ПОТПУНИ МЕТОД НАЈМАЊИХ КВАДРАТА У ФУНКЦИЈИ РЕШАВАЊА ГЕОДЕТСКИХ ПРОБЛЕМА

Transcript

1 УНИВЕРЗИЕ У БЕОГРАДУ ГРАЂЕВИНСКИ ФАКУЛЕ Јован М. Поповић ПОПУНИ МЕОД НАЈМАЊИХ КВАДРАА У ФУНКЦИЈИ РЕШАВАЊА ГЕОДЕСКИХ ПРОБЛЕМА Докторска дисертација Београд 6

2 UNVESY OF BELGDE FULY OF VL ENGNEENG Јоa M. Popoć OL LES SUES MEHOD FO SOLVNG GEODE SKS Doctora Dssertato Begrade 6

3 ИНФОРМАЦИЈЕ О МЕНОРИМА И ЧЛАНОВИМА КОМИСИЈЕ Ментори: Проф. др Иван Р. Алексић дипл. инж. геод. Грађевински факултет Универзитет у Београду Проф. др Бранко С. Божић дипл. инж. геод. Грађевински факултет Универзитет у Београду Чланови комисије: Доц. др Александра Ерић дипл. мат. Грађевински факултет Универзитет у Београду Проф. др оша Нинков дипл. инж. геод. Факултет техничких наука Универзитет у Новом Саду Датум одбране: Београд.

4 Захвалност Захваљујем се менторима проф. др Ивану Р. Алексићу дипл. инж. геод. и проф. др Бранку С. Божићу дипл. инж. геод. на свесрдној подшрци и корисним саветима током израде докторске тезе као и пажљивом прегледу и сугестијама за унапређење финалног текста. Захваљујем се такође члановима комисије за преглед и оцену докторске дисертације проф. др оши Нинкову дипл. инж. геод. са Универзитета у Новом Саду као и доц. др Александри Ерић дипл. мат. на прихватању учешћа у комисији као и уложеном труду и пажњи при прегледу рада. Захвалност дугујем и доц. др Бранку Миловановићу дипл. инж. геод. као и доц. др Марку Пејићу дипл. инж. геод. за уступљене податке који су послужили као илустрација приказаних решења. акође осећам потребу да напоменем да су основу за израду ове докторске дисертације представљала у највећој мери публикована истраживања у овој области истраживачке групе коју предводе професори Bhard Schaffr са Државног универзитета у Охају и Fra Nete са Универзитета у Бону. И на крају захваљујем се свим колегама и пријатељима са Одсека за геодезију и геоинформатику Грађевинског факултета у Београду за подстрек и подршку како током периода израде докторске тезе тако и током свог времена проведеног у заједничком наставном и истраживачком раду. Јован М. Поповић

5 ПОПУНИ МЕОД НАЈМАЊИХ КВАДРАА У ФУНКЦИЈИ РЕШАВАЊА ГЕОДЕСКИХ ПРОБЛЕМА РЕЗИМЕ Докторска теза је посвећена примени технике потпуног метода најмањих квадрата (ota Least Sqares LS) у оцени параметара математичких модела различитих геодетских проблема. Потпуни метод најмањих квадрата је релативно нова техника оцењивања параметара модела. Прва истраживања на пољу математике датирају од раних осамдесетих година прошлог века а прве примене јављају се у различитим негеодетским дисциплинама. Истраживања могућности примене у оцени параметара геодетских модела каснијег су датума и јављају се пре око десет година (Kpferer 5 Schaffr 6). Истраживања се развијају у правцу прилагођавања LS геодетским проблемима у смислу налажења решења које урачунава различиту тачност као и међусобну корелисаност података (резултата мерења). Да би се то постигло уместо решења добијених применом декомпозиције проширене матрице модела на сингуларне вредности развијена су решења на основу минимизације Lagrageове функције циља (Eer- Lagrage-ов поступак). У оквиру докторске тезе приказани су класични (традиционално примењивани) модели у решавању геодетских задатака посебно Gass-Hemert-ов модел којиме се такође могу решавати проблеми третирани применом LS. акође истражени су и приказани различити облици LS модела како класични (хомоскедастички) тако и тежински односно модели који урачунавају различите варијансе као и међусобну корелацију чланова проширене матрице модела. Поред тога дате су формуле за оцену тачности односно рачунање кофакторских матрица оцена параметара модела као и корекција (поправака резидуала) резултата мерења и чланова матрице модела. На три карактеристична геодетска проблема илистрована је примена LS у решавању геодетских задатака. Кључне речи: Математичко моделирање Gass-Maro-љев модел Gass- Hemert-ов модел Потпуни метод најмањих квадрата (ota Least Sqares LS).

6 OL LES SES MEHOD FO SOLVNG GEODE SKS BS doctora thess deas wth the appcato of ota Least Sqares (LS) techqes for parameters estmato of mathematca modes for aros geodetc probems. ota Least Sqares s a reate ew techqe of parameters mode estmato. he frst research the fed of mathematcs datg from the ear eghtes ad the frst appcatos appeared aros ogeodetc dscpes. Stdes o possbt of appcatos the parameters estmato of geodetc modes are of ater date there are abot te ears ago (Kpferer 5 Schaffr 6). esearch s deeopg towards adjstmet LS geodetc probems the sese fdg a soto that cde dfferet accrac ad mta correato of data (measremet rests). order to achee ths rather tha sotos obtaed b decomposto of the eteded matr mode o the sgar aes (SVD) sotos based o the mmato of Lagrage's objecte fcto (Eer-Lagrage's method) are deeoped. the scope of the doctora thess cassca (tradtoa apped) geodetc modes are preseted especa Gass-Hemert's mode b whch the probems treated b LS tchqes ca aso be soed. so aros forms LS modes are epored ad preseted from cassc (homosedastc) LS modes to weghted LS modes or modes that cde dfferet araces as we as mta correato betwee members of the eteded matr mode. addto the formas for the accrac assessmet ad cofactor matrces comptato for parameters mode estmate correctos of the measremet rests ad correctos of the matr mode members are deeoped. he appcats of LS for sog geodetc tass are strated o the three characterstc cases. Ke words: Mathematc modeg Gass-Maro mode Gass-Hemert mode ota Least Sqares (LS).

7 Листа ознака и скраћеница оператор еуклидске норме вектора F B оператор Frobes-ове норме матрице матрица модела (матрица дизајна) матрица услова за мерене величине јединична матрица реда K вектор Lagrage-ових мултипликатора вектор резултата мерења коваријациона матрица резултата мерења ε вектор грешака резултата мерења кофакторска матрица резултата мерења σ референтна варијанса (варијанса јединице тежине) вектор параметара модела вектор поправака N нула простор матрице Ω Lagrage-ова функција циља кровна матрица матрица поузданости простор колона матрице -димензионални простор реалних бројева ra ранг матрице tr траг матрице

8 U V матрице декомпозиције на сингуларне вредности -т леви сингуларни вектор ec ( ) оператор трансформације матрице у вектор -т десни сингуларни вектор w вектор неконзистентности условног модела матрица услова ограничења неконзистентност услова ограничења ζ -та сингуларна вредност матрице LS WLS EV ELS EW-LS GHM GMM GLS SLS SVD LS WLS Least Sqares Weghted Least Sqares Errors--Varabes Eqbrated LS Eemet-wse-Weghted LS Gass-Hemert Mode Gass-Maro Mode Geeraed ota Least-Sqares Strctred ota Least-Sqares Sgar Vae Decomposto ota Least Sqares Weghted ota Least Sqares.

9 Листа слика и табела Слика.. Решење по методу најмањих квадрата занемаривањем грешака мерења величине... 3 Слика.. Решење по методу најмањих квадрата занемаривањем грешака мерења величине... 4 Слика.3. Ортогонална регресија обухватањем грешака мерења у обе променљиве и... 4 Слика 5.. Карактеристичне тачке кранске шине у ермоелектрани Никола есла А... 6 Слика 5.. Диспозиција тачака осматрачке геодетске мреже хидроелектране Ђердап Слика 5.3. Положај осе цилиндра у ( ) координатном систему... 7 Слика 5.4. Диспозиција тачака на фасади торња Цркве Светог Анте Падованског на Врачару Слика 5.5. Просторни распоред деформација торња Цркве Светог Анте Падованског на Врачару абела 5.. Оцене параметара и показатељи тачности регресионе праве занема ривањем коваријационе матрице координата тачака абела 5.. Упоредна анализа оцене тачности параметара регресионе праве занемаривањем коваријационе матрице координата тачака абела 5.3. Оцене параметара и показатељи тачности регресионе праве урачунавањем коваријационе матрице координата тачака абела 5.4. Оцене параметри дводимензионлне трансформације сличности и оцена тачности за случај занемаривања варијанси координата тачака абела 5.5. Вредности несагласности на идентичним и неидентичним тачкама за случај занемаривања варијанси координата тачака абела 5.6. Оцене параметри дводимензионлне трансформације сличности и оцена тачности за случај урачунавања варијанси координата тачака... 7

10 абела 5.7. Вредности несагласности на идентичним и неидентичним тачкама за случај урачунавања варијанси координата тачака... 7 абела 5.8. Параметри изравнавајућег цилиндра торња Цркве Светог Анте Падованског... 75

11 САДРЖАЈ. УВОД.... КОНВЕНЦИОНАЛНИ МОДЕЛИ У ГЕОДЕЗИЈИ Gass-Maro-љев модел Gass-Maro-љев модел са условима ограничења Gass-Hemert-ов модел Gass-Hemert-ов модел са условима ограничења МОДЕЛИ СА НЕКОНСАННОМ МАРИЦОМ ДИЗАЈНА И КЛАСИЧНИ ПОПУНИ МЕОД НАЈМАЊИХ КВАДРАА Класични (нетежински) потпуни метод најмањих квадрата у ЕV моделима Решење декомпозицијом проширене матрице модела на сингуларне вредности Решење Eer-Lagrage-овим поступком Мешовити LS-LS модел (модел са фиксним колонама) Структуирани LS модел (SLS) Уопштени (генерализовани) LS (GLS) LS модел са условима ограничења ЕЖИНСКИ МОДЕЛИ ПОПУНОГ МЕОДА НАЈМАЊИХ КВАДРАА Решење засновано на декомпозицији проширене матрице модела на сингуларне вредности (Geeraed LS GLS) WLS Решењa на основу Eer-Lagrage-овog поступка Решење Schaffr и Weser (8) Решење She и др. () Решење mr-smooe и Jaaer () Решење Mahbob ()... 5

12 4..5. Оцена тачности EV модел са корелацијом између елемената матрице модела и вектора резултата мерења WLS проблем са условима ограничења НУМЕРИЧКИ ПРИМЕРИ ПРИМЕНЕ LS У РЕШАВАЊУ ГЕОДЕСКИХ ПРОБЛЕМА Ортогонална регресија Дводимензионална трансформација сличности Фитовање површи цилиндра на скуп тачака са тродимензионалним позицијама одређеним терестричким ласерским скенирањем ЗАКЉУЧЦИ И ПРЕПОРУКЕ ЛИЕРАУРА... 8

13 . УВОД Mатематички модел представља опис система односно појаве реалног света коришћењем математичких концепата и језика. Процес развоја математичког модела назива се математичко моделирање. Математички модели користе се у природним наукама (физика биологија геонауке метереологија) инжењерским наукама (компјуреске науке вештачка интилигенција) као и у социјалним наукама (економија психологија социологија политичке науке). Математички модели обично се састоје од релација и променљивих (варијабли). Релације се описују операторима као што су алгебарски оператори функције диференцијални оператори и. т. д. Променљиве представљају параметре система које је потребно оценити (квантификовати). Процес оцене параметара медела може се углавном представити кроз четири оптимизациона проблема (hego 997): критеријум: избор најбоље функције која се оптимизује (минимизује или максимизује) оцењивање: избор најбољег метода оптимизације изабране функције дизајн: оптимална имплеметација изабраног метода за добијање најбоље оцене параметара модела моделирање: детерминисање (утврђивање) математичког модела који најбоље описује систем у оквиру којег су извршена мерења укључујући модел грешака. радиционални геодетски задатак састоји се од мерења и израде представа земљине површи углавном кроз математичке моделе. На основу довољног броја мерења могу се формирати системи једначина и оценити параметри математичког модела. Обзиром да је број извршених мерења обично већи од броја неопходних параметара модела као резултат добијају се преодређени системи једначина односно системи једначина са прекобројним мерењима. За апроксимирање решења ових преодређених система користи се метод најмањих квадрата (Least sqares LS) који су развили. F. Gass. M. Legedre и. Maro у деветнаестом веку. Немачки геодета F.. Hemert дао је такође значајан допринос теорији најмањих квадрата (Hemert 97). Gass-Hemert-ов модел је вероватно

14 још увек најприлагодљивија техника за оцењивање параметара у оквиру нелинеарних математичких модела. Проблем оцене параметара модела настаје због потребе да се оцене истините вредности кључних параметара математичких модела који се не могу измерити директно. Према томе мери се скуп величина које су мерљиве и које су у директној математичкој вези са параметрима модела. Уколико су ове математичке везе нелинеарне могу се користити погодне математичке технике (н. пр. aorова линеаризација) за њихово приказивање у линеарној форми. Међутим увек отворено питање представља адекватност примењених математичких релација између параметара модела и мерених величина. Ове релације често нису познате саме по себи него теже да формирају слику феномена реалног света у једном прегледном и обрадивом математичком моделу. Према томе увек остаје отворено питање да ли су сви утицаји погодно обухваћени и моделирани. Према философији метода најмањих квадрата релације између вектора параметара модела и резултата мерења може се приказати у форми. (.) Знак приближности произилази из чињенице да се мерене величине никада не могу одредити апсолутно тачно због чега нехомогени систем (.) нема конзистентно решење. У циљу налажења решења приступа се модификацији вектора резултата мерења пошто се сматра да је он оптерећен грешкама мерења (.) где је вектор подељен на две међусобно ортогоналне компоненте N ( ) S где су S ( ) и ( ) и N оператори простора колона и нула простора матрице респективно. Матрица са друге стране у математичкој вези између вектора параметара модела и резултата мерења сматра се константном и није подложна модификацијама. Уколико је матрица модела неконстантна и предвиђа се њена модификација у математичкој литератури уместо класичног предложен је потпуни метод најмањих квадрата (ota Least Sqares LS) (Björc 996). Једноставан пример који осликава разлику између класичног метода најмањих квадрата (Least Sqares

15 LS) и потпуног метода најмањих квадрата (ota Least Sqares LS) приказан је у Va Hffe и Vaderae (99). Нека је дат математички модел а (.3) и нека је извршено мерења величина и L. Уколико се занемаре грешке у мерењима и примени метод најмањих квадрата онда следи функција циља ( a ) m (.4) и оцена за параметар а (Слика.) а. (.5) Слика.. Решење по методу најмањих квадрата занемаривањем грешака мерења величине Уколико се моделом обухвате грешке мерења величине а занемаре грешке мерења величине узимајући у обзир а функција циља постаје ( a ) m (.6) па се за оцену параметра а добија (Слика.) 3

16 a m m (.7) Слика.. Решење по потпуном методу најмањих квадрата занемаривањем грешака мерења величине Уколико се моделом обухвате грешке мерења у обе променљиве оптимална оцена за параметар а добија се избором праве линије тако да ортогонална растојања од сваке тачке ( ) до праве буду што је могуће мања односно функција циља гласи (Слика.3) Слика.3. Ортогонална регресија обухватањем грешака мерења у обе променљиве и 4

17 ( ) ( a a ) m. (.8) Решења за изравнавајућу праву линију по потпуном методу најмањих квадрата дата су у Gob и a Loa (989) Björc (996) и Fes и Schaffr (3). Модели са неконстантном матрицом дизајна (матирицом модела) познати су у литератури као модели са грешкама у променљивим величинама (Error Varabes Modes EV) н. пр. (Geser 98). Oви модели изучавани су још у dcoc (877) и поново истраживани много пута од тада на пољу математичке статистике (Maros и a Hffe 7). Године 98 Gob G. H. и Loa. F. увели су термин потпуни метод најмањих квадрата (ota Least Sqares LS) за оцену параметара у EV моделима где се претпоставља да грешке резултата мерења и чланова матрице модела имају независне и идентичне расподеле. Модели који уводе ову претпоставку називају се класични EV модели а поступак оцене параметара модела класични (нетежински) LS (Sow ). Насупрот њима модели који претпостављају различите и евентуално корелисане расподеле грешака резултата мерења и чланова матрице модела дефинишу се као тежински EV модели односно поступак оцене параметара модела као тежински LS (Wegted ota Least Sqares WLS). Класични (нетежински) LS проблем који подразумева једнаке тежине резултата мерења и чланова матрице модела обично има јединствено решење које се може наћи декомпозицијом проширене матрице модела [ ] на сингуларне вредности (Sgar Vae Decomposto SVD) (н. пр. Gob и a Loa 98 Va Hffe и Vadewae 99). Класични (нетежински) LS као и неке могућности примене у решавању геодетских задатака приказане су у (Kpferer 5) где је решење дефинисано као апроксимација матрицом нижег ранга. Општија решења која урачунавају нивое грешака као и корелисаност резултата мерења дискутована су од стране више аутора. ако уопштени (генерализовани) LS (Geeraed LS GLS (Va Hffe и Vadewae 99) подразумева да су резидуали елемената проширене матрице модела [ ] по врстама независни али 5

18 корелисани унутар врста са идентичном коваријационом матрицом. Неки аутори (н. пр. Schaffr и Weser 8) називају га еквилибрисани LS (Eqbrated LS ELS). Још генералнији приступ претпоставља да су елементи проширене матрице модела [ ] независни али са различитим варијансама (Maros и др. 6) за сваки елемент назива се LS са различитим тежинама по сваком члану односно елементу (Eemet-wse-weghted LS EW-LS). У последњих неколико година публикован је велики број истраживања у области LS оцена у циљу решавања геодетских задатака при чему се могу разликовати два основна присупа у решавању LS проблема. Један приступ се заснива на декомпозицији проширене матрице модела [ ] на сигуларне вредности (Sgar Vae Decomposto SVD esse 988 Fes 4 Kpferer 5 ma 7 Schaffr и Fes 8 Lampe ). Други приступ подразумева третитање LS као условљеног оптимизационог проблема минимизације коришћењем Eer-Lagrage-ове фукције циља уз различите нивое ограничења општости коваријационе матрице елемената проширене матрице модела [ ] (Fes ad Brtch 9 Schaffr и Fes 8 Schaff и Weser 8 Schaffr и Weser 9 mr-smooe и Jaaer She и др. ). Најопштије решење које дозвољава корелацију између елемената матрице модела и вектора резултата мерења односно пуну симетричну позитивно дефинитну коваријациону матрицу проширене матрице модела [ ] приказао је у својој докторској дисертацији Fag (). По форми идентичан алгоритам предложио је у независном истраживању Mahbob () са разликом што Mahbob-ов алгоритам не предвиђа корелацију између елемената матрице модела и вектора резултата мерења. Решења која дозвољавају сингуларну коваријациону матрицу проширене матрице модела [ ] дата су у истраживањима Sow () као и Schaffr Sow и Nete (4). Међутим у неким радовима (н. пр. Nete и Petroc 8 Nete Schaffr и Sow ) показано је да се класични LS као и тежински LS проблем могу 6

19 решити применом нелинеарног Gass-Hemert-овог модела по итеративном алгоритму који је предложио Pope (97) по коме се могу избећи замке односно конвергенција ка погрешном решењу. Ово је разлог да се од стране неких аутора LS приступ не сматра новим методом изравнања већ специјалим случајем односно новим начином формулације LS модела са неконстантном матрицом дизајна. Ова докторска дисертација бави се ефектима примене LS модела у решавању различитих геодетских задатака при чему је посебна пажња посвећена оцени тачности резултата изравнања. Дисертација је организована у шест поглавља. У уводном поглављу представљена је дефиниција проблема као и хронологија досадашњих резултата истраживања у овој области. Друго поглавље садржи опис конвенционалних модела у решавању геодетских проблема односно модела који подразумевају константну (непроменљиву) матрицу модела. У трећем поглављу приказана је дефиниција класичног (нетежинског) LS модела и представљена решења применом декомпозиције проширене матрице модела на сингуларнe вредности (SVD) као и Eer-Lagrage-овим поступком. Приказан је такође LS модел са фиксним колонама као и LS модел са условима ограничења. Изведене су формуле за оцену тачности параметара модела као и изравнатих вредности резултата мерења. Четврто поглавље посвећено је тежинским LS моделима (WLS). Дата je дефиниција WLS и представљена решења применом декомпозиције проширене матрице модела на сингуларнe вредности (SVD) као и различити итеративни поступци изведени Eer-Lagrage-овим поступком. Изведене су формуле за рачунање кофакторских матрица оцењених параметара модела вектора поправака резултата мерења као и матрице поправака чланова матрице модела. У петом поглављу дати су нумерички примери примене LS модела класичних и тежинских у решавању различитих геодетских проблема укључујући ортогоналну регресију фитовање линија и површи и емпиријску (датумску) трансформацију координата. На жалост подаци који су служили за рачунање нумеричких примера 7

20 били су преобимни да би се приказали у раду у штампаној форми. Ови подаци могу се добити од аутора путем e-ma-а захтевом на адресу Шесто поглавље садржи сажетак постигнутих резултата закључна разматрања и препоруке за даља истраживања. 8

21 . КОНВЕНЦИОНАЛНИ МОДЕЛИ У ГЕОДЕЗИЈИ У овом поглављу биће укратко представљени традиционално примењивани (уобичајени) поступци математичког моделирања у геодезији у циљу њиховог упоређења са LS приступом. Под уобичајеним (конвенционалним) поступцима математичког моделирања у геодезији подразумевају се: Gass-Maro-љев модел са или без услова ограничења; Gass-Hemert-ов модел са или без услова ограничења; Условни модел и Колокација. Gass-Maro-љев модел је релативно једноставан модел који подразумева да се свака мерена величина може експлицитно изразити као линеарна функција параметара модела. Када то није случај може се користити Gass-Hemert-ов модел који се може сматрати надскупом Gass-Maro-љевог модела. Условни модел представља математички еквивалент Gass-Maro-љевом моделу. Он омогућује релативно компактну формулацију разматраног проблема јер за разлику од Gass-Maro-љевог модела не укључује параметре модела већ само неконзистентности које произилазе из математичких услова које мерене величине морају међусобно испунити. ешкоћа је међутим што се мора потпуно обезбедити да математички услови за сваки проблем буду коректно формулисани и међусобно независни. Ово има за последицу да је условни модел неподеснији за аутоматизацију у поређењу са Gass-Maro-љевим моделом и због тога има малу примену у пракси. Модел колокације омогућује не само изравнање укључених резултата мерења већ и прогнозирање (предикцију) хипотетичких мерења као и филтрацију опажачког материјала. Према томе овај модел нуди више могућности него Gass-Hemert-ов модел али је мање заступљен у практичним применама обзиром да предикција и филтрирање код решавања већине геодетских проблема нису неопходни... Gass-Maro-љев модел Класа Gass-Maro-љевих модела (GMM) може се сматрати подскупом Gass- Hemert-ових модела. о је линеарни математички модел који се састоји од 9

22 функционалних и стохастичких релација. У матричној нотацији Gass-Maroљев модел има следећу форму (aspar W F 988) где су Е D ε или D( ε) Е( εε ) σ Е ( ) ( ) K D оператори математичког очекивања и дисперзије респективно (.) вектор резултата мерења (опажања) вектор параметара модела детерминистичка матрица модела са потпуним рангом колона ( ra параметара модела ε ) која репрезентује релације између мерених величина и вектор истинитих (тачних) грешака резултата мерења K матрица варијанси и коваријанси (коваријациона матрица) резултата мерења кофакторска матрица резултата мерења σ усвојена вредност референтне варијансе (најчешће ). Да би се овај теоријски модел применио за оцену параметара модела из реалних података потребно га је преформулисати у D σ. K (.) Вектор ε описује модификације (поправке резидуале) резултата мерења које имају за циљ да систем једначина (.) учине конзистентним. Уколико не постоји линеарна веза између параметара модела и математичког очекивања вектора резултата мерења онда се она описује кроз систем нелинеарних диференцијабилних једначина

23 f Е f ( Δ). или (.3) Детерминистичка матрица модела диференцирањем функције f у односу на А може се тада добити парцијалним f А. (.4) Модел линеаризован у позицији израчунатих (приближних) вредности параметара модела може се онда представити изразом Δ (.5) где је f( ) редуковани вектор резултата мерења који се у геодетским применама обично назива мерено - израчунато (приближно) (н. пр. X 7) a Δ вектор прираштаја параметара модела. Решење по методу најмањих квадрата (вектор оцена прираштаја параметара модела) произилази из минимизације Lagrage-ове функције циља (н. пр. Михаиловић и Алексић 8) Ω ( ) ( ) m. (.6) Неопходан услов за налажење минимима функције циља Ω онда је Ω : (.7) док је довољан услов да је Ω позитивно дефинитна матрица. Из (.7) следи оцена за вектор прираштаја непознатих параметара ( ) (.8) са кофакторском матрицом оцена непознатих параметара ( ). (.9)

24 Оцене вектора мерених величина и поправака резултата мерења онда сe могу представити изразима GM GM (.) са респективним кофакторским матрицама GM GM GM GM где су GM GM два међусобно ортогонална пројектора GM GM ( ) GM. (.) (.) је јединична матрица реда. Матрица GM позната је као кровна матрица (hat matr Schaffr 997) обзиром да она пројектује вектор резултата мерења у вектор оцена мерених величина f где је tr( GM ). Матрица GM назива се матрица поузданости (reabt matr Sha 989) или матрица сувишности (reddac matr Schaffr 997) где је tr( ) GM. За матрицу GM користи се још термин матрица спољашње поузданости (etera reabt) a за матрицу F 988). GM матрица унутрашње поузданости (tera reabt) (aspar W Оцена вредности функције циља (.6) онда је Ω ( ) ( ) GM GM (.3) и може се изразити без оцењеног вектора параметара модела док је непомерена и најбоља оцена варијансе јединице тежине σ σ Ω. (.4)

25 3 Особине непомерености оцена вектора параметара вектора мерених величина и вектора поправака као и средња квадратна грешка вектора оцењених параметара могу се представити изразима. tr E tr E E E E E E E E E GM GM ε (.5).. Gass-Maro-љев модел са условима ограничења Уколико су параметри Gass-Maro-љевог модела подложни ограничењима (у циљу регуларизације сингуларног проблема или у циљу санкционисања познатих релација између параметара модела) ова ограничења могу се изразити кроз q диференцијабилних једначина облика f (.6) где q може бити вектор случајних величина или познатих константни. После линеаризације у позицији израчунатих (приближних) вредности параметара модела преодређени систем једначина (.) допуњен условима ограничења постаје Δ (.7) са стохастичким особинама резидуала σ D и Е (.8) где су и вектори прираштаја параметара модела поправака резултата мерења и услова респективно а q f q ra и q f. (.9)

26 4 Решење по методу најмањих квадрата произилази из минимизације Lagrage-ове функције циља (othre 5) m Ω (.) где је q вектор Lagrage-ових мултипликатора одакле следe неопходни услови минимума функције циља Ω Ω : (.) Ω : (.) : Ω (.3) Довољни услови минимума су испуњени пошто су Hessa матрице других извода функције циља по векторима резидуала Ω и Ω позитивно дефинитне матрице. Из (.) (.3) следи систем нормалних једначина (.4) и решење преодређеног система једначина (.7). Ако је вектор вредности услова ограничења константан односно систем нормалних једначина (.4) постаје. (.5)

27 Уколико матрица модела нема потпун ранг колона односно < ra (у геодетским применама обично због непотпуне дефиниције датума) услови ограничења морају бити постављени тако да је ra( ) ra( ) матрице система нормалних једначина (.4)(.5) буду регуларне. односно да Ако је пак ra односно ако је матрица регуларна инверзија матрице система нормалних једначина (.4)(.5) могу се извести секвенцијално па се за вектор Lagrage-ових мултипликатора добија ( ) ( ) ( ) односно за са (.6) ( ) ( ) ( ) са (.7) где су и оцена вектора прираштаја параматара модела и његова кореспондентна кофакторска матрица добијене у Gass-Maro-љевом моделу без услова ограничења на основу израза (.8) и (.9). За оцену вектора непознатих параметара Gass-Maro-љевог модела са условима ограничења може се тада писати δ δ. са (.8) Оцене редуковног вектора мерених величина и поправака резултата мерења и услова ограничења онда су δ δ и (.9) са кофакторским матрицама 5

28 δ δ и (.3) ( ) респективно. Уколико онда је и. За оцену вредности функције циља (.) може се добити ( ) ( ) Ω Ω (.3) a за оцену референтне варијансе σ Ω ( q). (.3) На основу (.3) за матрицe спољашње и унутрашње поузданости (матрицу сувишности) Gass-Maro-љевог модела са ограничењима добија се GM GM GM GM δ δ где је tr ( ) q tr ( ) и tr ( ) q tr ( ) GM GM (.33). За oцене редуковног вектора мерених величина и поправака резултата мерења може се тада такође писати GM GM. и (.34).3. Gass-Hemert-ов модел Gass-Maro-љев модел подразумева да се свака мерена величина може експлицитно изразити као линеарна функција параметара модела. Уколико то није случај примењује се уопштени модел (Hemert 97) f f ( Е ) ( ) или (.35) 6

29 односно веза између математичког очекивања вектора резултата мерења и параметара модела остварује се кроз систем диференцијабилних једначина. Oвај модел назива се Gass-Hemert-ов модел (GHM) док се још користе називи условно изравнање са непознатим параметрима (Перовић 5 Михаиловић и Алексић 8 Grafared и wage ) или квазипосредно изравнање (Wof 968). Јакобијеве матрице (матрице модела) у односу на параметре модела и мерене величине могу се добити изразима f А и f B (.36) где је ~ вектор иницијалних вредности мерених величина где представља случајни нула вектор (вектор псеудо-опажања) са одговарајућим бројем чланова према нотацији у Hare (977). Овиме се постиже да се вектор може третирати као детерминистички тако да су Јакобијеве матрице модела А ~ и B неслучајне. Матрица r има потпуни ранг колона ( ra ( А) ) док матрица једначина. r B има потпуни ранг врста ( ra ( B) r Модел се онда може написати као линеарни (линеаризовани) GHM ) где је r број условних B w E D K σ (.37) где је f w са кофакторком матрицом w B B. Решење по методу најмањих квадрата произилази из минимизације Lagrage-ове функције циља (н. пр. Михаиловић и Алексић 8) Ω ( B w) m (.38) одакле следe неопходни услови минимума функције циља Ω Ω B : B (.39) 7

30 Ω B w : (.4) Ω :. (.4) Довољaн услов минимума je испуњен пошто je дефинитнa матрицa. На основу (.39)(.4) може се добити ( B B ) ( w) ( w) - w Ω позитивно (.4) док из (.4)(.4) следи оцена вектора прираштаја непознатих параметара - - ( ) w (.43) w w са кореспондентим кофакторским матрицама - ( ) - w w - w - w. (.44) Оцене вектора мерених величина и поправака резултата мерења онда су B (.45) са B B GH ( B B). GH (.46) На основу (.46) за матрицe спољашње и унутрашње поузданости (матрицу сувишности) GH GH Gass-Hemert-oвог модела следи GH GH B B B B (.47) 8

31 tr и где је GH tr. GH Оцене вредности функције циља (.38) и варијансе јединице тежине онда су Ω σ Ω w ( r ). w w w w и (.48) У случају нелинеарности функције f ( ) оцене параметара модела и вектора мерених величина користе се као почетне вредности за налажење решења Gass-Newto-овим итеративним поступком па се узима ~ ~ (.49) односно у -тој итерацији ~ (.5) ~ А w ( ) f ( ) ( ) B ( ) B ( ) f. Оцене параметара модела тој итерацији као (Koch 4) f и ( ) ( ) и вредности мерених величина ( ) добијају се у - ( ) ( ) ( ) ( ). (.5) Критеријум за завршетак итеративног поступка може бити ( ) ( ) < ε (.5) где је ε усвојена (довољно мала) вредност или ако су услови ( ) f (.53) испуњени са довољном тачношћу. 9

32 Нелинеарни Gass-Hemert-oв модел може у извесном смислу бити незгодан за израчунавање и у случају неправилног ажурирања између итерација конвергирати ка погрешном решењу. Приказани итеративни поступак у складу је са препорукама које је дефинисао Pope (97) у циљу избегавања извесних замки код сровођења итеративног поступка у решавању нелинеарног проблема односно конвергенције ка погрешном решењу. Основне препоруке код спровођења итеративног изравнања у решавању нелинеарног проблема које је дефинисао Pope (97) су:. Коефицијенти (чланови) матрица модела у -тој итерацији А и ( ) B морају се рачунати за најажурније изравнате вредности за све параметре модела и све мерене величине;. Вектор ( ) w не мора обавезно имати форму f осим у првој итерацији иако то у неким случајевима може бити довољно добра апроксимација; 3. У општем случају други члан израза не губи и 4. Вектори и w ( ) B ( ) : f нумерички се ажурирају се различито. Вектор ажурира се тако што се оцена додаје на вредност из претходне итерације и онда (теоретски) одузима случајни нула вектор док се вектор ажурира тако што се на вектор резултата мерења додаје најажурнија вредност оцена поправака (па се онда одузима случајни нула вектор како би чланови вектора бити третирани као константе)..4. Gass-Hemert-ов модел са условима ограничења ( ) могли Услови ограничења система једначина (.35) слично Gass-Maro-љевом моделу могу се изразити кроз q диференцијабилних једначина (.6). После линеаризације у позицији израчунатих (приближних) вредности параметара модела и мерених величина условима ограничења постаје преодређени систем једначина (.37) допуњен

33 w B (.54) са стохастичким особинама резидуала σ D и Е (.55) где су и вектори прираштаја параметара модела поправака резултата мерења и услова респективно. Јакобијеве матрице А и B дате су изразима (.36) а матрица и вектор за услове ограничења изразима (.9). Имајући у виду (.3) Lagrage-ова функције циља може се написати у облику (Heer 3) m Ω w B (.56) где су r и q вектори Lagrage-ових мултипликатора за једначине Gass-Hemert-овог модела и једначине услова ограничења респективно. Неопходни услови за налажење минимума Lagrage-ове функције циља тада су B B : Ω (.57) : Ω (.58) w B Ω : (.59) Ω :. (.6)

34 Довољни услови минимума су испуњени пошто су Ω и Ω позитивно дефинитне матрице. На основу (.57) (.6) може се добити систем нормалних једначина w w w (.6) и решење преодређеног (oerdetermed) система једначина (.54). Ако је вектор вредности услова ограничења константан односно систем нормалних једначина (.6) постаје w w w. (.6) Системи нормалних једначина (.6) односно (.6) личе на решење Gass- Maro-љевог модела са условима ограничења (.4) односно (.5). У ствари сваки Gass-Hemert-ов модел може се трансформисати у Gass-Maro-љев модел где се вектор неконзистентности (одступања) условних једначина Gass- Hemert-овог модела w третира као трансформисани вектор опажања са кофакторском матрицом поправака (резидуала) резултата мерења. w. Вектор B третира се као трансформисани вектор Ако је матрица w регуларна инверзија матрице система нормалних једначина (.6) (.6) може се извести секвенцијално па се за решења Gass- Hemert-овог модела са условима ограничења и кореспондентне кофакторске матрице добијају изрази идентични изразима (.6) до (.3) где су сада и оцена вектора прираштаја параматара модела и његова кореспондентна кофакторска матрица добијене из Gass-Hemert-oвог модела без услова ограничења. Оцена вредности функције циља (.56) и варијансе јединице тежине онда су

35 Ω σ Ω B ( r q). w B и (.63) Аналогно изразима (.33) за матрицe спољашње и унутрашње поузданости (матрицу сувишности) Gass-Hemert-овог модела са условима ограничења може се добити GH GH GH GH δ δ где је tr( ) q tr( ) и tr( ) q tr( ) GH GH. (.64) 3

36 4

37 3. МОДЕЛИ СА НЕКОНСАННОМ МАРИЦОМ ДИЗАЈНА И КЛАСИЧНИ ПОПУНИ МЕОД НАЈМАЊИХ КВАДРАА У математичкој статистици под моделима са неконстантном матрицом дизајна (Error Varabes modes EV) подразумевају се регресиони модели који урачунавају грешке мерења у независно променљивим величинама модела (регресорима). Насупрот њима стандардни регресиони модели занемарују евентуалне грешке мерења независних променљивих (регресора) односно подразумевају да су њихове вредности апсолутно тачне док се моделом обухватају само грешке мерења зависних променљивих (одговора). 3.. Класични (нетежински) потпуни метод најмањих квадрата у ЕV моделима Ако је дат математички модел у облику преодређеног система линеарних једначина где је (3.) матрица модела вектор резултата мерења > ra и ако постоји вектор такав да где је m и (3.) оператор еуклидске норме вектора а ( ) онда свако које је решење система једначина (нетежинском) методу најмањих квадрата. Вектор простор колона матрице представља решење по у овом случају садржи корекције (поправке резидуале) елемената вектора израчунате по методу најмањих квадрата. Уколико за преодређени систем једначина (3.) постоји матрица таква да [ ] [ V ] (3.3) 5

38 где је [ ] [ ] m и ( ) F F (3.4) оператор Frobes-ове норме матрице ( H tr( H H) F ) онда свако које је решење система једначина представља решење по потпуном (класичном нетежинском) методу најмањих квадрата (ota Least Sqares LS). Матрица V садржи корекције (поправке) елемената матрице система једначина (3.) (матрице модела) док вектор вектора израчунате по потпуном методу најмањих квадрата. садржи корекције елемената Атрибут класични или нетежински у литератури се обично користи за случај који подразумева да V и имају независне и идентичне расподеле и када постоји јединствено решење. Решење се може наћи редукцијом ранга проширене матрице модела [ ] (Gob ad Va Loa 98 Kpferer 5) или Eer- Lagrage-овим поступком (Schaffr и Fes 5 Schaffr 6). 3.. Решење декомпозицијом проширене матрице модела на сингуларне вредности Израчунавање решења по потпуном методу најмањих квадрата може се наћи декомпозицијом проширене матрице модела [ ] на сингуларне вредности (Gob ad Va Loa 98). Преодређени систем (3.) може се преуредити у [ ]. (3.5) Декомпозиција матрице [ ] на сингуларне вредности може се онда представити изразом [ ] USV (3.6) ( ) ( ) где су U [ L ] и [ ] ( ) матрице а dag( ζ L ζ ) вредности матрице [ ] V L ортогоналне S дијагонална матрица сингуларних и L ζ. ζ 6

39 Услови за постојање и јединственост LS решења за систем (3.) су (Kpferer 5 Maros и Va Hffe 7):. LS решење постоји ако и само ако је елеменат матрице V и. LS решење је јединствено ако и само ако је ζ ζ. Еквивалентан услов за постојање и јединственост LS решења може се описати као γ > ζ где је γ најмања сингуларна вредност матрице (Va Hffe и Vadewae 99). Уколико решење није јединствено проблем се обично назива негенерички LS проблем. Ако су услови постојања и јединствености решења задовољени онда је LS решење [ ] US V (3.7) где је ( ζ ζ L ζ ) S dag. Решење је нађено коришћењем Ecart-Yog-Mrs теореме (Ecart ad Yog 936 Mrs 96) редуковањем за један ранга проширене матрице модела [ ] и има минималну норму односно [ ] [ ] ζ. (3.8) F Обзиром да је V ортогонална матрица односно за свако V и свако j може се писати (Kpferer 5) j [ ] [ ] (3.9) односно LS оценa параметара модела (3.) добија се после уразмеравања вектора последњом компонентом да би се добила вредност : M. (3.) Оцена матрице резидуала коефицијената модела и резултата мерења тада је 7

40 8 [ ] [ ] [ ] ζ U S V V US А А V. (3.) Обзиром да је сингуларни вектор матрице [ ] [ ] по дефиницији може се писати ζ (3.) па се за LS оцену параметара такође може добити ζ (3.3) где је ζ најмања сингуларна вредност проширене матрице модела [ ]. За апроксимативну оцену кофакторске матрице вектора и оцену референтне варијансе може се добити (Kpferer 5) и ζ σ ζ ζ (3.4) где је јединична матрица реда а V ec. Оператор ec трансформише матрицу у вектор тако што ређа колоне матрице једну испод друге померајући их са лева на десно Решење Eer-Lagrage-овим поступком Поред описаног метода минималне сингуларне вредности решење се може наћи и Eer-Lagrage-овим поступком (Schaffr 6). Преодређени систем једначина (3.) може се преуредити у V (3.5) са стохастичким особинама резидуала σ V D и ec : Е. (3.6)

41 где је σ усвојена вредност референтне варијансе. Оператор представља Kroecer ehfss-ов производ за који важе следећа правила a b c d [ c ] j ac bd ( ) ( B) ec B ec (3.7) tr ( B D ) tr ( D B ) ec( D )( ) ec( B). На овај начин EV-модел може се третирати као нелинеарни Gass-Hemert-ов модел пошто се коришћењем идентитета ( ) у [ ( )] V (3.5) преформулише. (3.8) Формирањем Lagrage-овe функције циља за LS проблем (3.8) где је Ω ( ) [ ( ) ] m (3.9) вектор Lagrage-ових мултипликатора могу се добити неопходни услови минимума функције циља Eer-Lagrage-овог типа Ω : (3.) Ω ( ) V (3.) Ω ( V ) Ω ( ) (3.). (3.3) Једначине (3.)(3.3) представљају неопходне услове минимума функције циља Ω. Довољни услови минимума су испуњени пошто су Hessa матрице других 9

42 3 извода функције циља по векторима резидуала Ω и А А Ω позитивно дефинитне матрице. Из израза (3.)(3.) следи фундаментална релација V (3.4) и изрази за оцене поправака (резидуала). V (3.5) Из услова (3.3) и израза (3.4) (3.5) следи систем нелинеарних нормалних једначина ζ V (3.6) где је [ ]. ζ ζ (3.7) На основу израза (3.6) и (3.7) може се формирати проблем сингуларних вредности (3.) што доказује потпуну еквивалентност са решењем заснованом на декомпозицији проширене матрице модела [ ] на сингуларне вредности оригинлно представљеним у Gob и a Loa (98). За израчунавање решења за ζ и на основу израза (3.6) и (3.7) може се користити традиционални итеративни алгоритам ζ ; (3.8) ζ (3.9)

43 3 ζ. (3.3) За убрзање итеративног поступка Björc и др. () као и Schaffr (6) предложили су да се после почетних неколико корака (када итеративни процес успори) итеративни процес настави Newto-овим (Newto-aphso-овим) итеративним поступком где ζ и замењују улоге ζ (3.3) ζ ζ ζ. (3.3) За оцену тачности вектора оцена параметара модела у Schaffr (6) предложен је апроксимативни израз за кофакторску матрицу ζ ζ. (3.33) Другачији облик за матрицу може се добити на основу (3.8) аналогно изразима (.37) и (.44) односно ако се стави [ ] B па се може писати [ ] [ ]. (3.34) За кофакторске матрице поправака резултата мерења и чланова матрице модела V може тада добити. V (3.35) 3.. Мешовити LS-LS модел (модел са фиксним колонама) Претходно разматрани EV модел подразумева неконстантност свих елемената матрице модела. Међутим постоје случајеви где неке колоне матрице модела чине константни коефицијенти (у геодетским применама то се на пример догађа код датумских трансформација).

44 Нека је колона матрице модела (3.) сачињено од фиксних елемената при чему је <. Без губитка општости матрица модела може се тада представити као [ ] (3.36) где је матрица сачињена од фиксних елемената односно колона са фиксним елементима. Због тога се још користи и назив LS модел са фиксним колонама (Fag ). које Мешовити LS-LS модел подразумева тада налажење решења [ ] испуњава следеће услове [ ] [ ] [ ]. F m и (3.37) Свако које задовољава једначину (3.38) представља решење мешовитог LS-LS модела а [ V ] [ А ] [ А ] (3.39) представља матрицу резидуала мешовитог LS-LS модела. У циљу налажења решења потребно је извршити декомпозицију матрице података мешовитог LS-LS модела [ ] (3.4) где је ( ) ортогонална матрица а ( ) горња троугаона матрица. Oбзиром да је ортогонална матрица односно може се писати [ ] r r (3.4) односно мешовити LS-LS модел може се трансформисати у облик 3

45 r r (3.4) где има облик горње троугаоне матрице. На овај начин може се издвојити део са неконстантном матрицом дизајна (3.43) r за који се може наћи LS решење. Оцене за преостале параметре модела могу се добити из једначине r. (3.44) 3.3. Структуирани LS модел (SLS) Ако је структура матрице модела компонована тако да се неке променљиве појављују два или више пута онда се то назива структуирани LS (Strctred LS SLS). Назив SLS први је увео De Moor (994). SLS се често појављује у применама обраде сигнала (Maros и Va Hffe 7). У геодезији овакав случај се јавља код емпиријске (датумске) трансформације координата (Fes и Schaffr 5 ma 7). Математичким језиком речено тражи се решење преодређеног система уз услов ( V ) (3.45) [ ] m V (3.46) F такво да матрица [ V ] има исту афину структуру као матрица [ ]. Решење односно алгоритам дат у Fes и Schaffr (5) заснован је на теореми о пројекцији матричних особина према којој се матрица L која је најближа произвољној матрици израчунати као L [ G( G G) G ec ] и која има исту афину структуру може - ec (3.47) 33

46 34 где је G карактеристична матрица која пресликава вектор ec у вектор a сачињен од непонављајућих елемената вектора ec. Структуру матрице G илуструје пример емпиријске (датумске) трансформације координата где је за две идентичне тачке ec Ga (3.48) односно за / идентичних тачака G / / / /. (3.49) На основу ове теореме у Fes и Schaffr (5) представљен је алгоритам за решавање SLS проблема (adow-љев алгоритам) ) [ ] V S U ) Ако је dag ζ ζ > ε ζ L S S 3) [ ] V S U 4) [ ] [ ] { } - L ec ec G G G G 5) [ ] L V S U 6) повратак на корак. Вредност ε у кораку ) представља критеријум за престанак итерација. У adow (988) доказано је да агоритам конвергира матрици непотпуног ранга [ ] L која

47 има исту афину структуру као матрица [ ]. По завршетку итеративног процеса оцена вектора параметара модела може се добити коришћењем израза (3.). Међитим adow (988) указао је да редослед пројекције матричних особина може променити финални резултат па је према томе овај алгоритам субоптималан (непотпуно оптималан). акође Lemmerg (999) показао је да SLS процес као условљени нелинеарни оптимизациони процес неконвексан односно да може имати много локалних минимума. У Schaffr и др. () за примену у емпиријској трансформацији координата предложена је модификација корака 4 { } [ V - ] G( G G) G ([ ] [ ] ) ec ec L. (3.5) акође показано је да се проблем може коректно решити применом тежинског LS модела уз коректно израчунавање кофакторске матрице алгоритма предложеном у Mahbob () Уопштени (генерализовани) LS (GLS) и применом У генерализованом LS моделу за чланове матрице поправака (резидуала) [ V ] проширене матрице модела [ ] подразумева се да је независна по врстама и корелисана унутар врста са идентичном коваријационом матрицом. Иако преспоставља различите варијансе за поједине чланове проширене матрице модела GLS се још увек не односи на општу коваријациону матрицу. Неки аутори га због тога и у циљу избегавања конфузије називају и еквилибрисани LS (Schaffr и Weser 8). Дакле потребно је наћи решење преодређеног система једначина (Va Hffe ad Vadewae 99 Fes 4 ma 7) ( V ) V (3.5) под условом [ V ] m D. (3.5) F 35

48 где се претпоставља да су елементи матрице фиксни док су чланови матрице ( ) променљиве величине. Матрица D је дијагонална матрица тежина придружених врстама док је матрица ( ) ( ) дијагонална матрица тежина придружених колонама. У овом случају GLS проблем може бити решен у три корака: ) Налажење фаторизације проширене матрице D [ А ] [ ] D r b r b. (3.53) ) Израчунавање класичног LS решења за редуковани систем (3.54) b [ r ] где је дијагонална матрица тежина за колоне. 3) Коришћење SVD за добијање и [ r ] USV b (3.55) M (3.56) c r b (3.57) где је са дијагоналном матрицом. c( ) ( ) 3.5. LS модел са условима ограничења Уколико се систем једначина (3.8) допуни са q услова ограничења слично као за Gass-Maro-љев односно Gass-Hemert-ов модел са условима ограничења може се писати 36

49 37 [ ] ec c c V (3.58) са стохастичким особинама σ D и Е. (3.59) У циљу налажења решења односно нелинеарног система нормалних једначина потребно је наћи минимум генерализоване Lagrage-ове функције циља (Schaffr 6) [ ] m Ω (3.6) где су и q вектори Lagrage-ових мултипликатора одакле следе неопходни услови минимума функције циља Eer-Lagrage-овог типа : Ω (3.6) : V Ω (3.6) Ω : (3.63) V Ω : (3.64) Ω : (3.65)

50 38 и позитивно дефинитне матрице других извода по и. Из услова (3.6)(3.63) може се добити фундаментална релација V (3.66) и изрази за оцене поправака (резидуала). V (3.67) Слично као у (3.6) на основу услова (3.6) добија се ζ V (3.68) где је [ ]. ζ ζ (3.69) Имајући у виду односно на основу (3.65) може се писати. (3.7) Увођењем замене : изрази (3.68)(3.7) могу се представити у виду имплицитног проблема сингуларних вредности односно система нелинеарних нормалих једначина (Schaffr и Fes 5 Schaffr 6) ζ ζ q (3.7)

51 39 где је m ζ ζ најмања сингуларна вредност проширене матрице модела [ ] које се могу решити у итеративном поступку. Усвајањем за почетне вредности ζ и систем једначина (3.7) трансформише се у (3.7) одакле се може добити иницијално решење. Итеративни процес се затим наставља по следећем алгоритму (Schaffr и Fes 5 Schaffr 6). : : ζ ζ (3.73) За случај фиксних константи услова може се применити се идентичан алгоритам при чему се у изразима (3.7) и (3.73) ставља. Резидуали резултата мерења и коефицијената матрице дизајна могу се онда добити као. V (3.74) За кофакторску матрицу оцена параметара модела и (уразмерених) Lagrageових мултипликатора у Schaffr (6) предложена је апроксимација првог реда ζ ζ (3.75) где се поново за случај фиксних константи услова ограничења може ставити.

52 4 Слично као у (3.34) за кофакторску матрицу параметара модела може се добити [ ] [ ] (3.76) док се за остале кофакторске матрице онда добија. V (3.77) Непомерена оцена референтне варијансе σ може се добити из израза [ ]. r r ζ ζ σ q q (3.78) За случај фиксних константи услова ограничења односно биће ζ σ q q. (3.79)

53 4. ЕЖИНСКИ МОДЕЛИ ПОПУНОГ МЕОДА НАЈМАЊИХ КВАДРАА У претходном поглављу описани су модели класичног LS који подразумева да су чланови проширене матрице модела међусобно независни и имају идентичне расподеле. Класични LS има јединствено аналитичко решење у генеричком случају ( ζ ζ ). Насупрот њему условљени структуирани и тежински LS немају овакво решење него се морају решавати нумерички до конвергенција ка локалном минимуму. Ситуација у којој би чланови проширене матрице модела били међусобно независни и идентично распосређени (хомоскедастичност) није превише честа у геодетским применама. Због тога је од стране више аутора уложен напор у циљу узимања у обзир различитих варијанси као и међусобне корелисаности чланова матрице модела као и вектора резултата мерења (Schaffr и Weser 8 She и др. mr-smooe. и Jaaer S. Mahbob ). У својим истраживањима Fag () и Fag (4) чак урачунава и међусобну корелацију између чланова матрице модела као и вектора резултата мерења. У радовима Sow () Schaffr и др. (4) и Schaffr (4) представљени су модели који дозвољавају сингуларну коваријациону матрицу чланова проширене матрице модела [ ]. Модели који узимају у обзир различите варијансе и међусобну корелацију чланова матрице модела односно кофакторску матрицу вектора резултата мерења кофакторску матрицу као и евентуалну међусобну корелацију у литератури се називају тежински LS модели (Weghted ota Least Sqares WLS). Иако су учињени покушаји решавања WLS модела применом декомпозиције проширене матрице модела на сингуларне вредности (SVD) велика већина решења заснована је на Eer-Lagrage-овом поступку минимизације функције циља. 4

54 4.. Решење засновано на декомпозицији проширене матрице модела на сингуларне вредности (Geeraed LS GLS) Решење засновано на декомпозицији проширене матрице модела [ ] на сингуларне вредности односи се на уопштени (генерализовани) LS (GLS) односно налажење решења за преодређени систем линеарних једначина уз услов ( V ) (4.) [ V ] m D (4.) F где се за разлику од решења описаном у претходном поглављу уводи претпоставка (Fag ) да матрице тежина дијагоналне. D и Функционални модел (4.) може се преформулисати као D односно D [ V ] c [ V ] c ( ) ( ) нису (4.3) (4.4) где се подразумева да је D симетрична позитивно дефинитна матрица постоји и c. c дефинитна матрица. D je онда такође симетрична позитивно Систем се може онда решити SVD приступом и решење се може добити (Fag ) декомпозицијом на сингуларне вредности пондерисане проширене матрице модела [ ] USV D (4.5) одакле следи решење за оцену параметара модела 4

55 [ ] ( c ) L. (4.6) / V L. ( ) ( ) где је [ ] [ ] Вектор [ c ] је сингуларни вектор придружен најмањој сингуларној вредности [ ] D [ ] [ ] [ ] [ ] D c дајући следећу једначину сингуларних вектора D c D D c c c D c (4.7) ζ c где је ζ најмања сингуларна вредност проширене матрице модела [ ] Преуређењем (4.7) добијају се нормалне једначине. D ζ D (4.8) LS оцена параметара модела заснован на SVD са најопштијом матрицом тежина је ( D σ ) D :. (4.9) У овом случају матрица тежина за проширени вектор опажања [ ] треба да има структуру P D cd матрице и D могу бити потпуно попуњене.. У поређењу са GLS решењем (3.56) 4.. WLS Решењa на основу Eer-Lagrage-овog поступка Иако GLS решење (a Hffe и Vadewae 989 Fag ) описано у претходном одељку подразумева најопштије решење односно потпуно попуњене матрице тежина и D оно ипак не преставља тежинско решење у правом смислу те речи пошто се тежине у GLS не односе у потпуности на коваријациону матрицу резултата мерења. GLS се због тога још назива и 43

56 еквилибрисани LS да би се избегла конфузија (Schaffr и Weser 8). У радовима Maros и др. (6) као и Schermas и др. (7) дискутован је приступ који подразумева различите тежине за сваки елеменат проширене матрице модела [ ] (Еemet-Wse Weghted ota Least Sqares EWLS) где је закључено да проблем нема решење које би се могло представити у затвореној форми и његово израчунавање изискује решавање неконвексног оптимизационог проблема. Приступ који се у геодетској традицији сматра у пуном смислу тежинским заснива се на варијансама које се односе на сваки елеменат посебно и коваријансама између свака два елемента проширене матрице модела [ ]. Модел са неконстантном матрицом дизајна и пуном коваријационом матрицом резултата мерења као и матрице модела (WLS) може се написати у облику ( V ) (4.) са стохастичким особинама резудуала Е : D σ (4.) ec V где су и коваријационе матрице вектора резултата мерења и матрице модела респективно. У хомоскедастичком случају (случају ејднаке тачности и некорелисаности резултата мерења) описаном у претходном поглављу подразумевано је и. Коришћењем једнакости ( ) у [ ( )] V модел (4.) може се преформулисати 4... Решење Schaffr и Weser (8). (4.) У решењу представљеном у Schaffr и Weser (8) за кофакторску матрицу претпостављенo је да се може представити у (Kroecer овом) облику 44

57 45 (4.3) где и. Оваква структура образложена је претпоставком да се разлика прецизности између две колоне матрице модела може изразити скаларним фактором. WLS решење за оцену параметара модела (4.) израчунава се онда под условом m (4.4) на основу којег се онда поставља се Lagrage-ова функција циља [ ] m Ω (4.5) са вектором Lagrage-ових мултипликатора. Неопходни услови минимума функције циља Eer-Lagrage-овог типа онда су Ω : (4.6) Ω (4.7) Ω (4.8) V Ω. (4.9) Једначине (4.6)(4.9) представљају неопходне услове минимума функције циља Ω. Довољни услови минимума су испуњени пошто је Hessa матрица других извода функције циља по векторима резидуала

58 46 [ ] Ω А А А (4.) позитивно дефинитна. Из (4.6) и (4.7) могу се добити изрази за оцене вектора поправака и и (4.) (4.) односно V. (4.3) Када се изрази (4.) (4.) уврсте у (4.8) добија се релација [ ] (4.4) односно [ ]. (4.5) Уврштавањем (4.5) у (4.) и (4.3) сада се добија [ ] и (4.6) [ ] V. (4.7) На основу израза (4.9) коришћењем (4.5) и (4.7) може се онда писати ζ V (4.8) где је скалар ζ :. (4.9) На основу (4.8) (4.9) следи ζ. (4.3)

59 Oценa параметара модела може се сада извршити формирањем итеративног алгоритма: ) ζ ( ) ; ) ( ) ( ) ; [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ζ ( ) ; ( ) ζ ( ) ( ) 3) Повратак на корак ) све док се не испуни неједнакост усвојени критеријум конвергенције. ( ) ( ) < ε где је ε Оцена вектора поправака резултата мерења као и матрице поправака за чланове матрице модела основу (4.6)(4.7) Решење She и др. () V по завршетку итеративног процеса могу се добити на Решење предложено у She и др. () полази од облика функционалног модела (4.) линеаризованог у позицији вредности параметара модела и ~ мерених величина у -тој итерацији односно ~ А f ( ) ( ) δ V (4.3) односно тражи се решење линеарног EV модела (4.3) уместо нелинеарног облика (4.). Ако се модел овако представи онда Lagrage-ова функција циља има облик Ω ( ) ( ) ( ) [ δ ( ) ] m. (4.3) 47

60 48 Неопходни услови минимума функције циља Eer-Lagrage-овог типа имају онда нешто измењен облик у поређењу са изразима (4.6)(4.9) односно Ω : (4.33) Ω (4.34) δ Ω (4.35) δ Ω (4.36) док је довољан услов дефинисан изразом (4.). Изрази за оцене вектора поправака и имају онда облик (4.)(4.) при чему се не захтева Kroecer ов облик коваријационе матрице (4.3) а такође у изразу (4.) фигурише вектор параметара модела из -те итерације. У поређењу са (4.5) израз за вектор Lagrage-ових мултипликатора сада гласи. δ δ. (4.37) На основу израза (4.36)(4.37) као и (4.)(4.) може се формирати итеративни процес за оцену параметара модела као и вектора поправака и : ) ; ) 3) δ ; 4) δ V ;

61 5) V ( ) ( ) ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ ; ( ) ; ( ) ( ) ; V ( ) ( ) 6) Завршетак итеративног процеса ако је δ < ε где је ε усвојени ( ) ( ) критеријум конвергенције иначе и повратак на корак ) Решење mr-smooe и Jaaer () У предлогу приказаном у mr-smooe и Jaaer () тежи се аналогији са класичним Gass-Maro-љевим моделом (GMM). Полазни функционални и стохастички модел па према томе и неопходни услови минимума функције циља идентични су као у Schaffr и Weser (8) осим што се не претпоставља Kroecer ов облик коваријационе матрице Када се (4.)(4.) уврсте у (4.8) може се такође добити ~. [ ( ) ( )] ( ) ( ) (4.38) Заменом (4.39) у (4.3) и преуређењем може се онда добити односно ( V ) ( V ) ( V ) ( V ) (4.39) (4.4) што представља облик аналоган нормалним једначинама Gass-Maro-љевог модела. Сада се може формирати итеративни процес: ) ( ) ) ; 3) ; 49

62 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] V ec V V ( ) ( ) ( ) ; 4) и повратак на корак 3) све док се не испуни неједнакост ( ) ( ) < ε где је ε усвојени критеријум конвергенције Решење Mahbob () Решење проказано у Mahbob () има слична полазишта као и претходно. Карактеристично за овај приступ је преуређење услова (4.9) имајући у виду правила (3.7) у облик V V односно када се уврсти (4.) ec ( V ) ( ) ec( V ) (4.4) ( ) ( ). (4.4) На основу (4.38) и (4.4) увођењем ознаке добија се [ ] (4.43) ( ) ( ) ( ) ( ). (4.44) Сада увођењем ознаке ( ) ( ) (4.45) може се добити израз за оцену вектора параметара модела ( ) ( ) На основу (4.)(4.) (4.38) и (4.43)(4.45) формира се итеративни алгоритам: ) ( ) ; 5

63 ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3) Понављање корака ) док се не задовољи критеријум конвергенције ( ) ( ) < ε. У Mahbob () показано је и да се структуирани LS проблем (SLS) може решти коришћењем тежинског LS модела (WLS) ако се коректно одреде чланови коваријационе матрице модела. Наиме:. Ако се елеменат матрице понавља између понављајућих елемената коефицијент корелације мора бити односно коваријанса између ова два елемената једнака је њиховој варијанси.. Ако се елеменат матрице понавља са негативним предзнаком између понављајућих елемената коефицијент корелације мора бити односно коваријанса између ова два елемената једнака је негативној вредности њихове варијансе. 3. Ако је елеменат матрице фиксан његова варијанса једнака је. 4. За два различита елемента користи се њихова израчуната коваријанса ако су корелисани иначе је коваријанса једнака. 5. Чак и у хомоскедастичком случају некорелисаних мерења исте тачностиморају се применити наведена правила Оцена тачности Без обзира на примењени алгоритам оцена вредности функције циља Ω може се добити на основу (4.) и (4.) Ω ( ) ( ) ( ) (4.46) а оцена референтне варијансе као 5

64 5 Ω σ. (4.47) Кофакторска матрица за оцену параметара модела и вектора Lagrage-ових мултипликатора могу се добити на основу (4.)(4.) аналогно изразима (.37) и (.44) нелинеарног Gass-Hemert-овог модела па се може писати [ ]. (4.48) [ ] [ ]. (4.49) Кофакторске матрице поправака резултата мерења и чланова матрице модела могу се онда добити на основу (4.4)(4.4) применом закона о распростирању коваријанси (4.5) 4.3. EV модел са корелацијом између елемената матрице модела и вектора резултата мерења EV модел са корелацијом између елемената матрице модела и вектора резултата мерења може се изразити у облику (4.) односно (4.). Уколико се желе урачунати стохастичке особине свих грешака опажања се морају написати као проширени вектор ec V ec. (4.5) Према томе стохастичкие особине поправака могу се карактерисати проширеном коваријационом (дисперзионом) матрицом односно

65 D σ σ σ P (4.5) где је L M L M L L j ( ) ( ) L j L M M j L L M M. (4.53) Матрице репрезентују варијансе и коваријансе између елемената -те колоне проширене матрице модела [ А ] а елементи j кореспондирају коваријационим матрицама те колоне ( j) или коваријационе матрице између те и j те колоне проширене матрицемодела [ А ]. σ је непозната компонета варијансе. је проширени вектор опажања који укључује елементе матрице модела и вектор резултата мерења. је кореспондентни вектор поправака проширеног вектора опажања. и P су симетрична и позитивно дефинитна кофакторске матрица и матрица тежина од респективно. матрица за и. а кофакторске матрице је кофакторска и репрезентују корелације између За налажење решења потпуно тежинског LS према традиционалном Eer- Lagrage-овом приступу тражи се минимум функција циља Ω ( ) P [ V ] (4.54) где је вектор Lagrage-ових мултипликатора. Диференцирањем функције циља по и добијају се неопходни услови минимума функције циља Ω V (4.55) [ ] B Ω (4.56) 53

66 Ω где је B [ ] B (4.57). Довољан услов минимума функције циља је ипуњен за вектор резидуала пошто је Hessa матрица других извода функције циља по проширеном вектору резидуала Ω позитивно дефинитна матрица. Из (4.56) може се извести оцена вектора резидуала B (4.58) a затим заменом у (4.57) оцена вектора Lagrage-ових мултипликатора ( B B ) ( ) (4.59) Заменом вектора у (4.58) добија се B ( B B ) ( ) [ ] ( ) ( B BB ) [ ] ( B B B ) ( ) (4.6) Коришћењем правила (3.7) на производ V ( V ) ( ) ec V може се писати. (4.6) На основу (4.55) (4.59) и (4.6) онда се добија ( ) V ( B B ) ( ) (4.6) одакле следи један облик израза за оцену вектора параметара модела [ ( B B ) ] [ V ( B B ) ] [ ( B B ) ] [( ) ( B B ) ] (4.63) 54

67 55 [ ] [ ] { } B B B B B B. На основу (4.6) могу се написати нелинеарне нормалне једначине B B V B B V (4.64) што доводи до другачијег израза за оцену вектора параметара модела облика B B V V B B V. (4.65) За израчунавање решења потребно је формирати итеративни алгоритам (Fag Sow ): ) ; ) [ ] B [ ] B B ~ и ec V B B V B B V ~ 3) Ако је ε < : иначе понављање корака ). Оцена вредности функције циља Ω може се добити на основу Ω (4.66) а оцена референтне варијансе према изразу (4.47). Кофакторске матрице за оцену параметара модела и вектора Lagrage-ових мултипликатора могу се добити аналогно изразима (4.48) и (4.49) [ ] (4.67)

68 56 [ ] [ ] (4.68) док се за кофакторску матрицу поправака применом закона о распростирању коваријанси на (4.58) добија V V V B B. (4.69) 4.4. WLS проблем са условима ограничења Дефиниција нетежинског LS проблема са условима приказана је у Поглављу 3. WLS проблем са (константним) условима ограничења може се дефинисати као V (4.7) са стохастичким моделом ec D D σ. (4.7) За налажење решења потпуно тежинског LS са условима ограничења према традиционалном Eer-Lagrage-овом приступу тражи се минимум функција циља V Ω. (4.7) Кореспондетни неопходни услови за стационарну тачку су тада V А Ω (4.73) B Ω (4.74) B λ Ω (4.75)

69 57 Ω (4.76) где је [ ] B. Вектор оцењених мултипликатора у добија се из B B (4.77) што је исто као у неусловљеном случају. Уврштавањем мултипликатора у (4.73) нормалне једначине се добијају као N (4.78) где је V B B V N и V B B V. Затим уз помоћ матричних једначина (Koch 999) може се изразити оцењени вектор параметара за потпуно тежински WLS са условима ограничења као N N N N N N N N N N (4.79) N N N :. или алтернативно као : N N (4.8) где је решење неусловљеног потпуно тежинског WLS. На основу (4.79) или (4.8) решење за линеарни WLS са условима ограничења може се наћи итеративним поступком.

70 5. НУМЕРИЧКИ ПРИМЕРИ ПРИМЕНЕ LS У РЕШАВАЊУ ГЕОДЕСКИХ ПРОБЛЕМА У овом поглављу приказани су неки типични примери LS у решавању геодетских задатака. Циљ ових примера је да се покаже применљивост приказаних решења као и да се изврши упоређење са постојећим поступцима. На примеру добро познатог проблема ортогоналне регресије приказана је примена потпуно тежинског LS односно примена пуне коваријационе матрице проширене матрице модела [ ]. Решавање проблема оцене параметара емпиријске (датумске) трансформације сличности применом LS када су познате стандардне девијације координата како у изворном тако и у циљном координатном систему приказано је на примеру дводимензионалне (датумске) трансформације сличности. Извршено је упоређење са уобичајеним поступцима заснованим на Gass-Maro-љевом моделу. Проблем фитовања површи на скуп тачака са одређеним (измереним) кординатама показан је на примеру фитовања површи цилиндра. Скуп тачака одређен је терестричким ласерским скенирањем и нису биле расположиви подаци о тачности позиција тачака тако да је примењен класични (нетежински) LS поступак. У свим приказаним примерима оцена параметара модела и оцена тачности добијених резултата вршена је на два начина: ) применом одговарајућег LS алгоритма и ) применом итеративног Gass-Hemert-овог поступка описаног у Поглављу који је послужио за тестирање добијених резултата. За све израчунате примере постигнута је потпуна сагласност резултата добијених на оба наведена начина како за оцене параметара модела и поправака резултата мерења тако и за кореспондентне кофакторске матрице. За случај ортогоналне регресије и дводимензионалне датумске (емпиријске) трансформације координата такође су приказана и упоређена решења добијена Gas-Maro-љевим моделом. 58

71 5.. Ортогонална регресија Пример ортогоналне регресије односи се на одређивање правости (припадности скупа карактеристичних тачака правој линији) кранске стазе (шине) у термоелектрани Никола есла А. Кранска стаза дискретизована је са 57 карактеристичних тачака (Слика 5.). За карактеристичне тачке објекта (шине) одређене су хоризонталне позиције (координате) применом терестричких геодетских техника и изравнањем по методи најмањих квадрата. На располагању су биле оцене координата ( ) за 57 карактеристичних тачака приказаних на Слици као и њихова (пуна) кофакторска матрица димензија 4 4. Анализирани су случајеви занемаривања кофакторске матрице као и њеног (делимичног или потпуног) урачунавања у поступак оцене параметара регресионе (изравнавајуће) праве. За оба случаја израчуната су три решења применом Gass- Maro-љевог модела као и LS односно WLS решењe. Решења која анализирана могу се описати на следећи начин: ) Решење када се координата усваја као независно променљива величина (регресор) а координата као зависно променљива (одговор) (LS_ WLS_). Функционални модел изравнавајуће праве гласи а b. (5.) Коваријациона матрица (уколико се узима у обзир) зависно променљивих величина тада садржи варијансе и коваријансе за координату док се коваријациона матрица координата као и међусобне корелације занемарују. ) Решење када се координата усваја као независно променљива величина (регресор) а координата као зависна променљива (одговор) (LS_ WLS_). Функционални модел изравнавајуће праве гласи а. (5.) b 59

72 Слика 5.. Карактеристичне тачке кранске шине у ермоелектрани Никола есла А 6

73 Коваријациона матрица (уколико се узима у обзир) зависно променљивих величина тада садржи варијансе и коваријансе за координату док се занемарује коваријациона матрица координата као и међусобне корелације. 3) Решење на основу трансформисаних координата тачака ( ' ' ) (LS_trasf WLS_trasf). рансформација координата је извршена ротацијом координатног система за угао ϕ ta b где је b апроксимативна вредност коефицијента правца изравнавајуће праве тако да се оса приближно поклопи са очекиваним положајем изравнавајуће праве односно ' ' cosϕ cosϕ s ϕ s ϕ. (5.3) Функционални модел изравнавајуће праве тада има облик а b' ' '. (5.4) ' Кофакторска матрица координата ' (зависно променљивих) може се тада добити применом закона о распростирању коваријанси односно H H (5.4) ' где је H матрица облика cos ϕ s ϕ L H M M M M M. (5.5) L cos ϕ ϕ s За случај хомоскедастичности односно под претпоставком биће '. Кофакторска матрица координата ' (независно променљивих) као међусобна корелација између координата ' и ' у овом случају су ирелевантне односно имају (за све практичне примене) занемарљив утицај на оцену параметара изравнавајуће праве. На овај начин може се добити решење 6

74 идентично примени потпуног метода најмањих квадрата односно Gass- Hemert-овог итеративног поступка. 4) Ортогонална регресија - решење применом потпуног метода најмањих квадрата (LS WLS). Функционални LS модел облика (3.5) односно (4.) за нетежински односно тежински случај респективно где је усвојено [ L ] L a L. (5.6) b При дефиницији коваријационе матрице проширене матрице модела [ ] коришћена су правила наведена у Поглављу 4 (Одељак 4..) где су за фиксне елементе вредности варијанси једнаки а коваријансе између фиксних чланова проширене матрице модела и свих осталих такође једнаки (Mahbob ). При оцењивању параметара регресионе праве а и b код свих примењених модела координатни почетак је померен у центроид карактеристичних тачака шине. Сумарни преглед резултата за случај занемаривања коваријационе матрице координата карактеристичних тачака шине (нетежински) за сва четири решења (модела) приказан је абели 5.. Величине dma и dsr представљају максимално односно просечно удаљење оцењене позиције тачке од регресионе праве мерено по нормали. Параметри који нису директно оцењени у моделу израчунати су коришћењем релација а а b а а b b b b. (5.7) b а њихове стандардне девијације изведене су применом закона о распростирању коваријанси. 6

75 абела 5.. Оцене параметара и показатељи тачности регресионе праве занемаривањем коваријационе матрице координата тачака Модел а σ â [mm] а σ â [mm] b σ b b σ b d ma [mm] d sr [mm] LS_ LS_ LS trasf 4E 3E E 3E E- 3E LS - GHM 4E- 3E На основу резултата приказаних у абели 5. може се закључити да се за случај занемаривања варијанси и коваријанси карактеристичних тачака сваки од наведених модела може применити подједнако успешно. Блага разлика у оцени коефицијената правца b b изравнавајуће (регресионе) праве последица је нешто слабије условљености модела LS_ обзиром да је правац регресионе праве близак правцу осе. Ово је такође разлог зашто су стандардне девијације оцена σ â σ значајно веће у односу на респективне вредности σ â b показатељи квалитета фитовања за све анализиране моделе (решења). σ b. И поред тога d ma и d sr имају практично идентичне вредности Оцена тачности односно стандардних девијација оцењених параметара LS модела извршена је применом формулe (3.34). У абели 5. приказано је упоређење са оценама стандардних девијација на основу апроксимативних израза (3.4) (Kpferer 5) и (3.33) (Schaffr 6) као и израза (.44) односно нелинеарног Gass-Hemert-овог модела. 63

76 абела 5.. Упоредна анализа оцене тачности параметара регресионе праве занемаривањем коваријационе матрице координата тачака Стандардна девијација Schaffr (6) Kpferer (5) GHM Израз (3.4) σ â [mm] σ b Из абеле 5. може се приметити да се изразима (3.4) добијају оцене стандардних девијација параметара регресионе праве идентичне вредностима које следе из нелинеарног Gass-Hemert-овог модела односно израза (.44). На примеру скупа тачака са Слике 5. анализирана су решења (модели) који урачунавају (делимично или потпуно) варијансе и међусобне коваријансе координата тачака. Стандардне девијације скупа тачака са Слике 5. кретале су се у распону.47 mm.676 mm по оси и.697 mm mm по оси. Решења WLS_ и LS_ подразумевала су занемаривање варијанси и коваријанси за односно координату респективно и примену Gass-Maro-љевог модела. Решења WLS trasf подразумевало је такође примену Gass-Maro-љевог модела али узимање у обзир варијанси и коваријанси за све координате на претходно описан начин (Решење 3). Решење WLS GHM подразумевало је примену тежинског потпуног метода најмањих квадрата са пуном коваријационом матрицом описаном у Поглављу 4 као и примену нелинеарног GHM описаног у Поглављу. Обзиром да су резултати ова два поступка идентични приказани су као једно решење. Сумарни преглед резултата приказан је у абели 5.3 где су параметри који нису оцењени директо израчунати коришћењем релација (5.7) док су њихове стандардне девијације добијене применом закона о распростирању коваријанси. На основу резултата приказаних у абели 5.3 може се закључити да су решења WLS trasf и WLS GHM међусобно сагласна (до нивоа тачности рачунања) док се решења WLS_ и WLS_ значајно разликују. 64

77 абела 5.3. Оцене параметара и показатељи тачности регресионе праве урачунавањем коваријационе матрице координата тачака Модел WLS_ а σ â [mm] а σ â [mm] b σ b b σ b d ma [mm] d sr [mm] WLS_ WLS trasf WLS - GHM Бољи показатељи квалитета фитовања d ma и d sr за ова решења резултат су делимичног занемаривања података о тачности и корелисаности резултата мерења и према томе не могу се сматрати објективним. Оцена тачности односно стандардних девијација оцењених параметара WLS модела извршена је применом формулe (4.67) при чему је добијена потпуна сагласност са кореспондентним оценама добијених на основу израза (.44) односно нелинеарног Gass-Hemert-овог модела. 5.. Дводимензионална трансформација сличности Моделске једначине дводимензионалне трансформације сличности гласе c t o p o q c t o p o q (5.8) 65

78 где су ( o o ) координате у изворном координатном систему а ( c c ) координате у циљном координатном систему. Параметри t t p и q оцењују се на основу скупа идентичних тачака односно тачака чије су координате познате у оба координатна система. Иако су оба скупа координата резултат мерења и оцењивања према томе случајне величине уобичајен начин оцене параметара трансформације (примена Gass- Maro-њевог модела) подразумева да се координате у циљном координатном систему ( c c ) третирају као мерења (исте или различите тачности) док се координате у изворном координатном ( o o ) систему обично третирају као константе односно константни коефицијенти матрице модела. У овом примеру на располагању су биле 5 тачака осматрачке геодетске мреже хидроелектране Ђердап (Слика 5..) за које су одређене координате у две мерне епохе и извршена оцена њихове тачности тако да су биле расположиве стандардне девијације координате свaке тачке у обе мерне епохе. естирана је оцена параметара трансформације сличности између две мерне епохе Gass- Maro-љевим моделом (LS WLS) где су само координате у циљном координатном систему третитане као случајне величине и тежинским потпуним методом најмањих квадрата (LS WLS) где су урачунате несигурности свих координата које учествују у потупку оцене параметара трансформације. При томе су 4 тачака усвојене као идентичне тачке (тачке за оцену параметара трансформације) док су тачака третиране као неидентичне односно на њима је вршено упоређење резултата. Oбзиром да је реч о осматрачкој мрежи у којој су у свакој епохи координате тачака одређене на основу терестричих мерења истом мерном технологијом и поступцима а такође и у истој геометрији то су координате тачака у изворном и циљном координатном систему имале тачност истог реда величине. ако су у изворном координатном систему на идентичним тачкама за о координату стандардне девијације биле у распону.395 mm.776 mm односно.47 mm.893 mm за о координату. У циљном координатном систему кореспондентне вредности ових величина су биле.94 mm.9 mm за c координату и.78 mm.893 mm за c координату. 66

79 Слика 5.. Диспозиција тачака осматрачке геодетске мреже хидроелектране Ђердап Обзиром да нема међусобне корелације између скупова тачака при LS оцени параметара трансформације коришћен је поступак She и др. (). Матрица модела и вектор резултата мерења за дводимензионалну трансформацију сличности гласе 67

80 68 о о о о о о о о M M M M c c c c M q p t t. (5.9) Слично као у примеру изравнавајуће (регресионе) праве анализирана су два случаја. Први случај (доста чест у геодетској пракси) подразумева занемаривање података о тачности и корелисаности оцена координата како у изворном ( o o ) тако и у циљном координатном систему ( c c ). Други случај подразумевао је делимично или потпуно урачунавање (узимање у обзир) података о тчности координата укључених у поступак оцене параметара трансформације. Сумарни приказ оцена параметара трансформације као и вредности одступања односно положајних разлика трансформисаних координата и њихових познатих вредности у циљном координатном систему приказане су у абелама 5.4 и 5.5. абела 5.4. Оцене параметри дводимензионлне трансформације сличности и оцена тачности за случај занемаривања варијанси координата тачака Параметар LS LS GHM Вредност Стандардна девијација Вредност Стандардна девијација t.9 m.489 mm.9 m.489 mm t.35 m.489 mm.35 m.489 mm p.986e6.8e6.986e6.8e6 q 4.49E7.8E6 4.49E7.8E6

81 абела 5.5. Вредности несагласности на идентичним и неидентичним тачкама за случај занемаривања варијанси координата тачака Идентичне тачке Неидентичне тачке Модел d ma [mm] d sr [mm] d ma [mm] d sr [mm] LS LS GHM Из абеле 5.4 може се видети да за случај занемаривања података о тачности и корелисаности координата примена LS односно LS нема утицаја како на оцену параметара трансформације тако ни на оцену њихове тачности. Применом оба поступка добиће се идентичне вредности. Једини ефекат може се видети на вредностима одступања трансформисаних и познатих координата идентичних тачака (абела 5.5). Применом LS ова одступања биће дупло мања као последица чињенице да у овом случају поправке се рачунају како за координате у циљном координатном систему тако и за координате у изворном координатном систему па ће њихове вредности бити два пута мање. Што се тиче неидентичних тачака применом оба поступка добиће се идентичне вредности трансформисаних координата. Оцене параметара трансформације урачунавањем података о тачности координата у циљном координатном систему (WLS) као и урачунавањем података о тачности у оба координатна система (WLS) приказане су у абели 5.6 док су положајна одступања на идентичним и неидентичним тачкама применом ових поступака приказана у абели 5.7. Из абеле 5.6 могу се уочити разлике оцена параметара трансформације добијене применом два наведена поступка. Јасно је да се применом WLS добијају објективније оцене параметара трансформације обзиром да се урачунавају несигурности свих мерених величина које учествују у поступку оцена параметара трансформације. 69

82 абела 5.6. Оцене параметри дводимензионлне трансформације сличности и оцена тачности за случај урачунавања варијанси координата тачака WLS WLS GHM Стандардна Стандардна Параметар Вредност девијација Вредност девијација t.368 m mm.37 m mm t.369 m.469 mm.387 m mm p.68e6.46e6.56e6.e6 q 7.396E7.68E6 7.35E7.3E6 абела 5.7. Вредности несагласности на идентичним и неидентичним тачкама за случај урачунавања варијанси координата тачака Идентичне тачке Неидентичне тачке Модел d ma [mm] d sr [mm] d ma [mm] d sr [mm] WLS WLS GHM Из абеле 5.7. може се приметити да су одступања на идентичним тачкама добијена на основу примене WLS значајно мања у поређењу са истим добијеним на основу Gass-Maro-љевог модела док су на неидентичним тачкама за овај случај ефекти примене WLS значајно мањи што је последица практично исте тачности координата у изворном и циљном координатном систему. 7

83 5.3. Фитовање површи цилиндра на скуп тачака са тродимензионалним позицијама одређеним терестричким ласерским скенирањем Примена Gass-Maro-љевог модела (LS) у случају фитовања на скуп тачака у простору линија и површи другог реда није могућа. У оваквим случајевима могућа је једино примена нелинеарног Gass-Hemert-овог модела (GHM) или потпуног метода најмањих квадрата (LS WLS). Овакав случај приказан је на примеру фитовања површи цилиндра на скуп тачака у простору чије су позиције ( ) одређене терестричким ласерским скенирањем. Једначине цилиндра са произвољним положајем осе у простору могу се представити једначином B (5.) где су B ортогонални вектори који формирају базу цилиндра а његов полупречник. Уколико се одреди позиција тачке на површи цилиндра тродимензионалним ( ) онда се вектори и B могу добити као ( ) θ ( ) θ s cos (5.) ( ) θsφ( ) sθ sφ ( ) φ B cos cos (5.) где су ( ) односу координате центра базе цилиндра φ угао његове нагнутости у раван а θ угао ротације у односу на осу (Слика 5.3). Према томе функционални модел потпуно тежинског LS је облика где је w ( V ) (5.3) w 7

84 7 M w φ θ Слика 5.3. Положај осе цилиндра у координатном систему φ φ φ φ θ θ θ θ B B B B B B B B B B B B B B B B M M M M M Коваријациона матрица проширене матрице модела [ ] w има изглед

85 H H M H 5 H B H H H 5 H M H B H H H 5 H M H B H H H 5 H M H B H H H 5 H M H B H H B M H B 5 B B где су матрице H облика H O док је Јакобијева матрица једначине цилиндра по координатама карактеристичних тачака B облика B B B B B B B O O B B B B B. B Фитовање површи цилиндра применом LS извршено је на скупу од 4 тачке чије су тродимензионалне позиције добијене терестричким ласерским скенирањем торња Цркве Светог Анте Падованског на Врачару у Београду који има облик цилиндра. Циљ је био да се одреди угао нагнутости осе торња у односу на хоризонталну раван. Диспозиција ових тачака приказана је на Слици 5.4. Обзиром да нису биле расположиве информацији о варијансама и коваријансама за координате тачка фитовање је извршено класичним (нетежинским) LS. 73

86 Слика 5.4. Диспозиција тачака на фасади торња Цркве Светог Анте Падованског на Врачару 74

87 Координате сваке тачке на површи торња омогућавале су формирање једне једначине са 5 непознатих параметара θ φ и. рећа координата базе цилиндра је фиксирана да би се избегла слаба условљеност система обзиром да је торањ приближно вертикалан. Оцењени параметри положаја цилиндра у простору на основу LS модела у овом раду као и вредности добијене комерцијалним софтвером Leca Geomagc приказани су у абели 5.8. абела 5.8. Параметри изравнавајућег цилиндра торња Цркве Светог Анте Падованског Модел Координате базе цилиндра σ [m] σ [m] [m] θ σ θ φ σ φ σ [m] LS GHM º3 88º Geomagc º º Просечна вредност деформације у односу на изравнавајући цилиндар износи. m док је максимална вредност.4 m. На Слици 5.5. приказан је просторни распоред вредности деформација по нормали на изравнавајући цилиндар где се види да су деформације веће по вредности заступљене у доњем делу што указује не само на нагињање него и деформацију облика. 75

88 Слика 5.5. Просторни распоред деформација торња Цркве Светог Анте Падованског на Врачару у односу на изравнавајући цилиндар 76