ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ»

Transcript

1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΩΝ ΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΗ ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΜΑΕΔΟΝΙΑ - Α.Τ.Ε.Ι ΟΖΑΝΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΗ ΕΡΓΑΙΑ ΘΕΜΑ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕ ΟΙΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ε ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΗ ΕΛΛΗΝΙΗ ΟΙΟΝΟΜΙΑ» ΦΟΙΤΗΤΗ: ΛΙΑΠΗ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ ΥΠΕΥΘΥΝΟ ΑΘΗΓΗΤΗ: ΜΠΙΜΠΑ ΑΝΤΩΝΙΟ ΟΖΑΝΗ ΙΟΥΛΙΟ 006

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΙΑΓΩΓΗ. ΕΦΑΛΑΙΟ «Η ΟΙΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΑ». ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΟΙΟΝΟΜΕΤΡΙΑ...5. ΠΟΥ ΧΡΗΙΜΟΠΟΙΕΙΤΕ Η ΟΙΟΝΟΜΕΤΡΙΑ.6 3. ΟΙΟΝΟΜΕΤΡΙΗ ΑΝΑΛΥΗ 7 ΕΦΑΛΑΙΟ «ΓΡΑΜΜΙΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ». ΕΙΑΓΩΓΗ.9. ΤΟ ΛΑΙΟ ΓΡΑΜΜΙΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ..9. ΒΑΙΕ ΥΠΟΘΕΕΙ ΜΕΘΟΔΟ ΕΛΑΧΙΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ.0 3. ΟΙ ΑΝΟΝΙΕ ΕΞΙΩΕΙ ΜΕ ΜΗΤΡΕ. 3. ΠΗΓΕ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ ΑΙ ΤΥΠΙΟ ΦΑΛΜΑ 3 4. ΥΝΤΕΛΕΤΕ ΥΧΕΤΙΕΩ-ΠΡΟΔΙΟΡΙΜΟΥ ΤΑΤΙΤΙΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΗ- ΥΧΕΤΙΗ ΕΛΕΓΧΟ ΥΝΤΕΛΕΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΥΧΕΤΙΗ- ΠΡΟΔΙΟΡΙΜΟΥ 9 5. ΕΛΕΓΧΟ ΤΩΝ ΥΝΤΕΛΕΤΩΝ ΜΕΡΙΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΕΩ ΕΛΕΓΧΟ ΤΩΝ ΥΝΤΕΛΕΤΩΝ ΜΕΡΙΗ ΥΧΕΤΙΕΩ.. 6. ΕΞΟΔΟ ΑΙ ΑΝΑΛΥΗ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟ.3 6. Η ΤΙΜΗ R ΤΟ ΤΑΤΙΤΙΟ ΤΟΙΧΕΙΟ F ΤΥΠΙΑ ΦΑΛΜΑΤΑ ΡΙΤΗΡΙΟ ΑΠΟΦΑΕΩΝ.. 7 ΕΦΑΛΑΙΟ 3 «ΟΙΟΝΟΜΕΤΡΙΗ ΑΝΑΛΥΗ ΤΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟ». Το ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ARCH «Έννοια και Διατύπωση» 3. ΕΛΕΓΧΟ ΓΙΑ ARCH.3 3. ΒΑΙΑ ΧΑΡΑΤΗΡΙΤΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΟΝΟΜΙΩΝ ΕΙΡΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΙΜΟΤΗΤΑ.4 5. ΠΡΟΒΛΕΨΕΙ ΔΥΝΑΜΙΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ «Bo και Jenkins» ΔΙΑΝΥΜΑΤΙΑ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΙΑΓΩΓΗ ΤΗΝ ΥΓΧΡΟΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΩΝ ΕΙΡΩΝ 5 9. ΥΝΟΛΟΛΗΡΩΗ...57 ΔΕΔΟΜΕΝΑ..60 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...66

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ: την παρούσα Μεταπτυχιακή Εργασία διεξάγεται μια ανάλυση της μεταλητότητας που παρουσιάζουν 4 μετοχές του Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών, καθώς και οι σχέσεις που προκύπτουν μεταξύ αυτών και του Γενικού Δείκτη τιμών του (Χ.Α.Α.). Οι Μετοχές επιλέχθηκαν ομοιόμορφα και για να γίνουμε πιο συγκεκριμένοι μετοχές από κάθε δείκτη (Μεγάλης, Μεσαίας-Μικρής κεφαλαιοποίησης ). Η περίοδος η οποία επιλέχτηκε να γίνει η μελέτη είναι έτος και επίσης θα προχωρήσουμε, όσο αυτό μας είναι επιτρεπτό, σε μια πρόλεψη για την πορεία των παραπάνω μεγεθών. Πρέπει επίσης να επισημάνουμε ότι στην ελληνική κεφαλαιαγορά έλααν χωρά σημαντικά γεγονότα πριν από το παραπάνω διάστημα, όπως είναι η εισαγωγή υμολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης (.Μ.Ε.) επί ορισμένων μετοχών που πληρούν κάποια ασικά χαρακτηριστικά. ΕΙΑΓΩΓΗ. Η μεταλητότητα των τιμών των μετοχών και τη επίδραση αυτών στην πορεία του Γενικού Δείκτη, έχουν γίνει αντικείμενο μελέτης από πολλούς ερευνητές ανά τον κόσμο που ασχολούνται με τις χρηματιστηριακές αγορές. Επίσης, η παραπάνω ανάλυση έχει απασχολήσει σε μεγάλο αθμό την ιλιογραφία και αρθογραφία παγκοσμίως. Ένα μεγάλο ερώτησα είναι το ΓΙΑΤΙ?. Η απάντηση είναι απλή και δεν είναι άλλη από το ενδιαφέρον των ερευνητών για την διαπίστωση κάποιων υφισταμένων σχέσεων με απώτερο σκοπό την μελλοντική πρόλεψη των παραπάνω χρηματιστηριακών μεγεθών. εφαλαιοποίηση και Εμπορευσιμότητα. Ο Γενικός Δείκτης του (Χ.Α.Α.) είναι ένας συνολικός υπολογιστικός αλγόριθμος ο ποιος και αποτυπώνει την εκάστοτε ημερήσια τάση της αγοράς (Άνοδο άθοδο). Για την εξαγωγή του παραπάνω αποτελέσματος ο Γενικός Δείκτης λαμάνει υπ όψη του τις τιμές όλων των μετοχών της συνεδρίασης. Το ερώτημα που τίθεται αμέσως, είναι αν όλες οι μετοχές έχουν την ιδία αρύτητα για τον Γενικό Δείκτη. Η απάντηση στα παραπάνω δίνεται από τον τίτλο της παραγράφου και είναι αρνητική. Η επίδραση των μετοχών πάνω στο Γενικό Δείκτη εξαρτάται από την εφαλαιοποίηση και την Εμπορευσιμότητα των μετοχών, όσο πιο υψηλά είναι αυτά τα μεγέθη τόσο πιο μεγάλη είναι η επίδραση. Ο επιμέρους δείκτης FTSE/ASE 0 είναι αυτός που περιλαμάνει τις 0 μετοχές με τα μεγαλύτερα παραπάνω μεγέθη ( Εμπορευσιμότητα εφαλαιοποίηση). το παρόν σημείο θα ήταν χρήσιμο να παραθέσουμε και την διαπίστωση στο άρθρο του (ταγιάννη Απόστολου- Dreel Universiy) που λέει ότι ο Γενικός Δείκτης του Χ.Α.Α. έχει bea ίσο με τη μονάδα. Από εκεί και πέρα μετοχές με bea μεγαλύτερο της μονάδας θεωρούνται επιθετικές και μεταάλλονται κατά μέσο όρο περισσότερο σε σύγκριση με τη μεταολή της αγοράς. Για παράδειγμα, εάν μια μετοχή έχει bea ίσο με,4 τότε μια αύξηση του Γενικού Δείκτη. κατά 0% θα οδηγήσει σε αύξηση της τιμής της μετοχής κατά 4% και αντίστροφα. Αντίθετα, μετοχές με bea μικρότερο της μονάδας θεωρούνται αμυντικές και μεταάλλονται Για την εκτίμηση του bea υπολογίζεται η απόδοση (μέρισμα & κεφαλαιακά κέρδη) κάθε μετοχής και οι αντίστοιχες αποδόσεις του Γενικού Δείκτη του Χ.Α.Α. Το αποτέλεσμα εξάγεται από το πηλίκο της συνδιακύμανσης των αποδόσεων της μετοχής με τις αποδόσεις του Γ.Δ. προς τη διακύμανση των αποδόσεων του Γ.Δ. για το ίδιο χρονικό διάστημα.

4 κατά μέσο όρο λιγότερο σε σύγκριση με τη μεταολή της αγοράς. Για παράδειγμα, εάν μια μετοχή έχει bea ίσο με 0,8 τότε μια μείωση του Γενικού Δείκτη. κατά 0% θα οδηγήσει σε μείωση της τιμής της μετοχής κατά 8% και αντίστροφα. Πρέπει έαια να επισημάνουμε ότι, ο συντελεστής bea δεν δείχνει τη μεταλητότητα μιας μετοχής σε απόλυτους όρους,αλλά πόσο μεταλητή είναι αυτή ως προς το δείκτη του Χ.Α.Α.. Επιτόκια και Προσδοκίες. Επομένως με την παραπάνω παράθεση γίνεται μια πρώτη πρακτική επαφή της αλληλεπίδρασης αυτών των μεγεθών. Βεαία οι μεταολές στα εν λόγο μεγέθη δεν είναι αποτελέσματα μονό μαθηματικών και οικονομετρικών αναλύσεων, αλλά αντικατοπτρίζουν και ψυχολογικούς παράγοντες της αγοράς. ημαντική είναι η δήλωση του 999, από τον υπεύθυνο και στρατηγικό αναλυτή της HSBC για τις αναδυόμενες αγορές (Tz.Loma) οπού και χαρακτήριζε την αγορά της οφοκλέους με καθόλου κολακευτικά λόγια σαν την «Μητέρα όλων των φουσκών». Το παραπάνω έχει να κάνει με την συνεχή απόδοση θετικών πρόσημων στην αγορά που ανταποκρίνοταν μονό και μονό σε θετικές προσδοκίες των επενδυτών και τίποτα άλλο. Ένα στοιχειό επηρεασμού του Γενικού δείκτη τιμών και μετοχών είναι και τα επιτόκια της αγοράς. Ο Θεόδωρος Θεοδωρόπουλος «Χρηματιστηριακές Επενδύσεις» σελ. 34 αναφέρει χαρακτηριστικά ότι αν τα επιτόκια ρίσκονται στο 3% τότε και η τιμή του Γενικού Δείκτη είναι στις μονάδες, στο 6% τότε η τιμή του Γενικού Δείκτη είναι στις μονάδες, και με επιτόκια στο % η θέση του Γενικού Δείκτη πρέπει να είναι στις μονάδες. Ένα ακόμα σημαντικό παράδειγμα ψυχολογίας είναι ο χρηματιστηριακός δείκτης NIKE που το 000 μια νέα εισαγωγή εταιρείας πληροφορικής που δραστηριοποιούνταν στα δίκτυα έφερε απότομη και μεγάλη άνοδο( επί μετοχών. Επιλογή υποκείμενων τίτλων για.μ.ε επί μετοχών Η επιλογή των μετοχών που θα χρησιμοποιηθούν ως υποκείμενοι τίτλοι στα υμόλαια Μελλοντικής Εκπλήρωσης επί μετοχών θα γίνει µε κριτήρια που έχουν να κάνουν µε την ιστορική συμπεριφορά των τίτλων όσον αφορά τη μεταλητότητα, τον ημερήσιο τζίρο, το εύρος διακύμανση της τιμής και το ποσοστό ευρείας διασποράς (free floa). Οι υποκείμενοι τίτλοι θα πρέπει να έχουν υψηλή κεφαλαιοποίηση, άρα υποψήφιες θεωρούνται οι μετοχές που απαρτίζουν το δείκτη υψηλής κεφαλαιοποίησης FTSE/ASE 0. Η μεγάλη ευρεία διασπορά (free floa) θα πρέπει να χαρακτηρίζει τους τίτλους που θα επιλεγούν. Οι μετοχές µε free floa που είναι κοντά ή ξεπερνάει το 50% είναι η ΑΛΦΑ, ΕΠΑΤΤ, ΒΙΟΧ, ΕΤΕ, ΕΛΤΕΧ, ΕΜΠ, ΙΝΤΑ, ΟΤΕ, ΤΙΤ, ΕΥΡΩΒ και ΠΕΙΡ. Παράλληλα, όμως πρέπει και ο συνολικός αριθμός των μετοχών που ρίσκονται σε ευρεία διασπορά να είναι υψηλός. Η εκκαθάριση µε φυσική παράδοση την ημέρα λήξης των συμολαίων, θα έχει ως συνέπεια την αυξημένη ζήτηση του τίτλου στην υποκείμενη αγορά την περίοδο πριν από την ηµεροµηνία λήξης των συμολαίων. Αν ο συνολικός αριθμός των μετοχών που είναι

5 σε ευρεία διασπορά δεν επιτρέπει την απορρόφηση της αυξημένης ζήτησης, θα υπάρχουν μεγάλες διακυμάνσεις στην τιμή του υποκείμενου τίτλου. πίνακας « Επίσης όπως αναφέραμε και πιο πάνω σημαντικό στοιχείο είναι και η εμπορευσιμότητα των μετοχών οπότε παραθέτουμε έναν ακόμα πίνακα με τα αντίστοιχα στοιχειά. πίνακας « 3

6 Τέλος σε αυτό το σημείο πρέπει να τονιστεί ότι μετοχές με υψηλή μεταλητότητα, είναι αυτές που ενδιαφέρουν τους επενδυτές διότι τα.μ.ε ουσιαστικά διαπραγματεύονται αντίθετες προσδοκίες για τον υποκείμενο τίτλο. Αν η μελλοντική συμπεριφορά του τίτλου είναι εύκολα προλέψιμη, τα.μ.ε χάνουν ουσιαστικά την αξία τους ως εργαλείο απεικόνισης προσδοκιών. ύγχρονα μοντέλα ανάλυσης μεταλητότητας. Οι χρονοσειρές των μετοχικών αποδόσεων αποτελούν μια ειδική κατηγορία των οικονομικών χρονολογικών σειρών. Όπως μπορούμε να καταλάουμε και από τα παραπάνω οι ειδικές περιπτώσεις χρίζουν και ιδιαίτερης μεταχείρισης, οπότε και έχουν διαμορφωθεί ειδικές τεχνικές για την ανάλυση τους. Ένα χαρακτηριστικό των μετοχικών αποδόσεων είναι το volailiy clusering, το οποίο συνδέεται όχι μονό με την άφιξη της πληροφορία αλλά και με την μετάδοση. Επίσης σε αυτό το κομμάτι πρέπει να αναφέρουμε και το φαινόμενο της μόχλευσης το οποίο συνδέεται και αυτό με τις μετοχικές αποδόσεις. Τέλος, ένα ακόμα σημαντικό χαρακτηριστικό για την μεταλητότητα είναι το μοντέλο της υπό συνθήκης αυτοπαλίνδρομης ετεροσκεδαστικότητας ARCH και η επέκταση του στο μοντέλο της υπό συνθήκης γενικευμένης ετεροσκεδαστικότητας που έχουν το πλεονέκτημα να συμπεριλαμάνουν και το φαινόμενο του volailiy clusering. τα παραπάνω μοντέλα υπάρχει όμως ένα μειονέκτημα, στο ότι εκλαμάνουν συμμετρικά τις αντιδράσεις της μεταλητότητας. Την απάντηση στα παραπάνω έδωσαν τα ασσυμετρικά μοντέλα GJR-GARCH (Jahannahan και Runkle) Δεδομένα Μεταλητές. την εργασία χρησιμοποιήθηκαν οι ημερήσιες τιμές του Γενικού Δείκτη τιμών του ΧΑΑ, καθώς και οι ημερήσιες τιμές των τριών παρακάτω μετοχών ΕΤΕ, ΕΛΑI, FORTHNET και FOURLIS. Οι παραπάνω τιμές αφορούν το διάστημα 4/0/05 έως 4/0/06. Η επιλογή όπως αναφέρω και στην περίληψη έγινε με τρόπο τέτοιο, έτσι ώστε να έχουμε μια διάρθρωση η οποία και θα μας επιτρέπει να έχουμε καλύτερη εικόνα για την σχέση μεταξύ του δείκτη και μετοχών. Πιο συγκεκριμένα η επιλογή της ΕΤΕ που έχει να κάνει με μετοχή του FTSE/ASE 0 έγινε για να μας δείξει την ισχυρή όπως αναμένουμε συσχέτιση με τον Γενικό Δείκτη, οι υπόλοιπες επιλογές έγιναν αντίστοιχα με την επιρροή της μετοχής επάνω στον δείκτη. Μεθοδολογία. Το κυρίως μέρος της εργασία θα στηριχθεί σε οικονομετρικές εφαρμογές και συγκεκριμένα, αφορά την γενική παρουσίαση και ανάλυση κάποιων οικονομετρικών σχέσεων που θα οηθήσουν στην κατανόηση των παραπάνω. Οι χρονοσειρές καθώς και σημαντικοί έλεγχοι π.χ. (ADF) είναι επίσης κάποια στοιχειά της μελέτης μας. την παρούσα εργασία κρίθηκε αναγκαία, και η μελέτη της αιτιότητας μεταξύ των μεγεθών που μελετούνται. Η αιτιότητα θα αναλυθεί και θα παρουσιαστεί έτσι όπως μεγάλοι συγγραφείς την έχουν αποτυπώσει. 4

7 ΕΦΑΛΑΙΟ Η Οικονομετρία Γενικά. Τι Είναι η Οικονομετρία; Ο συστηματικός έλεγχος της θεωρίας αποτελεί ένα σημαντικό κομμάτι που συνοδεύει κάθε επιστήμη. Όταν έχουμε μια θεωρία, ανεξάρτητα από την λογική της συνέπεια η ίδια δεν μπορεί να υπάρξει χωρίς να μεταφερθεί σε πραγματικά δεδομένα και αυτό ονομάζεται και συχνά αναφέρεται σαν εμπειρικός έλεγχος. Ο William H. Beveridge. διευθυντής της Οικονομικής χολής του Λονδίνου ανέφερε στον αποχαιρετιστήριο λόγο του, ότι οι οικονομολόγοι χρησιμοποιούσαν τα γεγονότα όχι για να έλεγχο της θεωρίας αλλά ως επεξηγήσεις. Από τότε έχουμε μια στροφή στην εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων στην ανάλυση και ερευνά των οικονομικών φαινομένων. Για να δούμε σιγά-σιγά και πιο ειδικά κομμάτια της οικονομετρίας πρέπει να αναφερθούμε, στο ότι η συγκεκριμένη επιστήμη ασχολείται κυρίως με την ποσοτική πλευρά της οικονομικής επιστήμης και προσπαθεί να δώσει εμπειρικό περιεχόμενο στις σχέσεις της οικονομικής θεωρίας. την οικονομετρία έχουμε συνδυασμό μαθηματικών αλλά και στατιστικής αυτός ο συνδυασμός, που όπως αναφέρουμε και πιο πάνω χρησιμοποιείται με σκοπό την επαλήθευση της οικονομικής θεωρίας, έχει κάνει πολλούς να συγχέουν το περιεχόμενο της οικονομετρίας με αυτό των Μαθηματικών ή της τατιστικής, ενώ είναι κάτι το διαφορετικό. Η οικονομετρία αυτό που κάνει είναι να χρησιμοποιεί τις συναρτησιακές σχέσεις της οικονομικής επιστήμης και αφού τις μετατρέψει σε μαθηματικές, κατασκευή ενός υποδείγματος (model), προσπαθεί να τις εκτιμήσει εμπειρικά. ε αυτό το σημείο υπάρχει η εμπλοκή της τατιστικής και των Μαθηματικών, γιατί μέσα από αυτές τις δυο επιστήμες που είναι προσαρμοσμένες στα ιδιαιτέρα χαρακτηριστικά των οικονομικών φαινόμενων που μελετάμε επέρχεται και η εμπειρική εκτίμηση. Η Οικονομετρία, με τη χρησιμοποίηση καταλλήλων μεθόδων, που όπως είναι και εμφανές ονομάζονται οικονομετρικές, προχωράει σε εκτίμηση των παραμέτρων του υποδείγματος. Οι κλασικές στατιστικές μέθοδοι δεν είναι πάντα κατάλληλες για την ανάλυση μετρήσεων που δεν προέρχονται από ένα ελεγχόμενο πείραμα, ένα πείραμα όπως το εργαστηριακό, όπου ο ερευνητής, μπορεί να ελέγχει όλες τις μεταλητές ενός φαινόμενου και να αφήνει ελεύθερη εκείνη της οποίας την επίδραση θέλει να μελετήσει. Η Οικονομική επιστήμη δεν μπορεί να έχει αυτήν την πολυτέλεια, του ελεγχόμενου πειράματος και των παρατηρήσεων που προέρχονται από αυτό. Οι οικονομικές μετρήσεις προέρχονται από την καθημερινή ζωή και δεν είναι το αποτέλεσμα ενός ελεγχόμενου πειράματος. Για όλους τους παραπάνω λογούς που αναφέρουμε είναι σημαντικό να τονιστεί πως, για την εμπειρική διερεύνηση των οικονομικών φαινομένων, γίνεται προσαρμογή, οπού απαιτείται των κλασικών στατιστικών μεθόδων στα ιδιαιτέρα χαρακτηριστικά των οικονομικών σχέσεων, αφού λάουμε υπόψη ότι οι οικονομικές μετρήσεις δεν είναι πειραματικές. Η ανάπτυξη και η εφαρμογή κατάλληλων μεθόδων για την μέτρηση των οικονομικών σχέσεων είναι το περιεχόμενο της οικονομετρίας. 5

8 . Που Χρησιμοποιείται η Οικονομετρία. Η οικονομετρική ανάλυση επιχειρείται για κάποιον ή και για όλους τους παρακάτω λογούς που ακολουθούν : Την εμπειρική επαλήθευση ή τον έλεγχο της θεωρίας. Τι είναι ο έλεγχος όμως της θεωρίας; Ο έλεγχος μιας θεωρίας ή μιας υποθέσεως είναι ο έλεγχος των προλέψεων της θεωρίας ή της υποθέσεως. Με τον ορό πρόλεψη να μην αναφέρεται μονό για το μέλλον, αλλά και για το παρελθόν. Αν η πρόλεψη είναι σωστή αυτό μπορούμε να το διαπιστώσουμε μονό πάνω στα πραγματικά δεδομένα, επίσης η θεωρία όταν δεν αποδεικνύεται ότι δεν είναι ορθή γίνεται δεκτή. Η διαδικασία που ακολουθούμε για τον οικονομετρικό έλεγχο μιας θεωρίας είναι να εκφράσουμε αρχικά την θεωρία μαθηματικά και αυτό το καταφέρνουμε με την δημιουργία ενός υποδείγματος. Αν μετά από την μελέτη του υποδείγματος αυτό εξηγεί κατάλληλα τα οικονομικά δεδομένα, η θεωρία επαληθεύεται οπότε και γίνεται δεκτή. Την άσκηση οικονομική πολιτικής. Οι αριθμητικές τιμές των παραμέτρων των διαφόρων οικονομικών σχέσεων είναι απαραίτητες για την άσκηση οικονομικής πολιτικής. Αν και κατά ποσό θα ελαττωθεί η κατανάλωση π.χ. ενός αγαθού ή πόσα θα είναι τα φορολογικά έσοδα από την επιολή κάποιου φόρου, θα εξαρτηθεί κατά κύριο λόγο από την ελαστικότητα της ζητήσεως του. Επομένως, για να δοθούν απαντήσεις στα προηγούμενα ερωτήματα είναι απαραίτητη γνώση της αριθμητικής τιμής ελαστικότητας. Η χρησιμότητα της οικονομετρίας για την άσκηση οικονομική πολιτικής είναι και φανερή αλλά και συγχρόνως σπουδαία. Την πρόλεψη των μελλοντικών τιμών των οικονομικών μεταλητών. Από την καθημερινότητα μπορούμε να καταλάουμε ότι οι προλέψεις για την πορεία κάποιων οικονομικών μεγεθών έχει μεγάλη σημασία. Τα περισσότερα οικονομικά μεγέθη αποτελούν την άση για έναν όσο είναι δυνατόν ορθολογικότερο προγραμματισμό, που θα μας οηθήσει στην λήψη κάποιων σημαντικών αποφάσεων. Οπότε, οι προλέψεις μπορούν να θεωρηθούν απαραίτητο στοιχειό για την λήψη αναγκαίων μέτρων από τους αρμοδίους φορείς λήψεων αποφάσεων. Για τους παραπάνω σκοπούς, με την οήθεια των διαφόρων οικονομετρικών υποδειγμάτων, μπορούμε να έχουμε τις απαραίτητες εκτιμήσεις των μελλοντικών τιμών των διαφόρων οικονομικών μεταλητών, όπως το εισόδημα, η απασχόληση, η κατανάλωση, οι εισαγωγές κλπ. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα που εμπεριέχει και τα τρία παραπάνω στοιχειά είναι η αγορά του πετρελαίου. Μια πρόλεψη για αύξηση των τιμών του πετρελαίου, θα επιφέρει άμεση κρατική παρέμαση με την άσκηση οικονομική πολιτικής (π.χ. μείωση φόρου εισαγωγής, χρησιμοποίηση κρατικών αποθεμάτων) για να αποφευχθούν μεταολές σε σημαντικά οικονομικά μεγέθη που πάνω απ όλα θα είναι η αύξηση τιμών των περισσοτέρων αγαθών που θα συμπαρασύρει μαζί της σε αντίστοιχη μείωση το εισόδημα. Τέλος έχουμε την επιεαίωση της θεωρίας, ότι μια αύξηση της τιμής ενός αγαθού έχει σαν συνεπεία την μείωση της ζητούμενης ποσότητας του συγκεκριμένου αγαθού. 6

9 3. Οικονομετρική Ανάλυση. Όταν ερευνούμε ένα οικονομικό φαινόμενο είμαστε υποχρεωμένοι να ακολουθήσουμε κάποια ήματα. Παρακάτω θα δούμε ποια συγκεκριμένα ήματα είναι αυτά τα οποία μας οηθούν στην παραπάνω ανάλυση. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Το πιο δύσκολο αλλά και συγχρόνως το πιο σπουδαίο κομμάτι στην οικονομετρική ανάλυση. το συγκεκριμένο ήμα έχουμε τον καθορισμό των διαφόρων μεταλητών που θα χρησιμοποιήσουμε, καθώς και την μαθηματική διατύπωση του υποδείγματος. Το σημαντικότερο πρόλημα που αντιμετωπίζουμε σε αυτήν την φάση της οικονομετρικής αναλύσεως είναι ότι δεν υπάρχουν κάποια συγκεκριμένα κριτήρια, που θα μας οδηγήσουν στην επιλογή του κατάλληλου υποδείγματος για να προχωρήσουμε στη συνέχεια στη μελέτη του φαινόμενου που μας απασχολεί. Όπως γνωρίζουμε, για να χρησιμοποιήσουμε ένα οικονομετρικό υπόδειγμα πρέπει να υπάρχει και μια αρχική θεωρία. ε αυτό το σημείο υπάρχει η διαφορά από την «θεωρητική» άποψη της οικονομετρίας σε σχέση με την «εμπειρική» άποψη η οποία και δέχεται ότι δεν είναι αναγκαία η παρουσία θεωρίας, και ότι από τα πραγματικά δεδομένα θα προκύψει το υπόδειγμα. Όπως αναφέρουμε και στην αρχή της παραγράφου, ένα από τα πρώτα στάδια είναι και η επίλογοι των μεταλητών (εξωγενείς-ενδογενείς), σε αυτό μας οηθά η οικονομική θεωρία η οποία και μπορεί να μας υποδείξει ποιες είναι οι κατάλληλες για το υπόδειγμα μας. Βεαία αυτό δεν είναι πάντα δυνατόν να γίνει, γιατί μερικές μεταλητές μπορεί να μην είναι μετρίσιμες και κάποιες άλλες να μην μπορούν να παρατηρηθούν. την πράξη εαία έχουμε δοκιμή για την επιλογή της κατάλληλης με διαφορές δοκιμές. Με αλλά λόγια, η επιλογή των μεταλητών αλλά και της μαθηματική μορφής της σχέσης που συνδέει τις μεταλητές είναι ένα συνδυασμός της θεωρίας αλλά και των πραγματικών δεδομένων. Ένα κλασικό παράδειγμα που θα μας οηθήσει να δούμε πως γίνεται η παραπάνω προσέγγιση, είναι αυτό της ζήτησης. Από την οικονομική θεωρία γνωρίζουμε ότι, οι μεταλητές που επηρεάζουν άμεσα την ζήτηση του αγαθού, είναι. η τιμή (Price), η τάση των καταναλωτών προς αυτό το προϊόν (Trend), οι τιμές των υποκατάστατων (P υ ), οι τιμές των συμπληρωματικών (P σ ) και τέλος το εισόδημα των καταναλωτών (Income). Οπότε στην γενική μορφή της η συνάρτηση της ζήτησης μπορεί να γραφεί ως εξής: Q = f ( P, T, P, P. I) υ σ (.) Όπως λέπουμε και στο παράδειγμα μας η οικονομική θεωρία δεν μας δίνει την ακριή μαθηματική μορφή των οικονομικών σχέσεων. ε αυτό θα προχωρήσουμε εμείς, υποθέτοντας ότι η σχέση όλων των παραπάνω είναι γραμμική, οπότε και θα κατασκευάσουμε την παρακάτω σχέση, που θα αποτελέσει το οικονομετρικό υπόδειγμα που θα αναλύσουμε: Q = 0 + P + Pυ + 3Pσ + 4I + u (.) 7

10 Εκτίμηση του υποδείγματος. Η εκτίμηση του υποδείγματος έχει να κάνει με την εφαρμογή καταλλήλων οικονομετρικών μεθόδων για την εκτίμηση των συντελεστών του υποδείγματος. Ως προς το είδος των στατιστικών παρατηρήσεων για τις μεταλητές έχουμε δυο κατηγορίες, α) Τις χρονολογικές σειρές και ) Τα διαστρωματικά στοιχειά. Οι χρονολογικές σειρές αναφέρονται σε διαχρονικές παρατηρήσεις π.χ. μηνιαίες, ημερήσιες κλπ. Τα διαστρωματικά στοιχειά ασχολούνται με παρατηρήσεις που αφορούν ένα σάρωμα οικονομικών μονάδων σε μια δεδομένη χρονική στιγμή π.χ. εισόδημα. Έλεγχος του υποδείγματος. Μετά από την εκτίμηση του υποδείγματος, το επόμενο ήμα είναι να γίνει η αξιολόγηση του. Για την διαδικασία αυτή, χρησιμοποιούνται κριτήρια τα οποία μπορούν να διακριθούν σε οικονομικά, στατιστικά και οικονομετρικά. Ανεξάρτητα τώρα όμως από τον στατιστικό και οικονομετρικό έλεγχο, που μας ενδιαφέρει και θα μελετήσουμε στην συγκεκριμένη εργασία, το υπόδειγμα μας αξιολογείται και ως προς την ικανότητα του για προλέψεις μελλοντικών τιμών, έχουμε έλεγχο της «επίδοσης» του υποδείγματος μας. Εδώ εαία πρέπει να προσέξουμε ιδιαιτέρα διότι μπορεί η «επίδοση» του υποδείγματος μας να είναι ικανοποιητική, οι προλέψεις όμως μπορεί να διαφέρουν από τις πραγματικές τιμές. Οικονομική Θεωρία Οικονομικό Υπόδειγμα Οικονομετρικό Υπόδειγμα Δεδομένα Εκτίμηση Υποδείγματος Οικονομετρικές Μέθοδοι Έλεγχος Υποδείγματος Χρησιμοποίηση Υποδείγματος Έλεγχος Θεωρίας (Υποθέσεων) Αξιολόγηση Οικονομικής Πολιτικής Προλέψεις χήμα σελ.0 «Εισαγωγή στην Οικονομετρία» Γεώργιος. Χρήστου 8

11 ΕΦΑΛΑΙΟ Το Γραμμικό υπόδειγμα: Πολυμεταλητή Παλινδρόμηση. Εισαγωγή. Όπως γνωρίζουμε εκτός από το υπόδειγμα της απλής παλινδρόμησης έχουμε και αυτό της πολυμεταλητής, που εξηγεί πως η συμπεριφορά των περισσοτέρων οικονομικών σχέσεων, είναι συνάρτηση πολλών μεταλητών. Έστω ότι = F(,,..., ), δηλαδή η είναι συνάρτηση των ερμηνευτικών μεταλητών,,...,. Αν υποθέσουμε ότι η αρχική μας συναρτησιακή σχέση = F(,,..., ) είναι γραμμική, για ένα δείγμα Τ παρατηρήσεων, μπορούμε να έχουμε την παρακάτω σχέση: + = u (.) όπου είναι η παρατήρηση της ερμηνευτικής μεταλητής κ.ο.κ. Ο πρώτος δείκτης αναφέρεται στην παρατήρηση και ο δεύτερος στη ερμηνευτική μεταλητή. Η σχέση (.) αποτελεί το υπόδειγμα της γραμμικής πολυμεταλητής παλινδρομήσεως, που όπως αναφέρω και πιο πάνω είναι μια επέκταση της απλής παλινδρόμησης.. Το λασικό Γραμμικό Υπόδειγμα.. Βασικές Υποθέσεις. Οι ασικές υποθέσεις που συνιστούν ένα γραμμικό υπόδειγμα, είναι σχεδόν ίδιες με τις υποθέσεις για το διμεταλητό γραμμικό υπόδειγμα. Οι υποθέσεις αυτές είναι οι παρακάτω: (0, σ ) (.) u Eu = 0 για s (.3) u s Οι ερμηνευτικές μεταλητές δεν είναι στοχαστικές. (.4) Δεν υπάρχουν ακριείς γραμμικές σχέσεις μεταξύ των ερμηνευτικών μεταλητών. (.5) Ο αριθμός των παρατηρήσεων του δείγματος είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των συντελεστών του υποδείγματος μας. (.6) Με την τελευταία σχέση αποφεύγουμε την τέλεια πολυσυγγραμμικότητα. Ενώ με την δεύτερη σχέση να αναφέρεται στον διατακτικό όρο. 9

12 3. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων. Όπως και στην περίπτωση της απλής παλινδρομήσεως, έτσι και εδώ οι αποκλίσεις μεταξύ θεωρητικών και πραγματικών τιμών της εξαρτημένης μεταλητής νοούνται ότι κατανέμονται ανεξάρτητα τόσο από τις ερμηνευτικές μεταλητές κ όσο και μεταξύ τους. Πρόσθετη προϋπόθεση εφαρμογής της μεθόδου των ελάχιστων τετράγωνων αποτελεί και το ότι οι ερμηνευτικές μεταλητές πρέπει να είναι σταθερά μεγέθη ή τουλάχιστον τυχαίες μεταλητές που κατανέμονται ανεξάρτητα τόσο από τα ερμηνευτικά κατάλοιπα όσο και μεταξύ τους. u = Φ = u = = ελάχιστο. (3.) Χ Χ Χ την συνέχεια παίρνουμε τις μερικές παραγώγους των συντελεστών της παραπάνω συνάρτησης όπου είναι οι παρακάτω: )... ( 0 0 = Φ ) ) * (... ( 0 = Φ.. ) ) * (... ( 0 = Φ Εξισώνουμε τις παραπάνω σχέσεις με το μηδέν, οπότε παίρνουμε τις ακόλουθες + κανονικές εξισώσεις: = T =.. (3.) = k Έχουμε δηλαδή ένα σύστημα με + εξισώσεις, η λύση του οποίου μας δίνει τους + εκτιμητές. αταρχήν διαιρώντας και τα μέρη της εξίσωσης με Τ έχουμε: 0...,, 0

13 = 0... οπότε = T 0... (3.3) Αντικαθιστούμε την παραπάνω σχέση στις υπόλοιπες κανονικές εξισώσεις, οπότε έχουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων, από τις οποίες λείπει ο σταθερός όρος : 0 k y = k y =.. (3.4) = y το σύστημα (3.4), όλες οι μεταλητές εκφράζονται ως αποκλίσεις από τους μέσους τους: y = και j j j =, για j=,.,k Όταν οι μεταλητές εκφράζονται ως αποκλίσεις από τους μέσους τους, η παλινδρόμηση στο δείγμα είναι: = y... οπού y =. Το σύστημα των εξισώσεων (3,) και (3,4) μπορεί να λυθεί με διάφορους τρόπους. Αν εφαρμόσουμε τον κανόνα Cramer στο σύστημα (3,4) τότε ο συντελεστής για j=,.,k, δίνεται από τη σχέση: j Δ Δ = j j (3,5) όπου: Δ = και j Δ = η ορίζουσα που προκύπτει από τη Δ, όταν η στήλη που αντιστοιχεί στο συντελεστή j αντικατασταθεί με το πρώτο μέρος των εξισώσεων του συστήματος (3,4). Για παράδειγμα, όταν j= = Δ y y y. Για τον υπολογισμό του σταθερού όρου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (3,3) αφού έχουμε πρώτα υπολογίσει τους....,

14 3. Οι ανονικές Εξισώσεις με Μήτρες. Οι κανονικές εξισώσεις (3,) μπορούν συνοπτικά να γραφούν και σε μήτρες ως εξής: = ( ' ) ' (3,6) όπου Χ ο ανάστροφος πίνακας του Χ και ' Υ ΥΧ = ΥΧ 0 = Τ Χ Χ' Χ =... Χ Χ Χ Χ... Χ Χ Χ Χ Χ... Οι εκτιμητές τώρα των ελαχίστων τετραγώνων δίνονται από την σχέση: = ( ' ) ( ' ) (3,7) όπου ( ' ) είναι ο αντίστροφος του πίνακα ( ' ). Αν χρησιμοποιήσουμε τους πίνακες της σχέσης (3,6) προκύπτει το εξής: u = και επομένως Φ = u' u = ( )'( ) είναι το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων των καταλοίπων, είναι όπως αναφέραμε στην προηγούμενη παράγραφο το u. Αν αναπτύξουμε την παραπάνω σχέση έχουμε τα παρακάτω: Φ = ' ' ' ' + ' '. Έχουμε όμως ' ' = ', ' γιατί ' ' = ( ' )' και ' είναι ένας αριθμός. Οπότε μπορούμε να διαμορφώσουμε την παραπάνω σχέση ακόλουθος: Φ = ' ' ' + ' '. Αν παραγωγίσουμε την συνάρτηση και εξισώσουμε με το 0 έχουμε: Φ = ' + ' = 0 όπου 0 παριστάνει το μηδενικό διάνυσμα στήλης διαστάσεων (+)*.

15 3. Πηγές Μεταλητότητας και Τυπικό φάλμα Εκτιμήσεως τής Εξαρτημένης Μεταλητής. Όπως στην περίπτωση της απλής γραμμικής παλινδρομήσεως έτσι και στην πολλαπλή, είναι δυνατή η διάσπαση της συνολικής μεταλητότητας των τιμών της εξαρτημένης μεταλητής Υ περί το μέσο αυτής στις επί μέρους συνιστώσες αυτής με άση τη σχέση: ( ) = + (3,8) όπου συμολίζει τις θεωρητικές ( από την εξίσωση παλινδρομήσεως της Υ επί των Χ, Χ 3,,Χ ) τιμές της εξαρτημένης μεταλητής. Η δεύτερη συνιστώσα δηλαδή η μη ερμηνευμένη από την εξίσωση πολλαπλής παλινδρομήσεως είναι το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιμών παρατηρήσεων της Υ από τις αντίστοιχες θεωρητικές τιμές αυτής. Διαγραμματικά, στην περίπτωση τριμεταλητού γραμμικού υποδείγματος παλινδρομήσεως ( p = 3, k = ), οι αποκλίσεις αυτές αποτελούν τις κάθετες (παράλληλες προς τον άξονα των Υ) αποστάσεις των τιμών παρατηρήσεων της Υ από το προσαρμοσμένο επίπεδο παλινδρομήσεως. Η συνιστώσα αυτή της μεταλητότητας ισούται με: = 0 Χ. Χ... Χ 3 k ή, σε αποκλίσεις των τιμών των μεταλητών από τους αντιστοίχους μέσους τους, με = Χ Χ Χ (3,9) Προφανώς, οι αθμοί ελευθέριας της πιο πάνω ανερμήνευτης συνιστώσας είναι Τ-p δηλαδή Τ-k-, όπου κ ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταλητών. υνεπώς, η αμερόληπτη εκτίμηση της διακυμάνσεως των τιμών της Υ περί τη γραμμή πολλαπλής παλινδρομήσεως είναι : S = 0 Χ. T k Χ.. 3 Χ (3,0) ή S = Χ. T k Χ... 3 Χ (3,) Από τις τελευταίες αυτές σχέσεις υπολογίζεται, με εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας, και το τυπικό σφάλμα εκτιμήσεως της Υ περί τη γραμμή πολλαπλής παλινδρομήσεως S δηλαδή: 3

16 S = S = 0 Χ Χ. T k ή. T k Χ.. 3 Χ... 3 Χ Χ (3,) Η πρώτη, εξάλλου σχέση αυτής της παραγράφου αποτελεί το άθροισμα των τετράγωνων των αποκλίσεων των από την εξίσωση πολλαπλής παλινδρομήσεως υπολογιζόμενων θεωρητικών τιμών της (διαγραμματικά κειμένων στην περίπτωση π.χ. τριμεταλητής γραμμικής παλινδρομήσεως πάνω στο προσαρμοζόμενο επίπεδο παλινδρομήσεως) από το μέσο αριθμητικό αυτών ή, ακριέστερα, από το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται στην περίπτωση τριμεταλητού υποδείγματος από τους μέσους, Χ, Χ 3. Ενδιαφέρον παρουσιάζει επίσης και η διάσπαση της ερμηνευμένης από την εξίσωση πολλαπλής παλινδρομήσεως ( δηλαδή από όλες μαζί τις κ ανεξάρτητες μεταλητές Χ, Χ 3 Χ p ) μεταλητότητας της Υ στις επί μέρους συνιστώσες οι οποίες υποδηλώνουν τη συμολή καθεμίας από τις ανεξάρτητες (ερμηνευτικές) μεταλητές της εξίσωσης. Αμέσως πιο κάτω διερευνάται η διάσπαση αυτή στην περίπτωση τριμεταλητής εξίσωσης παλινδρόμησης ( κ = ). την απλή (διμεταλητή) παλινδρόμηση μεταξύ Υ και Χ, η ερμηνευμένη μεταλητότητα της Υ είναι ως γνωστό, και υπολογίζεται με έναν από τους γνωστούς τύπους, ενώ στην περίπτωση πολυμεταλητής παλινδρομήσεως η ερμηνευμένη από τις ανεξάρτητες μεταλητές Χ και Χ 3 μεταλητότητα γίνεται, ως γνωστό,. Η αύξηση επομένως της ερμηνευμένης μεταλητότητα της Υ από την εισαγωγή της ανεξάρτητης μεταλητής Χ 3 στο υπόδειγμα παλινδρομήσεως είναι :.3 -. (3,3) όπου.3 και. διαφορετικά αφού προκύπτουν από διαφορετικά υποδείγματα παλινδρομήσεως. Παρόμοια ανάλυση με την πιο πάνω ανάλυση ισχύει και προς εξακρίωση της προσθετής συμολής της ανεξάρτητης μεταλητής Χ. Εάν η ερμηνευμένη από τη Χ 3 μεταλητότητα της Υ(σε ένα υπόδειγμα απλής γραμμικής παλινδρομήσεως της Υ επί της Χ 3 ) είναι.3, υπολογιζόμενη κατά τα γνωστά, η αύξηση της ερμηνευμένης μεταλητότητας της Υ που προκύπτει από την εισαγωγή στο υπόδειγμα παλινδρομήσεως της ανεξάρτητης μεταλητής Χ είναι : (3,4) 4

17 4. υντελεστές Πολλαπλής υσχετίσεως και Πολλαπλού Προσδιορισμού. Η προσθήκη μιας νέας ανεξάρτητης μεταλητής, ή και περισσοτέρων της μιας, σε μια εξίσωση απλής γραμμικής παλινδρόμησης αποσκοπεί γενικά στην ελτίωση της σχέσεως εξαρτήσεως με την κατά το δυνατό σμίκρυνση των αποκλίσεων των τιμών παρατηρήσεως της εξαρτημένης μεταλητής από τις αντίστοιχες θεωρητικές. Η ελτίωση αυτή, εάν πετυχαίνετε, φαίνεται από το γεγονός ότι με την εισαγωγή της νέας μεταλητής, ένα ακόμη μεγαλύτερο τμήμα της συνολικής μεταλητότητας των τιμών παρατηρήσεως της εξαρτημένης μεταλητής Υ από το μέσο αυτών ερμηνεύεται, ενώ περιορίζεται συνάμα το τμήμα της μεταλητότητας που παραμένει ανερμήνευτο. Μέτρο της ελτίωσης της προσαρμοστικότητας αυτής του υποδείγματος παλινδρόμησης αποτελεί ο γνωστός ως συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού, ο οποίος, κατά αναλογία και προς τα περί γραμμικής παλινδρομήσεως και συσχετίσεως προαναφερθέντα, δίνεται από τον τύπο: R = (4,) ( ) στην παραπάνω σχέση ο αριθμητής υποδηλώνει την ερμηνευμένη από την πολλαπλή παλινδρόμηση μεταλητότητα και ο παρονομαστής τη συνολική μεταλητότητα της Υ. Με αντικατάσταση του αριθμητή προκύπτει: δηλαδή: R ( ) Ψ R = (4,) = ( ) ( ) = ( T k ) ( T ) S S (4,3) όπου, ως γνωστό ο αριθμητής του νέου κλάσματος υποδηλώνει τη μεταλητότητα της Υ που δεν ερμηνεύεται από την παλινδρόμηση. Εάν οι όροι αυτοί αντικατασταθούν με τα ίσα τους προκύπτουν αντίστοιχοι τύποι για κατευθείαν υπολογισμό του συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού: R 0 = + Χ + Χ ( ) T Χ p ( ) T (4,4) 5

18 0 Χ Χ 3.. R = ( ) T την περίπτωση κατά την οποία ακολουθείται η διαδικασία υπολογισμού της απλοποιημένης εξισώσεως παλινδρόμησης : Χ p (4,5) = (όταν δηλαδή χρησιμοποιούνται οι αποκλίσεις των τιμών των μεταλητών από τους αντιστοίχους μέσους τους), οι πιο πάνω τύποι γράφονται αντίστοιχα ως εξής: και R Χ + Χ = + Χ (4,6) R Χ Χ 3.. =. Χ (4,7) Ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού R.3..P, και η τετραγωνική ρίζα αυτού η οποία καλείται συντελεστής πολλαπλής συσχετίσεως, μπορεί να υπολογιστεί ως συνάρτηση των συντελεστών απλής (ολικής) συσχετίσεως r,r 3... κλπ., με τη οήθεια του παρακάτω τύπου: Δ = Δ R.3.. P (4,8) όπου Δ είναι η γνωστή ορίζουσα που χρησιμοποιείται και στην απλή συσχέτιση και Δ είναι η Ελάσσονα ορίζουσα που προκύπτει από την αρχική Δ με αποκοπή της γραμμής και της στήλης. την περίπτωση τριμεταλητής παλινδρομήσεως (Υ,Χ,Χ 3 ), όπου: Δ = r r 3 r r 3 r r 3 3 = r 3 r 3 r r r 3 r 3 r + r r 3 r 3 = r 3 r ( r r3r3 ) + r3 ( rr3 r3 ) = r r3 r3 + rr3r3 r3 Δ = = r r 3 3 6

19 αι επομένως δηλαδή R.3.. P r = r 3 r 3 r3 + r r 3 r 3 R.3.. P r + r3 r r r = (4,9) r Από την πιο πάνω σχέση φαίνεται ότι ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού R δεν αποτελεί το άθροισμα των συντελεστών απλού προσδιορισμού r και r 3 αλλά συνδέεται με αυτούς με πολυπλοκότερη σχέση. Επίσης φαίνεται από τον πιο πάνω τύπο ότι ο συντελεστής R εξαρτάται όχι μόνο από το αθμό συσχετίσεως της εξαρτημένης Υ με κάθε μια των ανεξάρτητων Χ και Χ 3 ξεχωριστά, αλλά και από τον αθμό της συσχετίσεως που τυχόν υπάρχει μεταξύ των ανεξάρτητων μεταλητών Χ και Χ 3. Για δεδομένες π.χ. τιμές των r και r 3 που έχουν το αυτό πρόσημο, όσο μικρότερη είναι η συσχέτιση (θετική ή αρνητική αδιάφορα) μεταξύ των ανεξάρτητων μεταλητών δηλαδή όσο μικρότερη είναι η τιμή του r 3 τόσο μεγαλύτερος είναι και ασυντέλεστης πολλαπλού προσδιορισμού(και ο συντελεστής πολλαπλής συσχετίσεως). Ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού R.3..P (και ο συντελεστής πολλαπλής συσχετίσεως ) συνδέεται επίσης και προς τους συντελεστές μερικού προσδιορισμού με τις παρακάτω σχέσεις: και r + r ( ) R.3..P R.3..P = (4,0) 3. r r + r ( ) = (4,) 3.3 r3 Από απόψεως ερμηνείας, η πρώτη π.χ. των πιο πάνω δυο ισοδύναμων σχέσεων δηλαδή η (4,0) υποδηλώνει ότι ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού ισούται προς το άθροισμα Του ποσοστού της συνολικής μεταλητότητας της Υ το οποίο εξηγείται από την ανεξάρτητη μεταλητή Χ (σε μια σχέση απλής παλινδρομήσεως) και Του γινόμενου του ποσοστού της συνολικής μεταλητότητας της Υ το οποίο παραμένει ανερμήνευτο από την ανεξάρτητη αυτή μεταλητή και του ποσοστού της συνολικής μεταλητότητας της Υ το οποίο εξηγείται από τη χρησιμοποίηση της άλλης ανεξάρτητης μεταλητής Χ 3 ως πρόσθετη της Χ. Ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού που προκύπτει από το δείγμα αποτελεί υπερεκτίμηση της αληθινής παραμέτρου του πληθυσμού εάν δεν ληφθούν υπόψη οι αθμοί ελευθέριας (Τ-) της συνολικής μεταλητότητας και (Τ-k-) της ανερμήνευτης μεταλητότητας. Για μικρό έτσι μέγεθος δείγματος Τ, ο συντελεστής R χρήζει (όπως και ο συντελεστής απλού προσδιορισμού r ) διορθώσεως, με τροποποίηση του πιο πάνω τύπου (4,3) ως εξής: 7

20 ή R = R = T k = ( ) S T.3.. p S ( ) T k T (4,) (4,3) Με την αύξηση του n του δείγματος, ο διορθωτικός παράγοντας(τ-) / (Τ-k-) τείνει (από τα άνω) προς τη μονάδα, εξαρτώμενος και από το πλήθος κ των ανεξάρτητων μεταλητών της εξισώσεως παλινδρομήσεως. Η τετραγωνική ρίζα του συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού καλείται, όπως προαναφέρθηκε, συντελεστής πολλαπλής συσχετίσεως, έννοια ανάλογη προς αυτή του συντελεστή απλής συσχετίσεως. Έτσι π.χ. είναι: R = ( ) (3,4) ή R = ( ) (3,5) όπου οι εντός των ριζικών όροι υπολογίζονται εύκολα κατά τα γνωστά. ημειώνεται σχετικά ότι ο συντελεστής αυτός, που υπολογίζεται με εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας, δίνεται πάντοτε με πρόσημο θετικό, αφού κάθε μια από τις ανεξάρτητες μεταλητές μπορεί να συσχετίζεται με την εξαρτημένη είτε θετικά είτε αρνητικά. Η ειδικότερη ερμηνεία του συντελεστή πολλαπλής συσχετίσεως R εξαρτάται από τη φύση των προς συσχέτιση μεταλητών. Ο συντελεστής αυτός αποτελεί μέτρο της καλής ( ή μη) προσαρμογής στα διαθέσιμα εμπειρικά δεδομένα του υποδείγματος πολλαπλής γραμμικής παλινδρομήσεως που υιοθετείται. Η ερμηνεία αυτή ισχύει για κάθε περίπτωση δηλαδή τόσο για την περίπτωση που οι ανεξάρτητες μεταλητές Χ,Χ 3..Χ P είναι σταθερά (προκαθορισμένα) μεγέθη και η εξαρτημένη Υ είναι στοχαστική μεταλητή όσο και για την περίπτωση που όλες οι μεταλητές του υποδείγματος θεωρούνται τυχαίες (στοχαστικές)μεταλητές. την περίπτωση εξάλλου, κατά την οποία όλες οι μεταλητές είναι στοχαστικές (και επομένως οι Χ,Χ 3 κλπ. δεν είναι προκαθορισμένα μεγέθη), συντελεστής πολλαπλής συσχετίσεως μπορεί να ερμηνευθεί και ως μέτρο της συμμεταλητικότητας (συσχετίσεως) μεταξύ της Υ και της Υ, δηλαδή μεταξύ της εξαρτημένης Υ αφενός και των ανεξάρτητων μεταλητών Χ, Χ3..Χ P μαζί αφετέρου. Επίσης, στην περίπτωση που όλες οι μεταλητές είναι στοχαστικές, υπάρχουν όλοι οι συντελεστές πολλαπλής συσχετίσεως, κλπ., ενώ εάν μόνο η μεταλητή Υ είναι στοχαστική R.3..P R 3... P νοείται η ύπαρξη μόνο του συντελεστή R. 8

21 5. τατιστική Επαγωγή στην Πολλαπλή Παλινδρόμηση και συσχέτιση. Οι τιμές των παραμέτρων πολλαπλής παλινδρομήσεως και συσχετίσεως που προέκυψαν από την προηγούμενη στατιστική ανάλυση αποτελούν, προφανώς, εκτιμήσεις των αντίστοιχων άγνωστων παραμέτρων του πληθυσμού στον οποίο ανήκει το διαθέσιμο δείγμα των δεδομένων της παρατηρήσεως. Χρήζουν επομένως ελέγχου ως προς τη στατιστική τους σημαντικότητα. Το πρώτο που απαιτείται σχετικά είναι να ελεγχθεί η στατιστική σημαντικότητα του συντελεστή πολλαπλής συσχετίσεως ή, που είναι ισοδύναμο, του συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού R.3..P. Ο έλεγχος αυτός είναι απαραίτητος για να διαπιστωθεί κατά πόσο η εκτίμηση της εξισώσεως πολλαπλής παλινδρομήσεως που προέκυψε υπάρχει πράγματι, στο σύνολο της, στον αντίστοιχο πληθυσμό. Εάν, αντίθετα, καταδειχτεί ότι η εξίσωση αυτή δεν είναι στατιστικά σημαντική, καμία από της ανεξάρτητες αυτές μεταλητές δε μπορεί να θεωρηθεί ότι ασκεί πράγματι συστηματικές επιδράσεις στην εξαρτημένη μεταλητή. Είναι πολύ σημαντικό να αποδειχθεί ότι υπάρχει μεγάλη στατιστική σημαντικότητα στο δείγμα που εξετάζεται, διότι διάφορες αποφάσεις παίρνονται με άση την εξίσωση πολλαπλής παλινδρόμησης. ε μια τέτοια περίπτωση, κάθε εκτίμηση της τιμής της εξαρτημένης μεταλητής που προκύπτει από την εξίσωση αυτή δεν μπορεί να θεωρηθεί καλύτερη από το μέσο αριθμητικό αυτής. Αφού διαπιστωθεί η στατιστική σημαντικότητα της εξισώσεως πολλαπλής παλινδρομήσεως στο σύνολο της, απαιτείται όπως ελεγχθεί στη συνεχεία κατά πόσο είναι στατιστικά σημαντική η επίδραση στην εξαρτημένη μεταλητή κάθε μια από της ερμηνευτικές (ανεξάρτητες) μεταλητές της εξισώσεως. Γιατί είναι δυνατό ως σύνολο η εξίσωση πολλαπλής παλινδρομήσεως να είναι στατιστικά σημαντική αλλά μια ή περισσότερες (όχι όμως όλες) από τις ανεξάρτητες μεταλητές της να μην ασκούν πράγματι επιδράσεις στην εξαρτημένη μεταλητή και να μη συμάλουν στην ερμηνεία της μεταλητότητας αυτής. Απαιτείται επομένως όπως ελέγχει η στατιστική σημαντικότητα καθενός από τους συντελεστές μερικής παλινδρομήσεως ή, ισοδύναμα, καθενός από τους αντιστοίχους συντελεστές μερικής συσχετίσεως. 5. Έλεγχος των υντελεστών Πολλαπλής υσχετίσεως και Πολλαπλού Προσδιορισμού το ερμηνευμένο από την εξίσωση πολλαπλής παλινδρόμησης τμήμα είναι το με κ αθμούς ελευθερίας που προσδιορίζεται εύκολα με έναν από τους ήδη γνωστούς τύπους υπολογισμού του. Όσο δε μεγαλύτερο είναι το τμήμα της μεταλητότητας που ερμηνεύεται συγκριτικά προς το μη ερμηνευμένο τόσο πιστότερα αναπαριστά (περιγράφει) η εξίσωση τα δεδομένα της παρατηρήσεως ενώ εξάλλου τόσο μεγαλύτερος είναι ο λόγος F F = k / T k = 9

22 = ( ) / k / / ( ) ( T k ) = R = R.3... P T k k 3.. p (5.) Υπενθυμίζεται σχετικά ότι ο λόγος αυτός των δυο διακυμάνσεων (που εκτιμώνται από τα δεδομένα της παρατηρήσεως) ακολουθεί την κατανομή F κ.(τ-k-) και μπορεί να χρησιμοποιηθεί προς έλεγχο της υποθέσεως μηδέν H 0 :.3 p = 3. p = p. (P-) = 0 (5.) δηλαδή ότι καθεμία από τις ανεξάρτητες μεταλητές Χ, Χ 3, Χ p δε συμάλλει στην ερμηνεία έστω και τμήματος των μεταολών της εξαρτημένης μεταλητή Υ. Η υπόθεση αυτή ταυτίζεται προς την υπόθεση ότι η εξίσωση πολλαπλής παλινδρομήσεως στο σύνολο της δεν είναι στατιστικά σημαντική ( ή, αλλιώς, ότι οι θεωρητικές τιμές της εξαρτημένης μεταλητής Υ που προκύπτουν από αυτή δε διαφέρουν, στατιστικά, από το μέσο αριθμητικό ). Εάν, έτσι, ή από τα δεδομένα του δείγματος τιμή F ν,ν όπου ν =κ και ν =Τ-k-, η υπόθεση μηδέν απορρίπτεται και γίνεται δεκτό ότι στον πληθυσμό στον οποίο ανήκει το δείγμα η εξίσωση πολλαπλής παλινδρόμησης υπάρχει, διαφορετικά όχι. 5. Έλεγχος των συντελεστών μερικής παλινδρομήσεως. Μετά τον προσδιορισμό των συντελεστών μερικής παλινδρομήσεως είναι αναγκαίο, όπως προαναφέρθηκε, να ελεγχθεί η στατιστική σημαντικότητα αυτών ξεχωριστά. Η συνηθέστερη υπόθεση η οποία τίθεται σχετικά είναι ότι κάθε συντελεστής δε διαφέρει στατιστικά από το μηδέν. ε μια τέτοια περίπτωση δεν υπάρχει στατιστικά σημαντική επίδραση στην Υ της ανεξάρτητης μεταλητής με την οποία ο ελεγχόμενος συντελεστής μερικής παλινδρομήσεως συναρτάτε. Π.χ. εάν ο συντελεστής μερικής παλινδρομήσεως.3 δε διαφέρει στατιστικά από το μηδέν, γίνεται δεκτό ότι δεν υπάρχει μερική παλινδρόμηση της Ψ επί της Χ στον πληθυσμό, η Χ δεν επιδρά και επομένως μπορεί χωρίς ζημία να αφαιρεθεί από την εξίσωση πολλαπλής παλινδρομήσεως, αφού δεν προσφέρει τίποτα για την ακριή πρόλεψη της τιμής της εξαρτημένης μεταλητής. Ο πιο πάνω έλεγχος στηρίζεται στην κατανομή δειγματοληψίας, κάθε συντελεστή μερικής παλινδρομήσεως. Η κατανομή αυτή είναι κανονική με μέσο και διακύμανση αντίστοιχα Ε ( b j ) = j Var ( b j ) = C jj σ (5.3) 0

23 όπου C jj είναι οι γνωστοί συντελεστές (πολλαπλασιαστές) Gauss και σ είναι η διακύμανση των ανερμήνευτων κατάλοιπων όρων (j=,3.p). Με άση τα πιο πάνω υπολογίζεται από τα δεδομένα η τιμή της τυποποιημένης κανονικής κατανομής b j... p 0 Ζ = (5,4) C σ jj και ελέγχεται κατά τα γνωστά, (με σύγκριση αυτής προς την από τον πίνακα εμαδών της τυποποιημένης κανονικής κατανομής αντίστοιχη τιμή της), κάθε υπόθεση ως προς την τιμή την οποία έχει η παράμετρος και συνηθέστερα, όπως έχει ειπωθεί, η υπόθεση ότι έχει την τιμή μηδέν. ε όσες περιπτώσεις, όπως συνήθως συμαίνει, η σ είναι άγνωστη, χρησιμοποιείται η αμερόληπτη εκτίμηση suden- = b j... p C jj S S.3... p p, υπολογίζεται στη συνεχεία η τιμή (5,5) η οποία έχει v = Τ k αθμούς ελευθέριας (κ ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταλητών) και με σύγκριση της τελευταίας αυτής προς την αντίστοιχη κριτική τιμή της κατανομής suden- ν.α, διενεργείται, κατά τα γνωστά, ο έλεγχος της πιο πάνω υποθέσεως. Με τη οήθεια των εκτιμήσεων παραμέτρων που υπολογίζονται πιο πάνω μπορεί να προσδιοριστεί και διάστημα εμπιστοσύνης εντός του οποίου ανήκει, για κάθε περίπτωση, ο αληθινός (στον πληθυσμό) συντελεστή μερικής παλινδρομήσεως. Το διάστημα αυτό είναι το παρακάτω: ( S C ) < < b ( S C ) b j ν. a.3... p jj j j + ν. a.3... p Άλλος τρόπος ελέγχου της στατιστικής σημαντικότητας ενός συντελεστή μερικής παλινδρομήσεως - ισοδύναμος προς αυτόν της κατανομής του suden είναι με την κατανομή F και με άση τη διάσπαση της συνολικά ερμηνευμένης ( από όλες τις ανεξάρτητες μεταλητές ) μεταλητότητας της Ψ στις συνιστώσες αυτής. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, εάν στην περίπτωση π.χ. τριμεταλητής παλινδρομήσεως ( με ανεξάρτητες μεταλητές Χ και Χ 3 ), από τη συνολικά ερμηνευμένη από την εξίσωση παλινδρομήσεως μεταλητότητα jj της Ψ, αφαιρεθεί η ερμηνευμένη από τη μια από αυτές π.χ. τη Χ 3 μεταλητότητα.3, (όπως αυτή προσδιορίζεται από ένα υπόδειγμα απλής παλινδρομήσεως της Υ επί την Χ 3 ), προκύπτει η ερμηνευμένη από μόνο τη Χ μεταλητότητα δηλαδή η -.3, με αθμούς ελευθέριας τη διαφορά αθμών ελευθέριας των επί μέρους ερμηνευμένων μεταλητοτήτων, δηλαδή κ - = -= στην περίπτωση τριμεταλητής εξισώσεως παλινδρομήσεως.

24 5.3 Έλεγχος των συντελεστών μερικής συσχετίσεως. Το κριτήριο suden- για τον έλεγχο των συντελεστών απλής συσχετίσεως μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον έλεγχο της στατιστικής σημαντικότητας των συντελεστών μερικής συσχετίσεως. Έτσι, κατά αναλογία του ελέγχου του συντελεστή απλής (ολικής ) συσχετίσεως r, για τον έλεγχο του συντελεστή r j.3 p και ειδικότερα της υποθέσεως μηδέν χρησιμοποιείται η Suden- Η 0 : j.3... p = p 0 (5,6) T k ν = r j.3... p (5,7) r j.3... p όπου κ ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταλητών στην εξίσωση και ν = Τ-k- οι αθμοί ελευθέριας. ε αυτό το σημείο αφού έχουμε τελειώσει την θεωρητική προσέγγιση μέσα από τους τύπους, θα προχωρήσουμε στην εμπειρική μελέτη του παραδείγματος που μας ενδιαφέρει, και όπως έχω αναφέρει και στην εισαγωγή της παρούσας εργασίας, αφορά την μελέτη του Γενικού Δείκτη και 4 μετοχών. Οι τύποι στο παρόν κεφάλαιο δεν προέρχονται από προσωπική εργασία, αλλά υπάρχουν στην ιλιογραφία που χρησιμοποιήθηκε και θεωρήθηκε σωστό να συμπεριληφθούν στην εργασία για λεπτομερέστερη ανάλυση.

25 6. Έξοδος και Ανάλυση Υποδείγματος. Με τη οήθεια του υπολογιστικού φύλλου του ecel (Microsof Office) μπορούμε να κάνουμε μια γρήγορη, ακριής και λεπτομερείς ανάλυση πολλαπλής παλινδρόμησης. Από το μενού του ecel επιλέγουμε α) Εργαλεία, ) Ανάλυση Δεδομένων, γ) Παλινδρόμηση. την συνεχεία μας εμφανίζεται ένας πίνακας στον οποίο πρέπει να επιλέξουμε τις περιοχές εισόδου. το πρώτο πεδίο εισαγωγής μπαίνει η μια μεταλητή που έχουμε ορίσει σαν Υ, στο άλλο πεδίο εισαγωγής επιλέγουμε μαζί τις υπόλοιπες μεταλητές όσες αυτές είναι χωρίς κανέναν περιορισμό. την μάσκα αυτή που μας εμφανίζεται μπορούμε να έχουμε και άλλες επιλογές όπως να ορίσουμε διαστήματα εμπιστοσύνης και διάφορα διαγράμματα. Το πιο σημαντικό είναι αυτό των υπόλοιπων που μπορεί να μας οηθήσει στην εξεύρεση ακραίων σημείων. άνοντας όλα τα παραπάνω ήματα που έχω αναφέρει, θα γίνει η εξαγωγή συμπεράσματος η οποία θα μας αποφέρει τα παρακάτω αποτελέσματα, μέσω του υπολογιστικού φύλλου του ecel. υντελεστές Τεταγμένη επί την αρχή Μεταλητή Μεταλητή Μεταλητή Μεταλητή Έτσι θα κατασκευάσουμε την εξίσωση που μας ενδιαφέρει αποφεύγοντας τους πολύπλοκους τύπους, που μπορεί να μας οδηγήσουν σε κάποιον λάθος υπολογισμό. = 56, , , , Η τεταγμένη επί την αρχή είναι η σταθερά της εξίσωση πολλαπλής παλινδρόμησης, η μεταλητή Χ, Χ κλπ. είναι αντίστοιχα οι συντελεστές της εξίσωσης, έτσι μπορούμε εύκολα και γρήγορα να καταλήξουμε στην τελική μορφή της εξίσωσης πολλαπλής παλινδρόμησης η οποία θα έχει την παρακάτω μορφή: 6. Η Τιμή R. Το R ονομάζεται συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού ( coefficien of muliple deerminaion). ε αυτήν την περίπτωση, η τιμή του R είναι παρόμοια με αυτής της απλής γραμμικής παλινδρόμησης. Το R μέτρα το ποσοστό της απόκλισης της εξαρτημένης μεταλητής το οποίο μπορεί να εξηγηθεί από την παλινδρόμηση. Η τιμή του R κυμαίνεται πάντα από 0 έως. Ο υπολογιστής θα μας δώσει επίσης και μια τιμή R για την παλινδρόμηση. 3

26 τατιστικά παλινδρόμησης Πολλαπλό R R Τετράγωνο Προσαρμοσμένο R Τετράγωνο Τυπικό σφάλμα Μέγεθος δείγματος 5 Για να κατανοήσουμε το R θα πρέπει πρώτα να κατανοήσουμε τα στατιστικά από τα οποία αποτελείται. Από τα αποτελέσματα του ecel έχουμε τον παρακάτω πίνακα: ΑΝΑΛΥΗ ΔΙΑΥΜΑΝΗ αθμοί ελευθερίας SS MS Παλινδρόμηση Υπόλοιπο ύνολο Το συνολικό άθροισμα τετράγωνων ( oal sum of squares και, για συντομία, SST) είναι το άθροισμα των τετράγωνων των τιμών της Υ γύρω από το : ( ) SST = i Για κάθε παρατήρηση μπορούμε να υπολογίσουμε τη διάφορα μεταξύ της τιμής Ψ που προλέπουμε από τη γραμμή παλινδρόμησης και τη μέση τιμή του Ψ. τη συνεχεία μπορούμε να αθροίσουμε τα τετράγωνα όλων αυτών των αποκλίσεων και να ονομάσουμε αυτό που θα πάρουμε άθροισμα τετράγωνων παλινδρόμησης ( regression sum of squares και, για συντομία, SSR ) : Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι SSR = i SST = SSR + Μπορούμε να θεωρούμε ότι το SST αντιπροσωπεύει τη συνολική διακύμανση των τιμών του Υ. Το SSR είναι η ποσότητα αυτής της διακύμανσης η οποία μπορεί να εξηγηθεί από την παλινδρόμηση, και το SSE είναι η ποσότητα της διακύμανσης που απομένει και δεν μπορεί να εξηγηθεί από την παλινδρόμηση. Αν η παλινδρόμηση προσαρμόζεται στα δεδομένα πολύ καλά, η τιμή του SSR θα είναι πολύ μεγαλύτερη από την τιμή του SSE. Μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του R με οποιονδήποτε από τους δυο επόμενους τύπους: SSE 4

27 R = SSR SST ή R = SSE SST Το R (από τον πίνακα) είναι ίσο με 0,9769 το οποίο μπορούμε να το επιεαιώσουμε με τον υπολογίσιμο από τον τύπο: R = SSR SST Η εκτιμώμενη εξίσωση παλινδρόμησης προσαρμόζεται σε αυτά τα σημεία πολύ καλά. Παρόλα αυτά, υπάρχει ένα σημαντικό σημείο που θα πρέπει να έχουμε υπόψη μας κατά την ερμηνεία της τιμής R μιας πολλαπλής παλινδρόμησης. Υπάρχει πάντα η δυνατότητα να αυξήσουμε την τιμή του R με την προσθήκη στην παλινδρόμηση περισσότερων μεταλητών, είτε έχουν κάποια σχέση με την εξαρτημένη μεταλητή είτε όχι. Για να είναι αξιόπιστα τα αποτελέσματα της παλινδρόμησης θα πρέπει το πλήθος των παρατηρήσεων να είναι σημαντικά μεγαλύτερο από το πλήθος των συντελεστών που προσπαθούμε να εκτιμήσουμε. Έτσι, μερικές φορές συνίσταται υ υπολογισμός του προσαρμοσμένου R. (Προσαρμοσμένο) R ( R )( n ) = n m Το προσαρμοσμένο R δεν αυξάνεται αναγκαστικά μετά την προσθήκη άλλης μιας μεταλητής επειδή κάτι τέτοιο θα αυξήσει την τιμή του m. Για το παράδειγμα μας το προσαρμοσμένο R όπως δίνεται από τον πίνακα αποτελεσμάτων του ecel είναι 0, Το στατιστικό στοιχείο F. Ας υποθέσουμε ότι κάποιοι παρατηρητές του προλήματος είναι κάπως δύσπιστοι άνθρωποι και πιστεύουν ότι δεν υπάρχει μεταξύ των μεταλητών που μελετάμε καμία σχέση ( ανεξάρτητη σε σχέση με τις εξαρτημένες) και κάνουν την παρακάτω μηδενική σχέση: H 0 : b 0 = b = = b m = 0 (εάν ισχύει αυτή η υπόθεση, αποδεικνύουμε ότι δεν υπάρχει σχέση μεταξύ των μεταλητών που μελετάμε). άποιος ο οποίος ισχυρίζεται όλα τα παραπάνω, σημαίνει ότι πιστεύει πως η πραγματική τιμή των συντελεστών και των m ανεξάρτητων μεταλητών είναι μηδέν. Για να ελέγξουμε αυτή την υπόθεση μπορούμε να υπολογίσουμε το ακόλουθο στατιστικό στοιχείο: 5

28 F = Ερμηνευμένη Διακύμανση / Ανερμήνευτη Διακύμανση F = i m i i T m όπου: Τ = το πλήθος των παρατηρήσεων m = ο αριθμός των παραμέτρων m = αριθμός ανεξάρτητων μεταλητών. Εδώ οι αθμοί ελευθέριας είναι m - για τον αριθμητή και Τ m για τον παρονομαστή. Εάν το υπολογιζόμενο κατ αυτόν τον τρόπο F είναι μεγαλύτερο από το κρίσιμο F α τότε απορρίπτουμε την ασική υπόθεση. Αυτό το στοιχείο ονομάζεται στατιστικό στοιχείο F της παλινδρόμησης. Αν η μηδενική υπόθεση είναι αληθής, τότε αυτό το στατιστικό στοιχείο θα έχει κατανομή F με m αθμούς ελευθέριας στον αριθμητή και Τ m αθμούς ελευθέριας στον παρονομαστή και θα είναι μικρότερο του F α. Αν η μηδενική υπόθεση είναι ψευδής, θα περιμένουμε ότι το MSR = SSR / αθμοί ελευθέριας, θα είναι μεγαλύτερο από το MSE = SSE / n m, με αποτέλεσμα το στατιστικό στοιχείο F να είναι μεγαλύτερο απ όσο θα ήταν αν η μηδενική υπόθεση ήταν σωστή. ΑΝΑΛΥΗ ΔΙΑΥΜΑΝΗ αθμοί ελευθερίας SS MS F Παλινδρόμηση Υπόλοιπο ύνολο Τυπικά σφάλματα. Τυπικό σφάλμα τιμή-p ατώτερο 95% Υψηλότερο 95% ατώτερο 95.0% Υψηλότερο 95.0% E E

29 Όσο πιο μικρή είναι η τιμή ενός σφάλματος τόσο πιο αξιόπιστη είναι η εκτιμήτρια του συντελεστή. Ίσως, η ποιότητα i S b i i ακολουθεί κατανομή με n m αθμούς ελευθερίας. ατά συνέπεια μπορούμε να υπολογίσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης για το b i το οποίο λέπουμε παρακάτω: j n m. a. S < j b j < j + n m. a. έαια στον πίνακα αποτελεσμάτων του ecel δίνεται άμεσα το διάστημα εμπιστοσύνης με επίπεδο σημαντικότητας α = 0,05. Εδώ μπορούμε πραγματικά να παρατηρήσουμε πόσο εύκολα και γρήγορα μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα ακριέστατο διάστημα εμπιστοσύνης, χωρίς μεγάλο κόπο, αντιθέτως όμως με πολύ μεγάλη ακρίεια. Πιο κάτω θα ακολουθήσει ο έλεγχος των υποθέσεων. Πάλι για αυτά τα συμπεράσματα θα χρησιμοποιηθεί ο πίνακας εξαγωγής πολλαπλής παλινδρόμησης του ecel. 6.4 ριτήριο αποφάσεων. Απορρίπτουμε την Η 0 στο επίπεδο σημαντικότητας α εάν: < - a/ ή > a/ με n m, αθμούς ελευθερίας. S b j τιμή-p Τεταγμένη επί την αρχή Μεταλητή E-8 Μεταλητή E-7 Μεταλητή Μεταλητή Η κρίσιμη τιμή του 95% μιας κατανομής με αθμούς ελευθέριας (5 4 = 47) είναι,96 από τον πίνακα (μονόπλευρο). Τα στατιστικά στοιχεία των μεταλητών μας ρίσκονται αρκετά έξω από αυτή την τιμή, οπότε και μπορούμε να απορρίψουμε αίαστα την υπόθεση ότι είναι ο συντελεστής της τιμής είτε ο συντελεστής των εσόδων είναι μηδέν. Θα αναφερθώ τώρα σε μερικά ακόμη θέματα που έχουν εφαρμογή στην ανάλυση παλινδρόμησης. Ορισμένα από αυτά είναι ίδια και για την πολλαπλή αλλά και για την απλή παλινδρόμηση, αλλά υπάρχουν και μερικά ειδικά θέματα που ισχύουν μόνο στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης. 7

30 Μετά τον υπολογισμό των υπόλοιπων της παλινδρομήσεις μπορούμε να εκτελέσουμε οπτική ανάλυση. Μπορούμε, δηλαδή, να δημιουργήσουμε ορισμένα διαγράμματα διασποράς στα οποία θα γίνεται σύγκριση των υπόλοιπων με την εξαρτημένη μεταλητή και κάθε μια από τις ανεξάρτητες μεταλητές. ε καμία περίπτωση δεν θα πρέπει να υπάρχει κάποιο οφθαλμοφανές μοτίο. Αν επεξεργαζόμαστε χρονολογικά δεδομένα, πολύ χρήσιμη είναι και η γραφική απεικόνιση της σχέσης των υπόλοιπων με τον χρόνο. Ίσως χρειαστεί επίσης να απεικονιστούν γραφικά τα υπόλοιπα σε σύγκριση με κάποια άλλη ανεξάρτητη μεταλητή που δεν έχει συμπεριληφθεί στο μοντέλο. Αν τα υπόλοιπα φαίνεται ότι σχετίζονται με αυτή τη μεταλητή, θα πρέπει να συμπεριλάουμε και αυτή στο μοντέλο. 00 Μεταλητή Διάγραμμα υπολοίπων Υπόλοιπα Μεταλητή 8

31 Μεταλητή Διάγραμμα υπολοίπων Υπόλοιπα Μεταλητή Μεταλητή 3 Διάγραμμα υπολοίπων Υπόλοιπα Μεταλητή 3 9

32 Μεταλητή 4 Διάγραμμα υπολοίπων Υπόλοιπα Μεταλητή 4 Τα παραπάνω διαγράμματα αναφέρονται απλά. το επόμενο κεφαλαίο που θα γίνει με πιο λεπτομερειακή οικονομετρική ανάλυση και θα χρησιμοποιηθεί και το πρόγραμμα EViews θα έχουμε καλύτερη εικόνα για την συμπεριφορά των υπολοίπων και των καταλοίπων. 30

33 ΕΦΑΛΑΙΟ 3 Βασική Οικονομετρική Ανάλυση του Υποδείγματος.. Το Υπόδειγμα ARCH «Έννοια και Διατύπωση» Έστω ότι έχουμε το παρακάτω υπόδειγμα: + u = Έστω ότι η διακύμανση του διαταρακτικού όρου δεν είναι συνάρτηση μιας από τις ερμηνευτικές μεταλητές του υποδείγματος μας αλλά ότι έχουμε μια μεταολή η οποία σχετίζεται χρονικά. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα, με την έννοια ότι η διακύμανση του διαταρακτικού όρου εξαρτάται από την μεταολή των παρελθόντων τιμών του. Η απλούστερη περίπτωση είναι να υποθέσουμε ότι εξαρτάται μόνο από τη μεταλητικότητα της προηγούμενης περιόδου και θα πάρουμε την εξής διατύπωση: σ a + a u (3,) = 0 Δηλαδή, η διακύμανση του διαταρακτικού όρου αποτελείται από μέρη την σταθερά (α) και από την μεταλητικότητα της προηγούμενης περιόδου. Αυτό σημαίνει ότι, ο διαταρακτικός όρος είναι ετεροσκεδαστικός δεδομένης της τιμής του στην προηγούμενη περίοδο. Άρα η σχέση (5,) μπορούμε να πούμε ότι είναι η διακύμανση. Μια υπό συνθήκη διακύμανση, όπως αυτή της παραπάνω σχέσεως προκύπτει από έναν διαταρακτικό όρο ο οποίος προσδιορίζεται από την ακόλουθη διαδικασία: = ( a0 + au ) u ε (3,) Υποθέτουμε ότι ε κατανέμεται κανονικά και ανεξάρτητα με μέσο 0 και διακύμανση τη μονάδα. Η Υπόθεση ότι η διακύμανση ισούται με τη μονάδα γίνεται χάριν ευκολίας αλλά δεν έχουμε κάποιον περιορισμό. Οποιοδήποτε άλλο μέγεθος θα μπορούσε να μετατραπεί σε μονάδα με κατάλληλη τροποποίηση των υπόλοιπων παραμέτρων. Η σχέση (5,) είναι γνωστή και ως (Firs Order Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy) ή όπως αναφέρεται και από τα αρχικά πιο πάνω ARCH(). Γενικά έχουμε: u ( a0 + au + au a pu p ) το παραπάνω είναι μια διαδικασία ARCH (p). = ε (3,3) 3

34 Για την ARCH () διαδικασία μπορεί να δειχτεί ότι: a) Eu ) V ( u ) = σ γ ) E( u u δ ) V ( u = 0 u ) = 0 a0 = a ) = σ = a 0 + a u για a p και a 0 0 f την γενική περίπτωση η υπό συνθήκη διακύμανση γίνεται: σ = a + a u (3,4) 0 + au a pu p Από τα προηγούμενα γάζουμε το συμπέρασμα ότι σε ένα υπόδειγμα παλινδρομήσεως που ο διαταρακτικός όρος συμπεριφέρεται ως μια διαδικασία, τα κατάλοιπα θα εμφανίζουν αυτοσυσχέτιση, ενώ στην πραγματικότητα αυτό που υπάρχει είναι το γνωστό ως αποτέλεσμα ARCH (ARCH effec), που οφείλεται στο γεγονός ότι η διακύμανση του διατακτικού όρου είναι συνάρτηση των τιμών του με υστέρηση. Το παραπάνω μοντέλο και συνάμα αποτέλεσμα παρατηρείται συνήθως στην ανάλυση χρηματοοικονομικών χρονολογικών σειρών, όπως αποδόσεις μετοχών, ομολογιών και άλλων χρηματοοικονομικών δεικτών.. Έλεγχος για ARCH O έλεγχος για να διαπιστώσουμε την ύπαρξη αποτελέσματος ARCH σημαίνει τον έλεγχο της μηδέν υποθέσεως ότι οι συντελεστές (a, a... a p ) στη σχέση (3,4) είναι ίσοι με το 0, δηλαδή: H 0 : = p = α α =... = α 0 (3,5) Η διαδικασία που ακολουθούμε είναι η ακόλουθη: Υπολογίζουμε τα ελάχιστα τετραγώνων κατάλοιπα από το αρχικό υπόδειγμα. Εκτιμάμε τους συντελεστές α = α =... = α p εφαρμόζοντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων στο παρακάτω υπόδειγμα u = a0 + a u + a u a p u p + v (3,6) H 0 : = α =... = α p = Ο έλεγχος της μηδέν υποθέσεως α 0 γίνεται δείτε με το σύνηθες κριτήριο F με την LM στατιστική TR η οποία ακολουθεί την κατανομή με p αθμούς ελευθερίας. Ο συντελεστής προσδιορισμού R είναι αυτός που προκύπτει από τη οηθητική παλινδρόμηση (3,6). 3

35 Μετά από την παραπάνω διαδικασία θα πρέπει να ελέγξουμε ένα και στο δικό μας παράδειγμα που μελετάμε αν συναντάμε το αποτέλεσμα ARCH. Με την οήθεια του Προγράμματος EViews και αφού πρώτα έχουμε περάσει τα δεδομένα μας προς ανάλυση, θα ακολουθήσουμε την εξής διαδικασία: το υπόδειγμα με το οποίο και θα εργαστούμε είναι το γνωστό υπόδειγμα που υπολογίσαμε στο ο κεφαλαίο. Αφού υπολογίσουμε το αποτέλεσμα ARCH θα κάνουμε στην συνεχεία τον απαραίτητο έλεγχο για την ύπαρξη συσχέτισης μεταξύ των καταλοίπων μας. πίνακας 3. Εδώ παρατηρούμε τον πίνακα και λέπουμε ότι χωρίζεται σε 3 μέρη στο πάνω μέρος έχουμε τους συντελεστές, στο δεύτερο έχουμε την ανάλυση ARCH και GARCH και στο τελευταίο μέρος έχουμε γενικά στοιχειά της παλινδρόμησης. Ένα σημαντικό στοιχείο που παρατηρούμε είναι ότι το άθροισμα των ARCH και GARCH πλησιάζει την μονάδα. Το φαινόμενο αυτό το συναντάμε σε χρηματοοικονομικά δεδομένα με μεγάλη συχνότητα τιμών (όπως και στο παράδειγμα μας). 33

36 Το R μετρά την συνεισφορά της μεταλητών στην ερμηνεία του Γενικού δείκτη και στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι 00%. Η στήλη Sd. Error δίνει τα τυπικά σφάλματα αυτών των εκτιμήσεων, δηλαδή το εύρος αεαιότητας στο οποίο είναι δυνατόν να ρίσκονται αυτές οι εκτιμήσεις(των συντελεστών). άτω από την υπόθεση της κανονικότητας των καταλοίπων με πιθανότητα 95% η εκτίμηση ρίσκεται σε ένα διάστημα ± δυο τυπικών σφαλμάτων. Πολύ συχνά μας ενδιαφέρει η υπόθεση ότι η σταθερά ή η κλίση είναι μηδέν. Την υπόθεση αυτή μπορούμε να ελέγξουμε με άση την τρίτη στήλη (-Saisic) ή την τέταρτη στήλη (Prob.). Όταν οι στατιστικές υπεραίνουν απολύτως το τότε η αντίστοιχη εκτίμηση είναι στατιστικά σημαντική. Ισοδύναμα, η πιθανότητα στην τέταρτη στήλη θα πρέπει να είναι μικρότερη από 0.05 ή 0.0. την συγκεκριμένη περίπτωση λέπουμε ότι η σταθερά και η κλίση είναι στατιστικά διαφορετικές από το μηδέν. Το στοιχειό που θα στηριχτούμε για να δείξουμε εάν υπάρχει η όχι συσχέτιση είναι ο έλεγχος Durbin Wason saisic. Έχουμε λοιπόν να κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις Αν DW saisic είναι κοντά στο τότε δεν έχουμε σειριακή συσχέτιση. Αν DW saisic είναι αρκετά κάτω από και σχεδόν πλησιάζει το 0(όπως και στην δική μας περίπτωση), υπάρχει θετική σειριακή συσχέτιση. και τέλος αν DW saisic είναι μεταξύ -4 τότε μιλάμε για αρνητική συσχέτιση. Επίσης σε αυτό το σημείο μπορούμε να οηθηθούμε και από την μεμονωμένη εξέταση των καταλοίπων που έχει ως εξής: Αν από το πρόγραμμα EViews επιλέξουμε «View / Residual Tess / Correlogram-Q-saisics» θα πάρουμε τον παρακάτω πίνακα. πίνακας 3. 34

37 Το σημαντικό τώρα είναι να εξηγήσουμε τον πίνακα για να δούμε αν υπάρχει συσχέτιση. Αυτό που έχουμε να κάνουμε είναι το εξής: Εάν δεν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ των καταλοίπων μας τα AC (Auocorrelaion) και PAC (Parial Auocorrelaion) σε όλες τις χρονικές υστερήσεις θα ήταν παρά πολύ κοντά στο μηδέν και η Q-saisic θα ήταν ασήμαντη με μεγάλες τιμές του P. το παράδειγμα μας δεν ισχύει κάτι από τα παραπάνω οπότε και μιλάμε για συσχέτιση των καταλοίπων. την 5 και 6 υστέρηση λέπουμε ότι παρουσιάζεται μια αντιστροφή ιδίας ποσότητας αλλά προς τα αρνητικά πράγμα που σημαίνει ότι οδηγούμαστε σε μια διαμετρικά αντίθετη πορεία των τιμών AC και PAC. Η ύπαρξη αυτοσυσχέτισης ή ετεροσκεδαστικότητας στα κατάλοιπα έχει σαν συνέπεια τα τυπικά σφάλματα να μην είναι ορθά εκτιμημένα και κατά συνέπεια ενδέχεται να πάρουμε λανθασμένες αποφάσεις κατά την διεξαγωγή του ελέγχου υποθέσεων. Για να ελέγξουμε την ύπαρξη αυτοσυσχέτισης θα πρέπει να αποφασίσουμε την τάξη που έχει, δηλαδή την μέγιστη χρονική υστέρηση στην οποία τα κατάλοιπα εμφανίζουν συσχέτιση. τον επόμενο πίνακα που θα παραθέσουμε έχουμε κάνει την εκτεταμένη ερευνά για να δούμε αν τα κατάλοιπα αυτοσυσχετίζονται, και χρησιμοποιούμε την μέθοδο «Breusch-Godfrey Serial Correlaion LM Tes». Με την επιλογή «View/Residual Tess/Serial Correlaion LM Tes..» περνούμε τον παρακάτω πίνακα: πίνακας

38 Εδώ λέπουμε ότι το πρόγραμμα μας δίνει καινούρια στοιχειά το ένα είναι η «Fsaisic» και το άλλο είναι «Obs*R-Squared» οπού είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων πολλαπλασιασμένος με το R τετράγωνο. Εδώ το μονό που αρκεί είναι να δούμε την σημαντική τιμή που παρουσιάζει η «F-saisic» και να αποδεχτούμε την ύπαρξη της συσχέτισης. 3. Βασικά Χαρακτηριστικά Χρηματοοικονομικών ειρών. Το κυρίαρχο στοιχείο πολλών χρονολογικών σειρών αποδόσεων είναι η απόκλιση της κατανομής τους από την κανονικότητα. Πιο συγκεκριμένα απόκλιση από την κανονικότητα μπορεί να σημαίνει: Ύπαρξη θετικής ή αρνητικής ασυμμετρίας. Ύπαρξη λεπτοκύρτωσης, δηλαδή παρουσία ακραίων τιμών που δεν είναι συματές με την κανονική κατανομή. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι εξαιρετικά διαδεδομένα στις χρηματοοικονομικές σειρές. Για τον λόγο αυτό είναι απαραίτητος ο έλεγχος αυτών των σειρών για κανονικότητα. Αυτό επιτυγχάνεται με τον : έλεγχο Jarque-Bera. Ο έλεγχος αυτός υπολογίζει την ασυμμετρία και κύρτωση με άση τα στοιχεία του δείγματος και στην συνέχεια τα συγκρίνει με τις θεωρητικές τιμές για την κανονική κατανομή που είναι μηδέν αφού στην κανονική κατανομή δεν έχουμε ασυμμετρία και κύρτωση. Ορισμένα παραδείγματα του ελέγχου επιτυγχάνονται με την χρήση της εντολής HIST όπως φαίνεται στο παράδειγμα του Γενικού Δείκτη και των μετοχών της ΕΤΕ και forhne αντίστοιχα που θα παραθέσουμε παρακάτω. Η σειρά των αποδόσεων του Γενικού Δείκτη έχει τιμή του ελέγχου η οποία είναι 3,03 και η πιθανότητα να λάουμε μια μεγαλύτερη τιμή είναι πρακτικά μηδέν, οπότε η τιμή της στατιστικής είναι ήδη πολύ μεγάλη και οφείλουμε να απορρίψουμε την υπόθεση της κανονικότητας. 36

39 Από το ιστόγραμμα φαίνεται ότι χονδρικά δεν μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι η κατανομή είναι ασυμμετρική. Επομένως η απόρριψη της κανονικότητας έχει να κάνει με την υπερολική κύρτωση της σειράς (περίπου ίση με 3,00). Παρακάτω θα δούμε το αντίστοιχο διάγραμμα για την περίπτωση των τιμών της μετοχής της ΕΤΕ. ε αυτήν την περίπτωση είναι σαφές ότι και πάλι απορρίπτουμε την υπόθεση της κανονικότητας. Ωστόσο έχουμε θετική ασυμμετρία της σειράς, δηλαδή υπάρχει μια τάση προς θετικές αποδόσεις. Πραγματικά, η τιμή της ασυμμετρίας όπως εκτιμήθηκε από το δείγμα είναι 0,670 και η κύρτωση είναι,548. Παρακάτω θα παραθέσουμε το τελευταίο παράδειγμα μας που είναι οι τιμές της μετοχής forhne και είναι τα αντίστοιχα. 37

40 την πράξη θα περιμέναμε ότι αν τα δεδομένα μας είναι κανονικά θα πρέπει ο έλεγχος Jarque-Bera να μας το υποδείξει. Με τις ακόλουθες εντολές μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα τυχαίο δείγμα από την κανονική κατανομή και να ελέγξουμε την υπόθεση της κανονικότητας. GENR () = NRND HIST () το οποίο έδωσε τα ακόλουθα αποτελέσματα για τα δεδομένα των μεταλητών που εξετάσαμε και παραπάνω. Είναι σαφές ότι η πιθανότητα να λάουμε μια τιμή ανώτερη από,055 είναι 0,59, δηλαδή αρκετά μεγάλη. Επομένως μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι με άση τον έλεγχο αυτό η τιμή του κριτηρίου είναι αρκετά χαμηλή, δηλαδή μηδέν και: άρα δεν έχουμε (στατιστικά σημαντικές) αποκλίσεις από την κανονική κατανομή. για τις αποδόσεις του Γενικού Δείκτη έχουμε τα παρακάτω: 38

41 μπορούμε εύκολα και στο παραπάνω διάγραμμα του τυχαίου δείγματος να δούμε ότι μια τιμή πάνω από,35 είναι 0,30 μια τιμή αρκετά μεγαλύτερη από την πρώτη εξέταση του δείγματος. Τέλος έχουμε το διάγραμμα της forhne. 39

42 Ένας άλλος τρόπος να ελέγξουμε εμπειρικά την κανονικότητα μιας σειράς είναι να συγκρίνουμε απευθείας την ΠΠ ή Α με την αντίστοιχη της κανονικής κατανομής. Για σειρές που είναι κανονικές θα περιμέναμε μια συμφωνία της εμπειρικής ΠΠ ή Α με την κανονική. Αυτό γίνεται αν παρουσιάσουμε διαγραμματικά τα δεκατημόρια της κανονικής κατανομής σε σχέση με τα δεκατημόρια της εμπειρικής κατανομής τα λεγόμενα quanile-quanile plos ή Q-Q plos. Παρακάτω θα δούμε τα αντίστοιχα διαγράμματα τον οριζόντιο άξονα έχουμε τα δεκατημόρια της εμπειρικής κατανομής και στον κάθετο τα δεκατημόρια της κανονικής κατανομής. Για να έχουμε συμφωνία θα πρέπει αυτά να είναι περίπου ίσα. Δηλαδή πρέπει τα σημεία του διαγράμματος να ρίσκονται πάνω στην διαγώνιο του κουτιού και οι άξονες να έχουν την ίδια κλίμακα. για την μετοχή της forhne έχουμε το παρακάτω διάγραμμα. για τον Γενικό Δείκτη έχουμε: 40

43 από τα παραπάνω διαγράμματα λέπουμε ότι και οι δυο σειρές που μελετάμε πληρούν το κριτήριο της κανονικότητας για το τυχαίο δείγμα που έχουμε άλει το πρόγραμμα να επιλέξει. 4. Προλεψιμότητα Η ανακάλυψη δομής στα χρηματοοικονομικά στοιχεία είναι μια υπόθεση με μακρύ παρελθόν και σίγουρο μέλλον! Εδώ θα δούμε ορισμένες ουσιαστικά περιγραφικές μεθόδους με τις οποίες μπορούμε να πάρουμε μια πρώτη εκτίμηση για την έκταση στην οποία μια σειρά είναι προλέψιμη. Μια σειρά είναι προλέψιμη αν υπάρχει συσχέτιση ανάμεσα στις τρέχουσες και παρελθούσες τιμές της σειράς. Εάν η τιμή μιας σειράς κατά την χρονική περίοδο είναι, τότε στην πράξη θέλουμε να ρούμε μια σχέση της μορφής f (,,...) = Ο συντελεστής συσχέτισης δυο σειρών και ορίζεται ως: σ ρ = σ σ όπου μ Χ και μ Υ είναι οι μέσοι των σειρών, σ Χ και σ Υ είναι οι τυπικές αποκλίσεις και σ ΧΥ είναι η συνδιακύμανση. Εκτιμήσεις αυτών δίνονται ως εξής: μ =, T μ = T ( μ ) σ =, T σ ( μ ) = T σ ( μ )( = T μ ) Ο συντελεστής συσχέτισης ρ ΧΥ μετρά την έκταση της (γραμμικής) σχέσης που υπάρχει μεταξύ των μεταλητών και Υ. Ο συντελεστής συσχέτισης ρ ΧΥ κυμαίνεται από έως +. Για παράδειγμα οι συντελεστές συσχέτισης των αποδόσεων μπορούν να ρεθούν με την εντολή 4

44 COR ee... gd (όπου ee και gd είναι οι τιμές των μετοχών και του δείκτη αντίστοιχα). τον παραπάνω πίνακα αυτό που μπορούμε να διακρίνουμε είναι ότι η συσχέτιση μεταξύ Γενικού Δείκτη και μετοχής ΕΤΕ είναι 0,983 δηλαδή περίπου (98,3%), αντίθετα μικρότερη συσχέτιση (7%) παρουσιάζει ο Γενικός Δείκτης με την μετοχή της ΕΛΑΙ και με αυτόν τον τρόπο ρίσκουμε και τα υπόλοιπα. Για να απαντήσουμε όμως στο ερώτημά μας αν υπάρχει προλεψιμότητα μιας σειράς (πχ Γενικού Δείκτη ) δεν θα πρέπει να υπολογίσουμε συντελεστές συσχέτισης του Γενικού Δείκτη με τις μετοχές στην τρέχουσα περίοδο αλλά του Γενικού Δείκτη στην περίοδο και των μετοχών (ή του γενικού δείκτη πχ ή άλλης σειράς) στην προηγούμενη περίοδο. Αυτό επιτυγχάνεται με την εντολή COR ee(-) elais(-) forh(-) gd λέπουμε ότι ακόμα και με την προηγούμενη περίοδο η συσχέτιση μεταξύ των αποδόσεων μας δεν έχουν και πολύ μεγάλη διαφορά πράγμα που μας κάνει να πιστεύουμε ότι οι τιμές συσχέτισης σε ένα μεγάλο αθμό θα ρίσκονται πάντα σε αυτά τα επίπεδα. Μια άλλη προσέγγιση είναι να υπολογίσουμε την συσχέτιση της σειράς και των σειρών,, δηλαδή την συσχέτιση των τρεχουσών τιμών της σειράς... με τις παρελθούσες τιμές της, όπως άλλωστε απαιτεί ο ορισμός της προλεψιμότητας. Αυτού του είδους οι συντελεστές συσχετίσεως ονομάζονται υντελεστές αυτοσυσχέτισης και συμολίζουμε 4

45 ρ ρ, ) = ( = ρ(, 3 = ρ(, 3 ρ ) ρ ) Για την σειρά του Γενικού Δείκτη πήραμε τα εξής αποτελέσματα για τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης της σειράς. Η στήλη auocorrelaion μας δίνει τους συντελεστές ρ, ρ... για τους οποίους ενδιαφερόμαστε. Η στήλη parial correlaion δεν θα μας απασχολήσει. Η στήλη με τους αριθμούς,,3, μας δίνει την χρονική υστέρηση για την οποία υπολογίζεται ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης. Η στήλη AC μας δίνει την τιμή του συντελεστής αυτοσυσχέτισης. Η στήλη Q-sa είναι μια στατιστική η οποία αποτελείται ουσιαστικά από το σωρευτικό άθροισμα των ρ ι και στην επόμενη στήλη (Prob) εξετάζεται η στατιστική της σημαντικότητα για να δούμε κατά πόσον οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης διαφέρουν από το μηδέν. Από τα αποτελέσματα αυτά είναι φανερό ότι σε επίπεδο σημαντικότητας % κανένας συντελεστής δεν είναι στατιστικά σημαντικός. Αυτά τα αποτελέσματα αφορούν μόνο την γραμμική προλεπτικότητα της σειράς. Με άλλα λόγια είναι δυνατόν να υπάρχουν μη γραμμικά μοντέλα με τα οποία η σειρά να είναι προλέψιμη 43

46 5. Προλέψεις Με το απλό γραμμικό υπόδειγμα Esimaion Equaion: ===================== G_D0 = C () + C ()*ETE + C (3)*FORTH + C (4)*ELAIS + C (5)*FOURL Subsiue Coefficiens: ===================== G_D0 = *ETE -.88*FORTH *ELAIS *FOURL είναι δυνατόν να πραγματοποιήσουμε προλέψεις αν στην περίοδο της πρόλεψης έχουμε τις τιμές των ερμηνευτικών μεταλητών ή μπορούμε να τις εκτιμήσουμε με κάποια αξιοπιστία. τα επόμενα εκτιμούμε το παραπάνω υπόδειγμα για την περίοδο (4/0/05 /0/06) και πραγματοποιούμε προλέψεις για την περίοδο (/0/06 /0/06). αταρχήν εκτιμούμε με την εντολή (LS gd c ee elais forh fourl) αλλά στο κουτί Equaion δίνουμε την περίοδο εκτίμησης να είναι (/4/05 /0/06). την συνέχεια επιλέγουμε Forecas και επιλέγουμε την περίοδο(/0/06 /0/06). Τα αποτελέσματα και το γράφημα δίνονται στον παρακάτω πίνακα: ατά μέσον όρο το σφάλμα της πρόλεψης στην περίοδο που διεξήχθη είναι.3%. Αν θέλαμε να παρουσιάσουμε διαγραμματικά τις προλέψεις και πραγματοποιήσεις θα δίναμε την εντολή SMPL (/0/06 /0/06) PLOT gd gdf και θα είχαμε τα εξής αποτελέσματα: 44

47 6. Δυναμικά Υποδείγματα Bo και Jenkins. Τα υποδείγματα Bo - Jenkins ή ARIMA (auoregressive inegraed moving average) είναι υποδείγματα που χρησιμοποιούνται εκτεταμένα για τις προλέψεις χρονολογικών σειρών. Ο σκοπός των υποδειγμάτων είναι να πραγματοποιήσουν προλέψεις για μια χρονολογική σειρά με άση μόνον τις παρελθούσες τιμές της σειράς και χωρίς άλλη πληροφόρηση διαρθρωτικής μορφής. Πχ δεν χρειάζεται να έχουμε πληροφόρηση σχετικά με το ποιες ερμηνευτικές μεταλητές επηρεάζουν την. Η ασική αρχή των υποδειγμάτων είναι ότι η σειρά πρέπει αν είναι στάσιμη (saionary) δηλαδή να μην υπάρχει προφανής τάση στα επίπεδα ή στην διακύμανση της μεταλητής. Αν η σειρά δεν είναι στάσιμη στα επίπεδα θα πρέπει να πάρουμε πρώτες διαφορές, δηλαδή να σχηματίσουμε την σειρά D = και να εφαρμόσουμε τα υποδείγματα ARIMA στην νέα σειρά D είναι στάσιμη παίρνουμε δεύτερες διαφορές D. Αν ούτε και η D = D D = + κ.λ.π. μέχρι να επιτύχουμε στασιμότητα την οποία κρίνουμε διαγραμματικά. Γενικά την τάξη διαφορών την οποία πρέπει να επιάλλουμε για να έχουμε στασιμότητα την συμολίζουμε με d. Το υπόδειγμα ARIMA(p,d,q) έχει την μορφή z = z + z p z + e + ae + a + + z = D d a e q q 45

48 D(gd )C AR() MA() Η επιλογή Forecas (dynamic) για την περίοδο που θέλουμε δίνει τα εξής αποτελέσματα. Οι τιμές των προλέψεων έχουν αποθηκευτεί στην σειρά gdf και μπορούμε να τις συγκρίνουμε με τις πραγματικές με την χρήση της παρακάτω εντολής 46

49 SMPL (/0/06 /0/06) SHOW gd gdf GD GDF GD GDF Γενικά τα υποδείγματα ARIMA είναι κατάλληλα για ραχυχρόνιες προλέψεις. Όσο ο ορίζοντας της πρόλεψης μεγαλώνει τόσο πιο αέαιη γίνεται αυτή η πρόλεψη. Επίσης η συμπεριφορά των υποδειγμάτων μπορεί να ελτιωθεί αν εκτός από τους όρους ARMA έχουμε ερμηνευτικές μεταλητές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ελτιώσουμε την αξιοπιστία της πρόλεψης. Η αξιοπιστία μετράτε συνήθως με την στατιστική RMSE (roo mean squared error) που είναι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα (απόκλιση της πρόλεψης από την πραγματική τιμή) στην περίοδο πρόλεψης. Μια συνηθισμένη πρακτική για τον έλεγχο αξιοπιστίας είναι η ακόλουθη. Από ένα δείγμα T παρατηρήσεων χρησιμοποιούμε τις T m για να εκτιμήσουμε το υπόδειγμα ARIMA. Προλέπουμε στις τελευταίες m περιόδους και υπολογίζουμε το RMSE. υγκρίνουμε εναλλακτικά υποδείγματα ARIMA με άση αυτό το κριτήριο και επιλέγουμε το καλύτερο. 7. Διανυσματικά Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Τα διανυσματικά αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα (vecor auo-regression, VAR) είναι μη θεωρητικά υποδείγματα με άση τα οποία μπορούμε να απαντήσουμε ερωτήματα σχετικά με την κατεύθυνση της αιτιότητας των μεταλητών, της διαχρονικής επίδρασης μιας μεταολής σε μια μεταλητή πάνω στις υπόλοιπες κλπ. Αν έχουμε δυο μεταλητές, ένα υπόδειγμα VAR θα έχει την μορφή α = α () () () () + () () () () ( ( p) p) ( p) ( p) p p u + ν 47

50 Αν ορίσουμε Z = θα έχουμε: Z + e () () ( p) = a + Β Z + Β Z Β Z p Το υπόδειγμα μπορεί να εκτιμηθεί με OLS σε κάθε εξίσωση ξεχωριστά. υνήθως μας ενδιαφέρει να ελέγξουμε την κατεύθυνση της αιτιότητας, δηλαδή αν, αν, αν και τα δυο είναι σωστά ή αν και τα δυο είναι λάθος. Για να ελέγξουμε την υπόθεση ότι η δεν ασκεί αιτιατή επίδραση στην μας ενδιαφέρει η μηδενική υπόθεση: () () ( p) H 0 : = =... = = 0 Για να ελέγξουμε την υπόθεση ότι η δεν ασκεί αιτιατή επίδραση στην μας ενδιαφέρει η μηδενική υπόθεση : () () ( p) H 0 : = =... = = 0 αν εμπειρική μελέτη θα παραθέσουμε τα χρηματοοικονομικά δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν και για την εξαγωγή των παραπάνω συμπερασμάτων. 48

51 Οι παράμετροι του VAR δεν έχουν καθαυτό οικονομική σημασία και για τον λόγο αυτό θα κάνουμε ελέγχους αιτιότητας με την εντολή Quick/Group saisics/granger causaliy η οποία μας δίνει τα ακόλουθα αποτελέσματα. την συνέχεια μπορούμε να υπολογίσουμε δυναμικούς πολλαπλασιαστές (impulse responses) με τις επιλογές στην επόμενη οθόνη. 49

52 το περίεργο είναι ότι δεν μας δείχνει αιτιότητα μεταξύ του Γενικού Δείκτη και της ΕΤΕ. την συνέχεια μπορούμε να κάνουμε ανάλυση της διακύμανσης (variance decomposiion) με τις επιλογές στην επόμενη οθόνη. Το τμήμα της διακύμανσης των τιμών του Γενικού Δείκτη και των τιμών που μπορούμε να αποδώσουμε στη forhne είναι πολύ μικρό. Αντίθετα ο Γενικός Δείκτης φαίνεται να εξηγεί καλά την κίνηση των τιμών της ΕΤΕ. την επόμενη ενότητα θα προχωρήσουμε σε μια εισαγωγή στην σύγχρονη οικονομετρική ανάλυση των χρονολογικών σειρών. 50

53 8. Εισαγωγή στην ύγχρονη Θεωρία Χρονολογικών ειρών. Η σύγχρονη θεωρία των χρονολογικών σειρών στηρίζεται στην ιδέα ότι οι παλαιότερες μέθοδοι αγνοούν τις επιπτώσεις του γεγονότος ότι πολλές σειρές είναι μη στάσιμες και συγκεκριμένα I (), δηλαδή περιέχουν μια μοναδιαία ρίζα (uni roo). ειρές αυτής της μορφής είναι στάσιμες στις πρώτες διαφορές και επομένως περιγράφονται από υποδείγματα της μορφή + u = μ + = + v όπου u είναι ένα σφάλμα με τις συνηθισμένες ιδιότητες. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δυο τέτοιες σειρές και με μ = 0.05 και σφάλματα ασυσχέτιστα με μηδενικό μέσο και μοναδιαία διακύμανση. Για να κατασκευάσουμε αυτές τις σειρές, ανοίγουμε νέο πρόγραμμα με 00 παρατηρήσεις και δίνουμε τις παρακάτω εντολές: rndseed 345 smpl 00 genr =0 genr y =0 smpl 00 genr = (-)+nrnd genr y= y(-)+nrnd την συνεχεία αν παλινδρομήσουμε την Χ και την Υ θα πάρουμε τα παρακάτω αποτελέσματα. 5

54 Ο συντελεστής της είναι στατιστικά σημαντικός με στατιστική που είναι περίπου 7 και ο συντελεστής προσδιορισμού R είναι μέτριος, δηλαδή 0.38 και επομένως κανείς θα έλεγε ότι έχουμε μια μέτρια εξίσωση. Το πρόλημα είναι όμως ότι οι δυο σειρές κατασκευάσθηκαν εντελώς ανεξάρτητα η μια από την άλλη αφού είναι δυο ανεξάρτητοι τυχαίοι περίπατοι (independen random walks). Αυτό ακριώς είναι το πρόλημα και στην περίπτωση αυτή. Αν γράψουμε αναλυτικά τις παραπάνω σειρές θα πάρουμε: = * + e 0 + ui + μ * = 0 + μ = + ν + μ = + μ * + ξ 0 i * 0 όπου e = ui και ξ = ν i Επομένως οι δυο σειρές ακολουθούν μια κοινή γραμμική τάση (με συντελεστή μ ) και αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η μέθοδος OLS μας έδωσε το παράλογο αποτέλεσμα ότι η επηρεάζει την. Όταν λοιπόν οι σειρές είναι I () η εφαρμογή της μεθόδου OLS μπορεί να καταλήξει σε παράλογα αποτελέσματα. Για να προφυλαχθούμε από μια τέτοια περίπτωση είναι απαραίτητο να ελέγξουμε πρώτα αν οι σειρές μας είναι I () και αν είναι στην συνέχεια να εαιωθούμε ότι η επηρεάζει αιτιατά την. Αν την επηρεάζει αιτιατά μπορούμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο OLS. Αν οι σειρές είναι στάσιμες ή I (0) όπως λέμε μπορούμε να εφαρμόσουμε OLS απευθείας. Αν οι σειρές είναι I () αλλά δεν υπάρχει μια αιτιατή σχέση δεν θα πρέπει να εφαρμόσουμε OLS γιατί προφανώς- κάτι τέτοιο δεν έχει έννοια. Για να ελέγξουμε αν μια σειρά είναι στάσιμη ή όχι θα ήταν λογικό να εκτιμήσουμε μια παλινδρόμηση της μορφής c + + ν = p 5

55 και να ελέγξουμε την υπόθεση H 0 : p = έναντι της εναλλακτικής (στασιμότητα) με άση την στατιστική. H : p < p p = SE( p) όπου SE p) είναι το τυπικό σφάλμα του p. Αν η κριτική τιμή της κατανομής suden συμολιστεί με, n τα θα απορρίπταμε την μηδενική υπόθεση αν ( p < α, n ε μεγάλα δείγματα (πχ 00) η κριτική τιμή σε α = 0.05 είναι.66 οπότε αν η στατιστική είναι μικρότερη από αυτή την τιμή (αν είναι πχ ή 3) θα απορρίπταμε την μηδενική υπόθεση. Αν όχι θα την δεχόμασταν και θα καταλήγαμε ότι έχουμε μια μοναδιαία ρίζα. Το πρόλημα με αυτή την στρατηγική είναι ότι όταν η είναι I () η στατιστική δεν έχει πια την κατανομή suden αλλά μια άλλη κατανομή που έχει πινακοποιηθεί από τους Dickey και Fuller. την πράξη χρησιμοποιούμε έναν μετασχηματισμό του υποδείγματος της μορφής = c + p + ν Δ = c + + ν όπου = ρ και ελέγχουμε την H 0 : = 0 έναντι της H : < 0 και στην συνέχεια απλά χρησιμοποιούμε την στατιστική για το. Για να διεξάγουμε τον έλεγχο κάνουμε διπλό κλικ στην σειρά και από το μενού View επιλέγουμε Uni roo es. 53