Ιστοσελίδα:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Email: dsourlas@physics.upatras.gr Ιστοσελίδα: www.physics.upatras.gr"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΉΣ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής f ( ) ( ) α! f() π i ( α) d Πάτρα

2 Ιστοσελίδα:

3 Περιεχόμενα. Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι.... Ορισμός των μιγαδικών αριθμών.... Η άλγεβρα και η γεωμετρία των μιγαδικών αριθμών.... Ο τύπος του De Moivre και οι ρίζες των μιγαδικών αριθμών Ο τύπος του Euler Μερικές εφαρμογές του τύπου του Euler Το σημείο στο άπειρο - Στερεογραφική προβολή. Σφαίρα του Riema Το όριο μιας ακολουθίας μιγαδικών αριθμών Σημειοσύνολα του μιγαδικού επιπέδου Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ε Σ ΣΥ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ.... Ορισμός της Μιγαδικής συνάρτησης - Μονότιμες, Πλειότιμες και... Αντίστροφες συναρτήσεις..... Απεικονίσεις ή Μετασχηματισμοί Όριο συνάρτησης Συνέχεια συνάρτησης Στοιχειώδεις συναρτήσεις Σημεία, τομές διακλάδωσης και επιφάνεια Riema ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.... Ορισμός της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης.... Κανόνες παραγώγισης Αναλυτικές συναρτήσεις. Συνθήκες auchy - Riema Αρμονικές συναρτήσεις Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου....6 Γεωμετρική σημασία του ορίσματος της παραγώγου....7 Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου της παραγώγου....8 Παράγωγοι ανώτερης τάξης....9 Κανόνας του L' Hospital.... Ανώμαλα σημεία.... Μιγαδικοί Διαφορικοί Τελεστές - Κλίση - Απόκλιση - Στροβιλισμός - Λαπλασιανή μιας μιγαδικής συνάρτησης Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Η Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Σ Η Επικαμπύλιο Μιγαδικό Ολοκλήρωμα Βασικές ιδιότητες των μιγαδικών ολοκληρωμάτων Aναγωγή του επικαμπύλιου μιγαδικού ολοκληρώματος σε ορισμένο ολοκλήρωμα Το ολοκληρωτικό θεώρημα του auchy Εφαρμογή του θεωρήματος του auchy για τον υπολογισμό πραγματικών ολοκληρωμάτων... 46

4 4.6 Το θεώρημα του Morera Αόριστα ολοκληρώματα Συνέπειες του θεωρήματος του auchy Ο Ι Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Τ Ι Κ Ο Ι Τ Υ Π Ο Ι Τ Ο Υ A U H Y Κ Α Ι Σ Χ Ε Τ Ι Κ Α Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α Τ Α Οι ολοκληρωτικοί τύποι του auchy Το Θεώρημα του Morera Ανισότητα του auchy Το θεώρημα του Liouville Το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας Το θεώρημα του μέγιστου μέτρου Το θεώρημα του ελάχιστου μέτρου Το θεώρημα του ορίσματος Το θεώρημα του Rouche Οι ολοκληρωτικοί τύποι του Poisso για κύκλο Οι ολοκληρωτικοί τύποι του Poisso για ημιεπίπεδο Σ Ε Ι Ρ Ε Σ T A Y L O R - L A U R E N T Κ Α Ι Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Τ Ι Κ Α Υ Π Ο Λ Ο Ι Π Α Σειρές συναρτήσεων - Δυναμοσειρές Το θεώρημα του Taylor: Το θεώρημα του Lauret Ανώμαλα σημεία Ακέραιες και Μερόμορφες συναρτήσεις Αναλυτική συνέχιση Ολοκληρωτικά Υπόλοιπα Το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων Υπολογισμός ορισμένων πραγματικών ολοκληρωμάτων Ολοκληρώματα της μορφής f ( x) dx όπου η f(x) έχει πεπερασμένο πλήθος απλών πόλων στον πραγματικό άξονα Ολοκληρώματα πλειότιμων συναρτήσεων β. Ολοκληρώματα της μορφής Ι f ( x)l xdx (6.48) O Μιγαδικός τύπος της αντιστροφής του μετασχηματισμού Laplace (The complex iversio formula) Το περίγραμμα Bromwich Χρήση του θεωρήματος των ολοκληρωτικών υπολοίπων για την αντιστροφή του μετασχηματισμού Laplace Τροποποίηση του περιγράμματος Bromwich στην περίπτωση σημείων διακλαδώσεως Σ Υ Μ Μ Ο Ρ Φ Η Α Π Ε Ι Κ Ο Ν Ι Σ Η Γενικά...

5 7. Μετασχηματισμοί στο επίπεδο Σύμμορφη απεικόνιση Το θεώρημα του Riema Μετασχηματισμοί που ορίζονται από στοιχειώδεις συναρτήσεις Μετασχηματισμοί αρμονικών συναρτήσεων Μετασχηματισμοί των συνοριακών συνθηκών Επίλυση των προβλημάτων συνοριακών τιμών πρώτου και δευτέρου... είδους.... ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου Κεφαλαίου... ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου Κεφαλαίου... ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου Κεφαλαίου... 5 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 4ου Κεφαλαίου... ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5ου Κεφαλαίου... 4 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6ου Κεφαλαίου... 4

6

7 . Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι. Ορισμός των μιγαδικών αριθμών Εμπλουτίζοντας τις γνώσεις μας για την αριθμητική και την άλγεβρα, διαπιστώσαμε ότι κάθε επέκταση της έννοιας ενός αριθμού πρωτοεμφανίστηκε σαν λύση κάποιου θεμελιώδους προβλήματος. Π.χ. η πρόσθεση των φυσικών αριθμών,,, είναι μια κλειστή πράξη που ορίζεται για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών. Όταν όμως επιχειρήσαμε να ο- ρίσουμε την αντίστροφη πράξη, δηλ. την αφαίρεση, αναγκαστήκαμε να εισάγουμε τους αρνητικούς αριθμούς. Όμοια ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων αριθμών ορίζεται για κάθε ζεύγος ακεραίων, ενώ η διαίρεση, σαν αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού, μας ανάγκασε να εισάγουμε την έννοια των κλασμάτων ή των ρητών αριθμών. Στη συνέχεια εισήχθησαν οι άρρητοι αριθμοί για να περιγράψουν γεωμετρικά μήκη. Το απλό πρόβλημα της λύσης όλων των αλγεβρικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου με δυο, οδήγησε στην εισαγωγή των μιγαδικών αριθμών. Η γενική δευτεροβάθμια εξίσωση : αx βxγ δεν έχει πραγματική λύση όταν β -4αγ<. Εάν επιχειρήσουμε να λύσουμε μια τέτοια εξίσωση, όπως π.χ. την x 6x οδηγούμαστε τυπικά στο αποτέλεσμα x- ± 4, που δεν έχει νόημα εκτός εάν ορίσουμε νέους αριθμούς. Έτσι εάν δεχθούμε ότι υπάρχει ένας αριθμός για την έκφραση, που θα τον συμβολίζουμε με i και θα τον χειριζόμαστε σαν ένα συνήθη αριθμό με την ιδιότητα i -, μπορούμε να γράψουμε την παραπάνω λύση με την μορφή x-±i. Η εισαγωγή των μιγαδικών αριθμών σαν μια απλή επέκταση της έννοιας των πραγματικών αριθμών για την λύση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων, δεν πρέπει να μας κάνει να σκεφθούμε ότι αυτή είναι η μόνη χρησιμότητα των μιγαδικών αριθμών. Αν και ορίσθηκαν γι' αυτό το σκοπό και στην αρχή η χρήση των μιγαδικών αριθμών ήταν "νεφελώδης" και "ενοχλητική" για την πραγματική ανάλυση, με την πάροδο όμως του χρόνου η θεωρία των μιγαδικών αριθμών και συναρτήσεων, έγινε ένα δυνατό εργαλείο για πολλούς κλάδους της Φυσικής. που αποτελεί σήμερα τον μαθηματικό κλάδο της Μιγαδικής Ανάλυσης, Ας αρχίσουμε τώρα από την μελέτη των μιγαδικών αριθμών : Εάν πολλαπλασιάσουμε το i με τους πραγματικούς αριθμούς, προκύπτουν οι λεγόμενοι φανταστικοί αριθμοί ( που έχουν τη μορφή βi, (όπου β πραγματικός αριθμός). Εάν επεκτείνουμε τους συνήθεις κανόνες του πολλαπλασιασμού στους φανταστικούς αριθμούς, τότε διαπιστώνουμε ότι το γινόμενο δυο φανταστικών αριθμών είναι πραγματικός αριθμός και το τετράγωνο ενός φανταστικού αριθμού είναι αρνητικός αριθμός. Π.χ. ( Η ονομασία "φανταστικός αριθμός" προήλθε από την εντύπωση ότι οι αριθμοί αυτοί, όπως και οι μιγαδικοί αριθμοί, (που θα ορισθούν αμέσως παρακάτω), δεν παριστάνουν άμεσα παρατηρήσιμα μεγέθη στη φύση. Αν και η άποψη αυτή έχει τώρα εγκαταλειφθεί, η αρχική ονομασία ακόμα παραμένει.

8 (i)(-4i)()(-4)i (-)(-) (-5i) (-5) i -5 Αν θεωρήσουμε την ένωση των συνόλων των πραγματικών και φανταστικών αριθμών, τότε στο νέο σύνολο μπορούμε να εκτελέσουμε τις πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης και εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το νέο αυτό σύνολο είναι κλειστό ως προς τις δυο αυτές πράξεις. Όμως το νέο αυτό σύνολο δεν είναι κλειστό ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Για να απαλείψουμε αυτή την ανεπάρκεια, εισάγουμε τους λεγόμενους μιγαδικούς αριθμούς. Οι αριθμοί αυτοί, τους οποίους συμβολίζουμε με, συνήθως γράφονται με τη μορφή : αiβ με α,β R και υπακούουν σε ορισμένους κανόνες. Ο αριθμός α λέγεται πραγματικό μέρος του και ο αριθμός β φανταστικό μέρος του και συμβολίζονται με Re() και Im() αντίστοιχα. Το σύμβολο i λέγεται φανταστική μονάδα. Όπως θα δούμε παρακάτω το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι κλειστό ως προς τις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής και ως προς την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας. Έχει όλα τα επιθυμητά αλγεβρικά χαρακτηριστικά για να είναι σώμα και είναι μια επέκταση των πραγματικών αριθμών. Η μελέτη και η χρήση των μιγαδικών αριθμών είναι πολύτιμη για την Φυσική, διότι η περιγραφή των φυσικών νομών είναι πιο πολύπλοκη χωρίς αυτούς.. Η άλγεβρα και η γεωμετρία των μιγαδικών αριθμών Οι αλγεβρικές πράξεις, που μπορούν να ορισθούν στους μιγαδικούς αριθμούς, (που θα τους γράφουμε αiβ ή αβi), είναι οι εξής :. Πρόσθεση : (α iβ ) (α iβ ) (α α ) i(β β ). Αφαίρεση : (α iβ ) - (α iβ ) (α -α ) i(β -β ). Πολλαπλασιασμός : (α iβ ).(α iβ ) (α α -β β ) i(α β α β ) Η πράξη του πολλαπλασιασμού εύκολα μπορεί να εκτελεσθεί χωρίς να θυμόμαστε την παραπάνω έκφραση, χρησιμοποιώντας τους μιγαδικούς αριθμούς σαν διώνυμα και ε- φαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα. Οι μιγαδικοί αριθμοί αi ταυτίζονται με τους πραγματικούς αριθμούς. Σε πιο α- υστηρή γλώσσα : το υποσύνολο των μιγαδικών αριθμών της μορφής αi είναι ισομορφικό προς το σύνολο των πραγματικών αριθμών με την αντιστοιχία αi α. Οι μιγαδικοί αριθμοί της μορφής iβ είναι οι φανταστικοί αριθμοί. Στις δυο αυτές περιπτώσεις γράφουμε : αiα και iβiβ. 4. Διαίρεση : ( ) ( ) α iβ α i β ( γi δ) ( αγβδ ) i( βγαδ) αγβδ βγβδ i ( γ i δ) ( γ i δ) ( γi δ) γ δ γ δ γ δ με γ δ δηλ. γiδ i 5. Ισότητα :

9 Μιγαδικοί αριθμοί Δυο μιγαδικοί αριθμοί αiβ και γiδ θα λέγονται ίσοι όταν τα πραγματικά και φανταστικά μέρη τους είναι ίσα δηλ. αiβ γiδ αγ και βδ Παρατήρηση : Η πρόσθεση των μιγαδικών αριθμών υπακούει στον ίδιο κανόνα με την πρόσθεση των διανυσμάτων του επιπέδου, θεωρώντας τα α και β σαν συνιστώσες ενός διανύσματος. Όμως ο πολλαπλασιασμός των μιγαδικών αριθμών διαφέρει από το εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Παρατήρηση. : Η χρήση του σύμβολου i και του διωνύμου αiβ είναι αρκετά πρακτική αλλά όχι απαραίτητη. Είναι δυνατό οι μιγαδικοί αριθμοί να ορισθούν σαν διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών (α,β) που υπακούουν σ' ορισμένους κανόνες, π.χ. ο πολλαπλασιασμός μπορεί να ορισθεί από τη σχέση : (α,β ).(α,β ) (α α -β β, α β α β ) Έτσι η έκφραση αiβ δεν είναι τίποτα άλλο παρά μια αναπαράσταση των μιγαδικών α- ριθμών. Επειδή ένας μιγαδικός αριθμός xiy μπορεί να θεωρηθεί, όπως είδαμε παραπάνω, σαν ένα διατεταγμένο ζεύγος (x,y), μπορούμε να παραστήσουμε τους μιγαδικούς α- ριθμούς με σημεία σ' ένα επίπεδο OXY. Το επίπεδο αυτό ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο ή επίπεδο του Gαuss ή επίπεδο του Im() Αrgαd. Έτσι ο μιγαδικός αριθμός xiy παριστάνεται από ένα σημείο Ρ με τετμημένη x και τεταγμένη y, Σ.χ.. Ο άξονας OX λέγεται πραγματικός άξονας και ο άξονας OY y φανταστικός. Επίσης μπορούμε να r έχουμε και την εξής πολική μορφή για τον μιγαδικό αριθμό : θ r(cosθisiθ) όπου Ο x Re() r x y και tαθy/x Σχ. Σ' αυτήν την παράσταση το r είναι μοναδικό αλλά όχι και το θ. Συνήθως θεωρούμε ότι το θ μεταβάλλεται σ' ένα διάστημα εύρους π και σαν τέτοιο χρησιμοποιούμε το Ι[,π) δηλ. θ<π. Το r λέγεται μέτρο ή απόλυτη τιμή του μιγαδικού αριθμού και συμβολίζεται με r και το θ όρισμα ή πολική γωνία ή φάση του και συμβολίζεται με θαrg. Ο αριθμός x-iy λέγεται συζυγής μιγαδικός ή απλά συζυγής του και θα συμβολίζεται με ή *. Οι μιγαδικοί αριθμοί και παριστάνουν στο μιγαδικό επίπεδο σημεία, που είναι συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα ΟX. Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι :. r. xrere, - iyiim-iim., Επειδή οι μιγαδικοί αριθμοί υπακούουν στον ίδιο κανόνα πρόσθεσης, που εφαρμόζεται στα διανύσματα του επιπέδου, μπορούν να προστεθούν, (ή αφαιρεθούν), γεωμετρικά με

10 τον κανόνα του παραλληλόγραμμου, Σχ., (Σχ. ). Αντιστρόφως τα διανύσματα ενός επιπέδου μπορούν να παρασταθούν από μιγαδικούς αριθμούς. y y - O Σχ. x O Σχ. x Κατ' αναλογία προς τα διανύσματα μπορούμε και στους μιγαδικούς αριθμούς να ορίσουμε εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο. Έτσι αν x iy και x iy δυο μιγαδικοί αριθμοί, ορίζουμε σαν : α. εσωτερικό ή βαθμωτό γινόμενο τον πραγματικό αριθμό : cosθx x y y Re( )( )/ (.) όπου θ η γωνία μεταξύ των και, ( η οποία μεταβάλλεται από έως π). β. εξωτερικό ή διανυσματικό γινόμενο τον πραγματικό αριθμό : siθx y -x y Im( )( - )/i (.) Εάν τα και είναι διάφορα του μηδενός, τότε ισχύουν οι εξής προτάσεις :. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι τα και κάθετα είναι η :.. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι τα και παράλληλα είναι η.. Ο τύπος του De Moivre και οι ρίζες των μιγαδικών αριθμών Ενώ οι πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης των μιγαδικών αριθμών γίνονται αρκετά εύκολα στην καρτεσιανή μορφή τους xiy, οι πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης γίνονται ακόμα πιο εύκολα στην πολική τους μορφή. Πράγματι αν : r (cosθ isiθ ) και r (cosθ isiθ ) τότε εύκολα προκύπτει ότι : r r [cos(θ θ )isi(θ θ )] (.) / r /r [cos(θ -θ )isi(θ -θ )] (.4) με τον όρο ότι αν θ θ π, τότε θα πρέπει να αφαιρεθεί το π, και αν θ -θ <, τότε θα πρέπει να προστεθεί το π, έτσι ώστε και για τις δυο περιπτώσεις να έχουμε : θ θ <π και θ -θ <π Παρατήρηση : Πρέπει να τονισθεί ότι αν και cos(θπ)cosθ και si(θπ)siθ, η τιμή του θ πρέπει να είναι μονοσήμαντα ορισμένη.

11 Μιγαδικοί αριθμοί 5 Μια γενίκευση της σχέσης (.) δίνει : r r r cos(θ θ θ )isi(θ θ θ )] (.5) Αν θέσουμε η προηγούμενη σχέση γίνεται : r (cosθisiθ) (.6) και ονομάζεται τύπος του De Moivre και μας δίνει την -οστή δύναμη ενός μιγαδικού αριθμού. Σαν -οστή ρίζα του μιγαδικού αριθμού ορίζουμε τον μιγαδικό αριθμό w έτσι ώστε να ισχύει : w (.7) Αν wr w [cosθ w isiθ w ] και r[cosθisiθ] η σχέση (.7) γράφεται με τη χρήση του τύπου De Moivre r w [cosθ w isiθ w ]r[cosθisiθ] και από τον ορισμό της ισότητας των μιγαδικών αριθμών προκύπτει : r w cosθ w rcosθ και r w siθ w rsiθ (.8) Αν τις δυο τελευταίες σχέσεις τις υψώσουμε στο τετράγωνο και τις προσθέσουμε, θα έχουμε : r w r r w r Με αντικατάσταση της τελευταίας σχέσης στην (.8) προκύπτει : cosθ w cosθ και siθ w siθ θ kπ δηλ. θ w θkπ θ w με k Ζ. Τελικά η -στη ρίζα του μιγαδικού αριθμού r(cosθ isiθ) ειναι : w θ r cos kπ θ isi kπ (.9) με k,,,,- (γιατι;). Eύκολα αποδεικνύεται ότι οι -οστές ρίζες ενός μιγαδικού αριθμού βρίσκονται στις κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου πλευρών, που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R r και κέντρου την αρχή των αξόνων..4 Ο τύπος του Euler Αν στο ανάπτυγμα MαcLαuri της εκθετικής συνάρτησης : e x xx /!x /! θέσουμε xiθ, έχουμε : e iθ iθ(iθ) /!(iθ) /! iθ-θ /!-iθ /!θ 4 /4! [-θ /!θ 4 /4! ]i[θ-θ /!θ 5 /5! ]cosθisiθ Η σχέση : e iθ cosθisiθ (.) ονομάζεται τύπος του Euler. Έτσι ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να γράφει υπό τη εκθετική μορφή : re iθ (.).5 Μερικές εφαρμογές του τύπου του Euler ) Από την Μηχανική : Όπως θα δούμε σε επόμενο κεφαλαίο, η συνάρτηση :

12 (t)x(t)iy(t) με x(t), y(t) πραγματικές συναρτήσεις της πραγματικής μεταβλητής t, παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο μια καμπύλη. Για παράδειγμα η συνάρτηση e it παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο και ακτίνα, διότι - e it. Αν το t παριστάνει χρόνο, η συνάρτηση (t) e it είναι η εξίσωση της κίνησης ενός σώματος, που κινείται πάνω στον κύκλο - με ταχύτητα d/dt6ie it της οποίας το μέτρο είναι d/dt 6. ) Από τον Ηλεκτρισμό Είναι γνωστό ότι η τάση V στις άκρες μιας αντίστασης R, ενός πηνίου με επαγωγή L και ενός πυκνωτή, που διαρρέεται από ρεύμα I(t), δίνεται αντίστοιχα από τις σχέσεις V IR, (νόμος του Ohm), V LdI/dt, dv/dti/ Σχ. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε το ηλεκτρικό κύκλωμα του Σχ. και ότι το ρεύμα Ι δίνεται από τη σχέση II siωt, τότε οι αντίστοιχες τάσεις στην αντίσταση, στο πηνίο και στον πυκνωτή είναι : V R RI siωt, V L ωli cosωt, V -(/ω)i cosωt και η ολική τάση V θα είναι : VV R V L V RI siωtωli cosωt-(/ω)i cosωt της οποίας η έκφραση είναι κάπως πολύπλοκη. Ένας εύκολος τρόπος για να απλοποιηθεί η παραπάνω έκφραση είναι να θεωρήσουμε για το ρεύμα Ι την μιγαδική έκφραση : II e iωt της οποίας το φανταστικό μέρος : Im(I)I siωt είναι το πραγματικό ρεύμα. Tότε οι τάσεις V R, V L, V και η ολική V γράφονται : i t V R RI siωtim RIe ω Im(RI) i t V L ωli cosωtim iωlie ω Im(iωLI) iωt V -(/ω)i cosωtim Ie Im I iω iω VV R V L V Im R i ωl I ω Im(ZI) όπου η μιγαδική ποσότητα ZR i ωl ω ονομάζεται μιγαδική σύνθετη αντίσταση ή εμπέδηση, (impedace) και η σχέση V Im(ZI) έχει τη μορφή του νόμου του Ohm.

13 Μιγαδικοί αριθμοί 7 ) Από την Οπτική Συχνά χρειαζόμαστε στην οπτική να συνθέσουμε ένα πεπερασμένο αριθμό από φωτεινά κύματα, (τα οποία μπορούν να παρασταθούν από συναρτήσεις του ημίτονου). Επίσης συχνά κάθε κύμα έχει μια σταθερή διαφορά φάσεως δ από το προηγούμενο. Αυτό σημαίνει ότι τα κύματα μπορούν να παρασταθούν από τις συναρτήσεις : sit, si(tδ), si(tδ), Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να προσθέσουμε αυτές τις συναρτήσεις και να υπολογίσουμε το άθροισμα : Σsitsi(tδ)si(tδ) si[t(-)δ] Ένας εύκολος τρόπος για να το κάνουμε αυτό είναι να δούμε κάθε ημίτονο σαν το φανταστικό μέρος ενός κατάλληλου μιγαδικού αριθμού. Έτσι αυτό που θέλουμε είναι το φανταστικό μέρος του αθροίσματος : Se it e i(tδ) e i(tδ) e i[t(-)δ] που αποτελεί μέρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο e it, με λόγο e iδ και τελευταίο όρο e i[t(-)δ]. Επομένως θα είναι : it iδ e ( e ) S iδ e αλλά -e iδ e iδ/ [e -iδ/ -e iδ/ ]-e iδ/ isi(δ/) και -e iδ e iδ/ [e -iδ/ -e iδ/ ]-e iδ/ isi(δ/) Τελικά θα είναι : δ i it δ ee si δ δ i t () si S e δ i e δ δ si si και δ δ si t ( ) si ΣImS δ si

14 .6 Το σημείο στο άπειρο - Στερεογραφική προβολή. Σφαίρα του Riema A A x N S Σχ. 4 y Στη μελέτη του ορίου μιας ακολουθίας μιγαδικών αριθμών, όπως επίσης και στη μελέτη του ορίου και της συνέχειας μιας μιγαδικής συνάρτησης, θα χρησιμοποιήσουμε το "μιγαδικό άπειρο" Για να ορίσουμε το μιγαδικό άπειρο θεωρούμε μια μοναδιαία σφαίρα Σ, η οποία εφάπτεται του μιγαδικού επιπέδου OXY στο σημείο Ο, Σχ.4. Το σημείο Ο θα το ονομάσουμε Νότιο πόλο και θα το συμβολίσουμε με το γράμμα S, το δε αντιδιαμετρικό του σημείο Ν θα το ονομάσουμε Βόρειο πόλο. Σε κάθε σημείο Α του μιγαδικού ε- πιπέδου απεικονίζουμε το σημείο Α, που είναι η τομή του ευθύγραμμου τμήματος ΝΑ και της επιφάνειας της σφαίρας. Έτσι σε κάθε σημείο του μιγαδικού επιπέδου αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα σημείο της σφαίρας. Το μόνο σημείο της σφαίρας για το οποίο φαίνεται ότι δεν υπάρχει αντίστοιχος μιγαδικός αριθμός, είναι ο Βόρειος πόλος Ν. Στην περίπτωση αυτή δεχόμαστε ότι υπάρχει ένα σημείο, που θα το ονομάζουμε "σημείο στο άπειρο", του μιγαδικού επιπέδου, που αντιστοιχεί στο Βόρειο πόλο Ν. Για το σημείο αυτό χρησιμοποιούμε το σύμβολο. Το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου, μαζί με το σημείο στο άπειρο ονομάζεται συμπληρωμένο ή επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο. Η προηγούμενη απεικόνιση μεταξύ των σημείων ενός επιπέδου και της επιφάνειας μιας σφαίρας ονομάζεται στερεογραφική προβολή. Η δε σφαίρα ονομάζεται σφαίρα του Riema. Παρατήρηση : Για το σημείο στο άπειρο δεν ορίζεται το πραγματικό και φανταστικό μέρος, ούτε το όρισμα, (το τελευταίο δεν ορίζεται ούτε για το ). Όσο για το μέτρο του χρησιμοποιούμε το σύμβολο, δηλ.. Πάντως ισχύουν οι σχέσεις :,,, / /, / όπου οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός..7 Το όριο μιας ακολουθίας μιγαδικών αριθμών Μια ακολουθία μιγαδικών αριθμών α iβ θα λέμε ότι έχει όριο τον μιγαδικό αριθμό αiβ και θα γράφουμε : lim ή εάν ισχύει ( ε>){ (ε))[ > (ε) - <ε ] (.) Επειδή όμως : α - α - <ε και β -β - < ε > (ε)

15 Μιγαδικοί αριθμοί 9 συμπεραίνουμε ότι : lim α α και lim β β Επομένως αν lim lim (α iβ )αiβ τότε θα ισχύει ότι : lim α α και lim β β Αντιστρόφως : Εάν lim α α και lim β β τότε για > (ε) θα έχουμε : α -α < ε και β -β < ε και επομένως (α iβ )-(αiβ) - ( α α ) ( β β ) <ε δηλ. lim Tελικά η σχέση lim (α iβ )αiβ είναι ισοδύναμη με τις δυο σχέσεις : lim α α και lim β β Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε την θεωρία των ακολουθιών των πραγματικών αριθμών στις ακολουθίες των μιγαδικών αριθμών. Π.χ. εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το κριτήριο του αuchy ισχύει και εδώ : ( ε )( ( ε) )[,m ( ε) m ε] (.) Επίσης αν lim και lim w w τότε θα έχουμε : lim ( w )w lim w w αν w N και w. Μια ακολουθία θα λέμε ότι συγκλίνει στο, (στο σημείο στο άπειρο), αν ισχύει : ( M )( ( M) )[ ( M) M] (.4) και θα γράφουμε lim Aν N lim /.8 Σημειοσύνολα του μιγαδικού επιπέδου Στην παράγραφο αυτή θα παραθέσουμε μερικούς ορισμούς, που αναφέρονται σε ορισμένα σημειοσύνολα του μιγαδικού επιπέδου και οι οποίοι είναι απαραίτητοι για την αυστηρή διατύπωση των θεωρημάτων της μιγαδικής ανάλυσης.. Περιοχή : Για το μιγαδικό σημείο και για τον θετικό αριθμό δ, ονομάζεται δ- περιοχή, η ακριβέστερα δ-κυκλική περιοχή του σημείου, το σύνολο Π δ ( ) των σημείων, τα οποία ορίζονται από τη σχέση : Π δ ( )[/ - <δ] (.5) Ενώ περιορισμένη περιοχή ενός σημείου ονομάζεται το σύνολο Π δ- ( ) των σημείων για τα οποία ισχύει : Π δ- ( )[/ < - <δ] (.6) δηλ. μια περιορισμένη περιοχή είναι μια δ-περιοχή από την οποία έχει αφαιρεθεί το σημείο.. Οριακό σημείο ή σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου S ονομάζεται ένα σημείο τέτοιο ώστε : ( Π δ- ( )[Π δ- ( ) S ] (.7) δηλ. κάθε περιορισμένη δ-περιοχή του να περιέχει σημεία του S. Επειδή το δ είναι ο- ποιοσδήποτε θετικός αριθμός, έπεται ότι το S πρέπει να έχει άπειρο πλήθος σημείων. Ε-

16 πίσης πρέπει να παρατηρήσουμε ότι το μπορεί να ανήκει στο S, αλλά μπορεί και να μην ανήκει.. Κλειστό σύνολο ονομάζεται το σύνολο εκείνο που περιέχει όλα τα οριακά του σημεία. 4. Φραγμένο σύνολο είναι ένα σύνολο S για το οποίο ισχύει : ( Μ>)( S)[ <Μ] (.8) Όταν η (.8) δεν ισχύει, το σύνολο S λέγεται μη φραγμένο. 5. Συμπαγές σύνολο είναι κάθε φραγμένο και κλειστό σύνολο. 6. Εσωτερικό σημείο ενός συνόλου S λέγεται κάθε σημείο τέτοιο ώστε : ( Π δ ())[Π δ () S] (.9) 7. Εξωτερικό σημείο ενός συνόλου S λέγεται κάθε σημείο, τέτοιο ώστε : ( Π δ ())[Π δ () S ] (.) 8. Συνοριακό σημείο ενός συνόλου S λέγεται κάθε σημείο τέτοιο ώστε : ( Π δ ())[Π δ () S Π δ ()-S ] δηλ. κάθε περιοχή του περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο του S και τουλάχιστον ένα σημείο που δεν ανήκει στο S. 9. Ανοικτό σύνολο λέγεται ένα σύνολο που περιέχει μόνο εσωτερικά σημεία.. Συνεκτικό σύνολο, (ή συναφές), λέγεται ένα σύνολο για το οποίο μπορούμε να ε- νώσουμε δυο οποιαδήποτε σημεία του με μια τεθλασμένη πολυγωνική γραμμή, της ο- ποίας όλα τα σημεία να ανήκουν στο σύνολο.. Ανοικτός τόπος είναι ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο.. Κλείσιμο ή περίβλημα ή κάλυμμα ενός συνόλου S ονομάζεται το σύνολο που προέρχεται από το S και τα οριακά του σημεία. Κάθε κλείσιμο ενός συνόλου είναι κλειστό σύνολο.. Κλειστός τόπος ονομάζεται το κλείσιμο ενός ανοικτού τόπου. Παράδειγμα : Θεωρούμε το σύνολο S των σημείων αiβ, που ορίζεται από τη σχέση : S{αiβ / α,β και α,β ρητοί αριθμοί } α) Τα οριακά σημεία του S είναι όλα τα σημεία του τετράγωνου, (μαζί με τις πλευρές του), που ορίζεται από τα σημεία Α, Β, Γi, Δi.

17 β) Το σύνολο S δεν είναι κλειστό. γ) Το σύνολο S είναι φραγμένο. δ) Το S δεν είναι Συμπαγές. ε) Τα συνοριακά σημεία του S είναι όλα τα σημεία του τετράγωνου. ζ) Το S δεν έχει εσωτερικά σημεία. η) Το S δεν είναι ανοικτό σύνολο. θ) Το S δεν είναι συνεκτικό. ι) Το S δεν είναι ανοικτός τόπος. κ) Το κλείσιμο του S είναι το τετράγωνο ΑΒΓΔ με τις πλευρές του. Δ(i) Α() Μιγαδικοί αριθμοί Παράδειγμα : Εάν το S είναι το σύνολο όλων των σημείων που βρίσκονται μέσα στο τετράγωνο, τότε : α) Τα οριακά του σημεία είναι το τετράγωνο ΑΒΓΔ, β) Το S δεν είναι κλειστό, γ) Το S είναι φραγμένο, δ) Το S δεν είναι Συμπαγές, ε) Τα συνοριακά σημεία του S είναι τα σημεία των πλευρών του τετράγωνου ΑΒΓΔ, ζ) Τα εσωτερικά σημεία του S είναι τα εσωτερικά σημεία του τετράγωνου ΑΒΓΔ, η) Το S είναι ανοικτό σύνολο, θ) Το S είναι συνεκτικό, ι) Το S είναι ανοικτός τόπος, κ) Το κλείσιμο του S είναι το τετράγωνο S με τις πλευρές του. Γ() Σχ. 5 Γ(i) Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ. Δείξτε ότι α) β). Δείξτε και ερμηνεύστε γεωμετρικά τις σχέσεις : α) β) - -. Έστω ότι x iy και x iy παριστάνουν δυο διανύσματα που δεν είναι παράλληλα. Αν α και β είναι δυο πραγματικοί αριθμοί και α β δείξτε ότι α και β. 4. Να δειχθεί ότι η εξίσωση (-t) t, όπου και δεδομένοι μιγαδικοί αριθμοί και t πραγματική μεταβλητή, παριστάνει ευθεία, που διέρχεται από τα σημεία και. 5. Να εξετάσετε τι παριστάνουν γεωμετρικά οι εξισώσεις : α) α, α> και β) α β c, c> και α,β 6. Δείξτε το θεώρημα του De Moivre : (cosθisiθ) cosθisiθ όπου Ν. 7. Να υπολογισθούν οι εκφράσεις : i i, i i 5 i i 4 5

18 8. Δεδομένου ενός μιγαδικού αριθμού, παραστήσετε γραφικά τον e iα, όπου α R. 9. Δείξτε ότι r e iθ r e iθ r e iθ όπου r r r rr cos( θθ ), θ tα - rsi θ rsi θ rcos rcos θ θ 6 8. Να υπολογισθούν οι ρίζες :, i, 4, 8,, i. Να αποδείξετε ότι οι σχέσεις που συνδέουν τις συντεταγμένες (ξ,η,ζ) του σημείου Α με τις συντεταγμένες (x,y) του σημείου Α στη στερεογραφική προβολή, είναι : 4x 4y ( x y ) ξ iη ξ x y, η 4 x y, ζ, xiy 4 x y 4 ζ Εάν η ακτίνα της σφαίρας του Riema είναι α, πώς τροποποιούνται οι παραπάνω σχέσεις; ( Οι άξονες Οξ και Οη δεχόμαστε ότι συμπίπτουν με τους άξονες OX και ΟY αντίστοιχα).. Στη μοναδιαία σφαίρα της στερεογραφικής προβολής να βρεθούν οι εικόνες : α) των ακτίνων αrgασταθ. β) των κύκλων rσταθ.. Ποια σχέση πρέπει να πληρούν τα σημεία και ώστε να είναι στερεογραφικές προβολές δυο αντιδιαμετρικών σημείων της σφαίρας του Riema. 4. Να εξετασθούν οι ασκήσεις,, και όταν το μιγαδικό επίπεδο διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας του Riema.

19 . Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ε Σ ΣΥ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Ορισμός της Μιγαδικής συνάρτησης - Μονότιμες, Πλειότιμες και Αντίστροφες συναρτήσεις. Έστω Α, Β δυο υποσύνολα του μιγαδικού επιπέδου. Κάθε αντιστοιχία f μεταξύ των συνόλων Α και Β f: Α Β με τον περιορισμό ότι σε κάθε Α αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα σημείο wf() B, ονομάζεται μιγαδική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α και πεδίο τιμών το σύνολο Β. Το ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή και το w εξαρτημένη μεταβλητή. Στις περιπτώσεις, που ο πιο πάνω περιορισμός δεν ισχύει, δηλ. στις περιπτώσεις που σε κάθε τιμή της μεταβλητής Α αντιστοιχούν περισσότερες από μια τιμές f(), η αντιστοιχία f ονομάζεται πλειότιμη συνάρτηση σε αντίθεση προς την προηγούμενη περίπτωση, όπου θα χρησιμοποιούμε τον όρο μονότιμη συνάρτηση ή απλά συνάρτηση. Π.χ. οι συναρτήσεις: w N, w, w *, wre, wim είναι μονότιμες συναρτήσεις, ενώ η συνάρτηση: w N είναι πλειότιμη συνάρτηση, επειδή σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχούν διαφορετικές τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής w. Επίσης η συνάρτηση warg είναι πλειότιμη και μάλιστα σε κάθε τιμή του αντιστοιχούν άπειρες σε πλήθος τιμές του w. Παρατήρηση: Αν θέσουμε xiy και wuiv, τότε η συνάρτηση wf() αντιστοιχεί σε κάθε μιγαδικό αριθμό Α με συντεταγμένες x και y δυο πραγματικούς αριθμούς u και v. Με αλλά λόγια στο σύνολο Α ορίζονται δυο πραγματικές συναρτήσεις uu(x,y) και vv(x,y) δυο πραγματικών μεταβλητών x και y. Άρα μια μιγαδική συνάρτηση wf() ισοδυναμεί με δυο πραγματικές συναρτήσεις uu(x,y) και vv(x,y) δυο πραγματικών μεταβλητών. Π.χ. η μιγαδική συνάρτηση: (xiy) x -y ixy είναι ισοδύναμη με τις πραγματικές συναρτήσεις: ux -y και vxy Αν μια μιγαδική συνάρτηση wf() είναι ένα προς ένα και επί, (δηλ. για f( ) f( ) και f(α)b), τότε η αντιστοιχία που σε κάθε w Β αντιστοιχεί εκείνο το Α, τέτοιο ώστε f()w, ορίζει μια νέα συνάρτηση, που ονομάζεται αντίστροφη συνάρτηση της f() και συμβολίζεται με f -, δηλ. f - (w).

20 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ον. Απεικονίσεις ή Μετασχηματισμοί Στις πραγματικές συναρτήσεις yf(x) μιας πραγματικής μεταβλητής, μπορεί κανείς να έχει μια ποιοτική εικόνα της συμπεριφοράς της συνάρτησης από τη γραφική της παράσταση. Κάτι τέτοιο όμως δεν μπορεί να γίνει στις μιγαδικές συναρτήσεις wf(), y -επίπεδο -(i) w-επίπεδο w (x -y )ixy Α(,i wf() Β(,) Σχ. x Α Β Σχ. που το πλήθος των μεταβλητών είναι τέσσερις: x,y,u,v. Παρ' όλα αυτά μπορούμε να έχουμε κάποιες ποιοτικές πληροφορίες για την μιγαδική συνάρτηση wf() συσχετίζοντας τα ζεύγη (x,y) και (u,v). Ένας απλός τρόπος για να γίνει αυτό είναι να "παραστήσουμε" τις μεταβλητές και w σε ξεχωριστά επίπεδα, τα οποία ονομάζονται -επίπεδο και w-επίπεδο αντίστοιχα Συνήθως θεωρούμε στο -επίπεδο μια ορισμένη καμπύλη και προσπαθούμε να βρούμε την εικόνα της μέσω της f στο w-επίπεδο. Π.χ. ας θεωρήσουμε την μιγαδική συνάρτηση wf() και τον μοναδιαίο κύκλο -(i) με κέντρο το σημείο i, (Σχ. ). Η εικόνα αυτού του κύκλου δια μέσου της συνάρτησης f() είναι η καμπύλη του Σχ., όπου τα σημεία Α, Β, είναι οι εικόνες των σημείων Α, Β αντίστοιχα. Όταν κανείς θεωρεί την συνάρτηση f μ' αυτόν τον τρόπο, δηλ. σαν ένα διπλό γράφημα, τότε συνήθως η συνάρτηση f αναφέρεται σαν απεικόνιση ή μετασχηματισμός.. Όριο συνάρτησης Θεωρούμε την, (μονότιμη), μιγαδική συνάρτηση wf() και ένα οριακό σημείο του συνόλου Α. Αν για κάποιον συγκεκριμένο μιγαδικό αριθμό l ισχύει: ( ε>)( δ(ε)>)[ A < - <δ(ε) f()-l <ε] τότε λέμε ότι η συνάρτηση f() έχει όριο τον αριθμό l όταν το τείνει στο και γράφουμε: lim f()l ή f() l (.)

21 Μιγαδικές συναρτήσεις 5 Παρατήρηση : Το όριο l, όταν υπάρχει, πρέπει να είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο που το πλησιάζει το. Παρατήρηση : Στις μονότιμες συναρτήσεις το όριο όταν υπάρχει είναι μοναδικό. Στις πλειότιμες συναρτήσεις αυτό μπορεί να μην συμβαίνει, δηλ. το όριο μπορεί να εξαρτάται από τον τρόπο που το τείνει στο. Παρατήρηση : Αν θέσουμε f()u(x,y)iv(x,y), x iy και ll x il y τότε αποδεικνύεται ότι: limf() l lim u(x, y) l x και lim v(x, y) l y (.) x x y y Απόρροια αυτού του γεγονότος είναι ότι μπορούμε να εφαρμόσουμε τα θεωρήματα τα σχετικά με τα όρια πραγματικών συναρτήσεων π.χ. αν lim f()l και lim g() l τότε θα έχουμε: lim [f()g()]l l Όταν το σημείο είναι το σημείο στο άπειρο δηλ., η συμπεριφορά της f() μπορεί να εξετασθεί σ' αυτό το σημείο αν χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό w/ και εξετάσουμε την συμπεριφορά της f(/w) στο σημείο w. Αν ισχύει: ( ε>)( M(ε)>)[ Α >M f()-l <ε] (.4) τότε λέμε ότι η συνάρτηση f() έχει όριο το l όταν το. Τέλος αν το είναι ένα οριακό σημείο του Α και ισχύει: ( M>)( δ>)[ Α < - <δ f() >M] (.5) τότε λέμε ότι η συνάρτηση f() έχει όριο το σημείο στο άπειρο όταν το. x x y y.4 Συνέχεια συνάρτησης Θεωρούμε τη συνάρτηση f() με πεδίο ορισμού το σύνολο Α, και έστω ένα οριακό σημείο του Α, τέτοιο ώστε Α. Η συνάρτηση f() θα λέγεται συνεχής στο σημείο αν ισχύει: lim f()f( ) (.6) δηλ. μια συνάρτηση f() είναι συνεχής στο σημείο αν πληρούνται οι παρακάτω συνθήκες:. Πρέπει να υπάρχει το όριο lim f()l. H συνάρτηση f() να ορίζεται στο δηλ. να υπάρχει η τιμή f( ). Πρέπει να ισχύει lf( ) δηλ. ( ε>)( δ>)[ Α - <δ f()-f( ) <ε] (.7) Αν η συνάρτηση f() είναι συνεχής σε κάθε σημείο του συνόλου Α, τότε λέμε ότι η f() είναι συνεχής στο σύνολο Α. Τότε θα έχουμε ( A)( ε>)( δ(ε, ))[ A - <δ f()-f( ) <ε] (.8) Αν x iy και f()u(x,y)iv(x,y). τότε μπορούμε να δούμε ότι η συνεχεία της f() στο σημείο x iy είναι ισοδύναμη με τις εξής δυο σχέσεις: lim (x,y) (x,y) u(x,y)u(x,y ) lim (x,y) (x,y) v(x,y)v(x,y ) (.9) οι οποίες εκφράζουν την συνέχεια των πραγματικών συναρτήσεων u(x,y) και v(x,y) στο ί- διο σημείο. Επομένως μια μιγαδική συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο αν και μόνο αν το πραγματικό και φανταστικό μέρος, θεωρούμενες σαν πραγματικές συναρτήσεις των

22 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ον πραγματικών μεταβλητών x και y είναι συνεχείς στο ίδιο σημείο. Αυτό σημαίνει ότι πολλές ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων δυο πραγματικών μεταβλητών μπορούν να εφαρμοσθούν στις μιγαδικές συναρτήσεις. Τα σημεία του συνόλου Α, στα οποία η συνάρτηση f() δεν είναι συνεχής, λέγονται σημεία ασυνέχειας της f() και η f() ασυνεχής στα σημεία αυτά. Η εξέταση της συνέχειας της f() στο σημείο γίνεται αν θέσουμε w/ και ε- ξετάσουμε την συνέχεια της συνάρτησης f(/w) στο σημείο w. Από τον ορισμό της συνέχειας της f() στο σύνολο Α έπεται, (βλ. σχέση (.8)), ότι το δ γενικά θα εξαρτάται και από το ε και από το. Αν όμως μπορούμε να βρούμε ένα δ που να εξαρτάται από το ε, αλλά όχι από το συγκεκριμένο σημείο, τότε λέμε ότι η συνάρτηση f() είναι ομοιόμορφα συνεχής στο σύνολο Α. Αποδεικνύεται ότι αν η f() είναι συνεχής σ' ένα κλειστό τόπο, τότε θα είναι και ο- μοιόμορφα συνεχής..5 Στοιχειώδεις συναρτήσεις Στην παράγραφο αυτή θα αναφέρουμε μερικές μιγαδικές συναρτήσεις, των οποίων ο ορισμός προέρχεται από τις στοιχειώδεις πραγματικές συναρτήσεις.. Τα πολυώνυμα ορίζονται από τη σχέση: wp () α α - - α α (.) όπου α i i,,, με α και θετικός ακέραιος, που ονομάζεται βαθμός του πολυώνυμου.. Οι ρητές αλγεβρικές συναρτήσεις ορίζονται από τη σχέση: w P () (.) Q () όπου P() και Q() πολυώνυμα. α Η ειδική περίπτωση w β με αδ-βγ λέγεται διγραμμικός μετασχηματισμός ή γ δ απεικόνιση του Moebius.. H εκθετική συνάρτηση ορίζεται από τη σχέση: we e xiy e x (cosy isiy) (.) Για α R μπορούμε να έχουμε wα e lα. Οι μιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις έχουν ιδιότητες όμοιες με αυτές των πραγματικών εκθετικών συναρτήσεων, π.χ.: e e e e e e 4. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται με την βοήθεια της εκθετικής συνάρτησης από τις σχέσεις: si e i e i, cos e i e i, ta-i e i e i, coti e i e i i i i i i e e e e

23 Μιγαδικές συναρτήσεις 7 Πολλές ιδιότητες των πραγματικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων ισχύουν και για τις μιγαδικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις π.χ. si cos ta cos si(-) -si, cos(-) cos si( )si cos cos si 5. Οι υπερβολικές συναρτήσεις ορίζονται από τις σχέσεις: sih e e, cosh e e, tah e e, coth e e e e e e Μεταξύ των τριγωνομετρικών και υπερβολικών συναρτήσεων ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: sii isih, cosi cosh, tai itah sihi isi, coshi cos, tahi ita 6. Η λογαριθμική συνάρτηση ορίζεται σαν η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης και αποδεικνύεται ότι, (βλέπε άσκηση στο τέλος του κεφαλαίου): wll[re i(θkπ) ]lri(θkπ) με k Ζ Είναι φανερό ότι η λογαριθμική συνάρτηση είναι μια πλειότιμη συνάρτηση με άπειρους κλάδους και γι' αυτό τον λόγο μπορεί κανείς να πει ότι ο λογάριθμος ενός μιγαδικού αριθμού είναι μια ακολουθία μιγαδικών αριθμών. Σαν πρωτεύοντα κλάδο ή πρωτεύουσα τιμή θεωρούμε την έκφραση: lriθ με θ<π ή οποιοδήποτε άλλο διάστημα εύρους π. Επίσης η λογαριθμική συνάρτηση μπορεί να ορισθεί και για πραγματική θετική βάση α {e,,} π.χ. αν α w τότε wlog α l/lα 7. Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται σαν οι αντίστροφες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και αποδεικνύεται ότι έχουν τις εξής μορφές: si - l i k π cos - l k π i i ta - l i k π i i cot - l i i kð i 8. Οι αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις ορίζονται σαν οι αντίστροφες των υπερβολικών συναρτήσεων και αποδεικνύεται ότι έχουν τις εξής μορφές: sih - l ik π cosh - l ik π tah - l ik π coth - l ik π

24 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ον.6 Σημεία, τομές διακλάδωσης και επιφάνεια Riema Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με τις πλειότιμες συναρτήσεις. Ο σκοπός μας είναι να βρούμε ένα τρόπο με τον οποίο να ξεχωρίζουμε τις διαφορετικές τιμές της πλειότιμης συνάρτησης f(), που αντιστοιχούν στην ίδια τιμή του. Έτσι μια πλειότιμη συνάρτηση θα είναι ένα σύνολο μονότιμων συναρτήσεων στις οποίες θα μπορούμε να ε- φαρμόζουμε τα θεωρήματα της μιγαδικής ανάλυσης. Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση w και έστω ότι το σημείο, που αντιστοιχεί στο μιγαδικό αριθμό, περιστρέφεται γύρω από την αρχή Ο κατά τη θετική φορά, ξεκινώντας από το σημείο Α και καταλήγοντας πάλι σ' αυτό, Σχ.. Aν το σημείο Α έχει πολικές συντεταγμένες r και θ, τότε θα έχουμε rexp(iθ ) και w rexp(iθ /). Όταν το φθάσει στο Α μετά από μια πλήρη περιφορά θα έχουμε θθ π και επομένως i( θ π) iθ w rexp - rexp δηλ. η τιμή του w δεν είναι η ίδια με την αρχική. Αν όμως συνεχίσουμε κάνοντας μια δεύτερη περιφορά, τότε η γωνία στο σημείο Α θα είναι θθ 4π και i( θ 4π) iθ w rexp rexp, y δηλ. η αρχική τιμή του w. Εδώ βλέπουμε ότι η συνάρτηση w είναι μια δίτιμη συνάρτηση, δηλ. μια συνάρτηση που σε κάθε αντιστοιχούν δυο διαφορετικές τιμές. Το σύνολο αυτό των διαφορετικών τιμών του w μπορούμε να το χωρίσουμε σε δυο υποσύνολα, όπου για το ένα θα έχουμε θ<π και για το άλλο π θ<4π. Τα δυο αυτά υποσύνολα ο- νομάζονται κλάδοι της πλειότιμης συνάρτησης w. Αν περιορισθούμε σ' έναν από τους δυο κλάδους, τότε είναι φανερό ότι η συνάρτηση w γίνεται μονοτιμη. Βέβαια θα μπορούσαμε να πάρουμε οποιουσδήποτε άλλους κλάδους της μορφής α θ<απ και απ θ<α4π. Γεωμετρικά μπορούμε να απομονώσουμε τους δυο αυτούς κλάδους θεωρώντας την ημιευθεία ΟΒ, (όπου το Β είναι στο άπειρο), που έχει αρχή, την αρχή Ο και σχηματίζει γωνία α με τον άξονα ΟΧ. Εδώ για απλότητα μπορούμε να θεωρήσουμε α, όποτε η ημιευθεία ΟΒ συμπίπτει με τον θετικό ημιάξονα ΟΧ Σχ.. Στη συνεχεία συμφωνούμε το να μην περάσει την ημιευθεία ΟΒ, την οποία ονομάζουμε τομή ή γραμμή διακλάδωσης. Το δε σημείο Ο, που έχει την παραπάνω ιδιότητα, δηλ. κάθε πλήρη περιφορά γύρω από αυτό να οδηγεί σε διαφορετικές τιμές της πλειότιμης συνάρτησης, λέγεται σημείο διακλάδωσης. Ένα σημείο διακλάδωσης θα λέμε ότι είναι πολλαπλότητας, αν μετά από περιφορές γύρω από το σημείο αυτό επανερχόμαστε, (για πρώτη φορά), στην αρχική τιμή της συνάρτησης. Τον ίδιο σκοπό μπορούμε να πετύχουμε με την επιφάνεια Riema, που για την συγκεκριμένη συνάρτηση f() κατασκευάζεται ως εξής: Θεωρούμε ότι το μιγαδικό ε- πίπεδο αποτελείται από δυο φύλλα, (όσοι είναι οι κλάδοι της συνάρτησης), τα οποία τα κόβουμε κατά μήκος της τομής διακλαδώσεως ΟΒ. Στη συνεχεία ενώνουμε την κάτω O Σχ. r θ Α x B

25 Μιγαδικές συναρτήσεις 9 τομή του δεύτερου φύλλου με την πάνω τομή του πρώτου φύλλου και την πάνω τομή του δεύτερου φύλλου με την κάτω τομή του πρώτου φύλλου Σχ. 4. Εύκολα παρατηρούμε ότι αν αρχίσουμε από ένα σημείο Α, το οποίο βρίσκεται π.χ. στο πρώτο φύλλο, και κάνουμε μια πλήρη περιφορά με σκοπό να φθάσουμε και πάλι στο αρχικό σημείο, τότε θα βρεθούμε στο αντίστοιχο σημείο Α του δεύτερου φύλλου και αν εκτελέσουμε άλλη μια περιφορά, τότε θα βρεθούμε στο αρχικό σημείο Α. Τα δυο αυτά φύλλα λέμε ότι αποτελούν μια επιφάνεια Riema, που αντιστοιχεί στη συνάρτηση f(). Το πλεονέκτημα των επιφανειών Riema είναι ότι σε κάθε φύλλο τους η αντίστοιχη πλειότιμη συνάρτηση είναι μονότιμη και ότι διαγράφοντας Σχ. 4 τις παίρνουμε τις διάφορες τιμές της πλειότιμης συνάρτησης κατά συνεχή τρόπο. Η επέκταση των παραπάνω εύκολα μπορεί να γίνει : π.χ. η συνάρτηση έχει μια επιφάνεια Riema που αποτελείται από τρία φύλλα, ενώ για την συνάρτηση l η επιφάνεια Riema έχει άπειρο πλήθος φύλλα, όπως φαίνεται στο Σχ. 5 5 Άσκηση: Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση w και ας υποθέσουμε ότι για τη τιμή i r e θ αντιστοιχεί η τιμή ww. α. Δείξτε ότι η τιμή της συνάρτησης w θα είναι w exp(πi/5) όταν κάνουμε μια πλήρη περιφορά γύρω από την αρχή των αξόνων και κατά την θετική φορά ξεκινώντας από το σημείο. β. Να βρεθούν οι τιμές της συνάρτησης w όταν εκτελέσουμε, όπως πριν,,, πλήρεις περιφορές γύρω από την αρχή. γ. Να εξετασθούν τα δυο προηγούμενα ερωτήματα, όταν η αρχή δεν περιέχεται στην κλειστή καμπύλη. Λύση α. Ξέρουμε ότι αν rexp(iθ), τότε 5 5 w r exp(iθ/5). Επομένως αν rr, θθ 5 τότε w 5 r exp(iθ /5) Αν τώρα κάνουμε μια πλήρη περιφορά γύρω από την αρχή ξεκινώντας από το σημείο, τότε το θ από την τιμή θ θα αυξηθεί στη τιμή θ π και θα έχουμε Σχ. 6: ( ) θ π i θi πi πi w r e r e e w e β. Μετά από δυο πλήρεις περιφορές γύρω από την αρχή έχουμε: Σχ. 5

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ον ( ) θ 4 π i θi 4 πi 4πi w r e r e e w e μετά από τρείς ww e 6π i 5 μετά από τέσσερις: ww 8π i 5 e π i 5 e w και μετά από πέντε: ww δηλ. παίρνουμε την αρχική τιμή της w. Εάν συνεχίσουμε να κάνουμε περιφορές, τότε τα παραπάνω αποτελέσματα επαναλαμβάνονται με την ίδια σειρά. 5 Άλλος τρόπος: Επειδή w τότε argw/5arg και επομένως μεταβολή του argw/5μεταβολή του arg. Άρα αν το arg αυξάνεται κατά π, 4π, 6π, 8π, π, το argw αυξάνεται κατά π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5, π, και βρίσκουμε τα ίδια αποτελέσματα. γ. Αν η περιφορά που κάνουμε γίνει πάνω σε μια κλειστή καμπύλη, που δεν περιέχει την αρχή των αξόνων, τότε η αύξηση στο arg είναι μηδέν και συνεπώς η αύξηση στο argw είναι επίσης μηδέν. Άρα η τιμή της συνάρτησης w είναι η w ανεξάρτητα του πόσες φορές διασχίσαμε την κλειστή καμπύλη. 5 Παρατήρηση: Την πλειότιμη συνάρτηση w μπορούμε να την δούμε σαν ένα σύνολο πέντε μονότιμων συναρτήσεων. Πράγματι, επειδή w έχουμε ότι: 5 w 5 rexp(iθ)rexp[i(θkπ)] με k Ζ 5 επομένως w r exp[i(θkπ)/5] όπου k,,,,4 (Α) δηλ. η πλειότιμη συνάρτηση w μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα σύνολο πέντε μονότιμων συναρτήσεων, οι οποίες ορίζονται από τη σχέση (Α) για κάποιο συγκεκριμένο k. Ισοδύναμα μπορούμε να θεωρήσουμε την συνάρτηση w σαν ένα σύνολο πέντε μονότιμων συναρτήσεων, που ονομάζονται κλάδοι της πλειότιμης συνάρτησης, περιορίζοντας κατάλληλα το θ. Έτσι π.χ. μπορούμε να γράψουμε: 5 w r exp[iθ/5] όπου το θ μπορεί να μεταβάλλεται στα εξής πέντε διαστήματα: [,π), [π,4π), [4π,6π), Σχ. [6π,8π) 6, [8π,) Για διαφορετικό θ παίρνουμε πάλι μια από τις προηγούμενες τιμές. Πολλές φορές το πρώτο διάστημα, δηλ. το [,π) ονομάζεται πρωτεύον διάστημα του θ που αντιστοιχεί στον πρωτεύοντα κλάδο της πλειοτιμης συνάρτησης. Δεν είναι ανάγκη να περιοριστούμε στα παραπάνω πέντε διαστήματα. Μπορούμε να πάρουμε αλλά διαστήματα του θ,

27 Μιγαδικές συναρτήσεις τα οποία να είναι διαδοχικά και να έχουν εύρος π π.χ. τα [-π,π), [π,π) κ.λ.π. Το πρώτο από αυτά τα διαστήματα θα είναι το πρωτεύον διάστημα. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ. Δείξτε ότι οι ρίζες α) του si και β) του cos είναι όλες πραγματικές. Να υπολογισθούν.. Εάν e w όπου re iθ και wuiv, δείξτε ότι ulr και vθkπ, k Z και επομένως wllri(θkπ). Στη συνεχεία να υπολογισθούν οι τιμές του l(-i) και να βρεθεί η πρωτεύουσα τιμή του.. Δείξτε ότι το σημείο είναι σημείο διακλαδώσεως της f()l. 4. Θεωρούμε τον μετασχηματισμό wl. Δείξτε ότι α) οι κύκλοι με κέντρο την αρχή στο -επίπεδο απεικονίζονται στο w-επίπεδο σε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα ΟV. β) ευθείες ή ακτίνες, που διέρχονται από την αρχή στο -επίπεδο, απεικονίζονται στο w-επίπεδο σε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα ΟU. γ) ολόκληρο το -επίπεδο απεικονίζεται στο w-επίπεδο σε μια λουρίδα πλάτους π. Να περιγραφούν οι προηγούμενες απεικονίσεις γραφικά. 5. α) Να δειχθεί ότι τα σημεία ±i είναι σημεία διακλαδώσεως της συνάρτησης wf(). β) Να δειχθεί ότι μια πλήρη περιφορά γύρω από τα δυο σημεία διακλαδώσεως δεν δίνει νέο κλάδο της f(). γ) Να προσδιοριστούν οι γραμμές διακλαδώσεως και η επιφάνεια Riema. 6. Να αποδειχθεί ότι: α) si - l[ i ] kπ i β) sih l[ - ] ikπ

28

29 . ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Ορισμός της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης Μέχρι τώρα ο ορισμός και οι ιδιότητες των μιγαδικών συναρτήσεων διετυπώθησαν σε πλήρη αναλογία με την θεωρία των πραγματικών συναρτήσεων. Όμως η έννοια της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης, που θα ορισθεί με τον ίδιο τρόπο που ορίσθηκε η παράγωγος μιας πραγματικής συνάρτησης, οδηγεί, όπως θα δούμε, σε ουσιώδεις διάφορες. Έστω f() μια μονότιμη συνάρτηση ορισμένη στον ανοικτό τόπο ( D, και έστω ένα σημείο του D. Η έκφραση: f () f ( ) είναι προφανώς μια συνάρτηση του, που ορίζεται σε όλα τα σημεία του D εκτός από το. Το όριο: f () f ( ) lim (.) όταν υπάρχει και είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο που το, ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης f() στο σημείο και ως προς τον τόπο D και συμβολίζεται με f D ( ) ή πιο απλά f ( ). H δε συνάρτηση f() λέγεται ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο. Εάν η f() έχει παράγωγο για κάθε σημείο του D, τότε λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο D. Εάν θέσουμε Δ- και Δff( Δ)-f( ), τότε το όριο (.) μπορεί να γράφει: Δf limδ Δ και μπορούμε να παραστήσουμε την παράγωγο f ( ) σαν df ( ) δηλ. θα έχουμε: d f ( ) df( ) Δf f ( Δ lim lim ) f( ) (.) Δ Δ d Δ Δ Η συνάρτηση f() θα λέγεται διαφορίσιμη στο σημείο αν: Δff ( )Δε(,Δ)Δ (.) όπου το ε, που εξαρτάται από το και το Δ, τείνει στο μηδέν όταν Δ. Αντίστροφα: Aν υπάρχει μιγαδικός αριθμός Α τέτοιος ώστε: ΔfΑΔε(,Δ)Δ με τις ίδιες συνθήκες για το ε(,δ), τότε η f είναι διαφορίσιμη με Αf ( ). Όταν το Δ γίνει απειροστό d, η ποσότητα ε(,d) γίνεται απειροστή, μεγαλύτερης τάξης από το d, και μπορεί να παραληφθεί, όποτε η σχέση (.) γίνεται: dff ( )d (.4) και ονομάζεται διαφορικό της μιγαδικής συνάρτησης f. Ας προσπαθήσoυμε τώρα να υπολογίσουμε την παράγωγο της συνάρτησης f() στο τυχαίο σημείο. Θα έχουμε: ( Στα επόμενα όπου θα γράφεται τόπος θα εννοείται ανοικτός.

30 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ον ( ) Δf Δ f () lim lim lim [ Δ ] Δ Δ Δ Δ Δ Ας εξετάσουμε στη συνεχεία τη συνάρτηση f(). Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε: Δf Δ ( Δ )( Δ) Δ Δ (.5) Δ Δ Δ Δ Δ f Δf Εάν το τότε Δ και lim Δ Δ Δ Επομένως η παράγωγος της συνάρτησης f() στο σημείο υπάρχει και είναι μηδέν, δηλ. f (). Δf Εάν το, τότε για να υπάρχει το lim Δ θα πρέπει το όριο αυτό να μην εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο το Δ τείνει στο μηδέν. Όμως αν το Δ παίρνοντας Δ μόνο πραγματικές τιμές, τότε Δ Δ και θα έχουμε από τη σχέση (.5) ότι Δ f limδ (.6) Im Δ Δ Εάν όμως το Δ παίρνοντας μόνο φανταστικές τιμές, τότε Δ -Δ και το όριο θα είναι: limδ (.7) Δ f Re Δ Δ Από τις σχέσεις (.6) και (.7) συμπεραίνουμε ότι το όριο: Δf lim Δ Δ δεν είναι μονοσήμαντο και επομένως η παράγωγος f () δεν υπάρχει σε κανένα σημείο εκτός από το σημείο. Παρατήρηση: Το παράδειγμα αυτό δείχνει ότι μπορεί μια συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη μόνο σ' ένα συγκεκριμένο σημείο και πουθενά αλλού. Επίσης δείχνει ότι μπορεί το πραγματικό και φανταστικό μέρος μιας μιγαδικής συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής να έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους κάθε τάξης σ' ένα σημείο, αλλά η συνάρτηση να μην έχει παράγωγο σ' αυτό το σημείο. Για την συνάρτηση f() έχουμε: Ref()u(x,y)x y και Imf()v(x,y) Επίσης πρέπει να σημειωθεί ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής σ' όλο το μιγαδικό επίπεδο. Έτσι ισχύει και εδώ ό,τι ισχύει στις πραγματικές συναρτήσεις, δηλ.: "η συνέχεια μιας μιγαδικής συνάρτησης δεν συνεπάγεται κατ' ανάγκη την ύπαρξη της παραγώγου σ' αυτό το σημείο". Το αντίστροφο βέβαια ισχύει. Πράγματι: [ ] [ f () f ( ) ] lim f ( ) f ( ) lim ( ) f ( ) lim f ( ) f ( ) Ένα άλλο σημείο, που πρέπει να προσέξουμε, είναι ο τόπος D, στα σημεία του οποίου υπολογίζεται η παράγωγος. Ας πάρουμε σαν παράδειγμα την συνάρτηση: f()f(xiy)x και ας θεωρήσουμε ότι το D είναι ο πραγματικός άξονας, δηλ. f()f(x)x

31 Παραγώγιση μιγαδικής συνάρτησης 5 Η παράγωγος της συνάρτησης για x D θα είναι: f ()f (x) Εάν τώρα αντί για τον τόπο D πάρουμε όλο το μιγαδικό επίπεδο και η συνάρτηση εξακολουθεί να είναι η ίδια, δηλ. f()f(xiy)x τότε το κλάσμα: f () f ( ) x x ( x x) i( yy) δεν έχει όριο όταν με οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός ακόμα και πραγματικός, διότι α) αν xx και y y τότε το όριο είναι το. β) αν yy και x x τότε το όριο είναι το. Επομένως η συνάρτηση f()x, που είναι συνεχής στο μιγαδικό επίπεδο, δεν είναι πουθενά παραγωγίσιμη.. Κανόνες παραγώγισης Από τον ορισμό της παραγώγου και των ιδιοτήτων του ορίου μια συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής, εύκολα προκύπτει ότι και εδώ ισχύουν οι ίδιοι κανόνες παραγώγισης, που ισχύουν στις πραγματικές συναρτήσεις. Οι κανόνες αυτοί είναι οι εξής:. Αν f()cσταθερά, τότε f (). [ ] -. [cf()] cf () 4. [f ()f ()] f ()f () 5. [f ()f ()] f ()f ()f ()f () f() f () f() f() f () 6. f() με f () f() 7. Αν wf() και Fg(w) τότε: df dg dw d dw d 8. Αν f - (w) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της wf(), τότε: d dw f w ( ) d d f (). Αναλυτικές συναρτήσεις. Συνθήκες auchy - Riema Αν μια συνάρτηση f() είναι παραγωγίσιμη όχι μόνο στο σημείο αλλά και σε κάθε σημείο μιας περιοχής Π δ ( ) του, τότε ονομάζεται αναλυτική ή ολόμορφη ( στο ( Ο όρος αναλυτική χρησιμοποιήθηκε πρώτα από τον J. L. Lagrace και αργότερα από τον Κ. Τ. Weierstrass. Σήμερα ο όρος χρησιμοποιείται ευρέως και θέλει να τονίσει ότι μια μιγαδική συνάρτηση f(), που είναι διαφορίσιμη σε κάποιο τόπο D, μπορεί να αναλυθεί σε δυναμοσειρά γύρω από κάποιο σημείο. Η ανάλυση αυτή, όπως θα δούμε, προσδίδει πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες στη συνάρτηση f(). Ο όρος ολόμορφη χρησιμοποιήθηκε πρώτα από τους. Briot και J. Bouquet, μαθητές του Α. auchy, οι οποίοι δικαιολόγησαν την εισαγωγή του ως εξής: "μ' αυτόν τον όρο θέλουμε να δείξουμε ότι μια τέτοια

32 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ον σημείο. Εάν η f() είναι αναλυτική σε κάθε σημείο ενός ανοικτού τόπου D, τότε θα λέμε ότι η f() είναι αναλυτική ή ολόμορφη στον τόπο D. Εάν η f() είναι αναλυτική σε κάθε σημείο του μιγαδικού επιπέδου, τότε η f() λέγεται ακέραιη. Π.χ. ένα πολυώνυμο Ρ() είναι μια ακέραιη συνάρτηση. Η ρητή συνάρτηση P()/Q(), όπου Ρ() και Q() πολυώνυμα, είναι αναλυτική σε κάθε τόπο D, που δεν περιέχει ρίζες του παρανομαστή Q(). Θεώρημα: Έστω f()u(x,y)iv(x,y) μια μιγαδική συνάρτηση ορισμένη σ' 'ένα ανοικτό τόπο D. Μια αναγκαία συνθήκη για να είναι η f() αναλυτική στο τόπο D είναι οι συναρτήσεις u(x,y) και v(x,y) να ικανοποιούν τις συνθήκες των auchy-riema u v u v, (.8) x y y x Οι σχέσεις (.8) είναι και ικανές όταν οι μερικές παράγωγοι των συναρτήσεων u και v είναι συνεχείς συναρτήσεις στο τόπο D. Αν οι σχέσεις (.8) ισχύουν, τότε η παράγωγος f () μπορεί να υπολογισθεί από τις εξής σχέσεις: f () u v v u u u v v i i i i (.9) x x y y x y y x Aπόδειξη: α) Αναγκαίο. Πρώτος τρόπος. Από τον ορισμό της αναλυτικής συνάρτησης πρέπει το όριο f(δ) f() lim Δ f() Δ [ u(x Δ x,y Δ y) iv(x Δ x,y Δy) ] [ u(x,y) iv(x,y) ] limδx (.) Δy Δ x iδy να υπάρχει και να είναι ανεξάρτητο του τρόπου με τον οποίο το ΔΔxιΔy τείνει στο μηδέν. Εξετάζουμε τους εξής δυο τρόπους με τους οποίους το Δ ) Έστω Δy, Δx, τότε το όριο (.) είναι: u(x x,y) u(x,y) v(x x,y) v(x,y) lim Δ Δx i Δ Δx Δx u v i (.) x x με την προϋπόθεση ότι υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι. ) Έστω Δx, Δy, τότε το όριο (.) είναι: u(x,y Δy) u(x,y) v(x,y Δy) v(x,y) lim Δy iδy Δy -i u v (.) y y Επειδή η f() είναι αναλυτική πρέπει τα όρια (.) και (.) να είναι τα ίδια δηλ. u v i -i u v u v v u και x x y y x y x y Δεύτερος τρόπος: Θυμίζουμε πρώτα ότι μια πραγματική συνάρτηση δυο πραγματικών μεταβλητών u(x,y) ονομάζεται διαφορίσιμη στο σημείο (x,y) αν ισχύει η σχέση: Δuu(xΔx,yΔy)-u(x,y) συνάρτηση f() είναι όμοια με μια πλήρη συνάρτηση, (π.χ. μια πλήρη ρητή συνάρτηση είναι ένα πολυώνυμο), σχετικά με τις ιδιότητες σ' όλο το μιγαδικό επίπεδο

33 Παραγώγιση μιγαδικής συνάρτησης 7 [ u(x,y)/ x]δx[ u(x,y)]δyε (x,y,δx,δy)δxε (x,y,δx,δy)δy όπου lim Δx, Δy ε (x,y,δx,δy)lim Δx, Δy ε (x,y,δx,δy) Υποθέτουμε τώρα ότι η f() είναι διαφορίσιμη στο σημείο. Θα έχουμε: Δf()f ()ΔεΔ (.) όπου ΔΔxiΔy Δf()f(Δ)-f()[u(xΔx,yΔy)iv(xΔx,yΔy)]-[u(x,y)iv(x,y)] ΔuiΔv f ()αiβ, εε iε με lim Δx Δy ε lim Δx Δy ε Χωρίζοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της (.) βρίσκουμε: ΔuαΔx-βΔyε Δx-ε Δy ΔvβΔxαΔyε Δx-ε Δy (.4) Από τις σχέσεις (.4) βλέπουμε ότι: ) οι συναρτήσεις u(x,y) και v(x,y) είναι διαφορίσιμες στο σημείο (x,y) ) οι μερικές παράγωγοι των στο ίδιο σημείο είναι: u/ xα, u/ y-β, v/ xβ, v/ yα Από τις τελευταίες σχέσεις προκύπτει ότι: u/ x v/ y και u/ y- v/ x β) Ικανό. Εάν υποθέσουμε ότι οι μερικές παραγωγοί u/ x και u/ y είναι συνεχείς συναρτήσεις, τότε θα έχουμε: Δuu(xΔx,yΔy)-u(x,y) [ u/ x]δx[ u/ y]δyε Δxη Δy όπου ε και η όταν Δx και Δy Επίσης επειδή οι μερικές παράγωγοι v/ x και v/ y είναι συνεχείς συναρτήσεις, θα έχουμε ότι: Δvv(xΔx,yΔy)-v(x,y) [ v/ x]δx[ v/ y]δyε Δxη Δy όπου ε και η όταν Δx και Δy Επομένως u v u v ΔwΔuiΔv i Δ x i Δy x x y y εδxηδy (.5) όπου εε iε και ηη iη όταν Δx και Δy. Η σχέση (.5) με την βοήθεια των σχέσεων auchy-riema γίνεται: u v v u u v Δw i Δ x i Δy x x x x εδxηδy i [ x i y] Δ Δ x x εδxηδy και διαιρώντας με ΔΔxiΔy και παίρνοντας το όριο Δ έχουμε: dw Δw u v f () lim i Δ d Δ x x Επομένως η παράγωγος υπάρχει και είναι μοναδική, δηλ. η f() είναι αναλυτική στο τόπο D. Παρατήρηση: Εάν οι συνθήκες των auchy-riema ισχύουν σ' ένα σημείο, (ή στα σημεία μιας καμπύλης), χωρίς να ισχύουν στα γειτονικά του σημεία, (ή στα γειτονικά σημεία της καμπύλης), δηλ. σε κάποια περιοχή του, τότε η παράγωγος της f() στο σημείο υπάρχει αλλά η f() δεν είναι αναλυτική στο, (η στα σημεία της καμπύλης). Π.χ. η f() έχει παράγωγο μόνο στο σημείο, (στο οποίο ισχύουν οι συνθήκες auchy-riema), αλλά πουθενά δεν είναι αναλυτική.

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. Μια συνοπτική παρουσίαση της Άλγεβρας, για όσους θέλουν να προετοιμαστούν για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις των ΕΠΑ.Λ. Για απορίες στο www.commonmaths.weebly.com

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα