Aνάλυση του 10 ου Βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη και τεκµηρίωση της παλινδροµικής περιοδικότητας της ανθυφαίρεσης των τετραγωνικών αρρήτων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Aνάλυση του 10 ου Βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη και τεκµηρίωση της παλινδροµικής περιοδικότητας της ανθυφαίρεσης των τετραγωνικών αρρήτων"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πόγαµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Aνάλυση του 0 ου Βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη και τεκµηίωση της παλινδοµικής πειοδικότητας της ανθυφαίεσης των τεταγωνικών αήτων ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Βασιλική Κλεφτάκη Επιβλέπων Καθηγητής: Στυλιανός Νεγεπόντης ΑΘΗΝΑ 004

2 Η παούσα ιπλωµατική Εγασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης που απονέµει το ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πόγαµµα Μεπταπτυχιακών Σπουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» Εγκίθηκε την από Εξεταστική Επιτοπή αποτελούµενη από τους : Ονοµατεπώνυµο Βαθµίδα Υπογαφή ) Στυλιανός Νεγεπόντης (επιβλέπων Καθηγητής) Καθηγητής. ) Βασιλική Φαµάκη Αναπλ. Καθηγήτια.. 3) Ευστάθιος Γιαννακούλιας Αναπλ. Καθηγητής...

3 Στους γονείς µου Νίκο και Μαία και στο σύζυγό µου Αντώνη.

4 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαιστώ θεµά τα µέλη της τιµελούς επιτοπής και ιδιαίτεα τον επιβλέποντα καθηγητή µου κ. Στυλιανό Νεγεπόντη τόσο για τη βοήθειά του στην εκπόνηση της παούσας διπλωµατικής εγασίας όσο και για τα νέα πεδία γνώσης στα οποία µας οδήγησε, κάνοντάς µας κοινωνούς των εευνών του. Ευχαιστώ όλους τους διδάσκοντες του Μεταπτυχιακού Πογάµµατος γιατί µε µεγάλο ζήλο µας έδωσαν τα εφόδια και την έµπνευση για να γίνουµε καλύτεοι δάσκαλοι των Μαθηµατικών. Επίσης ευχαιστώ τη γαµµατέα κα Κ. Κατσαού που ήταν πάντα δίπλα µας. Τέλος ευχαιστώ τους γονείς µου Νίκο και Μαία Κλεφτάκη καθώς και το σύζυγό µου Αντώνη Οικονόµου για την αµέιστη υποµονή, κατανόηση και υποστήιξη, υλική και ηθική, που µου ποσέφεαν καθ όλη τη διάκεια των σπουδών µου. Είµαι ευγνώµων. Βάσω Κλεφτάκη Αθήνα, Οκτώβιος 004

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ Χ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙ Η. ΟΡΙΣΜΟΙ Σύµµετα- υνάµει Σύµµετα-Ασύµµετα. Ρητά-Άλογα. 7. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ-8 ιχοτοµία πέατος απείου ΠΡΟΤΑΣΗ Χ9 υνάµει σύµµετες ευθείες. 4. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ0-6 Ιδιότητες συµµετίας - ασυµµετίας. 30 4/5. Ρητές και Άλογες Ευθείες ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ9-0 Ε-ητές ευθείες ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ-6 Ε-µέσες ευθείες ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ36-4 & Χ Οισµός των δώδεκα ποσθετικών και αφαιετικών αλόγων γαµµών x ± y. 8. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ4-47 & Χ Μοναδικότητα των δύο ονοµάτων x, y. 9. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ66-70 & Χ Αναλλοίωτο ως πος τη συµµετία. 0. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ7-8, Χ48-53 & Χ Κατασκευή των έξι διωνύµων α + β και των έξι αποτοµών α β.

6 . ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ54-65 & Χ Αντιστοίχιση των έξι ειδών αλόγων γαµµών.. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ Κατασκευαστικές ποτάσεις για τα x, y. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ-5 94 Συζυγία των διωνύµων και των αποτοµών. ΜΙΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΤΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΙΚΗΣ 98 ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΣΗΣ ΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΩΝ ΑΡΡΗΤΩΝ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 7

7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με την παούσα εγασία επιχειείται µια παουσίαση του Βιβλίου Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη το οποίο ασχολείται µε την έννοια της ασυµµετίαςαητότητας και ειδικότεα µε τους τεταγωνικούς άητους. Η έννοια της ασυµµετίας πωτοανακαλύφθηκε από τους Πυθαγόειους, αναπτύχθηκε από τον Θεόδωο τον Κυηναίο και έλαβε τελική µοφή στο υπό µελέτη Βιβλίο Χ των Στοιχείων. Tο πειεχόµενο του βιβλίου αυτού οφείλεται αδιαµφισβήτητα στον Θεαίτητο, µαθητή του Θεόδωου του Κυηναίου, πάγµα που ποκύπτει από τεις διαφοετικές αχαίες πηγές. Η παλαιότεη από τις τεις πηγές που τεκµηιώνουν την απόδοση του Βιβλίου Χ στον Θεαίτητο είναι ο οµώνυµος διάλογος του Πλάτωνα και συγκεκιµένα το χωίο 47d-48b. Σ αυτό χησιµοποιείται από τον ίδιο τον Θεαίτητο οολογία αντίστοιχη του όου «δυνάµει σύµµετα» και σκιαγαφείται για πώτη φοά η έννοια της «δυνάµει συµµετίας». Αυτή η ίδια έννοια πωτοεµφανίζεται µε ξεκάθαο οισµό στο Βιβλίο Χ και παίζει µάλιστα καθοιστικό όλο στην ανάπτυξη της θεωίας του. Επίσης σε ένα ακόµη αχαίο κείµενο και συγκεκιµένα στα Ανώνυµα Σχόλια στα Στοιχεία (σχόλιο Χ6 που αναφέεται στην πόταση Χ9) έχουµε την πληοφοία ότι η σηµαντική πόταση Χ9 ανήκει στο Θεαίτητο. Τέλος, σύµφωνα µε τον Πάππο «Ο Εύδηµος ο πειπατητικός αναφέει ότι ο Θεαίτητος διαίεσε τις πιο γνωστές άλογες γαµµές σύµφωνα µε τους διαφοετικούς µέσους αντιστοιχώντας τη µέση γαµµή στη γεωµετία, την εκ δύο ονοµάτων στην αιθµητική και την αποτοµή στην αµονία». Αυτό βίσκεται καταγεγαµµένο στη σελίδα 63 του βιβλίου των Gustav Juge και William Thomso, The commetary of Pappus o Boo X, Cambridge: Harvard Uiversity Press, 930, που είναι µετάφαση από τα ααβικά. Με 5 ποτάσεις το Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη είναι το µεγαλύτεο σε έκταση βιβλίο των Στοιχείων και µποεί να χαακτηιστεί ταυτόχονα γεωµετικό και αιθµητικό. Έχει αποτελέσει αντικείµενο µελέτης

8 πολλών ειδικών και υπάχουν διατυπωµένες απόψεις γι αυτό τόσο σχετικά µε το πειεχόµενο του όσο και µε τις φιλοσοφικές του ποεκτάσεις. Έχουνε γίνει ποσπάθειες αναδιογάνωσης και διαφοετικής παουσίασης του, έχουν αναζητηθεί τα κίνητα της ανάπτυξης της συγκεκιµένης θεωίας και έχει επιχειηθεί η σύνδεσή της µε την πλατωνική φιλοσοφία αλλά και µε τα σύγχονα µαθηµατικά. ύο είναι τα κύια ζητήµατα που απασχόλησαν σχετικά µε το Βιβλίο Χ. Το πώτο είναι η δυσκολία στην πλήη κατανόηση του πειεχοµένου του και το δεύτεο η δυσκολία στην αποκάλυψη του σκοπού και στόχου της δηµιουγίας του, άλλωστε αυτό είναι το µόνο βιβλίο των Στοιχείων του οποίου ο στόχος δεν είναι ευδιάκιτος. Όσον αφοά τη δυσκολία του βιβλίου πέπει να πούµε ότι αυτή οφείλεται στο ίδιο το πειεχόµενό του, στη µεγάλη του έκταση αλλά και στον κάπως άκαµπτο τόπο µε τον οποίο ο Ευκλείδης το παουσιάζει. Μποούµε να πούµε ότι τη δυσκολία αυτή αντιµετώπισε αποτελεσµατικά ο C.M. Taisba κάνοντας µια πολύ καλή ανάλυση και παουσίαση στο βιβλίο του µε τίτλο, Coloured Quadragles: A guide to the teth boo of Euclid s Elemets. Το πόσο µεγάλη είναι η δυσκολία του βιβλίου Χ πειγάφηκε πολύ νωίτεα και πολύ γλαφυά από τον Simo Stevi το 585 και καταγάφηκε στο βιβλίο µε τίτλο, Oeuvres Mathematiques de Simo Stevi, ou sot iseres les Memoires Mathematiques des quelles s est exerse le Treshaut et Tres-illustre Price Maurice de Nassau ( Λέυδεν 634, σελ.0a). Σύµφωνα λοιπόν µε τον Simo Stevi «Η δυσκολία του δεκάτου βιβλίου ποκάλεσε τόµο σε πολλούς που έφτασαν µέχι του σηµείου να το χαακτηίσουν ως τον σταυό του µατυίου των µαθηµατικών, µε πειεχόµενο πολύ δύσκολο να αφοµοιωθεί και χωίς να διακίνουν σ αυτό καµία χησιµότητα». Ο Simo Stevi που έζησε τον 6 ο αιώνα είναι από τους πώτους σύγχονους µελετητές του βιβλίου Χ που αναφέονται. «Θεωούσε ότι έχει ένα κλειδί για την αποτελεσµατική ποσέγγισή του και ότι δεν θα του ήταν δύσκολο να πειγάψει το Βιβλίο Χ» [Korr 3, σελ.4]. Αυτό όµως ήταν το να εκφάσει τις ποτάσεις του Ευκλείδη µέσω του λογισµού ποσοτήτων που είναι άθοισµα αήτων ιζικών (surd quatities) και πιο συγκεκιµένα χησιµοποίησε µέχι και τετάτου βαθµού ιζικά εγαλεία που σε καµία πείπτωση δεν είχαν στη διάθεσή τους οι αχαίοι Έλληνες µαθηµατικοί.

9 Τον ακολούθησε τόσο χονικά όσο και ως πος τον τόπο παουσίασης του βιβλίου ο Thomas Heath. Στο βιβλίο του µε τίτλο «The thirtee Boos of Elemets» κάνει µια πλήη καταγαφή του πειεχοµένου του βιβλίου Χ την οποία πλαισιώνει µε πολλά σχόλια και αναφοές στις πηγές. Πάντως ακολουθεί κι αυτός το δόµο του Simo Stevi και χησιµοποιεί µέχι και τετάτου βαθµού ιζικά. Επόµενη αξιοσηµείωτη αναφοά στο Βιβλίο Χ κάνει ο B.L.Va Der Waerde στο βιβλίο του «Η Αφύπνιση της Επιστήµης». Πόκειται απλώς για µια σύντοµη µεν αλλά πολύπλευη αναφοά που ακολουθεί σαφώς το σκεπτικό των δύο ποηγούµενων µελετητών. Όσον αφοά στη δυσκολία, το χαακτηίζει «ογκώδες, µονολιθικό και απαγοευτικό» [B.L.Va Der Waerde, σελ7] Ακολουθούν κατά σειά οι Wilbur Korr και C.M. Taisba οι οποίοι επιχειούν µια διαφοετική ποσέγγιση του βιβλίου Χ µέσω της γεωµετίας, η οποία είναι πιο συνεπής µε την αχαία µαθηµατική και φιλοσοφική παγµατικότητα. Είπαµε ήδη ότι ο Taisba ήταν αυτός που αντιµετώπισε αποτελεσµατικά τη δυσκολία του βιβλίου ενώ η άποψη του Korr γι αυτή πειγάφεται µε δύο λέξεις «pedagogical disaster» [Korr 3, σελ.59]. Ο David Fowler ακολουθώντας πολύ πιστά το δόµο του C.M. Taisba, παουσιάζει το Βιβλίο Χ γεωµετικά και βασισµένος κατά κύιο λόγο στην πειγαφή του Taisba. Συγκεκιµένα, ο Wilbur Korr δηµοσίευσε άθο µε τίτλο «La Croix des Mathematicies: The Euclidea theory of irratioal lies» όπου ασχολείται αποκλειστικά µε το βιβλίο Χ, το χαακτηίζει ως «το πιο γνωστό κοµµάτι των Στοιχείων του Ευκλείδη για την έκτασή του και την ασάφεια των τεχνικών και των κινήτων του» [Korr 3, σελ.4], κάνει µια ιστοική αναδοµή και τοποθέτηση του βιβλίου µέσα σ αυτή και καταλήγει σε µια συνοπτική παουσίασή του χησιµοποιώντας τη γεωµετία. O Korr στο άθο που αναφέαµε πιο πάνω ξεκινά κάνοντας κιτική στον Simo Stevi για χήση εγαλείων που δεν ήταν γνωστά στους αχαίους. [Korr 3, σελ.4]. Ειδική όµως µνεία πέπει να γίνει στην ποσπάθεια του C.M. Taisba που ήταν αυτός που παγµατικά ανέλυσε το Βιβλίο Χ. Ο Taisba επιλέγει, όπως και ο

10 Korr τη γεωµετική παουσίαση αναφέοντας µάλιστα στην αχή τα γεωµετικά ποβλήµατα, η αντιµετώπιση των οποίων θεωεί ότι αποτέλεσε το κίνητο για την ανάπτυξη της εν λόγω θεωίας. Σε συνδυασµό µε τη χήση του Βιβλίο VI των Στοιχείων του Ευκλείδη και συγκεκιµένα αναδεικνύοντας τη χησιµότητα των δευτεοβαθµίων εξισώσεων που υπάχουν σ αυτό έδωσε τελικά µια πλήη και αναλυτικότατη ποσέγγιση και παουσίαση του πειεχοµένου του βιβλίου. Στη δική µας ποσέγγιση µε την εισαγωγή δύο νέων ποτάσεων (βλ. ποτάσεις Α και Β) γίνεται ανάδειξη της χήσης των ποτάσεων VI7 και VI8, βελτίωση της ποσέγγισης Taisba και διευκολύνεται η κατανόηση του Βιβλίου Χ. Το δεύτεο ζήτηµα που, όπως ήδη αναφέαµε, απασχόλησε τους µελετητές είναι ο σκοπός του βιβλίου Χ. Ο B.L.Va Der Waerde πιστεύει ότι «ο συγγαφέας κύβει τη σκέψη του»[ B.L.Va Der Waerde, σελ.7]. Ο I. Μueller στο βιβλίο του Philosophy of Mathematics ad Deductive Structure i Euclid s Elemets, (Cambridge, MIT Press 98) ισχυίζεται ότι «το Βιβλίο Χ φαίνεται να ασχολείται µε ένα ειδικό πόβληµα και ταυτόχονα µε ένα µαθηµατικό αδιέξοδο» [Μueller, σελ. 70-]. Οι Korr και Taisba εκφάζουν σε πολλά σηµεία των µελετών τους την ίδια άποψη, ότι το Βιβλίο Χ αποτελεί το απααίτητο εγαλείο για την ανάπτυξη της θεωίας του Βιβλίου ΧΙΙΙ δηλαδή της µελέτης αχικά των κανονικών πολυγώνων και εν συνεχεία των κανονικών στεεών. Αυτό όµως βασίζεται µόνο στο γεγονός ότι στις ποτάσεις ΧΙΙΙ 6,,6,7,8 χησιµοποιείται η αποτοµή ή η ελάσσων, άλογες γαµµές που οίζονται και κατασκευάζονται στο Βιβλίο Χ. Καµία άλλη από τις άλογες γαµµές, ποσθετικές και αφαιετικές, του Βιβλίο Χ δεν χησιµοποιούνται εκεί. Τίθεται λοιπόν το εώτηµα αν αυτό το στοιχείο είναι ακετό για να θεωήσει κανείς ότι το Βιβλίο Χ γάφτηκε για να βοηθήσει στη µελέτη του Βιβλίου ΧΙΙΙ. Αυτό που διαφέει όµως στον David Fowler σε σχέση µε όλους τους ποηγούµενους είναι ο ποβληµατισµός και η άποψη του σχετικά µε το σκοπό της δηµιουγίας αυτής της τόσο εκτενούς και δύσκολης θεωίας από τους αχαίους Έλληνες. Κάνει µια πολύ σπουδαία παατήηση όσον αφοά το κίνητο της δηµιουγίας του βιβλίου αυτού. Παατηεί ότι «η καλή ανθυφαιετική έκφαση των λόγων πλευών τεταγώνων και η αδυναµία τέτοιας καλής ανθυφαιετικής m

11 έκφασης για οποιονδήποτε άλλο γεωµετικό λόγο τον οδηγεί στη σκέψη µήπως οι πλευές τεταγώνου είναι βασικά γεωµετικά αντικείµενα µέσω των οποίων µποούν να πειγαφούν όλα τα άλλα» και αναωτιέται «µήπως το Βιβλίο Χ γάφτηκε µ αυτό το σκεπτικό» [Fowler, σελ.6]. Με άλλα λόγια ο Fowler είναι ο πώτος που συνδέει την έννοια της «δυνάµει µόνο συµµετίας», που κυιαχεί στο Βιβλίο Χ, µε την πειοδική ανθυφαίεση. Όµως η ανθυφαίεση των δυνάµει µόνο συµµέτων γαµµών δεν είναι απλώς πειοδική αλλά η πείοδός της παουσιάζει παλινδοµικότητα, πάγµα πολύ εντυπωσιακό και αξιοπόσεκτο. Ο Fowler λέει ξεκάθαα ότι «δεν έχει κανένα στοιχείο που να τον οδηγεί στο συµπέασµα ότι οι αχαίοι Έλληνες γνώιζαν γι αυτή την παλινδοµικότητα» [Fowler, σελ.74]. Άλλωστε άποψη του είναι ότι «οι αχαίοι δεν είχαν στη διάθεση τους πολλές και µεγάλου µήκους ανθυφαιέσεις οπότε στις µικές ανθυφαιέσεις ήταν δύσκολο να διακίνουν την παλινδοµικότητα.» [Fowler, σελ.74]. Σε αντίθεση µε αυτή την άποψη η έευνα που γίνεται από τον καθηγητή κ. Σ. Νεγεπόντη τα τελευταία χόνια µέσα από τη µελέτη των διαλόγων του Πλάτωνα και της πλατωνικής φιλοσοφίας εν γένει, έχει αποδείξει ότι οι αχαίοι Έλληνες όχι απλώς γνώιζαν την παλινδοµικά πειοδική ανθυφαίεση των τεταγωνικών αήτων αλλά ότι η έννοια αυτή διέπει την πλατωνική φιλοσοφία. Στον οισµό του σοφιστή στον οµώνυµο διάλογο του Πλάτωνα παίζει κυίαχο όλο η πειοδικότητα, στον οισµό του πολιτικού, στον αντίστοιχο οµώνυµο διάλογο, υπάχει και παίζει σηµαντικό όλο η παλινδοµικότητα [Μπασιάκου,Α.]. Παλινδοµικότητα παουσιάζεται επίσης στους πλατωνικούς διάλογους Φαίδος (48c8-e3), όπου έχουµε την παλινοµικά πειοδική κίνηση της ψυχής και Παµενίδης (5e3-53b7). Γίνεται έτσι ξεκάθαο ότι στην πλατωνική διαλεκτική η γνώση και η κατάκτησή της είναι άηκτα συνδεδεµένη µε την παλινδοµικά πειοδική ανθυφαίεση. Παάλληλα, το γεγονός ότι οι ποτάσεις Χ-9 και Χ36,4,66,73,79, 03,,3,4 του Βιβλίου Χ χησιµοποιούνται για µια ανακατασκευή της απόδειξης της παλινδοµικά πειοδικής ανθυφαίεσης των τεταγωνικών αήτων όπως αυτή έχει επίσης αποδειχθεί από τον καθηγητή κ. Σ. Νεγεπόντη µας οδηγεί στην έκφαση της άποψης ότι η χησιµότητα του Βιβλίου Χ δεν πειοίζεται στη µελέτη του Βιβλίου ΧΙΙΙ των Στοιχείων αλλά ότι ο σκοπός του πάει ακόµη πιο µακιά.

12 Θα µποούσε µάλιστα κανείς εν κατακλείδι να πει ότι η τιλογία των πλατωνικών διαλόγων Θεαίτητος, Σοφιστής, Πολιτικός συσχετίζεται µε το Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη µέσω της ιδιότητας της παλινδοµικής πειοδικότητας που χαακτηίζει την ανθυφαίεση των δυνάµει µόνο συµµέτων γαµµών. Κι αυτό είναι ένα ακόµη στοιχείο που ενισχύει τη γενικότεη άποψη ότι η αχαία ελληνική φιλοσοφία και ιδιαίτεα η πλατωνική διαλεκτική είναι άηκτα συνδεδεµένη µε τα αχαία ελληνικά µαθηµατικά. Στην εγασία αυτή γίνεται µια παουσίαση του βιβλίου µε οµαδοποίηση και ταξινόµηση των ποτάσεων βάσει του µαθηµατικού πειεχοµένου τους και όχι µε τη σειά που αναφέονται στα Στοιχεία έτσι ώστε να γίνεται πιο εύκολη η κατανόησή του. Παεµβάλλονται σχόλια των µελετητών καθώς και αχαίες πηγές για την καλύτεη δυνατή κατανόηση τόσο αυτού καθ αυτού του πειεχοµένου όσο και του σκοπού που οδήγησε στη δηµιουγία του. Επίσης µε την εισαγωγή και χήση των νέων ποτάσεων Α και Β επιχειούµε να αναδείξουµε τον ακιβή όλο των ποτάσεων VI7 και VI8 που σχετίζονται µε την κατ έλλειψη δευτεοβάθµια εξίσωση. Συνοψίζοντας µποούµε να πούµε ότι στην εγασία αυτή γίνεται µια εκ νέου ογάνωση και παουσίαση του Βιβλίου Χ τόσο ακολουθώντας την ποσέγγιση Taisba όσο και µε την ποσθήκη νέων στοιχείων. Με τη νέα αυτή ποσέγγιση πιστεύουµε πως γίνεται πιο εύκολα κατανοητό το πειεχόµενό του. Παάλληλα αναδεικνύεται ο σαφής συσχετισµός του Βιβλίου Χ και του ανθυφαιετικού πειεχοµένου του, όπως το είχε υπαινιχθεί και ο Fowler, µε το διάλογο Πολιτικός του Πλάτωνα. Συνδέονται τέλος οι όοι «δυνάµει σύµµετα», «εκ δύο ονοµάτων», «αποτοµή» καθώς και η συζυγία διωνύµων και αποτοµών µε την απόδειξη της παλινδοµικά πειοδικής ανθυφαίεσης των τεταγωνικών αήτων. Μένει όµως πος διεεύνηση ο όλος των έξι κατηγοιών αλόγων γαµµών και η χήση τους πέα από κάποιες ποτάσεις του Βιβλίου ΧΙΙΙ καθώς και το εώτηµα αν αυτός ο όλος είναι ανθυφαιετικός.

13 . ΟΡΙΣΜΟΙ Xα -δ ΣΥΜΜΕΤΡΑ- ΥΝΑΜΕΙ ΣΥΜΜΕΤΡΑ-ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΡΗΤΑ-ΑΛΟΓΑ Το Βιβλίο Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη ξεκινά µε τέσσεις οισµούς και συγκεκιµένα µε τον καινούιο όο «σύµµετα µεγέθη» ο οποίος αν και αναφέεται σε όλα τα γεωµετικά σχήµατα (µεγέθη) κάποια στιγµή εστιάζεται η χήση του για γαµµές (ευθύγαµµα τµήµατα). Συγκεκιµένα, µόνο στον όο α και στις ποτάσεις -8, -3 και 5-6 ο όος σύµµετα µεγέθη αφοά τα µεγέθη γενικώς, στις υπόλοιπες πειπτώσεις αφοά ευθύγαµµα τµήµατα ή οθογώνια πααλληλόγαµµα όπως άλλωστε συµβαίνει και µε τους όους β -δ και τις ποτάσεις -4, 9, 0 και 4. [Taisba, σελ.] Η ιδιότητα της συµµετίας σχετίζεται άµεσα µε την ιδιότητα του «µετείν» µέσω της οποίας φτάνουµε στον πώτο οισµό των συµµέτων µεγεθών. [Taisba, σελ.] Όος α SÚmmetra megšqh lšgetai t tù aùtù mštrj metroúmea, súmmetra dš, ï mhd dšcetai oiõ mštro gešsqai. Σύµµετα λέγονται τα µεγέθη που µετώνται από το ίδιο µέτο ενώ ασύµµετα αυτά για τα οποία δεν υπάχει κοινό µέτο.

14 Αν Α, Β είναι σύµµετα µεγέθη θα συµβολίζουµε: Α com B, από τον αγγλικό όο commesurable. Αντίστοιχα αν Α, Β είναι ασύµµετα µεγέθη θα συµβολίζουµε: Α ic B, από τον αγγλικό όο icommesurable. Μια σηµαντική παατήηση είναι ότι η σχέση αυτή (σύµµετο µε) αφοά µόνο οµοειδή µεγέθη ενώ ο Taisba σπεύδει να επισηµάνει την ύπαξη ασύµµετων µεγεθών η βεβαιότητα της οποίας ποκύπτει από τις ποτάσεις Χ- και µε την επίκληση της ιδιότητας της άπειης ανθυφαίεσης. [Taisba, σελ.] Όσο για τις αποδείξεις του Βιβλίου γενικά µας λέει ότι δεν στηίζονται κυίως στον οισµό αυτό αλλά στον χαακτηισµό για τα σύµµετα µεγέθη που δίνεται παακάτω στις ποτάσεις Χ5 και Χ6. [Taisba, σελ ] Μια ακόµη παατήηση είναι το ότι η σχέση της συµµετίας δύο µεγεθών είναι σχέση ισοδυναµίας (η πόταση Χ είναι η µεταβατικότητα ). Όσο για την πόσθεση και την αφαίεση σύµµετων ή ασύµµετων µεγεθών υπάχουν οι ποτάσεις Χ5 και Χ6. Στη συνέχεια εισάγεται από τον Θεαίτητο ο πολύ σηµαντικός όος της δυνάµει συµµετίας ένας όος που πωτοχησιµοποίησε ο ίδιος στον οµώνυµο διάλογο του Πλάτωνα. Αφοά µόνο γαµµές (ευθύγαµµα τµήµατα) και καθώς είναι δυνατόν δύο ασύµµετες γαµµές να είναι δυνάµει σύµµετες ποκύπτει µια νέα κατηγοία-σχέση γαµµών που όπως θα δούµε στη συνέχεια έχει σηµαντικές ιδιότητες. Όος β EÙqe ai du mei súmmetro e si, Óta t p' aùtî tetr gwa tù aùtù cwr J metrátai, súmmetroi dš, Óta to j p' aùtî tetragèoij mhd dšchtai cwr o oiõ mštro gešsqai.

15 Ευθείες δυνάµει σύµµετες ονοµάζονται οι ευθείες (ευθύγαµµα τµήµατα) που τα τετάγωνά τους είναι σύµµετα µεγέθη και αντίστοιχα ευθείες δυνάµει ασύµµετες ονοµάζονται οι ευθείες που τα τετάγωνά τους είναι ασύµµετα µεγέθη. ηλαδή: Αν α, β ευθύγαµµα τµήµατα µε α ic β και a com β τότε τα α, β λέγονται δυνάµει µόνο σύµµετα. Αν a ic β τότε τα α, β λέγονται δυνάµει ασύµµετα. Πέπει κανείς να επισηµάνει τη χήση της λέξης «δυνάµει» ενώ πόκειται για τα τετάγωνα των ευθυγάµµων τµηµάτων - στην αγγλική δεν µεταφάζεται επακιβώς αλλά χησιµοποιείται ο όος «i square»- δίνεται δε η αφοµή να αναζητηθεί ο όλος και η χήση του όου «δύναµις» στα αχαία ελληνικά µαθηµατικά αλλά και στην πλατωνική διαλεκτική. Μια τέτοια ποσπάθεια ποσέγγισης κάνει και ο ίδιος ο Taisba. [στο παάτηµα Β του βιβλίου του, σελ. 7-76] Ο Taisba υποστηίζει ότι η έννοια αυτή είναι άηκτα συνδεδεµένη µε τη θεωία του Βιβλίου Χ µιας και τα αντικείµενα αυτής της θεωίας είναι που της έδωσαν ιδιαίτεο νόηµα. Επισηµαίνει ότι πειέγως ο όος δύναµις δεν χησιµοποιείται αλλού στα Στοιχεία παά µόνο στα Βιβλία Χ και ΧΙΙΙ. Το σίγουο είναι επίσης ότι πουθενά δεν εµφανίζεται ο όος τετάγωνοι σύµµετοι και κυίως ότι για τον συγγαφέα του Βιβλίου Χ οι λέξεις τετάγωνο και δύναµις δεν είναι συνώνυµες. Στη συνέχεια ο Taisba επικαλείται τον Πλάτωνα και συγκεκιµένα τα χωία Θεαίτητος 47e5-48b και Τίµαιος 3c4. Στο µεν πώτο ο όος δύναµις αποδίδεται ξεκάθαα σε ευθύγαµµα τµήµατα στο δε δεύτεο δηλώνει αιθµούς που είναι γινόµενο δύο άλλων και αποτελούν το αποτέλεσµα της µέτησης µιας επίπεδης επιφάνειας άα µε τη σηµεινή οολογία θα λέγαµε ότι δηλώνει εµβαδόν.

16 Πλάτωνος Θεαίτητος 47e5-48b QEAI. TÕ riqmõ p ta d ca diel bome tõ m du meo so s ij g gesqai tù tetragèj tõ scáma pei satej tetr gwò te aˆ sòpleuro prose pome. SW. Kaˆ eâ ge. QEAI. TÕ to u metaxý toútou, ï aˆ t tr a aˆ t pšte aˆ p j Öj dúatoj soj s ij gešsqai, ll' À ple w latto ij À l ttw pleo ij g getai, me zw d aˆ l ttw eˆ pleur aùtõ perilamb ei, tù prom»ei aâ sc»mati pei satej prom»h riqmõ alšsame. SW. K llista. ll t tõ met toàto; QEAI. Osai m grammaˆ tõ sòpleuro aˆ p pedo riqmõ tetragw zousi, máoj æris meqa, Ósai d tõ terom»h, du meij, æj m»ei m où summštrouj e aij, to j d' pipšdoij dúatai. aˆ perˆ t stere llo toioàto. Το χωίο αυτό είναι το αµέσως επόµενο από εκείνο που ο Θεαίτητος µιλά για την ποσπάθεια του «συλλαβείν εις εν» όλες τις δυνάµεις οι οποίες εφαίνοντο άπειες - peiroi tõ pláqoj aƒ du meij fa oto, peiraqáai sullabe e j. Μιλά για δύο κατηγοίες αιθµών: αυτούς που είναι γινόµενο δύο ίσων αιθµών, αναπαίστανται µε ένα τετάγωνο και ονοµάζονται τετάγωνοι και ισόπλευοι αιθµοί και γι αυτούς που βίσκονται ενδιάµεσά τους, δεν είναι γινόµενο δύο ίσων αιθµών αλλά δύο άνισων, αναπαίστανται µε το ποµήκες (οθογώνιο πα/µο) και ονοµάζονται ποµήκεις αιθµοί. Στη συνέχεια µιλά για δύο κατηγοίες ευθυγάµµων τµηµάτων. Το ευθ. τµήµα που είναι πλευά τετάγωνου µε εµβαδόν τετάγωνο αιθµό λέγεται µήκος ενώ το ευθ. τµήµα που είναι πλευά τετάγωνου µε εµβαδόν ποµήκη αιθµό λέγεται δύναµις (π.χ. δύναµις είναι η πλευά του τεταγώνου που έχει εµβαδόν 8).

17 Πλάτωνος Τίµαιος 3b8-3b3 qeõj po ei. dúo d mòw alîj su stasqai tr tou cwrˆj où duatò desmõ g r mšsj de tia mfo suagwgõ g gesqai. desmî d llistoj Öj aøtõ aˆ t sudoúmea Óti m lista e poií, toàto d pšfue alog o llista potele. ÐpÒta g r riqmî triî e te Ôgw e te du mew ætiwoà Ï tõ mšso, Ótiper tõ prîto prõj aùtò, toàto aùtõ prõj tõ œscato, aˆ p li aâqij, Óti tõ œscato prõj tõ mšso, tõ mšso prõj tõ prîto, tòte tõ mšso m prîto aˆ œscato gigòmeo, tõ d' œscato aˆ tõ prîto aâ mšsa mfòtera, p q' oûtwj x ghj t aùt eai sumb»setai, t aùt d geòmea ll»loij e p ta œstai. e m oâ p pedo mš, b qoj d mhd œco œdei g gesqai tõ toà patõj sîma, m a mesòthj x»rei t te meq' aøtáj sude aˆ aut», à d stereoeidá g r aùtõ prosáe eai, t d stere m a m oùdšpote, dúo d eˆ mesòthtej suarmòttousi Στο χωίο αυτό ο Πλάτωνας θέλει να µιλήσει για την αναλογία και όπως µας λέει πέπει να θεωήσουµε αχικά τεις αιθµούς ή τεις δυνάµεις ή τεις όγκους. Ο Κάλφας θεωεί ότι η σύνταξη που χησιµοποιείται εκλαµβάνει αυτά τα τία ως ισοδύναµα µέη του λόγου. Αναφέει επίσης απόψεις του Pritchard σύµφωνα µε τις οποίες ο όος δύναµις σπανίως χησιµοποιείται στην αχαία ελληνική γαµµατεία και µάλιστα ως γεωµετική και όχι ως αιθµητική έννοια.. Ο Pritchard καταλήγει ότι στο χωίο αυτό θέλει απλώς να επισηµανθεί ο κάλλιστος δεσµός-η αναλογία µεταξύ οµοειδών.[ Κάλφας, Τίµαιος σελ. 363]. Καταλήγει πάντως µετά από όλα αυτά, ο Taisba, σε δική του άποψη ότι στο Βιβλίο Χ ο όος δύναµις χησιµοποιείται για ευθύγαµµα τµήµατα πάγµα που τεκµηιώνει µε τον συνδυασµό όλων των πααπάνω, δηλώνει ότι ακολουθεί τις

18 ξεκάθαες θέσεις του Πλάτωνα και ότι επιβεβαιώνεται από το πειεχόµενο των Στοιχείων σχετικά µε τα τετάπλευα. [Taisba, σελ.76] Οι δύο οισµοί που είδαµε ως τώα καθόισαν σχέσεις µεταξύ δύο τυχαίων οµοειδών µεγεθών ή και πιο συγκεκιµένα δύο ευθυγάµµων τµηµάτων. Ο επόµενος οισµός αφοά τη σχέση συµµετίας ή ασυµµετίας ενός τυχαίου ευθυγάµµου τµήµατος µε ένα εκ των ποτέων καθοισµένο ευθύγαµµο τµήµα (ποτεθείσα ευθεία) που ουσιαστικά παίζει το όλο µιας µονάδας µέτησης-σύγκισης. Η ευθεία αυτή αναφέεται από τον Θεαίτητο στον οµώνυµο διάλογο του Πλάτωνα ως «ποδιαία». Όος γ ToÚtw Øpoeimšw de utai, Óti tí proteqe sv eùqe v Øp rcousi eùqe ai pl»qei peiroi súmmetro te aˆ súmmetroi aƒ m m»ei mòo, aƒ d aˆ du mei. ale sqw oâ ¹ m proteqe sa eùqe a ht», aˆ aƒ taútv súmmetroi e te m»ei aˆ du mei e te du mei mòo hta, aƒ d taútv súmmetroi logoi ale - sqwsa. Αν µια ποτεθείσα (δοθείσα) ευθεία τότε αποδεικνύεται ότι υπάχουν άπειες ευθείες σύµµετες µε τη και άπειες ασύµµετες µε τη. Μάλιστα υπάχουν άπειες δυνάµει ασύµµετες και άπειες δυνάµει µόνο ασύµµετες. Η θα καλείται ητή ευθεία και αν µια ευθεία α είναι σύµµετη ή έστω δυναµει µόνο σύµµετη µε τη τότε θα καλείται κι αυτή ητή. Κάθε άλλη ευθεία θα καλείται άλογος (άητη).

19 ηλαδή: Έστω η ποτεθείσα ευθεία. Αν α com ή (α ic και a com ) τότε η α ονοµάζεται ητή. Αν µια ευθεία δεν είναι ητή θα ονοµάζεται άλογος. Άα ητή καλείται τόσο η ποτεθείσα ευθεία όσο και κάθε ευθεία που είναι σύµµετη ή τουλάχιστον δυνάµει µόνο σύµµετη µ αυτή. Κάθε άλλη καλείται άλογος. Έτσι έχουµε εδώ µια διχοτοµία των γαµµών σε ητές και άλογες. Αυτός ο οισµός είναι επίσης µια πώτη ένδειξη του πόσο σηµαντική είναι η ιδιότητα της δυνάµει συµµετίας µιας και ακεί για να χαακτηιστεί ητή µια ευθεία. Ένα εώτηµα που ποκύπτει από τον όο γ είναι το πως ο Θεαίτητος ισχυίζεται ότι υπάχουν, και µάλιστα άπειες, δυνάµει ασύµµετες ευθείες πος την ποτεθείσα. Η απάντηση θα έθει λίγο πιο µετά µε την πόταση Χ0. Ακολουθεί τέλος ο οισµός ητών και αλόγων σχηµάτων. Εδώ η σύγκιση γίνεται µε το τετάγωνο της ποτεθείσας που θεωείται πάντα ητό. Όος δ Kaˆ tõ m põ táj proteqe shj eùqe aj tetr gwo htò, aˆ t toútj súmmetra ht, t d toútj súmmetra loga ale sqw, aˆ aƒ du meai aùt logoi, e m tetr gwa e h, aùtaˆ aƒ pleura, e d ter tia eùqúgramma, aƒ sa aùto j tetr gwa agr fousai. Το τετάγωνο της είναι επίσης ητό οπότε τα σύµµετα µ αυτό καλούνται ητά και τα ασύµµετα άλογα. Οι ευθείες που είναι πλευές αλόγων τεταγώνων είναι επίσης άλογες καθώς και όλες οι πλευές ευθυγάµµων σχηµάτων που δίνουν τετάγωνα ίσα (δηλ. ισοδύναµα) µε άλογα.

20 ηλαδή: Έστω η ποτεθείσα ευθεία. Αν R =, όπου µε συµβολίζουµε το τετάγωνο µε πλευά, τότε το R ονοµάζεται ητό. Αν Q com R τότε το Q ονοµάζεται ητό. Αν Q ic R τότε το Q ονοµάζεται άλογο.

21 . ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ-8 ΙΧΟΤΟΜΙΑ ΠΕΡΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΠΕΙΡΟΥ ΣΤΗΝ ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΣΗ Σύµφωνα µε τον Taisba οι ποτάσεις Χ και Χ είναι µακάν τα καλύτεα µαθηµατικά κοµµάτια ολόκληου του βιβλίου.[taisba, σελ.7]. Η πόταση Χ πειγάφει µια ανθυφαιετική διαδικασία που παάλληλα έχει κοινά γνωίσµατα µε τη µέθοδο της εξάντλησης του Ευδόξου. Εµπειέχεται δε σ αυτήν η έννοια του απείου ως άπειη διαιετότητα. Πόταση Χ DÚo megeqî sw eimšw, põ toà me zooj faireqí me zo À tõ ¼misu aˆ toà ataleipomšou me zo À tõ ¼misu, aˆ toàto eˆ g ghtai, leifq»seta ti mšgeqoj, Ö œstai œlasso toà eimšou l ssooj megšqouj. Έστω δύο άνισα µεγέθη. Αν από το µεγαλύτεο αφαιεθεί µέγεθος µεγαλύτεο από το µισό του και από το υπόποιπο αφαιεθεί ξανά µέγεθος µεγαλύτεο από το µισό του και η διαδικασία αυτή επαναληφθεί συνεχώς, θα αποµείνει µέγεθος µικότεο του µικοτέου από τα αχικά δεδοµένα µεγέθη. Η πόταση Χ που ακολουθεί µας δίνει ένα χαακτηισµό για τα ασύµµετα µεγέθη και αυτός είναι ότι η ανθυφαίεσή τους δεν τελειώνει ποτέ. Πόταση Χ

22 'E dúo megeqî [ eimšw] sw qufairoumšou eˆ toà l ssooj põ toà me zooj tõ ataleipòmeo mhdšpote atametrí tõ prõ autoà, súmmetra œstai t megšqh. Αν δοθούν δύο άνισα µεγέθη και ανθυφαιείται πάντοτε το µικότεο από το µεγαλύτεο και το υπόλοιπο που κάθε φοά αποµένει δεν µετά το ποηγούµενό του, τότε τα δύο µεγέθη είναι ασύµµετα. Πόκειται για άπειη ανθυφαίεση αν και στον Ευκλείδη δεν εµφανίζονται σαν όοι το άπειο και το πέας. Όµως αν πααβάλει κανείς τις ποτάσεις VII -3 για την πεπεασµένη ανθυφαίεση καταλαβαίνει ότι η φάση «µετήσει κάποτε» που εµφανίζεται εκεί και η άνηση της «µηδέποτε καταµετεί» που εµφανίζεται στη Χ αναφέονται αντίστοιχα στο πέας και στο άπειο. Πέπει να σηµειωθεί εδώ ότι η λέξη «αεί» που υπάχει στην πόταση Χ δεν έχει έννοια απείου αλλά συνεχούς επανάληψης. Τελικά η συνεπαγωγή που ποκύπτει από την πόταση αυτή είναι: (Χ) Άπειη ανθυφαίεση Ασύµµετα µεγέθη Οι δύο επόµενες ποτάσεις αφοούν στην εύεση του κοινού µέτου δύο ή τιών συµµέτων µεγεθών. Πόταση Χ3 DÚo megeqî summštrw doqštw tõ mšgisto aùtî oiõ mštro eøre. Αν δίνονται δύο σύµµετα µεγέθη, να βεθεί το µέγιστο κοινό τους µέτο. Στην απόδειξη της πότασης που µοιάζει µε τις αποδείξεις στο αιθµητικό βιβλίο VII πειλαµβάνεται η συνεπαγωγή: Πεπεασµένη ανθυφαίεση Σύµµετα µεγέθη και µε αντιθετοαντιστοφή παίνουµε:

23 Ασύµµετα µεγέθη Άπειη ανθυφαίεση Πόταση Χ4 Triî megeqî summštrw doqštw tõ mšgisto aùtî oiõ mštro eøre. Αν δίνονται τία σύµµετα µεγέθη, να βεθεί το µέγιστο κοινό τους µέτο. Οι τέσσεεις επόµενες ποτάσεις Χ5-Χ8 πειγάφουν πολύ αναλυτικά µια ισοδυναµία και την άνηση τους. Πόταση Χ5 T súmmetra megšqh prõj llhla lògo œcei, Ö riqmõj prõj riqmò. Τα σύµµετα µεγέθη έχουν µεταξύ τους λόγο όπως έχει (φυσικός) αιθµός πος (φυσικό) αιθµό. ηλαδή: Αν Α com B τότε υπάχουν κ, λ φυσικοί αιθµοί ώστε: A B = κ λ Από εδώ ποκύπτει η συνεπαγωγή: (Χ5) Σύµµετα µεγέθη Λόγος αιθµός αιθµό ενώ ακολουθεί αµέσως µετά η αντίστοφή της. Πόταση Χ6 'E dúo megšqh prõj llhla lògo œcv, Ö riqmõj prõj riqmò, súmmetra œstai t megšqh.

24 Αν δύο µεγέθη έχουν µεταξύ τους λόγο όπως έχει (φυσικός) αιθµός πος (φυσικό) αιθµό, τότε τα µεγέθη είναι σύµµετα. ηλαδή: Αν Α, B µεγέθη και υπάχουν κ, λ φυσικοί αιθµοί ώστε: A = κ τότε Α com B. B λ (Χ6) Λόγος αιθµός αιθµό Σύµµετα µεγέθη Η πόταση Χ7 που ακολουθεί είναι η αντιθετοαντίστοφη της Χ6 και αφοά ασύµµετα µεγέθη. Πόταση Χ7 T súmmetra megšqh prõj llhla lògo où œcei, Ö riqmõj prõj riqmò. Τα ασύµµετα µεγέθη δεν έχουν µεταξύ τους λόγο όπως έχει (φυσικός) αιθµός πος (φυσικό) αιθµό. ηλαδή: Αν Α ic B τότε δεν υπάχουν φυσικοί αιθµοί κ, λ ώστε: A = κ. B λ Η συνεπαγωγή που ποκύπτει εδώ είναι: (Χ7) Ασύµµετα µεγέθη Όχι λόγος αιθµός αιθµό ενώ αµέσως ακολουθεί και η αντίστοφή της. Πόταση Χ8 'E dúo megšqh prõj llhla lògo m¾ œcv, Ö riqmõj prõj riqmò, súmmetra œstai t megšqh.

25 Αν δύο µεγέθη δεν έχουν µεταξύ τους λόγο όπως έχει (φυσικός) αιθµός πος (φυσικό) αιθµό, τότε τα µεγέθη είναι ασύµµετα. ηλαδή: Αν Α, B µεγέθη και δεν υπάχουν κ, λ φυσικοί αιθµοί ώστε:. A = κ τότε Α ic B B λ (Χ8) Όχι λόγος αιθµός αιθµό Ασύµµετα µεγέθη Είναι ποφανές ότι σ αυτές τις ποτάσεις έχουµε σύνδεση λόγων µεγεθών και λόγων αιθµών. Όµως ο Taisba µε αφοµή αυτές τις ποτάσεις επισηµαίνει το µη οισµό της ισότητας λόγου µεγεθών µε λόγο αιθµών και την αναγκαιότητα ύπαξης του, ποτείνει έναν τέτοιο αντίστοιχο µε τον οισµό της αναλογίας αιθµών του Ευδόξου και τελικά ποχωά στην ποσαµογή και άλλων ποτάσεων ή ιδιοτήτων που αφοούν στις αναλογίες αιθµών που πλέον θα αφοούν αιθµούς και µεγέθη, κυίως οθογώνια πααλληλόγαµµα ή ευθύγαµµα τµήµατα..[taisba, σελ.]. Ο οισµός που δίνει ο Taisba είναι ο εξής: «ύο µεγέθη Α και Β έχουν λόγο αιθµό πος αιθµό, έστω α πος β, αν τα Α και Β έχουν κοινό µέτο Μ το οποίο µετά το Α α φοές και το Β β φοές, δηλαδή αν Α=αΜ και Β=βΜ». [Taisba, σελ.] Πάγµατι, ενώ υπάχει στο Βιβλίο V ο οισµός της αναλογίας µεγεθών και στο Βιβλίο VII ο οισµός της αναλογίας αιθµών δεν υπάχει πουθενά στα Στοιχεία του Ευκλείδη ο οισµός της ισότητας λόγου αιθµών µε λόγο µεγεθών, η αναγκαιότητα του οποίου εµφανίζεται από νωίς στο Βιβλίο Χ και συγκεκιµένα από την πόταση Χ5. Χειαζόµαστε έναν καλό οισµό ο οποίος να είναι µάλιστα απόλυτα συµβατός µε τους άλλους οισµούς των αναλογιών. Τίθεται λοιπόν το εώτηµα αν ο πααπάνω οισµός του Taisba έχει αυτή τη συµβατότητα. Για να συµβαίνει αυτό θα πέπει το κοινό µέτο Μ που εµφανίζεται στον οισµό να είναι το µέγιστο κοινό µέτο των δύο µεγεθών, η ύπαξη του οποίου

26 εξασφαλίζεται µε τη χήση της πότασης Χ3 και της ανθυφαιετικής θεωίας λόγων. Εφόσον τα µεγέθη Α και Β είναι σύµµετα έχουµε ότι η ανθυφαίεσή τους είναι πεπεασµένη, άα θα υπάχει το µέγιστο κοινό τους µέτο όπως άλλωστε ποκύπτει από την πόταση Χ3. Έτσι ο οισµός γίνεται απόλυτα συµβατός µε τη θεωία λόγων του Βιβλίου VII και µποεί να χησιµοποιηθεί στις ποτάσεις του Βιβλίου Χ που αφοούν ταυτόχονα λόγους µεγεθών και λόγους αιθµών. Πέπει όµως να επισηµάνουµε ότι ο οισµός αυτός διαφέει από τον αντίστοιχο οισµό του Βιβλίου V στο ότι είναι ανθυφαιετικός. Άλλωστε και στο Ββλίο Χ γενικότεα δεν χησιµοποιείται η θεωία λόγων του Βιβλίου V αλλά η ανθυφαιετική θεωία λόγων. Κάτι πολύ σηµαντικό επίσης που ποκύπτει και από τις οκτώ πααπάνω ποτάσεις είναι οι διχοτοµία πέατος και απείου. Σύµµετα µεγέθη Πεπεασµένη ανθυφαίεση Λόγος αιθµός αιθµό Ασύµµετα µεγέθη Άπειη ανθυφαίεση Όχι λόγος αιθµός αιθµό Η διχοτοµία αυτή είναι αντίστοιχη µε τη διχοτοµία πέατος και απείου που εµφανίζεται στον Πλατωνικό διάλογο Φίληβος, έναν διάλογο που µας εισάγει άµεσα σε ανθυφαιετικό πειβάλλον. Πιο συγκεκιµένα, εκεί µια δυάδα (η αόιστος δυάς) ποχωά διαιετικά στο άπειο και αν εµφανιστεί το ποσό έχουµε πέας, αν όχι τότε πηγαίνουµε στο άπειο. Είναι πολύ εµφανής η αντιστοιχία µε την πεπεασµένη και την άπειη ανθυφαίεση του βιβλίου Χ και πος ενίσχυση αυτής της άποψης επικαλούµαστε ένα χωίο από τα σχόλια του Πόκλου εις Ευκλείδην. Πόκλος, εις Ευκλείδην 6,9-7,5 geia pepšrastai t mòria toà Ólou. aˆ táj m peir aj où oüshj t te megšqh p ta súmmetra à aˆ oùd rrhto oùd logo, oœj d¾ doe diafšrei t gewmetr v tî riqmhtií, aˆ oƒ

27 riqmoˆ t¾ gòimo táj mo doj dúami où dúato deiúai oùd p taj eco toýj lògouj auto j tî Ôtw, oœo toýj pollaplas ouj À toýj pimor ouj. p j g r riqmõj xall ttei tõ lògo prõj t¾ mo da aˆ tõ prõ aùtoà geòmeo xetazòmeoj. toà d pšratoj aireqštoj summetr a te aˆ oiw a lògw aˆ tautòthj e dî aˆ sòthj aˆ Ósa táj me oòj sti sustoic aj où pote to j maq»masi fa eto, Το χωίο αυτό δα συµπληωµατικά στο σκέλος «άπειο» του Φίληβου. Μας λέει επίσης ότι η ασυµµετία και η αητότητα-αλογία είναι απόοια της απειίας (πβλ. Πόταση Χ). Τέλος ένα γενικό και ενδιαφέον συµπέασµα που υπάχει στο χωίο αυτό είναι ότι η ασυµµετία κάνει τη διαφοά αιθµητικής και γεωµετίας, σε αντίθεση µε αυτό που πίστευαν οι Πυθαγόειοι ότι αιθµητική και γεωµετία είναι το ίδιο.

28 3. ΠΡΟΤΑΣΗ Χ9 ΥΝΑΜΕΙ ΣΥΜΜΕΤΡΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Ακολουθεί η πόταση Χ9 η οποία αφοά µόνο ευθύγαµµα τµήµατα. Σύµφωνα µε τον Taisba είναι «ζωτικής σηµασίας για την έευνα του βιβλίου Χ» [Taisba, σελ.5] Η µελέτη των αποδείξεων του βιβλίου αποκαλύπτει το γεγονός ότι χησιµοποιείται σε όλες στις κατασκευαστικές ποτάσεις Χ0 (κατασκευή ασυµµέτων ευθειών), Χ9-30 (κατασκευή της άλογης ευθείας µέσης), Χ48-53 (κατασκευή των διώνυµων αλόγων γαµµών), Χ85-90 (κατασκευή των αφαιετικών αλόγων γαµµών) πάγµα που αποδεικνύει τη σπουδαιότητα της πότασης αυτής. Άλλωστε η Χ9 που µας εξασφαλίζει την ύπαξη δυνάµει µόνο σύµµετων ευθειών. Πόταση Χ9 T põ tî m»ei summštrw eùqeiî tetr gwa prõj llhla lògo œcei, Ö tetr gwoj riqmõj prõj tetr gwo riqmò aˆ t tetr gwa t prõj llhla lògo œcota, Ö tetr gwoj riqmõj prõj tetr gwo riqmò, aˆ t j pleur j xei m»ei summštrouj. t d põ tî m»ei summštrw eùqeiî tetr gwa prõj llhla lògo où œcei, Óper tetr gwoj riqmõj prõj tetr gwo riqmò aˆ t tetr gwa t prõj llhla lògo m¾ œcota, Ö tetr gwoj riqmõj prõj tetr gwo riqmò, oùd t j pleur j xei m»ei summštrouj.

29 Τα τετάγωνα µήκει συµµέτων ευθειών έχουνε λόγο µεταξύ τους όπως έχει τετάγωνος αιθµός πος τετάγωνο αιθµό και τα τετάγωνα που έχουνε λόγο µεταξύ τους όπως έχει τετάγωνος αιθµός πος τετάγωνο αιθµό έχουν πλευές µήκει σύµµετες. Ενώ τα τετάγωνα µήκει ασυµµέτων ευθειών δεν έχουνε λόγο µεταξύ τους όπως έχει τετάγωνος αιθµός πος τετάγωνο αιθµό και τα τετάγωνα που δεν έχουνε λόγο µεταξύ τους όπως έχει τετάγωνος αιθµός πος τετάγωνο αιθµό ούτε τις πλευές έχουνε µήκει σύµµετες. ηλαδή: Τα ευθύγαµµα τµήµατα Α, Β είναι σύµµετα αν και µόνο αν υπάχουν a, β a Α τετάγωνοι αιθµοί ώστε = β Β και τα ευθύγαµµα τµήµατα Α, Β είναι ασύµµετα αν και µόνο αν δεν υπάχουν a, β a Α τετάγωνοι αιθµοί ώστε = β Β». Η απόδειξη της πότασης που υπάχει στα Στοιχεία δεν χησιµοποιεί ποηγούµενες ποτάσεις του Βιβλίου Χ αλλά µόνο τις ποτάσεις VI0 και VII. Ο Taisba επικαλείται τον Heath σύµφωνα µε τον οποίο αυτή η απόδειξη παουσιάζει κάποια ελαττώµατα, επισηµαίνει ότι δεν µποούµε να έχουµε σίγουη άποψη για το πως έγινε η απόδειξη από τον ίδιο τον Θεαίτητο και παουσιάζει µια δική του απλούστεη απόδειξη. Η απόδειξη αυτή χησιµοποιεί την πόταση V9, στην ουσία την V8, και τον οισµό της ισότητας λόγου µεγεθών µε λόγο αιθµών που εισάγει ο Taisba και είναι ο εξής: «ύο µεγέθη Α και Β έχουν λόγο αιθµό πος αιθµό, έστω α πος β, αν τα Α και Β έχουν κοινό µέτο Μ το οποίο µετά το Α α φοές και το Β β φοές». ( ηλαδή αν Α=αΜ και Β=βΜ ). [Taisba, σελ.7] Ο οισµός αυτός, όπως αναφέθηκε πιο αναλυτικά ποηγούµενα ποέκυψε µετά από την παατήηση του Taisba ότι δεν υπάχει στα Στοιχεία διατυπωµένος οισµός για την ισότητα λόγου µεγεθών µε λόγο αιθµών και την διατύπωσή του από τον ίδιο σε πλήη αντιστοιχία µε τον οισµό της αναλογίας αιθµών. Όπως έχουµε

30 ήδη πειγάψει αναλυτικά, για να είναι αυτός ο οισµός απόλυτα συµβατός µε τον οισµό της αναλογίας αιθµών πέπει να αναζητείται όχι απλώς ένα κοινό µέτο των δύο µεγεθών αλλά το µέγιστο κοινό τους µέτο. Ακολουθεί η απόδειξη του Taisba για την Χ9 αλλά πέπει να σηµειώσουµε ότι αυτή δεν θα µποούσε να είναι η πώτη απόδειξη µιας και οι ποτάσεις που χησιµοποιεί ανήκουν στο Βιβλίο V- Θεωία Λόγων του Ευδόξου που είναι µεταγενέστεο ιστοικά του Βιβλίου Χ. Η πόταση Χ9 λέει ότι: «Τα ευθύγαµµα τµήµατα Α, Β είναι σύµµετα αν και µόνο αν υπάχουν a, β τετάγωνοι αιθµοί ώστε a Α = β Β». Απόδειξη του Taisba: ( ) Έστω Α, Β σύµµετα ευθύγαµµα τµήµατα τότε υπάχει τµήµα Ε (ποσθέτουµε την υπόθεση αυτό να είναι µέγιστο) τέτοιο ώστε Α = Ε α και Β = Ε β όπου α, β ακέαιοι. Οπότε το Α πειέχει β το πλήθος τετάγωνα ίσα µε α το πλήθος τετάγωνα ίσα µε Ε. a Α Άα από τον πααπάνω οισµό έχουµε: = β Β Ε και το Β πειέχει ( ) Έστω ότι a Α = β Β και a, β τεάγωνοι ακέαιοι αιθµοί. Θα δείξουµε ότι Α, Β σύµµετα. Έστω ότι το Α χωίζεται σε α το πλήθος ευθύγαµµα τµήµατα ίσα µε Ε, τότε το Α πειέχει α το πλήθος τετάγωνα ίσα µε Έστω Γ το ευθύγαµµο τµήµα για το οποίο ισχύει το Γ πειέχει β το πλήθος τετάγωνα ίσα µε Ε. Ε. Γ = Ε β τότε Α α = Γ β και

31 a Α Οπότε από τον πααπάνω οισµό έχουµε ότι =. β Γ a Α Όµως από την υπόθεση έχουµε ότι = β Β. Άα από την πόταση V9 παίνουµε Β = Γ α Β = Γ = β Α Β. Άα Α, Β σύµµετα. Τέλος πααθέτουµε και την απόδειξη της πότασης Χ9 όπως αυτή είναι καταγεγαµµένη στα Στοιχεία του Ευκλείδη: Απόδειξη στα Στοιχεία: ( ) Έστω Α, Β σύµµετα µεγέθη. Θα δείξουµε ότι υπάχουν a, β τετάγωνοι αιθµοί ώστε a Α = β Β. Αφού Α, Β σύµµετα µεγέθη από την Χ5 έχουµε ότι υπάχουν αιθµοί α,β ώστε A α =. B β Λόγω της VI0 ( που λέει ότι ο λόγος οµοίων σχηµάτων ισούται µε το λόγο των A A τεταγώνων των οµολόγων πλευών ) παίνουµε ότι = και B B λόγω της VΙΙ ( που λέει ότι για οποιουσδήποτε αιθµούς κ,λ ισχύει η σχέση κ λ κ = λ a a ) παίνουµε ότι = β β. a Α Από τις πιο πάνω σχέσεις ποκύπτει ότι: = β Β που είναι και το ζητούµενο. ( ) Έστω ότι a Α = β Β και a, β τεάγωνοι αιθµοί. Θα δείξουµε ότι Α, Β σύµµετα.

32 A A Λόγω της VI0 παίνουµε = B B και λόγω της VΙΙ παίνουµε a β a = β A α από τις οποίες ποκύπτει ότι: = = αιθµός αιθµό και από την πόταση Χ5 B β έχουµε ότι Α, Β σύµµετα που είναι και το ζητούµενο. Αντίστοιχα για τα ασύµµετα µεγέθη έχουµε: ( ) Έστω Α, Β ασύµµετα µεγέθη. Θα δείξουµε ότι δεν υπάχουν a, β τετάγωνοι αιθµοί ώστε a Α = β Β. Έστω ότι υπάχουν a, β τετάγωνοι αιθµοί ώστε a Α = β Β τότε από το πώτο µέος της πότασης έχουµε ότι Α, Β σύµµετα µεγέθη, άτοπο. Άα δεν υπάχουν a, β τετάγωνοι αιθµοί ώστε a Α = β Β. ( ) Έστω ότι δεν υπάχουν a, β τεάγωνοι αιθµοί ώστε a Α = β Β, τότε από το πώτο µέος της πότασης έχουµε άµεσα ότι Α, Β ασύµµετα µεγέθη. Η πόταση αυτή θα µποούσε να διατυπωθεί µε σύγχονο µαθηµατικό συµβολισµό ως εξής: «Αν α, είναι ευθύγαµµα τµήµατα και ισχύει α = Ν, Ν όχι τετάγωνος αιθµός, τότε τα α, είναι ασύµµετα, δηλ. είναι δυνάµει µόνο σύµµετα». Η αλήθεια είναι ότι τα δυνάµει µόνο σύµµετα µεγέθη έχουν µεν άπειη ανθυφαίεση όµως αυτή έχει την εξαιετική ιδιότητα να είναι παλινδοµικά πειοδική πάγµα που διέπει άλλωτε ξεκάθαα και άλλωτε όχι την Πλατωνική

33 φιλοσοφία. Η πόταση Χ9 χησιµοποιείται στην απόδειξη της παλινδοµικά πειοδικής ανθυφαίεσης των δυνάµει µόνο σύµµετων γαµµών µαζί µε άλλες ποτάσεις του βιβλίου Χ. Συγκεκιµένα, η Χ9 είναι αυτή που εξασφαλίζει την απααίτητη πουπόθεση ότι τα δύο ανθυφαιούµενα µεγέθη έχουν άπειη ανθυφαίεση. Αυτό ποκύπτει από το γεγονός ότι ο λόγος των τεταγώνων τους δεν είναι τετάγωνος αιθµός, άα είναι ασύµµετα και έχουν άπειη ανθυφαίεση πάγµα που αποτελεί το πώτο βήµα στην απόδειξη της παλινδοµικά πειοδικής ανθυφαίεσής τους. Όπως ποκύπτει από Ανώνυµα σχόλια στα Στοιχεία η πόταση αυτή είναι του Θεαίτητου και είναι η πιο ολοκληωµένη µοφή µιας πότασης που αναφέει ο Πλάτωνας στο διάλογο Θεαίτητος. Ποκύπτει εύλογα το εώτηµα για το ποιός είναι ο όλος και η σηµασία αυτής της πότασης στην πλατωνική διαλεκτική. Ανώνυµα Σχόλια στα Στοιχεία Χ6 TÕ qeèrhma toàto Qeait»teiÒ sti eûrhma, aˆ mšmhtai aùtoà Ð Pl tw Qeait»tJ, ll' e m meriètero œgeitai, taàqa d aqòlou e g r t tetr gwa t ØpÕ tetragèw riqmî metroúmea summštrouj œcei aˆ t j pleur j fhsi. meri¾ d aûth ¹ pròtasij où g r p ta t súmmetra cwr a, ï aˆ aƒ pleura e si súmmetroi, perilamb ei. tetragèw g r cwr w summštrw toà ih aˆ toà h aƒ pleura, e aˆ m¾ at tõ mštro tî riqmî eør sotai, ll' oâ llwj e sˆ súmmetroi Ómwj ØpÕ tetragèw riqmî t cwr a où memštrhtai, e aˆ metre sqai dúatai. e Òtwj oâ taàqa où toàto tõ tròpo ær sato, ll t lògo fhsˆ œcota, Ö riqmõj tetr gwoj prõj tetr gwo riqmò. aˆ taàqa d où m th ¹ toà tetragèou riqmoà gegšhtai m»mh e g r à mòo Ö riqmõj prõj riqmõ Ðris meoj, pleòaze Ð Óroj. t g r diplas oa

34 lògo œcota tetr gwa prõj llhla summštrouj œdei t j pleur j œcei. où œcousi dš aˆ g r ¹ toà me zooj táj toà par llhj diagèiòj sti. e to u di m toà f ai Ö riqmõj prõj riqmõ pleòaze Ð Óroj perilamb w aˆ t m¾ summštrouj œcota t j pleur j, di d toà e pe ØpÕ tetragèw riqmî metroúmea llipîj ece m¾ perišcw t summštrouj œcota t j pleur j ØpÕ tetragèw m m¾ metrhqšta riqmî, lògo d tî riqmî còtw, Ö tetr gwoj prõj tetr gwo riqmò, e Òtwj pròseitai tõ Ö tetr gwoj prõj tetr gwo peril»yetai g r p ta t cwr a,, e aˆ m¾ ØpÕ tetragèw metre tai, ll' oâ súmmetra Ôta summštrouj œcei aˆ t j pleur j. toà d' oâ ih aˆ toà h summštrw Ôtw di tõ aˆ pleurî summštrw agegr fqai eør»seij t j pleur j, diòti lògo œcousi, Ö riqmõj tetr gwoj prõj tetr gwo riqmò. æj g r Ð q prõj tõ d, oûtwj Ð ih prõj tõ h. labë d t j pleur j toà q aˆ d s ij tšmw tî eimšw tetragèw t j pleur j aˆ œcw t¾ summetr a æj g r t tetr gwa prõj t tetr gwa, oûtwj aƒ pleuraˆ prõj t j pleur j. Τα δύο επόµενα Ανώνυµα σχόλια για την πότση Χ9 πειγάφουν την αναγκαιότητα των υποθέσεων ώστε να καταλήξουµε στην πόταση αυτή από την οποία σε συνδυασµό µε τις ποτάσεις Χ5 και Χ6 ποκύπτει ότι: για δύο ευθύγαµµα τµήµατα µποεί να συµβαίνει ακιβώς ένα από τα παακάτω ή είναι µήκει σύµµετα ή είναι δυνάµει µόνο σύµµετα ή είναι ασύµµετα και µήκει και δυνάµει. Ανώνυµα Σχόλια στα Στοιχεία Χ63 T põ tî m»ei summštrw eùqeiî tetr gwa

35 prõj llhla lògo œcei, Ö tetr gwoj riqmõj prõj tetr gwo où m th ¹ toà tetragèou riqmoà gegšhtai m»mh. e g r e rhe mòwj Ö riqmõj prõj riqmò, pleòaze Ð Óroj t g r diplas oa lògo œcota tetr gwa prõj llhla summštrouj œdei t j pleur j œcei où œcousi dš, æj œcei pˆ táj diamštrou aˆ táj pleur j. Ανώνυµα Σχόλια στα Στοιχεία Χ64 'Istšo, Óti t põ tî m»ei summštrw eùqeiî tetr gwa lògo œcei, Ö tetr gwoj riqmõj prõj tetr gwo riqmò, où m¾ aˆ tistršfei, a, t tetr gwa lògo œcv, Ö tetr gwoj riqmõj prõj tetr gwo riqmò, aˆ t j duamšaj eùqe aj t tetr gwa m»ei summštrouj eai. Ð g r ih prõj tõ h lògo œcei tetragwiõ diplasiepitštarto, Ö Ð q tetr gwoj prõj tõ d tetr gwo, aˆ Ómwj ¹ pleur toà h où œsti súmmetroj m»ei tí toà ih pleur œsti d toà m ¹ pleur b mq mb, toà d ih d id lg.

36 4. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Χ0-6 ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΕΙΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Η πόταση που ακολουθεί είναι κατασκευαστική και εξασφαλίζει την ύπαξη ασύµµετων ευθειών πος την ποτεθείσα. ίνεται έτσι η απάντηση στο εώτηµα που ποέκυψε από τον όο γ για το πως ο Θεαίτητος ισχυίζεται ότι υπάχουν, και µάλιστα άπειες, δυνάµει ασύµµετες ευθείες πος την ποτεθείσα. Είναι επίσης αξιοσηµείωτο το γεγονός ότι τόσο σ αυτή την πόταση όσο και στις υπόλοιπες κατασκευαστικές ποτάσεις του βιβλίου δεν γίνεται µια κατασκευή συγκεκιµένης γαµµής-πααδείγµατος που απλά εξασφαλίζει το µη κενό της κλάσης τους αλλά µε έναν γενικό τόπο κατασκευάζονται «όλες» οι ζητούµενες ευθείες ή καλύτεα δίνεται ο γενικός τόπος κατασκευής τους. Σηµαντικό όλο στην απόδειξη που κάνει ο Ευκλείδης παίζει η πόταση Χ9, είναι η µόνη που χησιµοποιείται εδώ από τις ποηγούµενες ποτάσεις του Βιβλίου Χ. Πόταση Χ0 TÍ proteqe sv eùqe v proseure dúo eùqe aj summštrouj, t¾ m m»ei mòo, t¾ d aˆ du mei. Να βεθούν δύο ευθείες ασύµµετες µε την ποτεθείσα, η µία µήκει µόνο ασύµµετη η άλλη µήκει και δυνάµει ασύµµετη. ηλαδή:

37 Αν είναι η ποτεθείσα ευθεία, να βεθούν ευθείες α και β ώστε, β ασύµµετες και, α µήκει µόνο ασύµµετες. (ο όος µήκει µόνο ασύµµετες ταυτίζεται όπως είναι ποφανές µε τον όο δυνάµει µόνο σύµµετες) Απόδειξη: Έστω η ποτεθείσα ευθεία. Θεωούµε κ, λ αιθµούς τέτοιους ώστε κ λ όχι τετάγωνος αιθµός πος τετάγωνο αιθµό. Λόγω του ποίσµατος της Χ6 [που λέει ότι αν έχω αιθµούς κ, λ και ευθεία α µποώ α κ να βώ ευθεία β ώστε = και µε χήση µέσης αναλόγου να πεάσω σε β λ αντίστοιχη αναλογία για το τετάγωνο της α] µποούµε να πάουµε την ευθεία α κ και το τετάγωνό της, οπότε να έχουµε : = απ όπου ποκύπτει ότι λ α α, σύµµετα. Όµως αφού τα κ, λ δεν έχουν λόγο όπως τετάγωνος αιθµός πος τετάγωνο αιθµό, λόγω της πότασης Χ9 παίνουµε ότι α, ασύµµετα. Άα βήκαµε την α που είναι δυνάµει µόνο σύµµετη µε τη. Θεωούµε τη µέση ανάλογο των α και, έστω β. Τότε από τον όο V9 είναι: = και επειδή α, ασύµµετα θα είναι και α β β, ασύµµετα. Άα, β µήκει και δυνάµει ασύµµετα. Έτσι βήκαµε τη β που είναι µήκει και δυνάµει ασύµµετη µε τη. Οι ποτάσεις που ακολουθούν Χ-6 πειλαµβάνουν τις ιδιότητες των συµµέτων και των ασυµµέτων µεγεθών και τις αποδείξεις τους. Πόταση Χ

38 'E tšssara megšqh logo Ï, tõ d prîto tù deutšrj súmmetro Ï, aˆ tõ tr to tù tet rtj súmmetro œstai tõ prîto tù deutšrj súmmetro Ï, aˆ tõ tr to tù tet rtj súmmetro œstai. Αν τέσσεα µεγέθη είναι σε αναλογία και το πώτο είναι σύµµετο µε το δεύτεο, τότε και το τίτο θα είναι σύµµετο µε το τέτατο, ενώ αν το πώτο είναι ασύµµετο µε το δεύτεο, τότε και το τίτο θα είναι ασύµµετο µε το τέτατο. ηλαδή: A Γ Έστω Α, Β, Γ, µεγέθη για τα οποία ισχύει: = τότε ισχύουν τα εξής: B Αν Α, Β σύµµετα τότε και Γ, σύµµετα. Αν Α, Β ασύµµετα τότε και Γ, ασύµµετα. Η πόταση Χ είναι η µεταβατική ιδιότητα της αναλογίας µετά την απόδειξη της οποίας συνάγουµε ποφανώς ότι η συµµετία µεγεθών είναι σχέση ισοδυναµίας. Πόταση Χ T tù aùtù megšqei súmmetra aˆ ll»loij stˆ súmmetra. Τα µεγέθη που είναι σύµµετα πος το ίδιο µέγεθος είναι και µεταξύ τους σύµµετα. ηλαδή: Έστω Α, Β, Γ, µεγέθη. Αν Α, Β σύµµετα και Α, Γ, σύµµετα τότε Β, Γ, σύµµετα µεγέθη. Πόταση Χ3 'E Ï dúo megšqh súmmetra, tõ d tero aùtî megšqei tiˆ súmmetro Ï, aˆ tõ loipõ tù aùtù súm-

39 metro œstai. Αν δύο µεγέθη είναι µεταξύ τους σύµµετα και ένα από αυτά είναι ασύµµετο µε κάποιο άλλο µέγεθος τότε και το δεύτεο από τα σύµµετα θα είναι ασύµµετο µε αυτό. ηλαδή: Έστω Α, Β, Γ, µεγέθη. Αν Α, Β σύµµετα και Α, Γ, ασύµµετα τότε Β, Γ, ασύµµετα µεγέθη. Πόταση Χ4 'E tšssarej eùqe ai logo ðsi, dúhtai d ¹ prèth táj deutšraj me zo tù põ summštrou autí [m»ei], aˆ ¹ tr th táj tet rthj me zo du»setai tù põ summštrou autí [m»ei]. aˆ ¹ prèth táj deutšraj me zo dúhtai tù põ summštrou autí [m»ei], aˆ ¹ tr th táj tet rthj me zo du»setai tù põ summštrou autí [m»ei]. Αν τέσσεεις ευθείες είναι σε αναλογία και το τετάγωνο της πώτης είναι µεγαλύτεο από το τετάγωνο της δεύτεης κατά το τετάγωνο ευθείας µήκει συµµέτης µε την πώτη τότε και το τετάγωνο της τίτης είναι µεγαλύτεο από το τετάγωνο της τέτατης κατά το τετάγωνο ευθείας µήκει συµµέτης µε την τίτη. Αν το τετάγωνο της πώτης είναι µεγαλύτεο από το τετάγωνο της δεύτεης κατά το τετάγωνο ευθείας µήκει ασυµµέτης µε την πώτη τότε και το τετάγωνο της τίτης είναι µεγαλύτεο από το τετάγωνο της τέτατης κατά το τετάγωνο ευθείας µήκει ασυµµέτης µε την τίτη. ηλαδή: α γ Έστω α, β, γ, δ ευθείες (ευθύγαµµα τµήµατα) για τα οποία ισχύει: = τότε : β δ Αν α > β και α = β + κ όπου α,κ σύµµετα τότε είναι γ > δ και

40 υπάχει ευθεία λ τέτοια ώστε γ = δ + λ όπου γ, λ σύµµετα. Αν α > β και α = β + τ όπου α,τ ασύµµετα τότε είναι γ > δ και υπάχει ευθεία σ τέτοια ώστε γ = δ + σ όπου γ, σ ασύµµετα. Πόταση Χ5 'E dúo megšqh súmmetra suteqí, aˆ tõ Ólo atšrj aùtî súmmetro œstai tõ Ólo ˆ aùtî súmmetro Ï, aˆ t x rcáj megšqh súmmetra œstai. Αν ποστεθούν δύο σύµµετα µεγέθη τότε και το άθοισµά τους θα είναι σύµµετο µε καθένα απ αυτά. Αντίστοφα, αν το άθοισµα δύο µεγεθών είναι σύµµετο µε ένα από αυτά τότε τα δύο µεγέθη θα είναι σύµµετα. ηλαδή: Έστω Α, Β, µεγέθη. Αν Α, Β σύµµετα τότε είναι επίσης Α, Α+Β σύµµετα και Β, Α+Β σύµµετα. Αντίστοφα, αν Α, Α+Β σύµµετα ή Β, Α+Β σύµµετα τότε και Α, Β σύµµετα. Πόταση Χ6 'E dúo megšqh súmmetra suteqí, aˆ tõ Ólo atšrj aùtî súmmetro œstai tõ Ólo ˆ aùtî súmmetro Ï, aˆ t x rcáj megšqh súmmetra œstai. Αν ποστεθούν δύο ασύµµετα µεγέθη τότε και το άθοισµά τους θα είναι ασύµµετο µε καθένα απ αυτά. Αντίστοφα, αν το άθοισµα δύο µεγεθών είναι ασύµµετο µε ένα από αυτά τότε τα δύο µεγέθη θα είναι ασύµµετα. ηλαδή:

41 Έστω Α, Β, µεγέθη. Αν Α, Β ασύµµετα τότε είναι επίσης Α, Α+Β ασύµµετα και Β, Α+Β ασύµµετα. Αντίστοφα, αν Α, Α+Β ασύµµετα ή Β, Α+Β ασύµµετα τότε και Α, Β ασύµµετα. Οι δύο τελευταίες ποτάσεις Χ5-6 αφοούν στην πόσθεση συµµέτων και ασυµµέτων µεγεθών. Ποκύπτει λοιπόν εύλογα το εώτηµα: Τι συµβαίνει µε το άθοισµα δυνάµει µόνο συµµέτων ευθειών; Η απάντηση υπάχει στη συνέχεια του βιβλίου, στη θεωία των αλόγων γαµµών.

42 4/5. ΡΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΛΟΓΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ Οι ποτάσεις 7 εως 5 του βιβλίου Χ αφοούν τις ητές και κυίως τις άλογες γαµµές όπως αυτές παουσιάστηκαν στους οισµούς 3 και 4. Η παουσίαση τους, όπως επισηµαίνεται από όλους τους µελετητές του βιβλίου Χ, είναι πολύ εκτενής, ενίοτε πολύπλοκη και κυίως µε πολλές επαναλήψεις. Για το λόγο αυτό γίνεται εδώ µια παουσίασή τους βασισµένη στη µελέτη του ανού C.M.Taisba µε τίτλο Coloured Quadragles-A Guid to the Teth Boo of Euclid s Elemets η οποία είναι κατά κοινή οµολογία η πιο ολοκληωµένη αλλά ταυτόχονα και πιο συµπυκνωµένη παουσίασή τους χωίς νεωτεισµούς και σύγχονα µαθηµατικά. Πόκειται για γεωµετική παουσίαση, όπως γίνεται και από τον ίδιο τον Ευκλείδη και χωίς εισαγωγή σύγχονης άλγεβας όπως έκανε ο Stevi παλαιότεα και ο Fowler µεταγενέστεα. Ξεκινώντας πέπει να εξηγήσει κανείς την οολογία που χησιµοποιεί ο Taisba και έτσι να δώσει και µια εξήγηση για τον πείεγο τίτλο του βιβλίου του Coloured Quadragles. Για να αποφευχθούν παανοήσεις µε τη σηµασία των όων ητός, µέσος και άλογος που θα ωφείλονταν στη σηµεινή οολογία και χήση, ο Taisba χησιµοποιεί τα επίθετα red (κόκκινο), amber (ποτοκαλί, ο µεσαίος από τους φωτεινούς σηµατοδότες στους δόµους) και obscure (σκοτεινό) για τους αντίστοιχους αχαίους ελληνικούς όους. εν πόκειται για µετάφαση των όων αλλά για λέξεις που θα χησιµοποιούµε ποκειµένου να ανάγεται η σκέψη µας στους οισµούς του βιβλίου Χ και όχι σ αυτό που εµείς σήµεα ονοµάζουµε ητό, µέσο, άητο κ.τ.λ. Στην παούσα µελέτη δεν θα ακολουθήσουµε την οολογία του Taisba µέσω των χωµάτων, θέλωντας όµως κι εµείς να αποφύγουµε τις παανοήσεις θα χησιµοποιούµε αντίστοιχα τους όους, Ε-ητό, Ε-µέσο και Ε-άλογο για τους όους ητό, µέσο και άλογο όπως εµφανίζονται σ αυτό το βιβλίο του Ευκλείδη. ( το Ε- σηµαίνει «κατά Ευκλείδη» ). Πάντως το σηµαντικό πόβληµα σύγχυσης αφοά κυίως τον όο «ητό» όπως τον χησιµοποιούµε σήµεα και τον όο «ητό» όπως

43 τον χησιµοποιεί ο Ευκλείδης, αυτό θα γίνει φανεό και κατανοητό στην ποεία της µελέτης. Πέπει να σηµειωθεί ότι οι amber-µέσες ευθείες είναι επίσης άλογες αλλά ο Taisba, χωίς να δίνει κάποιο ειδικό λόγο, τις εξετάζει ανεξάτητα από τις obscure. Μια πιθανή εξήγηση θα µποούσε να είναι το γεγονός ότι µια amber-µέση ευθεία ποκύπτει ως ο γεωµετικός µέσος δύο ευθειών και η µελέτη και ποσέγγισή της γίνεται µέσω µιας θεωίας µε την οποία είµαστε ακετά εξοικιωµένοι. Πάντως και µε τον όο obscure δεν αναφέονται όλες οι υπόλοιπες άλογες γαµµές αλλά µόνο αυτές που ποκύπτουν ως άθοισµα (διώνυµες) ή διαφοά (αποτοµές) ητών ευθειών δυνάµει µόνο συµµέτων µε την ποτεθείσα. Άα θα αναφεθούµε σε ητές γαµµές και σε άλογες. Στην κατηγοία των αλόγων γαµµών θα εξετάσουµε µόνο τις µέσες γαµµές καθώς και εκείνες τις άλογες που ποκύπτουν ως άθοισµα ή διαφοά ευθειών. Έτσι θα οδηγηθούµε και στην κατηγοιοποίηση και ταξινόµηση αυτών των γαµµών ανάλογα µε τις ιδιότητες αλλά και την ποέλευσή τους.

Επανέλεγχος ηλεκτρικής εγκατάστασης

Επανέλεγχος ηλεκτρικής εγκατάστασης Επανέλεγχος ηλεκτικής εγκατάστασης Οδηγίες διεξαγωγής μετήσεων και δοκιμών για επανελέγχους ηλεκτικών εγκαταστάσεων με τη χήση σύγχονων ογάνων 1. Εισαγωγή στις απαιτήσεις των επανελέγχων Τα οφέλη του τακτικού

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχει σηµείο χ 0 τέτοιο ώστε να ισχύει..

Υπάρχει σηµείο χ 0 τέτοιο ώστε να ισχύει.. Υπάχει σηµείο χ 0 τέτοιο ώστε να ισχύει.. ( ή διαφοετικά πεί ιζών εξίσωσης ) I. Για να δείξουµε ότι µια εξίσωση f(χ)=0 έχει µία τουλάχιστον ίζα στο διάστηµα (α, β) µποούµε να εγασθούµε ως εξής: 1 0ς τόπος:

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός γεωστροφικών ρευμάτων με τη χρήση δεδομένων από CTD. Σύγκριση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & Drifters.

Υπολογισμός γεωστροφικών ρευμάτων με τη χρήση δεδομένων από CTD. Σύγκριση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & Drifters. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΘΑΛΑΣΣΑΣ Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & Drifters. ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (Επιβλέπων:

Διαβάστε περισσότερα

3. Μετρήσεις GPS Προβλήµατα

3. Μετρήσεις GPS Προβλήµατα . Μετήσεις GPS Ποβλήµατα.. Μετήσεις G.P.S. και ποβλήµατα. Οι παατηήσεις που παγµατοποιούνται µε το σύστηµα GPS, όπως έχουµε άλλωστε ήδη αναφέει, διακίνονται σε δύο κατηγοίες: α) σε µετήσεις ψευδοαποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1 ΜΜΚ 3 Μεταφοά Θεμότητας Φυσική Συναγωγή ΜΜΚ 3 Μεταφοά Θεμότητας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Πααγωγής ΜΜK 3 Μεταφοά Θεμότητας Φυσική Συναγωγή (r convction) Στα ποηγούμενα ύο κεφάλαια ασχοληθήκαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 5 ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Εισαωή Η αυξημέη αησυχία τω σύχοω κοιωιώ ια τις καταστοφικές επιπτώσεις στη ποιότητα του πειβάλλοτος από τη ααία και άαχη αάπτυξη, που παατηείται τα τελευταία χόια,

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Ερευνητικό ενδιαφέρον. 1.2 Επισηµάνσεις από τη βιβλιογραφία. 1.3 Προσέγγιση λύσης προβληµάτων:

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Ερευνητικό ενδιαφέρον. 1.2 Επισηµάνσεις από τη βιβλιογραφία. 1.3 Προσέγγιση λύσης προβληµάτων: . Εευνητικό ενδιαφέον. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Επισηµάνσεις από τη βιβλιογαφία α) Ελλιπείς γνώσεις των πολύπλοκων φυσικών διεγασιών β) Ελάχιστα εφαµόζονται οι νόµοι της Μηχανικής των Ρευστών γ)ελάχιστα βιβλία διεθνώς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΕΙΡΩΝ

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΕΙΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΕΙΡΩΝ ΣΤΕΛΛΑ ΚΟΥΤΡΑΚΗ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 6 Η μεταπτυχιακή αυτή εργασία πραγματοποιήθηκε στο Μαθηματικό Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις Μάθηα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 7 ου εξαήνου ΣΕΜΦΕ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΙΚΤΥΩΝ Ασκήσεις Αποστέλλονται πακέτα σταθεού ήκους ytes από τον κόβο # στον κόβο #4 έσω των κόβων # και #3 σε σειά, όπως

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

3. Αρμονικά Κύματα Χώρου και Επιφανείας. P, S, Rayleigh και Love

3. Αρμονικά Κύματα Χώρου και Επιφανείας. P, S, Rayleigh και Love 3. Αμονικά Κύματα Χώου και Επιφανείας P, S, Rayleigh και Lve ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3. Κύματα (P & S) σε ομοιογενή χώο 3. Κύματα σε ανομοιογενή μέσα με δι-επιφάνεια 3.3. Επιφανειακά κύματα Πόσθετο ιάβασμα Steven

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΤΕΛΕΩΝ ΓΕΩΡΓΙΑ- ΧΡΙΣΤΙΝΑ. Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Κα. Φαρµάκη Βασιλική

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΤΕΛΕΩΝ ΓΕΩΡΓΙΑ- ΧΡΙΣΤΙΝΑ. Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Κα. Φαρµάκη Βασιλική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τµήµα Μαθηµατικών και Στατιστικής Τµηµα Επιστήµων Αγωγής ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ &

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Mα θ η μ α τ ι κ ά Β Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Λυκείου Θετικής-Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία,

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, θα σου φανεί χρήσιμο τις τελευταίες ημέρες της προετοιμασίας σου για τις πανελλαδικές εξετάσεις. Τα περιεχόμενά

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Q = (2 3 5... P) + 1.

Q = (2 3 5... P) + 1. Η ΑΠΟΛΟΓΙΑ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ G.H. Hardy ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Η Η ΦΑΝΕΡΟ ότι, αν θέλουµε να έχουµε οποιαδήποτε πιθανότητα να προχωρήσει η συζήτηση, οφείλω να δώσω παραδείγµατα «πραγµατικών» µαθηµατικών θεωρηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Αναµονής (queueing theory) ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωρίας Αναµονής -- N. Μήτρου

Στοιχεία Θεωρίας Αναµονής (queueing theory) ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωρίας Αναµονής -- N. Μήτρου Στοιχεία Θεωίας Αναµονής (queueig theory) ίκτυα Επικοινωνιών: Στοιχεία Θεωίας Αναµονής -- N. Μήτου Θεωία Αναµονής Βασικό µαθηµατικό εγαείο για την ανάυση της επίδοσης και το σχεδιασµό δικτύων, αφού η ζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ηέκδοση, για πρώτη φορά στα ελληνικά, του έργου του

Ηέκδοση, για πρώτη φορά στα ελληνικά, του έργου του Περί του πολίτη Η ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΥΒΕΡΝΗΣΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Συγγραφέας : Hobbes Thomas Μεταφραστής : Βαβούρας Ηλίας ISBN: 9789604632732 Τιμή: 15,98 Σελίδες: 416 Διαστάσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα σελίδα Πρόλογος. 3 Το χωρίο 546 b3-c7 της Πολιτείας του Πλάτωνος. 9 Μεταγραφή του χωρίου στην νεοελληνική. 10. Κεφάλαιο 1.

Περιεχόµενα σελίδα Πρόλογος. 3 Το χωρίο 546 b3-c7 της Πολιτείας του Πλάτωνος. 9 Μεταγραφή του χωρίου στην νεοελληνική. 10. Κεφάλαιο 1. Περιεχόµενα σελίδα Πρόλογος. 3 Το χωρίο 546 b3-c7 της Πολιτείας του Πλάτωνος. 9 Μεταγραφή του χωρίου στην νεοελληνική. 10 Κεφάλαιο 1 1.1 Η ερµηνεία του James Adam, για τον «γεωµετρικό αριθµό». 11 1.2 Κριτική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1 Πίνακες πολλαπλασιασμού Το Βεδικό τετράγωνο Στάμη Τσικοπούλου Σ τα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην αριθμητική ένας πίνακας πολλαπλασιασμού (ή αλλιώς ένας πυθαγόρειος πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Λυκείου. Γενικής. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Λυκείου. Γενικής. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Λυκείου Γενικής Μαρίνος Παπαδόπουλος Πίνακας Περιεχοµένων Τίτλος Θεµατικές Ενότητες Σελίδες Προλογικό Σηµείωµα υο λόγια προς τους µαθητές 5-6 Μάθηµα Έννοια συνάρτησης Πεδίο ορισµού 7-4 Μάθηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1)

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) 6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) Προχωρημένος Προγραμματισμός με Logo Δομή επιλογής Αν & ΑνΔιαφορετικά Στην δραστηριότητα που ακολουθεί, θα προσπαθήσουμε να βρούμε την απόλυτη τιμή ενός αριθμού,

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα