3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ATAN(Χ) Μας δίνει το τόξο που έχει εφαπτοµένη το Χ. Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ATAN(Χ) Μας δίνει το τόξο που έχει εφαπτοµένη το Χ. Μάθηµα 1-22- Χατζάκης Ηλίας"

Transcript

1 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ABS(X) Μας δίνει την απόλυτο τιµή του X. EXP(X) Μας δίνει το e^x. INT(Χ) Μας δίνει τον πλησιέστερο ακέραιο µικρότερο ή ισο του Χ. LN(Χ) Μας δίνει το φυσικό λογάριθµο του Χ. LOG(Χ) Μας δίνει το δεκαδικό λογάριθµο του Χ. MOD(Χ;Y) Μας δίνει το υπόλοιπο της διαίρεσης του Χ/Y. PI() Mας δίνει το π=3, RAND() Mας δίνει ένα τυχαίο αριθµό από 0 µέχρι 1. ROUND(X;n) Κάνει στρογγυλοποίηση του Χ σε n δεκαδικά ψηφία. SQRT(X) Μας δίνει τη θετική τετραγωνική ρίζα του X. PRODUCT(περιοχή) Επιστρέφει το γινόµενο των κελιών της περιοχής. SUM(περιοχή) Επιστρέφει το άθροισµα του περιεχοµένου των κελιών. AVERAGE(περιοχή) Επιστρέφει το µέσο όρο του περιεχοµένου των κελιών. FACT(X) Επιστρέφει το Χ παραγοντικό (Χ!) π.χ. FACT(3)=1*2*3 Το Χ πρέπει να είναι µεγαλύτερο του ή ίσον του 0. Fact(0)=1 Αν ο Χ δεν είναι ακέραιος επιστρέφει το παραγοντικό του ακεραίου µέρους του π.χ. Fact(3,8)=Fact(3)=6. PERMUT(X;Y) Μας δίνει τoν αριθµό των διατάξεων του X ανά Υ. Πρέπει να ισχύει Χ>=Υ>=0 επίσης Permut(X;Y)=Fact(X)/Fact(X-Y). COMBIN(X) Μας δίνει τoν αριθµό των συνδυασµών του X ανά Υ. Πρέπει α ισχύει Χ>=Υ>=0 επίσης combin(x;y)=fact(x)/(fact(y)*fact(x-y)). ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ DEGREES(Χ) Μετατρέπει τα ακτίνια σε µοίρες(το Χ σε ακτίνια). RADIANS(Χ) Μετατρέπει τις µοίρες σε ακτίνια (το Χ σε µοίρες). SIN(Χ) Μας δίνει το ηµίτονο του Χ(το Χ σε ακτίνια). COS(X) Μας δίνει το συνηµίτονο του X(το Χ σε ακτίνια). TAN(Χ) Μας δίνει την εφαπτοµένη του Χ(το Χ σε ακτίνια). ASIN(Χ) Μας δίνει το τόξο που έχει ηµίτονο το Χ. ACOS(Χ) Μας δίνει το τόξο που έχει συνηµίτονο το Χ. ATAN(Χ) Μας δίνει το τόξο που έχει εφαπτοµένη το Χ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ MDETERM(περιοχή). Η περιοχή θεωρείται ένας τετραγωνικός πίνακας και µας επιστρέφει την ορίζουσα του. MINVERSE(περιοχή). Όπου περιοχή είναι ένας αντιστρέψιµος πίνακας(τετραγωνικός µε ορίζουσα <> 0) και µας δίδει τον αντίστροφο του. MMULT(περιοχή1;περιοχή2) Οι περιοχές θεωρούνται 2 πίνακες και παίρνουµε το γινόµενο τους. Για να πολλαπλασιάζονται οι πίνακες πρέπει το πλήθος των στηλών του Α' πίνακα να είναι ίδιο µε το πλήθος των γραµµών του Β'.. Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Να γραφεί σύστηµα 3 εξισώσεων µε 3 αγνώστους και να λυθεί ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ X Y Ζ ΓΝΩΣΤ ΟΣ Το σύστηµα µπορεί να γραφεί σαν Α*Χ=C όπου Α ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων Χ ο πίνακας των αγνώστων και C ο πίνακας των γνωστών όρων. Για να έχει λύση το σύστηµα πρέπει ο πίνακας Α να είναι αντιστρέψιµος και τότε ισχύει Α -1 *Α=Α* Α -1 =Ι (µοναδιαίος) άρα Α -1 *Α*Χ= Α -1 *C άρα X= Α -1 *C Για να βρω τον αντίστροφο µαρκάρω την περιοχή που πρόκειται να τοποθετηθεί πληκτρολογώ την συνάρτηση =MINVERSE(Α3:C5) και Πατάω ctrl+shift+enter. Η ενέργεια αυτή πρέπει να γίνετε κάθε φορά που το αποτέλεσµα µιας συνάρτησης δεν είναι ένας αριθµός αλλά περισσότεροι. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ 0, , , , , ,3218-0, , , X= Α -1 *C ΛΥΣΗ X 3, Y -7,50865 Ζ -0,30623 Α*Χ=C ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

3 2)Να κάνετε ένα φύλλο εργασίας που στην πρώτη στήλη να έχει τις γωνίες σε µοίρες 1,2 360 στη δεύτερη σε ακτίνια και στις υπόλοιπες τα ηµίτονα συνηµίτονα εφαπτόµενες. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις που ακολουθούν. Γωνία Μοίρες Ακτίνια Ηµίτονο Συνηµίτονο Εφαπτοµένη 0 0,0000 0,0000 1,0000 0, ,0175 0,0175 0,9998 0, ,0349 0,0349 0,9994 0,0349 Ηµίτονο 1,0000 0, ,0000 Εφαπτοµένη ) Να λύσετε ένα σύστηµα 5 εξισώσεων µε 5 αγνώστους Χ 1 Χ 2 Χ 3 Χ 4 Χ 5 Σύµφωνα µε τον κανόνα του Cramer Di X i = D Όπου D η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων όρων και D i η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τους συντελεστές των αγνώστων όρων αν αντικαταστήσουµε τους όρους του Χ i µε τους γνωστούς όρους. Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΥ Το EXCEL δουλεύει ηµεροµηνίες από την 1/1/1900 µέχρι 31/12/9999 απεικονίζοντας τους ακέραιους αριθµούς από το 1 έως το σε ηµεροµηνίες π.χ. 1 -> 1/1/ >2/1/ >3/1/1900 κ.λ.π. Το EXCEL αντιµετωπίζει τις ώρες µετατρέποντας τους αριθµούς που είναι µεγαλύτεροι ή ίσοι του 0 και µικρότεροι του 1 σε ώρες (πολλαπλασιάζοντας τον δεκαδικό µε τα δευτερόλεπτα ενός 24ώρου τον µετατρέπουµε σε δευτερόλεπτα που περιέχει) Έτσι στον ίδιο αριθµό και σε επέκταση στο ίδιο κελί µπορούµε να έχουµε στο ακέραιο µέρος του την ηµεροµηνία και στο δεκαδικό µέρος του την ώρα. DATE(ετος;µήνας;ηµέρα) Mετατρέπει την ηµεροµηνία στον αριθµό που αντιστοιχεί. Αν το κελί είναι τύπου DATE εµφανίζει την ηµεροµηνία που αναφέρουµε. DATEVΑLUE("ηµέρα/µήνας/ετος") Κάνει την ίδια δουλειά µε τη DATE. DAΥ(αριθµός) Εµφανίζει τον αριθµό της ηµέρας ( ) µέσα στο µήνα της ηµεροµηνίας που αντιστοιχεί στον αριθµό. MONTH(αριθµός) Εµφανίζει τον αριθµό του µήνα ( ) µέσα στο έτος της ηµεροµηνίας που αντιστοιχεί στον αριθµό. YEAR(αριθµός) Εµφανίζει το έτος ( ) της ηµεροµηνίας που αντιστοιχεί στον αριθµό. WEEKDAY(όρισµα1, παράµετρος) Εµφανίζει την ηµέρα της εβδοµάδας (σαν αριθµό) που αντιστοιχεί στο όρισµα1. Το όρισµα 1 µπορεί να είναι ο αριθµός που αντιστοιχεί στην ηµεροµηνία ή ίδια η ηµεροµηνία. Η παράµετρος αν παραλειφθεί ή αν δώσουµε 0 αντιστοιχεί το 1 στην Κυριακή και το 7 στο Σάββατο. Αν η παράµετρος είναι 1 αντιστοιχεί το 1 στην ευτέρα και το 7 στην Κυριακή. TODAY() Εµφανίζει τη τρέχουσα ηµεροµηνία. Το ίδιο αποτέλεσµα εµφανίζεται αν πατήσουµε τα πλήκτρα Ctrl + ;. NOW() Εµφανίζει τη τρέχουσα ηµεροµηνία και ώρα. Το ίδιο αποτέλεσµα εµφανίζεται αν πατήσουµε τα πλήκτρα Ctrl + shift + ;. TIME(ώρα;λεπτά;δευτερόλεπτα) Mετατρέπει την ώρα στον αριθµό που αντιστοιχεί. Αν το κελί είναι τύπου ΤΙΜΕ την ώρα που αναφέρουµε. TIMEVALUE("ώρα;λεπτά;δεύτερα") Κάνει ίδια δουλειά µε τη TIME.. SECOND(αριθµός) Εµφανίζει τα δευτερόλεπτα που υπάρχουν στην ώρα που αντιστοιχεί στον αριθµό που αναφέρουµε. MINUTE(αριθµός) Εµφανίζει τα λεπτά που υπάρχουν στην ώρα που αντιστοιχεί στον αριθµό που αναφέρουµε. HOUR(αριθµός) Εµφανίζει τις ακέραιες ώρες που υπάρχουν στην ώρα που αντιστοιχεί στον αριθµό που αναφέρουµε. ΑΣΚΗΣΗ 1)να γίνει µισθοδοσία εργαζοµένων όπου να υπολογίζεται το χρονοεπίδοµα µε βάσει την ηµεροµηνία διορισµού του εργαζοµένου και την ηµεροµηνία για την οποία υπολογίζεται η µισθοδοσία Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

5 ΑΛΦΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ CHAR(αριθµός) Επιστρέφει το χαρακτήρα που αντιστοιχεί στον αριθµό π.χ char(65) επιστρέφει το χαρακτήρα A CODE(Χ) ίνει τον κωδικό του πρώτου χαρακτήρα του Χ. π.χ code(a)=65 CONCATENATE(Χ1;Χ2;...) Όπου Χ1, Χ2... αλφαριθµητικά. Η συνάρτηση ενώνει όλα τα αλφαριθµητικά σε ένα. EXACT(Χ1;Χ2) Επιστρέφει TRUE αν το Χ1 είναι ακριβώς ίδιο µε το Χ2. FIND(Χ1;Χ2;n) Αναζητείται το Χ1 µέσα Χ2 από τη θέση n και µετά. Επιστρέφει τον αριθµό τής θέσης που εντοπίζεται το Χ1. LEN(Χ1) ίνει το πλήθος των χαρακτήρων του Χ1. TRIM(Χ1) Αφαιρεί τα κενά από την αρχή και το τέλος του Χ1. REPLACE(Χ1;n;m;Χ2) Αντικαθιστά -m χαρακτήρες του Χ1 µε το Χ2 από τη θέση -n και µετά. π.χ replace("αβγδεζ";3;2;"-") επιστρέφει αβ-ζ REPT(Χ1;n) Επαναλαµβάνει n φορές το Χ1. LEFT(Χ1;n) ίνει τους n πρώτους χαρακτήρες του Χ1. MID(Χ1;m;n) ίνει n χαρακτήρες του Χ1 από τη θέση m και µετά. RIGHT(X1;n) ίνει τους n τελευταίους χαρακτήρες του Χ1. UPPER(X1) Mετατρέπει τα µικρά λατινικά γράµµατα του Χ1 σε κεφαλαία. LOWER(Χ1) Mετατρέπει τα κεφαλαία λατινικά γράµµατα του Χ1 µικρά. PROPER(Χ1) Mετατρέπει το πρώτο λατινικό χαρακτήρα κάθε λέξης του Χ1 σε κεφαλαίο. VALUE(Χ1) Mετατρέπει το περιεχόµενο του Χ1 σε αριθµό. TΕΧΤ(Χ1,µορφή) Mετατρέπει την αριθµητική τιµή Χ1 σε αλφαριθµητικό µε τη µορφή που αναφέρουµε π.χ text(1984 ;"0.00") επιστρέφει " " Ν(έκφραση) Αν η έκφραση έχει περιεχόµενο αριθµητικό ή true() ή false() ή ηµεροµηνία ή ώρα τότε επιστρέφει τον αριθµό που αντιστοιχεί στο περιεχόµενο αλλιώς επιστρέφει κενό. T(έκφραση) Αν η έκφραση δίνει αλφαριθµητικό περιεχόµενο τότε επιστρέφει αυτό το περιεχόµενο αλλιώς επιστρέφει κενό. ΑΣΚΗΣΗ Να Εµφανίσετε τον κώδικα ΕΛΟΤ 928 ΛΥΣΗ Στα κελιά Α2 να δίνουµε τους αριθµούς από το 1 το 255 και στα κελιά Β2 γράφουµε τη συνάρτηση CHAR(B2). Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

6 ΛΟΓΙΚΕΣ IF(συνθήκη ; Χ ;Υ) Αν η συνθήκη είναι αληθής δίνει Χ αλλιώς Υ. FALSE() ίνει αποτέλεσµα 0 (ψευδές). TRUE() ίνει αποτέλεσµα 1 (αληθές). NA() ηλώνει ότι το κελί είναι µη διαθέσιµο(not Available). AND (λογική πρόταση1 ; λογική πρόταση2;...)δίνει αποτέλεσµα αληθές όταν αληθεύουν όλες οι προτάσεις που περικλείονται στην παρένθεση. OR(λογική πρόταση1 ; λογική πρόταση2;...)δίνει αποτέλεσµα αληθές όταν αληθεύει τουλάχιστον µία από τις αναφερόµενες προτάσεις.. NOT(λογική πρόταση) Αντιστρέφει την αλήθεια της πρότασης που περικλείεται µέσα στην παρένθεση. ISERR(έκφραση) Αν προκύψει κάποιο σφάλµα από την έκφραση τότε είναι αληθής. Ελέγχει όλα τα είδη σφαλµάτων εκτός το #Ν/Α ISERROR(έκφραση) Αν προκύψει κάποιο σφάλµα από την έκφραση τότε είναι αληθής. Ελέγχει όλα τα είδη σφαλµάτων και την #Ν/Α ISNA(έκφραση) Αν προκύψει N/A τότε δίνει αποτέλεσµα αληθές. ISLOGICAL(έκφραση) Αληθεύει αν η έκφραση είναι λογική (true, false). ISTEXT(έκφραση) Είναι αληθής αν η έκφραση είναι κείµενο. ISNONTEXT(έκφραση) Αληθεύει όταν η έκφραση δεν είναι κείµενο. ISNUMBER(έκφραση) Αληθεύει αν η έκφραση είναι αριθµός. ISBLANK(κελί) Αληθεύει αν το κελί είναι κενό. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1)Εισάγουµε στο κελί Α2 έναν αριθµό. Να γραφεί στο Β2 η κατάλληλη συνάρτηση ώστε να εµφανίζεται η φράση ΑΡΤΙΟΣ ή ΠΕΡΙΤΤΟΣ ανάλογα µε το περιεχόµενο του Α2. ΛΥΣΗ Η συνάρτηση είναι =IF(INT(A2/2)*2=A2;"ΑΡΤΙΟΣ";"ΠΕΡΙΤΤΟΣ") ΑΡΤΙΟΣ / ΠΕΡΙΤΤΟΣ -5 ΠΕΡΙΤΤΟΣ 2) Λύση και εµφάνιση κάθε εξίσωσης Α βαθµού(φωλιασμενα IF) ΕΞΙΣΩΣΗ Α' ΒΑΘΜΟΥ Α Β 5-3 Εξίσωση Λύση 5X-3=0 0,6 ίνουµε τους συντελεστές Α, Β της εξίσωσης στα κελιά Α9, Β9 αντιστοίχως Η Εµφάνιση της εξίσωσης γίνεται από τη συνάρτηση =CONCATENATE(A9;"X";IF(B9>=0;CONCATENATE("+";B9);B9);"=0") Η λύση δίνετε από τη συνάρτηση =IF(A9<>0;-B9/A9;IF(B9=0;"ΑΟΡΙΣΤΗ";"Α ΥΝΑΤΗ")) Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

7 χρήση λογικών τελεστών AND OR NOT Αποτελέσµατα true false ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Υπολογισµός εµβαδού τριγώνου σύµφωνα µε τον τύπο του Ηρωνα ΕΜΒΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ α β γ Ελεγχος TRUE Ηµιπερίµετρος 4,5 Εµβαδόν 2, ΛΥΣΗ ίνουµε 3 αριθµούς που είναι οι διαστάσεις των πλευρών ενός τριγώνου στα κελιά Α16, Β16,C16. Για να είναι πλευρές τριγώνου πρέπει µία πλευρά από αυτές να είναι µεγαλύτερη του απολύτου της διαφοράς και µικρότερη του αθροίσµατος των δύο άλλων. H IF που ακολουθεί δίνει αποτέλεσµα TRUE ή FALSE στο κελί D16 ανάλογα αν έχουµε πλευρές τριγώνου ή όχι =IF(AND(ABS(B16-C16)<A16;A16<B16+C16);TRUE;FALSE) Η ηµιπερίµετρος και το εµβαδόν υπολογίζετε µόνο όταν αληθεύει το κελί D16. Η ηµιπερίµετρος(t) είναι το ηµιάθροισµα των πλευρών =IF(D16;(A16+B16+C16)/2;FALSE) Το εµβαδόν δίνετε από τον τύπο του Ήρωνα(τετρ.ρίζα(t(t-α)(t-β)(t-γ) =IF(NOT(D16);FALSE;SQRT(B17*(B17-A16)*(B17-B16)*(B17-C16))) Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

8 Άσκηση Στην άσκηση που υπολογίζαµε τους µισθούς των εργαζοµένων κάθε µήνα να προσθέσετε ένα φύλλο εργασίας µε όνοµα klimaka και να καταχωρίσετε τη φορολογική κλίµακα ως ακολούθως : ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΙΣΟ ΗΜ ΦΟΡΟΣ ΠΟΣΟΣ Α ΤΟ % % % % > > 40% Να τροποποιήσετε τα φύλλα των µηνών ώστε Α) το Φ.Μ.Υ να βγαίνει βάσει της κλίµακας και Β) το οικογενειακό να είναι για κάθε παιδί µέχρι και το δεύτερο παιδί και από εκεί και πάνω δηλαδή τριτο τέταρτο κ.λ.π για κάθε παιδι. ΜΙΣΘΟ ΟΣΙΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 1999 ΕΠΙ ΟΜΑ ΤΕΚΝΟΥ πρώτο δεύτερο τρίτο τέταρτο παιδί ΣΥΝΟΛΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΚΑ ΦΜΥ 17839,28571 ΚΑΘΑΡΟΣ ,7143 Α/Α ΜΙΣΘΩΤΟΣ ΒΑΣΙΚΟΣ ΠΑΙ ΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΚΑ ΑΚΑΘΑΡΙΣΤΑ Φ.Μ.Υ. ΚΑΘΑΡΟΣ 1 ΠΑΠΑ ΑΚΗΣ ΕΜΜ , ,2 9 2 ΝΙΚΟΛΑΚΑΚΗΣ ΑΡ , ,4 3 3 ΕΛΗΓΙΑΝΝΗΣ ΗΛ , ,2 9 4 ΧΑΤΖΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝ , ,4 3 5 ΕΥΘΥΜΙΟΥ ΑΠΟΣΤ , ,2 9 Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

9 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑVERAGE(περιοχή) ίνει το µέσο όρο του περιεχοµένου των κελιών. Στην περίπτωση που οι εγγραφές είναι οµαδοποιηµένες τότε η µέση τιµή δίδεται από τον τύπο ΣΧ i *P i η οποία λέγεται µέση ελπιζόµενη ή προσδοκόµενη τιµή ή µαθηµατική ελπίδα. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής τότε ισούται x*f(x)dx COUNT(περιοχή) Επιστρέφει το πλήθος των κελιών της περιοχής που περιέχουν αριθµητικές τιµές, true(), false(), ηµεροµηνίες, ώρες. MAX(περιοχή) Επιστρέφει τη µέγιστη τιµή του περιεχοµένου των κελιών. ΜIN(περιοχή)Επιστρέφει τη µικρότερη τιµή του περιεχοµένου των κελιών. LARGE(περιοχή;K) Επιστρέφει τον αριθµό που βρίσκεται στη κ-θέση αν ταξινοµήσουµε το περιεχόµενο των κελιών κατά φθίνουσα σειρά. SMALL(περιοχή;K)Επιστρέφει τον αριθµό που βρίσκεται στη κ-θέση αν ταξινοµήσουµε το περιεχόµενο των κελιών κατά αύξουσα σειρά. FREQUENCY(περιοχή1 ; περιοχή2) Μας δίνει το πλήθος αριθµών από τη περιοχή1 που βρίσκονται µέσα στα διαστήµατα που τα άκρα τους ορίζονται στην περιοχή2. π. χ. αν η περιοχή2 περιέχει τα νούµερα 1, 3, 5 τότε τα διαστήµατα είναι (..., 1] (1, 3] (3, 5] και (5,...) (για να περιληφθεί και το διάστηµα (5,...) πρέπει η περιοχή2 να περιέχει και το επόµενο κελί του αριθµού 5). VARP(περιοχή) Επιστρέφει τη µεταβλητότητα-διασπορά-διακύµανση(variance) µιας µεταβλητής που οι τιµές της περιέχονται στα κελιά της περιοχής. Είναι ο µέσος όρος του τετραγώνου των διαφορών των τιµών της µεταβλητής από τη µέση τιµή της. Είναι ένα µέτρο µεταβλητότητας δηλαδή για να δούµε πόσο κοντά στη µέση τιµή απλώνονται οι υπόλοιπες τιµές της µεταβλητής.. STDEVP(περιοχή) Επιστρέφει τη τυπική απόκλιση µιας µεταβλητής που οι τιµές της περιέχονται στα κελιά της περιοχής. Στον τύπο της διασποράς οι µονάδες µέτρησης είναι υψωµένες στο τετράγωνο πράγµα το οποίο αλλοιώνει το χαρακτήρα του φυσικού µεγέθους. Αν θέλουµε να αποφύγουµε αυτό το πρόβληµα υπολογίζουµε τη τυπική απόκλιση που είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς. TREND(Υ;Χ;τιµή πρόβλεψης;παρ.b) Μας δίνει την τιµή του Υ όταν το Χ γίνει ίσο µε τη µε την τιµή πρόβλεψης. Η τιµή πρόβλεψης του Υ ορίζεται από την ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων βάσει των τιµών της ανεξάρτητης µεταβλητής Χ και εξαρτηµένης Υ (αν οι τιµές το Χ παραλειφθούν τότε θεωρούνται 1,2,3..) Η παρ.b αν είναι 1 ή την παραλείψουµε τότε υπολογίζεται και ο σταθερός όρος b της ευθείας ελαχ.τετραγ. (ax+b) ενώ αν η παρ.b είναι 0 τότε λαµβάνεται και το b=0 Παράδειγµα Στα κελιά a1:a4 έχουν καταχωρηθεί οι τέσσερις τελευταίες τιµές µιας µετοχής έστω 15,16,14,16 η συνάρτηση TREND(a1:a4;;5) θα µας δώσει την επόµενη(πέµπτη) προβλεπόµενη τιµή που είναι 15,5. Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

10 LINEST(Υ;Χ;παρ.b;1ή0) Μας δίνει διάφορα στοιχεία για την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων που ορίζεται από τα Υ, Χ και παρ.b Τα Υ, Χ και παρ.b ορίζονται όπως στη συνάρτηση TREND. H τελευταία παράµετρος αν είναι 0 ή παραληφθεί τα µόνα στοιχεία της ευθείας (ax+b) που επιστρέφει η συνάρτηση είναι η κλήση της ευθείας(a) και ο σταθερός όρος(b). COVAR(περιοχή1;περιοχή2) µας δίδει τη συνδιακύµανση των µεταβλητών που οι τιµές τους είναι στην περιοχή1,περιοχή2. Η συνδιακύµανση δίδεται από τον τύπο [Σ(Χι-AVERAGE(Χ))*( Υι-AVERAGE(Υ))]/πλήθος Από τον τύπο φαίνεται ότι πρέπει να υπάρχει αντιστοιχία στις τιµές των µεταβλητών γιαυτό οι δύο περιοχές πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθµό κελιών. Η γραµµή τάσης που είδαµε στην ενότητα 2 είναι η ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων ή αλλιώς ευθεία παλινδρόµησης του Y ως προς Χ δηλαδή Υ=aΧ+b όπου a=covar(x,y)/varp(x) και b=average(y) a*average(x) ανάλογα υπολογίζουµε και την Χ ως προς Υ. CORREL(περιοχή1;περιοχη2) Μας δίνει το συντελεστή συσχέτισης των µεταβλητών Χ,Υ που οι τιµές τους βρίσκονται στις περιοχές 1 και 2 αντίστοιχα. Οι δύο περιοχές πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθµό κελιών για να υπάρχει αντιστοιχία στις τιµές. Ο συντελεστής συσχέτισης (ρ) δίδεται από τον τύπο ρ=covar(x,y)/(stdevp(x)*stdevp(y)) και παίρνει τιµές στο διάστηµα [-1,1] αν ρ=1 έχουµε πλήρη θετική συσχέτιση όταν µεταβάλλεται η µια µεταβλητή τότε µεταβάλλεται και η άλλη αναλόγως. αν ρ=-1 έχουµε πλήρη αρνητική συσχέτιση όταν αυξάνεται η µια µεταβλητή τότε ελαττώνεται η άλλη και αντιστρόφως αν ρ=0 οι µεταβλητές είναι ανεξάρτητες ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στον επόµενο πίνακα βλέπουµε κατά πόσο επηρεάζει η ηµερήσια µέση θερµοκρασία την κατανάλωση της ποσότητας των παγωτών, κονιάκ και καφέ. Από το συντελεστή συσχέτισης η κατανάλωση της ποσότητας του καφέ δεν επηρεάζεται από τη θερµοκρασία ενώ η κατανάλωση παγωτών αυξάνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας (θετική συσχέτιση 0,97) και η κατανάλωση κονιάκ ελαττώνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας (αρνητική συσχέτιση 0,97) µέση Κατανάλωση θερµοκρασία Παγωτών Κονιάκ καφές συντελεστής Συσχέτισης 0,97-0,92 0,19 Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

11 ΑΣΚΗΣΗ από τα δεδοµένα του παραπάνω πίνακα να κάνετε το γράφηµα τύπου διασποράς και να προσθέσετε γραµµές τάσης όπως είναι στην εικόνα που ακολουθεί. Οι διευθύνσεις των γραµµών τάσης ως προς τον άξονα Χ αποδεικνύουν και γραφικά όσα αναφέραµε σχετικά µε τη συσχέτιση των µεταβλητών στο προηγούµενο παράδειγµα. καταναλώση παγωτών κονιάκ καφές θερµοκρασίες Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

12 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Η µεταβλητή Χ όταν παίρνει διακριτές τιµές λέγεται διακριτή µεταβλητή όπως για παράδειγµα ο αριθµός των παιδιών µιας οικογένειας ενώ όταν παίρνει συνεχείς τιµές λέγεται συνεχής µεταβλητή π.χ. η µέτρηση της θερµοκρασίας. Έστω Χ µεταβλητή, η συνάρτηση f(x)=p[x=x] λέγεται πυκνότητα πιθανότητας δηλαδή είναι η συνάρτηση που µας δίνει την πιθανότητα (συχνότητα/σύνολο) για κάθε τιµή του Χ. Η συνάρτηση F(x)=P[X<=x] δηλαδή η συνάρτηση που µας δίνει την (αθρ.συχνότητα/σύνολο) για κάθε τιµή του Χ λέγεται Συνάρτηση κατανοµής. Σε περίπτωση συνεχούς µεταβλητής έχουµε συνεχή κατανοµή. Στην περίπτωση αυτή δεν ορίζουµε την πυκνότητα πιθανότητας σε ένα σηµείο αλλά σε ένα διάστηµα π.χ. [a,b] και η συνάρτηση κατανοµής είναι P[a<=X<=b]= f(x)dx ιακριτές Κατανοµές ιωνυµική κατανοµή έχουµε στις περιπτώσεις που έχουµε δύο δυνατά αποτελέσµατα σε ένα πείραµα (πείραµα ή δοκιµή Bernoulli). Αν η πιθανότητα επιτυχίας είναι p τότε η πιθανότητα αποτυχίας είναι 1- p και η πιθανότητα παραµένει σταθερή κατά τη διάρκεια των δοκιµών. Π.χ. ρίψη νοµίσµατος, γέννηση παιδιού, εξαγωγή σφαιρών µε 2 χρώµατα από κάλπη µε επανάθεση, η επιλογή οµάδας από ένα πλήθος ανδρών γυναικών εφόσον το πλήθος είναι πολύ µεγάλο ώστε όταν επιλέγουµε ένα άτοµο να µην επηρεάζεται η αναλογία ανδρών γυναικών. Η πυκνότητα πιθανότητας µε κ επιτυχίες σε ν δοκιµές είναι f(κ)=p[x=κ]= ν p k (1-p) ν-κ k Η µέση τιµή της διωνυµικής κατανοµής µ=νp και η διασπορά είναι σ 2 =νp(1-p) Στο excel η πυκνότητα πιθανότητας δίδεται από τη συνάρτηση BINOMDIST(πλήθος επιτυχιών ;πλήθος δοκιµών ; πιθανότητα επιτυχίας;0) Ενώ η συνάρτηση κατανοµής δίδεται από τον τύπο BINOMDIST(πλήθος επιτυχιών ;πλήθος δοκιµών ; πιθανότητα επιτυχίας;1) Παράδειγµα Σε µια κάλπη µε 100 σφαίρες 20 είναι λευκές και το 80 είναι µαύρες.. Τραβώ στην τύχη 5 σφαίρες µε επανάθεση. Να γίνει ο πίνακας κατανοµής για τον αριθµό των λευκών σφαιρών. Υπόδειξη Η πιθανότητα να τραβήξω λευκή σφαίρα είναι 0,2 και µαύρη είναι 0,8. Αφού κάθε φορά που τραβώ σφαίρα την επαναθέτω η αναλογία λευκών µαύρων σφαιρών δεν µεταβάλλεται για τις επόµενες επιλογές Η πιθανότητα να τραβήξω 3 λευκές σφαίρες για παράδειγµα δίδεται από τον τύπο Binomdist(3;5;0,2;0) ενώ η πιθανότητα για το πολύ 3 λευκές Binomdist(3;5;0,2;1) Λευκές σφαίρες πιθανότητα F(x) 0 0, , ,4096 0, ,2048 0, ,0512 0, ,0064 0, , b a Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

13 ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Χρησιµοποιείτε σε διχοτόµο πληθυσµό από όπου επιλέγουµε ένα δείγµα χωρίς επανάθεση και υπολογίζουµε την πυκνότητα πιθανότητας για να έχω ένα αριθµό αντικειµένων από την µια οµάδα του πληθυσµού. Σε κάθε επιλογή η αναλογία άρα και η πιθανότητα των 2 ειδών του πληθυσµού µεταβάλλεται. Αν το µέγεθος του δείγµατος είναι πολύ µεγάλο τότε η µεταβολή της πιθανότητας είναι αµελητέα και η υπεργεωµετρική κατανοµή καθώς και η διωνυµική δίδουν τις ίδιες πιθανότητες. Αν ο πληθυσµός αποτελείται από δύο είδη µε πλήθη Α,Β και επιλέγω ένα δείγµα µεγέθους ν και θέλω να περιέχει κ αντικείµενα από το Α είδος (επιτυχίες) τότε P(X=k)= A B Α+ Β / k ν k ν Στο excel η πυκνότητα πιθανότητας δίδεται από τη συνάρτηση =HYPGEOMDIST(πλήθ.επιτυχιών ;µέγεθ.δείγµατος;α ; µέγεθ.πληθυσµού) όπου Α το πλήθος των αντικειµένων που επιλογή τους είναι επιτυχία µέσα σε ολόκληρο τον πληθυσµό. Παράδειγµα Σε µια κάλπη µε 100 σφαίρες 20 είναι λευκές και το 80 είναι µαύρες. Τραβώ 5 σφαίρες χωρίς επανάθεση. Να γίνει ο πίνακας κατανοµής για τον αριθµό των λευκών σφαιρών. Υπόδειξη Η πιθανότητα να τραβήξω 3 λευκές σφαίρες για παράδειγµα δίδεται από τον τύπο Hypgeomdist(3;5;20;100) Λευκές σφαίρες πιθανότητα 0 0, , , , , , Άσκηση Σε ένα στρατόπεδο µε στρατιώτες το 20% είναι γυναίκες και το 80% είναι άνδρες διαλέγω 5 στρατιώτες στην τύχη να γίνει ο πίνακας που ακολουθεί κατανοµής Πλήθος γυναικών Πιθανότητα Πιθανότητα HYPGEOMDIST BINODIST 0 0, , ,4096 0, ,2048 0, ,0512 0, ,0064 0, , ,00032 Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

14 Αρνητική ιωνυµική ή κατανοµή Pascal κάνουµε µια ακολουθία δοκιµών bernouli οι δοκιµές τερµατίζονται όταν εµφανισθεί η ν-οστή επιτυχία Ζητούµε την πιθανότητα να κάνουµε κ δοκιµές όπου κ>=ν. Η παραπάνω κατανοµή µπορεί να αντιµετωπισθεί όπως η διωνυµική διότι Για να κάνουµε κ δοκιµές και να έχουµε ν επιτυχίες πρέπει οι κ-1 δοκιµές να µας δώσουν ν- k 1 επιτυχίες δηλαδή 1 επιτυχίες και η κ δοκιµή να είναι επιτυχία. Με αυτόν το ν 1 τρόπο εξασφαλίζω ότι θα είναι κ δοκιµές διότι αν θεωρήσω κ δοκιµές ν επιτυχίες απευθείας δηλαδή k είναι λάθος γιατί οι ν επιτυχίες µπορεί να γίνουν πριν φτάσω ν στη δοκιµή κ που έχω υποθέσει. Αρα αν η πιθανότητα επιτυχίας είναι p τότε η πιθανότητα αποτυχίας είναι 1- p και η πυκνότητα πιθανότητας για κ δοκιµές και ν k επιτυχίες δίδεται από τον τύπο 1 p ν-1 (1-p) κ-ν k p= 1 p ν (1-p) κ-ν ν 1 ν 1 Η µέση τιµή της διωνυµικής κατανοµής µ=νp και η διασπορά είναι σ 2 =νp(1-p) Στο excel η πυκνότητα πιθανότητας δίδεται από τη συνάρτηση NEGBINOMDIST(πλήθος αποτυχιών ;πλήθος επιτυχιών ; πιθανότ.επιτυχίας) ισχύει NEGBINOMDIST(F;K;P)=BINOMDIST(K-1;F+K-1;P)*P Παράδειγµα Ρίχνω ένα αµερόληπτο νόµισµα και θέλω να φέρω 3 φορές γράµµατα. Ο πίνακας κατανοµής που ακολουθεί είναι για το πλήθος των δοκιµών που πρέπει να κάνω. Υπόδειξη Αφού το νόµισµα είναι αµερόληπτο Η πιθανότητα επιτυχίας,αποτυχίας είναι ίδια 0,5. Η πιθανότητα να κάνω 5 δοκιµές για παράδειγµα δίδεται από τον τύπο negbinomdist(2;3;0,5) πλήθος,δοκιµών πιθανότητα 3 0, , , , , , , , Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

15 Κατανοµή Poisson συνήθως έχουµε όταν οι τιµές της µεταβλητής Χ είναι ένα πλήθος µέσα σε µία µονάδα χρόνου επιφανείας κ.λ.π και καλείται µέσος ρυθµός π.χ. αν έχουµε 15 θύµατα από τροχαία το µήνα. Η πυκνότητα πιθανότητας για χ γεγονότα και λ µέσο ρυθµό δίδεται από τον τύπο f(x)=e -λ λ χ 1 x! Η µέση τιµή της κατανοµής poisson είναι ίση µε τη διασπορά µ= σ 2 =λ Στο excel η πυκνότητα πιθανότητας δίδεται από τη συνάρτηση POISSON(πλήθος επιτυχιών ;µέσος ρυθµός ;0) και η συνάρτηση κατανοµής POISSON(πλήθος επιτυχιών ;µέσος ρυθµός ;1) Παράδειγµα Έστω ότι ο µέσος ρυθµός θυµάτων από τροχαία ατυχήµατα ανά ηµέρα είναι 2. Ο πίνακας κατανοµής που ακολουθεί είναι για πλήθος ατυχηµάτων Υπόδειξη Η πιθανότητα να έχω 3 ατυχήµατα την ηµέρα για παράδειγµα δίδεται από τον τύπο poisson(3;2;0) ενώ η πιθανότητα για το πολύ 3 ατυχήµατα poisson(3;2;1) αρ.ατυχηµάτων πιθανότητα F(x) 0 0, , , , , , , , , , Συνεχείς Κατανοµές Κανονική κατανοµή ή κατανοµή Laplace-Gaus Λέµε ότι µία µεταβλητή Χ είναι κανονική εάν η πυκνότητα πιθανότητας δίδεται από 2 ( x µ ) τον τύπο f(x)= 1 e - 2 2σ όπου µ η µέση τιµή και σ η τυπική απόκλιση σ 2π Στο excel η πυκνότητα πιθανότητας δίδεται από τη συνάρτηση NORMDIST(Χ;µέση τιµή;τυπική απόκλιση;0) και η συνάρτηση κατανοµής NORMDIST(Χ;µέση τιµή;τυπική απόκλιση;1) Η παραπάνω κατανοµή συναντάται συχνά στην πράξη σε µεγάλο αριθµό ανεξαρτήτων αποτελεσµάτων όπως είναι το ύψος, το βάρος ενός συνόλου ζώων ή φυτών βαθµοί επιδόσεων σπουδαστών κ.λ.π. Οι διακριτές κατανοµές διωνυµική, poisson κ.λ.π. όταν το µέγεθος του δείγµατος είναι αρκετά µεγάλο προσεγγίζονται ικανοποιητικά από την κανονική κατανοµή Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

16 Ασκηση Ρίπτω ένα αµερόληπτο νόµισµα1000 φορές Να φτιαχτεί ο πίνακας κατανοµής για τιµές του Χ από 400 έως 600 Α) µε χρήση της διωνυµικής(=binomdist(χ;1000;0,5;0)) και Β)κανονικής κατανοµής(=normdist(χ;1000*0,5;sqrt(1000*0,5*0,5);0)) Και να συγκρίνετε τις γραφικές παραστάσεις Τυπική κανονική κατανοµή ή Ζ κατανοµή Είναι κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση 1 η πυκνότητα 2 x πιθανότητας δίδεται από τον τύπο f(x)= 1 e - 2 2π Αφού η παραπάνω κατανοµή έχει µέση τιµή 0 και οι τιµές είναι συµµετρικές γύρω από τη µέση τιµή ισχύει F(-z)=1-F(z) Η παραπάνω κατανοµή παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον διότι η µεταβλητή Χ µε κανονική κατανοµή µπορεί να µετασχηµατισθεί σε τυπική κατανοµή Ζ από τη σχέση x µ Ζ= σ Στο excel o µετασχηµατισµός ή Τυποποίηση της X σε Ζ γίνεται από τη συνάρτηση STANDARDIZE(Χ;µέση τιµή;τυπική απόκλιση) Παράδειγµα Για να γίνει τυποποίηση της µεταβλητής Χ της προηγούµενης άσκησης δηµιουργώ µια νέα µεταβλητής Ζ (=STANDARDIZE(X;0,5*1000;SQRT(0,5*0,5*1000)) και από αυτήν δηµιουργώ την τυπική κατανοµή NORMDIST(Ζ;0;1) Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

17 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ACCRINTM(Ηµερ.έναρξης;Ηµερ.λήξης;Ετήσ.Επιτόκιο;Κεφάλαιο ;παράµετρος) Μας επιστρέφει τον απλό τόκο που δηµιουργείται από το κεφάλαιο σύµφωνα µε τις ηµεροµηνίες και το ετήσιο επιτόκιο που έχουµε δώσει δηλαδή (Κεφάλαιο*Επιτόκιο*ηµέρες_τοκισµού)/ηµέρες έτους Η παράµετρος παίρνει τις τιµές 0,1,2,3,4 Στην τιµή 0 ο µήνας θεωρείται ότι έχει 30 ηµέρες και το έτος 360 (εµπορικό έτος ) Στην τιµή 1 παίρνουµε τις πραγµατικές µέρες και για το µήνα και για το έτος (πολιτικό έτος ) Στην τιµή 2 παίρνουµε τις πραγµατικές µέρες του µήνα και το έτος 360 (µικτό έτος ) Για την τιµή 3 παίρνουµε τις πραγµατικές µέρες του µήνα και το έτος 365 Για την τιµή 4 ο µήνας θεωρείται ότι έχει 30 ηµέρες και το έτος 360 (εµπορικό έτος ) FV(Επιτόκιο περιόδου;πλήθος περιόδων;ποσό δόσης;αρχική αξία ;0ή1) Μάς επιστρέφει τη µελλοντική αξία(future Value) ενός κεφαλαίου που ήδη έχουµε καταθέσει (αρχική αξία) αν στην αρχή ή στο τέλος της περιόδου καταθέτουµε ένα ποσό (ποσό δόσης) για ένα αριθµό περιόδων) ηλαδή η παραπάνω συνάρτηση υπολογίζει την αξία µιας σταθερής και ακέραιης ράντας. Η ράντα είναι σταθερή διότι οι δόσεις είναι ίσες επίσης η ράντα είναι ακέραιη διότι η περίοδος των δόσεων,περίοδος επιτοκίου και ανατοκισµού συµπίπτουν. Αν η τελευταία παράµετρος είναι 1 η δόση κατατίθεται στη αρχή κάθε περιόδου(προκαταβλητέα ράντα) που σηµαίνει ότι αν ν είναι ο αριθµός των δόσεων η πρώτη δόση ανατοκίζεται ν φορές, η δεύτερη δόση ν-1 φορές... η τελευταία 1 φορά. Αν η τελευταία παράµετρος είναι 0 η δόση κατατίθεται στη λήξη της περιόδου(ληξιπρόθεσµη ράντα) που σηµαίνει ότι αν ν είναι ο αριθµός των δόσεων η πρώτη δόση ανατοκίζεται ν-1 φορές, η δεύτερη δόση ν-2... η τελευταία δεν τοκίζεται καθόλου. Τα πρόσηµα των ποσών είναι αρνητικά όταν πρόκειται για χρήµατα που κατατίθενται ή καταβάλλονται για εκταµίευση ενώ τα χρήµατα που εισπράξεων είναι θετικοί αριθµοί. Παράδειγµα έστω ότι καταθέτω πόσα θα γίνουν µετά από 10 χρόνια αν το ετήσιο επιτόκιο είναι 2% και ανατοκισµός γίνεται κάθε 6 µήνες Επειδή το επιτόκιο είναι ετήσιο και ο ανατοκισµός 6µηνιαίως και επειδή πρέπει να συµπίπτουν τότε και το επιτόκιο γίνεται εξαµηνιαίο δηλαδή 2*6/12=1 Αντί 10 χρόνια έχω 20 εξάµηνα. Εδώ έχω µόνο παρούσα αξία δεν καταθέτω δόσεις ή το ποσό της δόσης είναι 0 άρα η τελευταία παράµετρος δεν έχει νόηµα Η συνάρτηση που δίνει το αποτέλεσµα είναι =FV(1%;20;; ;) δηλαδή ,02 Εάν τώρα έχω καταθέσει δραχµές και στην αρχή κάθε 6µήνου καταθέτω τότε ο τύπος είναι =FV(1%;20;-10000; ;1) δηλαδή ,96 ισχύει FV(1%;20;-10000; ;1)=FV(1%;20;-10000;;1) +FV(1%;20;; ;1) Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

18 PV(Επιτόκ.περιόδου;πλήθος περιόδων;ποσό δόσης;υπόλοιπ.αποπληρωµής ;0ή1) Επιστρέφει την παρούσα αξία(present Value) δηλαδή το ποσό των χρηµάτων που µπορούµε να δανειστούµε και το οποίο µπορούµε να το εξωφλήσουµε ολόκληρο ή να αφήσουµε κάποιο υπόλοιπο αν αρχίσουµε να καταθέτουµε ίσα ποσά δόσεων στην αρχή ή στο τέλος της περιόδου για ένα αριθµό περιόδων. Παράδειγµα έστω ότι για να πάρω ένα δάνειο έχω τη δυνατότητα 20 προκαταβληταίες εξαµηνιαίες δόσεις ποσού µε επιτόκιο εξαµήνου 4%. Το ποσό των χρηµάτων που µπορώ να δανειστώ και ξεπληρώνεται µε αυτόν τον τρόπο(παρούσα αξία) δίδεται από τη συνάρτηση : =PV(4%;20; ;;1) Το ποσό του δανείου που µπορείται να πάρετε µε αυτούς τους όρους είναι ,70 Ισχύει ότι ολόκληρο το ποσό του δανείου αν το καταθέσουµε µε το ίδιο επιτόκιο και για το συνολικό διάστηµα όλων των περιόδων πρέπει η µέλλουσα αξία που προκύπτει να είναι η ίδια µε αυτή των δόσεων δηλαδή FV(4%;20;; ,70;)=FV(4%;20; ;;1) Αν µετά την εξώφληση της τελευταίας δόσης θέλετε να µείνει υπόλοιπο για αποπληρωµή του δανείου ο τύπος είναι =PV(4%;20; ; ;1) και το ποσό του δανείου είναι ,59 και σε αυτή τη περίπτωση ισχύει FV(4%;20;; ,59;1)=FV(1%;20; ;;1) PMT(Επιτόκ.περιόδου;πλήθος περιόδων;ποσό δανείου;υπόλοιπ.εξώφλ. ;0ή1) Επιστρέφει το ποσό της δόσης που πρέπει να πληρώνουµε για την εξώφληση ολοκλήρου του δανείου ή µέρος αυτού. Παράδειγµα (αντίστροφο του παραδείγµατος της συνάρτησης PV) έστω ότι παίρνω ένα δάνειο ,70 και θέλω να το εξωφλήσω σε 20 εξαµηνιαίες προκαταβληταίες δόσεις µε επιτόκιο εξαµήνου 4%. Το ποσό της δόσης δίδεται από τη συνάρτηση : =PMT(4%;20; ,7;;1) και είναι NPER(Επιτόκ.περιόδου;ποσό δόσης;ποσό δανείου;υπόλοιπ.εξώφλ. ;0ή1) Επιστρέφει το πλήθος των δόσεων που πρέπει να πληρώνουµε σύµφωνα µε τα παραπάνω για την εξώφληση ολοκλήρου του δανείου ή µέρος αυτού. Παράδειγµα (αντίστροφο του παραδείγµατος της συνάρτησης PV) έστω ότι παίρνω ένα δάνειο ,70 και θέλω να το εξωφλήσω µε δόσεις των προκαταβληταίες µε επιτόκιο εξαµήνου 4%. Το πλήθος των δόσεων δίδεται από τη συνάρτηση : = NPER(4%; ; ,70;;1) και είναι 20 RATE(πλήθος δόσεων;ποσό δόσης;ποσό δανείου;υπόλοιπ.εξώφλ. ;0ή1) Επιστρέφει το επιτόκιο που ισχύει στο παραπάνω δάνειο. Παράδειγµα (αντίστροφο του παραδείγµατος της συνάρτησης PV) έστω ότι παίρνω ένα δάνειο ,70 και θέλω να το εξωφλήσω µε 20 δόσεις των προκαταβληταίες. Το επιτόκιο δίδεται από τη συνάρτηση : = RATE(20; ; ,70;;1) και είναι 4% Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

19 ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΠΕΡΙΟΧΗΣ Μαρκάρουµε την περιοχή και στη συνέχεια επιλέγουµε Εισαγωγή\ Όνοµα και δίνουµε το όνοµα της περιοχής που έχουµε επιλέξει και πληκτρολογούµε την περιοχή αν δεν την έχουµε επιλέξει και τέλος επιλέγουµε προσθήκη. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1) ηµιουργία φύλλου αποθήκης. Να δηµιουργηθούν φύλλο εργασίας αποθήκης µε όνοµα store όπως παρακάτω Η περιοχή $A$4:$A$103 να ονοµασθεί cod_stor και $A$4:$B$103 stor_cd_nm ΑΠΟΘΗΚΗ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΚΩ ΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑ ΑΓΟΡΑ ΠΩΛΗΣΗ ΥΠΟΛΟΙΠ Σ Σ Α C1-1 PENTIUM II 350 C2-1 PENTIUM III 400 L-1 LAZER J-1 INKZET M15-1 MONITOR 15 K-1 KEYBOARD C1-2 PENTIUM II 400 TV26-1 ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ 26'' ΠΠ-1 ΠΛΥΝΤΗΡΙΟ ΠΙΑΤΩΝ ΠΡ-1 ΠΛΥΝΤΗΡΙΟ ΡΟΥΧΩΝ 2) ηµιουργία φύλλου προµηθευτές. Να δηµιουργηθεί φύλλο εργασίας προµηθευτών µε όνοµα providers όπως παρακάτω Η περιοχή $A$3:$A$102 να ονοµασθεί cod_prov και $A$3:$B$102 prov_cd_nm ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΕΣ ΚΩ ΙΚΟ ΟΝΟΜΑ ΧΡΕΩΣ Σ Η XN-1 ΠΑΠΑ ΑΚΗΣ ΝΙΚ IER-1 ΤΑΜΠΑΚΑΚΗΣ ΣΗΦΗΣ XF-1 ΕΛΗΓΙΑΝΝΗΣ ΗΛΙΑΣ ΠΙΣΤΩΣ Η ΥΠΟΛΟΙΠ Ο Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

20 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΑΣ INDIRECT(Χ) Μας δίνει το περιεχόµενο του κελιού που περιέχεται στο κελί Χ. π.χ. Αν το C12 περιέχει τη λέξη XAΡΑ και A1 περιέχει το C12 (χωρίς το ίσον) τότε INDIRECT(A1)=ΧΑΡΑ CHOOSE(Χ;x1;x2;x3...) Όταν το Χ είναι κ.λ.π. δίνει αποτέλεσµα x3... κ.λ.π. αντιστοίχως. x1 x2 MATCH(X ; Περιοχή ; n) Ψάχνει να βρει τη θέση που βρίσκεται το Χ µέσα στην περιοχή που αναφέρουµε. Αν το n=0 ψάχνει για ακριβή ταύτιση του Χ. Αν το n=1 ψάχνει να βρει τον πλησιέστερο µεγαλύτερο ή ίσο του Χ. Σ' αυτή τη περίπτωση τα δεδοµένα της περιοχής πρέπει να είναι ταξινοµηµένα κατά αύξουσα σειρά. Αν το n= -1 ψάχνει να βρει τον πλησιέστερο µικρότερο ή ίσο του Χ. Σε αυτή τη περίπτωση τα δεδοµένα της περιοχής πρέπει να είναι ταξινοµηµένα κατά φθίνουσα σειρά. Αν παραλείψουµε το n τότε θεωρείται η τιµή 1. HLOOKUP(X;περιοχή;n) Ψάχνει τη πρώτη γραµµή της περιοχής για να βρει το πλησιέστερο ίσο ή µικρότερο του Χ και µας δίνει το περιεχόµενο του κελιού που βρίσκεται στην ίδια κολώνα που βρήκε το Χ και τόσες γραµµές πιο κάτω όσο είναι το n. Τα δεδοµένα της περιοχής πρέπει να είναι ταξινοµηµένα κατά αύξουσα σειρά. VLOOKUP(X;περιοχή;n) Ψάχνει τη πρώτη κολώνα της περιοχής για να βρει το πλησιέστερο ίσο ή µικρότερο του Χ και µας δίνει το περιεχόµενο του κελιού που βρίσκεται στην ίδια γραµµή αλλά n κολώνες πιο δεξιά. Τα δεδοµένα της περιοχής πρέπει να είναι ταξινοµηµένα κατά αύξουσα σειρά. CΟLUMNS(περιοχή) ίνει τον αριθµό των στηλών της περιοχής. ROWS(περιοχή) ίνει τον αριθµό των γραµµών της περιοχής. CΟLUMN(κελί) ίνει τον αριθµό της στήλης που βρίσκεται το κελί. ROW(κελί) ίνει τον αριθµό της γραµµής που βρίσκεται το κελί. INDEX(περιοχή;X;Y) Mας δίνει το περιεχόµενο του κελιού που βρίσκεται Χ γραµµές προς τα κάτω και Υ στήλες δεξιά από το πρώτο κελί της περιοχής. Π.χ. =(index(a1:d9;3;2) θα µας δώσει το περιεχόµενο του κελιού b3. Αν το Χ ή Υ είναι 0 τοτε η INDEX θα επιστρέψει ολόκληρη την κολώνα ή τη γραµµή της περιοχής που ορίζεται από το Υ ή το Χ αντίστοιχα Π.χ. =sum(index(a1:d20;0;2)) θα µας δώσει το άθροισµα b1:b20 CELL("έκφραση"; περιοχή) Mας δίνει ανάλογα µε την έκφραση διάφορες πληροφορίες σχετικά µε την περιοχή ή το πρώτο κελί της περιοχής. Οπου έκφραση είναι µία από τις παρακάτω λέξεις: address row col contents type prefix protect width format. Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

21 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Το φύλλο που ακολουθεί ονοµάζετε purchase και χρησιµοποιείται για να εισάγουµε προϊόντα στην αποθήκη µας δουλεύει για 500 αγορές Η περιοχή $A$4:$A$503 να ονοµασθεί cod_yl_pur και η περιοχή $C$4:$B$503 cod_prov_pur. ΑΓΟΡΕΣ ΥΛΙΚΟ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ ΚΩ ΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑ ΚΩ ΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΤΙΜΗ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ C1-1 PENTIUM II 350 XF-1 ΕΛΗΓΙΑΝΝΗΣ /10/1999 ΗΛΙΑΣ TV26-1 ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ 26'' XN-1 ΠΑΠΑ ΑΚΗΣ ΝΙΚ /10/1999 Στο παραπάνω φύλλο εργασίας θέλουµε να δίνουµε τον κωδικό του υλικού στο κελί Α4 και να εµφανίζεται το όνοµα του υλικού στο κελί Β4. Η συνάρτηση που γράφουµε στο κελί Β4 είναι =IF(ISBLANK(A4);" ";INDEX(STOR_CD_NM;MATCH(A4;COD_STOR;0);2)) επίσης θέλουµε να δίνουµε τον κωδικό του προµηθευτή στο κελί C4 και εµφανίζεται το όνοµα του προµηθευτή στο κελί D4.. Η συνάρτηση που γράφουµε στο κελί D4 είναι =IF(ISBLANK(C4);"";INDEX(PROV_CD_NM;MATCH(C4;COD_PROV;0);2)) Παρατηρήσεις 1)Οι παραπάνω συναρτήσεις να αντιγραφούν και στα επόµενα κελιά µέχρι τα Β504 και C504 αντίστοιχα 2)H συνάρτηση ISBLANK(κελί) δίδει αποτέλεσµα TRUE όταν το κελί είναι άδειο Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

22 Άσκηση Στο βιβλίο εργασίας που αναπτύξαµε στην προηγούµενη άσκηση να γίνουν τα παρακάτω A) να δηµιουργηθεί φύλλο εργασίας για 100 πελάτες µε όνοµα customers όπως παρακάτω.η περιοχή $A$3:$A$102 να ονοµασθεί cod_cust και η περιοχή $A$3:$B$102 να ονοµασθεί cust_cd_nm ΠΕΛΑΤΕΣ ΚΩ ΙΚΟ ΟΝΟΜΑ ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ ΥΠΟΛΟΙΠΟ Σ HR-1 ΜΑΥΡΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ Λ. 0 HR-2 ΜΙΧΑΛΑΚΗΣ ΣΤ. 0 EL-1 ΟΥΛΟΥΦΑΚΗΣ Γ. 0 0 Β) να δηµιουργηθεί φύλλο εργασίας για 500 πωλήσεις µε όνοµα sales όπως παρακάτω. Η περιοχή $A$4:$A$503 να ονοµασθεί cod_yl_sal και η περιοχή $C$4:$B$503 cod_cust_sal. ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΥΛΙΚΟ ΠΕΛΑΤΗΣ ΚΩ ΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑ ΚΩ ΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΤΙΜΗ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ C1-1 PENTIUM II 350 HR-1 ΜΑΥΡΟΓΙΑΝΝΑΚΗ /10/1999 Σ TV26-1 ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ 26'' EL-1 ΟΥΛΟΥΦΑΚΗΣ Γ /10/1999 Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

23 COUNTIF(περιοχή;συνθήκη) Επιστρέφει το πλήθος κελιών της περιοχής που ικανοποιούν τη συνθήκη. Η συνθήκη πρέπει να είναι απλή συνθήκη π.χ. ">0" ή περιεχόµενο ενός κελιού π.χ. Α1. SUMIF(περιοχή1;συνθήκη;περιοχή2) ίνει το άθροισµα των κελιών της περιοχής2 που τα αντίστοιχα κελιά της περιοχής1 ικανοποιούν τη συνθήκη ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να γραφούν οι κατάλληλες συναρτήσεις ώστε να συµπληρωθούν α)στο φύλλο εργασίας store τα τεµάχια αγοράς και πώλησης καθώς και τα υπόλοιπα τεµάχια. β)στο φύλλο εργασίας customers η πίστωση και το υπόλοιπο του πελάτη. γ)φύλλο εργασίας providers η χρέωση και το υπόλοιπο του προµηθευτή. Υπόδειξη Α)Για τη διεξαγωγή της άσκησης απαιτείται ή ονοµασία των εξής περιοχών Οι περιοχές του φύλλου εργασίας purchase $E$4:$E$503 και $F$4:$f$503 να ονοµασθούν tem_yl_pur και tim_prov_pur αντίστοιχα. Οι περιοχές του φύλλου εργασίας sales $E$4:$E$503 και $F$4:$f$503 να ονοµασθούν tem_yl_sal και tim_prov_sal αντίστοιχα. Β)Οι συναρτήσεις στην αποθήκη είναι 1)για τα τεµάχια αγοράς =IF(ISBLANK(A4);" ";SUMIF(COD_YL_PUR;A4;TEM_YL_PUR)) 2)για τα τεµάχια πώλησης =IF(ISBLANK(A4);" ";SUMIF(COD_YL_SAL;A4;TEM_YL_SAL)) 3)για τα υπόλοιπα τεµάχια =IF(ISBLANK(A4);" ";C4-D4) Γ)Οι συναρτήσεις για τους προµηθευτές είναι 1)για τη χρέωση των προµηθευτών =IF(ISBLANK(A3);"";SUMIF(COD_PROV_PUR;A3;TIM_YL_PUR)) 2)για το υπόλοιπο των προµηθευτών =IF(ISBLANK(A3);" ";C3-D3) )Οι συναρτήσεις για τους πελάτες είναι 1) Για την πίστωση των πελατών =IF(ISBLANK(A3);" ";SUMIF(COD_CUST_SAL;A3;TIM_CUST_SAL)) 2)Για το υπόλοιπο των πελατών =IF(ISBLANK(A3);" ";C3-D3) Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

24 ΣΤΑΘΕΡΟΠΟΙΗΣΗ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ Γίνετε για να σταθεροποιήσουµε ένα κοµµάτι από τις πρώτες γραµµές και πρώτες κολώνες του φύλλου εργασίας ώστε αυτό να µην κρύβετε όταν κινούµεθα µέσα σε αυτό. Για να σταθεροποιήσουµε πηγαίνουµε στο κελί που πάνω και πριν από αυτό θέλουµε να σταθεροποιήσουµε και επιλέγουµε ΠΑΡΑΘΥΡΟ /ΣΤΑΘΕΡΟΠΟΙΗΣΗ ή ΑΠΟΣΤΑΘΕΡΟΠΟΙΗΣΗ για το αναίρεση. ΑΣΚΗΣΗ Να σταθεροποιηθούν οι επικεφαλίδες όλων των φύλλων εργασίας της προηγούµενης άσκησης. ΚΛΕΙ ΩΜΑ ΠΕΡΙΟΧΗΣ Τα κελιά που περιέχουν τύπους δεν πρέπει να µεταβάλλονται κατά την χρήση του φύλλου εργασίας για αυτό πρέπει αυτά τα κελιά να κλειδώνονται από µεταβολή. Για να κλειδώσουµε µια περιοχή πρέπει να την επιλέξουµε και να ορίσουµε ότι αυτή θέλουµε να είναι κλειδωµένη από την επιλογή Μορφή \ κελιών \ προστασία και ενεργοποιούµαι την επιλογή κλειδωµένο. Για να ενεργοποιήσουµε ή να απενεργοποιήσουµε τα κλειδώµατα επιλέγουµε Εργαλεία \ προστασία Παρατήρηση Επειδή όλο το φύλλο έχει ορισθεί να είναι κλειδωµένο για αυτό πρέπει πριν κάνουµε οτιδήποτε να το επιλέξουµε και στη συνέχεια από την επιλογή µορφή\ κελιών \προστασία να απενεργοποιήσουµε το κλείδωµα. Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Να κατασκευασθούν 2 φύλλα εργασίας για να συµπληρωθεί η προηγούµενη άσκηση α) για τα χρήµατα που θα µας δίνουν οι πελάτες (Χρεώσεις πελατών) τα οποία θα ενηµερώνουν τη χρέωση του πελάτη στο φύλλο customers ΧΡΕΩΣΕΙΣ ΠΕΛΑΤΩΝ ΠEΛΑΤΗΣ ΚΩ ΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑ ΤΙΜΗ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ HR-2 ΜΙΧΑΛΑΚΗΣ ΣΤ /10/1999 EL-1 ΟΥΛΟΥΦΑΚΗΣ Γ /10/1999 β) για τα χρήµατα που θα µας δίνουµε στους προµηθευτές (πιστώσεις προµηθευτών) τα οποία θα ενηµερώνουν τη πίστωση του προµηθευτή στο φύλλο providers ΠΙΣΤΩΣΕΙΣ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΩΝ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΗΣ ΚΩ ΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑ ΤΙΜΗ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ XF-1 ΕΛΗΓΙΑΝΝΗΣ /10/1999 XN-1 ΗΛΙΑΣ ΠΑΠΑ ΑΚΗΣ ΝΙΚ /10/1999 2)Να κλειδωθούν όλες οι περιοχές των φύλλων εργασίας της άσκησης που περιέχουν τύπους καθώς και οι επικεφαλίδες. Μάθηµα Χατζάκης Ηλίας

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 Μάθημα: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη, 6 Ιουνίου 2006 07:30 10:30

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί.

Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί. Εργαστήριο 9 ο Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί. NPER Αποδίδει το πλήθος των περιόδων μιας επένδυσης,

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 4: Υπολογιστικά Φύλλα και Επεξεργασία Δεδομένων. Ομάδα Β: Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων

Εργασία 4: Υπολογιστικά Φύλλα και Επεξεργασία Δεδομένων. Ομάδα Β: Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων Εργασία 4: Υπολογιστικά Φύλλα και Επεξεργασία Δεδομένων Ομάδα Β: Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων Τι είναι τα υπολογιστικά φύλλα Λογιστικό φύλλο (spreadsheet): ο λογιστικός πίνακας, (παλαιότερα «λογιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ FV Η συνάρτηση αυτή υπολογίζει την μελλοντική αξία μιας επένδυσης βάσει περιοδικών, σταθερών πληρωμών και σταθερού επιτοκίου. =FV(επιτόκιο; αριθμός περιόδων; δόση αποπληρωμής; παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση-

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση- Μάθηµα 3 Προχωρηµένες ιδιότητες πεδίων Μάσκες εισαγωγής Οι ιδιότητες Μορφή και Μάσκα εισαγωγής περιγράφονται µαζί γιατί έχουν κοινά χαρακτηριστικά που αφορούν την εµφάνιση. Με την ιδιότητα Μορφή καθορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

3. ΔΑΝΕΙΑ. Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια

3. ΔΑΝΕΙΑ. Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια 3. ΔΑΝΕΙΑ Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια 38 3. ΔΑΝΕΙΑ Κριτήρια Αξιολόγησης Επενδύσεων 3.1 Χρήσιμες Εφαρμογές Τα δάνεια χωρίζονται σε δύο κατηγορίες τα ενιαία ή αδιαίρετα και τα ομολογιακά.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΤΟ EXCEL

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΤΟ EXCEL ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΤΟ EXCEL Ο ΗΓΟΣ ΑΥΤΟ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ I K ΗΜΗΤΡΙΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΤΟ EXCEL Ι Κ ΗΜΗΤΡΙΟΥ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΒΟΗΘΕΙΑΣ ΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή 6. Διαφορές ανάμεσα στο Excel 2010 και Excel 2013 9. Βασικές λειτουργίες 16. Βασικοί χειρισμοί 24. Τύποι, συναρτήσεις και τελεστές 32

Εισαγωγή 6. Διαφορές ανάμεσα στο Excel 2010 και Excel 2013 9. Βασικές λειτουργίες 16. Βασικοί χειρισμοί 24. Τύποι, συναρτήσεις και τελεστές 32 περιεχόμενα Εισαγωγή 6 Διαφορές ανάμεσα στο Excel 2010 και Excel 2013 9 Βασικές λειτουργίες 16 Βασικοί χειρισμοί 24 Τύποι, συναρτήσεις και τελεστές 32 Χρηματοοικονομικές συναρτήσεις 38 Αρχεία στο σύννεφο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Παράδειγµα 1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000 ευρώ, το οποίο τοκίστηκε µε ετήσιο επιτόκιο 12% για 2 χρόνια. Απάντηση: Ο τόκος ανέρχεται σε I = (100.000 0,12 2=) 24.000 ευρώ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση 14 Οικονομικές Συναρτήσεις Δάνειων

Εργαστηριακή Άσκηση 14 Οικονομικές Συναρτήσεις Δάνειων Εργαστηριακή Άσκηση 14 Οικονομικές Συναρτήσεις Δάνειων Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι να σας εξοικειώσει με μια σειρά ενσωματωμένων οικονομικών συναρτήσεων που παρέχει το Excel και είναι σχετικές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Pascal Βασικοί τύποι δεδοµένων

Pascal Βασικοί τύποι δεδοµένων Pasal Βασικοί τύποι δεδοµένων «ΜΗ ΕΝ ΠΟΛΛΟΙΣ ΟΛΙΓΑ ΛΕΓΕ, ΑΛΛ ΕΝ ΟΛΙΓΟΙΣ ΠΟΛΛΑ» Σηµαίνει: "Μη λες πολλά χωρίς ουσία, αλλά λίγα που να αξίζουν πολλά" (Πυθαγόρας) Κουλλάς Χρίστος www.oullas.om oullas 2 Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενα 1 ου εργαστηρίου

Αντικείμενα 1 ου εργαστηρίου 1.0 Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διδάσκων: Δρ. Γκόγκος Χρήστος Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος: 2013-2014 Εξάμηνο Α 1 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

a. Επιλέγουμε τις γραμμές προς διαγραφή a. Επιλέγουμε τις στήλες προς διαγραφή a. Γράφουμε σε μια στήλη μια σειρά από αριθμούς ή αλφαριθμητικά

a. Επιλέγουμε τις γραμμές προς διαγραφή a. Επιλέγουμε τις στήλες προς διαγραφή a. Γράφουμε σε μια στήλη μια σειρά από αριθμούς ή αλφαριθμητικά Τρίτο μάθημα Excel 1. Προσθήκη γραμμών a. Δίνουμε δεξί κλικ πάνω στην γραμμή όπου μας ενδιαφέρει να εισάγουμε νέα γραμμή b. Πατάμε εισαγωγή c. Μια νέα γραμμή εισάγεται 2. Προσθήκη στηλών a. Δίνουμε δεξί

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενα 6 ου εργαστηρίου

Αντικείμενα 6 ου εργαστηρίου 1.1 Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διδάσκων: Δρ. Γκόγκος Χρήστος Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος: 2013-2014 Εξάμηνο Α 6 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Παρουσίαση: Τεύκρος Μιχαηλίδης ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ Επικοινωνία info@thalesandfriends.org Ιστοσελίδα www.thalesandfriends.org Το τρίγωνο του Sierpinski Α Β Γ ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ 2 Στο

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Βασικά Στοιχεία Το αλφάβητο της C Οι βασικοί τύποι της C Δηλώσεις μεταβλητών Είσοδος/Έξοδος Βασικές εντολές της C Αλφάβητο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ "KOSTOLOGOS " Σταυριανίδης Κωνσταντίνος Μηχανικός Παραγωγής & ιοίκησης. Εισαγωγή

ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ KOSTOLOGOS  Σταυριανίδης Κωνσταντίνος Μηχανικός Παραγωγής & ιοίκησης. Εισαγωγή Εισαγωγή Η προσέγγιση του κοστολογικού προβλήµατος µίας µεταποιητικής επιχείρησης από το Λογισµικό «Κοστολόγος» στηρίζεται στην παρακάτω ανάλυση ΤΕΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΡΟΙΟΝΤΟΣ ΚΟΣΤΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΟΣΤΟΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ρ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΑΣΙΛΑΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013 1 ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΥΛΗΣ 1. Απλός τόκος 2. Ανατοκισµός 3. Ράντες 4. άνεια 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ Ι ΕΑ ΤΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Excel. Επικεφαλίδα. στήλης. Ενεργό κελί. Παράθυρο εργασιών. Γραµµή κατάστασης

Σηµειώσεις Excel. Επικεφαλίδα. στήλης. Ενεργό κελί. Παράθυρο εργασιών. Γραµµή κατάστασης 1 Εισαγωγή Λογιστικά Φύλλα Τα λογιστικά φύλλα (spreadsheets) είναι εφαρµογές στις οποίες τα αριθµητικά δεδοµένα είναι οργανωµένα σε γραµµές και στήλες, που επιτρέπουν την εύκολη και γρήγορη εκτέλεση υπολογισµών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Excel ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Εισαγωγή... 5. 1.1 Λογιστικά Φύλλα... 5. 1.2 Το κύριο παράθυρο του Excel... 5. 2. Οι βασικές εργασίες στο Excel...

Σηµειώσεις Excel ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Εισαγωγή... 5. 1.1 Λογιστικά Φύλλα... 5. 1.2 Το κύριο παράθυρο του Excel... 5. 2. Οι βασικές εργασίες στο Excel... 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή... 5 1.1 Λογιστικά Φύλλα... 5 1.2 Το κύριο παράθυρο του Excel... 5 2. Οι βασικές εργασίες στο Excel... 6 2.1 Εισαγωγή δεδοµένων... 6 2.2 Τύποι δεδοµένων... 6 2.2.1 Κείµενο...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3.5. Τύποι και Συναρτήσεις. Ειδικοί Στόχοι

Ενότητα 3.5. Τύποι και Συναρτήσεις. Ειδικοί Στόχοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : Υπολογιστικά Φύλλα Ενότητα 3.5 Ειδικοί Στόχοι Οι επιµορφούµενοι πρέπει: Να µπορούν να συντάσσουν απλούς αριθµητικούς τύπους. Να χρησιµοποιούν τις βασικές αριθµητικές συναρτήσεις. Να χρησιµοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ιαχείριση Παγίων Στοιχείων

ιαχείριση Παγίων Στοιχείων Εισαγωγή Το εγχειρίδιο αυτό αναφέρεται στην οργάνωση και διαχείριση των παγίων στοιχείων της εταιρίας σας. Η εφαρµογή τηρεί όλα τα βασικά στοιχεία των παγίων, σας επιτρέπει να παρακολουθείτε κάθε πάγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Λιακόπουλος Ιωάννης1 και Λυπηρίδης Χαράλαμπος2 1liakopoulosjohn@gmail.com, 2xarislip@hotmail.com Επιβλέπων Καθηγητής: Λάζαρος Τζήμκας tzimkaslazaros@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα