Σχετικό συστηματικό σφάλμα Το σφάλμα του γινομένου 2 μεταβλητών με επιμέρους συστηματικά σφάλματα.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σχετικό συστηματικό σφάλμα Το σφάλμα του γινομένου 2 μεταβλητών με επιμέρους συστηματικά σφάλματα."

Transcript

1 1

2 Σχετικό συστηματικό σφάλμα Το σφάλμα του γινομένου 2 μεταβλητών με επιμέρους συστηματικά σφάλματα. Παράδειγμα: αν m = (0.53 ± 0.01) kg και υ = (9.1 ± 0.3) m/s, Προσδιορίστε την ορμή (p = mυ ) ΛΥΣΗ Άρα p = mυ = (0.53) x (9.1) = 4.82 kg.m/s Το σχετικό σφάλαμε είναι p Το σχετικό σφάλαμε στη p είναι 2% 3% 5% p p m m % % Άρα p = (4.8 ± 0.2) kg.m/s 2

3 Επομένως όταν δύο ποσότητες διαιρούνται το σχετικό συστηματικό σφάλμα του αποτελέσματος δίνεται από τo σχετικό συστηματικό σφάλμα του αριθμητή μείον το σχετικό συστηματικό σφάλμα του παρονομαστή Ανάλογες σχέσεις ισχύουν και για υπολογιζόμενες ποσότητες που περιέχουν εκθέτες. Όταν μια ποσότητα x είναι υψωμένη σε δύναμη P τότε το σχετικό συστηματικό σφάλμα του αποτελέσματος είναι το σχετικό συστηματικό σφάλμα του x πολ/σμένο με P. Αυτό ισχύει και για αρνητικούς εκθέτες. 3

4 Γραφικές παραστάσεις Μια γραφική παράσταση αποτελεί μια ακριβή γραφική αναπαράσταση των πειραματικών δεδομένων. Η γραφική παράσταση είναι ένας ιδιαίτερα αποδοτικός τρόπος για να παρουσιαστούν οι μετρήσεις και υπολογισμοί που έχουμε κάνει. Με το τρόπο αυτό μπορεί οποιοσδήποτε να δει το συσχετισμό μεταξύ διαφόρων μεγεθών αλλά και τη διασπορά (ακρίβεια) των συλλεγμένων μετρήσεων καθώς και οποιαδήποτε προτιμήσεις των μεγεθών (π.χ.περιγράφονται τα δεδομένα από ευθεία γραμμή; ποια η κλίση της κλπ). Όπως και σε μια φωτογραφία πρέπει να λάβουμε υπόψη το τρόπο με τον οποίο αντιπροσωπεύουμε τα δεδομένα. Όπως σε μια φωτογραφία, η γωνία λήψης της μπορεί να ενισχύσει ή να κρύψει κάποια χαρακτηριστικά του θέματός της έτσι και στην γραφική αναπαράσταση δεδομένων έχει σημασία η επιλογή των αξόνων αφού μπορούν να κρύψουν ή να διαφοροποιήσουν χαρακτηριστικά των δεδομένων Θεωρήστε ένα πείραμα στο οποίο θέλετε να εξετάσετε το ενδοχόμενο μεταξύ των φάσεων της σελήνης και του μήκους μιας σανίδας ξύλου συσχέτισης Έστω ότι πήρατε τις ακόλουθες μετρήσεις Φάσεις σελήνης Μήκος σανίδας (cm) 1 0 τέταρτο 12.1± τέταρτο 13.0± τέταρτο 11.8± τέταρτο 12.6±0.5 4

5 Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής παράστασης είναι να διαλέξετε αρχικά την ανεξάρτητη μεταβλητή σας (στη προκειμένη περίπτωση οι φάσεις της σελήνης) και να την τοποθετήσετε στον οριζόντιο άξονα, ενώ στο κατακόρυφο άξονα τοποθετείτε την εξαρτημένη μεταβλητή (το μήκος της σανίδας) Β Data 1 Α Αν χρησιμοποιήσουμε κάποιο γραφικό λογισμικό ενός υπολογιστή και κάνουμε το γράφημα θα μοιάζει όπως στο σχήμα. Υπάρχουν ωστόσο πολλά λάθη στο τρόπο που σχεδιάσαμε τη γραφική αυτή παράσταση. Αρχικά κάθε παράσταση θα πρέπει να έχει ένα σωστό τίτλο και οι άξονες να έχουν Ονομασίες αντιπροσωπευτικές των μεγεθών που αντιπροσωπεύουν. Ο τίτλος θα μπορούσε να είναι συσχετισμός φάσεων σελήνης και μήκους σανίδας Με το τρόπο αυτό ο αναγνώστης ξέρει τι να περιμένει να δει στη παράσταση. O οριζόντιος άξονας θα πρέπει να έχει το τίτλο φάσεις σελήνης (τέταρτα) ενώ ο 5 κατακόρυφος άξονας θα είχε το τίτλο Μήκος σανίδας (cm)

6 Γραφικές παραστάσεις - Υποδιαιρέσεις αξόνων Ο x -άξονας μπορεί να αναπαρασταθεί μόνο με ακέραιες (οι φάσεις της σελήνης) επομένως δεν χρειαζόμαστε πολλές υποδιαιρέσεις). Πόσες όμως υποδιαιρέσειs; Αρκετές ώστε ο x -άξονας να περιέχει όλα τα δεδομένα και τουλάχιστον μια επιπλέον σαν ανώτερο και κατώτερο όριο ώστε να δίνουν τη σιγουριά στον αναγνώστη ότι δεν υπάρχουν άλλα σημεία. Ποιά η κλίμακα του y- άξονα και το εύρος της; Δε θέλουμε μια κλίμακα στην οποία τα ακρώτατα σημεία να μοιάζουν ότι συμπίπτουν. error bar Δεν θα πρέπει το εύρος της υποδιαίρεσης της κλίμακας να είναι πολύ μεγάλο ώστε όλες οι μετρήσεις τεχνικά να πέφτουν σε μια υποδιαίρεση. +1 Τυπική απόκλιση -1 Τ υπική απόκλιση Μέτρηση Τα δεδομένα στο προηγούμενο γράφημα φαίνονται να μην έχουν κάποια συσχέτιση και ότι είναι τυχαία. Αυτό γιατί οι τυχαίες διακυμάνσεις στις μετρήσεις δημιουργεί την αβεβαιότητα της κάθε μέτρησης. Αν σχεδιάζαμε μια κατακόρυφη γραμμή με μήκος όσο το μέγεθος της ±1 τυπικής απόκλισης κάθε μέτρησης θα μπορούσαμε να δείξουμε γραφικά την ακρίβεια 6του πειράματος.

7 Γραφικές παραστάσεις - error bars Αν οι μετρήσεις που έχουμε είναι πάρα πολλές τότε ο υπολογισμός όλων των αβεβαιοτήτων είναι επίπονος και χρονοβόρος. Παρατηρούμε όμως ότι οι περισσότερες μετρήσεις έχουν παρόμοια αβεβαιότητα και οι τιμές των μετρήσεων που βρίσκονται στο μέσο του εύρους των τιμών που καλύπτουν οι μετρήσεις έχουν παρόμοια αβεβαιότητα. Μεγαλύτερη αβεβαιότητα παρουσιάζουν οι μετρήσεις που βρίσκονται στα άκρα του εύρους των μετρήσεων (από κατασκευή) μια και εκεί θα παρουσιάζεται η μεγαλύτερη διακύμανση. Ακολουθούμε τον εξής κανόνα για το σχεδιασμό των error bars: Παίρνουμε τις 2 πρώτες και 2 τελευταίες μετρήσεις που καλύπτουν τα άκρα του εύρους τιμών των μετρήσεών μας και υπολογίζουμε την αβεβαιότητά μας. Με το τρόπο αυτό έχουμε μια καλή και συντηρητική ένδειξη της αβεβαιότητας των μετρήσεών μας χωρίς να χάνουμε σημαντική πληροφορία. Με τη μέθοδο αυτή πάντοτε υπολογίζουμε την αβεβαιότητα 4 το πολύ μετρήσεων. Πειράματα που έχουν λιγότερες των 4 μετρήσεων θα έχουν όλα τα σημεία τους με error bars. 7

8 Μήκος, L(cm) Γραφικές παραστάσεις - Διορθωμένο γράφημα Φάση σελήνης (τέταρτο) Σχήμα 1: Σχέση μεταξύ μήκους σανίδας και φάσεων της σελήνης. Η γραφική παράσταση στη τελικής της μορφή δείχνει ότι οι διακυμάνσεις στις μετρούμενες τιμές του μήκους της σανίδας δεν είναι σημαντικά μεγαλύτερες από την αβεβαιότητα της κάθε μέτρησης. Δηλαδή το μήκος της σανίδας είναι ανεξάρτητο των φάσεων της σελήνης όπως και περιμέναμε. Αν όλα τα δεδομένα μας έχουν τιμές οι οποίες είναι μέσα στο εύρος της ±1 τυπικής απόκλισης γύρω από την ίδια κεντρική τιμή δεν έχουμε κάποιο λόγο να ισχυριζόμαστε ότι οι μετρήσεις μας είναι διαφορετικές. Βλέπουμε επομένως ότι η σωστή εκτίμηση προκύπτει με το να βρούμε τη μέση τιμή όλων των μετρήσεων του μήκους της σανίδας. Πάντοτε όταν κάνετε μια γραφική παράσταση σκεφθείτε τις αβεβαιότητες των μετρήσεων και σχεδιάστε την λογικά. Η αρχική γραφική παράσταση μπορεί να σας οδηγούσε στο συμπέρασμα ότι υπάρχει όντως συσχέτιση μεταξύ του μήκους της σανίδας και των φάσεων της σελήνης. 8

9 Κανόνες για τη δημιουργία γραφικών παραστάσεων Όταν σας ζητείτε να κάνετε τη γραφική παράσταση του Μεγέθους 1 ως προς το Μέγεθος 2 σημαίνει ότι το Μέγεθος 2 είναι στον άξονα x και το Μέγεθος 1 στο y-άξονα. Ποτέ μη χαράζετε καμπύλες οι οποίες συνδέουν τα σημεία των μετρήσεών σας. Κάθε καμπύλη έχει μια φυσική ερμηνεία. Κάθε γραφική παράσταση θα πρέπει να έχει κάποιο τίτλο περιγραφής που εξηγεί σύντομα τη σημασία της παράστασης. Κάθε γραφική παράσταση θα πρέπει να έχει επιγραφές στους άξονες ανάλογα με το μέγεθος που αντιστοιχείτε καθώς και τις απαραίτητες μονάδες μέτρησης. Ο οριζόντιος άξονας θα πρέπει να έχει υποδιαιρέσεις πέρα από το εύρος των μετρήσεων (αριστερά και δεξιά του διαστήματος) ώστε να διασφαλίσετε τη μη ύπαρξη σημείων έξω από το εύρος που ορίζετε. Εξαίρεση σε αυτό υπάρχει όταν η επιπλέον υποδιαίρεση αντιστοιχεί σε αρνητική τιμή χωρίς φυσική σημασία οπότε σταματούμε στη τιμή x=0. Σχεδιάστε τις αβεβαιότητες δίνοντας ± 1 τυπική απόκλιση σε 4 σημεία. Για μεγάλα δείγματα σχεδιάστε μόνο τις αβεβαιότητες για τα 2 πρώτα και 2 τελευταία σημεία του εύρους. Αυτό προσφέρει οπτικό έλεγχο των αβεβαιοτήτων 9

10 Ανά λυση δεδομένων Σχέση μεταξύ μετρήσεων και θεωρίας: Γενικός νόμος φυσικής Μια μέτρηση Πολλές μετρήσεις Μια και μόνο μέτρηση, για παράδειγμα η θέση του βλήματος που κάνει πλάγια βολή μια μια χρονική στιγμή δεν είναι αρκετή για να περιγράψει το γενικό φαινόμενο. Για να συνδέσουμε το πείραμα με θεωρία θα πρέπει να έχουμε πολλές μετρήσεις και από το τρόπο κατανομής των δεδομένων να ανακαλύψουμε την θεωρία που κρύβεται πίσω από τα δεδομένα Στο παράδειγμα του βλήματος, η μελέτη του βεληνεκούς για διάφορες γωνίες ρίψης και διαφορετικές ταχύτητες μπορούν να βοηθήσουν να κατανοήσουμε το φυσικό νόμο που περιγράφει το φαινόμενο αυτό. Όταν πραγματοποιούμε κάποιο πείραμα δεν ενδιαφερόμαστε απλά και μόνο για τις τιμές κάποιων μεγεθών που μετράμε αλλά και για την συσχέτιση που υπάρχει μεταξύ των μεγεθών αυτών. H συσχέτιση μεταξύ των μεγεθών είναι αυτή που εκδηλώνει την ύπαρξη κάποιου φυσικού νόμου. Το βασικό εργαλείο που χρησιμοποιούμε για να βρούμε κάποιο συσχετισμό είναι οι γραφικές παραστάσεις. Το ερώτημα που γεννάται όμως είναι πως μπορούμε να μειώσουμε το μεγάλο αριθμό μετρήσεων σε ποσότητες που μπορούν να συγκριθούν με τη θεωρητικές προβλέψεις. 10

11 Απόσταση, L(m) Προσαρμογή σε ευθεία γραμμή Μια από τις περισσότερες χρήσιμες τεχνικές είναι αυτή της περιγραφής των πειραματικών δεδομένων με μια ευθεία γραμμή. Υποθέστε ότι έχετε μια σειρά μετρήσεων σε μια γραφική παράσταση y ως προς x και από τη γραφική παράσταση βλέπουμε ότι αντιστοιχεί σε μια ευθεία γραμμή Για την περιγραφή αυτής της ευθείας χρειάζονται 2 παράμετροι: η κλίση της, m, και η τετμημένη της ευθείας με τον άξονα των y, b Τη στιγμή που θα προσδιορίσουμε τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή y που αντιστοιχεί σε οποιαδήποτε τιμή του x. Κλίση=m= Δ y Δ x Δ y = 1m y = ax + b Προσέξτε ότι είναι ακριβώς η κλίση και η τετμημένη b που παίζουν σημαντικό ρόλο στη θεωρία Δ x = 2sec y-τετμημένη=b=5m απόσταση από την αρχή t =0 Χρόνος, t(sec) H κλίση είναι η ταχύτητα ενώ η τετμημένη μας δίνει την αρχική θέση του σώματος Επομένως το πρόβλημά μας ανάγεται στην εύρεση των παραμέτρων της ευθείας καθώς και των αβεβαιοτήτων που συνοδεύουν τις εκτιμήσεις αυτών 11

12 Απόσταση, L(m) Εύρεση της ευθείας Έστω ότι έχουμε τις μετρήσεις που δίνονται στο παρακάτω πίνακα Πίνακας 1 Χρόνος (sec) Απόσταση (m) Αβεβαιότητα, Δy (m) (δεν χρειάζεται να υπολογισθεί) Δεδομένα από το πίνακα 1 χρόνος, t(sec) Χρειάζεται να υπολογίσουμε τις αβεβαιότητες για 4 τιμές. Τις 2 που βρίσκονται στο κατώτερο όριο τιμών και τις δύο στο υψηλότερο όριο τιμών. Σα 1 ο βήμα κάνουμε τη γραφική παράσταση των δεδομένων του πίνακα 1. Χρησιμοποιώντας ένα χάρακα μπορούμε να σχεδιάσουμε τη καλύτερη ευθεία που διέρχεται από όλα τα σημεία. Αυτή η ευθεία λέγεται ευθεία καλύτερης προσαρμογής (best fit). Αν οι αβεβαιότητες όλων των σημείων είναι ίσες ή πολύ μικρές τότε η διαδικασία είναι πολύ απλή. Αν οι αβεβαιότητες παρουσιάζουν μεγάλες διακυμάνσεις τότε η διαδικασία είναι πιο πολύπλοκη. 12

13 Ευθεία γραμμή καλύτερης προσαρμογής Σημεία με μεγάλες αβεβαιότητες περιέχουν και τη λιγότερο σημαντικότητας πληροφορία και επομένως θα πρέπει να δώσουμε τη λιγότερο σημασία. Η τετμημένη με το y- άξονα μπορεί να βρεθεί διαβάζοντας απλά τη τιμή από τη γραφική παράσταση. Στη περίπτωσή μας είναι περίπου 13m. Για να βρούμε τη κλίση χρησιμοποιούμε το ορθογώνιο τρίγωνο της διαφ. 11 και υπολογίζουμε κάποιο διάστημα Δx και το αντίστοιχο Δy. m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 Όπου τα σημεία x 1, x 2, y 1 και y 2 είναι κάποια σημεία της ευθείας γραμμής και όχι απαραίτητα πειραματικά σημεία Αυτό είναι σημαντικό γιατί από τη στιγμή που σχεδιάσατε τη καλύτερη ευθεία δεν ενδιαφερόμαστε πλέον για τα πειραματικά σημεία αλλά για την κλίση και τη τετμημένη της ευθείας. Προσέξτε ότι για τη περίπτωσή μας κανένα από τα σημεία δεν βρίσκεται ακριβώς πάνω στην ευθεία. Χρησιμοποιούμε επομένως τα δεδομένα για να βρούμε τη καμπύλη και τη καμπύλη για να βρούμε τη θεωρία. Για το παράδειγμά μας έχουμε: m = 32m - 140m =11.25m / s 11m / s 1.7s s 13

14 Απόσταση, L(m) Eύρεση της αβεβαιότητας της κλίσης και τετμημένης Ξεκινάμε σχεδιάζοντας ένα παραλληλόγραμμο το οποίο περικλείει όλα τα πειραματικά σημεία συμπεριλαμβανομένης της αβεβαιότητάς τους. Το παραλληλόγραμμα της αβεβαιότητας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δεδομένα από το πίνακα 1 Xρόνος, t(sec) H πάνω και κάτω γραμμή αυτού του παρ/μου σχεδιάζονται παράλληλα προς την ευθεία της καλύτερης προσαρμογής. Tα άκρα σχεδιάζονται παρ/λα προς τον y -άξονα. Οποιαδήποτε εκτίμηση της αβεβαιότητας της κλίσης και τετμημένης της ευθείας θα πρέπει να έχει σαν αποτέλεσμα μια ευθεία η οποία περνά από τα άκρα του παρ/μου και δεν τέμνει τις πλάγιες πλευρές. Μπορούμε επομένως να χαράξουμε τις 2 διαγωνίους του παρ/μου και οι κλίσεις και τετμημένες των 2 αυτών ευθειών δίνουν την αβεβαιότητα στη κλίση και τετμημένη της ευθείας της καλύτερης προσαρμογής. 14

15 Απόσταση, L(m) Eύρεση της αβεβαιότητας της κλίσης και τετμημένης Όπως και στην περίπτωση της καλύτερης ευθείας προσαρμογής υπολογίζουμε τη κλίση και τετμημένη των 2 διαγωνίων του παρ/μου. Επομένως η αβεβαιότητα της κλίσης της καλύτερης ευθείας είναι: Επειδή εκφράζουμε την αβεβαιότητα συνήθως συμμετρικά θα έχουμε ότι η αβεβαιότητα του πειράματος είναι: Βλέποντας τις 2 ευθείες της αβεβαιότητας καταλαβαίνουμε ότι είναι αρκετά απίθανο να επιλέξουμε είτε την ευθεία Α ή την ευθεία Β σαν την ευθεία της καλύτερης προσαρμογής. Επομένως έχουμε υπερεκτιμήσει την αβεβαιότητα. Xρόνος, t(sec) Μια προσεκτικότερη ανάλυση δείχνει ότι θα πάρουμε μια πιο καλή εκτίμηση της αβεβαιότητας αν διαιρέσουμε την προηγούμενη εκτίμησή μας με τη τετραγωνική ρίζα του αριθμού των μετρήσεών μας. 15

16 H εξίσωση αυτή δίνει την εκτίμηση της πιο πιθανής αβεβαιότητας. Στο παρονομαστή, για Ν=1, Δm= και αυτό είναι λογικό μια και από ένα σημείο μπορούμε να έχουμε οποιαδήποτε ευθεία. Για Ν=2 μια γραμμή μόνο μπορεί να χαραχθεί από 2 σημεία. Στην περίπτωση αυτή το παρ/μο της αβεβαιότητας προέρχεται μόνο από τις αβεβαιότητες των δύο αυτών σημείων και επομένως είναι λογικό Δm = (m A -m B )/2. Για Ν >> 2 η αβεβαιότητα ελλατώνεται σύμφωνα με τη ρίζα του αριθμού των μετρήσεων Ν και αυτό είναι το αποτέλεσμα που βρήκαμε όταν υπολογίσαμε του σφάλματος της μέσης τιμής. Αυτό δεν αποτελεί τη λύση του προβλήματος αλλά είναι κάποια πολυ λογική και καλή προσέγγιση. Η εύρεση της αβεβαιότητας της τετμημένης προχωρά σύμφωνα με τα όσα αναπτύξαμε για την αβεβαιότητα της κλίσης της ευθείας. Κάνοντας τις πράξεις έχουμε ότι Η αβεβαιότητα της κλίσης είναι ίδιας τάξης με τα δεδομένα αλλά η αβεβαιότητα της τετμημένης είναι περίπου 50%. 16

17 Στη περίπτωση της κλίσης παίρνουμε μια μέση τιμή ενώ για τη τετμημένη προεκτείνουμε σε περιοχή μακριά από τα δεδομένα και σε χρόνους που δεν έχουμε πειραματικές μετρήσεις και είναι επόμενο να έχουμε μεγαλύτερη αβεβαιότητα. Σε κάποιο σημείο όχι πολύ μακριά από τα δεδομένα η αβεβαιότητα σχετικά με τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t=0 μπορεί να γίνει ίση με 100% και μεγαλύτερη ακόμα. Αυτό σημαίνει ότι το πείραμά μας είναι πολύ δύσκολο να προσδιορίσει το τι κάνει το σώμα σε μια προγενέστερη χρονική στιγμή στην οποία δεν υπάρχουν μετρήσεις Μπορούμε δηλαδή να εκφράσουμε άποψη μόνο σχετικά με τη κίνηση στο διάστημα που μετρήσαμε αλλά όχι πέρα από αυτό. Μπορεί να προσπαθήσει κάποιος να επιχειρηματολογήσει ότι αν το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα κατά τη διάρκεια του διαστήματος ότι κινείται με τον ίδιο τρόπο έξω από το χρονικό διάστημα της μέτρησής μας. Αυτό μπορεί να είναι σωστό αλλά δεν έχουμε μετρήσεις οι οποίες μπορούν να δείξουν ότι αυτό συμβαίνει. Για να ελαττώσουμε την αβεβαιότητα χρειαζόμαστε περισσότερες μετρήσεις. Ένα τελευταίο σημείο. Ακόμα και αν υπήρχε πειραματικό σημείο στον y-άξονα αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει αβεβαιότητα στη τιμή της τετμημένης. Αυτό γιατί η ευθεία καλύτερης προσαρμογής δεν είναι απαραίτητο να περνά από όλα τα πειραματικά σημεία όπως συμβαίνει και στο παράδειγμά μας. 17

18 Ημιλογαριθμι κό χαρτί Πολλές φορές τα δεδομένα μας δεν περιγράφονται από μια απλή ευθεία αλλά ο νόμος της φυσικής που περιγράφει το φαινόμενο έχει μια εκθετική μορφή. Για παράδειγμα η ραδιενεργός διάσπαση κάποιων ραδιοισοτόπων. Η διάσπαση ακολουθεί εκθετική μορφή σύμφωνα με τη σχέση. t/ A t A 0 e Όπου Α 0 είναι η ενεργότητα τη στιγμή t=0 και τ η σταθερά διάσπασης. Μπορούμε και πάλι να χρησιμοποιήσουμε την ίδια τεχνική για να βρούμε τη σταθερά διάσπασης και την αρχική ενεργότητα του δείγματος. Αρκεί να γράψουμε την παραπάνω εξίσωση σε γραμμική μορφή. Η μετατροπή της εκθετικής εξίσωσης σε γραμμική γίνεται εύκολα λογαριθμίζοντας την εξίσωση. ln A t ln A0e ln A0 ln A0 t t/ t Ο όρος ln[a 0 ] αντιπροσωπεύει το σταθερό όρο της εξίσωσης της ευθείας ενώ ο όρος λ= - 1 /τ την κλίση της. Ο όρος t αποτελεί την ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ ο λογάριθμος της ενεργότητας, ln[a(t)], την εξαρτόμενη μεταβλητή. Για την γραφική παράσταση θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τους λογαρίθμους και να χρησιμοποιήσουμε χιλιοστομετρικό χαρτί ή να χρησιμοποιήσουμε το λεγόμενο ημιλογαριθμικό χαρτί. 18

19 Ενεργότητα, Α(χτύποι/sec) Ημιλογαριθμ ικό χαρτί Η χρήση του λογαριθμικού χαρτιού διευκολύνει στη περίπτωση αυτή γιατί μπορούμε να θέσουμε τις μετρήσεις μας απευθείας στο γράφημα χωρίς επιπλέον υπολογισμούς. Το χαρτί περιέχει το κάθετο άξονα με τέτοιο τρόπο ώστε οι Κατακόρυφες αποστάσεις να είναι ανάλογες των επιθυμητών λογαρίθμων. Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα δεδομένα της ραδιενεργούς διάσπασης. Πίνακας 2. Ενεργότητα ως προς χρόνο για το ραδιενεργό δείγμα. Χρόνος (min) Ενεργότητα Α και ΔΑ (χτύποι/s) ± ± ± ± ± xρόνος t (min) Σχήμα 5: Ενεργότητα ως προς χρόνο για το ραδιενεργό δείγμα. 19

20 Ενεργότητα Για παράδειγμα: ln / sec ln / sec 1min 5min min min Η τετμημένη θα δίνεται από A sec sec 1min / min A t e 4 t / t (min) 20

21 Log-Log χαρτί (λογαριθµικό λογαριθµικό) Πολλές φορές µπορούµε να βρούµε την συναρτησιακή εξάρτηση ενός φυσικού µεγέθους y από το ανεξάρτητο µέγεθος x, θεωρώντας το λογάριθµο των δεδοµένων που µετράµε. Αν το εξαρτόµενο µέγεθος y ειναι ανάλογο κάποιας δύναµης του ανεξάρτητου µεγέθους x, τότε το γράφηµα τou y ως προς x, σχεδιαζόµενο σε ένα λογαριθµικό-λογαριθµικό χαρτί θα είναι ευθεία η κλίση της οποίας θα είναι ίση µε τον εκθέτη στον οποίο είναι υψωµένο το ανεξάρτητο µέγεθος. Για παράδειγµα, έστω ότι µετρούµε κάποια δεδοµένα τα οποία κατανέµονται σύµφωνα µε την εξίσωση y = x n Θεωρώντας το λογάριθµο θα έχουµε: log(y)= log(x n ) log(y)= nlog(x) Προφανώς από ένα γράφηµα µε λογαριθµικούς άξονες µπορούµε να βρούµε αµέσως τη κλίση. Αν είχαµε περισσότερο πολύπλοκη µορφή: y = Ax n log(y)= log(ax n )= log(a)+ nlog(x) Έχει διαφορά στο γράφηµα αν θεωρήσουµε Log 10 ή ln (log e ) σχέσεις?

22 Log-Log χαρτί (λογαριθµικό λογαριθµικό) Χ Υ

23 Ιστογράμμα τα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική ανάλυση των μετρήσεων. Αν έχουμε μια σειρά από μεγάλο αριθμό μετρήσεων ενός μεγέθους τότε μπορούμε να ταξινομήσουμε τις μετρήσεις και να βρούμε τη συχνότητα εμφάνισης κάθε τιμής. Συνήθως δεν κρατάμε κάθε μέτρηση ξεχωριστά αλλά χωρίζουμε το εύρος των τιμών σε κατάλληλα ίσα υποδιαστήματα και αθροίζουμε τις τιμές που πέφτουν σε κάθε υποδιάστημα, Με το τρόπο αυτό πέρνουμε τη κατανομή της συχνότητας εμφάνισης κάθε τιμής. Για παράδειγμα έστω ότι μετρήσαμε κάποιο μέγεθος 30 φορές και βρήκαμε: Δηλαδή κάθε τμή x i εμφανίζεται n i φορές H μέση τιμή μπορεί να γραφεί: x N x x n i k k Oι τιμές του μετρήσεων εμφανίζονται με την ακόλουθη συχνότητα: Τιμή # Τιμή # Τιμή # nk 23

24 Ιστογράμματα Ομαδοποιόντας τις μετρήσεις τότε βρίσκουμε ευκολότερο πόσο συνεισφέρει κάθε τιμή στο άθροισμα της μέσης τιμής, Σx k n k Στο παράδειγμα οι τιμές όλες οι τιμές βρίσκονται στο διάστημα και άρα η ακριβής τιμή θα βρίσκεται στο διάστημα. Εφόσον οι τιμές είναι οι πιο συχνές περιμένουμε ότι και η πραγματική τιμή θα είναι στο υποδιάστημα αυτό. Όντως η μέση τιμή είναι Συνήθως χωρίζουμε το διάστημα σε ίσα υποδιαστήματα κατάλληλου μήκους ώστε στο καθένα να συμπεριλαμβάνεται μεγάλος αριθμός μετρήσεων και βρίσκουμε το ποσοστό των μετρήσεων σε κάθε διάστημα. n F N Fk fk x k k Πιθανότητα να βρεθεί μια μέτρηση στο διάστημα k. k k k k Το ιστόγραμμα αποτελεί τη γραφική παράσταση της f k ως προς το x H ολική επιφάνεια των ορθογωνίων θα είναι ίση με την μονάδα: F 1 f x x F x Πυκνότητα Πιθανότητας μεταβλητής x να βρεθεί στο k- δ ιάστημα Δx, το ποσοστό δηλαδή των μετρήσεων στο διάστημα Δx k k k k f k x Στη περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε σα Δx=0.04cm Αν αριθμός των μετρήσεων γίνει αρκετά μεγάλος τότε το ιστόγραμμα πέρνει τη μορφή της κατανομής από την οποία προέρχονται οι μετρήσεις. Η καμπύλη αποτελεί την οριακή κατανομή 24

25 Ιστογράμματα - Ορια κή κατανομή Η οριακή κατανομή είναι μια θεωρητική καμπύλη που δεν μπορεί να προκύψει ποτέ από τις μετρήσεις. Το εμβαδό κάθε παρ/μου του ιστογράμματος είναι ισοδύναμο με τον αριθμό μετρήσεων που περιλαμβάνεται στο διάστημα αυτό. f b x dx a f x dx f x dx 1 πιθανότητα μια μέτρηση να περιλαμβάνεται μεταξύ x και x+δx ποσοστό μετρήσεων μεταξύ x=α και x=b, η πιθανότητα δηλαδή μια μέτρηση να «πέσει» στο διάστημα α,b Η πιθανότητα μια μέτρηση να βρίσκεται μεταξύ - και + Λέμε τότε ότι η f(x) είναι κανονικοποιημένη 25

26 Ιστογράμματα - Οριακή κατανομή πολλών μετρήσεων Αν ξέρουμε την οριακή κατανομή μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή. Αν οι μέτρησεις επηρεάζονται από πολλές πηγές μικρών τυχαίων σφαλμάτων τότε η οριακή κατανομή προσεγγιζει αυτή της κατανομής Gauss. Για πολύ μεγάλο αριθμό μετρήσεων και για τυχαία μικρά σφάλματα οι τιμές που αποκλίνουν πολύ από τη μέση τιμή κατανέμονται συμμετρικά ως προς τη μέση τιμή τότε στην άθροιση της εύρεσης της μέσης τιμής αυτές οι τιμές αλληλοαναιρούνται και η τελική τιμή πλησιάζει την πιστή τιμή του μεγέθους. Η πιθανότητα να πάρουµε µια τιµή x στο διάστηµα x 1 και x 1 +dx είναι: Η πιθανότητα να πάρουµε µια τιµή x στο διάστηµα x 2 και x 2 +dx είναι: Αν συνεχίσουµε για όλες τις τιµές x N τότε η πιθανότητα για την x N : 26

27 Mέση τιµή σα καλύτερος υπολογισµός αληθινής τιµής H πιθανότητα να παρατηρήσουµε το συγκεκριµένο δείγµα των Ν µετρήσεων είναι το γινόµενο των πιθανοτήτων: Δεδοµένων Ν παρατηρούµενων τιµών x 1, x 2,, x N o καλύτερος υπολογισµός της πραγµατικής τιµής είναι αυτός που πέρνουµε αν µεγιστοποιήσουµε την πιθανότητα. Αυτό θα συμβεί όταν το άθροισμα στον εκθέτη είναι ελάχιστο. Εποµένως θα πρέπει: Ανάλογα ο καλύτερος υπολογισµός της τυπικής απόκλισης βρίσκεται ότι είναι: 27

28 Gaussian Κατανομή Όπως αναφέραμε η πιθανότητα να κείται μια τιμή στο διάστημα x x+dx δίνεται για συνεχείς κατανομές από την πυκνότητα πιθανότητας f(x)dx. Αν η μεταβλητή x ακολουθεί κανονική κατανομή τότε f(x) είναι η συνάρτηση Gauss και η πιθανότητα να κείται μια τιμή του x στο διάστημα (μ-σ, μ+σ) δίνεται από: ( x) f, p ( x) dx 28

29 Gaussian Κατανομή Το ολοκλήρωμα αυτό δεν μπορεί να προσδιοριστεί αναλυτικά, υπολογίζεται ωστόσο αριθμητικά (ισούται με το εμβαδό της καμπύλης στο διάστημα (μ-σ, μ+σ)) και δίνει p Δηλαδή η πιθανότητα να κείται μια μέτρηση του μεγέθους x στο διάστημα (μ-σ, μ+σ) είναι 68%, ενώ η αντίστοιχη πιθανότητα για το διάστημα μ-2σ και μ+2σ είναι 95.4%. και αυτή για το διάστημα μ-3σ και μ+3σ είναι 99.7% (εμπεριέχονται πρακτικά όλες οι μετρούμενες τιμές). 29

30 Εύρεση καλύτερης ευθείας προσαρμογής Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (μέθοδος χ 2 ) Όπως είδαμε στη γραφική εύρεση της καλύτερης ευθείας προσαρμογής, αυτό που ενδιαφερόμαστε είναι ο καθορισμός των παραμέτρων της συνάρτησης (π.χ. μιας ευθείας) που περιγράφει τα δεδομένα. Δύο μεθόδοι: Ελαχίστων τετραγώνων ή χ 2 Μέγιστης πιθανότητας - maximum likelihood Υποθέτουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση y μιας μεταβλητής x και μια σειρά παραμέτρων Έστω ότι μετρήσαμε διάφορες τιμές του y για κάποιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x. Επομένως θα έχουμε Ν ζεύγη τιμών Ορίζουμε σαν χ 2 τη ποσότητα: H μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων δηλώνει ότι η καλύτερη εκτίμηση των παραμέτρων θ i επιτυγχάνεται όταν βρεθεί μια ομάδα τιμών θ i για τις οποίες η συνάρτηση χ 2 είναι ελάχιστη. 30

31 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων - χ 2 Αν οι αποκλίσεις κάθε μέτρησης, σ i, είναι ίσες τότε η σχέση απλουστεύεται Είναι σημαντικό να προσέξετε ότι η μέθοδος όπως ορίστηκε χρειάζεται τη γνώση των αβεβαιοτήτων σ i και ότι υποθέτει ότι δεν υπάρχουν αβεβαιότητες στη γνώση της ανεξάρτητης μεταβλητής x. Aβεβαιότητες στις τιμές x i μπορούν να αγνοηθούν εφόσον: Αγνοώντας τις αβεβαιότητες, η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων είναι απλά το άθροισμα των αποστάσεων κάθε μέτρησης y i από τα σημεία της θεωρητικής καμπύλης (x i,y i (x i )). Ελαχιστοποιώντας τη συνάρτηση ψάχνουμε τα σημεία της καλύτερης καμπύλης για τα οποία αυτή η απόσταση ελαχιστοποιείται. H εισαγωγή των αβεβαιοτήτων είναι απαραίτητη αν θέλουμε να κάνουμε στατιστική ανάλυση των αποτελεσμάτων διαφορετικά είναι απλό γεωμετρικό πρόβλημα. 31

32 Εφαρμογή χ 2 - εύρεση παραμέτρων ευθείας Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση την οποία θέλουμε να προσαρμόσουμε στα σημεία των μετρήσεων μας είναι της μορφής: y(x)= ax + b Θα υποθέσουμε ακόμα ότι οι αβεβαιότητες σ i των y i είναι όλες ίσες μεταξύ τους. Επομένως,το πρόβλημα εύρεσης των παραμέτρων α και b έγγυται στην ελαχιστοποίησης της συνάρτησης χ 2 ως προς α και b. Η ελαχιστοποίηση γίνεται πέρνοντας τη μερική παράγωγο της χ 2 εξισώνοντας με μηδέν: ως προς α και b και και λύνοντας το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων που προκύπτει προς α και b. 32

33 33

34 34

35 35

36 Εύρεση αβεβαιότητας παραµέτρων ευθείας Οι αβεβαιότητες των α και b βρίσκονται από εφαρμογή διάδοσης σφαλμάτων και πολύ άλγεβρα 36

37 37

38 38

39 39

40 40

41 Μετρήσεις ίδιου μεγέθους με διαφορετικά σφάλματα Η πιθανότητα για τα δυό αποτελέσματα ταυτόχρονα είναι Αυτή η πιθανότητα θέλουμε να είναι μέγιστη y 2 πρέπει να είναι ελάχιστο Αλλά y 2 ελάχιστο όταν dy2 dx = 0 Επομένως παραγωγίζοντας και εξισώνοντας με 0 έχουμε: 41

42 Αβεβαιότητα της τιμής Χ συνδυασμού μετρήσεων Χρησιμοποιώντας το γενικό τύπο διάδοσης σφαλμάτων για τις μετρήσεις x i έχουμε 42

43 Παράδειγμα Έστω ότι μετρήθηκε μια ωμική αντίσταση πολλές φορές από τρια άτομα και βρέθηκε R 1 = (11.0 ± 1.0)Ω, R 2 = (12.0 ± 1.0)Ωκαι R 3 = (10.0 ± 3.0)Ω.Ποιά η καλύτερη τιμή της R και ποια η αβεβαιότητα της; Έπομένως το τελικό αποτέλεσμα είναι: Χ = ( 11.4 ± 0.7) Ω Αγνοώντας τη τρίτη μέτρηση με το μεγαλύτερο σφάλμα βρίσκουμε Χ= ( 11.5 ± 0.7) Ω Δηλαδή η τρίτη και χειρότερη μέτρηση ουσιαστικά δεν συνεισφέρει στη τελική. 43

44 44

45 Κριτήριο απόρριψης τιμών Έστω ότι κάποιος μετρώντας ένα μέγεθος 7 φορές βρήκε τις ακόλουθες τιμές και 49.3 Η τελευταία μέτρηση φαίνεται αρκετά μεγαλύτερη από όλες τις υπόλοιπες και έξω από το διάστημα το οποίο περιέχει τις περισσότερες μετρήσεις. Στην περίπτωση αυτή ελέγχουμε για κάποιο λάθος. Αν δεν μπορεί να αποδοθεί λάθος μπορούμε να την απορρίψουμε σύμφωνα με το ακόλουθο κριτήριο. Αν πληρούνται οι προυποθέσεις για κάνουν την κατανομή των μετρήσεών μας Gaussian τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να προκύψει κάποια τιμή πολύ διαφορετική από τις υπόλοιπες. Θεωρούμε όλες τις μετρήσεις αξιόπιστες και υπολογίζουμε τη μέση τιμή τους και τυπική απόκλιση. H μέτρηση που δεν συμφωνεί με τις υπόλοιπες διαφέρει από τη μέση τιμή κατά x P P 2.2 x H πιθανότητα να προκύψει μια μέτρηση από μια Gaussian κατανομή με τιμή ίση ή και μεγαλύτερη από την μέση τιμή κατά t=2.2σ δίνεται από: Το ολοκλήρωμα της Gaussian βρίσκεται από πίνακες Επομένως, x 33.7, x 7.1 P 2.2 x Οπότε για 7 μετρήσεις παίρνει: =0.16 < 0.5 Άρα απορρίπτει την τιμή 49.3, άρα τελικά x 31.1, x 1.9 x P 2.2 x =97.72%.

46 46

47 Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν. Ωστόσο τα τυχαία σφάλματα μπορούν να ληφθούν υπόψη αν η μέτρηση επαναληφθεί πολλές φορές. Σε αυτή την περίπτωση μπορούν να χρησιμοποιηθούν στατιστικές μεθόδους με τις οποίες είναι δυνατό να προσδιορίσουμε την πιθανότητας εμφάνισης των δυνατών εκδοχών της μέτρησης Για να προσδιορίσουμε μια ακριβή πιθανότητα εμφάνισης θεωρούμε μεγάλο αριθμό Ν από πανομοιότυπα συστήματα με αυτό που μελετούμε (ίδιες συνθήκες μέτρησης). Αν Ν r είναι ο αριθμός των συστημάτων στα οποία εμφανίζεται η εκδοχή r ορίζουμε σαν πιθανότητα εμφάνισης το μέγεθος: Δηλαδή αν ο αριθμός των πειραμάτων γίνει πολύ μεγάλος περιμένουμε η επανάληψη της ίδιας παρατήρησης να οδηγεί σε αυξανόμενη δυνατότητα αναπαραγωγής σύμφωνα με το λόγο p r και παύει να είναι αβέβαιος για N. Οι τιμές της p r μπορεί να είναι μεταξύ 0 και 1 Τυχαία θεωρούμε μια μεταβλητή της οποίας κάθε τιμή αντιστοιχεί σε κάθε δυνατή εκδοχή του πειράματος. Διακεκριμένη αν οι τιμές που μπορεί να πάρει είναι αριθμήσιμες. Συνεχής αν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή σε ένα διάστημα. 47

48 48

49 49

50 Παράδειγμα 2 Αν ρίξουμε ένα ζάρι σε ένα τραπέζι υπάρχουν 6 εκδοχές για το αποτέλεσμα. Η έκβαση της ρίψης του ζαριού θα μπορούσε να προβλεφθεί αν γνωρίζαμε πως ακριβώς ρίχνεται το ζάρι καθώς και την δύναμη που ασκεί πάνω του το τραπέζι. Καθώς δεν έχουμε αυτές τις πληροφορίες και ακόμη και αν τις γνωρίζαμε θα χρειαζόμασταν εξαιρετικά πολύπλοκους υπολογισμούς, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα. Αυτό ωστόσο που μπορούμε να πούμε αν το ζάρι είναι ομοιογενές είναι ότι μετά από ένα μεγάλο αριθμό ρίψεων, θα προκύψει ίσος αριθμός αποτελεσμάτων 1-6. Αν n αποτελεί την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τα πιθανά αποτελέσματα της ρίψης του ζαριού και ονομάσουμε p(n) την αντίστοιχη πιθανότητα, η στατιστική περιγραφή της ρίψης δίδεται από τον πίνακα n p(n) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Ποια η αναμενόμενη τιμή και ποια η διασπορά του n στο παράδειγμα αυτό; 50

51 Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους Ας θέσουμε τώρα το ερώτημα: Σε ένα σύνολο μετρήσεων Ν θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα να έχουμε την τιμή Ν r ή N s. Σύμφωνα με τα προηγούμενα αυτή θα δίνεται από: p( r, s) N r N N s N N r N N s p r p s Αν υποθέσουμε τώρα ότι κάθε μέτρηση δίνει δύο αποτελέσματα, στατιστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους το ένα από τα οποία χαρακτηρίζεται από τον δείκτη r (με r = 0,1,2 ) και το άλλο από τον δείκτη s (με s=0,1,2 ) τότε η πιθανότητα της συνδυασμένης εμφάνισης του αποτελέσματος r και του s δίνεται από: p rs N N rs Στο στατιστικό σύνολο, Ν r μετρήσεις εμφανίζουν το αποτέλεσμα r και από αυτές υπάρχει πιθανότητα p s να εμφανίζουν και το αποτέλεσμα s. Επομένως ο αριθμός Ν rs των μετρήσεων που εμφανίζουν τα r και s δίνεται από: N rs N r p s p rs Nr p N s p r p s 51

52 52

53 Διωνυμική Κατανομή Παράδειγμα Ρίχνουμε τέσσερα νομίσματα σε ένα τραπέζι και μετρούμε πόσα από αυτά δείχνουν γράμματα. Ποια η πιθανότητα να προκύψει ένα από τα παρακάτω αποτελέσματα: α) n=0, β) n=1,γ) n=2, δ) n=3, ε) n=4 Κάθε νόμισμα μπορεί να δείξει κορώνα ή γράμματα ανεξάρτητα από το τι θα δείξουν τα άλλα 3, επομένως έχουμε 4 στατιστικά ανεξάρτητα γεγονότα. Ένα γεγονός πραγματοποιείται όταν το νόμισμα φέρνει γράμματα και η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί (μην πραγματοποιηθεί το γεγονός) είναι p = 0.5 (q =0.5), αντίστοιχα, επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση διωνυμικής κατανομής p(n) για να προσδιορίσουμε τις πιθανότητες: 4! 1 p(0) ( ) 0!4! 2 4! 1 1 p(1) ( ) ( 1!3! 2 4! 1 p(2) ( ) 2!2! 2 4! 1 3 p(3) ( ) 31!! 2 p(4) 4! ( 4!0! 1 ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ή25% ή25% ή6.25% 0.375ή37.5% ή6.25% Γραφική Παράσταση; 53

54 54

55 55

56 Παράδειγμα Έστω ότι έχουμε ένα ανεξάρτητο δείγμα x = 0.89, 0.03, 0.50, 0.36, 0.49 έχουν δημιουργηθεί από μια συνάρτηση: x, 1. 0 x 0. 5 x 0, 1 P(x) Για α =+1.0 τότε ln(1.39)+ln(0.53)+ln(1.0)+ln(0.86)+ln(0.99) = Για α =-1.0 τότε ln(0.61)+ln(1.47)+ln(1.0)+ln(1.14)+ln(1.01) = 0.03 Βλέπουμε ότι maximum Likelihood εμφανίζεται για α = -0.6, άρα αυτή η τιμή είναι το maximum Likelihood estimate 56

57 57

58 58

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣ 114 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φθινόπωρο 010 Διδάσκων/Υπεύθυνος: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ:.89.837 Γραφείο: B35 web-page: http://www.ucy.ac.cy/~fotis/phy114/phy114.htm Γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R 1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αρκετές φορές τα πειραματικά δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται υπό μορφή γραφικών παραστάσεων σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων καρτεσιανών συντεταγμένων. Με τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή καμπυλών και να μπορέσει εν τέλει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων. Μαθηματικός ορισμός του σφάλματος : σφάλμα=x-x όπου x & X είναι η μετρούμενη και η πραγματική τιμή αντίστοιχα.

Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων. Μαθηματικός ορισμός του σφάλματος : σφάλμα=x-x όπου x & X είναι η μετρούμενη και η πραγματική τιμή αντίστοιχα. Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων Πείραμα Συστηματική παρατήρηση & μέτρηση φυσικών φαινομένων Επαλήθευση απλών νόμων Εκπαίδευση στον υπολογισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση μετρήσεων

Κεφάλαιο 4 Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση μετρήσεων Κεφάλαιο 4 Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση μετρήσεων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες της στατιστικής ανάλυσης των μετρήσεων που υπόκεινται σε τυχαία σφάλματα. Παρουσιάζεται μέσω

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012 ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 5 Μαίου 2012 Συµπληρώστε τα στοιχεία σας στο παρακάτω πίνακα τώρα Ονοµατεπώνυµο Αρ. Ταυτότητας Username Password Δηµιουργήστε ένα φάκελο στο home directory σας µε

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Μια παρουσίαση από το Φυσικό Τμήμα του Παν.Αθήνας (Kαθ. Χ. Τρικαλινός)

Μια παρουσίαση από το Φυσικό Τμήμα του Παν.Αθήνας (Kαθ. Χ. Τρικαλινός) Μια παρουσίαση από το Φυσικό Τμήμα του Παν.Αθήνας (Kαθ. Χ. Τρικαλινός) Παρακολουθώντας ότι συμβαίνει γύρω μας, ή κάποιο πείραμα παρατηρούμε κάποια γεγονότα, τα οποία δεν μπορούμε να τα ερμηνεύσουμε στα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 1. Εισαγωγή ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Οι γραφικές παραστάσεις (ή διαγράμματα) χρησιμεύουν για την απεικόνιση της εξάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Πα.Δα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

Πα.Δα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Πα.Δα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών Εισαγωγή στην Εργαστηριακή Φυσική ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Δημήτριος Ν.Νικολόπουλος Καθηγητής Περιβαλλοντική και Ιατρική Φυσική Μέτρηση Η σύγκριση ενός μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Γραφικές παραστάσεις Μαρία Κατσικίνη E-mail: katsiki@auth.gr Web: users.auth.gr/katsiki Παρουσίαση αποτελεσμάτων με τη μορφή πινάκων Πίνακας : χρόνος και ταχύτητα του κινητού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y . Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β.

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις 1. Σκοπός Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις Σκοπός της άσκησης είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τη γραφική απεικόνιση των δεδομένων τους, την χρήση των γραφικών παραστάσεων για την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η

Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η 1 Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ Απρίλης 014 Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος 013-14 του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η Όπως γνωρίζουμε, ο στίβος του κλασσικού αθλητισμού σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου Το σφάλμα αυτό αναφέρεται σε αβεβαιότητες στη μέτρηση που προκαλούνται από τις πεπερασμένες ιδιότητες του οργάνου μέτρησης και/ή από τις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων

Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση πειραματικών αποτελεσμάτων Σύνοψη Πέραν από την ιδιαίτερη προσοχή που θα πρέπει να επιδείξουμε κατά τη λήψη μετρήσεων σε ένα πείραμα, μεγάλη σημασία έχει ο τρόπος που θα παρουσιάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣ 114 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φθινόπωρο 2014 Διδάσκων/Υπεύθυνος: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 web-page: http://www2.ucy.ac.cy/~fotis/phy114/phy114.htm ΦΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1 Κεφ ο : Διαφορικός Λογισμός Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Θέματα από Πανελλαδικές Α Πεδίο ορισμού συνάρτησης (Περιορισμούς για το χ ) Όταν έχουμε κλάσμα πρέπει : παρονομαστής 0 Όταν έχουμε ρίζα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις 1. Σκοπός Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις Σκοπός της άσκησης είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τη γραφική απεικόνιση των δεδομένων τους, την χρήση των γραφικών παραστάσεων για την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Προετοιμασία των ομάδων για τον τοπικό διαγωνισμό.

Προετοιμασία των ομάδων για τον τοπικό διαγωνισμό. Προετοιμασία των ομάδων για τον τοπικό διαγωνισμό. Φυσική 1. Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων: α) Καταγραφή δεδομένων σε πίνακα μετρήσεων, β) Επιλογή συστήματος αξόνων με τις κατάλληλες κλίμακες και

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής

Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Συντελεστής εμπιστοσύνης Όταν : x z c s < μ < x +z s c Ν>30 Στον πίνακα δίνονται κρίσιμες τιμές z c και η αντιστοίχισή τους σε διάφορους συντελεστές εμπιστοσύνης:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Με τη λέξη σφάλμα στις θετικές επιστήμες αναφερόμαστε στην αβεβαιότητα που υπάρχει στην εύρεση του αποτελέσματος που προκύπτει από μια μέτρηση. Το να εκτιμήσουμε και να βρούμε τα σφάλμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα