ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ. 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-2,-7,-12,

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ. 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-2,-7,-12,"

Transcript

1 Ν-οστός όρος ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-,-7,-1,. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α1= και ω=3.να βρείτε : i) τον 10ο όρο της προόδου ii)ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α1=-15 και α7 =9.Να βρείτε : i) τη διαφορά ω της προόδου, ii)τον 11ο όρο της προόδου ii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με διαφορά ω=- είναι α8=-3.να βρείτε : i) τον πρώτο όρο της προόδου, ii) τον 19ο όρο της προόδου iii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α5=11 και α9 =31.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά ω της προόδου, ii)τον 14ο όρο της προόδου ii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α1=-1,ο ένατος και ο εικοστός όρος έχουν άθροισμα 30. Να βρείτε : i) τη διαφορά ω της προόδου, ii) τον 30ο όρο της προόδου ii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με διαφορά ω=3,o όρος α13 είναι διπλάσιος από τον όρο α6.να βρείτε : i) τον πρώτο όρο της προόδου, ii) τον 9ο όρο της προόδου iii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : 7 11 και Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) τον 41ο όρο της προόδου iii) ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) ισχύει : 4 43 και 8 7.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) πόσους θετικούς όρους έχει η (αν) 10. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : και Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) τον όρο αν για τον οποίο ισχύει 185

2 11. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : και,με κ μ,να αποδείξετε ότι: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) τον όρο αν για τον οποίο ισχύει 1. Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν).για τους θετικούς ακέραιους κ, λ,μ, να αποδείξετε : i) a, με μ>λ ii) ( ) ( ) ( ) 0 ισχύει: 4 43 και 8 7.Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) πόσους θετικούς όρους έχει η (αν) 13. Ο τέταρτος όρος μιας Α.Π. είναι 15 και ο 15ος όρος της είναι 59. Να βρεθεί η πρόοδος. 14. Ο τέταρτος όρος μιας Α.Π. είναι 15 και ο 11ος όρος της είναι 43. Να βρεθεί η πρόοδος. 15. Σε Α.Π. δίνονται α1=58,ω=-3 και S 578. Να βρεθούν οι όροι της προόδου και ο ν-οστός όρος. 16. Να βρεθεί ο πρώτος όρος και η διαφορά Α.Π., αν το άθροισμα του 3ου και του 7ου όρου είναι 40, το δε άθροισμα του 6ου και του 8ου όρου είναι Σε Α.Π. ο ος και ο 8ος διαφέρουν κατά 4, ενώ το άθροισμα του 4ου και του 1ου όρου είναι 70. Να βρεθεί η πρόοδος αν α) είναι αύξουσα, β) φθίνουσα. Στη συνέχεια να υπολογιστεί το άθροισμα των όρων που βρίσκονται ανάμεσα στον 8 και στον 5 όρο. 18. Σε μια αύξουσα Α.Π. το άθροισμα του 3ου και του 7ου όρου είναι 18 και το άθροισμα των κύβων τους είναι 3. Να βρεθεί η πρόοδος. 19. Να βρεθεί Α.Π. αν γνωρίζουμε ότι ο πρώτος όρος είναι, το πλήθος των όρων ισούται με τον δεύτερο όρο, και ο τελευταίος όρος της είναι διψήφιος με ψηφίο των δεκάδων τη διαφορά της Α.Π. και το ψηφίο των μονάδων της είναι ο πρώτος όρος. 0. α)να βρεθεί η διαφορά ω της Α.Π. με α1 =,α0=0 β)να βρεθούν ο 5ος όρος και ο 40ος όρος μιας αριθμητικής προόδου με α1 = 8 και ω=7 γ)να βρεθεί ο α1 όρος μιας αριθμητικής προόδου,όταν α15=51,ω=4 δ)να βρεθεί Α.Π. όταν α4 = 15 και α11=43 1. Να βρεθεί Α.Π. αν α1 και ω είναι ρίζες της εξίσωσης x -5x+6=0.. Αν α, β,γ είναι όροι μιας αριθμητικής προόδου,τάξεων ν,ρ και κ αντίστοιχα και α1 είναι ο πρώτος όρος της προόδου,να δειχτεί ότι : Αριθμητικός μέσος-διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου 3. Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο των αριθμών: i) 3 και 3 ii) -5 και 37 iii)-31 και -3 iv)-1 και 7 v)-11 και

3 4. Να βρεθεί για ποια τιμή του xr,ο αριθμός 15 είναι ο αριθμητικός μέσος των αριθμών x+1 και 7x+. 5. Να βρεθεί για ποια τιμή του xr,οι αριθμοί x+5,3x-5,x+6 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 6. Δίνονται δύο αριθμοί που ο ένας είναι διπλάσιος του άλλου και έχουν αριθμητικό μέσο τον 16.Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς. 7. Δίνεται μία αριθμητική πρόοδος (αν).να αποδείξετε ότι οι αριθμοί : 4 5, 7 9, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 8. Να αποδείξετε ότι για κάθε α,βr,οι αριθμοί 3,( ), 5 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 9. Αν οι αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και για τους αριθμούς,,. 30. Αν οι αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και για τους αριθμούς ( ),( ),( ). 31. Αν οι αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και για τους αριθμούς,,. 3. Οι αριθμοί 1, 1, 1 (όπου α,β,γ 0) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.να αποδείξετε ότι και οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 33. Δίνονται οι θετικοί αριθμοί α, β,γ ώστε οι αριθμοί,, να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.να αποδείξετε ότι και οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 34. Αν οι θετικοί αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι και οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 35. α)να βρεθεί ο αριθμός x,ώστε τα τετράγωνα των αριθμών x+1,x+3 και x+9 να αποτελούν διαδοχικούς όρους Α.Π. β)να βρεθεί ο αριθμός κ ώστε οι αριθμοί α=3κ -κ+1,β=κ +5κ-4 και γ=4κ -3κ+9,να αποτελούν διαδοχικούς όρους Α.Π. 36. Τα ψηφία ενός τετραψήφιου αριθμού είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. Αν το τελευταίο ψηφίο είναι τετραπλάσιο του πρώτου,να βρεθεί ο αριθμός 37. Αν οι αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. να δειχτεί ότι: α)οι αριθμοί β +γ,γ +α,α +β είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. β)οι αριθμοί β +γ-α,γ +α-β,α +β-γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. 187

4 γ)οι αριθμοί (β +γ) -α,(γ +α) -β,(α +β) -γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. 38. Αν οι αριθμοί α, β,γ,δ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. να δειχτεί ότι: α) β) α +δ = β +γ γ) ( ) 39. Να βρεθεί για ποιες τιμές των x,y οι αριθμοί Α.Π. Ποια είναι η διαφορά ω της προόδου ; 1 1 y x xy, y, ( xy 0) είναι διαδοχικοί όροι μιας xy y x y 40. Οι ρίζες ρ1,ρ της εξίσωσης x x 0 και οι ρίζες x1,x της εξίσωσης x (5 4) x 0 κατά την σειρά ρ1,ρ,x1,x αποτελούν διαδοχικού όρους Α.Π.. Να υπολογιστούν οι λ,μ Να αποδείξετε ότι αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., τότε το ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς,,. 4. Να αποδείξετε ότι αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., τότε το ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς α,β,γ με Να προσδιοριστεί ο x έτσι ώστε οι αριθμοί 3x 7, x, 1 x να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Ποιοι είναι οι αριθμοί αυτοί; 44. Να προσδιοριστεί ο x έτσι ώστε οι αριθμοί 3x x 1, x 5x 4, 4x 3x 9 να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Ποιοι είναι οι αριθμοί αυτοί; Άθροισμα ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου 45. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α1=-14 και ω = 3.Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων της προόδου. 46. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων καθεμίας από τις επόμενες αριθμητικές προόδους: i)3,5,7, ii)-8,-3,, iii),-1,-4, iv)-,-6, Υπολογίσετε τα αθροίσματα: i) ii) iii) iv) Να βρεθεί το άθροισμα S α)αν σε μία Α.Π. είναι Σ11=517,ν=11 να βρεθούν οι α1 και ω β) Αν σε μία Α.Π. είναι α1=58,ω=-3,σν=578,να βρεθούν οι ν,αν γ)αν σε μία Α.Π. είναι α1=3,ω=- και αν = 5 να βρεθούν οι Σν και ν. 50. Να βρεθεί το πλήθος των όρων που εξετάζουμε σε μία Α.Π., όταν : α)α1=5,ω=4 και Σν=10877 β)σν-1=100,α1=5,ω= 188

5 51. Να βρεθεί το άθροισμα: i) των άρτιων αριθμών μεταξύ 1 και 153, ii) των περιττών αριθμών μεταξύ 10 και 170, iii) των πολλαπλασίων του 3 μεταξύ 40 και 00, iv) των πολλαπλασίων του 5 μεταξύ 31 και Να βρεθεί το άθροισμα: i) των πρώτων 50 θετικών πολλαπλασίων του 3, ii) των πρώτων 40 θετικών πολλαπλασίων του Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),είναι α1= και α15 =58.Να βρείτε : i) το άθροισμα των 15 πρώτων όρων της ii) το άθροισμα των 30 πρώτων όρων της iii) Πόσοι πρώτοι όροι της αριθμητικής προόδου (αν) έχουν άθροισμα Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),ο 16ος όρος είναι 50,ενώ το άθροισμα του 6 ου και του 11ου όρου είναι 40.Να βρείτε : i) το άθροισμα των 16 πρώτων όρων της ii) το άθροισμα των 31 πρώτων όρων της iii)πόσοι πρώτοι όροι της αριθμητικής προόδου (αν) έχουν άθροισμα Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με α1=,το άθροισμα των πρώτων 10 όρων είναι 00..Να βρείτε : i) τη διαφορά της προόδου, ii) τον 18ο όρο της iii)το άθροισμα των 5 πρώτων όρων της. 56. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),ο 4ος όρος είναι 10,ενώ το άθροισμα των πρώτων 1 όρων είναι 10.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου ii) ποιος όρος ισούται με 118 iii) το άθροισμα των 40 πρώτων όρων της. 57. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με α1=45,ισχύει ότι Να βρείτε : i) τη διαφορά ω της προόδου, ii) το άθροισμα των θετικών όρων της (αν) 58. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με διαφορά ω=4,ισχύει ότι Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο της α1, ii) το άθροισμα των αρνητικών όρων της (αν) 59. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),ο 8ος όρος είναι 30,ενώ το άθροισμα των πρώτων 5 όρων είναι 50.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου ii) το άθροισμα των όρων της (αν) που είναι μεγαλύτεροι του 40 και μικρότεροι του Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),το άθροισμα του 3ου και του 9ου όρου είναι 4.Να βρείτε : i) τον έκτο όρο της προόδου ii) το άθροισμα των 11 πρώτων όρων της 61. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),με διαφορά ω για την οποία ισχύει :

6 i) Να αποδείξετε ότι ω=α1 S0 ii) Να υπολογίσετε τον λόγο S Αν σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),ισχύει S300 να υπολογίσετε τον λόγο S Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),είναι α6=8 και α11 =3.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου ii) πόσοι πρώτοι όροι της αριθμητικής προόδου (αν) έχουν άθροισμα 14 iii)το άθροισμα S a15 a16... a5 iv)το άθροισμα S1 a1 a3... a Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),με διαφορά ω=3,ισχύει : αν=3 και Sν =100.Να βρείτε : i) τον αριθμό ν και τον πρώτο όρο της προόδου ii)το άθροισμα S a1 a13... a iii)το άθροισμα S1 a a4... a3 65. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),o 1ος όρος είναι κατά 30 μεγαλύτερος από τον 11ο όρο,ενώ το άθροισμα των πρώτων 4 όρων είναι 300.Να βρείτε : i) τη διαφορά και τον πρώτο όρο της προόδου ii)το γινόμενο Να λύσετε την εξίσωση : x Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν),με 011 όρους,ισχύει S Να βρείτε : i) τον μεσαίο όρο της προόδου ii)το άθροισμα S a1 a1001 a1011 a i)δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν),και έστω S, S, S3 τα αθροίσματα των πρώτων ν,ν,3ν όρων αντίστοιχα.να αποδείξετε ότι : S3 3( S S ) ii) Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : Να βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της 69. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο ισχύει Sκ=μ και Sμ=κ,να αποδείξετε ότι: S ( ) 70. Δίνεται αριθμητική πρόοδο (αν),για την οποία ισχύουν : a a... a a 1 a 3 5 a i) Να βρείτε τη διαφορά ω και τον πρώτο όρο α1 της προόδου ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα S a1 a a Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει : S 4S για κάθε ν Ν * i) Να αποδείξετε ότι ω=α1 ii) Αν επιπλέον ο έβδομος όρος της (αν) είναι 39,τότε α) να βρείτε τη διαφορά ω και τον πρώτο όρο α1 της προόδου 190

7 β) να βρείτε πόσοι πρώτοι όροι της (αν) έχουν άθροισμα 300 και στη συνέχει να υπολογίσετε τα αθροίσματα S0 και S40, γ) να υπολογίσετε το άθροισμα : S a a a4 7. Να βρεθεί το άθροισμα όλων των πολλαπλασίων του 3, τα οποία περιέχονται μεταξύ των αριθμών 100 και Να βρεθεί το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών από το 1 μέχρι το ν Να βρεθεί το άθροισμα των ν πρώτων περιττών αριθμών, συναρτήσει των αριθμών αυτών. 75. Να βρεθεί το άθροισμα όλων των 100 πρώτων ακεραίων, οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του Το άθροισμα των 10 πρώτων όρων Α.Π. είναι 110, και το άθροισμα των 10 επόμενων όρων είναι 310. Να βρεθεί η πρόοδος. 77. Το άθροισμα των 10 πρώτων όρων Α.Π είναι τετραπλάσιο του αθροίσματος των 5 πρώτων όρων της, και ο πρώτος όρος της είναι 1. Μα βρεθεί η πρόοδος. 78. Σε Α.Π το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της είναι 1030, και η διαφορά του τρίτου από τον δέκατο όρο είναι 35. Να βρεθούν οι 5 πρώτοι όροι της προόδου. 79. Να βρεθεί η διαφορά Α.Π. αν ο πρώτος όρος της είναι α, και το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι. 80. Σε Α.Π με 9 όρους, το άθροισμα των όρων περιττής τάξης είναι 70, και το άθροισμα των όρων άρτιας τάξης είναι 56. Να βρεθεί η πρόοδος. 81. α)να βρεθεί όλων των διψήφιων φυσικών αριθμών β)να βρεθεί το άθροισμα των διαδοχικών φυσικών περιττών αριθμών από τον 1 μέχρι και τον ν+1 γ)να δειχτεί ότι το άθροισμα των ν πρώτων περιττών αριθμών είναι ίσο με ν. 8. Θεωρούμε τους 0 πρώτους όρους μιας Α.Π. Αν είναι α+α4+ +α0=50 και α1+α3+α5+ α19=0,να βρεθούν οι όροι α10 και α Αν σε μία Α.Π. είναι α1+α+α3+α4+α5=30 και,να βρεθεί το Σ Να βρεθεί μία αριθμητική πρόοδος,όταν Σν=3ν,όπου ν είναι οποιοδήποτε πλήθος όρων της προόδου. 85. Σε μία αριθμητική πρόοδο θεωρούμε τους 101 πρώτους όρους.αν λ είναι ο μεσαίος όρος,να δειχτεί ότι το άθροισμα των όρων αυτών είναι 101λ. 86. Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί περιττοί αριθμοί,όταν το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άρτιων αριθμών,που περιέχονται μεταξύ των αριθμών αυτών,συν σαράντα οκτώ. 87. Ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι και ο πέμπτος όρος της είναι 7. Πόσους όρους πρέπει να πάρουμε ώστε το άθροισμα τους να είναι Σε μία Α.Π. ισχύει η συνεπαγωγή Σμ=Σν Σμ+ν=0 191

8 89. Σε μία Α.Π. δίνονται ω=,σν=65,ν=πολ.5 και ο όρος που κατέχει την 5 5 πρόοδος. είναι 1.Να βρεθεί η Ακολουθίες που αποδεικνύουμε ότι είναι αριθμητικές πρόοδοι 90. Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι αν=5ν-8.να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος,της οποίας να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά. 91. Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι αν=7-ν. i)να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος. ii)να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 6 όρων της (αν) 9. Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι αν=4ν-15. i)να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος. ii)να βρείτε το άθροισμα S Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι αν=3ν+1. i)να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος. ii)να βρείτε το άθροισμα S Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας ακολουθίας (αν) είναι S 4 για κάθε νν *. 95. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος της οποίας να βρείτε τον πρώτο όρο α1 και τη διαφορά ω Να βρεθεί ποια από τις επόμενες ακολουθίες είναι αριθμητικές πρόοδοι : i)( a ), 1 1 ii)( ) iii)( ), Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας είναι ν +3ν.Να βρεθεί ο ν-οστός όρος της ακολουθίας και να δειχτεί ότι η ακολουθία είναι Α.Π. Αριθμητική παρεμβολή 98. α)να παρεμβληθούν 7 αριθμητικοί μέσοι μεταξύ των αριθμών και 18 β)μεταξύ των αριθμών και 14 παρεμβάλουμε ν άλλους αριθμούς ώστε οι αριθμοί ν μαζί με τους και 14,να αποτελούν διαδοχικούς όρους Α.Π.,με διαφορά ω=.να βρεθεί ο ν 99. Ανάμεσα στους αριθμούς 9 και 34 να παρεμβάλλετε άλλους αριθμούς ώστε να προκύψουν 11 διαδοχικοί όροι Α.Π Μεταξύ των αριθμών 6 και 50 θέλουμε να βρούμε άλλους 10 αριθμούς, ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.να βρείτε τους αριθμούς αυτούς 19

9 101. Μεταξύ των αριθμών 5 και 49 παρεμβάλλονται ορισμένοι αριθμοί,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.επιπλέον ο τελευταίος αριθμός που παρεμβάλλεται είναι πενταπλάσιος από τον πρώτο αριθμό που παρεμβάλλεται.να βρείτε τους αριθμούς αυτούς. 10. Μεταξύ των αριθμών 1 και 60 παρεμβάλλουμε ορισμένους αριθμούς με άθροισμα 5,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.επιπλέον ο τελευταίος αριθμός που παρεμβάλλεται είναι πενταπλάσιος από τον πρώτο αριθμό που παρεμβάλλεται.να βρείτε τους αριθμούς αυτούς Δίνονται δύο αριθμοί λ και μ με άθροισμα 50.Μεταξύ των αριθμών λ και μ παρεμβάλλουμε 18 αριθμούς,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.να βρείτε το άθροισμα των αριθμών που παρεμβάλλονται Δίνονται οι αριθμοί,3 και 35.Μεταξύ των αριθμών και 3 παρεμβάλλονται διπλάσιοι όροι από αυτούς που παρεμβάλλονται μεταξύ του 3 και του 35,ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.να βρείτε όλους τους παραπάνω αριθμούς Να βρεθεί πόσους αριθμητικούς ενδιάμεσους πρέπει να παρεμβάλλουμε μεταξύ των αριθμών 1 και 19, ώστε ο δεύτερος ενδιάμεσος να έχει προς τον τελευταίο ενδιάμεσο λόγο ίσο με Μεταξύ δύο αριθμών, οι οποίοι έχουν άθροισμα 36 5, παρεμβάλλονται αριθμητικοί μέσοι που το άθροισμά τους είναι 18. Να βρεθεί το πλήθος των αριθμητικών μέσων που παρεμβάλλονται Να βρεθεί πόσους αριθμητικούς ενδιάμεσους πρέπει να παρεμβάλλουμε μεταξύ των αριθμών -6 και 48, ώστε x7 x Να βρεθεί το άθροισμα των μ αριθμητικών μέσων που παρεμβάλλονται ανάμεσα στους αριθμούς 1 και. Προσδιορισμός διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου με γνωστό άθροισμα 109. Δίνονται πέντε διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου που έχουν άθροισμα 55,ενώ το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 695.Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικούς ακέραιους όρους αριθμητικής προόδου,που έχουν άθροισμα 0,ενώ το άθροισμα των αντιστρόφων τους είναι Τέσσερις διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου έχουν άθροισμα 44,ενώ το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 664. i) Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς ii) Ανάμεσα στον μικρότερο και τον μεγαλύτερο από αυτούς που βρήκατε,να παρεμβάλλεται πέντε αριθμούς,ώστε όλοι μαζί να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. 11. Τρείς ακέραιοι αριθμοί,που είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,έχουν άθροισμα 33 και γινόμενο 440. i) Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς ii) Ο μεγαλύτερος από τους παραπάνω αριθμούς είναι ο 10ος όρος και ο μικρότερος είναι ο 4 ος όρος 193

10 μιας αριθμητικής προόδου (αν).να βρείτε: α)τον πρώτο όρο και τη διαφορά της (αν) β)πόσοι πρώτοι όροι της (αν) έχουν άθροισμα 14 γ) το άθροισμα S a13 a14... a Να βρεθούν οι α1 και ω Α.Π. όταν : α)α3 + α7 =40 και α6 + α8 =56 β)α1+α+α3+α4+α5=40 και γ)α8 + α5 =1 3 3 και Να βρεθούν οι α1 και ω Α.Π. όταν : α)α1+α+α3=1 και α1αα3=315 β)θεωρούμε τους 1 πρώτους όρους με άθροισμα των τεσσάρων μεσαίων 74 και γινόμενο άκρων όρων 70 γ)σ0=1030 και α10-α3=35 δ)α1+α+α3=45 και Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που σχηματίζουν Α.Π. αν το γινόμενο των άκρων όρων είναι 45 και το γινόμενο των μέσων όρων είναι Να βρεθούν τρείς αριθμοί που σχηματίζουν Α.Π. αν το άθροισμά τους είναι 45 και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι Σε Α.Π. το άθροισμα των έξι πρώτων όρων είναι 48 και το άθροισμα των έξι επόμενων είναι 10. Να βρεθεί η πρόοδος Σε μια Α.Π. είναι S και η διαφορά του τρίτου από το δέκατο όρο είναι 35. Να βρεθεί η πρόοδος Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που σχηματίζουν Α.Π. αν το γινόμενο των άκρων όρων είναι 45 και το γινόμενο των μέσων όρων είναι Να βρεθούν τρεις αριθμοί που σχηματίζουν Α.Π. αν το άθροισμά τους είναι 45 και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι Σε Α.Π. το άθροισμα των έξι πρώτων όρων είναι 48 και το άθροισμα των έξι επόμενων είναι 10. Να βρεθεί η πρόοδος. 1. Σε Α.Π με 1 όρους, το άθροισμα των τεσσάρων μεσαίων όρων είναι 74, και το γινόμενο των άκρων είναι 70. Να βρεθεί η πρόοδος. 13. Σε Α.Π. με περιττό αριθμό όρων, το άθροισμα των όρων περιττής τάξης είναι 5, και το άθροισμα των όρων άρτιας τάξης είναι 39. Να βρεθεί η πρόοδος. 14. Να βρεθούν τρεις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 1 και το γινόμενό τους είναι Να βρεθούν τρεις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 45 και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι

11 16. Να βρεθούν πέντε αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 50 και το. άθροισμα των τετραγώνων τους είναι Να βρεθούν πέντε αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 30 και το. άθροισμα των κύβων τους είναι Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 8 και το. άθροισμα των τετραγώνων τους είναι Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το γινόμενο των άκρων όρων τους είναι 45 και το γινόμενο των μέσων όρων τους είναι Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π., αν το άθροισμά τους είναι 0 και το. άθροισμα των αντιστρόφων τους είναι Τα ψηφία ενός τετραψήφιου αριθμού είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Αν το τελευταίο ψηφίο είναι τετραπλάσιο του πρώτου, να βρεθεί ο αριθμός. 13. Τα ψηφία ενός τριψήφιου θετικού αριθμού είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Αν το άθροισμα τους ισούται με το γινόμενό τους, να βρεθεί ο αριθμός Οι άκροι όροι μιας Α.Π. είναι 5 και 0. Να βρεθούν δύο όροι που απέχουν εξίσου από τους άκρους, αν γνωρίζουμε ότι το γινόμενό τους είναι Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι ανάλογοι προς τους αριθμούς, 5, 7. Αν από τον β αφαιρέσουμε το 7 γίνονται διαδοχικοί όροι Α.Π. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. Προβλήματα 135. Ένα θέατρο έχει δύο σειρές καθισμάτων.η πρώτη σειρά έχει 10 καθίσματα και κάθε επόμενη έχει 3 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη της. i) Πόσα καθίσματα έχει η τελευταία σειρά; ii) Πόσα καθίσματα έχει όλο το θέατρο; iii) Σε μια παράσταση, τα εισιτήρια της 7ης σειράς διανεμήθηκαν δωρεάν και όλα τα υπόλοιπα πουλήθηκαν προς 30 το ένα. Πόσα χρήματα εισέπραξε το θέατρο από την παράσταση αυτή; 136. Διαθέτουμε 9999 όμοια αντικείμενα τα οποία θέλουμε να συσκευάσουμε σε δέματα έτσι,ώστε το πρώτο δέμα να περιέχει 3 αντικείμενα,το δεύτερο δέμα να περιέχει 5 αντικείμενα,το τρίτο δέμα να περιέχει 7 αντικείμενα και γενικά κάθε δέμα να περιέχει δύο αντικείμενα περισσότερα από το προηγούμενο του. i) Να βρείτε πόσα δέματα θα δημιουργηθούν ii) Αν η συσκευασία του πρώτου δέματος κοστίζει 100 λεπτά, του δεύτερου δέματος κοστίζει 10 λεπτά, του τρίτου δέματος κοστίζει 140 λεπτά και γενικά,αν η συσκευασία κάθε δέματος κοστίζει 0 λεπτά περισσότερο από το κόστος συσκευασίας του προηγούμενου δέματος,να βρείτε πόσο θα κοστίσει η συσκευασία του δέματος που περιέχει τα περισσότερα αντικείμενα. 195

12 137. Δύο ταχυδρόμοι αναχώρησαν συγχρόνως από δύο πόλεις Α και Β,που απέχουν 385 km και κινούνται πεζοί για να συναντηθούν.αυτός που αναχώρησε από την πόλη Α την πρώτη μέρα διάνυσε 5 km,τη δεύτερη 8km την τρίτη 11km κ.ο.κ. Αυτός που αναχώρησε από την πόλη Β διάνυσε την πρώτη μέρα 5km,την δεύτερη 3 km την τρίτη 1km κ.ο.κ. Μετά από πόσες μέρες θα συναντηθούν και σε ποια απόσταση από την πόλη Α; 138. Τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. i) Να βρείτε το λόγο της μικρότερης κάθετης προς τη μεγαλύτερη κάθετη πλευρά ii) Αν η υποτείνουσα είναι κατά 10 μεγαλύτερη από τη μικρότερη πλευρά, να βρείτε τα μήκη των τριών πλευρών του τριγώνου 139. Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 00 παιδιά,τα οποία χωρίστηκαν σε ομάδες ως εξής :Η πρώτη ομάδα έχει δύο παιδιά και κάθε άλλη ομάδα έχει 4 παιδιά περισσότερα από την προηγούμενη. Να βρείτε : i) πόσες ομάδες δημιουργήθηκαν; ii) πόσα παιδιά έχει η τελευταία ομάδα; iii) ποια ομάδα έχει παιδιά iv) πόσα παιδιά υπάρχουν στις 7 πρώτες ομάδες; 140. Σε μια έκθεση ζωγραφικής υπάρχουν 15 πίνακες τοποθετημένοι στη σειρά ως εξής : Ο πρώτος πίνακας αξίζει και κάθε άλλος πίνακας είναι κατά ω ακριβότερος από τον προηγούμενο του. Αν ο 10ος πίνακας έχει διπλάσια αξία από τον 3ο πίνακα,να βρείτε : i) τον αριθμό ω ii) την αξία του ακριβότερου πίνακα iii) την αξία του μεσαίου πίνακα, iv) ποιος πίνακας κοστίζει v) Πόσο αξίζουν όλοι οι πίνακες της έκθεσης; 141. Μια ομάδα ακροβατών θέλησε να γραφτεί στο βιβλίο Γκίνες,κάνοντας ρεκόρ στον σχηματισμό της υψηλότερης ανθρώπινης πυραμίδας.μπήκαν λοιπόν σε σειρές ως εξής :Στην κορυφή ένα άτομο,στην επόμενη σειρά δύο, στην αμέσως πιο κάτω σειρά τρείς κ.λπ. Έτσι κατάφεραν 45 ακροβάτες να κάνουν το ρεκόρ. i) να βρείτε πόσες σειρές είχε η πυραμίδα που σχημάτισαν. ii) Να βρείτε πόσους ακροβάτες είχε η σειρά που βρισκόταν στη βάση της πυραμίδας. iii) Έναν μήνα αργότερα μια άλλη ομάδα ακροβατών ξαναέσπασε το ρεκόρ σχηματίζοντας με όμοιο τρόπο μια πυραμίδα υψηλότερη κατά 3 σειρές.πόσοι ήταν συνολικά οι ακροβάτες αυτοί; 14. Ένα αμφιθέατρο έχει 16 σειρές καθισμάτων. Στην πρώτη σειρά υπάρχουν ορισμένα καθίσματα και σε κάθε άλλη υπάρχουν 4 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη.η 9η σειρά έχει τόσα καθίσματα περισσότερα από την 4η σειρά,όσα είναι τα καθίσματα της 1ης σειράς. i) Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει η πρώτη σειρά και πόσα η τελευταία. ii) Να βρείτε πόσα καθίσματα υπάρχουν συνολικά στο αμφιθέατρο iii) Αν στην πρώτη σειρά κάθονται 3 άτομα και σε κάθε άλλη σειρά κάθονται 5 άτομα περισσότερα από όσα κάθονται στην προηγούμενη, να βρείτε : α)πόσα άτομα κάθονται στην τελευταία σειρά, β)πόσα καθίσματα είναι άδεια στην 8 η σειρά γ) πόσα καθίσματα είναι άδεια σε ολόκληρο το αμφιθέατρο Σε μια εταιρεία Α ένας υπάλληλος τον πρώτο χρόνο που προσλαμβάνεται θα έχει ετήσιο μισθό ,ο οποίος θα αυξάνεται κατά 50 κάθε χρόνο.σε μια εταιρεία Β ένας υπάλληλος τον πρώτο χρόνο που προσλαμβάνεται θα έχει ετήσιο μισθό 1000,ο οποίος θα αυξάνεται κατά 500 κάθε χρόνο. 196

13 Να βρείτε : i) τον ετήσιο μισθό ενός υπαλλήλου της εταιρείας Α τον 13 ο χρόνο υπηρεσίας του, ii) τα συνολικά χρήματα που έχει πάρει ένας υπάλληλος της εταιρείας Β στα 8 πρώτα χρόνια της υπηρεσίας του, iii) σε πόσα χρόνια ένας υπάλληλος της εταιρείας Α θα έχει ετήσιο μισθό 0000 iv) σε πόσα χρόνια ένας υπάλληλος της εταιρείας Α και ένας υπάλληλος της εταιρείας Β που προσλήφθηκαν ταυτόχρονα,θα έχουν τον ίδιο ετήσιο μισθό Η τιμή αγοράς ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή είναι μεγαλύτερη από 60 και μικρότερη από 640. Κατά την αγορά συμφωνήθηκαν τα εξής: Να δοθεί προκαταβολή 10. Η εξόφληση του υπόλοιπου ποσού να γίνει σε δέκα μηνιαίες δόσεις Κάθε δόση να είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη κατά ω όπου ω θετικός ακέραιος Η τέταρτη δόση είναι 48. α)να εκφράσετε το ποσό της πρώτης δόσης ως συνάρτηση του ω β)να εκφράσετε την τιμή αγοράς σαν συνάρτηση του ω γ)να βρείτε την τιμή του ω δ)να βρείτε το ποσό της τελευταίας δόσης. ε)να βρείτε την τιμή αγοράς του ηλεκτρονικού υπολογιστή Αν οι πλευρές α,β,γ ενός τριγώνου και η ημιπερίμετρος τ είναι διαδοχικοί όροι μιας Α.Π.,να δειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Γ (η σειρά είναι τ,γ,β,α) Ένα ταχυδρομικό γραφείο μιας γειτονιάς διανέμει καθημερινά για 4 μέρες 4 επιστολές παραπάνω από την προηγούμενη.τις πρώτες 4 μέρες διανέμει συνολικά όσες τις υπόλοιπες 18 μέρες.πόσες επιστολές διανέμει συνολικά τις 4 μέρες; 147. Ο πωλητής μιας εταιρείας συμφώνησε με τον ιδιοκτήτη της τα εξής.για πωλήσεις αξίας ενός εκατομμυρίου η προμήθεια του θα είναι Για πωλήσεις αξίας δύο εκατομμυρίων η προμήθεια του θα είναι ,για πωλήσεις αξίας τριών εκατομμυρίων η προμήθεια του θα είναι κ.ο.κ. i) Να βρεθεί η προμήθεια του πωλητή για πωλήσεις ii) Αν η προμήθεια του πωλητή είναι τότε να βρεθεί η αξία σε εκατομμύρια των πωλήσεων που έκανε ο πωλητής Ένας κηπουρός πρέπει να ποτίσει μία σειρά από 100 λεύκες.κάθε λεύκα απέχει από την προηγούμενη 5m.Η βρύση απέχει από την 1η λεύκα 10m.Ονομάζουμε dν την απόσταση πήγαινε έλα ανάμεσα στην βρύση και τη νιοστή λεύκα α)υπολογίστε τις αποστάσεις d1,d,d3 β)εκφράστε το dν+1 συναρτήσει του dν γ) Να δείξετε ότι η ακολουθία (dν) είναι Α.Π. δ)βρείτε τον πρώτο όρο d1και τη διαφορά ω της προόδου ε) Πόσα μέτρα θα διανύσει ο κηπουρός ποτίζοντας όλες τις λεύκες; 197

14 149. Πάνω σε μία σκακιέρα με 64 τετραγωνίδια,βάζουμε 1 κόκκο ρυζιού πάνω στο πρώτο τετραγωνίδιο,έπειτα 4 στο ο,7 στο 3ο,10 στο 4ο κ.λπ..πόσους κόκκους ρυζιού θα τοποθετήσουμε πάνω στη σκακιέρα; 150. Ένας υπάλληλος προτείνει δύο τρόπους αμοιβής στον εργοδότη του η 75000δρχ. κάθε μήνα και μία αύξηση 3850 δρχ. το μήνα η δρχ. κάθε μήνα και μία αύξηση 5000 δρχ. το μήνα α)ποιο τρόπο θα διαλέξει αν θέλει να κρατήσει τον υπάλληλο για ένα χρόνο; β) Ποιο τρόπο θα διαλέξει αν θέλει να κρατήσει τον υπάλληλο για : i) για 5 χρόνια ii) για περισσότερα από 5 χρόνια 151. Συναντώντας κάποιος ένα ζητιάνο του δίνει ένα νόμισμα,έπειτα συναντά ένα δεύτερο ζητιάνο και του δίνει δύο νομίσματα.συναντά κι άλλους ζητιάνους και τους δίνει ένα νόμισμα παραπάνω από τον προηγούμενο κάθε φορά μέχρι που του τελειώνουν τα νομίσματα.σκέφτεται τότε και λέει Αν είχα δώσει τόσα νομίσματα στον καθένα θα ήταν πιο δίκαιο και ο κάθε ζητιάνος θα είχε 8 νομίσματα.πόσους ζητιάνους συνάντησε; 15. Ένας αγρότης υπολόγισε ότι το καλαμπόκι που είχε αρκούσε να θρέψει τις 75 κότες για μια ορισμένη περίοδο. Δυστυχώς μια αλεπού του έτρωγε μία κότα κάθε νύχτα και έτσι το καλαμπόκι του θα αρκούσε για μια περίοδο κατά 50% μεγαλύτερη απ ότι είχε υπολογίσει.αν η αλεπού δεν είχε φάει τις κότες πόσες μέρες θα είχε διαρκέσει η τροφή; 153. Σ έναν ουρανοξύστη 17 ορόφων,τα γραφεία του ίδιου ορόφου έχουν το ίδιο ενοίκιο.κάθε γραφείο του πρώτου ορόφου ενοικιάζεται 550 το μήνα. Κάθε γραφείο ενός ορόφου ενοικιάζεται 35 το μήνα ακριβότερα από ένα γραφείο του προηγούμενου ορόφου. i) Ποιο είναι το μηνιαίο ενοίκιο ενός γραφείου του πέμπτου ορόφου; ii) Πόσο ακριβότερο είναι ένα γραφείο του 15ου ορόφου από ένα του 7ου ορόφου; iii) Σε ποιους ορόφους το ενοίκιο ξεπερνά τις 1000 το μήνα; iv) Αν το πλήθος των γραφείων ενός ορόφου είναι μικρότερο κατά από το πλήθος των γραφείων του αμέσως προηγούμενου ορόφου και ο 17ος όροφος έχει 1 γραφεία,να βρείτε : α)πόσα γραφεία έχει ο πρώτος όροφος. β) πόσα γραφεία έχει συνολικά ο ουρανοξύστης. γ) πόσο θα κοστίσει τον μήνα σε έναν επιχειρηματία να νοικιάσει όλα τα γραφεία που βρίσκονται στον μεσαίο όροφο του ουρανοξύστη Ένα κολιέ αξίας αποτελείται από 33 διαμάντια.το μεσαίο διαμάντι είναι και το ακριβότερο.τα υπόλοιπα διαμάντια είναι τοποθετημένα κατά σειρά αξίας,ώστε κάθε διαμάντι,μέχρι το μεσαίο,να αξίζει 100 λιγότερο από το επόμενο του και στη συνέχεια,από το μεσαίο και πέρα,κάθε διαμάντι αξίζει 150 λιγότερο από το προηγούμενο του. i) Να βρείτε πόσα ακριβότερο είναι το μεσαίο διαμάντι από: α) το πρώτο διαμάντι β)από το τελευταίο διαμάντι ii) Να βρείτε την αξία του μεσαίου διαμαντιού Κατά τη διάρκεια έργων συντήρησης της εθνικής οδού,είχαν τοποθετηθεί κατά μήκος του δρόμου φωτεινοί σηματοδότες ανά 10m.Μόλις τελείωσαν τα έργα,ένας εργάτης που βρισκόταν στον πρώτο σηματοδότη πήρε εντολή να μεταφέρει όλους τους σηματοδότες δίπλα στον τελευταίο.ο εργάτης μπορούσε να μεταφέρει μόνο έναν σηματοδότη κάθε φορά και όταν τελείωσε τη μεταφορά είχε διανύσει συνολικά 1,44km. i) Πόσες φορές έκανε ο εργάτης τη διαδρομή ανάμεσα: 198

15 α) στον πρώτο και στον τελευταίο σηματοδότη; β)στον δεύτερο και στον τελευταίο σηματοδότη ii) Να βρείτε πόσοι ήταν όλοι οι σηματοδότες Διαθέτουμε 9999 όμοια αντικείμενα,τα οποία θέλουμε να συσκευάσουμε σε δέματα έτσι ώστε το πρώτο δέμα να περιέχει 3 αντικείμενα,το δεύτερο δέμα να περιέχει 5 αντικείμενα,το τρίτο δέμα να περιέχει 7 αντικείμενα και γενικά κάθε δέμα να περιέχει δύο αντικείμενα από το προηγούμενο του i) Να βρεθεί πόσα δέματα θα δημιουργηθούν. ii) Αν η συσκευασία του πρώτου δέματος κοστίζει 10, του δεύτερου 1, του τρίτου 14, και γενικά αν η συσκευασία κάθε δέματος κοστίζει δραχμές περισσότερο από το κόστος της συσκευασίας του προηγούμενου,να βρεθεί πόσο θα κοστίσει η συσκευασία του δέματος που περιέχει τα περισσότερα αντικείμενα Στους δίσκους Α και Β μιας ζυγαριάς υπάρχουν βάρη 40 και 0 γραμμαρίων αντίστοιχα.στον δίσκο Α τοποθετούμε διαδοχικά βάρη των 0 γραμμαρίων το καθένα.στον δίσκο Β τοποθετούμε τριπλάσιο βάρος του αρχικού και συνεχίζουμε προσθέτοντας βάρη,καθένα από τα οποία είναι τριπλάσιο του βάρους που είχε τοποθετηθεί στην αμέσως προηγούμενη φορά. i) Αν το συνολικό βάρος στον δίσκο Β είναι 40 γραμμάρια, να βρεθεί πόσες φορές χρειάστηκε να τοποθετήσουμε βάρη στον δίσκο αυτό. ii) Πόσα βάρη των 0 γραμμαρίων πρέπει να τοποθετήσουμε στον δίσκο Α, ώστε να ισορροπήσει η ζυγαριά; 158. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της είναι 40,ενώ το άθροισμα των 15 πρώτων όρων της είναι 135.Να βρείτε : i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά ω της προόδου ii) την τιμή της παράστασης: iii) το άθροισμα: S a10 a11... a Δίνεται η ακολουθία με γενικό όρο : 11. i) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος και έχει πρώτο όρο 1 9 και διαφορά ω= ii) Να βρείτε το άθροισμα: S a1 a13... a1,όπου a1, a13,..., a 1 είναι διαδοχικοί όροι της προόδου (αν). iii) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης: x x1 είναι διαδοχικοί όροι της προηγούμενης προόδου (αν) Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) με ακέραιους όρους και διαφορά ω=1.για τους πρώτους ν όρους της προόδου ισχύει S και 1 1.Να βρείτε : i) τον αριθμό ν και τον πρώτο όρο της προόδου 4 ii) τον όρο ακ για τον οποίο ισχύει ; Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) της οποίας ο 13ος όρος είναι -3 και το άθροισμα των πρώτων 8 όρων της είναι 84. i) Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της αριθμητικής προόδου (αν) 4 ii) Να λύσετε την εξίσωση x a x a

16 3 x a1 iii) Να λύσετε την ανίσωση : x 5x S Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) με 1 για την οποία ισχύουν 9 13,α6=Ρ(Α-Β), α8=ρ(α) και α11=ρ(αβ),όπου Α και Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. 1 i) Να αποδείξετε ότι ii) Να βρείτε ποιος όρος της (αν) ισούται με ( ) iii) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 16 όρων της (αν) iv) Να βρείτε την πιθανότητα: α) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β β) να πραγματοποιηθεί το Β γ) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β. 00

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + 3 β) α = + ( 1) ν ν γ) α ν = 1 1 1 1 + + + L + 1 3 34 ν ν + 1 δ) α1 = 0, αν+ 1 = 3α + 1 ν ( ). ** Να

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα για Λύση. 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,..

Θέματα για Λύση. 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,.. 72 Θέματα για Λύση 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,.. 2. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) είναι: α 8 = 22 και α 14 = 40. Να προσδιορισθεί ο εικοστός όρος της προόδου. 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ Ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1,,3,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ. 1. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. ) κάθε όρος Γ Δ. Β. 10 Γ. 2 Δ.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ. 1. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. ) κάθε όρος Γ Δ. Β. 10 Γ. 2 Δ. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. * Σε μια ακολουθία ( ) κάθε όρος είναι Α. θετικός Β. 0 Γ. ακέραιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 5.2 Ασκήσεις: 1-17 Θεωρία ως και την 5.3 Ασκήσεις: 18-24 Άσκηση 1 Θεωρούμε την ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της.

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να σχηµατίσετε τις γεωµετρικές προόδους µε: α) α 1 = 5 και λ = 3 2 1 β) α 1 = και λ = 3 1 γ) α 1 = - 20 και λ = 2 2. * Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στους αριθµούς 2, 16,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή.

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Παρατηρούµε ότι: 1 11 ( + = 1 ) 1+ = ( + 1) 1 3 33 ( + + + = 1 ) Ποιο νοµίζετε ότι θα είναι το άθροισµα 1 + + 3 +... + ν; Αποδείξτε την ισότητα που συµπεράνατε µε επαγωγή.. * Μετράµε

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα. Να συμπληρώσετε την δεύτερη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

2 ος. Γυμνασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Με τα. αριθμός που μπορούμε να σχηματίσουμε ώστε. Απάντηση = β) Γνωρίζουμε ότι διψήφιο τμήμα

2 ος. Γυμνασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Με τα. αριθμός που μπορούμε να σχηματίσουμε ώστε. Απάντηση = β) Γνωρίζουμε ότι διψήφιο τμήμα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑ ΑΣ 2 ος Ημαθιώτικος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά. «Κ. ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» Σάββατο 23 Ιανουαρίου 2010 Α Γυμνασίου ΘΕΜΑ 1 ο Με τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5 σχηματίζουμ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Η συνδρομή για την συμμετοχή στον όμιλο κολύμβησης είναι 15 τον μήνα και 5 για κάθε φορά που χρησιμοποιούμε την πισίνα. Αν τον προηγούμενο μήνα πληρώσαμε 75, πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολική Χρονιά: 015-016 Ασκήσεις Επανάληψης για την B Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί Αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: 1) ².³ = ) (³) 5 = 3) 5 : 8 = 4) ( 5. 7 ) :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μέρος Α.- Θεωρία. 1. Τι λέμε αλγεβρική και τι αριθμητική παράσταση; 2. Τι λέμε αναγωγή ομοίων όρων; 3. Τι λέμε εξίσωση α βαθμού; 4. Τι λέμε πρώτο

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (141) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τηλ. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 Tel. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 5 Αν a = 4 και b = 5 +, να υπολογίσετε την τιμή παράστασης: 5 A = a: b b. 5a ΘΕΜΑ ο Έστω α θετικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 4η Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9. Άσκηση 7η.

Άσκηση 4η Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9. Άσκηση 7η. Άσκηση 1η Αν η εξίσωση είναι αόριστη, τότε: α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση είναι αδύνατη β) Να λυθεί η ανίσωση γ) Αν ισχύει ότι να βρεθεί ο αριθμός Α Άσκηση 2η Αν η εξίσωση έχει λύση μεγαλύτερη του και η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΟ Για να λύσουµε ένα πρόβληµα, αφού το διαβάσουµε καλά, εντοπίζουµε τον άγνωστο και τον συµβολίζουµε µε µία µεταβλητή. Με βάση τα δεδοµένα του προβλήµατος καταστρώνουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

6. Πόσα πολλαπλάσια του αριθμού 9 υπάρχουν μεταξύ των αριθμών και 22550;

6. Πόσα πολλαπλάσια του αριθμού 9 υπάρχουν μεταξύ των αριθμών και 22550; 100 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΥΙΖ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΜΙΚΡΟΥΣ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΟΥΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΤΑΞΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΙ ΦΑΝΤΑΣΙΑ (ΕΧΟΥΝ ΗΔΗ ΑΝΑΡΤΗΘΕΙ ΑΛΛΕΣ 2 ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΟΜΟΙΟΙ ΓΡΙΦΟΙ ΣΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΤΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΜΑΣ)

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ακολουθίας. Πίνακας τιµών µεταβλητών Χ Α Β α 5 20 8 10 23 15 15 23 8 β 3 18 4 8 17 13 13 17 4 γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ακολουθίας. Πίνακας τιµών µεταβλητών Χ Α Β α 5 20 8 10 23 15 15 23 8 β 3 18 4 8 17 13 13 17 4 γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ακολουθίας Η δοµή Ακολουθίας είναι η πιο απλή δοµή του δοµηµένου προγραµµατισµού. Η κάθε εντολή ακολουθεί κάποια άλλη. Οι εντολές εκτελούνται ακριβώς µε τη σειρά όπως θα δοθούν στον αλγόριθµο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα