Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΣΠ 1 Π 2 : r 1 ² = Π 1 Π 2 ² + r 2 ²

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΣΠ 1 Π 2 : r 1 ² = Π 1 Π 2 ² + r 2 ²"

Ἡσίοδος Ράγκος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1) Υποθέτουμε ότι δύο μικρά ηχεία τα οποία τροφοδοτούνται από τον ίδιο ενισχυτή είναι τοποθετημένα όπως φαίνεται στην εικόνα. Τα ηχεία εκπέμπουν ηχητικά κύματα ίδιας φάσης των οποίων η ταχύτητα είναι υ = 350 m / s. Για ποιες συχνότητες των εκπεμπόμενων κυμάτων ένας ακροατής στο σημείο Α θα αντιλαμβάνεται φαινόμενα αναιρετικής συμβολής και για ποιες θα αντιλαμβάνεται συμβολή ενισχυτική ; Δίνεται 68 = 8,25. Πυθαγόρειο θεώρημα στο ΑΓΔ : r 1 = (6² + 8²) r 1 = ( ) r 1 = (100) r 1 = 10 m. Ισχύει ΓΕ = ΓΔ + ΔΕ ΔΕ = ΓΕ ΓΔ ΔΕ = 8 6 ΔΕ = 2 m. Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΔΕ :

2 r 2 = (2² + 8²) r 2 = (4 + 64) r 2 = (68) r 2 = 8,25 m. Η βασική εξίσωση της κυματικής : υ = λ f λ = υ / f. Για να έχουμε αναιρετική (αποσβεστική) συμβολή : r 1 r 2 = (2 Ν + 1) (λ / 2) r 1 r 2 = (2 Ν + 1) [(υ / f) / 2] r 1 r 2 = (2 Ν + 1) υ / (2 f) f = (2 Ν + 1) υ / [2 r 1 r 2 ] f = (2 Ν + 1) 350 / [2 10 8,25 ] f = 100 (2 Ν + 1). To N παίρνει τιμές 0, 1, 2, 3, (οι τιμές 1, 2, 3, αφορούν συμμετρικές θέσεις του Α ως προς τον άξονα ΓΕ και δεν είναι δεκτές). Για να έχουμε ενισχυτική συμβολή : r 1 r 2 = Ν λ r 1 r 2 = Ν (υ / f) f = N υ / r 1 r 2 f = 350 N / 10 8,25 f = 200 Ν. To N παίρνει τιμές 0, 1, 2, 3, (οι τιμές 1, 2, 3, αφορούν συμμετρικές θέσεις του Α ως προς τον άξονα ΓΕ και δεν είναι δεκτές). 2) Δύο πηγές Π 1 και Π 2 δημιουργούν στην επιφάνεια του νερού δύο κύματα που έχουν συχνότητα f = 100 Hz, πλάτος Α = 1 mm, διαφορά φάσης Δφ = 0 και ταχύτητα διάδοσης υ = 100 cm / s. Οι πηγές απέχουν μεταξύ τους απόσταση Π 1 Π 2 = 5 cm. Ένα σημείο Σ βρίσκεται επί της καθέτου στην απόσταση Π 1 Π 2, στο σημείο Π 2 και απέχει από την πηγή Π 1 απόσταση Π 1 Σ = 10 cm. Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί ένα σωμάτιο νερού στο σημείο Σ. Η βασική εξίσωση της κυματικής : υ = λ f λ = υ / f λ = 100 / 100 λ = 1 cm. Ισχύει r 1 = Π 1 Σ. Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΣΠ 1 Π 2 : r 1 ² = Π 1 Π 2 ² + r 2 ²

3 r 2 ² = r 1 ² Π 1 Π 2 ² r 2 = (r 1 ² Π 1 Π 2 ²) r 2 = (10² 5²) r 2 = 75 r 2 = (3 25) r 2 = 5 3 cm. To πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί ένα σωμάτιο νερού στο σημείο Σ : Α Σ = 2 Α συν [2 π (r 1 r 2 ) / (2 λ)] Α Σ = 2 1 συν [2 π (10 5 3) / (2 1) Α Σ = 2 1 συν (- 1,34 π). Αν η εκφώνηση έδινε το συν (- 1,34 π), θα συνεχίζαμε τις πράξεις στη λύση. 3) Δύο ηχεία βρίσκονται σε δύο σημεία Α και Β, που απέχουν 7 m. Τα ηχεία τροφοδοτούνται από τον ίδιο ενισχυτή και εκπέμπουν ηχητικά κύματα ίδιας φάσης, τα οποία έχουν συχνότητα f = 170 Hz και διαδίδονται με ταχύτητα υ = 340 m / s. α. Ποιο είναι το μήκος κύματος λ ; β. Ένας μαθητής στέκεται στο σημείο Σ που ισαπέχει από τα δύο ηχεία και που η απόσταση του από την ΑΒ είναι 6 cm. Τι ακούει ο μαθητής ; γ. Υποθέστε πως ο μαθητής μετακινείται κατά 1 m σε ένα άλλο σημείο Μ που απέχει πάλι 6 m από την ΑΒ. Τι ακούει στην περίπτωση αυτή ο μαθητής ; α. Η βασική εξίσωση της κυματικής : υ = λ f λ = υ / f λ = 340 / 170 λ = 2 m. β.

4 Το σημείο Δ είναι το μέσο του ΑΒ, άρα : r 1 = ΑΣ = ΣB = r 2. Ισχύει λοιπόν r 1 = r 2. Το ευθύγραμμο τμήμα ΔΣ είναι η μεσοκάθετος του ΑΒ, το Σ είναι σημείο ενίσχυσης. Ο μαθητής ακούει ενισχυτική συμβολή, πλάτους Α Σ = 2 Α. γ. Από το σημείο Σ ο μαθητής μετακινήθηκε στο σημείο Μ, κατά 1 m, ΑΚ = 3,5 + 1 = 4,5 m. KB = 3,5 1 = 2,5 m. Πυθαγόρειο θεώρημα στο ΜΑΚ : r 1 ² = ΑΚ² + ΚΜ² r 1 = (ΑΚ² + ΚΜ²) r 1 = (4,5² + 6²) r 1 = 7,5 m. Πυθαγόρειο θεώρημα στο ΜΚB : r 2 ² = ΚB² + ΚΜ² r 2 = (ΚB² + ΚΜ²) r 2 = (2,5² + 6²) r 2 = 6,5 m. H διαφορά αποστάσεων των δυο κυμάτων είναι : r 1 r 2 = 7,5 6,5 = 1 m. To πηλίκο : r 1 r 2 / λ = 1 / 2 r 1 r 2 = λ / 2. Έχουμε αποσβεστική συμβολή με Ν = 0, άρα ο μαθητής δεν θα ακούει τίποτα. 4) Δύο εγκάρσια κύματα έχουν ίσα πλάτη 2 cm, ίσα μήκη κύματος και συμβάλλουν καθώς κινούνται στην ίδια κατεύθυνση. Αν οι φάσεις των δύο κυμάτων διαφέρουν κατά π / 3 να βρείτε το πλάτος του συμβαλόμενου κύματος. Τα δύο κύματα συμβάλουν σε ένα σημείο του μέσου. Το σημείο του μέσου εκτελεί με την επίδραση των δύο κυμάτων, ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης, είναι : Α = [Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν (π / 3)] Α = [2² + 2² (1 / 2)] Α = (3 2²) Α = 2 3 cm. 5) Σε δύο σημεία Κ, Λ της επιφάνειας υγρού έχουμε δύο σύγχρονες πηγές παραγωγής κυμάτων ίδιου πλάτους 2 cm. Η συχνότητα της απλής αρμονικής ταλάντωσης των πηγών είναι 1 Hz, η αρχική φάση μηδέν και η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων 24 cm / s. Ένα κομματάκι φελλού βρίσκεται σε απόσταση 18 cm από το Κ και 10 cm από το Λ. Να βρεθούν : α. Η συνάρτηση y = f(t) για το φελλό,

5 β. Η απομάκρυνση και η ταχύτητα του φελλού τη στιγμή t = 1 s. γ. Οι χρονικές στιγμές που ο φελλός έχει μέγιστη (θετική) ταχύτητα. α. Η βασική εξίσωση της κυματικής : υ κ = λ f λ = υ κ / f λ = 0,24 / 1 λ = 0,24 m. H γενική σχέση που ισχύει στην συμβολή, είναι : y = 2 A συν {[(r 1 r 2 ) / λ] π} ημ 2 π {(t / T) [(r 1 + r 2 ) / (2 λ)]} με αντικατάσταση γίνεται, y = συν {[(0,18 0,1) / 0,24] π} ημ 2 π {t [(0,18 + 0,1) / (2 0,24)]} y = συν (π / 3) ημ {2 π t 2 π [(0,28) / (2 0,24)} y = ημ [2 π t (7 π / 6)], (S.I.). β. y = ημ [2 π t (7 π / 6)] για t = 1 s, y = ημ [2 π 1 (7 π / 6)] y = ημ (5 π / 6) y = ημ [π (π / 6)] y = 10-2 m. H ταχύτητα : υ = π συν [2 π t (7 π / 6)] για t = 1 s, υ = 4 π 10-2 συν (5 π / 6) υ = 4 π 10-2 (- 3 / 2) υ = 2 3 π 10-2 m / s. γ. Η εξίσωση της ταχύτητας για τον φελλό είναι : υ = 4 π 10-2 συν [2 π t (7 π / 6)], για να είναι υ = υ max > 0 πρέπει : συν [2 π t (7 π / 6)] = 1, επομένως, [2 π t (7 π / 6)] = 2 κ π 2 π t = 2 κ π + (7 π / 6) t = κ + (7 / 12) t = [(12 κ + 7) / 12] s. 6) Στα άκρα σύρματος μήκους 3,6 cm έχουν στερεωθεί δύο μικρές ακίδες Α,Β οι οποίες είναι ελάχιστα βυθισμένες σε υγρό. Το σύρμα τίθεται σε ταλάντωση με συχνότητα 20 Ηz οπότε κάθε ακίδα δημιουργεί κύμα που διαδίδεται με ταχύτητα 24 cm / s. Να βρεθούν τα σημεία μεταξύ Α,Β που : α. παραμένουν ακίνητα, β. πάλλονται με το μέγιστο πλάτος. α. υ κ = λ f λ = υ κ / f λ = 24 / 20 λ = 1,2 cm.

6 To σημείο Κ παραμένει ακίνητο, επομένως : r 1 r 2 = (2 N + 1) (λ / 2) (1), και r 1 + r 2 = d (2), προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2) : 2 r 1 = (2 N + 1) (λ / 2) + d r 1 = (2 N + 1) (λ / 4) + (d / 2). Για την απόσταση r 1 ισχύει : 0 < r 1 < d 0 < (2 N + 1) (λ / 4) + (d / 2) < d (d / 2) < (2 N + 1) (λ / 4) < (d / 2) 1,8 < (2 N + 1) 0,3 < 1,8 2,1 < 0,6 N < 1,5 3,5 < N < 2,5, άρα Ν = 3, 2, 1, 0, 1, 2. Όπου : r 1 = (2 N + 1) 0,3 + 1,8 r 1 = 0,6 Ν + 2,1, επομένως : x 1 = 0,3 cm, x 2 = 0,9 cm, x 3 = 1,5 cm, x 4 = 2,1 cm, x 5 = 2,7 cm, x 6 = 3,3 cm. β. Τα σημεία που μετά την συμβολή πάλλονται με μέγιστο πλάτος, ένα τέτοιο είναι το σημείο Λ, ικανοποιούν την σχέση : r 1 r 2 = N λ (3), και επίσης : r 1 + r 2 = d (4). Από την πρόσθεση των (3) και (4), έχουμε : 2 r 1 = Ν λ + d r 1 = Ν (λ / 2) + (d / 2). Για το r 1 ισχύει : 0 < r 1 < d 0 < N (λ / 2) + (d / 2) < d (- d / 2) < N (λ / 2) < (d / 2) 1,8 < N 0,6 < 1,8 (- 3) < N < 3, άρα Ν = 2, 1, 0, 1, 2. r 1 = Ν (λ / 2) + (d / 2) r 1 = Ν 0,6 + 1,8. Άρα : x 1 = 0,6 cm, x 2 = 1,2 cm, x 3 = 1,8 cm, x 4 = 2,4 cm, x 5 = 3 cm.

7 7) Στην επιφάνεια υγρού δημιουργούν κύματα δύο πηγές Α, Β που ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος, συχνότητα και φάση. Δίνεται (ΑΒ) = 12,5 cm. Θεωρούμε μια ευθεία ε στην επιφάνεια του υγρού παράλληλη στο ΑΒ που απέχει 6 cm από αυτό. Ονομάζουμε Κ το σημείο που τέμνει την ε η μεσοκάθετος του ΑΒ. Έστω Μ το 3ο σημείο της ε μετά το Κ στο οποίο έχουμε απόσβεση. Αν (ΚΜ) = 1,75 cm και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι 4 cm / s να βρεθεί η συχνότητα ταλάντωσης των πηγών. Πυθαγόρειο θεώρημα : r 1 ² = (ΑΛ)² + (ΛΜ)² r 1 ² = L² + {[(AB) / 2] + (KM)}² r 1 ² = 6² + (6,25 + 1,75)² r 1 ² = 6² + 8² r 1 = 10 cm. Πυθαγόρειο θεώρημα : r 2 ² = (ΜΣ)² + (ΣΒ)² r 2 ² = L² + {[(AB) / 2] (KM)}² r 2 ² = 6² + (6,25 1,75)² r 2 ² = 6² + 4,5² r 2 = 7,5 cm. Για το σημείο Μ ισχύει : r 1 r 2 = (2 Ν + 1) (λ / 2) υ κ = λ f λ = υ κ / f, r 1 r 2 = (2 Ν + 1) [υ κ / (2 f)] f = [(2 N + 1) / (r 1 r 2 )] (υ κ / 2) το Ν = 0, 1, 2,, παίρνουμε την τιμή Ν = 2 (το 3ο σημείο), f = [( ) / (10 7,5)] (4 / 2) f = 4 Hz.

8 8) Δύο πηγές κυμάτων Α, Β που βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος, συχνότητα και φάση. Θεωρούμε την μεσοκάθετο ευθεία ε του ΑΒ που χωρίζει την επιφάνεια του υγρού σε δύο ημιεπίπεδα. και δύο σημεία Κ, Λ της επιφάνειας του υγρού. Το Κ με το Α και το Λ με το Β βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο. α. Έστω ότι τα Κ, Λ ταλαντώνονται με το μέγιστο πλάτος και ότι άλλα επτά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ ταλαντώνονται με το μέγιστο πλάτος. Να βρεθεί το μήκος κύματος των δύο κυμάτων αν : (ΛΑ) (ΛΒ) = 10 cm και (ΚΒ) (ΚΑ) = 6 cm. β. Έστω ότι στα Κ, Λ έχουμε απόσβεση και ότι το ίδιο συμβαίνει για άλλα έξι σημεία του τμήματος ΚΛ. Να βρεθεί το μήκος κύματος των δύο κυμάτων αν : (ΛΑ) (ΛΒ) = 9 cm και (ΚΒ) (ΚΑ) = 5 cm. α. Τα σημεία Κ και Λ ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Μεταξύ τους υπάρχουν άλλα 7 σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Για τις αποστάσεις, έχουμε : (ΛΑ) (ΛΒ) = 10 cm, (KB) (KA) = 6 cm, r 1,Λ r 2,Λ = 10 cm, r 2,K r 1,K = 6 cm. Οι σχέσεις που ισχύουν για το Κ και Λ ισχύουν και για τα Κ και Λ που βρίσκονται πάνω στην ΑΒ που συνδέει τις δύο πηγές : Λ Α Λ Β = 10 cm, K B K A = 6 cm, r 1 Λ r 2 Λ = 10 cm (1), r 2 K r 1 K = 6 cm (2). Προσθέτουμε τις σχέσεις (1) και (2) : r 1 Λ r 2 Λ + r 2 K r 1 K = (r 1 Λ r 1 K ) + (r 2 K r 2 Λ ) = 16 d + d = 16 2 d = 16 d = 8 cm. Στην ΑΒ δημιουργείται στάσιμο κύμα και στην απόσταση d υπάρχουν 9 κοιλίες επομένως : d = 8 (λ / 2) 8 = 8 (λ / 2) λ = 2 cm.

9 β. Στα σημεία Κ και Λ έχουμε απόσβεση και μεταξύ αυτών υπάρχουν άλλα έξι με μηδενικό πλάτος ταλάντωσης. Για τις αποστάσεις : (έχουμε το ίδιο σχήμα με το α) ΛΑ ΛΒ = 9 cm και ΚΒ ΚΑ = 5 cm, r 1,Λ r 2,Λ = 9 cm, r 2,K r 1,K = 5 cm. Οι ίδιες σχέσεις ισχύουν και για τα σημεία Κ, Λ που οι υπερβολές που που περνάνε από το Κ και Λ τέμνουν την ΑΒ που συνδέει τις πηγές : Λ Α Λ Β = 9 cm, K B K A = 5 cm, r 1 Λ r 2 Λ = 9 cm (3), r 2 K r 1 K = 5 cm (4). Προσθέτουμε τις σχέσεις (3) και (4) : r 1 Λ r 2 Λ + r 2 K r 1 K = (r 1 Λ r 1 K ) + (r 2 K r 2 Λ ) = 14 d + d = 14 2 d = 14 d = 7 cm. Η απόσταση d περιλαμβάνει 8 δεσμούς επομένως : d = 7 (λ / 2) 7 = 7 (λ / 2) λ = 2 cm.

Σχετικά έγγραφα

1. Η συχνότητα αρμονικού κύματος είναι f = 0,5 Hz ενώ η ταχύτητα διάδοσης του υ = 2 m / s.

1. Η συχνότητα αρμονικού κύματος είναι f = 0,5 Hz ενώ η ταχύτητα διάδοσης του υ = 2 m / s. Να βρεθεί το μήκος κύματος. 2. Σε ένα σημείο του Ειρηνικού ωκεανού σχηματίζονται κύματα με μήκος κύματος 1 m και