4.4 Kreiszylinderschale und Kugelschale

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Flächentrgwerke - WS 05/06 4.4 Kreiszylinderschle und Kugelschle 4.4. Kreiszylinderschle 4.4.. Biegetheorie 4.4.. embrntheorie 4.

1 Flächentrgwerke - WS 05/ Kreiszylinderschle und Kugelschle 4.4. Kreiszylinderschle Biegetheorie embrntheorie Behältertheorie und Rndstörprobleme 4.4. Kugelschle Biegetheorie embrntheorie Rndstörprobleme

2 4.4. Kreiszylinderschle r =, r = r =, = π Hns Eschenuer, Wlter Schnell: Elstizitätstheorie, 3., vollständig überrbeitetet und erweiterte Auflge, Wissenschftsverlg, 993.

3 4.4. Kreiszylinderschle Die Grundgleichungen der Biegetheorie und embrntheorie der Zylinderschle können us den Grundgleichungen der llgemeinen Biegetheorie der Rottionsschlen gewonnen werden, indem mn die folgenden Beziehungen verwendet: r =, r = r =, = d = r d, = r π Hns Eschenuer, Wlter Schnell: Elstizitätstheorie, 3., vollständig überrbeitetet und erweiterte Auflge, Wissenschftsverlg, 993.

4 p + = Q p + + = Q Q p + = 0 Q + = 0 Q + = Gleichgewichtsbedingungen: Biegetheorie

5 4.4.. Biegetheorie Kinemtik: u v w u v γ = = + = + w w v w v κ κ κ = = = +

6 4.4.. Biegetheorie Werkstoffgesetz: = D + ν ( ) = D + ν ( ) ν = D γ = K κ + νκ ( ) = K κ + νκ = K ( ) ν κ Insgesmt: 7 Gleichungen für 7 Unbeknnten!

7 Sonderfll: Rottionssymmetrische Belstung p = 0 = = Q = 0, v= γ = κ = 0, = 0 d d dq d d Gleichgewicht Kinemtik Werkstoff d = p = p Q = 0 κ = = = du d w dw d 0 Gleichungen für 0 Unbeknnten! = D + ν ( ) = D + ν = Kκ ( ) = νkκ

8 4.4.. embrntheorie Gleichgewichtsbedingungen: + = p + = p = p

9 4.4.. embrntheorie Kinemtik: γ u = v = + u = + w v

10 4.4.. embrntheorie Werkstoffgesetz: ( ν ) = D + ( ν ) = D + ν γ = D Insgesmt: 9 Gleichungen für 9 Unbeknnten!

11 4.4.. embrntheorie Rottionssymmetrische Belstung: p = 0 v= γ = = 0, = 0 6 Gleichungen für 6 Unbeknnten! d = p d = p du = = w = D + ν ( ) = D + ν ( ) Gleichgewicht Kinemtik Werkstoff

12 Behältertheorie und Rndstörprobleme Die Behältertheorie ist ein Sonderfll der llgemeinen Biegetheorie für rottionssymmetrische Belstung! Gleichgewicht Kinemtik Werkstoff d d dq d d d = p = Q = 0 p κ = = = du d w dw d = D + ν ( ) = D + ν = Kκ ( ) = νkκ

13 Behältertheorie und Rndstörprobleme Annhme: p = 0 = 0 Werkstoff ( ) = D + ν = 0 = ν Gleichgewicht d p d = dq = d d Q = 0 d p d = p d Kinemtik du d = ν w

14 Behältertheorie und Rndstörprobleme κ = = Kκ dw d dw = K d = D + ν du = = d = w ( ) νw D ( ) = ν w

15 Behältertheorie und Rndstörprobleme d = d p dw = K d D ( ) = ν w () w IV + 4λ 4 w= p K () () 4 d d (), () IV d, ξ = = = = ( / ) ξ ξ 4 d d d 4 4 D ( ) ( 4 ) λ = ν = ν K h 4 Behältergleichung Abklingkonstnte

16 Behältertheorie und Rndstörprobleme Abklingkonstnte: λ >>, d h<<! Die Behältergleichung ht eine ähnliche Form wie die Differentilgleichung für einen elstisch gebetteten Blken: IV Gesmtlösung: 4 w + 4λ w= p EI w= w + w h p

17 Homogene Lösung Homogene Lösung ξ ξ ( ) ( ) λξ wh = Acos λξ + Asin λξ e + A ( ) ( ) λξ 3cos λξ A4sin λξ + e T / T / Der. Anteil klingt von unten nch oben b, während der. Anteil von oben nch unten bklingt. Keine gegenseitige Beeinflussung von beiden Anteilen, flls die Schle lng genug ist. Die Integrtionskonstnten A i können us den RB bestimmt werden.

18 Homogene Lösung Periode: λt π π = π T = = λ ν 4 3( ) h Amplitudenverhältnisse: Bereich der Rndstörungen: λ ( + T) e = = = =0.00=0.% λ λt π e e e 0 e λ ( + T/) / = = λ λt/ π 0 e e e = =0.04=4% T, 4 = π π h h λ = 4 3( ν ) <<

19 Homogene Lösung Bemerkungen: Amplitude ist nch einer hlben Periode prktisch bgeklungen (bis uf 4%). Beide Lösungsnteile können getrennt behndelt werden, flls die Schle lng genug ist. Die Integrtionskonstnten A und A können us den RB m ξ=0ξ = 0 bestimmt werden, flls die Schle lng genug ist. Die Integrtionskonstnten A 3 und A 4 können us den RB m ξ=0 ξ = 0 bestimmt werden, flls die Schle lng genug ist.

20 Prtikuläre Lösung Prtikuläre Lösung Polynom 3. Grdes: p( ξ) = c + cξ + c ξ + cξ w ( ) p ξ = d + dξ + d ξ + d ξ (Anstz vom Typ der rechten Seite) w ( ξ ) = 0 IV Schwch veränderliche Lst p: w ( ξ ) 0 IV p p IV w p + w = 4 4λ p K 4 p embrntheorie w p = p Eh embrnlösung

21 Behältertheorie: Zusmmenfssung IV = w w λ w p K = D + ν ( ) = D + ν Q = Kκ ( ) = νkκ = d d du d = ν w κ du = = w = dw d

22 4.4. Kugelschle r = r =, r = sin Hns Eschenuer, Wlter Schnell: Elstizitätstheorie, 3., vollständig überrbeitetet und erweiterte Auflge, Wissenschftsverlg, 993. W. Becker, D. Gross: echnik elstischer Körper und Strukturen. Springer-Verlg, 00.

23 4.4. Kugelschle W. Becker, D. Gross: echnik elstischer Körper und Strukturen. Springer-Verlg, 00. Die Grundgleichungen der Biegetheorie und embrntheorie der Kugelschle können us den Grundgleichungen der llgemeinen Biegetheorie der Rottionsschlen gewonnen werden, indem mn die folgenden Beziehungen verwendet: r = r =, r = sin

24 (sin ) Biegetheorie Gleichgewichtsbedingungen: + cos + sinq = sinp (sin ) + + cos + sinq = sinp (sin Q ) Q + sin sin = sinp (sin ) + + cos sinq = 0 (sin ) + cos sinq = 0

25 Kinemtik: Biegetheorie Dehnungen und Verzerrung u = + w v = + ucos+ wsin sin u v v γ = + cos sin sin

26 Kinemtik: Verkrümmungen κ κ κ Biegetheorie w = u w cos w = vsin u + sin sin u w cos w v = cosv sin + + sin

27 4.4.. Biegetheorie Werkstoffgesetz: ( ν ) = D + ( ν ) = D + ν D γ ( κ νκ ) = K + ( κ νκ ) = K + = = ν K κ Insgesmt: 7 Gleichungen für 7 Unbeknnten!

28 Sonderfll: Rottionssymmetrische Belstung p = 0 = = Q = 0, v= γ = κ = 0, = 0 Gleichgewicht (sin ) cos + sinq = sinp (sin Q ) sin sin = sinp (sin ) cos sinq = 0 () ()= d d

29 Sonderfll: Rottionssymmetrische Belstung κ κ Kinemtik = ( u + w), = ucot+ w d = u w d ( ) ( ) cos = u w sin ( ) Werkstoff ( ν ) = D + ( ν ) = D + ( κ νκ ) = K + ( κ νκ ) = K + Insgesmt: Gleichungen für Unbeknnten!

30 4.4.. embrntheorie Gleichgewichtsbedingungen: (sin ) (sin ) + cos = sinp + + cos = sinp + = p

31 4.4.. embrntheorie Kinemtik: u = + w v = ucos wsin + + sin γ u v v = + sin sin cos

32 4.4.. embrntheorie Werkstoffgesetz: ( ν ) = D + ( ν ) = D + = D ν γ Insgesmt: 9 Gleichungen für 9 Unbeknnten!

33 4.4.. embrntheorie Rottionssymmetrische Belstung: p = 0 v= γ = = 0, = 0 d () () = d 6 Gleichungen für 6 Unbeknnten! (sin ) cos = sinp + = p = ( u + w) = ucot+ w ( ) ( ν ) = D + ( ν ) = D + Gleichgewicht Kinemtik Werkstoff

34 Rndstörprobleme Zur Behndlung der Rndstörprobleme (Rndstörungen, Rndeffekte) wird ngenommen: p = 0 = = Rottionssymmetrische Belstung p p 0 Gleichgewicht (sin ) cos + sinq = sinp (sin Q ) sin sin = sinp (sin ) cos sinq = 0

35 Rndstörprobleme ( ) = u + w, ( ucot w) = + dχ cot κ = = χ, κ = χ d χ = u w ( ) Kinemtik Werkstoff ( ν ) = D + ( ν ) = D + ( κ νκ ) = K + ( κ νκ ) = K + Insgesmt: Gleichungen für Unbeknnten!

36 Biegetheorie der Kugelschle: Rndstörprobleme 3. Gleichgewichtsgleichung: (sin ) cos sinq = 0 ( ) = K + = K + = K + = K cot + ( κ νκ ) ( χ ν cotχ ) ( κ νκ ) ( χ νχ ) Q χ + cotχ ν + cot χ = 0 K

37 Erste beide Gleichgewichtsgleichungen (sin ) cos + sinq = 0 sin (sin Q ) sin sin = 0 cos + Q = sin (sin ) sincos sin 0 cos (sin Q ) cossin sincos = = sin (sin ) sin Q cos (sin Q) cossin 0 sin (sin ) = cos (sin Q) = cotq

38 Biegetheorie der Kugelschle: Rndstörprobleme Alterntiver Weg: Globles Gleichgewicht: Q = = cotq cos sin 0 Hns Eschenuer, Wlter Schnell: Elstizitätstheorie, 3., vollständig überrbeitetet und erweiterte Auflge, Wissenschftsverlg, 993.

39 Biegetheorie der Kugelschle: Rndstörprobleme. Gleichgewichtsgleichung: (sin Q ) sin sin = 0 = Q Komptibilitätsgleichung: u cot = u ucot cot + u cot+ w sin = ( u w ) = χ ( ) ( ) ( )cot = χ

40 Biegetheorie der Kugelschle: Rndstörprobleme ( ν ) = D + ( ν ) = D + Werkstoff Komptibilität ( )cot χ = ( ) Q + cotq + ν cot Q + Ehχ = 0 = + D ( ) ( ν ) ν = + D ( ) ( ν ) ν = Q cot = Q = + ν D ( ) ( Q cot Q ) ν = + ν D ( ) ( Q Q cot ) ν

41 Biegetheorie der Kugelschle: Rndstörprobleme ( ) χ + cotχ ν + cot χ Q = 0 K Q + cotq + ν cot Q + Ehχ = 0 ( ) Lχ νχ = Q K LQ + νq = Ehχ LLχ + = LLQ 4 4μ χ 0 + = 4 4μ Q 0 L = + () () cot () cot () eissner-opertor Eh 4μ = ν = 4λ ν K 4 4

42 Biegetheorie der Kugelschle: Rndstörprobleme Behndlung der Rndstörprobleme: Reduzierung von Gleichungen uf Gleichungen für den Biegewinkel und die Querkrft. Ekte Lösung der Differentilgleichungen (eissner-lösung) für den Biegewinkel und die Querkrft ls hypergeometrische Funktionen ist möglich, ber sehr kompliziert. Dher wird im Folgenden nur die äherungslösung nch Geckeler gezeigt.

43 Rndstörprobleme: äherungslösung χ Q e μ e μ μ (), () μ, () μ μ μ e e e μ >> >> >> () () () μ >> cot ( Annhme : nicht zu klein!) μ = 4λ ν 4λ L() = () + cot () cot () () χ Q IV IV + = 4 4λ χ 0 + = 4 4λ Q 0 4 ( 4 ) λ = ν h entkoppelte homogene Differentilgleichungen!

44 Rndstörprobleme: äherungslösung ( ) ( ) λω ( ) ( ) χ( ) = A cos λω + A sin λω e + A cos λω + A sin λω e 3 4 λω ( ) ( ) λω ( ) ( ) Q ( ) = B cos λω + B sin λω e + B cos λω + B sin λω e 3 4 λω Hns Eschenuer, Wlter Schnell: Elstizitätstheorie, 3., vollständig überrbeitetet und erweiterte Auflge, Wissenschftsverlg, 993.

45 Rndstörprobleme: äherungslösung Hinweise zu den Rndbedingungen: Die Rndbedingungen für die Ränder ω und ω können unbhängig voneinnder behndelt werden. A, A und A beeinflussen sich nicht gegenseitig! 3, A4 Für jeden Rnd sind insgesmt Rndbedingungen vorhnden, ber 4 Integrtionskonstnten sind zu bestimmen A, A, B, B. Für die äherungslösung nch Geckeler gelten die Beziehungen χ Q = 0 Q + Ehχ = 0 K D.h. die Lösungen für und χ sind bhängig voneinnder. n Q ( ) brucht lso nur eine dvon mit unbeknnten Konstnten, nicht ber beide Lösungen gleichzeitig mit 4 unbeknnten Konstnten!

46 Rndstörprobleme: äherungslösung Lösungsmöglichkeit : Für eine Rndlst R 0 und ein Rndmoment 0 m Rnd ω = 0: λω ( ) ( ) χ ( ) = A cos λω + Asin λω e ( ) Q ( ) RB RB A, A

47 Rndstörprobleme: öglichkeit IV χ + = 4 4λ χ 0 χ Q cot κ = χ, κ = χ ( κ νκ ) = K + ( κ νκ ) = K + = cot Q, = Q = D ( ) ( ν ) ν = D ( ) ( ν ) ν uw,

48 Rndstörprobleme: äherungslösung Lösungsmöglichkeit : Für eine Rndlst R 0 und ein Rndmoment 0 m Rnd ω = 0: λω ( ) ( ) Q ( ) = Bcos + Bsin e λω λω χ( ) RB B, B ( ) RB

49 Rndstörprobleme: öglichkeit Q IV + = 4 4λ Q 0 χ Q cot κ = χ, κ = χ ( κ νκ ) = K + ( κ νκ ) = K + = cot Q, = Q = D ( ) ( ν ) ν = D ( ) ( ν ) ν uw,

Σχετικά έγγραφα

3 Lösungen zu Kapitel 3

3 Lösungen zu Kapitel 3 31 Lösungen der Aufgaben zu Abschnitt 31 311 Lösung Die Abbildung D : { R 4 R 4 R 4 R 4 R, a 1, a 2, a 3, a 4 ) D( a 1, a 2, a 3, a 4 ) definiere eine Determinantenform (auf R 4