Επισκόπηση της ιστορικής και φιλοσοφικής εξέλιξης των Μαθηµατικών µε έµφαση στην περίπτωση της Γεωµετρίας. Κουστένης Νίκος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επισκόπηση της ιστορικής και φιλοσοφικής εξέλιξης των Μαθηµατικών µε έµφαση στην περίπτωση της Γεωµετρίας. Κουστένης Νίκος"

Transcript

1 Επισκόπηση της ιστορικής και φιλοσοφικής εξέλιξης των Μαθηµατικών µε έµφαση στην περίπτωση της Γεωµετρίας Κουστένης Νίκος

2 Εισαγωγή Σε αυτά τα 3000 χιλιάδες και πλέον χρόνια ιστορίας των µαθηµατικών υπάρχουν ερωτήµατα που απασχόλησαν τους µελετητές σχετικά µε τις αιτίες της εξέλιξης, το αντικείµενο της επιστήµης, τις αλληλεπιδράσεις µε το γενικότερο επιστηµονικό αλλά και φιλοσοφικό περιεχόµενο της κάθε εποχής. Γιατί ο άνθρωπος ασχολήθηκε από τόσο νωρίς µε τα µαθηµατικά; Ήταν η φυσική ανάγκη να ανακαλύψει το άγνωστο ή µήπως απλοί πρακτικοί λόγοι που τον έκαναν να ψάχνει δρόµους να βελτιώσει την ζωή του; Τι ρόλο έπαιξαν τα ιστορικά γεγονότα της κάθε εποχής; 1 Σχετίζεται η µεγάλη άνθιση των µαθηµατικών (αλλά και των επιστηµών γενικότερα) κατά την διάρκεια των κλασσικών χρόνων της αρχαίας Ελληνικής ιστορίας µε τη φιλοσοφία των αρχαίων Ελλήνων; Ο σκοταδισµός του Μεσαίωνα πόσο επηρέασε τη µαθηµατική πρόοδο; Η µεγάλη τεχνολογική επανάσταση της σύγχρονης εποχής κατά πόσο άλλαξε τον προσανατολισµό της επιστήµης; Ερωτήµατα που έχουν απαντηθεί πολλές φορές από πολλούς (σύγχρονους κυρίως) µελετητές. Αν και ως προς τα ιστορικά στοιχεία, (πάνω - κάτω) οι περισσότεροι συµφωνούν, ως προς τις προεκτάσεις υπάρχουν διαφωνίες. Ακόµα και ως προς την φύση του αντικειµένου των µαθηµατικών µπορούµε να πούµε ότι «δεν γνωρίζουµε ούτε για το ποιο πράγµα µιλάµε, ούτε αν αυτό που λέµε είναι αληθές» (Bernard Russell). 2 Στην εργασία αυτή σκοπός δεν είναι να απαντήσουµε σε τέτοιου είδους ερωτήµατα. Θα κάνουµε µια σύντοµη ιστορική αναδροµή σε πρόσωπα κυρίως αλλά και γεγονότα. Αναδροµή τόσο σε κυρίαρχες αντιλήψεις για το ουσιαστικό κοµµάτι των µαθηµατικών αλλά και σε φιλοσοφικές αντιλήψεις που επικρατούσαν ή που ακόµα έπονταν ως επακόλουθο της προόδου των µαθηµατικών. Όπως και να το δει κανείς, η φιλοσοφία είναι ένα κοµµάτι της ανθρώπινης ζωής. Τα µαθηµατικά, ως εκ αντικειµένου είναι «καταδικασµένα» να επηρεάζουν µε πολλούς τρόπους την ανθρώπινη ζωή άρα είναι και αιτία δηµιουργίας νέων φιλοσοφικών ρευµάτων τα οποία µε την σειρά τους επηρεάζουν το σύνολο της ανθρώπινης συµπεριφοράς. 1 «Αν ο Einstein είχε γεννηθεί σε μια πρωτόγονη φυλή που δεν γνώριζε να μετρά πάνω από το τρία οποιαδήποτε προσήλωση του στα μαθηματικά, όσο μακρόχρονη και αν ήταν δεν θα απέδιδε περισσότερο από την ανάπτυξη ενός δεκαδικού συστήματος, που θα στηριζόταν στα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών» Ralph Linton, [8], σελ 13 2 [1] σελ 150 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 2

3 Η Ιστορική εξέλιξη των Μαθηµατικών Η µακρόχρονη ιστορία των µαθηµατικών, από την εµφάνιση τους µέχρι σήµερα, χωρίζεται σε τέσσερις περιόδους ως εξής: 3 Α) Προελληνικά Μαθηµατικά (από την εµφάνιση του ανθρώπου µέχρι το 600 π.χ. περίπου) Β) Ελληνικά Μαθηµατικά (από το 600 π.χ. µέχρι το 500 µ.χ.) Γ) Μεσαιωνικά και Αναγεννησιακά Μαθηµατικά (από το 500 µ.χ. µέχρι το 1600 µ.χ.) ) Σύγχρονα µαθηµατικά (από το 1600 µ.χ. µέχρι και σήµερα) Προελληνικά Μαθηµατικά Το πότε εµφανίστηκαν τα µαθηµατικά στη Γη δεν είναι εξακριβωµένο. Η κοινή λογική βέβαια λέει ότι από την εµφάνιση του ανθρώπου, στοιχειώδεις αριθµητικοί υπολογισµοί αλλά και γεωµετρικές έννοιες άρχισαν σιγά-σιγά να χρησιµοποιούνται. Οι πρώτες σαφείς ενδείξεις ότι τα µαθηµατικά άρχισαν να αντιµετωπίζονται ως επιστήµη είναι στον πολιτισµό των αρχαίων Αιγυπτίων. Πληροφορίες πολλές βέβαια για τα µαθηµατικά των αρχαίων Αιγυπτίων δεν έχουµε. Αιτία είναι ότι ο πάπυρος, που ήταν το µέσο αποθήκευσης της γνώσης εκείνη την εποχή, είναι ένα πολύ ευαίσθητο υλικό και ως εκ τούτου η διατήρηση του για πολύ µεγάλες χρονικές περιόδους είναι πρακτικά αδύνατη. Ακόµα και οι λίγοι πάπυροι που διεσώθησαν µέχρι σήµερα πρακτικά αποτελούν ένα θαύµα. Τα κυριότερα ευρήµατα που µας δίνουν πληροφορίες για τα µαθηµατικά στην αρχαία Αίγυπτο είναι: Ο Πάπυρος Rhind, µια συλλογή 84 προβληµάτων που αντιγράφτηκε περίπου το 1650 π.χ. από ένα πρωτότυπο του 1850 π.χ. 4 Πάπυρος της Μόσχας, γράφτηκε γύρω στο 1850 π.χ. Είναι µια συλλογή 25 προβληµάτων. Ο δερµάτινος κύλινδρος, που γράφτηκε γύρω στο 1650 π.χ. και περιέχει 26 αθροίσµατα µοναδιαίων κλασµάτων. Επίσης, υπάρχει ο πάπυρος Kahun και ο πάπυρος του Βερολίνου, που είναι του 1850 π.χ. περίπου και περιέχουν µαθηµατικές πράξεις και προβλήµατα. Στα παραπάνω ευρήµατα περιέχονται κυρίως, όπως φαίνεται, πίνακες µε προβλήµατα, µαθηµατικούς υπολογισµούς και λύσεις πάνω σε πρακτικά προβλήµατα αριθµητικής αλλά και γεωµετρίας. Υπάρχουν βέβαια γενικεύσεις και πρακτικές που επαναλαµβάνονται αλλά δεν µπορούν να θεωρηθούν ως θεωρητικές προσεγγίσεις της επιστήµης αφού απουσιάζουν θεωρήµατα και αποδείξεις. Παρόλα αυτά υπάρχουν και «εντυπωσιακές», για την εποχή πάντα, µεθοδολογίες όπως στο πρόβληµα 26 του πάπυρου Rhind όπου χρησιµοποιήθηκε µια µεθοδολογία που συναντάται και 3 [9] σελ 32 4 [9] σελ 46 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 3

4 µεταγενέστερα: η µέθοδος της αυθαίρετης παραδοχής ή µέθοδος της λανθασµένης θέσης. Η άλλη µεγάλη σχολή αυτής της περιόδου είναι η Βαβυλωνιακή. Τεχνοκράτες κυρίως οι Βαβυλώνιοι χρησιµοποίησαν τα Μαθηµατικά ως εργαλείο, για την δηµιουργία µηχανών και οχυρωµατικών έργων. 5 Γνωρίζουµε περισσότερα για αυτούς γιατί χρησιµοποίησαν πήλινες πλάκες για να γράψουν 6, υλικό µε πολύ µεγαλύτερη αντοχή από τον πάπυρο των Αιγυπτίων, όποτε κατάφεραν να διασωθούν πολύ περισσότερα από τα «γραπτά» τους. Οι Βαβυλώνιοι είχαν κάνει µεγάλες προόδους στην Αριθµητική, στη Γεωµετρία και στην Αστρονοµία. Κατά τις ανασκαφές, που έγιναν, ήλθαν στο φως πάµπολλες πήλινες πινακίδες, γραµµένες στη σφηνοειδή γραφή. Μεταξύ αυτών των πινακίδων υπάρχουν 400 περίπου µε µαθηµατικό περιεχόµενο. Μια από τις πιο ενδιαφέρουσες πινακίδες είναι γνωστή ως πινακίδα Plimpton 322 (συλλογή του G.A. Plimpton στο Πανεπιστήµιο Columbia στη Νέα Υόρκη) που περιέχει αριθµητικές σχέσεις µεταξύ των πλευρών ορθογωνίων τριγώνων αλλά και τα τετράγωνα του λόγου γ/α, δηλαδή τις τιµές της συντέµνουσας της γωνίας Α υψωµένης στο τετράγωνο. Τα αναγραφόµενα προβλήµατα, καθώς και οι λύσεις τους, έχουν καθαρά πρακτικό χαρακτήρα. Σε αυτούς πιστώνεται το εξηνταδικό σύστηµα αρίθµησης 7 που παραµένει ακόµα και σήµερα σε χρήση στη µέτρηση του χρόνου και των γωνιών. Η άλγεβρα αναπτύχθηκε σε σηµαντικό βαθµό καθώς µπορούσαν να λύνουν εξισώσεις 1 ου, 2 ου και 3 ου βαθµού, να λύνουν γραµµικά συστήµατα καθώς και να υπολογίζουν ρίζες. Στη Γεωµετρία γνώριζαν και χρησιµοποιούσαν το «Πυθαγόρειο θεώρηµα» και το «θεώρηµα του Θαλή» χωρίς να υπάρχει όµως πουθενά κάποια σαφής διατύπωση θεωρήµατος - όπως το αντιλαµβανόµαστε εµείς - ούτε κάποια απόδειξη. Στο ίδιο πάνω-κάτω µοτίβο κινήθηκαν και άλλοι πολιτισµοί που υπήρξαν παράλληλα µε τους αρχαίους Αιγύπτιους ή Βαβυλώνιους. Κρήτες, Κινέζοι, Φοίνικες, Μάγια Όλοι όµως είχαν ένα κοινό χαρακτηριστικό. εν κωδικοποίησαν την γνώση. εν έφτιαξαν ένα στέρεο θεωρητικό υπόβαθρο πάνω στο οποίο θα στηριχτούν και θα προχωρήσουν. Έλυσαν πολλά προβλήµατα που τους απασχολούσαν αλλά δεν έδωσαν τα εργαλεία που χρειάζονταν στην επιστήµη να προχωρήσει. ειλά βήµατα έγιναν σίγουρα. Έλειπε όµως µια συνολική Θεωρία που να ενώνει όλα τα κοµµάτια. Ο τρόπος ζωής τους, το έντονο θεοκρατικό καθεστώς και ο φόβος ότι µια νέα θεωρία ίσως δεν είναι αρεστή στην εξουσία µάλλον έκανε τους µαθηµατικούς των λαών αυτών να ακολουθήσουν την πεπατηµένη. Ίσως έτσι εξηγείται και το γεγονός ότι γνωρίζουµε αρκετά για τα µαθηµατικά της εποχής αλλά τίποτα για τους µαθηµατικούς που τα επινόησαν. Ελληνικά Μαθηµατικά Η άνοδος του Ελληνικού πολιτισµού που σταδιακά επικράτησε όλων των γειτονικών έδωσε στις επιστήµες µια εξαιρετική ώθηση. Για τα µαθηµατικά η πρόοδος από τους απλούς υπολογισµούς που τους κληροδότησαν οι προκάτοχοι (Αιγύπτιοι και Βαβυλώνιοι) έως την αξιωµατική θεµελίωση της επιστήµης ήταν ένα τεράστιο άλµα. εν είναι υπερβολή να πούµε ότι µετά τους αρχαίους Έλληνες τα 5 [8] σελ 30 6 [9] σελ 33 7 [8] σελ 67 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 4

5 µαθηµατικά είχαν την σηµερινή τους µορφή. Είχαν ξεφύγει δηλαδή από τη λογική του εργαλείου που λύνει, υπολογίζει και απλοποιεί προβλήµατα και είχαν πάει στην επιστήµη που προσπαθεί να παράγει αδιαµφισβήτητες αιώνιες αλήθειες. Αν προσπαθήσει κάποιος να καταλάβει την αιτία αυτής της άνθισης, τότε µάλλον οι συνθήκες είναι το κλειδί. Ένα περιβάλλον µεγάλης ελευθερίας, πρωτοφανές για την εποχή, όπου οι πολίτες - ειδικά της Αθήνας µπορούν, απαλλαγµένοι από το άγχος της επιβίωσης, να συζητούν. Θεσπίζουν κανόνες για την επιχειρηµατολογία, µεθόδους διαλεκτικής. Αν φανταστεί κάποιος µια εικόνα όπου µέσα στην αρχαία αγορά οι «περιπατητές» αγωνίζονται µε λογικά επιχειρήµατα επί ώρες να πείσουν ο ένας τον άλλον για την «αλήθεια» χρησιµοποιώντας «αναλυτικές», «συνθετικές» και «επαγωγικές» µεθόδους και στηριζόµενοι µόνο σε κοινώς αποδεκτές αλήθειες, τότε η πρόοδος που συντελέστηκε δεν αποτελεί έκπληξη. Μάλλον λογική συνέπεια είναι. Βέβαια τα προβλήµατα υπήρχαν και σε πολλές περιοχές αλλά και για µεγάλα χρονικά διαστήµατα. Αλλά παρόλα αυτά οι συνθήκες που επικράτησαν σε σχέση µε τις προηγούµενες αλλά και µε τις επόµενες «Μεσαιωνικές», µπορούν να χαρακτηριστούν ιδανικές. 8 Το ελατήριο πού έδωσε την ώθηση για να πραγµατοποιηθεί εκείνη την εποχή η Ελληνική Πνευµατική Επανάσταση ήταν η Γεωµετρία. Και οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι είχαν µεταχειριστεί µία χονδροκοµµένη, πρόχειρη γεωµετρία για να µετρούν τα χωράφια και τα κτίσµατα τους, αλλά µόνο γι αυτές τις πρακτικές εφαρµογές των υπολογισµών, για να βρίσκουν π.χ. πόσα τούβλα, ή πόσοι γρανιτόλιθοι χρειάζονταν στο χτίσιµο του δυτικού τοίχου του νέου ανακτόρου. Οι Έλληνες είχαν µια πολύ πιο θεωρητική, πιο «αφηρηµένη» αντίληψη. Πίστευαν ότι ένα ορισµένο είδος σχήµατος έχει αναλλοίωτες, εσωτερικές ιδιότητες, ανεξάρτητες από το µέγεθος του. Έτσι, ένα ορθογώνιο και ισοσκελές µπορεί να εκταθεί ή να µικρύνει αλλά θα παραµείνει και στις δύο περιπτώσεις ένα ορθογώνιο τρίγωνο 45 Ο πρώτος Έλληνας πού συνέλαβε αυτήν τη θεµελιώδη δυνατότητα της αφαιρέσεως στη γεωµετρία και συνέβαλε έτσι στη διαµόρφωση του ελληνικού οράµατος, κατά το όποιο οι γνώσεις θα αυξάνουν σαν στέρεες, ανεστραµµένες πυραµίδες αποδείξεων, στηριγµένες σε λίγα βασικά αξιώµατα ήταν πιθανότατα ο Θαλής ο Μιλήσιος (600 π.χ.). Τα πέντε θεωρήµατα πού αποδίδονται σ αυτόν έχουν µιαν εντυπωσιακή απλότητα που αποκαλύπτει την ενσυνείδητη προσπάθεια του Θαλή να θεµελιώσει τη Γεωµετρία σε βασικούς, αµετακίνητους όρους. Η φιλοδοξία του Θαλή θα παρέµενε ίσως ανεκπλήρωτη αν δεν υπήρχε ένας άλλος Έλληνας, ο όποιος συνεργάσθηκε όπως πιστεύεται µαζί του. Αυτός ήταν ο Πυθαγόρας, ένας άνδρας µε δυνατή, µαγνητική προσωπικότητα. Κατά την παράδοση, ο Πυθαγόρας ακολούθησε τη συµβουλή του Θαλή και ταξίδεψε χρόνια ολόκληρα για να ευρύνει το πεδίο των µαθηµατικών γνώσεων του. Αφού έµαθε ότι είχε να µάθει, ο Πυθαγόρας ίδρυσε, γύρω στα 540 π.χ., µια σχολή, 9 θρησκευτική- µαθηµατική, στον Κρότωνα, µιαν ανθούσα ελληνική αποικία στο νότιο άκρο της Ιταλικής Χερσονήσου. Έκτος από τα µαθηµατικά δίδασκε στους µαθητές οπαδούς του τη λατρεία των αριθµών, τη µετενσάρκωση και τη µετεµψύχωση από άνθρωπο σε άνθρωπο και από άνθρωπο σε ζώο τους όριζε να µην τρώνε κουκιά, να µένουν πάντα ανώνυµοι και να υπογράφουν µε το όνοµα της Πυθαγόρειας Αδελφότητας κάθε γραπτό και κάθε ανακάλυψη τους. Από τη διδασκαλία του Πυθαγόρα το ευρύτερα γνωστό θεώρηµα είναι ασφαλώς το οµώνυµο. Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν το θεώρηµα αυτό χρόνια νωρίτερα, τη δόξα όµως την πήρε η Πυθαγόρεια Σχολή που πρώτη 8 [8] σελ Πυθαγόρεια σχολή [8] σελ 95 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 5

6 το απέδειξε. Ακόµη και σήµερα παραµένει ανυπολόγιστη η αξία του για την επιστήµη. Και µετά ήρθε η «ρίζα». Η συντριπτική αυτή ανακάλυψη συγκλόνισε ολόκληρη την πορεία της ελληνικής µαθηµατικής σκέψεως. ιέλυσε πραγµατικά κάθε ελπίδα ότι η µέτρηση µπορούσε να χρησιµεύσει σα γέφυρα ανάµεσα στη Γεωµετρία και την Αριθµητική των ακεραίων αριθµών. Οι Έλληνες άρχισαν ν αυτοπεριορίζονται στη γεωµετρία των σχηµάτων πού δεν την απασχολούσαν οι µετρήσεις άλλα µόνο τα σχήµατα. Έτσι µπορούσαν, αν όχι να µετρήσουν, πάντως να σχεδιάσουν µερικούς ασύµµετρους αριθµούς, όπως τη 2, σα µια ορισµένη υποτείνουσα σ ένα ορισµένο ορθογώνιο τρίγωνο. 10 Οι ασύµµετροι αριθµοί όµως, καθώς και η έννοια του απείρου, δεν ήταν δυνατόν να εξοστρακισθούν 11 και από τη στοιχειωδέστερη έστω γεωµετρία των σχηµάτων. Αναπήδησαν πάλι, µετά από τα τρίγωνα, στο πρόβληµα του κύκλου. Ο λόγος µεταξύ της περιφερείας ενός κύκλου και της διαµέτρου του είναι πράγµατι ένας ασύµµετρος αριθµός - 3, τον όποιο αποκαλούµε και γράφουµε π (πιθανότατα από το πρώτο γράµµα της ελληνικής λέξεως περιφέρεια). Οι Έλληνες δεν είχαν αναγνωρίσει την πλήρη έκταση της ασυµµετρίας του π κι έτσι έχασαν πολύ χρόνο και κατέβαλαν µεγάλες προσπάθειες για να λύσουν το τεράστιο πρόβληµα που ήταν άλυτο εξ αιτίας αυτής ακριβώς της ασυµµετρίας δηλαδή να κατασκευάσουν ένα τετράγωνο, το εµβαδόν του οποίου να ισούται µε το εµβαδόν ενός δεδοµένου κύκλου, µε άλλα λόγια να πετύχουν τον «τετραγωνισµό του κύκλου». Μια σχολή πού ιδρύθηκε στην Ελέα, πόλη γειτονική στον Κρότωνα, ήταν οι «Ελεάτες». Οι Ελεάτες εξ αρχής φάνηκαν ν αντιµάχονται τους Πυθαγορείους. Αυτό που τώρα, αναδροµικά, µας φαίνεται σαν µια ήρεµη και ανεµπόδιστη πορεία προς τη διαρκώς αυξανόµενη γνώση, στην πραγµατικότητα ήταν ένας πνευµατικός πόλεµος µε όλο το πάθος και την οξύτητα των αντεγκλήσεων. Τα όπλα στις µάχες αυτές ήταν τα περίπλοκα επιχειρήµατα το έπαθλο, ο θρίαµβος της αποδείξεως. Οι Ελεάτες είχαν βαθύτατα επιστηµονικά ενδιαφέροντα, όχι µόνο για τα τρίγωνα και τους κύκλους, αλλά και για το σύµπαν. Ο κυριότερος εκπρόσωπος τους ήταν ο Ζήνων, διδάσκαλος του περίπλοκου διανοήµατος του παραδόξου, δηλαδή της προτάσεως εκείνης που, αν και - λογικά - είναι γερά θεµελιωµένη, αντιφάσκει µε την κοινή αντίληψη. Την ίδια περίπου εποχή που ο Εύδοξος αντιµαχόταν στο σηµείο αυτό τους Ελεάτες και το άπειρο, ο αρχαίος ελληνικός κόσµος γνώριζε το Μέγα Αλέξανδρο. Από τις κατακτήσεις του µεγάλου κατακτητή ιδρύθηκε η νέα πολιτιστική πρωτεύουσα του κόσµου: η Αλεξάνδρεια. Εκεί, γύρω στα 300 π.χ., ο περιφηµότερος απ όλους τους διδασκάλους της γεωµετρίας, ο Ευκλείδης, βάλθηκε να συγκεντρώσει όλα τα θεωρήµατα των προγενεστέρων του και να τα συµπεριλάβει σε µια µοναδική, αυτοτελή ενότητα. 12 Ο Ευκλείδης δεν ήταν ακριβώς ένας µεγάλος καινοτόµος ήταν όµως ένας υπέροχος οργανωτής που συστηµατοποίησε τα συµπεράσµατα στα οποία έφθασαν ο Θαλής, ο Εύδοξος και άλλες φωτεινές διάνοιες της χρυσής εποχής της ελληνικής γεωµετρίας - άνδρες πού επέζησαν ως τις µέρες µας περισσότερο σαν ονόµατα και ολιγότερο µε το έργο τους, όπως ο ηµόκριτος, ο Ιπποκράτης της Χίου, ο Αρχύτας. Ο Ευκλείδης είχε τη θαυµαστή ικανότητα ν ανασυντάξει τις αποδείξεις των θεωρηµάτων σε σύντοµους αυστηρούς όρους. Έτσι απλοποιηµένες οι αποδείξεις περιελήφθησαν στο αριστούργηµα του, τα Στοιχεία, ένα από τα ανεπανάληπτα εκείνα έργα που, όπως η 10 [8] σελ [8] σελ [8] σελ 117 «Στοιχεία» Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 6

7 Βίβλος, έχουν αφοµοιώσει σ ένα εµπνευσµένο σύνολο τις καλύτερες προσπάθειες ολοκλήρων γενεών δηµιουργικής σκέψεως. Είναι ένα κείµενο µε τόση σαφήνεια και κοµψότητα ύφους ώστε πολλοί εκπαιδευτικοί το θεωρούν σαν την συνεκτικότερη συλλογή αυστηρά λογικών διανοηµάτων που πραγµατοποίησε ποτέ ο άνθρωπος. Στην αρχαιότητα, κυκλοφορούσε ευρύτατα µε τη µορφή χειρογράφου. Αφότου ανεκαλύφθη η τυπογραφία δηµοσιεύθηκε σε χιλιάδες εκδόσεις. Μέχρι προ 100 ετών, ήταν στις περισσότερες χώρες του κόσµου το κλασικό σύγγραµµα για τη διδασκαλία της γεωµετρίας και παραµένει, ακόµη και σήµερα, ξαναγραµµένο µε ποικίλους τρόπους. Τα Στοιχεία περιλαµβάνουν 13 βιβλία ή κεφάλαια, που περιγράφουν και αποδεικνύουν ένα µεγάλο µέρος απ όσα γνωρίζει, ακόµη και τώρα, το ανθρώπινο γένος για τις γραµµές, τα σηµεία, τους κύκλους και τα στοιχειώδη σχήµατα των στερεών σωµάτων. Όλες αυτές τις πληροφορίες τις άντλησε ο Ευκλείδης, µε την πιο κοφτερή λογική, από δέκα ακριβώς απλές προτάσεις, πέντε αξιώµατα και πέντε θεωρήµατα. Οι παρατηρήσεις του για τους πρώτους αριθµούς, τους αριθµούς πού δεν µπορούν να διαιρεθούν ακριβώς παρά µόνο µε τον εαυτό τους ή µε το 1, είναι σήµερα κλασσικές για τη «θεωρία των αριθµών». Μετά τον Ευκλείδη, οι µαθηµατικοί δεν µπορούσαν παρά να προχωρήσουν πέρα από την περιοχή πού συνήθως τη σκεφτόµαστε σαν ελληνική γεωµετρία, προς τα ανώτερα µαθηµατικά. Εµπνευσµένοι από τα Στοιχεία οι δύο περισσότερο προικισµένοι µαθηµατικοί του εποµένου αιώνα πραγµατοποίησαν τόσες ανακαλύψεις και διετύπωσαν τόσους πολύτιµους τύπους όσους είχαν δηµιουργήσει όλοι µαζί οι Έλληνες πριν από τον Ευκλείδη. Ο ένας από αυτούς ήταν ο Απολλώνιος, του οποίου οι ανακαλύψεις γύρω από τις λεγόµενες «κωνικές τοµές» συνέβαλαν αποφασιστικά στην Αστρονοµία, στη Βλητική και, σε τελική προέκταση, στη σύγχρονη µελέτη των πυραυλικών τροχιών. Ο άλλος υπήρξε ο Αρχιµήδης, του οποίου η µαθηµατική ιδιοφυΐα συναγωνιζόταν το ταλέντο του ως µηχανικού, µε το όποιο καθιερώθηκε σαν ο πατέρας της Πρακτικής Μηχανικής. Στους επόµενους αιώνες, όταν η ρωµαϊκή αυτοκρατορία κλονιζόταν οργανικά και πνευµατικά, µερικοί Έλληνες προσπάθησαν να επαναφέρουν στη ζωή το Αρχιµήδειο πνεύµα της δηµιουργικής εκείνης. Από τους φορείς του πνεύµατος αυτού υπήρξε µια γυναίκα, η Υπατία, πού δίδαξε στην Αλεξάνδρεια περί το 400 µ.χ. Ήταν µία θαυµάσια µαθηµατικός και το κάλλος της συναγωνιζόταν την ικανότητα της στην επιστήµη. Οι µαθητές παρακολουθούσαν κατά εκατοντάδες τις παραδόσεις της. υστυχώς γι αυτήν, παρέµεινε πιστή στις ελληνικές ειδωλολατρικές παραδόσεις, κι έτσι σκοτώθηκε άγρια από έναν όχλο αιρετικών χριστιανών. Με την άνοδο της Ρωµαϊκής Αυτοκρατορίας, κλείνει ο κύκλος της Αρχαίας Ελληνικής περιόδου. Οι Ρωµαίοι ασχολήθηκαν µόνο µε πρακτικά µαθηµατικά που αφορούσαν κατασκευές και εµπόριο. Τα µαθηµατικά στο Μεσαίωνα και την Αναγέννηση Με την πτώση της υτικής Ρωµαϊκής Αυτοκρατορίας, το σκοτάδι απλώνεται στη υτική Ευρώπη. Όχι µόνο δεν µπορούµε να µιλάµε για ανάπτυξη των θετικών επιστηµών αλλά έχουν πια χαθεί και στοιχειώδεις γνώσεις. Οι λιγοστοί ερευνητές πέφτουν συνήθως θύµατα του άγριου κυνηγητού ηγετών της Εκκλησίας, που γεµάτοι αντιεπιστηµονική προκατάληψη εναντιώνονται σε οτιδήποτε δεν αναφέρεται στα Ιερά Κείµενα. Αλλά και στο Βυζάντιο δεν µπορούµε να µιλήσουµε για ανάπτυξη των θετικών επιστηµών. Οι µελετητές του Βυζαντίου ακολουθούν σχεδόν αποκλειστικά θεολογικές-θεωρητικές κατευθύνσεις. Αµυδρές αντανακλάσεις των θετικών Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 7

8 επιστηµών παρουσιάζονται µε κάποια µικρής σχετικά σηµασίας τεχνολογικά επιτεύγµατα (π.χ. το υγρό πυρ των βυζαντινών). Οι Ινδοί που συνέχισαν τη Βαβυλωνιακή παράδοση δηµιουργούν µια δική τους σχολή. Παρόλο που στην δική τους παρουσίαση λείπει η έννοια του θεωρήµατος και της απόδειξης, κατάφεραν σηµαντικά επιτεύγµατα στην Άλγεβρα και στην Τριγωνοµετρία. Υπολόγισαν προσεγγιστικά το π (Aryabhata), εισήγαγαν το µηδέν (Brahmagupta), και τους αρνητικούς (Bhaskara). Το µεγαλύτερο όµως βήµα των Ινδών ήταν το δεκαδικό σύστηµα θέσης που παραµένει µέχρι σήµερα. 13 Οι Άραβες, που κατάφεραν να κυριαρχήσουν από τον 7 ο µ.χ. αιώνα σε µια ολόκληρη περιοχή ανατολικά της Ελλάδας, έγιναν δέκτες των γνώσεων Βαβυλωνίων, Ελλήνων και Ινδών. Η επιστήµη µπορεί να µην προόδευσε πολύ εξαιτίας τους αλλά ήταν κατά κάποιο τρόπο οι βιβλιοθηκάριοι της ιστορίας αφού κατάφεραν να διασώσουν πάρα πολλά από τα συγγράµµατα της αρχαιότητας, τα πρωτότυπα των οποίων έχουν χαθεί. Ο Al-Khowarizmi στη Θεωρία Αριθµών, ο Omar Khayam στις πολυωνυµικές εξισώσεις 3 ου βαθµού και o Nasir al Din al Tusi στη Γεωµετρία ήταν οι κυριότεροι Άραβες µαθηµατικοί της εποχής. Ο 12 ος αιώνας για τα µαθηµατικά, ήταν ένας αιώνας που δεν έχει να αναδείξει σπουδαία επιτεύγµατα κυρίως µεταφράσεις αρχαιοελληνικών συγγραµµάτων. Στο ίδιο µοτίβο και ο 13 ος αιώνας όπου βέβαια ιδρύθηκαν πολλά Ευρωπαϊκά πανεπιστήµια και ουσιαστικά δηµιουργήθηκε η πανεπιστηµιακή κοινότητα. Ο Fibonacci ήταν η µορφή που ξεχώρισε εκείνη την εποχή. Ο 14 ος αιώνας µπορεί να χαρακτηριστεί ως «ο αιώνας της Πανώλης». Περίπου ένας στους τρεις Ευρωπαίους πέθανε εξαιτίας της, οπότε πολλά περιθώρια για Μαθηµατική αναζήτηση και πρόοδο δεν υπήρχαν. Ο 15 ος αιώνας είναι ο αιώνας που ξεκίνησε η Αναγέννηση. Η Βυζαντινή αυτοκρατορία έπεσε και οι Βυζαντινοί φεύγοντας παίρνουν µαζί τους την Αρχαία Ελληνική κληρονοµιά. Σχεδόν ταυτόχρονα, η τυπογραφία ανακαλύπτεται και µαζί της ο κόσµος ανακαλύπτει πληθώρα συγγραµµάτων που µέχρι τότε ήταν προσβάσιµα µόνο σε λίγους. Αυτό και µόνο το γεγονός αρκεί για να δώσει ώθηση σε όλες της επιστήµες και στην Τέχνη. Σπουδαίοι Μαθηµατικοί εµφανίζονται στο προσκήνιο. Cardano, Pacioti, Tartaglia, Ferrari και Viette λύνουν εξισώσεις 3 ου και 4 ου βαθµού ακόµα και µε χρήση τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. Μια νέα άνοιξη έχει έρθει. Τα Μαθηµατικά της σύγχρονης εποχής Το 17 ο αιώνα συντελείται στην Ευρώπη µια σηµαντική άνθηση των επιστηµών. Εµφανίζονται νέοι τρόποι µελέτης των στοιχειωδών Μαθηµατικών και καινούργιες µέθοδοι και εργαλεία υπολογισµού. Ο Napier εισάγει τους λογάριθµους, ο Descartes ενοποιεί την Άλγεβρα µε τη Γεωµετρία στην Αναλυτική του Γεωµετρία, ο Fermat έµεινε στην ιστορία για τη θεµελίωση της Θεωρίας Αριθµών και µαζί µε τον Pascal της Θεωρίας των Πιθανοτήτων. Το µεγαλύτερο όµως επίτευγµα του αιώνα αποτελεί η ταυτόχρονη ανακάλυψη του Απειροστικού Λογισµού από Newton και Leibniz. Ο κλάδος αυτός, που χρησιµοποιεί έννοιες απειροστών στους υπολογισµούς, θα δώσει νέα ώθηση στη Φυσική, που µε τη σειρά της θα «απαιτήσει» νέα Μαθηµατικά. 13 [8] σελ 83 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 8

9 Ο αιώνας αυτός αποτελεί την «ηρωική εποχή των Μαθηµατικών». Οι µαθηµατικοί κατάφεραν µεγαλειώδεις ανακαλύψεις. Ο µεγαλύτερος µαθηµατικός της περιόδου αυτής και παραγωγικότερος όλων των εποχών είναι ο Euler που συµβάλλει στην Τριγωνοµετρία και τη Θεωρία Αριθµών, ενώ ανακαλύπτει το Λογισµό των Μεταβολών και τη ιαφορική Γεωµετρία. Άλλοι µεγάλοι µαθηµατικοί του αιώνα είναι ο D Alembert που προχώρησε το Λογισµό και τις διαφορικές εξισώσεις, ο Lagrange που τελειοποίησε την Ανάλυση, ανοίγοντας το δρόµο για µια σύγχρονη Θεωρία Συναρτήσεων, ο Monge που µελέτησε την Αναλυτική και ιαφορική Γεωµετρία των καµπυλών στο χώρο, ίδρυσε την Παραστατική Γεωµετρία και εγκαινίασε την Ecole Polytechnique και ο Laplace που προσέφερε στη Θεωρία των Πιθανοτήτων και χρησιµοποίησε τα Μαθηµατικά για να προωθήσει την Αστρονοµία και την Ουράνια Μηχανική. Τον 18 ο αι. έχουµε τεράστια παραγωγή Μαθηµατικών, χωρίς όµως να υπάρχει παράλληλα και βαθύτερη κατανόηση των εννοιών που πραγµατεύονταν. Οι αποδείξεις βασίζονταν στη διαίσθηση και τη µεταφυσική που είχαν αντικαταστήσει σχεδόν πλήρως τη λογική, µε συνέπεια την εµφάνιση αρκετών αντιφάσεων και παραδόξων. Η µεγάλη διεύρυνση του µαθηµατικού οικοδοµήµατος και η εµφάνιση παραδοξοτήτων θα οδηγήσει σε µια ποιοτική αλλαγή τον επόµενο αιώνα. Με το τέλος του 18 ου αιώνα, έχει ήδη στηθεί το σκηνικό για την επανάσταση που θα συντελεστεί στα µαθηµατικά τον 19 ο αιώνα, γνωστό και ως «χρυσό αιώνα των Μαθηµατικών». Η βιοµηχανική άνθηση και η ανάγκη ισχυρών θεµελίων του µαθηµατικού οικοδοµήµατος θα βοηθήσουν στο να συντελεστούν καθοριστικές αλλαγές, που θα απελευθερώσουν την Άλγεβρα και τη Γεωµετρία. Η ανακάλυψη της µη-ευκλείδειας Γεωµετρίας από Lobachevsky, Bolyai και Gauss αποτελεί ίσως το πιο αξιοσηµείωτο γεγονός του αιώνα. Ο Cauchy και ο Weierstrass θεµελιώνουν την Ανάλυση και θέτουν τις βάσεις για την αριθµητικοποίηση της. Ο Galois και ο Abel θα ανακαλύψουν τη Θεωρία Οµάδων, ο Hamilton τη µη-αντιµεταθετική Άλγεβρα την οποία ο Cayley θα επεκτείνει στους πίνακες και ο Boole θα ανοίξει το δρόµο στη µαθηµατικοποίηση της Λογικής. Ο Riemann θα ανακαλύψει τη δική του µη- Ευκλείδεια, Ελλειπτική Γεωµετρία και θα συµβάλλει καθοριστικά στη Θεωρία Ολοκλήρωσης, ενώ οι Poincaré, Beltrami και Klein θα αποδείξουν και θα θεµελιώσουν τις νεόκοπες µη-ευκλείδειες γεωµετρίες. Ο Gauss, ένας από τους µεγαλύτερους µαθηµατικούς όλων των εποχών, θα δώσει ώθηση στην Άλγεβρα, τη ιαφορική Γεωµετρία, την Ανάλυση και τη Θεωρία Αριθµών. Προς το τέλος του αιώνα, ο Cantor θα µας προσφέρει την αξιοθαύµαστη Θεωρία Συνόλων και θα «αγγίξει» το άπειρο µε τους υπερπεπερασµένους αριθµούς, ενώ οι Dedekind και Peano, συνεχίζοντας το έργο του Weierstrass, θα θέσουν τα θεµέλια των φυσικών και των πραγµατικών αριθµών. Πλέον η «αυστηροποίηση» των Μαθηµατικών είχε ξεκινήσει και τα «εργαλεία» για την περαιτέρω µελέτη των θεµελίων τους τα επόµενα χρόνια, είχαν ανακαλυφθεί. Ο 20 ος αιώνας ξεκίνησε µε τον Hilbert να θέτει 23 άλυτα προβλήµατα ως βάση για περαιτέρω ανάπτυξη των Μαθηµατικών. Ο ίδιος και οι συνεχιστές του, προσπάθησαν να τυποποιήσουν και να θεµελιώσουν αυστηρά όλο το µαθηµατικό οικοδόµηµα µέσω της «τυπικής αξιωµατικής µεθόδου», εγκαινιάζοντας τη φιλοσοφική σχολή του Φορµαλισµού. Την ίδια περίοδο ο Poincaré θεµελιώνει τη Γενική Τοπολογία και θέτει τις βάσεις για τη µετέπειτα φιλοσοφική σχολή του Ιντουισιονισµού. Ο Russell προσπαθεί να στηρίξει τα Μαθηµατικά στη Λογική (σχολή του Λογικισµού) και µε το παράδοξό του (σε ελεύθερη γραφή: ένας Κρητικός που ισχυρίζεται ότι όλοι οι Κρητικοί λένε ψέµατα τελικά λέει αλήθεια η ψέµατα;) κλονίζει τη Θεωρία Συνόλων. Θα είναι όµως ο Gödel, αυτός που θα δηµιουργήσει Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 9

10 µια κρίση ανάλογη και µεγαλύτερη από αυτήν των ασύµµετρων στην αρχαία Ελλάδα, µε την απόδειξη της µη-πληρότητας των αξιωµατικών συστηµάτων. Στο εξής, τα Μαθηµατικά και η φιλοσοφία τους δε θα είναι ποτέ ξανά τα ίδια. Τα παράδοξα και η µη-πληρότητα θα αποτελέσουν την αφορµή για νέες µαθηµατικές θεωρίες, όπως η Θεωρία Τόπων, η Θεωρία Κατηγοριών, η Θεωρία Απόδειξης και η Θεωρία Μοντέλων. Ο Turing και ο Von Neumann έθεσαν τις βάσεις για την κατασκευή των ηλεκτρονικών υπολογιστών που αποτέλεσαν τη µεγάλη επιστηµονική επανάσταση του 20 ου αιώνα. Με την άνθηση της πληροφορικής, έχουµε µια στροφή από τα «συνεχή» στα «διακριτά» Μαθηµατικά (Θεωρία Γραφηµάτων, Συνδυαστική Θεωρία...) και παράλληλα την ανάπτυξη της Θεωρίας της Πολυπλοκότητας και των fractals (µορφοκλασµατικά σύνολα). Το τέλος του 20 ου και η αυγή του 21 ου αιώνα βρίσκει τη µαθηµατική επιστήµη να προσανατολίζεται προς τις αντίστοιχες ανθρωπιστικές και κοινωνικές (ψυχολογία, κοινωνιολογία, κ.α.) και οι νέοι κλάδοι των ολιστικών, µη-καντοριανών Μαθηµατικών, που εγκαινιάζονται για το σκοπό αυτό, χαράζουν την µελλοντική της πορεία. Η φύση των Μαθηµατικών Το κεντρικό ερώτηµα που σχετίζεται µε τα µαθηµατικά αντικείµενα είναι: «τελικά ο άνθρωπος ανακαλύπτει τα µαθηµατικά αντικείµενα που προϋπάρχουν ή τα κατασκευάζει ό ίδιος;» Έχει δηλαδή η φύση νόµους σταθερούς, αξίες αναλλοίωτες που ο άνθρωπος παρατηρεί και καταγράφει, διαχρονικά αµετάβλητες σταθερές που υπάρχουν και εµείς απλά µένει να τις ανακαλύψουµε και να τις αναλύσουµε; Ή µήπως όλα είναι ανθρώπινες εφευρέσεις; Κατασκευές που υπάρχουν στο µυαλό αυτού που τις δηµιουργεί και που απλά είναι εργαλεία που ο επόµενος θα αποδεχθεί, θα επεξεργασθεί και θα οδηγηθεί στην επόµενη έννοια συνεχίζοντας την αλυσίδα των ανακαλύψεων ; Ερωτήµατα στα οποία πολλοί απάντησαν µε τον έναν ή τον άλλο τρόπο, αποδεχόµενοι την µία ή την άλλη άποψη. Αλλά υπάρχει απάντηση; Εννοώ, σωστή απάντηση. Η επιστήµη προοδεύει χάρη στην ανθρώπινη προσπάθεια. Οι Μαθηµατικοί τραβάνε το κουπί που σπρώχνει την επιστήµη τους να προοδεύει. Η απάντηση λοιπόν είναι στο µυαλό του καθενός. Εδώ νοµίζω ταιριάζει η άποψη ότι «ο τυπικός µάχιµος µαθηµατικός είναι Πλατωνιστής τις καθηµερινές και Φορµαλιστής τα σαββατοκύριακα. Αυτό σηµαίνει πως, όταν ασχολείται µε τα µαθηµατικά, είναι πεπεισµένος πως καταπιάνεται µε µια αντικειµενική πραγµατικότητα της οποίας προσπαθεί να καθορίσει τις ιδιότητες. Αλλά, όταν προκαλείται να δώσει µια φιλοσοφική ερµηνεία γι αυτήν την πραγµατικότητα, το βρίσκει πιο εύκολο να προσποιηθεί ότι τελικά δεν πιστεύει σε αυτήν.» 14 Οι Πυθαγόρειοι τοποθέτησαν τους αριθµούς πάνω από την ανθρώπινη παρέµβαση. Ο Πλάτωνας, επηρεασµένος από αυτούς, θεώρησε τα µαθηµατικά αντικείµενα αιώνια και αναλλοίωτα. 15 Υποστήριξε ότι τα αντικείµενα της γνώσης, τα αντικείµενα που θα µπορούσαν να οριστούν, υπήρχαν αλλά δεν έπρεπε να ταυτιστούν µε τίποτε στον αισθητό κόσµο. Υπήρχαν σε έναν ιδανικό κόσµο, πέραν χώρου και χρόνου. Είναι οι περίφηµες πλατωνικές «Ιδέες». 14 [10] σελ [9] σελ 138 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 10

11 Στον αντίποδα, οι ιδεαλιστές, 16 οι εµπειριστές, 17 οι νοµιναλιστές, 18 οι ιντουισιονιστές 19 και οι υπέρµαχοι του Κονστρουκτιβισµού 20 και των Θεωριών του Ενσώµατου Νου. Οι Ιδεαλιστές θεωρούν ότι τα µαθηµατικά αντικείµενα υπάρχουν αλλά εξαρτώνται από τον ανθρώπινο νου, είτε του καθενός µαθηµατικού ξεχωριστά, είτε αποτελούν τµήµα της κοινής διανοητικής διάρθρωσης του ανθρώπινου είδους. Οι Εµπειριστές υποστηρίζουν ότι τα αντικείµενα αυτά προέρχονται από την «αφαίρεση» του υλικού υποστρώµατος των φυσικών αντικειµένων, που παρατηρούµε και γνωρίζουµε µέσω των αισθήσεών µας. Οι Νοµιναλιστές πρεσβεύουν ότι τα µαθηµατικά αντικείµενα είναι απλά γλωσσολογικές κατασκευές ή, στην ακραία τους εκδοχή, ότι τα αντικείµενα αυτά δεν υπάρχουν καθόλου. Τέλος οι Ιντουϊσιονιστές, οι Κονστρουκτιβιστές και οι υποστηρικτές της Θεωρίας του Ενσώµατου Νου, µίλησαν για µαθηµατικά αντικείµενα που είναι καθαρά νοητικές κατασκευές και δεν υπάρχουν υπό οποιαδήποτε πραγµατική έννοια, παρά µόνο µέσα στο ανθρώπινο µυαλό. Ο Ιντουϊσιονισµός υποστηρίζει ότι µόνο προβλέψεις µπορούµε να κάνουµε για τα µαθηµατικά αντικείµενα και όχι τελικές κρίσεις γι' αυτά, αφού αυτό που γνωρίζουµε πχ. για το σύνολο των φυσικών αριθµών είναι η διαδικασία κατασκευής του βήµα προς βήµα και όχι το σύνολο ως ολότητα. Είναι αυτό που ο Hilbert αποκαλεί "µερική κρίση". "Η πραγµατικότητα δεν είναι τίποτε άλλο από συλλογική διαίσθηση" (L. Tomlin). Στα πλαίσια της Ιντουϊσιονιστικής θεωρίας η οποία αρνείται οτιδήποτε δεν γίνεται αντιληπτό από τις αισθήσεις και την εµπειρία µας, πολλά από τα βασικότερα εργαλεία των µαθηµατικών που συνήθως χρησιµοποιούµε χάνουν την εγκυρότητα τους αφού πολλές αποδείξεις παύουν να ισχύουν. Για παράδειγµα, οι αποδείξεις που βασίζονται στην εις άτοπον απαγωγή δεν είναι πια έγκυρες. Η δίτιµη αριστοτέλεια λογική σύµφωνα µε την οποία κάτι είναι ψευδές ή λάθος και η οποία βασίζεται στον νόµο αποκλεισµού του τρίτου παύει να ισχύει αφού κανείς δεν µπορεί να µας διαβεβαιώσει ότι δεν υπάρχει και µια τρίτη πιθανή τιµή αληθείας. Έτσι, στα πλαίσια του Ιντουισιονισµού, έγκυρες θεωρούνται µόνο οι κατασκευαστικές αποδείξεις. Υπαρκτό για τους Ιντουισιονιστές σηµαίνει κατασκευαστικά υπαρκτό και πεπερασµένα ελέγξιµο. Οποιαδήποτε άλλη απόδειξη ύπαρξης δεν είναι αποδεκτή. Για τους Ιντουισιονιστές, δεν απαιτείται κάποιο θεώρηµα πληρότητας - τουλάχιστον στην µορφή του κλασικού θεωρήµατος του Gödel - για τη δικαίωση της Ιντουϊσιονιστικής πρακτικής. Η ίδια η ιντουϊσιονιστική πρακτική είναι ο φορέας αληθείας της µε τις πεπερασµένα ελέγξιµες αποδείξεις της που στηρίζονται στην διαισθητική έννοια των φυσικών αριθµών. (Ο Brower, όπως και ο Kant, πίστευε στην διαίσθηση του χρόνου από την οποία προκύπτει η διαίσθηση του φυσικού αριθµού). εν είναι εύκολο να πούµε ότι το τοπίο έχει ξεκαθαρίσει εντελώς µέχρι σήµερα. Οι πιο σύγχρονες απόψεις λένε ότι τα Μαθηµατικά αντικείµενα είναι κατασκευασµένα µοντέλα που υπάρχουν κυρίως σαν προϊόντα της ανθρώπινης εφευρετικότητας. Εξάλλου ακόµα και η πραγµατικότητα δεν είναι κάτι αµετάβλητο και διαχρονικό. Βέβαια, κάποιες µαθηµατικές ιδέες υπάρχουν στη φύση διαχρονικά. Αλλά και πάλι δεν είναι εύκολο να εµφανιστούν µοντέλα που διαχρονικά θα µπορούν να λύνουν το ίδιο πρόβληµα. "Στο βαθµό που οι προτάσεις των µαθηµατικών δίνουν µια περιγραφή της πραγµατικότητας δεν είναι βέβαιες και στο βαθµό που είναι βέβαιες, δεν περιγράφουν την πραγµατικότητα" (A. Einstein, 1921) 16 [2] σελ [2] σελ [2] σελ [2] σελ 8 20 [2] σελ 184 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 11

12 Αντικειµενικές ή όχι; Για αιώνες η γνώση θεωρείτο απόλυτη. Το σύνολο σχεδόν των επιστηµόνων ήταν υπέρ της άποψης αυτής. Η λογική ήταν το πρότυπο πάνω στο οποίο στηρίχτηκαν όλοι - όχι µόνο οι µαθηµατικοί - για να θεµελιώσουν προτάσεις και θεωρήµατα. Τα παράδοξα όµως που εµφανίστηκαν, από την αρχαιότητα κιόλας, θόλωναν τις αντιλήψεις αυτές. Η µη-πληρότητα του Gödel άλλαξε ριζικά τις απόψεις. Ο Πλάτωνας ήταν ο πρώτος που µίλησε περί απόλυτης και αιώνιας µαθηµατικής γνώσης, άποψη που υποστήριξαν και οι Descartes, Leibniz και Kant. Η ανακάλυψη των µη-ευκλείδειων Γεωµετριών το 19 ο αιώνα απέδειξε ότι η αλήθεια στα Μαθηµατικά µπορεί να έχει πολλές όψεις. Ουδείς, πάντως, αµφισβητούσε την αλήθεια των αποδεδειγµένων µαθηµατικών προτάσεων. Ειδικά οι υπέρµαχοι των τριών µεγάλων φιλοσοφικών σχολών του Λογικισµού, του Φορµαλισµού και του Ιντουισιονισµού 21, προσπάθησαν να δοµήσουν τα Μαθηµατικά έτσι ώστε να µην υπάρχουν αντιφάσεις και παράδοξα και κάθε αποδεδειγµένη αλήθεια να είναι πέρα και πάνω από κάθε αντιλογία. Οι Αντιρρεαλισµός, υποστηρίζει ότι ακόµα και να υπάρχουν αληθοτιµές στις µαθηµατικές προτάσεις, αυτές εξαρτώνται από το µαθηµατικό, είτε από την ατοµική του αντίληψη, είτε από την ανθρώπινη νοητική δραστηριότητα εν γένει 22. Ο Shapiro ξεκαθαρίζει ότι, στην Αντιρρεαλιστική θέση, δεν αποφασίζουµε αν µια πρόταση είναι αληθής ή ψευδής αλλά κατασκευάζουµε προτάσεις αληθείς ή ψευδείς, γιατί µε κάποιο τρόπο ο νους µας είναι δοµηµένος από τη µαθηµατική αλήθεια 23. Οι αντιρρεαλιστές πιστεύουν είτε σε µια µη δίτιµη (ίσως Ιντουϊσιονιστική) λογική, είτε ότι ο ανθρώπινος νους δεν µπορεί να προσδιορίσει την αλήθεια των µαθηµατικών προτάσεων. Κοντά στην τελευταία άποψη είναι και ο Κονστρουκτιβισµός και η Θεωρία της ιαψευσιµότητας των Popper και Lakatos. Γι αυτούς οι µαθηµατικές αλήθειες έχουν εµπειρική βάση, είναι επισφαλείς κι επιδέχονται αµφισβήτησης και ανασκευής. Η άποψη αυτή κέρδισε και κερδίζει όλο και περισσότερους υποστηρικτές τα τελευταία χρόνια, καθώς τα θεωρήµατα της µη-πληρότητας του Gödel και η αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg µας κατέστησαν σαφή τα όρια της ανθρώπινης γνώσης 24. Αν κάποιος επιχειρήσει να κάνει έναν συγκερασµό των παραπάνω απόψεων και να δώσει έναν ορισµό για τα Μαθηµατικά θα βρεθεί σε δύσκολη θέση. Οι Davis και Hersh, σε έναν εισαγωγικό ορισµό, χαρακτηρίζουν τα Μαθηµατικά ως την «επιστήµη της ποσότητας και του χώρου» 25. Με µια απλή αναζήτηση στο διαδίκτυο ορισµοί υπάρχουν πολλοί. Μεταφέρω χαρακτηριστικά τα εξής: «Τα Μαθηµατικά είναι η επιστήµη που µελετά την ποσότητα (δηλαδή τους αριθµούς), τη δοµή (δηλαδή τα σχήµατα), το διάστηµα, τη µεταβολή και τις σχέσεις όλων των µετρήσιµων αντικειµένων της πραγµατικότητας και της φαντασίας µας. Οι Μαθηµατικοί περιγράφουν τις σχέσεις µε τύπους ή και αλγόριθµους και ερευνούν την αλήθεια τους µε αποδεικτική διαδικασία λογικών βηµάτων που στηρίζονται σε αξιώµατα και θεωρήµατα. Οι µαθηµατικοί ερευνούν αυτές τις δοµές και προσπαθούν να σχηµατίζουν υποθέσεις και να εξακριβώνουν την αλήθεια τους µέσω 21 Οι λογικιστές προσπάθησαν να εγκαθιδρύσουν την απόλυτη βεβαιότητα στα Μαθηµατικά µέσω της λογικής, οι ιντουισιονιστές να αποδείξουν την αλήθεια µε κατασκευαστικές µεθόδους και οι φορµαλιστές να απαλλάξουν από την ασυνέπεια τα τυπικά θεωρήµατα που αντιπροσωπεύουν τη µαθηµατική αλήθεια. 22 Στην ακραία µορφή αντιρεαλισµού οι µαθηµατικές προτάσεις δεν έχουν αληθοτιµή. ( βλ. [2] σελ ) 23 [2] σελ Για τον ηµιεµπειρικισµό του Lakatos και την µη-απόλυτη µαθηµατική γνώση βλ. [11] σελ [9] σελ. 6 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 12

13 αυστηρών κανόνων συνεπαγωγής και έχοντας ως βάση ορισµένα αξιώµατα και ορισµούς. Οι δοµές που ερευνώνται συχνά έλκουν την προέλευσή τους από τις φυσικές επιστήµες, συνηθέστερα από τη φυσική, αλλά οι µαθηµατικοί επίσης ορίζουν και ερευνούν δοµές για λόγους καθαρά εσωτερικούς στα µαθηµατικά, επειδή οι δοµές αυτές µπορούν να παρέχουν, παραδείγµατος χάριν, µια ενοποιητική γενίκευση για διάφορα υποπεδία, ή ένα χρήσιµο εργαλείο για τον λογισµό. Τελικά, πολλοί µαθηµατικοί µελετούν τα µαθηµατικά για καθαρά αισθητικούς λόγους, αντιµετωπίζοντας τα ως µια µορφή τέχνης περισσότερο παρά ως µια πρακτική ή εφαρµοσµένη επιστήµη.» 26. Ενδιαφέρουσα άποψη είναι και η : «Φαίνεται ότι έχουµε τρεις επιλογές. Τα Μαθηµατικά είναι η Ανθρωπιστική Επιστήµη που υµνεί την αιώνια λογική, είναι η Φυσική Επιστήµη η οποία µελετά το φαινόµενο που λέγεται λογική, είναι η Τέχνη που πλάθει δοµές αιθερικής οµορφιάς από την πρωταρχική ύλη που ονοµάζεται λογική, είναι όλα αυτά κι άλλα. Αλλά πάνω από όλα, µπορώ να σας βεβαιώσω, ότι τα Μαθηµατικά είναι Ευχαρίστηση.» 27 Κατά την προσωπική µου άποψη τα Μαθηµατικά είναι η Τέχνη της ανακάλυψης. Συνήθως ανακαλύπτει λύσεις σε ήδη διατυπωµένα προβλήµατα. Προβλήµατα που ανακύπτουν στη ζωή του ανθρώπου και είναι πάσης φύσεως. Ενίοτε βέβαια, και αυτό είναι πιο ενδιαφέρον, οι µαθηµατικοί έχουν λύσεις και τους µένει να ανακαλύψουν το πρόβληµα που λύνουν οι λύσεις αυτές. Στην προσπάθεια αυτή τα εργαλεία είναι η ανθρώπινη λογική και η ήδη συσσωρευµένη γνώση και εµπειρία από τις προσπάθειες των προηγούµενων. Τα µαθηµατικά αντικείµενα υπάρχουν κι εµείς µένει να τα τοποθετήσουµε στη σωστή σειρά ώστε να φτάσουµε στο επιθυµητό αποτέλεσµα. Απόλυτη και αιώνια γνώση δεν υπάρχει. Επίλογος Στην εργασία αυτή έγινε µια προσπάθεια να παρουσιαστεί µια σύντοµη εξέλιξη της Μαθηµατικής Ιστορίας. Τα ιστορικά γεγονότα βέβαια είναι κατά κανόνα αδιαµφισβήτητα. Προσπάθεια έγινε και να συνδεθούν αυτά µε το ευρύτερο κοινωνικό αλλά και επιστηµονικό πλαίσιο της κάθε εποχής, ώστε να δούµε ποιες συνθήκες δηµιούργησαν κάθε φορά την απαίτηση για νέα γνώση. όθηκε µια πρώτη αναφορά στα κυριότερα φιλοσοφικά ρεύµατα που συνδέονται µε την επιστήµη και στο πως αυτά επηρέασαν ή επηρεάστηκαν από τις νέες θεωρίες. Πώς «Πλατωνικοί», «Φορµαλιστές», «Ιντουϊσιονιστές» και άλλοι πάτησαν πάνω στο επιστηµονικό Μαθηµατικό πλαίσιο της κάθε εποχής για να στηρίξουν της απόψεις τους. Ποιες ήταν οι µεγάλες «κρίσεις» που δηµιουργήθηκαν από τις νέες ανακαλύψεις ή επινοήσεις. Τέλος, οφείλω να πω ότι προσπάθησα να τις παρουσιάσω αντικειµενικά αν και σε κάποια σηµεία υπεισέρχεται, θέλοντας και µη, και η προσωπική µου άποψη απαντά ο καθηγητής W.T. Tutte του πανεπιστηµίου του Waterloo Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 13

14 Βιβλιογραφία [1] Eves Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover Publications (1997) [2] Shapiro Stewart, Σκέψεις για τα Μαθηµατικά. Εκδόσεις Πανεπιστηµίου Πατρών (2006) [3] Mankiewicz Richard, Η Ιστορία των Μαθηµατικών. Εκδόσεις Αλεξάνδρεια (2002) [4] ρόσος Κώστας, Εισαγωγή στη Μαθηµατική Σκέψη τόµος 1 ος. (2000) [5] Αναπολιτάνος ιονύσιος, Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηµατικών. Εκδόσεις Νεφέλη (2005) [6] Τουµάσης Μπάµπης, Σύγχρονη ιδακτική των Μαθηµατικών. Εκδόσεις Gutenberg (1999) [7] Clawson Calvin, Ο Ταξιδευτής των Μαθηµατικών. Εκδόσεις Κέδρος (2005) [8] Wilder Raymond, Εξέλιξη των Μαθηµατικών Εννοιών. Εκδόσεις Κουτσουµπός (1986) [9] Davis Philip Hersh Reuben, Η Μαθηµατική Εµπειρία. Τροχαλία (1998) [10] Bunt Lucas Jones Phillip Bedient Jack, Οι Ιστορικές Ρίζες των Στοιχειωδών Μαθηµατικών. Εκδόσεις Γ.Α. Πνευµατικού (1981) [11] Τουµάσης Μπάµπης, Σύγχρονη ιδακτική των Μαθηµατικών. Εκδόσεις Gutenberg (1999) [12] Ludwig Wittgenstein, Παρατηρήσεις για την θεµελίωση των µαθηµατικών. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης. (2006) Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 14

15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... σελ 2 Η Ιστορική εξέλιξη των Μαθηµατικών... σελ 3 Προελληνικά Μαθηµατικά σελ 3 Ελληνικά Μαθηµατικά... σελ 4 Τα µαθηµατικά στον Μεσαίωνα και την Αναγέννηση σελ 7 Τα Μαθηµατικά της σύγχρονης εποχής σελ 8 Η φύση των Μαθηµατικών... σελ 9 Αντικειµενικές ή όχι; σελ 12 Επίλογος σελ 13 Βιβλιογραφία σελ 14 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 15

Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα

Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα Βασίλειος Παπαντωνίου Ομ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών bipapant@math.upatras.gr Επίκεντρο της παρουσίασης Η εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ: 22378101- Φαξ:22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Υποστηρίζεται η άποψη ότι η ελληνιστική περίοδος (3ος - 2ος αι. π.χ.) αποτελεί το «απόγειο» της αρχαίας ελληνικής επιστήµης. Επίσης, ορισµένοι ιστορικοί της επιστήµης εκτιµούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Το Πυθαγόρειο θεώρημα: μία διάσημη μαθηματική σχέση στον εργαστηριακό πάγκο της Φυσικής Παναγιώτης Μουρούζης Το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο συνήθως περιγράφεται φορμαλιστικά από μία σχέση της μορφής 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΔΙΚΗ ΜΑΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ + ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. - http://pratt.edu/~arch543p/readings/mathematics_and_philosophy.html

ΓΙΑ ΔΙΚΗ ΜΑΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ + ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. - http://pratt.edu/~arch543p/readings/mathematics_and_philosophy.html ΓΙΑ ΔΙΚΗ ΜΑΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ + ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Α. ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Για Θαλή: - http://pratt.edu/~arch543p/readings/mathematics_and_philosophy.html - http://www.anselm.edu/homepage/dbanach/thales.htm -http://www-groups.dcs.stand.ac.uk/~history/birthplacemaps/places/miletus.html

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Η Ελλάδα στα Βαλκάνια και στον κόσµο χθες, σήµερα και αύριο

Η Ελλάδα στα Βαλκάνια και στον κόσµο χθες, σήµερα και αύριο Η Ελλάδα στα Βαλκάνια και στον κόσµο χθες, σήµερα και αύριο Χωρίς αµφιβολία οι αρχαίοι Έλληνες στοχαστές, ποιητές και φιλόσοφοι πρώτοι έχουν αναπτύξει τις αξίες πάνω στις οποίες θεµελιώνεται η Ευρωπαϊκή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ

2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ 2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ Συμπλήρωση κενών ακόλουθες λέξεις (τρεις λέξεις περισσεύουν): βιβλιοθήκη, Βαλκανική, ανθρωπιστικός, πανεπιστήμιο, χειρόγραφο, Ιταλική, τυπογραφία, σπάνιος. Η Αναγέννηση και

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΩΝ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας 1. Μια διαδεδομένη αντίληψη περί επιστήμης Γνώση / Κατανόηση των φαινομένων του φυσικού κόσμου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Νεοελληνική Γλώσσα Β Λυκείου ΚΑΛΥΒΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΙΩΑΝΝΑ

Νεοελληνική Γλώσσα Β Λυκείου ΚΑΛΥΒΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΙΩΑΝΝΑ ΚΩΔΙΚΟΣ ΘΕΜΑΤΟΣ: 18673 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 16/12/2014 ΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: ΚΑΛΥΒΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΙΩΑΝΝΑ ΚΕΙΜΕΝΟ Η ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΗΣ Α. Ο συγγραφέας του παρόντος κειμένου παρουσιάζει τον προβληματισμό του αναφορικά με

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα ιστορικά στοιχεία για το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Λίγα ιστορικά στοιχεία για το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Λίγα ιστορικά στοιχεία για το Πυθαγόρειο Θεώρημα. 1. Είναι απαραίτητο να εξετάζουμε στην περίοδο που διανύουμε το ξεκίνημα των τεχνών και των επιστημών, έτσι διαπιστώνουμε, ότι πρώτα οι Αιγύπτιοι ανακάλυψαν

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Τι σημαίνει ο όρος «βυζαντινόν»;

Τι σημαίνει ο όρος «βυζαντινόν»; Τι σημαίνει ο όρος «βυζαντινόν»; Ο όρος«βυζαντινόν» αναφέρεται στο Μεσαιωνικό κράτος που εδιοικείτο από την Κωνσταντινούπολη, τη μεγάλη πόλη των ακτών του Βοσπόρου. Οι ιστορικοί χρησιμοποιούν τον όρο αυτόν

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 Στο σημείο αυτό του οδοιπορικού γνωριμίας με τις διάφορες μεθόδους αυτογνωσίας θα συναντήσουμε την Αστρολογία και θα μιλήσουμε για αυτή. Θα ερευνήσουμε δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

1 ΕΚΘΕΣΗ ΕΚΦΡΑΣΗ B ΛΥΚΕΙΟΥ (Θεωρία Σχολικού βιβλίου, σελ. 249-257) A.ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΓΡΑΠΤΟ ΛΟΓΟ 1. Κρατώ σηµειώσεις κατά παράγραφο 1. Εντοπίζω τα κύρια συστατικά της παραγράφου 2. Παρουσιάζω παραλλαγές

Διαβάστε περισσότερα

Γυναίκες πολεµίστριες και ηρωίδες. Έρευνα-επιλογή:Μ. Λόος Μετάφραση: Μ. Σκόµπα Επιµέλεια: Β. Καντζάρα

Γυναίκες πολεµίστριες και ηρωίδες. Έρευνα-επιλογή:Μ. Λόος Μετάφραση: Μ. Σκόµπα Επιµέλεια: Β. Καντζάρα Γυναίκες πολεµίστριες και ηρωίδες Έρευνα-επιλογή:Μ. Λόος Μετάφραση: Μ. Σκόµπα Επιµέλεια: Β. Καντζάρα Cleopatra (Κλεοπάτρα) 69 30 π.χ. Αίγυπτος Βασίλισσα Η Κλεοπάτρα γεννήθηκε το 69 π.x και βασίλεψε στην

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012»

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ Χαρτογραφία στην Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Τάξη

Διαβάστε περισσότερα

11. Γυναίκες πολεµίστριες και ηρωίδες

11. Γυναίκες πολεµίστριες και ηρωίδες 11. Γυναίκες πολεµίστριες και ηρωίδες Συλλογή-επιλογή:Μ. ΛΟΟΣ Μετάφραση: Μ. ΣΚΟΜΠΑ Επιµέλεια: Β. ΚΑΝΤΖΑΡΑ Κλεοπάτρα 69 30 π.χ. Αίγυπτος -Βασίλισσα Η Κλεοπάτρα γεννήθηκε το 69 π.χ. Βασίλεψε στην Αίγυπτο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΙΣ Ι

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΙΣ Ι ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΙΣ Ι 1.Ελλιπής ή ατελής διδασκαλία της σύγχρονης γεωμετρίας στα λύκεια. 2.Ελάχιστες ώρες μαθηματικών και έλλειψη ολοκληρωμένης διδασκαλίας της σύγχρονης γεωμετρίας στις σχολές "οικοδόμων" μηχανικών,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό περιβάλλον. Ορισμοί της Τεχνολογίας. Σχέση Τεχνολογίας και Επιστήμης. Επιπτώσεις της Τεχνολογίας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ στην ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

Τεχνολογικό περιβάλλον. Ορισμοί της Τεχνολογίας. Σχέση Τεχνολογίας και Επιστήμης. Επιπτώσεις της Τεχνολογίας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ στην ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Ορισμοί της Τεχνολογίας Τεχνολογικό περιβάλλον ΕΙΣΑΓΩΓΗ στην ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Σχέση Τεχνολογίας και Επιστήμης Επιπτώσεις της Τεχνολογίας Ορισμός σχολικού βιβλίου για την Τεχνολογία Με την ευρεία έννοια του όρου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ. 24 51 10 1+ + + = 1.41421296 2 3 60 60 60 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικές Σπουδές και Σύγχρονη Κοινωνία

Κλασικές Σπουδές και Σύγχρονη Κοινωνία Κλασικές Σπουδές και Σύγχρονη Κοινωνία Γιατί εξακολουθεί να είναι σηµαντικό να σπουδάζουµε αρχαία Ελληνικά και Λατινικά, γλώσσες που σπάνια πια χρησιµοποιούνται στη σύγχρονη κοινωνία; Γιατί να ξοδεύουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος ΕΝΟΤΗΤΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Κείμενο 1 Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Είναι γνωστό πως στην Αρχαία Ελλάδα γίνονται τα πρώτα σημαντικά βήματα για την ανάπτυξη των επιστημών,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα Εύρεση του π

Δραστηριότητα Εύρεση του π Δραστηριότητα Εύρεση του π Ανάµεσα σε πολλά πρωτότυπα και εντυπωσιακά επιτεύγµατα του Αρχιµήδη, η µέθοδός του για την εύρεση µιας αριθµητικής προσέγγισης για το π ξεχωρίζει για την κοµψότητα και την ασυνήθιστη

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

8. Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΤΑΛΕΝΤΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

8. Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΤΑΛΕΝΤΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 8. Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΤΑΛΕΝΤΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Πολυάριθµες είναι οι περιοχές όπου ένα ταλέντο ή µία χαρακτηριστική κλίση µπορεί να εκδηλωθεί. Το ταλέντο στα µαθηµατικά έχει ιδιαίτερα απασχολήσει την επιστηµονική

Διαβάστε περισσότερα

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1. (J. Steiner 1796 1863)

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1. (J. Steiner 1796 1863) Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 1 B ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές «οι υπολογισµοί υποκαθιστούν την σκέψη, ενώ η γεωµετρία την διεγείρει». (J. Steiner 1796 1863)

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KAI ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ - ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. Στόχοι: Οι εκπαιδευόμενοι: Να ενημερωθούν για το σύμπαν. Να παρατηρήσουν τα ουράνια σώματα. Να σκεφτούν -να

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου

Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου Αικατερίνη Καλέρη, Αν. Καθηγήτρια το μάθημα Αισθητική διδάσκεται στο 4ο έτος, Ζ εξάμηνο εισάγει στις κλασσικές έννοιες και θεωρίες της φιλοσοφίας της τέχνης

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο Πρόληψης των Εξαρτήσεων και Προαγωγής της Ψυχοκοινωνικής Υγείας Περιφερειακής Ενότητας Κιλκίς «ΝΗΡΕΑΣ»

Κέντρο Πρόληψης των Εξαρτήσεων και Προαγωγής της Ψυχοκοινωνικής Υγείας Περιφερειακής Ενότητας Κιλκίς «ΝΗΡΕΑΣ» Εργαστήριο δικτύωσης σε εκπαιδευτικούς πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης με θέμα: «Η συναισθηματική νοημοσύνη και η επίδρασή της στην εκπαιδευτική διαδικασία» 6 7 Μαΐου 2014 Κέντρο Πρόληψης των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Εισαγωγή Το παρόν κείµενο περιλαµβάνει ορισµένα µόνο ονόµατα γνωστών µαθηµατικών από την ιστορία της επιστήµης. Η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό.

Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό. Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό. Καθηγητής: Λοιπόν, πιστεύεις στον Θεό; Φοιτητής: Βεβαίως, κύριε. Καθ.: Είναι καλός ο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΑΓΝΩΣΤΩΝ - ΣΚΙΑΘΟΣ, 7-11 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Μαθηµατικής Λογοτεχνίας

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΑΓΝΩΣΤΩΝ - ΣΚΙΑΘΟΣ, 7-11 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Μαθηµατικής Λογοτεχνίας ΥΠΟΘΕΣΗ ΡΙΜΑΝ (Η ΕΜΜΟΝΗ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ) του John Derbyshire (Εκδόσεις Τραυλός) Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ του Marcus du Sautoy (Εκδόσεις Τραυλός) Γενικά Υπόθεση Ρίµαν Όλες οι µη τετριµµένες

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ιαφάνειες παρουσίασης #1

ιαφάνειες παρουσίασης #1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/programming/ ιδάσκοντες: Στάθης Ζάχος (zachos@cs.ntua.gr) Νίκος Παπασπύρου (nickie@softlab.ntua.gr) ιαφάνειες παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

Προειδοποιητικοί κανόνες (Considerations before judgment)

Προειδοποιητικοί κανόνες (Considerations before judgment) Προειδοποιητικοί κανόνες (Considerations before judgment) της έσποινας Γιαννακοπούλου Ένα ευαίσθητο κεφάλαιο, που φαίνεται ότι δεν έχει κατανοηθεί πλήρως από τους ασκούντες την Ωριαία, είναι οι προειδοποιητικοί

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι η φιλοσοφία; Εισαγωγή στη Φιλοσοφία

Τι είναι η φιλοσοφία; Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Τι είναι η φιλοσοφία; Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Μια απόπειρα ορισµού Έντονη, εσωτερικήδιάθεσηγιαέρευνα, γνώση, µάθηση. ΗΦιλοσοφίαδεµένειστοεπίπεδοτης απλής εµπειρίας ή περιέργειας αλλά γίνεται σοβαρή, µεθοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Η ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΣΗΜΕΡΑ. 1.1 Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Η ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΣΗΜΕΡΑ. 1.1 Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Η ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΣΗΜΕΡΑ 1.1 Εισαγωγή Η Ευρωπαϊκή Ένωση διευρύνεται και αλλάζει. Τον Μάιο του 2004, δέκα νέες χώρες εντάχθηκαν στην Ευρωπαϊκή Ένωση. Η διεύρυνση αποτελεί µια ζωτικής σηµασίας

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος: Κογκίδου ήµητρα. Εκπαιδευτική Ηγεσία και Φύλο. Στο: αράκη Ελένη (2007) Θεσσαλονίκη: Επίκεντρο.

Πρόλογος: Κογκίδου ήµητρα. Εκπαιδευτική Ηγεσία και Φύλο. Στο: αράκη Ελένη (2007) Θεσσαλονίκη: Επίκεντρο. Πρόλογος: Κογκίδου ήµητρα Στο: αράκη Ελένη (2007) Θεσσαλονίκη: Επίκεντρο. Εκπαιδευτική Ηγεσία και Φύλο. Τα τελευταία χρόνια βρισκόµαστε µπροστά σε µια βαθµιαία αποδόµηση της ανδροκρατικής έννοιας της ηγεσίας

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

(Εξήγηση του τίτλου και της εικόνας που επέλεξα για το ιστολόγιό μου)

(Εξήγηση του τίτλου και της εικόνας που επέλεξα για το ιστολόγιό μου) Εν αρχή ην ο Λόγος. (Εξήγηση του τίτλου και της εικόνας που επέλεξα για το ιστολόγιό μου) Στις νωπογραφίες της οροφής της Καπέλα Σιξτίνα φαίνεται να απεικονίζονται μέρη του ανθρώπινου σώματος, όπως ο εγκέφαλος,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΙΝΑΡΙΑ ΕΠΙΘΕΩΡΗΤΩΝ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΙΣΤΟΡΙΑ

ΣΕΜΙΝΑΡΙΑ ΕΠΙΘΕΩΡΗΤΩΝ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΣΕΜΙΝΑΡΙΑ ΕΠΙΘΕΩΡΗΤΩΝ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΙΣΤΟΡΙΑ Σεπτέμβριος 2011 1 Εισαγωγή του νέου Προγράμματος Σπουδών της Ιστορίας Με βάση τους σχεδιασμούς του Υπουργείου Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτη ενότητα: «Η ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ»

Πρώτη ενότητα: «Η ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ» Πρώτη ενότητα: «Η ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ» Επιχειρηματίας είναι ο άνθρωπος που κινητοποιεί τους απαραίτητους πόρους και τους εκμεταλλεύεται παραγωγικά για την υλοποίηση μιας επιχειρηματικής ευκαιρίας με σκοπό

Διαβάστε περισσότερα