ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ"

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων: Θεωρητική προσέγγιση και μια εφαρμογή. Εμμανουήλ Αν. Βασιλάκης ΕΡΓΑΣΙΑ Που υποβλήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου ΑΘηνών ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Συμπληρωματικής Ειδίκευσης στη Στατιστική Μερικής Παρακολούθησης (Part-time) Αθήνα Φεβρουάριος 2014

2

3 ΑΦΙΕΡΩΣΗ Η διαδικασία της απόκτησης της γνώση είναι συνήθως ένας αγώνας που εμπεριέχει τη συλλογική συνεργασία μεταξύ εκπαιδευομένων και εκπαιδευτών, αλλά απαιτεί και πολλές ατέλειωτες ώρες μοναχικής προσπάθειας. Αφιερώνω λοιπόν την παρούσα εργασία στην σύντροφο της ζωής μου Ελένη για την αμέριστη συμπαράστασή της, την ανοχή της και την ουσιαστική παρουσία της όλα αυτά τα χρόνια.

4

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ όλους τους καθηγητές του τμήματος για την προσπάθεια που έκαναν και κάνουν αλλά κυρίως τους κ.κ. Αθανάσιο Γιαννακόπουλο και Μιχάλη Ζαζάνη που μου έδειξαν εμπιστοσύνη και με επέλεξαν για αυτό το μεταπτυχιακό. Ι

6 ΙΙ

7 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Γεννήθηκα το 1964 στην Αθήνα. Τελείωσα τις γυμνασιακές μου σπουδές το Από το 1986 εργάζομαι στον Τραπεζικό χώρο. Από το 1996 μέχρι το 1999 φοίτησα στο Ινστιτούτο Τραπεζικών σπουδών της Ιονικής Τράπεζας όπου και πήρα βεβαίωση σπουδών. Το 2001 εισήλθα στο τμήμα Πληροφορικής της Σχολής Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας του Ελληνικού Ανοιχτού Πανεπιστημίου όπου και πήρα πτυχίο το Το 2011 ξεκίνησα αυτό το μεταπτυχιακό πρόγραμμα. Σήμερα εργάζομαι στο Τμήμα Συμψηφισμού Επιταγών της ALPHA BANK. III

8 IV

9 V ABSTRACT Emmanuil Vasilakis Game theory: Theoretical approach and an application February 2014 This work has as main theme of a theoretical approach of game theory and an application that touches on the scientific scope of the economic environment. It begins with an overview of game theory and different approaches deping on the problem we face. The first chapter develops the strategic form of the game presented a series of theorems dominated theorem of Nash, analyzed mixed and pure strategies, the second chapter presents the games in analytical form, explains the meaning of sub games, and described the sub games balance Nash. The third chapter is an attempt to present and the Bayesian approach. The fourth chapter presents a problem which affects the application of game theory in international relations in a problem relating to pollution management. Alongside each chapter there is a reference to necessary mathematical tools used. In the appix there is a series of programming tools developed by the writer and contribute to solving standard problems

10 VI

11 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Εμμανουήλ Αν. Βασιλάκης Θεωρία παιγνίων: Θεωρητική προσέγγιση και μία εφαρμογή. Φεβρουάριος 2014 Η εργασία αυτή έχει σαν κύριο θέμα της μια θεωρητική προσέγγιση της θεωρίας παιγνίων καθώς και μια εφαρμογή που αγγίζει στο επιστημονικό πεδίο των οικονομικών του περιβάλλοντος. Αρχίζει με μια γενική παρουσίαση της θεωρίας παιγνίων και των διαφορετικών προσεγγίσεων της ανάλογα με το πρόβλημα που έχουμε να αντιμετωπίσουμε. Στο πρώτο κεφάλαιο αναπτύσεται η στρατηγική μορφή των παιγνίων παρουσιάζονται μια σειρά θεωρημάτων με κυρίαρχο το θεώρημα του Nash, αναλύονται οι μικτές και καθαρές στρατηγικές, Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα παίγνια στην αναλυτική τους μορφή, αναλύεται η έννοια των υποπαιγνίων, και περιγράφεται η υποπαιγνιακή ισορροπία Nash. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται ποσπάθεια να παρουσιαστεί και η μπεϋζιανή προσέγγιση. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται ένα πρόβλημα που αγγίζει την εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων στις διεθνείς σχέσεις σε ένα πρόβλημα που αφορά την διαχείριση της ρύπανσης. Παράλληλα σε κάθε κεφάλαιο υπάρχει μια αναφορά σε απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται. Στο παράρτημα υπάρχει σειρά προγραμματιστικών εργαλείων που έχουν αναπτυχθεί από τον γράφοντα και συμβάλουν στην επίλυση τυποποιημένων προβλημάτων.

12

13 Περιεχόμενα Εισαγωγή... 5 Ορισμός πρώτος:... 5 Ορισμός δεύτερος:... 5 Ορισμός τρίτος:... 5 Ορισμός τέταρτος:... 5 Ορισμός πέμπτος :... 5 Μια πρώτη ιδέα... 9 Ορισμός του Στατικού παιγνίου Μορφές και χαρακτηριστικά παιγνίων... 9 Κεφάλαιο 1 ο Μορφή μήτρας (Στρατηγική μορφή) Παράδειγμα 1.1 Δίλλημα φυλακισμένου Καθαρή στρατηγική Pareto βέλτιστη στρατηγική Κανονική μορφή Μικτή στρατηγική Κυριαρχία Παράδειγμα Παράδειγμα 1.3: Παράδειγμα Παράδειγμα Ισορροπία Nash Παράδειγμα Θεώρημα: Παράδειγμα Ορισμός συνόλου υποστήριξης: Θεώρημα (Ισότητα των πληρωμών) Παράδειγμα 1.8: Θεώρημα του Nash

14 Θεώρημα ύπαρξης ισορροπίας Nash: Ελαχιστοποίηση της μέγιστης ζημιάς (John von Neumann) Ορισμός: Παράδειγμα Μικτές στρατηγικές σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Θεώρημα minimax για τις μικτές στρατηγικές: Μια παρένθεση Θεώρημα: Ορισμός: Θεώρημα: Θεώρηµα: Θεώρημα Von Neumann minimax: Απόδειξη: Δεύτερη απόδειξη: Κεφάλαιο 2ο Μορφή δένδρου (αναλυτική μορφή) Θεωρία γράφων Παράδειγμα Πληροφοριακά σύνολα Παράδειγμα Συμπεριφορικές στρατηγικές Παράδειγμα Υποπαίγνια Θεώρημα: Απόδειξη: Θεώρημα: Υποπαιγνιακή τέλεια Ισορροπία Nash Παράδειγμα Παράδειγμα Υποπαιγνιακή τέλεια Ισορροπία Nash βελτιωμένος ορισμός Υποπαιγνιακή τέλεια Ισορροπία Nash με προς τα μπρος επαγωγή Παράδειγμα

15 Κάποιες παρατηρήσεις για την αλγοριθμική επίλυση παιγνίου σε αναλυτική μορφή: Κεφάλαιο 3 ο Μπεϋζιανά παίγνια: Ισορροπία κατά Nash Bayes Κεφάλαιο 4 ο Εφαρμογή με αναφορά στις διεθνείς σχέσεις Παράρτημα: Εφαρμογές Εφαρμογή 1: Παίγνια μηδενικού αθροίσματος με τη μέθοδο minimax Εφαρμογή 2: Πρόγραμμα απαλοιφής ισχυρά κυριαρχούμενων στρατηγικών Εφαρμογή 2.1 κυρίως πρόγραμμα απαλοιφής ισχυρά κυριαρχούμενων στρατηγικών Εφαρμογή 3: Πρόγραμμα επίλυσης παιγνίου με μέθοδο simplex Εφαρμογή 3.1: δημιουργία του πίνακα της simplex Εφαρμογή 3.1.1: έλεγχος των διαστάσεων των στοιχείων εισόδου για δημιουργία του πίνακα της simplex Εφαρμογή 3.2: έλεγχος θετικότητας και πρόσθεση στον πίνακα του σε απόλυτο αριθμό μεγαλύτερου αρνητικού του στοιχείου Εφαρμογή 3.3: έλεγχος του πίνακα της simlex για εύρεση της στήλης οδηγού Εφαρμογή 3.4: έλεγχος του πίνακα της simlex και υπολογισμοί για εύρεση της γραμμής οδηγού Εφαρμογή 3.5:Μετασχηματισμός και δημιουργία νέου πίνακα της simlex Εφαρμογή 3.6: Έκδοση του τελικού αποτελέσματος με βάση τον τελικό πίνακα της simplex Εφαρμογή 4: Πρόγραμμα επίλυσης παιγνίου με καθαρές στρατηγικές με την αναλυτική μέθοδο Εφαρμογή 5.1: Επαναληπτική διαδικασία για εύρεση ποσότητας μείωσης ρύπων που επιφέρει βέλτιστο κόστος και για τα τρία κράτη (σημείο ισορροπίας Nash) σε περίπτωση μη συνεργασίας με τα δεδομένα της εφαρμογής Εφαρμογή 5.2: Επαναληπτική διαδικασία για εύρεση ποσότητας μείωσης ρύπων που επιφέρει βέλτιστο κόστος και για τα τρία κράτη (σημείο ισορροπίας Nash) σε περίπτωση συνεργασίας των δύο κρατών και μη συνεργασίας του τρίτου με τα δεδομένα της εφαρμογής

16 4

17 Εισαγωγή Ένα από τα διαχρονικά πρωτεύοντα ερευνητικά ερωτήματα των κοινωνικών επιστημών είναι αν μπορεί να ερευνηθεί με μεθόδους φυσικών επιστημών η ανθρώπινη συμπεριφορά μέσα στις κοινωνικές ομάδες αλλά και με βάση το προσωπικό κίνητρο. Με βάση το ερώτημα αυτό εξελίσσονται διάφορα μαθηματικά μοντέλα ένα από τα οποία είναι και αυτό της θεωρίας αποφάσεων και παιγνίων. Ας δούμε όμως πως μπορούμε να ορίσουμε την θεωρία παιγνίων. Ορισμός πρώτος: Είναι η εξέταση του πως συμπεριφέρονται οι ορθολογικά σκεπτόμενοι άνθρωποι όταν συνεργάζονται ή όταν οι ενέργειες του ενός επιδρούν στις ενέργειες και στις αποφάσεις των άλλων. Robert J. Aumann, 1985 Ορισμός δεύτερος: Η θεωρία παιγνίων μπορεί να οριστεί ως η μελέτη των μαθηματικών μοντέλων της σύγκρουσης και συνεργασίας μεταξύ ορθολογικά σκεπτόμενων ανθρώπων. Παρέχει τις γενικές εκείνες μαθηματικές τεχνικές για την ανάλυση των καταστάσεων στις οποίες δύο ή περισσότερα άνθρωποι καλούνται να πάρουν αποφάσεις που θα επηρεάσει την ωφελιμότητα των υπόλοιπων συμμετεχόντων. Roger B. Myerson, 1991 Ορισμός τρίτος: Η Θεωρία Παιγνίων είναι μια μαθηματική μέθοδος για την ανάλυση της στρατηγικής αλληλεπίδρασης. Nobel Prize Citation, 1994 Ορισμός τέταρτος: Η προσπάθεια να ερμηνευτεί µια κατάσταση όπου (α) Ν(>1) φυσικά ή νομικά πρόσωπα, (οι αποκαλούµενοι «παίκτες») κάνουν κάποιες επιλογές µε στόχο ο καθένας την ικανοποίηση του συµφέροντός του, και (β) το αποτέλεσµα για τον κάθε παίκτη δεν εξαρτάται µόνο από τη δική του επιλογή αλλά και από τις επιλογές των υπόλοιπων Ν-1 παικτών. Γιάννης Βαρουφάκης, 2002 Και μια δική μου προσέγγιση του ορισμού. Ορισμός πέμπτος : Ορίζουμε σαν παίγνιο μια κατάσταση κατά την οποία δύο ή περισσότεροι παίκτες ενεργούν με βάση προκαθορισμένους κανόνες ή και περιορισμούς, δημιουργώντας 5

18 αντικρουόμενα και αλληλοεξαρτώμενα συμφέροντα. Κάθε παίκτης αποσκοπεί δια των αποφάσεών του στην μεγιστοποίηση της συνάρτησης ωφέλειας του η οποία όμως περιέχει σαν μεταβλητές της τις ενέργειες του ίδιου αλλά και των υπόλοιπων παικτών. Το ερώτημα που προκύπτει από τους παραπάνω ορισμούς είναι το αν μπορεί η θεωρία παιγνίων να προσδιορίσει την ανθρώπινη συμπεριφορά κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες προσδοκιών από ενδεχόμενες συγκεκριμένες και πεπερασμένες σε αριθμό ενέργειες. Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι αρκετά σύνθετη αγγίζοντας το καθαρά φιλοσοφικό πεδίο. Εδώ δεν θα επιχειρήσουμε να δώσουμε την απάντηση αλλά απλώς θα προσπαθήσουμε να δώσουμε κάποιες παραμέτρους που μπορούν να συμβάλλουν στην προσέγγιση του. Το πρώτο ερώτημα που τίθεται είναι αν μπορεί ένα κοινωνικό πρόβλημα να έχει την ίδια λύση σε κάθε επανάληψή του όπως υπόσχεται η θεωρία παιγνίων. Τα προβλήματα των ανθρωπίνων σχέσεων και των κοινωνικών προβλημάτων έχουν τρία βασικά χαρακτηριστικά: Πρώτο χαρακτηριστικό Είναι σύνθετα ως προς τις παραμέτρους που περιέχουν οπότε και δύσκολο να προσδιοριστεί με ακρίβεια το όφελος ή το κόστος που προκύπτει από κάποια συγκεκριμένη ενέργεια. Δεύτερο χαρακτηριστικό Εμπλέκεται η ανθρώπινη συμπεριφορά που δεν μπορεί να προεξοφληθεί ότι θα είναι πάντα ορθολογική (είτε λόγω αδυναμίας είτε από συνειδητή παραβίαση κανόνων) που οδηγεί σε ακόμα μεγαλύτερη πολυπλοκότητα. Τρίτο χαρακτηριστικό Ο παράγοντας χρόνος δεν είναι ουδέτερος. Μεταβάλει έστω και οριακά τις παραμέτρους που συνθέτουν το κοινωνικό πρόβλημα με αποτέλεσμα την συνεχή αλλαγή των χαρακτηριστικών και των αποτελεσμάτων που αυτό επιφέρει Αυτά τα χαρακτηριστικά συνθέτουν ένα άλλο μεγάλο πρόβλημα, αυτό της απροσδιοριστίας. Διαπιστώνουμε δηλαδή ότι δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το αποτέλεσμα ενός κοινωνικού φαινομένου με την ακρίβεια που μπορεί να προσδιοριστεί σε ένα φυσικό φαινόμενο. Άρα η απάντηση στο ερώτημα αν μπορεί να έχει την ίδια λύση σε κάθε επανάληψη ενός κοινωνικού φαινομένου, είναι ότι είναι αρκετά δύσκολο χωρίς όμως να μπορεί να αποκλειστεί. Το δεύτερο ερώτημα είναι γιατί προεξοφλείται από την θεωρία παιγνίων η ορθολογικότητα της ανθρώπινης συμπεριφοράς. Εδώ θα παραθέσω ένα απόσπασμα από ένα άρθρο των E.V.Petrakou and A.N. Yanakopoulos όπου εκφράζει και τους δικούς μου προβληματισμούς. 6

19 Το αξίωμα της ορθολογικής συμπεριφοράς προϋποθέτει ότι το άτομο έχει τις προτιμήσεις και ταυτόχρονα τη γνώση και τις επαρκείς πληροφορίες ώστε να μπορούν να επιλέξουν το καλύτερο μέσο για την επίτευξη του τελικού τους στόχου, ο οποίος προσδιορίζεται από την υποκειμενικά προσδιορισμένη (αναμενόμενη) χρησιμότητα. Προφανώς, μπορεί κανείς να επιχειρηματολογήσει αντίθετα και να κατασκευάσει μια εξίσου ενδιαφέρουσα θεωρία, διαψεύδοντας το αξίωμα του ορθολογισμού. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν πολύ ενδιαφέρουσες και δημοφιλείς θεωρίες ξεκινώντας από αυτό το πρίσμα θεώρησης. Η θεωρία της οριακής ορθολογιστικής, που προτείνεται από τον περίφημο πολιτικό φιλόσοφο και οικονομολόγο Herbert Simon, είναι ένα πολύ καλό παράδειγμα. Με λίγα λόγια η ορθολογικότητα στην ανθρώπινη συμπεριφορά στην πράξη δεν είναι δεδομένη. Η ορθολογική συμπεριφορά περιορίζεται όχι μόνο έλλειψης πληροφόρησης αλλά και από μια σειρά άλλους παράγοντες (συναισθηματικούς, προτιμήσεις, διαθέσεις στιγμής, παρορμητισμό κλπ) που συνθέτουν την κάθε προσωπικότητα χωριστά. Όλη αυτή η προβληματική που αναπτύσσεται σε καμία περίπτωση δεν μειώνει την αξία ενός σημαντικότατου εργαλείου όπως είναι αυτό της Θεωρίας παιγνίων. Αντίθετα θεωρώ ότι μέσα από την αμφισβήτηση δίνεται η δυνατότητα για περαιτέρω έρευνα έτσι ώστε να μπορέσει να αντιμετωπιστούν οι αδυναμίες είτε μέσω της εξέλιξης της είτε από την αναγέννηση μέσα από τις στάχτες της την δημιουργία δηλαδή νέων εργαλείων. 7

20 8

21 Μια πρώτη ιδέα Ένα πρόβλημα απόφασης μπορεί να περιγραφεί σαν μια κατάσταση με συμμετοχή δύο ή περισσότερων ατόμων. Κάθε συμμετέχων παίρνει μια απόφαση επηρεάζοντας την κατάσταση του προβλήματος και την τελική του έκβαση. Δανειζόμενοι κάποια ορολογία από ψυχαγωγικά παίγνια, (τα οποία αποτελούν μόνο ένα υποσύνολο των προβλημάτων απόφασης) όλα αυτά τα προβλήματα τα ονομάζουμε «παίγνια» και τα άτομα που λαμβάνουν τις αποφάσεις ονομάζονται «παίκτες». Ωστόσο, τα ψυχαγωγικά τεχνικά παίγνια μπορεί να έχουν χαρακτηριστικά που δεν είναι απαραίτητο να υπάρχουν στη γενική μορφή ενός παιγνίου για παράδειγμα, δεν είναι απαραίτητα αλήθεια ότι ένας παίκτης "κερδίζει" μόνον εφόσον το άλλο "χάνει". Ορισμός του Στατικού παιγνίου. Στατικό παίγνιο είναι εκείνο στο οποίο κάθε απόφαση λαμβάνεται από κάθε παίκτη χωρίς καμία γνώση της απόφασης που ελήφθη από τους άλλους παίκτες πριν πάρει την δική του απόφαση. Μερικές φορές αυτά τα παιχνίδια αναφέρονται ως παιχνίδια ταυτόχρονης απόφασης επειδή δεν έχει σημασία η σειρά με την οποία οι παίκτες αποφασίζουν. Το πιο διάσημο παράδειγμα ενός στατικού παιγνίου θεωρείται ότι είναι το Δίλημμα του φυλακισμένου. Μορφές και χαρακτηριστικά παιγνίων Τα χαρακτηριστικά που έχει ένα παίγνιο είναι: 1) Παίζεται από παίκτες. 2) Κάθε παίκτης έχει συγκεκριμένες και περιορισμένες σε αριθμό επιλογές ως προς τις κινήσεις του. 3) Κάθε παίκτης έχει συγκεκριμένες και περιορισμένες επ6ιλογές ως προς το χρόνο λήψης των αποφάσεων. 4) Ο βαθμός πληροφόρησης που κάθε παίκτης έχει. 5) Τα αποτελέσματα που κάθε παρτίδα έχει: ποιοί είναι οι κερδισμένοι, ποιοι οι χαμένοι και ποια είναι τα κέρδη και ζημίες που έχει κάθε παίκτης. Σαν τρόπος παράστασης ενός παιγνίου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μορφή μήτρας ή τη μορφή δέντρου. Με τη μορφή μήτρας τα στοιχείο που περιγράφονται είναι οι παίκτες οι επιλογές τους και τα αποτελέσματα των επιλογών τους. 9

22 Με τη μορφή δένδρου εκτός από τα παραπάνω είμαστε σε θέση να περιγράψουμε και τη χρονική διάσταση ου παιχνιδιού και το βαθμό πληροφόρησης που κάθε παίκτης έχει. Θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε και τις δύο μορφές. 10

23 11

24 Κεφάλαιο 1 ο Μορφή μήτρας (Στρατηγική μορφή) Παράδειγμα 1.1 Δίλλημα φυλακισμένου Δύο απατεώνες που ανακρίθηκαν από την αστυνομία για συμμετοχή σε σοβαρό έγκλημα. κρατούνται σε ξεχωριστά κελιά και δεν μπορούν να μιλήσουν ο ένας στον άλλο. Χωρίς ομολογία, η αστυνομία έχει μόνο αρκετά στοιχεία για την καταδίκη και των δύο για πταίσμα,. Θέλοντας να στοιχειοθετήσει τον κακουργηματικό χαρακτήρα του αδικήματος η αστυνομία κάνει την ακόλουθη προσφορά στους δύο κρατούμενους (σε ξεχωριστές αίθουσες ώστε να μην υπάρχει επικοινωνία μεταξύ τους): αν κάποιος ομολογήσει ότι και οι δύο διέπραξαν το σοβαρό έγκλημα, τότε ο αυτός θα αφεθεί ελεύθερος και ο άλλος θα εκτίσει 5 χρόνια στη φυλακή αν και οι δύο ομολογήσουν, τότε θα εκτίσουν και οι δύο 4 χρόνια και αν δεν ομολογήσει κανένας από τους δύο, τότε θα εκτίσουν και οι δύο 2 χρόνια στη φυλακή για το πταίσμα. Μπορούμε να περιγράψουμε αυτό το παιχνίδι πιο συνοπτικά με τον ακόλουθο πίνακα: Οι γραμμές περιγράφουν τις πιθανές επιλογές του πρώτου κρατούμενου (Κ1) ενώ οι στήλες του δεύτερου (Κ2). Οι δυνατές επιλογές είναι «Ομολογεί», «Δεν ομολογεί» Σε κάθε συνδυασμό επιλογών υπάρχουν δύο τιμές οι οποίες εκφράζουν η πρώτη την ποινή του σε γραμμή κρατούμενου (Κ1) και η δεύτερη την ποινή του σε στήλη κρατούμενου (Κ2). Επειδή δε οι τιμές εκφράζουν «ζημία» προσημαίνονται με αρνητικό πρόσημο, έτσι ώστε η μεγαλύτερη ποινή να έχει μικρότερη μαθηματική αξία από την μικρότερη ποινή. K1 K2 Ομολογεί Δεν ομολογεί Ομολογεί -4,-4 0,-5 Δεν ομολογεί -5,0-2,-2 Τι πρέπει κάθε κρατούμενος να κάνει; Αν δούμε την κατάσταση από την πλευρά του Κ1 τότε θα σκεφτούμε ως εξής: Εάν ο Κ2 δεν ομολογήσει εμένα με συμφέρει να ομολογήσω γιατί τότε θα αφεθώ ελεύθερος ενώ αν δεν ομολογήσω θα υποστώ ποινή διετή. Εάν ο Κ2 ομολογήσει εμένα πάλι με συμφέρει να ομολογήσω γιατί τότε η ποινή μου θα είναι τετραετής αντί για πενταετής. Με το ίδιο σκεπτικό θα λειτουργήσει και ο Κ2 άρα το τελικό συμπέρασμα είναι ότι σε περίπτωση μη συνεννόησης και οι δύο κρατούμενοι θα ομολογήσουν. 12

25 Το ενδιαφέρον σε αυτό το παιχνίδι προκύπτει από την ακόλουθη παρατήρηση. Και οι δύο παίκτες, ακολουθώντας την λογική του ατομικού συμφέροντος και της ιδιοτέλειας ομολογούν αλλά τελικά καταλήγουν σε χειρότερη θέση από ό, τι αν είχαν συνεννοηθεί και σιωπούσαν. Αυτό το φαινομενικά παράδοξο αποτέλεσμα συμπυκνώνει μια σημαντική διαφορά μεταξύ των μη-διαδραστικών και διαδραστικών παιγνίων. Μια υπόθεση εργασίας θα μπορούσε να είναι ότι υπάρχει μια συμφωνία πριν από τη σύλληψή για μη ομολογία («συμφωνία τιμής»). Ωστόσο, κανένας από τους δύο δεν είναι διασφαλισμένος για την τήρηση της συμφωνίας. Ένα άλλο παίγνιο θα μπορούσε να δημιουργηθεί με την υπόθεση της εκδίκησης σε περίπτωση ομολογίας, προσθέτοντας ποινή, αφαιρώντας δηλαδή όφελος σε περίπτωση ομολογίας μόνο του Κ1 ή μόνο του Κ2. Καθαρή στρατηγική Όταν η επιλογή στρατηγικής από το σύνολο των στρατηγικών που διαθέτει ο παίκτης i γίνεται με βεβαιότητα, τότε ονομάζεται καθαρή στρατηγική. Pareto βέλτιστη στρατηγική. Μια λύση λέγεται ότι είναι Pareto βέλτιστη (μετά την ιταλό οικονομολόγο Vilfredo Pareto) εάν θεωρήσουμε ότι σε ένα παίγνιο το όφελος ενός παίκτη συνεπάγεται ζημία για έναν ή περισσότερους από τους υπόλοιπους παίκτες. Τέτοιες λύσεις ονομάζονται επίσης κοινωνικά αποτελεσματικές ή απλώς αποτελεσματικές. Το «δίλημμα του φυλακισμένου» χρησιμοποιείται συχνά σαν παράδειγμα για την αναγκαιότητα του κοινωνικού συμβολαίου (δηλαδή, πώς διαμορφώνονται οι κοινωνίες και πώς εξασφαλίζεται η κοινωνική συνοχή). Αυτό συμβαίνει επειδή η κοινωνικά αναποτελεσματική λύση του θυμίζει πολλά χαρακτηριστικά της κοινωνίας. Για παράδειγμα, η πληρωμή των φόρων.. Αν κάποιος αποφεύγει την πληρωμή των φόρων είναι σε καλύτερη θέση ωστόσο, εάν κανείς δεν πληρώνει φόρους, τότε δεν υπάρχουν χρήματα για την παροχή των υπηρεσιών της κοινότητας και το κάθε μέλος της κοινότητας είναι σε χειρότερη κατάσταση από ό, τι αν ο καθένας είχε πληρώσει τους φόρους του. Κάθε δίλλημα της μορφής: K1 K2 Συνεργασία Μη συνεργασία Συνεργασία r,r s,t Μη συνεργασία t,s p,p με t>r>s>p ονομάζεται δίλημμα φυλακισμένου. Η ανάλυση αυτού του παιχνιδιού μας λέει ότι σε κάθε παίγνιο τέτοιας μορφής η αναμενόμενη επιλογή και των δύο παικτών θα είναι η μη συνεργασία επιλογή που τελικά είναι κοινωνικά αναποτελεσματική. 13

26 Μαθηματική περιγραφή Η μαθηματική περιγραφή του προβλήματος απαιτεί ορισμό συμβόλων. Οι παίκτες προσδιορίζονται από δείκτη i 1,2,... Οι καθαρές στρατηγικές κάθε παίκτη συμβολίζονται με S i Τα κέρδη κάθε παίκτη σε κάθε πιθανό συνδυασμό των καθαρών στρατηγικών που χρησιμοποιείται από όλους τους παίκτες. s, s... Σε αυτή την εργασία θα περιοριστούμε σε μεγάλο βαθμό σε παίγνια δύο παικτών. Κανονική μορφή. Η περιγραφή του παιγνίου με μορφή πίνακα και με καθαρή στρατηγική ονομάζεται κανονική μορφή. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η κανονική μορφή χρησιμοποιεί καθαρές στρατηγικές για να περιγράψει ένα παίγνιο. Για ένα στατικό παίγνιο, δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ καθαρής στρατηγικής και κίνησης. Ωστόσο, η διάκριση θα είναι σημαντικήδεν βρέθηκαν καταχωρήσεις ευρετηρίου. όταν θεωρούμε δυναμικά παιχνίδια. Στο παράδειγμα με το δίλλημα του φυλακισμένου η μαθηματική περιγραφή μπορεί να πάρει τη μορφή: Καθαρές στρατηγικές: S1 S2, Κέρδος της λύσης του παιγνίου: 1, 4, 4 Μικτή στρατηγική Ονομάζεται η στρατηγική εκείνη που αποτελεί πιθανοτικό μίγμα μέρους ή όλων των καθαρών στρατηγικών που ο παίκτης i διαθέτει. Κάθε καθαρή στρατηγική S θεωρείται ότι έχει πιθανότητα p να επιλεγεί. Μια μικτή στρατηγική συμβολίζεται με i ενώ το i σύνολο που αποτελείται από όλες τις μικτές στρατηγικές που ο παίκτης i έχει στη διάθεσή του συμβολίζεται με i Για κάθε παίκτη ενός παιγνίου με σύνολο καθαρών στρατηγικών S s, s, s,... a b c η μικτή στρατηγική μπορεί να παρουσιαστεί σαν διάνυσμα με πιθανότητες. i p sa, p sb, p sc... Κατά συνέπεια μια καθαρή στρατηγική μπορεί κατόπιν να αναπαρασταθεί σαν διάνυσμα όπου όλα τα στοιχείο του έχουν μηδενική τιμή εκτός από ένα που έχει την τιμή i 14

27 i 0,0,0,..,0,1,0,...,0. Οι μικτές στρατηγικές μπορεί, ως εκ τούτου, να παρασταθούν ως γραμμικοί συνδυασμοί των καθαρών. ss p s s Συμβατικά, θα συμβολίζουμε την πιθανότητα χρησιμοποίησης καθαρής στρατηγικής από τον παίκτη 1 με p (s) και από τον παίκτη 2 με q (s) για τον παίχτη 2. Οι αμοιβές για τις μικτές στρατηγικές δίνεται από τη παρακάτω σχέση: i 1, 2 ps1 qs2 is1, s2 s1s 1 s 2S 2 Βασική παραδοχή παραμένει η ικανότητα και ορθολογικότητα των παικτών καθώς και ότι στόχος τους είναι η μεγιστοποίηση της χρησιμότητας που θα έχουν από το παίγνιο. Μεγιστοποίηση της χρησιμότητας δεν μπορεί να είναι πάντα το μεγαλύτερο όφελος από τις διαθέσιμες επιλογές αφού θα πρέπει να υπολογίσουμε τη συμπεριφορά του άλλου παίκτη. Κυριαρχία. Επειδή έχουμε λύσει το δίλημμα του φυλακισμένου διαισθητικά έγινε σαφές ότι η στρατηγική της «ομολογίας» ήταν πάντα καλύτερη από τη στρατηγική της «μη ομολογίας» φαίνεται λογικό να προσπαθήσουμε να επιλύσουμε τέτοια παίγνια με την εξάλειψη των λιγότερο αποδοτικών για κάθε παίκτη στρατηγικών. ' Μια στρατηγική 1 ονομάζεται ισχυρά κυρίαρχη πάνω σε μία άλλη στρατηγική 1 όταν ισχύει ότι: i ', 2 i1, 2 1 ' Μια στρατηγική 1 ονομάζεται ασθενώς κυρίαρχη πάνω σε μία άλλη στρατηγική i όταν ισχύει ότι: i ', 2 i1, 2 και ' ' ' ' 2 st.. 1 1, 2 1 1, 2 1 Αντίστοιχοι ορισμοί και σχέσεις ισχύουν και για τον δεύτερο παίκτη του παιγνίου. 15

28 Παράδειγμα 1.2 K1 K2 αριστερά δεξιά πάνω 3,3 2,2 κάτω 2,1 2,1 Για τον παίκτη Κ1 η ισχυρά κυρίαρχη στρατηγική είναι η «πάνω» ενώ για τον παίκτη Κ2 η ισχυρά κυρίαρχη στρατηγική είναι η «αριστερά». Έτσι βγαίνει ότι ο Κ1 δεν θα παίξει «κάτω» και ο Κ2 δεν θα παίξει δεξιά. Άρα η λύση του παιγνίου είναι η («πάνω», «αριστερά»). Για να λύσουμε ένα παιχνίδι με την μέθοδο της εξάλειψης των μη κυρίαρχων στρατηγικών θα πρέπει να υποθέσουμε ότι οι παίκτες είναι ορθολογικοί. Ωστόσο, μπορούμε να προχωρήσουμε περαιτέρω, και να υποθέσουμε ότι: Οι παίκτες είναι ορθολογικοί Όλοι οι παίκτες γνωρίζουν ότι όλοι οι άλλοι παίκτες είναι ορθολογικοί. Όλοι οι παίκτες γνωρίζουν ότι όλοι οι παίκτες γνωρίζουν ότι όλοι οι άλλοι παίκτες είναι ορθολογικοί.. Και πάει λέγοντας Αυτή η αλυσίδα των υποθέσεων ονομάζεται Κοινή Γνώση του ορθολογισμού, ή CKR. Εφαρμόζοντας την υπόθεση CKR, μπορούμε να λύσουμε ένα παιχνίδι με διαδοχική επαναληπτική χρήση της εξάλειψης των μη κυρίαρχων στρατηγικών. Παράδειγμα 1.3: K1 K2 αριστερά κέντρο δεξιά πάνω 1,0 1,2 0,1 κάτω 0,3 0,1 2,0 Αρχικά ο παίκτης Κ1 δεν έχει ισχυρά κυρίαρχη στρατηγική. Για τον παίκτη Κ2,η στρατηγική «κέντρο» είναι ισχυρά κυρίαρχη πάνω στην στρατηγική «δεξιά» για κάθε στρατηγική του παίκτη Κ1. Έτσι η λογική επιλογή του παίκτη 2 θα είναι η απόρριψη της στρατηγικής «δεξιά». Η εικόνα του παιγνίου διαμορφώνεται ως εξής (η σκιασμένη μπλε περιοχή είναι η περιοχή απόρριψης από τον Κ2 στη δεύτερη φάση επίλυσης) 16

29 K1 K2 αριστερά κέντρο δεξιά πάνω 1,0 1,2 0,1 κάτω 0,3 0,1 2,0 Τώρα, για τον παίκτη Κ1, η στρατηγική «πάνω» είναι ισχυρά κυρίαρχη στην στρατηγική «κάτω» για τις επιλογές που απέμειναν στον παίκτη Κ2 Έτσι η στρατηγική «κάτω» απορρίπτεται από τον παίκτη Κ1. Η εικόνα του παιγνίου διαμορφώνεται ως εξής (η σκιασμένη μωβ περιοχή είναι η περιοχή απόρριψης από τον Κ1 στην τρίτη φάση επίλυσης) K1 K2 αριστερά κέντρο δεξιά πάνω 1,0 1,2 0,1 κάτω 0,3 0,1 2,0 Τώρα, για τον παίχτη 2,η στρατηγική «κέντρο» είναι ισχυρά κυρίαρχη της στρατηγικής «αριστερά» για την μοναδική στρατηγική που έχει απομείνει στον παίκτη Κ1. Άρα απορρίπτεται από τον Κ2 η στρατηγική «αριστερά», Η εικόνα του παιγνίου διαμορφώνεται ως εξής (η σκιασμένη πράσινη περιοχή είναι η περιοχή απόρριψης από τον Κ1 στην τέταρτη φάση επίλυσης) K1 K2 αριστερά κέντρο δεξιά πάνω 1,0 1,2 0,1 κάτω 0,3 0,1 2,0 Κατά συνέπεια σαν μοναδική λύση του παιγνίου προκύπτει η (μόνη λευκή στο σχήμα επιλογή) («πάνω», «Κέντρο»). Παράδειγμα 1.4 K1 K2 αριστερά δεξιά πάνω 0,3 10,2 κέντρο 10,4 0,0 κάτω 3,1 3,1 17

30 Αρχίζουμε με τον παίκτη Κ1, και βλέπουμε ότι η στρατηγική κέντρο κυριαρχεί ισχυρά πάνω στην στρατηγική «κάτω» στην περίπτωση επιλογής «αριστερά» από τον παίκτη Κ2, και η στρατηγική «πάνω» κυριαρχεί πάνω στην στρατηγική «κάτω» στην περίπτωση επιλογής «δεξιά» από τον Κ2. Άρα θεωρούμε την επιλογή «κάτω» προς εξάλειψη. K1 K2 αριστερά δεξιά πάνω 0,3 10,2 κέντρο 10,4 0,0 κάτω 3,1 3,1 Συνεχίζοντας με τον παίκτη Κ2 βλέπουμε ότι η στρατηγική «αριστερά» του αποδίδει σε κάθε περίπτωση περισσότερα κέρδη από την στρατηγική «δεξιά». Άρα εξαλείφεται η στρατηγική «δεξιά». K1 K2 αριστερά δεξιά πάνω 0,3 10,2 κέντρο 10,4 0,0 κάτω 3,1 3,1 Από τις επιλογές που ο παίκτης Κ1 έχει θα επιλέξει πλέον προς εξάλειψη την επιλογή «πάνω». Έτσι το ταμπλώ διαμορφώνεται ως εξής: K1 K2 αριστερά δεξιά πάνω 0,3 10,2 κέντρο 10,4 0,0 κάτω 3,1 3,1 Έτσι σαν επιλογή μένει η («κέντρο», «αριστερά»). Παράδειγμα 1.5 K1 K2 αριστερά κέντρο δεξιά πάνω 1,3 4,2 2,2 κέντρο 4,0 0,3 4,1 κάτω 2,5 3,4 5,6 18

31 Στο συγκεκριμένο παράδειγμα διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχει ισχυρά ασθενής στρατηγική για κανέναν από τους δύο παίκτες. Παρ 'όλα αυτά, υπάρχει μια «προφανή» λύση σε αυτό το παιχνίδι, δηλαδή («κάτω», «δεξιά»), η οποία μεγιστοποιεί την πληρωμή και για τους δύο παίκτες. Είναι δυνατόν να καθοριστεί μια λύση με άλλο τρόπο (εκτός της μεθόδου της εξάλειψης των μη κυρίαρχων στρατηγικών); Την απάντηση σε αυτό το ερώτημα την έδωσε ο John Nash. Όμως πριν δώσουμε την μαθηματική διατύπωση της ισορροπίας Nash θα πρέπει να υπενθυμίσουμε τον ορισμό του argument of the maximum. Έχοντας μια συνάρτηση f x ορίζουμε ότι: argmax f x x y : f y f x x Είναι δηλαδή όλες οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής για τις οποίες η εξαρτημένη μεταβλητή μιας συνάρτησης παίρνει την μέγιστη τιμή της. Ισορροπία Nash Μια στρατηγική για τον παίκτη Κ1 1 στρατηγική του παίκτη Κ2 2 αν είναι η καλύτερη απάντηση σε κάποια σταθερή arg max, Αντίστοιχα: Μια στρατηγική για τον παίκτη 2 2 σταθερή στρατηγική του παίκτη 1 1 αν είναι η καλύτερη απάντηση σε κάποια arg max, Παράδειγμα 1.6 Δύο παίκτες παίζουν με δύο νομίσματα το παιχνίδι «κορώνα γράμματα» Κάθε παίκτης κρατάει στα χέρια του ένα νόμισμα. Ανοίγοντας ταυτόχρονα τα χέρια τους αποκαλύπτεται η όψη την οποία έχει επιλέξει ο καθένας. Σε περίπτωση που και οι δύο έχουν επιλέξει κορώνα ή και οι δύο γράμματα ο παίκτης Κ1 κερδίζει ένα ευρώ που το χάνει ο παίκτης Κ2 ενώ σε περίπτωση που επιλέξει ο ένας γράμματα και ο άλλος κορώνα τότε ο παίκτης Κ1 χάνει ένα ευρώ. που το κερδίζει ο παίκτης Κ2. Έτσι το παίγνιο έχει την παρακάτω μορφή: 19

32 K1 K2 κορώνα γράμματα κορώνα 1,-1-1,1 γράμματα -1,1 1,-1 Έστω τώρα ότι ο παίκτης α φέρνει κορώνα με πιθανότητα p και ο παίκτης Κ2 με πιθανότητα q. Η μικτή στρατηγική του Κ1 θα είναι η 1 p,1 p και του παίκτη Κ2 θα είναι η 2 q,1 q. Έτσι προκύπτει ότι η απόδοση του παίκτη Κ1 δίνεται από τη σχέση:, p 1 pq 1 q pq 1 pq p1 q 1 p1 q 1 4pq 2p 2q 1 2q 2p2q pq q pq p pq 1 p q pq pq q pq p pq 1 p q pq Από την σχέση που βρήκαμε συμπεραίνουμε ότι αν ο παίκτης Κ2 έχει πιθανότητα να φέρει κορώνα 1 q τότε η στρατηγική που θα πρέπει να ακολουθήσει ο παίκτης Κ1 είναι 2 να παίζει συνέχεια γράμματα δηλαδή, 0,1. Εάν ισχύει ότι μικτή ή καθαρή στρατηγική είναι βέλτιστη Αντίθετα ο παίκτης Κ2 θα έχει απόδοση ίση με, p 1 pq 1 q pq 1 pq p1 q 1 p1 q 1 2p 2q1 2p q τότε κάθε 2 Από την σχέση που βρήκαμε συμπεραίνουμε ότι αν ο παίκτης Κ1 έχει πιθανότητα να φέρει κορώνα 1 p τότε η στρατηγική που θα πρέπει να ακολουθήσει ο παίκτης Κ2 2 είναι να παίζει συνέχεια κορώνα δηλαδή, 1,0. Εάν ισχύει ότι κάθε μικτή ή καθαρή στρατηγική είναι βέλτιστη p τότε 2 Έτσι η στρατηγική που και για τους δύο παίκτες είναι βέλτιστη με την ίδια απόδοση σε 1 1 ισορροπία Nash είναι: 1 2, 2 2. Η πληρωμή που κάθε παίκτης θα λάβει από την στρατηγική αυτή θα είναι:,, Μια ισοδύναμη μορφή του ορισμού της ισορροπίας Nash, η οποία επικεντρώνεται στις * στρατηγικές και όχι στα οφέλη, είναι ότι η στρατηγική 1 είναι η καλύτερη απάντηση 20

33 * στην 2 και το αντίστροφο. Με άλλα λόγια, με δεδομένη τη στρατηγική του ενός παίκτη ο δεύτερος παίκτης θα κάνει την καλύτερη δυνατή επιλογή. Ένα ζευγάρι των στρατηγικών * * 1, 2 λέμε ότι είναι σε ισορροπία Nash αν * arg max, και arg max, * Θα προσπαθήσουμε τώρα να επιλύσουμε το παίγνιο του παραδείγματος 5. Έστω η προφανής λύση του παιγνίου είναι η («κάτω», «δεξιά»). Έστω τώρα ότι η πιθανότητα για τον παίκτη Κ2 να παίξει «αριστερά» «κέντρο» και «δεξιά» δεδομένου ότι ο παίκτης Κ1 θα παίξει «κάτω» είναι αντίστοιχα p q και 1p q. Τότε το αναμενόμενο όφελος για τον παίκτη Κ2 θα είναι: " ά ", 5p 4q 6 1 p q 66p 6q 5p 4q 6 p 2q Και δεδομένου ότι ο Κ2 θα παίξει «δεξιά» θα έχουμε ότι o παίκτης Κ1 παίζει «πάνω» «κέντρο» «κάτω» με πιθανότητα αντίστοιχα p q και 1p q Το αναμενόμενο όφελός του Κ1 είναι: 1 1," ά" 2p 4q 5 1 p q 55p 5q 2p 4q 53pq 5 Θεώρημα: Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα ζεύγος καθαρών στρατηγικών s * * 1, s 2 τέτοιες ώστε: *, *, * s s s s s S και *, * *, s s s s s S τότε το ζεύγος s * * 1, s2 είναι σε ισορροπία Nash. Απόδειξη: Για όλες τις μικτές στρατηγικές 1 1 έχουμε ότι: * * * * * *, s ps s, s ps s, s s, s ss 1 ss 1 Αντίστοιχα για τις μικτές στρατηγικές 1 1 έχουμε ότι: 21

34 * * * * * * s, ps s, s ps s, s s, s ss 2 ss 2 Παράδειγμα 1.7 Έστω το παίγνιο του παραδείγματος 1.4. K1 K2 αριστερά κέντρο δεξιά πάνω 1,3 4,2 2,2 κέντρο 4,0 0,3 4,1 κάτω 2,5 3,4 5,6 Θεωρούμε ότι οι παίκτες μπορούν να επιλέξουν μόνο καθαρές στρατηγικές. Έτσι λοιπόν σε κάθε δυνατή στρατηγική κάθε παίκτη, σημειώνουμε την καλύτερη (επωφελέστερη) στρατηγική - απάντηση του άλλου παίκτη. (με κόκκινο χρώμα είναι οι επιλογές του παίκτη Κ1 και με μπλε οι επιλογές του παίκτη Κ2). K1 K2 αριστερά κέντρο Δεξιά πάνω 1,3 4,2 2,2 κέντρο 4,0 0,3 4,1 κάτω 2,5 3,4 5,6 Βλέπουμε ότι στο κελί («κάτω», δεξιά») και οι δύο τιμές είναι χρωματισμένες. Άρα η επιλογή «κάτω» του παίκτη Κ1 είναι η καλύτερη απάντηση στην επιλογή «δεξιά» του παίκτη Κ2 και αντιστρόφως. Άρα αποτελεί επιλογή ισορροπίας Nash. Ορισμός συνόλου υποστήριξης: Ορίζουμε σαν σύνολο υποστήριξης της μικτής στρατηγικής εκείνο το σύνολο S S που περιέχει όλες τις καθαρές στρατηγικές του σ όπου ps 0. Θεώρημα (Ισότητα των πληρωμών). Έστω ότι σε ένα παίγνιο η ισορροπία Nash βρίσκεται σε μικτές στρατηγικές και το σύνολο υποστήριξης της 1. Τότε θα ισχύει ότι: * S1 είναι 22

35 s, * *, * s S * και αντίστοιχα,, Απόδειξη: Έστω ότι το σύνολο υποστήριξης s s S * * * * * S 1 περιέχει μόνο μία στρατηγική s. Τότε η λύση θεωρείται τετριμμένη. Έστω τώρα ότι το σύνολο υποστήριξης περιέχει μια καθαρή ' στρατηγική s τέτοια ώστε να δίνει μεγαλύτερη πληρωμή από αυτήν της μικτής στρατηγικής που βρίσκεται σε ισορροπία Nash Τότε θα ισχύει: * * * *, p s s, ss* 1 ss* 1 ss* 1 1, 2 1, 2 p s s p s s * * * ' ' * 1, 2 1, 2 p s s p s s s, * ' * * ' ' * ' * 1 2 Άτοπο γιατί έχουμε δεχτεί ότι το ζεύγος μικτών στρατηγικών * * 1, 2 είναι σε ισορροπία Nash. Ανάλογη απόδειξη έχουμε και για το αντίστοιχο μέρος του θεωρήματος που αφορά την στρατηγική του δεύτερου παίκτη. Παρατήρηση: Δεδομένου ότι όλες οι καθαρές στρατηγικές που ανήκουν στο σύνολο υποστήριξης μιας μικτής στρατηγικής έχουν την ίδια πληρωμή, γιατί ένας παίκτης να επιλέξει μια μικτή στρατηγική; Η απάντηση είναι ότι, αν ο παίκτης 1 ήταν να * παρεκκλίνει από αυτή τη στρατηγική, τότε η 2 δεν θα είναι πλέον μια καλύτερη απάντηση και η ισορροπία Nash θα διαλυθεί. Αυτός είναι ο λόγος που οι μικτές στοχαστικές στρατηγικές είναι σημαντικές για την θεωρία παιγνίων. Παράδειγμα 1.8: K1 K2 κορώνα γράμματα κορώνα 1,-1-1,1 γράμματα -1,1 1,-1 Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα 6 έστω πάλι ότι ο παίκτης 2 παίζει κορώνα με πιθανότητα q και γράμματα με πιθανότητα 1 q. Εάν ο παίκτης Κ1 παίξει με μικτή 23

36 στρατηγική για να έχουμε ισορροπία Nash θα πρέπει να ισχύει ότι: * * H,, q H, H 1 q H, T q, H 1 q T, T q1 1 q1 q1 1 q1 q 1 q q 1 q q 1 q 1 q q 4q 2 q 2 Αντίστοιχο αποτέλεσμα θα βρούμε και για την στρατηγική του δεύτερου παίκτη αν ακολουθήσουμε τα ίδια βήματα. Έτσι φτάσαμε στο ίδιο συμπέρασμα που είχαμε καταλήξει και στο παράδειγμα 6 δηλαδή ότι η ισορροπία Nash επιτυγχάνεται με τις 1 1 στρατηγικές 1 2, 2 2 Η πληρωμή που κάθε παίκτης θα λάβει από την στρατηγική αυτή θα είναι:,, 0 και το αποτέλεσμα είναι το ίδιο με αυτό που βγάλαμε στο παράδειγμα 6. Θεώρημα του Nash. Κάθε παίγνιο με πεπερασμένο αριθμό παικτών και πεπερασμένο αριθμό στρατηγικών για κάθε παίκτη έχει το λιγότερο μια λύση σε ισορροπία Nash (με καθαρή ή μικτή στρατηγική). Το θεώρημα αυτό αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας το θεώρημα σταθερού σημείου του Kokutami. Κρίνουμε όμως πως δεν είναι απαραίτητο να παραθέσουμε εδώ την απόδειξη. Θα προσπαθήσουμε όμως να αποδείξουμε την ύπαρξη ισορροπίας Nash σε παίγνιο δύο παικτών με δύο πιθανές στρατηγικές ανά παίκτη, Θεώρημα ύπαρξης ισορροπίας Nash: Σε παίγνιο με δύο παίκτες και δύο στρατηγικές ανά παίκτη υπάρχει πάντα τουλάχιστον μία ισορροπία Nash Απόδειξη: Έστω το παίγνιο: K1 K2 Αριστερά Δεξιά Πάνω α,β γ,δ κάτω ε,ζ η,θ 24

37 Πιθανοί συνδυασμοί σχέσεων μεταξύ των αποδόσεων: Κ1 Κ2 Ισορροπία Nash με καθαρές στρατηγικές. a (πάνω,αριστερά) (Κάτω,αριστερά) (πάνω,δεξιά) (Κάτω,δεξιά) a μικτή a μικτή Για τις δύο τελευταίες περιπτώσεις γνωρίζουμε από το θεώρημα της ισότητας των πληρωμών ότι αν χρησιμοποιήσουμε μικτές στρατηγικές θα πρέπει να ισχύει ότι: Ο παίκτης Κ1 με δεδομένη στρατηγική του παίκτη Κ2 θα επιλέξει με πιθανότητα q «πάνω» και με πιθανότητα (1-q) «κάτω» Άρα με βάση το θεώρημα της ισότητας των πληρωμών θα ισχύει: * *,, 1 1 ά ά q q q q q q q q q q q q q Αν ισχύει: q 1 0 Αν ισχύει: q Αντίστοιχα ο παίκτης Κ2 με δεδομένη τη στρατηγική του παίκτη Κ1 θα έχει πιθανότητα p να επιλέξει «αριστερά» και 1-p να επιλέξει δεξιά και από το ίδιο θεώρημα παίρνουμε: 25

38 * *,, 1 1 ά ά p p p p q p p p p p p p p Με αντίστοιχο σκεπτικό αντιλαμβανόμαστε ότι 0 p 1 Διαπιστώνουμε ότι η ισορροπία Nash επιτυγχάνεται σε κάθε δυνατό συνδυασμό σχέσεων μεταξύ των πληρωμών κάθε παίκτη. Σημείωση: Η απόδειξη αυτή μπορεί να αποτελέσει και τη βάση του αλγορίθμου για την επίλυση ενός παιγνίου δύο παικτών και με δύο στρατηγικές ανά παίκτη. Ελαχιστοποίηση της μέγιστης ζημιάς (John von Neumann) Ένας από τους πρωτοπόρους της θεωρίας παιγνίων υπήρξε ο John von Neumann ο οποίος σε ένα δοκίμιό του (1928) έδωσε λύση σε μια κατηγορία παιγνίων αυτά του μηδενικού αθροίσματος. Ορισμός: Παίγνια μηδενικού αθροίσματος ονομάζονται αυτά στα οποία το άθροισμα των αποδόσεων των δύο αντιπάλων για κάθε συνδυασμό επιλογών είναι ίσο με μηδέν. Παράδειγμα 1.9 Έστω το παίγνιο: K1 K2 αριστερά κέντρο δεξιά πάνω -2,2 1,-1 10,-10 μέση -1,1 2,-2 0,0 κάτω -8,8 0,0-15,15 Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Κ1 έχει την πρώτη κίνηση. Εάν επιλέξει «πάνω» τότε ο παίκτης Κ2 θα επιλέξει την πλέον αποδοτική γι αυτόν κίνηση που είναι η «αριστερά». Το αποτέλεσμα για τον Κ1 θα είναι απώλεια 2 μονάδων. Εάν επιλέξει «μέση» ο Κ2 θα επιλέξει και πάλι «αριστερά», με αποτέλεσμα την απώλεια μίας μονάδας για τον Κ1 ενώ αν επιλέξει «κάτω» ο Κ2 θα επιλέξει «δεξιά» με απώλεια 15 μονάδων για τον Κ1. Γνωρίζοντας όλα τα δεδομένα ο Κ1 θα επιλέξει την στρατηγική «μέση» γιατί του ελαχιστοποιεί τις απώλειες. Ο παίκτης Κ2 γνωρίζοντας το σκεπτικό του Κ1 και ξέροντας ότι είναι ορθολογικά σκεπτόμενος παίκτης και άρα θα έχει επιλέξει την στρατηγική «μέση», θα επιλέξει να μεγιστοποιήσει το όφελός του επιλέγοντας ανάμεσα στις τρεις επιλογές που έχει σαν απάντηση στη στρατηγική «μέση» του παίκτη Κ1. Έτσι θα επιλέξει τη στρατηγική «αριστερά» 26

39 Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο παίκτης που έχει την πρώτη κίνηση είναι ο Κ2. Εάν επιλέξει «αριστερά» τότε ο παίκτης Κ1 θα επιλέξει την λιγότερο ζημιογόνα γι αυτόν κίνηση που είναι η «μέση». Το αποτέλεσμα για τον Κ2 θα είναι όφελος 1 μονάδας. Εάν ο Κ2 επιλέξει «κέντρο» ο Κ1 θα επιλέξει και πάλι «μέση», με αποτέλεσμα την απώλεια δύο μονάδων για τον Κ2 ενώ αν επιλέξει «δεξιά» ο Κ1 θα επιλέξει «πάνω» με απώλεια 10 μονάδων για τον Κ2. Γνωρίζοντας όλα τα δεδομένα ο Κ2 θα επιλέξει την στρατηγική «αριστερά» γιατί του μεγιστοποιεί τα οφέλη. Ο παίκτης Κ1 γνωρίζοντας το σκεπτικό του Κ2 και ξέροντας ότι είναι ορθολογικά σκεπτόμενος παίκτης και άρα θα έχει επιλέξει την στρατηγική «αριστερά», θα επιλέξει να μεγιστοποιήσει το όφελός του επιλέγοντας ανάμεσα στις τρεις επιλογές που έχει σαν απάντηση στη στρατηγική «αριστερά» του παίκτη Κ2. Έτσι θα επιλέξει τη στρατηγική «μέση» Το συμπέρασμα είναι ότι δύο ορθολογικά σκεπτόμενοι παίκτες σε ένα παίγνιο μηδενικού αθροίσματος καταλήγουν σε λύση του παιγνίου όπου η μικρότερη δυνατή απώλεια του ενός ισούται με το μεγαλύτερο δυνατό όφελος για τον άλλο. Με λίγα λόγια ο παίκτης αναφοράς σε κάθε πιθανή κίνηση του αντιπάλου υπολογίζει τη μέγιστη ωφέλεια, ενώ επιλέγεται τελικά η στρατηγική που παρέχει την ελάχιστη μέγιστη ωφέλεια. Ο αντίπαλος παίκτης έχοντας δεδομένη την κίνηση του παίκτη αναφοράς επιλέγει αντίθετα την κίνηση απάντηση που θα του αποφέρει την μικρότερη απώλεια κίνηση που εφόσον το παίγνιο είναι μηδενικού αθροίσματος είναι αυτή που αποδίδει το με αντίθετο πρόσημο ίδιο ποσό στον παίκτη αναφοράς. Ένα παίγνιο μηδενικού αθροίσματος είναι και αυτό στο παράδειγμα 6. Εκεί προέκυψε ότι: Και, p 1 pq 1 q pq 1 pq p1 q 1 p1 q pq 2p 2q 1 2q 2p2q pq q pq p pq p q pq pq q pq p pq p q pq, p 1 pq 1 q pq 1 pq p1 q 1 p1 q 1 2p 2q1 2p Διαπιστώνουμε δηλαδή ότι:,, Από το θεώρημα της ύπαρξης ισορροπίας Nash έχουμε ότι: *, *, * s s s s s S

40 *, * *, s s s s s S Από το συνδυασμό των τριών σχέσεων έχουμε ότι: * * * s1, s2 max s1, s2 Και 11 * * * s1, s2 min s1, s 22 Έχοντας τέλος σαν δεδομένο ότι αν ο στόχος του ενός παίκτη είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους του ο στόχος του άλλου θα είναι η ελαχιστοποίηση της ζημιάς του μπορούμε να γράψουμε την παρακάτω σχέση: * * * 1, 2 max 1, 2 max min 1, * * * 1, 2 min 1, 2 min max 1, Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να εκφραστεί και με αλγόριθμο που έχει χρησιμοποιηθεί σε συνάρτηση του Matlab που βρίσκεται στο παράρτημα της εργασίας. Μικτές στρατηγικές σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος οι καθαρές στρατηγικές δεν δίνουν λύση ισορροπίας. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε μικτές στρατηγικές. Θεώρημα minimax για τις μικτές στρατηγικές: Η εφαρμογή μικτής στρατηγικής σε παίγνιο μηδενικού αθροίσματος οδηγεί πάντα σε λύση. Δηλαδή υπάρχει πάντα μια άριστη μικτή στρατηγική που οδηγεί σε σταθερή λύση. Λύση από την οποία κανένας παίκτης δεν θέλει να μετακινηθεί γιατί δεν μπορεί να βελτιώσει τη θέση του. Μια παρένθεση Θεωρούμε εδώ ότι είναι απαραίτητο να υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές μαθηματικές έννοιες. Κλειστό σύνολο: Είναι ένα σύνολο που τα συνοριακά του στοιχεία ανήκουν σε αυτό δηλαδή περιέχει το σύνορό του. Ένα μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών Α ονομάζεται άνω φραγμένο όταν: sr: x s x A και κάτω φραγμένο αν: t R: x t x A 28

41 Ένα μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών Α λέγεται φραγμένο αν είναι άνω και κάτω φραγμένο, αν δηλαδή υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί t και s με την ιδιότητα s, t R: t x s x A Ένα μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών Α λέγεται απολύτως φραγμένο αν υπάρχει πραγματικός (μη αρνητικός) αριθμός l με την ιδιότητα l R: l x l A Ένα σύνολο είναι φραγμένο αν και μόνον αν είναι απολύτως φραγμένο. Συμπαγές σύνολο είναι αυτό που είναι κλειστό και φραγμένο Αξίωμα πληρότητας πραγματικών αριθμών Κάθε μη κενό άνω φραγμένο υποσύνολο Α των πραγματικών αριθμών έχει ένα (προφανώς μοναδικό) ελάχιστο άνω φράγμα. Το ελάχιστο αυτό άνω φράγμα λέγεται supremum του Α και συμβολίζεται με supa. Κάθε μη κενό κάτω φραγμένο υποσύνολο Α των πραγματικών αριθμών έχει ένα (προφανώς μοναδικό) μέγιστο κάτω φράγμα. Το μέγιστο αυτό κάτω φράγμα λέγεται infimum του Α και συμβολίζεται με infa. Θεώρημα: Έστω n είναι αύξουσα ακολουθία πραγματικών αριθμών. Αν η ακολουθία είναι και άνω φραγμένη τότε αυτή συγκλίνει και ισχύει ότι: lim sup Αντίστοιχα: Έστω n φθίνουσα ακολουθία πραγματικών αριθμών. Αν η ακολουθία είναι και άνω φραγμένη τότε αυτή συγκλίνει και ισχύει ότι: lim inf Απόδειξη: Έστω s sup n Αν 0 τότε s s δεν είναι άνω φράγμα της n. Άρα n s s Επειδή η είναι αύξουσα θα έχουμε s n 0 n n n0 0 : n 0 Επειδή όμως ο αριθμός s είναι άνω φράγμα της n n n n n n θα έχουμε ότι: n s n n0. Δηλαδή s n s s n s s n s n n ορισμός της άνω 0 φραγμένης ακολουθίας. 29

42 Το δεύτερο σκέλος αποδεικνύεται με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό αν θέσουμε στην φθίνουσα ακολουθία αρνητικό πρόσημο. Τότε αυτή γίνεται αύξουσα και το inf είναι το sup n n Σε μια αύξουσα ακολουθία, ο πρώτος όρος της είναι κάτω φράγμα ενώ σε μια φθίνουσα ακολουθία ο πρώτος όρος της είναι άνω φράγμα. Ορισμός: Θεωρούµε µια ακολουθία n και µια γνησίως αύξουσα ακολουθία θετικών ακεραίων n Τότε ορίζεται µια ακολουθία b n µε τύπο bn a n 1,2,3... τότε κάθε ακολουθία λέγεται b n n ονομάζεται υπακολουθία της n Θεώρημα: Αν µια ακολουθία υπακολουθία της συγκλίνει στο α. Απόδειξη: n συγκλίνει σ έναν πραγµατικό αριθµό α, τότε και κάθε Θεωρούµε µια υπακολουθία a. Αρχικά θα δείξουµε ότι 1,2,... n n n n λ Γνωρίζουμε ότι η n είναι γνησίως αύξουσα. Θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή. Για n 1 n 1 γιατί εξ ορισμού n είναι θετικός ακέραιος. Δεχόμαστε ότι Επειδή όμως και 1 (εξ ορισμού) και επειδή 1... ακέραιοι, τότε θα ισχύει ότι: Έστω τώρα 0: n0 0 : a a n n n 0 n0 N Αλλά τότε n n n 0 0. Επομένως: a a n n0 n Θεώρηµα: Έστω ο μετρικός X R. Αν K X τότε: Το σύνολο K είναι κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του X αν και µόνο αν κάθε ακολουθία x n του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K. Απόδειξη. Έστω το K είναι κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του X και x x 1, x 2... x m, n N ακολουθία του Κ. Τότε η ακολουθία των πρώτων 1 n n n n συντεταγµένων x της x n n είναι φραγμένη άρα έχει συγκλίνουσα υπακολουθία x n 1. Αν προχωρήσουμε και στη δεύτερη συντεταγμένη της x έχουμε ότι υπάρχει n n 30

43 υπακολουθία της x n ώστεη πρώτη και η δεύτερη συντεταγμένη της υπακολουθίας να συγκλίνουν. Εξαντλώντας τις συντεταγμένες προκύπτει υπακολουθία y n της x n ώστε y i yi i 1,2,3,... m. Αν y y1, y2,..., ym έχουμε ότι yn y. n Πραγματικά: 0 n0: yn y n n. Άρα y 0 n y Επειδή το K είναι κλειστό έχουμε ότι y K. Αντίστροφα αν κάθε ακολουθία του Κ έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του Κ τότε το Κ είναι κλειστό. Αν το Κ δεν είναι φραγμένο yn K : yn n n N Αν η y είναι συγκλίνουσα υπακολουθία της y n τότε η y είναι φραγμένη άτοπα γιατί k n kn y k n. Άρα το Κ είναι και φραγμένο. n Και τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην απόδειξη του θεωρήματος minimax για τις μικτές στρατηγικές. k n Θεώρημα Von Neumann minimax: Έστω τα σύνολα SA, S E είναι κυρτά και συμπαγή και ισχύει f : SASE R συνεχής κοίλη στο x και κυρτή στο y. Τότε θα υπάρχει xy, σημείο τέτοιο ώστε:, sup, inf, f x y f x y f x y Απόδειξη: xsa yse Παίρνουμε τα εξής σύνολα: A xsa : f x, y, y SE SA, R 1 E y S : f x, y, x S S E A E Από τον ορισμό του συνόλου f έχουμε ότι αυτό είναι κλειστό και κυρτό. Αυτό σημαίνει ότι : * * * * inf : sup : A, : 2 E Οι δύο αυτές σχέσεις εκφράζουν: Η 1 παράγει δύο σύνολα: το σύνολο A των τιμών της μεταβλητής x για τις οποίες η τιμή της συνάρτησης γίνεται μεγαλύτερη από την τιμή λ σε κάθε τιμή της μεταβλητής y. 31

44 Το σύνολο αυτό είναι υποσύνολο του συνόλου S A Και αντίστοιχα το σύνολο E των τιμών της μεταβλητής y για τις οποίες η τιμή της συνάρτησης γίνεται μικρότερη από την τιμή μ σε κάθε τιμή της μεταβλητής x. Το σύνολο αυτό είναι υποσύνολο του συνόλου S B Η 2 παράγει δύο τιμές. Το δίνει μια τιμή x * που είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του συνόλου SA τέτοια ώστε f x, y φράγμα του συνόλου E που δίνει μια τιμή και το y AL που * που είναι το μέγιστο κάτω SE τέτοια ώστε f x, y. Εξ ορισμού έχουμε δεχτεί ότι τα δύο σύνολα S A και S E είναι συμπαγή. Άρα: * A, E *, * * Επίσης αν τα A * και E * είναι μη κενά σύνολα, τότε x * και y * * * x, y θα ισχύει:, 3 * f x * y * *. * * Εάν τότε από τον ορισμό των A * και E * σημαίνει ότι: A E Για το ζευγάρι * * * * * * * *,,,, A όπου το E, f x y f x y f x y x y S S x y είναι το σαγματικό σημείο που ψάχνουμε να βρούμε. Θα πρέπει λοιπόν να δείξουμε ότι: * *. Έστω λοιπόν αριθμός 0. Από τον ορισμό του A * και του E * προκύπτει ότι το A E * * σημαίνει αντίστοιχα ότι: x S, y S : f x, y A E * 1 y S, y S : f x, y E A * 1 4 Για το ζευγάρι των x ys S αυτό σημαίνει:, A E S xs : f x, y A, y A 1 S y S : f x, y E, x E 1 32

45 Δεδομένου ότι η f είναι συνεχής τα δύο σύνολα είναι ανοιχτά. Και χρησιμοποιώντας την 4 προκύπτει ότι: S S S S A,, ys A y E E x E xs A που σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα ανοιχτά σύνολα S Ay, και S E, x για όλα τα δυνατές τιμές των x,y για να δημιουργήσουμε ανοιχτά καλύμματα για τα S και S E Αλλά επειδή τα SA και SE είναι συμπαγή σύνολα, αυτά τα ανοιχτά καλύμματα έχουν πεπερασμένα υποκαλύμματα. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο πεπερασμένα σύνολα στα οποία είναι υποσύνολα τα SA και S E. Δηλαδή δύο πεπερασμένα σύνολα x S, i 1... l y S, j 1... l i A 1 j E 2 τέτοια ώστε: A l2 l1 S S S S A A, y j E E, xi j1 i1 που σημαίνει ότι: j 1 A i 1 E min f x, y, x S max f x, y, y S 5 j Θέτουμε: i 1 1 y max 0, f x, y x max 0, f x, y 6 i i j j Από τις; 5 και 6 παίρνουμε: l 1 2 i y i1 j1 Ορίζουμε την απεικόνιση: l1 y x : xy,, y l x 0 0 l2 i i i1 j1 l1 l2 i i1 j1 j j j x y x i η οποία είναι μια συνεχής απεικόνιση : SA SE SA SE. Είναι και μια συνεχής απεικόνιση της κυρτής θήκης του συνόλου δηλαδή i j co x co y στον εαυτό του. 33

46 Το θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer εγγυάται την ύπαρξη ενός σημείου x y co x co y τέτοιου ώστε: *, * i j l1 l1 x y y x * i * i * i i1 i1 l2 l2 y x x y * j * j * i j1 j1 Για τις τιμές του i που το έχουμε ότι f x, y i y * 0 i * Αν τώρα πάρουμε τον 1 κυρτό συνδυασμό αυτών των ανισοτήτων έχοντας σαν δεδομένο ότι το x * ανήκει στην κυρτή θήκη του x i και χρησιμοποιώντας την κοιλότητα της f x, y σε σχέση με την πρώτη μεταβλητή διαπιστώνουμε ότι: f x, y * * 1 Με το ίδιο σκεπτικό για τις τιμές του j που το έχουμε ότι f x y j x * 0 *, i Αν 1 τώρα πάρουμε τον κυρτό συνδυασμό αυτών των ανισοτήτων έχοντας σαν δεδομένο ότι το * x και χρησιμοποιώντας την κυρτότητα της x ανήκει στην κυρτή θήκη του i, f x y σε σχέση με την δεύτερη μεταβλητή διαπιστώνουμε ότι: f x, y * * 1 Ο συνδυασμός των δύο ανισοτήτων δίνει την παρακάτω σχέση: f x y f x, y, 2 0 * * * * 1 * * 1 * * Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι: * * 7 Από τις; 2 και 7 παίρνουμε: * * που είναι και το ζητούμενο. Δεύτερη απόδειξη: Έστω πίνακας P ai, j M mn, ai, j 0 Θα δείξουμε ότι υπάρχουν μεικτές στρατηγικές x, y, R τέτοιες ώστε: 0 0 x P y x P y x y Θεωρούμε ότι ο παίκτης Α ' ' 0 0, κερδίζει το ποσό που χάνει ο παίκτης Β σε κάθε στρατηγική του και ότι ο παίκτης Α παίζει με γραμμές του πίνακα ενώ ο Β με τις στήλες 34

47 Ο παίκτης Α στην ουσία έχει να λύσει ένα πρόβλημα μαθηματικού προγραμματισμού με μεταβλητές p p1, p2,..., pn της μορφής: max min 1 i n p 0 ' pi p ' Pe 1 Όπου τα διανύσματα e είναι τα διανύσματα πιθανοτήτων που αντιστοιχούν στις γνήσιες στρατηγικές του παίκτη Β, δηλαδή το ei 1και στις υπόλοιπες θέσεις έχει τιμή 0 και I είναι το μοναδιαίο διάνυσμα. Η μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης δεν μας επιτρέπει να πούμε ότι είναι πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Αν όμως προσθέσουμε μια μεταβλητή ακόμα μπορούμε να πάρουμε στη μορφή: max max max p Pe i 1,2,... n p P p P p 0 p 0 p 0 ' ' ' ' ' i ' ' ' p I p I p I Θέτοντας x p/ έχουμε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού στη μορφή: max ' Px ' ' xi 1 x 0 ' Χρησιμοποιώντας τον περιορισμό xi 1 min I' x ' Px ' x 0 Από την θεωρία γνωρίζουμε ότι σε προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού υπάρχει πάντα μια άριστη λύση αν ο συνολικός αριθμός των μη αρνητικών μεταβλητών (κανονικών και άεργης δυναμικότητας) είναι ακριβώς ίδιος με τον αριθμό περιορισμών διαθέσιμων πόρων (περιορισμοί υπό μορφή εξισώσεων στο γραμμικό πρόβλημα) Άρα επειδή P 0 το πρόβλημα έχει άριστη λύση έστω x 0 Το δυϊκό πρόβλημα είναι το: 35

48 max I' y Py y 0 Από τη δυϊκή θεωρία προκύπτει ότι αν το πρωτεύον προβλημα έχει λύση θα έχει και το δυϊκό του. Ταυτόχρονα ισχύει ότι: I ' x I ' y z 0 Αν ορίσουμε τις σχέσεις: ισχύει x0 x, y0 y, z z z Τότε τα x0, y 0 έχουν μη αρνητικές συντεταγμένες και άθροισμα στη μονάδα. Άρα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι μικτές στρατηγικές. Επειδή για οποιαδήποτε άλλη μικτή στρατηγική 0 x, y ισχύει: ' x0 P y x ' Py I ' y z z z x ' P y0 x ' Py x ' I z z z 1 Άρα οι x0, y 0 είναι βέλτιστες στρατηγικές και η τιμή του παιγνίου είναι:. z 36

49 Κεφάλαιο 2ο Μορφή δένδρου (αναλυτική μορφή). Πριν προχωρήσουμε στην αναφορά στην αναλυτική μορφή θα κάνουμε μια συνοπτική αναφορά σε στοιχεία της θεωρίας γράφων. Θεωρία γράφων. Γράφος: Ένας γράφος G είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος G V G, EG VG 1, 2,... n είναι το σύνολο των κορυφών του G και G e e e 1, 2,... m είναι το σύνολο των ακμών του G όπου: Κάθε ακμή είναι ένα διμελές σύνολο το οποίο αποτελείται από δύο κορυφές οι οποίες καλούνται τερματικά σημεία της ακμής. Κατευθυνόμενος γράφος. Ο ίδιος με τον πιο πάνω ορισμός με τη διαφορά στον ορισμό της ακμής όπου ορίζεται σαν διατεταγμένο ζεύγος κορυφών. Βρόχος Μια ακμή τα τερματικά σημεία της οποίας συμπίπτουν Βαθμός μιας κορυφής Είναι το άθροισμα του αριθμού των απλών ακμών που περιέχουν την κορυφή αυτή και του διπλάσιου του αριθμού των βρόχων που την περιέχουν. Σε κατευθυνόμενο γράφο, προς τα έσω βαθμός της κορυφής είναι ο αριθμός των ακμών που έχουν κεφαλή την κορυφή αυτή. Πλήρης γράφος: Είναι γράφος στον οποίο κάθε ζεύγος αποτελεί και ακμή. Διαδρομή μήκους i σε γράφο. Μια ακολουθία από 1, e1, 2e2,... e n 1 n εναλλασσόμενες κορυφές και ακμές τέτοιες ώστε ei i 1 i i,1 i k Μονοπάτι σε γράφο. Μια διαδρομή σε γράφο χωρίς επαναλαμβανόμενη κορυφή. 37

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 1 η Διάλεξη Ορισμός Θεωρίας Παιγνίων και Παιγνίου Κατηγοριοποίηση παιγνίων Επίλυση παιγνίου Αξία (τιμή) παιγνίου Δίκαιο παίγνιο Αναπαράσταση Παιγνίου Με πίνακα Με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1

Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Σημεία ισορροπίας Nash: Yπάρχουν πάντα; Έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας; - Ναι, στην εξιδανικευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων

Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Εκδόσεις Κριτική Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ύλη για τη Μίκρο ΙΙ: κεφάλαιο 29.1, 29.2, 29.4, 29.7, 29.8 Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 3 η Διάλεξη-Περιεχόμενα (1/2) Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash Λύση ακολουθιακής κυριαρχίας και σημεία ισορροπίας Nash Αλγοριθμική εύρεση σημείων ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Μεικτές στρατηγικές σε παίγνια 2 Σημεία ισορροπίας: Ύπαρξη Δεν έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας Π.χ. Το Matching

Διαβάστε περισσότερα

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια;

10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια; HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 2 η Διάλεξη Παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά σύνολα Κανονική μορφή παιγνίου Ισοδύναμες στρατηγικές Παίγνια συνεργασίας και μη συνεργασίας Πεπερασμένα και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ.

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 3: Παίγνια με περισσότερους παίκτες και μέθοδοι απλοποίησης παιγνίων Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Παίγνια πολλών παικτών 2 Παίγνια με > 2 παίκτες Όλοι οι ορισμοί που

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση

HAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Players-Παίκτες Rules- Κανόνες. Τιµωρείσαι εάν τους παραβιάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1

Ασκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Ασκήσεις Ιωάννα Καντζάβελου Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 1. Επιλογή Διαδρομής 2. Παραλλαγή του Matching Pennies 3. Επίλυση Matching Pennies με Βέλτιστες Αποκρίσεις 4. Επίλυση BoS με Βέλτιστες

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη Θεωρία παιγνίων: Μεικτές στρατηγικές και Ισορροπία Nash Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 18 Μαρτίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 1 / 9 Κυριαρχία και μεικτές

Διαβάστε περισσότερα

A 2 B 2 Γ 2. u 1 (A 1, A 2 ) = 3 > 1 = u 1 (B 1, A 2 ) u 1 (A 1, Γ 2 ) = 1 > 0 = u 1 (B 1, Γ 2 ) A 2 B 2

A 2 B 2 Γ 2. u 1 (A 1, A 2 ) = 3 > 1 = u 1 (B 1, A 2 ) u 1 (A 1, Γ 2 ) = 1 > 0 = u 1 (B 1, Γ 2 ) A 2 B 2 Κεφάλαιο 2 Στατικά παίγνια με πλήρη πληροφόρηση 2.1 Εισαγωγή Η πιο απλή, αλλά και θεμελιώδης, κατηγορία παιγνίων είναι αυτή των στατικών παιγνίων με πλήρη πληροφόρηση. Στα παίγνια αυτά οι συμμετέχοντες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ανάλυση ευαισθησίας. (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων

Περιεχόμενα. 1. Ανάλυση ευαισθησίας. (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων Περιεχόμενα (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων 1. Ανάλυση ευαισθησίας Λυμένο παράδειγμα 7 από το βιβλίο, σελ.85, λύση σελ.328

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 2: Ισορροπία Nash. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 2: Ισορροπία Nash Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των Θεμάτων του Διαγ/τος στην Τάξη και Σχόλια-Ιούνιος 2011

Λύσεις των Θεμάτων του Διαγ/τος στην Τάξη και Σχόλια-Ιούνιος 2011 Λύσεις των Θεμάτων του Διαγ/τος στην Τάξη και Σχόλια-Ιούνιος Θέμα (Σχόλιο: Οι ερωτήσεις (α και (β που είναι και η ουσία του Θέματος (το (γ αποτελεί εφαρμογή είχαν ξαναζητηθεί πριν τρία χρόνια στα πλαίσια

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2006 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA Σελίδα ΕIΣΑΓΩΓΗ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 1 Φεβρουαρίου 26 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:-18:) ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) Κάθε ένας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Ηθικός Κίνδυνος. Το βασικό υπόδειγμα. Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση.

Ηθικός Κίνδυνος. Το βασικό υπόδειγμα. Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση. Ηθικός Κίνδυνος Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση Το βασικό υπόδειγμα Θεωρείστε την περίπτωση κατά την οποία μια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων: Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολύπλοκα Συστήματα αποτελούνται από πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes Ε 10,10 0,3 Λ 3,0 2,2

Notes. Notes. Notes. Notes Ε 10,10 0,3 Λ 3,0 2,2 Θεωρία παιγνίων: Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 3 Δεκεμβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία παιγνίων: 3 Δεκεμβρίου 2012 1 / 21 -best responses Κυνήγι ελαφιού: Δυο κυνηγοί ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούµενο Μάθηµα: Κυρίαρχη Στρατηγική- Κυριαρχούµενη στρατηγική-nash equilibrium Μια στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2017

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2017 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2017 2η σειρά ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 16 Ιουνίου 2017 Πρόβλημα 1. (18 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 8: Αναζήτηση με Αντιπαλότητα Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων

Δεύτερο πακέτο ασκήσεων ΕΚΠΑ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μικροοικονομική Θεωρία ΙΙ Εαρινό εξάμηνο Ακαδ. έτους 08-09 Αν. Παπανδρέου, Φ. Κουραντή, Ηρ. Κόλλιας Δεύτερο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 0 Μαϊου. Θα υπάρξει

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, 10-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την συμμετρική ιδιότητα της Ιδιότητας Supremum. Η ΙΔΙΟΤΗΤΑ INFIMUM. Κάθε μη-κενό και κάτω φραγμένο σύνολο έχει μέγιστο κάτω φράγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής.

Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής. Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής. Ιστορική αναδρομή 1713 Ο Francis Waldegrave, σε ένα γράμμα του, παρουσίασε την πρώτη μικτή στρατηγική μεγίστου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 2: Έννοιες λύσεων σε παίγνια κανονικής μορφής Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Λύσεις παιγνίων 2 Επιλέγοντας στρατηγική... Δεδομένου ενός παιγνίου, τι στρατηγική πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης

Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης Το Υπόδειγμα της Οριακής Τιμολόγησης (ilgrom, Paul and John Roberts 98, imit Pricing and Entry under Incomplete Information) - Μια επιχείρηση ακολουθεί πολιτική οριακής τιμολόγησης (limit pricing) όταν

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ιδάσκων: Ε. Πετράκης. Επαναληπτική Εξέταση: 15/09/99 Απαντήστε στα τρία από τα τέσσερα θέµατα. Όλα τα υποερωτήµατα βαθµολογούνται το ίδιο. 1. Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος (διαβάζουμε κεφ. 4 από Μ. Χλέτσο και σημειώσεις στο eclass)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος (διαβάζουμε κεφ. 4 από Μ. Χλέτσο και σημειώσεις στο eclass) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος 2016-17 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ (διαβάζουμε κεφ. 4 από Μ. Χλέτσο και σημειώσεις στο eclass) 1 ιάλεξη2 Ανταγωνισμός, οικονομική

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει

Διαβάστε περισσότερα