Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Transcript

1 Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

2 Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ συνάρτηση της f, τότε ορισμένο ολοκλήρωμ της συνάρτησης f πό το έως το ονομάζετι η στθερή διφορά: F() F() κι το συμολίζουμε ως: f()d Επειδή η διφορά F() F() συμολίζετι κι ως [ F() ] έχουμε τελικά: ] f()d [ F() F() F() Ι Δ Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Ποιες είνι οι σημντικότερες ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος ;. c d c ( ), όπου c.. f () d f() d

3 . f() d γ. f () d f() d f() d, όπου < γ <.. λ f() d λ f() d 6. [ f() g()] d f() d g() d 7. [ λ f() μ g()] d λ f() d μ g() d 8. f () d [ f() ]. Αν f(), γι κάθε [, ], τότε:. Αν f() g(), γι κάθε [, ], τότε: γ f () d. f () d g () d. Π Α Ρ Α Γ Ο Ν Τ Ι Κ Η Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Σ Η Ποι μθημτική σχέση εκφράζει τον κνόν της πργοντικής ολοκλήρωσης ή ολοκλήρωσης κτά πράγοντες ; f() g () d [ f() g() ] f () g() d Β Α Σ Ι Κ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Ποι είνι τ ολοκληρώμτ των σικών συνρτήσεων ;

4 Ολοκλήρωμ Αποτέλεσμ d d [] ν d d ν ν [ln] e d [e ] ημ d συν d [συν] [ημ] Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Ολοκλήρωμ f () d f() f () d f() Αποτέλεσμ [ ln f() ] [ f() ] f() e f () d [e f() ] ν f () f () d f () f () d ν f () ν - f()

5 Ε Μ Β Α Δ Α Ε Π Ι Π Ε Δ Ω Ν Χ Ω Ρ Ι Ω Ν Πώς υπολογίζετι το εμδόν ενός χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση Cf μις συνάρτησης f, τον άξον κι τις κτκόρυφες ευθείες, ; Αν η συνάρτηση είνι ολοκληρώσιμη στο [, ] τότε: y f() Ε(Ω) f() d Ω Πώς υπολογίζετι το εμδόν ενός χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση Cf μις συνάρτησης f κι τον άξον ; Αν η συνάρτηση είνι ολοκληρώσιμη στο [, ] κι, οι ρίζες της εξίσωσης f() (δηλδή, τ σημεί τομής της Cf κι του άξον ) τότε: Ε(Ω) f() d y Ω f()

6 Πώς υπολογίζετι το εμδόν ενός χωρίου Ω που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις Cf κι Cg των συνρτήσεων f, g κι τις κτκόρυφες ευθείες, ; Αν η συνάρτηση είνι ολοκληρώσιμη στο [, ] τότε: Ε(Ω) f() - g() d y f() Ω g() Πώς υπολογίζετι το εμδόν ενός χωρίου Ω που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις Cf κι Cg των συνρτήσεων f, g ; Αν η συνάρτηση είνι ολοκληρώσιμη στο [, ] κι, οι ρίζες της εξίσωσης f() g() (δηλδή, τ σημεί τομής των Cf κι Cg) τότε: Ε(Ω) f() - g() d y f() Ω g()

7 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωμ: ( )d. ος τρόπος Ότν η συνάρτησή μς είνι πλά έν άθροισμ πλούστερων συνρτήσεων (πχ. έν πολυώνυμο), τότε μπορούμε ν "σπάσουμε", με μνί, το ολοκλήρωμ σε κομμτάκι κι ν υπολογίσουμε το κθέν ξεχωριστά. ( )d d d d [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ος τρόπος Χωρίζουμε το ολοκλήρωμ σε τόσ τμήμτ, όσ κι οι όροι της συνάρτησης. Υπολογίζουμε τις ντίστοιχες πράγουσες, του κάθε όρου. Απλοποιούμε, ν είνι εύκολο, κάποιες πό τις πρστάσεις. Αντικθιστούμε τo, διδοχικά, με τις ντίστοιχες τιμές. Ολοκληρώνουμε όλες τις δυντές πράξεις. Αυτό ήτν! Αν είμστε πολύ έξυπνοι ή πολύ τεμπέληδες, μπορούμε ν υπολογίσουμε την πράγουσ ολόκληρης της πράστσης, πευθείς, δίχως δηλδή ν "κομμτιάσουμε" το ολοκλήρωμ. ( )d 8

8 Επειδή κι οι δύο μέθοδοι είνι εξίσου ορθές, ο κθένς μπορεί ν επιλέγει εκείνη, που είνι περισσότερο της ρεσκείς του. Στη συνέχει φυσικά, γι ν μην κλομθίνετε, τ ολοκληρώμτ θ υπολογίζοντι μονάχ με τον ένν τρόπο, πό τους δύο.. Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωμ: ( )d. Ότν η συνάρτησή μς είνι γινόμενο, τότε δε μπορούμε ν σπάσουμε το ολοκλήρωμ σε κομμάτι, όπως κάνμε στο προηγούμενο πράδειγμ. Πριν, όμως, πνικοληθούμε κι ρχίσουμε ν ψάχνουμε γι πολύπλοκ κι πονηρά τεχνάσμτ, εξετάζουμε μήπως μπορούμε ν τη γλιτώσουμε με μι πλή επιμεριστική ιδιότητ. Κτόπιν, συνεχίζουμε κτά τ γνωστά. ( )d επιμεριστική ( )d ιδιότητ Τώρ συνεχίζουμε, όπως κι στο πρώτο πράδειγμ Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωμ: ( ) d. Συνήθως, οι προυσί δυνάμεων είνι ιτί κι φορμή γι λιποθυμίες. Συχνά, όμως, πρόκειτι γι μί πλή τυτότητ, την οποί κι νπτύσσουμε. Εκτός, έι, κι ν δε θυμόμστε τις τυτότητες. Τότε, θ πρέπει πλά ν' νοίξει η γη κι ν μς κτπιεί. νάπτυγμ ( ) d τυτότητς Η συνέχει είνι πι πιχνιδάκι. ( 6 )d ( )d 6

9 ) ( ) ( ) ( 8. Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωμ: d. Τ κλάσμτ δεν ρέσουν σε κνένν, εκτός πό τους μθημτικούς, που ετοιμάζουν τις σκήσεις. Εκτός κι ν το κλάσμ μπορεί ν φύγει πό τη μέση. Το πρώτο πράγμ, που προσπθούμε, είνι ν χωρίσουμε το κλάσμ σε μικρότερ, ομώνυμ κλάσμτ, στ οποί μπορούμε ν κάνουμε πλοποίηση. d d d d ln ln ln ln 8 ln 8 ln 8 ln 7 ln 7 ln ln 6 Σπάμε το ρχικό κλάσμ σε τέσσερ μικρότερ κι ομώνυμ. Απλοποιούμε τις δυνάμεις του κι ν είνι δυντόν κι τ νούμερ. Ξεχωρίζουμε τους ριθμητικούς συντελεστές πό τις δυνάμεις του, ώστε ν υπολογίσουμε ευκολότερ τις ντίστοιχες πράγουσες. ( Θυμάμι ότι ln.

10 . Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωμ: d. Το / είνι το μόνο κλάσμ, γι το οποίο ξέρουμε μέσως πως έχει πράγουσ την ln. Τι κάνουμε, λοιπόν, με τ υπόλοιπ κλάσμτ; Κάνουμε ότι θ έκνε κάθε ψύχριμος υποψήφιος κι το οποίο θ έπρεπε ν θυμόμστε, ήδη, πό τις πργώγους. Χρησιμοποιούμε τον πρκάτω κνόν των δυνάμεων: ν ν, λλά κι ντίστροφ ν ν d d ln ln [ ln ] ln (ln ) ln ( ) ln ln ln Αντιστρέφουμε τις δυνάμεις, λλάζοντς το πρόσημο του εκθέτη, σύμφων με τον πρπάνω κνόν. "Σουλουπώνουμε" τ πρόσημ κι κάνουμε τις δυντές πλοποιήσεις. Αντιστρέφουμε πάλι τις δυνάμεις με τους ρνητικούς εκθέτες, προκειμένου ν τις υπολογίσουμε. 6. Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωμ: d. Οι μόνες ρίζες, γι τις οποίες ξέρουμε ν υπολογίζουμε την πράγουσ, πευθείς, είνι οι κι. Τώρ; Πνικός κι κτστροφή! Ή μήπως όχι; Ή μήπως θ έπρεπε ν το θυμόμστε ΚΑΙ υτό, πό το προηγούμενο κεφάλιο; Αρκεί ν γνωρίζουμε, λοιπόν, τον πρκάτω κνόν :

11 ν μ ν μ d d Δεν υπάρχει κνένς λόγος ν συνεχίσουμε, κάνοντς τ κλάσμτ ομώνυμ, κθώς η πράστση υτή δεν έχει κμί ελπίδ ν' πλοποιηθεί περισσότερο, με υτή την άρρητη ρίζ μες στη μέση. ΕΜΒΑΔΑ 7. Ν υπολογιστεί το εμδόν του χωρίου, το οποίο περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f(), τις ευθείες, κι τον άξον. Στην ουσί, η άσκηση ζητά ν υπολογίσουμε, πλά, το ολοκλήρωμ: d Μεττρέπουμε τις ρίζες του σε δυνάμεις του, κάνοντς χρήση του πρπάνω κνόν. Γι ν γλιτώσουμε πό τ σύνθετ κλάσμτ, φέρνουμε τους προνομστές μπροστά κι τυτόχρον τους ντιστρέφουμε. Γι ν διευκολύνουμε τους υπολογισμούς, μεττρέπουμε πάλι τις δυνάμεις σε ρίζες, με τον ίδιο κνόν, λλά ντίστροφ. Μπορούμε κόμη ν' πλοποιήσουμε κι τη ρίζ του, ως εξής: 8

12 Εκείνο που δεν πρέπει, επ' ουδενί, ν ξεχνάμε είνι ότι έν εμδό είνι υποχρεωτικά ΘΕΤΙΚΟΣ ριθμός. Έτσι, στ εμδά, άζουμε ΠΑΝΤΑ πόλυτη τιμή κι όχι μόνο ν το θυμηθούμε ή ν έχουμε κτάλληλη διάθεση. Στη συνέχει, προκειμένου ν υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ, χρειάζετι ν γάλουμε ΠΡΩΤΑ την πόλυτη τιμή. Γι' υτό, προχωράμε ως εξής: Βήμ ο : Λύνουμε την εξίσωση: f(). Δ () () 8, ( ) ± ± Βήμ ο : Κτσκευάζουμε πίνκ προσήμων γι την f(), όπως κριώς κάνμε κι με τις πργώγους, στο προηγούμενο κεφάλιο. Ο πίνκς υτός, όμως, έχει μι πολύ σημντική πράληψη. Εκτός πό τις λύσεις της εξίσωσης f(), χρειάζετι ν γράψυμε ΚΑΙ τ όρι του ολοκληρώμτος, δηλδή τους ριθμούς κι, στο συγκεκριμένο πράδειγμ. Άρ, ο σωστός πίνκς θ είνι κάπως έτσι: Πρτηρούμε ότι στο διάστημ, που θέλουμε ν ολοκληρώσουμε, η συνάρτησή μς είνι θετική. Άρ μπορούμε ν γάλουμε την πόλυτη τιμή, φήνοντς την πράστση ίδι κι πράλλχτη. Βήμ ο : Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμ... d ( ) d

13 ... κι τ λοιπά... τ.μ Ν υπολογιστεί το εμδόν του χωρίου, το οποίο περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f() κι τον άξον. Ποι είνι η διφορά με την προηγούμενη άσκηση; Δε μς δίνοντι οι ευθείες κι, έτσι δεν είμστε σε θέση ν γνωρίζουμε, εξρχής, ποιους ριθμούς πρέπει ν άλουμε στ όρι του ολοκληρώμτος. d Στην περίπτωση υτή, οι λύσεις, (έστω < ) που θ ρούμε πό την επίλυση της εξίσωσης f() θ είνι, τυτόχρον, κι τ όρι που νζητούμε, δηλδή: Βήμ ο : f() Βήμ ο : d, Δ ()..., ( ) ±... κι Άρ, τ όρι του ολοκληρώμτος θ είνι κι. Πρτηρούμε ότι στο διάστημ, που θέλουμε ν ολοκληρώσουμε, η συνάρτησή μς είνι ρνητική. Άρ γάζουμε την πόλυτη τιμή, λλάζοντς ΟΛΑ τ πρόσημ. Βήμ ο : d ( )d... τ. μ.

14 . Ν υπολογιστεί το εμδόν του χωρίου, το οποίο περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f(), g(), κθώς κι τις ευθείες κι. Σ ν μην έφτνν όλ μς τ προλήμτ, τώρ έχουμε ν' ντιμετωπίσουμε δύο συνρτήσεις, ντί γι μί. Αλλά κι εδώ, υπάρχει λύση. Σχημτίζουμε τη διφορά των δύο συνρτήσεων (δηλδή, τις φιρούμε, γι όσους κοιτάνε τη λέξη "διφορά" με μάτι γουρλωμέν) κι, μάλιστ, με όποι σειρά θέλουμε. Ότν μι διφορά ρίσκετι μέσ σε πόλυτη τιμή, τότε το ποτέλεσμ δε μετάλλετι, ν λλάξουμε τις θέσεις μειωτέου κι φιρετέου. Τελικά, το ολοκλήρωμ που έχουμε ν υπολογίσουμε έχει ως εξής: f() g() d ( ) d d Λύνουμε την εξίσωση f() g(). ( ) ή ή ή Βγάζουμε το κοινό πράγοντ. Υπολογίζουμε Δικρίνουσ κι τ σχετικά, γι τη δεύτερη εξίσωση. Φτιάχνουμε πίνκ προσήμων. Σε υτόν, δεν ξεχνάμε ν τοποθετήσουμε, εκτός πό τις πρπάνω λύσεις ΚΑΙ τ όρι του ολοκληρώμτος. Όμως, η εξίσωση " " είνι ου θμού κι πιθνόττ ν δυσκολευτούμε στην εύρεση των σωστών προσήμων. Αντί λοιπόν ν χρησιμοποιήσουμε υτή, χρησιμοποιούμε τη " ( )". Έτσι ρίσκουμε ξεχωριστά τ πρόσημ των "" κι " ". Στη συνέχει, υπολογίζουμε εύκολ τ πρόσημ του γινομένου. ( ) Πρτηρούμε ότι το ολοκλήρωμ, που θέλουμε ν υπολογίσουμε, πλώνετι σε διστήμτ, στ οποί μάλιστ η συνάρτηση λλάζει κι πρόσημο. Στην περίπτωση υτή, σπάμε το ολοκλήρωμ σε δύο κομμάτι κι υπολογίζουμε το κθέν ξεχωριστά. Έτσι, ντί ν έχουμε

15 έν μεγάλο ολοκλήρωμ πό έως, θ έχουμε έν ολοκλήρωμ πό μέχρι κι έν πό μέχρι. d d d Δεν ξεχνάμε ν συμουλευτούμε τον πίνκ. Στο πρώτο ολοκλήρωμ, θ γάλουμε την πόλυτη τιμή χωρίς ν' λλάξουμε τ πρόσημ, γιτί ο πίνκς μς λέει ότι η πράστση είνι θετική, σ' υτό το διάστημ. Αντιθέτως, στο δεύτερο διάστημ, η πράστση είνι ρνητική. Συνεπώς, στο δεύτερο ολοκλήρωμ, λλάζουμε όλ τ πρόσημ. ( ) ( )d d d d... τ.μ.. Ν υπολογιστεί το εμδόν του χωρίου, το οποίο περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f(), g(). Έχουμε κι πάλι δύο συνρτήσεις, λλά λείπουν γι άλλη μι φορά τ όρι του ολοκληρώμτος. Όπως κι στο πράδειγμ 8, θ χρησιμοποιήσουμε ως όρι τις ρίζες, της εξίσωσης f() g(), που ούτως ή άλλως πρέπει ν λύσουμε. Έχουμε, λοιπόν, ν λύσουμε το πρκάτω ολοκλήρωμ: f() g() d d d Λύνουμε την εξίσωση f() g(). ( ) ή ή ή ± ή ή Βγάζουμε το κοινό πράγοντ. Στη δεύτερη εξίσωση, είνι μρτί ν υπολογίζουμε Δικρίνουσ. Χωρίζουμε γνωστούς πό γνώστους κι συνεχίζουμε με τετργωνική ρίζ. ΔΕΝ ξεχνάμε ότι υπάρχουν λύσεις: κι. Φτιάχνουμε πίνκ προσήμων (πιχνιδάκι πι). Αλλά προσέχω, όπως κι στο προηγούμενο πράδειγμ, ν πάρω ξεχωριστά τις πρστάσεις "" κι " ", εφόσον η " " είνι ου θμού κι μπορεί τ πρόσημ ν γίνουν κουλουάχτ.

16 - Είνι φνερό, πό τον πίνκ, ότι τ όρι του ολοκληρώμτος είνι οι ριθμοί κι. Γι άλλη μι φορά, όμως, το ολοκλήρωμ που θέλουμε ν υπολογίσουμε πλώνετι σε διφορετικά διστήμτ, στ οποί η πράστση λλάζει πρόσημο. Όμως, έχουμε μάθει πι το μάθημά μς: σπάμε το ολοκλήρωμ στ δύο κι υπολογίζουμε το κθέν ξεχωριστά. d d d d Στο πρώτο ολοκλήρωμ, η πόλυτη τιμή γίνει χωρίς κμί λλγή, ενώ στο δεύτερο, τ πρόσημ λλάζουν. ( ) ( )d d d d... 8 τ.μ.