Σεισμολογία. Μάθημα 4: Ταλαντώσεις Κύματα

Transcript

1 Σεισμολογία Μάθημα 4: Ταλαντώσεις Κύματα Κεφ.4

2 Τι έχουμε μάθει έως τώρα. Τάση Τανυστής Ελαστικότητα Κύρια επίπεδα άξονες Παραμόρφωση Βασικές έννοιες από θεωρία παραμόρφωσης Νόμος του Ηooke Ελαστικές σταθερές Μέθοδοι μέτρησης

3 Ταλαντώσεις Κύματα Βασικές γνώσεις Κύμα ονομάζουμε μια διαταραχή που διαδίδεται μέσα από ένα μέσο με κάποια ταχύτητα. Η διαταραχή μεταφέρει ενέργεια αλλά όχι μάζα. Τα κύματα μπορεί να χρειάζονται ένα μέσο για να διαδοθούν (ήχος, θαλάσσια κύματα) αλλά είναι δυνατόν να μεταδίδονται και χωρίς αυτό (ηλεκτρομαγνητικά, φως)

4 Ταλαντώσεις Κύματα Βασικές γνώσεις Απλή Αρμονική Κίνηση Μετατόπιση x=α cos(ωt) y=a sin(ωt) Ταχύτητα - Επιτάχυνση dx Ux = = ( Aω)sin( ωt) dt d x π ω = = π f Τ ax = = ( Aω )cos( ωt) Γωνιακή ταχύτητα dt

5 Ταλαντώσεις Κύματα Βασικές γνώσεις Φάση X P =Acos(ωt) X(t)=Αcos(ωt+φ) X Q =Acos[ω(t-t 1 )] φ=ωt γωνία φάσης

6 Όταν τα σημεία ενός μέσου εξαναγκάζονται σε απλή αρμονική κίνηση κατά τη διέλευση ενός κύματος τότε το κύμα αυτό ονομάζεται μονοχρωματικό αρμονικό κύμα Για κύμα με μήκος λ και περίοδο Τ η ταχύτητα είναι v=λ/τ=λ. f (f-συχνότητα) Απλό Αρμονικό Κύμα Και το πλάτος είναι y=asin(ωt)=asin(πft) Γενικά η εξίσωση διάδοσης ενός αρμονικού κύματος είναι Y=Acos(kx-ωt) όπου k = π/λ ο κυματάριθμος,k=π/λ

7 Φθίνουσα Ταλάντωση = λx u( x, t) e cos( kx ωt) Φθίνον αρμονικό κύμα - ο συντελεστής α ελαττώνεται εκθετικά με το χρόνο Εξασθενιζόμενο αρμονικό κύμα - ο συντελεστής α ελαττώνεται εκθετικά με την απόσταση

8 Κυριότερες Ποσότητες της Κυματικής Θεωρίας

9 Χαρακτηριστικές τιμές κυματικών παραμέτρων για το φλοιό της Γης Ταχύτητα Περίοδος Μήκος κύματος Συχνότητα 6 km/sec sec V*T=1km 1/Τ=0.5Ηz

10 Πεδίο συχνοτήτων στη Σεισμολογία Ταλάντωση της Γης Δομή Μανδύα Δομή Πυρήνα Σεισμική πηγή Δομή Φλοιού Κύματα τηλεσεισμών Εκρήξεις Μικροί τοπικοί σεισμοί Δομή Μανδύα Ετερογένεια Ανισοτροπία Σεισμικότητα Τοπική Σεισμικότητα Δομή Φλοιού

11 Θεωρία Ελαστικότητας - Κυματική Εξίσωση Κάθε μεταβολή σε ένα ελαστικό μέσο (π.χ. διάρρηξη λόγω σεισμού, έκρηξη, πτώση μετεωρίτη κλπ) δημιουργεί ελαστικά κύματα. Τα κύματα αυτά είναι διαταραχές που προκαλούν τοπικές μεταβολές στην τάση και την παραμόρφωση. Για να κατανοήσουμε την διάδοση των ελαστικών κυμάτων πρέπει να περιγράψουμε κινηματικά την παραμόρφωση που υφίσταται το μέσο από την μεταβολή των τάσεων (δυνάμεων). Η σχέση ανάμεσα στην τάση και την παραμόρφωση καθορίζεται από τις ελαστικές σταθερές του μέσου. Η εξάρτηση με τον χρόνο των μεταβολών μας οδηγεί τελικά στην Κυματική Εξίσωση η οποία ουσιαστικά προκύπτει σαν συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας.

12 Κυματική εξίσωση Έστω ότι στοιχειώδες σωματίδιο με πυκνότητα ρ, όγκο δv και μάζα δm=ρδv=ρδx 1 δx δx 3.μετατίθεται από τη θέση ισορροπίας δχ 3 Η επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση x 1 είναι F 1 =δm γ 1 u1 ή αλλιώς γ 1 = t Η δύναμη F 1 είναι ίση με το άθροισμα των έξη δυνάμεων που ασκούνται στις έξι έδρες κατά τον άξονα x 1,, λαμβάνοντας υπόψη ότι η δύναμη είναι το γινόμενο της τάσης πάνω στην επιφάνεια με το εμβαδό της, και μετά από υπολογισμούς u ρ t 1 p = x 11 1 p + x 1 p + x σ ij =λ δ ij +με ij (ισότροπα υλικά) p 11 = λθ + μe11, p1 = 31 μe 3 1 u ρ t 1 = δχ δχ 1 θ ( λ + μ) + μ u1 x1 Διαφορική εξίσωση κίνησης κατά τον άξονα χ 1 προσέξτε τους δύο όρους που παριστάνουν μεταβολή όγκου (θ - ανηγμένη κυβική παραμόρφωση) και διατμητική μεταβολή (u 1 ).

13 Ομαδική και φασική ταχύτητα Η ταχύτητα διάδοσης ενός απλού αρμονικού κύματος εξαρτάται από την συχνότητά του και είναι v=πf/k Φασική ταχύτητα (c) ονομάζεται η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται μια φάση (κύμα ορισμένης συχνότητας) μέσα σε μια ομάδα κυμάτων.

14 Ομαδική και φασική ταχύτητα Ομαδική ταχύτητα (u) ονομάζουμε την ταχύτητα με την οποία διαδίδεται η όλη διατάραξη (παλμός). Η ομαδική ταχύτητα είναι η ταχύτητα με την οποία μεταφέρεται η ενέργεια του σεισμικού κύματος και προκύπτει σαν άθροισμα όλων των απλών αρμονικών κυμάτων. u = c λ d dc λ

15 Ενέργεια επίπεδου κύματος E = π T ρ A y Όπου Τ η περίοδος και Α το πλάτος Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι για δύο κύματα με το ίδιο πλάτος αυτό που έχει την μεγαλύτερη συχνότητα μεταφέρει περισσότερη ενέργεια..

16 Ποιο από τα δύο κύματα έχει μεγαλύτερη ενέργεια..?

17 Σεισμικά κύματα Κεφάλαιο 5

18 Σεισμικά κύματα ) ( u x t u + + = μ θ μ λ ρ Από την κυματική εξίσωση προκύπτει η ύπαρξη δύο κατηγοριών κυμάτων τα οποία ονομάζονται στη Σεισμολογία κύματα χώρου (body waves). Εξίσωση κίνησης 1 x u c t u = Εξίσωση κύματος που διαδίδεται κατά τον άξονα x 1

19 Σεισμικά Κύματα Επιμήκη - Κύματα P a = λ + μ ρ Ταχύτητα P κυμάτων

20 Σεισμικά Κύματα Επιμήκη Κύματα P Τα κύματα P είναι ανάλογα με τα ηχητικά κύματα Προκαλούν εναλλασσόμενες πυκνώσεις και αραιώσεις στο υλικό Διαδίδονται τόσο μέσα από στερεά όσο και από υγρά Μπορεί να ακουστούν όταν προσκρούουν στην επιφάνεια Μια τυπική ταχύτητα για τα P κύματα είναι 6km/sec

21 Σεισμικά Κύματα Επιμήκη Κύματα P

22 Σεισμικά Κύματα Επιμήκη Κύματα P

23 Σεισμικά Κύματα Εγκάρσια - Κύματα S β = μ ρ Ταχύτητα S κυμάτων μ=0 για ρευστά

24 Σεισμικά Κύματα Εγκάρσια - Κύματα S Ταξιδεύουν με μικρότερη ταχύτητα Τα υλικά σημεία του μέσου διάδοσης ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος Προκαλούν μόνο διατμητική παραμόρφωση στο μέσο διάδοσης Τυπικές ταχύτητες για το φλοιό είναι 3km/sec

25 Σεισμικά Κύματα Εγκάρσια - Κύματα S

26 Σεισμικά Κύματα Εγκάρσια - Κύματα S

27 Παραδείγματα Καταγραφών

28 Παραδείγματα Καταγραφών

29 Παραδείγματα Καταγραφών

30 Προσδιορισμός επικεντρικής απόστασης από χρόνους άφιξης P και S κυμάτων Για το φλοιό ισχύει λ=μ= dyn/cm και ρ=3gm/cm 3 Άρα α=5.5 και β=3. km/sec V x x = t p = t t V p s = p p x x Vs = ts = ts = t V s s x 5.5 x 3. t t x 3. x 5.5 s p = = x 7.6

31 Προσδιορισμός επικεντρικής απόστασης από χρόνους άφιξης P και S κυμάτων

32 Προσδιορισμός επικεντρικής απόστασης από χρόνους άφιξης P και S κυμάτων P S 15sec Απόσταση(km)=15*7.6=114km

33 Καμπύλες χρόνου διαδρομής

34 Επιφανειακά Κύματα Τα επιφανειακά κύματα ταξιδεύουν στην επιφάνεια της Γης, έχουν μεγάλα πλάτη κοντά στην επιφάνεια και ελαττώνονται έντονα όσο αυξάνεται το βάθος μέσα στη Γη. Χωρίζονται σε δύο κατηγορίες τα κύματα Rayleigh και τα κύματα Love. Τα επιφανειακά κύματα προκύπτουν από τα διαδιδόμενα παράλληλα στην επιφάνεια του εδάφους κύματα τα οποία προέρχονται από συμβολές πολλαπλών ανακλάσεων στις διεπιφάνειες εδαφικών σχηματισμών με διαφορετικές ταχύτητες, πυκνότητες

35 Επιφανειακά Κύματα Love Η κίνηση του υλικού είναι παρόμοια με αυτή των κυμάτων S Δεν υπάρχει κατακόρυφη συνιστώσα Ταξιδεύουν πιο γρήγορα από τα κύματα Rayleigh Δημιουργούνται από οριζόντια πολωμένα κύματα S, SH

36 Επιφανειακά Κύματα Love

37 Επιφανειακά Κύματα Love Η ταχύτητα των κυμάτων Love εξαρτάται από την περίοδο και επομένως παρουσιάζουν το φαινόμενο της διασποράς

38 Επιφανειακά Κύματα Rayleigh Η κίνηση του υλικού είναι «ελλειψοειδής» Ταξιδεύουν λίγο πιο αργά από τα κύματα S ~0.9β Δημιουργούνται από κύματα P και SV. Το πλάτος τους μειώνεται πολύ γρήγορα με το βάθος Παρόλο που η ταχύτητά τους δεν εξαρτάται από την περίοδο παρουσιάζουν διασπορά γιατί η επιφάνεια της Γης στην οποία διαδίδονται δεν είναι ομογενής.

39 Επιφανειακά Κύματα Rayleigh

40 Επιφανειακά Κύματα Rayleigh

41 Τι είδους κύμα είναι...?

42 Τι είδους κύμα είναι...?

43 Τι είδους κύμα είναι...?

44 Επιφανειακά Κύματα και καταστροφές

45

46 Σεισμικές Ταχύτητες a = β = σ = λ + μ ρ μ ρ λ ( λ + μ) Από τις σεισμικές ταχύτητες μπορούμε να υπολογίσουμε τις ελαστικές σταθερές Vp σ = ( Vp η = ρvs Ε = ρ( V 4 / Λόγος Poisson p V V s s ) 3V s ) Μέτρο ακαμψίας η=μ 3λ + μ Ε = μ λ + μ ή διατμητικής ελαστικότητας Μέτρο του Young ή μέτρο διαμήκους ελαστικότητας Ε

47 Σεισμικές Ταχύτητες Η ταχύτητα εξαρτάται από Ορυκτολογική σύσταση Πορώδες και είδος ρευστών Βαθμός και τρόπος ρηγμάτωσης Βάθος

48 Σεισμικές Ταχύτητες

49 Εξασθένηση - Απόσβεση Η μεταβολή του πλάτους των κυματομορφών με την απόσταση ονομάζεται εξασθένιση και απόσβεση

50 Γεωμετρική Εξασθένιση E = π T ρ A y π ρay E = T πρα1 4πr1 ( ) = 4πr ( Τ Α /Α 1 =r 1 /r πρα Τ ) Ενέργεια σε κάθε κέλυφος Δηλαδή τα σεισμικά πλάτη ελαττώνονται αντιστρόφως ανάλογα με την απόσταση από την εστία. Το φαινόμενο ονομάζεται γεωμετρική εξασθένιση. Η γεωμετρική εξασθένιση είναι μικρότερη για τα επιφανειακά κύματα.

51 Απόσβεση - Ανελαστικότητα

52 Απόσβεση - Ανελαστικότητα Ο παράγοντας ποιότητας Q εισάγεται για να περιγραφεί ποσοτικά η απόσβεση, δίνεται από τη σχέση, π = Q ΔΑ Α = ΔΕ Ε όπου ΔΑ η μεταβολή του σεισμικού πλάτους και ΔΕ η μεταβολή της ελαστικής ενέργειας μέσα σε μια περίοδο.

53 Ποσοτική Περιγραφή της Εξασθένισης (απόσβεσης) - Συντελεστής εξασθένισης Για ένα εξασθενιζόμενο αρμονικό κύμα ισχύει F(x,t)=e -αx e -i(kx-ωt) Όπου α ο συντελεστής εξασθένισης, και όπου το εκάστοτε πλάτος θα είναι Α=e -αx da=-αe -αx dx da/a=-αdx ΔΑ/Α=-αλ ΔΑ/Α=-αcT Συνδυάζοντας με την σχέση που δίνει τον παράγοντα ποιότητας Q π = Q ΔΑ Α = ΔΕ Ε Q = π αct = πf ac a = πf Qc O συντελεστής εξασθένισης είναι αντιστρόφως ανάλογος του παράγοντα ποιότητας Q

54 Απόσβεση - Ανελαστικότητα Οι κύριες αιτίες απόσβεσης είναι λόγω Ανελαστικότητας (α) Διασκορπισμού, σκέδαση από ασυνέχειες του μέσου διάδοσης (s) 1 Q = Q Q s a

55 Παραδείγματα Παράγοντα Q

56 Κατανομή του Q

57 Πρόβλημα Υπολογίστε πόση απόσταση χρειάζεται να διανύσει ένα σεισμικό κύμα συχνότητας 30Hz για να ελαττωθεί στο 1/10 του αρχικού πλάτους για ένα μέσο με ταχύτητα P κυμάτων 470m/sec και Q=17.5. πf a = Qc = = Α=e -αx =1/10 x=1.790m

58 Tsunami (θαλάσσια σεισμικά κύματα) Tsu- λιμάνι nami-κύμα 'Kanagawa Wave' by Hokusai

59 Πως προκαλούνται.? Σεισμούς Κατολισθήσεις Ηφαίστεια Μετεωρίτες

60 θαλάσσια σεισμικά κύματα Παπαζάχος κ.α, 005 Η ταχύτητα διάδοσης ενός θαλασσίου σεισμικού κύματος δίνεται από την παρακάτω σχέση u = gh Όπου h το ύψος της στήλης του νερού, για ένα βάθος νερού περίπου 5 km Ταχύτητα διάδοσης είναι ~800km/h και το μήκος κύματος (για περίοδο 15min) είναι 00km

61 Αποτελέσματα.

62 Αποτελέσματα. ~30m

63 Stromboli

64 Sumatra 004

65 Σενάρια..!!??

66

67 Krakatau 1883.

68

69 Chixulub Crater

70 θαλάσσια σεισμικά κύματα στην Ελλάδα