Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Transcript

1 Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Να αποδείξετε ότι, σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του, ισούται µε το γινόµενο των προβολών των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα. Μονάδες 6,5 Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β, έτσι ώστε να προκύπτει ισότητα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ o ( 9 ) και Α το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. A^ Στήλη Α Στήλη Β α. ΑΒ. ΑΒ +ΒΓ β. ΑΓ. γ. AB ΑΓ. Β Γ Γ Β 4. ΒΓ Β 5. ΒΓ ΑΒ 6. ΑΒ ΒΓ Μονάδες 6 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση για καθένα από τα ερωτήµατα Β και Β. ίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ o ( 9 ) µε ύψος Α, για το οποίο έχουµε Β και ΒΓ. A^ Β. Το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος Α είναι: α. β. γ. δ. Μονάδες 6,5 Β. Το µήκος της πλευράς ΑΒ είναι: α. β. γ. δ. 5 Μονάδες 6

2 Απάντηση: Γ Α Β Α. Θεώρηµα 9.4, σελίδα σχολικού βιβλίου. Α. α 4 β 5 γ Β. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε ότι: κι επειδή: προκύπτει ότι: οπότε: Α Β Γ Β και Γ ΒΓ - Β - Α Α Άρα η σωστή απάντηση είναι η (γ). Β. Ισχύει επίσης ότι: κι επειδή: προκύπτει ότι: οπότε: ΑΒ Β ΒΓ Β και ΒΓ ΑΒ ΑΒ Άρα η σωστή απάντηση είναι η (α). Ζήτηµα ο Τα µήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ΑΒ 6, ΒΓ και ΓΑ 8. α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι αµβλυγώνιο. β. Να υπολογίσετε το µήκος της διαµέσου ΑΜ. Μονάδες 7 Μονάδες 9

3 γ. Να υπολογίσετε το µήκος της προβολής της διαµέσου ΑΜ στην πλευρά ΒΓ. Απάντηση: Μονάδες 9 A 6 8 B H M Γ α. ίναι: πότε: ΑΒ 6 6 ΒΓ 44 ΑΓ 8 64 και ΑΒ +ΑΓ ΒΓ > ΑΒ + ΑΓ ποµένως το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αµβλυγώνιο στο Α. β. Από το πρώτο θεώρηµα των διαµέσων έχουµε: ΑΒ +ΑΓ ΑΜ + BΓ Αντικαθιστούµε ΑΒ 6, ΒΓ και ΑΓ 8 και βρίσκουµε: ΑΜ ΑΜ + 7 ΑΜ 8 ΑΜ 4 ΑΜ 4 γ. Aν ΑΗ είναι το ύψος του τριγώνου από το Α, τότε η προβολή της διαµέσου AM στη ΒΓ είναι το τµήµα ΗΜ. Σύµφωνα µε το δεύτερο θεώρηµα των διαµέσων έχουµε: ΑΓ - ΑΒ ΒΓ ΗΜ Αντικαθιστούµε ΑΒ 6, ΒΓ και ΑΓ 8 και βρίσκουµε: 8 6 ΗΜ ΗΜ 8 4 ΗΜ 8 7 ΗΜ 4 6

4 Ζήτηµα ο Θεωρούµε τρεις διαδοχικές γωνίες έτσι ώστε: ^ xoy ^ yoz ^ zox xoy ^ yoz ^ 5 Στις ηµιευθείες Ox, Oy, Oz παίρνουµε τα σηµεία Α, Β, Γ αντίστοιχα έτσι ώστε Α, Β4 και Γ6. α. Να υπολογίσετε το εµβαδό ΓΑ του τριγώνου ΓΑ. β. Να υπολογίσετε το λόγο των εµβαδών: AΒ OBΓ Μονάδες Μονάδες Απάντηση: Β Ψ 4 Ζ Γ Α Χ ίναι: X OZ 6 (XOΨ + ΨΖ) 6 (5 + 5 ) 6 6 α. Το εµβαδόν του τριγώνου ΓΑ υπολογίζεται σύµφωνα µε τον τύπο ΓΑ OA OΓ ηµ( ΧΖ ˆ ) 6 ηµ6 6 β. ίναι: ˆ E OAB OA OB ηµ( ΧΨ) 4 ηµ5 4 ηµ(8 - ) 4 ηµ 4 ΒΓ OΒ OΓ ηµ( ΨΖ ˆ ) 4 6 ηµ5 6 Άρα ΑΒ 6 ΒΓ 4

5 εύτερος τρόπος για το ερώτηµα β πειδή τα τρίγωνα ΑΒ και ΒΓ έχουν: προκύπτει ότι: ΒΓ A OB BOΓ 5 Α Β Α Β Γ Γ 6 ΑΒ Ζήτηµα 4ο ίνεται ηµικύκλιο κέντρου και διαµέτρου ΑΒ R. Στην προέκταση του ΑΒ προς το Β, θεωρούµε ένα σηµείο Γ, τέτοιο ώστε ΒΓ R. Από το Γ φέρνουµε το εφαπτόµενο τµήµα Γ του ηµικυκλίου. Η εφαπτοµένη του ηµικυκλίου στο σηµείο Α τέµνει την προέκταση του τµήµατος Γ στο σηµείο. α. Να αποδείξετε ότι: β. Να αποδείξετε ότι ΓΑ ΓΓ Γ. Γ R. Μονάδες 5 Μονάδες γ. Να υπολογίσετε το τµήµα Γ συναρτήσει του R. Μονάδες 5 δ. Να υπολογίσετε το άθροισµα των εµβαδών των µικτόγραµµων τριγώνων ΒΓ και Α συναρτήσει του R. Απάντηση: Μονάδες 5 Α R Β R Γ α. Ισχύει ότι: ίναι: Eποµένως: Γ ΓΒ ΓΑ ΓΒ R και ΓA ΓΒ + ΒΑ R + R 4R Γ R 4R 8R Γ 8R R 8 R 5

6 β. πειδή οι Γ και Α εφάπτονται του ηµικυκλίου συνεπάγεται ότι: Γ και Α ΑΓ οπότε τα τρίγωνα Γ και ΓΑ είναι ορθογώνια στο και Α αντιστοίχως. Ακόµα, έχουν κοινή την γωνία Γ, εποµένως είναι όµοια. ηλαδή: οπότε: E Γ Α Γ ΑΓ Γ Γ Γ ΓΑ Γ Γ Γ γ. Σύµφωνα µε το Πυθαγόρειο Θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο Γ έχουµε: Γ Γ - (R) - R 9R - R 8R Γ R Σύµφωνα µε το συµπέρασµα του προηγουµένου ερωτήµατος (β) έχουµε: ΓΑ Γ Γ Γ και µε αντικατάσταση των: ΓΑ 4R, Γ R και Γ R βρίσκουµε: 4R R Γ R R Γ Γ R 6R R δ. Το ζητούµενο άθροισµα των εµβαδών των µικτογράµµων τριγώνων ΒΓ και Α ισούται µε την διαφορά του εµβαδού του ηµικυκλίου µε διάµετρο ΑΒ από το εµβαδό του τριγώνου ΑΓ. Έτσι έχουµε: ΑΒ E ΑΓ Α π Όµως από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓ έχουµε: Α Γ - ΑΓ ( ) R - (4R) 8R 6R R ποµένως: Α R R E 4R R π R π - πr R 6

7 εύτερος τρόπος για τα ερωτήµατα 4β, 4γ και 4δ Τα τµήµατα Α και είναι ίσα επειδή τα και Α είναι εφαπτόµενα του κύκλου. Έτσι αν θέσουµε Α x από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓ έχουµε: Έτσι: Γ Α +ΑΓ ( + Γ) Α + ΑΓ (x + R) x + (4R) x + 8R + 4 xr x + 6R 4 xr 8R x R 4β. ΓΑ Γ 4R R R Γ Γ (Γ + ) Γ ( R + R) R R R R ΓΑ Γ Γ Γ 4γ. 4δ Γ Γ + R + R R Το ζητούµενο άθροισµα των εµβαδών των µικτογράµµων τριγώνων ΒΓ και Α ισούται µε την διαφορά του εµβαδού του ηµικυκλίου µε διάµετρο ΑΒ από το εµβαδό του τριγώνου ΑΓ. Έτσι έχουµε: E ΑΓ Α π ΑΒ πr 4R R R R π πr 7