Φαινόμενα - Πειράματα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φαινόμενα - Πειράματα"

Transcript

1 Στατιστική Προσέγγιση Προβλημάτων: Μια Γενική Επισκόπηση Τα διάφορα προβλήματα (επιστημονικά, κοινωνικά, πολιτικά, κ.λπ.) συνδέονται με φαινόμενα ή με πειράματα 1 τα οποία ταξινομούνται σε δύο γενικές κατηγορίες: Στα αιτιοκρατικά ή προσδιοριστικά και στα τυχαία ή στοχαστικά. Φαινόμενα - Πειράματα Αιτιοκρατικά-Προσδιοριστικά Ένα φαινόμενο/πείραμα θεωρείται αιτιοκρατικό-προσδιοριστικό όταν οι συνθήκες κάτω από τις οποίες εμφανίζεται/εκτελείται καθορίζουν σύμφωνα με την αρχή της αιτιότητας το αποτέλεσμα. Τυχαία-Στοχαστικά Ένα φαινόμενο/πείραμα θεωρείται τυχαίο-στοχαστικό όταν οι συνθήκες κάτω από τις οποίες εμφανίζετα/εκτελείται δεν καθορίζουν το αποτέλεσμα σύμφωνα με την αρχή της αιτιότητας. Το αποτέλεσμα αποδίδεται στην «τύχη». Η έννοια του «τυχαίου» συνδέεται με το πολυσύνθετο και το περιορισμένο της γνώσης των αιτίων που προκαλούν το αποτέλεσμα.. Δηλαδή, υπάρχει «έλλειμμα» αιτιότητας. Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε το κεφάλαιο, το χρόνο και το επιτόκιο τότε γνωρίζουμε με βεβαιότητα και τον τόκο που πρέπει να εισπράξουμε στο συγκεκριμένο χρόνο ή αν γνωρίζουμε την κατανάλωση νερού και το κόστος ανά μονάδα κατανάλωσης τότε γνωρίζουμε με βεβαιότητα και το ποσό που πρέπει να πληρώσουμε. Μια ασφαλιστική εταιρεία, όμως, δε γνωρίζει με βεβαιότητα ούτε τον αριθμό ούτε το ύψος των αποζημιώσεων που θα πληρώσει τον επόμενο μήνα. Επίσης, δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα τον αριθμό των γεννήσεων που θα συμβούν την επόμενη εβδομάδα σε μια γεωγραφική περιοχή ή το αποτέλεσμα της θεραπείας ασθενών ηλικίας ετών με ένα συγκεκριμένο φάρμακο ή την απόδοση μιας καλλιέργειας ή το ύψος των πωλήσεων μιας αυτοκινητοβιομηχανίας το επόμενο εξάμηνο. Ένα αιτιοκρατικό-προσδιοριστικό φαινόμενο είναι δυνατόν να περιγραφεί με ένα μαθηματικό μοντέλο δηλαδή με ένα μαθηματικό ανάλογο/μίμηση/ομοίωση του πραγματικού. Για παράδειγμα, η προσδιοριστική σχέση Κεφάλαιο-Επιτόκιο-Χρόνος- Τόκος μπορεί να περιγραφεί από ένα μαθηματικό τύπο (μοντέλο) ο οποίος μας επιτρέπει να προβλέψουμε με βεβαιότητα το αποτέλεσμα (τόκος) όταν γνωρίζουμε το κεφάλαιο, το επιτόκιο και το χρόνο. Όμως, ένα τυχαίο-στοχαστικό φαινόμενο όπως, για παράδειγμα, η σχέση Τιμή-Ζήτηση ενός προϊόντος δε μπορεί να περιγραφεί πλήρως με ένα μαθηματικό τύπο αφού η ζήτηση ενός προϊόντος οφείλεται, εκτός από την τιμή του, και σε άλλους παράγοντες-αιτίες όπως οι τιμές ομοειδών προϊόντων, το ύψος του εισοδήματος των καταναλωτών αλλά και σε άλλους που δε μπορούν να προσδιορισθούν με ακρίβεια. Επίσης, η σχέση απόδοση μιας καλλιέργειας ποσότητα λιπάσματος είναι στοχαστική και όχι προσδιοριστική αφού η απόδοση της 1 Ένα πείραμα διαφέρει από την παρατήρηση ενός φαινομένου κατά το ότι ο ερευνητής που εκτελεί το πείραμα παρεμβαίνει ενεργά, επιβάλλοντας μια συγκεκριμένη μεταχείριση στα άτομα ή στα αντικείμενα επί των οποίων εξελίσσεται το πείραμα. Αντιθέτως, κατά την παρατήρηση ενός φαινομένου, μετράμε ή παρατηρούμε την κατάσταση των ατόμων ή των αντικειμένων επί των οποίων συμβαίνει το φαινόμενο χωρίς να προσπαθούμε να αλλάξουμε αυτή την κατάσταση με κάποια ειδική μεταχείριση. Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 1

2 καλλιέργειας εξαρτάται εκτός από την ποσότητα λιπάσματος και από άλλους παράγοντες όπως οι καιρικές συνθήκες, ο προσανατολισμός του αγρού, το έδαφος του αγρού, ο χρόνος σποράς αλλά και από άλλους που είτε δε γνωρίζουμε είτε γνωρίζουμε αλλά δε μπορούμε να προσδιορίσουμε με ακρίβεια πώς επηρεάζουν την απόδοση της καλλιέργειας. Συνεπώς, το «πολυσύνθετο» και το «περιορισμένο της γνώσης των αιτίων» που χαρακτηρίζουν τα τυχαία-στοχαστικά φαινόμενα και πειράματα απαιτούν επιστημονικά εργαλεία διαφορετικά από τα «συνήθη». Ο κλάδος των Μαθηματικών που έχει ως αντικείμενο την έρευνα των νόμων που διέπουν τα τυχαία-στοχαστικά φαινόμενα και πειράματα ονομάζεται Θεωρία Πιθανοτήτων. Η σπουδαιότερη εφαρμογή της Θεωρίας Πιθανοτήτων είναι η ανάπτυξη Στατιστικών Μεθόδων. Οι στατιστικές μέθοδοι μας επιτρέπουν να βγάλουμε συμπεράσματα για όσα δε γνωρίζουμε ενώ η Θεωρία Πιθανοτήτων μας επιτρέπει να υπολογίσουμε πόσο βέβαιοι πρέπει να είμαστε για τα συμπεράσματά μας. Σχόλιο Σπάνια η πραγματικότητα (φυσικά, κοινωνικά, οικονομικά, πολιτικά, κ.ά φαινόμενα και πειράματα) μπορεί να περιγραφεί με προσδιοριστικά μαθηματικά μοντέλα. Όμως, πολλές φορές, προκειμένου πραγματικά προβλήματα να μελετηθούν στο πλαίσιο των «κλασικών» Μαθηματικών, γίνονται παραδοχές και απλουστεύσεις ώστε να «παρακάμπτεται» το τυχαίο και έτσι να είναι δυνατή η κατασκευή μαθηματικών προσδιοριστικών μοντέλων. Για παράδειγμα, η βολή πυροβόλου υπό ορισμένη γωνία και ορισμένη αρχική ταχύτητα, ενώ στο πλαίσιο των Μαθηματικών και της Φυσικής μελετάται ως αιτιοκρατικό πείραμα, στην πραγματικότητα είναι στοχαστικό αφού η τροχιά του βλήματος δεν επηρεάζεται μόνο από την αρχική ταχύτητα και τη γωνία βολής αλλά και από άλλους αστάθμητους παράγοντες. Η πραγματική τροχιά και το πραγματικό σημείο πτώσης, φυσικά, διαφέρουν από τα αντίστοιχα θεωρητικά. Επίσης, είναι φανερό ότι ερωτήματα όπως τα παρακάτω δε μπορούν να απαντηθούν από το προσδιοριστικό μαθηματικό μοντέλο που προκύπτει μετά από παραδοχές και «απλούστευση» της πραγματικότητας: Ποιο ποσοστό βλημάτων κατά μέσο όρο πλήττει το στόχο; Πόσα βλήματα πρέπει να χρησιμοποιηθούν για να πληγεί ο στόχος με ικανοποιητική ακρίβεια; Τι μέτρα πρέπει να ληφθούν για να περιορισθεί η διασπορά των σημείων πτώσης των βλημάτων; Ένα φαινόμενο ή πείραμα δε συμβαίνει/εκτελείται αφηρημένα αλλά σε ένα σύνολο υποκειμένων (ατόμων, αντικειμένων, τόπων ή άλλων οντοτήτων) που έχουν ένα ή περισσότερα κοινά χαρακτηριστικά. Μετρώντας ή παρατηρώντας τα χαρακτηριστικά των υποκειμένων στα οποία συμβαίνει ή εκτελείται το φαινόμενο ή το πείραμα, δηλαδή, αποδίδοντας τιμές σε αυτά, παίρνουμε ένα σύνολο δεδομένωνπαρατηρήσεων 2 από τα οποία προσπαθούμε να κατανοήσουμε/εξηγήσουμε το φαινόμενο ή το πείραμα και να οδηγηθούμε στην κατασκευή ενός μοντέλου που θα το περιγράφει. Όμως, δεν είναι πάντοτε δυνατό να έχουμε στη διάθεσή μας όλες τις τιμές των χαρακτηριστικών του φαινομένου ή του πειράματος που μελετάμε. Συνήθως, μέρος μόνο των τιμών των χαρακτηριστικών έχουμε στη διάθεσή μας. Επίσης, λόγω του πολυσύνθετου της πραγματικότητας δεν έχουμε πλήρη εικόνα όλων των «χαρακτηριστικών». Στην αντιμετώπιση αυτών των δυσκολιών συνεισφέρουν η Θεωρία Πιθανοτήτων και η Στατιστική. Ειδικότερα, η διαδικασία μετάβασης από το 2 Δεδομένα/Παρατηρήσεις: Στοιχεία που καταγράφονται κατά τη διάρκεια ενός φαινομένου ή κατά την εκτέλεση ενός πειράματος Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 2

3 «όλο» στο «μέρος» (από τον πληθυσμό 3 στο δείγμα) και αντίστροφα, γίνεται, σε γενικές γραμμές, ως εξής: Κάθε υποτιθέμενο μοντέλο για τον πληθυσμό συνεπάγεται, σύμφωνα με τη Θεωρία Πιθανοτήτων, ορισμένη συμπεριφορά για το δείγμα. Δηλαδή, η Θεωρία Πιθανοτήτων μας λεει τι πρέπει να περιμένουμε στο δείγμα. Η Στατιστική μας επιτρέπει να ελέγξουμε αν η συμπεριφορά του δείγματος διαφέρει σημαντικά από το αναμενόμενο με βάση τη Θεωρία Πιθανοτήτων. Αν αυτή η διαφορά, μεταξύ αναμενόμενου από τη θεωρία και παρατηρούμενου στο δείγμα, είναι σημαντική τότε πρέπει να αναζητηθεί άλλο μοντέλο για την περιγραφή του πληθυσμού. Πληθυσμός Θ. Πιθανοτήτων Στατιστική Συμπερασματολογία Δείγμα Αξίζει να επισημανθεί ότι κατά τη διαδικασία ελέγχου της συμφωνίας θεωρίας και εμπειρίας, όπως περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο, εφαρμόζεται τόσο η παραγωγική όσο και η επαγωγική αποδεικτική μέθοδος. Σε πρώτη φάση εφαρμόζεται η παραγωγική μέθοδος, δηλαδή, γίνεται μετάβαση από το όλο στο μέρος: υποθέτουμε κάποιο μοντέλο για τον πληθυσμό (το όλο) και μέσω της Θεωρίας Πιθανοτήτων συμπεραίνουμε για το δείγμα (το μέρος). Σε δεύτερη φάση εφαρμόζεται η επαγωγική μέθοδος, δηλαδή, γίνεται μετάβαση από το μέρος στο όλο: από τη συμπεριφορά του δείγματος, μέσω της Στατιστικής, συμπεραίνουμε για τον πληθυσμό. Δηλαδή, στη στατιστική προσέγγιση των προβλημάτων, συνυπάρχει ο παραγωγικός χαρακτήρας της Μαθηματικής επιστήμης με τον επαγωγικό χαρακτήρα των άλλων επιστημών. Το γεγονός αυτό εξηγεί την εφαρμοσιμότητα και τη χρησιμότητα αυτής της προσέγγισης σε ευρύτατο φάσμα επιστημών. Είναι, επομένως, φανερό ότι η Στατιστική μπορεί να συνεισφέρει σημαντικά σε οποιαδήποτε ερευνητική προσπάθεια που παράγει δεδομένα. Οι στατιστικές μέθοδοι προσφέρουν πολύτιμη υποστήριξη στις προσπάθειες που γίνονται για την ερμηνεία και την κατανόηση φαινομένων και καταστάσεων (φυσικών, κοινωνικών, οικονομικών, πολιτικών, κ.ά.), ανεξαρτήτως επιστημονικού/γνωστικού πεδίου. Κατ επέκταση, η Στατιστική επηρεάζει τις διαδικασίες λήψης αποφάσεων και συνεπώς επηρεάζει ένα ευρύτατο φάσμα της ανθρώπινης δραστηριότητας 4. Σημείωση: Η στατιστική προσέγγιση που περιγράψαμε, σε γενικές γραμμές παραπάνω, δεν είναι η μοναδική. Υπάρχουν και άλλες, όπως, η προσέγγιση της πιθανοφάνειας ή η Μπεϋζιανή προσέγγιση στις οποίες δε θα αναφερθούμε. Θα σημειώσουμε μόνο ότι, σχετικά 3 Πληθυσμός: Είναι σύνολο υποκειμένων (ατόμων, αντικειμένων, τόπων και γενικότερα οποιονδήποτε οντοτήτων) τα οποία ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε ως προς ένα τουλάχιστον κοινό χαρακτηριστικό. Κάθε στοιχείο του πληθυσμού λέγεται μονάδα (unit) ή απλό στοιχείο (element) και κάθε κοινό χαρακτηριστικό των μονάδων του πληθυσμού λέγεται μεταβλητή. Δείγμα είναι ένα μέρος του πληθυσμού. 4 Ερευνητές, επαγγελματίες, επιχειρηματίες, πολιτικοί, κυβερνήσεις αλλά και κάθε πολίτης στο πλαίσιο των επαγγελματικών τους δραστηριοτήτων αλλά και γενικότερα στην καθημερινή τους ζωή βρίσκονται αντιμέτωποι με προβλήματα που σχετίζονται τόσο με τη συλλογή και την παρουσίαση δεδομένων όσο και με την ανάλυσή τους και την εξαγωγή συμπερασμάτων και πληροφορίας από αυτά. Δεδομένα που σχετίζονται, για παράδειγμα, με την ανεργία, τις τιμές προϊόντων, τα ημερομίσθια, την παραγωγικότητα, τη γνώμη των πολιτών, τη συμπεριφορά των πολιτών, τις προτιμήσεις των καταναλωτών, την αποτελεσματικότητα μιας θεραπευτικής αγωγής, τη σεισμικότητα μιας περιοχής, έχουν άμεση ή έμμεση επίδραση στη ζωή μας. Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 3

4 πρόσφατα, έχουν αναπτυχθεί τεχνικές για τη Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων (Exploratory Data Analysis) αφετηρία των οποίων δεν είναι ο πληθυσμός αλλά τα δεδομένα. Δηλαδή, δεν αναζητούμε απαντήσεις σε ερωτήματα που θέτουμε εκ των προτέρων (μοντέλα που υποθέτουμε ότι ισχύουν στον πληθυσμό) αλλά αφήνουμε τα δεδομένα να μιλήσουν. Αυτές οι τεχνικές είναι ιδιαιτέρως χρήσιμες όταν τα δεδομένα προϋπάρχουν των ερωτημάτων, όπως για παράδειγμα, δεδομένα από κρατικά αρχεία. Όμως, οι τεχνικές της Διερευνητικής Ανάλυσης Δεδομένων είναι πολύ χρήσιμες και απαραίτητες ακόμη και στις πιο καλοσχεδιασμένες έρευνες γιατί μπορεί να αποκαλύψουν λάθη ή μια σημαντική επίδραση που δεν αναμενόταν ή να αναδείξουν ερωτήματα που δεν είχαμε σκεφθεί. Η Στατιστική είναι η επιστήμη των δεδομένων. Μπορεί να ορισθεί ως «η επιστήμη που έχει αντικείμενο την ανάπτυξη μεθόδων για τη συλλογή, παρουσίαση, ανάλυση και ερμηνεία δεδομένων» (Fisher). Οι στατιστικές μέθοδοι, με κριτήριο τους στόχους που εξυπηρετούν, ταξινομούνται σε τρεις γενικές κατηγορίες: 1. Μέθοδοι για το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής των δεδομένων 2. Μέθοδοι για τη συνοπτική και την αποτελεσματική παρουσίαση των δεδομένων 3. Μέθοδοι για την εξαγωγή συμπερασμάτων Με βάση αυτή την ταξινόμηση, η Στατιστική διαρθρώνεται σε τρεις κλάδους: 1. Σχεδιασμός Πειραμάτων (Experimental Design) και Θεωρία Δειγματοληψίας (Sampling Theory) Είναι κλάδοι της Στατιστικής που, σε γενικές γραμμές, έχουν ως αντικείμενο την ανάπτυξη μεθόδων για τη συλλογή δεδομένων μέσω της εκτέλεσης πειραμάτων ή μέσω δειγματοληψιών αντίστοιχα. 2. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Είναι ο κλάδος της Στατιστικής που έχει ως αντικείμενο την ανάπτυξη μεθόδων για τη συνοπτική και την αποτελεσματική παρουσίαση των δεδομένων 3. Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Είναι ο κλάδος της Στατιστικής που έχει ως αντικείμενο την ανάπτυξη μεθόδων για την ανάλυση των δεδομένων και την εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό από τον οποίο προέρχονται. Πληθυσμός, Δείγμα και Στατιστική Συμπερασματολογία Για την εφαρμογή μεθόδων της Στατιστικής Συμπερασματολογίας ο πληθυσμός πρέπει να είναι καλά ορισμένος. Πρέπει, δηλαδή, να μπορούμε να αποφανθούμε με σαφήνεια αν κάποια μονάδα ανήκει σε αυτόν ή όχι. Για παράδειγμα, αν ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε την επίδοση των μαθητών Γυμνασίου, ο πληθυσμός είναι καλά ορισμένος μόνο αν μπορούμε να απαντήσουμε με σαφήνεια (μονοσήμαντα) σε ερωτήσεις όπως: ένας μαθητής ιδιωτικού Γυμνασίου ανήκει στον πληθυσμό; ένας μαθητής της Β τάξης Γυμνασίου ανήκει στον πληθυσμό; ένας μαθητής νυχτερινού Γυμνασίου ανήκει στον πληθυσμό; Ένας μαθητής ειδικού σχολείου ανήκει στον πληθυσμό; κ.λπ. Επίσης, αν ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε το ποσοστό ανεργίας στη χώρα, πρέπει να ορισθεί με απόλυτη σαφήνεια ποιοι πολίτες θεωρούνται άνεργοι (ποιες ομάδες ηλικιών περιλαμβάνονται; οι αλλοδαποί περιλαμβάνονται; οι φυλακισμένοι; ποιο είναι το χρονικό διάστημα αναφοράς; κ.λπ.). Η κλινική δοκιμή ενός φαρμάκου για τη θεραπεία του έλκους πρέπει, επίσης, να αφορά ένα καλά ορισμένο πληθυσμό (όλα τα άτομα που έχουν έλκος; θα περιορίζεται σε όσα άτομα έχουν ένα συγκεκριμένο τύπο έλκους; μόνο σε όσους χρειάζονται νοσηλεία; κ.λπ.). Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 4

5 Οι πληθυσμοί διακρίνονται σε πεπερασμένους και σε άπειρους. Με κριτήριο το πλήθος των μονάδων ενός πληθυσμού, φυσικά, άπειροι πληθυσμοί δεν υπάρχουν. Όμως, σε περιπτώσεις πληθυσμών που έχουν μεγάλο πλήθος μονάδων, για τις ανάγκες της πιθανοθεωρητικής επεξεργασίας των δεδομένων, υποθέτουμε ότι αυτά προέρχονται από, πρακτικά, άπειρους πληθυσμούς. Επίσης, θεωρώντας ως πληθυσμό το σύνολο των τιμών της υπό μελέτη μεταβλητής και δεδομένου ότι η παρατήρηση ενός φαινομένου ή ένα πείραμα μπορεί, θεωρητικά τουλάχιστον, να επαναληφθεί άπειρες φορές, τότε η έννοια «άπειρος πληθυσμός» έχει νόημα. Ένας τρόπος για να μελετήσουμε ένα φαινόμενο είναι να εξετάσουμε όλες τις μονάδες του πληθυσμού στον οποίο συμβαίνει. Αυτή η μέθοδος συλλογής δεδομένων, η εξέταση δηλαδή όλων των μονάδων του πληθυσμού που μελετάμε, ονομάζεται ολική απογραφή ή απογραφή. Για παράδειγμα, η Εθνική Στατιστική Υπηρεσία κάνει κάθε δέκα χρόνια απογραφή του πληθυσμού ως προς διάφορα χαρακτηριστικά. Όμως, σε πολλές περιπτώσεις, η απογραφή είναι δύσκολη ή οικονομικά ασύμφορη ή και αδύνατη. Σε αυτές τις περιπτώσεις, όπως ήδη έχουμε αναφέρει, ο ερευνητής εξετάζει ένα μέρος των μονάδων του πληθυσμού, δηλαδή, επιλέγει ένα δείγμα, κάνει τις παρατηρήσεις του σε αυτό και στη συνέχεια γενικεύει τα συμπεράσματά του για ολόκληρο τον πληθυσμό. Πώς μπορούμε όμως να επιλέξουμε ένα δείγμα αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού ως προς τα χαρακτηριστικά που μελετάμε; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δεν είναι εύκολη ούτε μπορεί να είναι απόλυτη. Απαντήσεις σε ερωτήματα σχετικά με τη διαδικασία επιλογής του δείγματος ή με το μέγεθος του δείγματος 5 δίνει η Θεωρία Δειγματοληψίας. Στο πλαίσιο αυτών των σημειώσεων θα αναφερθούμε μόνο στο νόημα της τυχαίας και της απλής τυχαίας δειγματοληψίας. Όλοι έχουμε δοκιμάσει μια κουταλιά σούπα για να κρίνουμε ολόκληρο το πιάτο με βάση τη γεύση της. H σούπα, όμως, είναι ομοιογενής. Η γεύση μιας κουταλιάς αντιπροσωπεύει όλο το υπόλοιπο. Αλλά όταν πρόκειται για τη ζήτηση ενός προϊόντος, για τον αριθμό των ατυχημάτων, για το φόβο που αισθάνονται οι πολίτες απέναντι στο έγκλημα, για την επίδραση ενός φαρμάκου, για την απόδοση μιας καλλιέργειας ή για τη φορά του ίχνους της κίνησης των πάγων, υπάρχουν πολλοί παράγοντες που επιδρούν στο αποτέλεσμα που ποικίλουν από άτομο σε άτομο ή από περιοχή σε περιοχή (γενικά, από υποκείμενο σε υποκείμενο). Η αναζήτηση και η κατανόηση των αιτίων αυτής της διαφορετικότητας/μεταβλητότητας είναι η κεντρική λειτουργία και η ουσία της Στατιστικής. Η Στατιστική δεν θα είχε λόγο ύπαρξης αν δεν υπήρχε ποικιλομορφία/διαφορετικότητα/μεταβλητότητα. Σε έναν κόσμο... «σούπα» με πανομοιότυπα χαρακτηριστικά και συμπεριφορές θα αρκούσε η μελέτη ενός μόνο υποκειμένου. Ένα κριτήριο επιλογής δείγματος θα μπορούσε να είναι η ευκολία. Για παράδειγμα, απευθυνόμαστε σε άτομα που βρίσκονται κοντά μας ή σε άτομα που περνούν από ένα πολυσύχναστο σημείο. Άλλα κριτήρια θα μπορούσαν να είναι η εθελοντική ανταπόκριση, δηλαδή, αυτοί που συμμετέχουν να επιλέγουν τους εαυτούς τους, η φιλικότητα, η ασφάλεια κ.λπ. Τέτοια όμως δείγματα προκαλούν μεροληψίες 6 δηλαδή, συστηματικές διαφορές μεταξύ των αποτελεσμάτων που παίρνουμε από το δείγμα και της πραγματικότητας στον πληθυσμό διότι σε τέτοια δείγματα κατά κανόνα 5 Μέγεθος δείγματος είναι το πλήθος των στοιχείων του. 6 Μεροληψίες ή συστηματικά σφάλματα: Είναι συστηματικά σφάλματα προς την ίδια κατεύθυνση. Μαζί με τα μη συστηματικά ή τυχαία σφάλματα αποτελούν τα μη δειγματοληπτικά σφάλματα. Πηγές μη δειγματοληπτικών σφαλμάτων είναι, μεταξύ άλλων, η λάθος επιλογή δείγματος, τα λάθη στα ερωτηματολόγια, τα λάθη συνέντευξης, τα λάθη επεξεργασίας κ.ά. Τέτοιου είδους σφάλματα εμφανίζονται και στις απογραφές. Από αυτά, τα μη συστηματικά (τυχαία) αλληλοαναιρούνται (ιδιαίτερα στα μεγάλα δείγματα). Για τις μεροληψίες, δεν υπάρχει κάποιος γενικός κανόνας εκτίμησης του μεγέθους τους. Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 5

6 περιλαμβάνονται άτομα συγκεκριμένων κατηγοριών και αποκλείονται άτομα όλων των άλλων. Για παράδειγμα, μπορεί να αισθανόμαστε πιο ασφαλείς να πλησιάσουμε καλοντυμένα, μεσαίου εισοδήματος άτομα αλλά έτσι οδηγούμαστε στο να αποκλείσουμε από το δείγμα άτομα μη φιλικά. Επίσης, σε μια τηλεφωνική έρευνα που πραγματοποιείται κατά τη διάρκεια μιας τηλεοπτικής εκπομπής, κατά κανόνα, ανταποκρίνονται άτομα με έντονα συναισθήματα, συνήθως αρνητικά. Έτσι, όταν ο εκφωνητής ρωτά τους τηλεθεατές αν φοβούνται να βγουν έξω τη νύχτα λόγω της εγκληματικότητας, κατά κανόνα θα τηλεφωνήσουν αυτοί που είναι εξαγριωμένοι με το έγκλημα παρά αυτοί που είναι πιο ψύχραιμοι. Η προσωπική επιλογή είναι μια συνηθισμένη αιτία μεροληψίας. Για να μειωθεί επομένως η μεροληψία πρέπει να μειώσουμε την προσωπική επιλογή. Η απάντηση της Θεωρίας Δειγματοληψίας σε αυτό το πρόβλημα είναι η ανάπτυξη μεθόδων επιλογής τυχαίων δειγμάτων. Τυχαία δειγματοληψία είναι η μέθοδος δειγματοληψίας σύμφωνα με την οποία στην επιλογή του δείγματος καταλήγουμε με δεδομένη πιθανότητα. Στην περίπτωση αυτή το δείγμα λέγεται τυχαίο. Υπάρχουν πολλά σχέδια τυχαίας δειγματοληψίας. Το πιο απλό είναι αυτό σύμφωνα με το οποίο ένα δείγμα μεγέθους n λαμβάνεται με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε δυνατό δείγμα μεγέθους n να έχει την ίδια πιθανότητα να εκλεγεί. Δηλαδή, αν από ένα πληθυσμό μπορούμε να πάρουμε k το πλήθος δείγματα μεγέθους 1 n, τότε p1 = p2 = p3 =... = p k = k (όπου, p i, i = 1, 2,..., k η πιθανότητα να εκλεγεί το δείγμα ι). Ένα δείγμα που επιλέγεται με τέτοιο τρόπο λέγεται απλό τυχαίο δείγμα. Η τυχαία δειγματοληψία μπορεί να εξαλείψει τη μεροληψία που οφείλεται στη λάθος επιλογή δείγματος αλλά δεν εξαλείφει τη μεταβλητότητα. Η μεταβλητότητα από δείγμα σε δείγμα σε επαναλαμβανόμενα τυχαία δείγματα είναι αναπόφευκτη συνέπεια της μεταβλητότητας που υπάρχει στον πληθυσμό από τον οποίο προέρχονται. Πώς μπορούμε επομένως να εμπιστευθούμε τα αποτελέσματα ενός τυχαίου δείγματος, ξέροντας ότι ένα δεύτερο τυχαίο δείγμα από τον ίδιο πληθυσμό θα έδινε διαφορετικό αποτέλεσμα; Πώς μπορούμε να βασίσουμε οικονομικές και πολιτικές αποφάσεις για την ανεργία, στο ποσοστό ανεργίας που δίνει ένα τυχαίο δείγμα, ξέροντας ότι το ποσοστό αυτό θα διαφέρει αν η δειγματοληψία επαναληφθεί; Και όμως, στην πραγματικότητα μπορούμε να εμπιστευθούμε τα τυχαία δείγματα. Στο πλαίσιο της Θεωρίας Δειγματοληψίας έχει αναπτυχθεί μια μεγάλη ποικιλία σχεδίων τυχαίας δειγματοληψίας τα οποία καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα περιπτώσεων. Από τα πιο γνωστά είναι: η στρωματοποιημένη (stratified sampling), η συστηματική (systematic sampling), η κατά συστάδες (cluster sampling) και η δισταδιακή κατά συστάδες (two stages cluster sampling). Όλα έχουν πλεονεκτήματα αλλά και μειονεκτήματα. Όμως, όλα έχουν ως κοινή βασική αρχή την απλή τυχαία δειγματοληψία γεγονός που εξασφαλίζει την πιθανοθεωρητική 7 εκτίμηση του μεγέθους των δειγματοληπτικών σφαλμάτων 8 αλλά και τον περιορισμό τους. Η μεταβλητότητα μεταξύ τυχαίων δειγμάτων, όπως ήδη αναφέραμε, δεν εξαλείφεται, αλλά η Θεωρία Πιθανοτήτων μας επιτρέπει να την περιγράψουμε, ανακοινώνοντας ένα περιθώριο σφάλματος με επιθυμητή πιθανότητα. Έτσι, αν το δείγμα δείξει ότι ένα ποσοστό 45% φοβάται να βγει έξω τη νύχτα και το περιθώριο σφάλματος με πιθανότητα 95% είναι 2% αυτό σημαίνει ότι: με πιθανότητα (εμπιστοσύνη) 95%, το διάστημα μεταξύ 43% και 47% περιέχει το ποσοστό στον πληθυσμό αυτών που φοβούνται να βγουν έξω τη νύχτα 9. 7 Η έννοια της πιθανότητας συνδέεται με φαινόμενα ή πειράματα που είναι μεν μεταβλητά αλλά μακροπρόθεσμα παρουσιάζουν σταθερή συμπεριφορά. Η επιλογή τυχαίου δείγματος είναι τέτοιο φαινόμενο (ανάλογο της ρίψης ενός νομίσματος πολλές φορές). 8 Δειγματοληπτικά σφάλματα: Αναπόφευκτα σφάλματα που συνδέονται με την επιλογή σχεδίου δειγματοληψίας και με το μέγεθος και τη μεταβλητότητα του δείγματος. 9 Καθόλου ευκαταφρόνητη συνεισφορά από «τα Μαθηματικά της τύχης»! Δε συμφωνείτε; Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 6

7 Για προβληματισμό: Στη Νομική Eπιστήμη η Στατιστική θεωρείται prima facie, δηλαδή νομικά ικανή να στηρίξει θεωρία. Ή αλλιώς, για να την αντικρούσεις ως αποδεικτική διαδικασία, πρέπει να χρησιμοποιήσεις αντίστοιχα επιχειρήματα και αντίστοιχες διαδικασίες. Το 1936 έγινε στις Η.Π.Α. (από το περιοδικό Literary Digest) μια έρευνα με στόχο την πρόβλεψη του αποτελέσματος των επικείμενων προεδρικών εκλογών. Η έρευνα βασίσθηκε στην επιλογή ενός δείγματος πολιτών από τους τηλεφωνικούς καταλόγους των διαφόρων πολιτειών. Στο ερωτηματολόγιο που ταχυδρομήθηκε απάντησε περίπου το 25%. Η ανάλυση των αποτελεσμάτων έδειξε ότι νικητής των εκλογών θα είναι ο υποψήφιος του Ρεπουμπλικανικού κόμματος. Η ημέρα των εκλογών, όμως, επιφύλαξε μια πολύ δυσάρεστη έκπληξη τόσο για τους ερευνητές όσο και για τους οπαδούς του Ρεπουμπλικανικού κόμματος. Ο υποψήφιος του Δημοκρατικού κόμματος (Ρούσβελτ) επικράτησε με ιστορική πλειοψηφία 60%!! Είχε πει ψέματα η Στατιστική ή μήπως κάτι άλλο συνέβη με την έρευνα; Ένα περιοδικό υγιεινής διατροφής θέλει να αποδείξει ότι μεγάλες δόσεις βιταμινών βελτιώνουν την υγεία. Ζήτησε από τους ενήλικες αναγνώστες του που έπαιρναν τακτικά βιταμίνες σε μεγάλες δόσεις, να γράψουν στο περιοδικό περιγράφοντας τις εμπειρίες τους. Από τους ενήλικες αναγνώστες που απάντησαν το 93% ανέφερε κάποιο όφελος από τη λήψη των βιταμινών. Το ποσοστό αυτό, είναι πιθανόν μεγαλύτερο, μικρότερο ή περίπου το ίδιο με το ποσοστό όλων των ενηλίκων που θα παρατηρούσαν κάποιο όφελος από μεγάλη λήψη βιταμινών; Πώς σχολιάζετε τις φράσεις: «Εφόσον ένας νόμος των Μαθηματικών αναφέρεται στην πραγματικότητα δε μπορεί να είναι βέβαιος και αν είναι βέβαιος δε μπορεί να αναφέρεται στην πραγματικότητα». «Αβέβαιη γνώση + Γνώση του μεγέθους της αβεβαιότητας σε αυτή = Χρησιμοποιήσιμη γνώση». «Τα πιο σπουδαία ερωτήματα στη ζωή είναι, στο μεγαλύτερο μέρος τους, προβλήματα πιθανοτήτων». Μετριούνται όλα; 10 Αναφερθήκαμε, ήδη, στην έννοια της μεταβλητής. Σε αυτήν την παράγραφο θα αναφερθούμε στη «μέτρηση» των μεταβλητών. Ένα βασικό θέμα κατά τη διαδικασία της μελέτης ενός φαινομένου (ή πειράματος) είναι αυτό του προσδιορισμού των μεταβλητών που θα αποτελέσουν το αντικείμενο έρευνας. Πρέπει, δηλαδή, να προσδιοριστεί ποιες από τις πιθανές αιτίες που το προκαλούν θα ελεγχθούν. Φυσικά, με βάση όσα έχουμε, ήδη, αναφέρει για τη φύση των τυχαίων φαινομένων/πειραμάτων (το πολυσύνθετο και το περιορισμένο της γνώσης των αιτίων που τα προκαλούν) γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι τέτοια ερωτήματα δεν επιδέχονται απόλυτες απαντήσεις. Αν, για παράδειγμα, αποφασίσουμε 10 Ευτυχώς όχι! Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 7

8 να μελετήσουμε τη μεταβλητότητα της ζήτησης ενός προϊόντος, ως προς την τιμή του προϊόντος και ως προς το επίπεδο της σχετικής διαφημιστικής δαπάνης, αυτό δε σημαίνει ότι μόνο αυτές οι μεταβλητές επηρεάζουν τη μεταβλητότητα της ζήτησης του προϊόντος και ότι άλλες αιτίες όπως η οικονομική κατάσταση των καταναλωτών, οι τιμές ομοειδών προϊόντων ή η εποχή του έτους δεν επηρεάζουν το συγκεκριμένο οικονομικό φαινόμενο. Απλώς, σημαίνει ότι, στο πλαίσιο της έρευνας, θα διερευνηθεί η επίδραση μόνο των δύο συγκεκριμένων πιθανών αιτίων διότι αυτά κρίνονται ως τα πιο σημαντικά ή ως τα πλέον ενδιαφέροντα ή για κάποιους άλλους λόγους που συνδέονται με τους σκοπούς της έρευνας. Είναι αυτονόητο, ότι σε αυτό το στάδιο, ο ρόλος του ειδικού/ειδικών επί του αντικειμένου της έρευνας, είναι καθοριστικός. Για κάθε μεταβλητή που επιλέγεται για να μελετηθεί, πρέπει να υπάρχει δυνατότητα να της αποδοθούν τιμές. Η απόδοση τιμών σε μια μεταβλητή δε σημαίνει κατ ανάγκη ποσοτικοποίηση, δηλαδή, μέτρηση ή απαρίθμηση. Υπάρχουν μεταβλητές όπως το βάρος, η θερμοκρασία ή ο αριθμός των μελών μιας οικογένειας που χαρακτηρίζονται ποσοτικές 11 και οι οποίες, πράγματι, είναι μετρήσιμες ή απαριθμήσιμες. Υπάρχουν όμως άλλες, όπως το άγχος, η στάση ως προς κάποιο θέμα, η οικογενειακή κατάσταση ή οι πολιτικές πεποιθήσεις που χαρακτηρίζονται ποιοτικές 12 και στις οποίες μπορούν να αποδοθούν τιμές, όμως, οι τιμές αυτές δεν εκφράζουν κάτι το μετρήσιμο ή απαριθμήσιμο αλλά κατηγοριοποίηση ή διάταξη. Για παράδειγμα, η μεταβλητή στάση ως προς κάποιο θέμα μπορεί να πάρει τιμές όπως, θετική, αδιάφορη, αρνητική. Σε μια άλλη κλίμακα απόδοσης τιμών θα μπορούσε να πάρει και άλλες τιμές όπως πολύ θετική, πολύ αρνητική. Είναι αναπόφευκτο, οι κλίμακες και τα όργανα που χρησιμοποιούνται για την απόδοση τιμών στις ποιοτικές μεταβλητές, να έχουν μεγάλο βαθμό υποκειμενισμού. Πώς, εξάλλου, θα ήταν δυνατόν να μετρηθεί αντικειμενικά 13 η ποιότητα 14 ; Τα ερωτηματολόγια και τα τεστ, τα κατ εξοχήν εργαλεία «μέτρησης» ποιοτικών μεταβλητών, είναι υποκειμενικά εργαλεία «μέτρησης». Αντίθετα, στις ποσοτικές μεταβλητές η μέτρηση ή η απαρίθμηση μπορεί να γίνει αντικειμενικά χωρίς αυτό να σημαίνει ότι στις μετρήσεις ποσοτικών μεταβλητών δεν υπεισέρχονται σφάλματα. Επιδίωξή μας πρέπει να είναι η λήψη μέτρων για τον περιορισμό των σφαλμάτων μέτρησης γιατί αποτελούν πηγή μεροληψίας. Για παράδειγμα, αν τα όργανα μέτρησης είναι απλά, δηλαδή, εύκολα στη χρήση τους, αυτό συμβάλλει στον περιορισμό των σφαλμάτων μέτρησης. Σε ότι αφορά στις κλίμακες απόδοσης τιμών σε ποιοτικές μεταβλητές, υπάρχουν δύο, ευρέως χρησιμοποιούμενες: 1. Κλίμακες κατηγορίας (nominal) Στις κλίμακες κατηγορίας, η μόνη σχέση μεταξύ διαφορετικών τιμών, είναι η ύπαρξη διαφοράς. Δηλαδή, μια κλίμακα κατηγορίας, επιτρέπει μόνο την κατηγοριοποίηση των υποκειμένων (π.χ. διαφορετική κατηγορία χρώματος, διαφορετική κατηγορία πολιτικής προτίμησης). 2. Κλίμακες διάταξης (ordinal) Στις κλίμακες διάταξης, μεταξύ διαφορετικών τιμών υπάρχει σχέση διάταξης. Δηλαδή, μια κλίμακα διάταξης, δεν επιτρέπει μόνο την κατηγοριοποίηση των υποκειμένων αλλά και μια σχέση διάταξης-ιεράρχησής τους. Για παράδειγμα, στη 11 Μια μεταβλητή λέγεται ποσοτική, αν παίρνει μόνο αριθμητικές τιμές. Οι ποσοτικές μεταβλητές, ανάλογα με το σύνολο τιμών τους, διακρίνονται σε συνεχείς (μετρήσιμες) και διακριτές (απαριθμήσιμες). 12 Μια μεταβλητή λέγεται ποιοτική, αν δεν παίρνει αριθμητικές τιμές. 13 Ένα όργανο μέτρησης είναι αντικειμενικό όταν δίνει το ίδιο αποτέλεσμα για τη μέτρηση της ίδιας τιμής οποιοσδήποτε και αν το χρησιμοποιήσει 14 Η ποιότητα αναγνωρίζεται εύκολα, ορίζεται δύσκολα, είναι, όμως, αδύνατον να μετρηθεί αντικειμενικά.. Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 8

9 μεταβλητή στάση ως προς κάποιο θέμα, μπορούν να αποδοθούν τιμές με βάση την κλίμακα: πολύ θετική, θετική, αδιάφορη, αρνητική, πολύ αρνητική. Επίσης, στη μεταβλητή θέση στην ιεραρχία μιας υπηρεσίας, μπορούν να αποδοθούν τιμές με βάση την κλίμακα: υπάλληλος, προϊστάμενος τμήματος, προϊστάμενος διεύθυνσης, γενικός διευθυντής. Τέλος, στη μεταβλητή αποτελέσματα σε ένα αγώνισμα, μπορούν να αποδοθούν τιμές με βάση την κλίμακα: 1ος, 2ος, 3ος, Προφανώς, ίσες διαφορές μεταξύ τιμών δε συνεπάγονται και ίσες διαφορές στο χαρακτηριστικό που εκφράζει η μεταβλητή αφού, οι τιμές αυτές δεν ποσοτικοποιούν το χαρακτηριστικό. Η διάταξη εκφράζει π.χ το «καλύτερο» ή το «προτιμότερο» όχι όμως το «πόσο καλύτερο» ή το «πόσο προτιμότερο». Δηλαδή, 1ος-2ος δεν είναι ίσο με 5ος-6ος. Επίσης, υπάρχουν δύο, ευρέως χρησιμοποιούμενες, κλίμακες απόδοσης τιμών σε ποσοτικές μεταβλητές: 1. Κλίμακες διαστήματος (interval) Στις κλίμακες διαστήματος, γίνεται ποσοτικοποίηση του χαρακτηριστικού που εκφράζει η μεταβλητή. Έτσι, μια κλίμακα διαστήματος επιτρέπει, όχι μόνο τη διάταξη-ιεράρχηση των υποκειμένων, αλλά και τον προσδιορισμό επακριβώς της διαφοράς τους. Ίσες διαφορές μεταξύ τιμών συνεπάγονται και ίσες διαφορές στο χαρακτηριστικό που εκφράζει η μεταβλητή. Όμως, δεν έχουν νόημα οι αναλογίες. Αυτό συμβαίνει, διότι στις κλίμακες διαστήματος μετράμε μεταβλητές στις οποίες δεν εμφανίζεται παντελής έλλειψη του χαρακτηριστικού που εκφράζουν. Δηλαδή, το μηδέν δεν εμφανίζεται εγγενώς στο διάστημα τιμών τους (όπως εμφανίζεται για παράδειγμα στις τιμές της μεταβλητής απόσταση δύο σημείων όπου μηδέν σημαίνει ταύτιση των σημείων δηλαδή ότι δεν υπάρχει απόσταση), αλλά ορίζεται συμβατικά-αυθαίρετα. Για παράδειγμα, θερμοκρασία 90 0 C δε συνεπάγεται τριπλάσια αποτελέσματα από θερμοκρασία 30 0 C γιατί 0 0 C δε συνεπάγονται παντελή έλλειψη θερμοκρασίας. Έτσι, αν ως μηδέν ορίζαμε τους C, τότε οι 90 0 C στη νέα κλίμακα αντιστοιχούν σε και οι 30 0 C σε Τώρα οι ίδιες θερμοκρασίες δεν έχουν λόγο τρία προς ένα. Όμως, έχει νόημα και στις δυο κλίμακες να πούμε ότι οι δύο θερμοκρασίες διαφέρουν κατά Κλίμακα διαστήματος είναι επίσης η κλίμακα επιπέδου υπηρεσιών (γιατί;). Μια ειδική περίπτωση κλίμακας διαστήματος είναι η κυκλική κλίμακα. Ενας κύκλος διαιρείται σε 360 μοίρες και οι μηδέν μοίρες ορίζονται αυθαίρετα 15 στο βορρά. Στο βορρά, επίσης, αντιστοιχίζονται οι 360 μοίρες. Σε κυκλική κλίμακα μπορούν να αποδοθούν τιμές π.χ. στις ώρες της ημέρας, στις ενδείξεις της πυξίδας και στους μήνες του έτους Δεν υπάρχει δηλαδή «φυσική» αιτιολογία 16 x μονάδες του μεγέθους που μετράμε αντιστοιχίζονται (σε κυκλική κλίμακα) σε γωνία o x α = 360 μοιρών k (όπου k ο αριθμός των ίσων διαστημάτων στα οποία διαιρείται ο κύκλος π.χ. 24 για τις ώρες της ημέρας ή 365 για o τις ημέρες του έτους). Έτσι, η ώρα 06:15 σε κυκλική κλίμακα αντιστοιχίζεται σε = μοίρες και η 24 o ώρα 06:00 σε = 90 μοίρες. 24 Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 9

10 Επίσης, σε κυκλική κλίμακα μετρώνται μεταβλητές που εκφράζουν χαρακτηριστικά κατεύθυνσης-φοράς (directional). Τέτοιες μεταβλητές συναντώνται σε πολλές επιστήμες όπως στη Γεωλογία, τη Μετεωρολογία και την Οικολογία (π.χ. η κατεύθυνση του ανέμου, η πορεία των πτηνών, η κατεύθυνση του ίχνους της κίνησης των πάγων (βλ. ακόλουθο σχήμα), η κατεύθυνση των πτυχώσεων ενός γεωλογικού σχηματισμού π.χ. ψαμμίτη). Σε κυκλική κλίμακα μετρώνται, επίσης, μεταβλητές που εκφράζουν χαρακτηριστικά διεύθυνσης (oriented, axial) όπως η διεύθυνση Landsat γραμμώσεων και η διεύθυνση των αξονικών επιπέδων αντικλίνων (βλ. ακόλουθο σχήμα), η διεύθυνση γεωλογικών στρωμάτων ή η διεύθυνση των φύλλων των δένδρων. Στις περιπτώσεις αυτές δεν έχει νόημα (ή δεν ενδιαφέρει) η φορά (κατεύθυνση) άλλα μόνο η διεύθυνση. Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 10

11 Για παράδειγμα, μπορεί να μας ενδιαφέρει μόνο αν η διεύθυνσηπροσανατολισμός ενός φύλλου είναι και όχι αν η άκρη του φύλλου που στηρίζεται στο μίσχο έχει κατεύθυνση-φορά 10 0 ή Είναι προφανές ότι σε κυκλική κλίμακα, μπορούν να αποδοθούν τιμές στη διεύθυνση ενός χαρακτηριστικού με δύο τρόπους. Για παράδειγμα, η διεύθυνση μπορεί να αποδοθεί είτε ως κατεύθυνση10 0 είτε ως κατεύθυνση Δηλαδή, μια διεύθυνση σε κυκλική κλίμακα μπορεί να αποδοθεί ως μια από δύο αντίθετες κατευθύνσεις. Επειδή, το ποια κατεύθυνση επιλέγεται για να αποδοθεί τιμή στην αντίστοιχη διεύθυνση μπορεί να επηρεάσει τα συμπεράσματα της στατιστικής μελέτης (π.χ. μπορεί να διογκωθεί τεχνητά-εσφαλμένα η διασπορά των διευθύνσεων) έχει προταθεί ο εξής μετασχηματισμός των δεδομένων: Η τιμή φ 0 της κατεύθυνσης που επιλέγεται (οποιαδήποτε και αν είναι από τις δύο αντίθετες) διπλασιάζεται. Αν η νέα τιμή 2φ 0 βρίσκεται στο διάστημα τότε αυτή η τιμή χρησιμοποιείται για τη στατιστική επεξεργασία. Αν όχι χρησιμοποιείται η 2φ Στη συνέχεια τα αποτελέσματα της επεξεργασίας μετασχηματίζονται αντίστροφα (υποδιπλασιάζονται). Για παράδειγμα, αν για τη διεύθυνση επιλεγεί να της αποδοθεί η τιμή 10 0 τότε για τη στατιστική ανάλυση χρησιμοποιείται η τιμή Αν επιλεγεί η τιμή τότε χρησιμοποιείται η τιμή = Έτσι, ανεξάρτητα από την κατεύθυνση που κάθε φορά επιλέγεται, για τη διεύθυνση χρησιμοποιείται η ίδια τιμή. o Παρατηρείστε ότι: 360 φ = 2 φ Σημείωση: Επειδή ο κύκλος είναι κλειστή γραμμή (η αρχή η όποια αρχή- και το τέλος συμπίπτουν), οι συνήθεις μέθοδοι επεξεργασίας δεδομένων, στην πλειονότητά τους, δε μπορούν να εφαρμοσθούν σε δεδομένα κυκλικής κλίμακας γιατί απαιτείται άλλη προσέγγιση (διανυσματική). Για παράδειγμα, η μέση κατεύθυνση των κατευθύνσεων 10 0 και , φυσικά, δε μπορεί να είναι = 180. Δηλαδή, 2 δύο βόρειες κατευθύνσεις δεν είναι δυνατόν να έχουν μέση κατεύθυνση νότια! Επίσης, η κατεύθυνση δε μπορεί να χαρακτηρισθεί «μεγαλύτερη» από την κατεύθυνση Κλίμακες αναλογίας (ratio) Στις κλίμακες αναλογίας, όπως και στις κλίμακες διαστήματος, γίνεται ποσοτικοποίηση του χαρακτηριστικού που εκφράζει η μεταβλητή. Όμως, οι κλίμακες αναλογίας επιτρέπουν, όχι μόνο τη σύγκριση διαφορών αλλά και τη σύγκριση αναλογιών διότι στο διάστημα τιμών τους το μηδέν περιλαμβάνεται εγγενώς και όχι με αυθαίρετο ορισμό. Έτσι, σε μια κλίμακα αναλογίας, έχει νόημα, δηλαδή απεικονίζει μια πραγματική κατάσταση, τόσο η ισότητα 6 3 = όσο και η ισότητα 50 = Για παράδειγμα, αν το κατάστημα Α έχει τζίρο και το κατάστημα Β έχει τζίρο τότε έχει νόημα να πούμε και ότι το κατάστημα Α έχει τζίρο περισσότερο από το τζίρο του καταστήματος Β και ότι ο τζίρος του καταστήματος Α είναι τριπλάσιος από τον τζίρο του καταστήματος Β. Ερωτήσεις: Η κλίμακα θερμοκρασίας Kelvin είναι κλίμακα διαστήματος ή κλίμακα αναλογίας; Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 11

12 Σε τι κλίμακα μπορούν να αποδοθούν τιμές στις μεταβλητές: Αριθμός μητρώου, Δαπάνη, Άγχος, Δείκτης Τιμών Καταναλωτή, Νομός, Χρόνος, Επίπεδο εκπαίδευσης, Βαθμολογία μαθήματος, Ηλικία Υπάρχουν ψέματα, μεγάλα ψέματα και η Στατιστική!!! Ο τίτλος αυτής της παραγράφου έχει χρησιμοποιηθεί ως τίτλος βιβλίου 17. Ο συγγραφέας χρησιμοποιεί τη λέξη Στατιστική ως τον υπερθετικό βαθμό της λέξης ψέμα! Φυσικά, δεν κυριολεκτεί. Υπαινίσσεται, όμως, ένα αδιαμφισβήτητο γεγονός. Τη διαστρέβλωση, πολλές φορές, της πραγματικότητας που γίνεται από κακή χρήση της Στατιστικής. Δυστυχώς, από άγνοια ή από σκοπιμότητα, ολοένα και πιο συχνά, γίνεται εσφαλμένη χρήση των στατιστικών μεθόδων παρουσίασης, ανάλυσης και ερμηνείας δεδομένων με αποτέλεσμα να δημιουργείται ψευδής και στρεβλή εικόνα για την πραγματικότητα 18. Τα σχετικά παραδείγματα είναι πολλά. Ας δούμε τρία τέτοια παραδείγματα: (Ι) Τα παρακάτω ιστογράμματα κατασκευάσθηκαν για να περιγράψουν την κατανομή των οικογενειών στις Η.Π.Α. ως προς το ετήσιο εισόδημά τους το έτος Το ιστόγραμμα (α) είναι παραπλανητικό διότι δημιουργεί την εντύπωση ότι η οικονομική κατάσταση των οικογενειών στις Η.Π.Α. είναι πολύ καλύτερη από την πραγματική. Σύμφωνα με αυτό το ιστόγραμμα, οι οικογένειες που έχουν εισόδημα μεγαλύτερο από δολάρια είναι πολύ περισσότερες από αυτές που έχουν εισόδημα μικρότερο από δολάρια. Βέβαια, τα πραγματικά δεδομένα λένε ακριβώς το αντίθετο (8% και 25% αντίστοιχα). Οι εντυπώσεις όμως μένουν! Φυσικά, δεν ευθύνεται η Στατιστική. Ο δημιουργός αυτού του ιστογράμματος είτε δε γνώριζε, είτε γνώριζε, αλλά σκοπίμως αγνόησε το στοιχειώδες ότι στην κατασκευή ενός ιστογράμματος τα εμβαδά των ορθογωνίων και όχι τα ύψη αντιστοιχούν στις συχνότητες (απόλυτες ή σχετικές αναλόγως). Το σωστό ιστόγραμμα είναι το (β) που αποδίδει και τη σωστή εικόνα της κατανομής. (α) (β) There are lies, big lies and statistics 18 Είναι γνωστή εξάλλου η φράση figures do not lie, but liars figure (οι αριθμοί δεν ψεύδονται αλλά οι ψεύτες αριθμούν) Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 12

13 Ετήσιο εισόδημα σε Ποσοστό οικογενειών χιλιάδες δολάρια (σχετική συχνότητα f i % ) (ΙΙ) Στην Αμερική πριν εισαχθεί το εμβόλιο Salk κατά της πολιομυελίτιδας, ερευνητές εξέταζαν αν υπάρχει σχέση ανάμεσα στην εμφάνιση της πολιομυελίτιδας και στον αριθμό των πωληθέντων αναψυκτικών. Για κάθε εβδομάδα του έτους κατέγραφαν σε ένα πίνακα τον αριθμό των αναψυκτικών που καταναλώθηκαν τη συγκεκριμένη εβδομάδα και τον αριθμό των νέων περιστατικών πολιομυελίτιδας που είχαν αναφερθεί. Τα δεδομένα αυτά εμφάνιζαν ισχυρή θετική συσχέτιση ανάμεσα στον αριθμό των περιστατικών της πολιομυελίτιδας και στον αριθμό των πωληθέντων αναψυκτικών. Τις εβδομάδες που είχαν καταναλωθεί περισσότερα αναψυκτικά, είχαν εκδηλωθεί περισσότερα νέα περιστατικά πολιομυελίτιδας. Όταν η κατανάλωση των αναψυκτικών ήταν μειωμένη, υπήρχαν λιγότερα νέα περιστατικά. Προκαλούν λοιπόν τα αναψυκτικά εμφάνιση πολιομυελίτιδας; Προφανώς η απάντηση είναι αρνητική. Αν ήταν έτσι με την απαγόρευση της πώλησης τους θα έπρεπε να μειώνεται και η εμφάνιση της νόσου. Η επιδημία της πολιομυελίτιδας παρουσιάζει έξαρση το καλοκαίρι, που συμβαίνει να έχουμε και αύξηση της κατανάλωσης των αναψυκτικών. Έτσι εντοπίστηκε ένας τρίτος παράγοντας, η εποχή του έτους που είναι καθοριστικός και για τη μεταβλήτη κατανάλωση αναψυκτικών και για τη μεταβλητή κρούσμα πολιομυελίτιδας. Αν βέβαια οι ερευνητές είχαν συμπεράνει ότι η κατανάλωση αναψυκτικών προκαλεί πολιομυελίτιδα δεν θα έφταιγε η Στατιστική. Απλώς οι ερευνητές αγνοούσαν βασικά θεωρητικά θέματα της Στατιστικής όπως ότι η συσχέτιση δε συνεπάγεται κατ ανάγκη αιτιώδη σχέση και ότι τα αιτιολογικά συμπεράσματα απαιτούν πειραματισμό. Δεν αρκεί η παρατήρηση. (ΙΙΙ) Αν οι αριθμοί x1 = x2 =... = x100 = και x = δείχνουν το εισόδημα 101 φορολογουμένων σε και κάποιος ισχυρισθεί ότι το μέσο εισόδημα τους ανέρχεται σε προφανώς προσπαθεί να παραπλανήσει λέγοντας μέρος της «αλήθειας των αριθμών». Σκόπιμα ή από άγνοια αποκρύπτει τη διάμεσο των εισοδημάτων (που είναι ). Όμως, από τη Στατιστική είναι γνωστό ότι η μέση τιμή ως περιγραφικό μέτρο έχει το μειονέκτημα ότι είναι πολύ ευαίσθητη σε ακραίες τιμές και γι αυτό πρέπει να χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με άλλα περιγραφικά μέτρα όπως η διάμεσος. Τα τελευταία χρόνια έχει γίνει πολύ εύκολη η πρόσβαση σε προγράμματα υπολογιστών που διευκολύνουν την επεξεργασία δεδομένων και την εφαρμογή στατιστικών μεθόδων. Ο χειρισμός, μάλιστα, αυτών των προγραμμάτων είναι πολύ εύκολος. Το γεγονός αυτό, σε συνδυασμό με το ότι πολλοί νομίζουν ότι η Στατιστική είναι άκριτη εφαρμογή διαδικασιών-συνταγών, έχει ως αποτέλεσμα την όξυνση του προβλήματος της κακής χρήσης της Στατιστικής. Είναι μεγάλη πλάνη να πιστεύει κάποιος ότι μπορεί να κάνει Στατιστική επειδή έχει πρόσβαση σε ισχυρά υπολογιστικά εργαλεία και δυνατότητα να δημιουργεί με ευκολία π.χ. εντυπωσιακά γραφήματα. Είναι αυτονόητο ότι η σωστή εφαρμογή στατιστικών μεθόδων, πρώτα Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 13

14 απ όλα, απαιτεί την καλύτερη δυνατή γνώση του υπό μελέτη φαινομένου. Απαιτεί, επίσης, καλή θεωρητική γνώση ώστε αφενός να επιλεγεί η πλέον κατάλληλη μέθοδος δειγματοληψίας ή να γίνει ο καλύτερος σχεδιασμός του πειράματος και αφετέρου να επιλεγούν οι καταλληλότερες μέθοδοι παρουσίασης και ανάλυσης των δεδομένων. Κυρίως απαιτεί, σχολαστικό έλεγχο για το αν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις εφαρμογής των στατιστικών μεθόδων που επιλέγονται. Πώς μπορεί να αντιμετωπισθεί το πρόβλημα; Κατά τη γνώμη μας, το πρόβλημα της κακής χρήσης της Στατιστικής, μπορεί να αντιμετωπισθεί, κυρίως, με τη βελτίωση της ποιότητας της παρεχόμενης παιδείας, εκπαίδευσης και κατάρτισης. Δεοντολογία και Στατιστική Όπως ήδη έχουμε αναφέρει, είναι πλέον αδιαμφισβήτητο, ότι η Στατιστική επηρεάζει πολλές πτυχές της ζωής μας. Είναι επομένως φυσικό, με τη χρήση της Στατιστικής, να εγείρονται πολλά ηθικά και νομικά ζητήματα. Τα ζητήματα αυτά σχετίζονται τόσο με τη συλλογή των δεδομένων όσο και με την επεξεργασία τους και με τον τρόπο παρουσίασης των αποτελεσμάτων. Ας αναφερθούμε σε κάποια από αυτά. Τα δεδομένα δειγματοληπτικών ή πειραματικών ερευνών επιτρέπεται να δημοσιοποιούνται; Για παράδειγμα, δεδομένα που σχετίζονται με την υγεία, τις πεποιθήσεις, την οικονομική κατάσταση, τις συνήθειες κ.λπ. των πολιτών επιτρέπεται να δημοσιοποιούνται; Επιτρέπεται, δηλαδή, να είναι διαθέσιμα στον οποιονδήποτε για οποιαδήποτε χρήση και εκμετάλλευση; Στη χώρα μας, όπως συμβαίνει στις περισσότερες πολιτισμένες χώρες, τα δεδομένα δειγματοληπτικών ή πειραματικών ερευνών είναι απόρρητα (π.χ. αρθρ. 40 του Ν.Δ. 3627/56). Στα τυχαία συγκριτικά πειράματα (randomized comparative experiments) που γίνονται στο πλαίσιο ερευνών για την αποτελεσματικότητα π.χ. κάποιου νέου φαρμάκου, συγκρίνονται δύο ή περισσότερες μεταχειρίσεις-επεμβάσεις (θεραπευτικές αγωγές) με την εξής, σε γενικές γραμμές, μέθοδο: Επιλέγονται, για παράδειγμα, δύο τυχαία δείγματα ασθενών του ιδίου μεγέθους. Οι ασθενείς του ενός υποβάλλονται σε θεραπευτική αγωγή με το νέο φάρμακο και του άλλου όχι (ή υποβάλλονται σε «θεραπεία» με ένα εικονικό φάρμακο). Οι ασθενείς που δεν υποβάλλονται στη θεραπεία αποτελούν την ομάδα ελέγχου. Υπάρχει μια λεπτή ισορροπία μεταξύ του αν πρέπει να κάνουμε ή να μην κάνουμε μια τέτοια πειραματική έρευνα. Από τη μια μεριά, πρέπει να υπάρχει επαρκής πίστη στην αξία του νέου φαρμάκου ώστε να δικαιολογείται η έκθεση των ασθενών του ενός δείγματος στη δράση αυτού του φαρμάκου. Από την άλλη μεριά, πρέπει να υπάρχει επαρκής αμφιβολία για τη δραστικότητά του ώστε να δικαιολογείται η στέρηση της θεραπείας από τους ασθενείς της ομάδας ελέγχου (φυσικά, το ηθικό δίλημμα είναι πολύ μεγάλο όταν πρόκειται για σοβαρές ασθένειες ή όταν το νέο φάρμακο προκαλεί ισχυρές παρενέργειες). Επιπλέον, για την απόκτηση βάσιμης ιατρικής μαρτυρίας, είναι εξίσου σημαντικά τόσο τα θετικά όσο και τα αρνητικά αποτελέσματα. Οι περισσότερες πειραματικές έρευνες αρχίζουν με 50% πιθανότητα επιτυχίας. Αν η πιθανότητα επιτυχίας ήταν πολύ μεγαλύτερη, θα ανησυχούσαμε για τη μη εφαρμογή της θεραπείας σε όλους τους ασθενείς ενώ αν ήταν πολύ μικρότερη θα ανησυχούσαμε για την έκθεση των ασθενών στη δράση της θεραπευτικής αγωγής. Το δίλημμα είναι μεγάλο και το πρόβλημα παραμένει ανοιχτό. Πώς πρέπει να ανακοινώνονται τα αποτελέσματα μιας στατιστικής έρευνας; Μπορεί ο τρόπος παρουσίασής τους να οδηγήσει σε παραπλανητικές ερμηνείες; Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 14

15 Αρκεί η παράθεση κάποιων αριθμητικών αποτελεσμάτων; Επιτρέπεται η μερική/ελλειπής/μονομερής/μεροληπτική ανακοίνωση αποτελεσμάτων; Τα ερωτήματα αυτά και άλλα ανάλογα οδήγησαν τα αναπτυγμένα κράτη στην δημιουργία κωδίκων δεοντολογίας για τον τρόπο ανακοίνωσης των ευρημάτων στατιστικών ερευνών. Έτσι, ταυτόχρονα με την ανακοίνωση των ευρημάτων μιας στατιστικής έρευνας επιβάλλεται, για παράδειγμα, να ανακοινώνονται το δειγματοληπτικό πλαίσιο, η μέθοδος δειγματοληψίας, ο χρόνος διεξαγωγής της έρευνας, το μέγεθος του δείγματος, τα δειγματοληπτικά σφάλματα και άλλες πληροφορίες που συνιστούν την ταυτότητα της έρευνας. Πώς εξασφαλίζεται η επαγγελματική επάρκεια, η διαφανής λειτουργία, η αντικειμενικότητα και η ανεξαρτησία από πολιτικές ή άλλες σκοπιμότητες των κρατικών στατιστικών υπηρεσιών (όπως η Εθνική Στατιστική Υπηρεσία Ελλάδος); Η σοβαρότητα αυτού του ερωτήματος είναι προφανής αν λάβουμε υπόψη μας ότι οι κρατικές στατιστικές υπηρεσίες συγκεντρώνουν, αναλύουν και ερμηνεύουν δεδομένα με βάση τα οποία λαμβάνονται οικονομικές και πολιτικές αποφάσεις. Για παράδειγμα, η τιμή του Δείκτη Τιμών Καταναλωτή επηρεάζει μια σειρά κυβερνητικών αποφάσεων, όπως, τις αποφάσεις για τα κλιμάκια φορολογίας, την εισοδηματική πολιτική κ.ά. Επίσης, η τιμή του ποσοστού ανεργίας, εκτός των άλλων, μπορεί να προκαλέσει ακόμη και πολιτικές ανακατατάξεις. Κλείνουμε αυτή τη σύντομη, και κατά το δυνατόν, γενική επισκόπηση της στατιστικής προσέγγισης των φαινομένων, με ένα απόσπασμα από άρθρο-ομιλία του καθηγητή Θεόφιλου Κάκουλλου: «Οι στατιστικές μέθοδοι απηχούν την προσπάθεια του ανθρώπου να κατανοήσει και να εκφράσει τη γενικότητα των φαινομένων, τα οποία υποπίπτουν στην αντίληψή του και επηρεάζουν κατά το μάλλον ή ήττον τη ζωή του. Μέσα από τον κυκεώνα και το χάος των μεμονωμένων γεγονότων και παρατηρήσεων αναζητούμε συνεχώς κάποια τάξη, όπως αυτή αντανακλάται στη μέση συμπεριφορά, στον ρου των πραγμάτων. Μέσα στην απέραντη ποικιλία και σωρεία των ατομικών χαρακτηριστικών, αναζητούμε τυπικά χαρακτηριστικά, μια καθολική εικόνα του πληθυσμού στον οποίο ανήκουν τα άτομα. Η γενική αυτή εικόνα δεν είναι απλή περίληψη των ατόμων που την απαρτίζουν, αλλά προχωράει πέραν των ατόμων, και αποκτάει νόημα το οποίο δεν θα μπορούσαμε να συλλάβουμε ούτε με την πιο ενδελεχή μελέτη οποιουδήποτε ατόμου». Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 15

Φαινόμενα - Πειράματα

Φαινόμενα - Πειράματα Στατιστική Προσέγγιση Προβλημάτων: Μια Γενική Επισκόπηση Τα διάφορα προβλήματα (επιστημονικά, κοινωνικά, πολιτικά, κ.λπ.) συνδέονται με φαινόμενα ή με πειράματα 1 τα οποία ταξινομούνται σε δύο γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Μέρος Α. Μέρος Α / Πιθανότητες

Πιθανότητες. Μέρος Α. Μέρος Α / Πιθανότητες Μέρος Α / Πιθανότητες Μέρος Α Πιθανότητες Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Στατιστική Προσέγγιση Προβλημάτων: Μια Γενική Επισκόπηση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική προσέγγιση προβλημάτων Μια γενική επισκόπηση

Στατιστική προσέγγιση προβλημάτων Μια γενική επισκόπηση Στατιστική προσέγγιση προβλημάτων Μια γενική επισκόπηση Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 12 Τα διάφορα προβλήματα (επιστημονικά ή άλλα) συνδέονται με φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή και παρουσίαση στατιστικών δεδομένων

Συλλογή και παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Συλλογή και παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Απογραφή Δειγματοληψία Συνεχής καταγραφή Πίνακες Διαγράμματα Στατιστικές εκθέσεις Τρόποι συλλογής δεδομένων Οι μέθοδοι συλλογής δεδομένων ποικίλουν και κυρίως

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Κωδ. 105) Σημειώσεις Παραδόσεων

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Κωδ. 105) Σημειώσεις Παραδόσεων ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Εργαστήριο Μαθηματικών και Στατιστικής Πανεπιστημιακές Σημειώσεις ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Κωδ. 105) Σημειώσεις Παραδόσεων Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Αθήνα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Κωδ. 105) Σημειώσεις Παραδόσεων 1 ο Τεύχος

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Κωδ. 105) Σημειώσεις Παραδόσεων 1 ο Τεύχος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Επιστήμης Φυτικής Παραγωγής Πανεπιστημιακές Σημειώσεις ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Κωδ. 105) Σημειώσεις Παραδόσεων 1 ο Τεύχος Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Αθήνα, 2014

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος της ψυχολογικής έρευνας:

Στόχος της ψυχολογικής έρευνας: Στόχος της ψυχολογικής έρευνας: Συστηματική περιγραφή και κατανόηση των ψυχολογικών φαινομένων. Η ψυχολογική έρευνα χρησιμοποιεί μεθόδους συστηματικής διερεύνησης για τη συλλογή, την ανάλυση και την ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Εναλλακτικά του πειράματος

Εναλλακτικά του πειράματος Θετική και δεοντολογική προσέγγιση Διάλεξη 2 Εργαλεία θετικής ανάλυσης Ή Γιατί είναι τόσο δύσκολο να πούμε τι συμβαίνει; Η θετική ανάλυση εξετάζει τι υπάρχει και ποιες οι συνέπειες μιας πολιτικής, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ. Ματσάγκος Ιωάννης-Μαθηματικός

ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ. Ματσάγκος Ιωάννης-Μαθηματικός 1 ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ -Είναι γνωστό, ότι στη Στατιστική, όταν χρησιμοποιούμε τον όρο πληθυσμός, δηλώνουμε, το σύνολο των ατόμων ή αντικειμένων, στα οποία αναφέρονται οι παρατηρήσεις μας Τα στοιχεία του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Εργαλεία θετικής ανάλυσης Ή Γιατί είναι τόσο δύσκολο να πούμε τι συμβαίνει; Ράπανος-Καπλάνογλου 2016/7

Διάλεξη 2. Εργαλεία θετικής ανάλυσης Ή Γιατί είναι τόσο δύσκολο να πούμε τι συμβαίνει; Ράπανος-Καπλάνογλου 2016/7 Διάλεξη 2 Εργαλεία θετικής ανάλυσης Ή Γιατί είναι τόσο δύσκολο να πούμε τι συμβαίνει; 1 Ράπανος-Καπλάνογλου 2016/7 Θετική και δεοντολογική προσέγγιση Η θετική ανάλυση εξετάζει τι υπάρχει και ποιες οι συνέπειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα. Earl Babbie. Κεφάλαιο 6. Δειγματοληψία 6-1

Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα. Earl Babbie. Κεφάλαιο 6. Δειγματοληψία 6-1 Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα Earl Babbie Κεφάλαιο 6 Δειγματοληψία 6-1 Σύνοψη κεφαλαίου Σύντομη ιστορία της δειγματοληψίας Μη πιθανοτική δειγματοληψία Θεωρία και λογική της πιθανοτικής Δειγματοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου Σχηματική παρουσίαση της ερευνητικής διαδικασίας ΣΚΟΠΟΣ-ΣΤΟΧΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ερευνητικά

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 2

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 2 (ΨΥΧ-122) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: lzabetak@dpem.tuc.gr Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ 28210 37323 Διάλεξη 2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Γιατί Ένας Manager Πρέπει να Ξέρει Στατιστική. Περιεχόμενα. Η Ανάπτυξη και Εξέλιξη της Σύγχρονης Στατιστικής

Περιεχόμενα. Γιατί Ένας Manager Πρέπει να Ξέρει Στατιστική. Περιεχόμενα. Η Ανάπτυξη και Εξέλιξη της Σύγχρονης Στατιστικής Chapter 1 Student Lecture Notes 1-1 Ανάλυση Δεδομένων και Στατιστική για Διοικήση Επιχειρήσεων [Basic Business Statistics (8 th Edition)] Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή και Συλλογή Δεδομένων Περιεχόμενα Γιατί ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test 1 Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου One-Sample t-test 2 Μια σύντομη αναδρομή Στα τέλη του 19 ου αιώνα μια μεγάλη αλλαγή για την επιστήμη ζυμώνονταν στην ζυθοποιία Guinness. Ο William Gosset

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ Μάθημα : Στατιστική Ι Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/ Email : epdiamantopoulos@yahoo.gr 1 Στόχοι της υποενότητας

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΜΙΝΤΖΗΣ, ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΣ, PHD ΙΑΤΡΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΜΙΝΤΖΗΣ, ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΣ, PHD ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΜΙΝΤΖΗΣ, ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΣ, PHD ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Οι τεχνικές δειγματοληψίας είναι ένα σύνολο μεθόδων που επιτρέπει να μειώσουμε το μέγεθος των δεδομένων που

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Κατευθύνσεις στην έρευνα των επιστημών υγείας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Έρευνα και θεωρία

Περιεχόμενα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Κατευθύνσεις στην έρευνα των επιστημών υγείας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Έρευνα και θεωρία Περιεχόμενα Σχετικά με τους συγγραφείς... ΧΙΙΙ Πρόλογος... XV Eισαγωγή...XVΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Κατευθύνσεις στην έρευνα των επιστημών υγείας Εισαγωγή... 1 Τι είναι η έρευνα;... 2 Τι είναι η έρευνα των επιστημών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΥΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : Τρασανίδης Γεώργιος, διπλ. Ηλεκ/γος Μηχανικός Μsc ΠΕ12 05

1 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΥΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : Τρασανίδης Γεώργιος, διπλ. Ηλεκ/γος Μηχανικός Μsc ΠΕ12 05 1 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΥΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : Τρασανίδης Γεώργιος, διπλ. Ηλεκ/γος Μηχανικός Μsc ΠΕ12 05 Μέτρηση Ορισμός: η συστηματική διαδικασία με την οποία καταχωρίζουμε αριθμητικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδεις αρχές επιστήμης και μέθοδοι έρευνας

Θεμελιώδεις αρχές επιστήμης και μέθοδοι έρευνας A. Montgomery Θεμελιώδεις αρχές επιστήμης και μέθοδοι έρευνας Καρολίνα Δουλουγέρη, ΜSc Υποψ. Διαδάκτωρ Σήμερα Αναζήτηση βιβλιογραφίας Επιλογή μεθοδολογίας Ερευνητικός σχεδιασμός Εγκυρότητα και αξιοπιστία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme. Επιλογή δείγματος. Κατερίνα Δημάκη

HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme. Επιλογή δείγματος. Κατερίνα Δημάκη HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Επιλογή δείγματος Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 1 Τρόποι Συλλογής Δεδομένων Απογραφική

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Στάδιο Εκτέλεσης

Στάδιο Εκτέλεσης 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο 1.4.2.2 Στάδιο Εκτέλεσης Το στάδιο της εκτέλεσης μίας έρευνας αποτελεί αυτό ακριβώς που υπονοεί η ονομασία του. Δηλαδή, περιλαμβάνει όλες εκείνες τις ενέργειες από τη στιγμή που η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Γ Γυμνασίου: Οδηγίες Γραπτής Εργασίας και Σεμιναρίων. Επιμέλεια Καραβλίδης Αλέξανδρος. Πίνακας περιεχομένων

Γ Γυμνασίου: Οδηγίες Γραπτής Εργασίας και Σεμιναρίων. Επιμέλεια Καραβλίδης Αλέξανδρος. Πίνακας περιεχομένων Γ Γυμνασίου: Οδηγίες Γραπτής Εργασίας και Σεμιναρίων. Πίνακας περιεχομένων Τίτλος της έρευνας (title)... 2 Περιγραφή του προβλήματος (Statement of the problem)... 2 Περιγραφή του σκοπού της έρευνας (statement

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Ένα Τι είναι η Στατιστική;

Κεφάλαιο Ένα Τι είναι η Στατιστική; Κεφάλαιο Ένα Τι είναι η Στατιστική; Copyright 2009 Cengage Learning 1.1 Τι είναι η Στατιστική; «Στατιστική είναι ένας τρόπος για την αναζήτηση πληροφοριών μέσα σε δεδομένα» Copyright 2009 Cengage Learning

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Έρευνας. Εισήγηση 10 η Κατασκευή Ερωτηματολογίων

Τεχνικές Έρευνας. Εισήγηση 10 η Κατασκευή Ερωτηματολογίων Τεχνικές Έρευνας Ε. Ζέτου Ε εξάμηνο 2010-2011 Εισήγηση 10 η Κατασκευή Ερωτηματολογίων ΣΚΟΠΟΣ Η συγκεκριμένη εισήγηση έχει σαν σκοπό να δώσει τις απαραίτητες γνώσεις στο/στη φοιτητή/τρια για τον τρόπο διεξαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα Είδη δειγματοληψίας Γνωρίζουμε ότι: Με τη στατιστική τα δεδομένα γίνονται πληροφορίες Στατιστική Δεδομένα Πληροφορία Αλλά από πού προέρχονται τα δεδομένα; Πώς τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Περιεχόμενα Επιστημονική έρευνα Σε τι μας βοηθάει η έρευνα Χαρακτηριστικά της επιστημονικής

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτικοί μέθοδοι έρευνας. Μυλωνά Ιφιγένεια

Ποιοτικοί μέθοδοι έρευνας. Μυλωνά Ιφιγένεια Ποιοτικοί μέθοδοι έρευνας Μυλωνά Ιφιγένεια Έρευνες για την απόκτηση πληροφοριών η γνωμών από τους χρήστες Χρησιμοποιήθηκαν από τις κοινωνικές επιστήμες για τη χρήση κοινωνικών φαινομένων Ο όρος «ποιοτική

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική υπόθεση. Η ερευνητική υπόθεση αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη πρόβλεψη σχετικά με τη σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές.

Ερευνητική υπόθεση. Η ερευνητική υπόθεση αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη πρόβλεψη σχετικά με τη σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές. Ερευνητική υπόθεση Η ερευνητική υπόθεση αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη πρόβλεψη σχετικά με τη σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές. Στα πειραματικά ερευνητικά σχέδια, η ερευνητική υπόθεση αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Εισαγωγικές Έννοιες ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Εισαγωγικές Έννοιες ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Εισαγωγικές Έννοιες ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων ΑΓΡΙΝΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Φραγκίσκος Κουτελιέρης Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που εμβαθύνει σε μεθόδους συλλογής δεδομένων, οργάνωσης, παρουσίασης των δεδομένων και εξαγωγής συμπερασμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη και την επιστημονική μέθοδο

Εισαγωγή στην επιστήμη και την επιστημονική μέθοδο Εισαγωγή στην επιστήμη και την επιστημονική μέθοδο I. Τι είναι η επιστήμη; A. Ο στόχος της επιστήμης είναι να διερευνήσει και να κατανοήσει τον φυσικό κόσμο, για να εξηγήσει τα γεγονότα στο φυσικό κόσμο,

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Επιστημονικός Υπεύθυνος Έρευνας : Καθηγητής Επαμεινώνδας Πανάς

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Επιστημονικός Υπεύθυνος Έρευνας : Καθηγητής Επαμεινώνδας Πανάς ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Επιστημονικός Υπεύθυνος Έρευνας : Καθηγητής Επαμεινώνδας Πανάς Θεσσαλονίκη, Σεπτέμβριος 2010 2 3 4 ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΕΡΕΥΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Α. Τηλεοπτικές συνήθειες-τρόπος χρήσης των Μ.Μ.Ε.

Α. Τηλεοπτικές συνήθειες-τρόπος χρήσης των Μ.Μ.Ε. 38 ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Ένας από τους βασικούς στόχους της παρούσας έρευνας ήταν η εύρεση εκείνων των χαρακτηριστικών των εφήβων τα οποία πιθανόν συνδέονται με τις μελλοντικές επαγγελματικές τους επιλογές. Ως

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα. Earl Babbie. Κεφάλαιο 1. Βασικές αρχές 1-1

Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα. Earl Babbie. Κεφάλαιο 1. Βασικές αρχές 1-1 Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα Earl Babbie Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές 1-1 Σύνοψη κεφαλαίου Αναζητώντας την πραγματικότητα Τα θεμέλια της κοινωνικής επιστήμης Η διαλεκτική της κοινωνικής έρευνας Σχέδιο ερευνητικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 5 Συλλογή Δεδομένων & Δειγματοληψία

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 5 Συλλογή Δεδομένων & Δειγματοληψία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή (ΨΥΧ-122) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 1 Εισαγωγή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα. Earl Babbie. Κεφάλαιο 4. Κοινωνική μέτρηση 4-1

Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα. Earl Babbie. Κεφάλαιο 4. Κοινωνική μέτρηση 4-1 Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα Earl Babbie Κεφάλαιο 4 Κοινωνική μέτρηση 4-1 Σύνοψη κεφαλαίου Μετρώντας οτιδήποτε υπάρχει Εννοιολόγηση Ορισμοί σε περιγραφικές και ερμηνευτικές μελέτες Επιλογές λειτουργικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.).

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). a. Τι μπορεί να συνέβη όταν η διάμεσος αυξήθηκε; Το γεγονός ότι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου

Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΥΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : Τρασανίδης Γεώργιος, διπλ. Ηλεκ/γος Μηχανικός Μsc ΠΕ12 05

1 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΥΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : Τρασανίδης Γεώργιος, διπλ. Ηλεκ/γος Μηχανικός Μsc ΠΕ12 05 1 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΥΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : Τρασανίδης Γεώργιος, διπλ. Ηλεκ/γος Μηχανικός Μsc ΠΕ12 05 2. ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ -ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Όλες οι έρευνες αναφέρονται σε μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ B ΕΚΔΟΣΗ ΑΘΗΝΑ 2004 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή και επεξεργασία δεδομένων από πεπερασμένους πληθυσμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Άσκηση 1: Μια τράπεζα ενδιαφέρεται να μελετήσει την αποταμιευτική συμπεριφορά των πελατών της. Θεωρείται ως δεδομένο ότι η ετήσια αποταμίευση των πελατών της

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής & Αθλητισμού. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ & ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ Εξάμηνο

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής & Αθλητισμού. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ & ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ Εξάμηνο Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής & Αθλητισμού ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ & ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ Εξάμηνο Διδάσκοντες Χατζηγεωργιάδης Αντώνης / Zουρμπάνος Νίκος ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ & ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μορφή

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πιθανότητες και Στατιστική

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πιθανότητες και Στατιστική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πιθανότητες και Στατιστική Ο μεγάλος Γάλλος μαθηματικός Laplace έγραψε ότι οι Πιθανότητες δεν είναι τίποτα άλλο παρά η μετατροπή της κοινής λογικής σε μαθηματικές εκφράσεις. Η χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν

Διαβάστε περισσότερα

π. Κωνσταντίνος. Χρήστου

π. Κωνσταντίνος. Χρήστου 1 Statistics: αρχικά state arithmetic (αριθµητική του κράτους) Από την αρχαία εποχή ακόµη οι άνθρωποι συγκέντρωναν δεδοµένα και χρησιµοποιούσαν τη στατιστική: Βαβυλώνιοι, πρώτη απογραφή (3800 π.0.) Κινέζοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 1 Τι είναι η Στατιστική;

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 1 Τι είναι η Στατιστική; ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Τομέας Βιομηχανικής Διοίκησης και Επιχειρησιακής Έρευνας. Έρευνα Αγοράς Μέρος 1 ο - Θεωρία και περιγραφικά μέτρα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Τομέας Βιομηχανικής Διοίκησης και Επιχειρησιακής Έρευνας. Έρευνα Αγοράς Μέρος 1 ο - Θεωρία και περιγραφικά μέτρα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Βιομηχανικής Διοίκησης και Επιχειρησιακής Έρευνας Έρευνα Αγοράς Μέρος 1 ο - Θεωρία και περιγραφικά μέτρα 1 Περιεχόμενα 1. Βασικές Έννοιες Έρευνας Αγοράς 2. Προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εισαγωγή στο P.A.S.W. Υποχρεωτικό μάθημα 4 ου εξαμήνου

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Σκοπός Έρευνας

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Σκοπός Έρευνας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Σκοπός Έρευνας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο βασικός σκοπός της παρούσας μελέτης είναι η αξιολόγηση των παραγόντων που επιδρούν και διαμορφώνουν τη γνώμη, στάση και αντίληψη των νέων (μαθητών)

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Dr. Anthony Montgomery Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής & Κοινωνικής Πολιτικής antmont@uom.gr Ποιός είναι ο σκοπός του μαθήματος μας? Στο τέλος του σημερινού μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ στο τέλος του εξαμήνου με ΑΝΟΙΧΤΑ βιβλία ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ο καθένας θα πρέπει να έχει το ΔΙΚΟ του βιβλίο ΔΕΝ θα μπορείτε να ανταλλάσετε βιβλία ή να

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ στο τέλος του εξαμήνου με ΑΝΟΙΧΤΑ βιβλία ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ο καθένας θα πρέπει να έχει το ΔΙΚΟ του βιβλίο ΔΕΝ θα μπορείτε να ανταλλάσετε βιβλία ή να N161 _ (262) Στατιστική στη Φυσική Αγωγή Βιβλία ή 1 ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ στο τέλος του εξαμήνου με ΑΝΟΙΧΤΑ βιβλία ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ο καθένας θα πρέπει να έχει το ΔΙΚΟ του βιβλίο ΔΕΝ θα μπορείτε να ανταλλάσετε βιβλία ή να

Διαβάστε περισσότερα