ΟΡΙΟ ΤΝΑΡΣΗΗ ΣΟ. 1) το διπλανό ςχήμα δίνεται η γραφική παράςταςη μιασ ςυνάρτηςησ α) Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ

Transcript

1 ΟΡΙΟ ΤΝΑΡΣΗΗ ΣΟ 1) το διπλανό ςχήμα δίνεται η γραφική παράςταςη μιασ ςυνάρτηςησ Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ Να βρείτε όςα από τα επόμενα όρια και τιμέσ υπάρχουν i), ii),,, iii),,, iv),,, 2) το διπλανό ςχήμα δίνεται η γραφική παράςταςη μιασ ςυνάρτηςησ Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ Να βρείτε όςα από τα επόμενα όρια και τιμέσ υπάρχουν i), ii), iii), iv),

2 3) Δίνεται η ςυνάρτηςη, να εξετάςετε αν υπάρχουν και να βρείτε τα όρια ε) ςτ) 4) Δίνεται η ςυνάρτηςη, να εξετάςετε αν υπάρχουν και να βρείτε τα όρια ε) ςτ) 5) Δίνεται η ςυνάρτηςη: { Να χαράξετε τη γραφική παράςταςη τησ

3 Να βρείτε το 6) Δίνεται η ςυνάρτηςη Να χαράξετε τη γραφική παράςταςη τησ Να βρείτε το Να βρείτε το 7) Δίνεται η ςυνάρτηςη: { Να χαράξετε τη γραφική παράςταςη τησ Να βρείτε τα όρια i) ii) iii) 8) Να βρείτε ποια από τα παρακάτω όρια έχουν νόημα: i), ii), iii), iv), v), vi), 9) Δίνεται η ςυνάρτηςη { Να ςχεδιάςετε τη γραφική παράςταςη τησ Να βρείτε, εφόςον υπάρχουν, τα όρια, και 10) Δίνεται η ςυνάρτηςη, τησ οποίασ η γραφική παράςταςη διέρχεται από το ςημεία Να βρείτε τον αριθμό ν και το πεδίο οριςμού τησ

4 Να απλοποιήςετε τον τύπο τησ και να κάνετε τη γραφική τησ παράςταςη Να βρείτε, αν υπάρχει, το 11) Δίνεται η ςυνάρτηςη Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ και να κάνετε τη γραφική παράςταςη τησ Να βρείτε, εαν υπάρχει, το όριο 12) Δίνεται ςυνάρτηςη, η οποία είναι οριςμένη ςτο. Αν ιςχύουν και να βρείτε τον αριθμό ώςτε να υπάρχει το όριο 13) Αν είναι,, και να βρείτε τισ τιμέσ των α και β ώςτε να υπάρχουν τα όρια και 14) Δίνεται η ςυνάρτηςη. Αν ιςχύει και να βρείτε τισ τιμέσ του λ έτςι, ώςτε να υπάρχει το. Ύςτερα να υπολογίςετε το όριο. ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΣΩΝ ΟΡΙΩΝ 15) Να βρείτε τα όρια

5 ε) 16) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ για τι οποίεσ ιςχύει και. Να βρείτε τα όρια ε) ςτ) 17) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ για τισ οποίεσ τα όρια και υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί. Αν επιπλέον ιςχύει να βρείτε τα όρια και Όρια τησ μορφήσ Ρητέσ ςυναρτήςεισ 18) Να υπολογίςετε τα όρια

6 19) Να υπολογίςετε τα όρια 20) Να υπολογίςετε τα όρια 21) Δίνεται η ςυνάρτηςη. Να βρείτε το όριο Όρια τησ μορφήσ 0/0 Άρρητεσ ςυναρτήςεισ 22) Να βρείτε τα όρια

7 ε) ςτ) ζ) η) 23) Να υπολογίςετε το όριο Όριο ςυνάρτηςησ με κλάδουσ 24) Να εξετάςετε αν υπάρχει το, όταν: { { { 25) Δίνεται η ςυνάρτηςη { Να βρείτε, εαν υπάρχει, το όριο 26) Δίνεται η ςυνάρτηςη { Να βρείτε, εαν υπάρχει, το όριο

8 Όρια τησ μορφήσ 0/0 υναρτήςεισ με απόλυτεσ τιμέσ 27) Να βρείτε, εαν υπάρχουν, τα όρια 28) Αν να βρείτε το όριο 29) Δίνεται η ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει. Να βρείτε το όριο 30) Δίνεται πολυώνυμο, του οποίου η γραφική παράςταςη διέρχεται από το ςημείο. Να βρείτε το όριο Όπιο με βοηθηηική ζςνάπηηζη 31) Αν για ηη ζςνάπηηζη είναι, να βπεθεί αν ςπάπσει, ηο 32) Αν για ηη ζςνάπηηζη είναι, να βπεθεί αν ςπάπσει, ηο 33) Να ςπολογίζεηε ηο ζηιρ παπακάηω πεπιπηώζειρ: ( ) ( ) 34) Αν ( ) και, να ςπολογιζηεί ηο Κπιηήπιο παπεμβολήρ

9 35) Αν για κάθε, να βπεθεί ηο 36) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη για ηην οποία ιζσύει: για κάθε. Να βπεθεί ηο Σριγωνομετρικά όρια 37) Να υπολογίςετε τα όρια, εφόςον υπάρχουν 38) Να υπολογίςετε τα όρια, εφόςον υπάρχουν 39) Να υπολογίςετε τα όρια, εφόςον υπάρχουν 40) Να υπολογίςετε τα όρια, εφόςον υπάρχουν

10 41) Να υπολογίςετε τα όρια, εφόςον υπάρχουν 42) Να βρείτε το όριο 43) Να βρείτε το όριο Όριο ςύνθετησ τριγωνομετρικήσ ςυνάρτηςησ 44) Να υπολογίςετε τα όρια, εφόςον υπάρχουν ε) ςτ) Μηδενική επι θπαγμένη 45) Δίνεηαι η ζςνάπηηζη Να αποδείξεηε όηι: Να ςπολογίζεηε ηο όπιο 46) Έζηω μια ζςνάπηηζη για ηην οποία ιζσύει: για κάθε Να ςπολογίζεηε ηα όπια:

11 47) Να ςπολογιζηούν ηα όπια:, με Α= ε) ζη) Θεωρητικέσ Αςκήςεισ 48) Δίνεται ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει για κάθε α Να αποδείξετε ότι η β Εαν ιςχύει ότι είναι περιττή να βρείτε τα όρια i) ii) iii) 49) Δίνεται ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει βρείτε το για κάθε όπου και. Να 50) Δίνεται ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει

12 όπου. Αν ιςχύει ότι με να βρείτε το Υπόδειξη ςυναρτήςη του β 51) Δίνεται ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει Να βρείτε το όριο 52) Δίνεται ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει Να βρείτε το όριο 53) Δίνεται ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει για κάθε. Να βρείτε αν υπάρχει το όριο 54) Δίνονται πραγματικοί αριθμοί για τουσ οποίουσ ιςχύει για κάθε. Να αποδείξετε ότι Μη πεπεραςμένο όριο ςτο 55) Να βρείτε τα όρια

13 56) Να βρείτε τα όρια 57) Να βρείτε, εαν υπάρχουν, τα όρια 58) Να βρείτε, εαν υπάρχουν, τα όρια 59) Να βρείτε, εαν υπάρχουν, τα όρια ε) Θεωρητικέσ Αςκήςεισ

14 60) το παρακάτω ςχήμα φαίνεται η γραφική παράςταςη μιασ ςυνάρτηςησ. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια ε) ςτ) ζ) 61) το παρακάτω ςχήμα φαίνεται η γραφική παράςταςη μιασ ςυνάρτηςησ. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια ε)

15 ςτ) ζ) η) θ) ι) ι 62) το παρακάτω ςχήμα φαίνεται η γραφική παράςταςη μιασ ςυνάρτηςησ. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια ε) ςτ) 63) Δίνεται περιττή ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει ότι. Να αποδείξετε ότι το όριο δεν υπάρχει.

16 64) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ για τισ οποίεσ ιςχύουν: και. Να υπολογίςετε το 65) Δίνονται ςυναρτήςεισ για τισ οποίεσ ιςχύουν: και για κάθε. Να βρείτε, εαν υπάρχουν, τα όρια: και γ 66) Δίνεται γνηςίωσ φθίνουςα ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει ότι. Να βρείτε το όριο: Βοηθητική υνάρτηςη 67) Δίνεται ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει κοντά ςτο 3 και. Να βρείτε, εαν υπάρχουν, τα όρια:

17 ( ) υνδιαςτικά θέματα 68) Δίνεται η ςυνάρτηςη με, για την οποία ιςχύει Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ Να βρείτε τισ τιμέσ των α και β Να αποδείξετε ότι Να βρείτε το όριο Όρια ςτο ςυναρτήςεων 69) Να υπολογίςετε τα όρια ε) ςτ) πολυωνυμικών και ρητών

18 Όρια ςτο και απόλυτη τιμή 70) Δίνεται η ςυνάρτηςη Σο πεδίο οριςμού τησ Σα όρια και. Να βρείτε Όρια ςτο άρρητων ςυναρτήςεων 71) Να υπολογίςετε τα όρια 72) Να βρείτε το όριο [Απ ] Όρια ςτο Εκθετικήσ Λογαριθμικήσ ςυνάρτηςησ 73) Να βρείτε, εφόςον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια

19 [Απ. 0, 0, ] 74) Δίνεται η ςυνάρτηςη Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ Να υπολογίςετε το όριο [Απ., ] 75) Δίνεται η ςυνάρτηςη Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ Να υπολογίςετε το όριο [Απ., ] Όρια ςτο και κριτήριο παρεμβολήσ 76) Δίνεται ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει για κάθε,. Να βρείτε: Σριγωνομετρικά όρια ςτο 77) Να υπολογίςετε τα επόμενα όρια

20 ε) ςτ) [Απ. 0, 0, 0,, ] 78) Να βρείτε τα όρια [Απ. 2,-2] Παραμετρικά όρια ςτο /προςδιοριςμόσ παραμέτρων 79) Να βρείτε το όριο: για τισ διάφορεσ τιμέσ του [Απ. Εαν ή τότε, εαν τότε, εαν τότε ] 80) Να βρείτε τισ τιμέσ των ώςτε να ιςχύει

21 81) Να βρείτε τισ τιμέσ των ώςτε να ιςχύει ( ) 82) Να βρείτε τισ τιμέσ των ώςτε να ιςχύει ( ) Όριο ςτο και βοηθητική ςυνάρτηςη 83) Δίνεται η ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει. Να βρείτε το όριο 84) Δίνεται η ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει Να βρείτε τα όρια i) ii) Αν επιπλέον γνωρίζεται ότι η είναι περιττή, να βρείτε το όριο 85) Δίνεται η ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει. Να βρείτε τα όρια

22 86) Δίνεται η ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει. Να βρείτε το όριο Θεωρητικέσ αςκήςεισ / υνδιαςτικέσ αςκήςεισ / Προβλήματα 87) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ για τισ οποίεσ ιςχύει για κάθε. Να βρείτε τα όρια και. [Απ. 0] 88) το παρακάτω ςχήμα δίνεται η γραφική παράςταςη μιασ ςυνάρτηςησ [Απ.,,, 1, 0] 89) Μια ευθεία διέρχεται από το ςημείο και τέμνει τουσ θετικούσ ημιάξονεσ Οx και Οy ςτα ςημεία Α και Β αντίςτοιχα

23 Να εκφράςετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ ωσ ςυνάρτηςη τησ τετμηνμένησ x του ςημείου Α Να βρείτε το όριο του εμβαδού όταν, και όταν 90) Δίνεται η ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει για κάθε. Να βρείτε τα όρια [Απ., 0, 3] 91) Δίνεται η ςυνάρτηςη Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ Να υπολογίςετε τα όρια: i) ii) 92) Δίνεται η ςυνάρτηςη με. Να βρείτε τα όρια 93) Δίνεται η ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει: για κάθε. Να βρείτε τα όρια:

24 94) Δίνεται η ςυνάρτηςη Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ Να αποδείξετε ότι Να υπολογίςετε τα όρια: i) ii) 95) Έςτω η ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει ότι και για κάθε. Να υπολογίςετε τα όρια [Απ. 0, 3] 96) Έςτω οι ςυναρτήςεισ οριςμένεσ ςτο. Αν είναι και για κάθε είναι [Απ 0],, να υπολογίςετε το όριο. 97) Δίνεται ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει

25 Να αποδείξετε ότι ( ) 98) Δίνεται η ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει: για κάθε. Να βρείτε τα όρια: 99) Δίνεται η ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει:. Να βρείτε το όριο 100) Δίνονται πραγματικοί αριθμοί α και β, με για τουσ οποίουσ ιςχύει: για κάθε. Να βρείτε τουσ αριθμούσ α και β