ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ. 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-2,-7,-12,

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ. 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-2,-7,-12,"

Transcript

1 Ν-οστός όρος ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-,-7,-1,. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α1= και ω=3.να βρείτε : i) τον 10ο όρο της προόδου ii)ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α1=-15 και α7 =9.Να βρείτε : i) τη διαφορά ω της προόδου, ii)τον 11ο όρο της προόδου ii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με διαφορά ω=- είναι α8=-3.να βρείτε : i) τον πρώτο όρο της προόδου, ii) τον 19ο όρο της προόδου iii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α5=11 και α9 =31.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά ω της προόδου, ii)τον 14ο όρο της προόδου ii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α1=-1,ο ένατος και ο εικοστός όρος έχουν άθροισμα 30. Να βρείτε : i) τη διαφορά ω της προόδου, ii) τον 30ο όρο της προόδου ii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με διαφορά ω=3,o όρος α13 είναι διπλάσιος από τον όρο α6.να βρείτε : i) τον πρώτο όρο της προόδου, ii) τον 9ο όρο της προόδου iii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : 7 11 και Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) τον 41ο όρο της προόδου iii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) ισχύει : 4 43 και 8 7.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) πόσους θετικούς όρους έχει η (αν) 10. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : και Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) τον όρο αν για τον οποίο ισχύει 185

2 11. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : και,με κ μ,να αποδείξετε ότι: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) τον όρο αν για τον οποίο ισχύει 1. Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν).για τους θετικούς ακέραιους κ, λ,μ, να αποδείξετε : i) a, με μ>λ ii) ( ) ( ) ( ) 0 ισχύει: 4 43 και 8 7.Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) πόσους θετικούς όρους έχει η (αν) 13. Ο τέταρτος όρος μιας Α.Π. είναι 15 και ο 15ος όρος της είναι 59. Να βρεθεί η πρόοδος. 14. Ο τέταρτος όρος μιας Α.Π. είναι 15 και ο 11ος όρος της είναι 43. Να βρεθεί η πρόοδος. 15. Σε Α.Π. δίνονται α1=58,ω=-3 και S 578. Να βρεθούν οι όροι της προόδου και ο ν-οστός όρος. 16. Να βρεθεί ο πρώτος όρος και η διαφορά Α.Π., αν το άθροισμα του 3ου και του 7ου όρου είναι 40, το δε άθροισμα του 6ου και του 8ου όρου είναι Σε Α.Π. ο ος και ο 8ος διαφέρουν κατά 4, ενώ το άθροισμα του 4ου και του 1ου όρου είναι 70. Να βρεθεί η πρόοδος αν α) είναι αύξουσα, β) φθίνουσα. Στη συνέχεια να υπολογιστεί το άθροισμα των όρων που βρίσκονται ανάμεσα στον 8 και στον 5 όρο. 18. Σε μια αύξουσα Α.Π. το άθροισμα του 3ου και του 7ου όρου είναι 18 και το άθροισμα των κύβων τους είναι 3. Να βρεθεί η πρόοδος. 19. Να βρεθεί Α.Π. αν γνωρίζουμε ότι ο πρώτος όρος είναι, το πλήθος των όρων ισούται με τον δεύτερο όρο, και ο τελευταίος όρος της είναι διψήφιος με ψηφίο των δεκάδων τη διαφορά της Α.Π. και το ψηφίο των μονάδων της είναι ο πρώτος όρος. 0. α)να βρεθεί η διαφορά ω της Α.Π. με α1 =,α0=0 β)να βρεθούν ο 5ος όρος και ο 40ος όρος μιας αριθμητικής προόδου με α1 = 8 και ω=7 γ)να βρεθεί ο α1 όρος μιας αριθμητικής προόδου,όταν α15=51,ω=4 δ)να βρεθεί Α.Π. όταν α4 = 15 και α11=43 1. Να βρεθεί Α.Π. αν α1 και ω είναι ρίζες της εξίσωσης x -5x+6=0.. Αν α, β,γ είναι όροι μιας αριθμητικής προόδου,τάξεων ν,ρ και κ αντίστοιχα και α1 είναι ο πρώτος όρος της προόδου,να δειχτεί ότι : Αριθμητικός μέσος-διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου 3. Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο των αριθμών: i) 3 και 3 ii) -5 και 37 iii)-31 και -3 iv)-1 και 7 v)-11 και

3 4. Να βρεθεί για ποια τιμή του xr,ο αριθμός 15 είναι ο αριθμητικός μέσος των αριθμών x+1 και 7x+. 5. Να βρεθεί για ποια τιμή του xr,οι αριθμοί x+5,3x-5,x+6 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 6. Δίνονται δύο αριθμοί που ο ένας είναι διπλάσιος του άλλου και έχουν αριθμητικό μέσο τον 16.Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς. 7. Δίνεται μία αριθμητική πρόοδος (αν).να αποδείξετε ότι οι αριθμοί : 4 5, 7 9, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 8. Να αποδείξετε ότι για κάθε α,βr,οι αριθμοί 3,( ), 5 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 9. Αν οι αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και για τους αριθμούς,,. 30. Αν οι αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και για τους αριθμούς ( ),( ),( ). 31. Αν οι αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και για τους αριθμούς,,. 3. Οι αριθμοί 1, 1, 1 (όπου α,β,γ 0) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.να αποδείξετε ότι και οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 33. Δίνονται οι θετικοί αριθμοί α, β,γ ώστε οι αριθμοί,, να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.να αποδείξετε ότι και οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 34. Αν οι θετικοί αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι και οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 35. α)να βρεθεί ο αριθμός x,ώστε τα τετράγωνα των αριθμών x+1,x+3 και x+9 να αποτελούν διαδοχικούς όρους Α.Π. β)να βρεθεί ο αριθμός κ ώστε οι αριθμοί α=3κ -κ+1,β=κ +5κ-4 και γ=4κ -3κ+9,να αποτελούν διαδοχικούς όρους Α.Π. 36. Τα ψηφία ενός τετραψήφιου αριθμού είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. Αν το τελευταίο ψηφίο είναι τετραπλάσιο του πρώτου,να βρεθεί ο αριθμός 37. Αν οι αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. να δειχτεί ότι: α)οι αριθμοί β +γ,γ +α,α +β είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. β)οι αριθμοί β +γ-α,γ +α-β,α +β-γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. 187

4 γ)οι αριθμοί (β +γ) -α,(γ +α) -β,(α +β) -γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. 38. Αν οι αριθμοί α, β,γ,δ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. να δειχτεί ότι: α) β) α +δ = β +γ γ) ( ) 39. Να βρεθεί για ποιες τιμές των x,y οι αριθμοί Α.Π. Ποια είναι η διαφορά ω της προόδου ; 1 1 y x xy, y, ( xy 0) είναι διαδοχικοί όροι μιας xy y x y 40. Οι ρίζες ρ1,ρ της εξίσωσης x x 0 και οι ρίζες x1,x της εξίσωσης x (5 4) x 0 κατά την σειρά ρ1,ρ,x1,x αποτελούν διαδοχικού όρους Α.Π.. Να υπολογιστούν οι λ,μ Να αποδείξετε ότι αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., τότε το ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς,,. 4. Να αποδείξετε ότι αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., τότε το ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς α,β,γ με Να προσδιοριστεί ο x έτσι ώστε οι αριθμοί 3x 7, x, 1 x να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Ποιοι είναι οι αριθμοί αυτοί; 44. Να προσδιοριστεί ο x έτσι ώστε οι αριθμοί 3x x 1, x 5x 4, 4x 3x 9 να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Ποιοι είναι οι αριθμοί αυτοί; Άθροισμα ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου 45. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α1=-14 και ω = 3.Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων της προόδου. 46. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων καθεμίας από τις επόμενες αριθμητικές προόδους: i)3,5,7, ii)-8,-3,, iii),-1,-4, iv)-,-6, Υπολογίσετε τα αθροίσματα: i) ii) iii) iv) Να βρεθεί το άθροισμα S α)αν σε μία Α.Π. είναι Σ11=517,ν=11 να βρεθούν οι α1 και ω β) Αν σε μία Α.Π. είναι α1=58,ω=-3,σν=578,να βρεθούν οι ν,αν γ)αν σε μία Α.Π. είναι α1=3,ω=- και αν = 5 να βρεθούν οι Σν και ν. 50. Να βρεθεί το πλήθος των όρων που εξετάζουμε σε μία Α.Π., όταν : α)α1=5,ω=4 και Σν=10877 β)σν-1=100,α1=5,ω= 188

5 51. Να βρεθεί το άθροισμα: i) των άρτιων αριθμών μεταξύ 1 και 153, ii) των περιττών αριθμών μεταξύ 10 και 170, iii) των πολλαπλασίων του 3 μεταξύ 40 και 00, iv) των πολλαπλασίων του 5 μεταξύ 31 και Να βρεθεί το άθροισμα: i) των πρώτων 50 θετικών πολλαπλασίων του 3, ii) των πρώτων 40 θετικών πολλαπλασίων του Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),είναι α1= και α15 =58.Να βρείτε : i) το άθροισμα των 15 πρώτων όρων της ii) το άθροισμα των 30 πρώτων όρων της iii) Πόσοι πρώτοι όροι της αριθμητικής προόδου (αν) έχουν άθροισμα Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),ο 16ος όρος είναι 50,ενώ το άθροισμα του 6 ου και του 11ου όρου είναι 40.Να βρείτε : i) το άθροισμα των 16 πρώτων όρων της ii) το άθροισμα των 31 πρώτων όρων της iii)πόσοι πρώτοι όροι της αριθμητικής προόδου (αν) έχουν άθροισμα Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με α1=,το άθροισμα των πρώτων 10 όρων είναι 00..Να βρείτε : i) τη διαφορά της προόδου, ii) τον 18ο όρο της iii)το άθροισμα των 5 πρώτων όρων της. 56. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),ο 4ος όρος είναι 10,ενώ το άθροισμα των πρώτων 1 όρων είναι 10.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου ii) ποιος όρος ισούται με 118 iii) το άθροισμα των 40 πρώτων όρων της. 57. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με α1=45,ισχύει ότι Να βρείτε : i) τη διαφορά ω της προόδου, ii) το άθροισμα των θετικών όρων της (αν) 58. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με διαφορά ω=4,ισχύει ότι Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο της α1, ii) το άθροισμα των αρνητικών όρων της (αν) 59. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),ο 8ος όρος είναι 30,ενώ το άθροισμα των πρώτων 5 όρων είναι 50.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου ii) το άθροισμα των όρων της (αν) που είναι μεγαλύτεροι του 40 και μικρότεροι του Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),το άθροισμα του 3ου και του 9ου όρου είναι 4.Να βρείτε : i) τον έκτο όρο της προόδου ii) το άθροισμα των 11 πρώτων όρων της 61. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),με διαφορά ω για την οποία ισχύει :

6 i) Να αποδείξετε ότι ω=α1 S0 ii) Να υπολογίσετε τον λόγο S Αν σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),ισχύει S300 να υπολογίσετε τον λόγο S Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),είναι α6=8 και α11 =3.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου ii) πόσοι πρώτοι όροι της αριθμητικής προόδου (αν) έχουν άθροισμα 14 iii)το άθροισμα S a15 a16... a5 iv)το άθροισμα S1 a1 a3... a Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),με διαφορά ω=3,ισχύει : αν=3 και Sν =100.Να βρείτε : i) τον αριθμό ν και τον πρώτο όρο της προόδου ii)το άθροισμα S a1 a13... a iii)το άθροισμα S1 a a4... a3 65. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),o 1ος όρος είναι κατά 30 μεγαλύτερος από τον 11ο όρο,ενώ το άθροισμα των πρώτων 4 όρων είναι 300.Να βρείτε : i) τη διαφορά και τον πρώτο όρο της προόδου ii)το γινόμενο Να λύσετε την εξίσωση : x Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),με 011 όρους,ισχύει S Να βρείτε : i) τον μεσαίο όρο της προόδου ii)το άθροισμα S a1 a1001 a1011 a i)δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν),και έστω S, S, S3 τα αθροίσματα των πρώτων ν,ν,3ν όρων αντίστοιχα.να αποδείξετε ότι : S3 3( S S ) ii) Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : Να βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της 69. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο ισχύει Sκ=μ και Sμ=κ,να αποδείξετε ότι: S ( ) 70. Δίνεται αριθμητική πρόοδο (αν),για την οποία ισχύουν : a a... a a 1 a 3 5 a i) Να βρείτε τη διαφορά ω και τον πρώτο όρο α1 της προόδου ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα S a1 a a Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : S 4S για κάθε ν Ν * i) Να αποδείξετε ότι ω=α1 ii) Αν επιπλέον ο έβδομος όρος της (αν) είναι 39,τότε α) να βρείτε τη διαφορά ω και τον πρώτο όρο α1 της προόδου 190

7 β) να βρείτε πόσοι πρώτοι όροι της (αν) έχουν άθροισμα 300 και στη συνέχει να υπολογίσετε τα αθροίσματα S0 και S40, γ) να υπολογίσετε το άθροισμα : S a a a4 7. Να βρεθεί το άθροισμα όλων των πολλαπλασίων του 3, τα οποία περιέχονται μεταξύ των αριθμών 100 και Να βρεθεί το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών από το 1 μέχρι το ν Να βρεθεί το άθροισμα των ν πρώτων περιττών αριθμών, συναρτήσει των αριθμών αυτών. 75. Να βρεθεί το άθροισμα όλων των 100 πρώτων ακεραίων, οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του Το άθροισμα των 10 πρώτων όρων Α.Π. είναι 110, και το άθροισμα των 10 επόμενων όρων είναι 310. Να βρεθεί η πρόοδος. 77. Το άθροισμα των 10 πρώτων όρων Α.Π είναι τετραπλάσιο του αθροίσματος των 5 πρώτων όρων της, και ο πρώτος όρος της είναι 1. Μα βρεθεί η πρόοδος. 78. Σε Α.Π το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της είναι 1030, και η διαφορά του τρίτου από τον δέκατο όρο είναι 35. Να βρεθούν οι 5 πρώτοι όροι της προόδου. 79. Να βρεθεί η διαφορά Α.Π. αν ο πρώτος όρος της είναι α, και το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι. 80. Σε Α.Π με 9 όρους, το άθροισμα των όρων περιττής τάξης είναι 70, και το άθροισμα των όρων άρτιας τάξης είναι 56. Να βρεθεί η πρόοδος. 81. α)να βρεθεί όλων των διψήφιων φυσικών αριθμών β)να βρεθεί το άθροισμα των διαδοχικών φυσικών περιττών αριθμών από τον 1 μέχρι και τον ν+1 γ)να δειχτεί ότι το άθροισμα των ν πρώτων περιττών αριθμών είναι ίσο με ν. 8. Θεωρούμε τους 0 πρώτους όρους μιας Α.Π. Αν είναι α+α4+ +α0=50 και α1+α3+α5+ α19=0,να βρεθούν οι όροι α10 και α Αν σε μία Α.Π. είναι α1+α+α3+α4+α5=30 και,να βρεθεί το Σ Να βρεθεί μία αριθμητική πρόοδος,όταν Σν=3ν,όπου ν είναι οποιοδήποτε πλήθος όρων της προόδου. 85. Σε μία αριθμητική πρόοδο θεωρούμε τους 101 πρώτους όρους.αν λ είναι ο μεσαίος όρος,να δειχτεί ότι το άθροισμα των όρων αυτών είναι 101λ. 86. Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί περιττοί αριθμοί,όταν το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άρτιων αριθμών,που περιέχονται μεταξύ των αριθμών αυτών,συν σαράντα οκτώ. 87. Ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι και ο πέμπτος όρος της είναι 7. Πόσους όρους πρέπει να πάρουμε ώστε το άθροισμα τους να είναι Σε μία Α.Π. ισχύει η συνεπαγωγή Σμ=Σν Σμ+ν=0 191

8 89. Σε μία Α.Π. δίνονται ω=,σν=65,ν=πολ.5 και ο όρος που κατέχει την 5 5 πρόοδος. είναι 1.Να βρεθεί η Ακολουθίες που αποδεικνύουμε ότι είναι αριθμητικές πρόοδοι 90. Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι αν=5ν-8.να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος,της οποίας να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά. 91. Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι αν=7-ν. i)να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος. ii)να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 6 όρων της (αν) 9. Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι αν=4ν-15. i)να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος. ii)να βρείτε το άθροισμα S Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι αν=3ν+1. i)να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος. ii)να βρείτε το άθροισμα S Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας ακολουθίας (αν) είναι S 4 για κάθε νν *. 95. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος της οποίας να βρείτε τον πρώτο όρο α1 και τη διαφορά ω Να βρεθεί ποια από τις επόμενες ακολουθίες είναι αριθμητικές πρόοδοι : i)( a ), 1 1 ii)( ) iii)( ), Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας είναι ν +3ν.Να βρεθεί ο ν-οστός όρος της ακολουθίας και να δειχτεί ότι η ακολουθία είναι Α.Π. Αριθμητική παρεμβολή 98. α)να παρεμβληθούν 7 αριθμητικοί μέσοι μεταξύ των αριθμών και 18 β)μεταξύ των αριθμών και 14 παρεμβάλουμε ν άλλους αριθμούς ώστε οι αριθμοί ν μαζί με τους και 14,να αποτελούν διαδοχικούς όρους Α.Π.,με διαφορά ω=.να βρεθεί ο ν 99. Ανάμεσα στους αριθμούς 9 και 34 να παρεμβάλλετε άλλους αριθμούς ώστε να προκύψουν 11 διαδοχικοί όροι Α.Π Μεταξύ των αριθμών 6 και 50 θέλουμε να βρούμε άλλους 10 αριθμούς, ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.να βρείτε τους αριθμούς αυτούς 19

9 101. Μεταξύ των αριθμών 5 και 49 παρεμβάλλονται ορισμένοι αριθμοί,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.επιπλέον ο τελευταίος αριθμός που παρεμβάλλεται είναι πενταπλάσιος από τον πρώτο αριθμό που παρεμβάλλεται.να βρείτε τους αριθμούς αυτούς. 10. Μεταξύ των αριθμών 1 και 60 παρεμβάλλουμε ορισμένους αριθμούς με άθροισμα 5,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.επιπλέον ο τελευταίος αριθμός που παρεμβάλλεται είναι πενταπλάσιος από τον πρώτο αριθμό που παρεμβάλλεται.να βρείτε τους αριθμούς αυτούς Δίνονται δύο αριθμοί λ και μ με άθροισμα 50.Μεταξύ των αριθμών λ και μ παρεμβάλλουμε 18 αριθμούς,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.να βρείτε το άθροισμα των αριθμών που παρεμβάλλονται Δίνονται οι αριθμοί,3 και 35.Μεταξύ των αριθμών και 3 παρεμβάλλονται διπλάσιοι όροι από αυτούς που παρεμβάλλονται μεταξύ του 3 και του 35,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.να βρείτε όλους τους παραπάνω αριθμούς Να βρεθεί πόσους αριθμητικούς ενδιάμεσους πρέπει να παρεμβάλλουμε μεταξύ των αριθμών 1 και 19, ώστε ο δεύτερος ενδιάμεσος να έχει προς τον τελευταίο ενδιάμεσο λόγο ίσο με Μεταξύ δύο αριθμών, οι οποίοι έχουν άθροισμα 36 5, παρεμβάλλονται αριθμητικοί μέσοι που το άθροισμά τους είναι 18. Να βρεθεί το πλήθος των αριθμητικών μέσων που παρεμβάλλονται Να βρεθεί πόσους αριθμητικούς ενδιάμεσους πρέπει να παρεμβάλλουμε μεταξύ των αριθμών -6 και 48, ώστε x7 x Να βρεθεί το άθροισμα των μ αριθμητικών μέσων που παρεμβάλλονται ανάμεσα στους αριθμούς 1 και. Προσδιορισμός διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου με γνωστό άθροισμα 109. Δίνονται πέντε διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου που έχουν άθροισμα 55,ενώ το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 695.Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικούς ακέραιους όρους αριθμητικής προόδου,που έχουν άθροισμα 0,ενώ το άθροισμα των αντιστρόφων τους είναι Τέσσερις διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου έχουν άθροισμα 44,ενώ το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 664. i) Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς ii) Ανάμεσα στον μικρότερο και τον μεγαλύτερο από αυτούς που βρήκατε,να παρεμβάλλεται πέντε αριθμούς,ώστε όλοι μαζί να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. 11. Τρείς ακέραιοι αριθμοί,που είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,έχουν άθροισμα 33 και γινόμενο 440. i) Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς ii) Ο μεγαλύτερος από τους παραπάνω αριθμούς είναι ο 10ος όρος και ο μικρότερος είναι ο 4 ος όρος 193

10 μιας αριθμητικής προόδου (αν).να βρείτε: α)τον πρώτο όρο και τη διαφορά της (αν) β)πόσοι πρώτοι όροι της (αν) έχουν άθροισμα 14 γ) το άθροισμα S a13 a14... a Να βρεθούν οι α1 και ω Α.Π. όταν : α)α3 + α7 =40 και α6 + α8 =56 β)α1+α+α3+α4+α5=40 και γ)α8 + α5 =1 3 3 και Να βρεθούν οι α1 και ω Α.Π. όταν : α)α1+α+α3=1 και α1αα3=315 β)θεωρούμε τους 1 πρώτους όρους με άθροισμα των τεσσάρων μεσαίων 74 και γινόμενο άκρων όρων 70 γ)σ0=1030 και α10-α3=35 δ)α1+α+α3=45 και Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που σχηματίζουν Α.Π. αν το γινόμενο των άκρων όρων είναι 45 και το γινόμενο των μέσων όρων είναι Να βρεθούν τρείς αριθμοί που σχηματίζουν Α.Π. αν το άθροισμά τους είναι 45 και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι Σε Α.Π. το άθροισμα των έξι πρώτων όρων είναι 48 και το άθροισμα των έξι επόμενων είναι 10. Να βρεθεί η πρόοδος Σε μια Α.Π. είναι S και η διαφορά του τρίτου από το δέκατο όρο είναι 35. Να βρεθεί η πρόοδος Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που σχηματίζουν Α.Π. αν το γινόμενο των άκρων όρων είναι 45 και το γινόμενο των μέσων όρων είναι Να βρεθούν τρεις αριθμοί που σχηματίζουν Α.Π. αν το άθροισμά τους είναι 45 και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι Σε Α.Π. το άθροισμα των έξι πρώτων όρων είναι 48 και το άθροισμα των έξι επόμενων είναι 10. Να βρεθεί η πρόοδος. 1. Σε Α.Π με 1 όρους, το άθροισμα των τεσσάρων μεσαίων όρων είναι 74, και το γινόμενο των άκρων είναι 70. Να βρεθεί η πρόοδος. 13. Σε Α.Π. με περιττό αριθμό όρων, το άθροισμα των όρων περιττής τάξης είναι 5, και το άθροισμα των όρων άρτιας τάξης είναι 39. Να βρεθεί η πρόοδος. 14. Να βρεθούν τρεις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 1 και το γινόμενό τους είναι Να βρεθούν τρεις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 45 και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι

11 16. Να βρεθούν πέντε αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 50 και το. άθροισμα των τετραγώνων τους είναι Να βρεθούν πέντε αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 30 και το. άθροισμα των κύβων τους είναι Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 8 και το. άθροισμα των τετραγώνων τους είναι Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το γινόμενο των άκρων όρων τους είναι 45 και το γινόμενο των μέσων όρων τους είναι Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 0 και το. άθροισμα των αντιστρόφων τους είναι Τα ψηφία ενός τετραψήφιου αριθμού είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Αν το τελευταίο ψηφίο είναι τετραπλάσιο του πρώτου, να βρεθεί ο αριθμός. 13. Τα ψηφία ενός τριψήφιου θετικού αριθμού είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Αν το άθροισμα τους ισούται με το γινόμενό τους, να βρεθεί ο αριθμός Οι άκροι όροι μιας Α.Π. είναι 5 και 0. Να βρεθούν δύο όροι που απέχουν εξίσου από τους άκρους, αν γνωρίζουμε ότι το γινόμενό τους είναι Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι ανάλογοι προς τους αριθμούς, 5, 7. Αν από τον β αφαιρέσουμε το 7 γίνονται διαδοχικοί όροι Α.Π. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. Προβλήματα 135. Ένα θέατρο έχει δύο σειρές καθισμάτων.η πρώτη σειρά έχει 10 καθίσματα και κάθε επόμενη έχει 3 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη της. i) Πόσα καθίσματα έχει η τελευταία σειρά; ii) Πόσα καθίσματα έχει όλο το θέατρο; iii) Σε μια παράσταση, τα εισιτήρια της 7ης σειράς διανεμήθηκαν δωρεάν και όλα τα υπόλοιπα πουλήθηκαν προς 30 το ένα. Πόσα χρήματα εισέπραξε το θέατρο από την παράσταση αυτή; 136. Διαθέτουμε 9999 όμοια αντικείμενα τα οποία θέλουμε να συσκευάσουμε σε δέματα έτσι,ώστε το πρώτο δέμα να περιέχει 3 αντικείμενα,το δεύτερο δέμα να περιέχει 5 αντικείμενα,το τρίτο δέμα να περιέχει 7 αντικείμενα και γενικά κάθε δέμα να περιέχει δύο αντικείμενα περισσότερα από το προηγούμενο του. i) Να βρείτε πόσα δέματα θα δημιουργηθούν ii) Αν η συσκευασία του πρώτου δέματος κοστίζει 100 λεπτά, του δεύτερου δέματος κοστίζει 10 λεπτά, του τρίτου δέματος κοστίζει 140 λεπτά και γενικά,αν η συσκευασία κάθε δέματος κοστίζει 0 λεπτά περισσότερο από το κόστος συσκευασίας του προηγούμενου δέματος,να βρείτε πόσο θα κοστίσει η συσκευασία του δέματος που περιέχει τα περισσότερα αντικείμενα. 195

12 137. Δύο ταχυδρόμοι αναχώρησαν συγχρόνως από δύο πόλεις Α και Β,που απέχουν 385 km και κινούνται πεζοί για να συναντηθούν.αυτός που αναχώρησε από την πόλη Α την πρώτη μέρα διάνυσε 5 km,τη δεύτερη 8km την τρίτη 11km κ.ο.κ. Αυτός που αναχώρησε από την πόλη Β διάνυσε την πρώτη μέρα 5km,την δεύτερη 3 km την τρίτη 1km κ.ο.κ. Μετά από πόσες μέρες θα συναντηθούν και σε ποια απόσταση από την πόλη Α; 138. Τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. i) Να βρείτε το λόγο της μικρότερης κάθετης προς τη μεγαλύτερη κάθετη πλευρά ii) Αν η υποτείνουσα είναι κατά 10 μεγαλύτερη από τη μικρότερη πλευρά, να βρείτε τα μήκη των τριών πλευρών του τριγώνου 139. Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 00 παιδιά,τα οποία χωρίστηκαν σε ομάδες ως εξής :Η πρώτη ομάδα έχει δύο παιδιά και κάθε άλλη ομάδα έχει 4 παιδιά περισσότερα από την προηγούμενη. Να βρείτε : i) πόσες ομάδες δημιουργήθηκαν; ii) πόσα παιδιά έχει η τελευταία ομάδα; iii) ποια ομάδα έχει παιδιά iv) πόσα παιδιά υπάρχουν στις 7 πρώτες ομάδες; 140. Σε μια έκθεση ζωγραφικής υπάρχουν 15 πίνακες τοποθετημένοι στη σειρά ως εξής : Ο πρώτος πίνακας αξίζει και κάθε άλλος πίνακας είναι κατά ω ακριβότερος από τον προηγούμενο του. Αν ο 10ος πίνακας έχει διπλάσια αξία από τον 3ο πίνακα,να βρείτε : i) τον αριθμό ω ii) την αξία του ακριβότερου πίνακα iii) την αξία του μεσαίου πίνακα, iv) ποιος πίνακας κοστίζει v) Πόσο αξίζουν όλοι οι πίνακες της έκθεσης; 141. Μια ομάδα ακροβατών θέλησε να γραφτεί στο βιβλίο Γκίνες,κάνοντας ρεκόρ στον σχηματισμό της υψηλότερης ανθρώπινης πυραμίδας.μπήκαν λοιπόν σε σειρές ως εξής :Στην κορυφή ένα άτομο,στην επόμενη σειρά δύο, στην αμέσως πιο κάτω σειρά τρείς κ.λπ. Έτσι κατάφεραν 45 ακροβάτες να κάνουν το ρεκόρ. i) να βρείτε πόσες σειρές είχε η πυραμίδα που σχημάτισαν. ii) Να βρείτε πόσους ακροβάτες είχε η σειρά που βρισκόταν στη βάση της πυραμίδας. iii) Έναν μήνα αργότερα μια άλλη ομάδα ακροβατών ξαναέσπασε το ρεκόρ σχηματίζοντας με όμοιο τρόπο μια πυραμίδα υψηλότερη κατά 3 σειρές.πόσοι ήταν συνολικά οι ακροβάτες αυτοί; 14. Ένα αμφιθέατρο έχει 16 σειρές καθισμάτων. Στην πρώτη σειρά υπάρχουν ορισμένα καθίσματα και σε κάθε άλλη υπάρχουν 4 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη.η 9η σειρά έχει τόσα καθίσματα περισσότερα από την 4η σειρά,όσα είναι τα καθίσματα της 1ης σειράς. i) Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει η πρώτη σειρά και πόσα η τελευταία. ii) Να βρείτε πόσα καθίσματα υπάρχουν συνολικά στο αμφιθέατρο iii) Αν στην πρώτη σειρά κάθονται 3 άτομα και σε κάθε άλλη σειρά κάθονται 5 άτομα περισσότερα από όσα κάθονται στην προηγούμενη, να βρείτε : α)πόσα άτομα κάθονται στην τελευταία σειρά, β)πόσα καθίσματα είναι άδεια στην 8 η σειρά γ) πόσα καθίσματα είναι άδεια σε ολόκληρο το αμφιθέατρο Σε μια εταιρεία Α ένας υπάλληλος τον πρώτο χρόνο που προσλαμβάνεται θα έχει ετήσιο μισθό ,ο οποίος θα αυξάνεται κατά 50 κάθε χρόνο.σε μια εταιρεία Β ένας υπάλληλος τον πρώτο χρόνο που προσλαμβάνεται θα έχει ετήσιο μισθό 1000,ο οποίος θα αυξάνεται κατά 500 κάθε χρόνο. 196

13 Να βρείτε : i) τον ετήσιο μισθό ενός υπαλλήλου της εταιρείας Α τον 13 ο χρόνο υπηρεσίας του, ii) τα συνολικά χρήματα που έχει πάρει ένας υπάλληλος της εταιρείας Β στα 8 πρώτα χρόνια της υπηρεσίας του, iii) σε πόσα χρόνια ένας υπάλληλος της εταιρείας Α θα έχει ετήσιο μισθό 0000 iv) σε πόσα χρόνια ένας υπάλληλος της εταιρείας Α και ένας υπάλληλος της εταιρείας Β που προσλήφθηκαν ταυτόχρονα,θα έχουν τον ίδιο ετήσιο μισθό Η τιμή αγοράς ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή είναι μεγαλύτερη από 60 και μικρότερη από 640. Κατά την αγορά συμφωνήθηκαν τα εξής: Να δοθεί προκαταβολή 10. Η εξόφληση του υπόλοιπου ποσού να γίνει σε δέκα μηνιαίες δόσεις Κάθε δόση να είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη κατά ω όπου ω θετικός ακέραιος Η τέταρτη δόση είναι 48. α)να εκφράσετε το ποσό της πρώτης δόσης ως συνάρτηση του ω β)να εκφράσετε την τιμή αγοράς σαν συνάρτηση του ω γ)να βρείτε την τιμή του ω δ)να βρείτε το ποσό της τελευταίας δόσης. ε)να βρείτε την τιμή αγοράς του ηλεκτρονικού υπολογιστή Αν οι πλευρές α,β,γ ενός τριγώνου και η ημιπερίμετρος τ είναι διαδοχικοί όροι μιας Α.Π.,να δειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Γ (η σειρά είναι τ,γ,β,α) Ένα ταχυδρομικό γραφείο μιας γειτονιάς διανέμει καθημερινά για 4 μέρες 4 επιστολές παραπάνω από την προηγούμενη.τις πρώτες 4 μέρες διανέμει συνολικά όσες τις υπόλοιπες 18 μέρες.πόσες επιστολές διανέμει συνολικά τις 4 μέρες; 147. Ο πωλητής μιας εταιρείας συμφώνησε με τον ιδιοκτήτη της τα εξής.για πωλήσεις αξίας ενός εκατομμυρίου η προμήθεια του θα είναι Για πωλήσεις αξίας δύο εκατομμυρίων η προμήθεια του θα είναι ,για πωλήσεις αξίας τριών εκατομμυρίων η προμήθεια του θα είναι κ.ο.κ. i) Να βρεθεί η προμήθεια του πωλητή για πωλήσεις ii) Αν η προμήθεια του πωλητή είναι τότε να βρεθεί η αξία σε εκατομμύρια των πωλήσεων που έκανε ο πωλητής Ένας κηπουρός πρέπει να ποτίσει μία σειρά από 100 λεύκες.κάθε λεύκα απέχει από την προηγούμενη 5m.Η βρύση απέχει από την 1η λεύκα 10m.Ονομάζουμε dν την απόσταση πήγαινε έλα ανάμεσα στην βρύση και τη νιοστή λεύκα α)υπολογίστε τις αποστάσεις d1,d,d3 β)εκφράστε το dν+1 συναρτήσει του dν γ) Να δείξετε ότι η ακολουθία (dν) είναι Α.Π. δ)βρείτε τον πρώτο όρο d1και τη διαφορά ω της προόδου ε) Πόσα μέτρα θα διανύσει ο κηπουρός ποτίζοντας όλες τις λεύκες; 197

14 149. Πάνω σε μία σκακιέρα με 64 τετραγωνίδια,βάζουμε 1 κόκκο ρυζιού πάνω στο πρώτο τετραγωνίδιο,έπειτα 4 στο ο,7 στο 3ο,10 στο 4ο κ.λπ..πόσους κόκκους ρυζιού θα τοποθετήσουμε πάνω στη σκακιέρα; 150. Ένας υπάλληλος προτείνει δύο τρόπους αμοιβής στον εργοδότη του η 75000δρχ. κάθε μήνα και μία αύξηση 3850 δρχ. το μήνα η δρχ. κάθε μήνα και μία αύξηση 5000 δρχ. το μήνα α)ποιο τρόπο θα διαλέξει αν θέλει να κρατήσει τον υπάλληλο για ένα χρόνο; β) Ποιο τρόπο θα διαλέξει αν θέλει να κρατήσει τον υπάλληλο για : i) για 5 χρόνια ii) για περισσότερα από 5 χρόνια 151. Συναντώντας κάποιος ένα ζητιάνο του δίνει ένα νόμισμα,έπειτα συναντά ένα δεύτερο ζητιάνο και του δίνει δύο νομίσματα.συναντά κι άλλους ζητιάνους και τους δίνει ένα νόμισμα παραπάνω από τον προηγούμενο κάθε φορά μέχρι που του τελειώνουν τα νομίσματα.σκέφτεται τότε και λέει Αν είχα δώσει τόσα νομίσματα στον καθένα θα ήταν πιο δίκαιο και ο κάθε ζητιάνος θα είχε 8 νομίσματα.πόσους ζητιάνους συνάντησε; 15. Ένας αγρότης υπολόγισε ότι το καλαμπόκι που είχε αρκούσε να θρέψει τις 75 κότες για μια ορισμένη περίοδο. Δυστυχώς μια αλεπού του έτρωγε μία κότα κάθε νύχτα και έτσι το καλαμπόκι του θα αρκούσε για μια περίοδο κατά 50% μεγαλύτερη απ ότι είχε υπολογίσει.αν η αλεπού δεν είχε φάει τις κότες πόσες μέρες θα είχε διαρκέσει η τροφή; 153. Σ έναν ουρανοξύστη 17 ορόφων,τα γραφεία του ίδιου ορόφου έχουν το ίδιο ενοίκιο.κάθε γραφείο του πρώτου ορόφου ενοικιάζεται 550 το μήνα. Κάθε γραφείο ενός ορόφου ενοικιάζεται 35 το μήνα ακριβότερα από ένα γραφείο του προηγούμενου ορόφου. i) Ποιο είναι το μηνιαίο ενοίκιο ενός γραφείου του πέμπτου ορόφου; ii) Πόσο ακριβότερο είναι ένα γραφείο του 15ου ορόφου από ένα του 7ου ορόφου; iii) Σε ποιους ορόφους το ενοίκιο ξεπερνά τις 1000 το μήνα; iv) Αν το πλήθος των γραφείων ενός ορόφου είναι μικρότερο κατά από το πλήθος των γραφείων του αμέσως προηγούμενου ορόφου και ο 17ος όροφος έχει 1 γραφεία,να βρείτε : α)πόσα γραφεία έχει ο πρώτος όροφος. β) πόσα γραφεία έχει συνολικά ο ουρανοξύστης. γ) πόσο θα κοστίσει τον μήνα σε έναν επιχειρηματία να νοικιάσει όλα τα γραφεία που βρίσκονται στον μεσαίο όροφο του ουρανοξύστη Ένα κολιέ αξίας αποτελείται από 33 διαμάντια.το μεσαίο διαμάντι είναι και το ακριβότερο.τα υπόλοιπα διαμάντια είναι τοποθετημένα κατά σειρά αξίας,ώστε κάθε διαμάντι,μέχρι το μεσαίο,να αξίζει 100 λιγότερο από το επόμενο του και στη συνέχεια,από το μεσαίο και πέρα,κάθε διαμάντι αξίζει 150 λιγότερο από το προηγούμενο του. i) Να βρείτε πόσα ακριβότερο είναι το μεσαίο διαμάντι από: α) το πρώτο διαμάντι β)από το τελευταίο διαμάντι ii) Να βρείτε την αξία του μεσαίου διαμαντιού Κατά τη διάρκεια έργων συντήρησης της εθνικής οδού,είχαν τοποθετηθεί κατά μήκος του δρόμου φωτεινοί σηματοδότες ανά 10m.Μόλις τελείωσαν τα έργα,ένας εργάτης που βρισκόταν στον πρώτο σηματοδότη πήρε εντολή να μεταφέρει όλους τους σηματοδότες δίπλα στον τελευταίο.ο εργάτης μπορούσε να μεταφέρει μόνο έναν σηματοδότη κάθε φορά και όταν τελείωσε τη μεταφορά είχε διανύσει συνολικά 1,44km. i) Πόσες φορές έκανε ο εργάτης τη διαδρομή ανάμεσα: 198

15 α) στον πρώτο και στον τελευταίο σηματοδότη; β)στον δεύτερο και στον τελευταίο σηματοδότη ii) Να βρείτε πόσοι ήταν όλοι οι σηματοδότες Διαθέτουμε 9999 όμοια αντικείμενα,τα οποία θέλουμε να συσκευάσουμε σε δέματα έτσι ώστε το πρώτο δέμα να περιέχει 3 αντικείμενα,το δεύτερο δέμα να περιέχει 5 αντικείμενα,το τρίτο δέμα να περιέχει 7 αντικείμενα και γενικά κάθε δέμα να περιέχει δύο αντικείμενα από το προηγούμενο του i) Να βρεθεί πόσα δέματα θα δημιουργηθούν. ii) Αν η συσκευασία του πρώτου δέματος κοστίζει 10, του δεύτερου 1, του τρίτου 14, και γενικά αν η συσκευασία κάθε δέματος κοστίζει δραχμές περισσότερο από το κόστος της συσκευασίας του προηγούμενου,να βρεθεί πόσο θα κοστίσει η συσκευασία του δέματος που περιέχει τα περισσότερα αντικείμενα Στους δίσκους Α και Β μιας ζυγαριάς υπάρχουν βάρη 40 και 0 γραμμαρίων αντίστοιχα.στον δίσκο Α τοποθετούμε διαδοχικά βάρη των 0 γραμμαρίων το καθένα.στον δίσκο Β τοποθετούμε τριπλάσιο βάρος του αρχικού και συνεχίζουμε προσθέτοντας βάρη,καθένα από τα οποία είναι τριπλάσιο του βάρους που είχε τοποθετηθεί στην αμέσως προηγούμενη φορά. i) Αν το συνολικό βάρος στον δίσκο Β είναι 40 γραμμάρια, να βρεθεί πόσες φορές χρειάστηκε να τοποθετήσουμε βάρη στον δίσκο αυτό. ii) Πόσα βάρη των 0 γραμμαρίων πρέπει να τοποθετήσουμε στον δίσκο Α, ώστε να ισορροπήσει η ζυγαριά; 158. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της είναι 40,ενώ το άθροισμα των 15 πρώτων όρων της είναι 135.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά ω της προόδου ii) την τιμή της παράστασης: iii) το άθροισμα: S a10 a11... a Δίνεται η ακολουθία με γενικό όρο : 11. i) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος και έχει πρώτο όρο 1 9 και διαφορά ω= ii) Να βρείτε το άθροισμα: S a1 a13... a1,όπου a1, a13,..., a 1 είναι διαδοχικοί όροι της προόδου (αν). iii) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης: x x1 είναι διαδοχικοί όροι της προηγούμενης προόδου (αν) Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) με ακέραιους όρους και διαφορά ω=1.για τους πρώτους ν όρους της προόδου ισχύει S και 1 1.Να βρείτε : i) τον αριθμό ν και τον πρώτο όρο της προόδου 4 ii) τον όρο ακ για τον οποίο ισχύει ; Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) της οποίας ο 13ος όρος είναι -3 και το άθροισμα των πρώτων 8 όρων της είναι 84. i) Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της αριθμητικής προόδου (αν) 4 ii) Να λύσετε την εξίσωση x a x a

16 3 x a1 iii) Να λύσετε την ανίσωση : x 5x S Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) με 1 για την οποία ισχύουν 9 13,α6=Ρ(Α-Β), α8=ρ(α) και α11=ρ(αβ),όπου Α και Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. 1 i) Να αποδείξετε ότι ii) Να βρείτε ποιος όρος της (αν) ισούται με ( ) iii) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 16 όρων της (αν) iv) Να βρείτε την πιθανότητα: α) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β β) να πραγματοποιηθεί το Β γ) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β. 00

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + 3 β) α = + ( 1) ν ν γ) α ν = 1 1 1 1 + + + L + 1 3 34 ν ν + 1 δ) α1 = 0, αν+ 1 = 3α + 1 ν ( ). ** Να

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα. Να συμπληρώσετε την δεύτερη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (141) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τηλ. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 Tel. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 5 Αν a = 4 και b = 5 +, να υπολογίσετε την τιμή παράστασης: 5 A = a: b b. 5a ΘΕΜΑ ο Έστω α θετικός

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΟ Για να λύσουµε ένα πρόβληµα, αφού το διαβάσουµε καλά, εντοπίζουµε τον άγνωστο και τον συµβολίζουµε µε µία µεταβλητή. Με βάση τα δεδοµένα του προβλήµατος καταστρώνουµε την

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασκήσεις εμπέδωσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) + = + 4-9 = + 7 6- = 9- iv) 4- = - v) ( + 4)-(-) = + vi) 4 - (7 + ) = v (+)-4 = ( + ) v 7[(y-)-(y-4)] = 8 i) - {4-[-(-) + ]} = 4 -

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières αγκουρό Ελλάς Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα:... e-mail:... ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό έντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:... Θέµατα αγκουρό 007 Επίπεδο: 4 (για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ακολουθίας. Πίνακας τιµών µεταβλητών Χ Α Β α 5 20 8 10 23 15 15 23 8 β 3 18 4 8 17 13 13 17 4 γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ακολουθίας. Πίνακας τιµών µεταβλητών Χ Α Β α 5 20 8 10 23 15 15 23 8 β 3 18 4 8 17 13 13 17 4 γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ακολουθίας Η δοµή Ακολουθίας είναι η πιο απλή δοµή του δοµηµένου προγραµµατισµού. Η κάθε εντολή ακολουθεί κάποια άλλη. Οι εντολές εκτελούνται ακριβώς µε τη σειρά όπως θα δοθούν στον αλγόριθµο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΏΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ της Α Λυκείου δίνοντας τους τις εκφωνήσεις μαζί με τις λύσεις (ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 20/12/08 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις Β κοινού κορμού 2011-2012. 1. Να βρείτε το χ ώστε οι αριθμοί χ+14, 2χ+2, -4 να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.

Επαναληπτικές ασκήσεις Β κοινού κορμού 2011-2012. 1. Να βρείτε το χ ώστε οι αριθμοί χ+14, 2χ+2, -4 να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. Επαναληπτικές ασκήσεις Β κοινού κορμού 2011-2012 Πρόοδοι 1. Να βρείτε το χ ώστε οι αριθμοί χ+14, 2χ+2, -4 να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. 2. Να σχηματίσετε την Α.Π. που έχει α 8 =30 και α 12 =46 3. Σε Α.Π.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΟ Για τη λύση του προβλήµατος : ιαβάζουµε µε µεγάλη προσοχή το πρόβληµα Ξεχωρίζουµε τα δεδοµένα από τα ζητούµενα Συµβολίζουµε τον άγνωστο µε µία µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 40) α) Ο αριθμός 1.047 έχει διαιρέτη το 3; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να βάλετε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 1. Ο Άρης έφαγε 5 μιας σοκολάτας και ο Φίλιππος έφαγε 1 10 σοκολάτας περισσότερο από τον Άρη. Τι μέρος της σοκολάτας έμεινε;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πεδίο ορισμού. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ( ) 5 6 ii) f ( ) 7 iii) iv) f( ) 4 f( ) 8 v) f ( ) 6 vi) f ( ) 0 5. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα