Aνάλυση του 10 ου Βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη και τεκµηρίωση της παλινδροµικής περιοδικότητας της ανθυφαίρεσης των τετραγωνικών αρρήτων

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πόγαµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Aνάλυση του 0 ου Βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη και τεκµηίωση της παλινδοµικής πειοδικότητας της ανθυφαίεσης των τεταγωνικών αήτων ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Βασιλική Κλεφτάκη Επιβλέπων Καθηγητής: Στυλιανός Νεγεπόντης ΑΘΗΝΑ 004

2 Η παούσα ιπλωµατική Εγασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης που απονέµει το ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πόγαµµα Μεπταπτυχιακών Σπουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» Εγκίθηκε την από Εξεταστική Επιτοπή αποτελούµενη από τους : Ονοµατεπώνυµο Βαθµίδα Υπογαφή ) Στυλιανός Νεγεπόντης (επιβλέπων Καθηγητής) Καθηγητής. ) Βασιλική Φαµάκη Αναπλ. Καθηγήτια.. 3) Ευστάθιος Γιαννακούλιας Αναπλ. Καθηγητής...

3 Στους γονείς µου Νίκο και Μαία και στο σύζυγό µου Αντώνη.

4 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαιστώ θεµά τα µέλη της τιµελούς επιτοπής και ιδιαίτεα τον επιβλέποντα καθηγητή µου κ. Στυλιανό Νεγεπόντη τόσο για τη βοήθειά του στην εκπόνηση της παούσας διπλωµατικής εγασίας όσο και για τα νέα πεδία γνώσης στα οποία µας οδήγησε, κάνοντάς µας κοινωνούς των εευνών του. Ευχαιστώ όλους τους διδάσκοντες του Μεταπτυχιακού Πογάµµατος γιατί µε µεγάλο ζήλο µας έδωσαν τα εφόδια και την έµπνευση για να γίνουµε καλύτεοι δάσκαλοι των Μαθηµατικών. Επίσης ευχαιστώ τη γαµµατέα κα Κ. Κατσαού που ήταν πάντα δίπλα µας. Τέλος ευχαιστώ τους γονείς µου Νίκο και Μαία Κλεφτάκη καθώς και το σύζυγό µου Αντώνη Οικονόµου για την αµέιστη υποµονή, κατανόηση και υποστήιξη, υλική και ηθική, που µου ποσέφεαν καθ όλη τη διάκεια των σπουδών µου. Είµαι ευγνώµων. Βάσω Κλεφτάκη Αθήνα, Οκτώβιος 004

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ Χ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙ Η. ΟΡΙΣΜΟΙ Σύµµετα- υνάµει Σύµµετα-Ασύµµετα. Ρητά-Άλογα. 7. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ-8 ιχοτοµία πέατος απείου ΠΡΟΤΑΣΗ Χ9 υνάµει σύµµετες ευθείες. 4. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ0-6 Ιδιότητες συµµετίας - ασυµµετίας. 30 4/5. Ρητές και Άλογες Ευθείες ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ9-0 Ε-ητές ευθείες ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ-6 Ε-µέσες ευθείες ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ36-4 & Χ Οισµός των δώδεκα ποσθετικών και αφαιετικών αλόγων γαµµών x ± y. 8. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ4-47 & Χ Μοναδικότητα των δύο ονοµάτων x, y. 9. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ66-70 & Χ Αναλλοίωτο ως πος τη συµµετία. 0. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ7-8, Χ48-53 & Χ Κατασκευή των έξι διωνύµων α + β και των έξι αποτοµών α β.

6 . ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ54-65 & Χ Αντιστοίχιση των έξι ειδών αλόγων γαµµών.. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ Κατασκευαστικές ποτάσεις για τα x, y. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ-5 94 Συζυγία των διωνύµων και των αποτοµών. ΜΙΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΤΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΙΚΗΣ 98 ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΣΗΣ ΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΩΝ ΑΡΡΗΤΩΝ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 7

7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με την παούσα εγασία επιχειείται µια παουσίαση του Βιβλίου Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη το οποίο ασχολείται µε την έννοια της ασυµµετίαςαητότητας και ειδικότεα µε τους τεταγωνικούς άητους. Η έννοια της ασυµµετίας πωτοανακαλύφθηκε από τους Πυθαγόειους, αναπτύχθηκε από τον Θεόδωο τον Κυηναίο και έλαβε τελική µοφή στο υπό µελέτη Βιβλίο Χ των Στοιχείων. Tο πειεχόµενο του βιβλίου αυτού οφείλεται αδιαµφισβήτητα στον Θεαίτητο, µαθητή του Θεόδωου του Κυηναίου, πάγµα που ποκύπτει από τεις διαφοετικές αχαίες πηγές. Η παλαιότεη από τις τεις πηγές που τεκµηιώνουν την απόδοση του Βιβλίου Χ στον Θεαίτητο είναι ο οµώνυµος διάλογος του Πλάτωνα και συγκεκιµένα το χωίο 47d-48b. Σ αυτό χησιµοποιείται από τον ίδιο τον Θεαίτητο οολογία αντίστοιχη του όου «δυνάµει σύµµετα» και σκιαγαφείται για πώτη φοά η έννοια της «δυνάµει συµµετίας». Αυτή η ίδια έννοια πωτοεµφανίζεται µε ξεκάθαο οισµό στο Βιβλίο Χ και παίζει µάλιστα καθοιστικό όλο στην ανάπτυξη της θεωίας του. Επίσης σε ένα ακόµη αχαίο κείµενο και συγκεκιµένα στα Ανώνυµα Σχόλια στα Στοιχεία (σχόλιο Χ6 που αναφέεται στην πόταση Χ9) έχουµε την πληοφοία ότι η σηµαντική πόταση Χ9 ανήκει στο Θεαίτητο. Τέλος, σύµφωνα µε τον Πάππο «Ο Εύδηµος ο πειπατητικός αναφέει ότι ο Θεαίτητος διαίεσε τις πιο γνωστές άλογες γαµµές σύµφωνα µε τους διαφοετικούς µέσους αντιστοιχώντας τη µέση γαµµή στη γεωµετία, την εκ δύο ονοµάτων στην αιθµητική και την αποτοµή στην αµονία». Αυτό βίσκεται καταγεγαµµένο στη σελίδα 63 του βιβλίου των Gustav Juge και William Thomso, The commetary of Pappus o Boo X, Cambridge: Harvard Uiversity Press, 930, που είναι µετάφαση από τα ααβικά. Με 5 ποτάσεις το Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη είναι το µεγαλύτεο σε έκταση βιβλίο των Στοιχείων και µποεί να χαακτηιστεί ταυτόχονα γεωµετικό και αιθµητικό. Έχει αποτελέσει αντικείµενο µελέτης

8 πολλών ειδικών και υπάχουν διατυπωµένες απόψεις γι αυτό τόσο σχετικά µε το πειεχόµενο του όσο και µε τις φιλοσοφικές του ποεκτάσεις. Έχουνε γίνει ποσπάθειες αναδιογάνωσης και διαφοετικής παουσίασης του, έχουν αναζητηθεί τα κίνητα της ανάπτυξης της συγκεκιµένης θεωίας και έχει επιχειηθεί η σύνδεσή της µε την πλατωνική φιλοσοφία αλλά και µε τα σύγχονα µαθηµατικά. ύο είναι τα κύια ζητήµατα που απασχόλησαν σχετικά µε το Βιβλίο Χ. Το πώτο είναι η δυσκολία στην πλήη κατανόηση του πειεχοµένου του και το δεύτεο η δυσκολία στην αποκάλυψη του σκοπού και στόχου της δηµιουγίας του, άλλωστε αυτό είναι το µόνο βιβλίο των Στοιχείων του οποίου ο στόχος δεν είναι ευδιάκιτος. Όσον αφοά τη δυσκολία του βιβλίου πέπει να πούµε ότι αυτή οφείλεται στο ίδιο το πειεχόµενό του, στη µεγάλη του έκταση αλλά και στον κάπως άκαµπτο τόπο µε τον οποίο ο Ευκλείδης το παουσιάζει. Μποούµε να πούµε ότι τη δυσκολία αυτή αντιµετώπισε αποτελεσµατικά ο C.M. Taisba κάνοντας µια πολύ καλή ανάλυση και παουσίαση στο βιβλίο του µε τίτλο, Coloured Quadragles: A guide to the teth boo of Euclid s Elemets. Το πόσο µεγάλη είναι η δυσκολία του βιβλίου Χ πειγάφηκε πολύ νωίτεα και πολύ γλαφυά από τον Simo Stevi το 585 και καταγάφηκε στο βιβλίο µε τίτλο, Oeuvres Mathematiques de Simo Stevi, ou sot iseres les Memoires Mathematiques des quelles s est exerse le Treshaut et Tres-illustre Price Maurice de Nassau ( Λέυδεν 634, σελ.0a). Σύµφωνα λοιπόν µε τον Simo Stevi «Η δυσκολία του δεκάτου βιβλίου ποκάλεσε τόµο σε πολλούς που έφτασαν µέχι του σηµείου να το χαακτηίσουν ως τον σταυό του µατυίου των µαθηµατικών, µε πειεχόµενο πολύ δύσκολο να αφοµοιωθεί και χωίς να διακίνουν σ αυτό καµία χησιµότητα». Ο Simo Stevi που έζησε τον 6 ο αιώνα είναι από τους πώτους σύγχονους µελετητές του βιβλίου Χ που αναφέονται. «Θεωούσε ότι έχει ένα κλειδί για την αποτελεσµατική ποσέγγισή του και ότι δεν θα του ήταν δύσκολο να πειγάψει το Βιβλίο Χ» [Korr 3, σελ.4]. Αυτό όµως ήταν το να εκφάσει τις ποτάσεις του Ευκλείδη µέσω του λογισµού ποσοτήτων που είναι άθοισµα αήτων ιζικών (surd quatities) και πιο συγκεκιµένα χησιµοποίησε µέχι και τετάτου βαθµού ιζικά εγαλεία που σε καµία πείπτωση δεν είχαν στη διάθεσή τους οι αχαίοι Έλληνες µαθηµατικοί.

9 Τον ακολούθησε τόσο χονικά όσο και ως πος τον τόπο παουσίασης του βιβλίου ο Thomas Heath. Στο βιβλίο του µε τίτλο «The thirtee Boos of Elemets» κάνει µια πλήη καταγαφή του πειεχοµένου του βιβλίου Χ την οποία πλαισιώνει µε πολλά σχόλια και αναφοές στις πηγές. Πάντως ακολουθεί κι αυτός το δόµο του Simo Stevi και χησιµοποιεί µέχι και τετάτου βαθµού ιζικά. Επόµενη αξιοσηµείωτη αναφοά στο Βιβλίο Χ κάνει ο B.L.Va Der Waerde στο βιβλίο του «Η Αφύπνιση της Επιστήµης». Πόκειται απλώς για µια σύντοµη µεν αλλά πολύπλευη αναφοά που ακολουθεί σαφώς το σκεπτικό των δύο ποηγούµενων µελετητών. Όσον αφοά στη δυσκολία, το χαακτηίζει «ογκώδες, µονολιθικό και απαγοευτικό» [B.L.Va Der Waerde, σελ7] Ακολουθούν κατά σειά οι Wilbur Korr και C.M. Taisba οι οποίοι επιχειούν µια διαφοετική ποσέγγιση του βιβλίου Χ µέσω της γεωµετίας, η οποία είναι πιο συνεπής µε την αχαία µαθηµατική και φιλοσοφική παγµατικότητα. Είπαµε ήδη ότι ο Taisba ήταν αυτός που αντιµετώπισε αποτελεσµατικά τη δυσκολία του βιβλίου ενώ η άποψη του Korr γι αυτή πειγάφεται µε δύο λέξεις «pedagogical disaster» [Korr 3, σελ.59]. Ο David Fowler ακολουθώντας πολύ πιστά το δόµο του C.M. Taisba, παουσιάζει το Βιβλίο Χ γεωµετικά και βασισµένος κατά κύιο λόγο στην πειγαφή του Taisba. Συγκεκιµένα, ο Wilbur Korr δηµοσίευσε άθο µε τίτλο «La Croix des Mathematicies: The Euclidea theory of irratioal lies» όπου ασχολείται αποκλειστικά µε το βιβλίο Χ, το χαακτηίζει ως «το πιο γνωστό κοµµάτι των Στοιχείων του Ευκλείδη για την έκτασή του και την ασάφεια των τεχνικών και των κινήτων του» [Korr 3, σελ.4], κάνει µια ιστοική αναδοµή και τοποθέτηση του βιβλίου µέσα σ αυτή και καταλήγει σε µια συνοπτική παουσίασή του χησιµοποιώντας τη γεωµετία. O Korr στο άθο που αναφέαµε πιο πάνω ξεκινά κάνοντας κιτική στον Simo Stevi για χήση εγαλείων που δεν ήταν γνωστά στους αχαίους. [Korr 3, σελ.4]. Ειδική όµως µνεία πέπει να γίνει στην ποσπάθεια του C.M. Taisba που ήταν αυτός που παγµατικά ανέλυσε το Βιβλίο Χ. Ο Taisba επιλέγει, όπως και ο

10 Korr τη γεωµετική παουσίαση αναφέοντας µάλιστα στην αχή τα γεωµετικά ποβλήµατα, η αντιµετώπιση των οποίων θεωεί ότι αποτέλεσε το κίνητο για την ανάπτυξη της εν λόγω θεωίας. Σε συνδυασµό µε τη χήση του Βιβλίο VI των Στοιχείων του Ευκλείδη και συγκεκιµένα αναδεικνύοντας τη χησιµότητα των δευτεοβαθµίων εξισώσεων που υπάχουν σ αυτό έδωσε τελικά µια πλήη και αναλυτικότατη ποσέγγιση και παουσίαση του πειεχοµένου του βιβλίου. Στη δική µας ποσέγγιση µε την εισαγωγή δύο νέων ποτάσεων (βλ. ποτάσεις Α και Β) γίνεται ανάδειξη της χήσης των ποτάσεων VI7 και VI8, βελτίωση της ποσέγγισης Taisba και διευκολύνεται η κατανόηση του Βιβλίου Χ. Το δεύτεο ζήτηµα που, όπως ήδη αναφέαµε, απασχόλησε τους µελετητές είναι ο σκοπός του βιβλίου Χ. Ο B.L.Va Der Waerde πιστεύει ότι «ο συγγαφέας κύβει τη σκέψη του»[ B.L.Va Der Waerde, σελ.7]. Ο I. Μueller στο βιβλίο του Philosophy of Mathematics ad Deductive Structure i Euclid s Elemets, (Cambridge, MIT Press 98) ισχυίζεται ότι «το Βιβλίο Χ φαίνεται να ασχολείται µε ένα ειδικό πόβληµα και ταυτόχονα µε ένα µαθηµατικό αδιέξοδο» [Μueller, σελ. 70-]. Οι Korr και Taisba εκφάζουν σε πολλά σηµεία των µελετών τους την ίδια άποψη, ότι το Βιβλίο Χ αποτελεί το απααίτητο εγαλείο για την ανάπτυξη της θεωίας του Βιβλίου ΧΙΙΙ δηλαδή της µελέτης αχικά των κανονικών πολυγώνων και εν συνεχεία των κανονικών στεεών. Αυτό όµως βασίζεται µόνο στο γεγονός ότι στις ποτάσεις ΧΙΙΙ 6,,6,7,8 χησιµοποιείται η αποτοµή ή η ελάσσων, άλογες γαµµές που οίζονται και κατασκευάζονται στο Βιβλίο Χ. Καµία άλλη από τις άλογες γαµµές, ποσθετικές και αφαιετικές, του Βιβλίο Χ δεν χησιµοποιούνται εκεί. Τίθεται λοιπόν το εώτηµα αν αυτό το στοιχείο είναι ακετό για να θεωήσει κανείς ότι το Βιβλίο Χ γάφτηκε για να βοηθήσει στη µελέτη του Βιβλίου ΧΙΙΙ. Αυτό που διαφέει όµως στον David Fowler σε σχέση µε όλους τους ποηγούµενους είναι ο ποβληµατισµός και η άποψη του σχετικά µε το σκοπό της δηµιουγίας αυτής της τόσο εκτενούς και δύσκολης θεωίας από τους αχαίους Έλληνες. Κάνει µια πολύ σπουδαία παατήηση όσον αφοά το κίνητο της δηµιουγίας του βιβλίου αυτού. Παατηεί ότι «η καλή ανθυφαιετική έκφαση των λόγων πλευών τεταγώνων και η αδυναµία τέτοιας καλής ανθυφαιετικής m

11 έκφασης για οποιονδήποτε άλλο γεωµετικό λόγο τον οδηγεί στη σκέψη µήπως οι πλευές τεταγώνου είναι βασικά γεωµετικά αντικείµενα µέσω των οποίων µποούν να πειγαφούν όλα τα άλλα» και αναωτιέται «µήπως το Βιβλίο Χ γάφτηκε µ αυτό το σκεπτικό» [Fowler, σελ.6]. Με άλλα λόγια ο Fowler είναι ο πώτος που συνδέει την έννοια της «δυνάµει µόνο συµµετίας», που κυιαχεί στο Βιβλίο Χ, µε την πειοδική ανθυφαίεση. Όµως η ανθυφαίεση των δυνάµει µόνο συµµέτων γαµµών δεν είναι απλώς πειοδική αλλά η πείοδός της παουσιάζει παλινδοµικότητα, πάγµα πολύ εντυπωσιακό και αξιοπόσεκτο. Ο Fowler λέει ξεκάθαα ότι «δεν έχει κανένα στοιχείο που να τον οδηγεί στο συµπέασµα ότι οι αχαίοι Έλληνες γνώιζαν γι αυτή την παλινδοµικότητα» [Fowler, σελ.74]. Άλλωστε άποψη του είναι ότι «οι αχαίοι δεν είχαν στη διάθεση τους πολλές και µεγάλου µήκους ανθυφαιέσεις οπότε στις µικές ανθυφαιέσεις ήταν δύσκολο να διακίνουν την παλινδοµικότητα.» [Fowler, σελ.74]. Σε αντίθεση µε αυτή την άποψη η έευνα που γίνεται από τον καθηγητή κ. Σ. Νεγεπόντη τα τελευταία χόνια µέσα από τη µελέτη των διαλόγων του Πλάτωνα και της πλατωνικής φιλοσοφίας εν γένει, έχει αποδείξει ότι οι αχαίοι Έλληνες όχι απλώς γνώιζαν την παλινδοµικά πειοδική ανθυφαίεση των τεταγωνικών αήτων αλλά ότι η έννοια αυτή διέπει την πλατωνική φιλοσοφία. Στον οισµό του σοφιστή στον οµώνυµο διάλογο του Πλάτωνα παίζει κυίαχο όλο η πειοδικότητα, στον οισµό του πολιτικού, στον αντίστοιχο οµώνυµο διάλογο, υπάχει και παίζει σηµαντικό όλο η παλινδοµικότητα [Μπασιάκου,Α.]. Παλινδοµικότητα παουσιάζεται επίσης στους πλατωνικούς διάλογους Φαίδος (48c8-e3), όπου έχουµε την παλινοµικά πειοδική κίνηση της ψυχής και Παµενίδης (5e3-53b7). Γίνεται έτσι ξεκάθαο ότι στην πλατωνική διαλεκτική η γνώση και η κατάκτησή της είναι άηκτα συνδεδεµένη µε την παλινδοµικά πειοδική ανθυφαίεση. Παάλληλα, το γεγονός ότι οι ποτάσεις Χ-9 και Χ36,4,66,73,79, 03,,3,4 του Βιβλίου Χ χησιµοποιούνται για µια ανακατασκευή της απόδειξης της παλινδοµικά πειοδικής ανθυφαίεσης των τεταγωνικών αήτων όπως αυτή έχει επίσης αποδειχθεί από τον καθηγητή κ. Σ. Νεγεπόντη µας οδηγεί στην έκφαση της άποψης ότι η χησιµότητα του Βιβλίου Χ δεν πειοίζεται στη µελέτη του Βιβλίου ΧΙΙΙ των Στοιχείων αλλά ότι ο σκοπός του πάει ακόµη πιο µακιά.

12 Θα µποούσε µάλιστα κανείς εν κατακλείδι να πει ότι η τιλογία των πλατωνικών διαλόγων Θεαίτητος, Σοφιστής, Πολιτικός συσχετίζεται µε το Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη µέσω της ιδιότητας της παλινδοµικής πειοδικότητας που χαακτηίζει την ανθυφαίεση των δυνάµει µόνο συµµέτων γαµµών. Κι αυτό είναι ένα ακόµη στοιχείο που ενισχύει τη γενικότεη άποψη ότι η αχαία ελληνική φιλοσοφία και ιδιαίτεα η πλατωνική διαλεκτική είναι άηκτα συνδεδεµένη µε τα αχαία ελληνικά µαθηµατικά. Στην εγασία αυτή γίνεται µια παουσίαση του βιβλίου µε οµαδοποίηση και ταξινόµηση των ποτάσεων βάσει του µαθηµατικού πειεχοµένου τους και όχι µε τη σειά που αναφέονται στα Στοιχεία έτσι ώστε να γίνεται πιο εύκολη η κατανόησή του. Παεµβάλλονται σχόλια των µελετητών καθώς και αχαίες πηγές για την καλύτεη δυνατή κατανόηση τόσο αυτού καθ αυτού του πειεχοµένου όσο και του σκοπού που οδήγησε στη δηµιουγία του. Επίσης µε την εισαγωγή και χήση των νέων ποτάσεων Α και Β επιχειούµε να αναδείξουµε τον ακιβή όλο των ποτάσεων VI7 και VI8 που σχετίζονται µε την κατ έλλειψη δευτεοβάθµια εξίσωση. Συνοψίζοντας µποούµε να πούµε ότι στην εγασία αυτή γίνεται µια εκ νέου ογάνωση και παουσίαση του Βιβλίου Χ τόσο ακολουθώντας την ποσέγγιση Taisba όσο και µε την ποσθήκη νέων στοιχείων. Με τη νέα αυτή ποσέγγιση πιστεύουµε πως γίνεται πιο εύκολα κατανοητό το πειεχόµενό του. Παάλληλα αναδεικνύεται ο σαφής συσχετισµός του Βιβλίου Χ και του ανθυφαιετικού πειεχοµένου του, όπως το είχε υπαινιχθεί και ο Fowler, µε το διάλογο Πολιτικός του Πλάτωνα. Συνδέονται τέλος οι όοι «δυνάµει σύµµετα», «εκ δύο ονοµάτων», «αποτοµή» καθώς και η συζυγία διωνύµων και αποτοµών µε την απόδειξη της παλινδοµικά πειοδικής ανθυφαίεσης των τεταγωνικών αήτων. Μένει όµως πος διεεύνηση ο όλος των έξι κατηγοιών αλόγων γαµµών και η χήση τους πέα από κάποιες ποτάσεις του Βιβλίου ΧΙΙΙ καθώς και το εώτηµα αν αυτός ο όλος είναι ανθυφαιετικός.

13 . ΟΡΙΣΜΟΙ Xα -δ ΣΥΜΜΕΤΡΑ- ΥΝΑΜΕΙ ΣΥΜΜΕΤΡΑ-ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΡΗΤΑ-ΑΛΟΓΑ Το Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη ξεκινά µε τέσσεις οισµούς και συγκεκιµένα µε τον καινούιο όο «σύµµετα µεγέθη» ο οποίος αν και αναφέεται σε όλα τα γεωµετικά σχήµατα (µεγέθη) κάποια στιγµή εστιάζεται η χήση του για γαµµές (ευθύγαµµα τµήµατα). Συγκεκιµένα, µόνο στον όο α και στις ποτάσεις -8, -3 και 5-6 ο όος σύµµετα µεγέθη αφοά τα µεγέθη γενικώς, στις υπόλοιπες πειπτώσεις αφοά ευθύγαµµα τµήµατα ή οθογώνια πααλληλόγαµµα όπως άλλωστε συµβαίνει και µε τους όους β -δ και τις ποτάσεις -4, 9, 0 και 4. [Taisba, σελ.] Η ιδιότητα της συµµετίας σχετίζεται άµεσα µε την ιδιότητα του «µετείν» µέσω της οποίας φτάνουµε στον πώτο οισµό των συµµέτων µεγεθών. [Taisba, σελ.] Όος α SÚmmetra megšqh lšgetai t tù aùtù mštrj metroúmea, súmmetra dš, ï mhd dšcetai oiõ mštro gešsqai. Σύµµετα λέγονται τα µεγέθη που µετώνται από το ίδιο µέτο ενώ ασύµµετα αυτά για τα οποία δεν υπάχει κοινό µέτο.

14 Αν Α, Β είναι σύµµετα µεγέθη θα συµβολίζουµε: Α com B, από τον αγγλικό όο commesurable. Αντίστοιχα αν Α, Β είναι ασύµµετα µεγέθη θα συµβολίζουµε: Α ic B, από τον αγγλικό όο icommesurable. Μια σηµαντική παατήηση είναι ότι η σχέση αυτή (σύµµετο µε) αφοά µόνο οµοειδή µεγέθη ενώ ο Taisba σπεύδει να επισηµάνει την ύπαξη ασύµµετων µεγεθών η βεβαιότητα της οποίας ποκύπτει από τις ποτάσεις Χ- και µε την επίκληση της ιδιότητας της άπειης ανθυφαίεσης. [Taisba, σελ.] Όσο για τις αποδείξεις του Βιβλίου γενικά µας λέει ότι δεν στηίζονται κυίως στον οισµό αυτό αλλά στον χαακτηισµό για τα σύµµετα µεγέθη που δίνεται παακάτω στις ποτάσεις Χ5 και Χ6. [Taisba, σελ ] Μια ακόµη παατήηση είναι το ότι η σχέση της συµµετίας δύο µεγεθών είναι σχέση ισοδυναµίας (η πόταση Χ είναι η µεταβατικότητα ). Όσο για την πόσθεση και την αφαίεση σύµµετων ή ασύµµετων µεγεθών υπάχουν οι ποτάσεις Χ5 και Χ6. Στη συνέχεια εισάγεται από τον Θεαίτητο ο πολύ σηµαντικός όος της δυνάµει συµµετίας ένας όος που πωτοχησιµοποίησε ο ίδιος στον οµώνυµο διάλογο του Πλάτωνα. Αφοά µόνο γαµµές (ευθύγαµµα τµήµατα) και καθώς είναι δυνατόν δύο ασύµµετες γαµµές να είναι δυνάµει σύµµετες ποκύπτει µια νέα κατηγοία-σχέση γαµµών που όπως θα δούµε στη συνέχεια έχει σηµαντικές ιδιότητες. Όος β EÙqe ai du mei súmmetro e si, Óta t p' aùtî tetr gwa tù aùtù cwr J metrátai, súmmetroi dš, Óta to j p' aùtî tetragèoij mhd dšchtai cwr o oiõ mštro gešsqai.

15 Ευθείες δυνάµει σύµµετες ονοµάζονται οι ευθείες (ευθύγαµµα τµήµατα) που τα τετάγωνά τους είναι σύµµετα µεγέθη και αντίστοιχα ευθείες δυνάµει ασύµµετες ονοµάζονται οι ευθείες που τα τετάγωνά τους είναι ασύµµετα µεγέθη. ηλαδή: Αν α, β ευθύγαµµα τµήµατα µε α ic β και a com β τότε τα α, β λέγονται δυνάµει µόνο σύµµετα. Αν a ic β τότε τα α, β λέγονται δυνάµει ασύµµετα. Πέπει κανείς να επισηµάνει τη χήση της λέξης «δυνάµει» ενώ πόκειται για τα τετάγωνα των ευθυγάµµων τµηµάτων - στην αγγλική δεν µεταφάζεται επακιβώς αλλά χησιµοποιείται ο όος «i square»- δίνεται δε η αφοµή να αναζητηθεί ο όλος και η χήση του όου «δύναµις» στα αχαία ελληνικά µαθηµατικά αλλά και στην πλατωνική διαλεκτική. Μια τέτοια ποσπάθεια ποσέγγισης κάνει και ο ίδιος ο Taisba. [στο παάτηµα Β του βιβλίου του, σελ. 7-76] Ο Taisba υποστηίζει ότι η έννοια αυτή είναι άηκτα συνδεδεµένη µε τη θεωία του Βιβλίου Χ µιας και τα αντικείµενα αυτής της θεωίας είναι που της έδωσαν ιδιαίτεο νόηµα. Επισηµαίνει ότι πειέγως ο όος δύναµις δεν χησιµοποιείται αλλού στα Στοιχεία παά µόνο στα Βιβλία Χ και ΧΙΙΙ. Το σίγουο είναι επίσης ότι πουθενά δεν εµφανίζεται ο όος τετάγωνοι σύµµετοι και κυίως ότι για τον συγγαφέα του Βιβλίου Χ οι λέξεις τετάγωνο και δύναµις δεν είναι συνώνυµες. Στη συνέχεια ο Taisba επικαλείται τον Πλάτωνα και συγκεκιµένα τα χωία Θεαίτητος 47e5-48b και Τίµαιος 3c4. Στο µεν πώτο ο όος δύναµις αποδίδεται ξεκάθαα σε ευθύγαµµα τµήµατα στο δε δεύτεο δηλώνει αιθµούς που είναι γινόµενο δύο άλλων και αποτελούν το αποτέλεσµα της µέτησης µιας επίπεδης επιφάνειας άα µε τη σηµεινή οολογία θα λέγαµε ότι δηλώνει εµβαδόν.

16 Πλάτωνος Θεαίτητος 47e5-48b QEAI. TÕ riqmõ p ta d ca diel bome tõ m du meo so s ij g gesqai tù tetragèj tõ scáma pei satej tetr gwò te aˆ sòpleuro prose pome. SW. Kaˆ eâ ge. QEAI. TÕ to u metaxý toútou, ï aˆ t tr a aˆ t pšte aˆ p j Öj dúatoj soj s ij gešsqai, ll' À ple w latto ij À l ttw pleo ij g getai, me zw d aˆ l ttw eˆ pleur aùtõ perilamb ei, tù prom»ei aâ sc»mati pei satej prom»h riqmõ alšsame. SW. K llista. ll t tõ met toàto; QEAI. Osai m grammaˆ tõ sòpleuro aˆ p pedo riqmõ tetragw zousi, máoj æris meqa, Ósai d tõ terom»h, du meij, æj m»ei m où summštrouj e aij, to j d' pipšdoij dúatai. aˆ perˆ t stere llo toioàto. Το χωίο αυτό είναι το αµέσως επόµενο από εκείνο που ο Θεαίτητος µιλά για την ποσπάθεια του «συλλαβείν εις εν» όλες τις δυνάµεις οι οποίες εφαίνοντο άπειες - peiroi tõ pláqoj aƒ du meij fa oto, peiraqáai sullabe e j. Μιλά για δύο κατηγοίες αιθµών: αυτούς που είναι γινόµενο δύο ίσων αιθµών, αναπαίστανται µε ένα τετάγωνο και ονοµάζονται τετάγωνοι και ισόπλευοι αιθµοί και γι αυτούς που βίσκονται ενδιάµεσά τους, δεν είναι γινόµενο δύο ίσων αιθµών αλλά δύο άνισων, αναπαίστανται µε το ποµήκες (οθογώνιο πα/µο) και ονοµάζονται ποµήκεις αιθµοί. Στη συνέχεια µιλά για δύο κατηγοίες ευθυγάµµων τµηµάτων. Το ευθ. τµήµα που είναι πλευά τετάγωνου µε εµβαδόν τετάγωνο αιθµό λέγεται µήκος ενώ το ευθ. τµήµα που είναι πλευά τετάγωνου µε εµβαδόν ποµήκη αιθµό λέγεται δύναµις (π.χ. δύναµις είναι η πλευά του τεταγώνου που έχει εµβαδόν 8).

17 Πλάτωνος Τίµαιος 3b8-3b3 qeõj po ei. dúo d mòw alîj su stasqai tr tou cwrˆj où duatò desmõ g r mšsj de tia mfo suagwgõ g gesqai. desmî d llistoj Öj aøtõ aˆ t sudoúmea Óti m lista e poií, toàto d pšfue alog o llista potele. ÐpÒta g r riqmî triî e te Ôgw e te du mew ætiwoà Ï tõ mšso, Ótiper tõ prîto prõj aùtò, toàto aùtõ prõj tõ œscato, aˆ p li aâqij, Óti tõ œscato prõj tõ mšso, tõ mšso prõj tõ prîto, tòte tõ mšso m prîto aˆ œscato gigòmeo, tõ d' œscato aˆ tõ prîto aâ mšsa mfòtera, p q' oûtwj x ghj t aùt eai sumb»setai, t aùt d geòmea ll»loij e p ta œstai. e m oâ p pedo mš, b qoj d mhd œco œdei g gesqai tõ toà patõj sîma, m a mesòthj x»rei t te meq' aøtáj sude aˆ aut», à d stereoeidá g r aùtõ prosáe eai, t d stere m a m oùdšpote, dúo d eˆ mesòthtej suarmòttousi Στο χωίο αυτό ο Πλάτωνας θέλει να µιλήσει για την αναλογία και όπως µας λέει πέπει να θεωήσουµε αχικά τεις αιθµούς ή τεις δυνάµεις ή τεις όγκους. Ο Κάλφας θεωεί ότι η σύνταξη που χησιµοποιείται εκλαµβάνει αυτά τα τία ως ισοδύναµα µέη του λόγου. Αναφέει επίσης απόψεις του Pritchard σύµφωνα µε τις οποίες ο όος δύναµις σπανίως χησιµοποιείται στην αχαία ελληνική γαµµατεία και µάλιστα ως γεωµετική και όχι ως αιθµητική έννοια.. Ο Pritchard καταλήγει ότι στο χωίο αυτό θέλει απλώς να επισηµανθεί ο κάλλιστος δεσµός-η αναλογία µεταξύ οµοειδών.[ Κάλφας, Τίµαιος σελ. 363]. Καταλήγει πάντως µετά από όλα αυτά, ο Taisba, σε δική του άποψη ότι στο Βιβλίο Χ ο όος δύναµις χησιµοποιείται για ευθύγαµµα τµήµατα πάγµα που τεκµηιώνει µε τον συνδυασµό όλων των πααπάνω, δηλώνει ότι ακολουθεί τις

18 ξεκάθαες θέσεις του Πλάτωνα και ότι επιβεβαιώνεται από το πειεχόµενο των Στοιχείων σχετικά µε τα τετάπλευα. [Taisba, σελ.76] Οι δύο οισµοί που είδαµε ως τώα καθόισαν σχέσεις µεταξύ δύο τυχαίων οµοειδών µεγεθών ή και πιο συγκεκιµένα δύο ευθυγάµµων τµηµάτων. Ο επόµενος οισµός αφοά τη σχέση συµµετίας ή ασυµµετίας ενός τυχαίου ευθυγάµµου τµήµατος µε ένα εκ των ποτέων καθοισµένο ευθύγαµµο τµήµα (ποτεθείσα ευθεία) που ουσιαστικά παίζει το όλο µιας µονάδας µέτησης-σύγκισης. Η ευθεία αυτή αναφέεται από τον Θεαίτητο στον οµώνυµο διάλογο του Πλάτωνα ως «ποδιαία». Όος γ ToÚtw Øpoeimšw de utai, Óti tí proteqe sv eùqe v Øp rcousi eùqe ai pl»qei peiroi súmmetro te aˆ súmmetroi aƒ m m»ei mòo, aƒ d aˆ du mei. ale sqw oâ ¹ m proteqe sa eùqe a ht», aˆ aƒ taútv súmmetroi e te m»ei aˆ du mei e te du mei mòo hta, aƒ d taútv súmmetroi logoi ale - sqwsa. Αν µια ποτεθείσα (δοθείσα) ευθεία τότε αποδεικνύεται ότι υπάχουν άπειες ευθείες σύµµετες µε τη και άπειες ασύµµετες µε τη. Μάλιστα υπάχουν άπειες δυνάµει ασύµµετες και άπειες δυνάµει µόνο ασύµµετες. Η θα καλείται ητή ευθεία και αν µια ευθεία α είναι σύµµετη ή έστω δυναµει µόνο σύµµετη µε τη τότε θα καλείται κι αυτή ητή. Κάθε άλλη ευθεία θα καλείται άλογος (άητη).

19 ηλαδή: Έστω η ποτεθείσα ευθεία. Αν α com ή (α ic και a com ) τότε η α ονοµάζεται ητή. Αν µια ευθεία δεν είναι ητή θα ονοµάζεται άλογος. Άα ητή καλείται τόσο η ποτεθείσα ευθεία όσο και κάθε ευθεία που είναι σύµµετη ή τουλάχιστον δυνάµει µόνο σύµµετη µ αυτή. Κάθε άλλη καλείται άλογος. Έτσι έχουµε εδώ µια διχοτοµία των γαµµών σε ητές και άλογες. Αυτός ο οισµός είναι επίσης µια πώτη ένδειξη του πόσο σηµαντική είναι η ιδιότητα της δυνάµει συµµετίας µιας και ακεί για να χαακτηιστεί ητή µια ευθεία. Ένα εώτηµα που ποκύπτει από τον όο γ είναι το πως ο Θεαίτητος ισχυίζεται ότι υπάχουν, και µάλιστα άπειες, δυνάµει ασύµµετες ευθείες πος την ποτεθείσα. Η απάντηση θα έθει λίγο πιο µετά µε την πόταση Χ0. Ακολουθεί τέλος ο οισµός ητών και αλόγων σχηµάτων. Εδώ η σύγκιση γίνεται µε το τετάγωνο της ποτεθείσας που θεωείται πάντα ητό. Όος δ Kaˆ tõ m põ táj proteqe shj eùqe aj tetr gwo htò, aˆ t toútj súmmetra ht, t d toútj súmmetra loga ale sqw, aˆ aƒ du meai aùt logoi, e m tetr gwa e h, aùtaˆ aƒ pleura, e d ter tia eùqúgramma, aƒ sa aùto j tetr gwa agr fousai. Το τετάγωνο της είναι επίσης ητό οπότε τα σύµµετα µ αυτό καλούνται ητά και τα ασύµµετα άλογα. Οι ευθείες που είναι πλευές αλόγων τεταγώνων είναι επίσης άλογες καθώς και όλες οι πλευές ευθυγάµµων σχηµάτων που δίνουν τετάγωνα ίσα (δηλ. ισοδύναµα) µε άλογα.

20 ηλαδή: Έστω η ποτεθείσα ευθεία. Αν R =, όπου µε συµβολίζουµε το τετάγωνο µε πλευά, τότε το R ονοµάζεται ητό. Αν Q com R τότε το Q ονοµάζεται ητό. Αν Q ic R τότε το Q ονοµάζεται άλογο.

21 . ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ-8 ΙΧΟΤΟΜΙΑ ΠΕΡΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΠΕΙΡΟΥ ΣΤΗΝ ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΣΗ Σύµφωνα µε τον Taisba οι ποτάσεις Χ και Χ είναι µακάν τα καλύτεα µαθηµατικά κοµµάτια ολόκληου του βιβλίου.[taisba, σελ.7]. Η πόταση Χ πειγάφει µια ανθυφαιετική διαδικασία που παάλληλα έχει κοινά γνωίσµατα µε τη µέθοδο της εξάντλησης του Ευδόξου. Εµπειέχεται δε σ αυτήν η έννοια του απείου ως άπειη διαιετότητα. Πόταση Χ DÚo megeqî sw eimšw, põ toà me zooj faireqí me zo À tõ ¼misu aˆ toà ataleipomšou me zo À tõ ¼misu, aˆ toàto eˆ g ghtai, leifq»seta ti mšgeqoj, Ö œstai œlasso toà eimšou l ssooj megšqouj. Έστω δύο άνισα µεγέθη. Αν από το µεγαλύτεο αφαιεθεί µέγεθος µεγαλύτεο από το µισό του και από το υπόποιπο αφαιεθεί ξανά µέγεθος µεγαλύτεο από το µισό του και η διαδικασία αυτή επαναληφθεί συνεχώς, θα αποµείνει µέγεθος µικότεο του µικοτέου από τα αχικά δεδοµένα µεγέθη. Η πόταση Χ που ακολουθεί µας δίνει ένα χαακτηισµό για τα ασύµµετα µεγέθη και αυτός είναι ότι η ανθυφαίεσή τους δεν τελειώνει ποτέ. Πόταση Χ

22 'E dúo megeqî [ eimšw] sw qufairoumšou eˆ toà l ssooj põ toà me zooj tõ ataleipòmeo mhdšpote atametrí tõ prõ autoà, súmmetra œstai t megšqh. Αν δοθούν δύο άνισα µεγέθη και ανθυφαιείται πάντοτε το µικότεο από το µεγαλύτεο και το υπόλοιπο που κάθε φοά αποµένει δεν µετά το ποηγούµενό του, τότε τα δύο µεγέθη είναι ασύµµετα. Πόκειται για άπειη ανθυφαίεση αν και στον Ευκλείδη δεν εµφανίζονται σαν όοι το άπειο και το πέας. Όµως αν πααβάλει κανείς τις ποτάσεις VII -3 για την πεπεασµένη ανθυφαίεση καταλαβαίνει ότι η φάση «µετήσει κάποτε» που εµφανίζεται εκεί και η άνηση της «µηδέποτε καταµετεί» που εµφανίζεται στη Χ αναφέονται αντίστοιχα στο πέας και στο άπειο. Πέπει να σηµειωθεί εδώ ότι η λέξη «αεί» που υπάχει στην πόταση Χ δεν έχει έννοια απείου αλλά συνεχούς επανάληψης. Τελικά η συνεπαγωγή που ποκύπτει από την πόταση αυτή είναι: (Χ) Άπειη ανθυφαίεση Ασύµµετα µεγέθη Οι δύο επόµενες ποτάσεις αφοούν στην εύεση του κοινού µέτου δύο ή τιών συµµέτων µεγεθών. Πόταση Χ3 DÚo megeqî summštrw doqštw tõ mšgisto aùtî oiõ mštro eøre. Αν δίνονται δύο σύµµετα µεγέθη, να βεθεί το µέγιστο κοινό τους µέτο. Στην απόδειξη της πότασης που µοιάζει µε τις αποδείξεις στο αιθµητικό βιβλίο VII πειλαµβάνεται η συνεπαγωγή: Πεπεασµένη ανθυφαίεση Σύµµετα µεγέθη και µε αντιθετοαντιστοφή παίνουµε:

23 Ασύµµετα µεγέθη Άπειη ανθυφαίεση Πόταση Χ4 Triî megeqî summštrw doqštw tõ mšgisto aùtî oiõ mštro eøre. Αν δίνονται τία σύµµετα µεγέθη, να βεθεί το µέγιστο κοινό τους µέτο. Οι τέσσεεις επόµενες ποτάσεις Χ5-Χ8 πειγάφουν πολύ αναλυτικά µια ισοδυναµία και την άνηση τους. Πόταση Χ5 T súmmetra megšqh prõj llhla lògo œcei, Ö riqmõj prõj riqmò. Τα σύµµετα µεγέθη έχουν µεταξύ τους λόγο όπως έχει (φυσικός) αιθµός πος (φυσικό) αιθµό. ηλαδή: Αν Α com B τότε υπάχουν κ, λ φυσικοί αιθµοί ώστε: A B = κ λ Από εδώ ποκύπτει η συνεπαγωγή: (Χ5) Σύµµετα µεγέθη Λόγος αιθµός αιθµό ενώ ακολουθεί αµέσως µετά η αντίστοφή της. Πόταση Χ6 'E dúo megšqh prõj llhla lògo œcv, Ö riqmõj prõj riqmò, súmmetra œstai t megšqh.

24 Αν δύο µεγέθη έχουν µεταξύ τους λόγο όπως έχει (φυσικός) αιθµός πος (φυσικό) αιθµό, τότε τα µεγέθη είναι σύµµετα. ηλαδή: Αν Α, B µεγέθη και υπάχουν κ, λ φυσικοί αιθµοί ώστε: A = κ τότε Α com B. B λ (Χ6) Λόγος αιθµός αιθµό Σύµµετα µεγέθη Η πόταση Χ7 που ακολουθεί είναι η αντιθετοαντίστοφη της Χ6 και αφοά ασύµµετα µεγέθη. Πόταση Χ7 T súmmetra megšqh prõj llhla lògo où œcei, Ö riqmõj prõj riqmò. Τα ασύµµετα µεγέθη δεν έχουν µεταξύ τους λόγο όπως έχει (φυσικός) αιθµός πος (φυσικό) αιθµό. ηλαδή: Αν Α ic B τότε δεν υπάχουν φυσικοί αιθµοί κ, λ ώστε: A = κ. B λ Η συνεπαγωγή που ποκύπτει εδώ είναι: (Χ7) Ασύµµετα µεγέθη Όχι λόγος αιθµός αιθµό ενώ αµέσως ακολουθεί και η αντίστοφή της. Πόταση Χ8 'E dúo megšqh prõj llhla lògo m¾ œcv, Ö riqmõj prõj riqmò, súmmetra œstai t megšqh.

25 Αν δύο µεγέθη δεν έχουν µεταξύ τους λόγο όπως έχει (φυσικός) αιθµός πος (φυσικό) αιθµό, τότε τα µεγέθη είναι ασύµµετα. ηλαδή: Αν Α, B µεγέθη και δεν υπάχουν κ, λ φυσικοί αιθµοί ώστε:. A = κ τότε Α ic B B λ (Χ8) Όχι λόγος αιθµός αιθµό Ασύµµετα µεγέθη Είναι ποφανές ότι σ αυτές τις ποτάσεις έχουµε σύνδεση λόγων µεγεθών και λόγων αιθµών. Όµως ο Taisba µε αφοµή αυτές τις ποτάσεις επισηµαίνει το µη οισµό της ισότητας λόγου µεγεθών µε λόγο αιθµών και την αναγκαιότητα ύπαξης του, ποτείνει έναν τέτοιο αντίστοιχο µε τον οισµό της αναλογίας αιθµών του Ευδόξου και τελικά ποχωά στην ποσαµογή και άλλων ποτάσεων ή ιδιοτήτων που αφοούν στις αναλογίες αιθµών που πλέον θα αφοούν αιθµούς και µεγέθη, κυίως οθογώνια πααλληλόγαµµα ή ευθύγαµµα τµήµατα..[taisba, σελ.]. Ο οισµός που δίνει ο Taisba είναι ο εξής: «ύο µεγέθη Α και Β έχουν λόγο αιθµό πος αιθµό, έστω α πος β, αν τα Α και Β έχουν κοινό µέτο Μ το οποίο µετά το Α α φοές και το Β β φοές, δηλαδή αν Α=αΜ και Β=βΜ». [Taisba, σελ.] Πάγµατι, ενώ υπάχει στο Βιβλίο V ο οισµός της αναλογίας µεγεθών και στο Βιβλίο VII ο οισµός της αναλογίας αιθµών δεν υπάχει πουθενά στα Στοιχεία του Ευκλείδη ο οισµός της ισότητας λόγου αιθµών µε λόγο µεγεθών, η αναγκαιότητα του οποίου εµφανίζεται από νωίς στο Βιβλίο Χ και συγκεκιµένα από την πόταση Χ5. Χειαζόµαστε έναν καλό οισµό ο οποίος να είναι µάλιστα απόλυτα συµβατός µε τους άλλους οισµούς των αναλογιών. Τίθεται λοιπόν το εώτηµα αν ο πααπάνω οισµός του Taisba έχει αυτή τη συµβατότητα. Για να συµβαίνει αυτό θα πέπει το κοινό µέτο Μ που εµφανίζεται στον οισµό να είναι το µέγιστο κοινό µέτο των δύο µεγεθών, η ύπαξη του οποίου

26 εξασφαλίζεται µε τη χήση της πότασης Χ3 και της ανθυφαιετικής θεωίας λόγων. Εφόσον τα µεγέθη Α και Β είναι σύµµετα έχουµε ότι η ανθυφαίεσή τους είναι πεπεασµένη, άα θα υπάχει το µέγιστο κοινό τους µέτο όπως άλλωστε ποκύπτει από την πόταση Χ3. Έτσι ο οισµός γίνεται απόλυτα συµβατός µε τη θεωία λόγων του Βιβλίου VII και µποεί να χησιµοποιηθεί στις ποτάσεις του Βιβλίου Χ που αφοούν ταυτόχονα λόγους µεγεθών και λόγους αιθµών. Πέπει όµως να επισηµάνουµε ότι ο οισµός αυτός διαφέει από τον αντίστοιχο οισµό του Βιβλίου V στο ότι είναι ανθυφαιετικός. Άλλωστε και στο Ββλίο Χ γενικότεα δεν χησιµοποιείται η θεωία λόγων του Βιβλίου V αλλά η ανθυφαιετική θεωία λόγων. Κάτι πολύ σηµαντικό επίσης που ποκύπτει και από τις οκτώ πααπάνω ποτάσεις είναι οι διχοτοµία πέατος και απείου. Σύµµετα µεγέθη Πεπεασµένη ανθυφαίεση Λόγος αιθµός αιθµό Ασύµµετα µεγέθη Άπειη ανθυφαίεση Όχι λόγος αιθµός αιθµό Η διχοτοµία αυτή είναι αντίστοιχη µε τη διχοτοµία πέατος και απείου που εµφανίζεται στον Πλατωνικό διάλογο Φίληβος, έναν διάλογο που µας εισάγει άµεσα σε ανθυφαιετικό πειβάλλον. Πιο συγκεκιµένα, εκεί µια δυάδα (η αόιστος δυάς) ποχωά διαιετικά στο άπειο και αν εµφανιστεί το ποσό έχουµε πέας, αν όχι τότε πηγαίνουµε στο άπειο. Είναι πολύ εµφανής η αντιστοιχία µε την πεπεασµένη και την άπειη ανθυφαίεση του βιβλίου Χ και πος ενίσχυση αυτής της άποψης επικαλούµαστε ένα χωίο από τα σχόλια του Πόκλου εις Ευκλείδην. Πόκλος, εις Ευκλείδην 6,9-7,5 geia pepšrastai t mòria toà Ólou. aˆ táj m peir aj où oüshj t te megšqh p ta súmmetra à aˆ oùd rrhto oùd logo, oœj d¾ doe diafšrei t gewmetr v tî riqmhtií, aˆ oƒ

27 riqmoˆ t¾ gòimo táj mo doj dúami où dúato deiúai oùd p taj eco toýj lògouj auto j tî Ôtw, oœo toýj pollaplas ouj À toýj pimor ouj. p j g r riqmõj xall ttei tõ lògo prõj t¾ mo da aˆ tõ prõ aùtoà geòmeo xetazòmeoj. toà d pšratoj aireqštoj summetr a te aˆ oiw a lògw aˆ tautòthj e dî aˆ sòthj aˆ Ósa táj me oòj sti sustoic aj où pote to j maq»masi fa eto, Το χωίο αυτό δα συµπληωµατικά στο σκέλος «άπειο» του Φίληβου. Μας λέει επίσης ότι η ασυµµετία και η αητότητα-αλογία είναι απόοια της απειίας (πβλ. Πόταση Χ). Τέλος ένα γενικό και ενδιαφέον συµπέασµα που υπάχει στο χωίο αυτό είναι ότι η ασυµµετία κάνει τη διαφοά αιθµητικής και γεωµετίας, σε αντίθεση µε αυτό που πίστευαν οι Πυθαγόειοι ότι αιθµητική και γεωµετία είναι το ίδιο.

28 3. ΠΡΟΤΑΣΗ Χ9 ΥΝΑΜΕΙ ΣΥΜΜΕΤΡΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Ακολουθεί η πόταση Χ9 η οποία αφοά µόνο ευθύγαµµα τµήµατα. Σύµφωνα µε τον Taisba είναι «ζωτικής σηµασίας για την έευνα του βιβλίου Χ» [Taisba, σελ.5] Η µελέτη των αποδείξεων του βιβλίου αποκαλύπτει το γεγονός ότι χησιµοποιείται σε όλες στις κατασκευαστικές ποτάσεις Χ0 (κατασκευή ασυµµέτων ευθειών), Χ9-30 (κατασκευή της άλογης ευθείας µέσης), Χ48-53 (κατασκευή των διώνυµων αλόγων γαµµών), Χ85-90 (κατασκευή των αφαιετικών αλόγων γαµµών) πάγµα που αποδεικνύει τη σπουδαιότητα της πότασης αυτής. Άλλωστε η Χ9 που µας εξασφαλίζει την ύπαξη δυνάµει µόνο σύµµετων ευθειών. Πόταση Χ9 T põ tî m»ei summštrw eùqeiî tetr gwa prõj llhla lògo œcei, Ö tetr gwoj riqmõj prõj tetr gwo riqmò aˆ t tetr gwa t prõj llhla lògo œcota, Ö tetr gwoj riqmõj prõj tetr gwo riqmò, aˆ t j pleur j xei m»ei summštrouj. t d põ tî m»ei summštrw eùqeiî tetr gwa prõj llhla lògo où œcei, Óper tetr gwoj riqmõj prõj tetr gwo riqmò aˆ t tetr gwa t prõj llhla lògo m¾ œcota, Ö tetr gwoj riqmõj prõj tetr gwo riqmò, oùd t j pleur j xei m»ei summštrouj.

29 Τα τετάγωνα µήκει συµµέτων ευθειών έχουνε λόγο µεταξύ τους όπως έχει τετάγωνος αιθµός πος τετάγωνο αιθµό και τα τετάγωνα που έχουνε λόγο µεταξύ τους όπως έχει τετάγωνος αιθµός πος τετάγωνο αιθµό έχουν πλευές µήκει σύµµετες. Ενώ τα τετάγωνα µήκει ασυµµέτων ευθειών δεν έχουνε λόγο µεταξύ τους όπως έχει τετάγωνος αιθµός πος τετάγωνο αιθµό και τα τετάγωνα που δεν έχουνε λόγο µεταξύ τους όπως έχει τετάγωνος αιθµός πος τετάγωνο αιθµό ούτε τις πλευές έχουνε µήκει σύµµετες. ηλαδή: Τα ευθύγαµµα τµήµατα Α, Β είναι σύµµετα αν και µόνο αν υπάχουν a, β a Α τετάγωνοι αιθµοί ώστε = β Β και τα ευθύγαµµα τµήµατα Α, Β είναι ασύµµετα αν και µόνο αν δεν υπάχουν a, β a Α τετάγωνοι αιθµοί ώστε = β Β». Η απόδειξη της πότασης που υπάχει στα Στοιχεία δεν χησιµοποιεί ποηγούµενες ποτάσεις του Βιβλίου Χ αλλά µόνο τις ποτάσεις VI0 και VII. Ο Taisba επικαλείται τον Heath σύµφωνα µε τον οποίο αυτή η απόδειξη παουσιάζει κάποια ελαττώµατα, επισηµαίνει ότι δεν µποούµε να έχουµε σίγουη άποψη για το πως έγινε η απόδειξη από τον ίδιο τον Θεαίτητο και παουσιάζει µια δική του απλούστεη απόδειξη. Η απόδειξη αυτή χησιµοποιεί την πόταση V9, στην ουσία την V8, και τον οισµό της ισότητας λόγου µεγεθών µε λόγο αιθµών που εισάγει ο Taisba και είναι ο εξής: «ύο µεγέθη Α και Β έχουν λόγο αιθµό πος αιθµό, έστω α πος β, αν τα Α και Β έχουν κοινό µέτο Μ το οποίο µετά το Α α φοές και το Β β φοές». ( ηλαδή αν Α=αΜ και Β=βΜ ). [Taisba, σελ.7] Ο οισµός αυτός, όπως αναφέθηκε πιο αναλυτικά ποηγούµενα ποέκυψε µετά από την παατήηση του Taisba ότι δεν υπάχει στα Στοιχεία διατυπωµένος οισµός για την ισότητα λόγου µεγεθών µε λόγο αιθµών και την διατύπωσή του από τον ίδιο σε πλήη αντιστοιχία µε τον οισµό της αναλογίας αιθµών. Όπως έχουµε

30 ήδη πειγάψει αναλυτικά, για να είναι αυτός ο οισµός απόλυτα συµβατός µε τον οισµό της αναλογίας αιθµών πέπει να αναζητείται όχι απλώς ένα κοινό µέτο των δύο µεγεθών αλλά το µέγιστο κοινό τους µέτο. Ακολουθεί η απόδειξη του Taisba για την Χ9 αλλά πέπει να σηµειώσουµε ότι αυτή δεν θα µποούσε να είναι η πώτη απόδειξη µιας και οι ποτάσεις που χησιµοποιεί ανήκουν στο Βιβλίο V- Θεωία Λόγων του Ευδόξου που είναι µεταγενέστεο ιστοικά του Βιβλίου Χ. Η πόταση Χ9 λέει ότι: «Τα ευθύγαµµα τµήµατα Α, Β είναι σύµµετα αν και µόνο αν υπάχουν a, β τετάγωνοι αιθµοί ώστε a Α = β Β». Απόδειξη του Taisba: ( ) Έστω Α, Β σύµµετα ευθύγαµµα τµήµατα τότε υπάχει τµήµα Ε (ποσθέτουµε την υπόθεση αυτό να είναι µέγιστο) τέτοιο ώστε Α = Ε α και Β = Ε β όπου α, β ακέαιοι. Οπότε το Α πειέχει β το πλήθος τετάγωνα ίσα µε α το πλήθος τετάγωνα ίσα µε Ε. a Α Άα από τον πααπάνω οισµό έχουµε: = β Β Ε και το Β πειέχει ( ) Έστω ότι a Α = β Β και a, β τεάγωνοι ακέαιοι αιθµοί. Θα δείξουµε ότι Α, Β σύµµετα. Έστω ότι το Α χωίζεται σε α το πλήθος ευθύγαµµα τµήµατα ίσα µε Ε, τότε το Α πειέχει α το πλήθος τετάγωνα ίσα µε Έστω Γ το ευθύγαµµο τµήµα για το οποίο ισχύει το Γ πειέχει β το πλήθος τετάγωνα ίσα µε Ε. Ε. Γ = Ε β τότε Α α = Γ β και

31 a Α Οπότε από τον πααπάνω οισµό έχουµε ότι =. β Γ a Α Όµως από την υπόθεση έχουµε ότι = β Β. Άα από την πόταση V9 παίνουµε Β = Γ α Β = Γ = β Α Β. Άα Α, Β σύµµετα. Τέλος πααθέτουµε και την απόδειξη της πότασης Χ9 όπως αυτή είναι καταγεγαµµένη στα Στοιχεία του Ευκλείδη: Απόδειξη στα Στοιχεία: ( ) Έστω Α, Β σύµµετα µεγέθη. Θα δείξουµε ότι υπάχουν a, β τετάγωνοι αιθµοί ώστε a Α = β Β. Αφού Α, Β σύµµετα µεγέθη από την Χ5 έχουµε ότι υπάχουν αιθµοί α,β ώστε A α =. B β Λόγω της VI0 ( που λέει ότι ο λόγος οµοίων σχηµάτων ισούται µε το λόγο των A A τεταγώνων των οµολόγων πλευών ) παίνουµε ότι = και B B λόγω της VΙΙ ( που λέει ότι για οποιουσδήποτε αιθµούς κ,λ ισχύει η σχέση κ λ κ = λ a a ) παίνουµε ότι = β β. a Α Από τις πιο πάνω σχέσεις ποκύπτει ότι: = β Β που είναι και το ζητούµενο. ( ) Έστω ότι a Α = β Β και a, β τεάγωνοι αιθµοί. Θα δείξουµε ότι Α, Β σύµµετα.

32 A A Λόγω της VI0 παίνουµε = B B και λόγω της VΙΙ παίνουµε a β a = β A α από τις οποίες ποκύπτει ότι: = = αιθµός αιθµό και από την πόταση Χ5 B β έχουµε ότι Α, Β σύµµετα που είναι και το ζητούµενο. Αντίστοιχα για τα ασύµµετα µεγέθη έχουµε: ( ) Έστω Α, Β ασύµµετα µεγέθη. Θα δείξουµε ότι δεν υπάχουν a, β τετάγωνοι αιθµοί ώστε a Α = β Β. Έστω ότι υπάχουν a, β τετάγωνοι αιθµοί ώστε a Α = β Β τότε από το πώτο µέος της πότασης έχουµε ότι Α, Β σύµµετα µεγέθη, άτοπο. Άα δεν υπάχουν a, β τετάγωνοι αιθµοί ώστε a Α = β Β. ( ) Έστω ότι δεν υπάχουν a, β τεάγωνοι αιθµοί ώστε a Α = β Β, τότε από το πώτο µέος της πότασης έχουµε άµεσα ότι Α, Β ασύµµετα µεγέθη. Η πόταση αυτή θα µποούσε να διατυπωθεί µε σύγχονο µαθηµατικό συµβολισµό ως εξής: «Αν α, είναι ευθύγαµµα τµήµατα και ισχύει α = Ν, Ν όχι τετάγωνος αιθµός, τότε τα α, είναι ασύµµετα, δηλ. είναι δυνάµει µόνο σύµµετα». Η αλήθεια είναι ότι τα δυνάµει µόνο σύµµετα µεγέθη έχουν µεν άπειη ανθυφαίεση όµως αυτή έχει την εξαιετική ιδιότητα να είναι παλινδοµικά πειοδική πάγµα που διέπει άλλωτε ξεκάθαα και άλλωτε όχι την Πλατωνική

33 φιλοσοφία. Η πόταση Χ9 χησιµοποιείται στην απόδειξη της παλινδοµικά πειοδικής ανθυφαίεσης των δυνάµει µόνο σύµµετων γαµµών µαζί µε άλλες ποτάσεις του βιβλίου Χ. Συγκεκιµένα, η Χ9 είναι αυτή που εξασφαλίζει την απααίτητη πουπόθεση ότι τα δύο ανθυφαιούµενα µεγέθη έχουν άπειη ανθυφαίεση. Αυτό ποκύπτει από το γεγονός ότι ο λόγος των τεταγώνων τους δεν είναι τετάγωνος αιθµός, άα είναι ασύµµετα και έχουν άπειη ανθυφαίεση πάγµα που αποτελεί το πώτο βήµα στην απόδειξη της παλινδοµικά πειοδικής ανθυφαίεσής τους. Όπως ποκύπτει από Ανώνυµα σχόλια στα Στοιχεία η πόταση αυτή είναι του Θεαίτητου και είναι η πιο ολοκληωµένη µοφή µιας πότασης που αναφέει ο Πλάτωνας στο διάλογο Θεαίτητος. Ποκύπτει εύλογα το εώτηµα για το ποιός είναι ο όλος και η σηµασία αυτής της πότασης στην πλατωνική διαλεκτική. Ανώνυµα Σχόλια στα Στοιχεία Χ6 TÕ qeèrhma toàto Qeait»teiÒ sti eûrhma, aˆ mšmhtai aùtoà Ð Pl tw Qeait»tJ, ll' e m meriètero œgeitai, taàqa d aqòlou e g r t tetr gwa t ØpÕ tetragèw riqmî metroúmea summštrouj œcei aˆ t j pleur j fhsi. meri¾ d aûth ¹ pròtasij où g r p ta t súmmetra cwr a, ï aˆ aƒ pleura e si súmmetroi, perilamb ei. tetragèw g r cwr w summštrw toà ih aˆ toà h aƒ pleura, e aˆ m¾ at tõ mštro tî riqmî eør sotai, ll' oâ llwj e sˆ súmmetroi Ómwj ØpÕ tetragèw riqmî t cwr a où memštrhtai, e aˆ metre sqai dúatai. e Òtwj oâ taàqa où toàto tõ tròpo ær sato, ll t lògo fhsˆ œcota, Ö riqmõj tetr gwoj prõj tetr gwo riqmò. aˆ taàqa d où m th ¹ toà tetragèou riqmoà gegšhtai m»mh e g r à mòo Ö riqmõj prõj riqmõ Ðris meoj, pleòaze Ð Óroj. t g r diplas oa

34 lògo œcota tetr gwa prõj llhla summštrouj œdei t j pleur j œcei. où œcousi dš aˆ g r ¹ toà me zooj táj toà par llhj diagèiòj sti. e to u di m toà f ai Ö riqmõj prõj riqmõ pleòaze Ð Óroj perilamb w aˆ t m¾ summštrouj œcota t j pleur j, di d toà e pe ØpÕ tetragèw riqmî metroúmea llipîj ece m¾ perišcw t summštrouj œcota t j pleur j ØpÕ tetragèw m m¾ metrhqšta riqmî, lògo d tî riqmî còtw, Ö tetr gwoj prõj tetr gwo riqmò, e Òtwj pròseitai tõ Ö tetr gwoj prõj tetr gwo peril»yetai g r p ta t cwr a,, e aˆ m¾ ØpÕ tetragèw metre tai, ll' oâ súmmetra Ôta summštrouj œcei aˆ t j pleur j. toà d' oâ ih aˆ toà h summštrw Ôtw di tõ aˆ pleurî summštrw agegr fqai eør»seij t j pleur j, diòti lògo œcousi, Ö riqmõj tetr gwoj prõj tetr gwo riqmò. æj g r Ð q prõj tõ d, oûtwj Ð ih prõj tõ h. labë d t j pleur j toà q aˆ d s ij tšmw tî eimšw tetragèw t j pleur j aˆ œcw t¾ summetr a æj g r t tetr gwa prõj t tetr gwa, oûtwj aƒ pleuraˆ prõj t j pleur j. Τα δύο επόµενα Ανώνυµα σχόλια για την πότση Χ9 πειγάφουν την αναγκαιότητα των υποθέσεων ώστε να καταλήξουµε στην πόταση αυτή από την οποία σε συνδυασµό µε τις ποτάσεις Χ5 και Χ6 ποκύπτει ότι: για δύο ευθύγαµµα τµήµατα µποεί να συµβαίνει ακιβώς ένα από τα παακάτω ή είναι µήκει σύµµετα ή είναι δυνάµει µόνο σύµµετα ή είναι ασύµµετα και µήκει και δυνάµει. Ανώνυµα Σχόλια στα Στοιχεία Χ63 T põ tî m»ei summštrw eùqeiî tetr gwa

35 prõj llhla lògo œcei, Ö tetr gwoj riqmõj prõj tetr gwo où m th ¹ toà tetragèou riqmoà gegšhtai m»mh. e g r e rhe mòwj Ö riqmõj prõj riqmò, pleòaze Ð Óroj t g r diplas oa lògo œcota tetr gwa prõj llhla summštrouj œdei t j pleur j œcei où œcousi dš, æj œcei pˆ táj diamštrou aˆ táj pleur j. Ανώνυµα Σχόλια στα Στοιχεία Χ64 'Istšo, Óti t põ tî m»ei summštrw eùqeiî tetr gwa lògo œcei, Ö tetr gwoj riqmõj prõj tetr gwo riqmò, où m¾ aˆ tistršfei, a, t tetr gwa lògo œcv, Ö tetr gwoj riqmõj prõj tetr gwo riqmò, aˆ t j duamšaj eùqe aj t tetr gwa m»ei summštrouj eai. Ð g r ih prõj tõ h lògo œcei tetragwiõ diplasiepitštarto, Ö Ð q tetr gwoj prõj tõ d tetr gwo, aˆ Ómwj ¹ pleur toà h où œsti súmmetroj m»ei tí toà ih pleur œsti d toà m ¹ pleur b mq mb, toà d ih d id lg.

36 4. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ0-6 ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΕΙΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Η πόταση που ακολουθεί είναι κατασκευαστική και εξασφαλίζει την ύπαξη ασύµµετων ευθειών πος την ποτεθείσα. ίνεται έτσι η απάντηση στο εώτηµα που ποέκυψε από τον όο γ για το πως ο Θεαίτητος ισχυίζεται ότι υπάχουν, και µάλιστα άπειες, δυνάµει ασύµµετες ευθείες πος την ποτεθείσα. Είναι επίσης αξιοσηµείωτο το γεγονός ότι τόσο σ αυτή την πόταση όσο και στις υπόλοιπες κατασκευαστικές ποτάσεις του βιβλίου δεν γίνεται µια κατασκευή συγκεκιµένης γαµµής-πααδείγµατος που απλά εξασφαλίζει το µη κενό της κλάσης τους αλλά µε έναν γενικό τόπο κατασκευάζονται «όλες» οι ζητούµενες ευθείες ή καλύτεα δίνεται ο γενικός τόπος κατασκευής τους. Σηµαντικό όλο στην απόδειξη που κάνει ο Ευκλείδης παίζει η πόταση Χ9, είναι η µόνη που χησιµοποιείται εδώ από τις ποηγούµενες ποτάσεις του Βιβλίου Χ. Πόταση Χ0 TÍ proteqe sv eùqe v proseure dúo eùqe aj summštrouj, t¾ m m»ei mòo, t¾ d aˆ du mei. Να βεθούν δύο ευθείες ασύµµετες µε την ποτεθείσα, η µία µήκει µόνο ασύµµετη η άλλη µήκει και δυνάµει ασύµµετη. ηλαδή:

37 Αν είναι η ποτεθείσα ευθεία, να βεθούν ευθείες α και β ώστε, β ασύµµετες και, α µήκει µόνο ασύµµετες. (ο όος µήκει µόνο ασύµµετες ταυτίζεται όπως είναι ποφανές µε τον όο δυνάµει µόνο σύµµετες) Απόδειξη: Έστω η ποτεθείσα ευθεία. Θεωούµε κ, λ αιθµούς τέτοιους ώστε κ λ όχι τετάγωνος αιθµός πος τετάγωνο αιθµό. Λόγω του ποίσµατος της Χ6 [που λέει ότι αν έχω αιθµούς κ, λ και ευθεία α µποώ α κ να βώ ευθεία β ώστε = και µε χήση µέσης αναλόγου να πεάσω σε β λ αντίστοιχη αναλογία για το τετάγωνο της α] µποούµε να πάουµε την ευθεία α κ και το τετάγωνό της, οπότε να έχουµε : = απ όπου ποκύπτει ότι λ α α, σύµµετα. Όµως αφού τα κ, λ δεν έχουν λόγο όπως τετάγωνος αιθµός πος τετάγωνο αιθµό, λόγω της πότασης Χ9 παίνουµε ότι α, ασύµµετα. Άα βήκαµε την α που είναι δυνάµει µόνο σύµµετη µε τη. Θεωούµε τη µέση ανάλογο των α και, έστω β. Τότε από τον όο V9 είναι: = και επειδή α, ασύµµετα θα είναι και α β β, ασύµµετα. Άα, β µήκει και δυνάµει ασύµµετα. Έτσι βήκαµε τη β που είναι µήκει και δυνάµει ασύµµετη µε τη. Οι ποτάσεις που ακολουθούν Χ-6 πειλαµβάνουν τις ιδιότητες των συµµέτων και των ασυµµέτων µεγεθών και τις αποδείξεις τους. Πόταση Χ

38 'E tšssara megšqh logo Ï, tõ d prîto tù deutšrj súmmetro Ï, aˆ tõ tr to tù tet rtj súmmetro œstai tõ prîto tù deutšrj súmmetro Ï, aˆ tõ tr to tù tet rtj súmmetro œstai. Αν τέσσεα µεγέθη είναι σε αναλογία και το πώτο είναι σύµµετο µε το δεύτεο, τότε και το τίτο θα είναι σύµµετο µε το τέτατο, ενώ αν το πώτο είναι ασύµµετο µε το δεύτεο, τότε και το τίτο θα είναι ασύµµετο µε το τέτατο. ηλαδή: A Γ Έστω Α, Β, Γ, µεγέθη για τα οποία ισχύει: = τότε ισχύουν τα εξής: B Αν Α, Β σύµµετα τότε και Γ, σύµµετα. Αν Α, Β ασύµµετα τότε και Γ, ασύµµετα. Η πόταση Χ είναι η µεταβατική ιδιότητα της αναλογίας µετά την απόδειξη της οποίας συνάγουµε ποφανώς ότι η συµµετία µεγεθών είναι σχέση ισοδυναµίας. Πόταση Χ T tù aùtù megšqei súmmetra aˆ ll»loij stˆ súmmetra. Τα µεγέθη που είναι σύµµετα πος το ίδιο µέγεθος είναι και µεταξύ τους σύµµετα. ηλαδή: Έστω Α, Β, Γ, µεγέθη. Αν Α, Β σύµµετα και Α, Γ, σύµµετα τότε Β, Γ, σύµµετα µεγέθη. Πόταση Χ3 'E Ï dúo megšqh súmmetra, tõ d tero aùtî megšqei tiˆ súmmetro Ï, aˆ tõ loipõ tù aùtù súm-

39 metro œstai. Αν δύο µεγέθη είναι µεταξύ τους σύµµετα και ένα από αυτά είναι ασύµµετο µε κάποιο άλλο µέγεθος τότε και το δεύτεο από τα σύµµετα θα είναι ασύµµετο µε αυτό. ηλαδή: Έστω Α, Β, Γ, µεγέθη. Αν Α, Β σύµµετα και Α, Γ, ασύµµετα τότε Β, Γ, ασύµµετα µεγέθη. Πόταση Χ4 'E tšssarej eùqe ai logo ðsi, dúhtai d ¹ prèth táj deutšraj me zo tù põ summštrou autí [m»ei], aˆ ¹ tr th táj tet rthj me zo du»setai tù põ summštrou autí [m»ei]. aˆ ¹ prèth táj deutšraj me zo dúhtai tù põ summštrou autí [m»ei], aˆ ¹ tr th táj tet rthj me zo du»setai tù põ summštrou autí [m»ei]. Αν τέσσεεις ευθείες είναι σε αναλογία και το τετάγωνο της πώτης είναι µεγαλύτεο από το τετάγωνο της δεύτεης κατά το τετάγωνο ευθείας µήκει συµµέτης µε την πώτη τότε και το τετάγωνο της τίτης είναι µεγαλύτεο από το τετάγωνο της τέτατης κατά το τετάγωνο ευθείας µήκει συµµέτης µε την τίτη. Αν το τετάγωνο της πώτης είναι µεγαλύτεο από το τετάγωνο της δεύτεης κατά το τετάγωνο ευθείας µήκει ασυµµέτης µε την πώτη τότε και το τετάγωνο της τίτης είναι µεγαλύτεο από το τετάγωνο της τέτατης κατά το τετάγωνο ευθείας µήκει ασυµµέτης µε την τίτη. ηλαδή: α γ Έστω α, β, γ, δ ευθείες (ευθύγαµµα τµήµατα) για τα οποία ισχύει: = τότε : β δ Αν α > β και α = β + κ όπου α,κ σύµµετα τότε είναι γ > δ και

40 υπάχει ευθεία λ τέτοια ώστε γ = δ + λ όπου γ, λ σύµµετα. Αν α > β και α = β + τ όπου α,τ ασύµµετα τότε είναι γ > δ και υπάχει ευθεία σ τέτοια ώστε γ = δ + σ όπου γ, σ ασύµµετα. Πόταση Χ5 'E dúo megšqh súmmetra suteqí, aˆ tõ Ólo atšrj aùtî súmmetro œstai tõ Ólo ˆ aùtî súmmetro Ï, aˆ t x rcáj megšqh súmmetra œstai. Αν ποστεθούν δύο σύµµετα µεγέθη τότε και το άθοισµά τους θα είναι σύµµετο µε καθένα απ αυτά. Αντίστοφα, αν το άθοισµα δύο µεγεθών είναι σύµµετο µε ένα από αυτά τότε τα δύο µεγέθη θα είναι σύµµετα. ηλαδή: Έστω Α, Β, µεγέθη. Αν Α, Β σύµµετα τότε είναι επίσης Α, Α+Β σύµµετα και Β, Α+Β σύµµετα. Αντίστοφα, αν Α, Α+Β σύµµετα ή Β, Α+Β σύµµετα τότε και Α, Β σύµµετα. Πόταση Χ6 'E dúo megšqh súmmetra suteqí, aˆ tõ Ólo atšrj aùtî súmmetro œstai tõ Ólo ˆ aùtî súmmetro Ï, aˆ t x rcáj megšqh súmmetra œstai. Αν ποστεθούν δύο ασύµµετα µεγέθη τότε και το άθοισµά τους θα είναι ασύµµετο µε καθένα απ αυτά. Αντίστοφα, αν το άθοισµα δύο µεγεθών είναι ασύµµετο µε ένα από αυτά τότε τα δύο µεγέθη θα είναι ασύµµετα. ηλαδή:

41 Έστω Α, Β, µεγέθη. Αν Α, Β ασύµµετα τότε είναι επίσης Α, Α+Β ασύµµετα και Β, Α+Β ασύµµετα. Αντίστοφα, αν Α, Α+Β ασύµµετα ή Β, Α+Β ασύµµετα τότε και Α, Β ασύµµετα. Οι δύο τελευταίες ποτάσεις Χ5-6 αφοούν στην πόσθεση συµµέτων και ασυµµέτων µεγεθών. Ποκύπτει λοιπόν εύλογα το εώτηµα: Τι συµβαίνει µε το άθοισµα δυνάµει µόνο συµµέτων ευθειών; Η απάντηση υπάχει στη συνέχεια του βιβλίου, στη θεωία των αλόγων γαµµών.

42 4/5. ΡΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΛΟΓΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ Οι ποτάσεις 7 εως 5 του βιβλίου Χ αφοούν τις ητές και κυίως τις άλογες γαµµές όπως αυτές παουσιάστηκαν στους οισµούς 3 και 4. Η παουσίαση τους, όπως επισηµαίνεται από όλους τους µελετητές του βιβλίου Χ, είναι πολύ εκτενής, ενίοτε πολύπλοκη και κυίως µε πολλές επαναλήψεις. Για το λόγο αυτό γίνεται εδώ µια παουσίασή τους βασισµένη στη µελέτη του ανού C.M.Taisba µε τίτλο Coloured Quadragles-A Guid to the Teth Boo of Euclid s Elemets η οποία είναι κατά κοινή οµολογία η πιο ολοκληωµένη αλλά ταυτόχονα και πιο συµπυκνωµένη παουσίασή τους χωίς νεωτεισµούς και σύγχονα µαθηµατικά. Πόκειται για γεωµετική παουσίαση, όπως γίνεται και από τον ίδιο τον Ευκλείδη και χωίς εισαγωγή σύγχονης άλγεβας όπως έκανε ο Stevi παλαιότεα και ο Fowler µεταγενέστεα. Ξεκινώντας πέπει να εξηγήσει κανείς την οολογία που χησιµοποιεί ο Taisba και έτσι να δώσει και µια εξήγηση για τον πείεγο τίτλο του βιβλίου του Coloured Quadragles. Για να αποφευχθούν παανοήσεις µε τη σηµασία των όων ητός, µέσος και άλογος που θα ωφείλονταν στη σηµεινή οολογία και χήση, ο Taisba χησιµοποιεί τα επίθετα red (κόκκινο), amber (ποτοκαλί, ο µεσαίος από τους φωτεινούς σηµατοδότες στους δόµους) και obscure (σκοτεινό) για τους αντίστοιχους αχαίους ελληνικούς όους. εν πόκειται για µετάφαση των όων αλλά για λέξεις που θα χησιµοποιούµε ποκειµένου να ανάγεται η σκέψη µας στους οισµούς του βιβλίου Χ και όχι σ αυτό που εµείς σήµεα ονοµάζουµε ητό, µέσο, άητο κ.τ.λ. Στην παούσα µελέτη δεν θα ακολουθήσουµε την οολογία του Taisba µέσω των χωµάτων, θέλωντας όµως κι εµείς να αποφύγουµε τις παανοήσεις θα χησιµοποιούµε αντίστοιχα τους όους, Ε-ητό, Ε-µέσο και Ε-άλογο για τους όους ητό, µέσο και άλογο όπως εµφανίζονται σ αυτό το βιβλίο του Ευκλείδη. ( το Ε- σηµαίνει «κατά Ευκλείδη» ). Πάντως το σηµαντικό πόβληµα σύγχυσης αφοά κυίως τον όο «ητό» όπως τον χησιµοποιούµε σήµεα και τον όο «ητό» όπως

43 τον χησιµοποιεί ο Ευκλείδης, αυτό θα γίνει φανεό και κατανοητό στην ποεία της µελέτης. Πέπει να σηµειωθεί ότι οι amber-µέσες ευθείες είναι επίσης άλογες αλλά ο Taisba, χωίς να δίνει κάποιο ειδικό λόγο, τις εξετάζει ανεξάτητα από τις obscure. Μια πιθανή εξήγηση θα µποούσε να είναι το γεγονός ότι µια amber-µέση ευθεία ποκύπτει ως ο γεωµετικός µέσος δύο ευθειών και η µελέτη και ποσέγγισή της γίνεται µέσω µιας θεωίας µε την οποία είµαστε ακετά εξοικιωµένοι. Πάντως και µε τον όο obscure δεν αναφέονται όλες οι υπόλοιπες άλογες γαµµές αλλά µόνο αυτές που ποκύπτουν ως άθοισµα (διώνυµες) ή διαφοά (αποτοµές) ητών ευθειών δυνάµει µόνο συµµέτων µε την ποτεθείσα. Άα θα αναφεθούµε σε ητές γαµµές και σε άλογες. Στην κατηγοία των αλόγων γαµµών θα εξετάσουµε µόνο τις µέσες γαµµές καθώς και εκείνες τις άλογες που ποκύπτουν ως άθοισµα ή διαφοά ευθειών. Έτσι θα οδηγηθούµε και στην κατηγοιοποίηση και ταξινόµηση αυτών των γαµµών ανάλογα µε τις ιδιότητες αλλά και την ποέλευσή τους.