ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ ΤΟΥΣ Ευάγγελος Παύλου Μαραγκουδάκης ΕΡΓΑΣΙΑ Που υποβλήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου ΑΘηνών ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Συμπληρωματικής Ειδίκευσης στη Στατιστική Μερικής Παρακολούθησης (Part-time) Αθήνα Δεκέμβριος

2

3 ΑΦΙΕΡΩΣΗ Η εργασία αυτή αφιερώνεται σε όλους τους δασκάλους μου του Τμήματος Στατιστικής του ΟΠΑ, που με υπομονή μας παρουσίασαν τις αρχές της Στατιστικής επιστήμης.

4

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ την κα Α. Λειβαδά για τις υποδείξεις της που με βοήθησαν σημαντικά στην ολοκλήρωση της ερασίας μου, καθώς και την ελευθερία επιλογών που μου παραχώρησε όσον αφορά την ανάπτυξή της. Ι

6 ΙΙ

7 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Γεννήθηκα στην Αθήνα και αποφοίτησα από το Φυσικό Τμήμα της ΦΜΣ Αθηνών το 98. Από το 988 έως σήμερα εργάζομαι στην ΕΛΣΤΑΤ σε διάφορα αντικείμενα μεταξύ των οποίων είναι η συλλογή στατιστικών στοιχείων, η επεξεργασία τους και η παραγωγή Στατιστικών στοιχείων σε τομείς όπως οι Δείκτες, οι Στατιστικές Υγείας κά. Παράλληλα με την στατιστική θεωρία με ενδιαφέρει ο χειρισμός δεδομένων μέσα από προγραμματιστικές εφαρμογές μικρών βάσεων δεδομένων. III

8 IV

9 V ABSTRACT Evangelos Maragkoudakis CONSTRUCTION OF COMPOSITE INDEXES AND CORRELATION OF THEIR COMPONENTS. December This work is composed of two thematic units. In the first part are presented the series of the indexes that will be used later in the work. A procedure of seasonal adjustment is taking into account in relation to the seasonality issues that are observed. The initial series are substituted by seasonal adjusted series when necessary and afterwards with the aid of multivariate analysis is described the prospective of reduction of the initial number of indexes to a smaller set of variables. In the second part three composite indexes are constructed with the whole procedure based on a widely accepted methodology: the leading, the coincident and the lagging indexes.

10 VI

11 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ευάγγελος Μαραγκουδάκης ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΙΣΩΣΩΝ ΤΟΥΣ Δεκέμβριος Η εργασία αποτελείται από δύο θεματικές ενότητες. Στην πρώτη γίνεται μία παρουσίαση και προετοιμασία των σειρών των δεικτών που θα χρησιμοποιηθούν στην κατασκευή σύνθετων δεικτών. Εξετάζεται η εποχικότητα κάθε δείκτη και παράγονται εποχικά προσαρμοσμένες σειρές. Μετά με την πολυμεταβλητή ανάλυση περιγράφεται πιθανή μείωση του αρχικού αριθμού των διαθέσιμων δεικτών. Στην δεύτερη κατασκευάζονται οι σύνθετοι δείκτες με βάση μια παραλλαγή μιας ευρέως αποδεκτής μεθοδολογίας και παρουσιάζονται οι τρείς σύνθετοι δείκτες: ο προπορευόμενος, ο συμπίπτων και ο υστερών σύνθετος δείκτης.

12 VIII

13 IX ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 3.. Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών 3.. Ανάλυση Παραγόντων 3.3. Ο Συντελεστής Άλφα Cronbach ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ 5. Γενική παρουσίαση των σύνθετων δεικτών 5. Ομαδοποίηση για την κατάρτιση σύνθετων δεικτών 5.3 Μεθοδολογία κατάρτισης σύνθετων δεικτών. 5. Εφαρμογή της μεθοδολογίας κατάρτισης σύνθετων δεικτών. Σελίδα Σελίδα Σελίδα Σελίδα Σελίδα Σελίδα 3 Σελίδα 5 Σελίδα Σελίδα 3 Σελίδα 3 Σελίδα 38 Σελίδα 39 Σελίδα

14 Σελίδα (Συνέχεια) X

15 XI ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας.: Πίνακας Συσχέτισης R των 6 δεικτών (Correlation Matrix) Πίνακας.: Πίνακας Ιδιοτιμών του R, λi Πίνακας.3 : Communalities Πίνακας. : Πίνακας συνιστωσών Σελίδα Σελίδα 8 Σελίδα 3 Σελίδα 3

16 XII

17 XIII ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Γράφημα.α. Ο δείκτης D Γράφημα.β. Ο δείκτης D Γράφημα.γ. Ο δείκτης D3 Γράφημα.δ. Ο δείκτης D Γράφημα.ε. Ο δείκτης D5 Γράφημα.ζ. Ο δείκτης D6 Γράφηματα.: Αποτελέσματα ανάλυσης εποχικότητας δεικτών D, D, D3 και D6 Γράφημα. : Ιδιοτιμές του R, λi Σελίδα 8 Σελίδα 8 Σελίδα 9 Σελίδα 9 Σελίδα Σελίδα Σελίδα Σελίδα 9

18 XIV

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε αυτή την εργασία θα εξεταστεί η συσχέτιση έξι δεικτών που παράγονται σε μηνιαία βάση από την ΕΛΣΤΑΤ. Επίσης θα παρουσιαστεί η διαδικασία κατασκευής σύνθετων δεικτών (Composite Indexes) που θα προκύψουν από αυτούς. Τα διαθέσιμα στοιχεία αναφέρονται στο διάστημα από τον Ιανουάριο του έως και τον Μάρτιο του, με μία τιμή ανά δείκτη ανά μήνα. Οι δείκτες αυτοί συμβολίζονται για συντομία με D, D, D3, D, D5 και D6. Οι μηνιαίες τιμές των μεταβλητών των δεικτών (data) είναι συγκεντρωμένες στον Πίνακα Αρχικά Δεδομένα Δεικτών και αντιστοιχούν στους δείκτες που παρουσιάζονται παρακάτω. Οι έξι δείκτες που θα χρησιμοποιηθούν είναι οι ακόλουθοι: D : Ο Δείκτης Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία D : Ο Δείκτης Βιομηχανικής Παραγωγής D3 : Ο Δείκτης Νέων Παραγγελιών στη Βιομηχανία D : Ο Δείκτης Τιμών Εισαγωγών στη Βιομηχανία D5 : Ο Δείκτης Τιμών Παραγωγού στη Βιομηχανία D6 : Ο Εναρμονισμένος Δείκτης Τιμών Καταναλωτή.. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ Οι έξι δείκτες παρουσιάζονται εδώ αναλυτικότερα τόσο εννοιολογικά όσο και μεθοδολογικά ώστε να είναι σαφέστερο τι εκφράζει ο καθένας από αυτούς. D : Ο Δείκτης Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία. Ο Δείκτης Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία είναι ένας σχετικά καινούργιος μηνιαίος δείκτης που η ΕΛΣΤΑΤ άρχισε την κατάρτισή του από τον Ιανουάριο του. Σκοπός του είναι η μέτρηση της δραστηριότητας της βιομηχανίας στην αγορά σε όρους αξίας (τζίρου). Αποτελεί μέτρο της μηνιαίας εξέλιξης του οικονομικού κύκλου των επιχειρήσεων που αφορούν την παραγωγή αγαθών και διάθεση υπηρεσιών στη βιομηχανία. Το έτος βάσης είναι το 5 (5 = ). Συνολικά καταρτίζονται πέντε μηνιαίοι δείκτες Κύκλου εργασιών στη Βιομηχανία που αφορούν: ) Το Σύνολο της Αγοράς (Δείκτης Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία) ) Την Εγχώρια Αγορά (Δείκτης Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία Εγχώριας Αγοράς)

20 3) Την Εξωτερική Αγορά (Δείκτης Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία Εξωτερικής Αγοράς - Σύνολο) ) Την Εξωτερική Αγορά Ευρωζώνης (Δείκτης Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία Εξωτερικής Αγοράς Ευρωζώνης) 5) Την Εξωτερική Αγορά εκτός Ευρωζώνης (Δείκτης Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία Εξωτερικής Αγοράς εκτός Ευρωζώνης). Από αυτούς τους πέντε δείκτες έχει επιλεγεί ο πρώτος του Συνόλου της Αγοράς σαν ο πλέον αντιπροσωπευτικός, αφού συμπεριλαμβάνει τους υπόλοιπους: Το Σύνολο της Αγοράς περιλαμβάνει την Εγχώρια Αγορά και την Εξωτερική Αγορά, ενώ η Εξωτερική Αγορά περιλαμβάνει την Αγορά Ευρωζώνης και την Αγορά εκτός Ευρωζώνης. Στην στατιστική ταξινόμηση για τις οικονομικές δραστηριότητες χρησιμοποιείται η ταξινόμηση της Eurostat NACE Rev, ενώ στο επίπεδο των τελικών παραγόμενων προϊόντων χρησιμοποιείται η ταξινόμηση της Eurostat CPA. Η έρευνα είναι δειγματοληπτική για το σύνολο της χώρας, η μονάδα δειγματοληψίας είναι η επιχείρηση / κατάστημα και το δείγμα προέρχεται από ένα συνολικό πληθυσμό επιχειρήσεων / καταστημάτων που περιλαμβάνονται α) στην ετήσια βιομηχανική έρευνα (ΕΒΕ), β) την ετήσια έρευνα παραγωγής και πωλήσεων βιομηχανικών προϊόντων (PRODCOM), γ) την ετήσια έρευνα ορυχείων και δ) την ετήσια έρευνα εξωτερικού εμπορίου, για το έτος 5. Ο τύπος υπολογισμού των δεικτών του Κύκλου Εργασιών στην Βιομηχανία είναι μία παραλλαγή του Laspeyres, με τους συντελεστές στάθμισης να υπολογίζονται σε επίπεδο τετραψήφιου, τριψήφιου, διψήφιου και μονοψήφιου κλάδου επιχειρηματικής δραστηριότητας, καθώς και σε επίπεδο 5 κύριων ομάδων βιομηχανικών κλάδων. D : Ο Δείκτης Βιομηχανικής Παραγωγής. Ο Δείκτης Βιομηχανικής Παραγωγής εκφράζει την μηνιαία μεταβολή του όγκου παραγωγής του μήνα αναφοράς ως προς το έτος βάσης στους κλάδους ορυχείων λατομείων, των μεταποιητικών βιομηχανιών και της παροχής ηλεκτρικού ρεύματος, φυσικού αερίου και νερού. Ο Δείκτης Βιομηχανικής Παραγωγής με την τελευταία αναθεώρηση, έχει έτος βάσης το 5 (5 = ). Η έρευνα είναι δειγματοληπτική και η μονάδα δειγματοληψίας είναι η επιχείρηση / κατάστημα. Το μέγεθος δείγματος είναι.68 καταστήματα από το σύνολο της χώρας, με ποσοστό κάλυψης περίπου 96% της συνολικής παραγωγής. Το δείγμα αντλείται α) από την ετήσια βιομηχανική έρευνα (ΕΒΕ), β) την ετήσια έρευνα παραγωγής και πωλήσεων βιομηχανικών προϊόντων (PRODCOM), και

21 γ) την ετήσια έρευνα ορυχείων για το έτος 5. Η στατιστική ταξινόμηση των παραγόμενων προϊόντων είναι αυτή της NACE Rev, φτάνει σε 8ψήφια ανάλυση και περιλαμβάνει 39 προϊόντα. Οι απαιτούμενες συγκρίσεις γίνονται σε φυσικές μονάδες παραγωγής ή σε αξία παραγωγής ή αξία πωλήσεων ή ανθρωποώρες ανάλογα με τον κλάδο οικονομικής δραστηριότητας. Οι συντελεστές στάθμισης που χρησιμοποιούνται για την σύνθεση των δεικτών των υποκλάδων σε δείκτες κλάδων εκφράζουν την βαρύτητα των υποκλάδων στους αντίστοιχους κλάδους που ανήκουν. Εδώ η μεταβλητή D παριστά την μηνιαία εξέλιξη του Γενικού Δείκτη Βιομηχανικής Παραγωγής. Ο τύπος υπολογισμού των δεικτών είναι αυτός του Laspeyres. D3 : Ο Δείκτης Νέων Παραγγελιών στη Βιομηχανία. Ο Δείκτης Νέων Παραγγελιών στη Βιομηχανία παρουσιάζει την εξέλιξη της ζήτησης για βιομηχανικά προϊόντα και υπηρεσίες, σαν ένδειξη της μελλοντικής παραγωγής στην βιομηχανία. Ο δείκτης αυτός άρχισε να παρουσιάζεται τον Ιανουάριο του, μαζί με τον Δείκτη Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία. Το 5 αποτελεί και εδώ το έτος βάσης, (5 = ), και συνολικά καταρτίζονται πέντε δείκτες: ) Το Σύνολο της Αγοράς (Δείκτης Νέων Παραγγελιών στη Βιομηχανία) ) Την Εγχώρια Αγορά (Δείκτης Νέων Παραγγελιών στη Βιομηχανία Εγχώριας Αγοράς) 3) Την Εξωτερική Αγορά (Δείκτης Νέων Παραγγελιών στη Βιομηχανία Εξωτερικής Αγοράς - Σύνολο) ) Την Εξωτερική Αγορά Ευρωζώνης (Δείκτης Νέων Παραγγελιών στη Βιομηχανία Εξωτερικής Αγοράς Ευρωζώνης) 5) Την Εξωτερική Αγορά εκτός Ευρωζώνης (Δείκτης Νέων Παραγγελιών στη Βιομηχανία Εξωτερικής Αγοράς εκτός Ευρωζώνης). Και εδώ έχει επιλεγεί ο πρώτος δείκτης που αφορά το σύνολο της αγοράς, ώστε η μεταβλητή D3 να αντιστοιχεί στο σύνολο της αγοράς εντός και εκτός της χώρας. Στην στατιστική ταξινόμηση για τις οικονομικές δραστηριότητες χρησιμοποιείται η ταξινόμηση της Eurostat NACE Rev, ενώ στο επίπεδο των τελικών παραγόμενων προϊόντων χρησιμοποιείται η ταξινόμηση της Eurostat CPA. Η έρευνα είναι δειγματοληπτική, η μονάδα δειγματοληψίας είναι η επιχείρηση / κατάστημα και το δείγμα αποτελείται από 55 επιχειρήσεις / καταστήματα από ένα συνολικό πληθυσμό επιχειρήσεων / καταστημάτων που περιλαμβάνονται α) στην ετήσια βιομηχανική έρευνα (ΕΒΕ), β) την ετήσια έρευνα 3

22 παραγωγής και πωλήσεων βιομηχανικών προϊόντων (PRODCOM), γ) την ετήσια έρευνα ορυχείων και δ) την ετήσια έρευνα εξωτερικού εμπορίου, για το έτος 5. Ο τύπος υπολογισμού των δεικτών του Κύκλου Εργασιών στην Βιομηχανία είναι μία παραλλαγή του Laspeyres. D : Ο Δείκτης Τιμών Εισαγωγών στη Βιομηχανία. Ο δείκτης αυτός μετρά την μηνιαία μεταβολή των τιμών των προϊόντων των τομέων ορυχείων μεταλλείων, μεταποίησης και ενέργειας που εισάγονται από το εξωτερικό και μεταβιβάζονται σε επιχειρήσεις του εσωτερικού, ανεξάρτητα του κλάδου δραστηριοποίησης των τελευταίων. Από το πεδίο κάλυψης του δείκτη εξαιρούνται οι υπηρεσίες που σχετίζονται με τις εισαγωγές. Ο δείκτης Τιμών Εισαγωγών στη Βιομηχανία έχει έτος βάσης το 5 (5 = ), είναι μηνιαίος και απαρτίζεται από επιμέρους δείκτες για τις χώρες εντός και εκτός Ευρωζώνης. ) Δείκτης Τιμών Εισαγωγών (Σύνολο) ) Δείκτης Τιμών Εισαγωγών Ευρωζώνης 3) Δείκτης Τιμών Εισαγωγών εκτός Ευρωζώνης Εδώ θα χρησιμοποιηθεί ο γενικός Δείκτης Τιμών Εισαγωγών (Σύνολο), που παριστά την μεταβλητή D, ως ο πλέον αντιπροσωπευτικός. Η ταξινόμηση των προϊόντων έχει γίνει με βάση την ταξινόμηση CPA της Eurostat, ενώ κριτήριο επιλογής προϊόντος απετέλεσε το μέγεθος της αξίας εισαγωγών (αγορών) εντός της οικονομικής δραστηριότητας. Οι συντελεστές στάθμισης για τα ερευνώμενα προϊόντα προέκυψαν από την ετήσια έρευνα εισαγωγών του Εξωτερικού Εμπορίου για το έτος 5 και προέρχονται από δειγματοληψία 38 εισαγομένων προϊόντων. Οι τιμές συγκεντρώνονται από 98 περίπου επιχειρήσεις-εισαγωγείς και είναι CIF στα σύνορα της χώρας, εξαιρουμένων των δασμών και φόρων που επιβαρύνουν τους εισαγωγείς, ενώ δεν περιλαμβάνονται τυχόν εκπτώσεις. Επίσης, οι συλλεγόμενες τιμές του μήνα αναφοράς αναφέρονται κατά κύριο λόγο στα μέσα αυτού του μήνα, και στην περίπτωση συναλλαγής σε ξένο νόμισμα οι τιμές αυτές μετατρέπονται σε Ευρώ με βάση τις μέσες μηνιαίες τιμές fixing της Τράπεζας της Ελλάδος. Ο τύπος υπολογισμού των δεικτών Τιμών Εισαγωγών στην Βιομηχανία είναι μία παραλλαγή του Laspeyres.

23 D5 : Ο Δείκτης Τιμών Παραγωγού στη Βιομηχανία. Ο Δείκτης Τιμών Παραγωγού στη Βιομηχανία έχει σκοπό τη μέτρηση της μηνιαίας μεταβολής τιμών των προϊόντων που παράγονται στην εγχώρια αγορά και διατίθενται σε αυτή ή εξάγονται. Είναι μηνιαίος δείκτης, με έτος βάσης το 5 (5 = ). Συνολικά καταρτίζονται πέντε δείκτες, οι παρακάτω: ) Ο Δείκτης Τιμών Παραγωγού στη Βιομηχανία (Σύνολο Εγχώριας και Εξωτερικής Αγοράς) ) Ο Δείκτης Τιμών Παραγωγού στη Βιομηχανία για την Εγχώρια Αγορά 3) Ο Δείκτης Τιμών Παραγωγού στη Βιομηχανία για την Εξωτερική Αγορά ) Ο Δείκτης Τιμών Παραγωγού στη Βιομηχανία για την Εξωτερική Αγορά Ευρωζώνης 5) Ο Δείκτης Τιμών Παραγωγού στη Βιομηχανία για την Εξωτερική Αγορά εκτός Ευρωζώνης Η D5 μεταβλητή αναφέρεται στον γενικό Δείκτη Τιμών Παραγωγού στη Βιομηχανία (Σύνολο Εγχώριας και Εξωτερικής Αγοράς), σαν τον πλέον αντιπροσωπευτικό. Σε επίπεδο προϊόντων η στατιστική ταξινόμηση ακολουθεί την ταξινόμηση CPA της Eurostat, ενώ σε επίπεδο κλάδων οικονομικών δραστηριοτήτων η ταξινόμηση που ακολουθείται είναι αυτή της NACE Rev της Eurostat. Το κριτήριο επιλογής των προϊόντων είναι το μέγεθος των πωλήσεων εντός της οικονομικής δραστηριότητας στην οποία υπάγεται, δηλ. επιλέγονται τα πλέον αντιπροσωπευτικά. Συγκεκριμένα παρακολουθούνται 398 εγχώρια και προϊόντα εξωτερικής αγοράς, εντός ή εκτός Ευρωζώνης. Οι συντελεστές στάθμισης προκύπτουν από την ετήσια έρευνα παραγωγής και πωλήσεων βιομηχανικών προϊόντων (RPODCOM) του έτους 5, την ετήσια έρευνα ορυχείων λατομείων και τα ετήσια στοιχεία εξαγωγών της έρευνας εξωτερικού εμπορίου για το ίδιο έτος. Οι συλλεγόμενες τιμές προέρχονται από περίπου από. επιχειρήσεις της χώρας και αφορούν παραγόμενα προϊόντα που πωλούνται σε επιχειρήσεις ανεξάρτητα εάν αυτές τα χρησιμοποιούν σαν πρώτη ύλη ή τα μεταπωλούν. Για τις τιμές των προϊόντων που διοχετεύονται στην εγχώρια αγορά συλλέγονται οι βασικές τιμές πώλησης που συμπεριλαμβάνουν δασμούς ή φόρους όχι όμως Φ.Π.Α., ενώ για την εξωτερική αγορά συλλέγονται τιμές FOB. Οι πληροφορίες για τις τιμές ενός μηνός αντιστοιχούν συνήθως σε τιμές που καταγράφονται στο μέσο του. Το βασικό κριτήριο επιλογής των επιχειρήσεων του δείγματος είναι το ύψος της αξίας των συναλλαγών που πραγματοποίησαν αυτές κατά το έτος βάσης στο εσωτερικό και το εξωτερικό της χώρας. Για κάθε επιλεγμένο προϊόν που παρακολουθείται, καθορίζονται πλήρως τα χαρακτηριστικά που προσδιορίζουν το ίδιο καθώς και την συναλλαγή που το αφορά. 5

24 Ο τύπος υπολογισμού του Δείκτη Τιμών Παραγωγού είναι μία παραλλαγή του Laspeyres. D6 : Ο Εναρμονισμένος Δείκτης Τιμών Καταναλωτή. Ο Γενικός Εναρμονισμένος Δείκτης Τιμών Καταναλωτή, είναι ένας μηνιαίος δείκτης με έτος βάσης το 5 (5 = ). Ο σκοπός αυτού του δείκτη είναι η παροχή των απαραίτητων στοιχείων για διεθνείς συγκρίσεις του πληθωρισμού, μέσω του Εθνικού Δείκτη Τιμών Καταναλωτή. Χρησιμοποιείται μία ενιαία ταξινόμηση των ειδών για τις χώρες που τον παρακολουθούν και αποτελεί μέτρο σταθερότητας των τιμών σε μία χώρα. Ο Εναρμονισμένος Δείκτης Τιμών Καταναλωτή παρουσιάζει ομοιότητες αλλά και σημαντικές διαφορές με τον Εθνικό Δείκτη Τιμών Καταναλωτή, και δεν θα πρέπει να συγκρίνεται με αυτόν. Για την κατάρτιση του δείκτη εξετάζονται οι δαπάνες ιδιωτικών νοικοκυριών, οι δαπάνες ξένων επισκεπτών και οι δαπάνες ατόμων που διαμένουν σε ιδρύματα, ενώ εξαιρούνται δαπάνες κατοίκων όταν βρίσκονται στο εξωτερικό, καθώς και δαπάνες που πραγματοποιούνται για επιχειρηματικούς (επαγγελματικούς) σκοπούς. Οι συντελεστές στάθμισης ενημερώνονται κάθε Ιανουάριο με τις τιμές του προηγούμενου Δεκεμβρίου από τους Εθνικούς Λογαριασμούς και την έρευνα Οικογενειακών Προϋπολογισμών. Οι τιμές που χρησιμοποιούνται είναι οι πραγματικά καταβαλλόμενες τιμές από τα νοικοκυριά για την αγορά αγαθών και υπηρεσιών. Ο Εναρμονισμένος Δείκτης Τιμών Καταναλωτή είναι αλυσωτός δείκτης και ο τρόπος υπολογισμού του είναι μία παραλλαγή του Laspeyres σταθερής βάσης. Οι συντελεστές στάθμισης αρχικά ορίζονται σε ψήφιο επίπεδο. Οι δώδεκα βασικές ομάδες ειδών που περιλαμβάνει ο δείκτης, είναι οι παρακάτω: Διατροφή και μη αλκοολούχα ποτά, αλκοολούχα ποτά και καπνός, ένδυση και υπόδηση, στέγαση, διαρκή αγαθά, υγεία, μεταφορές, επικοινωνίες, αναψυχή, εκπαίδευση, ξενοδοχεία καφέ και εστιατόρια, και άλλα αγαθά ή υπηρεσίες. 6

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ Πριν από την διαδικασία δημιουργίας των σύνθετων δεικτών, είναι ενδεδειγμένο να αφαιρεθεί η εποχικότητα (seasonality) από τον κάθε επιμέρους δείκτη. Τα δύο πλέον διαδεδομένα μοντέλα αφαίρεσης της εποχικότητας είναι το αθροιστικό και το πολλαπλασιαστικό. Η υιοθέτηση ενός από τα δύο καθορίζεται κυρίως από την συμπεριφορά του πλάτους (διακύμανση) της τάσης της σειράς. Εδώ θα χρησιμοποιηθεί το πολλαπλασιαστικό μοντέλο. Το πολλαπλασιαστικό μοντέλο ανάλυσης (Multiplicative decomposition) περιγράφεται ως εξής: Εάν Χ t είναι η αρχική σειρά και εκφράζεται ως Χ t = T t x S t x I t όπου Τ t η τάση, S t η εποχικότητα και Ι t η τυχαία συνιστώσα, τότε τα εποχιακά προσαρμοσμένα δεδομένα (Seasonal Adjusted Series) είναι SAS = T t x I t. Για αυτό τον σκοπό θα ακολουθηθεί η διαδικασία Seasonal Decomposition με το SPSS με την επιλογή του πολλαπλασιαστικού μοντέλου. Επειδή δεν εντοπίστηκε εποχικότητα σε όλους τους δείκτες, για την διαδικασία κατασκευής των σύνθετων δεικτών θα χρησιμοποιηθούν εποχικά προσαρμοσμένοι δείκτες μόνο αυτοί που έχουν ανιχνεύσιμη εποχική συνιστώσα. Πρώτα παίρνουμε τα γραφήματα με τις αρχικές τιμές των δεικτών, για να εξεταστεί εάν υπάρχει προφανής εποχικότητα. Στα Γράφηματα.α έως και.ζ παρουσιάζονται οι 6 δείκτες που εξετάζουμε. Από αυτά φαίνεται ότι ορισμένοι δείκτες όπως οι D και D παρουσιάζουν πιθανή εποχικότητα, ενώ για τους υπόλοιπους δεν είναι εύκολο να αποφανθεί κάποιος εάν υπάρχει.

26 Γράφημα.α. Ο δείκτης D : 9: 9: 9: 9: 8: 8: 8: 8: : : : : 6: 6: 6: 6: 5: 5: 5: 5: : : : : 3: 3: 3: 3: : : : : : : : : : : : : YEAR D Γράφημα.β. Ο δείκτης D : 9: 9: 9: 9: 8: 8: 8: 8: : : : : 6: 6: 6: 6: 5: 5: 5: 5: : : : : 3: 3: 3: 3: : : : : : : : : : : : : YEAR D 8

27 Γράφημα.γ. Ο δείκτης D3 : 9: 9: 9: 9: 8: 8: 8: 8: : : : : 6: 6: 6: 6: 5: 5: 5: 5: : : : : 3: 3: 3: 3: : : : : : : : : : : : : YEAR D3 Γράφημα.δ. Ο δείκτης D : 9: 9: 9: 9: 8: 8: 8: 8: : : : : 6: 6: 6: 6: 5: 5: 5: 5: : : : : 3: 3: 3: 3: : : : : : : : : : : : : YEAR D 9

28 Γράφημα.ε. Ο δείκτης D5 : 9: 9: 9: 9: 8: 8: 8: 8: : : : : 6: 6: 6: 6: 5: 5: 5: 5: : : : : 3: 3: 3: 3: : : : : : : : : : : : : YEAR D5 Γράφημα.ζ. Ο δείκτης D6 : 9: 9: 9: 9: 8: 8: 8: 8: : : : : 6: 6: 6: 6: 5: 5: 5: 5: : : : : 3: 3: 3: 3: : : : : : : : : : : : : YEAR D6

29 Για κάθε έναν από τους 6 δείκτες εξετάστηκαν αρχικά οι συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης (ACF) και κατόπιν οι συναρτήσεις μερικής αυτοσυσχέτισης (Partial ACF). Όπου οι συναρτήσεις μερικής αυτοσυσχέτισης παίρνουν τιμές στην υστέρηση (lag) ή κοντά σε αυτή εκτός των διαστημάτων εμπιστοσύνης (Upper Confidence Limit και Lower Confidence Limit), δεχόμαστε ότι υπάρχει ετήσια εποχικότητα που θα πρέπει να αφαιρεθεί. Εναλλακτικά, τότε η τιμή του στατιστικού Box-Ljung (Box-Ljung Statistic) παρουσιάζει στατιστικά σημαντική τιμή. Στην ομάδα Γραφημάτων. παρουσιάζουν τα αποτελέσματα των ACF και Partial ACF για τους δείκτες D, D, D3 και D6. Γράφηματα.: Αποτελέσματα ανάλυσης εποχικότητας δεικτών D, D, D3 και D6 Series: D Autocorrelations Lag Autocorrelati Box-Ljung Statistic on Std.Error(a) Value df Sig.(b)

30 D. Coefficient Upper Confidence Limit Lower Confidence Limit.5 ACF Lag Number Partial Autocorrelations Series: D Partial Autocorrelatio Lag n Std.Error

31 D. Coefficient Upper Confidence Limit Lower Confidence Limit.5 Partial ACF Lag Number Autocorrelations Series: D Lag Box-Ljung Statistic Autocorrelatio n Std.Error(a) Value df Sig.(b)

32 D. Coefficient Upper Confidence Limit Lower Confidence Limit.5 ACF Lag Number Partial Autocorrelations Series: D Partial Autocorrelati Lag on Std.Error

33 D. Coefficient Upper Confidence Limit Lower Confidence Limit.5 Partial ACF Lag Number Autocorrelations Series: D3 Autocorrelati Box-Ljung Statistic Lag on Std.Error(a) Value df Sig.(b) a The underlying process assumed is independence (white noise). b Based on the asymptotic chi-square approximation. 5

34 D3. Coefficient Upper Confidence Limit Lower Confidence Limit.5 ACF Lag Number Partial Autocorrelations Series: D3 Partial Autocorrelati Lag on Std.Error

35 D3. Coefficient Upper Confidence Limit Lower Confidence Limit.5 Partial ACF Lag Number Autocorrelations Series: D6 Autocorrelati Box-Ljung Statistic Lag on Std.Error(a) Value df Sig.(b) a The underlying process assumed is independence (white noise). b Based on the asymptotic chi-square approximation.

36 D6. Coefficient Upper Confidence Limit Lower Confidence Limit.5 ACF Lag Number Partial Autocorrelations Series: D6 Partial Autocorrelati Lag on Std.Error

37 D6. Coefficient Upper Confidence Limit Lower Confidence Limit.5 Partial ACF Lag Number Από τις τιμές που παίρνει το στατιστικό Box-Ljung για lag = για τους έξι δείκτες μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι δείκτες που χρειάζονται εποχική προσαρμογή είναι οι D, D, D3 και D6. Στον Πίνακα 3 - Τελικά Δεδομένα Δεικτών παρουσιάζεται το σύνολο των τελικών στοιχείων που χρησιμοποιήθηκαν περαιτέρω για την παραγωγή των σύνθετων δεικτών. Έτσι με βάση τα παραπάνω, για την κατάρτιση των Σύνθετων Δεικτών οι αρχικοί δείκτες D, D, D3 και D6 δεν θα χρησιμοποιηθούν και θα αντικατασταθούν αντίστοιχα από τις εποχικά προσαρμοσμένες σειρές τους, όπως προέκυψαν από το SPSS. Οι δείκτες D και D5 χρησιμοποιούνται με τις αρχικές τιμές τους. 9

38

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σε αυτό το κεφάλαιο θα περιγραφούν μερικές τεχνικές πολυμεταβλητής ανάλυσης δεδομένων (Multivariate data analysis) που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή και την ανάλυση των Σύνθετων Δεικτών. Οι κυριότερες μέθοδοι που παρουσιάζουν μάλιστα αρκετές ομοιότητες, είναι η Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών (Principal Components Analysis) και η Ανάλυση Παραγόντων (Factor Analysis). Οι τεχνικές αυτές είναι χρήσιμες όταν οι διαθέσιμες μεταβλητές έχουν μεγάλο πλήθος. Εδώ επειδή το πλήθος των μεταβλητών δεν είναι μεγάλο δεν αποτελούν μία απαραίτητη διαδικασία αλλά αναφέρονται για εμπειρικούς λόγους. Ο αντικειμενικός σκοπός τους είναι η ελάττωση του πλήθους των αρχικών μεταβλητών, χωρίς σημαντική απώλεια στατιστικής πληροφορίας. 3.. Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών (Principal components analysis - PCA) Ο αντικειμενικός σκοπός της Ανάλυσης Κύριων Συνιστωσών είναι να εξηγηθεί η μεταβλητότητα των παρατηρούμενων δεδομένων μέσω κάποιων γραμμικών συνδυασμών των αρχικών δεδομένων. Εάν υπάρχουν αρχικά Q μεταβλητές, X, X,, X Q, αρκετή από την μεταβλητότητα των δεδομένων μπορεί να εξηγηθεί με ένα μικρότερο αριθμό μεταβλητών, των Κύριων Συνιστωσών (Principal Components) ή γραμμικών σχέσεων των αρχικών δεδομένων, των Z, Z,, Z Q που είναι ασυσχέτιστες. Εδώ ακόμα έχουμε Q κύριες συνιστώσες δηλ. όσες είναι οι μεταβλητές, και πρέπει να επιλεγούν οι πρώτες P, όπου P < Q, που παρουσιάζουν ένα υψηλό βαθμό αθροιστικής μεταβλητότητας στα αρχικά δεδομένα. Z = α X + α X + + α Q X Q Z = α X + α X + + α Q X Q.. () Z Q = α Q X + α Q X + + α QQ X Q Η απουσία αυτοσυσχέτισης στα αρχικά δεδομένα είναι μία χρήσιμη ιδιότητα. Υποδηλώνει ότι οι κύριες συνιστώσες μετρούν διαφορετικές <<στατιστικές διαστάσεις>> στα δεδομένα. Όταν ο αντικειμενικός σκοπός της ανάλυσης είναι να παρουσιαστεί ένα μεγάλο σετ δεδομένων χρησιμοποιώντας λίγες μεταβλητές, κάποιος βαθμός οικονομίας μπορεί να επιτευχθεί εφαρμόζοντας την ανάλυση κύριων συνιστωσών (Principal Components Analysis PCA ) εάν η μεταβλητότητα των Q αρχικών χ μεταβλητών μπορεί να ερμηνευθεί από ένα μικρότερο αριθμό

40 Z μεταβλητών. Πρέπει να τονιστεί ότι η PCA δεν μπορεί πάντοτε να ελαττώσει τον αρχικό μεγάλο αριθμό μεταβλητών σε ένα μικρότερο αριθμό μετασχηματισμένων μεταβλητών. Εάν οι αρχικές μεταβλητές είναι ασυσχέτιστες, τότε οι ανάλυση δεν έχει αξία. Από την άλλη, μία σημαντική μείωση μεταβλητών μπορεί να επιτευχθεί όταν τα αρχικά δεδομένα είναι πολύ συσχετισμένα θετικά ή αρνητικά. Οι σταθμίσεις α ij (που επίσης καλούνται φόρτοι συνιστωσών ή παραγόντων component or factor loadings ) που εφαρμόζονται στις μεταβλητές χ j στις εξισώσεις () επιλέγονται ούτως ώστε οι κύριες συνιστώσες Z i να ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: (ι) να είναι ασυσχέτιστες (ορθογώνιες) (ιι) η πρώτη κύρια συνιστώσα να εξηγεί το μέγιστο δυνατό ποσοστό της μεταβλητότητας του συνόλου των χ, η δεύτερη κύρια συνιστώσα να εξηγεί το μέγιστο δυνατό ποσοστό της μεταβλητότητας που απομένει, κλπ έως ότου η τελευταία από τις κύριες συνιστώσες να απορροφήσει όλη την απομένουσα μεταβλητότητα που δεν ερμηνεύεται από τις προηγούμενες συνιστώσες, και α i + α i + + α iq =, i =,,, Q όπου α ij είναι οι σταθμίσεις, χ, χ,, χ Q είναι οι μεταβλητές και Q ο αριθμός των μεταβλητών. Η PCA περιλαμβάνει την εύρεση των ιδιοτιμών (eigenvalues) λ j, j =,,, Q, του δειγματικού πίνακα συνδιακύμανσης CM (covariance matrix), CM = cm cm... cm Q cm cm cm Q cm cm cm Q Q QQ όπου το διαγώνιο στοιχείο cm ii είναι η διακύμανση της χ i και cm ij είναι η συνδιακύμανση των μεταβλητών χ i και χ j. Οι ιδιοτιμές του πίνακα CM είναι οι διακυμάνσεις των κύριων συνιστωσών και μπορούν να βρεθούν λύνοντας την χαρακτηριστική εξίσωση CM λι =,

41 όπου Ι είναι ο μοναδιαίος πίνακας (identity matrix) της ίδιας τάξης με τον πίνακα CM και λ είναι το διάνυσμα των ιδιοτιμών του. Αυτό είναι δυνατό εντούτοις, μόνο όταν το Q είναι μικρό. Εάν υπάρχουν πολλές μεταβλητές η επίλυση του λ δεν είναι εύκολη, και υπάρχουν άλλες μέθοδοι. Υπάρχουν Q ιδιοτιμές, μερικές από τις οποίες μπορεί να είναι αμελητέες. Αρνητικές ιδιοτιμές δεν είναι δυνατές σε ένα πίνακα συνδιακύμανσης. Μία σημαντική ιδιότητα των ιδιοτιμών είναι ότι το άθροισμά τους ισούται με το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων του CM. Δηλ. το άθροισμα των διακυμάνσεων των κύριων συνιστωσών ισούται με το άθροισμα των διακυμάνσεων των αρχικών μεταβλητών: λ + λ + + λ Q = cm + cm + cm QQ () Για να αποτραπεί μία μεταβλητή να έχει υπερβολική επίδραση στις κύριες συνιστώσες, συνηθίζεται η κανονικοποίηση των μεταβλητών των χ ώστε να έχουν μηδενικούς μέσους και μοναδιαίες διακυμάνσεις, από την αρχή της ανάλυσης. Τότε ο πίνακας συνδιακυμάνσεων CM παίρνει την μορφή του πίνακα συσχετίσεων (correlation matrix). 3.. Ανάλυση Παραγόντων (Factor analysis - FA) Η ανάλυση παραγόντων παρουσιάζει ομοιότητες με την PCA. Έχει σκοπό να περιγράψει ένα σετ από Q μεταβλητές χ, χ,, χ Q με ένα μικρότερο αριθμό από m παράγοντες και να επισημάνει την σχέση μεταξύ αυτών των μεταβλητών. Εντούτοις, ενώ η PCA βασίζεται απλώς σε γραμμικούς συνδυασμούς στοιχείων, η FA βασίζεται σε ένα μάλλον πιο ειδικό μοντέλο. Αντίθετα με την PCA, το μοντέλο της FA υποθέτει ότι τα δεδομένα βασίζονται στους υποκείμενους παράγοντες του μοντέλου, και η μεταβλητότητα των στοιχείων μπορεί να διασπαστεί ερμηνευτικά σε κοινούς και μοναδικούς παράγοντες. Το μοντέλο δίνεται από: x = α F + α F + + α m F m + e x = α F + α F + + α m F m + e..... (3) x Q = α Q F + α Q F + + α Qm F m + e Q όπου τα x i (i =,,, Q) παριστούν τις αρχικές μεταβλητές αλλά τυποποιημένες με μηδενικό μέσο και μοναδιαία διακύμανση. Τα α i, α i,, α im είναι οι φόρτοι παραγόντων (factor loadings) που σχετίζονται με την μεταβλητή x i. Τα F, F,, F m, είναι m ασυσχέτιστοι κοινοί 3

42 παράγοντες, ο καθένας με μηδενικό μέσο και μοναδιαία διακύμανση. Τέλος τα e i είναι Q ειδικοί παράγοντες που υποτίθενται ανεξάρτητοι και ομοίως κατανεμόμενοι με μηδενικό μέσο. Εκφράζουν την διακύμανση που προσιδιάζουν στις μεταβλητές x i που δεν μπορούν να ερμηνευτούν από τους κοινούς παράγοντες. Υπάρχουν αρκετές προσεγγίσεις για να χειριστεί κανείς το μοντέλο των εξισώσεων (3) πχ οι κοινωνικότητες (communalities), οι παράγοντες μέγιστης πιθανοφάνειας (maximum likelihood factors), η μέθοδος κεντροειδών (centroid method), κλπ. Η πιο κοινή είναι η χρήση της PCA για να εξαχθούν οι πρώτες m κύριες συνιστώσες και να θεωρηθούν αυτές ως παράγοντες, αγνοώντας τις υπόλοιπες. Η ανάλυση παραγόντων κύριων συνιστωσών (principal components factor analysis) προτιμάται στην ανάπτυξη των σύνθετων δεικτών, καθώς έχει το πλεονέκτημα της απλότητας και λαμβάνει υπόψη την κατασκευή σταθμίσεων (weights) που παριστούν το πληροφοριακό περιεχόμενο των επιμέρους δεικτών. Ας σημειωθεί εντούτοις ότι διαφορετικές μέθοδοι εξαγωγής παρέχουν διαφορετικές τιμές για τους παράγοντες και για τις σταθμίσεις. Για το ζήτημα του πόσους παράγοντες πρέπει να διατηρήσουμε στην ανάλυση χωρίς να χαθεί πολύ πληροφορία, οι μεθοδολογίες διίστανται. Η απόφαση για το πότε θα σταματήσει η εξαγωγή παραγόντων εξαρτάται βασικά από το πότε έχει απομείνει λίγη <<τυχαία>> μεταβλητότητα, και είναι μάλλον αυθαίρετη. Εντούτοις, διάφορες κατευθύνσεις (stopping rules) έχουν αναπτυχθεί: Το κριτήριο Kaiser. Απόρριψη όλων των παραγόντων με ιδιοτιμές μικρότερες της μονάδας. Η απλούστερη δικαιολόγηση για αυτό είναι ότι δεν είναι λογικό να προστίθενται ένας παράγοντας που ερμηνεύει λιγότερη μεταβλητότητα από όση περιλαμβάνεται σε έναν μεμονωμένο δείκτη. Το σχεδιάγραμμα Scree. Με αυτή την μέθοδο παριστώνται με φθίνουσα διαδοχή οι ιδιοτιμές, που πέφτουν απότομα και μετά οριζοντιώνονται. Αυτή η μέθοδος συνιστά να διατηρηθούν όλες οι ιδιοτιμές που πέφτουν απότομα έως την πρώτη στην σειρά που αρχίζει η οριζοντίωση. Τα κριτήρια της εξηγούμενης μεταβλητότητας. Μερικοί ερευνητές απλά χρησιμοποιούν τον κανόνα να κρατηθούν αρκετοί παράγοντες ώστε να ερμηνεύουν το 9% (μερικές φορές το 8%) της μεταβλητότητας. Το κριτήριο Joliffe. Απορρίπτει όλους τους παράγοντες με ιδιοτιμές μικρότερες του,.

43 Συνοψίζοντας τα βήματα των ερευνητικών μεθόδων PCA/FA:. Υπολογισμός του πίνακα συνδιακύμανσης/συσχέτισης (covariance/correlation matrix): εάν η συσχέτιση μεταξύ των μεμονωμένων δεικτών είναι μικρή, είναι απίθανο να μοιράζονται κοινούς παράγοντες.. Προσδιορισμός του αριθμού των αναγκαίων παραγόντων να αναπαραστήσουν τα στοιχεία και την μέθοδο του υπολογισμού τους. 3. Περιστροφή παραγόντων για να αυξηθεί η ερμηνευσιμότητά τους (με μεγιστοποίηση των φόρτων των μεμονωμένων δεικτών σε μεμονωμένους παράγοντες) Ο Συντελεστής Άλφα Cronbach (Cronbach Coefficient Alpha). Ο συντελεστής άλφα Cronbach (ή c-alpha) είναι η πλέον κοινή εκτίμηση της εσωτερικής συνέπειας των στοιχείων σε ένα μοντέλο ή έρευνα. Εκτιμά πόσο καλά ένα σύνολο στοιχείων μετρά ένα μονοδιάστατο αντικείμενο, πχ ένα φαινόμενο. Ο c-alpha ορίζεται (): Q a = Q cov( x, x ) Q = Q var( x i j j i j j var( x) var( x) ) με i, j =,,, Q τον αριθμό των μεμονωμένων διαθέσιμων μεταβλητών και (5) x = Q x j q= το άθροισμα όλων των μεμονωμένων μεταβλητών μία χρονική στιγμή. Ο c-alpha μετρά το ποσοστό της αρχικής μεταβλητότητας του δείγματος των μεμονωμένων δεικτών λόγω της συσχέτισης των δεικτών. Εάν δεν υπάρχει συσχέτιση και οι μεμονωμένοι δείκτες είναι ανεξάρτητοι, τότε ο c-alpha είναι μηδέν, ενώ εάν οι μεμονωμένοι δείκτες συσχετίζονται πλήρως, ο c-alpha ισούται με την μονάδα. 5

44 6

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιηθούν τα εργαλεία της πολυμεταβλητής ανάλυσης που περιγράφονται στο Κεφάλαιο 3 στο σύνολο των δεδομένων των δεικτών. Ο αρχικός πίνακας των δεδομένων, είναι ένας n x p πίνακας με n σειρές (n = 3) και p στήλες (p = 6). Πρώτα υπολογίζουμε τον Πίνακα Συσχέτισης R (Correlation Matrix) που αφορά αυτόν τον πίνακα και το αποτέλεσμα φαίνεται παρακάτω στον πίνακα. Πίνακας.: Πίνακας Συσχέτισης R των 6 δεικτών (Correlation Matrix) Correlation Matrix Correlation Sig. (-tailed) D_av D_av D3_av D_av D5_av D6_av D_av D_av D3_av D_av D5_av D6_av D_av D_av D3_av D_av D5_av D6_av ή,,3,83 R =,33,6,,3,,6,3,66,336,83,6,,33,36,3,33,3,33,,989,958,6,66,36,989,,95,,336,3,958,95,

46 Από τον πίνακα R φαίνεται ότι υψηλότερες συσχετίσεις παρατηρούνται στους δείκτες D D3 (Δείκτης Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία Δείκτης Νέων Παραγγελιών στη Βιομηχανία:,83), D D (Δείκτης Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία Δείκτης Τιμών Εισαγωγών στη Βιομηχανία:,33), D D5 (Δείκτης Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία Δείκτης Τιμών Παραγωγού στη Βιομηχανία:,6), D D6 (Δείκτης Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία Εναρμονισμένος Δείκτης Τιμών Καταναλωτή:,), D D3 ( Δείκτης Βιομηχανικής Παραγωγής Δείκτης Νέων Παραγγελιών στη Βιομηχανία:,6), D D5 (Δείκτης Τιμών Εισαγωγών στη Βιομηχανία Δείκτης Τιμών Παραγωγού στη Βιομηχανία:,989), D D6 (Δείκτης Τιμών Εισαγωγών στη Βιομηχανία Εναρμονισμένος Δείκτης Τιμών Καταναλωτή:,958) και D5 D6 (Δείκτης Τιμών Παραγωγού στη Βιομηχανία Εναρμονισμένος Δείκτης Τιμών Καταναλωτή:,95). Αρχικά λοιπόν φαίνεται να υπάρχουν δύο ομάδες κύριων παραγόντων (D-D3, D-D, D-D5, D-D6, D-D3 και D-D5, D-D6, D5-D6). Μετά βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του R όπως φαίνονται στον Πίνακα.. Πίνακας.: Πίνακας Ιδιοτιμών του R, λ i Total Variance Explained Initial Eigenvalues ction Sums of Squared Loadtion Sums of Squared Load Compon Total of Variancumulative %Total of Variancumulative %Total of Variancumulative % Extraction Method: Principal Component Analysis. Από τον Πίνακα. έχουμε τις 6 ιδιοτιμές λ του R, που είναι: λ i Τιμή Ποσοστό Αθροιστικό Ποσοστό λ 3,85 6,6 6,6 λ,86 3, 95,8 λ 3,8 3,8 98,35 λ,65,9 99, 8

47 λ 5,5, 99,86 λ 6,9,, Το άθροισμα των ιδιοτιμών όπως αναμενότανε ισούται με το πλήθος των μεταβλητών, ή Σλ i = 6. Η πρώτη κύρια συνιστώσα ερμηνεύει το 6,6% (ή 3,85/6 =,66) περίπου της μεταβλητότητας, η δεύτερη το 3,% (ή,86/6 =,3) κλπ. Οι δύο πρώτες μαζί ερμηνεύουν το 95,8% της μεταβλητότητας. Οι τελευταίες κύριες συνιστώσες έχουν ιδιοτιμές μικρότερες της μονάδας και ερμηνεύουν το,% της απομένουσας μεταβλητότητας των δεδομένων. Επίσης στη μεθοδολογία αναφέρονται προϋποθέσεις κανόνες (πχ η ύπαρξη περισσότερων από παρατηρήσεων ανά μεταβλητή, η αναλογία περιπτώσεων προς τις μεταβλητές να είναι μεγαλύτερη του 3, κλπ) για την εγκυρότητα της PCA, που εδώ παραλείπονται, αλλά γενικά ικανοποιούνται. Έτσι προκύπτει ότι εάν διατηρήσουμε τους πρώτους κύριους παράγοντες εφαρμόζοντας το κριτήριο πχ Kaiser ότι κρατάμε αυτούς με ιδιοτιμές μεγαλύτερες της μονάδας, μπορούμε να ερμηνεύσουμε το 95,8% της συνολικής μεταβλητότητας των 6 αρχικών δεικτών. Η γραφική παράσταση των ιδιοτιμών φαίνεται στο Scree Plot στο Γράφημα.: Γράφημα. : Ιδιοτιμές του R, λ i Scree Plot 3 nvalue Eige 3 Component Number 5 6 9

48 Από το Scree Plot φαίνεται επίσης ότι από την τρίτη ιδιοτιμή και μετά το διάγραμμα παρουσιάζει οριζόντια συμπεριφορά. Από τις ιδιότητες των ιδιοτιμών έχουμε ότι: - Κάθε ιδιοτιμή λ i ικανοποιεί την εξίσωση det(r-λ i I) =, από την οποία προκύπτει. Όπου det(r-λ i I) η ορίζουσα του πίνακα R-λ i I, και I ταυτοτικός πίνακας (identity matrix) διαστάσεων 6x6. - To άθροισμα των ιδιοτιμών λ i είναι ίσο με p = 6, όπως προαναφέρθηκε. - Το γινόμενο των ιδιοτιμών λ i ( Π λ i ) είναι ίσο με την ορίζουσα του R, δηλ det (R) = Π λ i =,88. -5, όπου det (R) η ορίζουσα του correlation matrix. Εάν αντικαταστήσουμε την πρώτη ιδιοτιμή λ = 3,85 στην εξίσωση πινάκων (R-έχουμε I)ν =,,,3,83,33, 6, v,3,,6,3, v,83,6,,33,36,3 v3 3,85 =,33,3,33,,989,958 v,6,66,36,989,,95 v5,.336,3,958,95, v 6 Επιλύνοντας την προηγούμενη εξίσωση πινάκων παίρνουμε τα ν, ν, ν 3, ν, ν 5 και ν 6 ή το πρώτο ιδιοδιάνυσμα (eigenvector) ν, που συνδέεται με την πρώτη ιδιοτιμή λ, όπου ν = [ν ν ν 3 ν ν 5 ν 6 ] Τ. Το ν είναι μία βάση του ιδιοχώρου του R. Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία για τις υπόλοιπες 5 ιδιοτιμές λ i, βρίσκουμε τα αντίστοιχα 5 ιδιοδιανύσματα ν. i Τα ιδιοδιανύσματα αυτά αποτελούν τον ιδιοχώρο του πίνακα R. Οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυώνυμου του R είναι:, -6, 8,88, -,553,,5, -,33 και. Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: λ 6 6λ 5 + 8,88λ,553λ 3 +,5λ,33λ Μετά παίρνουμε τον 6 x 6 πίνακα V του οποίου η κάθε στήλη v i αποτελεί το ιδιοδιάνυσμα που συνδέεται με την αντίστοιχη ιδιοτιμή. Δηλαδή το πρόγραμμα μας δίνει στον πίνακα V την 3

49 λύση καθεμιάς από τις 6 προηγούμενες εξισώσεις πινάκων συνολικά. Ο πίνακας V του οποίου οι στήλες είναι τα ιδιοδιανύσματα, αποτελεί τον ιδιόχωρο (eigenspace) του πίνακα R. Ο πίνακας V όπως υπολογίζεται από το πρόγραμμα είναι: V =,55,36,3,55, 68,,5,69,653,,85,8,89,56,68,,33,,85,98,5,,8,68,9,56,,3,39,5,9,3,3,,3, Με ν = [ν ν ν 3 ν ν 5 ν 6 ] Τ = = [,55,5.89,85,9,9] Τ, ν = [ν ν ν 3 ν ν 5 ν 6 ] Τ = = [,36,69,56,98,56,3] Τ κλπ για τα υπόλοιπα ιδιοδιανύσματα, και ο συμβολισμός [Α] Τ αναφέρεται στον ανάστροφο (transpose) πίνακα του πίνακα Α. Από τις ιδιότητες του V έχουμε επίσης ότι [V] Τ V = Ι. (Όπου Ι ταυτοτικός πίνακας) Οι ιδιοτιμές του πίνακα R τοποθετημένες στην διαγώνιο ενός 6 x 6 τετραγωνικού πίνακα μας δίνουν τον πίνακα D 3,896,86, 85 D =,65,5,8 3

50 Μετά υπολογίζουμε τον 6 x 6 διαγώνιο πίνακα L /, του οποίου τα μη μηδενικά στοιχεία είναι οι τετραγωνικές ρίζες των ιδιοτιμών του πίνακα R (ή το κάθε στοιχείο του είναι η τετραγωνική ρίζα κάθε στοιχείου του D), δηλ: / L,96 =,3,3,5,6,9 Μετά υπολογίζουμε τον πίνακα S της δομής παραγόντων, σαν το γινόμενο S = V L / : S = VL /,55,5,89 =,85,9,9,36,69,56,98,56,3,3,653,68,5,,3,55,,,,3,,68,85,33,8,39,3,,96,8,,68,5,,3,3,5,6,9 ή,899,89,5666 S =,95,9685,939,8,953,6,,8,3,99,8,936,9,863,5,6,5,363,66,,9,98,35,535,6,9,656,6,6,3,65,, Ο πίνακας S παρουσιάζει τις συσχετίσεις μεταξύ των μεταβλητών και των κύριων παραγόντων, όπου οι στήλες αναφέρονται στους κύριους παράγοντες και οι γραμμές στις αρχικές μεταβλητές. Έτσι για παράδειγμα η τιμή του στοιχείου s =,899 εκφράζει την συσχέτιση του πρώτου κύριου παράγοντα με την πρώτη μεταβλητή, η τιμή του στοιχείου s = -,89 εκφράζει την συσχέτιση του πρώτου κύριου παράγοντα με την δεύτερη μεταβλητή, η 3

51 τιμή του στοιχείου s 3 =,5666 εκφράζει την συσχέτιση του πρώτου κύριου παράγοντα με την τρίτη μεταβλητή, κλπ. Εάν διατηρήσουμε τις δύο ιδιοτιμές που είναι μεγαλύτερες της μονάδας, ο πίνακας S μας δίνει τον 6 x πίνακα S:,899, 8,89,953,5666,6 S =,95,,9685,8,939,3 Το γινόμενο του S με τον ανάστροφό του είναι ο πίνακας που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της communality και τον συμβολίζουμε Com: Com= S, 899,8,89,953,5666,6,899,89,95,,8,953,9685,8,939,3,5666,95 T [ S] =,6,,9685,8,939,3 ή,9,3.86 Com =,353,8,9,3,96,68,3,88,3,86,68,996,335,3855,395,353,8,3, 88,335,3855,99,988,988,9833,9685,9688,9,3,395,9685,9688,959 Η communality αποτελείται από τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα Com, και είναι: 33

52 Μεταβλητή Communality,9,96 3,996,99 5,9833 6,959 Τον παραπάνω πίνακα με τις communalities παίρνουμε και από το SPSS, όπως φαίνεται παρακάτω στον Πίνακα.3: Πίνακας.3 : Communalities Communalities Initial Extraction Zscore(D)..9 Zscore(D)..96 Zscore(D3)..9 Zscore(D)..98 Zscore(D5)..983 Zscore(D6)..959 Extraction Method: Principal Component Analysis. Πίνακας. : Πίνακας συνιστωσών Rotated Component Matrix a Zscore(D) Zscore(D) Zscore(D3) Zscore(D) Zscore(D5) Zscore(D6) Component Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. a. Rotation converged in 3 iterations. 3

53 Η ερμηνεία των Communalities είναι ότι οι δύο πρώτες κύριες συνιστώσες ερμηνεύουν το 9,% της πρώτης μεταβλητής, το 9,6% της δεύτερης μεταβλητής, το 9,96% της τρίτης μεταβλητής, το 9,9% της τέταρτης μεταβλητής, το 98,33% της πέμπτης μεταβλητής και το 95,9% της έκτης μεταβλητής. Οι τιμές προκύπτουν σαν το άθροισμα των τετραγώνων της κάθε συνιστώσας για κάθε μεταβλητή, δηλ:,9 =,35 +,656 για την πρώτη communality,96 = (-,35) +,888 για την δεύτερη communality κλπ για τις υπόλοιπες τέσσερις. Στον πίνακα. έχουμε τους συντελεστές συσχέτισης r ij μεταξύ της i μεταβλητής και του j κύριας συνιστώσας, όπου i =,,, 6 και j =,. Κατόπιν υπολογίζουμε τον διαγώνιο 6 x 6 πίνακα L -/, του οποίου τα μη μηδενικά στοιχεία είναι οι αντίστροφοι του πίνακα L / : L /,59,39,38 = 3,993 6,99, Στη συνέχεια υπολογίζουμε τον πίνακα των συντελεστών B, ως το γινόμενο του πίνακα V με τον L -/ : B = / VL,55,36,3,55,68,,59,5,69,653,,85,8,39,89,56,68,,33,,38 =,85, 98,5,,8,68 3,993,9,56,,3,39,5 6,99,9,3,3,,3,, ή 35

54 ,3,,536,6 3,896,9,9,55,55,8,535,99,,9,598,558,3,386 B =,,8,59,88 3,9 6,963,56,,68,69,98 8,6,,85,9.99,638, 96 Τέλος για να υπολογιστούν οι factor scores, υπολογίζουμε το γινόμενο των πινάκων F = ZB, όπου ο Z πίνακας είναι ο αρχικός n x p πίνακας των δεδομένων των έξι δεικτών αλλά που έχει τυποποιηθεί. Το μέτρο συσχέτισης των αρχικών σειρών των δεικτών που προσδιορίζει ο c-alpha που δίνεται από τις σχέσεις () και (5) του κεφ. 3 υπολογίζεται ως εξής: Για κάθε χρονική στιγμή υπολογίζουμε το άθροισμα των τιμών των έξι δεικτών και παίρνουμε μία νέα σειρά από το άθροισμά τους την χ. Κατόπιν υπολογίζουμε το άθροισμα των συνδιακυμάνσεων των έξι αρχικών τιμών των δεικτών και με αντικατάσταση στον τύπο () του κεφ. 3 παίρνουμε ότι α = είναι,8 που υποδηλώνει ότι οι δείκτες αρχικά έχουν σημαντικό βαθμό συσχέτισης. 36

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ 5. Γενική παρουσίαση των σύνθετων δεικτών Γενικά ένας δείκτης είναι ένα ποσοτικό μέτρο που προκύπτει από μία σειρά παρατηρήσεων σε κάποιο δεδομένο πεδίο. Εάν προκύπτει από τιμές σε κανονικά χρονικά διαστήματα, ο δείκτης μπορεί να καταδείξει την κατεύθυνση των μεταβολών διαχρονικά. Μία από τις κυριότερες χρήσεις του είναι η κατάδειξη των τάσεων των υποκείμενων μεγεθών, πράγμα πολλαπλώς χρήσιμο όπως πχ σε ζητήματα χάραξης στρατηγικών. Ένας σύνθετος δείκτης (Composite Indicator) μορφοποιείται όταν μεμονωμένοι δείκτες συναθροίζονται σε έναν μοναδικό δείκτη βασιζόμενο σε κάποιο μοντέλο. Ο σύνθετος δείκτης ιδεωδώς θα πρέπει να αποδίδει πολυδιάστατες έννοιες οι οποίες δεν αποδίδονται από έναν μεμονωμένο δείκτη όπως ανταγωνιστικότητα, εκβιομηχάνιση, υποστηριξιμότητα κλπ. Οι σύνθετοι δείκτες έχουν όπως αναμενόταν πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Εδώ θα αναφερθούν μερικά από αυτά, που είναι: Πλεονεκτήματα: -Μπορούν να συνοψίσουν σύνθετες και πολυδιάστατες καταστάσεις. -Είναι ευκολότερα ερμηνεύσιμοι από μία ομάδα μεμονωμένων δεικτών. -Περιορίζουν το παρατηρούμενο μέγεθος από μία ομάδα δεικτών χωρίς να χάνεται η υποκείμενη βάση πληροφοριών. -Διευκολύνουν την επικοινωνία γενικά με το κοινό (πολίτες, ΜΜΕ κλπ). Μειονεκτήματα: -Μπορεί να δώσουν παραπλανητικά μηνύματα για χάραξη στρατηγικών εάν είναι ανεπαρκώς κατασκευασμένοι ή εάν παρερμηνευτούν. -Μπορεί να προκαλέσουν απλοϊκά συμπεράσματα για στρατηγικές, -Μπορεί να γίνει κακή χρήση, πχ για να υποστηριχθεί μια επιθυμητή στρατηγική, εάν η διαδικασία κατασκευής δεν είναι διαφανής και/ή λείπουν στέρεες στατιστικές ή εννοιολογικές αρχές. -Η επιλογή των αρχικών δεικτών και των σταθμίσεων μπορεί να γίνει ζήτημα πολιτικής διαμάχης. 3

56 -Μπορεί να συγκαλύψουν σοβαρές αδυναμίες σε κάποιες διαστάσεις και να αυξήσουν την δυσκολία ταυτοποίησης της κατάλληλης θεραπευτικής δράσης, εάν η διαδικασία κατασκευής δεν είναι διαφανής. -Είναι δυνατό να οδηγούν σε ακατάλληλες στρατηγικές, εάν κάποιες λειτουργικές διαστάσεις που είναι δύσκολο να μετρηθούν, αγνοούνται. Η χρησιμοποίηση των σύνθετων δεικτών πάντως γίνεται όλο και περισσότερο διαδεδομένη κάτι που οφείλεται σε μία σειρά παράγοντες όπως το αυξανόμενο ενδιαφέρον για αυτούς σε ακαδημαϊκούς κύκλους, τα ΜΜΕ, και τους εμπνευστές πολιτικών. Η αντιμετώπισή τους παρ όλα αυτά περιλαμβάνει ένα ευρύ φάσμα μεθοδολογικών προσεγγίσεων. Η ποιότητα ενός σύνθετου δείκτη καθώς και η αξιοπιστία των μηνυμάτων που μεταδίδει δεν εξαρτάται μόνο από την μεθοδολογία που χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή του αλλά κυρίως από την ποιότητα της υποδομής και των δεδομένων που χρησιμοποιήθηκαν. Οι σύνθετοι δείκτες χαρακτιρίζονται σε προπορευόμενους ή οδηγούντες (Leading Indicators), σε συμπίπτοντες (Coincident Indicators) και υστερούντες (Lagging Indicators). Παρακάτω θα περιγραφεί η μεθοδολογία της κατασκευής τους που βασίζεται στο εγχειρίδιο Business Cycle Indicators Handbook. 5. Ομαδοποίηση για την κατάρτιση σύνθετων δεικτών Όπως αναφέρθηκε οι έξη δείκτες που θα χρησιμοποιηθούν είναι μηνιαίοι δείκτες που συγκροτούνται και παρουσιάζονται από την ΕΛΣΤΑΤ, δηλ - D : Ο Δείκτης Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία - D : Ο Δείκτης Βιομηχανικής Παραγωγής - D3 : Ο Δείκτης Νέων Παραγγελιών στη Βιομηχανία - D : Ο Δείκτης Τιμών Εισαγωγών στη Βιομηχανία - D5 : Ο Δείκτης Τιμών Παραγωγού στη Βιομηχανία - D6 : Ο Εναρμονισμένος Δείκτης Τιμών Καταναλωτή. Ο χαρακτηρισμός των έξη δεικτών σε προπορευόμενους, συμπίπτοντες ή υστερούντες βασίζεται σε αντίστοιχους χαρακτηρισμούς που προτείνονται σε σχετικές παρουσιάσεις. Έτσι, οι δύο πρώτοι δείκτες D (Δείκτης Κύκλου Εργασιών στη Βιομηχανία) και D (Δείκτης Βιομηχανικής Παραγωγής) θεωρούνται συνήθως συμπίπτοντες δείκτες. 38

57 Οι τρεις επόμενοι δείκτες D3 (Δείκτης Νέων Παραγγελιών στη Βιομηχανία), D (Δείκτης Τιμών Εισαγωγών στη Βιομηχανία) και D5 (Δείκτης Τιμών Παραγωγού στη Βιομηχανία) θεωρούνται προπορευόμενοι. Ο δείκτης D6 (Εναρμονισμένος Δείκτης Τιμών Καταναλωτή) θεωρείται υστερών δείκτης. Αυτός ο φορμαλισμός δεν είναι βέβαια απόλυτος, αλλά ακολουθεί μια κοινή πρακτική που υπάρχει στην σχετική μεθοδολογία. Εδώ γίνεται αποδεκτός χωρίς περαιτέρω διερεύνηση γιατί ούτως ή άλλως ο αρχικός αριθμός των επιλεγμένων δεικτών είναι περιορισμένος, και ο σκοπός είναι να περιγραφεί η σχετική διαδικασία. Δεν είναι η αυστηρή και άρτια κατασκευή προπορευόμενων, συμπιπτόντων και υστερούντων δεικτών. Γι αυτό απαιτείται πολύ πιο αναλυτική διαδικασία σε αυτό το σημείο. Οι διαθέσιμοι δείκτες αρχικά θα πρέπει να είναι πολύ περισσότεροι. Η διαδικασία επιλογής των υποψήφιων δεικτών που θα αποτελέσουν συστατικό σε έναν από τους τρεις σύνθετους δείκτες, περιλαμβάνει ένα σημαντικό μέρος ανάλυσης για το κατά πόσον κάποιοι δείκτες εκφράζουν καλύτερα μία πραγματικότητα από κάποιους άλλους σε σχέση με το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα. Σε κάθε περίπτωση όμως αποτρέπεται κάποιος να χρησιμοποιήσει έναν δείκτη ως συστατικό ενός σύνθετου δείκτη επειδή είναι βολικός ή εύκολα προσβάσιμος. 5.3 Μεθοδολογία κατάρτισης σύνθετων δεικτών. Η κατάρτιση των σύνθετων δεικτών ακολουθεί την μεθοδολογία που χρησιμοποιούν ο Ο.Ο.Σ.Α. (OECD) στο εγχειρίδιο Handbook on Constructing Composite Indicators και το The Conference Board στο εγχειρίδιο Business Cycle Indicators Handbook. Η γενική αυτή μεθοδολογία αποτελείται από πέντε βήματα, τα οποία είναι: Βήμα ο : Ο υπολογισμός των μήνα-προς-μήνα μεταβολών, r i,t, για κάθε συνιστώσα D i,t όπου i =,,, 6. Επειδή οι αρχικοί δείκτες δεν είναι σε ποσοστιαία μορφή, θα χρησιμοποιηθεί ο συμμετρικός τύπος εκατοστιαίων μεταβολών: r i,t = * (D i,t D i,t- ) / (D i,t + D i,t- ) όπου D i,t είναι η τιμή του δείκτη D i την χρονική στιγμή t. 39

58 Βήμα ο : Προσαρμογή των μήνα-προς-μήνα μεταβολών πολλαπλασιάζοντάς τους με τον συντελεστή τυποποίησης w i (standardization factor) για κάθε συνιστώσα. Τα αποτελέσματα αυτού του βήματος είναι οι μηνιαίες συνεισφορές της κάθε συνιστώσας, c i,t : c i,t = w i * r i,t Οι συντελεστές τυποποίησης w i για κάθε συνιστώσα υπολογίζονται αρχικά για μια περίοδο τυποποίησης (standardization period). Εδώ θα χρησιμοποιηθεί ως περίοδος τυποποίησης η διετία. Αυτοί οι συντελεστές παραμένουν σταθεροί και αλλάζουν μόνο όταν αναθεωρούνται οι σύνθετοι δείκτες. Ο τρόπος υπολογισμού των συντελεστών τυποποίησης w i για κάθε συνιστώσα είναι ο εξής: Α. Πρώτα υπολογίζουμε την μέση τιμή του κάθε δείκτη D i για την περίοδο τυποποίησης. Συμβολίζουμε αυτούς τις έξη μέσους ως D im, με i =,,, 6. Β. Μετά δημιουργείται μία νέα σειρά έξη δεικτών με την αφαίρεση από την τιμή του κάθε δείκτη της τιμής του μέσου του που υπολογίστηκε παραπάνω, δηλ οι σειρές D m D, D m D,, D 6m D 6. Γ. Μετά για την κάθε σειρά D im - D i υπολογίζεται το αντίστροφο της τυπικής της απόκλισης, /stdv(d im - D i ). Δ. Τα αντίστροφα των τυπικών αποκλίσεων που υπολογίστηκαν παραπάνω /stdv(d im - D i ) για την κάθε συνιστώσα D i, σταθμίζονται με βάση την κατηγορία των δεικτών που εντάσσονται, δηλ αναλόγως εάν είναι προπορευόμενοι, συμπίπτοντες ή υστερούντες δείκτες. Αυτές οι τιμές αποτελούν τους συντελεστές τυποποίησης w i για κάθε αρχικό δείκτη D i. Βήμα 3 ο : Αθροίζονται οι προσαρμοσμένες μήνα-προς-μήνα μεταβολές c i,t του βήματος για κάθε συνιστώσα για κάθε μήνα. Αυτό το βήμα δίνει το άθροισμα των προσαρμοσμένων συνεισφορών S t : n S t = Σ C i,t i = Βήμα ο : Υπολογίζονται τα αρχικά επίπεδα του δείκτη χρησιμοποιώντας τον συμμετρικό τύπο εκατοστιαίων μεταβολών του βήματος. Ο δείκτης υπολογίζεται αναδρομικά, ξεκινώντας από την αρχική τιμή για τον πρώτο μήνα του δείγματος (Ιανουάριος ). Παριστούμε με Ι = την αρχική τιμή του δείκτη για τον

59 πρώτο μήνα. Έτσι εάν s είναι το αποτέλεσμα του βήματος 3 για τον δεύτερο μήνα, εδώ το αρχικό επίπεδο του δείκτη θα είναι Ι = Ι * ( + s ) / ( - s ) = * ( + s ) / ( - s ) Αντίστοιχα για τον επόμενο μήνα θα έχουμε Ι 3 = Ι * ( + s 3 ) / ( s 3 ) = * ( + s 3 ) / ( s 3 ) κλπ για τους υπόλοιπους μήνες των σειρών. ο Β ήμα 5 : Γίνεται αλλαγή της βάσης του δείκτη ώστε να έχει μέσο κατά το έτος βάσης. Τα αρχικά επίπεδα του δείκτη του προηγούμενου βήματος πολλαπλασιάζονται με το και διαιρούνται με τον μέσο των αρχικών επιπέδων του δείκτη που προκύπτουν για το έτος βάσης. 5. Εφαρμογή της μεθοδολογίας κατάρτισης σύνθετων δεικτών. Για την κατάρτιση των σύνθετων δεικτών θα χρησιμοποιηθούν οι έξι δείκτες D, D, D3, D, D5 και D6 από τους οποίους όπως αναφέρθηκε οι D, D, D3 και D6 είναι εποχικά προσαρμοσμένοι. ο Β ήμα : Αρχικά γίνεται ο υπολογισμός για κάθε μήνα των μήνα-προς-μήνα μεταβολών, r i,t, για κάθε συνιστώσα D i,t με βάση τον συμμετρικό τύπο εκατοστιαίων μεταβολών: r i,t = * (D i,t D i,t- ) / (D i,t + D i,t- ) όπου D i,t είναι η τιμή του δείκτη D i την χρονική στιγμή t και i =,,, 6. Με αυτόν τον τρόπο προκύπτουν έξη νέες σειρές μηνιαίων μεταβολών, με n- (δηλ ) παρατηρήσεις. ο Β ήμα : Κατόπιν πρέπει να υπολογιστούν οι συντελεστές τυποποίησης w i για κάθε μια από τις συνιστώσες των σύνθετων δεικτών στην περίοδο τυποποίησης. Ως περίοδος τυποποίησης