ΜΕΤΡΑ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΤΡΑ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΤΡΑ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Γεώργιος Ι. Κουτσοχέρας ιλωµατική Εργασία ου υοβλήθηκε στο Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Ειστήµης του Πανειστηµίου Πειραιώς ως µέρος των ααιτήσεων για την αόκτηση του Μετατυχιακού ιλώµατος Ειδίκευσης στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πειραιάς Σετέµβριος 00

2

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΤΡΑ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Γεώργιος Ι. Κουτσοχέρας ιλωµατική Εργασία ου υοβλήθηκε στο Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Ειστήµης του Πανειστηµίου Πειραιώς ως µέρος των ααιτήσεων για την αόκτηση του Μετατυχιακού ιλώµατος Ειδίκευσης στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πειραιάς Σετέµβριος 00

4 Η αρούσα ιλωµατική Εργασία εγκρίθηκε οµόφωνα αό την Τριµελή Εξεταστική Ειτροή ου ορίσθηκε αό την ΓΣΕΣ του Τµήµατος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Ειστήµης του Πανειστηµίου Πειραιώς στην υ αριθµ... συνεδρίασή του σύµφωνα µε τον Εσωτερικό Κανονισµό Λειτουργίας του Προγράµµατος Μετατυχιακών Σουδών στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Τα µέλη της Ειτροής ήταν: - Πααιωάννου Τάκης (Ειβλέων) - Κατέρη Μαρία - Τζαβελάς Γεώργιος Η έγκριση της ιλωµατικής Εργασίας αό το Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Ειστήµης του Πανειστηµίου Πειραιώς δεν υοδηλώνει αοδοχή των γνωµών του συγγραφέα.

5 UNIVERITY OF PIRAEU D EPARTMEN T OF TATITI A N D INURANE IENE P O TGRADUATE PR O G R A M IN A PPLIED T ATITI MEAURE OF AOIATION AND MEAURE OF YMMETRY AYMMETRY FOR ONTINGENY TABLE By George I. Koutsocheras Mc Dssertaton submtted to the Department of tatstcs and Insurance cence of the Unversty of Praeus n partal fulfllment of the requrements for the degree of Master of cence n Appled tatstcs Praeus, Greece eptember 00

6

7 Πληροφορία είναι η σηµασία ου δίνει ο άνθρωος στα δεδοµένα laude hannon, (948)

8

9 Ευχαριστίες Ευχαριστώ θερµά τον ειβλέοντα καθηγητή µου κ. Πααιωάννου Τ., για την υοµονή και την αµέριστη υοστήριξη και βοήθεια ου µου ροσέφερε κατά την διάρκεια της συγγραφής της αρούσας εργασίας. Με την ενθάρρυνση και καθοδήγησή του κατάφερα να εµβαθύνω στο γνωστικό αντικείµενο, το οοίο η εργασία διαραγµατεύεται και να ανατύξω εραιτέρω το ενδιαφέρον µου για την Στατιστική. Ειλέον, ευχαριστώ ιδιαιτέρως την κα. Κατέρη Μ. και τον κ. Τζαβελά Γ., για την συµµετοχή τους στην Τριµελή Εξεταστική Ειτροή και τα εοικοδοµητικά τους σχόλια. Στο σηµείο αυτό, θα ήθελα είσης να εκφράσω τις ευχαριστίες µου στον Professor Mr Tomzawa. για το ενδιαφέρον ου έδειξε, ικανοοιώντας ανιδιοτελώς το αίτηµά µου. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω τον Γεράσιµο, τον Γιώργο, την Κυριακή, την Ζωή, τον Μάνο, τον Alex, την Ευδοκία και τον John D., για όσα χωρίς να γνωρίζουν ροσέφεραν.

10

11 Περίληψη Υοκειµενικές εκτιµήσεις της οιότητας ζωής, του όνου, της ικανότητας κτλ, είναι συχνές στις κλινικές έρευνες. Στην ραγµατικότητα, σκοός κάθε ερευνητικής ροσάθειας, είναι να ανακαλύψει σηµαντικές σχέσεις ή συνάφειες, µεταξύ των µεταβλητών. Όµως, σανίως είναι αρκετό να γνωρίζουµε µόνο την ύαρξη κάοιας σχέσης, κι έτσι οι έρευνες εικεντρώνονται στην οσοτικοοίηση της συνάφειας, ααντώντας στο ερώτηµα, «Σε τι βαθµό η µεταβλητή X σχετίζεται µε την µεταβλητή Y ;» Πάρα ολλά µέτρα ή συντελεστές έχουν ροταθεί για το σκοό αυτό. Τα µέτρα συνάφειας διανύουν µια διαδροµή 3 αιώνων και το ρόβληµα ου αντιµετωίζουν κυρίως οι ερευνητές, είναι η ειλογή του καταλληλότερου µέτρου για κάθε ερίτωση, καθώς τα µέτρα συνήθως αοδίδουν διαφορετικές τιµές, ακόµα και στην ερίτωση ου αναλύουµε το ίδιο σύνολο δεδοµένων. Η ειλογή ενός κατάλληλου µέτρου, βασίζεται µεταξύ άλλων, στις υοθέσεις ου κάνει για τον τρόο υολογισµού του, καθώς και στα χαρακτηριστικά των υό εξέταση µεταβλητών. Στην αρούσα εργασία, κάνουµε µια γενική ανασκόηση των «αραδοσιακών» µέτρων συνάφειας, ου ανατύχθηκαν κατά την έναρξη του 0 ου αιώνα, καθώς και όσων ανατύχθηκαν µεταγενέστερα, βάσει ιο σύγχρονων υοθέσεων, γνωστά και ως µέτρα ρογνωστικής συνάφειας. Ειλέον, αρουσιάζουµε την σχετικά ρόσφατη ανάτυξη των νεοσύστατων µέτρων συµµετρίας - ασυµµετρίας για τετραγωνικούς ίνακες συνάφειας, τα οοία στηρίζονται στην θεωρία της ληροφορίας. Συγκεκριµένα, αρουσιάζουµε 8 µέτρα συνάφειας ονοµατικής ταξινόµησης, 7 µέτρα συνάφειας διατακτικής ταξινόµησης και 34 µέτρα συµµετρίας - ασυµµετρίας. Ο σκοός της εργασίας, είναι η λετοµερή εεξήγηση των υοθέσεων, ου κρύβονται στον τρόο υολογισµού κάθε µέτρου, αρέχοντας µια ξεκάθαρη ερµηνεία στον αναγνώστη. Εξετάζουµε τις ιδιότητες των µέτρων, εριγράφουµε τα λεονεκτήµατα και τα µειονεκτήµατα αυτών, καθώς και τις ενδεχόµενες µεταξύ τους σχέσεις και καταµετρούµε τις δυνατές εριτώσεις ου µορεί να αντιµετωίσει ένας ερευνητής, φιλοδοξώντας να διευκολύνουµε την διαδικασία της ειλογής του.

12

13 Abstract Assessment of subjectve phenomena such as pan, qualty of lfe, ablty etc., s common n clncal researches. Even though, ntal scope of each research s to dentfy sgnfcant underlyng dependence or assocaton between the varables, n most cases t s by no means enough. Thus, t s often of nterest to quantfy the statstcal dependence, answerng the queston: «What s the strength of the assocaton between the varables X and Y?» The lterature on measures of assocaton or coeffcents s now vast and a bg varety of them has been proposed, for every nstance. The contngency tables analyss and the development of new measures, reman an actve area of research today and thus our hstory covers actvtes that span 3 centures. Despte recent advances n the area, many researchers are facng the problem of how to select the most approprate measure suted to ther purposes. Indeed, for any gven stuaton, there may be several dfferent measures that are vald, yeldng dfferent resultng values for the same data set. To decde on the approprate measure, one must consder the assumptons behnd measure specfcatons and to dentfy the characterstcs of the varables beng studed. In ths paper we gve an overvew of the most well-known and wdely used measures of assocaton. ome of them, usually called «tradtonal measures», were developed around the dawn of the 0 th century and other, known as «measures of predctve assocaton», were developed later, n the md of the 0 th century and are based on modern assumptons. In addton, we present the measures of symmetry-asymmetry for square contngency tables, whch have only recently been developed and are based on Informaton Theory. More specfcally, we present 8 measures of assocaton for nomnal varables, 7 measures of assocaton for ordnal varables and 34 measures of symmetry-asymmetry for nomnal and ordnal varables. Ths paper attempts to clarfy the assumptons and the underlyng rules for the selected measures, provdng the reader wth clear nterpretatons of each measure. In that sense, the propertes and the advantages or dsadvantages of the measures are also ncluded, amng at llustratng potental lnks among them. Further, ths paper enumerates possble cases that can be encountered by the researcher, hopefully havng the effect of facltatng the selecton process.

14

15 Περιεχόµενα Κατάλογος ινάκων Κατάλογος συντοµογραφιών xx xx. Εισαγωγή. Κατηγορικά δεδοµένα. Πεδία εφαρµογών κατηγορικών δεδοµένων.3 Ιστορική Αναδροµή 3.4 Συντελεστές αλινδρόµησης και µέτρα συνάφειας 6.5 Συνάφεια και Ασυµµετρία 7.6 ιάρθρωση της εργασίας 7. Βασικές έννοιες ανάλυσης κατηγορικών δεδοµένων 9. Εισαγωγή 9. Πίνακες Συνάφειας 9.. Είδη Πινάκων Συνάφειας 0.. Πλεονεκτήµατα Πινάκων Συνάφειας..3 Συµβολισµοί ενός Πίνακα Συνάφειας.3 Μεταβλητή αόκρισης και εεξηγηµατική µεταβλητή 3.4 Ανεξαρτησία 3.5 Συµµετρία 4.6 Είδη κατηγορικών µεταβλητών 5.7 Κατανοµές κατηγορικών δεδοµένων 6.7. ιωνυµική Κατανοµή 6.7. Πολυωνυµική Κατανοµή Κατανοµή Posson Πολυωνυµική, ιωνυµική και Posson δειγµατοληψία Παραδείγµατα 0 xv

16 3. Κριτήρια ειλογής και βασικές ιδιότητες των µέτρων 3 3. Εισαγωγή 3 3. Κριτήρια ειλογής µέτρων συνάφειας Είδος δεδοµένων (συνέχεια) ιάσταση του Πίνακα Είδος µεταβλητών ( ιάταξη) Συµµετρικότητα Βασικές ιδιότητες ενός µέτρου Τα αξιώµατα του Reny Παρατηρήσεις Μέτρα ληροφορίας και αόστασης ή αόκλισης Σύντοµη ιστορική αναδροµή των µέτρων ληροφορίας Κλάσεις µέτρων ληροφορίας και αόστασης 9 4. Μέτρα συνάφειας για ονοµατικές µεταβλητές Εισαγωγή Μέτρα συνάφειας για δίτιµες κατηγορικές µεταβλητές Σχετικός Κίνδυνος Λόγος ιθανοτήτων ( odds rato ) ή λόγος διαγώνιων γινοµένων Μέτρα συνάφειας ου βασίζονται στο odds rato Συντελεστής συνάφειας Q του Yule Συντελεστής συνάφειας Y του Yule Μέτρα συνάφειας ου βασίζονται στο test χ του Pearson Συντελεστής συνάφειας ϕ του Yule Συντελεστής συνάφειας T του Tschuprow Συντελεστής συνάφειας V του ramer Συντελεστής συνάφειας του Pearson Μέτρα ρογνωστικής συνάφειας 6 xv

17 4.5. Συντελεστής συνάφειας λ lambda των Goodman-Kruskal Συντελεστής συνάφειας τ των Goodman-Kruskal Συντελεστής αβεβαιότητας U του Thel Συµεράσµατα 7 5. Μέτρα συνάφειας για διατακτικές µεταβλητές Εισαγωγή ιατακτικά µέτρα συνάφειας σύµφωνων ασύµφωνων ζευγών Συντελεστής gamma των Goodman-Kruskal Συντελεστές tau του Kendall Συντελεστές D του omers ιατακτικά µέτρα συνάφειας ου βασίζονται στην ανάθεση σκορ Συντελεστής ιεραρχικής συσχέτισης rho του pearman Συµεράσµατα Μέτρα συµµετρίας ασυµµετρίας Εισαγωγή Βασικά εδία εφαρµογών Ταξινόµηση των µέτρων συµµετρίας - ασυµµετρίας Ορισµοί των µοντέλων Συµµετρίας Μοντέλο Συµµετρίας ( - ymmetry) Μοντέλο Περιθώριας Οµοιογένειας Μοντέλο Ψευδοσυµµετρίας (Q - Quas ymmetry) Μέτρα Συµµετρίας Μέτρα αοµάκρυνσης αό την για ονοµατικές µεταβλητές Γενίκευση των µέτρων αοµάκρυνσης αό την για ονοµατικές µεταβλητές Μέτρα αοµάκρυνσης αό την Συνολική Συµµετρία (G) για διατακτικές µεταβλητές 0 xv

18 6.5.4 Μέτρα αοµάκρυνσης αό την Q για ονοµατικές Μεταβλητές Μέτρα αοµάκρυνσης αό την ΜΗ για ονοµατικές µεταβλητές Μέτρα ου βασίζονται στις αδέσµευτες εριθώριες κατανοµές ιθανότητας Μέτρα ου βασίζονται στις δεσµευµένες εριθώριες κατανοµές ιθανότητας Γενίκευση του µέτρου αοµάκρυνσης αό την ΜΗ για ονοµατικές µεταβλητές Γενικευµένο µέτρο Γενικευµένο µέτρο Φ 9 ( λ ) Φ 30 ( λ) Μέτρα αοµάκρυνσης αό την ΜΗ για διατακτικές µεταβλητές Γενικευµένο µέτρο Γ ( λ) ου βασίζεται στις αδέσµευτες εριθώριες κατανοµές ιθανότητας Γενικευµένο µέτρο Γ ου βασίζεται στις ( λ ) δεσµευµένες εριθώριες κατανοµές ιθανότητας Ορισµoί των µοντέλων Ασυµµετρίας για ίνακες συνάφειας Μοντέλο εσµευµένης Συµµετρίας Μοντέλο Τριγωνικής Συµµετρίας T Trngular ymmetry Μοντέλο ιαγώνιας Συµµετρίας D- Dagonal ymmetry Μέτρα Ασυµµετρίας Μέτρο αοµάκρυνσης αό την ιαγώνια Συµµετρία D Μέτρο αοµάκρυνσης αό την εσµευµένη Συµµετρία Μέτρο αοµάκρυνσης αό την Τριγωνική Συµµετρία T Μέτρα Συµµετρίας τύου ϕ dvergence του zszar Μέτρο αοµάκρυνσης αό την Συµµετρία Μέτρο αοµάκρυνσης αό την Ψευδοσυµµετρία Q 57 xv

19 6.8.3 Μέτρο αοµάκρυνσης αό την Περιθώρια Οµοιογένεια ΜΗ Συµεράσµατα Ανακεφαλαίωση Γενική Σύνοψη 63 Παράρτηµα A 65 Παραδείγµατα 65 Βιβλιογραφία 7 xx

20 xx

21 Κατάλογος Πινάκων - I J Πίνακας Συνάφειας 0 4- Πίνακας Συνάφειας Συνοτικός ίνακας µέτρων συνάφειας για ονοµατικές µεταβλητές Συνοτικός ίνακας µέτρων συνάφειας για ονοµατικές µεταβλητές Ένταση της συνάφειας σύµφωνα µε τις αραδοχές ohen Συγκεντρωτικός ίνακας µέτρων συνάφειας για ονοµατικές µεταβλητές Συνοτικός ίνακας µέτρων συνάφειας για διατακτικές µεταβλητές Συνοτικός ίνακας µέτρων συνάφειας για διατακτικές µεταβλητές Συγκεντρωτικός ίνακας µέτρων συνάφειας για διατακτικές 9 6- Συνοτικός ίνακας µέτρων συµµετρίας ασυµµετρίας για ονοµατικές µεταβλητές 6 6- Συνοτικός ίνακας µέτρων συµµετρίας ασυµµετρίας για διατακτικές µεταβλητές 6 xx

22 xx

23 Κατάλογος Συντοµογραφιών PRE G Q T D Proportonate Reducton n Error ymmetry Global ymmetry Quas ymmetry Margnal Homogenety Trangular symmetry ondtonal ymmetry Dagonal ymmetry xx

24 xxv

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή. Κατηγορικά δεδοµένα Προκειµένου να αξιολογήσουν την αοτελεσµατικότητα µιας νέας εαναστατικής θεραείας ή να ροσδιορίσουν τους αράγοντες ου εηρεάζουν τη γνώµη και τη συµεριφορά ενός κοινωνικού συνόλου, οι ερευνητές συχνά ανατρέχουν σε στατιστικές µεθόδους ανάλυσης κατηγορικών δεδοµένων. Σε αντίθεση µε τις συνεχείς µεταβλητές, το βασικό γνώρισµα των κατηγορικών µεταβλητών, ονοµατικών ή διατακτικών, είναι ότι δεν µορεί να µετρηθεί η αόσταση µεταξύ των τιµών τους. Η ανάλυση κατηγορικών δεδοµένων αρέχει τις κατάλληλες τεχνικές για την εξαγωγή της ειθυµητής ληροφορίας, όως στη ερίτωση των συνεχών µεταβλητών, µε την ανάλυση αλινδρόµησης. Η ιο κοινή έννοια στην ανάλυση κατηγορικών δεδοµένων είναι οι ίνακες συνάφειας. Όταν ένα σύνολο αρατηρήσεων αοτελείται αό δυο ή ερισσότερες µεταβλητές και στη συνέχεια οι κατηγορίες κάθε µεταβλητής διασταυρώνονται (cross-classfed) σε ένα ίνακα συνάφειας, συχνά εγείρονται ερωτήµατα, σχετικά µε την ύαρξη σχέσης ή συνάφειας, µεταξύ των µεταβλητών, ενώ αράλληλα το ενδιαφέρον εικεντρώνεται στην ένταση αυτής. Ειδικότερα, οι ερευνητές συνήθως ειθυµούν να ροσδιορίσουν το βαθµό της σχέσης µεταξύ δυο µεταβλητών, χρησιµοοιώντας έναν αλό συντελεστή ή ένα µέτρο συνάφειας (measure of assocaton), δηλαδή ένα καθαρό αριθµό ου κυµαίνεται στο διάστηµα [, + ] ή [ 0, ] και δείχνει όσο έντονα οι δύο µεταβλητές συσχετίζονται. Για αράδειγµα, ως µορούµε να µετρήσουµε τη συνάφεια µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών, όως η θρησκεία, το εάγγελµα, ή η ροτίµηση µεταξύ διάφορων ειλογών; Σε τέτοιες εριτώσεις, είναι σηµαντικό να χρησιµοοιηθεί ένα κατάλληλο µέτρο, για να εκτιµηθεί ο βαθµός της συνάφειας. εν είναι ασυνήθιστο το φαινόµενο, ένας ερευνητής να ειλέγει έναν ακατάλληλο συντελεστή για να µετρήσει µια δοσµένη συνάφεια, εξάγοντας έτσι εσφαλµένα ή αραλανητικά συµεράσµατα.

26 . Πεδία εφαρµογών κατηγορικών δεδοµένων Μια κατηγορική µεταβλητή έχει ως κλίµακα µέτρησης ένα σύνολο αµοιβαία αοκλειόµενων κατηγοριών, µε την έννοια ότι ένα υοκείµενο δεν µορεί να ταξινοµηθεί σε δυο κατηγορίες. Για αράδειγµα, οι ολιτικές εοιθήσεις ενός ατόµου θα µορούσαν να θεωρηθούν ως φιλελεύθερες, µετριοαθείς ή συντηρητικές. Η διάγνωση µιας µαστογραφίας ενδεχοµένως να είναι κανονική, καλοήθης, ύοτη και κακοήθης. Η ανάτυξη µεθόδων ανάλυσης κατηγορικών µεταβλητών, αρακινήθηκε αό τις έρευνες κοινωνικών και βιοιατρικών ειστηµών. Κατηγορικές κλίµακες είναι διάχυτες στις κοινωνικές ειστήµες για την εκτίµηση υοκειµενικών φαινόµενων και τη µέτρηση της συµεριφοράς και της γνώµης των ατόµων. Στις ιατρικές ειστήµες χρησιµοοιούνται για τη µέτρηση του αοτελέσµατος µιας αόκρισης, όως για αράδειγµα, εάν µια ιατρική θεραεία είναι ειτυχής. Χρησιµοοιούνται στην ψυχιατρική για την διάγνωση του τύου µιας ψυχικής νόσου (σχιζοφρένεια, κατάθλιψη, νεύρωση), στην ψυχολογία για την αξιολόγηση του ειέδου άγχους (καθόλου, λίγο, αρκετά, ολύ, άρα ολύ), στην ειδηµιολογία και σε έρευνες για την δηµόσια υγεία (η ενηµέρωση για τον ιό του Ads έχει εντείνει την χρήση µέτρων ροφύλαξης; ναι, όχι). Είσης, τις συναντούµε στην Ζωολογία για την ταξινόµηση των ζώων ανάλογα µε τις διατροφικές τους συνήθειες, στην Γενετική για την αξιολόγηση του είδος του γονότυου ου κληρονοµείται, στο Marketng για την µέτρηση της ροτίµησης των καταναλωτών. Εεκτείνονται στην Μηχανολογία και στον βιοµηχανικό έλεγχο οιότητας, όταν διάφορα είδη ταξινοµούνται ανάλογα µε το αν ακολουθούν συγκεκριµένα ρότυα οιότητας (όσο γευστικό είναι ένα συγκεκριµένο φαγητό ή όσο εύκολη θεωρείται αό έναν εργάτη µια συγκεκριµένη εργασία), στην ηµογραφία για την αξιολόγηση των µεταναστευτικών τάσεων και του κοινωνικοοικονοµικού status, στην Πολιτική (κοινωνική αοδοχή των κυβερνητικών ειλογών ή στροφή του εκλογικού σώµατος µετά αό σηµαντικά ολιτικά γεγονότα), στην Εκαίδευση, την Οικολογία και στα Αθλητικά [Agrest, (00)].

27 .3 Ιστορική Αναδροµή Ένα µεγάλο κοµµάτι της ρώιµης ανάτυξης των κατηγορικών δεδοµένων, δηλαδή των ινάκων συνάφειας και των σχετικών µέτρων, έλαβε χώρα στην Αγγλία και καλυτόταν αό ένα έλο αντιαραθέσεων, σχετικά µε το οια µέθοδος ήταν καταλληλότερη για να συνοψίσει την συνάφεια των µεταβλητών. Συγκεκριµένα το 900 στο Λονδίνο, ο Karl Pearson εισήγαγε το χ test της ανεξαρτησίας, για την σύγκριση των αρατηρούµενων και αναµενόµενων (θεωρητικών) συχνοτήτων. Ο Pearson ( ), ήταν ήδη γνωστός στην στατιστική κοινότητα και οι εργασίες του τις ροηγούµενες δεκαετίες αφορούσαν, την ανάτυξη µιας οικογένειας εικλινών (skewed) κατανοµών ιθανότητας (γνωστών ως Pearson curves), τον υολογισµό του εκτιµητή του συντελεστή συσχέτισης και του τυικού του σφάλµατος καθώς είσης την εέκταση των εργασιών του Galton αναφορικά µε την γραµµική αλινδρόµηση. Ο Pearson υέθετε, ότι µια συνεχής δυαδική κατανοµή διέει τους ίνακες διασταυρούµενων συχνοτήτων (crossclassfcaton tables). Υοστήριζε ότι κάοιος θα µορούσε να εριγράψει τη συνάφεια (assocaton), ροσεγγίζοντας ένα µέτρο σαν αυτό της συσχέτισης (correlaton), για την υοκείµενη συνέχεια. Η άοψη αυτή οδήγησε αργότερα (904) τον Pearson, να ανατύξει τον τετραχωρικό συντελεστή συσχέτισης για ίνακες. Είσης, το 904, ο Pearson εισήγαγε την έννοια της συνάφειας (contngency), καθώς είσης και διάφορα µέτρα ου βασίζονταν στο χ test και εριέγραφαν την ένταση της συνάφειας. Ο George U. Yule (87-95) είσης Άγγλος, είχε µια διαφορετική ροσέγγιση. Έχοντας ήδη ανατύξει µοντέλα ολλαλής αλινδρόµησης και ολλαλούς ή µερικούς συντελεστές συσχέτισης, o Yule έστρεψε το ενδιαφέρον του, µεταξύ του 900 και 9, στην συνάφεια κατηγορικών µεταβλητών. Πίστευε ότι ολλές κατηγορικές µεταβλητές, όως ειβίωση ή όχι, αασχολούµενος ή άνεργος, είναι εγγενείς διακριτές. Όρισε κάοιους δείκτες µε έναν άµεσο τρόο, χρησιµοοιώντας τις µετρήσεις των κελιών του ίνακα, χωρίς να υοθέτει µια υοκείµενη συνέχεια. Ειλέον, διέδωσε τoν λόγο σχετικών ιθανοτήτων ( odds rato ), µια έννοια η οοία, όως ο Goodman (000) αναφέρει, ίσως ρώτα να ροτάθηκε αό τον Ούγκρο στατιστικό Korosy J. και στην συνέχεια, αρουσίασε κάοιους µετασχηµατισµούς αυτού, γνωστούς ως 3

28 συντελεστές Q και Y του Yule. Το 9, εισήγαγε τον συντελεστή ϕ, ο οοίος βασίζεται στο χ test. Το 903, ο Yule είσης έδειξε την ενδεχόµενη ασυµφωνία µεταξύ της εριθώριας (margnal) και δεσµευµένης (condtonal) συνάφειας, σε ίνακες συνάφειας. Πολλά χρόνια αργότερα, το 95, η ασυµφωνία αυτή καταγράφηκε αό τον mpson E. H. και είναι λέον γνωστή ως αράδοξο του mpson (mpson s Paradox). Συνοψίζοντας, ο Yule υοστήριζε, ότι συχνά είναι αραλανητικό και οδηγεί σε εσφαλµένα αοτελέσµατα, όταν αναγκαζόµαστε να υοθέτουµε ότι τα δεδοµένα ροέρχονται αό µια συνεχή κατανοµή ιθανότητας, η οοία είναι κανονική. Ο Pearson υοστήριζε ότι τα µέτρα του Yule καταλήγουν σε διαφορετικές τιµές όταν ένας I J ίνακας συµτυχθεί σε έναν ίνακα [βλέε Pearson & Heron, (93)]. Κάνοντας µια ανασκόηση, οι Pearson και Yule είχαν αό κοινού δίκιο. Κάοιες ταξινοµήσεις όως αυτές των ονοµατικών µεταβλητών, δεν διέονται αό κάοια εµφανή συνεχή κατανοµή. Αό την άλλη µεριά, σε ολλές εφαρµογές τα δεδοµένα διέονται αό µια υοκείµενη συνέχεια και το γεγονός αυτό θα µορούσε να αοτελεί κίνητρο για την ανάτυξη µοντέλων και συµερασµατολογίας. O Goodman (98a,b) αναφέρει ότι τα διατακτικά µοντέλα αρέχουν ένα είδος συµφωνίας µεταξύ του Yule και του Pearson, καθώς το odds rato χαρακτηρίζει µοντέλα τα οοία ροσαρµόζονται καλά, όταν η κατανοµή των δεδοµένων είναι κατά ροσέγγιση κανονική. Η διαµάχη των Pearson και Yule ήταν µικρής σηµασίας, συγκριτικά µε αυτή µεταξύ των Pearson και Fsher. O Ronald A. Fsher (890-96) είσης Άγγλος, χρησιµοοιώντας µια γεωµετρική αεικόνιση, εισήγαγε την έννοια των βαθµών ελευθερίας (degrees of freedom), για να χαρακτηρίσει την οικογένεια κατανοµών χ [Fsher, (9)]. Ο Fsher υοστήριξε ότι οι βαθµοί ελευθερίας του ( ) ( ) χ test της ανεξαρτησίας, για ένα I J ίνακα συνάφειας, ισούνται µε df = I J, σε αντίθεση µε ότι αρχικά (900) ο Pearson είχε υολογίσει, o οοίος θεωρούσε ότι οι βαθµοί ελευθερίας ισούνται µε df = IJ. Η ρόταση του Fsher για διόρθωση των βαθµών ελευθερίας του χ test της ανεξαρτησίας, οδήγησε σε µια νέα ιστορική αντιαράθεση. Ο Fsher τελικά αέδειξε τους ισχυρισµούς του το 96. To 935, εισήγαγε το ακριβές τεστ (Fsher s exact test), για τον έλεγχο της ανεξαρτησίας σε ίνακες, µε συχνότητες ( < 5) σε κάθε κελί. 4

29 Παράλληλα, το 98, o Tschuprow εισήγαγε τον συντελεστή T, το 938 ο Kendal εισήγαγε τους συντελεστές tau, το 946 ο ramer εισήγαγε το συντελεστή V και το 948 ο Pearson ρότεινε τον συντελεστή. Σηµειώνουµε ότι το 977, ο akoda ρότεινε µια διόρθωση του συντελεστή. Το 935, ο Βρετανός στατιστικός Maurce Bartlett εισήγαγε τον ορισµό της οµοιογενούς συνάφειας (homogeneous assocaton), χωρίς αλληλειδράσεις, για ίνακες συνάφειας. Ο Νorton (945) εέκτεινε τα αοτελέσµατα του Bartlett σε k ίνακες. Το 95, ο Jerome ornfeld, ένας στατιστικός µε δεσµούς στην ιατρική ειστήµη, χρησιµοοίησε το odds rato για να ροσεγγίσει τον σχετικό κίνδυνο σε case-control µελέτες. Οι ερισσότερες εργασίες και στατιστικά βιβλία, όταν ανατρέχουν σε ηγές σχετικές µε την ανάλυση ινάκων συνάφειας, αναφέρονται κυρίως στις ανωτέρω εργασίες των Pearson και Yule στις αρχές του 0 ου αιώνα. Όµως, όως ο tgler (00) αναφέρει, η ιδέα της ανάλυσης ινάκων συνάφειας χρονολογείται ολύ νωρίτερα, κατά την διάρκεια του 9 ου, αό τον Βελγικής καταγωγής Quetelet (849), αναφορικά µε την µέτρηση της συνάφειας και την έννοια του σχετικού κινδύνου και αό τον Benayme αναφορικά µε την υεργεωµετρική ανάλυση ενός ίνακα συνάφειας [βλέε Heyde & eneta, (977)]. Είσης, o Francs Galton (89), εισήγαγε την έννοια της αναµενόµενης µέτρησης, ως την βάση για την µέτρηση της συνάφειας, σύµφωνα µε τον τύο Expected ount( j), = ( Row total ) ( olumn total j) ( Grand total) διαδραµάτιζε ένα σουδαίο ρόλο για τον υολογισµό του ο οοίος αργότερα, θα χ test, ελέγχου της ανεξαρτησίας [βλέε Fenberg & Rnaldo, (007)]. Είσης, όως οι Goodman & Kruskal (959) αναφέρουν, ο M. H. Doolttle µε άρθρα του το 887, ροσαθούσε να εξηγήσει την έλλειψη ακρίβειας ακόµη και για έναν ίνακα, σε µια ρώτη ροσάθεια να οσοτικοοιήσει την συνάφεια. Μισό αιώνα αργότερα (954), µετά την αντιαράθεση των Pearson και Yule, οι Leo Goodman και Wllam Kruskal, αό το Πανειστήµιο του hcago, εισήγαγαν έναν αριθµό εναλλακτικών µέτρων συνάφειας, γνωστά ως µέτρα ρογνωστικής συνάφειας, ου βασίζονται σε ένα ιθανοθεωρητικό µοντέλο και όχι στο γνωστό χ test ή στην υόθεση ότι τα δεδοµένα ροέρχονται αό µια κοινή κανονική κατανοµή,. Το βιβλίο τους το (979), αρουσιάζει τέσσερα σηµαντικά άρθρα, κατά την διάρκεια του 950 και αοτελεί µια ολύ καλή αναφορά. Ειλέον, 5

30 ο 96, ο omers εισήγαγε το συντελεστή συνάφειας D και το 97, ο Thel εισήγαγε τον συντελεστή αβεβαιότητας U, ου βασίζεται σε µέτρα στατιστικής ληροφορίας. Οι ίνακες συνάφειας, αν και θεωρούνται η ιο γνωστή µέθοδος ανάλυσης κατηγορικών δεδοµένων, δεν είναι η µοναδική. Στα µέσα του 930, ανατύχθηκαν τα ρώτα µοντέλα για κατηγορικές µεταβλητές. Η ανάλυση των κατηγορικών δεδοµένων αοτελεί ακόµη και σήµερα, µια ειστηµονική εριοχή ου ροσφέρεται για έρευνα, καλύτοντας µια διαδροµή 3 αιώνων. Η βιβλιογραφία αναφορικά µε την ανάλυση κατηγορικών δεδοµένων είναι ανεξάντλητη και υάρχουν διάφορες τυχές ου εριλαµβάνουν διαφορετικά µοντέλα και µεθόδους. Έτσι, οι κατηγορικές µεταβλητές χρησιµοοιούνται σε κάθε εδίο γνώσης και δραστηριότητας. Ο Agrest (00), αρέχει µια αναλυτική εισκόηση..4 Συντελεστές αλινδρόµησης και µέτρα συνάφειας Η ένταση µεταξύ έµµεσων ή άµεσων σχέσεων µεταξύ συνεχών µεταβλητών συνοψίζεται µε τους συντελεστές αλινδρόµησης. Για σχέσεις µεταξύ κατηγορικών µεταβλητών, η διαδικασία είναι λιγότερο εµφανής. Η ρόσφατη ανάτυξη συµερασµατικής ανάλυσης κατηγορικών δεδοµένων, κυριαρχείται αό αραµετρικά µοντέλα. Όµως, µεταξύ των ροτεινόµενων µοντέλων, κανένα δεν αρέχει µονούς (sngle) δείκτες των άµεσων ή έµµεσων σχέσεων µεταξύ ολύτοµων µεταβλητών. Τα λογαριθµογραµµικά µοντέλα εικεντρώνονται µεταξύ άλλων, στην ανίχνευση δοµών συνάφειας (assocaton patterns). Οµοίως, η αραγοντική ανάλυση αντιστοιχιών (factoral correspondence analyss), εικεντρώνεται σε δεσµούς ή σχέσεις µεταξύ των κατηγοριών αρά µεταξύ των µεταβλητών, ενώ µοντέλα όως αυτά της λογιστικής αλινδρόµησης ή της Posson αλινδρόµησης, ροσαθούν να εξηγήσουν την ιθανότητα µια αρατήρηση να ανήκει σε µια δοσµένη κατηγορία. Οι αράµετροι της λογιστικής αλινδρόµησης, ίσως να δίνουν ληροφόρηση σχετικά µε τους δεσµούς µεταξύ δίτιµων µεταβλητών. Όµως για ολύτοµες µεταβλητές δεν αοκτούµε σύνθετους δείκτες αρά ένα σύνολο αραµέτρων. Όως για αράδειγµα, το µοντέλο συνάφειας γραµµής - στήλης του Goodman εριέχει αραµέτρους συνάφειας. Έχουν όµως εφαρµογή σε διατακτικές µεταβλητές µόνο. Ειλέον, ο αριθµός των αραµέτρων είναι µεγαλύτερος των ανα δυο σχέσεων και το µοντέλο δεν είναι λυσιτελές (parsmonous). Κατά συνέεια, η αραµετρική ροσέγγιση είναι σε 6

31 γενικές γραµµές µικρής σηµασίας για την αξιοοίηση και έλεγχο ενός αιτιατού γραφήµατος κατηγορικών µεταβλητών. Τα αραδοσιακά µέτρα συνάφειας και οι µερικοί δείκτες συνάφειας, αραµένουν τα ιο κατάλληλα εργαλεία για τον σκοό αυτό [Olszak & Rtschard, (995)]..5 Συνάφεια και Ασυµµετρία Ο όρος συνάφεια (contngency), φαίνεται να ροέρχεται αό τον Pearson (904), ο οοίος όρισε την συνάφεια για έναν I J ίνακα σαν «ένα µέτρο της συνολικής αόκλισης της ταξινόµησης αό την ανεξάρτητη ιθανότητα» (Fenberg & Rnaldo 007). Η ιο γνωστή µέθοδος ου εφαρµόζεται στην ανάλυση ενός ίνακα συνάφειας είναι το χ test της ανεξαρτησίας, ου ανατύχθηκε είσης αό τον Pearson (900). Αν µε X και Y συµβολίσουµε δυο κατηγορικές µεταβλητές µε I και J κατηγορίες αντίστοιχα, τότε η διασταύρωσή τους οδηγεί σε έναν I J ίνακα. Αό την στιγµή ου αορριφθεί η υόθεση της ανεξαρτησίας, τότε η ληροφόρηση αναφορικά µε την στατιστικά σηµαντική συνάφεια των υό εξέταση µεταβλητών, αρέχεται αό µια οικιλία µέτρων συνάφειας. Όταν η ένταση της συνάφειας µεταξύ δυο µεταβλητών, εριγράφεται αό τον βαθµό αοµάκρυνσης αό την ανεξαρτησία, τότε αναφερόµαστε στα µέτρα συνάφειας (measures of assocaton), ενώ όταν εριγράφεται σε όρους αοµάκρυνσης αό την συµµετρία, τότε αναφερόµαστε στα µέτρα συµµετρίας - ασυµµετρίας (measures of symmetry - asymmetry)..6 ιάρθρωση της εργασίας Η αρούσα εργασία αοτελεί µια γενική εισκόηση των ιο γνωστών µέτρων συνάφειας, ου χρησιµοοιούνται στην ανάλυση ινάκων συνάφειας, για την µελέτη και οσοτικοοίηση της έντασης της σχέσης µεταξύ δυο µεταβλητών, αλλά και ιο σύγχρονων ροσεγγίσεων, ου ίσως να µην έχουν την ίδια αναγνώριση, όως των νεοσύστατων µέτρων συµµετρίας - ασυµµετρίας. Σκοός της εργασίας είναι, η συνοτική αρουσίαση των µέτρων και η ταξινόµησή τους µε βάση τις υοθέσεις και τις ιδιότητές τους. Παράλληλα, εφαρµόζουµε τα µέτρα σε ειλεγµένα αραδείγµατα, µε στόχο την αόδοση της ερµηνεία τους και την καταγραφή των 7

32 ενδεχόµενων εριορισµών τους. Ειλέον, συγκρίνουµε τα µέτρα για το ίδιο σύνολο δεδοµένων, φιλοδοξώντας να εξάγουµε χρήσιµα συµεράσµατα, αναφορικά µε τα κριτήρια ειλογής τους. Συγκεκριµένα, στο Κεφάλαιο, θα αναφερθούµε στις βασικές έννοιες ου χρησιµοοιούνται στην ανάλυση ινάκων συνάφειας, έτσι ώστε να διευκολύνουµε την αρουσίαση των µέτρων στα εόµενα Kεφάλαια. Θα εριγράψουµε τα είδη των κατηγορικών µεταβλητών και τις διάφορες κλίµακες µέτρησης, ου αοτελούν βασικό κριτήριο ειλογής ενός µέτρου, καθώς και τα είδη των ινάκων συνάφειας. Στο Κεφάλαιο 3, θα αναφερθούµε στις βασικές ιδιότητες των µέτρων, στα κριτήρια ειλογής τους, ενώ αράλληλα, θα εριγράψουµε τις ροϋοθέσεις ου θα ρέει να ληρούνται για την κατασκευή ενός µέτρου συνάφειας. Ειλέον, θα αρουσιάσουµε τις διάφορες κλάσεις µέτρων ληροφορίας και αόστασης, ου ροέρχονται αό τον χώρο της θεωρίας της ληροφορίας (Informaton Theory) και είναι χρήσιµες για τον υολογισµό των µέτρων συµµετρίας ασυµµετρίας. Στο Κεφάλαιο 4, θα αρουσιάσουµε τα κυριότερα µέτρα για ονοµατικές µεταβλητές, τις βασικές ιδιότητες και την ερµηνεία τους. Συγκεκριµένα, θα αναφερθούµε στα «αραδοσιακά» µέτρα συνάφειας, όως συνηθίζεται να αοκαλούνται, δηλαδή σε µέτρα ου βασίζονται στο χ test του Pearson και στο odds rato, καθώς και στα µέτρα ρογνωστικής συνάφειας ή αναλογικής µείωσης του σφάλµατος ρόβλεψης (PRE Proportonate Reducton n Error), τα οοία εµφανίστηκαν µεταγενέστερα. Ειλέον, θα εξηγήσουµε την κεντρική ιδέα ου κρύβεται ίσω αό την κατασκευή κάθε µέτρου, ώστε να είναι ξεκάθαροι οι λόγοι για τους οοίους κάθε µέτρο θα ρέει να χρησιµοοιείται. Στο Κεφάλαιο 5, θα αρουσιάσουµε τα κυριότερα µέτρα για διατακτικές µεταβλητές. Στην ερίτωση, αυτή ο τρόος υολογισµού των µέτρων διαφοροοιείται, καθώς αξιοοιούν την ειρόσθετη ληροφορία ου αρέχει η διάταξη των κατηγοριών κάθε µεταβλητής. Στο Κεφάλαιο 6, θα αρουσιάσουµε τα βασικότερα µοντέλα συµµετρίας ασυµµετρίας και τα αντίστοιχα µέτρα συµµετρίας - ασυµµετρίας για τετραγωνικούς ίνακες συνάφειας. 8

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες ου χρησιµοοιούνται στην ανάλυση ινάκων συνάφειας, έτσι ώστε να διευκολύνουµε την εεξήγηση των µέτρων στα εόµενα κεφάλαια. Συγκεκριµένα, θα εριγράψουµε τα είδη των κατηγορικών µεταβλητών και τις κλίµακες µέτρησής τους, ου αοτελούν βασικό κριτήριο ειλογής ενός µέτρου, καθώς και τα είδη των ινάκων συνάφειας.. Πίνακες Συνάφειας Ας υοθέσουµε ότι έχουµε δυο κατηγορικές µεταβλητές X, Y. Έστω I ο αριθµός των κατηγοριών της µεταβλητής X και J ο αριθµός των κατηγοριών της µεταβλητής Y. Η ταξινόµηση των υοκειµένων των δυο µεταβλητών στις διάφορες κατηγορίες έχει IJ δυνατούς συνδυασµούς. Η αόκριση ( X, Y ) ενός τυχαίως ειλεγµένου υοκειµένου αό κάοιο ληθυσµό, έχει µια κατανοµή ιθανότητας. Ένας ορθογώνιος ίνακας µε I γραµµές για τις κατηγορίες της µεταβλητής X και J στήλες για τις κατηγορίες της µεταβλητής Y, έχει IJ κελιά, τα οοία εριγράφουν τα ιθανά αοτελέσµατα αυτών των συνδυασµών και ροσδιορίζουν την αό κοινού κατανοµή τους. Όταν τα κελιά εριέχουν τις συχνότητες για κάθε IJ ιθανό αοτέλεσµα ενός δείγµατος, τότε έχουµε έναν διδιάστατο I J ίνακα συνάφειας [Agrest, (00)]. Ο ακόλουθος Πίνακας - (σελ.0) εριγράφει τον τρόο µε τον οοίο ταξινοµούνται δυο µεταβλητές. 9

34 I ΠΙΝΑΚΑΣ - J Πίνακας Συνάφειας Μεταβλητή Υ Μεταβλητή X Y Y... Y j Σύνολο Χ Χ... Χ Σύνολο N N... N j N.... j. N N... N j N.... j N N... N N..... N. N.... N.j N......j Είδη Πινάκων Συνάφειας Η αλούστερη µορφή ενός ίνακα συνάφειας είναι αυτή, ενός ίνακα και ροέρχεται αό την διασταύρωση δυο διχοτοµηµένων µεταβλητών. Κυρίως εµφανίζονται σε βιοιατρικές εφαρµογές και σε ειδηµιολογικές µελέτες (Ειβίωση/Θεραεία: ειτυχία-αοτυχία Group: case- control) και χρησιµοοιούνται όταν θέλουµε να συγκρίνουµε δυο οµάδες ως ρος µια δίτιµη αοκριτική µεταβλητή. Η συνηθέστερη µορφή ενός ίνακα ου συναντάται σε διάφορες µελέτες και ειράµατα, είναι ο διδιάστατος I J ίνακας συνάφειας, για I J, όου µορούµε να αναλύσουµε την συνάφεια δυο µεταβλητών, ανεξάρτητα αό το µέγεθος των κατηγοριών τους. Η ειδική ερίτωση ενός τετραγωνικού I I ίνακα συνάφειας, µε σύµµετρη (ίδια) ταξινόµηση των µεταβλητών εµφανίζεται στις βιοιατρικές, αιδαγωγικές και κοινωνικές ειστήµες, στην ψυχολογία και σε άλλα ειστηµονικά εδία. Χαρακτηριστικά αραδείγµατα είναι η σύγκριση της διάγνωσης ή της θεραείας στο ίδιο υοκείµενο, αλλά αό δυο διαφορετικούς εξεταστές (συµφωνία 0

35 βαθµολογητών), οι ίνακες ου εριγράφουν την γεωγραφική κινητικότητα κοινωνικών στρωµάτων, η ανάλυση της ροτίµησης της κοινής γνώµης, µεταξύ δυο εριόδων κ.α. Στην ερίτωση ερισσότερων αό δυο µεταβλητών, αναφερόµαστε σε ολυδιάστατους ίνακες συνάφειας I J... R. Πολλές µελέτες ιδιαίτερα στις κοινωνικές ειστήµες, έχουν να κάνουν µε δεδοµένα ου εριγράφονται αό ολλές µεταβλητές. Για αράδειγµα, ένας ενήλικας ου ζει σε ένα µεγάλο αστικό κέντρο, θα µορούσε να ταξινοµηθεί µε βάση τις εξής κατηγορίες ανά µεταβλητή: ηµοτικό διαµέρισµα I = 5, Αγαηµένη εφηµερίδα J = 6, Ύαρξη τηλεόρασης K = (ναι-όχι), Είεδο εκαίδευσης L= 4, Ηλικία R= 0. Για λόγους ευκολίας της αρουσίασης και καλύτερης ερµηνείας των αοτελεσµάτων, θα εριοριστούµε σε εφαρµογές δυο διασταυρούµενων µεταβλητών, αν και τα σχόλιά µας, θα µορούσαν να εεκταθούν για εριτώσεις ερισσότερων µεταβλητών... Πλεονεκτήµατα Πινάκων Συνάφειας Τα κατηγορικά δεδοµένα ροσφέρονται για αεικόνιση σε ίνακα (tabulaton), καθώς ένας ίνακας διατηρεί όλη την ληροφορία των δεδοµένων αναλλοίωτη και κάνει την δοµή των δεδοµένων ιο ξεκάθαρη. Συγκεκριµένα, µας ειτρέει να δούµε 4 χαρακτηριστικά τα οοία δεν θα ήταν εµφανή αν τα δεδοµένα ήταν ακατέργαστα:. Την συνολική κατανοµή της µεταβλητής X. Την συνολική κατανοµή τη µεταβλητής Y 3. Πως η κατανοµή της µεταβλητής X διαφοροοιείται κατά µήκος της µεταβλητής Y 4. Την διαφορετική αναλογία της µεταβλητής Y σε κάθε είεδο της µεταβλητής X. Τα δυο τελευταία χαρακτηριστικά εκφράζουν την συνάφεια µεταξύ των µεταβλητών [http://teachng.socology.ul.e//lugano/lugano.html, Brendan Halpn, (00)]...3 Συµβολισµοί ενός Πίνακα Συνάφειας Έστω ότι ένα υοκείµενο ειλέγεται τυχαία αό τον ληθυσµό και κατατάσσεται σε έναν αό τους IJ ιθανούς συνδυασµούς, των κατηγοριών των µεταβλητών X, Y. Συµβολίζουµε µε =,,..., I και j=,,..., J τον αριθµό των κατηγοριών των µεταβλητών X, Yαντίστοιχα,

36 N την συχνότητα εµφάνισης του( ) συνδυασµού. N. J = N το εριθώριο άθροισµα συχνοτήτων της γραµµής του ίνακα. j= N. j I = N το εριθώριο άθροισµα συχνοτήτων της j στήλης του ίνακα. = I J N = N το συνολικό µέγεθος του ληθυσµού. = j= = P( X =, Y = j) = N N την ιθανότητα ένα υοκείµενο να ταξινοµηθεί στην ( ) συντεταγµένη του ίνακα συνάφειας. Ισχύει ότι ( ).. I J =. = j= = P X = = N N την εριθώρια ιθανότητα ένα υοκείµενο να ταξινοµηθεί στην γραµµή του ίνακα. ( ) = P Y = j = N N την εριθώρια ιθανότητα ένα υοκείµενο να ταξινοµηθεί στην. j. j j στήλη του ίνακα. ( ) = P X = Y = j = η δεσµευµένη ιθανότητα ένα υοκείµενο να ταξινοµηθεί στην j. j γραµµή του ίνακα, δοθέντος ότι το υοκείµενο ταξινοµείται στην j στήλη του ίνακα. ( ) = P Y = j X = = η δεσµευµένη ιθανότητα ένα υοκείµενο να ταξινοµηθεί στην j. j στήλη του ίνακα, δοθέντος ότι το υοκείµενο ταξινοµείται στην γραµµή του ίνακα. { } η αό κοινού κατανοµή ιθανότητας (jont dstrbuton) των µεταβλητών X, Y. {. },{. j} οι εριθωριακές κατανοµές ιθανότητες (margnal dstrbutons) για κάθε κατηγορία των µεταβλητών X, Y. { j, j,..., I j},{,,..., J } οι δεσµευµένες κατανοµές ιθανότητας (condtonal dstrbutons) των µεταβλητών X, Y, για κάθε γνωστό είεδο των µεταβλητών Y, X, αντίστοιχα.

37 Σηµειώνουµε ότι οι δειγµατικές συχνότητες συµβολίζονται µε n, οι δειγµατικές ιθανότητες µε p και το συνολικό µέγεθος του δείγµατος µε n..3 Μεταβλητή αόκρισης και εεξηγηµατική µεταβλητή Σε ολλούς ίνακες συνάφειας, η µια µεταβλητή θεωρείται µεταβλητή αόκρισης (response varable) ή αλλιώς εξαρτηµένη µεταβλητή (συνήθως η µεταβλητή στήλη Y ) και η άλλη εεξηγηµατική µεταβλητή (explanatory varable) ή αλλιώς ανεξάρτητη (συνήθως η µεταβλητή γραµµή X ). Όταν η µεταβλητή X είναι γνωστή και όχι τυχαία, η έννοια της αό κοινού κατανοµής, ου εριγράψαµε στην ροηγούµενη αράγραφο δεν έχει νόηµα. Όµως, για µια γνωστή κατηγορία της X, η µεταβλητή Y έχει µια κατανοµή ιθανότητας. Στην ερίτωση αυτή, έχει νόηµα να µελετήσουµε ως η κατανοµή ιθανότητας της Y µεταβάλλεται, σε κάθε είεδο της µεταβλητής X. Πρωταρχικός σκοός ολλών µελετών είναι να συγκρίνουν τις δεσµευµένες κατανοµές της µεταβλητής αόκρισης Y, για διάφορα είεδα της εεξηγηµατικής µεταβλητής [Agrest, (00)]. Στην ερίτωση ου η ύαρξη µιας αιτιώδους σχέσης µεταξύ των µεταβλητών ροσδιορίζεται και στις δυο κατευθύνσεις, δηλαδή και οι δυο µεταβλητές είναι µεταβλητές αόκρισης (η µια µεταβλητή δεν ροηγείται της άλλης, είτε χρονολογικά, είτε αιτιατά, είτε µε οοιοδήοτε άλλο τρόο), τότε οι µεταβλητές αντιµετωίζονται συµµετρικά. Η διαφοροοίηση αυτή αίζει σουδαίο ρόλο για την ειλογή ενός µέτρου συνάφειας, όως θα δούµε στην συνέχεια..4 Ανεξαρτησία Όταν και οι δυο µεταβλητές είναι µεταβλητές αόκρισης, για να εριγράψουµε την µεταξύ τους συνάφεια, µορούµε να χρησιµοοιήσουµε την αό κοινού κατανοµή τους και την δεσµευµένη κατανοµή της Y ως ρος X ή την δεσµευµένη κατανοµή της X ως ρος Y. Η δεσµευµένη κατανοµή της Y δοθέντος της X, συνδέεται µε την αό κοινού κατανοµή µέσω της σχέσης 3

38 =, για όλα τα, j (.) j. υο κατηγορικές µεταβλητές αόκρισης θεωρούνται ανεξάρτητες, εάν όλες οι αό κοινού ιθανότητες ισούνται µε το γινόµενο των εριθωριακών ιθανοτήτων τους, δηλαδή όταν =, για =,,..., I και j=,,..., J (.).. j υο µεταβλητές είναι στατιστικά ανεξάρτητες, εάν οι δεσµευµένες κατανοµές της µεταβλητής Y, είναι ίδιες σε κάθε είεδο της µεταβλητής X. Όταν οι µεταβλητές X, Yείναι ανεξάρτητες τότε ισχύει = = =, για =,,..., I (.3).. j j. j.. Με άλλα λόγια, κάθε δεσµευµένη κατανοµή της Y είναι ίδια µε την εριθωριακή κατανοµή της Y. Εοµένως, δυο µεταβλητές είναι ανεξάρτητες όταν η ιθανότητα οοιασδήοτε στήλης είναι ίδια σε κάθε γραµµή, δηλαδή όταν ισχύει ότι = =... = (.4) j j j I Όταν η Y είναι µεταβλητή αόκρισης και η X εεξηγηµατική µεταβλητή, µορούµε µε ιο αλό και λογικό τρόο να ορίσουµε την ανεξαρτησία, αό ότι όταν και οι δυο είναι µεταβλητές αόκρισης. Η ανεξαρτησία στην ερίτωση αυτή, συχνά αναφέρεται και ως οµοιογένεια (homogenety) της δεσµευµένης κατανοµής. ηλαδή όταν η δεσµευµένη κατανοµή της Y είναι ίδια για κάθε είεδο της µεταβλητής X [Agrest, (00)]..5 Συµµετρία Στην ερίτωση ενός τετραγωνικού R R ίνακα συνάφειας, ο οοίος έχει την ίδια (ονοµατική ή διατακτική) ταξινόµηση γραµµών και στηλών, το ενδιαφέρον εικεντρώνεται στην µελέτη της συµµετρίας γύρω αό τα στοιχεία της κυρίας διαγώνιου, αρά για την ανεξαρτησία µεταξύ των µεταβλητών γραµµής και στήλης. Γενικά, δυο µεταβλητές θεωρείται ότι έχουν σύµµετρη ταξινόµηση αν = για, j=,,..., R και j (.5) j Στο Κεφάλαιο 6, αναφερόµαστε αναλυτικότερα στην έννοια της συµµετρίας ενός ίνακα συνάφειας, καθώς και άλλων συναφών µοντέλων. 4

39 .6 Είδη κατηγορικών µεταβλητών Η κλίµακα µέτρησης µιας µεταβλητής µορεί να είναι συνεχής (contnuous) ή διακριτή (dscrete). Μια συνεχής µεταβλητή, θεωρητικά µορεί να άρει τιµές αό όλο το εύρος του διαστήµατος στο οοίο ανήκει, όως για αράδειγµα το βάρος ή η αρτηριακή ίεση. Αντίθετα µια διακριτή µεταβλητή λαµβάνει µεµονωµένες τιµές, όως για αράδειγµα το φύλλο ή το είεδο εκαίδευσης. Τα κατηγορικά δεδοµένα αοτελούνται αό µεταβλητές οι οοίες ειδέχονται έναν εριορισµένο αριθµό διακριτών τιµών. Μορεί να είναι ονοµατικές, διατακτικές ή διαστηµατικές, αλλά δεν µορούν να είναι συνεχείς. Οι κατηγορίες των ονοµατικών µεταβλητών δεν έχουν µια φυσική διάταξη. Για αράδειγµα, η µεταβλητή «θρησκευτική ιδεολογία» έχει τις κατηγορίες, Ορθόδοξος, Καθολικός, Προτεστάντης, Εβραίος κ.α. Οι διατακτικές µεταβλητές αντιθέτως, αοτελούνται αό κατηγορίες οι οοίες µορούν να διαταχθούν. Για αράδειγµα, η µεταβλητή κοινωνική τάξη έχει κατηγορίες όως, υψηλή τάξη, µεσαία τάξη, χαµηλή τάξη. Οι µεταβλητές αυτές µορούν µεν να διαταχθούν, αλλά η αόσταση µεταξύ των κατηγοριών είναι άγνωστη. Για αράδειγµα, ένα άτοµο µε µετριοαθείς ολιτικές αντιλήψεις είναι ιο φιλελεύθερο αό ένα άτοµο µε συντηρητικές ολιτικές εοιθήσεις, αλλά δεν υάρχει µια αριθµητική τιµή ου να εριγράφει όσο ιο φιλελεύθερο είναι.. Όταν η αόσταση µεταξύ των κατηγοριών µορεί να µετρηθεί, τότε οι µεταβλητές ονοµάζονται διαστηµατικές (nterval varables). Για αράδειγµα, η µεταβλητή της αρτηριακής ίεσης, είναι µια συνεχής µεταβλητή, η οοία µορεί να κατηγοριοοιηθεί οµαδοοιώντας τις τιµές της σε συγκεκριµένα διαστήµατα τιµών, γνωστών αοστάσεων. Ο τρόος µε τον οοίο µια µεταβλητή µετριέται, καθορίζει και το είδος της. Για αράδειγµα, η µεταβλητή «Εκαίδευση», είναι ονοµατική όταν µετριέται µε βάση το είδος της εκαίδευσης, δηµόσιο ή ιδιωτικό σχολείο, είναι διατακτική, όταν µετριέται µε βάση το είεδο της εκαίδευσης, Βασική εκαίδευση, Λύκειο, Πανειστήµιο, Μετατυχιακό και τέλος είναι διαστηµατική, όταν µετριέται µε βάση τα χρόνια εκαίδευσης,,,3,... Η κλίµακα µέτρησης µιας µεταβλητής καθορίζει και το είδος της στατιστικής µεθόδου ου θα χρησιµοοιηθεί. ιάφοροι µέθοδοι ανάλυσης διατακτικών µεταβλητών αξιοοιούν την ληροφορία ου αρέχει η διάταξη των κατηγοριών. Ιεραρχικά, µε την έννοια της ληροφορίας ου αρέχουν, 5

40 ρώτες είναι οι διαστηµατικές µεταβλητές, ακολουθούν οι διατακτικές και τέλος οι ονοµατικές. Στατιστικές µέθοδοι για την ανάλυση µιας µεταβλητής ενός τύου, µορούν να χρησιµοοιηθούν και για την ανάλυση µεταβλητών υψηλότερης ιεραρχίας, αλλά οτέ χαµηλότερης. Για αράδειγµα, στατιστικές µέθοδοι για την ανάλυση ονοµατικών µεταβλητών µορούν να χρησιµοοιηθούν και για διατακτικές, αγνοώντας την διάταξη. Οι ονοµατικές µεταβλητές είναι οιοτικές µεταβλητές (qualtatve), οι κατηγορίες διαφέρουν µεταξύ τους οιοτικά και όχι οσοτικά, ενώ οι διαστηµατικές µεταβλητές είναι οσοτικές (quanttatve), τα χαρακτηριστικά των ειέδων των κατηγοριών διαφέρουν οσοτικά. Ο χαρακτηρισµός των διατακτικών µεταβλητών σε οιοτικές ή οσοτικές, δεν είναι εύκολος. Οι αναλυτές συχνά τις χειρίζονται ως οιοτικές, χρησιµοοιώντας µεθόδους ονοµατικών µεταβλητών, αλλά µορούµε να ούµε ότι µοιάζουν ερισσότερο µε διαστηµατικές µεταβλητές αρά µε ονοµατικές. Αν και δεν µορούν να µετρηθούν, κρύβουν µέσα τους µια συνεχή µεταβλητή. Για αράδειγµα, η ταξινόµηση των ολιτικών εοιθήσεων (φιλελεύθερες, µετριοαθείς ή συντηρητικές), µετρά αδέξια µια έµφυτη συνεχή µεταβλητή. Οι αναλυτές συχνά αξιοοιούν την οσοτική φύση των διατακτικών µεταβλητών, αναθέτοντας σκορ στις διάφορες κατηγορίες ή υοθέτοντας ότι ακολουθούν συνεχή κατανοµή [Agrest, (00)]..7 Κατανοµές κατηγορικών δεδοµένων H συµερασµατική ανάλυση, ααιτεί υοθέσεις αναφορικά µε τον τυχαίο µηχανισµό ου αράγει τα δεδοµένα. Στα µοντέλα αλινδρόµησης µε συνεχείς µεταβλητές αόκρισης, η κανονική κατανοµή έχει τον κυριότερο ρόλο. Οι κυριότερες κατανοµές ου εριγράφουν κατηγορικές αοκρίσεις είναι η διωνυµική, η ολυωνυµική και η Posson..7. ιωνυµική Κατανοµή Πολλές εφαρµογές αναφέρονται σε έναν γνωστό αριθµό n δίτιµων αρατηρήσεων. Έστω y, y,..., y n, οι αοκρίσεις για n ανεξάρτητες και ανοµοιότυες δοκιµές, έτσι ώστε ( = ) = και P( Y ) P Y = 0 =, όου = ειτυχία και 0= αοτυχία. 6

41 Σηµειώνουµε ότι µε τον όρο «ανοµοιότυες» δοκιµές εννοούµε ότι η ιθανότητα της ειτυχίας, είναι ίδια για κάθε δοκιµή και µε τον όρο «ανεξάρτητες» δοκιµές εννοούµε ότι οι αοκρίσεις { Y }, είναι ανεξάρτητες, τυχαίες µεταβλητές. Οι δοκιµές αυτές είναι γνωστές και ως δοκιµές Bernoull. O συνολικός αριθµός των ειτυχιών, αραµέτρου, δηλαδή Y ~ (, ) τιµή y της µεταβλητής Y, είναι όου n n! =. y y! ( n y)! n Y = Y, ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή = Bn n. H συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας για την ιθανή n y y ( ) = ( ) P y n y, για y= 0,,,..., n (.4) εν υάρχει εγγύηση ότι οι διαδοχικές διωνυµικές αρατηρήσεις είναι άντα ανεξάρτητες και ανοµοιότυες. Έτσι κάοιες φορές χρησιµοοιούνται άλλες κατανοµές. Μια τέτοια ερίτωση είναι όταν αίρνουµε διωνυµικό δείγµα αό έναν γνωστό ληθυσµό χωρίς εανάθεση, για αράδειγµα, όταν αρατηρούµε το φύλλο µιας τάξης µαθητών, αίρνοντας δείγµα 0 µαθητών αό µια τάξη µε σύνολο 0 µαθητών. Στην ερίτωση αυτή η υεργεωµετρική κατανοµή είναι καταλληλότερη..7. Πολυωνυµική Κατανοµή Κάοιες δοκιµές έχουν ερισσότερα αό δυο ιθανά αοτελέσµατα. Έστω ότι κάθε µια αό τις n ανεξάρτητες και ανοµοιότυες δοκιµές έχει αοτέλεσµα ου ανήκει σε κάοια αό τις c κατηγορίες. Έστω, y =, αν η δοκιµή έχει το j αοτέλεσµα και y = 0, διαφορετικά. Τότε το αοτέλεσµα y ( y, y,..., yc) =, ανααριστά µια ολυωνυµική δοκιµή µε c y =. Για αράδειγµα, το αοτέλεσµα ( 0,0,,0 ), σηµαίνει ότι ανάµεσα σε 4 διαδοχικές κατηγορίες, είχαµε αοτέλεσµα ου ανήκει στην 3 η κατηγορία. Αξίζει να σηµειώσουµε ότι το αοτέλεσµα y c είναι γραµµικώς εξαρτηµένο αό τα υόλοια και εοµένως η αρατήρησή του δεν είναι j= 7

42 ααραίτητη. Έστω ότι n j = y, συµβολίζει τον αριθµό των δοκιµών, ου φέρουν το j αοτέλεσµα. Τότε οι µετρήσεις ( ) Έστω, j = P( Y ) n, n,..., n c ακολουθούν την ολυωνυµική κατανοµή. = συµβολίζει την ιθανότητα να έχουµε αοτέλεσµα στην j κατηγορία, για κάθε δοκιµή. Η ολυωνυµική συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας είναι n! ( n ) n n n,,...,... c c = c n! n!... nc! P n n (.5) Καθώς n j = n, έχουµε ( ) j c διαστάσεις, µε (... ) n = n n + n + + n. Η διωνυµική c c κατανοµή είναι ειδική ερίτωση για c=..7.3 Κατανοµή Posson Μερικές φορές οι µετρήσεις δεν είναι αοτέλεσµα ενός καθορισµένου αριθµού δοκιµών. Για αράδειγµα, εάν y είναι ο αριθµός των θανάτων σε αυτοκινητιστικά δυστυχήµατα κατά την διάρκεια της εόµενης εβδοµάδος, δεν υάρχει καθορισµένο άνω όριο n για το y. Καθώς y ένας µη αρνητικός αριθµός, η κατανοµή του θα ρέει να έχει τον όγκο της σε αυτό το εύρος. Μια τέτοια κατανοµή είναι η Posson. Οι ιθανότητες βασίζονται σε µια µόνο αράµετρο, τον µέσο µ. H συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας της Posson είναι ( ) P y µ y µ e = µε y= 0,,,... (.6) y! Όσο το µ αυξάνει, η κατανοµή Posson συγκλίνει στην κανονική κατανοµή. H κατανοµή Posson χρησιµοοιείται για να µετρήσει γεγονότα ου συµβαίνουν τυχαία στον χρόνο ή τον χώρο, όταν τα αοτελέσµατα σε εριόδους ή εριοχές χωρίς συνοχή, είναι ανεξάρτητα. Είσης εφαρµόζεται σαν µια ροσέγγιση της διωνυµικής κατανοµής, όταν το n είναι µεγάλο και το είναι µικρό, µε µ = n. Άρα, όταν κάθε ένας οδηγός µιας χώρας µε ληθυσµό n= , είναι ανεξάρτητες δοκιµές, µε ιθανότητα θανάτου σε αυτοκινητιστικό δυστύχηµα την εόµενη εβδοµάδα = , τότε ο αριθµός των θανάτων Y ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή 8

43 Y ~ Bn ( , ) ή την κατά ροσέγγιση Posson κατανοµή, ~ ( 00) καθώς µ = = 00. Y Posson, Ένα κύριο χαρακτηριστικό της κατανοµής Posson, είναι ότι η διακύµανση ισούται µε τον µέσο. Οι δειγµατικές µετρήσεις οικίλλουν ερισσότερο όταν ο µέσος έχει µεγαλύτερη τιµή. Έτσι, όταν ο µέσος όρος των εβδοµαδιαίων ατυχηµάτων είναι 00, έχουµε µεγαλύτερη διακύµανση αό ότι όταν είναι Πολυωνυµική, ιωνυµική και Posson ειγµατοληψία Οι κατανοµές ιθανότητας ου εριγράψαµε ροηγουµένως, εεκτείνονται και στην εριγραφή των κελιών ενός ίνακα συνάφειας. Για αράδειγµα, ένα Posson µοντέλο δειγµατοληψίας, θεωρεί τις µετρήσεις { Y }, ως ανεξάρτητες Posson τυχαίες µεταβλητές αραµέτρου { µ }. Η αό κοινού συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας των ιθανών { } αοτελεσµάτων { n }, ισούται µε το γινόµενο των ιθανοτήτων ( = ) { IJ }, οι οοίες ακολουθούν την κατανοµή Posson, δηλαδή P Y n, για τα κελιά n f ( x, y) = exp ( µ ) µ n! (.7) j Όταν το µέγεθος του δείγµατος n είναι γνωστό, αλλά τα αθροίσµατα των γραµµών και των στηλών όχι, τότε ένα ολυωνυµικό δειγµατολητικό σχέδιο εφαρµόζεται. Τα { IJ } κελιά είναι τώρα τα ιθανά αοτελέσµατα. Η συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας των ιθανών αοτελεσµάτων ισούται µε n n! n!... n! (.8) j Συχνά οι αρατηρήσεις της µεταβλητής αόκρισης Y, συµβαίνουν ξεχωριστά σε κάθε είεδο της εεξηγηµατικής µεταβλητής X. Στην ερίτωση αυτή, θεωρούµε ότι τα αθροίσµατα των γραµµών ( n. ) είναι γνωστά. Έστω ότι οι { } n αρατηρήσεις της Y, για κάθε κατηγορία της 9

44 . Οι µετρήσεις { n } X είναι ανεξάρτητες, µε κατανοµή ιθανότητας { = =... = J } j=,,..., J, ικανοοιούν την σχέση n = n. και έχουν την ολυωνυµική µορφή j., για n.! n n! j j j (.9) Όταν τα δείγµατα στα διάφορα είεδα της µεταβλητής X είναι ανεξάρτητα, το δειγµατολητικό σχέδιο ονοµάζεται γινόµενο ολυωνυµικής δειγµατοληψίας (product multnomal samplng), καθώς η αό κοινού συνάρτηση ιθανότητας των δεδοµένων, είναι το γινόµενο ολυωνυµικών συναρτήσεων, για κάθε είεδο της X. Τέλος, όταν τα αθροίσµατα των γραµµών και των στηλών είναι γνωστά, τότε η καταλληλότερη δειγµατολητική κατανοµή είναι η υεργεωµετρική..7.5 Παραδείγµατα Ερευνητές σχεδιάζουν να µελετήσουν την σχέση µεταξύ της χρήσης ζώνης ασφαλείας και θανητοφόρου ή όχι ατυχήµατος. Στην ερίτωση ου αοφασίσουν να καταγράψουν όλα τα ατυχήµατα ου θα συµβούν εντός ενός έτους, τότε το συνολικό µέγεθος δείγµατος είναι µια τυχαία µεταβλητή. Τότε θα θεωρήσουν ότι ο αριθµός των αρατηρήσεων µεταξύ των τεσσάρων συνδυασµών, χρήση ζώνης και αοτέλεσµα ατυχήµατος, ως ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές ου ακολουθούν την κατανοµή Posson µε άγνωστη µέση τιµή {,,, } µ µ µ µ. Αντιθέτως, αν οι ερευνητές αοφασίσουν να άρουν αό το αρχείο της αστυνοµίας, τυχαίο δείγµα 00 ατυχηµάτων ου συνέβησαν το ροηγούµενο έτος και ταξινοµήσουν κάθε ατύχηµα σύµφωνα µε τις κατηγορίες, «Χρήση ζώνης» (Ναι / Όχι), για την µεταβλητή X γραµµή και «Ατύχηµα» (Θανατηφόρο / µη θανητηφόρο), για την µεταβλητή Y στήλη, τότε το µέγεθος του δείγµατος είναι γνωστό. Για την µελέτη αυτή, θα θεωρήσουν ότι τα 4 κελιά του ίνακα είναι ολυωνυµικές τυχαίες µεταβλητές, µε n = 00 δοκιµές και άγνωστη αράµετρο την αό κοινού ιθανότητα {,,, }. 0

45 Στην ερίτωση ου τα θανητοφόρα ατυχήµατα ήταν καταγεγραµµένα σε ξεχωριστά αρχεία της αστυνοµίας, τότε οι ερευνητές θα έρεε να άρουν τυχαίο δείγµα 00 ατυχηµάτων αό το αρχείο των θανατηφόρων γεγονότων και τυχαίο δείγµα 00 ατυχηµάτων αό το αρχείο των µη θανητηφόρων γεγονότων. Αυτή η ροσέγγιση θεωρεί το άθροισµα των στηλών γνωστό. Στην ερίτωση αυτή κάθε στήλη του ίνακα, θα ρέει να θεωρηθεί ως ένα ανεξάρτητο διωνυµικό δείγµα, αφού λέον τα αοτελέσµατα είναι χρήση ή µη χρήση ζώνης ασφαλείας. Τέλος η αραδοσιακή ροσέγγιση ενός ειραµατικού σχεδιασµού είναι να τυχαιοοιήσουµε 00 υοκείµενα, 00 να ειλεγούν να κάνουν χρήση ζώνης και 00 να µην κάνουν χρήση ζώνης και να τα υοβάλλουµε να υοστούν ατύχηµα. Τα αοτελέσµατα τότε θα είναι ανεξάρτητα διωνυµικά δείγµατα σε κάθε µια γραµµή του ίνακα, µε γνωστό άθροισµα κάθε γραµµής 00. Είναι ροφανές ότι υάρχουν ηθικοί λόγοι για την αοφυγή τέτοιου είδους σχεδιασµών, ειδικά στους ανθρώους. Κάτι τέτοιο, είναι εντονότερο κυρίως σε ιατρικές µελέτες.

46

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΜΕΤΡΩΝ 3. Εισαγωγή Πως µορούµε να µετρήσουµε την συνάφεια µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών, όως η θρησκεία, το εάγγελµα, ή η ροτίµηση µεταξύ διαφορετικών ειλογών; Με την χρησιµοοίηση ενός µέτρου συνάφειας, δηλαδή µιας στατιστικής συνάρτησης ου συνοψίζει τον βαθµό της σχέσης µεταξύ δυο µεταβλητών. Σε µια εκτεταµένη ανασκόηση της βιβλιογραφίας, οι Goodman & Kruskal (979), βρήκαν άρα ολλά µέτρα για τον σκοό αυτό. Εάν ο λόγος, για τον οοίο χρειαζόµαστε ένα µέτρο συνάφειας είναι γνωστός, τότε είναι ιο εύκολη η ειλογή του. Για αράδειγµα, µια εταιρία κατασκευής τηλεοράσεων ενδιαφέρεται να διαφηµίσει ένα νέο µοντέλο µέσω εφηµερίδας. Ο ίνακας συνάφειας διασταυρώνοντας τις µεταβλητές, «αγαηµένη εφηµερίδα» και «χρήση τηλεόρασης», µορεί να µας δώσει την ληροφορία: οια εφηµερίδα διαβάζουν ερισσότερο όσοι έχουν τηλεόραση. Ένα λογικό µέτρο συνάφειας, θα ήταν αλά η αναλογία των ατόµων στον ληθυσµό ου έχουν τηλεόραση και διαβάζουν την συγκεκριµένη εφηµερίδα. Όµως, είναι σάνιες οι εριτώσεις για τις οοίες o σκοός µιας έρευνας µορεί να ορισθεί. Συνήθως µια έρευνα είναι εεξηγηµατική και έχει ολλούς στόχους. Μερικές φορές χρειαζόµαστε ένα µέτρο συνάφειας αλά για να συνοψίσουµε ένα µεγάλο σύνολο δεδοµένων. 3. Κριτήρια ειλογής µέτρων συνάφειας Καθώς τα διάφορα µέτρα συνάφειας, ου µορούν να υιοθετηθούν για την ανάλυση ενός ίνακα συνάφειας, δεν στηρίζονται στα ίδια κριτήρια για τον υολογισµό της έντασης της σχέσης µεταξύ των δυο µεταβλητών, τότε εάν δυο ή ερισσότερα µέτρα εφαρµοστούν στο ίδιο σύνολο δεδοµένων, ίσως να µην αοδώσουν συγκρίσιµους συντελεστές συνάφειας. Αν και στην ανάλυσή µας, θα εξηγήσουµε τους αράγοντες ου ρέει να λαµβάνονται υόψη, αναφορικά µε το ιο αό τα διάφορα µέτρα θα ρέει να χρησιµοοιήσουµε, στην λειοψηφία των 3

1. Διδιάστατοι πίνακες συνάφειας χωρίς τη χρήση γενικευμένων γραμμικών μοντέλων

1. Διδιάστατοι πίνακες συνάφειας χωρίς τη χρήση γενικευμένων γραμμικών μοντέλων Διδιάστατοι ίνακες συνάφειας χωρίς τη χρήση γενικευμένων γραμμικών μοντέλων Έστω Χ, Υ δύο κατηγορικές μεταβλητές αόκρισης με Ι και στάθμες αντίστοιχα Οι αοκρίσεις (Χ,Υ ενός τυχαία ειλεγμένου ατόμου αό

Διαβάστε περισσότερα

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων 8 Το θεώρηµα λλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων Όως έχουµε ήδη αναφέρει η δεύτερη βασική µέθοδος υολογισµού ολλαλών ολοκληρωµάτων είναι αυτή της αλλαγής µεταβλητής, την οοία έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

7. Επαναλαµβανόµενα υναµικά Παίγνια.

7. Επαναλαµβανόµενα υναµικά Παίγνια. 7 Εαναλαµβανόµενα υναµικά Παίγνια Τα εαναλαµβανόµενα υναµικά αίγνια αοτελούν συνυασµό ταυτόχρονου και υναµικού αιγνίου, είτε στην ερίτωση ου ένα ταυτόχρονο αίγνιο εαναλαµβάνεται ιαχρονικά, είτε εανάληψη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοοίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schrödinger για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schrödinger για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό. Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schöinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schöinge για ένα σωμάτιο το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση (8 µον) Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση acosθ, ή ataθ, για µια κατάλληλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 4 Φεβρουαρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1 ο (.5) Αναλύστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 0-03 ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) + N( ) σ γνωστό και διακριτό prior. π ϑ = = = Παράδειγμα. 1. Να βρεθεί το marginal probability density του y (the prior predictive)

( ) ( ) + N( ) σ γνωστό και διακριτό prior. π ϑ = = = Παράδειγμα. 1. Να βρεθεί το marginal probability density του y (the prior predictive) Παράδειγμα ( ϑσ ) amplg dsrbuo: y ϑ~ N, ϑ ~ όου = ( ϑ = ) με σ γνωστό και διακριτό pror. Να βρεθεί το margal probably desy του y (he pror predcve). Να εριγραφεί το samplg scheme αό την pror predcve. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυο Yοβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμληρώνει την ενότητα «Υοβολή Εργασίας» και αοστέλλει το έντυο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας

Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας Ο όρος συνάφεια προέρχεται από τον Pearso (1904) όπου ορίζεται για ένα πίνακα IJ ως ένα μέτρο της συνολικής απόκλισης της ταξινόμησης από την ανεξάρτητη πιθανότητα. Από

Διαβάστε περισσότερα

7 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΙΑ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΚΟΙΛΑΝΣΗΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΩΝ ΚΥΑΘΙΩΝ

7 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΙΑ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΚΟΙΛΑΝΣΗΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΩΝ ΚΥΑΘΙΩΝ 7 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΙΑ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΚΟΙΛΑΝΣΗΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΩΝ ΚΥΑΘΙΩΝ 7. Γενικά Οι κατεργασίες και οι εκτιμήσεις ου ααιτούνται για το σχεδιασμό κατεργασιών κοίλανσης είναι εκτενείς, καθόσον μάλιστα μορεί να ααιτούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09)

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09) ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) Ασκήσεις ου αρουσιάστηκαν στο µάθηµα (8-9). Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου υλικού

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Θεωρία)

Στραγγίσεις (Θεωρία) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκαιδευτικό Ίδρυμα Ηείρου Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 1 : Η ασταθής στράγγιση των εδαφών ΙΙ Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 6... Πρώτος τρόος γραμμικοοίησης Η μη γραμμικότητα της

Διαβάστε περισσότερα

fysikoblog.blogspot.com

fysikoblog.blogspot.com fysikobog.bogspot.com Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙV: Η Εξίσωση Schoedinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schoedinge

Διαβάστε περισσότερα

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων Τα κύµατα δεν είναι η συνέχεια των ταλαντώσεων, όως για διδακτικούς λόγους κάνουµε 1. Η διάδοση ενός αλµού. Έστω ότι έχουµε ένα ελαστικό µέσο,.χ. µια τεντωµένη οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: Mαΐου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x

Προτεινόμενες λύσεις. , β) και η f είναι συνεχής στο x. , η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,x. 0]. Έτσι έχουμε: f(x) f(x Προτεινόμενες λύσεις Πανελλήνιες 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 8/5/6 Θέμα A A. Εειδή f () > για κάθε Î (α, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ]. Έτσι έχουμε: f() f( ), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων. στο Επίπεδο z. Πόλοι και Μηδενισµοί Συνάρτησης Μεταφοράς. Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 1

Περιγραφή Συστηµάτων. στο Επίπεδο z. Πόλοι και Μηδενισµοί Συνάρτησης Μεταφοράς. Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 1 Περιγραφή Συστηµάτων στο Είεδο Πόλοι και Μηδενισµοί Συνάρτησης Μεταφοράς Νοέµβριος 005 ΨΕΣ Rmindr Ο Μετασχηµατισµός Ζ µιας ακολουθίας xn διακριτού χρόνου ορίζεται αό την σχέση: X x n n n Η µιγαδική µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου Κεφάλαιο 3 Συστήµατα Markov Μια διαδικασία Markov µε διακριτό χώρο καταστάσεων ονοµάζεται αλυσίδα Markov Ένα σύνολο αό τυχαίες µεταβλητές { } αοτελούν µια αλυσίδα Markov όταν η ιθανότητα η εόµενη τιµή

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Να διαβάσετε τις σελίδες 8-1 του σχολικού βιβλίου. Να ροσέξετε ιδιαίτερα τα σχήµατα 1.1, 1.3 και 1.4 καθώς και τους ορισµούς της αρχικής φάσης και της φάσης της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΙΤΩΝ

ΕΝΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΙΤΩΝ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 17 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2004), σελ. 127-134 ΕΝΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΙΤΩΝ Θεοδόσης. ηµητράκος Τµήµα Στατιστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Εργονομικού Καθίσματος Εργασίας Ημικαθιστού τύπου

Σχεδιασμός Εργονομικού Καθίσματος Εργασίας Ημικαθιστού τύπου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Σχεδιασμός Εργονομικού Καθίσματος Εργασίας Ημικαθιστού τύου Παναγιώτης Α. Γούργουρας Ειβλέων:

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων Η Αγορά Ξένου Συναλλάγµατος 6.5 ιµολόγηη Συµβολαίων Μελλοντικής Εκλήρωης και ικαιωµάτων Προαίρεης εί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουιακών Στοιχείων ιµολόγηη υµβολαίων µελλοντικής εκλήρωης * : όου: F0, 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, ου κρατάς στα χέρια σου ροέκυψε τελικά μέσα αό την εμειρία και διδακτική διαδικασία ολλών χρόνων στον Εκαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αοτέλεσμα συγγραφής ολλών καθηγητών μας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA 1 Eisagwg Οι σειρές Fourier είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο του Λογισμού ου βρίσκει ολλές εφαρμογές σε διάφορα εδία της ειστήμης, χ στις

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΣΤΑΤ Πολιτική Αναθεωρήσεων

ΕΛΣΤΑΤ Πολιτική Αναθεωρήσεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΣΤΑΤ Πολιτική Αναθεωρήσεων ΠΕΙΡΑΙΑΣ, ΜΑΪΟΣ 2013 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) υιοθετεί την αρούσα ολιτική αναθεωρήσεων η ο οία καθορίζει τυ ο οιηµένους

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν.

Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σειρές συναρτήσεων Καθώς το εερασμένο ερικλείει μία άειρη σειρά Και στο αεριόριστο εμφανίζονται όρια Έτσι και η ψυχή της αεραντοσύνης φωλιάζει στις μικρές λετομέρειες Και μέσα στα ιο στενά όρια,

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ http://eepgr/pli/pli/studetshtm ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ), - ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤ Τα κάτωθι ροβλήµατα ροέρχονται αό την ύλη και των συγγραµµάτων της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. ιδάσκων: ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. ιδάσκων: ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 2012-2013 ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80 v.koutras@fµe.aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών)

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) η Σειρά Ασκήσεων //7 Ι. Σ. Ράτης Ειστροφή µέχρι //7. Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΔΥΟ ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΠΑΡΞΗΣ Ή ΟΧΙ ΣΧΕΣΗΣ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΦΥΣΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ CROSSTABS ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Ο πίνακας συνάφειας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1 η Ερώτηση ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Όταν ρίξουµε µια έτρα στην ειφάνεια µιας ήρεµης λίµνης, τότε στο σηµείο της ειφάνειας ου έεσε η έτρα ροκαλείται µια διατάραξη της ειφανειακής µάζας του νερού στην ειφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.

Διαβάστε περισσότερα

ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου.

ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου. ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Ααντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου. Ανδρέας Ζούας 8 Σετεµβρίου Οι λύσεις αλώς ροτείνονται και σαφώς οοιαδήοτε σωστή λύση είναι αοδεκτή!

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρων σε ψηφιακά

Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρων σε ψηφιακά Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά Η κλασική µέθοδος για το σχεδιασµό ψηφιακών φίλτρν βασίζεται στο µετασχηµατισµό ενός αναλογικού φίλτρου σε ψηφιακό το οοίο να ληροί ορισµένες ροδιαγραφές N

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές µορφές Ερωτήσεων - απαντήσεων Ανοιχτές Κλειστές Κλίµακας ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 2 Ανοιχτές ερωτήσεις Ανοιχτές

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT)

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT) ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAT Νικόλαος ηµητρίου ρ.ηλεκτρολόγος Μηχανικός ΣΕΠ, ΘΕ ΠΛΗ ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 4 ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

ιδακτικές προσεγγίσεις του προβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών e π και π e στα πλαίσια της Ανάλυσης

ιδακτικές προσεγγίσεις του προβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών e π και π e στα πλαίσια της Ανάλυσης ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ γ, Τεύχος 60-61, 2003 Ειµόρφωση ιδακτικές ροσεγγίσεις του ροβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών και στα λαίσια της Ανάλυσης ηµήτρης Ντρίζος, Γιάννης Τυρλής Μαθηµατικοί.Ε., Μ..Ε.(M.Ed.) τµ. Μαθ/κών

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις ερωτήσεις κρίσεως

Ταλαντώσεις ερωτήσεις κρίσεως Ταλαντώσεις (Γενικές ερωτήσεις κρίσεως) 1. Σώµα εκτελεί γ.α.τ. Τη στιγµή t = 0 είναι x = 0 και υ > 0. Στη διάρκεια µιας εριόδου (Τ) η ταχύτητα του σώµατος αλλάζει φορά: α) δύο φορές, β) τρεις φορές, γ)

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα 1 ο Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ *** ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Στις ερωτήσεις 1-5 να επιλέξετε την σωστή απάντηση :

Θέµα 1 ο Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ *** ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Στις ερωτήσεις 1-5 να επιλέξετε την σωστή απάντηση : Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ *** ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Στις ερωτήσεις - 5 να ειλέξετε την σωστή αάντηση :. Η ερίοδος µιας γραµµικής αρµονικής ταλάντωσης α. εξαρτάται άντα αό τη

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΙΑ ΕΞΑ ΙΑΣΤΑΤΗ ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΑΚΤΙΝΟ ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΗ ΤΗΣ ΠΝΕΥΜΟΝΟΚΟΝΙΑΣΗΣ

ΤΑΞΙΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΙΑ ΕΞΑ ΙΑΣΤΑΤΗ ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΑΚΤΙΝΟ ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΗ ΤΗΣ ΠΝΕΥΜΟΝΟΚΟΝΙΑΣΗΣ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 7 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (004), σελ. 03-08 ΤΑΞΙΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΙΑ ΕΞΑ ΙΑΣΤΑΤΗ ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΑΚΤΙΝΟ ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΗ ΤΗΣ ΠΝΕΥΜΟΝΟΚΟΝΙΑΣΗΣ Θεόφιλος

Διαβάστε περισσότερα

ειναι η υπαρξη σημειων ευσταθειας (stationary points) που αναλυονται παρακατω. f ειναι παραγωγισιμη, τοτε η ( x)

ειναι η υπαρξη σημειων ευσταθειας (stationary points) που αναλυονται παρακατω. f ειναι παραγωγισιμη, τοτε η ( x) 4 Κλασσικες Μεθοδοι Βελτιστοοιησης Στο κεφαλαιο αυτο αρουσιαζονται τα ροβληματα βελτιστοοιησης: () χωρις εριορισμους, () με εριορισμους ισοτητας, () με εριορισμους ανισοτητας, και (4) με Rewto-Rapso..

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ 1 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 3 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Χρησιμοοιώντας τα στοιχεία του αρακάτω ίνακα, να γίνει η γραφική αράσταση της μάζας (Μ), του όγκου (V) και της αραγωγής γλυκόζης (G) σαν συνάρτηση της ηλικίας (α). Για οιες αό αυτές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ -ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ-ΣΤΑΣΙΜΟ

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ -ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ-ΣΤΑΣΙΜΟ ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ -ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ-ΣΤΑΣΙΜΟ Το σηµείο Ο γραµµικού ελαστικού µέσου το οοίο ταυτίζεται µε τον άξονα χ Οχ, εκτελεί ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ ου γίνονται στην ίδια διεύθυνση, κάθετα στον άξονα χ

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μικρές ασκήσεις ου αναφέρονται στους ορισμούς της εριόδου, της συχνότητας, του λάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 18 Αλλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (1), Β= g Α Α n όου Α, Β R Jodan µετρήσιµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόο ανάτυξης σε σειρά Fourir ενός εριοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourir ενός µη εριοδικού αναλογικού

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Ανεξαρτησίας x2 του Pearson x2 του Pearson

Έλεγχος Ανεξαρτησίας x2 του Pearson x2 του Pearson Έλεγχος Ανεξαρτησίας x του Parso Έστω ότι λαμβάνουμε δείγμα μεγέθους. Η πιθανότητα π εμφάνισης ενός χαρακτηριστικού να βρεθεί στο κελί (i,j) κάτω από την υπόθεση Η 0 της ανεξαρτησίας δίνεται από την σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Πυκνωτή ονομάζουμε ένα σύστημα δυο αγωγών οι οοίοι βρίσκονται σε μικρή αόσταση μεταξύ τους και φέρουν ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία. Χαρακτηριστικό μέγεθος των υκνωτών

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα σε κάθε αριθµό το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 8 : Η σταθερή στράγγιση των εδαφών ΙΙ Δρ.

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 8 : Η σταθερή στράγγιση των εδαφών ΙΙ Δρ. Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκαιδευτικό Ίδρυμα Ηείρου Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 8 : Η σταθερή στράγγιση των εδαφών ΙΙ Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 5.3.. Η Μέθοδος του ikham Ο on ikham το έτος 958 χρησιμοοιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Δρ. Χαράλαμος Π. Στρουθόουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΩΝ : Χρήστος Βοζίκης

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΩΝ : Χρήστος Βοζίκης ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ 5-6 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 6 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Τμήμα Μηχ. Η/Υ, Τηλε. Δικτύων Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΦΘινοωρινό Εξάμηνο 00/ Άσκηση Να βρείτε αν τα αρακάτω συστήματα είναι γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 8464 84767 www.iraklitos.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα