEBRA (Puntuación máxima 3 puntos) Un autobús transporta en certa

Διαβάστε περισσότερα

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::... Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista -.1 - Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1)

Διαβάστε περισσότερα

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO 1. CORPOS XEOMÉTRICOS No noso entorno observamos continuamente obxectos de diversas formas: pelotas, botes, caixas, pirámides, etc. Todos estes obxectos son corpos xeométricos.

Διαβάστε περισσότερα

ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS

ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS Índice 1. Ecuacións de primeiro e segundo grao... 1 1.1. Ecuacións de primeiro grao... 1 1.. Ecuacións de segundo grao.... Outras ecuacións alébricas... 5.1. Ecuacións

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

PAU XUÑO 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II PAU XUÑO 2013 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,

Διαβάστε περισσότερα

Semellanza e trigonometría

Semellanza e trigonometría 7 Semellanza e trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Recoñecer triángulos semellantes. Calcular distancias inaccesibles, aplicando a semellanza de triángulos. Nocións básicas de trigonometría.

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. 2. Dada a ecuación lineal 2x 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. 2. Dada a ecuación lineal 2x 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2 EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS Dds s ecucións seguintes indic s que son lineis: ) + + b) + u c) + d) + Dd ecución linel + comprob que s terns ( ) e ( ) son lgunhs ds sús solucións

Διαβάστε περισσότερα

x 2 6º- Achar a ecuación da recta que pasa polo punto medio do segmento de extremos

x 2 6º- Achar a ecuación da recta que pasa polo punto medio do segmento de extremos º- Dados os puntos A(,, ), B(, 4), C( 5,, ) EXERCICIOS XEOMETRÍA Acha as coodenadas dun cuato punto D coa condición que o cuadiláteo ABCD sexa un paalelogamo º- Escibi as ecuacións paaméticas, na foma

Διαβάστε περισσότερα

1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos

1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos V. PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos 1 Experimento aleatorio. Concepto e exemplos Experimentos aleatorios son aqueles que ao repetilos nas mesmas condicións

Διαβάστε περισσότερα

1_2.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados

1_2.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados 1_.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados 1. Ordena de menor a maior as seguintes fraccións: 1 6 3 5 7 4,,,,, 3 5 4 8 6 9. Efectúa as seguintes operacións e simplifica o resultado:

Διαβάστε περισσότερα

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Os números reais

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Os números reais CADERNO Nº NOME: DATA: / / Os números reais Contidos. Os números reais Números irracionais Números reais Aproximacións Representación gráfica Valor absoluto Intervalos. Radicais Forma exponencial Radicais

Διαβάστε περισσότερα

CALCULO DIFERENCIAL. x x. = c. , que verifica f ( 0) > 0 e f ( 1) < 1 demostrar que existe

CALCULO DIFERENCIAL. x x. = c. , que verifica f ( 0) > 0 e f ( 1) < 1 demostrar que existe CALCULO DIFERENCIAL º- s < Dada a función f ( ) = s Rprsnraa gráficamnt studia a súa s > continuidad º Estudia a continuidad da función f ( ) = s 0 cos s > 0 0 0, tals qu f ( < g(0) f ( ) > g() Dmostrar

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 FÍSICA

PAU XUÑO 2011 FÍSICA PAU XUÑO 2011 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Ano 2018 FÍSICA. SOL:a...máx. 1,00 Un son grave ten baixa frecuencia, polo que a súa lonxitude de onda é maior.

Ano 2018 FÍSICA. SOL:a...máx. 1,00 Un son grave ten baixa frecuencia, polo que a súa lonxitude de onda é maior. ABAU CONVOCAT ORIA DE SET EMBRO Ano 2018 CRIT ERIOS DE AVALI ACIÓN FÍSICA (Cód. 23) Elixir e desenvolver unha das dúas opcións. As solución numéricas non acompañadas de unidades ou con unidades incorrectas...

Διαβάστε περισσότερα

f) cotg 300 ctg 60 2 d) cos 5 cos 6 Al ser un ángulo del primer cuadrante, todas las razones son positivas. Así, tenemos: tg α 3

f) cotg 300 ctg 60 2 d) cos 5 cos 6 Al ser un ángulo del primer cuadrante, todas las razones son positivas. Así, tenemos: tg α 3 .9. Calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas reduciéndolas al primer cuadrante. a) sen 0 c) tg 0 e) sec 0 b) cos d) cosec f) cotg 00 Solucionario a) sen 0 sen 0 d) cosec sen sen b) cos

Διαβάστε περισσότερα

Reflexión e refracción. Coeficientes de Fresnel

Reflexión e refracción. Coeficientes de Fresnel Tema 5 Reflexión e refracción Coeficientes de Fresnel 51 Introdución Cando a luz incide sobre a superficie de separación de dous medios transparentes de índice de refracción diferente, unha parte entra

Διαβάστε περισσότερα

Caderno de traballo. Proxecto EDA 2009 Descartes na aula. Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene

Caderno de traballo. Proxecto EDA 2009 Descartes na aula. Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene Nome: 4º ESO Nº Páx. 1 de 36 FIGURAS SEMELLANTES 1. CONCEPTO DE SEMELLANZA Intuitivamente: Dúas figuras son SEMELLANTES se teñen a mesma forma pero distinto

Διαβάστε περισσότερα

Resistencia de Materiais. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións

Resistencia de Materiais. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións Resistencia de Materiais. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ Fotografía. Ponte Coalbrookdale (Gran Bretaña, 779). Van principal: 30.5 m. Contido. Tema 5. Relacións

Διαβάστε περισσότερα

Química P.A.U. EQUILIBRIO QUÍMICO 1 EQUILIBRIO QUÍMICO

Química P.A.U. EQUILIBRIO QUÍMICO 1 EQUILIBRIO QUÍMICO Química P.A.U. EQUILIBRIO QUÍMICO 1 EQUILIBRIO QUÍMICO PROBLEMAS FASE GAS 1. A 670 K, un recipiente de 2 dm 3 contén unha mestura gasosa en equilibrio de 0,003 moles de hidróxeno, 0,003 moles de iodo e

Διαβάστε περισσότερα

Ámbito científico tecnolóxico. Números e álxebra. Unidade didáctica 1. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial

Ámbito científico tecnolóxico. Números e álxebra. Unidade didáctica 1. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo Unidade didáctica 1 Números e álxebra Índice 1. Introdución... 1.1 Descrición da unidade

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA. = 9, kg) = -1, C; m e

FÍSICA. = 9, kg) = -1, C; m e 22 FÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Cuestións 4 puntos (1

Διαβάστε περισσότερα

Introdución ao cálculo vectorial

Introdución ao cálculo vectorial Intoducón o cálculo ectol 1 Intoducón o cálculo ectol 1. MAGNITUDES ESCALARES E VECTORIAIS. Mgntude físc é todo qulo que se pode med. Mgntudes escles son quels que están detemnds po un lo numéco epesdo

Διαβάστε περισσότερα

Números reais. Obxectivos. Antes de empezar.

Números reais. Obxectivos. Antes de empezar. 1 Números reais Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Clasificar os números reais en racionais e irracionais. Aproximar números con decimais ata unha orde dada. Calcular a cota de erro dunha aproximación.

Διαβάστε περισσότερα

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema)

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema) Exame tipo A. Proba obxectiva (Valoración: 3 puntos) 1. - Un disco de 10 cm de raio xira cunha velocidade angular de 45 revolucións por minuto. A velocidade lineal dos puntos da periferia do disco será:

Διαβάστε περισσότερα

Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio CMPM001. Proba de. Código. Matemáticas. Parte matemática. Matemáticas.

Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio CMPM001. Proba de. Código. Matemáticas. Parte matemática. Matemáticas. Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio Proba de Matemáticas Código CMPM001 Páxina 1 de 9 Parte matemática. Matemáticas 1. Formato da proba Formato A proba consta de vinte cuestións tipo test.

Διαβάστε περισσότερα

Expresións alxébricas

Expresións alxébricas 5 Expresións alxébricas Obxectivos Crear expresións alxébricas a partir dun enunciado. Atopar o valor numérico dunha expresión alxébrica. Clasificar unha expresión alxébrica como monomio, binomio,... polinomio.

Διαβάστε περισσότερα

Lógica Proposicional. Justificación de la validez del razonamiento?

Lógica Proposicional. Justificación de la validez del razonamiento? Proposicional educción Natural Proposicional - 1 Justificación de la validez del razonamiento? os maneras diferentes de justificar Justificar que la veracidad de las hipótesis implica la veracidad de la

Διαβάστε περισσότερα

Problemas resueltos del teorema de Bolzano

Problemas resueltos del teorema de Bolzano Problemas resueltos del teorema de Bolzano 1 S e a la fun ción: S e puede af irm a r que f (x) está acotada en el interva lo [1, 4 ]? P or no se r c ont i nua f (x ) e n x = 1, la f unció n no e s c ont

Διαβάστε περισσότερα

TEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS

TEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS TEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS 1. La ecuación hipergeométrica x R y α, β, γ parámetros reales. x(1 x)y + [γ (α + β + 1)x]y αβy 0 (1.1) Dividiendo en (1.1) por x(1 x) obtenemos (x 0, x 1) y + γ (α

Διαβάστε περισσότερα

a) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación:

a) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación: VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS 1. Un sistema cun resorte estirado 0,03 m sóltase en t=0 deixándoo oscilar libremente, co resultado dunha oscilación cada 0, s. Calcula: a) A velocidade do extremo libre ó

Διαβάστε περισσότερα

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Polinomios. Manexar as expresións alxébricas e calcular o seu valor numérico.

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Polinomios. Manexar as expresións alxébricas e calcular o seu valor numérico. Polinomios Contidos 1. Monomios e polinomios Expresións alxébricas Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 2. Operacións Suma e diferenza Produto Factor común 3. Identidades notables Suma

Διαβάστε περισσότερα

ELECTROTECNIA. BLOQUE 1: ANÁLISE DE CIRCUÍTOS (Elixir A ou B) A.- No circuíto da figura determinar o valor da intensidade na resistencia R 2

ELECTROTECNIA. BLOQUE 1: ANÁLISE DE CIRCUÍTOS (Elixir A ou B) A.- No circuíto da figura determinar o valor da intensidade na resistencia R 2 36 ELECTROTECNIA O exame consta de dez problemas, debendo o alumno elixir catro, un de cada bloque. Non é necesario elixir a mesma opción (A ou B ) de cada bloque. Todos os problemas puntúan igual, é dicir,

Διαβάστε περισσότερα

Introdución á análise numérica. Erros no cálculo numérico

Introdución á análise numérica. Erros no cálculo numérico 1 Introdución á análise numérica. Erros no cálculo numérico Carmen Rodríguez Iglesias Departamento de Matemática Aplicada Facultade de Matemáticas Universidade de Santiago de Compostela, 2013 Esta obra

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometría. Obxectivos. Antes de empezar.

Trigonometría. Obxectivos. Antes de empezar. 7 Trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Calcular as razóns trigonométricas dun ángulo. Calcular todas as razóns trigonométricas dun ángulo a partir dunha delas. Resolver triángulos rectángulos

Διαβάστε περισσότερα

EJERCICIOS DE VIBRACIONES Y ONDAS

EJERCICIOS DE VIBRACIONES Y ONDAS EJERCICIOS DE VIBRACIONES Y ONDAS 1.- Cando un movemento ondulatorio se atopa na súa propagación cunha fenda de dimensións pequenas comparables as da súa lonxitude de onda prodúcese: a) polarización; b)

Διαβάστε περισσότερα

ÓPTICA- A LUZ Problemas PAAU

ÓPTICA- A LUZ Problemas PAAU ÓPTICA- A LUZ Problemas PAAU XUÑO-96 CUESTION 2. opa Disponse de luz monocromática capaz de extraer electróns dun metal. A medida que medra a lonxitude de onda da luz incidente, a) os electróns emitidos

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA. = 4π 10-7 (S.I.)).

FÍSICA. = 4π 10-7 (S.I.)). 22 FÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas, 6 puntos (1 cada apartado). Cuestións, 4 puntos

Διαβάστε περισσότερα

Código: 25 XUÑO 2014 PAU FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

Código: 25 XUÑO 2014 PAU FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B PAU Código: 25 XUÑO 204 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos ( cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos ( cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Resorte: estudio estático e dinámico.

Resorte: estudio estático e dinámico. ESTUDIO DO RESORTE (MÉTODOS ESTÁTICO E DINÁMICO ) 1 Resorte: estudio estático e dinámico. 1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA. (No libro).. OBXECTIVOS. (No libro). 3. MATERIAL. (No libro). 4. PROCEDEMENTO. A. MÉTODO

Διαβάστε περισσότερα

Lógica Proposicional

Lógica Proposicional Proposicional educción Natural Proposicional - 1 Justificación de la validez del razonamiento os maneras diferentes de justificar Justificar que la veracidad de las hipótesis implica la veracidad de la

Διαβάστε περισσότερα

Obxectivos. polinomios. Valor. por diferenza. Factor común. ao cadrado. Suma. Resumo. titor. numérico. seu grao. Polinomios. Sacar factor. común.

Obxectivos. polinomios. Valor. por diferenza. Factor común. ao cadrado. Suma. Resumo. titor. numérico. seu grao. Polinomios. Sacar factor. común. Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Manexar as expresiónss alxébricas e calcular o seu valor numérico. Recoñecer os polinomios e o seu grao. Sumar, restar e multiplicar polinomios. Sacar

Διαβάστε περισσότερα

VI. VECTORES NO ESPAZO

VI. VECTORES NO ESPAZO VI. VECTORES NO ESPAZO.- Vectores no espazo. Operacións Sexa E o espazo de pntos ordinario o intitio da xeometría elemental. Un segmento orientado AB con orixe no pnto A e extremo no pnto B recibe o nome

Διαβάστε περισσότερα

1. Formato da proba [CM.PM.001.Z]

1. Formato da proba [CM.PM.001.Z] [CM.PM.00.Z]. Formato da proba Formato! A proba consta de vinte cuestións tipo test.! As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas das que soamente unha é correcta. Puntuación! Puntuación: 0,50

Διαβάστε περισσότερα

1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson

1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson 1 La teoría de Jeans El caso ás siple de evolución de fluctuaciones es el de un fluído no relativista. las ecuaciones básicas son: a conservación del núero de partículas n t + (n v = 0 (1 b Navier-Stokes

Διαβάστε περισσότερα

Código: 25 PAU XUÑO 2014 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

Código: 25 PAU XUÑO 2014 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B PAU XUÑO 2014 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS I. Exercicio nº 1.- a) Clasifica os seguintes números segundo sexan naturais, enteiros, racionais ou reais: 3

MATEMÁTICAS I. Exercicio nº 1.- a) Clasifica os seguintes números segundo sexan naturais, enteiros, racionais ou reais: 3 MATEMÁTICAS I Eercicio nº.- ) Clsific os seguintes números segundo sen nturis, enteiros, rcionis ou reis: 5, 7,5 8 8 7 Indic se s seguintes firmcións son verddeirs ou flss, rzondo respost: Todos os números

Διαβάστε περισσότερα

PAU Xuño 2011 FÍSICA OPCIÓN A

PAU Xuño 2011 FÍSICA OPCIÓN A PAU Xuño 20 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos ( cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos ( cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Física e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome:

Física e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome: DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Problemas Física e química 4º ESO As forzas 01/12/09 Nome: [6 Ptos.] 1. Sobre un corpo actúan tres forzas: unha de intensidade 20 N cara o norte, outra de 40 N cara o nordeste

Διαβάστε περισσότερα