Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας"

Transcript

1 Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας

2

3 Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας Θεωρία 1. α) Τι ονομάζουμε πείραμα τύχης; β) Τι ονομάζουμε δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης; Απάντηση: α) Πείραμα τύχης ονομάζουμε κάθε διαδικασία που εκτελείται πολλές φορές κάτω από τις ίδιες (φαινομενικά τουλάχιστον) συνθήκες, το αποτέλεσμα της οποίας δε μπορούμε να προβλέψουμε. β) Δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων (ή δυνατών περιπτώσεων) του πειράματος και συμβολίζεται με το γράμμα Ω. ΣΧΟΛΙΑ: 1. Ο δειγματικός χώρος Ω κατασκευάζεται λοιπόν με δύο βασικές ιδιότητες: 1η ιδιότητα: Κάθε στοιχείο του Ω είναι ένα από τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος τύχης. 2η ιδιότητα: Κάθε επανάληψη του πειράματος έχει σαν αποτέλεσμα, ένα και μοναδικό στοιχείο του συνόλου Ω. 2. Υπάρχουν δειγματικοί χώροι με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και δειγματικοί χώροι με άπειρο πλήθος στοιχείων (ανάλογα με τις συνθήκες του πειράματος). Παράδειγμα: Πείραμα I: Ρίχνουμε ένα νόμισμα ενός ευρώ δύο φορές και καταγράφουμε το αποτέλεσμα «κουκουβάγια» - Κ ή «Ευρ. Ένωση» Ε. Τότε Ω = {ΚΚ, ΚΕ, ΕΚ, ΕΕ} Πείραμα II: Ρίχνουμε ένα νόμισμα ενός ευρώ μέχρι να φέρει «Ε». Τότε Ω = {Ε, ΚΕ, ΚΚΕ, ΚΚΚΕ,...}

4 24. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα (Στην «πράξη» όλοι είμαστε βέβαιοι ότι θα εμφανιστεί σε κάποια ρίψη η όψη «Ε» όμως είναι λογικό να δεχτούμε «θεωρητικά» ότι μπορούμε να μην έχουμε πεπερασμένο αριθμό ρίψεων με την ένδειξη «Ε»). Στο παρόν βιβλίο θα μας απασχολήσουν μόνο πεπερασμένου πλήθους δειγματικοί χώροι. Θεωρία 2. α) Τι ονομάζουμε ενδεχόμενο ή γεγονός; β) Τι ονομάζουμε απλό ενδεχόμενο και τι σύνθετο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; Απάντηση: α) Ενδεχόμενο ή γεγονός ονομάζουμε οποιοδήποτε υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω. β) Απλό ενδεχόμενο ονομάζουμε οποιοδήποτε υποσύνολο του Ω με ένα ακριβώς στοιχείο. Σύνθετο ενδεχόμενο ονομάζουμε οποιοδήποτε υποσύνολο του Ω με περισσότερα του ενός στοιχεία. Παράδειγμα: Στο πείραμα ρίψης ενός αμερόληπτου κύβου (ζάρι) έχουμε: Απλό ενδεχόμενο Α = {3} Σύνθετο ενδεχόμενο Β = {2, 4, 6} Θεωρία 3. α) Τι ονομάζουμε βέβαιο και τι αδύνατο ενδεχόμενο; β) Πότε λέμε ότι πραγματοποιείται ή συμβαίνει ένα ενδεχόμενο Α; γ) Τι ονομάζουμε ευνοϊκές περιπτώσεις ενός ενδεχομένου Α; Απάντηση: α) Βέβαιο ενδεχόμενο ονομάζουμε τον ίδιο τον δειγματικό χώρο Ω (προφανώς Ω Ω). Αδύνατο ενδεχόμενο ονομάζουμε το κενό (προφανώς Ω). β) Λέμε ότι πραγματοποιείται ή συμβαίνει ένα ενδεχόμενο Α (ενός δειγματικού χώρου Ω) όταν το αποτέλεσμα του πειράματος σε μία συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο του ενδεχομένου Α. γ) Ευνοϊκές περιπτώσεις ενός ενδεχομένου Α ονομάζονται όλα τα στοιχεία του Α.

5 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 25. Θεωρία 4. α) Ποιες είναι οι πράξεις με ενδεχόμενα; β) Πότε δύο ενδεχόμενα ονομάζονται αντίθετα και πότε ασυμβίβαστα; Απάντηση: α) Οι πράξεις είναι: 1. Το ενδεχόμενο Α Β διαβάζεται: «Α τομή Β», ή «Α και Β» και πραγματοποιείται όταν πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα Α και Β. 4. Το ενδεχόμενο Α - Β = Α Β διαβάζεται «διαφορά του Β από το Α», ή «Α και όχι Β» ή «μόνο το Α» και πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Α και όχι το Β. 2. Το ενδεχόμενο Α Β διαβάζεται: «Α ένωση Β», και πραγματοποιείται ό- ταν πραγματοποιηθεί ένα τουλάχι στον από τα Α, Β. 5. Το ενδεχόμενο Β - Α = Β Α διαβάζεται «διαφορά του Α από το Β», ή «Β και όχι Α» ή «μόνο το Β» και πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Β και όχι το Α. 3. Το ενδεχόμενο Α διαβάζεται «όχι Α», ή «συμπληρωματικό του Α» ή «αντίθετο του Α» και πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται το Α. 6. Το ενδεχόμενο (Α Β) = Α Β διαβάζεται «όχι το Α ή Β», ή «κανένα από τα Α και Β» και πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται ούτε το Α ούτε το Β.

6 26. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 7. Το ενδεχόμενο (Α Β) =Α Β διαβάζεται «όχι το Α ή όχι το Β» και πραγματοποιείται όταν δεν πραγμα τοποιούνται τα Α και Β ταυτόχρονα. 8. Το ενδεχόμενο: (A B)' (B A)' (A B) (B A) β) Δύο ενδεχόμενα Α, Β ονομάζονται αντίθετα όταν Α = Β. Δύο ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ονομάζονται ασυμβίβαστα ή ξένα ή αμοιβαία αποκλειόμενα όταν Α Β =. ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΧΟΛΙΑ Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού þñï õ Ù êáéá Ω τότε: 1) Υποσύνολα του Ω: διαβάζεται «ακριβώς ένα από τα Α και Β» ή «μόνο το Α ή μόνο το Β» και πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α - Β, Β - Α. 2) Αν α Α τότε α Α και αντίστροφα. 3) Αν α Α Β τότε α Α και α Β και αντίστροφα. 4) Αν α Α Β τότε α Α ή α Β και α- ντίστροφα. 5)A B αν για κάθε α Α τότε α Β. 6) Κοινή γλώσσα Γλώσσα Συνόλων Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται α Α Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται α Α( α Α ) Τουλάχιστον ένα από τα Α, Β πραγματοποιείται α Α Β Πραγματοποιούνται ταυτόχρονα και το Α και το Β α Α Β Κανένα από τα Α, Β δεν πραγματοποιείται α (Α Β) Πραγματοποιείται μόνο το Α (και όχι το Β) α Α-Β( α Α Β ) Αν πραγματοποιείται το Α τότε πραγματοποιείται και το Β Α Β Ακριβώς ένα από τα Α, Β πραγματοποιείται α (Α Β ) (Β Α ) α (Α - β) (Β - Α)

7 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 27. Ερωτήσεις κατανόησης - Λυμένα Παραδείγματα 1. Ρίχνουμε ένα νόμισμα ενός ευρώ μία φορά. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος και το πλήθος των στοιχείων του. Λύση: Αν χαρακτηρίσουμε την όψη του νομίσματος με την «Ευρωπαϊκή Ένωση» με το γράμμα «Ε» ενώ την όψη με την «κουκουβάγια» με το γράμμα «Κ» τότε: Ω = {Κ, Ε} και Ν(Ω) = Ρίχνουμε ένα νόμισμα ενός ευρώ τέσσερις φορές. α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος και το πλήθος των στοιχείων του. β) Να βρεθεί το ενδεχόμενο Α: «εμφανίζεται το πολύ δύο φορές η όψη με την κουκουβάγια» και το πλήθος των στοιχείων του. γ) Να βρεθεί το ενδεχόμενο Β: «εμφανίζεται τουλάχιστον δύο φορές η όψη με την κουκουβάγια» και το πλήθος των στοιχείων του. δ) Να βρεθεί το ενδεχόμενο Γ: «εμφανίζεται ακριβώς δύο φορές η όψη με την κουκουβάγια» και το πλήθος των στοιχείων του και η σχέση του με τα Α και Β. ε) Να βρεθεί το ενδεχόμενο Δ: «στη δεύτερη και τρίτη ρίψη εμφανίζεται η όψη με την κουκουβάγια» και το πλήθος των στοιχείων του. στ) Να βρεθεί το ενδεχόμενο Ε: «στη δεύτερη και τρίτη ρίψη να μην εμφανιστεί μόνο η όψη με την κουκουβάγια» και το πλήθος των στοιχείων του. ζ) Να εκφραστεί το Ε συναρτήσει του Δ. Λύση: Μερικές φορές μας είναι αναγκαίο για τον προσδιορισμό του δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης να κατασκευάζουμε ένα δενδροδιάγραμμα όπως δίπλα.

8 28. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα α) Ω = {ΕΕΕΕ, ΕΕΕΚ, ΕΕΚΕ, ΕΕΚΚ, ΕΚΕΕ, ΕΚΕΚ, ΕΚΚΕ, ΕΚΚΚ, ΚΕΕΕ, ΚΕΕΚ, ΚΕΚΕ, ΚΕΚΚ, ΚΚΕΕ, ΚΚΕΚ, ΚΚΚΕ, ΚΚΚΚ} και Ν(Ω) = 16 β) Α = {ΕΕΕΕ, ΕΕΕΚ, ΕΕΚΕ, ΕΕΚΚ, ΕΚΕΕ, ΕΚΕΚ, ΕΚΚΕ, ΚΕΕΕ, ΚΕΕΚ, ΚΕΚΕ, ΚΚΕΕ} Ν(Α) = 11 γ) Β = {ΕΕΚΚ, ΕΚΕΚ, ΕΚΚΕ, ΕΚΚΚ, ΚΕΕΚ, ΚΕΚΕ, ΚΕΚΚ, ΚΚΕΕ, ΚΚΕΚ, ΚΚΚΕ, ΚΚΚΚ} Ν(Β) = 11 δ) Γ = {ΕΕΚΚ, ΕΚΕΚ, ΕΚΚΕ, ΚΕΕΚ, ΚΕΚΕ, ΚΚΕΕ} και Γ = Α Β ε) Δ = {ΕΚΚΕ, ΕΚΚΚ, ΚΚΚΕ, ΚΚΚΚ} και Ν(Δ) = 4 στ) Ε = {ΕΕΕΕ, ΕΕΕΚ, ΕΕΚΕ, ΕΕΚΚ, ΕΚΕΕ, ΕΚΕΚ, ΚΕΕΕ, ΚΕΕΚ, ΚΕΚΕ, ΚΕΚΚ, ΚΚΕΕ, ΚΚΕΚ} Ν(Ε) = 12 ζ) Ε = Δ 3. Ένα ομογενές «ζάρι» με σχήμα κανονικού τετράεδρου έχει πάνω σε κάθε έδρα του τις ενδείξεις 1, 2, 3, και 4. Ρίχνουμε το ζάρι μία φορά και καταγράφουμε την ένδειξη που βρίσκεται στο επίπεδο της ρίψης (αυτή δηλαδή που δε βλέπουμε). α) Να γραφεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του. β) Να γραφεί το ενδεχόμενο Α: «εμφανίζεται άρτιος αριθμός» και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του. γ) Να γραφεί το αντίθετο ενδεχόμενο του Α και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του. δ) Αν Γ, Δ είναι ενδεχόμενα του Ω και Ν(Γ) = Ν(Δ) μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι Γ = Δ; Να δικαιολογηθεί η απάντηση. Λύση: α) Προφανώς Ω = {1, 2, 3, 4} και Ν(Ω) = 4 γ) Α = {1, 3} και Ν(Α ) = 2 β) Α = {2, 4} και Ν(Α) = 2 δ) Αν Γ = {1, 4} και Δ = {2, 4}, τότε Ν(Γ) = Ν(Δ) = 2, όμως Γ Δ 4. Το ομογενές τετραεδρικό «ζάρι» του προηγούμενου πειράματος το ρίχνουμε δύο φορές. α) Να γραφεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του. β) Να γραφεί το ενδεχόμενο Α: «το άθροισμα των ενδείξεων και των δύο ρίψεων να είναι μικρότερο ή ίσο του 5» και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του. γ) Να γραφεί το ενδεχόμενο Β: «και οι δύο ενδείξεις είναι ίδιες» και να βρεθεί

9 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 29. το πλήθος των στοιχείων του. δ) Να γραφούν τα παρακάτω ενδεχόμενα και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων τους: i) Γ: «το αντίθετο του Α» ii) Δ: «το Α και όχι το Β» iii) Ε: «το Α ή το Β» iv) Ζ: «ούτε το Α ούτε το Β» v) Η: «το Α και Β» Λύση: α) Ρίχνουμε το τετραεδρικό ζάρι δύο φορές και καταγράφουμε τις ενδείξεις που παρατηρήσαμε οι οποίες είναι 1 και 4. Καταλαβαίνουμε λοιπόν ότι οι δυνατές περιπτώσεις του πειράματος θα πρέπει να είναι αυτές που παρουσιάζονται στο διπλανό πίνακα: Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} Ν(Ω) = 16 β) Α = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} και Ν(Α) = 10 γ) Β = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} και Ν(Β) = 4. δ) i) Α = {(2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} και Ν(Α ) = 6. ii) Δ = Α Β = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} και Ν(Δ) = 8. iii) Ε = Α Β = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (3, 3), (4, 4)} και Ν(Ε) = 12. iv) Ζ = (Α Β) = {(2, 4), (3, 4), (4, 2), (4, 3)} και Ν(Ζ) = 4. v) Η = Α Β = {(1, 1), (2, 2)} και Ν(Η) = 2 Σημείωση: I) Τον ίδιο δειγματικό χώρο έχουμε αν ρίξουμε δύο προφανώς διακριτά μεταξύ τους ζάρια (π.χ. ένα μαύρο και ένα κόκκινο) μία φορά. ΙΙ) Αν ρίξουμε δύο όμοια τετραεδρικά ζάρια (π.χ. λευκά) μία φορά τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος γίνεται: Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} Αυτό συμβαίνει γιατί δεν υπάρχει σαφής διάκριση μεταξύ των δύο ζαριών, οπότε το στοιχειώδες ενδεχόμενο {(2, 3)} είναι ίδιο με το στοιχειώδες ενδεχόμενο {(3, 2)}.

10 30. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 5. Ένα κουτί περιέχει τρεις μπάλες, μία άσπρη μία μαύρη και μία κόκκινη. Πείραμα I: Παίρνουμε μία μπάλα καταγράφουμε το χρώμα της και την επανατοποθετούμε στο κουτί. Στη συνέχεια παίρνουμε πάλι μία μπάλα και καταγράφουμε το χρώμα της. α) Να γραφεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του. β) Να γραφεί το ενδεχόμενο Α: «η πρώτη μπάλα είναι κόκκινη» και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του. γ) Να γραφεί το ενδεχόμενο Β: «να εξαχθεί και τις δύο φορές κόκκινη μπάλα» και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του. δ) Να γραφεί το ενδεχόμενο Γ: «να εξαχθεί και τις δύο φορές μπάλα με το ίδιο χρώμα» και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του. Πείραμα II: Παίρνουμε δύο μπάλες και καταγράφουμε το χρώμα τους. α) Να γραφεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του. β) Να γραφεί το ενδεχόμενο Α: «η μία από τις δύο μπάλες είναι οπωσδήποτε κόκκινη» και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του. γ) Να γραφεί το ενδεχόμενο Β: «και οι δύο μπάλες είναι διαφορετικού χρώματος» και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του. δ) Να γραφεί το ενδεχόμενο Γ: «και οι δύο μπάλες είναι του ίδιου χρώματος» και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του. Λύση: Πείραμα I: α) Αν συμβολίσουμε με Α την άσπρη μπάλα, με Μ τη μαύρη και με Κ την κόκκινη τότε: β) Α = { ΚΑ, ΚΜ, ΚΚ} και Ν(Α) = 3 γ) Β = {ΚΚ} και Ν(Β) = 1. δ) Γ = {ΑΑ, ΜΜ, ΚΚ} και Ν(Γ) = 3. Πείραμα II: α) Ω = {ΑΜ, ΑΚ, ΜΚ} και Ν(Ω) = 3. β) Α = {ΑΚ, ΜΚ} και Ν(Α) = 2. γ) Β = {ΑΜ, ΑΚ, ΜΚ} = Ω και Ν(Β) = 3 δ) Γ = και Ν(Γ) = 0

11 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Μία δισκογραφική εταιρία παραγωγής CD ελέγχει την παραγωγή της ως εξής: Ανά δέκα CD από τη γραμμή παραγωγής επιλέγει τυχαία τρία και ελέγχει αν έχουν ελάττωμα εμφάνισης (Ε) ή ελάττωμα ποιότητας ήχου (Η) ή αν δεν έχουν κανένα ελάττωμα (Κ). Αν δύο CD έχουν ελάττωμα εμφάνισης ή ένα έχει ελάττωμα ποιότητας ήχου τότε σταματάει ο έλεγχος και η «παρτίδα» των 10 CD δεν κυκλοφορεί στην αγορά. α) Να γράψετε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος για μία συγκεκριμένη «παρτίδα» και να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του. β) Να βρεθεί το ενδεχόμενο Α: «η παρτίδα κυκλοφορεί στην αγορά» και το πλήθος των στοιχείων του. Λύση: α) Για τα τρία CD έχουμε το διπλανό σχήμα: Άρα: Ω = {ΚΚΚ, ΚΚΕ, ΚΚΗ, ΚΕΚ, ΚΕΕ, ΚΕΗ, ΚΗ, ΕΚΚ, ΕΚΕ, ΕΚΗ, ΕΕ, ΕΗ, Η} και Ν(Ω) = 13 β) Α = {ΚΚΚ, ΚΚΕ, ΚΕΚ, ΕΚΚ} και Ν(Α) = 4.

12 32. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Ερωτήσεις Σωστό - Λάθος Να χαρακτηρίσετε σαν σωστές ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις και να αιτιολογήσετε την άποψή σας σε κάθε περίπτωση. 1. Σε ένα πείραμα τύχης ρίχνουμε ένα κέρμα 2 φορές. Αν οι ενδείξεις είναι Κεφαλή (Κ) και Γράμματα (Γ), ο δειγματικός χώρος είναι το σύνολο: Ω = {Κ, Γ}. 2. Επιλέγουμε μία σφαίρα από ένα κουτί που περιέχει σφαίρες διαφόρων χρωμάτων, χωρίς να βλέπουμε. Αυτό είναι ένα πείραμα τύχης. 3. Ένας μπασκετμπολίστας του ΝΒΑ εκτελεί ελεύθερες βολές. Η πράξη αυτή είναι ένα πείραμα τύχης. 4. Τα ενδεχόμενα είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου Ω. 5. Πραγματοποιείται η ρίψη ενός κυβικού ζαριού. Το σύνολο {0, 1, 2} είναι ένα ενδεχόμενο του πειράματος. 6. Ρίχνουμε ένα νόμισμα ενός ευρώ δύο φορές [με ενδείξεις Κουκουβάγια (Κ) και Ευρώπη (Ε)]. Το σύνολο {(Κ, Κ)} είναι ένα ενδεχόμενο του πειράματος. 7. Αφήνουμε να πέσει μία σφαίρα από το μπαλκόνι του σπιτιού μας. Το ενδεχόμενο να πέσει κατακόρυφα είναι βέβαιο. 8. Το ενδεχόμενο Α :{(1, 2), (3,4)} έχει 4 ευνοϊκές περιπτώσεις. 9. Σε πείραμα ρίψης ενός ζαριού το ενδεχόμενο Α = σημαίνει ότι δε ρίχνουμε το ζάρι. 10. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος και Α ένα ενδεχόμενο τότε Α Ω. 11. Το ενδεχόμενο Α Β πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α και το ενδεχόμενο Β. 12. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος και Α ένα ενδεχόμενό του τότε το ενδεχόμενο Α Α είναι βέβαιο. 13. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος και Α ενδεχόμενο και Α = Ω Α =. 14. Όταν η πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β τότε Α Β. 15. Το ενδεχόμενο (Α Β) σημαίνει ότι δεν πραγματοποιείται ούτε το ενδεχόμενο Α ούτε το ενδεχόμενο Β. 16. Το ενδεχόμενο Α Β σημαίνει ότι πραγματοποιείται μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β. 17. Ισχύει Α - Β = Α - (Α Β). 18. Αν Α Β Α Β = Α. 19. Τα ενδεχόμενα: Α: ο Γιάννης θα ταξιδέψει στη Φλώρινα, Β: ο Γιάννης

13 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 33. θα ταξιδέψει με πλοίο, είναι ασυμβίβαστα. 20. Τα ενδεχόμενα {1}, {2} κατα τη ρίψη ενός ζαριού είναι ασυμβίβαστα. 21. Ένας δειγματικός χώρος Ω έχει δύο ενδεχόμενα Α και Β. Αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα τότε Α Β = Ω. 22. Αν δύο ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα, τότε Α Β =. 23. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α, Β έχουν Ν(Α) Ν(Β). 24. Ένας δειγματικός χώρος Ω έχει δύο ενδεχόμενα Α και Β. Αν Ν(Α) + Ν(Β) = Ν(Ω), τότε τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα. 25. Έστω ότι ρίχνουμε 2 διαδοχικές φορές ένα κέρμα. Τότε Ν(Ω) = Αν Ν(Α) = 3 και Ν(Β) = 4, τότε Ν(Α Β) Αν Ν(Α) < Ν(Β), τότε Α Β. 28. Ένας δειγματικός χώρος Ω έχει δύο ενδεχόμενα Α και Β. Τότε θα ισχύει ότι ή Α Β ή θα είναι ασυμβίβαστα. 29. Τα ενδεχόμενα της ρίψης ενός κυβικού ζαριού Α: φέρνουμε 5 ή 6, Β: φέρνουμε άρτιο αριθμό, είναι ασυμβίβαστα. 30. Έστω ότι ρίχνουμε ένα κυβικό ζάρι μία φορά. Τότε Ν(Ω) = 6. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής. 1. Ποιο από τα παρακάτω είναι πείραμα τύχης; α) Αφήνουμε μια σφαίρα να πέσει κατακόρυφα. β) Θερμαίνουμε σε Κ. Σ. νερό και αυτό εξατμίζεται. γ) Ένα αυτοκίνητο σταματά μόλις πατήσουμε φρένο. δ) Η σφαίρα της ρουλέτας σταματά στο 3 κόκκινο. ε) Κανένα από τα παραπάνω. 2. Μία σφαίρα εκτελεί ελεύθερη πτώση σε κενό αέρος. Το ενδεχόμενο να πέσει κατακόρυφα είναι: α) βέβαιο β) αδύνατο γ) πιθανό δ) ευνοϊκό ε) κανένα από τα παραπάνω 3. Ποια σχέση από τις παρακάτω είναι σωστή; α) Τα ενδεχόμενα (Α Β) και Α Β είναι αντίθετα. β) Τα ενδεχόμενα Α Β και Α Β είναι ασυμβίβαστα. γ) Τα ενδεχόμενα Α Β και Α Β είναι αντίθετα. δ) Τα ενδεχόμενα Α Β και Α Β είναι αντίθετα. ε) Καμία από τις παραπάνω δεν είναι σωστή.

14 34. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 4. Ένα κουτί περιέχει 3 σφαίρες αριθμημένες. Τραβάμε στην τύχη 2 από αυτές (ταυτόχρονα). Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι: α) Ω = {1, 2, 3} β) Ω = {1, 2} γ) Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} δ) Ω = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} ε) κανένα από τα παραπάνω. 5. Έστω δειγματικός χώρος Ω και τα ενδεχόμενα Α, Β. Το ενεχόμενο: δεν πραγματοποιείται ούτε το Α ούτε το Β είναι το: α) Α Β β) Α Β γ) (Α Β) ε) κανένα από τα παραπάνω 6. Έστω δειγματικός χώρος Ω και Α, Β ενδεχόμενά του. Ισχύει ότι Α - Β ισούται: α) Α Β β) (Α Β) γ) Α Β δ) Α Β ε) κανένα από τα παραπάνω 7. Δύο ενδεχόμενα Α, Β δειγματικού χώρου Ω είναι ασυμβίβαστα, τότε: α) Α Β = β) Α Β = γ) Α Β = Ω δ) Α Β = Ω ε) κανένα από τα παραπάνω 8. Ρίχνουμε ένα νόμισμα ενός ευρώ διαδοχικά δύο φορές. Ποιο από τα παρακάτω δεν είναι ενδεχόμενο του πειράματος; α) {(Κ, Κ), (Κ, Ε) β) {Ε} γ) {(Κ, Κ)} δ) {(Κ, Κ), (Κ, Ε), (Ε, Ε), (Ε, Κ)} ε) κανένα από τα παραπάνω 9. Το ενδεχόμενο Α Β πραγματοποιείται όταν: α) Πραγματοποιούνται τα Α και Β ταυτόχρονα. β) Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α, Β. γ) Πραγματοποιείται το Α άλλα όχι το Β. δ) Πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α, Β. ε) Τίποτα από τα παραπάνω. 10. Έστω ενδεχόμενα Α, Β δειγματικού χώρου Ω με Ν(Α) Ν(Β), τότε: α) Α Β β) Β Α γ) Α = Β δ) Α Β = ε) τίποτε από τα προηγούμενα

15 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 35. Ασκήσεις Αντιστοίχισης 1. Αντιστοιχίστε τις σχέσεις με τα διαγράμματα: 1) (Α Β ) (Β Α ) 2) (Α Β) Γ 3) (Α Β Γ ) (Β Α Γ ) (Γ Α Β ) 4) (Α Β) Γ 2. Αντιστοιχίστε τις σχέσεις με τα διαγράμματα: 1) (Α Β) Γ 2) (Α Β) (Β Γ) (Α Γ) 3) Α Β Γ 4) ((Α - Β) (Α - Γ) (Β - Γ)) 5) Α Β Γ 6) (Α Β) (Β Γ) και Α Γ =

16 36. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 4. Για ενδεχόμενα Α, Β δειγματικού χώρου Ω ισχύουν τα παρακάτω: Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ 1. Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α, Β α. (Α Β) Ι) 2. Πραγματοποιείται α- κριβώς ένα από τα Α, Β 3. Δεν πραγματοποιούνται τα Α, Β ταυτόχρονα. β. Α Β ΙΙ) 4. Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α, Β γ. (Α Β ) (Α Β) ΙΙΙ) δ. Α Β ΙV) ε. (Α Β) V) στ. ((Α Β ) (Α Β)) VI)

17 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 37. Ασκήσεις για λύση. 1. Ρίχνουμε ένα κυβικό ζάρι 2 διαδοχικές φορές. i) Να γραφεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος και το πλήθος των στοιχείων του. ii) Να αναγραφούν τα ενδεχόμενα, και να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων τους. α) Και στις δύο ρίψεις εμφανίζεται άρτιος αριθμός. β) Ο αριθμός της πρώτης ρίψης είναι μικρότερος από της δεύτερης. γ) Και στις δύο ρίψεις εμφανίζεται ο ίδιος αριθμός. δ) Στη δεύτερη ρίψη φέρνουμε 6 εφόσον στην πρώτη φέρνουμε άρτιο αριθμό. ε) Το άθροισμα των αριθμών στις δύο ρίψεις είναι Ρίχνουμε ένα κέρμα ενός ευρώ τρεις φορές. i) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος και το πλήθος των στοιχείων του. ii) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα και το πλήθος των στοιχείων τους. Α: Η πρώτη ρίψη φέρνει κουκουβάγια (Κ). Β: Η πρώτη και η τρίτη ρίψη έχουν το ίδιο αποτέλεσμα. iii) Να εκφράσετε με λόγια τα ενδεχόμενα: Α Β, Α, Β. iv) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα του ερωτήματος (iii). 3. Ένα κουτί περιέχει 5 σφαίρες: μία μαύρη (μ), δύο κόκκινες (κ) και δύο πράσινες (π). Επιλέγουμε κάθε φορά δύο σφαίρες τυχαία, τις οποίες παίρνουμε τη μια μετά την άλλη. i) Να αναγραφεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. ii) Να αναγραφούν τα ενδεχόμενα: Α: Έχω δύο σφαίρες του ίδιου χρώματος. Β: Έχω δύο σφαίρες και η μια είναι μαύρη. Γ: Έχω δύο σφαίρες και καμία δεν είναι μαύρη. 4. Να επαληθευτούν οι παρακάτω ισότητες με τα διαγράμματα του Venn. i) (Α Β) (Α Β ) = ii) (Α Β ) (Β Α ) = (Α Β) (Α Β) 5. Ένα φροντιστήριο Ξένων Γλωσσών δίνει βαθμούς στους μαθητές (Α) και στις μαθήτριες (Κ), χαρακτηρίζοντας τους με «Καλώς» (Κ), «Λίαν Καλώς» (Λ) και «Άριστα» (Α). Επιλέγουμε τυχαία ένα παιδί. i) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. ii) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα: α) Το παιδί να πάρει άριστα. β) Η μαθήτρια να μην πάρει άριστα.

18 38. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 6. Ρίχνουμε ένα κυβικό ζάρι δύο φορές και έστω τα ενδεχόμενα: Α: το άθροισμα των ενδείξεων είναι 7. Β: το γινόμενο των ενδείξεων διαιρείται με το 3. Γ: η ένδειξη της πρώτης ρίψης είναι άρτιος και μεγαλύτερη της δεύτερης. Να γράψετε τα στοιχεία των ενδεχομένων: α) (Α Β) β) (Α Γ) γ) (Α Γ) 7. Έστω δειγματικός χώρος Ω και τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ. Με τη βοήθεια των διαγραμμάτων του Venn να εκφράσετε τα ενδεχόμενα: i) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α, Β, Γ. ii) Να πραγματοποιηθεί το Α και το Β μαζί ή το Α και το Γ μαζί.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Page1 ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1.1 Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα i. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: 1. Προσδιορίζουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 3ο Κεφάλαιο. Απαντήσεις στις ερωτήσεις «Σωστό - Λάθος»

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 3ο Κεφάλαιο. Απαντήσεις στις ερωτήσεις «Σωστό - Λάθος» 3ο Κεφάλαιο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Απαντήσεις στις ερωτήσεις «ωστό - Λάθος» 1 10 19 Λ 8 viii 3 41 Λ 50 11 Λ 0 Λ 9 Λ ix Λ 33 Λ 4 51 Λ 3 1 1 30 i Λ x Λ 34 43 5 Λ 4 13 Λ Λ ii xi 35 44 53 5 14 3 iii xii 36 45 Λ 54 Λ 6

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 1 1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 26 28 Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Ένα κουτί έχει τρεις μπάλες, μια άσπρη, μια μαύρη και μια κόκκινη. Κάνουμε το εξής πείραμα : παίρνουμε από το κουτί μια

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα

Διαβάστε περισσότερα

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη Στατιστική Ι 1 η Διάλεξη 1 2 Φαινόμενα Πειράματα Αιτιοκρατικά Προσδιοριστικά Τυχαία Στοχαστικά Ένα αιτιοκρατικό πείραμα, κάθε φορά που εκτελείται, έχει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο μπορεί να προβλεφθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Φ1 : ΠIΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 2014-2015 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι- Υποστόχοι- Δραστηριότητες Ασημίνα Ασβεστά, Κωνσταντίνα Ζαχαροπούλου, Σοφία Αιζενμπαχ Πείραμα Τύχης Πιθανότητα Ενδεχομένου ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ Α Β Γ Δ

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 1 1.1 ΕΙΓΜΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΩΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα.

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 1 3.1 ΕΙΓΜΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων του πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version )

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version ) ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version 24-3-2016) 2001 2001 επαναληπτικές 2002 2002 επαναληπτικές 2003 2003 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2005 2005 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2007 2007

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.4 : Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (ΙV). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 ΘΗΤΙ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέματα και παντήσεις Επιμέλεια: Ομάδα αθηματικών http://www.othisi.gr ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 Δευτέρα, Ιουνίου 07 Γ ΛΥΕΙΟΥ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-0 Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων :

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων : 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : Είναι το πηλίκο f κ A = ν ενδεχόµενου Α σε ν το πλήθος εκτελέσεις του πειράµατος όπου κ το πλήθος των πραγµατοποιήσεων του. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 1: Στοιχεία Πιθανοθεωρίας Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κατανόηση εννοιών - Θεωρία

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κατανόηση εννοιών - Θεωρία Κεφάλαιο 1 Πιθανότητες 1.1 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 1.1.1 Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Ποιό πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιό πείραμα τύχης; 2. Τι ονομάζουμε δειγματικό χώρο ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. Άσκηση 1 Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. B) Αν ( ), ( ), ( ), να εκφράσετε τις πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 8 ΧΡΟΝΙ ΕΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ ΘΗΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΘΕΤ ΘΕ 1. ν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f x g x f x g x, για κάθε x ονάδες 7. Έστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

http://lisari.blogspot.com .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016 Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Όνομα/Επίθετο: Ζήτημα 1ο Να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων και λεκτικά ποιο ενδεχόμενο παριστάνει κάθε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) Οι απαντήσεις και οι λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Προσοχής στην Παράγραφο Ε2.

Σημεία Προσοχής στην Παράγραφο Ε2. Σημεία Προσοχής στην Παράγραφο Ε2. 1. Ίσα Σύνολα Δεν αρκεί δύο σύνολα να έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχέιων για να είναι ίσα. Πρέπει να έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έχουμε τα σύνολα Α={1,α,5}

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής:

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής: Άσκηση 1: Ένα κουτί περιέχει 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες. Αφαιρούμε τυχαία δύο μπάλες διαδοχικά. Ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη και η δεύτερη μπάλα να είναι μαύρη; Λύση: Αρχικά ορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΓΑΣΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΓΑΣΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αθήνα 2012-0- Στόχοι 1. Η αναγνώριση ενός πειράµατος φαινοµένου ως πείραµα τύχης (στοχαστικό) 2. Ο προσδιορισµός του δειγµατικού χώρου και ενδεχοµένων αυτού, µε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Δειγματικός Χώρος: Ενδεχόμενο: Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης καλείται δειγματικός χώρος. Συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Άσκηση 1 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Ιανουάριος 2014 Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Σειρά Θέμα Ι (ΟΛΑ) Θέμα ΙΙ (2 από τα 3) Βαθμός /1 /1 /1 /1 /1 /2,5 /2,5 /2,5 /10 ΘΕΜΑ Ι: Ασχοληθείτε και με τα πέντε ερωτήματα.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1 Πειραματικά Μοντέλα Μοντέλα:» Καθοριστικά» (π.χ. ο νόμος του Ohm)» Στοχαστικά ή πιθανοτικά» (π.χ. ένταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη ομάδα, το 30% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ποδοσφαίρου και το 15%

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ: α) Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. β) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού. γ) Να γράφετε μόνο με μπλε μελάνι. (Για τα σχήματα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα