Επισκόπηση της ιστορικής και φιλοσοφικής εξέλιξης των Μαθηµατικών µε έµφαση στην περίπτωση της Γεωµετρίας. Κουστένης Νίκος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επισκόπηση της ιστορικής και φιλοσοφικής εξέλιξης των Μαθηµατικών µε έµφαση στην περίπτωση της Γεωµετρίας. Κουστένης Νίκος"

Transcript

1 Επισκόπηση της ιστορικής και φιλοσοφικής εξέλιξης των Μαθηµατικών µε έµφαση στην περίπτωση της Γεωµετρίας Κουστένης Νίκος

2 Εισαγωγή Σε αυτά τα 3000 χιλιάδες και πλέον χρόνια ιστορίας των µαθηµατικών υπάρχουν ερωτήµατα που απασχόλησαν τους µελετητές σχετικά µε τις αιτίες της εξέλιξης, το αντικείµενο της επιστήµης, τις αλληλεπιδράσεις µε το γενικότερο επιστηµονικό αλλά και φιλοσοφικό περιεχόµενο της κάθε εποχής. Γιατί ο άνθρωπος ασχολήθηκε από τόσο νωρίς µε τα µαθηµατικά; Ήταν η φυσική ανάγκη να ανακαλύψει το άγνωστο ή µήπως απλοί πρακτικοί λόγοι που τον έκαναν να ψάχνει δρόµους να βελτιώσει την ζωή του; Τι ρόλο έπαιξαν τα ιστορικά γεγονότα της κάθε εποχής; 1 Σχετίζεται η µεγάλη άνθιση των µαθηµατικών (αλλά και των επιστηµών γενικότερα) κατά την διάρκεια των κλασσικών χρόνων της αρχαίας Ελληνικής ιστορίας µε τη φιλοσοφία των αρχαίων Ελλήνων; Ο σκοταδισµός του Μεσαίωνα πόσο επηρέασε τη µαθηµατική πρόοδο; Η µεγάλη τεχνολογική επανάσταση της σύγχρονης εποχής κατά πόσο άλλαξε τον προσανατολισµό της επιστήµης; Ερωτήµατα που έχουν απαντηθεί πολλές φορές από πολλούς (σύγχρονους κυρίως) µελετητές. Αν και ως προς τα ιστορικά στοιχεία, (πάνω - κάτω) οι περισσότεροι συµφωνούν, ως προς τις προεκτάσεις υπάρχουν διαφωνίες. Ακόµα και ως προς την φύση του αντικειµένου των µαθηµατικών µπορούµε να πούµε ότι «δεν γνωρίζουµε ούτε για το ποιο πράγµα µιλάµε, ούτε αν αυτό που λέµε είναι αληθές» (Bernard Russell). 2 Στην εργασία αυτή σκοπός δεν είναι να απαντήσουµε σε τέτοιου είδους ερωτήµατα. Θα κάνουµε µια σύντοµη ιστορική αναδροµή σε πρόσωπα κυρίως αλλά και γεγονότα. Αναδροµή τόσο σε κυρίαρχες αντιλήψεις για το ουσιαστικό κοµµάτι των µαθηµατικών αλλά και σε φιλοσοφικές αντιλήψεις που επικρατούσαν ή που ακόµα έπονταν ως επακόλουθο της προόδου των µαθηµατικών. Όπως και να το δει κανείς, η φιλοσοφία είναι ένα κοµµάτι της ανθρώπινης ζωής. Τα µαθηµατικά, ως εκ αντικειµένου είναι «καταδικασµένα» να επηρεάζουν µε πολλούς τρόπους την ανθρώπινη ζωή άρα είναι και αιτία δηµιουργίας νέων φιλοσοφικών ρευµάτων τα οποία µε την σειρά τους επηρεάζουν το σύνολο της ανθρώπινης συµπεριφοράς. 1 «Αν ο Einstein είχε γεννηθεί σε μια πρωτόγονη φυλή που δεν γνώριζε να μετρά πάνω από το τρία οποιαδήποτε προσήλωση του στα μαθηματικά, όσο μακρόχρονη και αν ήταν δεν θα απέδιδε περισσότερο από την ανάπτυξη ενός δεκαδικού συστήματος, που θα στηριζόταν στα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών» Ralph Linton, [8], σελ 13 2 [1] σελ 150 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 2

3 Η Ιστορική εξέλιξη των Μαθηµατικών Η µακρόχρονη ιστορία των µαθηµατικών, από την εµφάνιση τους µέχρι σήµερα, χωρίζεται σε τέσσερις περιόδους ως εξής: 3 Α) Προελληνικά Μαθηµατικά (από την εµφάνιση του ανθρώπου µέχρι το 600 π.χ. περίπου) Β) Ελληνικά Μαθηµατικά (από το 600 π.χ. µέχρι το 500 µ.χ.) Γ) Μεσαιωνικά και Αναγεννησιακά Μαθηµατικά (από το 500 µ.χ. µέχρι το 1600 µ.χ.) ) Σύγχρονα µαθηµατικά (από το 1600 µ.χ. µέχρι και σήµερα) Προελληνικά Μαθηµατικά Το πότε εµφανίστηκαν τα µαθηµατικά στη Γη δεν είναι εξακριβωµένο. Η κοινή λογική βέβαια λέει ότι από την εµφάνιση του ανθρώπου, στοιχειώδεις αριθµητικοί υπολογισµοί αλλά και γεωµετρικές έννοιες άρχισαν σιγά-σιγά να χρησιµοποιούνται. Οι πρώτες σαφείς ενδείξεις ότι τα µαθηµατικά άρχισαν να αντιµετωπίζονται ως επιστήµη είναι στον πολιτισµό των αρχαίων Αιγυπτίων. Πληροφορίες πολλές βέβαια για τα µαθηµατικά των αρχαίων Αιγυπτίων δεν έχουµε. Αιτία είναι ότι ο πάπυρος, που ήταν το µέσο αποθήκευσης της γνώσης εκείνη την εποχή, είναι ένα πολύ ευαίσθητο υλικό και ως εκ τούτου η διατήρηση του για πολύ µεγάλες χρονικές περιόδους είναι πρακτικά αδύνατη. Ακόµα και οι λίγοι πάπυροι που διεσώθησαν µέχρι σήµερα πρακτικά αποτελούν ένα θαύµα. Τα κυριότερα ευρήµατα που µας δίνουν πληροφορίες για τα µαθηµατικά στην αρχαία Αίγυπτο είναι: Ο Πάπυρος Rhind, µια συλλογή 84 προβληµάτων που αντιγράφτηκε περίπου το 1650 π.χ. από ένα πρωτότυπο του 1850 π.χ. 4 Πάπυρος της Μόσχας, γράφτηκε γύρω στο 1850 π.χ. Είναι µια συλλογή 25 προβληµάτων. Ο δερµάτινος κύλινδρος, που γράφτηκε γύρω στο 1650 π.χ. και περιέχει 26 αθροίσµατα µοναδιαίων κλασµάτων. Επίσης, υπάρχει ο πάπυρος Kahun και ο πάπυρος του Βερολίνου, που είναι του 1850 π.χ. περίπου και περιέχουν µαθηµατικές πράξεις και προβλήµατα. Στα παραπάνω ευρήµατα περιέχονται κυρίως, όπως φαίνεται, πίνακες µε προβλήµατα, µαθηµατικούς υπολογισµούς και λύσεις πάνω σε πρακτικά προβλήµατα αριθµητικής αλλά και γεωµετρίας. Υπάρχουν βέβαια γενικεύσεις και πρακτικές που επαναλαµβάνονται αλλά δεν µπορούν να θεωρηθούν ως θεωρητικές προσεγγίσεις της επιστήµης αφού απουσιάζουν θεωρήµατα και αποδείξεις. Παρόλα αυτά υπάρχουν και «εντυπωσιακές», για την εποχή πάντα, µεθοδολογίες όπως στο πρόβληµα 26 του πάπυρου Rhind όπου χρησιµοποιήθηκε µια µεθοδολογία που συναντάται και 3 [9] σελ 32 4 [9] σελ 46 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 3

4 µεταγενέστερα: η µέθοδος της αυθαίρετης παραδοχής ή µέθοδος της λανθασµένης θέσης. Η άλλη µεγάλη σχολή αυτής της περιόδου είναι η Βαβυλωνιακή. Τεχνοκράτες κυρίως οι Βαβυλώνιοι χρησιµοποίησαν τα Μαθηµατικά ως εργαλείο, για την δηµιουργία µηχανών και οχυρωµατικών έργων. 5 Γνωρίζουµε περισσότερα για αυτούς γιατί χρησιµοποίησαν πήλινες πλάκες για να γράψουν 6, υλικό µε πολύ µεγαλύτερη αντοχή από τον πάπυρο των Αιγυπτίων, όποτε κατάφεραν να διασωθούν πολύ περισσότερα από τα «γραπτά» τους. Οι Βαβυλώνιοι είχαν κάνει µεγάλες προόδους στην Αριθµητική, στη Γεωµετρία και στην Αστρονοµία. Κατά τις ανασκαφές, που έγιναν, ήλθαν στο φως πάµπολλες πήλινες πινακίδες, γραµµένες στη σφηνοειδή γραφή. Μεταξύ αυτών των πινακίδων υπάρχουν 400 περίπου µε µαθηµατικό περιεχόµενο. Μια από τις πιο ενδιαφέρουσες πινακίδες είναι γνωστή ως πινακίδα Plimpton 322 (συλλογή του G.A. Plimpton στο Πανεπιστήµιο Columbia στη Νέα Υόρκη) που περιέχει αριθµητικές σχέσεις µεταξύ των πλευρών ορθογωνίων τριγώνων αλλά και τα τετράγωνα του λόγου γ/α, δηλαδή τις τιµές της συντέµνουσας της γωνίας Α υψωµένης στο τετράγωνο. Τα αναγραφόµενα προβλήµατα, καθώς και οι λύσεις τους, έχουν καθαρά πρακτικό χαρακτήρα. Σε αυτούς πιστώνεται το εξηνταδικό σύστηµα αρίθµησης 7 που παραµένει ακόµα και σήµερα σε χρήση στη µέτρηση του χρόνου και των γωνιών. Η άλγεβρα αναπτύχθηκε σε σηµαντικό βαθµό καθώς µπορούσαν να λύνουν εξισώσεις 1 ου, 2 ου και 3 ου βαθµού, να λύνουν γραµµικά συστήµατα καθώς και να υπολογίζουν ρίζες. Στη Γεωµετρία γνώριζαν και χρησιµοποιούσαν το «Πυθαγόρειο θεώρηµα» και το «θεώρηµα του Θαλή» χωρίς να υπάρχει όµως πουθενά κάποια σαφής διατύπωση θεωρήµατος - όπως το αντιλαµβανόµαστε εµείς - ούτε κάποια απόδειξη. Στο ίδιο πάνω-κάτω µοτίβο κινήθηκαν και άλλοι πολιτισµοί που υπήρξαν παράλληλα µε τους αρχαίους Αιγύπτιους ή Βαβυλώνιους. Κρήτες, Κινέζοι, Φοίνικες, Μάγια Όλοι όµως είχαν ένα κοινό χαρακτηριστικό. εν κωδικοποίησαν την γνώση. εν έφτιαξαν ένα στέρεο θεωρητικό υπόβαθρο πάνω στο οποίο θα στηριχτούν και θα προχωρήσουν. Έλυσαν πολλά προβλήµατα που τους απασχολούσαν αλλά δεν έδωσαν τα εργαλεία που χρειάζονταν στην επιστήµη να προχωρήσει. ειλά βήµατα έγιναν σίγουρα. Έλειπε όµως µια συνολική Θεωρία που να ενώνει όλα τα κοµµάτια. Ο τρόπος ζωής τους, το έντονο θεοκρατικό καθεστώς και ο φόβος ότι µια νέα θεωρία ίσως δεν είναι αρεστή στην εξουσία µάλλον έκανε τους µαθηµατικούς των λαών αυτών να ακολουθήσουν την πεπατηµένη. Ίσως έτσι εξηγείται και το γεγονός ότι γνωρίζουµε αρκετά για τα µαθηµατικά της εποχής αλλά τίποτα για τους µαθηµατικούς που τα επινόησαν. Ελληνικά Μαθηµατικά Η άνοδος του Ελληνικού πολιτισµού που σταδιακά επικράτησε όλων των γειτονικών έδωσε στις επιστήµες µια εξαιρετική ώθηση. Για τα µαθηµατικά η πρόοδος από τους απλούς υπολογισµούς που τους κληροδότησαν οι προκάτοχοι (Αιγύπτιοι και Βαβυλώνιοι) έως την αξιωµατική θεµελίωση της επιστήµης ήταν ένα τεράστιο άλµα. εν είναι υπερβολή να πούµε ότι µετά τους αρχαίους Έλληνες τα 5 [8] σελ 30 6 [9] σελ 33 7 [8] σελ 67 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 4

5 µαθηµατικά είχαν την σηµερινή τους µορφή. Είχαν ξεφύγει δηλαδή από τη λογική του εργαλείου που λύνει, υπολογίζει και απλοποιεί προβλήµατα και είχαν πάει στην επιστήµη που προσπαθεί να παράγει αδιαµφισβήτητες αιώνιες αλήθειες. Αν προσπαθήσει κάποιος να καταλάβει την αιτία αυτής της άνθισης, τότε µάλλον οι συνθήκες είναι το κλειδί. Ένα περιβάλλον µεγάλης ελευθερίας, πρωτοφανές για την εποχή, όπου οι πολίτες - ειδικά της Αθήνας µπορούν, απαλλαγµένοι από το άγχος της επιβίωσης, να συζητούν. Θεσπίζουν κανόνες για την επιχειρηµατολογία, µεθόδους διαλεκτικής. Αν φανταστεί κάποιος µια εικόνα όπου µέσα στην αρχαία αγορά οι «περιπατητές» αγωνίζονται µε λογικά επιχειρήµατα επί ώρες να πείσουν ο ένας τον άλλον για την «αλήθεια» χρησιµοποιώντας «αναλυτικές», «συνθετικές» και «επαγωγικές» µεθόδους και στηριζόµενοι µόνο σε κοινώς αποδεκτές αλήθειες, τότε η πρόοδος που συντελέστηκε δεν αποτελεί έκπληξη. Μάλλον λογική συνέπεια είναι. Βέβαια τα προβλήµατα υπήρχαν και σε πολλές περιοχές αλλά και για µεγάλα χρονικά διαστήµατα. Αλλά παρόλα αυτά οι συνθήκες που επικράτησαν σε σχέση µε τις προηγούµενες αλλά και µε τις επόµενες «Μεσαιωνικές», µπορούν να χαρακτηριστούν ιδανικές. 8 Το ελατήριο πού έδωσε την ώθηση για να πραγµατοποιηθεί εκείνη την εποχή η Ελληνική Πνευµατική Επανάσταση ήταν η Γεωµετρία. Και οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι είχαν µεταχειριστεί µία χονδροκοµµένη, πρόχειρη γεωµετρία για να µετρούν τα χωράφια και τα κτίσµατα τους, αλλά µόνο γι αυτές τις πρακτικές εφαρµογές των υπολογισµών, για να βρίσκουν π.χ. πόσα τούβλα, ή πόσοι γρανιτόλιθοι χρειάζονταν στο χτίσιµο του δυτικού τοίχου του νέου ανακτόρου. Οι Έλληνες είχαν µια πολύ πιο θεωρητική, πιο «αφηρηµένη» αντίληψη. Πίστευαν ότι ένα ορισµένο είδος σχήµατος έχει αναλλοίωτες, εσωτερικές ιδιότητες, ανεξάρτητες από το µέγεθος του. Έτσι, ένα ορθογώνιο και ισοσκελές µπορεί να εκταθεί ή να µικρύνει αλλά θα παραµείνει και στις δύο περιπτώσεις ένα ορθογώνιο τρίγωνο 45 Ο πρώτος Έλληνας πού συνέλαβε αυτήν τη θεµελιώδη δυνατότητα της αφαιρέσεως στη γεωµετρία και συνέβαλε έτσι στη διαµόρφωση του ελληνικού οράµατος, κατά το όποιο οι γνώσεις θα αυξάνουν σαν στέρεες, ανεστραµµένες πυραµίδες αποδείξεων, στηριγµένες σε λίγα βασικά αξιώµατα ήταν πιθανότατα ο Θαλής ο Μιλήσιος (600 π.χ.). Τα πέντε θεωρήµατα πού αποδίδονται σ αυτόν έχουν µιαν εντυπωσιακή απλότητα που αποκαλύπτει την ενσυνείδητη προσπάθεια του Θαλή να θεµελιώσει τη Γεωµετρία σε βασικούς, αµετακίνητους όρους. Η φιλοδοξία του Θαλή θα παρέµενε ίσως ανεκπλήρωτη αν δεν υπήρχε ένας άλλος Έλληνας, ο όποιος συνεργάσθηκε όπως πιστεύεται µαζί του. Αυτός ήταν ο Πυθαγόρας, ένας άνδρας µε δυνατή, µαγνητική προσωπικότητα. Κατά την παράδοση, ο Πυθαγόρας ακολούθησε τη συµβουλή του Θαλή και ταξίδεψε χρόνια ολόκληρα για να ευρύνει το πεδίο των µαθηµατικών γνώσεων του. Αφού έµαθε ότι είχε να µάθει, ο Πυθαγόρας ίδρυσε, γύρω στα 540 π.χ., µια σχολή, 9 θρησκευτική- µαθηµατική, στον Κρότωνα, µιαν ανθούσα ελληνική αποικία στο νότιο άκρο της Ιταλικής Χερσονήσου. Έκτος από τα µαθηµατικά δίδασκε στους µαθητές οπαδούς του τη λατρεία των αριθµών, τη µετενσάρκωση και τη µετεµψύχωση από άνθρωπο σε άνθρωπο και από άνθρωπο σε ζώο τους όριζε να µην τρώνε κουκιά, να µένουν πάντα ανώνυµοι και να υπογράφουν µε το όνοµα της Πυθαγόρειας Αδελφότητας κάθε γραπτό και κάθε ανακάλυψη τους. Από τη διδασκαλία του Πυθαγόρα το ευρύτερα γνωστό θεώρηµα είναι ασφαλώς το οµώνυµο. Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν το θεώρηµα αυτό χρόνια νωρίτερα, τη δόξα όµως την πήρε η Πυθαγόρεια Σχολή που πρώτη 8 [8] σελ Πυθαγόρεια σχολή [8] σελ 95 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 5

6 το απέδειξε. Ακόµη και σήµερα παραµένει ανυπολόγιστη η αξία του για την επιστήµη. Και µετά ήρθε η «ρίζα». Η συντριπτική αυτή ανακάλυψη συγκλόνισε ολόκληρη την πορεία της ελληνικής µαθηµατικής σκέψεως. ιέλυσε πραγµατικά κάθε ελπίδα ότι η µέτρηση µπορούσε να χρησιµεύσει σα γέφυρα ανάµεσα στη Γεωµετρία και την Αριθµητική των ακεραίων αριθµών. Οι Έλληνες άρχισαν ν αυτοπεριορίζονται στη γεωµετρία των σχηµάτων πού δεν την απασχολούσαν οι µετρήσεις άλλα µόνο τα σχήµατα. Έτσι µπορούσαν, αν όχι να µετρήσουν, πάντως να σχεδιάσουν µερικούς ασύµµετρους αριθµούς, όπως τη 2, σα µια ορισµένη υποτείνουσα σ ένα ορισµένο ορθογώνιο τρίγωνο. 10 Οι ασύµµετροι αριθµοί όµως, καθώς και η έννοια του απείρου, δεν ήταν δυνατόν να εξοστρακισθούν 11 και από τη στοιχειωδέστερη έστω γεωµετρία των σχηµάτων. Αναπήδησαν πάλι, µετά από τα τρίγωνα, στο πρόβληµα του κύκλου. Ο λόγος µεταξύ της περιφερείας ενός κύκλου και της διαµέτρου του είναι πράγµατι ένας ασύµµετρος αριθµός - 3, τον όποιο αποκαλούµε και γράφουµε π (πιθανότατα από το πρώτο γράµµα της ελληνικής λέξεως περιφέρεια). Οι Έλληνες δεν είχαν αναγνωρίσει την πλήρη έκταση της ασυµµετρίας του π κι έτσι έχασαν πολύ χρόνο και κατέβαλαν µεγάλες προσπάθειες για να λύσουν το τεράστιο πρόβληµα που ήταν άλυτο εξ αιτίας αυτής ακριβώς της ασυµµετρίας δηλαδή να κατασκευάσουν ένα τετράγωνο, το εµβαδόν του οποίου να ισούται µε το εµβαδόν ενός δεδοµένου κύκλου, µε άλλα λόγια να πετύχουν τον «τετραγωνισµό του κύκλου». Μια σχολή πού ιδρύθηκε στην Ελέα, πόλη γειτονική στον Κρότωνα, ήταν οι «Ελεάτες». Οι Ελεάτες εξ αρχής φάνηκαν ν αντιµάχονται τους Πυθαγορείους. Αυτό που τώρα, αναδροµικά, µας φαίνεται σαν µια ήρεµη και ανεµπόδιστη πορεία προς τη διαρκώς αυξανόµενη γνώση, στην πραγµατικότητα ήταν ένας πνευµατικός πόλεµος µε όλο το πάθος και την οξύτητα των αντεγκλήσεων. Τα όπλα στις µάχες αυτές ήταν τα περίπλοκα επιχειρήµατα το έπαθλο, ο θρίαµβος της αποδείξεως. Οι Ελεάτες είχαν βαθύτατα επιστηµονικά ενδιαφέροντα, όχι µόνο για τα τρίγωνα και τους κύκλους, αλλά και για το σύµπαν. Ο κυριότερος εκπρόσωπος τους ήταν ο Ζήνων, διδάσκαλος του περίπλοκου διανοήµατος του παραδόξου, δηλαδή της προτάσεως εκείνης που, αν και - λογικά - είναι γερά θεµελιωµένη, αντιφάσκει µε την κοινή αντίληψη. Την ίδια περίπου εποχή που ο Εύδοξος αντιµαχόταν στο σηµείο αυτό τους Ελεάτες και το άπειρο, ο αρχαίος ελληνικός κόσµος γνώριζε το Μέγα Αλέξανδρο. Από τις κατακτήσεις του µεγάλου κατακτητή ιδρύθηκε η νέα πολιτιστική πρωτεύουσα του κόσµου: η Αλεξάνδρεια. Εκεί, γύρω στα 300 π.χ., ο περιφηµότερος απ όλους τους διδασκάλους της γεωµετρίας, ο Ευκλείδης, βάλθηκε να συγκεντρώσει όλα τα θεωρήµατα των προγενεστέρων του και να τα συµπεριλάβει σε µια µοναδική, αυτοτελή ενότητα. 12 Ο Ευκλείδης δεν ήταν ακριβώς ένας µεγάλος καινοτόµος ήταν όµως ένας υπέροχος οργανωτής που συστηµατοποίησε τα συµπεράσµατα στα οποία έφθασαν ο Θαλής, ο Εύδοξος και άλλες φωτεινές διάνοιες της χρυσής εποχής της ελληνικής γεωµετρίας - άνδρες πού επέζησαν ως τις µέρες µας περισσότερο σαν ονόµατα και ολιγότερο µε το έργο τους, όπως ο ηµόκριτος, ο Ιπποκράτης της Χίου, ο Αρχύτας. Ο Ευκλείδης είχε τη θαυµαστή ικανότητα ν ανασυντάξει τις αποδείξεις των θεωρηµάτων σε σύντοµους αυστηρούς όρους. Έτσι απλοποιηµένες οι αποδείξεις περιελήφθησαν στο αριστούργηµα του, τα Στοιχεία, ένα από τα ανεπανάληπτα εκείνα έργα που, όπως η 10 [8] σελ [8] σελ [8] σελ 117 «Στοιχεία» Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 6

7 Βίβλος, έχουν αφοµοιώσει σ ένα εµπνευσµένο σύνολο τις καλύτερες προσπάθειες ολοκλήρων γενεών δηµιουργικής σκέψεως. Είναι ένα κείµενο µε τόση σαφήνεια και κοµψότητα ύφους ώστε πολλοί εκπαιδευτικοί το θεωρούν σαν την συνεκτικότερη συλλογή αυστηρά λογικών διανοηµάτων που πραγµατοποίησε ποτέ ο άνθρωπος. Στην αρχαιότητα, κυκλοφορούσε ευρύτατα µε τη µορφή χειρογράφου. Αφότου ανεκαλύφθη η τυπογραφία δηµοσιεύθηκε σε χιλιάδες εκδόσεις. Μέχρι προ 100 ετών, ήταν στις περισσότερες χώρες του κόσµου το κλασικό σύγγραµµα για τη διδασκαλία της γεωµετρίας και παραµένει, ακόµη και σήµερα, ξαναγραµµένο µε ποικίλους τρόπους. Τα Στοιχεία περιλαµβάνουν 13 βιβλία ή κεφάλαια, που περιγράφουν και αποδεικνύουν ένα µεγάλο µέρος απ όσα γνωρίζει, ακόµη και τώρα, το ανθρώπινο γένος για τις γραµµές, τα σηµεία, τους κύκλους και τα στοιχειώδη σχήµατα των στερεών σωµάτων. Όλες αυτές τις πληροφορίες τις άντλησε ο Ευκλείδης, µε την πιο κοφτερή λογική, από δέκα ακριβώς απλές προτάσεις, πέντε αξιώµατα και πέντε θεωρήµατα. Οι παρατηρήσεις του για τους πρώτους αριθµούς, τους αριθµούς πού δεν µπορούν να διαιρεθούν ακριβώς παρά µόνο µε τον εαυτό τους ή µε το 1, είναι σήµερα κλασσικές για τη «θεωρία των αριθµών». Μετά τον Ευκλείδη, οι µαθηµατικοί δεν µπορούσαν παρά να προχωρήσουν πέρα από την περιοχή πού συνήθως τη σκεφτόµαστε σαν ελληνική γεωµετρία, προς τα ανώτερα µαθηµατικά. Εµπνευσµένοι από τα Στοιχεία οι δύο περισσότερο προικισµένοι µαθηµατικοί του εποµένου αιώνα πραγµατοποίησαν τόσες ανακαλύψεις και διετύπωσαν τόσους πολύτιµους τύπους όσους είχαν δηµιουργήσει όλοι µαζί οι Έλληνες πριν από τον Ευκλείδη. Ο ένας από αυτούς ήταν ο Απολλώνιος, του οποίου οι ανακαλύψεις γύρω από τις λεγόµενες «κωνικές τοµές» συνέβαλαν αποφασιστικά στην Αστρονοµία, στη Βλητική και, σε τελική προέκταση, στη σύγχρονη µελέτη των πυραυλικών τροχιών. Ο άλλος υπήρξε ο Αρχιµήδης, του οποίου η µαθηµατική ιδιοφυΐα συναγωνιζόταν το ταλέντο του ως µηχανικού, µε το όποιο καθιερώθηκε σαν ο πατέρας της Πρακτικής Μηχανικής. Στους επόµενους αιώνες, όταν η ρωµαϊκή αυτοκρατορία κλονιζόταν οργανικά και πνευµατικά, µερικοί Έλληνες προσπάθησαν να επαναφέρουν στη ζωή το Αρχιµήδειο πνεύµα της δηµιουργικής εκείνης. Από τους φορείς του πνεύµατος αυτού υπήρξε µια γυναίκα, η Υπατία, πού δίδαξε στην Αλεξάνδρεια περί το 400 µ.χ. Ήταν µία θαυµάσια µαθηµατικός και το κάλλος της συναγωνιζόταν την ικανότητα της στην επιστήµη. Οι µαθητές παρακολουθούσαν κατά εκατοντάδες τις παραδόσεις της. υστυχώς γι αυτήν, παρέµεινε πιστή στις ελληνικές ειδωλολατρικές παραδόσεις, κι έτσι σκοτώθηκε άγρια από έναν όχλο αιρετικών χριστιανών. Με την άνοδο της Ρωµαϊκής Αυτοκρατορίας, κλείνει ο κύκλος της Αρχαίας Ελληνικής περιόδου. Οι Ρωµαίοι ασχολήθηκαν µόνο µε πρακτικά µαθηµατικά που αφορούσαν κατασκευές και εµπόριο. Τα µαθηµατικά στο Μεσαίωνα και την Αναγέννηση Με την πτώση της υτικής Ρωµαϊκής Αυτοκρατορίας, το σκοτάδι απλώνεται στη υτική Ευρώπη. Όχι µόνο δεν µπορούµε να µιλάµε για ανάπτυξη των θετικών επιστηµών αλλά έχουν πια χαθεί και στοιχειώδεις γνώσεις. Οι λιγοστοί ερευνητές πέφτουν συνήθως θύµατα του άγριου κυνηγητού ηγετών της Εκκλησίας, που γεµάτοι αντιεπιστηµονική προκατάληψη εναντιώνονται σε οτιδήποτε δεν αναφέρεται στα Ιερά Κείµενα. Αλλά και στο Βυζάντιο δεν µπορούµε να µιλήσουµε για ανάπτυξη των θετικών επιστηµών. Οι µελετητές του Βυζαντίου ακολουθούν σχεδόν αποκλειστικά θεολογικές-θεωρητικές κατευθύνσεις. Αµυδρές αντανακλάσεις των θετικών Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 7

8 επιστηµών παρουσιάζονται µε κάποια µικρής σχετικά σηµασίας τεχνολογικά επιτεύγµατα (π.χ. το υγρό πυρ των βυζαντινών). Οι Ινδοί που συνέχισαν τη Βαβυλωνιακή παράδοση δηµιουργούν µια δική τους σχολή. Παρόλο που στην δική τους παρουσίαση λείπει η έννοια του θεωρήµατος και της απόδειξης, κατάφεραν σηµαντικά επιτεύγµατα στην Άλγεβρα και στην Τριγωνοµετρία. Υπολόγισαν προσεγγιστικά το π (Aryabhata), εισήγαγαν το µηδέν (Brahmagupta), και τους αρνητικούς (Bhaskara). Το µεγαλύτερο όµως βήµα των Ινδών ήταν το δεκαδικό σύστηµα θέσης που παραµένει µέχρι σήµερα. 13 Οι Άραβες, που κατάφεραν να κυριαρχήσουν από τον 7 ο µ.χ. αιώνα σε µια ολόκληρη περιοχή ανατολικά της Ελλάδας, έγιναν δέκτες των γνώσεων Βαβυλωνίων, Ελλήνων και Ινδών. Η επιστήµη µπορεί να µην προόδευσε πολύ εξαιτίας τους αλλά ήταν κατά κάποιο τρόπο οι βιβλιοθηκάριοι της ιστορίας αφού κατάφεραν να διασώσουν πάρα πολλά από τα συγγράµµατα της αρχαιότητας, τα πρωτότυπα των οποίων έχουν χαθεί. Ο Al-Khowarizmi στη Θεωρία Αριθµών, ο Omar Khayam στις πολυωνυµικές εξισώσεις 3 ου βαθµού και o Nasir al Din al Tusi στη Γεωµετρία ήταν οι κυριότεροι Άραβες µαθηµατικοί της εποχής. Ο 12 ος αιώνας για τα µαθηµατικά, ήταν ένας αιώνας που δεν έχει να αναδείξει σπουδαία επιτεύγµατα κυρίως µεταφράσεις αρχαιοελληνικών συγγραµµάτων. Στο ίδιο µοτίβο και ο 13 ος αιώνας όπου βέβαια ιδρύθηκαν πολλά Ευρωπαϊκά πανεπιστήµια και ουσιαστικά δηµιουργήθηκε η πανεπιστηµιακή κοινότητα. Ο Fibonacci ήταν η µορφή που ξεχώρισε εκείνη την εποχή. Ο 14 ος αιώνας µπορεί να χαρακτηριστεί ως «ο αιώνας της Πανώλης». Περίπου ένας στους τρεις Ευρωπαίους πέθανε εξαιτίας της, οπότε πολλά περιθώρια για Μαθηµατική αναζήτηση και πρόοδο δεν υπήρχαν. Ο 15 ος αιώνας είναι ο αιώνας που ξεκίνησε η Αναγέννηση. Η Βυζαντινή αυτοκρατορία έπεσε και οι Βυζαντινοί φεύγοντας παίρνουν µαζί τους την Αρχαία Ελληνική κληρονοµιά. Σχεδόν ταυτόχρονα, η τυπογραφία ανακαλύπτεται και µαζί της ο κόσµος ανακαλύπτει πληθώρα συγγραµµάτων που µέχρι τότε ήταν προσβάσιµα µόνο σε λίγους. Αυτό και µόνο το γεγονός αρκεί για να δώσει ώθηση σε όλες της επιστήµες και στην Τέχνη. Σπουδαίοι Μαθηµατικοί εµφανίζονται στο προσκήνιο. Cardano, Pacioti, Tartaglia, Ferrari και Viette λύνουν εξισώσεις 3 ου και 4 ου βαθµού ακόµα και µε χρήση τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. Μια νέα άνοιξη έχει έρθει. Τα Μαθηµατικά της σύγχρονης εποχής Το 17 ο αιώνα συντελείται στην Ευρώπη µια σηµαντική άνθηση των επιστηµών. Εµφανίζονται νέοι τρόποι µελέτης των στοιχειωδών Μαθηµατικών και καινούργιες µέθοδοι και εργαλεία υπολογισµού. Ο Napier εισάγει τους λογάριθµους, ο Descartes ενοποιεί την Άλγεβρα µε τη Γεωµετρία στην Αναλυτική του Γεωµετρία, ο Fermat έµεινε στην ιστορία για τη θεµελίωση της Θεωρίας Αριθµών και µαζί µε τον Pascal της Θεωρίας των Πιθανοτήτων. Το µεγαλύτερο όµως επίτευγµα του αιώνα αποτελεί η ταυτόχρονη ανακάλυψη του Απειροστικού Λογισµού από Newton και Leibniz. Ο κλάδος αυτός, που χρησιµοποιεί έννοιες απειροστών στους υπολογισµούς, θα δώσει νέα ώθηση στη Φυσική, που µε τη σειρά της θα «απαιτήσει» νέα Μαθηµατικά. 13 [8] σελ 83 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 8

9 Ο αιώνας αυτός αποτελεί την «ηρωική εποχή των Μαθηµατικών». Οι µαθηµατικοί κατάφεραν µεγαλειώδεις ανακαλύψεις. Ο µεγαλύτερος µαθηµατικός της περιόδου αυτής και παραγωγικότερος όλων των εποχών είναι ο Euler που συµβάλλει στην Τριγωνοµετρία και τη Θεωρία Αριθµών, ενώ ανακαλύπτει το Λογισµό των Μεταβολών και τη ιαφορική Γεωµετρία. Άλλοι µεγάλοι µαθηµατικοί του αιώνα είναι ο D Alembert που προχώρησε το Λογισµό και τις διαφορικές εξισώσεις, ο Lagrange που τελειοποίησε την Ανάλυση, ανοίγοντας το δρόµο για µια σύγχρονη Θεωρία Συναρτήσεων, ο Monge που µελέτησε την Αναλυτική και ιαφορική Γεωµετρία των καµπυλών στο χώρο, ίδρυσε την Παραστατική Γεωµετρία και εγκαινίασε την Ecole Polytechnique και ο Laplace που προσέφερε στη Θεωρία των Πιθανοτήτων και χρησιµοποίησε τα Μαθηµατικά για να προωθήσει την Αστρονοµία και την Ουράνια Μηχανική. Τον 18 ο αι. έχουµε τεράστια παραγωγή Μαθηµατικών, χωρίς όµως να υπάρχει παράλληλα και βαθύτερη κατανόηση των εννοιών που πραγµατεύονταν. Οι αποδείξεις βασίζονταν στη διαίσθηση και τη µεταφυσική που είχαν αντικαταστήσει σχεδόν πλήρως τη λογική, µε συνέπεια την εµφάνιση αρκετών αντιφάσεων και παραδόξων. Η µεγάλη διεύρυνση του µαθηµατικού οικοδοµήµατος και η εµφάνιση παραδοξοτήτων θα οδηγήσει σε µια ποιοτική αλλαγή τον επόµενο αιώνα. Με το τέλος του 18 ου αιώνα, έχει ήδη στηθεί το σκηνικό για την επανάσταση που θα συντελεστεί στα µαθηµατικά τον 19 ο αιώνα, γνωστό και ως «χρυσό αιώνα των Μαθηµατικών». Η βιοµηχανική άνθηση και η ανάγκη ισχυρών θεµελίων του µαθηµατικού οικοδοµήµατος θα βοηθήσουν στο να συντελεστούν καθοριστικές αλλαγές, που θα απελευθερώσουν την Άλγεβρα και τη Γεωµετρία. Η ανακάλυψη της µη-ευκλείδειας Γεωµετρίας από Lobachevsky, Bolyai και Gauss αποτελεί ίσως το πιο αξιοσηµείωτο γεγονός του αιώνα. Ο Cauchy και ο Weierstrass θεµελιώνουν την Ανάλυση και θέτουν τις βάσεις για την αριθµητικοποίηση της. Ο Galois και ο Abel θα ανακαλύψουν τη Θεωρία Οµάδων, ο Hamilton τη µη-αντιµεταθετική Άλγεβρα την οποία ο Cayley θα επεκτείνει στους πίνακες και ο Boole θα ανοίξει το δρόµο στη µαθηµατικοποίηση της Λογικής. Ο Riemann θα ανακαλύψει τη δική του µη- Ευκλείδεια, Ελλειπτική Γεωµετρία και θα συµβάλλει καθοριστικά στη Θεωρία Ολοκλήρωσης, ενώ οι Poincaré, Beltrami και Klein θα αποδείξουν και θα θεµελιώσουν τις νεόκοπες µη-ευκλείδειες γεωµετρίες. Ο Gauss, ένας από τους µεγαλύτερους µαθηµατικούς όλων των εποχών, θα δώσει ώθηση στην Άλγεβρα, τη ιαφορική Γεωµετρία, την Ανάλυση και τη Θεωρία Αριθµών. Προς το τέλος του αιώνα, ο Cantor θα µας προσφέρει την αξιοθαύµαστη Θεωρία Συνόλων και θα «αγγίξει» το άπειρο µε τους υπερπεπερασµένους αριθµούς, ενώ οι Dedekind και Peano, συνεχίζοντας το έργο του Weierstrass, θα θέσουν τα θεµέλια των φυσικών και των πραγµατικών αριθµών. Πλέον η «αυστηροποίηση» των Μαθηµατικών είχε ξεκινήσει και τα «εργαλεία» για την περαιτέρω µελέτη των θεµελίων τους τα επόµενα χρόνια, είχαν ανακαλυφθεί. Ο 20 ος αιώνας ξεκίνησε µε τον Hilbert να θέτει 23 άλυτα προβλήµατα ως βάση για περαιτέρω ανάπτυξη των Μαθηµατικών. Ο ίδιος και οι συνεχιστές του, προσπάθησαν να τυποποιήσουν και να θεµελιώσουν αυστηρά όλο το µαθηµατικό οικοδόµηµα µέσω της «τυπικής αξιωµατικής µεθόδου», εγκαινιάζοντας τη φιλοσοφική σχολή του Φορµαλισµού. Την ίδια περίοδο ο Poincaré θεµελιώνει τη Γενική Τοπολογία και θέτει τις βάσεις για τη µετέπειτα φιλοσοφική σχολή του Ιντουισιονισµού. Ο Russell προσπαθεί να στηρίξει τα Μαθηµατικά στη Λογική (σχολή του Λογικισµού) και µε το παράδοξό του (σε ελεύθερη γραφή: ένας Κρητικός που ισχυρίζεται ότι όλοι οι Κρητικοί λένε ψέµατα τελικά λέει αλήθεια η ψέµατα;) κλονίζει τη Θεωρία Συνόλων. Θα είναι όµως ο Gödel, αυτός που θα δηµιουργήσει Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 9

10 µια κρίση ανάλογη και µεγαλύτερη από αυτήν των ασύµµετρων στην αρχαία Ελλάδα, µε την απόδειξη της µη-πληρότητας των αξιωµατικών συστηµάτων. Στο εξής, τα Μαθηµατικά και η φιλοσοφία τους δε θα είναι ποτέ ξανά τα ίδια. Τα παράδοξα και η µη-πληρότητα θα αποτελέσουν την αφορµή για νέες µαθηµατικές θεωρίες, όπως η Θεωρία Τόπων, η Θεωρία Κατηγοριών, η Θεωρία Απόδειξης και η Θεωρία Μοντέλων. Ο Turing και ο Von Neumann έθεσαν τις βάσεις για την κατασκευή των ηλεκτρονικών υπολογιστών που αποτέλεσαν τη µεγάλη επιστηµονική επανάσταση του 20 ου αιώνα. Με την άνθηση της πληροφορικής, έχουµε µια στροφή από τα «συνεχή» στα «διακριτά» Μαθηµατικά (Θεωρία Γραφηµάτων, Συνδυαστική Θεωρία...) και παράλληλα την ανάπτυξη της Θεωρίας της Πολυπλοκότητας και των fractals (µορφοκλασµατικά σύνολα). Το τέλος του 20 ου και η αυγή του 21 ου αιώνα βρίσκει τη µαθηµατική επιστήµη να προσανατολίζεται προς τις αντίστοιχες ανθρωπιστικές και κοινωνικές (ψυχολογία, κοινωνιολογία, κ.α.) και οι νέοι κλάδοι των ολιστικών, µη-καντοριανών Μαθηµατικών, που εγκαινιάζονται για το σκοπό αυτό, χαράζουν την µελλοντική της πορεία. Η φύση των Μαθηµατικών Το κεντρικό ερώτηµα που σχετίζεται µε τα µαθηµατικά αντικείµενα είναι: «τελικά ο άνθρωπος ανακαλύπτει τα µαθηµατικά αντικείµενα που προϋπάρχουν ή τα κατασκευάζει ό ίδιος;» Έχει δηλαδή η φύση νόµους σταθερούς, αξίες αναλλοίωτες που ο άνθρωπος παρατηρεί και καταγράφει, διαχρονικά αµετάβλητες σταθερές που υπάρχουν και εµείς απλά µένει να τις ανακαλύψουµε και να τις αναλύσουµε; Ή µήπως όλα είναι ανθρώπινες εφευρέσεις; Κατασκευές που υπάρχουν στο µυαλό αυτού που τις δηµιουργεί και που απλά είναι εργαλεία που ο επόµενος θα αποδεχθεί, θα επεξεργασθεί και θα οδηγηθεί στην επόµενη έννοια συνεχίζοντας την αλυσίδα των ανακαλύψεων ; Ερωτήµατα στα οποία πολλοί απάντησαν µε τον έναν ή τον άλλο τρόπο, αποδεχόµενοι την µία ή την άλλη άποψη. Αλλά υπάρχει απάντηση; Εννοώ, σωστή απάντηση. Η επιστήµη προοδεύει χάρη στην ανθρώπινη προσπάθεια. Οι Μαθηµατικοί τραβάνε το κουπί που σπρώχνει την επιστήµη τους να προοδεύει. Η απάντηση λοιπόν είναι στο µυαλό του καθενός. Εδώ νοµίζω ταιριάζει η άποψη ότι «ο τυπικός µάχιµος µαθηµατικός είναι Πλατωνιστής τις καθηµερινές και Φορµαλιστής τα σαββατοκύριακα. Αυτό σηµαίνει πως, όταν ασχολείται µε τα µαθηµατικά, είναι πεπεισµένος πως καταπιάνεται µε µια αντικειµενική πραγµατικότητα της οποίας προσπαθεί να καθορίσει τις ιδιότητες. Αλλά, όταν προκαλείται να δώσει µια φιλοσοφική ερµηνεία γι αυτήν την πραγµατικότητα, το βρίσκει πιο εύκολο να προσποιηθεί ότι τελικά δεν πιστεύει σε αυτήν.» 14 Οι Πυθαγόρειοι τοποθέτησαν τους αριθµούς πάνω από την ανθρώπινη παρέµβαση. Ο Πλάτωνας, επηρεασµένος από αυτούς, θεώρησε τα µαθηµατικά αντικείµενα αιώνια και αναλλοίωτα. 15 Υποστήριξε ότι τα αντικείµενα της γνώσης, τα αντικείµενα που θα µπορούσαν να οριστούν, υπήρχαν αλλά δεν έπρεπε να ταυτιστούν µε τίποτε στον αισθητό κόσµο. Υπήρχαν σε έναν ιδανικό κόσµο, πέραν χώρου και χρόνου. Είναι οι περίφηµες πλατωνικές «Ιδέες». 14 [10] σελ [9] σελ 138 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 10

11 Στον αντίποδα, οι ιδεαλιστές, 16 οι εµπειριστές, 17 οι νοµιναλιστές, 18 οι ιντουισιονιστές 19 και οι υπέρµαχοι του Κονστρουκτιβισµού 20 και των Θεωριών του Ενσώµατου Νου. Οι Ιδεαλιστές θεωρούν ότι τα µαθηµατικά αντικείµενα υπάρχουν αλλά εξαρτώνται από τον ανθρώπινο νου, είτε του καθενός µαθηµατικού ξεχωριστά, είτε αποτελούν τµήµα της κοινής διανοητικής διάρθρωσης του ανθρώπινου είδους. Οι Εµπειριστές υποστηρίζουν ότι τα αντικείµενα αυτά προέρχονται από την «αφαίρεση» του υλικού υποστρώµατος των φυσικών αντικειµένων, που παρατηρούµε και γνωρίζουµε µέσω των αισθήσεών µας. Οι Νοµιναλιστές πρεσβεύουν ότι τα µαθηµατικά αντικείµενα είναι απλά γλωσσολογικές κατασκευές ή, στην ακραία τους εκδοχή, ότι τα αντικείµενα αυτά δεν υπάρχουν καθόλου. Τέλος οι Ιντουϊσιονιστές, οι Κονστρουκτιβιστές και οι υποστηρικτές της Θεωρίας του Ενσώµατου Νου, µίλησαν για µαθηµατικά αντικείµενα που είναι καθαρά νοητικές κατασκευές και δεν υπάρχουν υπό οποιαδήποτε πραγµατική έννοια, παρά µόνο µέσα στο ανθρώπινο µυαλό. Ο Ιντουϊσιονισµός υποστηρίζει ότι µόνο προβλέψεις µπορούµε να κάνουµε για τα µαθηµατικά αντικείµενα και όχι τελικές κρίσεις γι' αυτά, αφού αυτό που γνωρίζουµε πχ. για το σύνολο των φυσικών αριθµών είναι η διαδικασία κατασκευής του βήµα προς βήµα και όχι το σύνολο ως ολότητα. Είναι αυτό που ο Hilbert αποκαλεί "µερική κρίση". "Η πραγµατικότητα δεν είναι τίποτε άλλο από συλλογική διαίσθηση" (L. Tomlin). Στα πλαίσια της Ιντουϊσιονιστικής θεωρίας η οποία αρνείται οτιδήποτε δεν γίνεται αντιληπτό από τις αισθήσεις και την εµπειρία µας, πολλά από τα βασικότερα εργαλεία των µαθηµατικών που συνήθως χρησιµοποιούµε χάνουν την εγκυρότητα τους αφού πολλές αποδείξεις παύουν να ισχύουν. Για παράδειγµα, οι αποδείξεις που βασίζονται στην εις άτοπον απαγωγή δεν είναι πια έγκυρες. Η δίτιµη αριστοτέλεια λογική σύµφωνα µε την οποία κάτι είναι ψευδές ή λάθος και η οποία βασίζεται στον νόµο αποκλεισµού του τρίτου παύει να ισχύει αφού κανείς δεν µπορεί να µας διαβεβαιώσει ότι δεν υπάρχει και µια τρίτη πιθανή τιµή αληθείας. Έτσι, στα πλαίσια του Ιντουισιονισµού, έγκυρες θεωρούνται µόνο οι κατασκευαστικές αποδείξεις. Υπαρκτό για τους Ιντουισιονιστές σηµαίνει κατασκευαστικά υπαρκτό και πεπερασµένα ελέγξιµο. Οποιαδήποτε άλλη απόδειξη ύπαρξης δεν είναι αποδεκτή. Για τους Ιντουισιονιστές, δεν απαιτείται κάποιο θεώρηµα πληρότητας - τουλάχιστον στην µορφή του κλασικού θεωρήµατος του Gödel - για τη δικαίωση της Ιντουϊσιονιστικής πρακτικής. Η ίδια η ιντουϊσιονιστική πρακτική είναι ο φορέας αληθείας της µε τις πεπερασµένα ελέγξιµες αποδείξεις της που στηρίζονται στην διαισθητική έννοια των φυσικών αριθµών. (Ο Brower, όπως και ο Kant, πίστευε στην διαίσθηση του χρόνου από την οποία προκύπτει η διαίσθηση του φυσικού αριθµού). εν είναι εύκολο να πούµε ότι το τοπίο έχει ξεκαθαρίσει εντελώς µέχρι σήµερα. Οι πιο σύγχρονες απόψεις λένε ότι τα Μαθηµατικά αντικείµενα είναι κατασκευασµένα µοντέλα που υπάρχουν κυρίως σαν προϊόντα της ανθρώπινης εφευρετικότητας. Εξάλλου ακόµα και η πραγµατικότητα δεν είναι κάτι αµετάβλητο και διαχρονικό. Βέβαια, κάποιες µαθηµατικές ιδέες υπάρχουν στη φύση διαχρονικά. Αλλά και πάλι δεν είναι εύκολο να εµφανιστούν µοντέλα που διαχρονικά θα µπορούν να λύνουν το ίδιο πρόβληµα. "Στο βαθµό που οι προτάσεις των µαθηµατικών δίνουν µια περιγραφή της πραγµατικότητας δεν είναι βέβαιες και στο βαθµό που είναι βέβαιες, δεν περιγράφουν την πραγµατικότητα" (A. Einstein, 1921) 16 [2] σελ [2] σελ [2] σελ [2] σελ 8 20 [2] σελ 184 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 11

12 Αντικειµενικές ή όχι; Για αιώνες η γνώση θεωρείτο απόλυτη. Το σύνολο σχεδόν των επιστηµόνων ήταν υπέρ της άποψης αυτής. Η λογική ήταν το πρότυπο πάνω στο οποίο στηρίχτηκαν όλοι - όχι µόνο οι µαθηµατικοί - για να θεµελιώσουν προτάσεις και θεωρήµατα. Τα παράδοξα όµως που εµφανίστηκαν, από την αρχαιότητα κιόλας, θόλωναν τις αντιλήψεις αυτές. Η µη-πληρότητα του Gödel άλλαξε ριζικά τις απόψεις. Ο Πλάτωνας ήταν ο πρώτος που µίλησε περί απόλυτης και αιώνιας µαθηµατικής γνώσης, άποψη που υποστήριξαν και οι Descartes, Leibniz και Kant. Η ανακάλυψη των µη-ευκλείδειων Γεωµετριών το 19 ο αιώνα απέδειξε ότι η αλήθεια στα Μαθηµατικά µπορεί να έχει πολλές όψεις. Ουδείς, πάντως, αµφισβητούσε την αλήθεια των αποδεδειγµένων µαθηµατικών προτάσεων. Ειδικά οι υπέρµαχοι των τριών µεγάλων φιλοσοφικών σχολών του Λογικισµού, του Φορµαλισµού και του Ιντουισιονισµού 21, προσπάθησαν να δοµήσουν τα Μαθηµατικά έτσι ώστε να µην υπάρχουν αντιφάσεις και παράδοξα και κάθε αποδεδειγµένη αλήθεια να είναι πέρα και πάνω από κάθε αντιλογία. Οι Αντιρρεαλισµός, υποστηρίζει ότι ακόµα και να υπάρχουν αληθοτιµές στις µαθηµατικές προτάσεις, αυτές εξαρτώνται από το µαθηµατικό, είτε από την ατοµική του αντίληψη, είτε από την ανθρώπινη νοητική δραστηριότητα εν γένει 22. Ο Shapiro ξεκαθαρίζει ότι, στην Αντιρρεαλιστική θέση, δεν αποφασίζουµε αν µια πρόταση είναι αληθής ή ψευδής αλλά κατασκευάζουµε προτάσεις αληθείς ή ψευδείς, γιατί µε κάποιο τρόπο ο νους µας είναι δοµηµένος από τη µαθηµατική αλήθεια 23. Οι αντιρρεαλιστές πιστεύουν είτε σε µια µη δίτιµη (ίσως Ιντουϊσιονιστική) λογική, είτε ότι ο ανθρώπινος νους δεν µπορεί να προσδιορίσει την αλήθεια των µαθηµατικών προτάσεων. Κοντά στην τελευταία άποψη είναι και ο Κονστρουκτιβισµός και η Θεωρία της ιαψευσιµότητας των Popper και Lakatos. Γι αυτούς οι µαθηµατικές αλήθειες έχουν εµπειρική βάση, είναι επισφαλείς κι επιδέχονται αµφισβήτησης και ανασκευής. Η άποψη αυτή κέρδισε και κερδίζει όλο και περισσότερους υποστηρικτές τα τελευταία χρόνια, καθώς τα θεωρήµατα της µη-πληρότητας του Gödel και η αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg µας κατέστησαν σαφή τα όρια της ανθρώπινης γνώσης 24. Αν κάποιος επιχειρήσει να κάνει έναν συγκερασµό των παραπάνω απόψεων και να δώσει έναν ορισµό για τα Μαθηµατικά θα βρεθεί σε δύσκολη θέση. Οι Davis και Hersh, σε έναν εισαγωγικό ορισµό, χαρακτηρίζουν τα Μαθηµατικά ως την «επιστήµη της ποσότητας και του χώρου» 25. Με µια απλή αναζήτηση στο διαδίκτυο ορισµοί υπάρχουν πολλοί. Μεταφέρω χαρακτηριστικά τα εξής: «Τα Μαθηµατικά είναι η επιστήµη που µελετά την ποσότητα (δηλαδή τους αριθµούς), τη δοµή (δηλαδή τα σχήµατα), το διάστηµα, τη µεταβολή και τις σχέσεις όλων των µετρήσιµων αντικειµένων της πραγµατικότητας και της φαντασίας µας. Οι Μαθηµατικοί περιγράφουν τις σχέσεις µε τύπους ή και αλγόριθµους και ερευνούν την αλήθεια τους µε αποδεικτική διαδικασία λογικών βηµάτων που στηρίζονται σε αξιώµατα και θεωρήµατα. Οι µαθηµατικοί ερευνούν αυτές τις δοµές και προσπαθούν να σχηµατίζουν υποθέσεις και να εξακριβώνουν την αλήθεια τους µέσω 21 Οι λογικιστές προσπάθησαν να εγκαθιδρύσουν την απόλυτη βεβαιότητα στα Μαθηµατικά µέσω της λογικής, οι ιντουισιονιστές να αποδείξουν την αλήθεια µε κατασκευαστικές µεθόδους και οι φορµαλιστές να απαλλάξουν από την ασυνέπεια τα τυπικά θεωρήµατα που αντιπροσωπεύουν τη µαθηµατική αλήθεια. 22 Στην ακραία µορφή αντιρεαλισµού οι µαθηµατικές προτάσεις δεν έχουν αληθοτιµή. ( βλ. [2] σελ ) 23 [2] σελ Για τον ηµιεµπειρικισµό του Lakatos και την µη-απόλυτη µαθηµατική γνώση βλ. [11] σελ [9] σελ. 6 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 12

13 αυστηρών κανόνων συνεπαγωγής και έχοντας ως βάση ορισµένα αξιώµατα και ορισµούς. Οι δοµές που ερευνώνται συχνά έλκουν την προέλευσή τους από τις φυσικές επιστήµες, συνηθέστερα από τη φυσική, αλλά οι µαθηµατικοί επίσης ορίζουν και ερευνούν δοµές για λόγους καθαρά εσωτερικούς στα µαθηµατικά, επειδή οι δοµές αυτές µπορούν να παρέχουν, παραδείγµατος χάριν, µια ενοποιητική γενίκευση για διάφορα υποπεδία, ή ένα χρήσιµο εργαλείο για τον λογισµό. Τελικά, πολλοί µαθηµατικοί µελετούν τα µαθηµατικά για καθαρά αισθητικούς λόγους, αντιµετωπίζοντας τα ως µια µορφή τέχνης περισσότερο παρά ως µια πρακτική ή εφαρµοσµένη επιστήµη.» 26. Ενδιαφέρουσα άποψη είναι και η : «Φαίνεται ότι έχουµε τρεις επιλογές. Τα Μαθηµατικά είναι η Ανθρωπιστική Επιστήµη που υµνεί την αιώνια λογική, είναι η Φυσική Επιστήµη η οποία µελετά το φαινόµενο που λέγεται λογική, είναι η Τέχνη που πλάθει δοµές αιθερικής οµορφιάς από την πρωταρχική ύλη που ονοµάζεται λογική, είναι όλα αυτά κι άλλα. Αλλά πάνω από όλα, µπορώ να σας βεβαιώσω, ότι τα Μαθηµατικά είναι Ευχαρίστηση.» 27 Κατά την προσωπική µου άποψη τα Μαθηµατικά είναι η Τέχνη της ανακάλυψης. Συνήθως ανακαλύπτει λύσεις σε ήδη διατυπωµένα προβλήµατα. Προβλήµατα που ανακύπτουν στη ζωή του ανθρώπου και είναι πάσης φύσεως. Ενίοτε βέβαια, και αυτό είναι πιο ενδιαφέρον, οι µαθηµατικοί έχουν λύσεις και τους µένει να ανακαλύψουν το πρόβληµα που λύνουν οι λύσεις αυτές. Στην προσπάθεια αυτή τα εργαλεία είναι η ανθρώπινη λογική και η ήδη συσσωρευµένη γνώση και εµπειρία από τις προσπάθειες των προηγούµενων. Τα µαθηµατικά αντικείµενα υπάρχουν κι εµείς µένει να τα τοποθετήσουµε στη σωστή σειρά ώστε να φτάσουµε στο επιθυµητό αποτέλεσµα. Απόλυτη και αιώνια γνώση δεν υπάρχει. Επίλογος Στην εργασία αυτή έγινε µια προσπάθεια να παρουσιαστεί µια σύντοµη εξέλιξη της Μαθηµατικής Ιστορίας. Τα ιστορικά γεγονότα βέβαια είναι κατά κανόνα αδιαµφισβήτητα. Προσπάθεια έγινε και να συνδεθούν αυτά µε το ευρύτερο κοινωνικό αλλά και επιστηµονικό πλαίσιο της κάθε εποχής, ώστε να δούµε ποιες συνθήκες δηµιούργησαν κάθε φορά την απαίτηση για νέα γνώση. όθηκε µια πρώτη αναφορά στα κυριότερα φιλοσοφικά ρεύµατα που συνδέονται µε την επιστήµη και στο πως αυτά επηρέασαν ή επηρεάστηκαν από τις νέες θεωρίες. Πώς «Πλατωνικοί», «Φορµαλιστές», «Ιντουϊσιονιστές» και άλλοι πάτησαν πάνω στο επιστηµονικό Μαθηµατικό πλαίσιο της κάθε εποχής για να στηρίξουν της απόψεις τους. Ποιες ήταν οι µεγάλες «κρίσεις» που δηµιουργήθηκαν από τις νέες ανακαλύψεις ή επινοήσεις. Τέλος, οφείλω να πω ότι προσπάθησα να τις παρουσιάσω αντικειµενικά αν και σε κάποια σηµεία υπεισέρχεται, θέλοντας και µη, και η προσωπική µου άποψη απαντά ο καθηγητής W.T. Tutte του πανεπιστηµίου του Waterloo Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 13

14 Βιβλιογραφία [1] Eves Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover Publications (1997) [2] Shapiro Stewart, Σκέψεις για τα Μαθηµατικά. Εκδόσεις Πανεπιστηµίου Πατρών (2006) [3] Mankiewicz Richard, Η Ιστορία των Μαθηµατικών. Εκδόσεις Αλεξάνδρεια (2002) [4] ρόσος Κώστας, Εισαγωγή στη Μαθηµατική Σκέψη τόµος 1 ος. (2000) [5] Αναπολιτάνος ιονύσιος, Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηµατικών. Εκδόσεις Νεφέλη (2005) [6] Τουµάσης Μπάµπης, Σύγχρονη ιδακτική των Μαθηµατικών. Εκδόσεις Gutenberg (1999) [7] Clawson Calvin, Ο Ταξιδευτής των Μαθηµατικών. Εκδόσεις Κέδρος (2005) [8] Wilder Raymond, Εξέλιξη των Μαθηµατικών Εννοιών. Εκδόσεις Κουτσουµπός (1986) [9] Davis Philip Hersh Reuben, Η Μαθηµατική Εµπειρία. Τροχαλία (1998) [10] Bunt Lucas Jones Phillip Bedient Jack, Οι Ιστορικές Ρίζες των Στοιχειωδών Μαθηµατικών. Εκδόσεις Γ.Α. Πνευµατικού (1981) [11] Τουµάσης Μπάµπης, Σύγχρονη ιδακτική των Μαθηµατικών. Εκδόσεις Gutenberg (1999) [12] Ludwig Wittgenstein, Παρατηρήσεις για την θεµελίωση των µαθηµατικών. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης. (2006) Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 14

15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... σελ 2 Η Ιστορική εξέλιξη των Μαθηµατικών... σελ 3 Προελληνικά Μαθηµατικά σελ 3 Ελληνικά Μαθηµατικά... σελ 4 Τα µαθηµατικά στον Μεσαίωνα και την Αναγέννηση σελ 7 Τα Μαθηµατικά της σύγχρονης εποχής σελ 8 Η φύση των Μαθηµατικών... σελ 9 Αντικειµενικές ή όχι; σελ 12 Επίλογος σελ 13 Βιβλιογραφία σελ 14 Κουστένης Νίκος/ Σελίδα 15

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

αντικειµενικά, λογικά και ανεξάρτητα της ανθρώπινης παρουσίας και των ανθρώπινων ικανοτήτων

αντικειµενικά, λογικά και ανεξάρτητα της ανθρώπινης παρουσίας και των ανθρώπινων ικανοτήτων Ο χαρακτηρισµός των Μαθηµατικών ως αντικειµενικά, λογικά και ανεξάρτητα της ανθρώπινης παρουσίας και των ανθρώπινων ικανοτήτων έχει αποτελέσει αντικείµενο έντονων αντιπαραθέσεων µεταξύ των ερευνητών. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ H γενική τάση των κατοίκων της Αιγύπτου στις επιστήμες χαρακτηριζόταν από την προσπάθεια

Διαβάστε περισσότερα

Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα

Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα Βασίλειος Παπαντωνίου Ομ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών bipapant@math.upatras.gr Επίκεντρο της παρουσίασης Η εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ: 22378101- Φαξ:22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

10.05.12 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

10.05.12 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 10.05.12 Χ. Χαραλάμπους 1. Έχει κάθε πολυώνυμο ρίζα? 2. Πόσες ρίζες έχει ένα πολυώνυμο βαθμού n? 3. Μπορούμε να καθορίσουμε πότε οι ρίζες είναι ρητές, πραγματικές, θετικές, κλπ? 4.

Διαβάστε περισσότερα

Q = (2 3 5... P) + 1.

Q = (2 3 5... P) + 1. Η ΑΠΟΛΟΓΙΑ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ G.H. Hardy ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Η Η ΦΑΝΕΡΟ ότι, αν θέλουµε να έχουµε οποιαδήποτε πιθανότητα να προχωρήσει η συζήτηση, οφείλω να δώσω παραδείγµατα «πραγµατικών» µαθηµατικών θεωρηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ Απόστολος Δοξιάδης Περίληψη του βιβλίου Τι είναι τα Μαθηματικά; Ποια είναι η σχέση της «εικασίας» και του «θεωρήματος»; Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Christian

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS 246 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS Φουναριωτάκης Αθανάσιος Μαθηματικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους Μεσοποταμία Αίγυπτος 3000 1000 π.χ. Αίγυπτος: ο πάπυρος του Rhind ~1650 π.χ. Αγοράσθηκε από τον Σκωτσέζο Rhind το 1858 Αίγυπτος: ο πάπυρος της Μόσχας ~ 1600

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2012. 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2012. 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους Έργα Στοιχεία Δεδομένα Φαινόμενα ή Σφαιρικά Οπτικά Κατοπτρικά Στοιχεία Μουσικής Βιβλίο περί διαιρέσεων Πορίσματα Κωνικά Τόποι προς επιφάνειες Ψευδάρια Μηχανική

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Υποστηρίζεται η άποψη ότι η ελληνιστική περίοδος (3ος - 2ος αι. π.χ.) αποτελεί το «απόγειο» της αρχαίας ελληνικής επιστήµης. Επίσης, ορισµένοι ιστορικοί της επιστήµης εκτιµούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Το Πυθαγόρειο θεώρημα: μία διάσημη μαθηματική σχέση στον εργαστηριακό πάγκο της Φυσικής Παναγιώτης Μουρούζης Το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο συνήθως περιγράφεται φορμαλιστικά από μία σχέση της μορφής 2

Διαβάστε περισσότερα

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ 1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ Από τα αρχαιότατα χρόνια, έχουν καταβληθεί σηµαντικές προσπάθειες οι απειράριθµες ουσίες που υπάρχουν στη φύση να αναχθούν σε ενώσεις λίγων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Υπατία. Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών

Υπατία. Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών Υπατία Τετάρτη20 Νοεµβρίου 2013 Σχολικό έτος 2013-2014 Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών Τµήµα Β1 Βιογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

LUDWIK FLECK (1896-1961) (Λούντβικ Φλεκ) Ο Ludwik Fleck και η κατασκευή των επιστημονικών γεγονότων.

LUDWIK FLECK (1896-1961) (Λούντβικ Φλεκ) Ο Ludwik Fleck και η κατασκευή των επιστημονικών γεγονότων. 9 LUDWIK FLECK (1896-1961) (Λούντβικ Φλεκ) Ο Ludwik Fleck και η κατασκευή των επιστημονικών γεγονότων. «Βλέπουμε με τα μάτια μας, αλλά κατανοούμε με τα μάτια της συλλογικότητας». 6 Ένα από τα κυριότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ Η Κλασική Μηχανική σηµματοδοτεί την πρώτη µμεγάλη επανάσταση της ανθρώπινης σκέ- ψης στην πορεία της για την ερµμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Μάθημα: Άλγεβρα Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Σκοτίδας Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα Β2 Ονοματεπώνυμο: Λαμπρινή Μαρίνα Λάππα Σχολικό έτος: 2010 2011 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Ποιο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Η Ελλάδα στα Βαλκάνια και στον κόσµο χθες, σήµερα και αύριο

Η Ελλάδα στα Βαλκάνια και στον κόσµο χθες, σήµερα και αύριο Η Ελλάδα στα Βαλκάνια και στον κόσµο χθες, σήµερα και αύριο Χωρίς αµφιβολία οι αρχαίοι Έλληνες στοχαστές, ποιητές και φιλόσοφοι πρώτοι έχουν αναπτύξει τις αξίες πάνω στις οποίες θεµελιώνεται η Ευρωπαϊκή

Διαβάστε περισσότερα

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε.

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε. Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε. Ζαφειρόπουλος Χρήστος Μαθηματικός Γυμνασίου & Λυκείου Καράτουλα zafeiropouloschristos@yahoo.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το Πυθαγόρειο Θεώρημα ξεκινώντας την ιστορική

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΔΙΚΗ ΜΑΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ + ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. - http://pratt.edu/~arch543p/readings/mathematics_and_philosophy.html

ΓΙΑ ΔΙΚΗ ΜΑΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ + ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. - http://pratt.edu/~arch543p/readings/mathematics_and_philosophy.html ΓΙΑ ΔΙΚΗ ΜΑΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ + ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Α. ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Για Θαλή: - http://pratt.edu/~arch543p/readings/mathematics_and_philosophy.html - http://www.anselm.edu/homepage/dbanach/thales.htm -http://www-groups.dcs.stand.ac.uk/~history/birthplacemaps/places/miletus.html

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας 1. Μια διαδεδομένη αντίληψη περί επιστήμης Γνώση / Κατανόηση των φαινομένων του φυσικού κόσμου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά.

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. Γ. Οι μαθητές και τα Μαθηματικά. Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. ΠΙΝΑΚΑΣ 55 Στάση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Ένταξη των Τ.Π.Ε. στην διδασκαλία και τη µάθηση I) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Παύλος Γ. Σπυράκης (google: Paul Spirakis) Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ Το πρόβλημα που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος επιστήμονας Ανρί Πουανκαρέ αφορά την Τοπολογία, ένα κλάδο των Μαθηματικών που δεν ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών κεφάλαιο 1 Βασικές Έννοιες Επιστήμη 9 1Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης των Η/Υ Στόχοι Στόχος του κεφαλαίου είναι οι μαθητές: να γνωρίσουν βασικές έννοιες και τομείς της Επιστήμης. Λέξεις κλειδιά Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ

2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ 2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ Συμπλήρωση κενών ακόλουθες λέξεις (τρεις λέξεις περισσεύουν): βιβλιοθήκη, Βαλκανική, ανθρωπιστικός, πανεπιστήμιο, χειρόγραφο, Ιταλική, τυπογραφία, σπάνιος. Η Αναγέννηση και

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή Καθ. Κ. Κουρκουµπέτης Σηµείωση: Οι διαφάνειες βασίζονται σε µεγάλο βαθµό σε αυτές που συνοδεύονται µε το προτεινόµενο σύγγραµµα. 1

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ

Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Καθ. Κ. Κουρκουµπέτης Οι διαφάνειες βασίζονται σε µεγάλο βαθµό σε αυτές που συνοδεύονται µε το προτεινόµενο σύγγραµµα. 1 Εισαγωγή στην Επιστήµη των Η/Υ Εισαγωγή 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Ξεκινώντας θα ήθελα να θυµίσω κάποια στοιχεία που σχετίζονται µε τον ορισµό της συχνότητας σε ένα περιοδικό φαινόµενο, άρα και στην ΑΑΤ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό περιβάλλον. Ορισμοί της Τεχνολογίας. Σχέση Τεχνολογίας και Επιστήμης. Επιπτώσεις της Τεχνολογίας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ στην ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

Τεχνολογικό περιβάλλον. Ορισμοί της Τεχνολογίας. Σχέση Τεχνολογίας και Επιστήμης. Επιπτώσεις της Τεχνολογίας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ στην ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Ορισμοί της Τεχνολογίας Τεχνολογικό περιβάλλον ΕΙΣΑΓΩΓΗ στην ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Σχέση Τεχνολογίας και Επιστήμης Επιπτώσεις της Τεχνολογίας Ορισμός σχολικού βιβλίου για την Τεχνολογία Με την ευρεία έννοια του όρου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ Η πλέον διαδεδοµένη και αποδεκτή θεωρία είναι η τριµερής θεωρία της γνώσης που ορίζει τη γνώση ως δικαιολογηµένη αληθή πεποίθηση (justified true belief). Ανάλυση της τριµερούς

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Θεμελίωση μιας λύσης ενός προβλήματος από μια πολύπλευρη (multi-faceted) και διαθεματική (multi-disciplinary)

Διαβάστε περισσότερα

Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό.

Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό. Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό. Καθηγητής: Λοιπόν, πιστεύεις στον Θεό; Φοιτητής: Βεβαίως, κύριε. Καθ.: Είναι καλός ο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΩΝ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Αρχών Φιλοσοφίας Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Αρχών Φιλοσοφίας Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000 Θέµα Α1 Θέµατα Αρχών Φιλοσοφίας Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000 Α.1.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα ονόµατα των φιλοσόφων (στήλη Α) και δίπλα την έννοια (στήλη Β) που συνδέεται µε τον καθένα: Α

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Αρχών Φιλοσοφίας Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Αρχών Φιλοσοφίας Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Αρχών Φιλοσοφίας Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα Α1 Α.1.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα ονόµατα των φιλοσόφων (στήλη Α) και δίπλα την έννοια (στήλη Β) που συνδέεται µε τον

Διαβάστε περισσότερα

H ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΙΔΕΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

H ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΙΔΕΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1 H ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΙΔΕΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ας ξεκινήσουμε την μελέτη μας από την ετυμολογία της λέξεως ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Με την πρώτη ματιά και χωρίς ιδιαίτερες γνώσεις γλωσσολογίας διακρίνουμε ότι είναι σύνθετη και

Διαβάστε περισσότερα

Γυναίκες πολεµίστριες και ηρωίδες. Έρευνα-επιλογή:Μ. Λόος Μετάφραση: Μ. Σκόµπα Επιµέλεια: Β. Καντζάρα

Γυναίκες πολεµίστριες και ηρωίδες. Έρευνα-επιλογή:Μ. Λόος Μετάφραση: Μ. Σκόµπα Επιµέλεια: Β. Καντζάρα Γυναίκες πολεµίστριες και ηρωίδες Έρευνα-επιλογή:Μ. Λόος Μετάφραση: Μ. Σκόµπα Επιµέλεια: Β. Καντζάρα Cleopatra (Κλεοπάτρα) 69 30 π.χ. Αίγυπτος Βασίλισσα Η Κλεοπάτρα γεννήθηκε το 69 π.x και βασίλεψε στην

Διαβάστε περισσότερα