3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ATAN(Χ) Μας δίνει το τόξο που έχει εφαπτοµένη το Χ. Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ATAN(Χ) Μας δίνει το τόξο που έχει εφαπτοµένη το Χ. Μάθηµα 1-22- Χατζάκης Ηλίας"

Transcript

1 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ABS(X) Μας δίνει την απόλυτο τιµή του X. EXP(X) Μας δίνει το e^x. INT(Χ) Μας δίνει τον πλησιέστερο ακέραιο µικρότερο ή ισο του Χ. LN(Χ) Μας δίνει το φυσικό λογάριθµο του Χ. LOG(Χ) Μας δίνει το δεκαδικό λογάριθµο του Χ. MOD(Χ;Y) Μας δίνει το υπόλοιπο της διαίρεσης του Χ/Y. PI() Mας δίνει το π=3, RAND() Mας δίνει ένα τυχαίο αριθµό από 0 µέχρι 1. ROUND(X;n) Κάνει στρογγυλοποίηση του Χ σε n δεκαδικά ψηφία. SQRT(X) Μας δίνει τη θετική τετραγωνική ρίζα του X. PRODUCT(περιοχή) Επιστρέφει το γινόµενο των κελιών της περιοχής. SUM(περιοχή) Επιστρέφει το άθροισµα του περιεχοµένου των κελιών. AVERAGE(περιοχή) Επιστρέφει το µέσο όρο του περιεχοµένου των κελιών. FACT(X) Επιστρέφει το Χ παραγοντικό (Χ!) π.χ. FACT(3)=1*2*3 Το Χ πρέπει να είναι µεγαλύτερο του ή ίσον του 0. Fact(0)=1 Αν ο Χ δεν είναι ακέραιος επιστρέφει το παραγοντικό του ακεραίου µέρους του π.χ. Fact(3,8)=Fact(3)=6. PERMUT(X;Y) Μας δίνει τoν αριθµό των διατάξεων του X ανά Υ. Πρέπει να ισχύει Χ>=Υ>=0 επίσης Permut(X;Y)=Fact(X)/Fact(X-Y). COMBIN(X) Μας δίνει τoν αριθµό των συνδυασµών του X ανά Υ. Πρέπει α ισχύει Χ>=Υ>=0 επίσης combin(x;y)=fact(x)/(fact(y)*fact(x-y)). ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ DEGREES(Χ) Μετατρέπει τα ακτίνια σε µοίρες(το Χ σε ακτίνια). RADIANS(Χ) Μετατρέπει τις µοίρες σε ακτίνια (το Χ σε µοίρες). SIN(Χ) Μας δίνει το ηµίτονο του Χ(το Χ σε ακτίνια). COS(X) Μας δίνει το συνηµίτονο του X(το Χ σε ακτίνια). TAN(Χ) Μας δίνει την εφαπτοµένη του Χ(το Χ σε ακτίνια). ASIN(Χ) Μας δίνει το τόξο που έχει ηµίτονο το Χ. ACOS(Χ) Μας δίνει το τόξο που έχει συνηµίτονο το Χ. ATAN(Χ) Μας δίνει το τόξο που έχει εφαπτοµένη το Χ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ MDETERM(περιοχή). Η περιοχή θεωρείται ένας τετραγωνικός πίνακας και µας επιστρέφει την ορίζουσα του. MINVERSE(περιοχή). Όπου περιοχή είναι ένας αντιστρέψιµος πίνακας(τετραγωνικός µε ορίζουσα <> 0) και µας δίδει τον αντίστροφο του. MMULT(περιοχή1;περιοχή2) Οι περιοχές θεωρούνται 2 πίνακες και παίρνουµε το γινόµενο τους. Για να πολλαπλασιάζονται οι πίνακες πρέπει το πλήθος των στηλών του Α' πίνακα να είναι ίδιο µε το πλήθος των γραµµών του Β'.. Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Να γραφεί σύστηµα 3 εξισώσεων µε 3 αγνώστους και να λυθεί ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ X Y Ζ ΓΝΩΣΤ ΟΣ Το σύστηµα µπορεί να γραφεί σαν Α*Χ=C όπου Α ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων Χ ο πίνακας των αγνώστων και C ο πίνακας των γνωστών όρων. Για να έχει λύση το σύστηµα πρέπει ο πίνακας Α να είναι αντιστρέψιµος και τότε ισχύει Α -1 *Α=Α* Α -1 =Ι (µοναδιαίος) άρα Α -1 *Α*Χ= Α -1 *C άρα X= Α -1 *C Για να βρω τον αντίστροφο µαρκάρω την περιοχή που πρόκειται να τοποθετηθεί πληκτρολογώ την συνάρτηση =MINVERSE(Α3:C5) και Πατάω ctrl+shift+enter. Η ενέργεια αυτή πρέπει να γίνετε κάθε φορά που το αποτέλεσµα µιας συνάρτησης δεν είναι ένας αριθµός αλλά περισσότεροι. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ 0, , , , , ,3218-0, , , X= Α -1 *C ΛΥΣΗ X 3, Y -7,50865 Ζ -0,30623 Α*Χ=C ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

3 2)Να κάνετε ένα φύλλο εργασίας που στην πρώτη στήλη να έχει τις γωνίες σε µοίρες 1,2 360 στη δεύτερη σε ακτίνια και στις υπόλοιπες τα ηµίτονα συνηµίτονα εφαπτόµενες. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις που ακολουθούν. Γωνία Μοίρες Ακτίνια Ηµίτονο Συνηµίτονο Εφαπτοµένη 0 0,0000 0,0000 1,0000 0, ,0175 0,0175 0,9998 0, ,0349 0,0349 0,9994 0,0349 Ηµίτονο 1,0000 0, ,0000 Εφαπτοµένη ) Να λύσετε ένα σύστηµα 5 εξισώσεων µε 5 αγνώστους Χ 1 Χ 2 Χ 3 Χ 4 Χ 5 Σύµφωνα µε τον κανόνα του Cramer Di X i = D Όπου D η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων όρων και D i η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τους συντελεστές των αγνώστων όρων αν αντικαταστήσουµε τους όρους του Χ i µε τους γνωστούς όρους. Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΥ Το EXCEL δουλεύει ηµεροµηνίες από την 1/1/1900 µέχρι 31/12/9999 απεικονίζοντας τους ακέραιους αριθµούς από το 1 έως το σε ηµεροµηνίες π.χ. 1 -> 1/1/ >2/1/ >3/1/1900 κ.λ.π. Το EXCEL αντιµετωπίζει τις ώρες µετατρέποντας τους αριθµούς που είναι µεγαλύτεροι ή ίσοι του 0 και µικρότεροι του 1 σε ώρες (πολλαπλασιάζοντας τον δεκαδικό µε τα δευτερόλεπτα ενός 24ώρου τον µετατρέπουµε σε δευτερόλεπτα που περιέχει) Έτσι στον ίδιο αριθµό και σε επέκταση στο ίδιο κελί µπορούµε να έχουµε στο ακέραιο µέρος του την ηµεροµηνία και στο δεκαδικό µέρος του την ώρα. DATE(ετος;µήνας;ηµέρα) Mετατρέπει την ηµεροµηνία στον αριθµό που αντιστοιχεί. Αν το κελί είναι τύπου DATE εµφανίζει την ηµεροµηνία που αναφέρουµε. DATEVΑLUE("ηµέρα/µήνας/ετος") Κάνει την ίδια δουλειά µε τη DATE. DAΥ(αριθµός) Εµφανίζει τον αριθµό της ηµέρας ( ) µέσα στο µήνα της ηµεροµηνίας που αντιστοιχεί στον αριθµό. MONTH(αριθµός) Εµφανίζει τον αριθµό του µήνα ( ) µέσα στο έτος της ηµεροµηνίας που αντιστοιχεί στον αριθµό. YEAR(αριθµός) Εµφανίζει το έτος ( ) της ηµεροµηνίας που αντιστοιχεί στον αριθµό. WEEKDAY(όρισµα1, παράµετρος) Εµφανίζει την ηµέρα της εβδοµάδας (σαν αριθµό) που αντιστοιχεί στο όρισµα1. Το όρισµα 1 µπορεί να είναι ο αριθµός που αντιστοιχεί στην ηµεροµηνία ή ίδια η ηµεροµηνία. Η παράµετρος αν παραλειφθεί ή αν δώσουµε 0 αντιστοιχεί το 1 στην Κυριακή και το 7 στο Σάββατο. Αν η παράµετρος είναι 1 αντιστοιχεί το 1 στην ευτέρα και το 7 στην Κυριακή. TODAY() Εµφανίζει τη τρέχουσα ηµεροµηνία. Το ίδιο αποτέλεσµα εµφανίζεται αν πατήσουµε τα πλήκτρα Ctrl + ;. NOW() Εµφανίζει τη τρέχουσα ηµεροµηνία και ώρα. Το ίδιο αποτέλεσµα εµφανίζεται αν πατήσουµε τα πλήκτρα Ctrl + shift + ;. TIME(ώρα;λεπτά;δευτερόλεπτα) Mετατρέπει την ώρα στον αριθµό που αντιστοιχεί. Αν το κελί είναι τύπου ΤΙΜΕ την ώρα που αναφέρουµε. TIMEVALUE("ώρα;λεπτά;δεύτερα") Κάνει ίδια δουλειά µε τη TIME.. SECOND(αριθµός) Εµφανίζει τα δευτερόλεπτα που υπάρχουν στην ώρα που αντιστοιχεί στον αριθµό που αναφέρουµε. MINUTE(αριθµός) Εµφανίζει τα λεπτά που υπάρχουν στην ώρα που αντιστοιχεί στον αριθµό που αναφέρουµε. HOUR(αριθµός) Εµφανίζει τις ακέραιες ώρες που υπάρχουν στην ώρα που αντιστοιχεί στον αριθµό που αναφέρουµε. ΑΣΚΗΣΗ 1)να γίνει µισθοδοσία εργαζοµένων όπου να υπολογίζεται το χρονοεπίδοµα µε βάσει την ηµεροµηνία διορισµού του εργαζοµένου και την ηµεροµηνία για την οποία υπολογίζεται η µισθοδοσία Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

5 ΑΛΦΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ CHAR(αριθµός) Επιστρέφει το χαρακτήρα που αντιστοιχεί στον αριθµό π.χ char(65) επιστρέφει το χαρακτήρα A CODE(Χ) ίνει τον κωδικό του πρώτου χαρακτήρα του Χ. π.χ code(a)=65 CONCATENATE(Χ1;Χ2;...) Όπου Χ1, Χ2... αλφαριθµητικά. Η συνάρτηση ενώνει όλα τα αλφαριθµητικά σε ένα. EXACT(Χ1;Χ2) Επιστρέφει TRUE αν το Χ1 είναι ακριβώς ίδιο µε το Χ2. FIND(Χ1;Χ2;n) Αναζητείται το Χ1 µέσα Χ2 από τη θέση n και µετά. Επιστρέφει τον αριθµό τής θέσης που εντοπίζεται το Χ1. LEN(Χ1) ίνει το πλήθος των χαρακτήρων του Χ1. TRIM(Χ1) Αφαιρεί τα κενά από την αρχή και το τέλος του Χ1. REPLACE(Χ1;n;m;Χ2) Αντικαθιστά -m χαρακτήρες του Χ1 µε το Χ2 από τη θέση -n και µετά. π.χ replace("αβγδεζ";3;2;"-") επιστρέφει αβ-ζ REPT(Χ1;n) Επαναλαµβάνει n φορές το Χ1. LEFT(Χ1;n) ίνει τους n πρώτους χαρακτήρες του Χ1. MID(Χ1;m;n) ίνει n χαρακτήρες του Χ1 από τη θέση m και µετά. RIGHT(X1;n) ίνει τους n τελευταίους χαρακτήρες του Χ1. UPPER(X1) Mετατρέπει τα µικρά λατινικά γράµµατα του Χ1 σε κεφαλαία. LOWER(Χ1) Mετατρέπει τα κεφαλαία λατινικά γράµµατα του Χ1 µικρά. PROPER(Χ1) Mετατρέπει το πρώτο λατινικό χαρακτήρα κάθε λέξης του Χ1 σε κεφαλαίο. VALUE(Χ1) Mετατρέπει το περιεχόµενο του Χ1 σε αριθµό. TΕΧΤ(Χ1,µορφή) Mετατρέπει την αριθµητική τιµή Χ1 σε αλφαριθµητικό µε τη µορφή που αναφέρουµε π.χ text(1984 ;"0.00") επιστρέφει " " Ν(έκφραση) Αν η έκφραση έχει περιεχόµενο αριθµητικό ή true() ή false() ή ηµεροµηνία ή ώρα τότε επιστρέφει τον αριθµό που αντιστοιχεί στο περιεχόµενο αλλιώς επιστρέφει κενό. T(έκφραση) Αν η έκφραση δίνει αλφαριθµητικό περιεχόµενο τότε επιστρέφει αυτό το περιεχόµενο αλλιώς επιστρέφει κενό. ΑΣΚΗΣΗ Να Εµφανίσετε τον κώδικα ΕΛΟΤ 928 ΛΥΣΗ Στα κελιά Α2 να δίνουµε τους αριθµούς από το 1 το 255 και στα κελιά Β2 γράφουµε τη συνάρτηση CHAR(B2). Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

6 ΛΟΓΙΚΕΣ IF(συνθήκη ; Χ ;Υ) Αν η συνθήκη είναι αληθής δίνει Χ αλλιώς Υ. FALSE() ίνει αποτέλεσµα 0 (ψευδές). TRUE() ίνει αποτέλεσµα 1 (αληθές). NA() ηλώνει ότι το κελί είναι µη διαθέσιµο(not Available). AND (λογική πρόταση1 ; λογική πρόταση2;...)δίνει αποτέλεσµα αληθές όταν αληθεύουν όλες οι προτάσεις που περικλείονται στην παρένθεση. OR(λογική πρόταση1 ; λογική πρόταση2;...)δίνει αποτέλεσµα αληθές όταν αληθεύει τουλάχιστον µία από τις αναφερόµενες προτάσεις.. NOT(λογική πρόταση) Αντιστρέφει την αλήθεια της πρότασης που περικλείεται µέσα στην παρένθεση. ISERR(έκφραση) Αν προκύψει κάποιο σφάλµα από την έκφραση τότε είναι αληθής. Ελέγχει όλα τα είδη σφαλµάτων εκτός το #Ν/Α ISERROR(έκφραση) Αν προκύψει κάποιο σφάλµα από την έκφραση τότε είναι αληθής. Ελέγχει όλα τα είδη σφαλµάτων και την #Ν/Α ISNA(έκφραση) Αν προκύψει N/A τότε δίνει αποτέλεσµα αληθές. ISLOGICAL(έκφραση) Αληθεύει αν η έκφραση είναι λογική (true, false). ISTEXT(έκφραση) Είναι αληθής αν η έκφραση είναι κείµενο. ISNONTEXT(έκφραση) Αληθεύει όταν η έκφραση δεν είναι κείµενο. ISNUMBER(έκφραση) Αληθεύει αν η έκφραση είναι αριθµός. ISBLANK(κελί) Αληθεύει αν το κελί είναι κενό. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1)Εισάγουµε στο κελί Α2 έναν αριθµό. Να γραφεί στο Β2 η κατάλληλη συνάρτηση ώστε να εµφανίζεται η φράση ΑΡΤΙΟΣ ή ΠΕΡΙΤΤΟΣ ανάλογα µε το περιεχόµενο του Α2. ΛΥΣΗ Η συνάρτηση είναι =IF(INT(A2/2)*2=A2;"ΑΡΤΙΟΣ";"ΠΕΡΙΤΤΟΣ") ΑΡΤΙΟΣ / ΠΕΡΙΤΤΟΣ -5 ΠΕΡΙΤΤΟΣ 2) Λύση και εµφάνιση κάθε εξίσωσης Α βαθµού(φωλιασμενα IF) ΕΞΙΣΩΣΗ Α' ΒΑΘΜΟΥ Α Β 5-3 Εξίσωση Λύση 5X-3=0 0,6 ίνουµε τους συντελεστές Α, Β της εξίσωσης στα κελιά Α9, Β9 αντιστοίχως Η Εµφάνιση της εξίσωσης γίνεται από τη συνάρτηση =CONCATENATE(A9;"X";IF(B9>=0;CONCATENATE("+";B9);B9);"=0") Η λύση δίνετε από τη συνάρτηση =IF(A9<>0;-B9/A9;IF(B9=0;"ΑΟΡΙΣΤΗ";"Α ΥΝΑΤΗ")) Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

7 χρήση λογικών τελεστών AND OR NOT Αποτελέσµατα true false ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Υπολογισµός εµβαδού τριγώνου σύµφωνα µε τον τύπο του Ηρωνα ΕΜΒΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ α β γ Ελεγχος TRUE Ηµιπερίµετρος 4,5 Εµβαδόν 2, ΛΥΣΗ ίνουµε 3 αριθµούς που είναι οι διαστάσεις των πλευρών ενός τριγώνου στα κελιά Α16, Β16,C16. Για να είναι πλευρές τριγώνου πρέπει µία πλευρά από αυτές να είναι µεγαλύτερη του απολύτου της διαφοράς και µικρότερη του αθροίσµατος των δύο άλλων. H IF που ακολουθεί δίνει αποτέλεσµα TRUE ή FALSE στο κελί D16 ανάλογα αν έχουµε πλευρές τριγώνου ή όχι =IF(AND(ABS(B16-C16)<A16;A16<B16+C16);TRUE;FALSE) Η ηµιπερίµετρος και το εµβαδόν υπολογίζετε µόνο όταν αληθεύει το κελί D16. Η ηµιπερίµετρος(t) είναι το ηµιάθροισµα των πλευρών =IF(D16;(A16+B16+C16)/2;FALSE) Το εµβαδόν δίνετε από τον τύπο του Ήρωνα(τετρ.ρίζα(t(t-α)(t-β)(t-γ) =IF(NOT(D16);FALSE;SQRT(B17*(B17-A16)*(B17-B16)*(B17-C16))) Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

8 Άσκηση Στην άσκηση που υπολογίζαµε τους µισθούς των εργαζοµένων κάθε µήνα να προσθέσετε ένα φύλλο εργασίας µε όνοµα klimaka και να καταχωρίσετε τη φορολογική κλίµακα ως ακολούθως : ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΙΣΟ ΗΜ ΦΟΡΟΣ ΠΟΣΟΣ Α ΤΟ % % % % > > 40% Να τροποποιήσετε τα φύλλα των µηνών ώστε Α) το Φ.Μ.Υ να βγαίνει βάσει της κλίµακας και Β) το οικογενειακό να είναι για κάθε παιδί µέχρι και το δεύτερο παιδί και από εκεί και πάνω δηλαδή τριτο τέταρτο κ.λ.π για κάθε παιδι. ΜΙΣΘΟ ΟΣΙΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 1999 ΕΠΙ ΟΜΑ ΤΕΚΝΟΥ πρώτο δεύτερο τρίτο τέταρτο παιδί ΣΥΝΟΛΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΚΑ ΦΜΥ 17839,28571 ΚΑΘΑΡΟΣ ,7143 Α/Α ΜΙΣΘΩΤΟΣ ΒΑΣΙΚΟΣ ΠΑΙ ΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΚΑ ΑΚΑΘΑΡΙΣΤΑ Φ.Μ.Υ. ΚΑΘΑΡΟΣ 1 ΠΑΠΑ ΑΚΗΣ ΕΜΜ , ,2 9 2 ΝΙΚΟΛΑΚΑΚΗΣ ΑΡ , ,4 3 3 ΕΛΗΓΙΑΝΝΗΣ ΗΛ , ,2 9 4 ΧΑΤΖΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝ , ,4 3 5 ΕΥΘΥΜΙΟΥ ΑΠΟΣΤ , ,2 9 Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

9 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑVERAGE(περιοχή) ίνει το µέσο όρο του περιεχοµένου των κελιών. Στην περίπτωση που οι εγγραφές είναι οµαδοποιηµένες τότε η µέση τιµή δίδεται από τον τύπο ΣΧ i *P i η οποία λέγεται µέση ελπιζόµενη ή προσδοκόµενη τιµή ή µαθηµατική ελπίδα. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής τότε ισούται x*f(x)dx COUNT(περιοχή) Επιστρέφει το πλήθος των κελιών της περιοχής που περιέχουν αριθµητικές τιµές, true(), false(), ηµεροµηνίες, ώρες. MAX(περιοχή) Επιστρέφει τη µέγιστη τιµή του περιεχοµένου των κελιών. ΜIN(περιοχή)Επιστρέφει τη µικρότερη τιµή του περιεχοµένου των κελιών. LARGE(περιοχή;K) Επιστρέφει τον αριθµό που βρίσκεται στη κ-θέση αν ταξινοµήσουµε το περιεχόµενο των κελιών κατά φθίνουσα σειρά. SMALL(περιοχή;K)Επιστρέφει τον αριθµό που βρίσκεται στη κ-θέση αν ταξινοµήσουµε το περιεχόµενο των κελιών κατά αύξουσα σειρά. FREQUENCY(περιοχή1 ; περιοχή2) Μας δίνει το πλήθος αριθµών από τη περιοχή1 που βρίσκονται µέσα στα διαστήµατα που τα άκρα τους ορίζονται στην περιοχή2. π. χ. αν η περιοχή2 περιέχει τα νούµερα 1, 3, 5 τότε τα διαστήµατα είναι (..., 1] (1, 3] (3, 5] και (5,...) (για να περιληφθεί και το διάστηµα (5,...) πρέπει η περιοχή2 να περιέχει και το επόµενο κελί του αριθµού 5). VARP(περιοχή) Επιστρέφει τη µεταβλητότητα-διασπορά-διακύµανση(variance) µιας µεταβλητής που οι τιµές της περιέχονται στα κελιά της περιοχής. Είναι ο µέσος όρος του τετραγώνου των διαφορών των τιµών της µεταβλητής από τη µέση τιµή της. Είναι ένα µέτρο µεταβλητότητας δηλαδή για να δούµε πόσο κοντά στη µέση τιµή απλώνονται οι υπόλοιπες τιµές της µεταβλητής.. STDEVP(περιοχή) Επιστρέφει τη τυπική απόκλιση µιας µεταβλητής που οι τιµές της περιέχονται στα κελιά της περιοχής. Στον τύπο της διασποράς οι µονάδες µέτρησης είναι υψωµένες στο τετράγωνο πράγµα το οποίο αλλοιώνει το χαρακτήρα του φυσικού µεγέθους. Αν θέλουµε να αποφύγουµε αυτό το πρόβληµα υπολογίζουµε τη τυπική απόκλιση που είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς. TREND(Υ;Χ;τιµή πρόβλεψης;παρ.b) Μας δίνει την τιµή του Υ όταν το Χ γίνει ίσο µε τη µε την τιµή πρόβλεψης. Η τιµή πρόβλεψης του Υ ορίζεται από την ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων βάσει των τιµών της ανεξάρτητης µεταβλητής Χ και εξαρτηµένης Υ (αν οι τιµές το Χ παραλειφθούν τότε θεωρούνται 1,2,3..) Η παρ.b αν είναι 1 ή την παραλείψουµε τότε υπολογίζεται και ο σταθερός όρος b της ευθείας ελαχ.τετραγ. (ax+b) ενώ αν η παρ.b είναι 0 τότε λαµβάνεται και το b=0 Παράδειγµα Στα κελιά a1:a4 έχουν καταχωρηθεί οι τέσσερις τελευταίες τιµές µιας µετοχής έστω 15,16,14,16 η συνάρτηση TREND(a1:a4;;5) θα µας δώσει την επόµενη(πέµπτη) προβλεπόµενη τιµή που είναι 15,5. Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

10 LINEST(Υ;Χ;παρ.b;1ή0) Μας δίνει διάφορα στοιχεία για την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων που ορίζεται από τα Υ, Χ και παρ.b Τα Υ, Χ και παρ.b ορίζονται όπως στη συνάρτηση TREND. H τελευταία παράµετρος αν είναι 0 ή παραληφθεί τα µόνα στοιχεία της ευθείας (ax+b) που επιστρέφει η συνάρτηση είναι η κλήση της ευθείας(a) και ο σταθερός όρος(b). COVAR(περιοχή1;περιοχή2) µας δίδει τη συνδιακύµανση των µεταβλητών που οι τιµές τους είναι στην περιοχή1,περιοχή2. Η συνδιακύµανση δίδεται από τον τύπο [Σ(Χι-AVERAGE(Χ))*( Υι-AVERAGE(Υ))]/πλήθος Από τον τύπο φαίνεται ότι πρέπει να υπάρχει αντιστοιχία στις τιµές των µεταβλητών γιαυτό οι δύο περιοχές πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθµό κελιών. Η γραµµή τάσης που είδαµε στην ενότητα 2 είναι η ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων ή αλλιώς ευθεία παλινδρόµησης του Y ως προς Χ δηλαδή Υ=aΧ+b όπου a=covar(x,y)/varp(x) και b=average(y) a*average(x) ανάλογα υπολογίζουµε και την Χ ως προς Υ. CORREL(περιοχή1;περιοχη2) Μας δίνει το συντελεστή συσχέτισης των µεταβλητών Χ,Υ που οι τιµές τους βρίσκονται στις περιοχές 1 και 2 αντίστοιχα. Οι δύο περιοχές πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθµό κελιών για να υπάρχει αντιστοιχία στις τιµές. Ο συντελεστής συσχέτισης (ρ) δίδεται από τον τύπο ρ=covar(x,y)/(stdevp(x)*stdevp(y)) και παίρνει τιµές στο διάστηµα [-1,1] αν ρ=1 έχουµε πλήρη θετική συσχέτιση όταν µεταβάλλεται η µια µεταβλητή τότε µεταβάλλεται και η άλλη αναλόγως. αν ρ=-1 έχουµε πλήρη αρνητική συσχέτιση όταν αυξάνεται η µια µεταβλητή τότε ελαττώνεται η άλλη και αντιστρόφως αν ρ=0 οι µεταβλητές είναι ανεξάρτητες ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στον επόµενο πίνακα βλέπουµε κατά πόσο επηρεάζει η ηµερήσια µέση θερµοκρασία την κατανάλωση της ποσότητας των παγωτών, κονιάκ και καφέ. Από το συντελεστή συσχέτισης η κατανάλωση της ποσότητας του καφέ δεν επηρεάζεται από τη θερµοκρασία ενώ η κατανάλωση παγωτών αυξάνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας (θετική συσχέτιση 0,97) και η κατανάλωση κονιάκ ελαττώνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας (αρνητική συσχέτιση 0,97) µέση Κατανάλωση θερµοκρασία Παγωτών Κονιάκ καφές συντελεστής Συσχέτισης 0,97-0,92 0,19 Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

11 ΑΣΚΗΣΗ από τα δεδοµένα του παραπάνω πίνακα να κάνετε το γράφηµα τύπου διασποράς και να προσθέσετε γραµµές τάσης όπως είναι στην εικόνα που ακολουθεί. Οι διευθύνσεις των γραµµών τάσης ως προς τον άξονα Χ αποδεικνύουν και γραφικά όσα αναφέραµε σχετικά µε τη συσχέτιση των µεταβλητών στο προηγούµενο παράδειγµα. καταναλώση παγωτών κονιάκ καφές θερµοκρασίες Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

12 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Η µεταβλητή Χ όταν παίρνει διακριτές τιµές λέγεται διακριτή µεταβλητή όπως για παράδειγµα ο αριθµός των παιδιών µιας οικογένειας ενώ όταν παίρνει συνεχείς τιµές λέγεται συνεχής µεταβλητή π.χ. η µέτρηση της θερµοκρασίας. Έστω Χ µεταβλητή, η συνάρτηση f(x)=p[x=x] λέγεται πυκνότητα πιθανότητας δηλαδή είναι η συνάρτηση που µας δίνει την πιθανότητα (συχνότητα/σύνολο) για κάθε τιµή του Χ. Η συνάρτηση F(x)=P[X<=x] δηλαδή η συνάρτηση που µας δίνει την (αθρ.συχνότητα/σύνολο) για κάθε τιµή του Χ λέγεται Συνάρτηση κατανοµής. Σε περίπτωση συνεχούς µεταβλητής έχουµε συνεχή κατανοµή. Στην περίπτωση αυτή δεν ορίζουµε την πυκνότητα πιθανότητας σε ένα σηµείο αλλά σε ένα διάστηµα π.χ. [a,b] και η συνάρτηση κατανοµής είναι P[a<=X<=b]= f(x)dx ιακριτές Κατανοµές ιωνυµική κατανοµή έχουµε στις περιπτώσεις που έχουµε δύο δυνατά αποτελέσµατα σε ένα πείραµα (πείραµα ή δοκιµή Bernoulli). Αν η πιθανότητα επιτυχίας είναι p τότε η πιθανότητα αποτυχίας είναι 1- p και η πιθανότητα παραµένει σταθερή κατά τη διάρκεια των δοκιµών. Π.χ. ρίψη νοµίσµατος, γέννηση παιδιού, εξαγωγή σφαιρών µε 2 χρώµατα από κάλπη µε επανάθεση, η επιλογή οµάδας από ένα πλήθος ανδρών γυναικών εφόσον το πλήθος είναι πολύ µεγάλο ώστε όταν επιλέγουµε ένα άτοµο να µην επηρεάζεται η αναλογία ανδρών γυναικών. Η πυκνότητα πιθανότητας µε κ επιτυχίες σε ν δοκιµές είναι f(κ)=p[x=κ]= ν p k (1-p) ν-κ k Η µέση τιµή της διωνυµικής κατανοµής µ=νp και η διασπορά είναι σ 2 =νp(1-p) Στο excel η πυκνότητα πιθανότητας δίδεται από τη συνάρτηση BINOMDIST(πλήθος επιτυχιών ;πλήθος δοκιµών ; πιθανότητα επιτυχίας;0) Ενώ η συνάρτηση κατανοµής δίδεται από τον τύπο BINOMDIST(πλήθος επιτυχιών ;πλήθος δοκιµών ; πιθανότητα επιτυχίας;1) Παράδειγµα Σε µια κάλπη µε 100 σφαίρες 20 είναι λευκές και το 80 είναι µαύρες.. Τραβώ στην τύχη 5 σφαίρες µε επανάθεση. Να γίνει ο πίνακας κατανοµής για τον αριθµό των λευκών σφαιρών. Υπόδειξη Η πιθανότητα να τραβήξω λευκή σφαίρα είναι 0,2 και µαύρη είναι 0,8. Αφού κάθε φορά που τραβώ σφαίρα την επαναθέτω η αναλογία λευκών µαύρων σφαιρών δεν µεταβάλλεται για τις επόµενες επιλογές Η πιθανότητα να τραβήξω 3 λευκές σφαίρες για παράδειγµα δίδεται από τον τύπο Binomdist(3;5;0,2;0) ενώ η πιθανότητα για το πολύ 3 λευκές Binomdist(3;5;0,2;1) Λευκές σφαίρες πιθανότητα F(x) 0 0, , ,4096 0, ,2048 0, ,0512 0, ,0064 0, , b a Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

13 ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Χρησιµοποιείτε σε διχοτόµο πληθυσµό από όπου επιλέγουµε ένα δείγµα χωρίς επανάθεση και υπολογίζουµε την πυκνότητα πιθανότητας για να έχω ένα αριθµό αντικειµένων από την µια οµάδα του πληθυσµού. Σε κάθε επιλογή η αναλογία άρα και η πιθανότητα των 2 ειδών του πληθυσµού µεταβάλλεται. Αν το µέγεθος του δείγµατος είναι πολύ µεγάλο τότε η µεταβολή της πιθανότητας είναι αµελητέα και η υπεργεωµετρική κατανοµή καθώς και η διωνυµική δίδουν τις ίδιες πιθανότητες. Αν ο πληθυσµός αποτελείται από δύο είδη µε πλήθη Α,Β και επιλέγω ένα δείγµα µεγέθους ν και θέλω να περιέχει κ αντικείµενα από το Α είδος (επιτυχίες) τότε P(X=k)= A B Α+ Β / k ν k ν Στο excel η πυκνότητα πιθανότητας δίδεται από τη συνάρτηση =HYPGEOMDIST(πλήθ.επιτυχιών ;µέγεθ.δείγµατος;α ; µέγεθ.πληθυσµού) όπου Α το πλήθος των αντικειµένων που επιλογή τους είναι επιτυχία µέσα σε ολόκληρο τον πληθυσµό. Παράδειγµα Σε µια κάλπη µε 100 σφαίρες 20 είναι λευκές και το 80 είναι µαύρες. Τραβώ 5 σφαίρες χωρίς επανάθεση. Να γίνει ο πίνακας κατανοµής για τον αριθµό των λευκών σφαιρών. Υπόδειξη Η πιθανότητα να τραβήξω 3 λευκές σφαίρες για παράδειγµα δίδεται από τον τύπο Hypgeomdist(3;5;20;100) Λευκές σφαίρες πιθανότητα 0 0, , , , , , Άσκηση Σε ένα στρατόπεδο µε στρατιώτες το 20% είναι γυναίκες και το 80% είναι άνδρες διαλέγω 5 στρατιώτες στην τύχη να γίνει ο πίνακας που ακολουθεί κατανοµής Πλήθος γυναικών Πιθανότητα Πιθανότητα HYPGEOMDIST BINODIST 0 0, , ,4096 0, ,2048 0, ,0512 0, ,0064 0, , ,00032 Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

14 Αρνητική ιωνυµική ή κατανοµή Pascal κάνουµε µια ακολουθία δοκιµών bernouli οι δοκιµές τερµατίζονται όταν εµφανισθεί η ν-οστή επιτυχία Ζητούµε την πιθανότητα να κάνουµε κ δοκιµές όπου κ>=ν. Η παραπάνω κατανοµή µπορεί να αντιµετωπισθεί όπως η διωνυµική διότι Για να κάνουµε κ δοκιµές και να έχουµε ν επιτυχίες πρέπει οι κ-1 δοκιµές να µας δώσουν ν- k 1 επιτυχίες δηλαδή 1 επιτυχίες και η κ δοκιµή να είναι επιτυχία. Με αυτόν το ν 1 τρόπο εξασφαλίζω ότι θα είναι κ δοκιµές διότι αν θεωρήσω κ δοκιµές ν επιτυχίες απευθείας δηλαδή k είναι λάθος γιατί οι ν επιτυχίες µπορεί να γίνουν πριν φτάσω ν στη δοκιµή κ που έχω υποθέσει. Αρα αν η πιθανότητα επιτυχίας είναι p τότε η πιθανότητα αποτυχίας είναι 1- p και η πυκνότητα πιθανότητας για κ δοκιµές και ν k επιτυχίες δίδεται από τον τύπο 1 p ν-1 (1-p) κ-ν k p= 1 p ν (1-p) κ-ν ν 1 ν 1 Η µέση τιµή της διωνυµικής κατανοµής µ=νp και η διασπορά είναι σ 2 =νp(1-p) Στο excel η πυκνότητα πιθανότητας δίδεται από τη συνάρτηση NEGBINOMDIST(πλήθος αποτυχιών ;πλήθος επιτυχιών ; πιθανότ.επιτυχίας) ισχύει NEGBINOMDIST(F;K;P)=BINOMDIST(K-1;F+K-1;P)*P Παράδειγµα Ρίχνω ένα αµερόληπτο νόµισµα και θέλω να φέρω 3 φορές γράµµατα. Ο πίνακας κατανοµής που ακολουθεί είναι για το πλήθος των δοκιµών που πρέπει να κάνω. Υπόδειξη Αφού το νόµισµα είναι αµερόληπτο Η πιθανότητα επιτυχίας,αποτυχίας είναι ίδια 0,5. Η πιθανότητα να κάνω 5 δοκιµές για παράδειγµα δίδεται από τον τύπο negbinomdist(2;3;0,5) πλήθος,δοκιµών πιθανότητα 3 0, , , , , , , , Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

15 Κατανοµή Poisson συνήθως έχουµε όταν οι τιµές της µεταβλητής Χ είναι ένα πλήθος µέσα σε µία µονάδα χρόνου επιφανείας κ.λ.π και καλείται µέσος ρυθµός π.χ. αν έχουµε 15 θύµατα από τροχαία το µήνα. Η πυκνότητα πιθανότητας για χ γεγονότα και λ µέσο ρυθµό δίδεται από τον τύπο f(x)=e -λ λ χ 1 x! Η µέση τιµή της κατανοµής poisson είναι ίση µε τη διασπορά µ= σ 2 =λ Στο excel η πυκνότητα πιθανότητας δίδεται από τη συνάρτηση POISSON(πλήθος επιτυχιών ;µέσος ρυθµός ;0) και η συνάρτηση κατανοµής POISSON(πλήθος επιτυχιών ;µέσος ρυθµός ;1) Παράδειγµα Έστω ότι ο µέσος ρυθµός θυµάτων από τροχαία ατυχήµατα ανά ηµέρα είναι 2. Ο πίνακας κατανοµής που ακολουθεί είναι για πλήθος ατυχηµάτων Υπόδειξη Η πιθανότητα να έχω 3 ατυχήµατα την ηµέρα για παράδειγµα δίδεται από τον τύπο poisson(3;2;0) ενώ η πιθανότητα για το πολύ 3 ατυχήµατα poisson(3;2;1) αρ.ατυχηµάτων πιθανότητα F(x) 0 0, , , , , , , , , , Συνεχείς Κατανοµές Κανονική κατανοµή ή κατανοµή Laplace-Gaus Λέµε ότι µία µεταβλητή Χ είναι κανονική εάν η πυκνότητα πιθανότητας δίδεται από 2 ( x µ ) τον τύπο f(x)= 1 e - 2 2σ όπου µ η µέση τιµή και σ η τυπική απόκλιση σ 2π Στο excel η πυκνότητα πιθανότητας δίδεται από τη συνάρτηση NORMDIST(Χ;µέση τιµή;τυπική απόκλιση;0) και η συνάρτηση κατανοµής NORMDIST(Χ;µέση τιµή;τυπική απόκλιση;1) Η παραπάνω κατανοµή συναντάται συχνά στην πράξη σε µεγάλο αριθµό ανεξαρτήτων αποτελεσµάτων όπως είναι το ύψος, το βάρος ενός συνόλου ζώων ή φυτών βαθµοί επιδόσεων σπουδαστών κ.λ.π. Οι διακριτές κατανοµές διωνυµική, poisson κ.λ.π. όταν το µέγεθος του δείγµατος είναι αρκετά µεγάλο προσεγγίζονται ικανοποιητικά από την κανονική κατανοµή Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

16 Ασκηση Ρίπτω ένα αµερόληπτο νόµισµα1000 φορές Να φτιαχτεί ο πίνακας κατανοµής για τιµές του Χ από 400 έως 600 Α) µε χρήση της διωνυµικής(=binomdist(χ;1000;0,5;0)) και Β)κανονικής κατανοµής(=normdist(χ;1000*0,5;sqrt(1000*0,5*0,5);0)) Και να συγκρίνετε τις γραφικές παραστάσεις Τυπική κανονική κατανοµή ή Ζ κατανοµή Είναι κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση 1 η πυκνότητα 2 x πιθανότητας δίδεται από τον τύπο f(x)= 1 e - 2 2π Αφού η παραπάνω κατανοµή έχει µέση τιµή 0 και οι τιµές είναι συµµετρικές γύρω από τη µέση τιµή ισχύει F(-z)=1-F(z) Η παραπάνω κατανοµή παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον διότι η µεταβλητή Χ µε κανονική κατανοµή µπορεί να µετασχηµατισθεί σε τυπική κατανοµή Ζ από τη σχέση x µ Ζ= σ Στο excel o µετασχηµατισµός ή Τυποποίηση της X σε Ζ γίνεται από τη συνάρτηση STANDARDIZE(Χ;µέση τιµή;τυπική απόκλιση) Παράδειγµα Για να γίνει τυποποίηση της µεταβλητής Χ της προηγούµενης άσκησης δηµιουργώ µια νέα µεταβλητής Ζ (=STANDARDIZE(X;0,5*1000;SQRT(0,5*0,5*1000)) και από αυτήν δηµιουργώ την τυπική κατανοµή NORMDIST(Ζ;0;1) Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

17 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ACCRINTM(Ηµερ.έναρξης;Ηµερ.λήξης;Ετήσ.Επιτόκιο;Κεφάλαιο ;παράµετρος) Μας επιστρέφει τον απλό τόκο που δηµιουργείται από το κεφάλαιο σύµφωνα µε τις ηµεροµηνίες και το ετήσιο επιτόκιο που έχουµε δώσει δηλαδή (Κεφάλαιο*Επιτόκιο*ηµέρες_τοκισµού)/ηµέρες έτους Η παράµετρος παίρνει τις τιµές 0,1,2,3,4 Στην τιµή 0 ο µήνας θεωρείται ότι έχει 30 ηµέρες και το έτος 360 (εµπορικό έτος ) Στην τιµή 1 παίρνουµε τις πραγµατικές µέρες και για το µήνα και για το έτος (πολιτικό έτος ) Στην τιµή 2 παίρνουµε τις πραγµατικές µέρες του µήνα και το έτος 360 (µικτό έτος ) Για την τιµή 3 παίρνουµε τις πραγµατικές µέρες του µήνα και το έτος 365 Για την τιµή 4 ο µήνας θεωρείται ότι έχει 30 ηµέρες και το έτος 360 (εµπορικό έτος ) FV(Επιτόκιο περιόδου;πλήθος περιόδων;ποσό δόσης;αρχική αξία ;0ή1) Μάς επιστρέφει τη µελλοντική αξία(future Value) ενός κεφαλαίου που ήδη έχουµε καταθέσει (αρχική αξία) αν στην αρχή ή στο τέλος της περιόδου καταθέτουµε ένα ποσό (ποσό δόσης) για ένα αριθµό περιόδων) ηλαδή η παραπάνω συνάρτηση υπολογίζει την αξία µιας σταθερής και ακέραιης ράντας. Η ράντα είναι σταθερή διότι οι δόσεις είναι ίσες επίσης η ράντα είναι ακέραιη διότι η περίοδος των δόσεων,περίοδος επιτοκίου και ανατοκισµού συµπίπτουν. Αν η τελευταία παράµετρος είναι 1 η δόση κατατίθεται στη αρχή κάθε περιόδου(προκαταβλητέα ράντα) που σηµαίνει ότι αν ν είναι ο αριθµός των δόσεων η πρώτη δόση ανατοκίζεται ν φορές, η δεύτερη δόση ν-1 φορές... η τελευταία 1 φορά. Αν η τελευταία παράµετρος είναι 0 η δόση κατατίθεται στη λήξη της περιόδου(ληξιπρόθεσµη ράντα) που σηµαίνει ότι αν ν είναι ο αριθµός των δόσεων η πρώτη δόση ανατοκίζεται ν-1 φορές, η δεύτερη δόση ν-2... η τελευταία δεν τοκίζεται καθόλου. Τα πρόσηµα των ποσών είναι αρνητικά όταν πρόκειται για χρήµατα που κατατίθενται ή καταβάλλονται για εκταµίευση ενώ τα χρήµατα που εισπράξεων είναι θετικοί αριθµοί. Παράδειγµα έστω ότι καταθέτω πόσα θα γίνουν µετά από 10 χρόνια αν το ετήσιο επιτόκιο είναι 2% και ανατοκισµός γίνεται κάθε 6 µήνες Επειδή το επιτόκιο είναι ετήσιο και ο ανατοκισµός 6µηνιαίως και επειδή πρέπει να συµπίπτουν τότε και το επιτόκιο γίνεται εξαµηνιαίο δηλαδή 2*6/12=1 Αντί 10 χρόνια έχω 20 εξάµηνα. Εδώ έχω µόνο παρούσα αξία δεν καταθέτω δόσεις ή το ποσό της δόσης είναι 0 άρα η τελευταία παράµετρος δεν έχει νόηµα Η συνάρτηση που δίνει το αποτέλεσµα είναι =FV(1%;20;; ;) δηλαδή ,02 Εάν τώρα έχω καταθέσει δραχµές και στην αρχή κάθε 6µήνου καταθέτω τότε ο τύπος είναι =FV(1%;20;-10000; ;1) δηλαδή ,96 ισχύει FV(1%;20;-10000; ;1)=FV(1%;20;-10000;;1) +FV(1%;20;; ;1) Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

18 PV(Επιτόκ.περιόδου;πλήθος περιόδων;ποσό δόσης;υπόλοιπ.αποπληρωµής ;0ή1) Επιστρέφει την παρούσα αξία(present Value) δηλαδή το ποσό των χρηµάτων που µπορούµε να δανειστούµε και το οποίο µπορούµε να το εξωφλήσουµε ολόκληρο ή να αφήσουµε κάποιο υπόλοιπο αν αρχίσουµε να καταθέτουµε ίσα ποσά δόσεων στην αρχή ή στο τέλος της περιόδου για ένα αριθµό περιόδων. Παράδειγµα έστω ότι για να πάρω ένα δάνειο έχω τη δυνατότητα 20 προκαταβληταίες εξαµηνιαίες δόσεις ποσού µε επιτόκιο εξαµήνου 4%. Το ποσό των χρηµάτων που µπορώ να δανειστώ και ξεπληρώνεται µε αυτόν τον τρόπο(παρούσα αξία) δίδεται από τη συνάρτηση : =PV(4%;20; ;;1) Το ποσό του δανείου που µπορείται να πάρετε µε αυτούς τους όρους είναι ,70 Ισχύει ότι ολόκληρο το ποσό του δανείου αν το καταθέσουµε µε το ίδιο επιτόκιο και για το συνολικό διάστηµα όλων των περιόδων πρέπει η µέλλουσα αξία που προκύπτει να είναι η ίδια µε αυτή των δόσεων δηλαδή FV(4%;20;; ,70;)=FV(4%;20; ;;1) Αν µετά την εξώφληση της τελευταίας δόσης θέλετε να µείνει υπόλοιπο για αποπληρωµή του δανείου ο τύπος είναι =PV(4%;20; ; ;1) και το ποσό του δανείου είναι ,59 και σε αυτή τη περίπτωση ισχύει FV(4%;20;; ,59;1)=FV(1%;20; ;;1) PMT(Επιτόκ.περιόδου;πλήθος περιόδων;ποσό δανείου;υπόλοιπ.εξώφλ. ;0ή1) Επιστρέφει το ποσό της δόσης που πρέπει να πληρώνουµε για την εξώφληση ολοκλήρου του δανείου ή µέρος αυτού. Παράδειγµα (αντίστροφο του παραδείγµατος της συνάρτησης PV) έστω ότι παίρνω ένα δάνειο ,70 και θέλω να το εξωφλήσω σε 20 εξαµηνιαίες προκαταβληταίες δόσεις µε επιτόκιο εξαµήνου 4%. Το ποσό της δόσης δίδεται από τη συνάρτηση : =PMT(4%;20; ,7;;1) και είναι NPER(Επιτόκ.περιόδου;ποσό δόσης;ποσό δανείου;υπόλοιπ.εξώφλ. ;0ή1) Επιστρέφει το πλήθος των δόσεων που πρέπει να πληρώνουµε σύµφωνα µε τα παραπάνω για την εξώφληση ολοκλήρου του δανείου ή µέρος αυτού. Παράδειγµα (αντίστροφο του παραδείγµατος της συνάρτησης PV) έστω ότι παίρνω ένα δάνειο ,70 και θέλω να το εξωφλήσω µε δόσεις των προκαταβληταίες µε επιτόκιο εξαµήνου 4%. Το πλήθος των δόσεων δίδεται από τη συνάρτηση : = NPER(4%; ; ,70;;1) και είναι 20 RATE(πλήθος δόσεων;ποσό δόσης;ποσό δανείου;υπόλοιπ.εξώφλ. ;0ή1) Επιστρέφει το επιτόκιο που ισχύει στο παραπάνω δάνειο. Παράδειγµα (αντίστροφο του παραδείγµατος της συνάρτησης PV) έστω ότι παίρνω ένα δάνειο ,70 και θέλω να το εξωφλήσω µε 20 δόσεις των προκαταβληταίες. Το επιτόκιο δίδεται από τη συνάρτηση : = RATE(20; ; ,70;;1) και είναι 4% Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

19 ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΠΕΡΙΟΧΗΣ Μαρκάρουµε την περιοχή και στη συνέχεια επιλέγουµε Εισαγωγή\ Όνοµα και δίνουµε το όνοµα της περιοχής που έχουµε επιλέξει και πληκτρολογούµε την περιοχή αν δεν την έχουµε επιλέξει και τέλος επιλέγουµε προσθήκη. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1) ηµιουργία φύλλου αποθήκης. Να δηµιουργηθούν φύλλο εργασίας αποθήκης µε όνοµα store όπως παρακάτω Η περιοχή $A$4:$A$103 να ονοµασθεί cod_stor και $A$4:$B$103 stor_cd_nm ΑΠΟΘΗΚΗ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΚΩ ΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑ ΑΓΟΡΑ ΠΩΛΗΣΗ ΥΠΟΛΟΙΠ Σ Σ Α C1-1 PENTIUM II 350 C2-1 PENTIUM III 400 L-1 LAZER J-1 INKZET M15-1 MONITOR 15 K-1 KEYBOARD C1-2 PENTIUM II 400 TV26-1 ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ 26'' ΠΠ-1 ΠΛΥΝΤΗΡΙΟ ΠΙΑΤΩΝ ΠΡ-1 ΠΛΥΝΤΗΡΙΟ ΡΟΥΧΩΝ 2) ηµιουργία φύλλου προµηθευτές. Να δηµιουργηθεί φύλλο εργασίας προµηθευτών µε όνοµα providers όπως παρακάτω Η περιοχή $A$3:$A$102 να ονοµασθεί cod_prov και $A$3:$B$102 prov_cd_nm ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΕΣ ΚΩ ΙΚΟ ΟΝΟΜΑ ΧΡΕΩΣ Σ Η XN-1 ΠΑΠΑ ΑΚΗΣ ΝΙΚ IER-1 ΤΑΜΠΑΚΑΚΗΣ ΣΗΦΗΣ XF-1 ΕΛΗΓΙΑΝΝΗΣ ΗΛΙΑΣ ΠΙΣΤΩΣ Η ΥΠΟΛΟΙΠ Ο Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

20 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΑΣ INDIRECT(Χ) Μας δίνει το περιεχόµενο του κελιού που περιέχεται στο κελί Χ. π.χ. Αν το C12 περιέχει τη λέξη XAΡΑ και A1 περιέχει το C12 (χωρίς το ίσον) τότε INDIRECT(A1)=ΧΑΡΑ CHOOSE(Χ;x1;x2;x3...) Όταν το Χ είναι κ.λ.π. δίνει αποτέλεσµα x3... κ.λ.π. αντιστοίχως. x1 x2 MATCH(X ; Περιοχή ; n) Ψάχνει να βρει τη θέση που βρίσκεται το Χ µέσα στην περιοχή που αναφέρουµε. Αν το n=0 ψάχνει για ακριβή ταύτιση του Χ. Αν το n=1 ψάχνει να βρει τον πλησιέστερο µεγαλύτερο ή ίσο του Χ. Σ' αυτή τη περίπτωση τα δεδοµένα της περιοχής πρέπει να είναι ταξινοµηµένα κατά αύξουσα σειρά. Αν το n= -1 ψάχνει να βρει τον πλησιέστερο µικρότερο ή ίσο του Χ. Σε αυτή τη περίπτωση τα δεδοµένα της περιοχής πρέπει να είναι ταξινοµηµένα κατά φθίνουσα σειρά. Αν παραλείψουµε το n τότε θεωρείται η τιµή 1. HLOOKUP(X;περιοχή;n) Ψάχνει τη πρώτη γραµµή της περιοχής για να βρει το πλησιέστερο ίσο ή µικρότερο του Χ και µας δίνει το περιεχόµενο του κελιού που βρίσκεται στην ίδια κολώνα που βρήκε το Χ και τόσες γραµµές πιο κάτω όσο είναι το n. Τα δεδοµένα της περιοχής πρέπει να είναι ταξινοµηµένα κατά αύξουσα σειρά. VLOOKUP(X;περιοχή;n) Ψάχνει τη πρώτη κολώνα της περιοχής για να βρει το πλησιέστερο ίσο ή µικρότερο του Χ και µας δίνει το περιεχόµενο του κελιού που βρίσκεται στην ίδια γραµµή αλλά n κολώνες πιο δεξιά. Τα δεδοµένα της περιοχής πρέπει να είναι ταξινοµηµένα κατά αύξουσα σειρά. CΟLUMNS(περιοχή) ίνει τον αριθµό των στηλών της περιοχής. ROWS(περιοχή) ίνει τον αριθµό των γραµµών της περιοχής. CΟLUMN(κελί) ίνει τον αριθµό της στήλης που βρίσκεται το κελί. ROW(κελί) ίνει τον αριθµό της γραµµής που βρίσκεται το κελί. INDEX(περιοχή;X;Y) Mας δίνει το περιεχόµενο του κελιού που βρίσκεται Χ γραµµές προς τα κάτω και Υ στήλες δεξιά από το πρώτο κελί της περιοχής. Π.χ. =(index(a1:d9;3;2) θα µας δώσει το περιεχόµενο του κελιού b3. Αν το Χ ή Υ είναι 0 τοτε η INDEX θα επιστρέψει ολόκληρη την κολώνα ή τη γραµµή της περιοχής που ορίζεται από το Υ ή το Χ αντίστοιχα Π.χ. =sum(index(a1:d20;0;2)) θα µας δώσει το άθροισµα b1:b20 CELL("έκφραση"; περιοχή) Mας δίνει ανάλογα µε την έκφραση διάφορες πληροφορίες σχετικά µε την περιοχή ή το πρώτο κελί της περιοχής. Οπου έκφραση είναι µία από τις παρακάτω λέξεις: address row col contents type prefix protect width format. Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

21 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Το φύλλο που ακολουθεί ονοµάζετε purchase και χρησιµοποιείται για να εισάγουµε προϊόντα στην αποθήκη µας δουλεύει για 500 αγορές Η περιοχή $A$4:$A$503 να ονοµασθεί cod_yl_pur και η περιοχή $C$4:$B$503 cod_prov_pur. ΑΓΟΡΕΣ ΥΛΙΚΟ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ ΚΩ ΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑ ΚΩ ΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΤΙΜΗ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ C1-1 PENTIUM II 350 XF-1 ΕΛΗΓΙΑΝΝΗΣ /10/1999 ΗΛΙΑΣ TV26-1 ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ 26'' XN-1 ΠΑΠΑ ΑΚΗΣ ΝΙΚ /10/1999 Στο παραπάνω φύλλο εργασίας θέλουµε να δίνουµε τον κωδικό του υλικού στο κελί Α4 και να εµφανίζεται το όνοµα του υλικού στο κελί Β4. Η συνάρτηση που γράφουµε στο κελί Β4 είναι =IF(ISBLANK(A4);" ";INDEX(STOR_CD_NM;MATCH(A4;COD_STOR;0);2)) επίσης θέλουµε να δίνουµε τον κωδικό του προµηθευτή στο κελί C4 και εµφανίζεται το όνοµα του προµηθευτή στο κελί D4.. Η συνάρτηση που γράφουµε στο κελί D4 είναι =IF(ISBLANK(C4);"";INDEX(PROV_CD_NM;MATCH(C4;COD_PROV;0);2)) Παρατηρήσεις 1)Οι παραπάνω συναρτήσεις να αντιγραφούν και στα επόµενα κελιά µέχρι τα Β504 και C504 αντίστοιχα 2)H συνάρτηση ISBLANK(κελί) δίδει αποτέλεσµα TRUE όταν το κελί είναι άδειο Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

22 Άσκηση Στο βιβλίο εργασίας που αναπτύξαµε στην προηγούµενη άσκηση να γίνουν τα παρακάτω A) να δηµιουργηθεί φύλλο εργασίας για 100 πελάτες µε όνοµα customers όπως παρακάτω.η περιοχή $A$3:$A$102 να ονοµασθεί cod_cust και η περιοχή $A$3:$B$102 να ονοµασθεί cust_cd_nm ΠΕΛΑΤΕΣ ΚΩ ΙΚΟ ΟΝΟΜΑ ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ ΥΠΟΛΟΙΠΟ Σ HR-1 ΜΑΥΡΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ Λ. 0 HR-2 ΜΙΧΑΛΑΚΗΣ ΣΤ. 0 EL-1 ΟΥΛΟΥΦΑΚΗΣ Γ. 0 0 Β) να δηµιουργηθεί φύλλο εργασίας για 500 πωλήσεις µε όνοµα sales όπως παρακάτω. Η περιοχή $A$4:$A$503 να ονοµασθεί cod_yl_sal και η περιοχή $C$4:$B$503 cod_cust_sal. ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΥΛΙΚΟ ΠΕΛΑΤΗΣ ΚΩ ΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑ ΚΩ ΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΤΙΜΗ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ C1-1 PENTIUM II 350 HR-1 ΜΑΥΡΟΓΙΑΝΝΑΚΗ /10/1999 Σ TV26-1 ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ 26'' EL-1 ΟΥΛΟΥΦΑΚΗΣ Γ /10/1999 Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

23 COUNTIF(περιοχή;συνθήκη) Επιστρέφει το πλήθος κελιών της περιοχής που ικανοποιούν τη συνθήκη. Η συνθήκη πρέπει να είναι απλή συνθήκη π.χ. ">0" ή περιεχόµενο ενός κελιού π.χ. Α1. SUMIF(περιοχή1;συνθήκη;περιοχή2) ίνει το άθροισµα των κελιών της περιοχής2 που τα αντίστοιχα κελιά της περιοχής1 ικανοποιούν τη συνθήκη ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να γραφούν οι κατάλληλες συναρτήσεις ώστε να συµπληρωθούν α)στο φύλλο εργασίας store τα τεµάχια αγοράς και πώλησης καθώς και τα υπόλοιπα τεµάχια. β)στο φύλλο εργασίας customers η πίστωση και το υπόλοιπο του πελάτη. γ)φύλλο εργασίας providers η χρέωση και το υπόλοιπο του προµηθευτή. Υπόδειξη Α)Για τη διεξαγωγή της άσκησης απαιτείται ή ονοµασία των εξής περιοχών Οι περιοχές του φύλλου εργασίας purchase $E$4:$E$503 και $F$4:$f$503 να ονοµασθούν tem_yl_pur και tim_prov_pur αντίστοιχα. Οι περιοχές του φύλλου εργασίας sales $E$4:$E$503 και $F$4:$f$503 να ονοµασθούν tem_yl_sal και tim_prov_sal αντίστοιχα. Β)Οι συναρτήσεις στην αποθήκη είναι 1)για τα τεµάχια αγοράς =IF(ISBLANK(A4);" ";SUMIF(COD_YL_PUR;A4;TEM_YL_PUR)) 2)για τα τεµάχια πώλησης =IF(ISBLANK(A4);" ";SUMIF(COD_YL_SAL;A4;TEM_YL_SAL)) 3)για τα υπόλοιπα τεµάχια =IF(ISBLANK(A4);" ";C4-D4) Γ)Οι συναρτήσεις για τους προµηθευτές είναι 1)για τη χρέωση των προµηθευτών =IF(ISBLANK(A3);"";SUMIF(COD_PROV_PUR;A3;TIM_YL_PUR)) 2)για το υπόλοιπο των προµηθευτών =IF(ISBLANK(A3);" ";C3-D3) )Οι συναρτήσεις για τους πελάτες είναι 1) Για την πίστωση των πελατών =IF(ISBLANK(A3);" ";SUMIF(COD_CUST_SAL;A3;TIM_CUST_SAL)) 2)Για το υπόλοιπο των πελατών =IF(ISBLANK(A3);" ";C3-D3) Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

24 ΣΤΑΘΕΡΟΠΟΙΗΣΗ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ Γίνετε για να σταθεροποιήσουµε ένα κοµµάτι από τις πρώτες γραµµές και πρώτες κολώνες του φύλλου εργασίας ώστε αυτό να µην κρύβετε όταν κινούµεθα µέσα σε αυτό. Για να σταθεροποιήσουµε πηγαίνουµε στο κελί που πάνω και πριν από αυτό θέλουµε να σταθεροποιήσουµε και επιλέγουµε ΠΑΡΑΘΥΡΟ /ΣΤΑΘΕΡΟΠΟΙΗΣΗ ή ΑΠΟΣΤΑΘΕΡΟΠΟΙΗΣΗ για το αναίρεση. ΑΣΚΗΣΗ Να σταθεροποιηθούν οι επικεφαλίδες όλων των φύλλων εργασίας της προηγούµενης άσκησης. ΚΛΕΙ ΩΜΑ ΠΕΡΙΟΧΗΣ Τα κελιά που περιέχουν τύπους δεν πρέπει να µεταβάλλονται κατά την χρήση του φύλλου εργασίας για αυτό πρέπει αυτά τα κελιά να κλειδώνονται από µεταβολή. Για να κλειδώσουµε µια περιοχή πρέπει να την επιλέξουµε και να ορίσουµε ότι αυτή θέλουµε να είναι κλειδωµένη από την επιλογή Μορφή \ κελιών \ προστασία και ενεργοποιούµαι την επιλογή κλειδωµένο. Για να ενεργοποιήσουµε ή να απενεργοποιήσουµε τα κλειδώµατα επιλέγουµε Εργαλεία \ προστασία Παρατήρηση Επειδή όλο το φύλλο έχει ορισθεί να είναι κλειδωµένο για αυτό πρέπει πριν κάνουµε οτιδήποτε να το επιλέξουµε και στη συνέχεια από την επιλογή µορφή\ κελιών \προστασία να απενεργοποιήσουµε το κλείδωµα. Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Να κατασκευασθούν 2 φύλλα εργασίας για να συµπληρωθεί η προηγούµενη άσκηση α) για τα χρήµατα που θα µας δίνουν οι πελάτες (Χρεώσεις πελατών) τα οποία θα ενηµερώνουν τη χρέωση του πελάτη στο φύλλο customers ΧΡΕΩΣΕΙΣ ΠΕΛΑΤΩΝ ΠEΛΑΤΗΣ ΚΩ ΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑ ΤΙΜΗ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ HR-2 ΜΙΧΑΛΑΚΗΣ ΣΤ /10/1999 EL-1 ΟΥΛΟΥΦΑΚΗΣ Γ /10/1999 β) για τα χρήµατα που θα µας δίνουµε στους προµηθευτές (πιστώσεις προµηθευτών) τα οποία θα ενηµερώνουν τη πίστωση του προµηθευτή στο φύλλο providers ΠΙΣΤΩΣΕΙΣ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΩΝ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ ΚΩ ΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑ ΤΙΜΗ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ XF-1 ΕΛΗΓΙΑΝΝΗΣ /10/1999 XN-1 ΗΛΙΑΣ ΠΑΠΑ ΑΚΗΣ ΝΙΚ /10/1999 2)Να κλειδωθούν όλες οι περιοχές των φύλλων εργασίας της άσκησης που περιέχουν τύπους καθώς και οι επικεφαλίδες. Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

o AND o IF o SUMPRODUCT

o AND o IF o SUMPRODUCT Πληροφοριακά Εργαστήριο Management 1 Information Συστήματα Systems Διοίκησης ΤΕΙ Τμήμα Ελεγκτικής Ηπείρου Χρηματοοικονομικής (Παράρτημα Πρέβεζας) και Αντικείµενο: Μοντελοποίηση προβλήµατος Θέµατα που καλύπτονται:

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας περιεχομένων. Κεφάλαιο 1 Λειτουργίες βάσης δεδομένων Κεφάλαιο 2 Συγκεντρωτικοί πίνακες Πρόλογος... 11

Πίνακας περιεχομένων. Κεφάλαιο 1 Λειτουργίες βάσης δεδομένων Κεφάλαιο 2 Συγκεντρωτικοί πίνακες Πρόλογος... 11 Πίνακας περιεχομένων Πρόλογος... 11 Κεφάλαιο 1 Λειτουργίες βάσης δεδομένων...13 1.1 Εισαγωγή... 13 1.2 Δημιουργία βάσης δεδομένων... 14 1.3 Ταξινόμηση βάσης δεδομένων... 16 1.4 Μερικά αθροίσματα... 20

Διαβάστε περισσότερα

Με Χρήση της ΦΟΡΜΑΣ να προσθέσετε εγγραφές στον πίνακα που ακολουθεί

Με Χρήση της ΦΟΡΜΑΣ να προσθέσετε εγγραφές στον πίνακα που ακολουθεί 4. Ε ΟΜΕΝΑ (DATA) Το excel έχει τη δυνατότητα να θεωρεί µία περιοχή του φύλλου εργασίας σαν µια βάση δεδοµένων όπου η κάθε γραµµή είναι µία εγγραφή και η κάθε κολώνα ένα πεδίο. Το όνοµα του κάθε πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τι χρειάζεται η εντολή DO ; ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΕΝΤΟΛΗ DO. Όταν απαιτείται να εκτελεστεί πολλές φορές το ίδιο τμήμα ενός προγράμματος.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τι χρειάζεται η εντολή DO ; ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΕΝΤΟΛΗ DO. Όταν απαιτείται να εκτελεστεί πολλές φορές το ίδιο τμήμα ενός προγράμματος. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι Τι χρειάζεται η εντολή DO ; ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΕΝΤΟΛΗ DO Όταν απαιτείται να εκτελεστεί πολλές φορές το ίδιο τμήμα ενός προγράμματος. Τετριμμένο παράδειγμα: Κατασκευάστε πρόγραμμα που θα εμφανίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενα 2 ου εργαστηρίου

Αντικείμενα 2 ου εργαστηρίου 1.0 Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διδάσκων: Δρ. Γκόγκος Χρήστος Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος: 2013-2014 Εξάμηνο Α 2 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΗΣ 2007 - ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ

ΜΑΗΣ 2007 - ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΗΣ 2007 - ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ: ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από δύο Ενότητες Α και Β. ΕΝΟΤΗΤΑ Α - Αποτελείται από δέκα (10) ερωτήσεις. Κάθε ορθή απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1 γ Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1. Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και Τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ. Παράδειγμα #1. Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ. Παράδειγμα #1. Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ Τύποι δεδομένων Οι παρακάτω τύποι δεδομένων υποστηρίζονται από τη γλώσσα προγραμματισμού Fortran: 1) Ακέραιοι αριθμοί (INTEGER). 2) Πραγματικοί αριθμοί απλής ακρίβειας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) 1.0 Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος: 2013-2014 Εξάμηνο Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Κατασκευάστε ένα λογιστικό φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση Δεδομένων. 9 η Εργαστηριακή Άσκηση (Excel)

Ταξινόμηση Δεδομένων. 9 η Εργαστηριακή Άσκηση (Excel) 9 η Εργαστηριακή Άσκηση (Excel) Ταξινόμηση Δεδομένων Μπορούμε να ταξινομήσουμε τα στοιχεία του πίνακα ανά πεδίο και με οποιαδήποτε σειρά. Η διαδικασία είναι η εξής: Κάνουμε κλικ μέσα σε κάποιο κελί στην

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Pascal, απλοί τύποι, τελεστές και εκφράσεις

Pascal, απλοί τύποι, τελεστές και εκφράσεις Pascal, απλοί τύποι, τελεστές και εκφράσεις 15 Νοεμβρίου 2011 1 Γενικά Στην standard Pascal ορίζονται τέσσερις βασικοί τύποι μεταβλητών: integer: Παριστάνει ακέραιους αριθμούς από το -32768 μέχρι και το

Διαβάστε περισσότερα

Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί.

Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί. Εργαστήριο 9 ο Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί. NPER Αποδίδει το πλήθος των περιόδων μιας επένδυσης,

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4 ΘΕΜΑ ο Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8, Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 Μάθημα: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη, 6 Ιουνίου 2006 07:30 10:30

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ Ι ΡΥΜΑΤΑ Μάθηµα: Πληροφορική Ηµεροµηνία και ώρα εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβητής (Α) Mέση τιµή Ορισµός Η µέση τιµή ή µαθηµατική επίδα µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας f (x) είναι ο αριθµός: µ E() + xf (x) xf (x)dx διακριτή συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Γνωρίστε το Excel 2007

Γνωρίστε το Excel 2007 Εισαγωγή τύπων Γνωρίστε το Excel 2007 Πληκτρολογήστε το σύμβολο της ισότητας (=), χρησιμοποιήστε ένα μαθηματικό τελεστή (+,-,*,/) και πατήστε το πλήκτρο ENTER. Πρόσθεση, διαίρεση, πολλαπλασιασμός και αφαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q 7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ. Εύρεση παρούσας αξίας Εύρεση επιτοκίου Εύρεση χρόνου. Μέσο επιτόκιο Ισοδύναμα επιτόκια. παραδείγματα

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ. Εύρεση παρούσας αξίας Εύρεση επιτοκίου Εύρεση χρόνου. Μέσο επιτόκιο Ισοδύναμα επιτόκια. παραδείγματα ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Εύρεση παρούσας αξίας Εύρεση επιτοκίου Εύρεση χρόνου Μέσο επιτόκιο Ισοδύναμα επιτόκια παραδείγματα Ανατοκισμός Αρχικό κεφάλαιο Κο ή PV Τελικό κεφάλαιο Κ ή FV Επιτόκιο i ή r Χρόνος Ακέραιες

Διαβάστε περισσότερα

Σ η μ ε ι ώ σ ε ι ς γ ι α τ ο υ π ο λ ο γ ι σ τ ι κ ό φ ύ λ λ ο

Σ η μ ε ι ώ σ ε ι ς γ ι α τ ο υ π ο λ ο γ ι σ τ ι κ ό φ ύ λ λ ο Σ η μ ε ι ώ σ ε ι ς γ ι α τ ο υ π ο λ ο γ ι σ τ ι κ ό φ ύ λ λ ο Το λογισμικό αυτό μας διευκολύνει να κατηγοριοποιήσουμε τα δεδομένα μας, να τα ταξινομήσουμε με όποιον τρόπο θέλουμε και να κάνουμε σύνθετους

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Έχουµε Α Βδεν είναι το κενό. Ρ( Α Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ακέραιοι αριθμοί (int) Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ακέραιοι αριθμοί (int) Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 1 Τύποι δεδομένων Η γλώσσα προγραμματισμού C++ υποστηρίζει τους παρακάτω τύπους δεδομένων: 1) Ακέραιοι αριθμοί (int). 2) Πραγματικοί αριθμοί διπλής ακρίβειας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. μιας και αντιστοιχεί στην περίοδο μηδέν, είναι δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο. Όμοια έχουμε τα κεφάλαια K1, K2, K

Κεφάλαιο 4. μιας και αντιστοιχεί στην περίοδο μηδέν, είναι δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο. Όμοια έχουμε τα κεφάλαια K1, K2, K Κεφάλαιο. Ανατοκισμός. Εισαγωγή Στη διαδικασία με την οποία ένα κεφάλαιο κατατίθεται στον απλό τόκο, στο τέλος κάθε περιόδου παίρνουμε τον τόκο και αφήνουμε το αρχικό κεφάλαιο να τοκιστεί. Έτσι το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα