Μάθημα Ακουστικής. Νικόλαος Παλληκαράκης Καθ. Ιατρικής Φυσικής ΠΠ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μάθημα Ακουστικής. Νικόλαος Παλληκαράκης Καθ. Ιατρικής Φυσικής ΠΠ"

Ιάνθη Αβραμίδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Μάθημα Ακουστικής Νικόλαος Παλληκαράκης Καθ. Ιατρικής Φυσικής ΠΠ

2 Περιοδική Κίνηση Μία κίνηση χαρακτηρίζεται σαν περιοδική αν αναπαράγεται απαράλλακτα σε ίσα διαδοχικά χρονικά διαστήματα. Στο χρονικό αυτό διάστημα που ονομάζουμε περίοδο και συμβολίζουμε με Τ, λέμε ότι η κίνηση εκτελεί ένα κύκλο. Συχνότητα, ονομάζουμε τον αριθμό των κύκλων που πραγματοποιούνται στη μονάδα του χρόνου και συνήθως συμβολίζουμε με f ή v. Μονάδα μέτρησης της συχνότητας είναι το Hertz (Hz) ή κύκλοι ανά δευτερόλεπτο (s -1 ). Από τους ορισμούς αυτούς είναι φανερό ότι η συχνότητα και η περίοδος συνδέονται με τη σχέση: f= 1 / T 2

3 Απλή Αρμονική Ταλάντωση Ονομάζουμε απλή αρμονική ταλάντωση (ΑΑΤ) την ευθύγραμμη κίνηση ενός σώματος που υφίσταται μία επιτάχυνση γ που σε κάθε χρονική στιγμή, είναι ανάλογη προς την απομάκρυνση του σώματος από ένα σταθερό σημείο πάνω στην ευθεία της κίνησης (σημείο ισορροπίας) και έχει φορά προς αυτό. Εάν ένα σημείο Α κινείται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, στην περιφέρεια ενός κύκλου (κύκλος αναφοράς), τότε η κίνηση της προβολής Π του σημείου Α σε μία διάμετρο του κύκλου (ή οποιαδήποτε ευθεία του επιπέδου του) εκτελεί αρμονική ταλάντωση. 3

4 Απλή Αρμονική Ταλάντωση Η μέγιστη απομάκρυνση ή πλάτος Α της ταλάντωσης αντιστοιχεί στην ακτίνα του κύκλου αναφοράς ΟΑ και η κυκλική συχνότητα ω, αντιστοιχεί στην γωνιακή ταχύτητα της κυκλικής κίνησης. Αφού το σημείο Α εκτελεί ένα πλήρη κύκλο σε χρόνο μιας περιόδου Τ, θα έχουμε: ω = 2π / Τ = 2π f Με τον όρο φάση μιας περιοδικής κίνησης, εννοούμε το κλάσμα της περιόδου που έχει περάσει από κάποια χρονική στιγμή (ή θέση) αναφοράς εκφρασμένο σε rad. ν dx dt φ = φ0 + ωt x(t) = Ασυν(ωt-φ) ( t) = = ωα ηµ ( ωt ϕ) γ( t) = = ω 2 Ασυν( ωt ϕ) dν dt 4

5 Διαδιδόμενο Αρμονικό Κύμα Αν σε κάποιο σημείο ελαστικού μέσου δημιουργήσουμε μία ταλάντωση, αυτή θα διαδοθεί από το ένα σημείο του υλικού μέσου στο άλλο. Στην περίπτωση αυτή πρόκειται για ένα διαδιδόμενο κύμα που ξεκινάει από το αρχικό σημείο διαταραχής και θέτει σε ταλάντωση κάθε στοιχείο του υλικού μέσου που βρίσκεται στη διεύθυνση διάδοσής του. Η διάδοση του κύματος σε ένα ομογενές μέσο, είναι ομοιόμορφη, δηλ. γίνεται με σταθερή ταχύτητα c. Η απόσταση που διανύει το κύμα στη διάρκεια μιας περιόδου της ταλάντωσης ονομάζεται μήκος κύματος λ. Έτσι, έχουμε: λ = c T 5

6 Εξίσωση ΑΑΚ x = Ασυν(ωt - φ) x = Ασυνωt x = Ασυνω(t-y/c) x = Ασυν 2π t Τ y c x t = Ασυν2π Τ y λ 6

7 Ταχύτητα του ήχου H ταχύτητα του ήχου στα διάφορα υλικά μέσα είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του μέτρου ελαστικότητας του μέσου (Β), που δίνεται από το λόγο της δύναμης ανά μονάδα επιφανείας (F/s) προς την σχετική μεταβολή του όγκου dv/v, και αντιστρόφως ανάλογο της τετραγωνικής ρίζας της πυκνότητας (ρ). Στα στερεά, με διαστάσεις εγκάρσιας διατομής μικρές σε σχέση με το μήκος κύματος του ήχου, το μέτρο του Young, Ε, και η ταχύτητα διάδοσης του ήχου δίνεται από τη σχέση: c = Ε / ρ H ταχύτητα διάδοσης του ήχου σ ένα ιδανικό αέριο, δίνεται από τη σχέση: c= γ P / ρ 7

8 Ταχύτητα του ήχου Γνωρίζοντας την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων: PV=nRT και αντικαθιστώντας έχουμε: c ( γ nrt / ρv) = ( ) ή c= γ RT / M Στον αέρα, θεωρώντας ότι αποτελείται κατά 80% από Ν 2 και 20% από Ο 2 η μέση μοριακή μάζα θα είναι 28.8 g. Τα μόρια είναι διατομικά και έχουμε γ=1.4. Ετσι, για Τ=273Κ (0 ο C) η ταχύτητα του ήχου βρίσκεται ίση με: c 14. * 8. 31* 273 = = * m / s 8

9 Ταχύτητα του ήχου Στις συνθήκες αυτές, τα μήκη κύματος που αντιστοιχούν στις ακραίες τιμές της συχνότητας της φυσιολογικής ανθρώπινης ακοής είναι: λ max c = = f min m / s c = 16. 6m και λ Hz min = = f max Στο νερό, όπου ο ήχος διαδίδεται με ταχύτητα 1500m/s περίπου, τα αντίστοιχα ακραία μήκη κύματος θα είναι: λ max = 1500/20 = 75 m και λ min = 1500/ = 75 mm αντίστοιχα m / s = 16. 6mm Hz 9

10 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΗΧΗΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ u(x,t) = f(x-ct) u(x,t) = Ασυνω(t-x/c) ή u(x,t) = Ασυν(ωt-kx) όπου k=ω/c Η εξίσωση αυτή μας δίνει τη σωματιακή μετατόπιση, δηλαδή τη μετατόπιση μιας στοιχειώδους μάζας ρευστού μέσου, από τη θέση ισορροπίας της. 10

11 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΗΧΗΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Η μεταβολή της πυκνότητας που προκαλεί το ηχητικό κύμα εκφράζεται από τη συμπύκνωση S του μέσου που ορίζεται σαν ο λόγος της μεταβολής της πυκνότητας Δρ προς την πυκνότητα ισορροπίας ρ του υλικού σε κάποιο σημείο, S ρ = ρ = 0 ρ ρ ρ και είναι ίση με: S ϑ u = = kαηµ ω t k x ϑ x ( ) 11

12 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΗΧΗΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Οι μεταβολές της πίεσης εκφράζονται από την ακουστική πίεση που είναι η εναλλασσόμενη συνιστώσα της πίεσης σε ένα σημείο του ηχητικού πεδίου (δηλ. την συνολική πίεση μείον την στατική πίεση που θα υπήρχε σε περίπτωση απουσίας του ήχου). Η ακουστική πίεση για απλό αρμονικό κύμα δίνεται από τη σχέση: 2 p=ρc S και για k=ω/c 2ϑu 2 P= ρc = ρc kαηµ ω ϑx ( t kx) p = ρ cω Αηµ ω t kx ( ) 12

13 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΗΧΗΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Η ταχύτητα που έχει ο στοιχειώδης αυτός όγκος κάθε χρονική στιγμή, ονομάζεται σωματιακή ταχύτητα ταλάντωσης, και δίνεται από τη σχέση: v ϑu = = ωαηµ ω ϑt ( t kx) Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου δεν πρέπει να συγχέεται με τη σωματιακή ταχύτητα ταλάντωσης που αναφέρεται σε πραγματικές ταχύτητες κίνησης μάζας, δηλ. των μορίων του υλικού μέσου, ενώ η ταχύτητα διάδοσης του κύματος αναφέρεται στη μετάδοση της διαταραχής. 13

14 Χαρακτηριστική Ακουστική Εμπέδηση Ονομάζουμε χαρακτηριστική ακουστική εμπέδηση Ζ, το λόγο της ακουστικής πίεσης του ήχου δια της σωματιακής ταχύτητας ταλάντωσης. Ζ = p/v (kgm-2s-1 ή rayls) Στην περίπτωση απλού αρμονικού κύματος έχουμε: p = -ρcωαημ(ωt-kx) και v = -ωαημ(ωt-kx) δηλαδή Ζ = p/v = ρc Επομένως, για ένα επίπεδο κύμα απλού αρμονικού ήχου, η χαρακτηριστική ακουστική εμπέδηση του μέσου διάδοσης, θα είναι ίση προς το γινόμενο της πυκνότητας επί την ταχύτητα διάδοσης και εκφράζεται σε rayls. 14

15 Ένταση του ήχου Ι = Ζω 2 Α εν 2 Η ένταση Ι εκφράζεται επίσης συναρτήσει της πίεσης του ήχου αντικαθιστώντας το ενεργό πλάτος Α εν από τη σχέση: ή και έχουμε: Α P εν = -ρcωα εν εν Pεν Pεν = = ωpc ωζ I P = εν 2 Ζ 15

16 Ένταση του ήχου Η σχέση δείχνει ότι, για ίδιας έντασης ήχους, το πλάτος της ταλάντωσης είναι αντιστρόφως ανάλογο ενώ η πίεση του ήχου είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας της εμπέδησης του υλικού μέσου διάδοσης. Έτσι για ήχο έντασης Ι = ΙW/m 2 και συχνότητας f=1000hz, το ενεργό πλάτος Α εν στον αέρα (z = 430 Rayls) θα είναι: Α= 2 ( / Ζ * ) = I / Ζ( 2πf ) 2 3 [ ] = I / 430 *( 6.28*10 ) [ ] 2 6 = 7.7 *10 m= 7. m I ω 7µ Ενώ το ενεργό πλάτος στο νερό (z = 1,5*10 6 Rayls) βρίσκεται Α εν = 0,13μm, δηλαδή περίπου 60 φορές μικρότερο απ ότι στον αέρα. 16

17 Ακουστικές μετρήσεις Πίνακας 1: Αντιστοιχία τιμών της έντασης του ήχου Ι της ακουστικής πίεσης ρ και του λόγου Ι/Ι 0 με αυτές της κλίμακας db για Ι 0 =10-12 W/m 2 και Ρ 0 = Pa. db I/I 0 I (W/m 2 ) ρ (Pa) * * * * * * *

18 Διάδοση του ήχου Ανάκλαση και Διέλευση του Ήχου α α Iα = = I π Ζ Ζ Ζ + Ζ όπου Ζ 1 και Ζ 2 οι χαρακτηριστικές ακουστικές εμπεδήσεις των δύο μέσων. α δ = I δ = 4Ζ Ζ 1 2 I π Ζ 2 + Ζ 1 [ ] 2 18

19 Διάδοση του ήχου Στην περίπτωση πλάγιας πρόσπτωσης, οι συντελεστές ανάκλασης και διέλευσης δίνονται από τις σχέσεις: α α = [(Ζ 2 συνπ - Ζ 1 συνδ) / (Ζ 2 συνπ+ζ 1 συνδ)] 2 α δ = 4Ζ 1 Ζ 2 συνπ συνδ / (Ζ 2 συνπ+ζ 1 συνδ) 2 όπου π η γωνία πρόσπτωσης και δ η γωνία διάθλασης. Η γωνία ανάκλασης α, είναι ίση προς την γωνία πρόσπτωσης π π = α Ο λόγος των ημίτονων των γωνιών πρόσπτωσης και διάθλασης, ισούται με το λόγο των ταχυτήτων διάδοσης στα αντίστοιχα μέσα. ημπ/ημδ = c 1 /c 2 19

20 Εξασθένηση - Απορρόφηση του ήχου Α = Α 0 e -αx όπου α ο γραμμικός συντελεστής εξασθένησης του πλάτους της σωματιακής μετατόπισης και x το βάθος του μέσου στο οποίο εξετάζεται το πλάτος αυτό. Ο α εξαρτάται από το υλικό μέσο και τη συχνότητα του ήχου. Επειδή η ένταση Ι του ήχου είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του πλάτους (Α 2 ) η ένταση Ι του ηχητικού κύματος σε βάθος x δίνεται από τη σχέση: Ι = Ι 0 e -2αx 20

21 Η λειτουργία της ακοής 21

22 Ακουστικός έλεγχος συχνοτήτων 22

Σχετικά έγγραφα

AΚΟΥΣΤΙΚΗ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

AΚΟΥΣΤΙΚΗ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με τον όρο ακουστική, ονοµάζουµε τη φυσική του ήχου, δηλαδή των µηχανικών κυµάτων που γίνονται αντιληπτά και αναγνωρίζονται από το αισθητήριο της ακοής. Είναι λοιπόν φανερό ότι αν