SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ

Transcript

1 CLASA a IV-a U gospodar are î curte găii și iepuri, î total 30 de capete și 84 de picioare. Săptămâal, petru hraa uei păsări sut folosite, î medie, 500 g de grăuțe, iar petru hraa uui iepure de 4 ori mai mult. Kilogramul de grăuțe costă 4 lei. Cât plătește gospodarul pe grăuțele cosumate de aimale î 4 săptămâi? La u cocurs de matematică au fost date 40 de probleme petru care se acordau 10 pucte petru problema corectă și se pealizează cu 4 pucte problemele rezolvate greșit. Dacă Mihai obție 120 de pucte, precizați câte probleme corecte a făcut. Moica Da şi Acuţa Nechita La îceputul aului școlar, u elev sârguicios a împrumutat de la biblioteca Colegiului Naţioal,,Mihai Viteazul 11 culegeri de matematică și 16 cărți de literatură. Săptămâal, el predă bibliotecii 2 cărți. Dacă predă 2 cărți de același fel (ambele de literatură sau ambele de matematică) mai împrumută o carte de literatură, iar dacă predă o culegere de matematică și o carte de literatură, împrumută o culegere de matematică. Care este ultima carte cu care rămâe elevul? NUMERE CIVILIZATE Vasile Şerdea şi Moica Fodor U umăr care u se împarte exact la iciua di cifrele sale se umește civilizat (precizăm că iciu umăr u se împarte la 0). a) Arătați că umerele 52 și 354 u sut civilizate. b) Claudiu și Diaa au găsit două umere civilizate care îmulțite dau tot u 23* umăr civilizat. Recostituiți îmulțirea găsită de cei doi copii (steluțele *9 îlocuiesc cifre). **** Timp de lucru 2 ore. Fiecare problemă este otată de la 0 la 7 pucte.

2 CLASA a V-a Să se arate că umărul: A = se poate scrie ca sumă de două pătrate perfecte cosecutive de umere aturale. Vasile Şerdea Calculați (a-b)(a+b) 2 știid că a,b N și a + a+1 + a a+2014 = b b+1 b+2 b Ioa Groza a) Determiați cifrele a și b, știid că ab3 = 3 a+b 1. b) Determiați cifrele a, b, c știid că: aa0 + 3 b0 = ccc0. (Numerele sut scrise î baza 10). Mulţimea umerelor aturale se împarte î submulţimi astfel: {0}; {1, 2}; {3, 4, 5}; {6, 7, 8, 9};, ude prima submulţie coţie primul umăr atural, a doua submulțime coție următoarele două umere aturale şi aşa mai departe. Determiaţi: a) Cu ce umăr atural îcepe cea de-a 50 a submulţime; b) Suma elemetelor celei de-a 50 a submulţimi; c) Suma elemetelor primelor 50 submulţimi.

3 CLASA a VI-a a) Suma a trei umere aturale eule este 345. Dacă primele două valori sut direct proporțioale cu 0,(3) respective 1,(6) iar ultimele două valori sut ivers proporțioale cu 3 respectiv 9, să se determie umerele. b) Se cosideră umărul a = Arătați că umărul a este subuitar și precizați valorile lui N petru care umărul b = (1 a) 63 N. Moica Fodor şi Liaa Jurcă Să se afle umerele atural x și y, știid că 1 x + 2 x + 3 x x = 56 y 3 Vasile Şerdea şi Ioa Groza Se cosideră triughiul ABC și puctul O mijlocul segmetului [BC], iar AB > AC. Fie (AD bisectoarea ughiului A, D ε (BC). Perpediculara di O pe bisectoarea (AD itersectează laturile AC și AB îpuctele E, respective F. a) Demostrați că [BF] [CE]. b) Calculați raportul ditre lugimile segmetelor AM și NE, ude puctele M și N sut mijloacele segmetelor [AB] respectiv [AC]. Fie ABC u triughi echilateral, M mijlocul laturii [BC] și D (AM) astfel îcât AM+MD=AB. Să se determie ughiul DBM. Ioa Groza

4 CLASA a VII-a Se cosideră patru pătrate cu laturi de lugimi egale cu a, b, c, d. Să se demostreze că media aritmetică a celor patru valori este cel mult egală cu suma tuturor rapoartelor ditre suma ariilor şi suma perimetrelor oricăror trei ditre pătrate. Vasile Şerdea şi Moica Fodor Numerele x, y, z sut umere atural cu proprietatea că x<y<z. Dacă x, y, z sut direct proporţioale cu trei umere aturale cosecutive î câte moduri diferite poate fi scris umărul 180 sub forma x + y + z? Î triughiul ABC se cosideră mediaa [BB ], B ε[ac]şi puctul E mijlocul mediaei. Dreapta AE itersectează pe [BC] î puctul D. a) Calculaţi raportul BD DC. b) Demostraţi că DG AB, ude G este cetrul de greutate al triughiului. c) Dacă aria triughiului BDE este de 20 cm 2, calculaţi aria triughiului ABC. Ioa Groza şi Moica Fodor Liia mijlocie a ABC paralelă cu latura BC itersectează cercul circumscris triughiului î B și C. Să se determie lugimea segmetului B C î fucție de laturile ABC.

5 Se dau A,B, C, D patru pucte ecoplaare. CLASA a VIII-a a) Fie L [AD], M [BD] și N [CD] astfel îcât (LMN) (ABC). Notâd LM AB = {P}, LN AC = {Q} și MN BC = {R} să se arate că puctele P, Q, R sut coliiare. b) Fie A, B, C proiecțiile lui D pe dreptele BC, AC respective AB. Să se arate că C A 2 + A B 2 + B C 2 =C B 2 + A C 2 + B A 2. c) Să se arate că proiecția lui D pe plaul (ABC) este ortocetrul triughiului ABC dacă și umai dacă AB CD și BC AD. Să se demostreze că: > ! 2016! Gheorghe Loboţ, ude! = 1 2. Vasile Şerdea şi Acuţa Nechita Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată. Puctul M este mijlocul îălțimii [VO] a piramidei, puctul N este mijlocul segmetului [BM] iar P (AO) astfel îcât AP=3PO și BM VD = {R}. a) Arătați că BN BR = 3 8. b) Arătatați că PN (VDC). Să se demostreze că petru orice umere reale pozitive a, b, c are loc iegalitatea Î ce codiții are loc egalitatea? a b+c + b a+c + c + b+c + a+c + a+b 15. a+b a b c 2

6 CLASA a IX-a Fie N * şi x i > 2015, i = 1, 2,,, astfel îcât 1 1. x 2015 Să se arate că i1 xi i1 i1 i x i Gheorghe Loboţ Fie ABC u triughi oarecare, AA 1, BB 1, CC 1 bisectoarele iterioare ale triughiului, AA 2, BB 2, CC 2 mediaele triughiului. Notăm cu G A, G B, G C cetrele de greutate ale triughiurilor AA 1 A 2, BB 1 B 2, CC 1 C 2, G * cetrul de greutate al triughiului G A G B G C, G cetrul de greutate al triughiului ABC şi G 1 cetrul de greutate al triughiului A 1 B 1 C 1. Să se demostreze a) r G1 a p a r b p b r c p c r 3(2 p a)(2 p b)(2 p c) (4 ) A (4 ) B (4 ) C b) Puctele G *, G şi G 1 sut coliiare., ude p = ab c. 2 Daiel Văcăreţu Se cosideră puctele M, N, P situate pe laturile (AB), (BC) respectiv (CA) ale triughiului echilateral ABC. Să se demostreze că următoarele afirmaţii sut echivalete: a) M, N, P sut mijloacele laturilor (AB), (BC) respectiv (CA); b) Triughiurile AMP, BMN, CNP şi MNP au acelaşi perimetru. Fie m N *. Determiaţi umărul fucţiilor crescătoare f: {1, 2, 3,, m} {1, 2, 3,,m} cu proprietatea f(x) f(y) x y, x, y {1, 2, 3,, m}.

7 CLASA a X-a Să se determie fucţiile f : * * care satisfac relaţia f 2 f f 1 1, f 2 oricare ar fi *. Cătăli Cristea z Se cosideră umerele complexe z1, z2 şi z 3, disticte două câte două, cu proprietatea că 1 z2 max z1 z3, z2 z3. Să se arate că z1 z2 z3 z1 z3 z2 z2 z3 z1 Fie umerele a,..., a 0. Vladimir Cerbu a 1, şi fucţia f :, f x a x x 1 a2... a x 2015 f 2015 f arătaţi că f x 2015, x.. Dacă Fie z 1, z2, z 3 umere complexe cu proprietatea că z 1 z2 z3 1. Să se arate că z z z z z z

8 CLASA a XI-a a) Să se găsească două matrice A, B M 2 (R) cu proprietatea că A 2 + B 2 = ( ). b) Să se arate că orice două matrice A, B M 2 (R) cu proprietatea de la puctul a) u comută. Fie f : (0, ) [0, ) o fucţie derivabilă cu proprietatea că x f (x) f(x) 0, x (0, ). Demostraţi că fucţia f poate fi prelugită pri derivabilitate î puctul x = 0. Fie a > 0 şi f: [-a, a] R o fucţie derivabilă de două ori cu proprietatea că f(x) 1, x [-a, a]. Să se arate că petru oricare umere aturale p, q 2 cu proprietatea că (f(0)) p + (f (0)) q > 1 + ( 2 a )q există u puct c (-a, a) astfel îcât p (f(c)) p-1 + q (f (c)) q-2 f (c) = 0. Dorel I. Duca Să se calculeze lim. e

9 CLASA a XII-a x Fie f: R R, f(x) = { 2, x 1, 1 + lx, x > 1. Determiați fucția F: R R, F(x) = x 2 f(t)dt. x 2 1 Dorel I. Duca a b c Determiați umărul matricelor A = ( 0 a d) di M 3 (Z 2015 ) cu proprietatea că A 2015 = Ι a Să se determie fucțiile itegrabile f: [0,1] R cu proprietatea că x f(t)dt = (f(x)) f(x), xε [0,1] 0. Fie (R, +, ) u iel. Perechea (a, b) R R are proprietatea (P) dacă sigura soluție a ecuației axa = bxb este x = 0. Să se arate că dacă (a,b) are proprietatea (P) și a-b este iversabil, atuci ecuația axa bxb = a + b are soluție uică î R.