Sintaksa i semantika u logici

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Sintaksa i semantika u logici"

Transcript

1 Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51

2 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova 1.3. Sintaksa račun sudova 2. Logika prvog reda 2.1. Sintaksa jezik 2.2. Semantika logike prvog reda 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda 3. Modalna logika 3.1. Modalni sistem K 3.2. Kripkeova semantika Sintaksa i semantika u logici 2 / 51

3 1.1. Sintaksa jezik 1. L O G I K A S U D O V A Intuitivni pojam suda Sintaksa logike sudova Osnovni pojmovi: alfabet, riječ, konkatenacija, podriječ Sintaksa i semantika u logici 3 / 51

4 1.1. Sintaksa jezik Definicija 1 Alfabet logike sudova je unija skupova A 1, A 2 i A 3, pri čemu je: A 1 = {P 0, P 1, P 2,...} prebrojiv skup čije elemente nazivamo propozicionalne varijable A 2 = {,,,, } skup logičkih veznika A 3 = {( ), } skup pomoćnih simbola (zagrade i zarez). Sintaksa i semantika u logici 4 / 51

5 1.1. Sintaksa jezik Logičke veznike redom nazivamo: negacija konjunkcija disjunkcija kondicional bikondicional Sintaksa i semantika u logici 5 / 51

6 1.1. Sintaksa jezik Definicija 2 Atomarna formula logike sudova je svaka propozicionalna varijabla. Pojam formule logike sudova definiramo rekurzivno: a) svaka atomarna formula je formula; b) ako su A i B formule tada su i riječi ( A), (A B), (A B), (A B) i (A B) također formule; c) riječ alfabeta logike sudova je formula ako je nastala primjenom konačno mnogo koraka uvjeta a) i b). Sintaksa i semantika u logici 6 / 51

7 1.2. Semantika logike sudova 1.2. Semantika logike sudova Neka je A formula logike sudova te neka je {P 1,..., P n } skup svih propozicionalnih varijabli koje se pojavljuju u A. To kratko označavamo sa A(P 1,... P n ). Definicija 3 Svako preslikavanje sa skupa svih propozicionalnih varijabli u skup {0, 1}, tj. I : {P 0, P 1,...} {0, 1} nazivamo totalna interpretacija ili kratko interpretacija. Sintaksa i semantika u logici 7 / 51

8 1.2. Semantika logike sudova Ako je preslikavanje definirano na podskupu skupa propozicionalnih varijabli tada kažemo da je to parcijalna interpretacija. Kažemo da je parcijalna interpretacija I adekvatna za formulu A(P 1,..., P n ) ako je funkcija I definirana na P i za sve i = 1,..., n. Sintaksa i semantika u logici 8 / 51

9 1.2. Semantika logike sudova Definicija 4 Neka je I interpretacija (totalna ili parcijalna). Ako se radi o parcijalnoj interpretaciji I smatramo da je I adekvatna za formule na kojima se definira njena vrijednost. Tada vrijednost interpretacije I na proizvoljnoj formuli A, u oznaci I (A), definiramo rekurzivno: I ( A) = 1 ako i samo ako I (A) = 0; I (A B) = 1 ako i samo ako I (A) = 1 i I (B) = 1; I (A B) = 1 ako i samo ako I (A) = 1 ili I (B) = 1; I (A B) = 1 ako i samo ako I (A) = 0 ili I (B) = 1; I (A B) = 1 ako i samo ako I (A) = I (B). Sintaksa i semantika u logici 9 / 51

10 1.2. Semantika logike sudova Preglednije je vrijednost interpretacije na formulama definirati pomoću tablica koje se nazivaju semantičke tablice. Tada se vrijednosti interpretacije za složenije formule mogu definirati i ovako: P Q P P Q P Q P Q P Q Sintaksa i semantika u logici 10 / 51

11 1.2. Semantika logike sudova Definicija 5 Ako je vrijednost interpretacije I na formuli jednaka 1, tj. I (F ) = 1, tada kažemo da je formula F logike sudova istinita za interpretaciju I. Ako je I (F ) = 0 tada kažemo da je formula F logike sudova neistinita za interpretaciju I. Sintaksa i semantika u logici 11 / 51

12 1.2. Semantika logike sudova Definicija 6 Za formulu F logike sudova kažemo da je ispunjiva, odnosno oboriva, ako postoji interpretacija I tako da vrijedi I (F ) = 1, odnosno I (F ) = 0. Za formulu F logike sudova kažemo da je valjana ili tautologija ako je istinita za svaku interpretaciju. Za formulu F logike sudova kažemo da je antitautologija ako je neistinita za svaku interpretaciju. Sintaksa i semantika u logici 12 / 51

13 1.2. Semantika logike sudova Napomena 1 Normalne forme u logici sudova: konjunktivna i disjunktivna dobra tema za nastavu logike u srednjoj školi. Sintaksa i semantika u logici 13 / 51

14 1.3. Sintaksa račun sudova 1.3. Sintaksa račun sudova Definicija 7 Sistem RS zadan je svojim shemama aksioma i jednim pravilom izvoda. Sheme aksioma sistema RS su: (A1) A (B A) (A2) (A (B C)) ((A B) (A C)) (A3) ( B A) (A B) Jedino pravilo izvoda je modus ponens ili kratko mod pon tj. A A B. B Svaku instancu neke od shema (A1) (A3) nazivamo aksiom. Sintaksa i semantika u logici 14 / 51

15 1.3. Sintaksa račun sudova Definicija 8 Kažemo da je niz formula F 1,..., F n dokaz za formulu F u sistemu RS ako vrijedi: a) formula F n je upravo F, tj. vrijedi F n F ; b) za sve k {1,..., n} formula F k je ili aksiom ili je nastala primjenom pravila modus ponens na neke formule F i i F j, gdje su i, j < k. Kažemo da je formula F teorem sistema RS ako u RS postoji dokaz za F. Sintaksa i semantika u logici 15 / 51

16 1.3. Sintaksa račun sudova Teorem 1 (Teorem adekvatnosti za sistem RS) Svaki teorem sistema RS je valjana formula. Sintaksa i semantika u logici 16 / 51

17 1.3. Sintaksa račun sudova Teorem 2 (Teorem potpunosti za sistem RS) Svaka valjana formula logike sudova je teorem sistema RS. Sintaksa i semantika u logici 17 / 51

18 1.3. Sintaksa račun sudova Rezime o logici sudova Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem tautologija teorem potpunosti testovi valjanosti JEZIK normalne forme relacija logičke posljedice formula, potformula,... istinitost formula alfabet logike sudova interpretacije Sintaksa i semantika u logici 18 / 51

19 1.3. Sintaksa račun sudova Rezime o logici sudova Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem tautologija teorem potpunosti testovi valjanosti JEZIK normalne forme relacija logičke posljedice formula, potformula,... istinitost formula alfabet logike sudova interpretacije Sintaksa i semantika u logici 18 / 51

20 1.3. Sintaksa račun sudova Rezime o logici sudova Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem tautologija teorem potpunosti testovi valjanosti JEZIK normalne forme relacija logičke posljedice formula, potformula,... istinitost formula alfabet logike sudova interpretacije Sintaksa i semantika u logici 18 / 51

21 1.3. Sintaksa račun sudova Rezime o logici sudova Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem tautologija teorem potpunosti testovi valjanosti JEZIK normalne forme relacija logičke posljedice formula, potformula,... istinitost formula alfabet logike sudova interpretacije Sintaksa i semantika u logici 18 / 51

22 1.3. Sintaksa račun sudova Rezime o logici sudova Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem tautologija teorem potpunosti testovi valjanosti JEZIK normalne forme relacija logičke posljedice formula, potformula,... istinitost formula alfabet logike sudova interpretacije Sintaksa i semantika u logici 18 / 51

23 1.3. Sintaksa račun sudova Napomena 2 Sistem prirodne dedukcije... Sintaksa i semantika u logici 19 / 51

24 2.1. Sintaksa jezik 2. LOGIKA PRVOG REDA 2.1 Sintaksa logike prvog reda Definicija 9 Alfabet A logike prvog reda je unija skupova A 1,..., A 6 gdje su redom skupovi A i definirani s: A 1 = {v 0, v 1,...}, prebrojiv skup čije elemente nazivamo individualne varijable. A 2 = {,,,,,, }, skup logičkih simbola, koje redom nazivamo: negacija, konjunkcija, disjunkcija, kondicional, bikondicional, univerzalni i egzistencijalni kvantifikator. Sintaksa i semantika u logici 20 / 51

25 2.1. Sintaksa jezik A 3 = {R n k k : k N}, skup čije elemente nazivamo relacijski simboli. Prirodan broj n k naziva se mjesnost relacijskog simbola. Pretpostavljamo da za svaki j N ovaj skup sadrži prebrojivo mnogo relacijskih simbola mjesnosti j. A 4 = {f m k k : k J}, skup čije elemente nazivamo funkcijski simboli. Prirodan broj m k naziva se mjesnost funkcijskog simbola. Pretpostavljamo da za svaki j N ovaj skup sadrži prebrojivo mnogo funkcijskih simbola mjesnosti j. Sintaksa i semantika u logici 21 / 51

26 2.1. Sintaksa jezik A 5 = {c k : k N}, skup čije elemente nazivamo konstantski simboli. A 6 = {( ), }, skup pomoćnih simbola (lijeva i desna zagrada, te zarez). Uniju skupova relacijskih, funkcijskih i konstantskih simbola nazivamo još skup nelogičkih simbola. Sintaksa i semantika u logici 22 / 51

27 2.1. Sintaksa jezik Definicija 10 Term je riječ pripadnog alfabeta A definirana sljedećom rekurzivnom definicijom: svaka individualna varijabla i konstantski simbol su termi; ako je f n neki n mjesni funkcijski simbol i t 1,..., t n su termi, tada je riječ f n (t 1,..., t n ) term; riječ je term ako i samo ako je nastala pomoću konačno mnogo primjena prethodno dva navedena pravila. Sintaksa i semantika u logici 23 / 51

28 2.1. Sintaksa jezik Definicija 10 Term je riječ pripadnog alfabeta A definirana sljedećom rekurzivnom definicijom: svaka individualna varijabla i konstantski simbol su termi; ako je f n neki n mjesni funkcijski simbol i t 1,..., t n su termi, tada je riječ f n (t 1,..., t n ) term; riječ je term ako i samo ako je nastala pomoću konačno mnogo primjena prethodno dva navedena pravila. Sintaksa i semantika u logici 23 / 51

29 2.1. Sintaksa jezik Definicija 10 Term je riječ pripadnog alfabeta A definirana sljedećom rekurzivnom definicijom: svaka individualna varijabla i konstantski simbol su termi; ako je f n neki n mjesni funkcijski simbol i t 1,..., t n su termi, tada je riječ f n (t 1,..., t n ) term; riječ je term ako i samo ako je nastala pomoću konačno mnogo primjena prethodno dva navedena pravila. Sintaksa i semantika u logici 23 / 51

30 2.1. Sintaksa jezik Definicija 11 Ako je R n neki n mjesni relacijski simbol, i t 1,..., t n su termi, tada riječ R n (t 1,..., t n ) nazivamo atomarna formula. Sintaksa i semantika u logici 24 / 51

31 2.1. Sintaksa jezik Definicija 12 Formula je riječ pripadnog alfabeta A definirana sljedećom rekurzivnom definicijom: svaka atomarna formula je formula; ako su A i B formule tada su ( A), (A B), (A B), (A B) i (A B) također formule; ako je A formula, a x varijabla, tada su riječi ( xa) i ( xa) također formule; riječ alfabeta A je formula ako i samo ako je nastala primjenom konačno mnogo puta prethodno navedena tri pravila. Sintaksa i semantika u logici 25 / 51

32 2.1. Sintaksa jezik Definicija 12 Formula je riječ pripadnog alfabeta A definirana sljedećom rekurzivnom definicijom: svaka atomarna formula je formula; ako su A i B formule tada su ( A), (A B), (A B), (A B) i (A B) također formule; ako je A formula, a x varijabla, tada su riječi ( xa) i ( xa) također formule; riječ alfabeta A je formula ako i samo ako je nastala primjenom konačno mnogo puta prethodno navedena tri pravila. Sintaksa i semantika u logici 25 / 51

33 2.1. Sintaksa jezik Definicija 12 Formula je riječ pripadnog alfabeta A definirana sljedećom rekurzivnom definicijom: svaka atomarna formula je formula; ako su A i B formule tada su ( A), (A B), (A B), (A B) i (A B) također formule; ako je A formula, a x varijabla, tada su riječi ( xa) i ( xa) također formule; riječ alfabeta A je formula ako i samo ako je nastala primjenom konačno mnogo puta prethodno navedena tri pravila. Sintaksa i semantika u logici 25 / 51

34 2.1. Sintaksa jezik Definicija 12 Formula je riječ pripadnog alfabeta A definirana sljedećom rekurzivnom definicijom: svaka atomarna formula je formula; ako su A i B formule tada su ( A), (A B), (A B), (A B) i (A B) također formule; ako je A formula, a x varijabla, tada su riječi ( xa) i ( xa) također formule; riječ alfabeta A je formula ako i samo ako je nastala primjenom konačno mnogo puta prethodno navedena tri pravila. Sintaksa i semantika u logici 25 / 51

35 2.1. Sintaksa jezik Definicija 13 Složenost formule; potformula; slobodni i vezani nastup varijable u formuli; otvorena i zatvorena formula; supstitucije varijable u formuli s termom; term slobodan za varijablu u formuli;... Sintaksa i semantika u logici 26 / 51

36 2.2. Semantika logike prvog reda 2.2. Semantika logike prvog reda Definicija 14 Struktura je uređeni par M = (M, ϕ), gdje je M neprazni skup koji nazivamo nosač, a ϕ je preslikavanje sa skupa nelogičkih simbola koje ima sljedeća svojstva: a) svakom relacijskom simbolu R n k k ϕ(r n k k ) na M; b) svakom funkcijskom simbolu f m k k ϕ(f m k k ) sa M m k u M; pridružuje se n k mjesna relacija pridružuje se m k mjesna funkcija c) svakom konstantskom simbolu c k pridružuje se neki element ϕ(c k ) iz M. Sintaksa i semantika u logici 27 / 51

37 2.2. Semantika logike prvog reda Definicija 15 Za danu strukturu M = (M, ϕ) svaku funkciju sa skupa individualnih varijabli u nosač strukture nazivamo valuacija. Svaki uređeni par neke strukture M = (M, ϕ) i proizvoljne valuacije v na M nazivamo interpretacija. Za danu valuaciju v i varijablu x sa v x označavamo svaku valuaciju koja se podudara sa v na svim varijablama osim možda na varijabli x. Sintaksa i semantika u logici 28 / 51

38 2.2. Semantika logike prvog reda Definicija 15 Za danu strukturu M = (M, ϕ) svaku funkciju sa skupa individualnih varijabli u nosač strukture nazivamo valuacija. Svaki uređeni par neke strukture M = (M, ϕ) i proizvoljne valuacije v na M nazivamo interpretacija. Za danu valuaciju v i varijablu x sa v x označavamo svaku valuaciju koja se podudara sa v na svim varijablama osim možda na varijabli x. Sintaksa i semantika u logici 28 / 51

39 2.2. Semantika logike prvog reda Definicija 15 Za danu strukturu M = (M, ϕ) svaku funkciju sa skupa individualnih varijabli u nosač strukture nazivamo valuacija. Svaki uređeni par neke strukture M = (M, ϕ) i proizvoljne valuacije v na M nazivamo interpretacija. Za danu valuaciju v i varijablu x sa v x označavamo svaku valuaciju koja se podudara sa v na svim varijablama osim možda na varijabli x. Sintaksa i semantika u logici 28 / 51

40 2.2. Semantika logike prvog reda Definicija 16 Neka je (M, v) neka interpretacija, gdje je M = (M, ϕ). Istinitost formule F za danu interpretaciju, u oznaci M = v F, definiramo rekurzivno po složenosti formule F : ako je F atomarna formula, tj. F je oblika R(t 1,..., t n ), tada definiramo: M = v F ako i samo ako (v(t 1 ),..., v(t n )) ϕ(r); Sintaksa i semantika u logici 29 / 51

41 2.2. Semantika logike prvog reda ako je F formula oblika G tada definiramo: M = v F ako i samo ako nije M = v G; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = v A i M = v B; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = v A ili M = v B; Sintaksa i semantika u logici 30 / 51

42 2.2. Semantika logike prvog reda ako je F formula oblika G tada definiramo: M = v F ako i samo ako nije M = v G; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = v A i M = v B; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = v A ili M = v B; Sintaksa i semantika u logici 30 / 51

43 2.2. Semantika logike prvog reda ako je F formula oblika G tada definiramo: M = v F ako i samo ako nije M = v G; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = v A i M = v B; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = v A ili M = v B; Sintaksa i semantika u logici 30 / 51

44 2.2. Semantika logike prvog reda ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako ne vrijedi M = v A ili vrijedi M = v B; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako vrijedi da je M = v A ekvivalentno s M = v B; Sintaksa i semantika u logici 31 / 51

45 2.2. Semantika logike prvog reda ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako ne vrijedi M = v A ili vrijedi M = v B; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako vrijedi da je M = v A ekvivalentno s M = v B; Sintaksa i semantika u logici 31 / 51

46 2.2. Semantika logike prvog reda ako je F formula oblika xg tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = vx G za sve valuacije v x ; ako je F formula oblika xg tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = vx G za neku valuaciju v x. Sintaksa i semantika u logici 32 / 51

47 2.2. Semantika logike prvog reda ako je F formula oblika xg tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = vx G za sve valuacije v x ; ako je F formula oblika xg tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = vx G za neku valuaciju v x. Sintaksa i semantika u logici 32 / 51

48 2.2. Semantika logike prvog reda Definicija 17 Kažemo da je formula F logike prvog reda ispunjiva (oboriva) ako postoji interpretacija (M, v) tako da vrijedi M = v F (M = v F ). Kažemo da je struktura M model za formulu F ako vrijedi M = v F za sve valuacije v. Tu činjenicu označavamo sa M = F. Kažemo da je formula valjana ako je istinita za svaku interpretaciju. Sintaksa i semantika u logici 33 / 51

49 2.2. Semantika logike prvog reda Napomena 3 Preneksna normalna forma dobra tema za nastavu logike u srednjoj školi. Sintaksa i semantika u logici 34 / 51

50 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Definicija 18 Račun logike prvog reda zadan je s pet shema aksioma i dva pravila izvoda. Sheme aksioma su sljedeće: (A1) (A2) (A3) (A4) (A5) A (B A); (A (B C)) ((A B) (A C)); ( B A) (A B); xa(x) A(t/x), gdje je term t slobodan za varijablu x u formuli A; x(a B) (A xb), gdje formula A ne sadrži slobodnih nastupa varijable x. Sintaksa i semantika u logici 35 / 51

51 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Pravila izvoda su modus ponens i generalizacija, tj. A A B B i A xa. Ovako definirani sistem kratko ćemo označavati s RP. Sintaksa i semantika u logici 36 / 51

52 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Definicija 19 Neka su A 1,..., A n i A formule logike prvog reda. Kažemo da je niz formula A 1,..., A n dokaz za formulu A u sistemu RP ako vrijedi: a) formula A n je upravo A; b) za sve i {1,..., n} vrijedi jedno od: formula Ai je aksiom sistema RP; formula Ai je nastala primjenom pravila izvoda modus ponens ili generalizacije na neke formule A j i A k, pri čemu je j, k < i. Kažemo da je formula A logike prvog reda teorem sistema RP ako u RP postoji dokaz za A. Sintaksa i semantika u logici 37 / 51

53 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Teorem 3 (Teorem adekvatnosti za sistem RP) Svaki teorem sistema RP je valjana formula. Sintaksa i semantika u logici 38 / 51

54 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Teorem 4 (Gödelov teorem potpunosti) Svaka valjana formula F logike prvog reda je teorem sistema RP. Sintaksa i semantika u logici 39 / 51

55 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Rezime o logici prvog reda Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK struktura, interpretacija formula, potformula,... alfabet (signatura) Sintaksa i semantika u logici 40 / 51

56 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Rezime o logici prvog reda Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK struktura, interpretacija formula, potformula,... alfabet (signatura) Sintaksa i semantika u logici 40 / 51

57 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Rezime o logici prvog reda Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK struktura, interpretacija formula, potformula,... alfabet (signatura) Sintaksa i semantika u logici 40 / 51

58 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Rezime o logici prvog reda Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK struktura, interpretacija formula, potformula,... alfabet (signatura) Sintaksa i semantika u logici 40 / 51

59 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Rezime o logici prvog reda Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK struktura, interpretacija formula, potformula,... alfabet (signatura) Sintaksa i semantika u logici 40 / 51

60 3. Modalna logika Uvod: kritika materijalne implikacije... Jezik (propozicionalne) modalne logike: logika sudova + modalni operator Pojam formule, supstitucije,... Sintaksa i semantika u logici 41 / 51

61 3. Modalna logika Uvod: kritika materijalne implikacije... Jezik (propozicionalne) modalne logike: logika sudova + modalni operator Pojam formule, supstitucije,... Sintaksa i semantika u logici 41 / 51

62 3. Modalna logika Uvod: kritika materijalne implikacije... Jezik (propozicionalne) modalne logike: logika sudova + modalni operator Pojam formule, supstitucije,... Sintaksa i semantika u logici 41 / 51

63 3.1. Modalni sistem K Definicija 20 Modalni sistem K (S. Kripke) sadrži sljedeće aksiome: A0) sve tautologije (u novom jeziku!) A1) (A B) ( A B) Pravila izvoda sistema K su: A A B B (mod pon) i A A (nužnost) Sasvim analogno kao za sistem RS definiraju se pojmovi dokaza i teorema. Sintaksa i semantika u logici 42 / 51

64 3.2. Kripkeova semantika Definicija 21 Neka je W neki neprazan skup, te R W W proizvoljna binarna relacija. Tada uređeni par (W, R) nazivamo Kripkeov okvir ili kratko okvir. Elemente skupa W nazivamo svijetovi, a relaciju R nazivamo relacija dostiživosti. Sintaksa i semantika u logici 43 / 51

65 3.2. Kripkeova semantika Definicija 22 Kripkeov model M je uređena trojka (W, R, ), gdje je (W, R) okvir, a je binarna relacija između svijetova i formula koja ima sljedeća svojstva: w A ako i samo ako w A w A B ako i samo ako w A i w B w A B ako i samo ako w A ili w B w A B ako i samo ako w A ili w B w A B ako i samo ako w A je ekvivalentno sa w B w A ako i samo ako v(wrv povlači v A) Sintaksa i semantika u logici 44 / 51

66 3.2. Kripkeova semantika Definicija 23 Neka je M = (W, R, ) Kripkeov model. Kažemo da je neka formula A istinita na modelu M ako za sve svijetove w W vrijedi M, w A. To kratko označavamo sa M = A. Kažemo da je formula A valjana ako za sve Kripkeove modele M vrijedi M = A. Sintaksa i semantika u logici 45 / 51

67 3.2. Kripkeova semantika Teorem 5 (Teorem adekvatnosti za sistem K) Ako je modalna formula F teorem sistema K tada je formula F valjana. Sintaksa i semantika u logici 46 / 51

68 3.2. Kripkeova semantika Teorem 6 (Teorem potpunosti za sistem K) Ako je F valjana modalna formula tada je F teorem sistema K. Sintaksa i semantika u logici 47 / 51

69 3.2. Kripkeova semantika Napomena 4 Za razliku od klasične logike sudova za modalnu logiku ne postoji samo jedan istaknuti sistem (kojemu su drugi sistemi ekvivalentni). Ovdje navodimo još nekoliko najčešće razmatranih proširenja sistema K. T = K + A A S4 = T + A A S5 = T + A A Sintaksa i semantika u logici 48 / 51

70 3.2. Kripkeova semantika Napomena 5 Postoje i druge semantike za modalne logike: okolinska, topološka, algebarska, opći okviri,... Napomena 6 Neki modalni sistemi su nepotpuni u odnosu na Kripkeovu semantiku. Sintaksa i semantika u logici 49 / 51

71 3.2. Kripkeova semantika Rezime priče o modalnoj logici Sintaksa formula, potformula,... alfabet modalne logike RAČUN sistem K aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana modalna formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK Kripkeov okvir i model Semantika Sintaksa i semantika u logici 50 / 51

72 3.2. Kripkeova semantika Rezime priče o modalnoj logici Sintaksa formula, potformula,... alfabet modalne logike RAČUN sistem K aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana modalna formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK Kripkeov okvir i model Semantika Sintaksa i semantika u logici 50 / 51

73 3.2. Kripkeova semantika Rezime priče o modalnoj logici Sintaksa formula, potformula,... alfabet modalne logike RAČUN sistem K aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana modalna formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK Kripkeov okvir i model Semantika Sintaksa i semantika u logici 50 / 51

74 3.2. Kripkeova semantika Rezime priče o modalnoj logici Sintaksa formula, potformula,... alfabet modalne logike RAČUN sistem K aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana modalna formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK Kripkeov okvir i model Semantika Sintaksa i semantika u logici 50 / 51

75 3.2. Kripkeova semantika Rezime priče o modalnoj logici Sintaksa formula, potformula,... alfabet modalne logike RAČUN sistem K aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana modalna formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK Kripkeov okvir i model Semantika Sintaksa i semantika u logici 50 / 51

76 vukovic Knjiga: M. Vuković, Matematička logika, Element, Zagreb, Sintaksa i semantika u logici 51 / 51

77 vukovic Knjiga: M. Vuković, Matematička logika, Element, Zagreb, Sintaksa i semantika u logici 51 / 51

78 vukovic Knjiga: M. Vuković, Matematička logika, Element, Zagreb, Sintaksa i semantika u logici 51 / 51

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika i izračunljivost

Matematička logika i izračunljivost Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odsjek Mladen Vuković Matematička logika i izračunljivost predavanja i vježbe Zagreb, rujan, 2016. Sadržaj Predgovor v 1 Prvo predavanje Uvod i logika sudova 1 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA LOGIKA 1 skripta

MATEMATIČKA LOGIKA 1 skripta Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odjel Mladen Vuković MATEMATIČKA LOGIKA 1 skripta Četvrto, izmijenjeno i dopunjeno izdanje Zagreb, svibanj 2007. doc.dr. sc. Mladen Vuković: Matematička logika 1 Recenzenti:

Διαβάστε περισσότερα

8 Predikatski račun kao deduktivni sistem

8 Predikatski račun kao deduktivni sistem 26 8 Predikatski račun kao deduktivni sistem Neka je L neki jezik prvog reda. Da bismo odredili predikatski račun K L tipa L, prvo ćemo se dogovoriti šta će biti azbuka nad kojom radimo. Znamo da se svaka

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Predikatska logika. January 8, 2012

Predikatska logika. January 8, 2012 Predikatska logika January 8, 2012 1 O predikatskoj logici Pre nego što počnemo razmatranje predikatske logike, zadržimo se na nekoliko napomena koje će, nadamo se, pomoći da se rasčiste pre svega terminološke

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Biblioteka Prirodno - matematičkih nauka

Biblioteka Prirodno - matematičkih nauka Uvod u logiku Biblioteka Prirodno - matematičkih nauka Prof. dr Žana Kovijanić Vukićević Prof. dr Slobodan Vujošević UVOD U LOGIKU Drugo izdanje Glavni urednik Prof. dr Ilija Vujošević Recenzenti Prof.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan.

Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Iskazna algebra Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Da bi se pravila za odred ivanje istinitosti precizno formalizovala, uvodi se sledeća matematička struktura.

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA LOGIKA O MOGUĆNOSTIMA FORMALNOG METODA CID

MATEMATIČKA LOGIKA O MOGUĆNOSTIMA FORMALNOG METODA CID Slobodan Vujošević MATEMATIČKA LOGIKA O MOGUĆNOSTIMA FORMALNOG METODA CID PODGORICA 1996 Slobodan Vujošević, Matematička logika: o mogućnostima formalnog metoda ISBN 86-495-0019-6 Elektronsko izdanje Matematički

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

RIEMANNOV TEOREM. Marko Marić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: prof. dr. sc.

RIEMANNOV TEOREM. Marko Marić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: prof. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marko Marić RIEMANNOV TEOREM Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Goran Muić Zagreb, rujan, 2014. Ovaj diplomski rad obranjen

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Linearna uređenja i GO prostori

Linearna uređenja i GO prostori UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Milijana Milovanović Linearna uređenja i GO prostori -Master rad- Mentor: dr Aleksandar Pavlović Novi Sad, 2015.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente.

Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente. Zadatak predikatske logike Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente. Zbog toga se pomoću iskaznih formula ne može

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

KURS IZ MATEMATIKE I

KURS IZ MATEMATIKE I UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj. Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

sikic_logika 2009/9/3 22:30 page i #1 Logika Zvonimir Šikić

sikic_logika 2009/9/3 22:30 page i #1 Logika Zvonimir Šikić sikic_logika 2009/9/3 22:30 page i #1 Logika Zvonimir Šikić ii sikic_logika 2009/9/3 22:30 page ii #2 sikic_logika 2009/9/3 22:30 page iii #3 Sadržaj Sadržaj 1 Uvod 1 2 Logika istinosno funkcionalnih formi

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ DISKRETNE MATEMATIKE

LEKCIJE IZ DISKRETNE MATEMATIKE LEKCIJE IZ DISKRETNE MATEMATIKE Igor Ž. Milovanović Ružica M. Stanković Emina I. Milovanović Branislav M. Randjelović Sadržaj 1 Elementi matematičke logike 5 1.1 Iskaz i predikat.............................

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Vanjska simetrija kristâla

Vanjska simetrija kristâla Vanjska simetrija kristâla Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 1 / 16 Vizualna simetrija Što je simetrija?

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi

Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Vedrana Mikulić (vmikulic@math.uniri.hr) Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci 9. listopad 2008. Djelovanje grupe na skup Definicija Grupa G djeluje

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odjel Ivan Ivec SOOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Nenad Antonić Zagreb, siječnja 001. Zahvaljujem svojem mentoru doc.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα