ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ. 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-2,-7,-12,

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ. 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-2,-7,-12,"

Transcript

1 Ν-οστός όρος ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-,-7,-1,. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α1= και ω=3.να βρείτε : i) τον 10ο όρο της προόδου ii)ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α1=-15 και α7 =9.Να βρείτε : i) τη διαφορά ω της προόδου, ii)τον 11ο όρο της προόδου ii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με διαφορά ω=- είναι α8=-3.να βρείτε : i) τον πρώτο όρο της προόδου, ii) τον 19ο όρο της προόδου iii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α5=11 και α9 =31.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά ω της προόδου, ii)τον 14ο όρο της προόδου ii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α1=-1,ο ένατος και ο εικοστός όρος έχουν άθροισμα 30. Να βρείτε : i) τη διαφορά ω της προόδου, ii) τον 30ο όρο της προόδου ii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με διαφορά ω=3,o όρος α13 είναι διπλάσιος από τον όρο α6.να βρείτε : i) τον πρώτο όρο της προόδου, ii) τον 9ο όρο της προόδου iii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : 7 11 και Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) τον 41ο όρο της προόδου iii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) ισχύει : 4 43 και 8 7.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) πόσους θετικούς όρους έχει η (αν) 10. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : και Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) τον όρο αν για τον οποίο ισχύει 185

2 11. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : και,με κ μ,να αποδείξετε ότι: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) τον όρο αν για τον οποίο ισχύει 1. Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν).για τους θετικούς ακέραιους κ, λ,μ, να αποδείξετε : i) a, με μ>λ ii) ( ) ( ) ( ) 0 ισχύει: 4 43 και 8 7.Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) πόσους θετικούς όρους έχει η (αν) 13. Ο τέταρτος όρος μιας Α.Π. είναι 15 και ο 15ος όρος της είναι 59. Να βρεθεί η πρόοδος. 14. Ο τέταρτος όρος μιας Α.Π. είναι 15 και ο 11ος όρος της είναι 43. Να βρεθεί η πρόοδος. 15. Σε Α.Π. δίνονται α1=58,ω=-3 και S 578. Να βρεθούν οι όροι της προόδου και ο ν-οστός όρος. 16. Να βρεθεί ο πρώτος όρος και η διαφορά Α.Π., αν το άθροισμα του 3ου και του 7ου όρου είναι 40, το δε άθροισμα του 6ου και του 8ου όρου είναι Σε Α.Π. ο ος και ο 8ος διαφέρουν κατά 4, ενώ το άθροισμα του 4ου και του 1ου όρου είναι 70. Να βρεθεί η πρόοδος αν α) είναι αύξουσα, β) φθίνουσα. Στη συνέχεια να υπολογιστεί το άθροισμα των όρων που βρίσκονται ανάμεσα στον 8 και στον 5 όρο. 18. Σε μια αύξουσα Α.Π. το άθροισμα του 3ου και του 7ου όρου είναι 18 και το άθροισμα των κύβων τους είναι 3. Να βρεθεί η πρόοδος. 19. Να βρεθεί Α.Π. αν γνωρίζουμε ότι ο πρώτος όρος είναι, το πλήθος των όρων ισούται με τον δεύτερο όρο, και ο τελευταίος όρος της είναι διψήφιος με ψηφίο των δεκάδων τη διαφορά της Α.Π. και το ψηφίο των μονάδων της είναι ο πρώτος όρος. 0. α)να βρεθεί η διαφορά ω της Α.Π. με α1 =,α0=0 β)να βρεθούν ο 5ος όρος και ο 40ος όρος μιας αριθμητικής προόδου με α1 = 8 και ω=7 γ)να βρεθεί ο α1 όρος μιας αριθμητικής προόδου,όταν α15=51,ω=4 δ)να βρεθεί Α.Π. όταν α4 = 15 και α11=43 1. Να βρεθεί Α.Π. αν α1 και ω είναι ρίζες της εξίσωσης x -5x+6=0.. Αν α, β,γ είναι όροι μιας αριθμητικής προόδου,τάξεων ν,ρ και κ αντίστοιχα και α1 είναι ο πρώτος όρος της προόδου,να δειχτεί ότι : Αριθμητικός μέσος-διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου 3. Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο των αριθμών: i) 3 και 3 ii) -5 και 37 iii)-31 και -3 iv)-1 και 7 v)-11 και

3 4. Να βρεθεί για ποια τιμή του xr,ο αριθμός 15 είναι ο αριθμητικός μέσος των αριθμών x+1 και 7x+. 5. Να βρεθεί για ποια τιμή του xr,οι αριθμοί x+5,3x-5,x+6 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 6. Δίνονται δύο αριθμοί που ο ένας είναι διπλάσιος του άλλου και έχουν αριθμητικό μέσο τον 16.Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς. 7. Δίνεται μία αριθμητική πρόοδος (αν).να αποδείξετε ότι οι αριθμοί : 4 5, 7 9, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 8. Να αποδείξετε ότι για κάθε α,βr,οι αριθμοί 3,( ), 5 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 9. Αν οι αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και για τους αριθμούς,,. 30. Αν οι αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και για τους αριθμούς ( ),( ),( ). 31. Αν οι αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και για τους αριθμούς,,. 3. Οι αριθμοί 1, 1, 1 (όπου α,β,γ 0) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.να αποδείξετε ότι και οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 33. Δίνονται οι θετικοί αριθμοί α, β,γ ώστε οι αριθμοί,, να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.να αποδείξετε ότι και οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 34. Αν οι θετικοί αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι και οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 35. α)να βρεθεί ο αριθμός x,ώστε τα τετράγωνα των αριθμών x+1,x+3 και x+9 να αποτελούν διαδοχικούς όρους Α.Π. β)να βρεθεί ο αριθμός κ ώστε οι αριθμοί α=3κ -κ+1,β=κ +5κ-4 και γ=4κ -3κ+9,να αποτελούν διαδοχικούς όρους Α.Π. 36. Τα ψηφία ενός τετραψήφιου αριθμού είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. Αν το τελευταίο ψηφίο είναι τετραπλάσιο του πρώτου,να βρεθεί ο αριθμός 37. Αν οι αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. να δειχτεί ότι: α)οι αριθμοί β +γ,γ +α,α +β είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. β)οι αριθμοί β +γ-α,γ +α-β,α +β-γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. 187

4 γ)οι αριθμοί (β +γ) -α,(γ +α) -β,(α +β) -γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. 38. Αν οι αριθμοί α, β,γ,δ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. να δειχτεί ότι: α) β) α +δ = β +γ γ) ( ) 39. Να βρεθεί για ποιες τιμές των x,y οι αριθμοί Α.Π. Ποια είναι η διαφορά ω της προόδου ; 1 1 y x xy, y, ( xy 0) είναι διαδοχικοί όροι μιας xy y x y 40. Οι ρίζες ρ1,ρ της εξίσωσης x x 0 και οι ρίζες x1,x της εξίσωσης x (5 4) x 0 κατά την σειρά ρ1,ρ,x1,x αποτελούν διαδοχικού όρους Α.Π.. Να υπολογιστούν οι λ,μ Να αποδείξετε ότι αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., τότε το ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς,,. 4. Να αποδείξετε ότι αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., τότε το ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς α,β,γ με Να προσδιοριστεί ο x έτσι ώστε οι αριθμοί 3x 7, x, 1 x να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Ποιοι είναι οι αριθμοί αυτοί; 44. Να προσδιοριστεί ο x έτσι ώστε οι αριθμοί 3x x 1, x 5x 4, 4x 3x 9 να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Ποιοι είναι οι αριθμοί αυτοί; Άθροισμα ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου 45. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α1=-14 και ω = 3.Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων της προόδου. 46. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων καθεμίας από τις επόμενες αριθμητικές προόδους: i)3,5,7, ii)-8,-3,, iii),-1,-4, iv)-,-6, Υπολογίσετε τα αθροίσματα: i) ii) iii) iv) Να βρεθεί το άθροισμα S α)αν σε μία Α.Π. είναι Σ11=517,ν=11 να βρεθούν οι α1 και ω β) Αν σε μία Α.Π. είναι α1=58,ω=-3,σν=578,να βρεθούν οι ν,αν γ)αν σε μία Α.Π. είναι α1=3,ω=- και αν = 5 να βρεθούν οι Σν και ν. 50. Να βρεθεί το πλήθος των όρων που εξετάζουμε σε μία Α.Π., όταν : α)α1=5,ω=4 και Σν=10877 β)σν-1=100,α1=5,ω= 188

5 51. Να βρεθεί το άθροισμα: i) των άρτιων αριθμών μεταξύ 1 και 153, ii) των περιττών αριθμών μεταξύ 10 και 170, iii) των πολλαπλασίων του 3 μεταξύ 40 και 00, iv) των πολλαπλασίων του 5 μεταξύ 31 και Να βρεθεί το άθροισμα: i) των πρώτων 50 θετικών πολλαπλασίων του 3, ii) των πρώτων 40 θετικών πολλαπλασίων του Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),είναι α1= και α15 =58.Να βρείτε : i) το άθροισμα των 15 πρώτων όρων της ii) το άθροισμα των 30 πρώτων όρων της iii) Πόσοι πρώτοι όροι της αριθμητικής προόδου (αν) έχουν άθροισμα Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),ο 16ος όρος είναι 50,ενώ το άθροισμα του 6 ου και του 11ου όρου είναι 40.Να βρείτε : i) το άθροισμα των 16 πρώτων όρων της ii) το άθροισμα των 31 πρώτων όρων της iii)πόσοι πρώτοι όροι της αριθμητικής προόδου (αν) έχουν άθροισμα Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με α1=,το άθροισμα των πρώτων 10 όρων είναι 00..Να βρείτε : i) τη διαφορά της προόδου, ii) τον 18ο όρο της iii)το άθροισμα των 5 πρώτων όρων της. 56. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),ο 4ος όρος είναι 10,ενώ το άθροισμα των πρώτων 1 όρων είναι 10.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου ii) ποιος όρος ισούται με 118 iii) το άθροισμα των 40 πρώτων όρων της. 57. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με α1=45,ισχύει ότι Να βρείτε : i) τη διαφορά ω της προόδου, ii) το άθροισμα των θετικών όρων της (αν) 58. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με διαφορά ω=4,ισχύει ότι Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο της α1, ii) το άθροισμα των αρνητικών όρων της (αν) 59. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),ο 8ος όρος είναι 30,ενώ το άθροισμα των πρώτων 5 όρων είναι 50.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου ii) το άθροισμα των όρων της (αν) που είναι μεγαλύτεροι του 40 και μικρότεροι του Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),το άθροισμα του 3ου και του 9ου όρου είναι 4.Να βρείτε : i) τον έκτο όρο της προόδου ii) το άθροισμα των 11 πρώτων όρων της 61. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),με διαφορά ω για την οποία ισχύει :

6 i) Να αποδείξετε ότι ω=α1 S0 ii) Να υπολογίσετε τον λόγο S Αν σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),ισχύει S300 να υπολογίσετε τον λόγο S Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),είναι α6=8 και α11 =3.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου ii) πόσοι πρώτοι όροι της αριθμητικής προόδου (αν) έχουν άθροισμα 14 iii)το άθροισμα S a15 a16... a5 iv)το άθροισμα S1 a1 a3... a Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),με διαφορά ω=3,ισχύει : αν=3 και Sν =100.Να βρείτε : i) τον αριθμό ν και τον πρώτο όρο της προόδου ii)το άθροισμα S a1 a13... a iii)το άθροισμα S1 a a4... a3 65. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),o 1ος όρος είναι κατά 30 μεγαλύτερος από τον 11ο όρο,ενώ το άθροισμα των πρώτων 4 όρων είναι 300.Να βρείτε : i) τη διαφορά και τον πρώτο όρο της προόδου ii)το γινόμενο Να λύσετε την εξίσωση : x Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),με 011 όρους,ισχύει S Να βρείτε : i) τον μεσαίο όρο της προόδου ii)το άθροισμα S a1 a1001 a1011 a i)δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν),και έστω S, S, S3 τα αθροίσματα των πρώτων ν,ν,3ν όρων αντίστοιχα.να αποδείξετε ότι : S3 3( S S ) ii) Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : Να βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της 69. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο ισχύει Sκ=μ και Sμ=κ,να αποδείξετε ότι: S ( ) 70. Δίνεται αριθμητική πρόοδο (αν),για την οποία ισχύουν : a a... a a 1 a 3 5 a i) Να βρείτε τη διαφορά ω και τον πρώτο όρο α1 της προόδου ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα S a1 a a Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : S 4S για κάθε ν Ν * i) Να αποδείξετε ότι ω=α1 ii) Αν επιπλέον ο έβδομος όρος της (αν) είναι 39,τότε α) να βρείτε τη διαφορά ω και τον πρώτο όρο α1 της προόδου 190

7 β) να βρείτε πόσοι πρώτοι όροι της (αν) έχουν άθροισμα 300 και στη συνέχει να υπολογίσετε τα αθροίσματα S0 και S40, γ) να υπολογίσετε το άθροισμα : S a a a4 7. Να βρεθεί το άθροισμα όλων των πολλαπλασίων του 3, τα οποία περιέχονται μεταξύ των αριθμών 100 και Να βρεθεί το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών από το 1 μέχρι το ν Να βρεθεί το άθροισμα των ν πρώτων περιττών αριθμών, συναρτήσει των αριθμών αυτών. 75. Να βρεθεί το άθροισμα όλων των 100 πρώτων ακεραίων, οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του Το άθροισμα των 10 πρώτων όρων Α.Π. είναι 110, και το άθροισμα των 10 επόμενων όρων είναι 310. Να βρεθεί η πρόοδος. 77. Το άθροισμα των 10 πρώτων όρων Α.Π είναι τετραπλάσιο του αθροίσματος των 5 πρώτων όρων της, και ο πρώτος όρος της είναι 1. Μα βρεθεί η πρόοδος. 78. Σε Α.Π το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της είναι 1030, και η διαφορά του τρίτου από τον δέκατο όρο είναι 35. Να βρεθούν οι 5 πρώτοι όροι της προόδου. 79. Να βρεθεί η διαφορά Α.Π. αν ο πρώτος όρος της είναι α, και το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι. 80. Σε Α.Π με 9 όρους, το άθροισμα των όρων περιττής τάξης είναι 70, και το άθροισμα των όρων άρτιας τάξης είναι 56. Να βρεθεί η πρόοδος. 81. α)να βρεθεί όλων των διψήφιων φυσικών αριθμών β)να βρεθεί το άθροισμα των διαδοχικών φυσικών περιττών αριθμών από τον 1 μέχρι και τον ν+1 γ)να δειχτεί ότι το άθροισμα των ν πρώτων περιττών αριθμών είναι ίσο με ν. 8. Θεωρούμε τους 0 πρώτους όρους μιας Α.Π. Αν είναι α+α4+ +α0=50 και α1+α3+α5+ α19=0,να βρεθούν οι όροι α10 και α Αν σε μία Α.Π. είναι α1+α+α3+α4+α5=30 και,να βρεθεί το Σ Να βρεθεί μία αριθμητική πρόοδος,όταν Σν=3ν,όπου ν είναι οποιοδήποτε πλήθος όρων της προόδου. 85. Σε μία αριθμητική πρόοδο θεωρούμε τους 101 πρώτους όρους.αν λ είναι ο μεσαίος όρος,να δειχτεί ότι το άθροισμα των όρων αυτών είναι 101λ. 86. Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί περιττοί αριθμοί,όταν το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άρτιων αριθμών,που περιέχονται μεταξύ των αριθμών αυτών,συν σαράντα οκτώ. 87. Ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι και ο πέμπτος όρος της είναι 7. Πόσους όρους πρέπει να πάρουμε ώστε το άθροισμα τους να είναι Σε μία Α.Π. ισχύει η συνεπαγωγή Σμ=Σν Σμ+ν=0 191

8 89. Σε μία Α.Π. δίνονται ω=,σν=65,ν=πολ.5 και ο όρος που κατέχει την 5 5 πρόοδος. είναι 1.Να βρεθεί η Ακολουθίες που αποδεικνύουμε ότι είναι αριθμητικές πρόοδοι 90. Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι αν=5ν-8.να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος,της οποίας να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά. 91. Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι αν=7-ν. i)να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος. ii)να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 6 όρων της (αν) 9. Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι αν=4ν-15. i)να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος. ii)να βρείτε το άθροισμα S Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι αν=3ν+1. i)να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος. ii)να βρείτε το άθροισμα S Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας ακολουθίας (αν) είναι S 4 για κάθε νν *. 95. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος της οποίας να βρείτε τον πρώτο όρο α1 και τη διαφορά ω Να βρεθεί ποια από τις επόμενες ακολουθίες είναι αριθμητικές πρόοδοι : i)( a ), 1 1 ii)( ) iii)( ), Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας είναι ν +3ν.Να βρεθεί ο ν-οστός όρος της ακολουθίας και να δειχτεί ότι η ακολουθία είναι Α.Π. Αριθμητική παρεμβολή 98. α)να παρεμβληθούν 7 αριθμητικοί μέσοι μεταξύ των αριθμών και 18 β)μεταξύ των αριθμών και 14 παρεμβάλουμε ν άλλους αριθμούς ώστε οι αριθμοί ν μαζί με τους και 14,να αποτελούν διαδοχικούς όρους Α.Π.,με διαφορά ω=.να βρεθεί ο ν 99. Ανάμεσα στους αριθμούς 9 και 34 να παρεμβάλλετε άλλους αριθμούς ώστε να προκύψουν 11 διαδοχικοί όροι Α.Π Μεταξύ των αριθμών 6 και 50 θέλουμε να βρούμε άλλους 10 αριθμούς, ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.να βρείτε τους αριθμούς αυτούς 19

9 101. Μεταξύ των αριθμών 5 και 49 παρεμβάλλονται ορισμένοι αριθμοί,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.επιπλέον ο τελευταίος αριθμός που παρεμβάλλεται είναι πενταπλάσιος από τον πρώτο αριθμό που παρεμβάλλεται.να βρείτε τους αριθμούς αυτούς. 10. Μεταξύ των αριθμών 1 και 60 παρεμβάλλουμε ορισμένους αριθμούς με άθροισμα 5,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.επιπλέον ο τελευταίος αριθμός που παρεμβάλλεται είναι πενταπλάσιος από τον πρώτο αριθμό που παρεμβάλλεται.να βρείτε τους αριθμούς αυτούς Δίνονται δύο αριθμοί λ και μ με άθροισμα 50.Μεταξύ των αριθμών λ και μ παρεμβάλλουμε 18 αριθμούς,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.να βρείτε το άθροισμα των αριθμών που παρεμβάλλονται Δίνονται οι αριθμοί,3 και 35.Μεταξύ των αριθμών και 3 παρεμβάλλονται διπλάσιοι όροι από αυτούς που παρεμβάλλονται μεταξύ του 3 και του 35,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.να βρείτε όλους τους παραπάνω αριθμούς Να βρεθεί πόσους αριθμητικούς ενδιάμεσους πρέπει να παρεμβάλλουμε μεταξύ των αριθμών 1 και 19, ώστε ο δεύτερος ενδιάμεσος να έχει προς τον τελευταίο ενδιάμεσο λόγο ίσο με Μεταξύ δύο αριθμών, οι οποίοι έχουν άθροισμα 36 5, παρεμβάλλονται αριθμητικοί μέσοι που το άθροισμά τους είναι 18. Να βρεθεί το πλήθος των αριθμητικών μέσων που παρεμβάλλονται Να βρεθεί πόσους αριθμητικούς ενδιάμεσους πρέπει να παρεμβάλλουμε μεταξύ των αριθμών -6 και 48, ώστε x7 x Να βρεθεί το άθροισμα των μ αριθμητικών μέσων που παρεμβάλλονται ανάμεσα στους αριθμούς 1 και. Προσδιορισμός διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου με γνωστό άθροισμα 109. Δίνονται πέντε διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου που έχουν άθροισμα 55,ενώ το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 695.Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικούς ακέραιους όρους αριθμητικής προόδου,που έχουν άθροισμα 0,ενώ το άθροισμα των αντιστρόφων τους είναι Τέσσερις διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου έχουν άθροισμα 44,ενώ το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 664. i) Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς ii) Ανάμεσα στον μικρότερο και τον μεγαλύτερο από αυτούς που βρήκατε,να παρεμβάλλεται πέντε αριθμούς,ώστε όλοι μαζί να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. 11. Τρείς ακέραιοι αριθμοί,που είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,έχουν άθροισμα 33 και γινόμενο 440. i) Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς ii) Ο μεγαλύτερος από τους παραπάνω αριθμούς είναι ο 10ος όρος και ο μικρότερος είναι ο 4 ος όρος 193

10 μιας αριθμητικής προόδου (αν).να βρείτε: α)τον πρώτο όρο και τη διαφορά της (αν) β)πόσοι πρώτοι όροι της (αν) έχουν άθροισμα 14 γ) το άθροισμα S a13 a14... a Να βρεθούν οι α1 και ω Α.Π. όταν : α)α3 + α7 =40 και α6 + α8 =56 β)α1+α+α3+α4+α5=40 και γ)α8 + α5 =1 3 3 και Να βρεθούν οι α1 και ω Α.Π. όταν : α)α1+α+α3=1 και α1αα3=315 β)θεωρούμε τους 1 πρώτους όρους με άθροισμα των τεσσάρων μεσαίων 74 και γινόμενο άκρων όρων 70 γ)σ0=1030 και α10-α3=35 δ)α1+α+α3=45 και Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που σχηματίζουν Α.Π. αν το γινόμενο των άκρων όρων είναι 45 και το γινόμενο των μέσων όρων είναι Να βρεθούν τρείς αριθμοί που σχηματίζουν Α.Π. αν το άθροισμά τους είναι 45 και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι Σε Α.Π. το άθροισμα των έξι πρώτων όρων είναι 48 και το άθροισμα των έξι επόμενων είναι 10. Να βρεθεί η πρόοδος Σε μια Α.Π. είναι S και η διαφορά του τρίτου από το δέκατο όρο είναι 35. Να βρεθεί η πρόοδος Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που σχηματίζουν Α.Π. αν το γινόμενο των άκρων όρων είναι 45 και το γινόμενο των μέσων όρων είναι Να βρεθούν τρεις αριθμοί που σχηματίζουν Α.Π. αν το άθροισμά τους είναι 45 και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι Σε Α.Π. το άθροισμα των έξι πρώτων όρων είναι 48 και το άθροισμα των έξι επόμενων είναι 10. Να βρεθεί η πρόοδος. 1. Σε Α.Π με 1 όρους, το άθροισμα των τεσσάρων μεσαίων όρων είναι 74, και το γινόμενο των άκρων είναι 70. Να βρεθεί η πρόοδος. 13. Σε Α.Π. με περιττό αριθμό όρων, το άθροισμα των όρων περιττής τάξης είναι 5, και το άθροισμα των όρων άρτιας τάξης είναι 39. Να βρεθεί η πρόοδος. 14. Να βρεθούν τρεις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 1 και το γινόμενό τους είναι Να βρεθούν τρεις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 45 και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι

11 16. Να βρεθούν πέντε αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 50 και το. άθροισμα των τετραγώνων τους είναι Να βρεθούν πέντε αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 30 και το. άθροισμα των κύβων τους είναι Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 8 και το. άθροισμα των τετραγώνων τους είναι Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το γινόμενο των άκρων όρων τους είναι 45 και το γινόμενο των μέσων όρων τους είναι Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 0 και το. άθροισμα των αντιστρόφων τους είναι Τα ψηφία ενός τετραψήφιου αριθμού είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Αν το τελευταίο ψηφίο είναι τετραπλάσιο του πρώτου, να βρεθεί ο αριθμός. 13. Τα ψηφία ενός τριψήφιου θετικού αριθμού είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Αν το άθροισμα τους ισούται με το γινόμενό τους, να βρεθεί ο αριθμός Οι άκροι όροι μιας Α.Π. είναι 5 και 0. Να βρεθούν δύο όροι που απέχουν εξίσου από τους άκρους, αν γνωρίζουμε ότι το γινόμενό τους είναι Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι ανάλογοι προς τους αριθμούς, 5, 7. Αν από τον β αφαιρέσουμε το 7 γίνονται διαδοχικοί όροι Α.Π. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. Προβλήματα 135. Ένα θέατρο έχει δύο σειρές καθισμάτων.η πρώτη σειρά έχει 10 καθίσματα και κάθε επόμενη έχει 3 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη της. i) Πόσα καθίσματα έχει η τελευταία σειρά; ii) Πόσα καθίσματα έχει όλο το θέατρο; iii) Σε μια παράσταση, τα εισιτήρια της 7ης σειράς διανεμήθηκαν δωρεάν και όλα τα υπόλοιπα πουλήθηκαν προς 30 το ένα. Πόσα χρήματα εισέπραξε το θέατρο από την παράσταση αυτή; 136. Διαθέτουμε 9999 όμοια αντικείμενα τα οποία θέλουμε να συσκευάσουμε σε δέματα έτσι,ώστε το πρώτο δέμα να περιέχει 3 αντικείμενα,το δεύτερο δέμα να περιέχει 5 αντικείμενα,το τρίτο δέμα να περιέχει 7 αντικείμενα και γενικά κάθε δέμα να περιέχει δύο αντικείμενα περισσότερα από το προηγούμενο του. i) Να βρείτε πόσα δέματα θα δημιουργηθούν ii) Αν η συσκευασία του πρώτου δέματος κοστίζει 100 λεπτά, του δεύτερου δέματος κοστίζει 10 λεπτά, του τρίτου δέματος κοστίζει 140 λεπτά και γενικά,αν η συσκευασία κάθε δέματος κοστίζει 0 λεπτά περισσότερο από το κόστος συσκευασίας του προηγούμενου δέματος,να βρείτε πόσο θα κοστίσει η συσκευασία του δέματος που περιέχει τα περισσότερα αντικείμενα. 195

12 137. Δύο ταχυδρόμοι αναχώρησαν συγχρόνως από δύο πόλεις Α και Β,που απέχουν 385 km και κινούνται πεζοί για να συναντηθούν.αυτός που αναχώρησε από την πόλη Α την πρώτη μέρα διάνυσε 5 km,τη δεύτερη 8km την τρίτη 11km κ.ο.κ. Αυτός που αναχώρησε από την πόλη Β διάνυσε την πρώτη μέρα 5km,την δεύτερη 3 km την τρίτη 1km κ.ο.κ. Μετά από πόσες μέρες θα συναντηθούν και σε ποια απόσταση από την πόλη Α; 138. Τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. i) Να βρείτε το λόγο της μικρότερης κάθετης προς τη μεγαλύτερη κάθετη πλευρά ii) Αν η υποτείνουσα είναι κατά 10 μεγαλύτερη από τη μικρότερη πλευρά, να βρείτε τα μήκη των τριών πλευρών του τριγώνου 139. Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 00 παιδιά,τα οποία χωρίστηκαν σε ομάδες ως εξής :Η πρώτη ομάδα έχει δύο παιδιά και κάθε άλλη ομάδα έχει 4 παιδιά περισσότερα από την προηγούμενη. Να βρείτε : i) πόσες ομάδες δημιουργήθηκαν; ii) πόσα παιδιά έχει η τελευταία ομάδα; iii) ποια ομάδα έχει παιδιά iv) πόσα παιδιά υπάρχουν στις 7 πρώτες ομάδες; 140. Σε μια έκθεση ζωγραφικής υπάρχουν 15 πίνακες τοποθετημένοι στη σειρά ως εξής : Ο πρώτος πίνακας αξίζει και κάθε άλλος πίνακας είναι κατά ω ακριβότερος από τον προηγούμενο του. Αν ο 10ος πίνακας έχει διπλάσια αξία από τον 3ο πίνακα,να βρείτε : i) τον αριθμό ω ii) την αξία του ακριβότερου πίνακα iii) την αξία του μεσαίου πίνακα, iv) ποιος πίνακας κοστίζει v) Πόσο αξίζουν όλοι οι πίνακες της έκθεσης; 141. Μια ομάδα ακροβατών θέλησε να γραφτεί στο βιβλίο Γκίνες,κάνοντας ρεκόρ στον σχηματισμό της υψηλότερης ανθρώπινης πυραμίδας.μπήκαν λοιπόν σε σειρές ως εξής :Στην κορυφή ένα άτομο,στην επόμενη σειρά δύο, στην αμέσως πιο κάτω σειρά τρείς κ.λπ. Έτσι κατάφεραν 45 ακροβάτες να κάνουν το ρεκόρ. i) να βρείτε πόσες σειρές είχε η πυραμίδα που σχημάτισαν. ii) Να βρείτε πόσους ακροβάτες είχε η σειρά που βρισκόταν στη βάση της πυραμίδας. iii) Έναν μήνα αργότερα μια άλλη ομάδα ακροβατών ξαναέσπασε το ρεκόρ σχηματίζοντας με όμοιο τρόπο μια πυραμίδα υψηλότερη κατά 3 σειρές.πόσοι ήταν συνολικά οι ακροβάτες αυτοί; 14. Ένα αμφιθέατρο έχει 16 σειρές καθισμάτων. Στην πρώτη σειρά υπάρχουν ορισμένα καθίσματα και σε κάθε άλλη υπάρχουν 4 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη.η 9η σειρά έχει τόσα καθίσματα περισσότερα από την 4η σειρά,όσα είναι τα καθίσματα της 1ης σειράς. i) Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει η πρώτη σειρά και πόσα η τελευταία. ii) Να βρείτε πόσα καθίσματα υπάρχουν συνολικά στο αμφιθέατρο iii) Αν στην πρώτη σειρά κάθονται 3 άτομα και σε κάθε άλλη σειρά κάθονται 5 άτομα περισσότερα από όσα κάθονται στην προηγούμενη, να βρείτε : α)πόσα άτομα κάθονται στην τελευταία σειρά, β)πόσα καθίσματα είναι άδεια στην 8 η σειρά γ) πόσα καθίσματα είναι άδεια σε ολόκληρο το αμφιθέατρο Σε μια εταιρεία Α ένας υπάλληλος τον πρώτο χρόνο που προσλαμβάνεται θα έχει ετήσιο μισθό ,ο οποίος θα αυξάνεται κατά 50 κάθε χρόνο.σε μια εταιρεία Β ένας υπάλληλος τον πρώτο χρόνο που προσλαμβάνεται θα έχει ετήσιο μισθό 1000,ο οποίος θα αυξάνεται κατά 500 κάθε χρόνο. 196

13 Να βρείτε : i) τον ετήσιο μισθό ενός υπαλλήλου της εταιρείας Α τον 13 ο χρόνο υπηρεσίας του, ii) τα συνολικά χρήματα που έχει πάρει ένας υπάλληλος της εταιρείας Β στα 8 πρώτα χρόνια της υπηρεσίας του, iii) σε πόσα χρόνια ένας υπάλληλος της εταιρείας Α θα έχει ετήσιο μισθό 0000 iv) σε πόσα χρόνια ένας υπάλληλος της εταιρείας Α και ένας υπάλληλος της εταιρείας Β που προσλήφθηκαν ταυτόχρονα,θα έχουν τον ίδιο ετήσιο μισθό Η τιμή αγοράς ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή είναι μεγαλύτερη από 60 και μικρότερη από 640. Κατά την αγορά συμφωνήθηκαν τα εξής: Να δοθεί προκαταβολή 10. Η εξόφληση του υπόλοιπου ποσού να γίνει σε δέκα μηνιαίες δόσεις Κάθε δόση να είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη κατά ω όπου ω θετικός ακέραιος Η τέταρτη δόση είναι 48. α)να εκφράσετε το ποσό της πρώτης δόσης ως συνάρτηση του ω β)να εκφράσετε την τιμή αγοράς σαν συνάρτηση του ω γ)να βρείτε την τιμή του ω δ)να βρείτε το ποσό της τελευταίας δόσης. ε)να βρείτε την τιμή αγοράς του ηλεκτρονικού υπολογιστή Αν οι πλευρές α,β,γ ενός τριγώνου και η ημιπερίμετρος τ είναι διαδοχικοί όροι μιας Α.Π.,να δειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Γ (η σειρά είναι τ,γ,β,α) Ένα ταχυδρομικό γραφείο μιας γειτονιάς διανέμει καθημερινά για 4 μέρες 4 επιστολές παραπάνω από την προηγούμενη.τις πρώτες 4 μέρες διανέμει συνολικά όσες τις υπόλοιπες 18 μέρες.πόσες επιστολές διανέμει συνολικά τις 4 μέρες; 147. Ο πωλητής μιας εταιρείας συμφώνησε με τον ιδιοκτήτη της τα εξής.για πωλήσεις αξίας ενός εκατομμυρίου η προμήθεια του θα είναι Για πωλήσεις αξίας δύο εκατομμυρίων η προμήθεια του θα είναι ,για πωλήσεις αξίας τριών εκατομμυρίων η προμήθεια του θα είναι κ.ο.κ. i) Να βρεθεί η προμήθεια του πωλητή για πωλήσεις ii) Αν η προμήθεια του πωλητή είναι τότε να βρεθεί η αξία σε εκατομμύρια των πωλήσεων που έκανε ο πωλητής Ένας κηπουρός πρέπει να ποτίσει μία σειρά από 100 λεύκες.κάθε λεύκα απέχει από την προηγούμενη 5m.Η βρύση απέχει από την 1η λεύκα 10m.Ονομάζουμε dν την απόσταση πήγαινε έλα ανάμεσα στην βρύση και τη νιοστή λεύκα α)υπολογίστε τις αποστάσεις d1,d,d3 β)εκφράστε το dν+1 συναρτήσει του dν γ) Να δείξετε ότι η ακολουθία (dν) είναι Α.Π. δ)βρείτε τον πρώτο όρο d1και τη διαφορά ω της προόδου ε) Πόσα μέτρα θα διανύσει ο κηπουρός ποτίζοντας όλες τις λεύκες; 197

14 149. Πάνω σε μία σκακιέρα με 64 τετραγωνίδια,βάζουμε 1 κόκκο ρυζιού πάνω στο πρώτο τετραγωνίδιο,έπειτα 4 στο ο,7 στο 3ο,10 στο 4ο κ.λπ..πόσους κόκκους ρυζιού θα τοποθετήσουμε πάνω στη σκακιέρα; 150. Ένας υπάλληλος προτείνει δύο τρόπους αμοιβής στον εργοδότη του η 75000δρχ. κάθε μήνα και μία αύξηση 3850 δρχ. το μήνα η δρχ. κάθε μήνα και μία αύξηση 5000 δρχ. το μήνα α)ποιο τρόπο θα διαλέξει αν θέλει να κρατήσει τον υπάλληλο για ένα χρόνο; β) Ποιο τρόπο θα διαλέξει αν θέλει να κρατήσει τον υπάλληλο για : i) για 5 χρόνια ii) για περισσότερα από 5 χρόνια 151. Συναντώντας κάποιος ένα ζητιάνο του δίνει ένα νόμισμα,έπειτα συναντά ένα δεύτερο ζητιάνο και του δίνει δύο νομίσματα.συναντά κι άλλους ζητιάνους και τους δίνει ένα νόμισμα παραπάνω από τον προηγούμενο κάθε φορά μέχρι που του τελειώνουν τα νομίσματα.σκέφτεται τότε και λέει Αν είχα δώσει τόσα νομίσματα στον καθένα θα ήταν πιο δίκαιο και ο κάθε ζητιάνος θα είχε 8 νομίσματα.πόσους ζητιάνους συνάντησε; 15. Ένας αγρότης υπολόγισε ότι το καλαμπόκι που είχε αρκούσε να θρέψει τις 75 κότες για μια ορισμένη περίοδο. Δυστυχώς μια αλεπού του έτρωγε μία κότα κάθε νύχτα και έτσι το καλαμπόκι του θα αρκούσε για μια περίοδο κατά 50% μεγαλύτερη απ ότι είχε υπολογίσει.αν η αλεπού δεν είχε φάει τις κότες πόσες μέρες θα είχε διαρκέσει η τροφή; 153. Σ έναν ουρανοξύστη 17 ορόφων,τα γραφεία του ίδιου ορόφου έχουν το ίδιο ενοίκιο.κάθε γραφείο του πρώτου ορόφου ενοικιάζεται 550 το μήνα. Κάθε γραφείο ενός ορόφου ενοικιάζεται 35 το μήνα ακριβότερα από ένα γραφείο του προηγούμενου ορόφου. i) Ποιο είναι το μηνιαίο ενοίκιο ενός γραφείου του πέμπτου ορόφου; ii) Πόσο ακριβότερο είναι ένα γραφείο του 15ου ορόφου από ένα του 7ου ορόφου; iii) Σε ποιους ορόφους το ενοίκιο ξεπερνά τις 1000 το μήνα; iv) Αν το πλήθος των γραφείων ενός ορόφου είναι μικρότερο κατά από το πλήθος των γραφείων του αμέσως προηγούμενου ορόφου και ο 17ος όροφος έχει 1 γραφεία,να βρείτε : α)πόσα γραφεία έχει ο πρώτος όροφος. β) πόσα γραφεία έχει συνολικά ο ουρανοξύστης. γ) πόσο θα κοστίσει τον μήνα σε έναν επιχειρηματία να νοικιάσει όλα τα γραφεία που βρίσκονται στον μεσαίο όροφο του ουρανοξύστη Ένα κολιέ αξίας αποτελείται από 33 διαμάντια.το μεσαίο διαμάντι είναι και το ακριβότερο.τα υπόλοιπα διαμάντια είναι τοποθετημένα κατά σειρά αξίας,ώστε κάθε διαμάντι,μέχρι το μεσαίο,να αξίζει 100 λιγότερο από το επόμενο του και στη συνέχεια,από το μεσαίο και πέρα,κάθε διαμάντι αξίζει 150 λιγότερο από το προηγούμενο του. i) Να βρείτε πόσα ακριβότερο είναι το μεσαίο διαμάντι από: α) το πρώτο διαμάντι β)από το τελευταίο διαμάντι ii) Να βρείτε την αξία του μεσαίου διαμαντιού Κατά τη διάρκεια έργων συντήρησης της εθνικής οδού,είχαν τοποθετηθεί κατά μήκος του δρόμου φωτεινοί σηματοδότες ανά 10m.Μόλις τελείωσαν τα έργα,ένας εργάτης που βρισκόταν στον πρώτο σηματοδότη πήρε εντολή να μεταφέρει όλους τους σηματοδότες δίπλα στον τελευταίο.ο εργάτης μπορούσε να μεταφέρει μόνο έναν σηματοδότη κάθε φορά και όταν τελείωσε τη μεταφορά είχε διανύσει συνολικά 1,44km. i) Πόσες φορές έκανε ο εργάτης τη διαδρομή ανάμεσα: 198

15 α) στον πρώτο και στον τελευταίο σηματοδότη; β)στον δεύτερο και στον τελευταίο σηματοδότη ii) Να βρείτε πόσοι ήταν όλοι οι σηματοδότες Διαθέτουμε 9999 όμοια αντικείμενα,τα οποία θέλουμε να συσκευάσουμε σε δέματα έτσι ώστε το πρώτο δέμα να περιέχει 3 αντικείμενα,το δεύτερο δέμα να περιέχει 5 αντικείμενα,το τρίτο δέμα να περιέχει 7 αντικείμενα και γενικά κάθε δέμα να περιέχει δύο αντικείμενα από το προηγούμενο του i) Να βρεθεί πόσα δέματα θα δημιουργηθούν. ii) Αν η συσκευασία του πρώτου δέματος κοστίζει 10, του δεύτερου 1, του τρίτου 14, και γενικά αν η συσκευασία κάθε δέματος κοστίζει δραχμές περισσότερο από το κόστος της συσκευασίας του προηγούμενου,να βρεθεί πόσο θα κοστίσει η συσκευασία του δέματος που περιέχει τα περισσότερα αντικείμενα Στους δίσκους Α και Β μιας ζυγαριάς υπάρχουν βάρη 40 και 0 γραμμαρίων αντίστοιχα.στον δίσκο Α τοποθετούμε διαδοχικά βάρη των 0 γραμμαρίων το καθένα.στον δίσκο Β τοποθετούμε τριπλάσιο βάρος του αρχικού και συνεχίζουμε προσθέτοντας βάρη,καθένα από τα οποία είναι τριπλάσιο του βάρους που είχε τοποθετηθεί στην αμέσως προηγούμενη φορά. i) Αν το συνολικό βάρος στον δίσκο Β είναι 40 γραμμάρια, να βρεθεί πόσες φορές χρειάστηκε να τοποθετήσουμε βάρη στον δίσκο αυτό. ii) Πόσα βάρη των 0 γραμμαρίων πρέπει να τοποθετήσουμε στον δίσκο Α, ώστε να ισορροπήσει η ζυγαριά; 158. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της είναι 40,ενώ το άθροισμα των 15 πρώτων όρων της είναι 135.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά ω της προόδου ii) την τιμή της παράστασης: iii) το άθροισμα: S a10 a11... a Δίνεται η ακολουθία με γενικό όρο : 11. i) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος και έχει πρώτο όρο 1 9 και διαφορά ω= ii) Να βρείτε το άθροισμα: S a1 a13... a1,όπου a1, a13,..., a 1 είναι διαδοχικοί όροι της προόδου (αν). iii) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης: x x1 είναι διαδοχικοί όροι της προηγούμενης προόδου (αν) Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) με ακέραιους όρους και διαφορά ω=1.για τους πρώτους ν όρους της προόδου ισχύει S και 1 1.Να βρείτε : i) τον αριθμό ν και τον πρώτο όρο της προόδου 4 ii) τον όρο ακ για τον οποίο ισχύει ; Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) της οποίας ο 13ος όρος είναι -3 και το άθροισμα των πρώτων 8 όρων της είναι 84. i) Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της αριθμητικής προόδου (αν) 4 ii) Να λύσετε την εξίσωση x a x a

16 3 x a1 iii) Να λύσετε την ανίσωση : x 5x S Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) με 1 για την οποία ισχύουν 9 13,α6=Ρ(Α-Β), α8=ρ(α) και α11=ρ(αβ),όπου Α και Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. 1 i) Να αποδείξετε ότι ii) Να βρείτε ποιος όρος της (αν) ισούται με ( ) iii) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 16 όρων της (αν) iv) Να βρείτε την πιθανότητα: α) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β β) να πραγματοποιηθεί το Β γ) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β. 00

σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της.

σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΑΡΙΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 6 και 9. Να βρείτε α) τη διαφορά και β) τον 0 ο όρο της προόδου.. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 3 και 7.

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + 3 β) α = + ( 1) ν ν γ) α ν = 1 1 1 1 + + + L + 1 3 34 ν ν + 1 δ) α1 = 0, αν+ 1 = 3α + 1 ν ( ). ** Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΥΣ. iii) 32, 16,8, iv) 27, 9, 3,... και λ=2.να βρείτε : και α4=6.να βρείτε :

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΥΣ. iii) 32, 16,8, iv) 27, 9, 3,... και λ=2.να βρείτε : και α4=6.να βρείτε : Ν-οστός όρος ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΥΣ 1. Να βρείτε τον 8ο όρο των παρακάτω γεωμετρικών προόδων: i) 1,, 4 ii) 1, 1,1,... 9 3 iii) 3, 16,8, iv) 7, 9, 3,... 8 4 3. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΟΔΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ " ÎÀ-{0}, + ( ν-) ω " ÎÀ-{0}, l - ω : διαφορά προόδου λ : λόγος

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα για Λύση. 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,..

Θέματα για Λύση. 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,.. 72 Θέματα για Λύση 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,.. 2. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) είναι: α 8 = 22 και α 14 = 40. Να προσδιορισθεί ο εικοστός όρος της προόδου. 3.

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόοδοι. Κώστας Γλυκός. Αριθμητική & Γεωμετρική ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 91 Ασκήσεις. σε 5 σελίδες. Ιδιαίτερα μαθήματα. εκδόσεις. Kglykos.gr.

Πρόοδοι. Κώστας Γλυκός. Αριθμητική & Γεωμετρική ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 91 Ασκήσεις. σε 5 σελίδες. Ιδιαίτερα μαθήματα. εκδόσεις. Kglykos.gr. Πρόοδοι Κώστας Γλυκός Αριθμητική & Γεωμετρική 9 Ασκήσεις σε 5 σελίδες Ιδιαίτερα μαθήματα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 6 / / 0 7 εκδόσεις Καλόπήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ακολουθία ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ Ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1,,3,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής ή τροποποίησης

Διαβάστε περισσότερα

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ. 1. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. ) κάθε όρος Γ Δ. Β. 10 Γ. 2 Δ.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ. 1. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. ) κάθε όρος Γ Δ. Β. 10 Γ. 2 Δ. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. * Σε μια ακολουθία ( ) κάθε όρος είναι Α. θετικός Β. 0 Γ. ακέραιος

Διαβάστε περισσότερα

1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1

1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1 ,, Β,,λ. Δίνονται τα σημεία Β.Αν τα Α,Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y να βρείτε το λ. Β. Βρείτε τις τιμές του λ, ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος.

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 5.2 Ασκήσεις: 1-17 Θεωρία ως και την 5.3 Ασκήσεις: 18-24 Άσκηση 1 Θεωρούμε την ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 20 Ιανουαρίου 2018 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 20 Ιανουαρίου 2018 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 2 β + α 500 11 18 α β Α= β 3 β, α αν δίνεται ότι: 10 β =.. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός στοιχείων που πρέπει να αφαιρεθούν από το σύνολο Α= { 2, 4, 6,8,10,12,14,16,18,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Αν έχω τριώνυμο της μορφής :,. Υπολογίζω την Διακρίνουσα 4 Αν Δ> τότε η εξίσωση έχει άνισες ρίζες έστω Ομόσημο του α Ετερόσημο του α, τότε: Ομόσημο του α Αν Δ= τότε η εξίσωση έχει διπλή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα

B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii)

B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii) Πιθανότητες.3096. α) Αν Α,Β,Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί. Κεφάλαιο Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. = 2. Να υπολογίσετε

Πραγματικοί αριθμοί. Κεφάλαιο Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. = 2. Να υπολογίσετε Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. Έστω α, β δύο πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει α + β = 0 και β + α την τιμή της παράστασης αβ + αβ. =. Να υπολογίσετε. Αν x y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα. Να συμπληρώσετε την δεύτερη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της.

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να σχηµατίσετε τις γεωµετρικές προόδους µε: α) α 1 = 5 και λ = 3 2 1 β) α 1 = και λ = 3 1 γ) α 1 = - 20 και λ = 2 2. * Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στους αριθµούς 2, 16,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x-1 x+3. ή D 0 τότε x= =1 και y= 2. 2x 3y ή D=D D 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο ή

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x-1 x+3. ή D 0 τότε x= =1 και y= 2. 2x 3y ή D=D D 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο ή ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να λύσετε την εξίσωση: 3 4-1 +3 0 Λύση: 3 4-1 +3 0 3 3 4 1 0 4 5 0 1 ή =5.Να λυθεί το σύστημα : 3 1 5 Λύση: Βρίσκουμε τις ορίζουσες 3-1 3 11 6 1 7 1 1-1 1 51 5 7 5 3 1 35 11 15 1 14

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

β =. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3β + α α 3β αν δίνεται ότι: 3

β =. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3β + α α 3β αν δίνεται ότι: 3 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να βρείτε την τιμή της παράστασης: α αν δίνεται ότι: 3 β =. 3β + α α 3β 13 Α= 10 +, β α 3 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και Γ= ˆ Α ˆ. Το τετράπλευρο ΑΓΔΕ είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 50 3 5 0 0 ή 3 5 0 0 ή 3 5 0 ή 8 50 8 5 αδύνατη 3 60 3 6 6 3 3 4 510, α = 4, β = -5 και γ = 1 Δ = 4 5 4 4 15169 5 9 4 53 8 1 ή 4 410

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Άλγεβρας. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 265 ασκήσεις και τεχνικές σε 24 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Ασκήσεις Άλγεβρας. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 265 ασκήσεις και τεχνικές σε 24 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Ασκήσεις Άλγεβρας Κώστας Γλυκός B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 65 ασκήσεις και τεχνικές σε 4 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 3 / 1 0 / 0 1 6

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 08/12/2018 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

ù, þ ù ÿ ù + ü ÿ þ ù ÿ û ü ÿ ù

ù, þ ù ÿ ù + ü ÿ þ ù ÿ û ü ÿ ù ù, þ ù ÿ ù + ü ÿ þ ù ÿ û ü ÿ ù úï ùþ üÿùÿ üÿ ù + ü ú ù 10 03. ÿ+ü ÿù ü!&10" # *Œ # ³&1)- " 1. * þ1#!1 I [ 03[ 0. Œ0! / 0 Œ0! / Œ. * þ1#!1 I [ 1#[ 0. Œ0!. 3. * þ 1#!1 I [ 13[ $0 Œ0/!1 * 1* ^x R x 0 }. 4.

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μέρος Α.- Θεωρία. 1. Τι λέμε αλγεβρική και τι αριθμητική παράσταση; 2. Τι λέμε αναγωγή ομοίων όρων; 3. Τι λέμε εξίσωση α βαθμού; 4. Τι λέμε πρώτο

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή.

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Παρατηρούµε ότι: 1 11 ( + = 1 ) 1+ = ( + 1) 1 3 33 ( + + + = 1 ) Ποιο νοµίζετε ότι θα είναι το άθροισµα 1 + + 3 +... + ν; Αποδείξτε την ισότητα που συµπεράνατε µε επαγωγή.. * Μετράµε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Έχουµε Α Βδεν είναι το κενό. Ρ( Α Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Α Β δεν είναι το κενό. Έχουµε Ρ( Α

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Η συνδρομή για την συμμετοχή στον όμιλο κολύμβησης είναι 15 τον μήνα και 5 για κάθε φορά που χρησιμοποιούμε την πισίνα. Αν τον προηγούμενο μήνα πληρώσαμε 75, πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολική Χρονιά: 015-016 Ασκήσεις Επανάληψης για την B Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί Αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: 1) ².³ = ) (³) 5 = 3) 5 : 8 = 4) ( 5. 7 ) :

Διαβάστε περισσότερα

0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( )( ) ( ). Να διερευνήσετε τις εξισώσεις i) ( ) ( 6) b, b 0. b. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα α και b ώστ

0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( )( ) ( ). Να διερευνήσετε τις εξισώσεις i) ( ) ( 6) b, b 0. b. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα α και b ώστ ΜΑΘΗΜΑ: Άλγεβρα ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ: Εξισώσεις και Ανισώσεις Πρώτου Βαθμού Απόλυτη Τιμή - Ρίζες Α. Εξισώσεις Πρώτου Βαθμού. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 9(8 ) 0(9 ) ( ) 8 7y y i ( ) 0( ) 0 ( 0) iv) y. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxψ θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γραφική λύση συστημάτων. 2 2 και Α 3, y 2 3. x y. y 3x

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γραφική λύση συστημάτων. 2 2 και Α 3, y 2 3. x y. y 3x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραφική λύση συστημάτων 1. Δίνονται τα σημεία Α(-1, 0),Β(0, 1),Γ, 1 και Α, 1.Να βρείτε ποιο από αυτά y 1 επαληθεύει το σύστημα y 5. Να επιλύσετε γραφικά τα συστήματα: y 1 y 1 y y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα