ΜΕΤΡΑ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΤΡΑ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΤΡΑ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Γεώργιος Ι. Κουτσοχέρας ιλωµατική Εργασία ου υοβλήθηκε στο Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Ειστήµης του Πανειστηµίου Πειραιώς ως µέρος των ααιτήσεων για την αόκτηση του Μετατυχιακού ιλώµατος Ειδίκευσης στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πειραιάς Σετέµβριος 00

2

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΤΡΑ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Γεώργιος Ι. Κουτσοχέρας ιλωµατική Εργασία ου υοβλήθηκε στο Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Ειστήµης του Πανειστηµίου Πειραιώς ως µέρος των ααιτήσεων για την αόκτηση του Μετατυχιακού ιλώµατος Ειδίκευσης στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πειραιάς Σετέµβριος 00

4 Η αρούσα ιλωµατική Εργασία εγκρίθηκε οµόφωνα αό την Τριµελή Εξεταστική Ειτροή ου ορίσθηκε αό την ΓΣΕΣ του Τµήµατος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Ειστήµης του Πανειστηµίου Πειραιώς στην υ αριθµ... συνεδρίασή του σύµφωνα µε τον Εσωτερικό Κανονισµό Λειτουργίας του Προγράµµατος Μετατυχιακών Σουδών στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Τα µέλη της Ειτροής ήταν: - Πααιωάννου Τάκης (Ειβλέων) - Κατέρη Μαρία - Τζαβελάς Γεώργιος Η έγκριση της ιλωµατικής Εργασίας αό το Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Ειστήµης του Πανειστηµίου Πειραιώς δεν υοδηλώνει αοδοχή των γνωµών του συγγραφέα.

5 UNIVERITY OF PIRAEU D EPARTMEN T OF TATITI A N D INURANE IENE P O TGRADUATE PR O G R A M IN A PPLIED T ATITI MEAURE OF AOIATION AND MEAURE OF YMMETRY AYMMETRY FOR ONTINGENY TABLE By George I. Koutsocheras Mc Dssertaton submtted to the Department of tatstcs and Insurance cence of the Unversty of Praeus n partal fulfllment of the requrements for the degree of Master of cence n Appled tatstcs Praeus, Greece eptember 00

6

7 Πληροφορία είναι η σηµασία ου δίνει ο άνθρωος στα δεδοµένα laude hannon, (948)

8

9 Ευχαριστίες Ευχαριστώ θερµά τον ειβλέοντα καθηγητή µου κ. Πααιωάννου Τ., για την υοµονή και την αµέριστη υοστήριξη και βοήθεια ου µου ροσέφερε κατά την διάρκεια της συγγραφής της αρούσας εργασίας. Με την ενθάρρυνση και καθοδήγησή του κατάφερα να εµβαθύνω στο γνωστικό αντικείµενο, το οοίο η εργασία διαραγµατεύεται και να ανατύξω εραιτέρω το ενδιαφέρον µου για την Στατιστική. Ειλέον, ευχαριστώ ιδιαιτέρως την κα. Κατέρη Μ. και τον κ. Τζαβελά Γ., για την συµµετοχή τους στην Τριµελή Εξεταστική Ειτροή και τα εοικοδοµητικά τους σχόλια. Στο σηµείο αυτό, θα ήθελα είσης να εκφράσω τις ευχαριστίες µου στον Professor Mr Tomzawa. για το ενδιαφέρον ου έδειξε, ικανοοιώντας ανιδιοτελώς το αίτηµά µου. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω τον Γεράσιµο, τον Γιώργο, την Κυριακή, την Ζωή, τον Μάνο, τον Alex, την Ευδοκία και τον John D., για όσα χωρίς να γνωρίζουν ροσέφεραν.

10

11 Περίληψη Υοκειµενικές εκτιµήσεις της οιότητας ζωής, του όνου, της ικανότητας κτλ, είναι συχνές στις κλινικές έρευνες. Στην ραγµατικότητα, σκοός κάθε ερευνητικής ροσάθειας, είναι να ανακαλύψει σηµαντικές σχέσεις ή συνάφειες, µεταξύ των µεταβλητών. Όµως, σανίως είναι αρκετό να γνωρίζουµε µόνο την ύαρξη κάοιας σχέσης, κι έτσι οι έρευνες εικεντρώνονται στην οσοτικοοίηση της συνάφειας, ααντώντας στο ερώτηµα, «Σε τι βαθµό η µεταβλητή X σχετίζεται µε την µεταβλητή Y ;» Πάρα ολλά µέτρα ή συντελεστές έχουν ροταθεί για το σκοό αυτό. Τα µέτρα συνάφειας διανύουν µια διαδροµή 3 αιώνων και το ρόβληµα ου αντιµετωίζουν κυρίως οι ερευνητές, είναι η ειλογή του καταλληλότερου µέτρου για κάθε ερίτωση, καθώς τα µέτρα συνήθως αοδίδουν διαφορετικές τιµές, ακόµα και στην ερίτωση ου αναλύουµε το ίδιο σύνολο δεδοµένων. Η ειλογή ενός κατάλληλου µέτρου, βασίζεται µεταξύ άλλων, στις υοθέσεις ου κάνει για τον τρόο υολογισµού του, καθώς και στα χαρακτηριστικά των υό εξέταση µεταβλητών. Στην αρούσα εργασία, κάνουµε µια γενική ανασκόηση των «αραδοσιακών» µέτρων συνάφειας, ου ανατύχθηκαν κατά την έναρξη του 0 ου αιώνα, καθώς και όσων ανατύχθηκαν µεταγενέστερα, βάσει ιο σύγχρονων υοθέσεων, γνωστά και ως µέτρα ρογνωστικής συνάφειας. Ειλέον, αρουσιάζουµε την σχετικά ρόσφατη ανάτυξη των νεοσύστατων µέτρων συµµετρίας - ασυµµετρίας για τετραγωνικούς ίνακες συνάφειας, τα οοία στηρίζονται στην θεωρία της ληροφορίας. Συγκεκριµένα, αρουσιάζουµε 8 µέτρα συνάφειας ονοµατικής ταξινόµησης, 7 µέτρα συνάφειας διατακτικής ταξινόµησης και 34 µέτρα συµµετρίας - ασυµµετρίας. Ο σκοός της εργασίας, είναι η λετοµερή εεξήγηση των υοθέσεων, ου κρύβονται στον τρόο υολογισµού κάθε µέτρου, αρέχοντας µια ξεκάθαρη ερµηνεία στον αναγνώστη. Εξετάζουµε τις ιδιότητες των µέτρων, εριγράφουµε τα λεονεκτήµατα και τα µειονεκτήµατα αυτών, καθώς και τις ενδεχόµενες µεταξύ τους σχέσεις και καταµετρούµε τις δυνατές εριτώσεις ου µορεί να αντιµετωίσει ένας ερευνητής, φιλοδοξώντας να διευκολύνουµε την διαδικασία της ειλογής του.

12

13 Abstract Assessment of subjectve phenomena such as pan, qualty of lfe, ablty etc., s common n clncal researches. Even though, ntal scope of each research s to dentfy sgnfcant underlyng dependence or assocaton between the varables, n most cases t s by no means enough. Thus, t s often of nterest to quantfy the statstcal dependence, answerng the queston: «What s the strength of the assocaton between the varables X and Y?» The lterature on measures of assocaton or coeffcents s now vast and a bg varety of them has been proposed, for every nstance. The contngency tables analyss and the development of new measures, reman an actve area of research today and thus our hstory covers actvtes that span 3 centures. Despte recent advances n the area, many researchers are facng the problem of how to select the most approprate measure suted to ther purposes. Indeed, for any gven stuaton, there may be several dfferent measures that are vald, yeldng dfferent resultng values for the same data set. To decde on the approprate measure, one must consder the assumptons behnd measure specfcatons and to dentfy the characterstcs of the varables beng studed. In ths paper we gve an overvew of the most well-known and wdely used measures of assocaton. ome of them, usually called «tradtonal measures», were developed around the dawn of the 0 th century and other, known as «measures of predctve assocaton», were developed later, n the md of the 0 th century and are based on modern assumptons. In addton, we present the measures of symmetry-asymmetry for square contngency tables, whch have only recently been developed and are based on Informaton Theory. More specfcally, we present 8 measures of assocaton for nomnal varables, 7 measures of assocaton for ordnal varables and 34 measures of symmetry-asymmetry for nomnal and ordnal varables. Ths paper attempts to clarfy the assumptons and the underlyng rules for the selected measures, provdng the reader wth clear nterpretatons of each measure. In that sense, the propertes and the advantages or dsadvantages of the measures are also ncluded, amng at llustratng potental lnks among them. Further, ths paper enumerates possble cases that can be encountered by the researcher, hopefully havng the effect of facltatng the selecton process.

14

15 Περιεχόµενα Κατάλογος ινάκων Κατάλογος συντοµογραφιών xx xx. Εισαγωγή. Κατηγορικά δεδοµένα. Πεδία εφαρµογών κατηγορικών δεδοµένων.3 Ιστορική Αναδροµή 3.4 Συντελεστές αλινδρόµησης και µέτρα συνάφειας 6.5 Συνάφεια και Ασυµµετρία 7.6 ιάρθρωση της εργασίας 7. Βασικές έννοιες ανάλυσης κατηγορικών δεδοµένων 9. Εισαγωγή 9. Πίνακες Συνάφειας 9.. Είδη Πινάκων Συνάφειας 0.. Πλεονεκτήµατα Πινάκων Συνάφειας..3 Συµβολισµοί ενός Πίνακα Συνάφειας.3 Μεταβλητή αόκρισης και εεξηγηµατική µεταβλητή 3.4 Ανεξαρτησία 3.5 Συµµετρία 4.6 Είδη κατηγορικών µεταβλητών 5.7 Κατανοµές κατηγορικών δεδοµένων 6.7. ιωνυµική Κατανοµή 6.7. Πολυωνυµική Κατανοµή Κατανοµή Posson Πολυωνυµική, ιωνυµική και Posson δειγµατοληψία Παραδείγµατα 0 xv

16 3. Κριτήρια ειλογής και βασικές ιδιότητες των µέτρων 3 3. Εισαγωγή 3 3. Κριτήρια ειλογής µέτρων συνάφειας Είδος δεδοµένων (συνέχεια) ιάσταση του Πίνακα Είδος µεταβλητών ( ιάταξη) Συµµετρικότητα Βασικές ιδιότητες ενός µέτρου Τα αξιώµατα του Reny Παρατηρήσεις Μέτρα ληροφορίας και αόστασης ή αόκλισης Σύντοµη ιστορική αναδροµή των µέτρων ληροφορίας Κλάσεις µέτρων ληροφορίας και αόστασης 9 4. Μέτρα συνάφειας για ονοµατικές µεταβλητές Εισαγωγή Μέτρα συνάφειας για δίτιµες κατηγορικές µεταβλητές Σχετικός Κίνδυνος Λόγος ιθανοτήτων ( odds rato ) ή λόγος διαγώνιων γινοµένων Μέτρα συνάφειας ου βασίζονται στο odds rato Συντελεστής συνάφειας Q του Yule Συντελεστής συνάφειας Y του Yule Μέτρα συνάφειας ου βασίζονται στο test χ του Pearson Συντελεστής συνάφειας ϕ του Yule Συντελεστής συνάφειας T του Tschuprow Συντελεστής συνάφειας V του ramer Συντελεστής συνάφειας του Pearson Μέτρα ρογνωστικής συνάφειας 6 xv

17 4.5. Συντελεστής συνάφειας λ lambda των Goodman-Kruskal Συντελεστής συνάφειας τ των Goodman-Kruskal Συντελεστής αβεβαιότητας U του Thel Συµεράσµατα 7 5. Μέτρα συνάφειας για διατακτικές µεταβλητές Εισαγωγή ιατακτικά µέτρα συνάφειας σύµφωνων ασύµφωνων ζευγών Συντελεστής gamma των Goodman-Kruskal Συντελεστές tau του Kendall Συντελεστές D του omers ιατακτικά µέτρα συνάφειας ου βασίζονται στην ανάθεση σκορ Συντελεστής ιεραρχικής συσχέτισης rho του pearman Συµεράσµατα Μέτρα συµµετρίας ασυµµετρίας Εισαγωγή Βασικά εδία εφαρµογών Ταξινόµηση των µέτρων συµµετρίας - ασυµµετρίας Ορισµοί των µοντέλων Συµµετρίας Μοντέλο Συµµετρίας ( - ymmetry) Μοντέλο Περιθώριας Οµοιογένειας Μοντέλο Ψευδοσυµµετρίας (Q - Quas ymmetry) Μέτρα Συµµετρίας Μέτρα αοµάκρυνσης αό την για ονοµατικές µεταβλητές Γενίκευση των µέτρων αοµάκρυνσης αό την για ονοµατικές µεταβλητές Μέτρα αοµάκρυνσης αό την Συνολική Συµµετρία (G) για διατακτικές µεταβλητές 0 xv

18 6.5.4 Μέτρα αοµάκρυνσης αό την Q για ονοµατικές Μεταβλητές Μέτρα αοµάκρυνσης αό την ΜΗ για ονοµατικές µεταβλητές Μέτρα ου βασίζονται στις αδέσµευτες εριθώριες κατανοµές ιθανότητας Μέτρα ου βασίζονται στις δεσµευµένες εριθώριες κατανοµές ιθανότητας Γενίκευση του µέτρου αοµάκρυνσης αό την ΜΗ για ονοµατικές µεταβλητές Γενικευµένο µέτρο Γενικευµένο µέτρο Φ 9 ( λ ) Φ 30 ( λ) Μέτρα αοµάκρυνσης αό την ΜΗ για διατακτικές µεταβλητές Γενικευµένο µέτρο Γ ( λ) ου βασίζεται στις αδέσµευτες εριθώριες κατανοµές ιθανότητας Γενικευµένο µέτρο Γ ου βασίζεται στις ( λ ) δεσµευµένες εριθώριες κατανοµές ιθανότητας Ορισµoί των µοντέλων Ασυµµετρίας για ίνακες συνάφειας Μοντέλο εσµευµένης Συµµετρίας Μοντέλο Τριγωνικής Συµµετρίας T Trngular ymmetry Μοντέλο ιαγώνιας Συµµετρίας D- Dagonal ymmetry Μέτρα Ασυµµετρίας Μέτρο αοµάκρυνσης αό την ιαγώνια Συµµετρία D Μέτρο αοµάκρυνσης αό την εσµευµένη Συµµετρία Μέτρο αοµάκρυνσης αό την Τριγωνική Συµµετρία T Μέτρα Συµµετρίας τύου ϕ dvergence του zszar Μέτρο αοµάκρυνσης αό την Συµµετρία Μέτρο αοµάκρυνσης αό την Ψευδοσυµµετρία Q 57 xv

19 6.8.3 Μέτρο αοµάκρυνσης αό την Περιθώρια Οµοιογένεια ΜΗ Συµεράσµατα Ανακεφαλαίωση Γενική Σύνοψη 63 Παράρτηµα A 65 Παραδείγµατα 65 Βιβλιογραφία 7 xx

20 xx

21 Κατάλογος Πινάκων - I J Πίνακας Συνάφειας 0 4- Πίνακας Συνάφειας Συνοτικός ίνακας µέτρων συνάφειας για ονοµατικές µεταβλητές Συνοτικός ίνακας µέτρων συνάφειας για ονοµατικές µεταβλητές Ένταση της συνάφειας σύµφωνα µε τις αραδοχές ohen Συγκεντρωτικός ίνακας µέτρων συνάφειας για ονοµατικές µεταβλητές Συνοτικός ίνακας µέτρων συνάφειας για διατακτικές µεταβλητές Συνοτικός ίνακας µέτρων συνάφειας για διατακτικές µεταβλητές Συγκεντρωτικός ίνακας µέτρων συνάφειας για διατακτικές 9 6- Συνοτικός ίνακας µέτρων συµµετρίας ασυµµετρίας για ονοµατικές µεταβλητές 6 6- Συνοτικός ίνακας µέτρων συµµετρίας ασυµµετρίας για διατακτικές µεταβλητές 6 xx

22 xx

23 Κατάλογος Συντοµογραφιών PRE G Q T D Proportonate Reducton n Error ymmetry Global ymmetry Quas ymmetry Margnal Homogenety Trangular symmetry ondtonal ymmetry Dagonal ymmetry xx

24 xxv

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή. Κατηγορικά δεδοµένα Προκειµένου να αξιολογήσουν την αοτελεσµατικότητα µιας νέας εαναστατικής θεραείας ή να ροσδιορίσουν τους αράγοντες ου εηρεάζουν τη γνώµη και τη συµεριφορά ενός κοινωνικού συνόλου, οι ερευνητές συχνά ανατρέχουν σε στατιστικές µεθόδους ανάλυσης κατηγορικών δεδοµένων. Σε αντίθεση µε τις συνεχείς µεταβλητές, το βασικό γνώρισµα των κατηγορικών µεταβλητών, ονοµατικών ή διατακτικών, είναι ότι δεν µορεί να µετρηθεί η αόσταση µεταξύ των τιµών τους. Η ανάλυση κατηγορικών δεδοµένων αρέχει τις κατάλληλες τεχνικές για την εξαγωγή της ειθυµητής ληροφορίας, όως στη ερίτωση των συνεχών µεταβλητών, µε την ανάλυση αλινδρόµησης. Η ιο κοινή έννοια στην ανάλυση κατηγορικών δεδοµένων είναι οι ίνακες συνάφειας. Όταν ένα σύνολο αρατηρήσεων αοτελείται αό δυο ή ερισσότερες µεταβλητές και στη συνέχεια οι κατηγορίες κάθε µεταβλητής διασταυρώνονται (cross-classfed) σε ένα ίνακα συνάφειας, συχνά εγείρονται ερωτήµατα, σχετικά µε την ύαρξη σχέσης ή συνάφειας, µεταξύ των µεταβλητών, ενώ αράλληλα το ενδιαφέρον εικεντρώνεται στην ένταση αυτής. Ειδικότερα, οι ερευνητές συνήθως ειθυµούν να ροσδιορίσουν το βαθµό της σχέσης µεταξύ δυο µεταβλητών, χρησιµοοιώντας έναν αλό συντελεστή ή ένα µέτρο συνάφειας (measure of assocaton), δηλαδή ένα καθαρό αριθµό ου κυµαίνεται στο διάστηµα [, + ] ή [ 0, ] και δείχνει όσο έντονα οι δύο µεταβλητές συσχετίζονται. Για αράδειγµα, ως µορούµε να µετρήσουµε τη συνάφεια µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών, όως η θρησκεία, το εάγγελµα, ή η ροτίµηση µεταξύ διάφορων ειλογών; Σε τέτοιες εριτώσεις, είναι σηµαντικό να χρησιµοοιηθεί ένα κατάλληλο µέτρο, για να εκτιµηθεί ο βαθµός της συνάφειας. εν είναι ασυνήθιστο το φαινόµενο, ένας ερευνητής να ειλέγει έναν ακατάλληλο συντελεστή για να µετρήσει µια δοσµένη συνάφεια, εξάγοντας έτσι εσφαλµένα ή αραλανητικά συµεράσµατα.

26 . Πεδία εφαρµογών κατηγορικών δεδοµένων Μια κατηγορική µεταβλητή έχει ως κλίµακα µέτρησης ένα σύνολο αµοιβαία αοκλειόµενων κατηγοριών, µε την έννοια ότι ένα υοκείµενο δεν µορεί να ταξινοµηθεί σε δυο κατηγορίες. Για αράδειγµα, οι ολιτικές εοιθήσεις ενός ατόµου θα µορούσαν να θεωρηθούν ως φιλελεύθερες, µετριοαθείς ή συντηρητικές. Η διάγνωση µιας µαστογραφίας ενδεχοµένως να είναι κανονική, καλοήθης, ύοτη και κακοήθης. Η ανάτυξη µεθόδων ανάλυσης κατηγορικών µεταβλητών, αρακινήθηκε αό τις έρευνες κοινωνικών και βιοιατρικών ειστηµών. Κατηγορικές κλίµακες είναι διάχυτες στις κοινωνικές ειστήµες για την εκτίµηση υοκειµενικών φαινόµενων και τη µέτρηση της συµεριφοράς και της γνώµης των ατόµων. Στις ιατρικές ειστήµες χρησιµοοιούνται για τη µέτρηση του αοτελέσµατος µιας αόκρισης, όως για αράδειγµα, εάν µια ιατρική θεραεία είναι ειτυχής. Χρησιµοοιούνται στην ψυχιατρική για την διάγνωση του τύου µιας ψυχικής νόσου (σχιζοφρένεια, κατάθλιψη, νεύρωση), στην ψυχολογία για την αξιολόγηση του ειέδου άγχους (καθόλου, λίγο, αρκετά, ολύ, άρα ολύ), στην ειδηµιολογία και σε έρευνες για την δηµόσια υγεία (η ενηµέρωση για τον ιό του Ads έχει εντείνει την χρήση µέτρων ροφύλαξης; ναι, όχι). Είσης, τις συναντούµε στην Ζωολογία για την ταξινόµηση των ζώων ανάλογα µε τις διατροφικές τους συνήθειες, στην Γενετική για την αξιολόγηση του είδος του γονότυου ου κληρονοµείται, στο Marketng για την µέτρηση της ροτίµησης των καταναλωτών. Εεκτείνονται στην Μηχανολογία και στον βιοµηχανικό έλεγχο οιότητας, όταν διάφορα είδη ταξινοµούνται ανάλογα µε το αν ακολουθούν συγκεκριµένα ρότυα οιότητας (όσο γευστικό είναι ένα συγκεκριµένο φαγητό ή όσο εύκολη θεωρείται αό έναν εργάτη µια συγκεκριµένη εργασία), στην ηµογραφία για την αξιολόγηση των µεταναστευτικών τάσεων και του κοινωνικοοικονοµικού status, στην Πολιτική (κοινωνική αοδοχή των κυβερνητικών ειλογών ή στροφή του εκλογικού σώµατος µετά αό σηµαντικά ολιτικά γεγονότα), στην Εκαίδευση, την Οικολογία και στα Αθλητικά [Agrest, (00)].

27 .3 Ιστορική Αναδροµή Ένα µεγάλο κοµµάτι της ρώιµης ανάτυξης των κατηγορικών δεδοµένων, δηλαδή των ινάκων συνάφειας και των σχετικών µέτρων, έλαβε χώρα στην Αγγλία και καλυτόταν αό ένα έλο αντιαραθέσεων, σχετικά µε το οια µέθοδος ήταν καταλληλότερη για να συνοψίσει την συνάφεια των µεταβλητών. Συγκεκριµένα το 900 στο Λονδίνο, ο Karl Pearson εισήγαγε το χ test της ανεξαρτησίας, για την σύγκριση των αρατηρούµενων και αναµενόµενων (θεωρητικών) συχνοτήτων. Ο Pearson ( ), ήταν ήδη γνωστός στην στατιστική κοινότητα και οι εργασίες του τις ροηγούµενες δεκαετίες αφορούσαν, την ανάτυξη µιας οικογένειας εικλινών (skewed) κατανοµών ιθανότητας (γνωστών ως Pearson curves), τον υολογισµό του εκτιµητή του συντελεστή συσχέτισης και του τυικού του σφάλµατος καθώς είσης την εέκταση των εργασιών του Galton αναφορικά µε την γραµµική αλινδρόµηση. Ο Pearson υέθετε, ότι µια συνεχής δυαδική κατανοµή διέει τους ίνακες διασταυρούµενων συχνοτήτων (crossclassfcaton tables). Υοστήριζε ότι κάοιος θα µορούσε να εριγράψει τη συνάφεια (assocaton), ροσεγγίζοντας ένα µέτρο σαν αυτό της συσχέτισης (correlaton), για την υοκείµενη συνέχεια. Η άοψη αυτή οδήγησε αργότερα (904) τον Pearson, να ανατύξει τον τετραχωρικό συντελεστή συσχέτισης για ίνακες. Είσης, το 904, ο Pearson εισήγαγε την έννοια της συνάφειας (contngency), καθώς είσης και διάφορα µέτρα ου βασίζονταν στο χ test και εριέγραφαν την ένταση της συνάφειας. Ο George U. Yule (87-95) είσης Άγγλος, είχε µια διαφορετική ροσέγγιση. Έχοντας ήδη ανατύξει µοντέλα ολλαλής αλινδρόµησης και ολλαλούς ή µερικούς συντελεστές συσχέτισης, o Yule έστρεψε το ενδιαφέρον του, µεταξύ του 900 και 9, στην συνάφεια κατηγορικών µεταβλητών. Πίστευε ότι ολλές κατηγορικές µεταβλητές, όως ειβίωση ή όχι, αασχολούµενος ή άνεργος, είναι εγγενείς διακριτές. Όρισε κάοιους δείκτες µε έναν άµεσο τρόο, χρησιµοοιώντας τις µετρήσεις των κελιών του ίνακα, χωρίς να υοθέτει µια υοκείµενη συνέχεια. Ειλέον, διέδωσε τoν λόγο σχετικών ιθανοτήτων ( odds rato ), µια έννοια η οοία, όως ο Goodman (000) αναφέρει, ίσως ρώτα να ροτάθηκε αό τον Ούγκρο στατιστικό Korosy J. και στην συνέχεια, αρουσίασε κάοιους µετασχηµατισµούς αυτού, γνωστούς ως 3

28 συντελεστές Q και Y του Yule. Το 9, εισήγαγε τον συντελεστή ϕ, ο οοίος βασίζεται στο χ test. Το 903, ο Yule είσης έδειξε την ενδεχόµενη ασυµφωνία µεταξύ της εριθώριας (margnal) και δεσµευµένης (condtonal) συνάφειας, σε ίνακες συνάφειας. Πολλά χρόνια αργότερα, το 95, η ασυµφωνία αυτή καταγράφηκε αό τον mpson E. H. και είναι λέον γνωστή ως αράδοξο του mpson (mpson s Paradox). Συνοψίζοντας, ο Yule υοστήριζε, ότι συχνά είναι αραλανητικό και οδηγεί σε εσφαλµένα αοτελέσµατα, όταν αναγκαζόµαστε να υοθέτουµε ότι τα δεδοµένα ροέρχονται αό µια συνεχή κατανοµή ιθανότητας, η οοία είναι κανονική. Ο Pearson υοστήριζε ότι τα µέτρα του Yule καταλήγουν σε διαφορετικές τιµές όταν ένας I J ίνακας συµτυχθεί σε έναν ίνακα [βλέε Pearson & Heron, (93)]. Κάνοντας µια ανασκόηση, οι Pearson και Yule είχαν αό κοινού δίκιο. Κάοιες ταξινοµήσεις όως αυτές των ονοµατικών µεταβλητών, δεν διέονται αό κάοια εµφανή συνεχή κατανοµή. Αό την άλλη µεριά, σε ολλές εφαρµογές τα δεδοµένα διέονται αό µια υοκείµενη συνέχεια και το γεγονός αυτό θα µορούσε να αοτελεί κίνητρο για την ανάτυξη µοντέλων και συµερασµατολογίας. O Goodman (98a,b) αναφέρει ότι τα διατακτικά µοντέλα αρέχουν ένα είδος συµφωνίας µεταξύ του Yule και του Pearson, καθώς το odds rato χαρακτηρίζει µοντέλα τα οοία ροσαρµόζονται καλά, όταν η κατανοµή των δεδοµένων είναι κατά ροσέγγιση κανονική. Η διαµάχη των Pearson και Yule ήταν µικρής σηµασίας, συγκριτικά µε αυτή µεταξύ των Pearson και Fsher. O Ronald A. Fsher (890-96) είσης Άγγλος, χρησιµοοιώντας µια γεωµετρική αεικόνιση, εισήγαγε την έννοια των βαθµών ελευθερίας (degrees of freedom), για να χαρακτηρίσει την οικογένεια κατανοµών χ [Fsher, (9)]. Ο Fsher υοστήριξε ότι οι βαθµοί ελευθερίας του ( ) ( ) χ test της ανεξαρτησίας, για ένα I J ίνακα συνάφειας, ισούνται µε df = I J, σε αντίθεση µε ότι αρχικά (900) ο Pearson είχε υολογίσει, o οοίος θεωρούσε ότι οι βαθµοί ελευθερίας ισούνται µε df = IJ. Η ρόταση του Fsher για διόρθωση των βαθµών ελευθερίας του χ test της ανεξαρτησίας, οδήγησε σε µια νέα ιστορική αντιαράθεση. Ο Fsher τελικά αέδειξε τους ισχυρισµούς του το 96. To 935, εισήγαγε το ακριβές τεστ (Fsher s exact test), για τον έλεγχο της ανεξαρτησίας σε ίνακες, µε συχνότητες ( < 5) σε κάθε κελί. 4

29 Παράλληλα, το 98, o Tschuprow εισήγαγε τον συντελεστή T, το 938 ο Kendal εισήγαγε τους συντελεστές tau, το 946 ο ramer εισήγαγε το συντελεστή V και το 948 ο Pearson ρότεινε τον συντελεστή. Σηµειώνουµε ότι το 977, ο akoda ρότεινε µια διόρθωση του συντελεστή. Το 935, ο Βρετανός στατιστικός Maurce Bartlett εισήγαγε τον ορισµό της οµοιογενούς συνάφειας (homogeneous assocaton), χωρίς αλληλειδράσεις, για ίνακες συνάφειας. Ο Νorton (945) εέκτεινε τα αοτελέσµατα του Bartlett σε k ίνακες. Το 95, ο Jerome ornfeld, ένας στατιστικός µε δεσµούς στην ιατρική ειστήµη, χρησιµοοίησε το odds rato για να ροσεγγίσει τον σχετικό κίνδυνο σε case-control µελέτες. Οι ερισσότερες εργασίες και στατιστικά βιβλία, όταν ανατρέχουν σε ηγές σχετικές µε την ανάλυση ινάκων συνάφειας, αναφέρονται κυρίως στις ανωτέρω εργασίες των Pearson και Yule στις αρχές του 0 ου αιώνα. Όµως, όως ο tgler (00) αναφέρει, η ιδέα της ανάλυσης ινάκων συνάφειας χρονολογείται ολύ νωρίτερα, κατά την διάρκεια του 9 ου, αό τον Βελγικής καταγωγής Quetelet (849), αναφορικά µε την µέτρηση της συνάφειας και την έννοια του σχετικού κινδύνου και αό τον Benayme αναφορικά µε την υεργεωµετρική ανάλυση ενός ίνακα συνάφειας [βλέε Heyde & eneta, (977)]. Είσης, o Francs Galton (89), εισήγαγε την έννοια της αναµενόµενης µέτρησης, ως την βάση για την µέτρηση της συνάφειας, σύµφωνα µε τον τύο Expected ount( j), = ( Row total ) ( olumn total j) ( Grand total) διαδραµάτιζε ένα σουδαίο ρόλο για τον υολογισµό του ο οοίος αργότερα, θα χ test, ελέγχου της ανεξαρτησίας [βλέε Fenberg & Rnaldo, (007)]. Είσης, όως οι Goodman & Kruskal (959) αναφέρουν, ο M. H. Doolttle µε άρθρα του το 887, ροσαθούσε να εξηγήσει την έλλειψη ακρίβειας ακόµη και για έναν ίνακα, σε µια ρώτη ροσάθεια να οσοτικοοιήσει την συνάφεια. Μισό αιώνα αργότερα (954), µετά την αντιαράθεση των Pearson και Yule, οι Leo Goodman και Wllam Kruskal, αό το Πανειστήµιο του hcago, εισήγαγαν έναν αριθµό εναλλακτικών µέτρων συνάφειας, γνωστά ως µέτρα ρογνωστικής συνάφειας, ου βασίζονται σε ένα ιθανοθεωρητικό µοντέλο και όχι στο γνωστό χ test ή στην υόθεση ότι τα δεδοµένα ροέρχονται αό µια κοινή κανονική κατανοµή,. Το βιβλίο τους το (979), αρουσιάζει τέσσερα σηµαντικά άρθρα, κατά την διάρκεια του 950 και αοτελεί µια ολύ καλή αναφορά. Ειλέον, 5

30 ο 96, ο omers εισήγαγε το συντελεστή συνάφειας D και το 97, ο Thel εισήγαγε τον συντελεστή αβεβαιότητας U, ου βασίζεται σε µέτρα στατιστικής ληροφορίας. Οι ίνακες συνάφειας, αν και θεωρούνται η ιο γνωστή µέθοδος ανάλυσης κατηγορικών δεδοµένων, δεν είναι η µοναδική. Στα µέσα του 930, ανατύχθηκαν τα ρώτα µοντέλα για κατηγορικές µεταβλητές. Η ανάλυση των κατηγορικών δεδοµένων αοτελεί ακόµη και σήµερα, µια ειστηµονική εριοχή ου ροσφέρεται για έρευνα, καλύτοντας µια διαδροµή 3 αιώνων. Η βιβλιογραφία αναφορικά µε την ανάλυση κατηγορικών δεδοµένων είναι ανεξάντλητη και υάρχουν διάφορες τυχές ου εριλαµβάνουν διαφορετικά µοντέλα και µεθόδους. Έτσι, οι κατηγορικές µεταβλητές χρησιµοοιούνται σε κάθε εδίο γνώσης και δραστηριότητας. Ο Agrest (00), αρέχει µια αναλυτική εισκόηση..4 Συντελεστές αλινδρόµησης και µέτρα συνάφειας Η ένταση µεταξύ έµµεσων ή άµεσων σχέσεων µεταξύ συνεχών µεταβλητών συνοψίζεται µε τους συντελεστές αλινδρόµησης. Για σχέσεις µεταξύ κατηγορικών µεταβλητών, η διαδικασία είναι λιγότερο εµφανής. Η ρόσφατη ανάτυξη συµερασµατικής ανάλυσης κατηγορικών δεδοµένων, κυριαρχείται αό αραµετρικά µοντέλα. Όµως, µεταξύ των ροτεινόµενων µοντέλων, κανένα δεν αρέχει µονούς (sngle) δείκτες των άµεσων ή έµµεσων σχέσεων µεταξύ ολύτοµων µεταβλητών. Τα λογαριθµογραµµικά µοντέλα εικεντρώνονται µεταξύ άλλων, στην ανίχνευση δοµών συνάφειας (assocaton patterns). Οµοίως, η αραγοντική ανάλυση αντιστοιχιών (factoral correspondence analyss), εικεντρώνεται σε δεσµούς ή σχέσεις µεταξύ των κατηγοριών αρά µεταξύ των µεταβλητών, ενώ µοντέλα όως αυτά της λογιστικής αλινδρόµησης ή της Posson αλινδρόµησης, ροσαθούν να εξηγήσουν την ιθανότητα µια αρατήρηση να ανήκει σε µια δοσµένη κατηγορία. Οι αράµετροι της λογιστικής αλινδρόµησης, ίσως να δίνουν ληροφόρηση σχετικά µε τους δεσµούς µεταξύ δίτιµων µεταβλητών. Όµως για ολύτοµες µεταβλητές δεν αοκτούµε σύνθετους δείκτες αρά ένα σύνολο αραµέτρων. Όως για αράδειγµα, το µοντέλο συνάφειας γραµµής - στήλης του Goodman εριέχει αραµέτρους συνάφειας. Έχουν όµως εφαρµογή σε διατακτικές µεταβλητές µόνο. Ειλέον, ο αριθµός των αραµέτρων είναι µεγαλύτερος των ανα δυο σχέσεων και το µοντέλο δεν είναι λυσιτελές (parsmonous). Κατά συνέεια, η αραµετρική ροσέγγιση είναι σε 6

31 γενικές γραµµές µικρής σηµασίας για την αξιοοίηση και έλεγχο ενός αιτιατού γραφήµατος κατηγορικών µεταβλητών. Τα αραδοσιακά µέτρα συνάφειας και οι µερικοί δείκτες συνάφειας, αραµένουν τα ιο κατάλληλα εργαλεία για τον σκοό αυτό [Olszak & Rtschard, (995)]..5 Συνάφεια και Ασυµµετρία Ο όρος συνάφεια (contngency), φαίνεται να ροέρχεται αό τον Pearson (904), ο οοίος όρισε την συνάφεια για έναν I J ίνακα σαν «ένα µέτρο της συνολικής αόκλισης της ταξινόµησης αό την ανεξάρτητη ιθανότητα» (Fenberg & Rnaldo 007). Η ιο γνωστή µέθοδος ου εφαρµόζεται στην ανάλυση ενός ίνακα συνάφειας είναι το χ test της ανεξαρτησίας, ου ανατύχθηκε είσης αό τον Pearson (900). Αν µε X και Y συµβολίσουµε δυο κατηγορικές µεταβλητές µε I και J κατηγορίες αντίστοιχα, τότε η διασταύρωσή τους οδηγεί σε έναν I J ίνακα. Αό την στιγµή ου αορριφθεί η υόθεση της ανεξαρτησίας, τότε η ληροφόρηση αναφορικά µε την στατιστικά σηµαντική συνάφεια των υό εξέταση µεταβλητών, αρέχεται αό µια οικιλία µέτρων συνάφειας. Όταν η ένταση της συνάφειας µεταξύ δυο µεταβλητών, εριγράφεται αό τον βαθµό αοµάκρυνσης αό την ανεξαρτησία, τότε αναφερόµαστε στα µέτρα συνάφειας (measures of assocaton), ενώ όταν εριγράφεται σε όρους αοµάκρυνσης αό την συµµετρία, τότε αναφερόµαστε στα µέτρα συµµετρίας - ασυµµετρίας (measures of symmetry - asymmetry)..6 ιάρθρωση της εργασίας Η αρούσα εργασία αοτελεί µια γενική εισκόηση των ιο γνωστών µέτρων συνάφειας, ου χρησιµοοιούνται στην ανάλυση ινάκων συνάφειας, για την µελέτη και οσοτικοοίηση της έντασης της σχέσης µεταξύ δυο µεταβλητών, αλλά και ιο σύγχρονων ροσεγγίσεων, ου ίσως να µην έχουν την ίδια αναγνώριση, όως των νεοσύστατων µέτρων συµµετρίας - ασυµµετρίας. Σκοός της εργασίας είναι, η συνοτική αρουσίαση των µέτρων και η ταξινόµησή τους µε βάση τις υοθέσεις και τις ιδιότητές τους. Παράλληλα, εφαρµόζουµε τα µέτρα σε ειλεγµένα αραδείγµατα, µε στόχο την αόδοση της ερµηνεία τους και την καταγραφή των 7

32 ενδεχόµενων εριορισµών τους. Ειλέον, συγκρίνουµε τα µέτρα για το ίδιο σύνολο δεδοµένων, φιλοδοξώντας να εξάγουµε χρήσιµα συµεράσµατα, αναφορικά µε τα κριτήρια ειλογής τους. Συγκεκριµένα, στο Κεφάλαιο, θα αναφερθούµε στις βασικές έννοιες ου χρησιµοοιούνται στην ανάλυση ινάκων συνάφειας, έτσι ώστε να διευκολύνουµε την αρουσίαση των µέτρων στα εόµενα Kεφάλαια. Θα εριγράψουµε τα είδη των κατηγορικών µεταβλητών και τις διάφορες κλίµακες µέτρησης, ου αοτελούν βασικό κριτήριο ειλογής ενός µέτρου, καθώς και τα είδη των ινάκων συνάφειας. Στο Κεφάλαιο 3, θα αναφερθούµε στις βασικές ιδιότητες των µέτρων, στα κριτήρια ειλογής τους, ενώ αράλληλα, θα εριγράψουµε τις ροϋοθέσεις ου θα ρέει να ληρούνται για την κατασκευή ενός µέτρου συνάφειας. Ειλέον, θα αρουσιάσουµε τις διάφορες κλάσεις µέτρων ληροφορίας και αόστασης, ου ροέρχονται αό τον χώρο της θεωρίας της ληροφορίας (Informaton Theory) και είναι χρήσιµες για τον υολογισµό των µέτρων συµµετρίας ασυµµετρίας. Στο Κεφάλαιο 4, θα αρουσιάσουµε τα κυριότερα µέτρα για ονοµατικές µεταβλητές, τις βασικές ιδιότητες και την ερµηνεία τους. Συγκεκριµένα, θα αναφερθούµε στα «αραδοσιακά» µέτρα συνάφειας, όως συνηθίζεται να αοκαλούνται, δηλαδή σε µέτρα ου βασίζονται στο χ test του Pearson και στο odds rato, καθώς και στα µέτρα ρογνωστικής συνάφειας ή αναλογικής µείωσης του σφάλµατος ρόβλεψης (PRE Proportonate Reducton n Error), τα οοία εµφανίστηκαν µεταγενέστερα. Ειλέον, θα εξηγήσουµε την κεντρική ιδέα ου κρύβεται ίσω αό την κατασκευή κάθε µέτρου, ώστε να είναι ξεκάθαροι οι λόγοι για τους οοίους κάθε µέτρο θα ρέει να χρησιµοοιείται. Στο Κεφάλαιο 5, θα αρουσιάσουµε τα κυριότερα µέτρα για διατακτικές µεταβλητές. Στην ερίτωση, αυτή ο τρόος υολογισµού των µέτρων διαφοροοιείται, καθώς αξιοοιούν την ειρόσθετη ληροφορία ου αρέχει η διάταξη των κατηγοριών κάθε µεταβλητής. Στο Κεφάλαιο 6, θα αρουσιάσουµε τα βασικότερα µοντέλα συµµετρίας ασυµµετρίας και τα αντίστοιχα µέτρα συµµετρίας - ασυµµετρίας για τετραγωνικούς ίνακες συνάφειας. 8

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες ου χρησιµοοιούνται στην ανάλυση ινάκων συνάφειας, έτσι ώστε να διευκολύνουµε την εεξήγηση των µέτρων στα εόµενα κεφάλαια. Συγκεκριµένα, θα εριγράψουµε τα είδη των κατηγορικών µεταβλητών και τις κλίµακες µέτρησής τους, ου αοτελούν βασικό κριτήριο ειλογής ενός µέτρου, καθώς και τα είδη των ινάκων συνάφειας.. Πίνακες Συνάφειας Ας υοθέσουµε ότι έχουµε δυο κατηγορικές µεταβλητές X, Y. Έστω I ο αριθµός των κατηγοριών της µεταβλητής X και J ο αριθµός των κατηγοριών της µεταβλητής Y. Η ταξινόµηση των υοκειµένων των δυο µεταβλητών στις διάφορες κατηγορίες έχει IJ δυνατούς συνδυασµούς. Η αόκριση ( X, Y ) ενός τυχαίως ειλεγµένου υοκειµένου αό κάοιο ληθυσµό, έχει µια κατανοµή ιθανότητας. Ένας ορθογώνιος ίνακας µε I γραµµές για τις κατηγορίες της µεταβλητής X και J στήλες για τις κατηγορίες της µεταβλητής Y, έχει IJ κελιά, τα οοία εριγράφουν τα ιθανά αοτελέσµατα αυτών των συνδυασµών και ροσδιορίζουν την αό κοινού κατανοµή τους. Όταν τα κελιά εριέχουν τις συχνότητες για κάθε IJ ιθανό αοτέλεσµα ενός δείγµατος, τότε έχουµε έναν διδιάστατο I J ίνακα συνάφειας [Agrest, (00)]. Ο ακόλουθος Πίνακας - (σελ.0) εριγράφει τον τρόο µε τον οοίο ταξινοµούνται δυο µεταβλητές. 9

34 I ΠΙΝΑΚΑΣ - J Πίνακας Συνάφειας Μεταβλητή Υ Μεταβλητή X Y Y... Y j Σύνολο Χ Χ... Χ Σύνολο N N... N j N.... j. N N... N j N.... j N N... N N..... N. N.... N.j N......j Είδη Πινάκων Συνάφειας Η αλούστερη µορφή ενός ίνακα συνάφειας είναι αυτή, ενός ίνακα και ροέρχεται αό την διασταύρωση δυο διχοτοµηµένων µεταβλητών. Κυρίως εµφανίζονται σε βιοιατρικές εφαρµογές και σε ειδηµιολογικές µελέτες (Ειβίωση/Θεραεία: ειτυχία-αοτυχία Group: case- control) και χρησιµοοιούνται όταν θέλουµε να συγκρίνουµε δυο οµάδες ως ρος µια δίτιµη αοκριτική µεταβλητή. Η συνηθέστερη µορφή ενός ίνακα ου συναντάται σε διάφορες µελέτες και ειράµατα, είναι ο διδιάστατος I J ίνακας συνάφειας, για I J, όου µορούµε να αναλύσουµε την συνάφεια δυο µεταβλητών, ανεξάρτητα αό το µέγεθος των κατηγοριών τους. Η ειδική ερίτωση ενός τετραγωνικού I I ίνακα συνάφειας, µε σύµµετρη (ίδια) ταξινόµηση των µεταβλητών εµφανίζεται στις βιοιατρικές, αιδαγωγικές και κοινωνικές ειστήµες, στην ψυχολογία και σε άλλα ειστηµονικά εδία. Χαρακτηριστικά αραδείγµατα είναι η σύγκριση της διάγνωσης ή της θεραείας στο ίδιο υοκείµενο, αλλά αό δυο διαφορετικούς εξεταστές (συµφωνία 0

35 βαθµολογητών), οι ίνακες ου εριγράφουν την γεωγραφική κινητικότητα κοινωνικών στρωµάτων, η ανάλυση της ροτίµησης της κοινής γνώµης, µεταξύ δυο εριόδων κ.α. Στην ερίτωση ερισσότερων αό δυο µεταβλητών, αναφερόµαστε σε ολυδιάστατους ίνακες συνάφειας I J... R. Πολλές µελέτες ιδιαίτερα στις κοινωνικές ειστήµες, έχουν να κάνουν µε δεδοµένα ου εριγράφονται αό ολλές µεταβλητές. Για αράδειγµα, ένας ενήλικας ου ζει σε ένα µεγάλο αστικό κέντρο, θα µορούσε να ταξινοµηθεί µε βάση τις εξής κατηγορίες ανά µεταβλητή: ηµοτικό διαµέρισµα I = 5, Αγαηµένη εφηµερίδα J = 6, Ύαρξη τηλεόρασης K = (ναι-όχι), Είεδο εκαίδευσης L= 4, Ηλικία R= 0. Για λόγους ευκολίας της αρουσίασης και καλύτερης ερµηνείας των αοτελεσµάτων, θα εριοριστούµε σε εφαρµογές δυο διασταυρούµενων µεταβλητών, αν και τα σχόλιά µας, θα µορούσαν να εεκταθούν για εριτώσεις ερισσότερων µεταβλητών... Πλεονεκτήµατα Πινάκων Συνάφειας Τα κατηγορικά δεδοµένα ροσφέρονται για αεικόνιση σε ίνακα (tabulaton), καθώς ένας ίνακας διατηρεί όλη την ληροφορία των δεδοµένων αναλλοίωτη και κάνει την δοµή των δεδοµένων ιο ξεκάθαρη. Συγκεκριµένα, µας ειτρέει να δούµε 4 χαρακτηριστικά τα οοία δεν θα ήταν εµφανή αν τα δεδοµένα ήταν ακατέργαστα:. Την συνολική κατανοµή της µεταβλητής X. Την συνολική κατανοµή τη µεταβλητής Y 3. Πως η κατανοµή της µεταβλητής X διαφοροοιείται κατά µήκος της µεταβλητής Y 4. Την διαφορετική αναλογία της µεταβλητής Y σε κάθε είεδο της µεταβλητής X. Τα δυο τελευταία χαρακτηριστικά εκφράζουν την συνάφεια µεταξύ των µεταβλητών [http://teachng.socology.ul.e//lugano/lugano.html, Brendan Halpn, (00)]...3 Συµβολισµοί ενός Πίνακα Συνάφειας Έστω ότι ένα υοκείµενο ειλέγεται τυχαία αό τον ληθυσµό και κατατάσσεται σε έναν αό τους IJ ιθανούς συνδυασµούς, των κατηγοριών των µεταβλητών X, Y. Συµβολίζουµε µε =,,..., I και j=,,..., J τον αριθµό των κατηγοριών των µεταβλητών X, Yαντίστοιχα,

36 N την συχνότητα εµφάνισης του( ) συνδυασµού. N. J = N το εριθώριο άθροισµα συχνοτήτων της γραµµής του ίνακα. j= N. j I = N το εριθώριο άθροισµα συχνοτήτων της j στήλης του ίνακα. = I J N = N το συνολικό µέγεθος του ληθυσµού. = j= = P( X =, Y = j) = N N την ιθανότητα ένα υοκείµενο να ταξινοµηθεί στην ( ) συντεταγµένη του ίνακα συνάφειας. Ισχύει ότι ( ).. I J =. = j= = P X = = N N την εριθώρια ιθανότητα ένα υοκείµενο να ταξινοµηθεί στην γραµµή του ίνακα. ( ) = P Y = j = N N την εριθώρια ιθανότητα ένα υοκείµενο να ταξινοµηθεί στην. j. j j στήλη του ίνακα. ( ) = P X = Y = j = η δεσµευµένη ιθανότητα ένα υοκείµενο να ταξινοµηθεί στην j. j γραµµή του ίνακα, δοθέντος ότι το υοκείµενο ταξινοµείται στην j στήλη του ίνακα. ( ) = P Y = j X = = η δεσµευµένη ιθανότητα ένα υοκείµενο να ταξινοµηθεί στην j. j στήλη του ίνακα, δοθέντος ότι το υοκείµενο ταξινοµείται στην γραµµή του ίνακα. { } η αό κοινού κατανοµή ιθανότητας (jont dstrbuton) των µεταβλητών X, Y. {. },{. j} οι εριθωριακές κατανοµές ιθανότητες (margnal dstrbutons) για κάθε κατηγορία των µεταβλητών X, Y. { j, j,..., I j},{,,..., J } οι δεσµευµένες κατανοµές ιθανότητας (condtonal dstrbutons) των µεταβλητών X, Y, για κάθε γνωστό είεδο των µεταβλητών Y, X, αντίστοιχα.

37 Σηµειώνουµε ότι οι δειγµατικές συχνότητες συµβολίζονται µε n, οι δειγµατικές ιθανότητες µε p και το συνολικό µέγεθος του δείγµατος µε n..3 Μεταβλητή αόκρισης και εεξηγηµατική µεταβλητή Σε ολλούς ίνακες συνάφειας, η µια µεταβλητή θεωρείται µεταβλητή αόκρισης (response varable) ή αλλιώς εξαρτηµένη µεταβλητή (συνήθως η µεταβλητή στήλη Y ) και η άλλη εεξηγηµατική µεταβλητή (explanatory varable) ή αλλιώς ανεξάρτητη (συνήθως η µεταβλητή γραµµή X ). Όταν η µεταβλητή X είναι γνωστή και όχι τυχαία, η έννοια της αό κοινού κατανοµής, ου εριγράψαµε στην ροηγούµενη αράγραφο δεν έχει νόηµα. Όµως, για µια γνωστή κατηγορία της X, η µεταβλητή Y έχει µια κατανοµή ιθανότητας. Στην ερίτωση αυτή, έχει νόηµα να µελετήσουµε ως η κατανοµή ιθανότητας της Y µεταβάλλεται, σε κάθε είεδο της µεταβλητής X. Πρωταρχικός σκοός ολλών µελετών είναι να συγκρίνουν τις δεσµευµένες κατανοµές της µεταβλητής αόκρισης Y, για διάφορα είεδα της εεξηγηµατικής µεταβλητής [Agrest, (00)]. Στην ερίτωση ου η ύαρξη µιας αιτιώδους σχέσης µεταξύ των µεταβλητών ροσδιορίζεται και στις δυο κατευθύνσεις, δηλαδή και οι δυο µεταβλητές είναι µεταβλητές αόκρισης (η µια µεταβλητή δεν ροηγείται της άλλης, είτε χρονολογικά, είτε αιτιατά, είτε µε οοιοδήοτε άλλο τρόο), τότε οι µεταβλητές αντιµετωίζονται συµµετρικά. Η διαφοροοίηση αυτή αίζει σουδαίο ρόλο για την ειλογή ενός µέτρου συνάφειας, όως θα δούµε στην συνέχεια..4 Ανεξαρτησία Όταν και οι δυο µεταβλητές είναι µεταβλητές αόκρισης, για να εριγράψουµε την µεταξύ τους συνάφεια, µορούµε να χρησιµοοιήσουµε την αό κοινού κατανοµή τους και την δεσµευµένη κατανοµή της Y ως ρος X ή την δεσµευµένη κατανοµή της X ως ρος Y. Η δεσµευµένη κατανοµή της Y δοθέντος της X, συνδέεται µε την αό κοινού κατανοµή µέσω της σχέσης 3

38 =, για όλα τα, j (.) j. υο κατηγορικές µεταβλητές αόκρισης θεωρούνται ανεξάρτητες, εάν όλες οι αό κοινού ιθανότητες ισούνται µε το γινόµενο των εριθωριακών ιθανοτήτων τους, δηλαδή όταν =, για =,,..., I και j=,,..., J (.).. j υο µεταβλητές είναι στατιστικά ανεξάρτητες, εάν οι δεσµευµένες κατανοµές της µεταβλητής Y, είναι ίδιες σε κάθε είεδο της µεταβλητής X. Όταν οι µεταβλητές X, Yείναι ανεξάρτητες τότε ισχύει = = =, για =,,..., I (.3).. j j. j.. Με άλλα λόγια, κάθε δεσµευµένη κατανοµή της Y είναι ίδια µε την εριθωριακή κατανοµή της Y. Εοµένως, δυο µεταβλητές είναι ανεξάρτητες όταν η ιθανότητα οοιασδήοτε στήλης είναι ίδια σε κάθε γραµµή, δηλαδή όταν ισχύει ότι = =... = (.4) j j j I Όταν η Y είναι µεταβλητή αόκρισης και η X εεξηγηµατική µεταβλητή, µορούµε µε ιο αλό και λογικό τρόο να ορίσουµε την ανεξαρτησία, αό ότι όταν και οι δυο είναι µεταβλητές αόκρισης. Η ανεξαρτησία στην ερίτωση αυτή, συχνά αναφέρεται και ως οµοιογένεια (homogenety) της δεσµευµένης κατανοµής. ηλαδή όταν η δεσµευµένη κατανοµή της Y είναι ίδια για κάθε είεδο της µεταβλητής X [Agrest, (00)]..5 Συµµετρία Στην ερίτωση ενός τετραγωνικού R R ίνακα συνάφειας, ο οοίος έχει την ίδια (ονοµατική ή διατακτική) ταξινόµηση γραµµών και στηλών, το ενδιαφέρον εικεντρώνεται στην µελέτη της συµµετρίας γύρω αό τα στοιχεία της κυρίας διαγώνιου, αρά για την ανεξαρτησία µεταξύ των µεταβλητών γραµµής και στήλης. Γενικά, δυο µεταβλητές θεωρείται ότι έχουν σύµµετρη ταξινόµηση αν = για, j=,,..., R και j (.5) j Στο Κεφάλαιο 6, αναφερόµαστε αναλυτικότερα στην έννοια της συµµετρίας ενός ίνακα συνάφειας, καθώς και άλλων συναφών µοντέλων. 4

39 .6 Είδη κατηγορικών µεταβλητών Η κλίµακα µέτρησης µιας µεταβλητής µορεί να είναι συνεχής (contnuous) ή διακριτή (dscrete). Μια συνεχής µεταβλητή, θεωρητικά µορεί να άρει τιµές αό όλο το εύρος του διαστήµατος στο οοίο ανήκει, όως για αράδειγµα το βάρος ή η αρτηριακή ίεση. Αντίθετα µια διακριτή µεταβλητή λαµβάνει µεµονωµένες τιµές, όως για αράδειγµα το φύλλο ή το είεδο εκαίδευσης. Τα κατηγορικά δεδοµένα αοτελούνται αό µεταβλητές οι οοίες ειδέχονται έναν εριορισµένο αριθµό διακριτών τιµών. Μορεί να είναι ονοµατικές, διατακτικές ή διαστηµατικές, αλλά δεν µορούν να είναι συνεχείς. Οι κατηγορίες των ονοµατικών µεταβλητών δεν έχουν µια φυσική διάταξη. Για αράδειγµα, η µεταβλητή «θρησκευτική ιδεολογία» έχει τις κατηγορίες, Ορθόδοξος, Καθολικός, Προτεστάντης, Εβραίος κ.α. Οι διατακτικές µεταβλητές αντιθέτως, αοτελούνται αό κατηγορίες οι οοίες µορούν να διαταχθούν. Για αράδειγµα, η µεταβλητή κοινωνική τάξη έχει κατηγορίες όως, υψηλή τάξη, µεσαία τάξη, χαµηλή τάξη. Οι µεταβλητές αυτές µορούν µεν να διαταχθούν, αλλά η αόσταση µεταξύ των κατηγοριών είναι άγνωστη. Για αράδειγµα, ένα άτοµο µε µετριοαθείς ολιτικές αντιλήψεις είναι ιο φιλελεύθερο αό ένα άτοµο µε συντηρητικές ολιτικές εοιθήσεις, αλλά δεν υάρχει µια αριθµητική τιµή ου να εριγράφει όσο ιο φιλελεύθερο είναι.. Όταν η αόσταση µεταξύ των κατηγοριών µορεί να µετρηθεί, τότε οι µεταβλητές ονοµάζονται διαστηµατικές (nterval varables). Για αράδειγµα, η µεταβλητή της αρτηριακής ίεσης, είναι µια συνεχής µεταβλητή, η οοία µορεί να κατηγοριοοιηθεί οµαδοοιώντας τις τιµές της σε συγκεκριµένα διαστήµατα τιµών, γνωστών αοστάσεων. Ο τρόος µε τον οοίο µια µεταβλητή µετριέται, καθορίζει και το είδος της. Για αράδειγµα, η µεταβλητή «Εκαίδευση», είναι ονοµατική όταν µετριέται µε βάση το είδος της εκαίδευσης, δηµόσιο ή ιδιωτικό σχολείο, είναι διατακτική, όταν µετριέται µε βάση το είεδο της εκαίδευσης, Βασική εκαίδευση, Λύκειο, Πανειστήµιο, Μετατυχιακό και τέλος είναι διαστηµατική, όταν µετριέται µε βάση τα χρόνια εκαίδευσης,,,3,... Η κλίµακα µέτρησης µιας µεταβλητής καθορίζει και το είδος της στατιστικής µεθόδου ου θα χρησιµοοιηθεί. ιάφοροι µέθοδοι ανάλυσης διατακτικών µεταβλητών αξιοοιούν την ληροφορία ου αρέχει η διάταξη των κατηγοριών. Ιεραρχικά, µε την έννοια της ληροφορίας ου αρέχουν, 5

40 ρώτες είναι οι διαστηµατικές µεταβλητές, ακολουθούν οι διατακτικές και τέλος οι ονοµατικές. Στατιστικές µέθοδοι για την ανάλυση µιας µεταβλητής ενός τύου, µορούν να χρησιµοοιηθούν και για την ανάλυση µεταβλητών υψηλότερης ιεραρχίας, αλλά οτέ χαµηλότερης. Για αράδειγµα, στατιστικές µέθοδοι για την ανάλυση ονοµατικών µεταβλητών µορούν να χρησιµοοιηθούν και για διατακτικές, αγνοώντας την διάταξη. Οι ονοµατικές µεταβλητές είναι οιοτικές µεταβλητές (qualtatve), οι κατηγορίες διαφέρουν µεταξύ τους οιοτικά και όχι οσοτικά, ενώ οι διαστηµατικές µεταβλητές είναι οσοτικές (quanttatve), τα χαρακτηριστικά των ειέδων των κατηγοριών διαφέρουν οσοτικά. Ο χαρακτηρισµός των διατακτικών µεταβλητών σε οιοτικές ή οσοτικές, δεν είναι εύκολος. Οι αναλυτές συχνά τις χειρίζονται ως οιοτικές, χρησιµοοιώντας µεθόδους ονοµατικών µεταβλητών, αλλά µορούµε να ούµε ότι µοιάζουν ερισσότερο µε διαστηµατικές µεταβλητές αρά µε ονοµατικές. Αν και δεν µορούν να µετρηθούν, κρύβουν µέσα τους µια συνεχή µεταβλητή. Για αράδειγµα, η ταξινόµηση των ολιτικών εοιθήσεων (φιλελεύθερες, µετριοαθείς ή συντηρητικές), µετρά αδέξια µια έµφυτη συνεχή µεταβλητή. Οι αναλυτές συχνά αξιοοιούν την οσοτική φύση των διατακτικών µεταβλητών, αναθέτοντας σκορ στις διάφορες κατηγορίες ή υοθέτοντας ότι ακολουθούν συνεχή κατανοµή [Agrest, (00)]..7 Κατανοµές κατηγορικών δεδοµένων H συµερασµατική ανάλυση, ααιτεί υοθέσεις αναφορικά µε τον τυχαίο µηχανισµό ου αράγει τα δεδοµένα. Στα µοντέλα αλινδρόµησης µε συνεχείς µεταβλητές αόκρισης, η κανονική κατανοµή έχει τον κυριότερο ρόλο. Οι κυριότερες κατανοµές ου εριγράφουν κατηγορικές αοκρίσεις είναι η διωνυµική, η ολυωνυµική και η Posson..7. ιωνυµική Κατανοµή Πολλές εφαρµογές αναφέρονται σε έναν γνωστό αριθµό n δίτιµων αρατηρήσεων. Έστω y, y,..., y n, οι αοκρίσεις για n ανεξάρτητες και ανοµοιότυες δοκιµές, έτσι ώστε ( = ) = και P( Y ) P Y = 0 =, όου = ειτυχία και 0= αοτυχία. 6

41 Σηµειώνουµε ότι µε τον όρο «ανοµοιότυες» δοκιµές εννοούµε ότι η ιθανότητα της ειτυχίας, είναι ίδια για κάθε δοκιµή και µε τον όρο «ανεξάρτητες» δοκιµές εννοούµε ότι οι αοκρίσεις { Y }, είναι ανεξάρτητες, τυχαίες µεταβλητές. Οι δοκιµές αυτές είναι γνωστές και ως δοκιµές Bernoull. O συνολικός αριθµός των ειτυχιών, αραµέτρου, δηλαδή Y ~ (, ) τιµή y της µεταβλητής Y, είναι όου n n! =. y y! ( n y)! n Y = Y, ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή = Bn n. H συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας για την ιθανή n y y ( ) = ( ) P y n y, για y= 0,,,..., n (.4) εν υάρχει εγγύηση ότι οι διαδοχικές διωνυµικές αρατηρήσεις είναι άντα ανεξάρτητες και ανοµοιότυες. Έτσι κάοιες φορές χρησιµοοιούνται άλλες κατανοµές. Μια τέτοια ερίτωση είναι όταν αίρνουµε διωνυµικό δείγµα αό έναν γνωστό ληθυσµό χωρίς εανάθεση, για αράδειγµα, όταν αρατηρούµε το φύλλο µιας τάξης µαθητών, αίρνοντας δείγµα 0 µαθητών αό µια τάξη µε σύνολο 0 µαθητών. Στην ερίτωση αυτή η υεργεωµετρική κατανοµή είναι καταλληλότερη..7. Πολυωνυµική Κατανοµή Κάοιες δοκιµές έχουν ερισσότερα αό δυο ιθανά αοτελέσµατα. Έστω ότι κάθε µια αό τις n ανεξάρτητες και ανοµοιότυες δοκιµές έχει αοτέλεσµα ου ανήκει σε κάοια αό τις c κατηγορίες. Έστω, y =, αν η δοκιµή έχει το j αοτέλεσµα και y = 0, διαφορετικά. Τότε το αοτέλεσµα y ( y, y,..., yc) =, ανααριστά µια ολυωνυµική δοκιµή µε c y =. Για αράδειγµα, το αοτέλεσµα ( 0,0,,0 ), σηµαίνει ότι ανάµεσα σε 4 διαδοχικές κατηγορίες, είχαµε αοτέλεσµα ου ανήκει στην 3 η κατηγορία. Αξίζει να σηµειώσουµε ότι το αοτέλεσµα y c είναι γραµµικώς εξαρτηµένο αό τα υόλοια και εοµένως η αρατήρησή του δεν είναι j= 7

42 ααραίτητη. Έστω ότι n j = y, συµβολίζει τον αριθµό των δοκιµών, ου φέρουν το j αοτέλεσµα. Τότε οι µετρήσεις ( ) Έστω, j = P( Y ) n, n,..., n c ακολουθούν την ολυωνυµική κατανοµή. = συµβολίζει την ιθανότητα να έχουµε αοτέλεσµα στην j κατηγορία, για κάθε δοκιµή. Η ολυωνυµική συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας είναι n! ( n ) n n n,,...,... c c = c n! n!... nc! P n n (.5) Καθώς n j = n, έχουµε ( ) j c διαστάσεις, µε (... ) n = n n + n + + n. Η διωνυµική c c κατανοµή είναι ειδική ερίτωση για c=..7.3 Κατανοµή Posson Μερικές φορές οι µετρήσεις δεν είναι αοτέλεσµα ενός καθορισµένου αριθµού δοκιµών. Για αράδειγµα, εάν y είναι ο αριθµός των θανάτων σε αυτοκινητιστικά δυστυχήµατα κατά την διάρκεια της εόµενης εβδοµάδος, δεν υάρχει καθορισµένο άνω όριο n για το y. Καθώς y ένας µη αρνητικός αριθµός, η κατανοµή του θα ρέει να έχει τον όγκο της σε αυτό το εύρος. Μια τέτοια κατανοµή είναι η Posson. Οι ιθανότητες βασίζονται σε µια µόνο αράµετρο, τον µέσο µ. H συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας της Posson είναι ( ) P y µ y µ e = µε y= 0,,,... (.6) y! Όσο το µ αυξάνει, η κατανοµή Posson συγκλίνει στην κανονική κατανοµή. H κατανοµή Posson χρησιµοοιείται για να µετρήσει γεγονότα ου συµβαίνουν τυχαία στον χρόνο ή τον χώρο, όταν τα αοτελέσµατα σε εριόδους ή εριοχές χωρίς συνοχή, είναι ανεξάρτητα. Είσης εφαρµόζεται σαν µια ροσέγγιση της διωνυµικής κατανοµής, όταν το n είναι µεγάλο και το είναι µικρό, µε µ = n. Άρα, όταν κάθε ένας οδηγός µιας χώρας µε ληθυσµό n= , είναι ανεξάρτητες δοκιµές, µε ιθανότητα θανάτου σε αυτοκινητιστικό δυστύχηµα την εόµενη εβδοµάδα = , τότε ο αριθµός των θανάτων Y ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή 8

43 Y ~ Bn ( , ) ή την κατά ροσέγγιση Posson κατανοµή, ~ ( 00) καθώς µ = = 00. Y Posson, Ένα κύριο χαρακτηριστικό της κατανοµής Posson, είναι ότι η διακύµανση ισούται µε τον µέσο. Οι δειγµατικές µετρήσεις οικίλλουν ερισσότερο όταν ο µέσος έχει µεγαλύτερη τιµή. Έτσι, όταν ο µέσος όρος των εβδοµαδιαίων ατυχηµάτων είναι 00, έχουµε µεγαλύτερη διακύµανση αό ότι όταν είναι Πολυωνυµική, ιωνυµική και Posson ειγµατοληψία Οι κατανοµές ιθανότητας ου εριγράψαµε ροηγουµένως, εεκτείνονται και στην εριγραφή των κελιών ενός ίνακα συνάφειας. Για αράδειγµα, ένα Posson µοντέλο δειγµατοληψίας, θεωρεί τις µετρήσεις { Y }, ως ανεξάρτητες Posson τυχαίες µεταβλητές αραµέτρου { µ }. Η αό κοινού συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας των ιθανών { } αοτελεσµάτων { n }, ισούται µε το γινόµενο των ιθανοτήτων ( = ) { IJ }, οι οοίες ακολουθούν την κατανοµή Posson, δηλαδή P Y n, για τα κελιά n f ( x, y) = exp ( µ ) µ n! (.7) j Όταν το µέγεθος του δείγµατος n είναι γνωστό, αλλά τα αθροίσµατα των γραµµών και των στηλών όχι, τότε ένα ολυωνυµικό δειγµατολητικό σχέδιο εφαρµόζεται. Τα { IJ } κελιά είναι τώρα τα ιθανά αοτελέσµατα. Η συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας των ιθανών αοτελεσµάτων ισούται µε n n! n!... n! (.8) j Συχνά οι αρατηρήσεις της µεταβλητής αόκρισης Y, συµβαίνουν ξεχωριστά σε κάθε είεδο της εεξηγηµατικής µεταβλητής X. Στην ερίτωση αυτή, θεωρούµε ότι τα αθροίσµατα των γραµµών ( n. ) είναι γνωστά. Έστω ότι οι { } n αρατηρήσεις της Y, για κάθε κατηγορία της 9

44 . Οι µετρήσεις { n } X είναι ανεξάρτητες, µε κατανοµή ιθανότητας { = =... = J } j=,,..., J, ικανοοιούν την σχέση n = n. και έχουν την ολυωνυµική µορφή j., για n.! n n! j j j (.9) Όταν τα δείγµατα στα διάφορα είεδα της µεταβλητής X είναι ανεξάρτητα, το δειγµατολητικό σχέδιο ονοµάζεται γινόµενο ολυωνυµικής δειγµατοληψίας (product multnomal samplng), καθώς η αό κοινού συνάρτηση ιθανότητας των δεδοµένων, είναι το γινόµενο ολυωνυµικών συναρτήσεων, για κάθε είεδο της X. Τέλος, όταν τα αθροίσµατα των γραµµών και των στηλών είναι γνωστά, τότε η καταλληλότερη δειγµατολητική κατανοµή είναι η υεργεωµετρική..7.5 Παραδείγµατα Ερευνητές σχεδιάζουν να µελετήσουν την σχέση µεταξύ της χρήσης ζώνης ασφαλείας και θανητοφόρου ή όχι ατυχήµατος. Στην ερίτωση ου αοφασίσουν να καταγράψουν όλα τα ατυχήµατα ου θα συµβούν εντός ενός έτους, τότε το συνολικό µέγεθος δείγµατος είναι µια τυχαία µεταβλητή. Τότε θα θεωρήσουν ότι ο αριθµός των αρατηρήσεων µεταξύ των τεσσάρων συνδυασµών, χρήση ζώνης και αοτέλεσµα ατυχήµατος, ως ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές ου ακολουθούν την κατανοµή Posson µε άγνωστη µέση τιµή {,,, } µ µ µ µ. Αντιθέτως, αν οι ερευνητές αοφασίσουν να άρουν αό το αρχείο της αστυνοµίας, τυχαίο δείγµα 00 ατυχηµάτων ου συνέβησαν το ροηγούµενο έτος και ταξινοµήσουν κάθε ατύχηµα σύµφωνα µε τις κατηγορίες, «Χρήση ζώνης» (Ναι / Όχι), για την µεταβλητή X γραµµή και «Ατύχηµα» (Θανατηφόρο / µη θανητηφόρο), για την µεταβλητή Y στήλη, τότε το µέγεθος του δείγµατος είναι γνωστό. Για την µελέτη αυτή, θα θεωρήσουν ότι τα 4 κελιά του ίνακα είναι ολυωνυµικές τυχαίες µεταβλητές, µε n = 00 δοκιµές και άγνωστη αράµετρο την αό κοινού ιθανότητα {,,, }. 0

45 Στην ερίτωση ου τα θανητοφόρα ατυχήµατα ήταν καταγεγραµµένα σε ξεχωριστά αρχεία της αστυνοµίας, τότε οι ερευνητές θα έρεε να άρουν τυχαίο δείγµα 00 ατυχηµάτων αό το αρχείο των θανατηφόρων γεγονότων και τυχαίο δείγµα 00 ατυχηµάτων αό το αρχείο των µη θανητηφόρων γεγονότων. Αυτή η ροσέγγιση θεωρεί το άθροισµα των στηλών γνωστό. Στην ερίτωση αυτή κάθε στήλη του ίνακα, θα ρέει να θεωρηθεί ως ένα ανεξάρτητο διωνυµικό δείγµα, αφού λέον τα αοτελέσµατα είναι χρήση ή µη χρήση ζώνης ασφαλείας. Τέλος η αραδοσιακή ροσέγγιση ενός ειραµατικού σχεδιασµού είναι να τυχαιοοιήσουµε 00 υοκείµενα, 00 να ειλεγούν να κάνουν χρήση ζώνης και 00 να µην κάνουν χρήση ζώνης και να τα υοβάλλουµε να υοστούν ατύχηµα. Τα αοτελέσµατα τότε θα είναι ανεξάρτητα διωνυµικά δείγµατα σε κάθε µια γραµµή του ίνακα, µε γνωστό άθροισµα κάθε γραµµής 00. Είναι ροφανές ότι υάρχουν ηθικοί λόγοι για την αοφυγή τέτοιου είδους σχεδιασµών, ειδικά στους ανθρώους. Κάτι τέτοιο, είναι εντονότερο κυρίως σε ιατρικές µελέτες.

46

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΜΕΤΡΩΝ 3. Εισαγωγή Πως µορούµε να µετρήσουµε την συνάφεια µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών, όως η θρησκεία, το εάγγελµα, ή η ροτίµηση µεταξύ διαφορετικών ειλογών; Με την χρησιµοοίηση ενός µέτρου συνάφειας, δηλαδή µιας στατιστικής συνάρτησης ου συνοψίζει τον βαθµό της σχέσης µεταξύ δυο µεταβλητών. Σε µια εκτεταµένη ανασκόηση της βιβλιογραφίας, οι Goodman & Kruskal (979), βρήκαν άρα ολλά µέτρα για τον σκοό αυτό. Εάν ο λόγος, για τον οοίο χρειαζόµαστε ένα µέτρο συνάφειας είναι γνωστός, τότε είναι ιο εύκολη η ειλογή του. Για αράδειγµα, µια εταιρία κατασκευής τηλεοράσεων ενδιαφέρεται να διαφηµίσει ένα νέο µοντέλο µέσω εφηµερίδας. Ο ίνακας συνάφειας διασταυρώνοντας τις µεταβλητές, «αγαηµένη εφηµερίδα» και «χρήση τηλεόρασης», µορεί να µας δώσει την ληροφορία: οια εφηµερίδα διαβάζουν ερισσότερο όσοι έχουν τηλεόραση. Ένα λογικό µέτρο συνάφειας, θα ήταν αλά η αναλογία των ατόµων στον ληθυσµό ου έχουν τηλεόραση και διαβάζουν την συγκεκριµένη εφηµερίδα. Όµως, είναι σάνιες οι εριτώσεις για τις οοίες o σκοός µιας έρευνας µορεί να ορισθεί. Συνήθως µια έρευνα είναι εεξηγηµατική και έχει ολλούς στόχους. Μερικές φορές χρειαζόµαστε ένα µέτρο συνάφειας αλά για να συνοψίσουµε ένα µεγάλο σύνολο δεδοµένων. 3. Κριτήρια ειλογής µέτρων συνάφειας Καθώς τα διάφορα µέτρα συνάφειας, ου µορούν να υιοθετηθούν για την ανάλυση ενός ίνακα συνάφειας, δεν στηρίζονται στα ίδια κριτήρια για τον υολογισµό της έντασης της σχέσης µεταξύ των δυο µεταβλητών, τότε εάν δυο ή ερισσότερα µέτρα εφαρµοστούν στο ίδιο σύνολο δεδοµένων, ίσως να µην αοδώσουν συγκρίσιµους συντελεστές συνάφειας. Αν και στην ανάλυσή µας, θα εξηγήσουµε τους αράγοντες ου ρέει να λαµβάνονται υόψη, αναφορικά µε το ιο αό τα διάφορα µέτρα θα ρέει να χρησιµοοιήσουµε, στην λειοψηφία των 3

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09)

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09) ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) Ασκήσεις ου αρουσιάστηκαν στο µάθηµα (8-9). Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου υλικού

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Εργονομικού Καθίσματος Εργασίας Ημικαθιστού τύπου

Σχεδιασμός Εργονομικού Καθίσματος Εργασίας Ημικαθιστού τύπου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Σχεδιασμός Εργονομικού Καθίσματος Εργασίας Ημικαθιστού τύου Παναγιώτης Α. Γούργουρας Ειβλέων:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT)

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT) ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAT Νικόλαος ηµητρίου ρ.ηλεκτρολόγος Μηχανικός ΣΕΠ, ΘΕ ΠΛΗ ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 4 ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων Η Αγορά Ξένου Συναλλάγµατος 6.5 ιµολόγηη Συµβολαίων Μελλοντικής Εκλήρωης και ικαιωµάτων Προαίρεης εί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουιακών Στοιχείων ιµολόγηη υµβολαίων µελλοντικής εκλήρωης * : όου: F0, 0 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙ Η Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΣΥΛΛΟΓΗ, ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές µορφές Ερωτήσεων - απαντήσεων Ανοιχτές Κλειστές Κλίµακας ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΘ 2 Ανοιχτές ερωτήσεις Ανοιχτές

Διαβάστε περισσότερα

ιδακτικές προσεγγίσεις του προβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών e π και π e στα πλαίσια της Ανάλυσης

ιδακτικές προσεγγίσεις του προβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών e π και π e στα πλαίσια της Ανάλυσης ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ γ, Τεύχος 60-61, 2003 Ειµόρφωση ιδακτικές ροσεγγίσεις του ροβλήµατος της σύγκρισης των αριθµών και στα λαίσια της Ανάλυσης ηµήτρης Ντρίζος, Γιάννης Τυρλής Μαθηµατικοί.Ε., Μ..Ε.(M.Ed.) τµ. Μαθ/κών

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Η Έννοια της Συνάρτησης. Από την ιστορική της εξέλιξη στα ορθογώνια πολυώνυµα. και τις εφαρµογές.

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Η Έννοια της Συνάρτησης. Από την ιστορική της εξέλιξη στα ορθογώνια πολυώνυµα. και τις εφαρµογές. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ 1 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 3 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Δρ. Χαράλαμος Π. Στρουθόουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα σε κάθε αριθµό το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακά φαινόµενα µεταφοράς σε διαλύµατα βιολογικών υγρών

Μοριακά φαινόµενα µεταφοράς σε διαλύµατα βιολογικών υγρών Μοριακά φαινόµενα µεταφοράς σε διαλύµατα βιολογικών υγρών Το ιξώδες και η σηµασία του Οι ελκτικές δυνάµεις van der Waals, οι οοίες αντιτίθενται στη σχετική µετατόιση γειτονικών µορίων, είναι υεύθυνες για

Διαβάστε περισσότερα

EVITA ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΠΑΦΩΝ / ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Σαντορίνη 28/04/2011 Βασίλειος Πα ανικολάου

EVITA ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΠΑΦΩΝ / ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Σαντορίνη 28/04/2011 Βασίλειος Πα ανικολάου EVITA ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΠΑΦΩΝ / ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Σαντορίνη 28/04/2011 Βασίλειος Πα ανικολάου ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΟΥ ΜΕΤΑΤΡΕΠΟΥΝ ΤΙΣ ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΣΕ ΕΠΑΦΕΣ Κάθε 100 ε ισκέψεις θα ρέ ει να καταχωρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 02021842012990088 27257 ΕΦΗΜΕΡΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 2184 20 Δεκεμβρίου 1999 Αριθ. Δ170/141/3/ΦΝ275 ΑΠΟΦΑΣΕΣ Έγκριση Ελληνικού Αντισεισμικού Κανονισμού ΟΥΠΟΥΡΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της αομάκρυνσης ενός αρμονικού κύματος μορούμε να βρούμε την εξίσωσης της ταχύτητας

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α. Στις ερωτήσεις -5, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή αάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

2 η ενότητα ΤΑ ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ ΣΤΙΣ ΥΨΗΛΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ

2 η ενότητα ΤΑ ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ ΣΤΙΣ ΥΨΗΛΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ρ. Λάμρος Μισδούνης Καθηγητής 2 η ενότητα ΤΑ ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ ΣΤΙΣ ΥΨΗΛΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ T.E.I. ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. 1 Περιεχόμενα 2 ης ενότητας Στην δεύτερη ενότητα θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

μιας βαθμίδας με διπολικά τρανζίστορ

μιας βαθμίδας με διπολικά τρανζίστορ Βασικές τοολογίες ενισχτών μιας βαθμίδας με διολικά τρανζίστορ Ενισχτής κοινού Εκομού Πόλωση με δικτύωμα τεσσάρων αντιστάσεων. Το C σήμα εισόδο εισάγεται στη Βάση το τρανζίστορ μέσω ενός κνωτή σύζεξης.

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανε ιστήµιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΙΑΛΕΞΗ 05 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Βόλος, 04-05 . Μέτρα ιασ οράς - Μεταβλητότητας . Εύρος e Max -M Ε ηρεάζεται α ό τον λήθος των αρατηρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 05 Γιάννης Ζαµέλης Μαθηµατικός 855 B (Αναρτήθηκε 08 4 ) ίνονται τα διανύσµατα ακαι µε ( α, ) = και α =, = α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόµενο α (Μονάδες 8)

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013. Ηµεροµηνία: Κυριακή 21 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013. Ηµεροµηνία: Κυριακή 21 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Αριλίου 013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις αό Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΤΩΝ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ 1

Η ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΤΩΝ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ 1 Η ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΤΩΝ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ 1 Κύριε Πρόεδρε, κυρίες, κύριοι, Θα ήθελα να σας µιλήσω για τέσσερα ράγµατα ου θεωρώ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικές Ταλαντώσεις

Μηχανικές Ταλαντώσεις Μηχανικές Ταλαντώσεις . Περιοδικά φαινόµενα - Γραµµική αρµονική ταλάντωση Περιοδικά ονοµάζονται τα φαινόµενα ου εαναλαµβάνονται µε τον ίδιο τρόο σε ίσα χρονικά διαστήµατα. Π.χ. οµαλή κυκλική κίνηση, χτύοι

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables) Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Cotigecy tables Σε αρκετές εφαρµογές παρουσιάζεται η ανάγκη ελέγχου της σχέσης µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών (Ordial ή omial. Π.χ. θέλουµε να διερευνήσουµε τη σχέση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

ειγµατοληψία ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μέρη της Έρευνας Μέθοδος Πώς ερευνήθηκε το πρόβληµα? Μέθοδος

ειγµατοληψία ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μέρη της Έρευνας Μέθοδος Πώς ερευνήθηκε το πρόβληµα? Μέθοδος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ ΠΘ ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

"ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ "ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΔΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΠΡΛΗΜΤΩΝ Ελατήρια σταερής τάσης (Constnt tension springs) Ένα ελατήριο του οοίου η τάση είναι ανεξάρτητη αό την ειμήκυνση ή τη συσείρωσή του ονομάζεται ελατήριο σταερής

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ηµήτρης Αθανασίου Φυσικός ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ερωτήσεις ολλαλής ειλογής.περιοδικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικό κριτήριο χ 2

Στατιστικό κριτήριο χ 2 18 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Στατιστικό κριτήριο χ 2 Ο υπολογισµός του κριτηρίου χ 2 γίνεται µέσω του µενού [Statistics => Summarize => Crosstabs...]. Κατά τη συγκεκριµένη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που εμβαθύνει σε μεθόδους συλλογής δεδομένων, οργάνωσης, παρουσίασης των δεδομένων και εξαγωγής συμπερασμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Τι θέλουμε να συγκρίνουμε; Δύο δείγματα Μέση αρτηριακή πίεση σε δύο ομάδες Πιθανότητα θανάτου με δύο διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια

Μη Παραµετρικά Κριτήρια. Παραµετρικά Κριτήρια Κεφάλαιο 7 Μη Παραµετρικά Κριτήρια Παραµετρικά Κριτήρια Τα παραµετρικά κριτήρια είναι στατιστικά κριτήρια που απαιτούν την ικανοποίηση συγκεκριµένων προϋποθέσεων είτε αναφορικά µε συγκεκριµένες παραµέτρους

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΙΝ ΥΝΩΝ (MULTIPLE DECREMENT TABLES) Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία αρχίζοντας από µια οµάδα γεννήσεων ζώντων που αποτελεί την ρίζα του πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ/ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΤΥΧΙΑΚΗ/ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ/ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΚΛΑ ΕΜΑ ΟΜΑ ΑΣ ΚΑΤΑ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΜΕΣΩ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΤΙΚΕΤΩΝ» (Instance-Based Ensemble

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 4 υπολογίζονται τα κυριότερα στατιστικά µέτρα θέσης και µεταβλητότητας, κατασκευάζονται ιστογράµµατα συχνοτήτων και θηκογράµµατα για

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα