ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Η.Χ. ΑΫΦΑΝΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΣΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 6

2

3 Σημείωση Τα κεφάλαια αυτά στη Μηχανική του Συνεχούς Μέσου που αποτελούν και μια εισαγωγή στη Μηχανική Συμπεριφορά των Υλικών είναι μετάφραση αντίστοιχων σημειώσεών μου που διδάχθηκαν την παρελθούσα εικοσαετία σε πανεπιστήμια της Αμερικής. Ευχαριστώ ιδιαίτερα τους μεταπτυχιακούς μου σπουδαστές, ιδιαίτερα τον Δημήτρη Κωνσταντινίδη, τον Γιάννη Τσαγράκη, τον Θωμά Τούλια και την Χαριτώ Ποντίδου που επιμελήθηκαν τμήματα της μετάφρασης και της πληκτρολόγησης του κειμένου στην πρώτη έκδοση του 997, και τους Ιάσωνα Κωνσταντόπουλο, Δημήτρη Τραγουδάρα και Γιώργο Μώκιο που επιμελήθηκαν την παρούσα έκδοση του 6. Επίσης τον Γιάννη Τσαγράκη για δεύτερη φορά, τώρα Επισκέπτη Επίκουρο Καθηγητή του Τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης στο Ηράκλειο, και τον Λέκτορα του Τομέα Μηχανικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης Αβραάμ Κωνσταντινίδη. Η.Χ. Αϋφαντής Οκτώβριος 6

4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα Εισαγωγή Γεωμετρική παράσταση του σώματος Αξιώματα - Αρχές της μηχανικής συνεχούς μέσου 3 Καταστατικές εξισώσεις 4 Μέρος Ι: Μηχανική του Μονοδιάστατου Συνεχούς Μέσου 5 Κεφάλαιο : Η έννοια της κίνησης 7 Τρόποι περιγραφής της κίνησης 7 Κεφάλαιο : Η έννοια της μάζας 9 Αξίωμα διατήρησης της μάζας 9 Συμπλήρωμα στην τοπική κινηματική Κεφάλαιο 3: Οι έννοιες δύναμης & ορμής Δύναμη Ορμή 3 Αξίωμα διατήρησης της ορμής (αξίωμα του Euler) 3 Κεφάλαιο 4 4 Ανακεφαλαίωση 4 Παραδείγματα καταστατικών εξισώσεων 5 Κεφάλαιο 5: Γραμμικά ελαστικά στερεά 7 Σημείωση για μη-γραμμικά ελαστικά στερεά 6 Κεφάλαιο 6: Συμπιεστά ρευστά 7 Ελαστικά (ή βαροτροπικά) ρευστά 7 Νευτωνικά υγρά 8 Κεφάλαιο 7: Ιξωελαστικά υλικά 35 Περίπτωση : s 36 Περίπτωση : Rvln-Erksen ή διαφορικού τύπου ιξωελαστικά υλικά 36 Περίπτωση 3: Yλικά με μεγάλο εύρος (long-range) εξάρτησης ή ολοκληρωτικά μοντέλα συμπεριφοράς 37 Μοντέλο Kelvn Vog 38 Δυναμική του μοντέλου Kelvn - Vog 4 Μοντέλο Maxwell 43 Μοντέλο N-Maxwell εν // 46 Τυπικό (sandard) ιξωελαστικό στερεό 46 Κεφάλαιο 8: Μονοδιάστατη θερμομηχανική του συνεχούς μέσου 47 Αξιώματα διατήρησης 49 Δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής 5 Τρίτος νόμος της θερμοδυναμικής 53 Έννοια της θερμοδυναμικής διεργασίας 53 Ορισμός επιτρεπτών θερμοδυναμικών διεργασιών 54 Μέρος ΙΙ: Aνασκόπηση Θεωρίας Διανυσμάτων & Τανυστών 55 Κεφάλαιο 9: Διανύσματα 57 Ορισμός διανυσματικού χώρου 57 Ορισμοί πρόσθεσης και βαθμωτού πολλαπλασιασμού 57 Χώρος με εσωτερικό γινόμενο Μέτρο διανύσματος 58 Ανισότητα Cauchy Schwarz 59 Τριγωνική ανισότητα 6 Ορισμός του γραμμικού διανυσματικού χώρου 6 Γωνία μεταξύ δυο διανυσμάτων και ορθογώνια διανύσματα 6 Γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων και βάση διανυσματικού χώρου 6

6 Ευκλείδειος Χώρος Συνιστώσες Συμβολισμός 66 Κανόνες δεικτών - Σύμβολα δ j και ε jk 66 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 68 Ιδιότητες / Επιπλέον ορισμοί 68 Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 69 Δυαδικό γινόμενο διανυσμάτων 69 Γραμμικές βαθμωτές συναρτήσεις 7 Γραμμικές διανυσματικές συναρτήσεις 7 Κεφάλαιο : Τανυστές ης τάξης 73 Συνιστώσες - Συμβολισμός 73 Μηδενικός τανυστής ης Τάξης, O 73 Γραφή με δείκτες Τύποι για τις συνιστώσες 74 Πρόσθεση / Βαθμωτός πολλαπλασιασμός 74 Ανάστροφος / Συμμετρικός / Ίχνος 75 Εσωτερικό γινόμενο τανυστών 76 Ορίζουσα (de) του τανυστή Τ 76 Αντίστροφος ενός τανυστή 78 Κεφάλαιο : Ορισμένες βασικές κατηγορίες τανυστών 8 Μονόμετροι (unmodular) τανυστές 8 Ορθογώνιοι (Orhogonal) τανυστές 8 Θεώρημα αλλαγής βάσης 8 Συνιστώσες διανυσμάτων & τανυστών κατόπιν αλλαγής βάσης 8 Τανυστές Ν-οστής τάξης 8 Ισότροποι (soropc) τανυστές 83 Κεφάλαιο : Ιδιοτιμές & ιδιοδιανύσματα / Πολική αναπαράσταση 84 Ιδιοτιμές & ιδιοδιανύσματα (, e ) του 84 Θεώρημα ιδιοτιμής για ορθογώνιους τανυστές 86 Θετικά ορισμένος τανυστής 86 Τετραγωνική ρίζα 86 Πολική αναπαράσταση ή αποσύνθεση (polar decomposon) τανυστή 87 Κεφάλαιο 3: Πεδία (Βαθμωτά / Διανυσματικά / Τανυστικά) 89 Βαθμωτό πεδίο 89 Παραγώγιση 89 Συστήματα συντεταγμένων 9 Σύνθετη παραγώγιση 9 Διανυσματικό πεδίο 9 Παραγώγιση 9 Συνιστώσες 9 Σύνθετη παραγώγιση 9 Απόκλιση διανυσματικού πεδίου 9 Περιστροφή (ή στροβιλισμός διανυσματικού πεδίου) 9 Λαπλασιανή βαθμωτού πεδίου 9 Λαπλασιανή διανυσματικού πεδίου 9 Ταυτότητες / Παραδείγματα 9 Πεδιακές γραμμές 9 Ταξινόμηση διανυσματικών πεδίων 9 Τανυστικό πεδίο 93 Παραγώγιση 93 Συνιστώσες 93 Σύνθετη παραγώγιση 94 Απόκλιση τανυστή 94 Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων & αναλλοίωτες ποσότητες 95

7 Αλλαγή συντεταγμένων 95 Αναλλοίωτες ποσότητες 95 Σημαντικά θεωρήματα στη μελέτη πεδίων 96 Θεώρημα απόκλισης 96 Θεώρημα Sokes 97 Θεώρημα αναπαράστασης του Helmholz 99 Κεφάλαιο 4: Συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Διανύσµατα βάσης συντεταγµένων στο x Διανύσµατα δυαδικής βάσης Υπολογισμός διανυσμάτων βάσης (σχέση { e ( x )}, { e ( x )} με { ι ˆ }) Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων 4 Καμπυλόγραμμη ορθοκανονική βάση 4 Καμπυλόγραμμες συνιστώσες τανυστή 6 Φυσικές συνιστώσες τανυστή 7 Συναλλοίωτη παραγώγιση 8 Μέρος ΙΙΙ: Μηχανική του Συνεχούς Μέσου στις Τρεις Διαστάσεις Κεφάλαιο 5: Κίνηση / Παραμόρφωση 3 Βασικές έννοιες περιγραφής του συνεχούς μέσου 3 Langrangean (υλική) & Euleran (χωρική) παρατήρηση 4 Η έννοια της (τοπικής) παραμόρφωσης 5 Γεωμετρική θεώρηση της παραμόρφωσης 8 Ανηγμένη μετατόπιση ή επέκταση (srech) Επέκταση στο σημείο x μιας υλικής ίνας του σώματος Β Επέκταση στο σημείο X μιας υλικής ίνας του σώματος Β o Ανηγμένη παραμόρφωση (sran) Θεώρηση κατά Langrange Θεώρηση κατά Euler 3 Μεταβολές της επιφάνειας 3 Μέτρο της επιφάνειας 4 Διάτμηση 5 Θεώρηση κατά Langrange 5 Θεώρηση κατά Euler 6 Γραμμική θεωρία ή θεωρία μικρής παραμόρφωσης 7 Παρατηρήσεις 7 Ορισμοί 8 Μεταβολή όγκου 8 Επέκταση (srechng) και περιστροφή (spn) 9 Ρυθμός επέκτασης 9 Περιστροφή (Spn) 3 Ρυθμός μεταβολής του ˆn 3 Ρυθμός διάτμησης δυο υλικών ινών 3 Ειδικές περιπτώσεις κίνησης 3 Κίνηση μη παραμορφωσίμου σώματος 3 Ισόχωρη κίνηση 33 Κεφάλαιο 6: Αξιώματα διατήρησης μάζας, ορμής & στροφορμής 35 Διατήρηση μάζας 35 Αξίωμα διατήρησης της μάζας 35 Ισοζύγιο δυνάμεων & ροπών - Διατήρηση ορμής & στροφορμής 37 Ορισμοί 39 Αξιώματα συσχέτισης δυνάμεων με κίνηση 39 Κύριες τάσεις & κύριοι άξονες 46 Κεφάλαιο 7: Τρισδιάστατη θερμομηχανική του συνεχούς μέσου 47

8 Εσωτερική ενέργεια 47 Θέρμανση 47 Απόλυτη θερμοκρασία 47 Επιπλέον ορισμοί 48 ος Νόμος της θερμοδυναμικής (Αξίωμα διατήρησης της ενέργειας) 49 ος Νόμος της θερμοδυναμικής 5 Ανισότητα του Planck 5 Ανισότητα του Fourer 5 Ανισότητα Clausus - Duhem 5 Κεφάλαιο 8: Καταστατικές εξισώσεις / Ανεξαρτησία από το σύστημα συντεταγμένων & υλική συμμετρία 55 Ανεξαρτησία από το σύστημα συντεταγμένων 56 Υλική συμμετρία 59 Μαθηματικοποίηση της υλικής συμμετρίας 6 Παράδειγμα : Ισότροπα ελαστικά υλικά 6 Ελαστικά ρευστά 6 Ελαστικά στερεά 63 Παράδειγμα : Ομογενή ιξώδη ρευστά 64 Ρευστά Sokes 65 v

9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ εξετάζει κίνηση-παραμόρφωση της ύλης & των δυνάμεων που προκαλούν την κίνηση αυτή Βασίζεται στις έννοιες του χρόνου, χώρου, δύναμης, ενέργειας & ύλης Χρήσης στη φυσική, χημεία, βιολογία, κατασκευές κλπ ΥΛΗ Μόρια Άτομα Υποατομικά σωματίδια Η ύλη δεν είναι συνεχής Πολλά φαινόμενα της καθημερινότητας που μπορούν να περιγραφούν και να προβλεφτούν από θεωρίες που δεν λαμβάνουν άμεσα υπόψη τη μοριακή δομή των υλικών. Π.χ. η επιμήκυνση μιας χαλύβδινης ράβδου υπό τη δράση δυνάμεων ο ρυθμός εκροής νερού σε μια σωλήνα υπό δεδομένη διαφορά πίεσης η οπισθέλκουσα δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα που κινείται στον αέρα, κλπ. Αγνοούμε (άμεσα) μοριακή δομή ΥΛΗ ΣΥΝΕΧΕΣ ΜΕΣΟ ΣΥΝΕΧΕΣ ΜΕΣΟ μοντέλο στο οποίο η ύλη θεωρείται κατανεμημένη συνεχώς, δηλ. γεμίζει πλήρως & συνεχώς το χώρο. Κλασσική Μηχανική (νόμοι Newon) [έννοια υλικού σημείου] Μηχανική του συνεχούς [έννοια σωματιδίου ή "γειτονιάς" υλικού σημείου] ΘΕΡΜΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ Κλασσική Μηχανική (έννοια υλικού σημείου) Κλασσική Θερμοδυναμική (έννοια συστήματος σε θερμοδυναμική ισορροπία) Θερμομηχανική του συνεχούς (έννοια σωματιδίου ή "γειτονιάς" υλικού σημείου)

10 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Κάθε σώμα παριστάνεται συνήθως ως μια (απλά συνεκτική) περιοχή στον τρισδιάστατο (3D) ευκλείδειο χώρο Αρχική θέση (θέση αναφοράς / reference confguraon), Β ο ( ) X 3 B o P o X B o X X -- Κάθε αυθαίρετη περιοχή P o Β ο αποτελείται από υλικά σημεία -- Κάθε υλικο σημείο αντιπροσωπεύεται από ένα διάνυσμα θέσης Χ Τρέχουσα ή παρούσα θέση (curren confguraon), Β ( ) B o P o X B P x B o B Κίνηση : - απεικόνιση B o B η οποία συμβολίζεται ως x χ(x,), με χ(χ,) Χ Ταχύτητα : Επιτάχυνση : ( X,) χ v v( X,) x (,) χ( X,) v X α α( X,) v x

11 AΞΙΩΜΑΤΑ - ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΜΕΓΕΘΗ Μάζα : Δύναμη : Ορμή : P m(p ) ρ( x,) dv P f(p ) ( x,) d a + ρ( x,) b( x,) dv n l(p ) ρ( x,) v( x,) dv P P ρ( x,) πυκνότητα μάζας (μάζα / μον. όγκου) (,) n x διάνυσμα τάσης (δύναμη / μον. επιφάνειας) bx (,) δύναμη πεδίου [π.χ. βαρύτητα] (δύναμη / μον. μάζας) ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ Μάζας : m(p ) ρ ( P B ) + dv( ρ v) ( x B ) Ορμής : f(p ) l(p ) ( P B ) dv( ) + ρ b ρv ( x B ) Στροφορμής x (,) τανυστής τάσης (δύναμη / μον. επιφάνειας) ( x,) ( x,) n n n μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια da που δρα η ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ n ( x,) ( ρ/ ) + dv( ρ v) dv( ) +ρ bρv 3 7 εξισώσεις με 3 ρ x(ή v) αγνώστους Ανάγκη για 6 επιπλέον εξισώσεις 3

12 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συσχετίζουν ποσότητες που εκφράζουν απόκριση του σώματος (καταστατικές συναρτήσεις) με ποσότητες που εκφράζουν τα αίτια (καταστατικές μεταβλητές) Μορφή καταστατικών εξισώσεων συνήθως εμπειρικά (δηλ. Από πείραμα παρατήρηση) Υπαγορεύονται από: ) Μαθηματική αναγκαιότητα (αριθμ. εξισώσεων αριθμ. αγνώστων) ) Φυσική συνέπεια: διαφορετική συμπεριφορά για διαφορετικά υλικά (στερεά, υγρά, πολυμερή, μέταλλα, γεωυλικά, κλπ) Παράδειγμα: x (,) εκφράζει δυνάμεις επαφής (ανά μον. επιφάνειας) & οφείλεται στις μοριακές δυνάμεις επαφής ή συνοχής η συνεκτικότητα του σώματος & η φύση του x (,) θα διαφέρει από υλικό σε υλικό. Π.χ. Τέλεια υγρά: p( ρ) Ασυμπίεστα γραμμικά ιξώδη υγρά (νευτωνικά υγρά): p( ρ ) + μ D grad( v) + [ grad( v )] D όπου { } Ισότροπα γραμμικά ελαστικά στερεά: λ [r( ε)] + Gε όπου ε { grad( u) + [ grad( u)] }, με u x Χ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ) Θεωρία μηχανικής του συνεχούς μέσου σε μια διάσταση (D) ) Aνασκόπηση θεωρίας διανυσμάτων & τανυστών 3) Θεωρία μηχανικής του συνεχούς μέσου σε 3D χρησιμοποιώντας τανυστικό λογισμό και συμβολισμό με δείκτες (συμβολισμός Ensen) 4

13 MEΡΟΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ 5

14 6

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ + ( ) X P o B o B ( ) x P Κίνηση : Ταχύτητα : - απεικόνιση B o B η οποία συμβολίζεται ως x χ(x,), με χ(χ,) Χ χ είναι ομαλή συνάρτηση χ ( X,) χ v v(x,) x Επιτάχυνση : ( ) χ( X,) v X, αα (X,) v x ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Περιγραφή Lagrange (Π.L.): σταθερή παρατήρηση ενός συγκεκριμένου υλικού σημείου X του σώματος κατά τη διάρκεια της κίνησης (καταλληλότερη για μελέτη στερεών) Περιγραφή Euler (Π.Ε.): σταθερή παρατήρηση ενός συγκεκριμένου σημείου x του χώρου κατά τη διάρκεια της κίνησης (καταλληλότερη για μελέτη ρευστών) Παράδειγμα: για τη θερμοκρασία θ ενός σώματος: (Π.L.): θ f(x,), (Π.E.): θ f(x,) όπου, για δεδομένη κίνηση x χ(x,), θα πρέπει: θ f(x,) f( χ (X,),) f(x,) 7

16 Υλική ως προς χρόνο παράγωγος (Υ.Χ.Π.): f(x,) f... παράγωγος Π.L. X σταθ. Χωρική ως προς χρόνο παράγωγος (Χ.Χ.Π.): f f(x,) x σταθ.... παράγωγος Π.Ε. Σχέση μεταξύ f & f / f(x, ) f(x,) f( (X, ), ) f( (X,),) f +Δ χ +Δ +Δ χ lm lm (*) Δ Δ Δ Δ Θέτουμε: Δ x χ (X, +Δ) χ(x,) χ (X, +Δ ) χ (X,) +Δ x Σειρά aylor γύρω από (x,) για την f( χ (X,+Δ ),+Δ ) : O ( f/ x ) Δ x+ ( f/ ) Δ + O( Δ ) f f f lm x + Δ Δ x f ( χ (X, +Δ ), +Δ ) f (x,) + f (x,)/ x Δ x + f (x,)/ Δ + ( Δ ) (*) f f f + v x κανόνας παραγώγισης σύνθετων συναρτήσεων (chan rule) Παράδειγμα : v v α v + v x Παράδειγμα : x χ (X,) (+ )X v x χ(x,)/ {(+ )X}/ X v(x,)... (Π.L.) x/(+ ) v(x,)... (Π.E.) α v [επειδή v(x,) X ανεξάρτητο του ] v v -x x + v + x (+) (+) (+) 8

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΜΑΖΑ: πρότυπη εμπειρική έννοια (την αισθανόμαστε, την κατανοούμε, δεν μπορούμε όμως να την ορίσουμε) ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΜΑΖΑΣ: ένα μέγεθος ρ >, που ορίζεται ως το πηλίκο της μάζας προς το μήκος σε κάθε θέση του σώματος Β, έτσι ώστε: m(p ) ρ o odx, όπου o o(x,) o P P o ρ ρ ρ (X) αρχική ή πυκνότητα αναφοράς m(p ) ρdx, όπου ρ ρ (x,) τρέχουσα πυκνότητα (σε χρόνο ) ΑΞΙΩΜΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ: o m(p ) m(p ) m(p), P B o ρ o(x,)dx ρ(x,)dx, με ρ (x,) ρ o P P (X,) ενδιαφέρει ο μετασχηματισμός της ολοκληρωτική εξίσωσης που ισχύει για P B σε εξίσωση που εκφράζει την εν λόγω αρχή x B εξίσωση πεδίου (διατήρησης της μάζας) Κλίση παραμόρφωσης: F F(X,) χ(x,)/ X [ ] [ ] dx χ (X,) / X dx + χ (X,) / d [ ] σταθ. dx χ(x,) / X dx dx FdX σταθ. X σταθ. δηλ. η F εκφράζει κατά πόσο η αρχική απειροστή υλική ίνα dx επιμηκύνεται ή συρρικνούται στο τρέχον μήκος dx. Σύνολο τιμών: F {, } χ με X χ (x,) οπότε: F > F >, Έτσι, Po Bo: ρ dx ρdx ρ dx ρfdx ( ρ ρ F)dX (*) o o o P P P P P o o o o 9

18 ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν fdx, Po Bo, όπου f(x) συνεχής συνάρτηση P o ορισμένη στο B o, τότε f παντού στο Β ο. Απόδειξη: Έστω Χ ο Β ο, τέτοιο ώστε f(χ ο ), ας πούμε f(χ ο ) >. Τότε, επειδή η f είναι συνεχής περιοχή δ( Χ ο ) τέτοια ώστε f(x) > f fdx>, P o δ(x o) Bo Po f(x) άτοπο. Ομοίως αποδεικνύεται για f(χ ο ) <. Άρα, f(x), X B o. X X o Έτσι, (*) ρo ρ F ρ F o ρ... εξίσωση συνέχειας Π.L. Παρατήρηση: από ένα μικρό μέρος Po Bo μεγάλης πυκνότητας μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα μεγάλο μέρος P B μικρής πυκνότητας ρ o ρ F ρ o ρ F+ ρf ρ F+ ρ F ($) F χ(x,)/ X χ(x,))/ X χ (X,))/ X v/ X ( v/ x)( x/ X) ( v/ x)f F ( v/ x)f ($$) Σημείωση: σε 3D, v/ x grad( v )... κλίση ταχύτητας (σημαντική παράμετρος στη ρευστομηχανική) {($), ($$)} v v ρ + ρ F ρ + ρ, ρ(x,) > x x η οποία, λαμβάνοντας υπόψη ότι ρ ρ ρ + v, δίνει x ρ ( ρv) +, ρ (x, ) > x... εξίσωση συνέχειας Π.E.

19 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΣΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ B o ) o ( ( ) X X x x B Μετατόπιση (dsplacemen): u x X χ(x,) X u(x,) Ανηγμένη μετατόπιση (srech) dx x x χ(x,) χ(x,) λ lm lm lm dx X X X X σταθ. X X X X X X o άρα: <λ< συρρίκνωση στο X λ F(X, ) λ> επιμήκυνση στο X Ανηγμένη παραμόρφωση (sran) dx - dx ε λ o lm F dx X X σταθ. o άρα: (x X) u ε< συρρίκνωση στο X(θλίψη) ε X X ε> επιμήκυνση στο X(εφελκυσμός) Ανηγμένη ταχύτητα (ρυθμός) μετατόπισης (srechng): x X x X X X x κ lm x x v v x x dy F(Y,)dY FdY FdY dy y (#) y X X x v(x ) v(x) v(x ) v(x) v v(x ) v(x) κ lm lm x x x x x x x x x Εναλλακτικά, από (#) & θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτ. λογισμού: v v (x x), y [x,x ] y y y y y y για (δηλ. x x) y x, έχουμε: κ v lm x x x

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΟΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΥΝΑΜΗΣ & ΟΡΜΗΣ. ΔΥΝΑΜΗ Επιφανειακές ή δυνάμεις επαφής (conac forces), Τ(x,) τάσεις: αμοιβαίες πιέσεις (δύναμη / μον. επιφάνειας σε 3D, δύναμη σε D) μεταξύ γειτονικών σημείων στο x Β ή γενικά μεταξύ σωμάτων που εφάπτονται Επιφάνεια επαφής Οριακή (εξωτερική) επιφάνεια του συνεχούς μέσου Ιδεατή επιφάνεια στο εσωτερικό του συνεχούς μέσου Τ(x,) φαινομενολογικός μέσος όρος των μοριακών δυνάμεων μεταξύ γειτονικών υλικών σημείων Μαζικές δυνάμεις (body forces), b(x,): προέρχονται από τον εξωτερικό για το σώμα κόσμο & ενεργούν σε κάθε σημείο x B. Εκφράζονται ως δύναμη / μον. μάζας. Οφείλονται σε ένα εξωτερικό πεδίο δυνάμεων, π.χ. βαρυτικό, ηλεκτρομαγνητικό κ.λ.π. b(x,) φαινομενολογικός μέσος όρος των δυνάμεων στα μόρια της γειτονιάς υλικού σημείου από εξωτερικό πεδίο + B P [x, x ] x x x ( ) x (x,) () Συνoλ. δύναμη επαφής στο P : (x,) b(x,) (x,) f c(p ) (x,) (x,) dx x x x () Συνολική μαζική δύναμη στο P : Συνολική δύναμη στο P : b x x f(p) b(x,) ρ (x,)dx bρdx f(p) f + f f(p) ( / x + ρb) dx b c P x x

21 . ΟΡΜΗ Ορισμός: l(p ) ρv dx P Αξίωμα διατήρησης της ορμής (αξίωμα του Euler): f(p) l(p) P B (*) Σημείωση: ανάλογο του νόμου του Newon (F ma) Εξαγωγή της εξίσωσης πεδίου της διατήρησης της ορμής l(p ) ρ v dx ρ vf dx ρ v dx ρ v dx ρfv dx ρv dx o o P P P P P P o o o o (*) (/ x+ρ b)dx ρvdx P P (/x +ρb ρ v)dx P B P ποσότητα μέσα στο ολοκλήρωμα συνεχής + ρ b ρ v x B εξίσωση διατήρησης ορμής Π.E. x / X ( / x)( x/ X) ( / x)f ρ ρ x F X F F ρρo /F o o + ρ b ρv + b v + ρ b ρ v X B εξίσωση διατήρησης ορμής Π.L. X o o o 3

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Εμπειρικές έννοιες: χώρος ή γεωμετρία (X), χρόνος (), μάζα (m), δύναμη (f) 3 Άγνωστες συναρτήσεις: () Κίνηση: x χ(x,) [ή ισοδύναμα u(x,) ή v(x,)] () Πυκνότητα: ρ ρ(x,) () Δυνάμεις επαφής ή τάσεις: (x,) Εξισώσεις πεδίου: Σημείωση: b(x,) γνωστές ή μετρήσιμες () ρ o ρ F (Π.L.) ή ρ ( ρv) + x (Π.E.) () + ρ ob ρ ov (Π.L.) X ή x + ρ b ρ v (Π.E.) 3 Αγνώστους Εξισώσεις Μαθηματική απαίτηση για επιπλέον εξίσωση. Επίσης, φυσική αναγκαιότητα για επιπλέον εξίσωση, έτσι ώστε να μπορούμε να περιγράψουμε τη συμπεριφορά διαφορετικών μεταξύ τους υλικών, μιας και οι υπόλοιπες εξισώσεις διατήρησης της μάζας και της ορμής ισχύουν για όλα τα υλικά (στερεά, υγρά, πολυμερή, μέταλλα, γεωυλικά, κλπ) Επιπλέον εξίσωση ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 4

23 . ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Οι τάσεις σε κάποιο σημείο δεν εξαρτώνται από το ρυθμό παραμόρφωσης, αλλά μόνο από το αρχικό και το τελικό σχήμα Τ f(f(x,)) Τ f(f(x,),x) ομογενές ελαστικό μέσο μη ομογενές ελαστικό μέσο δηλ. συσχέτιση απόκρισης του υλικού (Τ) με την αιτία (F) Σημείωση: σε μη ομογενές μέσο, εξάρτηση από Χ ενώ οι παραμορφώσεις για διαφορετικά υλικά σημεία μπορεί να είναι ίδιες, οι τάσεις μπορεί να είναι διαφορετικές συνήθως : Ελαστικά Στερεά Ελαστικά Ρευστά Τ f(f,x) g(ε,χ) Τ f(f,x) h(ρ,χ) ε u/ X F - ρ ρ ο /F ΙΞΩΕΛΑΣΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Οι τάσεις εξαρτώνται & από το ρυθμό παραμόρφωσης Τ f (F, F, F, F,...) υλικά διαφορικού τύπου Παραδείγματα: Νευτωνικά υγρά: Τ p(ρ) + μ( v/ ) p υδροστατική πίεση μ συντελεστής ιξώδους v/ x F/F Kelvn-Vog στερεά: kε+με ΕΛΑΣΤΟ-ΠΛΑΣΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ o n ε σ o k ελαστική σταθερά μ συντελεστής ιξώδους k ε, Τ<σ ελαστική συμπεριφορά k, πλαστική συμπεριφορά σ o τάση διαρροής 5

24 ΜΗ-ΤΟΠΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ & ΥΛΙΚΑ ΜΕ ΒΑΘΜΙΔΕΣ Τάση εξαρτώμενη από παραμόρφωση στο εν λόγω σημείο & τις τιμές της παραμόρφωσης στα γειτονικά του σημεία. Προσεγγιστικά βαθμίδες παραμόρφωσης, π.χ. ε kε c στερεά X ρ p( ρ ) + c υγρά X 6

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ k anϕ Τ kε ϕ ε ε u/ X Μη-ομογενές υλικό k k(x) > Ομογενές υλικό k σταθερά > μέτρο ελαστικότητας, E Σύστημα Εξισώσεων: ρρo /F (*) ρ(x,) +ρ obρov (**) χ(x,) [ή F(X,)] X (X,) kε (***) Δεδομένου ότι: u x X u x v v, u ε u/ X [(**) & (***)] ku, XX + ρ ob ρ ou (#)... [για k σταθ.] (#) u u ε X F +ε ε F, (*) ρ (X,), (**) Τ(Χ,) Επίλυση της εξίσωσης (#) στο B o {X / X [, L]} L Γραμμική διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους Εξίσωση κύματος σε D Οριακές συνθήκες: Αρχικές συνθήκες: u(,) u() ˆ u(l,) u() u(x,) u o(x) u(x,) v o(x) γνωστές συναρτήσεις του γνωστές συναρτήσεις του Χ 7

26 Απόδειξη Μοναδικότητας της Λύσης Εάν λύσεις u (X,) & u (X,), τότε η w(x,) u (X,) u (X,) είναι λύση του προβλήματος: kw, w XX ρo w(,), w(l,), w(x,), w(x,) (Α) Αρκεί να αποδειχθεί ότι η μοναδική λύση του (Α) είναι η w (Α) kw, XX w ρoww kw, XX w ρo (w) kw, w dx (w) dx 8 L L XX ρo L L X X X X ρo k w, w, w, w, dx (w) dx ( ) (λόγω οριακ. συνθ.) L L L k (w, Xw) kw, Xw, XdX o(w) dx L L L X o X o ρ k(w, ) dx ρ (w) dx k(w, ) + ρ (w) dx (λόγω αρχικ. συνθ.) k(w, ) + ρ (w) dx k(w, ) +ρ (w) dx L L [ X o ] [ X o ] L [ ] k(w, ) + ρ (w) dx, με k > & ρ o > X o { w, & w }, Χ Β ο X w, X w f(), {w f(), w } w σταθ. { w σταθ., w } w u u

27 ΑΣΚΗΣΗ : Ίδιες αρχικές συνθήκες & μικτές συνοριακές συνθήκες, δηλ. Αρχικές συνθήκες: Οριακές συνθήκες: u(x,) u o(x) u(x,) v o(x) (,) p() ˆ u(l,) u() γνωστές συναρτήσεις του Χ γνωστές συναρτήσεις του Επιπλέον k k(χ) > (μη-ομογενές μέσο) Δείξτε τη μοναδικότητα του ελαστοδυναμικού προβλήματος ΛΥΣΗ (/ X) b v +ρ o ρo kε ε u/ X, v u ku, XX + k, X u, X + ρ ob ρ ou (,) p() ˆ k()[ u/ X] p() ˆ X Εάν λύσεις u (X,) & u (X,), τότε η w(x,) u (X,) u (X,) είναι λύση του προβλήματος: kw, XX + k, X w, X ρow w(x,), w(x,), w, (,), w(l,) X (Β) Αρκεί να αποδειχθεί ότι η μοναδική λύση του (Β) είναι η w (B) kw, XX w + k, X w, X w ρoww kw, w + k, w, w ρ (w) XX X X o kw, w dx k, w, w dx (w) dx L L L XX + X X ρo 9

28 (λόγω οριακ. συνθ.) kw, w dx + k(w, w) kw, w dx kw, w, dx ρ (w) dx L L L L L XX [ X ] XX X X o kw, w, dx ρ (w) dx k(w, ) dx ρ (w) dx L L L L X X o X o L X o k(w, ) + ρ (w) dx (λόγω αρχικ. συνθ.) k(w, ) + ρ (w) dx k(w, ) +ρ (w) dx L L [ X o ] [ X o ] L [ ] k(w, ) + ρ (w) dx, με k > & ρ o > X o { w, & w }, Χ Β ο X w, X w f(), {w f(), w } w σταθ. { w σταθ., w } w u u

29 ΑΣΚΗΣΗ Δεδομένα Ομογενές ελαστικό υλικό: kε (όπου k σταθερά > ) Μηδενικές μαζικές δυνάμεις: b c k/ ρ o ταχύτητα του ήχου στο στερεό ε u/ X Να δειχθεί ότι: a) Το αξίωμα διατήρησης της ορμής δίνει τη διαφορική εξίσωση κύματος σε D: u c u, XX b) Με τη βοήθεια της σύνθετης παραγώγισης και των μεταβλητών ξ X+ c & η X c, να δειχθεί ότι η εξίσωση κύματος u c u, XX συνεπάγεται την εξίσωση: u, ξη, της οποίας η γενική λύση είναι: u( ξ, η ) f( ξ ) + g( η ), δηλ. u(x,) f(x + c) + g(x c) (γενική λύση d Alember) όπου f, g αυθαίρετες συναρτήσεις που προσδιορίζονται από τις αρχικές & συνοριακές συνθήκες του εκάστοτε προβλήματος c) Εάν Β ο {Χ / Χ } δηλ. ο ημιάπειρος μονοδιάστατος χώρος X X X Αρχικές συνθήκες: u(x,) u(x,), X B o Οριακές συνθήκες: (,) p() ˆ (,) πεπερασμένο, > να βρεθούν οι u(x,) & (X,), X B o &

30 ΛΥΣΗ (k ε) a) Αξίωμα διατήρησης της ορμής (για b ): ρov ρ ou X X ε u k ρ ou k ρ ou u (k/ ρ o)u, XX u cu, XX X X b) Αλλαγή μεταβλητών: u(x,) u( ξ, η ), όπου ξ X+ c & η X c u u ξ u η u u u, X + + u, ξ + u, X ξ X η X ξ η u, (u, ) (u, ) (u, ) (u, ) X ξ X η X ξ X η X u ξ ξ ξ η η ξ η η XX (u, ξ) (u, ξ) (u, η) (u, η) u, + u, + u, ξ η ξ η η ξξ ξη ηη u u ξ u η u u u + c c c u, u, ξ η ξ η ( ξ η ) u (u, ξ) ξ (u, ξ) η (u, η) ξ (u, η) η u c + ξ η ξ η (u, ) (u, ) (u, ) (u, ) + + ξ η ξ η ( ξξ ξη ηη) ξ ξ η η c c u, u, u, Άρα: u cu, 4cu, u, XX ξη ξη u η ξ u φξ ( ) u φξ ( )dξ+ g( η) ξ u( ξ, η ) f( ξ ) + g( η ) f( ξ) δηλ. u(x,) f(x + c) + g(x c)

31 c) Εφόσον: u(x,) f(x + c) + g(x c) () ξ η u(x,) f (X + c) + g (X c) c[ f (X + c) g (X c) ] () Θεωρώντας γενικές αρχικές συνθήκες της μορφής u(x,) R(X) u(x,) Q(X) γνωστές συναρτήσεις του Χ [που στην παρούσα άσκηση είναι: R(X) & Q(X) ] f (X) + g(x) R(X) Οι εξισώσεις [() & ()] c[ f (X) g (X)] Q(X) Ολοκλήρωση της (3) στο διάστημα [, Χ] (3) [ ] [ ] c f (X) g(x) c f() g() Q(s)ds X f (X) g(x) Q(s)ds + [ f () g() ] c (4) [(3) + (4)] f (X) R(X) + Q(s)ds + [ f () g() ] X X c (5) [(3) (4)] g(x) R(X) Q(s)ds [ f () g() ] X c (6) Αντικαθιστώντας στην (5) το όρισμα X με το ξ X+ c, και στην (6) το όρισμα X με το η X c, προκύπτει: X+ c f(x+ c) R(X+ c) + Q(s)ds [ f() g() ] c + (7) X c g(x c) R(X c) Q(s)ds [ f() g() ] c (8) 3

32 Η εξίσωση (8), που δίνει τη συνάρτηση g(x c), ισχύει για X c X c, εφόσον η (6) έχει ληφθεί για τον ημιάπειρο χώρο, δηλ. για X. Αντίστοιχος περιορισμός δεν προκύπτει για τη συνάρτηση f(x+c), μιας και το όρισμα της είναι X+ c, X B o &. R(X + c) + R(X c) [(),(7),(8)] u(x,) + Q(s)ds c, X c X+ c X c η οποία για [R(X) & Q(X) ] u(x,), για X c u kε k (X,), για X c X Επίσης: u(x,) (X,) k (X,) k f (X c) ξ g (X c) η + + X X X [ ] (X,) k f (X + c) + g (X c) η οποία, λόγω της οριακής συνθήκης (,) p() ˆ, δίνει: [ + ] ˆ kf(c) g( c) p() Θέτουμε: ζ c, οπότε: kf( [ ζ ) + g() ζ ] p( ˆ ζ /c) g( ζ ) p( ˆ ζ /c) f( ζ ) (9) k Η τελευταία εξίσωση συσχετίζει την g με αρνητικό όρισμα ( ζ < ) και την f με θετικό όρισμα, η οποία δίνεται από την (5) που για R(Χ) & f(x) f() g() f (X), δηλ. f ( ζ ). Q(X) δίνει [ ] g( ζ ) p( ˆ ζ/c) g( ζ ) p( ˆ s/c)ds+ g() k k, για ζ < ζ 4

33 Θέτοντας τ s/c, η τελευταία σχέση γίνεται: ζ/c c g( ζ ) p( ˆ τ)dτ+ g() k, για ζ < όπου αντικαθιστώντας το όρισμα ζ με το η X c, προκύπτει: X/c c g(x c) p( ˆ τ)dτ+ g() k, για X c < Όμως: [ ] [ ] f(x) f() g() f() f() g() f() g() f(x) g() f(x+ c) g() Άρα: X/c c u(x,) f(x + c) + g(x c) p( ˆ τ)dτ k, για X c < και χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Lebnz για την παραγώγιση ολοκληρωμάτων: προκύπτει η τάση ως: u(x,) (X,) k p( ˆ X/c), για X c< X 5

34 ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΓΙΑ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Τg(ε) όχι g( ε ) g(u, ) X g( ε ) > (δηλ. γνησ. αύξουσα) ε g (u, ) u, + ρ b ρ u X XX o o δηλ. υπερβολικού τύπου μη-γραμμική διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους Παράδειγμα: l XL X Eλαστοστατικό πρόβλημα u u B ο { X / X L} B { Χ / Χ l} Οριακές συνθήκες: u(,) & (L,) Επίδραση βαρύτητας b G X g (u, X) u, XX + ρ og u(x) g { ρog(l s) } ds u(), u, X (L) Στη γραμμική περίπτωση: g( ε ) kε g ( ε ) ε k ρo Οπότε προκύπτει: u(x) G L X X k 6

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΥΜΠΙΕΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ. ΕΛΑΣΤΙΚΑ (ή ΒΑΡΟΤΡΟΠΙΚΑ) ΡΕΥΣΤΑ Η τάση (X,) εξαρτάται μόνο από την πυκνότητα: p(ρ), p( ρ ) > c p( ρ ) ταχύτητα του ήχου στο ρευστό o Σύστημα Εξισώσεων: ρ / + ρ ( v)/ x ρ v v p( ρ ) +ρ bρ + v x x +ρ bρv (*) x ρ ( ρv) + p( ρ) x (*) σύστημα εξισώσεων αεροδυναμικής (gas dynamcs) b ρ ρ ρ ρ v (κατάσταση ισορροπίας) x o σταθ. Καταστάσεις κοντά στην ισορροπία (v, ρ / ρ << ρ ρ o + ρ (x,), o v v(x,), όπου ρ O( ε ) & v O( ε ) με ε << ρ ρ o ) με b p( ρ) o( / o) v v ρρ +ρ ρ ρ + v Αντικατάσταση στο (*) ρ o( +ρ / o) x x ρ ρ v ( ρ v) +ρ o + x x (#) Όροι τάξης O( ε ) [δηλ. v( v/ x) & ( ρ v)/ x ] & + ρ / ρ o 7

36 (#) p( ρo) ρ v ρo x ρ v ρo x σύστημα συζευγμένων διαφορικών εξισ. Αποσύζευξη του συστήματος παραγωγίζοντας κάθε εξίσωση ως προς & x: ρ ρ ρo x ρ v ρ o x p( o) v & ρ ρ ρ v ρo x x p( o) v ρ o x x από τις οποίες εύκολα λαμβάνεται: ρ v ρ v p( ρ o) x p( ρ o) x εξισώσεις διάδοσης κύματος με c p( ρ ) o Άρα, λύση: ρ f(x+ c) + g(x c) v φ (X + c) + h(x c). ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΥΓΡΑ Ιξώδη ρευστά των οποίων η τάση (X,) εκτός από την πυκνότητα εξαρτάται και από τον ανηγμένο ρυθμό μετατόπισης (ή ρυθμό διάτμησης): f(ρ,κ) με κ v/ x ή f(ρ, v/ x) Ειδική περίπτωση κλασσικά νευτωνικά υγρά: p(ρ) + μ v/ x 8

37 p(ρ) θερμοδυναμική πίεση (π.χ. καταστατική εξίσωση τέλειων αερίων) μ v/ x τάση λόγω ιξώδους (εκδηλώνεται μόνο με την κίνηση) μ > συντελεστής ιξώδους Σύστημα Εξισώσεων: ρ ( ρv) + x v v +ρ bρ + v x x v p( ρ ) +μ x Αντικατάσταση (Λ) 3 στην (Λ) ρ ( ρv) + x p( ρ ) v v v +μ +ρ bρ v x x + x (Λ) (Ξ) Επίλυση (Ξ) για μόνιμη κατάσταση (seady sae) με b Μόνιμη κατάσταση: ρ ρρ(x) v v v(x) (#) (Ξ) ( ρv) x ρ v φ() (*) [(#) & (*)] ρ v σταθερό ρ ρo (σταθερά), για x Οριακές συνθήκες: v v o (σταθερά), για x 9

38 ρ v ρ v () o o () Π.E. αρχής διατήρησης της μάζας ενώ: F ρo/ ρ v/vo Π.L. αρχής διατήρησης της μάζας v v (Λ) ρ v ρ ˆ ovo ρ ovov+ () x x x για () ˆ v () ˆ p( ρ ) p( ρ(x)) σταθ. για p( ρo) po x σταθ. p ρ v ρ ovo + σταθ. o o o Άρα: ρov o(v v o) po () Εύρεση της v(x) [(Λ) 3, ()] v p( ρ ov o/ v) + μ ρ ov o(v v o) p( ρ o) x v(x) vo για x (~) Αδιάστατη μεταβλητή: f(x) v(x)/v o (~) f p( ρ o/f ) +μ vo ρov o(f ) p( ρo) x f(x) για x Π.Ε. ($) f(x) v(x)/vo συντεταγμένη x F(X,) f (x) x χ(x,) F(X,) v(x,)/ vo συντεταγμένη X (+) μόνιμη κατάσταση f f f/ f f F + v F v vo F x x x 3

39 ($) p( ρ o/ F) +μ (F/ F) ρov o(f ) p( ρo) F για Π.L. ($$) Μια λύση της ($) είναι η f(x) που ισοδυναμεί με τη λύση F της ($$). Ποιοτικά γραφικές παραστάσεις άλλων λύσεων: f(x) ρ/ρ ο v/v o v/v o F() x F F vs. για συγκεκριμένο υλικό σημείο X του μέσου ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Ελαστικό (τέλειο) υγρό: p(ρ), δηλ. μ ($$) p( ρ o/ F) ρov o(f ) p( ρo) F για...(αλγεβρ. εξίσωση) (%) Μια λύση της (%) είναι η F Έστω ότι η (ασυνεχής) λύση τέτοια ώστε: F h, για > o με h << 3

40 ρo (%) p( ) ρ vh p( ρ ) (^) h o o o Σειρά aylor της ρo p( ) γύρω από ρ o : h ρ ρ o o ρoh p( h) p( ρ o) + p ( ρo) ρ o +... p( ρ o) + p ( ρ o) +... h h ρoh p( ρo) (^) p( ρ o) ρovoh h h h v M p( ρo) c ταχύτητα ήχου στο ρευστό o M v /c o αριθμός Mach Αν M > Υπερηχητική ροή M< Υπoηχητική ροή F /M ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : p(ρ) (σταθερά)ρ, μ Όμως: po p( ρo) po (σταθερά) ρ o (σταθερά) p o/ρ Άρα: p( ρ ) (p o/ ρo) ρ o 3

41 ($$) μ F ρ ov o(f )(F M ) F για (//) όπου: M v /p( ρ ) ρ v /p o o o o o (//) μ df μm F o - ov o (F )(F M ) ov o(m ) F M d ln ρ ρ o όπου: F o exp F M- τ μm μ τ ρ v(m ) p(m ) o o o o σταθ. ολοκλήρωσης χαρακτηριστικός χρόνος δομής shock Παρατήρηση : Μ > (δηλ. τ > ) F F M F < < F M F F> e F M o τ F< M e o τ M F e τ o Fv/v o ρ o /ρ μόνος αποδεκτός κλάδος F {, } F F( ) o + M, κλίση: M F( o) 4M τ M - o Όταν μ τ F( o) δομή shock 33

42 Παρατήρηση : Μ < (δηλ. τ < ) F F< e F M F < < F M F F M τ o τ F M e o τ F> M e o Fv/v o ρ o /ρ M - o δηλ. F M (όχι F ) Άρα για Μ < αυτή η λύση απορρίπτεται & μοναδική λύση είναι η F Παρατήρηση 3: Μ, οπότε: (//) μ F ρ v (F ) o o μ df μ d F ρ v (F ) ρ v ( ) o o o o o o Fv/v o ρ o /ρ o Μολονότι, F, η λύση απορρίπτεται γιατί o F Άρα για Μ μοναδική λύση είναι η F 34

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΙΞΩΕΛΑΣΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Η τάση (X,) εξαρτάται όχι μόνο από την παραμόρφωση ανά πάσα χρονική στιγμή αλλά & από την ιστορία της παραμόρφωσης μέχρι τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή: f [ τ ] (X,) F(X, ) ομογενή υλικά - (X,) f [ F(X, τ),x] μη - ομογενή υλικά - τ f συναρτησιακό της συνάρτησης F(X,) Π.χ., η εξίσωση εάν γνωρίζουμε την F για όλους τους χρόνους από - έως, μπορούμε να προσδιορίσουμε την Τ στον παρόντα χρόνο. Μετασχηματισμός: τ s (X,) f [ F( s) ] s, για σταθερό Χ F F(-s) F() s δηλ. μόνο το χρονικό διάστημα s από τον παρόντα χρόνο είναι σημαντικό. Π.χ. αν s μέρες, τότε το υλικό θυμάται μόνο ότι συνέβη σ αυτό μέσα στις μέρες & τίποτε περισσότερο. Ορισμός: F(-s) F (s) n n n d d n d n (n) F (s) n s F( s) n s ( ) F( τ ) n τ ( ) F () ds ds dτ 35

44 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : s s [ ] () f F( ) () f (F()) ελαστικό υλικό ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Rvln-Erksen ή διαφορικού τύπου ιξωελαστικά υλικά Μικρή εξάρτηση (shor-range) από την ιστορία παραμόρφωσης () εξαρτάται από {F () F(), d ds d ds n F (s) s,..., F (s) n s }, δηλ. (n) () f(f(), F(),..., F ()) Σημείωση: (n) (n) (n) (n) (n) F () x/ X x / X ( x / x)( x/ X) ( x / x)f δηλ. για: () n x v & F F ( v/ x)f () n x v & F F ( α/ x)f (n) (n-) (n) n n x v & F ( n / x)f α, με α x n (n) Άρα, ιξωελαστικό υλικό πολυπλοκότητας n: g(f(), v / x, α/ x,..., αn / x) ρευστά g( ρ, v/ x, α/ x,..., αn / x) 36

45 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3: Yλικά με μεγάλο εύρος (long-range) εξάρτησης ή ολοκληρωτικά μοντέλα συμπεριφοράς ()k ε () + G () ε () + G(s) ε ( s)ds (#) Όπου: ε F k σταθ. > μέτρο ελαστικότητας στην κατάσταση ισορροπίας G(s) συνάρτηση χαλάρωσης G(s) [μια συνάρτηση επιρροής ή βάρους (wegh funcon) που εκφράζει το πόσο επηρεάζεται η παρούσα συμπεριφορά του υλικού από το παρελθόν του] G() s G() > & lmg(s) [δηλ. μνήμη που ξεθωριάζει (fadng memory)] s k + G() αρχικό μέτρο ελαστικότητας Σημείωση: η (#) είναι η γενική καταστατική εξίσωση της γραμμικής ιξωελαστικότητας [αποτέλεσμα της θεωρίας της συναρτησιακής ανάλυσης & γραμμικοποίησης (ανάπτυξη του () [ ε( s) ] f κατά Freché σε αναλογία με s την ανάπτυξη της συνάρτησης f κατά aylor & διατήρηση του πρώτου ή γραμμικού όρου)] Παράδειγμα: ε, τ< ετ () ε, τ ε 37

46 τ s, s > ε( s) ε, s < () k G() G(s) ε + ε + ε ds < () k G() [G() G()] ε + ε + ε < () [k G()] + ε () [k + G()]ε * G() k ε * ισορροπία Χαλάρωσης τάσης (sress relaxaon) [δηλ. για ε σταθ., το Τ μειώνεται με το χρόνο προς μια ασυμπτωτική τιμή ισορροπίας]. Από μια τέτοια διαδικασία (πείραμα) που γίνεται στο εργαστήριο προσδιορίζονται τα k και G() πειραματικά ΜΟΝΤΕΛΟ KELVIN-VOIG Ανήκει στην κατηγορία: f (F,F), δηλ. υλικών μικρή εξάρτηση από την ιστορία της παραμόρφωσης 38

47 Φανταζόμαστε κάθε υλικό σωματίδιο Χ να λειτουργεί σαν ένας μηχανισμός που αποτελείται από ένα ελατήριο & έναν αποσβεστήρα ιξώδους σε παράλληλη διάταξη: k> μ > Ελατήριο: k kε k, Αποσβεστήρας: μ με μ Παράλληλη διάταξη k μ + ε k ε μ ε kε+με (*) Το μοντέλο αυτό μπορεί να περιγράψει ερπυσμό, δηλ. για σταθ., το ε αυξάνει με το χρόνο Έστω, Τ Τ ο σταθ. ε ( ) o k κανονική διαφορική εξίσωση ης τάξης μ μ o ε ε o ( e / τ ) ε k τ μ / k χαρακτηριστικός χρόνος ερπυσμού (ιδιότητα του υλικού) 39

48 ε o k e k o αύξηση του μ τ Δυναμική του μοντέλου Kelvn-Vog x k, v u, u, +ρ obρov ε+με ε X ku, + μ u, + ρ b ρ u XX XX o o κυματική εξίσωση με απόσβεση (damped wave equaon) Για μη-γραμμική ελαστικότητα, δηλ.: g( ε ) +με g(u, )u, + μ u, + ρ b ρ u X XX XX o o γενικευμένη κυματική εξίσωση με απόσβεση Ειδική λύση της Κυματικής Εξίσωσης με Απόσβεση για b B o {X/X [,L]} L Αρχικές συνθήκες: u(x,), u(x,) sn( πx/l) Οριακές συνθήκες: u(, ), u(l, ) Έστω λύση η u(x,) U() sn(πx/l), που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες, τότε: 4

49 π +μ π + ρ U(), U() k( /L) U() ( /L) U() ou() (A) Για μ, το (Α) έχει τη λύση: ρ L π k, οπότε: k π L ρ o o U() sn ρ L π k πx k π L ρo L o u(x,) sn sn u X σταθερό μ λόγω απουσίας επίδρασης ιξώδους η μετατόπιση u() εμφανίζει ταλάντωση σταθερού πλάτους (ημιτονοειδή) Λύση του (Α) για μ : U() e ω(eα e α), με α (Β) α όπου: μ π ω ρ L o & o μ π 4ρok α ρ L μ ( π/l) 4ρ k πx α μ ( π/l) L sn( α ) 4ρ k α > α μ ( π/l) (B) u(x,) e ω sn snh( α), o α πραγματικό, δηλ. < o, φανταστικό, δηλ. 4

50 u α πραγματικό X σταθερό μ αρκετά μεγάλο. u αρχικά αυξάνει ενώ στη συνέχεια τείνει να μηδενιστεί λόγω της επίδρασης του ιξώδους (που είναι τόσο ισχυρή ώστε δε συμβαίνει ουδεμία ταλάντωση). u α φανταστικό X σταθερό μ μικρό ταλάντωση με απόσβεση ή ταλάντωση φθίνοντος εύρους Σημείωση: Όταν α ρo π ρo ω 4 k 4 k k μ ( π/l) L μ μ και η χαρακτηριστική εξίσωση της (Α) έχει τη διπλή ρίζα: (roo) ω Οπότε λύση του (Α): U() e ω πx u(x,) e ω sn L 4

51 u α X σταθερό μ ενδιάμεση τιμή u αρχικά αυξάνει ενώ στη συνέχεια τείνει να μηδενιστεί λόγω της επίδρασης του ιξώδους (που είναι αρκετά ισχυρή ώστε να μη συμβαίνει ουδεμία ταλάντωση). ω ΜΟΝΤΕΛΟ MAXWELL Ανήκει στην κατηγορία: ()k ε () + G () ε () + G(s) ε ( s)ds, δηλ. υλικών με μεγάλο εύρος εξάρτησης από την ιστορία της παραμόρφωσης (ολοκληρωτικό μοντέλο) Φανταζόμαστε κάθε υλικό σωματίδιο Χ να λειτουργεί σαν ένας μηχανισμός που αποτελείται από ένα ελατήριο & έναν αποσβεστήρα ιξώδους διατεταγμένα σε σειρά: k > μ > Ελατήριο: k kε k, Αποσβεστήρας: μ με μ Διάταξη σε σειρά k μ εε k +εμ εε +ε k μ k + μ + kε τ (Ψ) τ μ / k χαρακτηριστικός χρόνος απόσβεσης (ιδιότητα του υλικού) 43

52 (Ψ) τ e τ τ τ ξτ ξτ + e kε e e kε e ( ξ)dξ ke ε ( ξ)dξ τ ξ / τ ξ τ / τ / τ ξ τ e ( ξ ) ke ε ( ξ )d ξ e () e ( ) ke ε ( ξ )d ξ - η οποία, για ( ) πεπερασμένο, δίνει: / τ ξ τ ( ξ) τ e () ke ε ( ξ)dξ () ke ε ( ξ)dξ (Λ) δηλαδή: () f [ ε( ξ) ] ξ Θέτοντας: s - ξ (s παρελθόν), (Λ) () s/ τ ke ε( s)ds s/ τ s/ τ () ke ε( -s) (k/ τ) e ε( -s) ds η οποία, για ε ( ) πεπερασμένο, δίνει: δηλαδή: () f [ ε( s) ] s/ τ () k ε() (k / τ) e ε( -s) ds s ($) Συνάρτηση χαλάρωσης του μοντέλου Maxwell: s/ G(s) ke τ (//) δηλαδή: G(s) > & lm G(s) s 44

53 k s/ ke τ αυξανόμενο τ τ s [($),(//)] () G() ε () + G(s) ε( s) ds Για την ειδική φόρτιση:, < ε () ε, < () G() ε Ως ολοκληρωτικό μοντέλο συμπεριφοράς, το μοντέλο Maxwell μπορεί να περιγράψει χαλάρωση τάσης, δηλ. για ε σταθ., το Τ μειώνεται με το χρόνο. Ωστόσο, επειδή k ε, δεν υπάρχει παραμένουσα ελαστικότητα [δηλ. δεν υπάρχει κατάσταση μακροχρόνιας ισορροπίας (long-range equlbrum) όπως στη γενική περίπτωση] Σημείωση: Μοντέλο Maxwell () f [ ε( s) ] Ανάλογα, μοντέλο Kelvn-Vog ε() f [ ( s) ] που οδηγεί σε γραμμικοποιημένες μορφές όπως & η παραπάνω ανάλυση Οι παραπάνω δύο εξισώσεις δεν είναι πάντα ισοδύναμες. Δηλαδή, οι παραπάνω εξισώσεις δεν είναι εν γένει αντιστρεπτές s s 45

54 ΜΟΝΤΕΛΟ N-MAXWELL ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝΔΕΣΗ k μ k μ Τ Τ k Ν μ Ν N N N k ε + ε + ε k μ τ s/ τ, k () e ( s)ds τ k ; G(s) k e, μ τ N s/ (φάσμα χρόνων χαλάρωσης) k ΤΥΠΙΚΟ (SANDARD) ΙΞΩΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ Eν σειρά σύνδεση Kelvn-Vog στερεού με ελατήριο: Τ k > k > μ > Τ k k ε k, k k ε k, μ με ε μ ε k ε μk, εε k +ε μk k k + μ [ ( ), ε( ) ] πεπερασμ. μ k+ k kk s k k () ε () + ε () + e μ ε( s)ds k+ k k+ k μ δηλ. ολοκληρωτικό μοντέλο της μορφής: ()k ε () + G () ε () + G(s) ε ( s)ds με kk k k + k k + k k + k μ s k, G(s) e 46

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗ ΘΕΡΜΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ: μάζα & η δύναμη) E(P ) πρότυπη εμπειρική έννοια (όπως η ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ: ένα μέγεθος e, που ορίζεται ως εσωτερική ενέργεια / μον. μάζας σε κάθε θέση του σώματος Β, έτσι ώστε: E(P ) ρedx P ΘΕΡΜΑΝΣΗ Q(P ): συνολικός ρυθμός θερμότητας (θερμική ενέργεια / χρόνο) που παρέχεται στο P Ροή θερμότητας λόγω συναγωγής, q q(x,): ροή θερμότητας (ανά μον. επιφάνειας) μεταξύ γειτονικών σωματιδίων ύλης λόγω της επαφής τους (θερμότητα επαφής) Ροή θερμότητας λόγω ακτινοβολίας, r r(x,): ροή θερμότητας (ανά μονάδα μάζας) που οφείλεται στον εξωτερικό κόσμο (περιβάλλον). Π.χ. θερμότητα από μια ραδιενεργή πηγή, ηλιακή ακτινοβολία, κλπ. + B P [x, x ] x x x ( ) x x x q(x,) q(x,) () Συνολ. ροή θερμότητας συναγωγής στο P : x q(x,) q(x,) Q(P) c q(x,) q(x,) dx dx x x x (με τη σύμβαση ότι το προσφερόμενο προς τα δεξιά q είναι θετικό) 47 P

56 () Συνολ. ροή θερμότητας ακτινοβολίας στο P : Συνολική ροή θερμότητας στο P : r x x Q (P ) ρ (x,)r(x,)dx ρrdx c r Q(P) Q + Q Q(P) ( q/ x + ρr) dx P P Σύγκρινεται αυτήν την εξίσωση με την έκφραση της συνολικής δύναμης f(p ) & παρατηρείστε τις αντιστοιχίες: Q c (P ) f c (P ) & Q r (P ) f b (P ) ΑΠΟΛΥΤΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ: θθ (x,) > πρότυπη εμπειρική ποσότητα στην κλασσική θερμοδυναμική ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Γραμμική Ορμή στο Ρ : l(p ) ρvdx Μηχανικό Έργο (ανά μονάδα χρόνου) στο Ρ ή Ισχύς: P (v) w(p ;v) +ρbv dx x P Κινητική Ενέργεια του Ρ : K(P ;v) ρv dx P Συνολική Παρεχόμενη Ισχύς στο Ρ : P(P ;v) w(p ;v) K(P ;v) Θεώρημα Ισχύος (πρωτοαποδείχθηκε από το Sokes): 48

57 v w(p ) K(P ) dx + x P Απόδειξη: (v) v w(p ) +ρ bv dx + +ρb v dx x x x P P v v +ρ vv dx ( ρ vv)dx+ dx x x P P P ρv Έτσι αρκεί να δείξουμε ότι: K(P ) ρvvdx P o o P P P P K(P ) ρ v dx ρ v FdX ρ v dx ρ v dx o o o ρ (vv) dx vv ρ dx ρvv dx o o P P P o o ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ Μάζας: m(p ) ρ ( ρv) ( P B ) + ( x B ) x Ορμής: f(p) l(p) ( P B ) +ρ b ρv ( x B ) x Ενέργειας ( ος Νόμος της Θερμοδυναμικής): +, P B E(P) P(P) Q(P) Ο οποίος, χρησιμοποιώντας το θεώρημα ισχύος, δίνει E(P) ( v/ x)dx + Q(P) (*) P 49

58 Παρατηρείστε την αντιστοιχία με τη συνήθη έκφραση: E pv + Q. Συγκεκριμένα, για p σταθ., ο ος όρος στο δεξί μέλος της (*) γίνεται: F ( v/ x)dx p dx p FdX p FdX p dx pv F P P P P P o o όπου: V dx, ο «όγκος» ( μήκος σε D) του P P Εξαγωγή της εξίσωσης πεδίου του ου νόμου της θερμοδυναμικής E(P ) ρ e dx ρ Fe dx ρ e dx ρ e dx o o P P P P o o o ( ρ / F)e dx ρe dx E(P ) ρe dx (#) o P P P Επίσης: Q(P ) ( q/ x + ρr) dx ($) P [(*),(#),($)] v q ρe + ρ r dx x x P v q ρ e +ρr x B ος Νόμος θερμοδυναμικής (Π.E.) x x v q ρ e +ρr x x o F q o o /F ρ ρρ ρ e + r F F F X F F ( v/ x)f v/ x F/F q/ X ( q/ x)( x/ X) ( q/ x)f 5

59 q ρ e F +ρ r X B ος Νόμος θερμοδυναμικής (Π.L.) X o o o (Π.E.) v e + h, όπου ρ x h q +ρr ρ x τοπική θέρμανση ος Νόμος της Θερμοδυναμικής Είναι μια βασική αρχή της φύσης, για την οποία επιχειρήθηκαν κατά καιρούς διάφοροι τρόποι διατύπωσης, π.χ. Δεν μπορεί να υπάρξει αυθόρμητη ροή θερμότητας από ένα ψυχρότερο σε ένα θερμότερο αντικείμενο Είναι αδύνατο να κατασκευαστεί θερμική μηχανή που να λαμβάνει θερμότητα και να την μετατρέπει εξ ολοκλήρου σε έργο Η αταξία ενός «κλειστού» συστήματος (δηλ. χωρίς εξωτερικές επιδράσεις) δεν ελαττώνεται ποτέ. Ένα μέτρο αυτής της αταξίας αποτελεί η ποσότητα που ονομάζεται εντροπία. Επιπλέον, η εντροπία είναι ένα μέτρο του ποσού ενέργειας που δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην παραγωγή έργου. Στην προκείμενη παρουσίαση ο ος νόμος της θερμοδυναμικής που εκφράζει την αύξηση της εντροπίας μπορεί να διατυπωθεί ως ακολούθως: [Εντροπία του P ] H(P ) ρη dx, η εντροπία / μον. μάζας P Ανισότητα Planck: q h ρη +ρr / θ η, x B x θ Σημείωση: αντιστοιχία με τη συνήθη σχέση ΔS ΔQ της θ αναντιστρεπτής θερμοδυναμικής για ομογενείς φάσεις, όπου ΔS μεταβολή της εντροπίας & ΔQ μεταβολή της θερμότητας 5

60 q Eσωτερική απώλεια (nernal dsspaon): δ θη h θη +ρr ρ x Άρα, ανισότητα Planck δ, x B Ανισότητα Fourer: θ θ q q, x B x x η θερμότητα μεταφέρεται με συναγωγή από τα θερμότερα σημεία στα ψυχρότερα Ανισότητα Clausus-Duhem: q θ ρδ, x B ( θ>, ρ > ) θ x δηλ. συνδυασμός ανισότητας Planck & ανισότητας Fourer (ασθενέστερη) ανισότητα Clausus-Duhem ( q θ) q q θ ρr ρr ργ ρη+ ργ ρη + θ x θ x θ x θ q q r (P ) dx H Γ ργ ρ dx θ P x θ x θ P q/θ ροή εντροπίας λόγω συναγωγής r/θ ροή εντροπίας λόγω ακτινοβολίας q x θ θ x x q x x x ολοκληρωτική (global) έκφραση της ανισότητας Clausus-Duhem: Γ(P ) P B τοπική (local) έκφραση της ανισότητας Clausus-Duhem: 5

61 ργ x B όπου Γ(P ) ρυθμός παραγωγής εντροπίας στο P Ελεύθερη ενεργειακή πυκνότητα του Ηelmolz: ψ e θη v ψ e θη θη ψ + h θη θη ρ x v θη + h θη ψ () ρ x Όμως, η ανισότητα Clausus-Duhem δίνει: () q θ q θ ρδ ρ( θη h) θ x θ x () v q θ ρ + h θη ψ h ρ x θ x v q θ ρθη ρψ x θ x v q θ ψ +ηθ + x B ρ x ρθ x Σημείωση: Ενίοτε σε εντρυφήσεις της Θερμοδυναμικής υπάρχει αναφορά στον 3 ο Νόμο της Θερμοδυναμικής ο οποίος μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Όλες οι θερμοδυναμικές διεργασίες παύουν καθώς η θερμοκρασία τείνει στο απόλυτο μηδέν. Καθώς θ, η εντροπία ενός συστήματος τείνει σε μια σταθερή τιμή. 53

62 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ Ως θερμοδυναμική διεργασία ορίζεται ένα σύνολο από 9 (ικανοποιητικά ομαλές) συναρτήσεις P στο Β,, το οποίο, [, χ θ>,e, η,,q,b,r, ρ] x B, ικανοποιεί τις διαφορικές σχέσεις: ρ ( ρv) +... ισοζύγιο μάζας x +ρ b ρ x... ισοζύγιο ορμής x v q ρ e +ρr...ισοζύγιο ενέργειας x x ( q θ) ρr ρη +...ανισότητα Clausus - Duhem x θ (Ι) Ορισμός Επιτρεπτών Θερμοδυναμικών Διεργασιών 7 Άγνωστοι (b & r συνήθως δίνονται) 3 Εξισώσεις απαίτηση για 4 καταστατικές εξισώσεις: e eˆ (ιστορία των πεδίων κίνησης & θερμοκρασίας, Χ) ηη ˆ (ιστορία των πεδίων κίνησης & θερμοκρασίας, Χ) ˆ (ιστορία των πεδίων κίνησης & θερμοκρασίας, Χ) q qˆ (ιστορία των πεδίων κίνησης & θερμοκρασίας, Χ) (II) Μία ειδική καταστατική υπόθεση (ΙΙ) είναι συμβατή με τη θερμοδυναμική, αν x χ(x,) & θ θ(x,) >, προκαλείται μια θερμοδυναμική διεργασία P από τις (Ι) και (ΙΙ) για κάποιες αντίστοιχες τιμές b και r. Τότε η προκληθείσα διεργασία ονομάζεται επιτρεπτή. 54

63 αυστηρούς περιορισμούς στη δομή μιας επιτρεπτής διεργασίας. Με άλλα λόγια, εκλογή των χ & θ ορίζονται οι [e, η,, q] από τις (ΙΙ) & η, ρ από το ισοζύγιο μάζας, ενώ οι b & r από τα ισοζύγια ορμής & ενέργειας αντίστοιχα, & ότι απομένει είναι η ανισότητα Clausus-Duhem η οποία δεν ικανοποιείται a pror για κάθε εκλογή των ê, ˆη, ˆ & ˆq 55

64 MEΡΟΣ ΙI ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ & ΤΑΝΥΣΤΩΝ 55

65 56

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ορισμός Διανυσματικού Χώρου Ένα σύνολο αντικειμένων V { uvw,,,...} είναι ένας διανυσματικός χώρος όταν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό, δηλαδή: όπου α ( u+ v) V uv, V ( αv) V Ορισμοί Πρόσθεσης και Βαθμωτού Πολλαπλασιασμού uvw,, V, α, β Πρόσθεση Α Προσεταιρισμός: u+ ( v+ w) ( u+ v) + w Α Αντιμετάθεση: u+ v v+ u Α 3 Ύπαρξη μηδενικού στοιχείου: V u+ u Α 4 Ύπαρξη αντίθετου στοιχείου: ( u) V u+ ( u) Βαθμωτός πολλαπλασιασμός Μ Προσεταιρισμός: α( β u) ( αβ ) u Μ Μοναδιαίο στοιχείο πολ/σμού: u u, το είναι μοναδικό Μ 3 Επιμερισμός ως προς την πρόσθεση: αu+ β u ( α + β ) u Μ 4 Επιμερισμός ως προς τον βαθ. πολ/σμό: αu+ αv α( u+ v ) Παράδειγμα Έστω V το σύνολο όλων των ζευγών πραγματικών αριθμών, δηλαδή: x V, όπου x ( x, x) με x, x Πρόσθεση: x+ y ( x+ y, x + y) Πολλαπλασιασμός: αx ( αx, αx) α 57

67 Ορίζουμε σαν μηδενικό διάνυσμα το (,). Ακόμα αποδεικνύεται ότι όλες οι ιδιοτητες ενός διανυσματικού χώρου ικανοποιούνται, δηλαδή ο V είναι διανυσματικός χώρος, π.χ. x + y ( x + y, x + y ) ( y + x, y + x ) y+ x Χώρος με εσωτερικό γινόμενο Μέτρο διανύσματος Ένας χώρος H με εσωτερικό γινόμενο είναι ένας διανυσματικός χώρος εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο το οποίο ορίζεται από τα παρακάτω αξιώματα: Η Αντιμετάθεση: u v v u Η Επιμερισμός: u ( v+ w) u v+ u w Η 3 Προσεταιρισμός: α( u v) ( αu) v Η 4 Θετικότητα: u u, u u αν και μόνο αν u Το μέτρο (ή norm) ενός διανύσματος u H ορίζεται ως: u u u και είναι πραγματικός αριθμός. Έτσι, για παράδειγμα, το μέτρο ενός διανύσματος που ανήκει σε έναν συνηθισμένο Ευκλείδιο χώρο εκφράζει το μήκος του διανύσματος. Παράδειγμα Στο διανυσματικό χώρο V του προηγούμενου παραδείγματος εισάγουμε το εσωτερικό γινόμενο: x y xy + xy Αποδεικνύεται ότι αυτό το εσωτερικό γινόμενο πληρεί όλα τα αξιώματα Η -Η 4, π.χ: x x x + x Έτσι ο διανυσματικός χώρος V εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο γίνεται ένας διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο H. 58

68 Παράδειγμα Θεωρούμε το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής { f( ), g( ), h( ),...} η οποία έχει πεδίο ορισμού το [,] και σύνολο τιμών όλο το. Αν ορίσουμε:. το μηδενικό στοιχείο ως τη μηδενική συνάρτηση: ( ). την πρόσθεση: ( f + g)() f() + g() ( α f )() α f () 3. και τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό: [ ] το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής αποτελεί έναν διανυσματικό χώρο V. Αν εισάγουμε και ένα εσωτερικό γινόμενο σύμφωνα με την εξής σχέση: f g f( x) g( x) dx και υποθέσουμε ότι: [ f( x) ] dx< τότε ο διανυσματικός χώρος V είναι ένας διανυσματικός χώρος H με εσωτερικό γινόμενο. Ισχύει: [ ] f f f( x) dx f f αν και μόνο αν f ( x) Το παραπάνω σύνολο συναρτήσεων συμβολίζεται με L και καλείται διανυσματικός χώρος τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Ανισότητα Cauchy Schwarz Αν uv, V τότε: u v Απόδειξη u v Θεωρούμε το διάνυσμα u+ λv, u, v V, λ. Τότε: ( u+ λv) ( u+ λv ) 59

69 u u+ u v+ v v λ λ u + λu v+ λ v, λ Θέτοντας ( ) λ u v v έχουμε ( u v) u ( u v) u v u v u v v Τριγωνική ανισότητα Αν uv, H, τότε ισχύει: u+ v u + v Απόδειξη u+ v ( u+ v) ( u+ v) u + ( u v) + v (Cauchy-Schwarz) u + u v + v ( ) u+ v u + v u+ v u + v Παράδειγμα u+ v v u Η τριγωνική ανισότητα ονομάζεται έτσι γιατί στο χώρο V ανάγεται στη γνωστή πρόταση που λέει ότι το μήκος μιας πλευράς ενός τριγώνου είναι μικρότερο από το άθροισμα των μηκών των δυο άλλων πλευρών, όπως φαίνεται και στο σχήμα. 6

70 Παράδειγμα [ f ( x) + g( x)] dx [ f( x)] dx + [ g( x)] dx Ορισμός του γραμμικού διανυσματικού χώρου Ένα σύνολο αντικειμένων { uvw,,,...} που είναι εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού είναι ένας γραμμικός διανυσματικός χώρος V όταν uvw,, V και α, β ισχύει: () u+ v V () u+ v v+ u () u+ ( v+ w) ( u+ v) + w (v) V: u+ u u V (v) αu V (v) β ( αu) ( βα) u (v) u (v) u u (x) ( α + β ) u αu+ βu (x) α( u+ v) αu+ αv (x) ( u ) V : u+ ( u) u+ ( u) ( + ( )) u u ( u) u Το μέτρο ενός διανύσματος u σε έναν γραμμικό διανυσματικό χώρο συμβολίζεται ως u. Για το μέτρο ισχύουν οι σχέσεις: () u u V & u αν και μόνο αν u () αu α u α () u+ v u + v u, v V (Τριγωνική ανισότητα) (v) u v u v u, v V (Ανισότητα Cauchy-Schwarz) 6

71 Γωνία μεταξύ δυο διανυσμάτων και ορθογώνια διανύσματα Η γωνία μεταξύ δυο διανυσμάτων uv, V παριστάνεται ως ϕ( uv, ) και ορίζεται από τη σχέση: u v u v cos( u, v) όπου cos( u, v ) cosϕ Δύο διανύσματα uv, V καλούνται ορθογώνια αν u v, δηλαδή π 3π αν ϕ {, } Γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων και βάση ενός διανυσματικού χώρου Ένα σύνολο στοιχείων { e, e,.., e n } V είναι γραμμικώς ανεξάρτητα πάνω στο χώρο V όταν υπάρχουν α,.. n τέτοια ώστε: α e + α e α e α α... α n n n Βάση ενός χώρου V ονομάζεται ένα σύνολο { e, e,.., e n } V με τις εξής ιδιότητες:. Τα { e, e,.., e n } είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Μπορούμε να παραστήσουμε κάθε u V ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων βάσης: N u u e n όπου { u, u,.., u } και ονομάζονται συνιστώσες του u ως προς τη βάση { e, e,.., e n } Ο αριθμός των διανυσμάτων βάσης καθορίζει τη διάστασή της. Στην προκείμενη περίπτωση έχουμε μια Ν-διάστατη βάση. Μια βάση { e } είναι ορθογώνια ως προς ένα χώρο H όταν για ισχύει e e j j 6

72 Μια βάση { e } είναι ορθοκανονική ως προς ένα χώρο H όταν ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις:. Είναι ορθογώνια ως προς το χώρο H. e e j δj, όπου δ j είναι το Δέλτα του Kronecker:, j δj, j Θεώρημα Οι συνιστώσες μοναδικές. Απόδειξη u ενός διανύσματος u V ως προς μια βάση { e } είναι Υποθέτουμε ότι δεν είναι μοναδικές. Επομένως υπάρχουν δυο τουλάχιστον διαφορετικά σύνολα από συνιστώσες, έστω u και u : N N N u u ( u u ) u e e e Αλλά αφού η { } γραμμικώς ανεξάρτητα, άρα: e είναι βάση, εξ ορισμού τα διανύσματά της είναι u u u u,,.. N Άρα τα δύο σύνολα συνιστωσών, που αρχικά θεωρήθηκαν διαφορετικά, ταυτίζονται. Επομένως δεν μπορούν να υπάρχουν δυο διαφορετικά σύνολα συνιστωσών και οι συνιστώσες του u V είναι μοναδικές. Πρόταση Δύο στοιχεία e ( e, e) και e ( e, e), με e, e H και ej αποτελούν μια βάση του H αν 63

73 e e e e δηλαδή αν. α e+ α e α α, α, α, που σημαίνει ότι τα e, e είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.. u H μπορούμε να γράψουμε u u e+ u e, όπου τα u, u και μπορούν να προσδιορισθούν, που σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε κάθε διάνυσμα του χώρου H σαν γραμμικό συνδυασμό των e, e. Απόδειξη. e e α e+ α e α + α e e e e α e e α Σύμφωνα με την αρχική υπόθεση της πρότασης, η ορίζουσα του παραπάνω γραμμικού συστήματος είναι διάφορη του μηδενός, επομένως, σύμφωνα με γνωστό θεώρημα των γραμμικών αλγεβρικών συστημάτων το παραπάνω σύστημα έχει μοναδική λύση που είναι η α & α.. Υποθέτουμε ότι κάθε u ( u, u) H μπορεί να γραφεί ως: u u e+ u e u e e u u e e u Σύμφωνα όμως με την υπόθεση της πρότασης, η οριζουσα του παραπάνω γραμμικού συστήματος είναι διάφορη του μηδενός, επομένως, όπως και παραπάνω, το σύστημα έχει μοναδική λύση η οποία και προσδιορίζει τα u, u 64

74 Θεώρημα Αν δοθεί μια οποιαδήποτε βάση { e, e } του H μπορεί να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση { ιˆ ˆ, ι } η οποία όμως δεν είναι μοναδική Απόδειξη Αρχικά θεωρούμε ότι ι ˆ (, ). μπορούμε να βρούμε τα α και α για τα οποία ισχύει ιˆ α e+ α e. Θεωρώντας ιˆ β e+ β e ( β e+ β e, β e + β e), θέλουμε να βρούμε τα β & β ώστε να ισχύει ιˆ ˆ ι. ιˆ ιˆ β e+ β e ιˆ β e + β e Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ι ˆ (,) Η ίδια διαδικασία μπορεί να εφαρμοσθεί και για τον προσδιορισμό ορθοκανονικής βάσης Ν διαστάσεων. Στην περίπτωση αυτή τα διανύσματα την ορθοκανονικής βάσης είναι: ιˆ (,,,...,) ιˆ (,,,...,) ιˆ 3 (,,,...,)... ιˆ (,,,...,) N 65

75 Ευκλείδειος Χώρος - Συνιστώσες - Συμβολισμός u V (V σύνολο διανυσμάτων του Ευκλείδειου χώρου E) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων: { ˆ ι } ( ˆ ι, ˆ ι, ˆ ι ) 3 u 3 u( ) u, u, u3 (,, ), (,, ), (,,) ˆ ι ˆ ι ˆ ι 3 Διάνυσμα: u u ˆ ι + u ˆ ˆ ι+ u3 3 ι u ˆι ˆι 3 ˆι u 3 u ˆ ˆ ι u συμβολισμός δεικτών (Ensen) ι u u ( u ),u,u3 u εναλλακτικοί συμβολισμοί u3 Παραδείγματα διανυσμάτων: κίνηση χ, ταχύτητα v, επιτάχυνση α Kανόνες Δεικτών - Σύμβολα δ j και ε jk Επαναληπτικότητα ( φορές) δείκτη () σ έναν όρο γινομένου, υπονοεί άθροιση από μέχρι 3 66 Εμφάνιση δείκτη () περισσότερες από φορές σ έναν όρο γινομένου δεν έχει έννοια, j Όταν το σύμβολο δ j εμφανίζεται σ έναν όρο, j γινομένου που έχει ένα κοινό δείκτη με το δ j, τότε το δ j μπορεί ν απαλειφθεί αλλάζοντας το κοινό δείκτη με τον άλλο. Το σύμβολο δ j είναι επίσης γνωστό ως δέλτα του Kronecker

76 Εμφάνιση ενός δείκτη () σ έναν όρο γινομένου φορά υπονοεί διαφορετικές εξισώσεις για καθεμιά από τις τιμές:, & 3. Εμφάνιση φορά και δεύτερου δείκτη (j) στον ίδιο όρο υπονοεί διαφορετική εξίσωση για καθεμιά από τις δυάδες: (, j ) (,), (, j ) (,), (, j ) (,3), (, j ) (,),. (, j ) (3,3). Αντίστοιχα για n δείκτες που εμφανίζονται φορά ο καθένας στον ίδιο όρο, υπονοεί διαφορετική εξίσωση για καθεμιά από τις n-άδες τιμών (,j,,n) που λαμβάνονται καθώς οι δείκτες,j,,n παίρνουν τις τιμές, & 3. Παραδείγματα 3 A u A u A u + A u + A u j j j j 3 3 j 3 εξισώσεις που προκύπτουν από τη λήψη των τιμών, & 3, για το δείκτη που εμφανίζεται στον αρχικό όρο φορά Ajk Bjk Ajk Bjk Aj Bj+ Aj Bj + Aj3Bj3 j k j 3 A j B j + Aj B j + Aj 3 B j3 j 9 όροι συνολικά σε κάθε εξίσωση με ανάπτυξη του j 3 εξισώσεις που προκύπτουν από τη λήψη των τιμών, & 3, για το δείκτη που εμφανίζεται στον αρχικό όρο φορά A B δεν έχει νόημα (εμφανίζεται 3 φορές ο δείκτης j) jk jlj A A A A A A jδ j jj , jk l ljk A δ A, uδ j uj 67

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Α Θερμοδυναμικός Νόμος

Α Θερμοδυναμικός Νόμος Α Θερμοδυναμικός Νόμος Θερμότητα Έχουμε ήδη αναφέρει ότι πρόκειται για έναν τρόπο μεταφορά ενέργειας που βασίζεται στη διαφορά θερμοκρασιών μεταξύ των σωμάτων. Ορίζεται από τη σχέση: Έργο dw F dx F dx

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Η ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΑΕΡΙΩΝ

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Η ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Η ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΑΕΡΙΩΝ Η εξίσωση αυτή εκφράζει μια σχέση μεταξύ της πίεσης, της θερμοκρασίας και του ειδικού όγκου. P v = R Όπου P = πίεση σε Pascal v = Ο ειδικός

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΙΣ Μ.Ε.Κ. Μ.Ε.Κ. Ι (Θ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΙΣ Μ.Ε.Κ. Μ.Ε.Κ. Ι (Θ) ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΙΣ Μ.Ε.Κ. Μ.Ε.Κ. Ι (Θ) Διαλέξεις Μ4, ΤΕΙ Χαλκίδας Επικ. Καθηγ. Δρ. Μηχ. Α. Φατσής ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Το «φρεσκάρισμα» των γνώσεων από τη Θερμοδυναμική με σκοπό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΣΤΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΣΤΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΣΤΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Μεταφορά Θερμότητας

Εισαγωγή στην Μεταφορά Θερμότητας Εισαγωγή στην Μεταφορά Θερμότητας ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής Διάλεξη 1 MMK 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 1 1 Μεταφορά Θερμότητας - Εισαγωγή Η θερμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ - 1 - ΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ Σελ. ερ. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Μονόμετρα και διανυσματικά μεγέθη. 4 0,5 1.2 Το Διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ. Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο

ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ. Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο ΜΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΛΕΚΤΟΡΑΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ -Ειδικότητα Υδραυλική Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... v Πρόλογος...vii Λίγα λόγια για τον συγγραφέα...ix Ευχαριστίες...ix

Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... v Πρόλογος...vii Λίγα λόγια για τον συγγραφέα...ix Ευχαριστίες...ix Περιεχόμενα Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... v Πρόλογος...vii Λίγα λόγια για τον συγγραφέα...ix Ευχαριστίες...ix Κεφαλαιο 1: Eισαγωγή... 1 1. ΕΠΙΣΤΗΜΗ, ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΒΙΟΛΟΓΙΑ... 1 2. ΜΙΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Η επιστήμη της Θερμοδυναμικής (Thermodynamics) συσχετίζεται με το ποσό της μεταφερόμενης ενέργειας (έργου ή θερμότητας) από ένα σύστημα προς ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Σύνταξη: Γκέσος Παύλος (ΣΣΕ 2002) Καθηγητής: Σαπουντζάκης Ευάγγελος Βοηθός: Λαγαρός Νικόλαος

Σύνταξη: Γκέσος Παύλος (ΣΣΕ 2002) Καθηγητής: Σαπουντζάκης Ευάγγελος Βοηθός: Λαγαρός Νικόλαος ΘΕΡΙΕΣ ΚΑΜΨΗΣ, ΔΙΑΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΡΕΨΗΣ ΔΟΚΟΥ Κάμψη Διάτμηση Timoshenko, Κάμψη Euler Bernoulli, Ελαστική Θεωρία Διάτμησης, Ανομοιόμορφη Στρέψη, Ανομοιόμορφη Στρέψη με γενείς Παραμορφώσεις ΜΕΑΔΟΣΗ ΗΣ ΣΡΕΒΛΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Course: Renewable Energy Sources

Course: Renewable Energy Sources Course: Renewable Energy Sources Interdisciplinary programme of postgraduate studies Environment & Development, National Technical University of Athens C.J. Koroneos (koroneos@aix.meng.auth.gr) G. Xydis

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Δείκτες Επιτυχίας (Γνώσεις και υπό έμφαση ικανότητες) Παρεμφερείς Ικανότητες (προϋπάρχουσες

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Φυσική Β Γυμνασίου Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 2 Εισαγωγή 1.1 Οι φυσικές επιστήμες και η μεθοδολογία τους Φαινόμενα: Μεταβολές όπως το λιώσιμο του πάγου, η

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1 Α4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1 H θέση ενός κινητού που κινείται σε ένα επίπεδο, προσδιορίζεται κάθε στιγμή αν: Είναι γνωστές οι συντεταγμένες του κινητού (x,y) ως συναρτήσεις του χρόνου Είναι γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα!

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ Μαθήματα Οπτικής 3. Πόλωση Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! Αυτό που βλέπουμε με τα μάτια μας ή ανιχνεύουμε με αισθητήρες είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει όταν φως με συγκεκριμένο χρώμα -είδος,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Διάκριση των ρευστών

Εισαγωγή Διάκριση των ρευστών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ Εισαγωγή στην Υδραυλική Αντικείμενο Πυκνότητα και ειδικό βάρος σωμάτων Συστήματα μονάδων Ιξώδες ρευστού, επιφανειακή τάση, τριχοειδή φαινόμενα Υδροστατική πίεση Εισαγωγή Ρευστομηχανική = Μηχανικές

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών.

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών. Μ4 Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή προσδιορίζεται πειραματικά η πυκνότητα του υλικού ενός στερεού σώματος. Το στερεό αυτό σώμα βυθίζεται ή επιπλέει σε υγρό γνωστής πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Θέση, μετατόπιση και διάστημα Όταν ένα σημειακό αντικείμενο κινείται ευθύγραμμα, για να μελετήσουμε την κίνησή του θεωρούμε σαν σύστημα αναφοράς έναν άξονα χ χ. Στην αρχή του

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Σταματόπουλος «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα»

Νίκος Σταματόπουλος «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα» «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα» Ερώτημα 1 ο : Ποιες από αυτές τις «αρχές» είναι όντως αρχές και ποιες δεν είναι; Ερώτημα 2 ο : Ποιο έχει μεγαλύτερη ισχύ; η «αρχή» ή ο «νόμος»; Ερώτημα 3 ο : Ποιο

Διαβάστε περισσότερα

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα.

Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα. Α2 Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα. 1 Σκοπός Στο πείραμα αυτό θα μελετηθεί η συμπεριφορά των στάσιμων ηχητικών κυμάτων σε σωλήνα με αισθητοποίηση του φαινομένου του ηχητικού συντονισμού. Επίσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ (6-ΩΡΟ) - 1 - ΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ Σελ. ερ. 1 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ. 1.1 Ορμή υλικού σημείου,

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1 Εξαναγκασμένη Συναγωγή Εσωτερική Ροή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 1 Ροή σε Σωλήνες (ie and tube flw) Σε αυτή την διάλεξη θα ασχοληθούμε με τους συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. και d B οι πυκνότητα του αερίου στις καταστάσεις Α και Β αντίστοιχα, τότε

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. και d B οι πυκνότητα του αερίου στις καταστάσεις Α και Β αντίστοιχα, τότε ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα ο Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Σύµφωνα µε την κινητική θεωρία των ιδανικών αερίων, η πίεση

Διαβάστε περισσότερα